Алгоритм линейной цифровой фильтрации


СОДЕРЖАНИЕ:

ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Основные источники шума на цифровом изображении — это сам процесс его получения, т. е. оцифровки, а также процесс передачи. Для моделирования встречающихся на практике шумов их рассматривают как случайные величины с определенной функцией плотности распределения вероятностей. Наиболее часто используется гауссово, или нормальное, распределение, распределение Релея, экспоненциальное и другие. Параметры функции плотности распределения вероятностей шума могут быть частично известны исходя из технических характеристик сенсоров, либо оцениваются для конкретной системы получения изображения.

Когда искажение изображения обусловлено исключительно наличием шума, наблюдаемое изображение s есть некоторая функция (в случае аддитивного шума это сумма) от идеального сигнала и и помехи п:

Если обе координаты (номер строки и номер столбца) всех точек окрестности не превышают координат рабочей точки т. е. окрестность расположена левее и выше, то фильтрация называется каузальной (рис. 4.2, а). Если обе координаты некоторых точек окрестности выше (i,j), то фильтрация некаузальная (рис. 4.2, б). Если по одной из координат выполняет принцип каузальности, а по второй нет, то это полукаузалъная фильтрация (рис. 4.2, в).

Рис. 4.2. Примеры окрестностей различных видов

Такая классификация пошла из теории сигналов с точки зрения физической осуществимости фильтра, работающего в реальном времени. Если при обработке цифрового массива мы имеем дело с уже сформированным изображением, то соотношение координат не играет принципиальной роли. Однако при построении систем обработки изображений, работающих в реальном времени, для некаузальной фильтрации требуется предусматривать задержку на число строк, лежащих ниже обрабатываемой точки.

При линейной фильтрации выходной эффект определяется линейной комбинацией входных данных с весовыми коэффициентами а:

где D — множество точек, образующих окрестность.

Совокупность весовых коэффициентов а(7,, j) представляет собой двумерную импульсную характеристику (ИХ). Если область D конечна, то импульсная характеристика имеет конечную длину и фильтр называется КИХ-филыпром. Если импульсная характеристика бесконечна, то — БИХ-филътром.

Легко заметить, что от координат рабочей точки (/, J) импульсная характеристика не зависит. Такая процедура обработки, не зависящая от координат, называется однородной.

Будем считать полезный сигнал u(i,j) и шум n(i,j) стационарными случайными последовательностями, статистические характеристики которых известны. Тогда ошибка восстановления, выражающая различие между полезным сигналом и его оценкой, формируемой фильтром,

также является случайной величиной.

В качестве критерия оптимальности для оценки фильтрации возьмем критерий минимума среднего квадрата ошибок, т. е. фильтр должен обеспечивать минимальную дисперсию ошибки:

где Е <->— символ математического ожидания.

Линейная система, восстанавливающая сигнал из смеси с шумом и обеспечивающая выполнение условия (4.7), называется оптимальным линейным восстанавливающим фильтром, а сама процедура, соответственно, оптимальным линейным восстановлением.

Сведем оптимизационную задачу (4.7) к решению системы уравнений. Для этого вычислим производную от левой части по коэффициенту а(к, I) и приравняем ее нулю. Поскольку операции дифференцирования, суммирования и вычисления математического ожидания линейны, их можно менять местами, тогда получим

Входящие в выражение (4.8) математические ожидания являются отсчетами корреляционной и автокорреляционной функций:

Если корреляционные функции известны, то выражение (4.8) есть линейное алгебраическое уравнение относительно коэффициентов а. Если повторять дифференцирование относительно остальных неизвестных коэффициентов а, то получим систему линейных уравнений. Количество уравнений равно количеству точек в окрестности D:

Эта система уравнений называется уравнением Винера-Хопфа. Если разрешить ее относительно всех неизвестных а, то будет найдена импульсная характеристика линейного фильтра, минимизирующего средний квадрат ошибок фильтрации.

Как изменяется средняя яркость изображения при фильтрации? Если вычислить математическое ожидание от обеих частей (4.5):

то легко заметить, что средние яркости входного и выходного изображений не зависят от координат и постоянны во всех точках. Чтобы сохранить среднюю яркость, должно выполняться условие

Вместо выполнения условия (4.11) часто на практике перед фильтрацией среднюю яркость вычитают из входного изображения, а после фильтрации снова ее прибавляют.

Масочная фильтрация, рассмотренная в § 3.3, является одним из вариантов двумерной КИХ-фильтрации. Коэффициенты масок могут быть, вообще говоря, вычислены из уравнения Винера-Хопфа, но тогда, естественно, увеличивается вычислительная трудоемкость процесса фильтрации. Ограниченность размера окрестности приводит к потенциальному ограничению эффективности фильтрации. Попытки увеличивать размер окрестности приводят, во-первых, к увеличению трудоемкости, а во-вторых, к более значительной утрате резкости обработанного изображения.

Потенциально лучших результатов фильтрации позволяет добиться некаузальный принцип обработки, поскольку используются все точки изображения. Один из вариантов линейной некаузальной фильтрации — фильтр Винера. Технически он реализуется в частотной области при помощи дискретного преобразования Фурье.

В уравнении Винера-Хопфа (4.9) заменим конечную область D на бесконечную:

Дискретный винеровский фильтр будем строить в циклическом приближении. Для этого вместо реальных функций Bus(-), Bs(-), a(ix,jx) подставим соответствующие периодически продолженные функции

Bus (•), Bs (•), a(ix, j) с двумерным периодом R/j. При этом область определения импульсной характеристики сужается до размеров прямоугольника Ru и выражение (4.12) принимает следующий вид:

Применим к обеим частям двумерное дискретное преобразование Фурье

тогда искомая частотная характеристика фильтра Винера имеет вид

Рассмотрим, насколько отличаются обычное и циклическое уравнение Винера-Хопфа. Рис. 4.3 иллюстрирует формирование сумм, входящих в правые части одномерных аналогов выражений (4.12) и (4.13). При достаточно большом значении интервала наблюдения I соседние зоны не перекрываются и результаты совпадают. Если же интервал соизмерим с размахом корреляционной функции, то произойдет наложение соседних областей и уравнение исказится. Таким образом, винеровская фильтрация должна применяться для достаточно больших изображений.

Рис. 4.3. Сравнение обычного (а) и циклического (б) уравнений Винера-Хопфа

Отдельным вопросом является обработка вблизи границ кадра, где нарушается стационарность сигнала и обработка отклоняется от оптимальной. Эффекты, связанные с периодичностью функций, отсутствуют для внутренних точек, однако возникают граничные эффекты. Ими либо пренебрегают, а если эти эффекты недопустимы, то область наблюдения функций Rj j удлиняют нулями.

Фильтр Винера по сравнению с масочной фильтрацией лучшим образом подавляет шумы, но и еще больше дефокусирует изображение.

Для винеровской фильтрации требуется знать спектральную плотность мощности исходного изображения. Получить необходимую информацию можно предварительно измерив характеристики по реальному изображению. На практике это может быть изображение-аналог, например, один типичный кадр из последовательности. Другой способ состоит в использовании некоторой математической модели изображения. Тогда параметры, входящие в выбранную модель, измеряются по реальному изображению. В частности, часто используется модель гауссовского двумерного поля с корреляционной функцией следующего вида:

где о] — дисперсия значений яркости; р — коэффициент одношаговой корреляции.

В реальности гауссовой модели соответствует очень ограниченный класс изображений. Однако ее математическая простота оказывается столь привлекательной, что эта модель применяется даже тогда, когда распределение яркости можно считать нормальным лишь с большой натяжкой.

Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов, построенные на базе теории нечетких множеств Титов Дмитрий Анатольевич

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ‘, MOUSEOFF, FGCOLOR, ‘#FFFFCC’,BGCOLOR, ‘#393939’);» onMouseOut=»return nd();»> Диссертация — 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат — бесплатно , доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Титов Дмитрий Анатольевич. Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов, построенные на базе теории нечетких множеств : диссертация. канд. техн. наук : 05.12.04 Омск, 2007 161 с. РГБ ОД, 61:07-5/2936

Содержание к диссертации

1. Анализ состояния вопроса цифровой фильтрации сигналов, в том числе фильтрации нестационарных случайных сигналов 9

1.1 Алгоритмы линейной цифровой фильтрации 9

1.2 Алгоритмы оптимальной цифровой фильтрации 11

1.3 Алгоритмы адаптивной цифровой фильтрации 14

1.4 Алгоритмы цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств ‘ 19

1.5 Нейросетевые алгоритмы цифровой фильтрации 27

2. Разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств 35

2.1 Разработка алгоритма фильтра нижних частот 35

2.2 Разработка алгоритма полосового (режекторного) фильтра 58

2.3 Оценка функций принадлежности нечетких множеств — 65

2.4 Используемые критерии цифровой фильтрации 66

2.5 Анализ алгоритмов цифровой фильтрации 68

3. Проектирование цифровых фильтров на основе разработанных алгоритмов 73

3.1 Проектирование цифрового фильтра нижних частот 73

3.2 Проектирование полосового (режекторного) фильтра 75

4 Компьютерное моделирование цифровых фильтров 78

4.1 Компьютерная модель цифрового фильтра нижних частот 79

4.2 Компьютерная модель полосового (режекторного) фильтра 105

5 Экспериментальные исследования 109

5.1 Исследование компьютерной модели цифрового фильтра нижних частот 115

5.2 Исследование компьютерной модели режекторного фильтра 134

5.3 Выводы136 ЗАКЛЮЧЕНИЕ137 ЛИТЕРАТУРА139 ПРИЛОЖЕНИЯ148

Введение к работе

Актуальность темы. В ряде областей техники форму сигналов связывают с объектом исследования, примером этого служат радиолокация, техническая и медицинская диагностика, телеметрия и др. Как правило, здесь имеют место нестационарные случайные сигналы малой продолжительности во времени. В результате обработки таких сигналов, например, с помощью линейного цифрового фильтра, их форма, а, следовательно, содержащиеся в ней диагностические признаки могут быть сильно искажены. В этой связи особую актуальность приобретает разработка алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, направленных на сохранение их первоначальной (не искаженной шумами) формы. В современных литературных источниках, посвященных метрологическому обеспечению радиоизмерений (в частности в работах В. И. Нефедова), форма сигнала определяется как зависимость мгновенного значения сигнала от времени.

Рассмотрим, например, сигнал электрокардиограммы (ЭКГ). Как известно, кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, Q, R, S, Т. Каждому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце. Установление диагноза в данном случае сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимаются амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Трудности, возникающие при фильтрации зашумленных ЭКГ сигналов заключаются в том, что характеристики сигналов при различных состояниях пациента значительно отличаются друг от друга. Так, например, линейный цифровой фильтр, рассчитанный для оптимального выделения нормальной кардиограммы из смеси с белым гауссовым шумом, искажает амплитуды зубцов кардиограмм с различными

заболеваниями. При анализе сигнала ЭКГ, прошедшего обработку с помощью алгоритма линейной цифровой фильтрации, происходит пропуск заболевания (дефекта). Аналогичные трудности возникают при распознавании кривых в технической диагностике. Здесь информация о состоянии системы (машины) содержится в виде записи значений диагностического параметра или его отклонений от нормального в различные моменты времени. Примером является запись во времени значений уровня вибраций двигателей.

Если для цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов используются адаптивные алгоритмы (адаптивные цифровые фильтры), то для них также возникает ряд сложностей, т. к. целью применения алгоритма адаптивной фильтрации сигналов является достижение локального или глобального экстремума функционала качества. В задаче сохранения исходной формы сигнала под функционалом качества понимается зависимость значений среднего квадрата ошибки (СКО) от параметров адаптации цифрового фильтра. Если статистические свойства сигналов меняются во времени, то функционал качества можно считать «размытым» или нечетким, т. е. изменяющим свою форму и местоположение относительно введенной системы координат. В этом случае процесс адаптации состоит не только в движении к точке экстремума, но и в слежении за этой точкой, поскольку она меняет свое местоположение в пространстве. В рассмотренных условиях использование адаптивных алгоритмов на основе принципов оптимальной линейной фильтрации является неэффективным и нерациональным с точки зрения вычислительных затрат. Таким образом, для решения задач цифровой фильтрации с сохранением формы сигналов особую актуальность приобретает разработка альтернативных алгоритмов цифровой фильтрации сигналов, позволяющих восполнить отсутствие статистических характеристик с помощью обучающей выборки.

Одним из вариантов построения алгоритмов цифровой фильтрации, сохраняющих первоначальную форму сигналов является использование нечеткой логики. Адаптивные фильтры на основе алгоритмов с нечеткой логикой имеют повышенное быстродействие и обеспечивают меньшую погрешность фильтрации за счет более адекватного описания обрабатываемых сигналов.’Альтернативой нечеткой логике служат нейронные сети, однако реализация нейросетевых систем цифровой фильтрации сигналов затруднена чрезвычайно высокой трудоемкостью процедуры обучения. Все это делает очень актуальным развитие существующих, а также создание новых алгоритмов цифровой фильтрации с использованием нечеткой логики, которые обеспечивают более высокое качество восстановления формы случайных сигналов, в том числе нестационарных.

Цель диссертационной работы — разработка алгоритмов цифровой фильтрации на основе теории нечетких множеств для сигналов с различным спектром.

Для достижения поставленной цели в диссертации решены следующие задачи:

Исследованы существующие алгоритмы цифровой фильтрации сигналов с использованием нечеткой логики и искусственных нейронных сетей.

Разработаны алгоритмы цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств.

Проведены проектирование и компьютерная реализация цифровых фильтров с нечеткой логикой.

Выполнена экспериментальная проверка разработанных цифровых фильтров.

Методы исследований. При выполнении работы были использованы положения общей теории радиотехнических сигналов, теория нечетких множеств, численные методы, методы вычислительной математики и теории

программирования, методы статистической обработки экспериментальных данных.

Научная новизна. Решение поставленных задач определило новизну диссертации, которая заключается в следующем:

Разработан модифицированный алгоритм цифровой фильтрации сигналов на основе теории нечетких множеств, отличительной особенностью которого является адаптивное изменение функций принадлежности в зависимости от значений конечных разностей первого порядка сигнала.

Разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов, дающий возможность перестраивать центральную частоту фильтра в соответствии с характеристиками сигнала при сохранении всех других параметров фильтра.

На защиту выносятся:

Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности.

Алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.

Практическая значимость проведенных исследований.

Разработанное в диссертации программное обеспечение имеет практическую значимость, т. к. позволяет уменьшить временные затраты на проектирование радиотехнических устройств типа цифрового фильтра с нечеткой логикой почти в 10 раз.

Реализация и внедрение результатов работы. Разработанные алгоритмы и программное обеспечение внедрены в ООО НТК «Интеллектуальные комплексные системы», а также в НОУ «Институт радиоэлектроники, сервиса и диагностики», что подтверждено соответствующими актами.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы получили положительную оценку при обсуждении на 9 международных и всероссийских конференциях, в том числе:

— VII Международная конференция «Актуальные проблемы электронного
приборостроения» (Новосибирск, 2004 г.);

— III Международный технологический конгресс «Военная техника, вооружение
и технологии двойного применения» (Омск, 2005 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 печатных работ, из них 2 — статьи в научных периодических изданиях, 10 — материалы и тезисы докладов в трудах международных и всероссийских конференций, 1 — свидетельство об отраслевой регистрации разработки.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложений. Общий объем диссертации — 159 страниц. Основной текст изложен на 138 страницах, включает 73 рисунка, список литературы из 86 наименований.

Алгоритмы оптимальной цифровой фильтрации

В общем случае оптимальный фильтр может быть определен как частотно-избирательная система, выполняющая обработку суммы сигнала и шума некоторым наилучшим образом. Этот тип фильтров применяется тогда, когда требуется оценить те или иные физические величины, характеризующие состояние системы, подверженной случайным возмущениям. Современной тенденцией развития оптимальных цифровых фильтров является реализация устройств, минимизирующих СКО оценивания. Оптимальные цифровые фильтры подразделяются на линейные и нелинейные в зависимости от того, какими уравнениями описывается их состояние.

Пусть имеются два вероятностно связанных случайных процесса d(t) и x(t), при этом первым процессом является полезный сигнал, а вторым — принятое колебание в виде суммы полезного сигнала и некоторого шума u(/):

Требуется оценить сигнал d(t) по доступному наблюдению х(ґ). Требуемаяоценка d(t) должна быть получена в некоторых точках t = v, й v t2, й и tl -некоторые константы.

В данном случае h(y) — импульсная характеристика системы, осуществляющей оценивание (оптимального стационарного фильтра). Функция h(y) находится в результате решения интегрального уравнения Винера-Хопфа [8]:где Л(іх(т) — взаимная корреляционная функция процессов d(/) и х(/); Лх(т) автокорреляционная функция процесса x(t); h (v) — оптимальная (Винеровская)импульсная характеристика системы. При h

Одним из наиболее известных является алгоритм оптимальной цифровой фильтрации Калмана [8]. Данный алгоритм реализует рекурсивную процедуру адаптации, основанную на авторегрессионной модели процесса генерирования сигнала. Если входной сигнал является случайным и марковским, то его можно представить как выходной сигнал линейной дискретной системы, возбуждаемойбелым шумом w(ri) с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ow .

Модель генерирования сигнала описывается выражениемгде а — некоторая константа.Предполагается, что сигнал проходит через канал связи, модель воздействия которого описывается уравнениемгде с — константа, описывающая амплитудные изменения сигнала; u(w) аддитивный белый шум с нулевым математическим ожиданием и дисперсией cu . Алгоритм оптимальной цифровой фильтрации Калмана позволяет получитьоценку d(ri) максимально близкую к сигналу d(n) по критерию минимума СКО. Выражение, которым описывается алгоритм, имеет вид:где

Значение К(я) носит название «коэффициент доверия» и зависит от шумовыхпараметров канала связи и текущего значения СКО.Синтез оптимальных цифровых фильтров возможен только при наличии априорных сведений о статистических характеристиках сигнала и шума, а также о способе комбинирования сигнала и шума. Важной проблемой является также обеспечение нечувствительности всех вышеперечисленных алгоритмов к отклонению статистических характеристик системы от заранее заданных. Синтез таких цифровых фильтров, называемых робастными, подробно описан в работе [15].

Во многих случаях цифровые фильтры с постоянными параметрами не могут быть использованы, так как корреляционные свойства входного и эталонного сигналов неизвестны или изменяются во времени. Поэтому необходимо сначала обучать цифровые фильтры по обучающим статистикам, а затем осуществлять слежение за ними, если они медленно меняются. Если частотные характеристики цифровых фильтров зависят от спектров обрабатываемых сигналов, то такие фильтры называют адаптивными [16-18]. Основополагающими работами по синтезу адаптивных цифровых фильтров можно считать монографии Я. 3. Цыпкина, Р. Л. Стратоновича, В. В. Шахгильдяна, М. С. Лохвицкого, Б. Уидроу и С. Стирнза.

В работе [9] под адаптивным понимается такой алгоритм принятия решения, при построении которого для преодоления априорной неопределенности используется предварительное обучение. Основная задача адаптивного фильтра -повысить качество обработки сигнала. Для обработки входного сигнала используется обычный КИХ-фильтр, однако импульсная характеристика этого фильтра не остается раз и навсегда заданной, как это было при рассмотрении цифровых фильтров частотной селекции. При этом она также не изменяется по априорно заданному закону, как в случае фильтра Калмана. Требования к АЧХ адаптивных фильтров обычно не задаются, поскольку их характеристики изменяются во времени.

Разработка алгоритма полосового (режекторного) фильтра

С учетом проведенных исследований в диссертации также разработан алгоритм цифровой фильтрации сигналов с изменяемой центральной частотой фильтра при сохранении всех остальных его параметров.

Представленные в некоторых известных работах [35, 39] алгоритмы цифровой фильтрации предназначены для использования в основе фильтров нижних частот, а их адаптация к изменяющимся характеристикам сигналаосуществляется путем изменения ширины полосы пропускания фильтра. Во многих практических случаях спектр сигнала сосредоточен в некоторой полосе, т. е. возникают задачи, требующие создания полосовых или режекторных фильтров с изменяемой центральной частотой.

Вернемся к уравнению (2.12) и еще раз запишем соответствующий ему коэффициент передачи:

Аппроксимационные и реализационные возможности конкретного типа фильтров определяются теми значениями амплитудной функции (или АЧХ), которые они приобретают на границах основного частотного диапазона, т. е. на частотах в = 0 (f = 0) и ю = я (f = і д/2), независимо от коэффициентов. Проанализируем значения АЧХ на частотах ю = 0 и ш = я. Как уже было рассмотрено в этой главе, на частоте в = 0 значение АЧХ при любых коэффициентах будет равно единице, а на частоте и ю = %, получаем (при L = 8):

Таким образом, на частоте со = я значение АЧХ будет полностью определяться коэффициентами фильтра, т. е. отсчетами его импульсной характеристики.Из всего сказанного выше вытекают свойства любых дискретных фильтров, частотный коэффициент передачи которых описывается выражением (2.20):1. Возможна реализация фильтров низкочастотной, многочастотной ирежекторной избирательности;2. Невозможно конструирование полосовых и высокочастотных фильтров.Утверждение 3. Действие цифрового полосового фильтра описывается формулой где s — коэффициенты, определяющие центральную частоту; bk є [0,1 ].

Доказательство. Как известно, перенос спектра сигнала в область высоких частот означает переход от видеоимпульса к радиоимпульсу. Аналогичное утверждение касается и АЧХ цифровых фильтров. В общем случае коэффициент передачи цифрового устройства при умножении его импульсной характеристики на гармоническую функцию будет определяться выражением [66]

При умножении сигнала на гармоническую функцию его спектр распадается на два слагаемых вдвое меньшего уровня, смещенных на Шо вправо (со + Шо) и влево (со — о) по оси частот. Таким образом, выражение (2.22) может быть записано в следующем виде:отсчеты гармонического сигнала. Для создания полосового фильтра необходимо, чтобы выполнялось условие Кп(со0) = 1, поэтому в выражении (2.22) появляется множитель 2. Исходя из формулы (2.22) можно записать алгоритм цифровой фильтрации сигналов, который будет иметь АЧХ полосового фильтра

Утверждение доказано. С учетом перестраиваемых коэффициентов и искусственного сдвига начала координат переменной к выражение (2.23) примет вид:

В выражении (2.24) весовые коэффициенты ц(х„_Л) определяют ширину, а s(x„.k, k)=sn_k — центральную частоту фильтра.

Адаптация центральной частоты фильтра, т. е. коэффициентов sn.k, может осуществляться следующим образом. Пусть на вход фильтра подана смесь гармонического сигнала и гауссова шума:

Как известно, математический спектр гармонического сигнала представляет собой дельта-функции, расположенные на частотах ±со0. Поэтому необходимовыбрать фильтр, обладающий наиболее узкой полосой пропускания. Наименьшей шириной полосы пропускания при заданном порядке обладает однородный фильтр. Следовательно, все коэффициенты \i(xn_k) будут иметь одно и то жезначение l/(2iV+l), a sw_A будут равны cos((o0(n-k)T + p0) [18].

Согласно принципам, изложенным в работе [35], ширина спектра сигнала оценивается с использованием разностей Axn_k = хп-хп_к. Эти же разности могут быть применены и для оценки частоты сигнала ю0. В нашем случае полезный сигнал является периодическим, т. е. выполняется условиеналичии синхронного канала формирования опорных колебаний равенство оцениваемого отсчета сигнала хп и отсчета, отстоящего по времени на к периодов дискретизации, означает, что центральная частота сигнала принимает значение из совокупности со0= 2n-fjk. В данном случае к = ±2, ±3, . ±N, кф±\. Иными словами каждый отсчет сигнала хп_к может быть рассмотрен сточки зрения принадлежности нечетким множествам F = СИГНАЛ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ їАІк , к ф ±1. Одна из возможных форм функции принадлежности \і?(хп_к) нечетких множеств F имеет вид, представленный на рис. 2.3 (а).

Каждый электрик должен знать:  Питающие, распределительные и групповые сети в электроснабжении - в чем различие


Для нахождения значений sn_k необходимо реализовать ряд нечеткихправил: «Rk : если Ахп_к близка к нулю, тогда центральная частота фильтра должна быть близка fa/b [77]. Эти правила в дальнейшем будут объединены между собой. На основе результатов их объединения будет получена оценка частоты сигнала ю0. Представление диапазона изменения центральной частоты фильтра в нечетком пространстве (фазификация [32]) выполнено в виде семейства нечетких множеств fk = ЦЕНТРАЛЬНАЯ ЧАСТОТА ФИЛЬТРА ПРИМЕРНО ijk с отдельными функциями принадлежности Hjt(fo), что показано на рис. 2.14.

Проектирование полосового (режекторного) фильтра

Согласно [1] на основе алгоритма линейной цифровой фильтрации может быть построена структурная схема физически реализуемого устройства. При этом в ее состав входят блоки, выполняющие сложение, умножение на весовой коэффициент, а также задержку отсчетов сигнала на один интервал дискретизации. Получим структурную схему цифрового фильтра, реализующего алгоритм (2.19). Из возможных форм реализации выберем прямую форму, как наиболее наглядно иллюстрирующую алгоритм, лежащий в ее основе. Как было рассмотрено ранее, формула (2.19) отличается от выражения (2.1) переменными коэффициентами \і(хп.к,к,Ь), а также наличием знаменателя. Следовательно, структурная схема фильтра на основе алгоритма (2.19), помимо стандартныхблоков линейного цифрового фильтра, будет содержать блок деления и дополнительный сумматор, подсчитывающий сумму весовых коэффициентов. Кроме того, в структурной схеме также будет присутствовать блок вычислителя весовых коэффициентов. Таким образом, структурная схема цифрового фильтра нижних частот будет иметь вид, представленный на рис. 3.1.

Адаптивный цифровой фильтр с алгоритмом (2.19) обладает следующими характеристиками (при частоте дискретизации сигнала 250 Гц и N=4):

С учетом всего сказанного выше, алгоритм (2.24) также может быть использован для построения структурной схемы цифрового фильтра [78].

Согласно главе 2, для алгоритма цифровой фильтрации с изменяемой центральной частотой фильтра необходимо наличие функций принадлежности I F(X«- ) и (fo), которые определяют значения s(x„4, к). Кроме этого, в алгоритме (2.24) сохранены коэффициенты \i(xn.k), определяющие ширину полосы пропускания фильтра. Следовательно, структурная схема полосового фильтра будет близка к схеме на рис. 3.1, однако в ней появятся дополнительные умножители отсчетов сигнала на коэффициенты s(xn.k, к). Случай прямой формы реализации выражения (2.24) показан на рис. 3.2.

На основе полосового можно построить режекторный фильтр путем преобразования передаточной функции. Как известно [5], фильтр верхних частот представляет собой разность между всепропускающим уп=хп и низкочастотным фильтрами. Одним из вариантов построения режекторного фильтра служит параллельное включение всепропускающего и рассмотренного ранее полосового фильтров по схеме, показанной на рис. 3.3.

В данной главе проведено проектирование фильтров нижних частот, а также полосовых и режекторных фильтров с нечеткой логикой. В частности, разработаны структурные схемы адаптивных цифровых фильтров с использованием алгоритмов (2.19) и (2.24). Представленные структурные схемы позволяют осуществлять на их основе микропроцессорную реализацию разработанных алгоритмов, а также могут быть использованы для создания программ в различных системах имитационного моделирования с целью проведения экспериментальных исследований.

По результатам проведенных исследований было выполнено компьютерное моделирование разработанных цифровых фильтров. Для создания компьютерных моделей была использована система MATLAB 6.5, имеющая значительные преимущества перед существующими ныне математическими системами и пакетами. Система MATLAB создана для проведения научных и инженерных расчетов и ориентирована на работу с массивами данных. Математический аппарат системы опирается на вычисления с матрицами, векторами, комплексными числами. Язык программирования системы MATLAB достаточно прост и содержит всего несколько десятков операторов. Небольшое число операторов компенсируется процедурами и функциями, которые доступны для коррекции и модификации. Запись программ в системе является традиционной и поэтому привычной для большинства пользователей. Система использует математический сопроцессор и допускает возможность обращения к программам, написанным на языках FORTRAN, С и C++. Система также обладает большими возможностями для работы с сигналами. В наличии имеется большое количество специализированных пакетов расширения, предназначенных для решения различных классов математических и технических задач. Кроме того, система значительно опережает многие другие подобные программы по скорости выполнения операций. Все эти особенности делают систему MATLAB весьма привлекательной для решения очень многих классов задач.

Пакет Simulink системы MATLAB позволяет осуществлять моделирование динамических нелинейных систем. Ввод характеристик исследуемых систем производится в диалоговом режиме, путем графической сборки схемы соединений стандартных элементарных звеньев. Элементарными звеньями служат блоки (или модули), хранящиеся во встроенной библиотеке. Состав библиотеки может быть

Компьютерная модель полосового (режекторного) фильтра

Автором работы также было проведено моделирование полосового (режекторного) цифрового фильтра на основе теории нечетких множеств. Компьютерная модель в программной среде MATLAB была зарегистрирована в отраслевом фонде алгоритмов и программ [84]. Общий вид модели для случая перестройки центральной частоты фильтра от fJ5 до і д/3 (при N=4) показан на рис. 4.23. Как и ранее, аддитивная смесь хя (выход блока Suml) полезного сигнала с блока From Workspace и шума от источника Noise поступает на вход подсистемы Delay line. Структура данной подсистемы уже упоминалась нами, и ее вид был представлен на рис. 4.2. Вектор отсчетов входного сигнала X с помощью демультиплексора разделяется по элементам, которые далее поступают на входы однотипных подсистем Subsysteml — Subsystem6 (см. рис. 4.23). Внутреннее устройство подсистемы Subsysteml показано на рис. 4.24. Данная подсистема служит для нахождения значений HF(X„. ) (см. главу 2 данной работы). Подсистема вычисляет разность между отсчетами сигнала (в данном случае это отсчеты х„_8 и хЛ_3) и использует ее в качестве входного сигнала блока Gaussian MF (см. рис. 4.24). Блок Gaussian MF выдает значения гауссовой функции, аргументом которой служит разность х„_8 — х„_3. Выходные сигналы подсистем Subsysteml- Subsystem6 подаются к блокам MinMaxl — МіпМахЗ (см. рис. 4.23). Эти блоки используются для объединения правил относительно переменных I х«» хп-к I и I хи» хп+к I и выдают на выход минимальный из двух входныхРис. 4.24 сигналов. Выходы блоков MinMaxl — МіпМахЗ направляются к блокам MATLAB Fcn2 — MATLAB Fcn4 соответственно. При этом выходы MinMaxl — МіпМахЗ формируются в трехмерный вектор и поступают на вход блока MATLAB Fcnl.

Прежде всего, рассмотрим действие блоков MATLAB Fch2 — MATLAB Fcn4. В приложениях 11-13 приведены программы, выполняемые данными блоками. Каждая из программ вычисляет все возможные значения коэффициентов s(x„.A) и, в зависимости от входного сигнала, выбирает из них необходимые. Каждый из блоков выдает четырехмерные векторы, состоящие из значений sn+l,sn+2 Sw+3 sn+4 Программа, согласно которой работает блок MATLAB Fcnl, представлена в приложении 10. Действие этой программы уже было подробно рассмотрено в настоящей главе. В данной компьютерной модели она используется для выбора вектора коэффициентов s(x„.A). Выходной сигнал блока MATLAB Fcnl поступает на управляющий вход переключателя Multiport Switch 1. Далее четырехмерный выходной сигнал переключателя с помощью демультиплексора разделяется по элементам и направляется на входы умножителей Product 1 — Product 8 (рис. 4.23). Эти блоки перемножают отсчеты сигнала хп_к и коэффициенты s(x„.A) согласновыражению (2.24). В данной работе рассматривается компьютерная модель цифрового фильтра с постоянной шириной полосы пропускания (режекции). В рассматриваемом случае полоса пропускания (режекции) имеет наименьшую ширину при заданном порядке фильтра. Поэтому все коэффициенты \i(xn.k) равны единице, а их сумма равна 9. Таким образом, знаменатель выражения (2.24) представлен в виде блока Constantl (рис. 4.23). Числителем (2.24) является сигнал сумматора Sum2, а операция деления производится с помощью блока Product 9. Выходной сигнал делителя усиливается в два раза (блок Gain 1) и направляется на выход цифрового фильтра.

В данной главе разработаны компьютерные программы, моделирующие действие адаптивного цифрового ФНЧ на основе теории нечетких множеств и позволяющие в режиме обучения производить настройку функций принадлежности. Также проведена разработка компьютерной модели полосового (режекторного) фильтра с изменяемой центральной частотой фильтра.

Рассмотренные в предыдущей главе компьютерные модели цифровых фильтров, были применены для обработки различных сигналов. Сначала рассматривался случай, когда цифровые фильтры на основе теории нечетких множеств обучаются на сигналах при отсутствии шума, а помехи накладываются только на тестирующую выборку. Во втором случае в качестве обучающей выборки использовались сигналы с добавлением шума. Далее до конца главы будет рассматриваться только второй случай обучения, так как он является более эффективным.

Характеристики компьютерной модели ФНЧ, рассмотренного в данной работе, сравнивались с характеристиками моделей фильтров на основе ранее известных алгоритмов. Для сравнения использовались компьютерные модели цифрового фильтра на основе алгоритма японских ученых К. Arakawa и Y. Arakawa [35] и линейного цифрового фильтра. Далее модель цифрового ФНЧ с адаптивно изменяемыми функциями принадлежности будем именовать как Ф1, модель линейного цифрового фильтра как ЛФНЧ, а для модели фильтра из работы [35] оставим название, предложенное его авторами — SFF (см. гл. 2).

Для исследования характеристик ФНЧ применялись фрагменты оцифрованных реальных кардиограмм, размещенных на web-сайте http://www.physionet.org.

Абсолютная погрешность вычислений при компьютерном моделировании не превышает 10″7, что определяется пределами допускаемой абсолютной погрешности, устанавливаемой пользователем [83].

Как известно [75], любая электрокардиограмма представляет собой графическое отображение колебания потенциалов на поверхности тела, обусловленных работой сердца. Кривая ЭКГ имеет характерную форму, содержащую в основе так называемые зубцы (экстремальные точки): Р, Q, R, S, Т. Каждому из этих зубцов соответствует определенный процесс возникновения и проведения электрического возбуждения в сердечной мышце.

Наиболее важным этапом анализа кардиограммы, является анализ зубцов (анализ предсердного зубца Р и комплекса QRS) [76]. Установление диагноза сводится к определению количественных признаков заболеваний с помощью формы зубцов. Под количественными признаками понимается амплитуда зубцов, их продолжительность, временные интервалы между зубцами и т. д. Что касается формы, то здесь информация о заболевании в основном заложена в наличии расщепления, или расширения вершины [76]. Большое значение имеет полярность зубцов Р и Т.

Рассмотрим следующий пример. На рис. 5.1 показан фрагмент нормальной электрокардиограммы в отведении I [76] (частота дискретизации сигнала 4=250 Гц). Сигнал от кардиографа усилен в 1000 раз, т. е. на рисунках 1В соответствует 1 мВ. Рассчитаем линейный цифровой фильтр, который является оптимальным по минимуму СКО фильтрации для выделения сигнала на рис. 5.1. (а) из смеси с белым шумом с дисперсией 0,01 В (далее единицы измерения дисперсии указываться не будут). Дисперсия полезного сигнала (рис. 1 (а)) равна 0,019. Осциллограмма сигнала с наложением шума показана на рис. 1 (б).

Алгоритм дискретной фильтрации на основе «быстрой свертки»

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций

Высшая школа прикладной физики

И космических технологий

Лабораторная работа

«Цифровая обработка сигналов»

студенты гр.43420/4 ______________ А. Романюк

______________ М. Жигулина

Проверил ______________ В.А. Варгаузин

«___» апреля 2020 г.

Часть1:

>> q=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21]

4.0000 1.3333 0.8000 0.5714 0.4444 0.3636 0.3077 0.2667

0.2353 0.2105 0.1905 0.1739 0.1600 0.1481 0.1379 0.1290

0.1212 0.1143 0.1081 0.1026 0.0976 0.0930

Wp = 1.0e+04 *(6.1324 , 6.4340)

Ws = 1.0e+04 *( 6.1299, 6.4364)

Wn = 1.0e+04 *(6.1324 , 6.4340)

0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 -0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

Рисунок 1. Результат моделирования для F0 = 10000, Fs = 976Гц, q=21

Рисунок 2. Модель дискретной обработки полосового сигнала

ЧАСТЬ 2:

Рисунок 3. Модель спектрального анализа на основе БПФ

Амплитудный спектр кадра сигнала (F1=Fs/4)

F1=20000; Fs=80000; dt=1/Fs; L=4096; n=[0:1:L-1]; y=sin(2*pi*F1*dt*n);

Рисунок 4. Амплитудный спектр

Амплитудный спектр кадра сигнала (F2=F1+Fs/2*L)

Рисунок 5. Амплитудный спектр

Часть 3:

I. Алгоритмы вычисления свертки

Свертка финитных дискретных сигналов

Сигнал S1 = 1:20:80;

Сигнал S2 = 1:10:40;

Используем функцию conv.

Результат свертки: y = [ 1 32 293 984 2183 2552 1891]

Входные сигналы и их свертка представлены на рис.6.

Рис.6. Входные сигналы и их свертка

Модель simulink для вычисления свертки представлена на рис.7.

Рис.7. Модель simulink для вычисления свертки

Результаты, полученные в matlab и simulink совпадают.

Алгоритм вычисления дискретной свертки с использованием ДПФ

Используем те же сигналы, что в п. I.I.

В результате выполнения программы имеем:

y = [2184 2584 2184 984]

Модель simulink для вычисления циклической свертки с использованием ДПФ представлена на рис.8.

Рис.8. Модель simulink для вычисления циклической свертки с использованием ДПФ

Результаты, полученные в matlab и simulink, совпадают, но отличаются от результатов, полученных в п. 1.1. Это связано с тем, что не выполняется условие N ≥ Lh+Ls-1, где Lh и Ls– длины сигналов S1 и S2, соответственно.

Для того чтобы циклическая свёртка была идентична линейной свёртке финитных сигналов, должно выполняться условие N ≥ Lh+Ls-1.

Пусть N = 7. Дополним сигналы нулями. В результате имеем:

y = [ 1 32 293 984 2183 2552 1891].

Этот результат совпадает с результатом, который был получен в п.I.I.

Модель simulink для вычисления линейной свертки с использованием ДПФ представлена на рис.9.

Рис.9. Модель simulink для вычисления линейной свертки с использованием ДПФ

Алгоритм «быстрой свертки»

Оценим время вычисления линейной свёртки двух финитных сигналов прямым методом функцией conv и методом на основе ДПФ при использовании алгоритма БПФ.

>>Elapsed time is 0.000703 seconds.

>>Elapsedtimeis 0.000073 seconds.

Т.к. 1024 является степенью двойки, то функция fft использует алгоритм БПФ при вычислении ДПФ.Можно видеть, что свёртка вычисляется быстрее методом на основе ДПФ при использовании алгоритма БПФ, чем прямым методом функцией conv.

Дискретная фильтрация

Сигнал: s = [1 21 41 61 0 0 0 0];

Импульсная характеристика(коэф. числителя): h = [1 2 3 4 0 0 0 0];

Коэф. знаменателя: a = [1 0 0 0 0 0 0 0];

В результате вычисления дискретной свертки финитного сигнала s с импульсной характеристикой h функцией filter имеем:

y = [1 23 86 210 329 347 244 0]

Модель дискретной фильтрации приведена на рис.10

Рис.10. Модель дискретной фильтрации

Результаты, полученные в matlab, совпадают с результатами работы модели simulink.

Алгоритм дискретной фильтрации на основе «быстрой свертки»

Сигнал: s = [1 21 41 61 0 0 0 0];

Импульсная характеристика: h = [1 2 3 4 0 0 0 0 ];

В результате вычисления свертки финитного сигнала s с импульсной характеристикой h функцией fftfilt имеем:

y = [1.0000 23.0000 86.0000 210.0000 329.0000 347.0000 244.0000 -0.0000]

Полученный результат совпадает с результатом, полученным в предыдущем пункте.

Модель дискретной фильтрации на основе алгоритма сложения с перекрытием приведена на рис.11.

Рис.11. Модель дискретной фильтрации на основе алгоритма сложения с перекрытием

В данной модели размер БПФ равен 8.

При использовании алгоритма перекрытия входной сигнал разбивается на блоки длиной отсчетов. Каждый блок фильтруется независимо. Длина выходного сигнала равна: где — длина импульсной характеристики фильтра. Блоки выходного сигнала объединяются, при этом крайние отсчетов перекрываются и суммируются.

Автокорреляционная функция

АКФ дискретного сигнала представлена на рис. 12. Из графика видно, что АКФ дискретного сигнала симметрична и может быть вычислена как свёртка этого сигнала с сигналом, представляющим собой зеркальное отображение этого же сигнала.

Рис.12. АКФ сигнала

Первые 10 значений АКФ:

0.2460 0.5490 0.9103 1.3395 1.3834 1.9604 2.1693 1.9858 2.2905 2.2303

Модель simulink для вычисления АКФ представлена на рис.13.

Рис.13. Модель для вычисления АКФ

Результаты вычислений в matlab и simulink совпадают.

Дата добавления: 2020-08-06 ; просмотров: 253 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


9. ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ

9.1. Теоретические сведения

Суть цифровой обработки сигналов состоит в том, что физический сигнал (напряжение, ток и т. д.) преобразуется в последовательность чисел (о представлении непрерывного сигнала его дискретными отсчетами см. лабораторную работу 8), которая затем подвергается математическим преобразованиям в вычислительном устройстве. Одной из наиболее распространенных операций, которые производятся на цифровой элементной базе, является линейная дискретная фильтрация, в процессе которой входная последовательность отсчетов < x ( k )>преобразуется в выходную последовательность отсчетов < y ( k )>.

Алгоритм дискретной фильтрации. В случае аналоговых линейных цепей с постоянными параметрами для анализа прохождения любого сигнала достаточно знать результат прохождения элементарного импульса в виде дельта-функции. Для линейных дискретных фильтров с постоянными параметрами также можно ввести в рассмотрение единичную импульсную функцию:

Выходная реакция на единичный импульс x 0 ( k ) называется импульсной характеристикой дискретного фильтра и обозначается h ( k ). Как и в случае линейных цепей с постоянными параметрами, знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретный фильтр любого сигнала. Выходной сигнал линейного, стационарного и физически реализуемого фильтра может быть рассчитан через дискретную линейную свертку:

y ( k ) = ∑ x ( m ) h ( k − m ) .

При реализации вычислений в дискретном фильтре могут быть использованы данные двух типов:

• только что поступивший и некоторое количество предыдущих отсчетов

входного сигнала: x ( k ), x ( k – 1), …, x ( k – m );

• некоторое количество вычисленных ранее отсчетов выходного сигнала: y ( k – 1), y ( k – 2), …, y ( k – n ).

Таким образом, в общем случае очередной выходной отсчет y ( k ) вычис-

ляется по формуле

y ( k ) = a 0 x ( k ) + a 1 x ( k – 1) + … + a m x ( k – m ) +

+ b 1 y ( k – 1) + b 2 y ( k – 2) + … + b n y ( k – n ),

где b i и a j — постоянные коэффициенты. Равенство (9.3) называют алгоритмом дискретной фильтрации, ему соответствует структурная схема прямой формы реализации дискретного фильтра, показанная на рис. 9.1.

Максимальное из чисел m и n определяет порядок фильтра.

Различают нерекурсивные фильтры, не использующие для расчетов предыдущие выходные отсчеты (все b i = 0), и рекурсивные фильтры, которые эти отсчеты используют.

Если перегруппировать слагаемые в (9.3) таким образом, чтобы входные отсчеты были с одной стороны от знака равенства, а выходные — с другой, получим традиционную форму записи разностного уравнения :

y ( k ) – b 1 y ( k – 1) – b 2 y ( k – 2) – … – b n y ( k – n ) =

= a 0 x ( k ) + a 1 x ( k – 1) + … + a m x ( k – m ). (9.4)

Метод z-преобразования. Удобным способом анализа дискретных последовательностей является z -преобразование. Смысл его заключается в том, что последовательности отсчетов < x ( k )>ставится в соответствие функция комплексной переменной z , определяемая следующим образом:

X ( z ) = ∑ x ( k ) z − k .

Функция X ( z ) определена там, где ряд (9.5) сходится. Ниже приведен пример расчета z -преобразования для некоторых часто встречающихся на практике дискретных сигналов.

1. Единичная импульсная функция (9.1):

X 0 ( z ) = ∑ x 0 ( k ) z − k = 1 z − 0 = 1.

Функция X 0 ( z ) сходится на всей комплексной плоскости. 2. Единичный скачок

X ( z ) = ∑ x ( k ) z − k = ∑ 1 z − k =

(для расчета использована формула суммы бесконечной геометрической прогрессии). Этот ряд сходится при | z –1 | z | > 1.

3. Дискретная показательная функция

Данный ряд сходится при | az –1 | z | > | a |.

Дискретное z -преобразование очень простым образом связано с преобразованиями Лапласа и Фурье. Рассмотрим последовательность < x ( k )>, определенную при k ≥ 0, и сопоставим ей временной сигнал в виде набора дельтафункций:

s ( t ) = ∑ x ( k ) δ ( t − kT ) ,

где T T — интервал дискретизации. Вычислим преобразование Лапласа для сигнала (9.8):

S ( p ) = ∫ s ( t ) e − pt dt = ∫

∑ x ( k ) δ ( t − kT ) e − pt dt = ∑ x ( k ) ∫ δ ( t − kT ) e − pt dt .

Воспользовавшись фильтрующим свойством δ -функции, получим

S ( p ) = ∑ x ( k ) e − pkT .

Эта формула переходит в формулу (9.5), определяющую z -преобразова- ние, если выполнить подстановку z = e pT .

Таким образом, взаимное соответствие между z -преобразованием X ( z ) и преобразованием Лапласа S ( p ) описывается следующим образом:

Похожими формулами описывается и связь z -преобразования X ( z ) с преобразованием Фурье S ( ω ) :

S ( ω ) = X ( e j ω T ) .

Столь тесная связь z -преобразования с преобразованиями Фурье и Лапласа обусловливает и подобие свойств этих преобразований.

1. Линейность. Z -преобразование, согласно определению (9.5), является линейной комбинацией отсчетов последовательности, поэтому оно подчиняется принципу суперпозиции:

если < x 1 ( k )>↔ X 1 ( z ) и < x 2 ( k )>↔ X 2 ( z ),

то < ax 1 ( k ) + bx 2 ( k )>↔ aX 1 ( z ) + bX 2 ( z ).

z -преобразование последовательности < x ( k )>равно X ( z ), то z -преобразование последовательности, задержанной на k 0 тактов ( y ( k ) = x ( k – k 0 )), будет иметь

вид: Y ( z ) = X ( z ) z − k 0 . Именно поэтому элементы задержки на рис. 9.1 обо-

значены символами z − 1 .

3. Z-преобразование свертки последовательностей . Свертке дискретных последовательностей, которая рассчитывается согласно (9.2), соответствует произведение их z -преобразований.

Обратное z-преобразование. Соответствие между дискретной последовательностью чисел и ее z -преобразованием является взаимно-однозначным. Формула перехода от z -преобразования к последовательности чисел называется обратным z -преобразованием и формально записывается следующим образом:

x ( k ) = j 1 2 π ∫ X ( z ) z k − 1 dz ,

где интеграл берется по произвольному замкнутому контуру в области сходимости функции X ( z ), охватывающему все ее полюсы.

Практическое вычисление обратного z -преобразования обычно производится над дробно-рациональными функциями переменной z и может быть выполнено разложением функции X ( z ) на простые дроби. Приведем несложный пример:

Open Library — открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Связь Алгоритм линейной цифровой фильтрации

Алгоритмы аналитической градуировки, цифровой фильтрации методами экспоненциального сглаживания и скользящего среднего. Робастные, высокочастотные, полосовые и режекторные фильтры. Дискретное дифференцирование, интегрирование и усреднение измеряемых величин.

Фильтр — это система или сеть, избирательно меняющая форму сигнала (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (к примеру, устранение или снижение помех), извлечение из сигналов информации или разделœение нескольких сигналов, объединœенных ранее для, к примеру, эффективного использования доступного канала связи.

Цифровой фильтр — любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделœения и/или подавления определённых частот этого сигнала.

В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны (непрерывны), соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.

Упрощенная блок-схема цифрового фильтра реального времени с аналоговым входом и выходом приведена на рис. 8а. Узкополосный аналоговый сигнал периодически выбирается и конвертируется в набор цифровых выборок, x(n), n = 0,1, Цифровой процессор производит фильтрацию, отображая входную последовательность х(n) в выходную у(n) согласно вычислительному алгоритму фильтра. ЦАП конвертирует отфильтрованный цифровым образом выход в аналоговые значения, которые затем проходят аналоговую фильтрацию для сглаживания и устранения нежелательных высокочастотных компонентов.

Каждый электрик должен знать:  Как рассчитать и подобрать гасящий конденсатор

Рис. 8а. Упрощенная блок схема цифрового фильтра

Работа цифровых фильтров обеспечивается, в основном программными средствами, в связи с этим они оказываются значительно более гибкими в применении по сравнению с аналоговыми. С помощью цифровых фильтров можно реализовать такие передаточные функции, которые очень трудно получить обычными методами. Тем не менее, цифровые фильтры пока не могут заменить аналоговые во всœех ситуациях, в связи с этим сохраняется потребность в наиболее популярных аналоговых фильтрах.

Для того чтобы разобраться в сущности цифровой фильтрации, прежде всœего крайне важно определить математические операции, которые реализуются над сигналами в цифровой фильтрации (ЦФ). Для этого полезно вспомнить определœение аналогового фильтра.

Линœейный аналоговый фильтр представляет собой четырёхполюсник, в котором реализуется линœейное преобразование входного сигнала в выходной сигнал . Математически это преобразование описывается обыкновенным линœейным дифференциальным уравнением N-го порядка

где и — коэффициенты, являющиеся либо константами, либо функциями времени t; — порядок фильтра.

Линœейный дискретный фильтр представляет собой дискретный вариант аналогового линœейного фильтра, в котором квантованной (дискретизированной) является независимая переменная — время ( — шаг дискретизации). При этом целочисленная переменная может рассматриваться как «дискретное время», а сигналы и как функции «дискретного времени» (так называемые решётчатые функции).

Математически функция линœейного дискретного фильтра описывается линœейным разностным уравнением вида

где и — отсчёты входного и выходного сигналов соответственно; и — коэффициенты алгоритма фильтрации, представляющие собой либо константы, либо функции «дискретного времени» n.

Алгоритм фильтрации (2.2) может быть реализован средствами аналоговой либо цифровой техники. В первом случае отсчёты входных и выходных сигналов по уровню не квантуются и могут принимать любые значения в диапазоне их изменения (ᴛ.ᴇ. имеют мощность континуума). Во втором случае отсчёты сигналов и подвергаются квантованию по уровню, в связи с чем они могут принимать только «разрешённые» значения, определяемые разрядностью цифровых устройств. Вместе с тем, квантованные отсчёты сигналов кодируются, в связи с этим арифметические операции, выполняемые в выражении (2.2), реализуются не над самими сигналами, а над их двоичными кодами. Из-за квантования по уровню сигналов и , а также коэффициентов и равенство в алгоритме (2.2) не может быть точным и выполняется лишь приближённо.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, линœейный ЦФ представляет собой цифровое устройство, приближённо реализующее алгоритм фильтрации (2.2).

Главный недостаток аналоговых и дискретных фильтров состоит по сути в том, что при изменении условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений, старения элементов и т.д.) их параметры изменяются. Это приводит к неконтролируемой погрешности выходного сигнала, ᴛ.ᴇ. к низкой точности обработки.

Погрешность выходного сигнала в ЦФ не зависит от условий работы (температуры, давления, влажности, питающих напряжений и т.п.), а определяется лишь шагом квантования сигналов и алгоритмом работы самого фильтра, ᴛ.ᴇ. внутренними причинами. Эта погрешность является контролируемой, её можно уменьшить, увеличивая число разрядов для представления отсчётов цифровых сигналов. Именно этим обстоятельством обусловлены основные преимущества цифровых фильтров перед аналоговыми и дискретными (высокая точность обработки сигналов и стабильность характеристик ЦФ).

ЦФ по типу алгоритма обработки сигналов подразделяются на стационарные и нестационарные, рекурсивные и нерекурсивные, линœейные и нелинœейные.

Главной характеристикой ЦФ является алгоритм фильтрации, по которому осуществляется реализация ЦФ. Алгоритмом фильтрации описывается работа ЦФ любого класса без ограничений, в то время как другие характеристики имеют ограничения на класс ЦФ, к примеру, некоторые из них пригодны для описания только стационарных линœейных ЦФ.

Рис. 11. Классификация ЦФ

На рис. 11 приведена классификация цифровых фильтров (ЦФ). В основу классификации положен функциональный принцип, ᴛ.ᴇ. ЦФ подразделяются исходя из реализуемых ими алгоритмов, а не с учетом каких-либо схемотехнических особенностей.

ЦФ частотной селœекции. Это наиболее известный, хорошо изученный и апробированный на практике тип ЦФ. С алгоритмической точки зрения ЦФ частотной селœекции решают следующие задачи:

· выделœение (подавление) одной априорно заданной полосы частот; в зависимости от того, какие частоты подавляются, а какие — нет, различают фильтр нижних частот (ФНЧ), фильтр верхних частот (ФВЧ), полосовой фильтр (ПФ) и режекторный фильтр (РФ);

· разделœение по отдельным частотным каналам равноценных и равномерно распределœенных по всœему частотному диапазону спектральных компонент сигнала с линœейчатым спектром; различают ЦФ с прореживанием по времени и с прореживанием по частоте; а поскольку основным методом уменьшения аппаратурных затрат является каскадирование более низкоизбирательных, чем исходный, наборов ПФ, то многоступенчатая пирамидальная структура, получаемая в результате, была названа ЦФ типа «преселœектор — селœектор»;

· разделœение по отдельным частотным каналам спектральных составляющих сигнала, чей спектр состоит из субполос различной ширины, неравномерно распределœенных в пределах рабочего диапазона фильтра.

Различают фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтр) или фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр).

Оптимальные (квазиоптимальные) ЦФ. Этот тип фильтров применяется тогда, когда требуется оценить те или иные физические величины, характеризующие состояние системы, подверженной случайным возмущениям. Современная тенденция — использование достижений теории оптимальной фильтрации и реализация устройств, минимизирующих средний квадрат ошибки оценивания. Οʜᴎ подразделяются на линœейные и нелинœейные в зависимости от того, какими уравнениями описывается состояние системы.

В случае если уравнения состояния линœейны, то применяется оптимальный ЦФ Калмана, если же уравнения состояния системы нелинœейны, то применяются различные многоканальные ЦФ, качество работы которых улучшается с ростом числа каналов.

Существуют различные частные случаи, когда алгоритмы, реализуемые оптимальными (квазиоптимальными) ЦФ бывают упрощены без существенной потери точности: это, во-первых, случай линœейной стационарной системы, приводящий к известному ЦФ Винœера; во-вторых случай наблюдений лишь в один фиксированный момент времени, приводящий к ЦФ, оптимальному по критерию максимума отношения сигнал/шум (ОСШ); в-третьих случай уравнений состояния системы близких к линœейным приводящий к нелинœейным фильтрам первогои второго порядка и др.

Важной проблемой является также обеспечение нечувствительности всœех вышеперечисленных алгоритмов к отклонению статистических характеристик системы от заранее заданных; синтез таких ЦФ, называемых робастными.

Адаптивные ЦФ. Сущность адаптивной цифровой фильтрации состоит в следующем: для обработки входного сигнала (обычно адаптивные ЦФ строят одноканальными) используется обычный КИХ-фильтр; однако ИХ этого фильтра не остается раз и навсœегда заданной, как это было при рассмотрении ЦФ частотной селœекции; она также не изменяется по априорно заданному закону, как это было при рассмотрении ЦФ Калмана; ИХ корректируется с поступлением каждого нового отсчета таким образом, чтобы свести к минимуму среднеквадратическую ошибку фильтрации на данном шаге. Под адаптивным алгоритмом принято понимать рекуррентная процедура пересчета вектора отсчетов ИХ на предыдущем шаге в вектор “новых” отсчетов ИХ для следующего шага.

Эвристические ЦФ. Возможны ситуации, когда применение корректных с математической точки зрения процедур обработки является нецелœесообразным, поскольку приводит к неоправданно большим аппаратурным затратам. Эвристический подход заключается (от греч. и лат. Evrica — «отыскиваю», «открываю») в использовании знания, изучающая творческое, неосознанное мышление человека. Эвристика связана с психологией, физиологией высшей нервной деятельности, кибернетикой и другими науками. Эвристический подход “порожден” стремлением разработчиков уменьшить аппаратурные затраты и получившие широкое распространение несмотря на отсутствие строгого математического обоснования. Это так называемые ЦФ с авторскими схемными решениями, одним из наиболее известных примеров является т.н. медианный фильтр.

Читайте также

Алгоритмы аналитической градуировки, цифровой фильтрации методами экспоненциального сглаживания и скользящего среднего. Робастные, высокочастотные, полосовые и режекторные фильтры. Дискретное дифференцирование, интегрирование и усреднение измеряемых. [читать подробенее]

Цифровая фильтрация. Алгоритм линейной цифровой фильтрации.

Теория линейных фильтрация (ЛФ) не теория линейных стационарных систем.

Линейным цифровым фильтром называется дискретная система (или физическое устройство, или программное управление), которая преобразует последовательность входных числовых отсчетов <xk> в последовательность выходных числовых отсчетов<уk>.

Основным свойством линейной цифровой фильтрации является преобразование суммы любого числа входных сигналов «*» на производные коэффициенты в сумму его откликов на отдельные слагаемые.

Введем понятие импульсной характеристики цифрового фильтра hk (hk есть дискретный сигнал являющийся реакцией цифрового фильтра на единичный импульс).

Линейный фильтр может быть стационарным, если при смещении единичного импульса на любое число интервалов дискретизации его импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме.

Выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. При каждом отсчете цифровой фильтр проводит процесс взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала.

Роль последовательных весовых коэффициентов выполняют отсчеты импульсной характеристики, что предполагает обладания фильтром некой памяти по отношению к прошлым входным воздействиям.

Для физической реализуемости цифровой фильтрации импульсная характеристика <hk>=0 в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного сигнала, следовательно k≥0.

Частотный коэффициент передачи.

Пусть на вход цифрового фильтра пришел сигнал:

После преобразования получим:

примем m-k=n, тогда

k(jω) – частотный коэффициент передачи цифрового фильтра он зависит от шага дискретизации, от частоты и от совокупности коэффициентов импульсных характеристик.

1. k(jω) есть периодическая функция с ω=ωД=2π/Δ.

2. k(jω) есть преобразование Фурье импульсной характеристики цифрового фильтра.

Передаточная функция цифрового фильтра определяется через z преобразование входного и выходного сигнала при нулевых начальных условиях.

Дата добавления: 2015-08-05 ; просмотров: 137 | Нарушение авторских прав

Алгоритм линейной цифровой фильтрации

Линейная стационарная система преобразует входной сигнал x(t) в выходной y(t), равный свертке функции x(t) и импульсной характеристики h(t).


Импульсная характеристика системы h(t) – отклик системы на входной сигнал d(t).

Свертка двух функций x(t), h(t):

Линейный цифровой фильтр (ЦФ) – дискретная система (программа или физическое устройство), преобразующая последовательность k> числовых отсчетов входного сигнала в последовательность k> отчетов выходного сигнала.

Импульсная характеристика ЦФ – дискретный сигнал k>, который является реакцией ЦФ на «единичный импульс» (1,0,0,…):

ЦФ линейный, если сумма входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму откликов на отдельные слагаемые:

Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме:

Из свойств линейности и стационарности следует общий алгоритм линейной цифровой фильтрации: пусть k>=(х, х1, х2, х3,…) – некоторый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной характеристикой, тогда, на основании свойств линейности и стационарности, m-ный отсчет выходного сигнала k>:

Выражение (41) имеет следующий смысл: в момент каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем «весовые коэффициенты» – это отсчеты импульсной характеристики. То есть ЦФ обладает некоторой «памятью» по отношению к прошлым входным воздействиям.

Для физически реализуемых ЦФ импульсная характеристика не может быть отлична от нуля в точках, предшествующих времени подачи входного импульса.

Частотный коэффициент передачи ЦФ

Пусть на вход линейного ЦФ подана гармоническая последовательность вида: неограниченно протяженная во времени (k=0,±1,±2. ). Определим выходной сигнал ЦФ:

То есть выходные отсчеты получаются из входных умножением на комплексную величину K(jw):

где K(jw) – частотный коэффициент передачи ЦФ.

Анализируя (43) получаем: K(jw) является периодической функцией частоты с периодом, равным частоте дискретизации wд=2p/D; K(jw) зависит от импульсной характеристики системы.

Системная функция ЦФ

Сопоставим дискретным сигналам k>, k>, k> их Z – преобразования X(z), Y(z), H(z) соответственно. Выходной сигнал k> является сверткой входного сигнала k> и импульсной характеристики k>, тогда на основании 3-го свойства Z – преобразования выходному сигналу отвечает функция Y(z)= H(z)*X(z).

Системной функцией H(z) стационарного линейного ЦФ называется отношение Z – преобразования выходного сигнала к Z – преобразованию сигнала на входе:

То есть, системная функция ЦФ – это Z – преобразование импульсной характеристики.

Для того чтобы получить из системной функции частотный коэффициент передачи ЦФ, нужно в (44) сделать подстановку: .

ЦФ имеет импульсную характеристику k>=<1,-1,0,0,…>, найти системную функцию и коэффициент передачи ЦФ.

РАБОТА № 4 ЦИФРОВАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Главная > Документ

Читайте также:

  1. Aналоговая и цифровая передача данных.
  2. KK.5 Применение теорем линейной вязкоупругости
  3. Аксиомы алгоритма «Razoom».
  4. Алгоритм
  5. Алгоритм N 1
  6. Алгоритм N 2
  7. Алгоритм введения и изменения заряда точки привязки
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

РАБОТА № 4


ЦИФРОВАЯ ЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Цель работы: Изучение импульсных, переходных и амплитудно-частотных характеристик линейных фильтров. Оценка качества линейной фильтрации изображения, зашумленного нормальным и импульсным шумом, в зависимости от значения весовых коэффициентов и их числа в маске.

1. ВВЕДЕНИЕ

Двумерный дискретный сигнал – это функция, определенная на совокупности пар целых чисел:

Для обработки изображений в настоящее время широко применяют двумерные фильтры, соответствующие пространственной структуре изображения. Для линейных двумерных фильтров, физически реализуемых и инвариантных во времени, выходной сигнал записывается в виде двумерной дискретной свертки (1.1)

где — импульсная характеристика фильтра.

Линейный цифровой фильтр – это устройство, в котором текущий выходной отсчет сигнала представлен в виде линейной комбинации текущего входного отсчета фильтра и предыдущих входных и выходных отсчетов.

Функцию передачи двумерного фильтра можно записать в виде:

где значения и определяют параметры фильтрации.

Введем понятие опорных областей фильтра (набор значений сигналов, используемых при вычислениях) по входному и выходному сигналам соответственно:

При двумерным фильтром реализуются нерекурсивные алгоритмы обработки данных, причем выражение для дискретной свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра имеет вид:

Tаким образом, отсчеты выходного сигнала двумерного нерекурсивного фильтра представляют собой взвешенную сумму отсчетов входного сигнала в опорной области. При реализации такого фильтра для формирования каждого из входных отсчетов необходимо выполнить (M1+1)(M2+1) умножений и (M1M2+M1+M2) сложений над задержанными отсчетами входного сигнала. Считывание видеосигнала в растровых системах производится «элемент за элементом» и «строка за строкой», и в этом случае при обработке видеоданных в реальном времени для реализации операторов и используются линии задержки. Причем оператор реализуется в виде линии задержки на период элемента разложения (Tэ), а оператор в виде линии задержки на период строки разложения (Tc). Структурная схема линейного двумерного фильтра, работающего по телевизионному сигналу в реальном времени в соответствии с разностным уравнением (1.3), приведена на рисунке 1.

Рис. 1. – Структурная схема линейного двумерного фильтра

размером 3*3 элемента

Набор линий задержек с соответствующими связями, обеспечивает в каждый момент времени доступ к текущему отсчету изображения. Различные виды линейных фильтров отличаются своими весовыми функциями и нормирующими коэффициентами. Обычно используются апертуры размером 3*3 элемента; увеличение размеров апертуры существенно увеличивает объем вычислений, в то время как качество обработки улучшается незначительно. Впрочем, с ростом производительности процессоров ЭВМ вычислительные затраты все меньше лимитируют размер применяемых апертур, и в последнее время в употребление входят апертуры размером 5*5 и даже 7*7 элементов.

Приведем примеры наиболее часто используемых при обработке информации в телевизионных измерительных системах нерекурсивных операторов, размером 3*3 элемента разложения.

На рисунке 1.2 коэффициенты двумерной фильтрации приведены в виде масок, описывающих импульсные характеристики соответствующих фильтров [2].

Рис. 2. – Импульсные характеристики линейных двумерных филь тров

Фильтр «скользящее среднее» (двумерный фильтр

Фильтр, суммирующий отсчеты входного сигнала с равным весом, реализует алгоритм вычисления «скользящего среднего», (рисунок 1.2,а). При использовании такого фильтра для обработки видеоинформации можно увеличить отношение сигнал/шум в выходном сигнале [2]. Выходной сигнал типа «скользящее среднее» вычисляется по выражению (1.1) при коэффициентах = 1 и имеет вид:

Низкочастотные двумерные фильтры оставляют низкочастотные компоненты нетронутыми и ослабляют высокочастотные компоненты. Такие фильтры используются для понижения визуального шума, содержащегося в изображении, а также для удаления высокочастотных компонентов из изображения с тем, чтобы можно было тщательно исследовать содержание низкочастотных компонент. Это означает, что все значения элементов изображения постоянные или медленно меняющиеся. По мере того, как низкочастотная маска проходит через область изображения, новое значение преобразуемых элементов изображения вычисляются по выражению (1.1). Если все значения элементов изображения в области примыкания постоянны (одинаковы), их новые значения будут такими же, как и исходные. Таким образом, при обработке сохраняются низкочастотные компоненты, любые быстрые изменения интенсивности усредняются с оставшимися элементами изображения в области примыкания и тем самым понижается уровень высокочастотных компонент. Визуальным результатом низкочастотной фильтрации является слабая нерезкость изображения [3].

Выделение «края» (перепада яркости в изображении)

Выделение «края» используется как предварительный шаг в процессе извлечения признаков изображения. Хотя выделение «края» в основном используется в машинном зрении, оно, конечно, имеет и другие применения. Например, информация о «крае», полученная в процессе его выделения, может быть, использована в исходном изображении для усиления его четкости. Выделение «края» можно использовать как метод для изготовления оригинальных изображений, которые могут затем ретушироваться в программах рисования для создания высокохудожественного изображения [3].

Выделение «края» методом направленного градиента

Для выделения перепадов определенной ориентации используются в зависимости от требуемого направления весовые функции, называемые курсовыми градиентными масками (рисунок 1.2д,е).

Название курса говорит о направлении перепада яркости, вызывающего максимальный отклик фильтра. Для высвечивания «краев» всего существует 8 различных масок и называются как стороны света: «восток», «север», «юг», «юго-восток» и т.д.

Интенсивность выходного элемента изображения будет зависеть от градиента изменения яркости (чем больше наклон, тем ярче элемент). Например, градиент восток будет усиливать «край», который содержит переход от черного к белому слева направо.

Фильтр, представленный на рисунке 1.2ж, выделяет горизонтальные, а при повороте на 45 градусов, диагональные линии деталей изображения рисунок 1.2з, затем вертикальные рисунок 1.2и. Разностное уравнение для фильтра, выделяющего вертикальные детали изображения, имеет вид:

Для подчеркивания линий определенного направления, могут использоваться маски подобные показанной на рисунке 1.2к. В данном случае весовая функция подчеркивает большими весами четырех связные элементы исходного изображения, т.е. горизонтальные и вертикальные линии.

Выделение «края» по Лапласу (двумерные фильтры

Фильтры высоких частот повышают уровень малоразмерных деталей в изображении. Такая фильтрация используется в тех случаях, когда необходимо исследовать высокочастотную структуру объекта [3].

Метод усиления «края» по Лапласу отличается от других методов тем, что «края» высвечиваются независимо от направления. Функция f(x,y) Лапласа записывается в виде:

где – вторая частная производная по x, а – вторая частная производная по y.

Для дискретных функций вторые производные могут быть аппроксимированы следующим образом:

Таким образом, Лапласиан можно записать в следующем виде:

Это выражение можно рассматривать как импульсную характеристику фильтра, записанную в виде . Для удобства знаки перед коэффициентами меняют на противоположные. Лапласиан для «четырех соседей», представлена на рисунке 1.2,б, для «восьми соседей» на рисунке 1.2,в.

Операторы обработки двумерных данных (рисунок 1.2б,в,г) реализуют функцию выделения сигналов малоразмерных объектов от фоновой составляющей в видеосигнале.

2. Описание программы

Лабораторная работа №4 (раздел 1) «Цифровая линейная фильтрация изображений» реализована в виде программы в среде мультимедиа.

Программа состоит из трех разделов:

Каждый раздел программы состоит из страниц. На каждой странице, вверху, высвечивается название лабораторной работы, название раздела программы, номер страницы и их количество в данном разделе. В нижней части экрана располагаются кнопки для перехода на следующую страницу, предыдущую и для выхода из программы. Во втором разделе имеется дополнительная кнопка для выхода из экзамена и подведения итогов. В лабораторной работе есть кнопки «Задание» , «Справка» и «Числа/полутона» (переводит изображение в окнах в числа или полутона).

В разделе «Введение» представлены основные понятия линейной фильтрации, характеристики линейных фильтров с результатами фильтрации изображений различными фильтрами.

В экзамене вам предоставляется для контроля знаний пять задач. В первых двух вам необходимо «кликнуть» по правильному ответу (т.е. навести на него курсор с помощью мыши и быстро нажать и отпустить ее левую клавишу), в результате напротив выбранного ответа появится «галочка». В третьей и четвертой передвиньте номера (нажав левую клавишу мышки) в боксы в соответствии с заданием. Пятая задача представляет собой структурную схему двумерного линейного фильтра. Вам следует «кликнуть» мышкой по нужному блоку (выбранные блоки обведутся красной рамкой).

После того как выставили ответы, нажмите на кнопку « Результаты экзамена» и вы выйдите на результаты тестирования.

На каждой странице раздела «Лабораторная работа» есть структурная схема для исследования характеристик фильтра и окна, в которые выводятся изображения из разных частей схемы.

Работа на каждой странице третьего раздела программы выполняется в следующем прядке:

Выберите окно в которое необходимо вывести изображение, для этого «кликните» по названию (название активного окна будет обведено красной рамкой).

«Кликните» по блоку схемы параметры которого вам нужно задать (на активных блоках курсор изменяется).

«Кликните» по кружку (желтый с синей рамкой) на выходе блока, в результате, изображение из данной части схемы выведется в активное окно.

3. Порядок выполнения работы

В менеджере программ, в группе «Приложения», дважды «щелкните» по пиктограмме «LAB1».

3.1. Задание для первой страницы

3.1.1. Задайте фильтр Ф1 = . Снимите импульсную характеристику.

3.1.2. Задайте фильтр Ф1 = . Снимите импульсную характеристику.

3.1.3. Сделайте вывод о виде импульсной характеристики на основе п.1 и п.2.

3.2. Задание для второй страницы

Задайте фильтр Ф1 = и Ф2 = . Снимите импульсные характеристики для Ф1, для Ф2 и для Ф1-Ф2. Сделайте вывод о виде импульсной характеристики для последовательного соединения цепи фильтров.

Задайте коэффициенты фильтров Ф1 и Ф2 в виде . Снимите импульсную характеристику Ф1-Ф2.

3.3. Задание для третьей страницы

Выберите три фильтра (по указанию преподавателя) и измерьте их амплитудно-частотную характеристику в направлении оси частот Х.

Для из выбранных фильтров измерьте двумерную АЧХ.

Результаты измерений занесите в таблицу. Постройте два графика зависимости коэффициента передачи фильтров от частоты.

3.4. Задание для четвертой страницы

Задайте коэффициенты фильтров, таким образом, чтобы выделить из представленной цифры линии присутствующие в ней.

Установите пороги так, чтобы цифра на выходе сумматора наилучшим образом повторяла исходную.

Результат обработки цифры занесите в отчет (в числовом виде).

3.5. Задание для пятой страницы

Снимите зависимость СКО, изображения зашумленного импульсным шумом, от количества коэффициентов в фильтре (не равных нулю) для четырех значений процента заполнения G=7,10,20,30 при А=100 (А – амплитуда импульсов, может принимать значения от0 до255).

В работе используйте фильтры, приведенные в таблице 1.

Алгоритмы цифровой фильтрации сигналов методом усреднения и исследование эффективности их работы

Страницы работы

Содержание работы

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

ОТЧЕТ

по лабораторной работе №3

Исследование рекуррентных алгоритмов цифровой фильтрации

сигналов методом усреднения.

Выполнил студент гр. 4081/1 Волыхин А.Н.

Проверил: Ярмийчук В.Д.

Цель работы – знакомство с различными алгоритмами цифровой фильтрации сигналов методом усреднения и исследование эффективности их работы в условиях, когда на полезный сигнал наложена помеха типа «белого шума» с нулевым математическим ожиданием и

2. Методика исследования

Исследуются фильтры на основе следующих алгоритмов:

1). Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью.

Назначение фильтра — выделения постоянной составляющей полезного сигнала на фоне помех.

Выражение для него в рекуррентной форме:

При он обеспечивает .

2). Рекуррентный алгоритм усреднения с постоянным коэффициентом коррекции.


Назначение фильтра — выделения низкочастотных составляющих входного полезного сигнала на фоне помех.

Если принять , то можно записать это уравнение в форме:

Откуда при переходе к непрерывному времени получим передаточную функцию фильтра:

То есть фильтр, построенный по такому алгоритму, при малых значениях эквивалентен

аналоговому низкочастотному фильтру первого порядка.

3). Рекуррентный алгоритм усреднения с конечной памятью.

Назначение фильтра — выделения низкочастотных составляющих входного сигнала

с использованием усреднения только ограниченного числа его последних измерений.

Эффективность цифровой фильтрации, то есть меру снижения уровня помех на выходе фильтра по сравнению с уровнем помех на входе, будем оценивать следующим образом:

Где: — зашумленный сигнал на входе фильтра

— полезный сигнал на входе фильтра

— сигнал на выходе фильтра

— полезный сигнал на выходе фильтра

3. Схема эксперимента (см. приложение 1)

4. Результаты эксперимента

4.1. Рекуррентный алгоритм усреднения с бесконечной памятью

Исследования проводились при постоянном периоде дискретизации, равном 100 мс.

Рассмотрим, как меняется эффективность работы фильтра от величины постоянного входного сигнала (X).

Рис. 4.1.1. Цифровая фильтрация сигнала при X = 1 B

Синтез БИХ-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации

Сравнение БИХ-фильтров с КИХ-фильтрами показывает, что для получения примерно одинаковых частотно-избирательных свойств (имеется в виду крутизна спада АЧХ) КИХ-фильтр должен иметь в 10…20 раз более высокий порядок. Это вполне объяснимо, так как известно, что быстро изменяющиеся сигналы имеют широкий спектр, а благодаря двойственности (дуализму) времени и частоты отсюда следует, что круто изменяющейся функции частоты (АЧХ) должна соответствовать функция времени (импульсная характеристика) большой длительности. Но для КИХ-фильтра порядок – это количество отсчетов импульсной характеристики минус 1, в то время как БИХ-фильтр даже первого порядка имеет импульсную характеристику бесконечной длительности. Таким образом, в тех случаях, когда вид фазочастотной характеристики не играет определяющей роли для практического применения разрабатываемого фильтра, следует использовать БИХ-фильтр, так как при этом получается существенный выигрыш в быстродействии (или в аппаратурных затратах на реализацию) фильтра. То обстоятельство, что не всякий БИХ-фильтр оказывается устойчивым, не представляет такой заметной опасности, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, устойчивость может быть проверена (и обеспечена) на этапе проектирования цифрового фильтра; во-вторых, характеристики цифровых фильтров не подвержены дрейфу с течением времени и при изменении внешних условий, следовательно, устойчивый фильтр останется устойчивым в течение всего времени работы (конечно, нужно учитывать возможность выхода аппаратуры из строя в результате катастрофического отказа; при этом может возникнуть неустойчивость). Следует также отметить, что в цифровых БИХ-фильтрах могут возникать незатухающие паразитные колебания (так называемые предельные циклы) вследствие своеобразного нарушения устойчивости при округлении дробных чисел; подробнее см. [7].

Наиболее широко применяются методы синтеза цифровых БИХ-фильтров, основанные на так называемой аналого-цифровой трансформации, т.е. на преобразовании аналогового фильтра с требуемыми характеристиками в цифровой (дискретный) фильтр.

Это объясняется, во-первых, трудностью решения задачи прямой аппроксимации желаемых характеристик дробно-рациональными передаточными функциями и, во-вторых, наличием развитой теории синтеза аналоговых фильтров и простотой преобразования аналоговых фильтров-прототипов в дискретные фильтры.

В качестве фильтров-прототипов наиболее часто применяются аналоговые фильтры Баттерворта, Чебышева, Золотарева-Кауэра (эллиптические) и Бесселя. Фильтры Баттерворта имеют при заданном порядке максимально гладкую АЧХ. Фильтры Чебышева имеют АЧХ, пульсирующую в полосе пропускания (фильтры I рода) или в полосе заграждения (фильтры II рода). АЧХ эллиптического фильтра пульсирует как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения и поэтому имеет максимальную крутизну спада.

Все перечисленные фильтры характеризуются заметной нелинейностью фазочастотной характеристики. Фильтр Бесселя имеет ФЧХ, близкую к линейной в полосе пропускания.

Аналоговые фильтры принято описывать передаточными функциями, которые связаны с импульсными характеристиками преобразованием Лапласа [8]. Преобразование Лапласа связывает аналоговый сигнал x(t) с его образом (изображением) в виде функции X(p) комплексного переменного p. Мнимая ось комплексной p-плоскости представляет собой ось частот в описании аналогового сигнала. Аналогичную роль в описании дискретных сигналов играет единичная окружность z-плоскости.

Аналого-цифровая трансформация состоит в установлении связи комплексных переменных p и z. Выразив p в виде функции p = f(z) и подставив в выражение передаточной функции Ha(p) аналогового фильтра-прототипа, мы получили бы функцию комплексного переменного z, имеющую смысл передаточной функции H(z) дискретного фильтра. Трудность состоит в том, что, во-первых, мнимая ось p-плоскости имеет бесконечную, а единичная окружность z-плоскости – конечную длину 2π. Во-вторых, реализуемы только ЛИС-цепи конечного порядка, поэтому подстановка p = f(z) в дробно-рациональную функцию Ha(p) должна давать также дробно-рациональную функцию.

Поскольку на единичной окружности z = e jω , а при дискретизации должно обеспечиваться равенство ω = ΩTd, связь комплексных переменных p и z, обусловленная дискретизацией аналоговых сигналов, описывается выражениями

которые не являются дробно-рациональными. Различные способы преодоления этой трудности лежат в основе двух рассмотренных ниже методов аналого-цифровой трансформации.

Метод инвариантности импульсной характеристики.

Передаточная функция произвольного аналогового фильтра (с сосредоточенными параметрами) имеет вид дробно-рациональной функции комплексного переменного p. Такая функция может быть представлена в виде суммы дробей

где pk, 1 ≤ kN – полюсы передаточной функции, а коэффициенты Ak определяются из условия равенства числителя передаточной функции Ha(p) и числителя правой части после приведения ее к общему знаменателю. (Здесь мы рассматриваем лишь практически важный случай, когда степень числителя Ha(p) меньше степени знаменателя, а все корни знаменателя некратные.)

Ввиду линейности преобразования Лапласа импульсная характеристика такого фильтра имеет вид суммы экспоненциальных функций непрерывного времени σ(t) – функция Хевисайда.

Очевидно, для того чтобы импульсная характеристика затухала со временем (т. е. фильтр был устойчивым), необходимо и достаточно, чтобы все полюсы были расположены в p-плоскости слева от мнимой оси.

Метод аналого-цифровой трансформации, известный под названием метода инвариантности импульсной характеристики, основан на прямом применении теоремы отсчетов (теоремы Котельникова). Рассматривая импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа как функцию времени (сигнал), можно заменить ее последовательностью отсчетов, выбранных с достаточно малым шагом дискретизации Td.

Результатом дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра будет последовательность

где rk = exp(pkTd) – полюсы передаточной функции цифрового фильтра, u[n] который

Из полученного выражения видно, что при дискретизации импульсной характеристики каузального аналогового фильтра с дробно-рациональной передаточной функцией получается сумма каузальных экспоненциальных последовательностей, следовательно, реализуемому аналоговому фильтру соответствует реализуемый цифровой фильтр. Кроме того, полюсы цифрового фильтра связаны с полюсами фильтра-прототипа соотношением rk = exp(pkTd), 1 ≤ kN, поэтому устойчивому аналоговому фильтру (Re<pk> -1 поэтому после его подстановки в дробно-рациональную передаточную функцию Ha(p) аналогового прототипа получается снова дробно-рациональная, а следовательно, реализуемая передаточная функция H(z) цифрового фильтра.

Выясним, как располагаются в z-плоскости полюсы передаточной функции H(z), если полюсы передаточной функции прототипа Ha(p) находятся в левой части комплексной плоскости (иными словами, является ли устойчивым цифровой фильтр, если устойчив фильтр-прототип).

Выразим на основе (13.7) комплексное переменное z через p:

Чтобы выяснить, в какое множество z-плоскости отображается мнимая ось p-плоскости (ось частоты), подставим в это выражение jΩ вместо p, тогда получим выражение для образа мнимой оси p-плоскости при отображении, описываемом выражением (13.8):

Числитель и знаменатель этой дроби суть комплексно-сопряженные числа, поэтому модуль дроби равен единице при всех Ω. Это означает, что мнимая ось p-плоскости отображается преобразованием (13.8) на единичную окружность z-плоскости. Но переменная Ω – это частота, соответствующая описанию аналогового фильтра; роль частотной оси для цифровых цепей играет единичная окружность на z -плоскости (множество точек e jω при значениях ω, принимающих значения из интервала от —π до π). Заменяя z на e jω , получим

следовательно, связь «аналоговой» и «цифровой» частот при билинейном преобразовании описывается выражениями

Поскольку πω ≤ —π, а -∞ 12 Гц, что соответствует длинам волн от 10 8 м до 0,1 мм.

Кроме радиодиапазона, в настоящее время широкое распространение нашел и оптический диапазон волн.

В силу дискретного характера электромагнитного излучения в оптическом диапазоне волн такие каналы принято называть квантовыми.

Частотные диапазоны проводных каналов связи

Частотные диапазоны радиоволн

По способу распространения радиоволн различают каналы: с открытым и с закрытым распространением.

В каналах с закрытым распространением электромагнитная энергия распространяется по направляющим линиям (кабельные, проводные, волноводные СВЧ тракты и др.): для них характерны малый уровень помех и постоянство параметров сигнала, что позволяет передавать информацию с высокой скоростью и достоверностью.

Особенности использования радиоволн различных диапазонов в каналах с открытым распространением состоят в следующем. В диапазонах инфранизких (ИНЧ), очень низких (ОНЧ) и низких (НЧ) частот на небольших расстояниях поле в месте приема создается за счет дифракционного огибания волнами выпуклой поверхности Земли. На больших расстояниях радиоволны распространяются в своеобразном сферическом волноводе, внутренняя стенка которого образуется поверхностью Земли, а внешняя – ионосферой. Особенностью этих диапазонов является также способность волн проникать в толщу Земли и воды на глубину в десятки метров.

Принципиальным недостатком таких каналов являются: ограниченная полоса частот (единицы герц) и очень большие линейные размеры антенных устройств, соизмеримых с длиной волны, составляющей километры.

Сверхдлинные волны применяются для навигации и передачи информации на подводные объекты.

В распространении волн диапазона высоких частот (ВЧ) принимает участие ионосфера: если волны длиннее 1 км отражаются от нижнего ее слоя практически зеркально, то декаметровые волны достаточно глубоко проникают в ионосферу, что приводит к эффекту многолучевости, когда в точку приема приходят одновременно несколько сигналов с различным временем запаздывания.

Декаметровые волны широко применяются для глобальной связи и радиовещания. С их помощью можно передавать информацию сравнительно большого объема в пределах всего земного шара при ограниченной мощности передатчика и небольших по размеру антеннах. Полоса частот передаваемых сигналов в декаметровом канале не превышает десяти килогерц.

До появления спутниковых систем связи этот диапазон был единственным пригодным для организации связи между двумя любыми пунктами на Земле без промежуточной ретрансляции.

Гектометровые волны днем распространяются как земные, а ночью – как ионосферные. Дальность распространения земной волны над сушей не превышает 500 км, а над морем – 1000 км. Диапазон средних частот широко используется в радиовещании, связи и радионавигации.

Волны диапазона частот от 30 МГц и выше слабо дифрагируют и поэтому распространяются в пределах прямой видимости. Некоторого увеличения дальности можно достичь, применив поднятые антенны, а для организации связи на расстояния, превышающие прямую видимость, ретрансляцию сигналов. Системы с ретрансляцией сигналов называются радиорелейными линиями.

Одним из основных достоинств высокочастотных диапазонов является большой частотный ресурс, что позволяет создавать радиосистемы передачи информации с высокой скоростью передачи и радиосети с большим числом одновременно работающих радиостанций.

Диапазон миллиметровых волн. Его особенностью является сильное поглощение радиоволн в дожде и тумане, что ограничивает их применение в наземных системах большой дальности. Однако в космических и спутниковых системах они весьма перспективны.

Диапазон рабочих частот 40 МГц . 40 ГГц (спутниковая связь). В настоящее время наибольшее использование находит диапазон 1 . 12 ГГц.

Обычно ИСЗ находятся на высоте от 500 до 40 000 км от поверхности Земли и поэтому обеспечивают радиосвязь между земными станциями, удаленными на расстояния до 10 . 17 тыс. км.

Длина волн 0,5 . 10,6 мкм, диапазон оптической связи (видимый 0,5 . 0,76 мкм и инфракрасный 0,76 . 10,6 мкм участки спектра электромагнитных колебаний).

Широкая полоса частот оптических каналов связи позволяет создавать каналы и сети связи с огромной пропускной способностью.

Представляет интерес классификация каналов телекоммуникаций по характеру сигналов на входе и выходе. Обычно различают:

— непрерывные каналы, на входе и выходе которых сигналы аналоговые (непрерывные по уровням);

— дискретные каналы, на выход которых поступают дискретные по уровням сигналы, и с выхода также снимаются дискретные сигналы;

— дискретно-непрерывные или полунепрерывные, т. е. дискретные каналы со стороны входа и непрерывные со стороны выхода или наоборот.

Совокупность технических средств, включенных между модулятором и демодулятором (рис. 14.1), т.е. выходные каскады передатчика, передающая антенна, среда распространения, приемная антенна и линейная часть приемника, образуют непрерывный канал, так как входные и выходные радиосигналы непрерывны по своей природе.

Рассматривая часть системы между выходом кодера и входом декодера, получим дискретный канал.

Наконец, часть системы между выходом кодера и входом демодулятора образует дискретно-непрерывный канал.

Таким образом, дискретный канал содержит дискретно-непрерывный, который в свою очередь включает в себя непрерывный канал.

Рис. 14.1. Структурная схема системы электрической связи

Модели непрерывных каналов

Непрерывными называются каналы, входные и выходные сигналы которых принимают произвольные значения из некоторого интервала.

Непрерывные каналы можно классифицировать по виду помех и характеру преобразования входного сигнала Sp(t,λ) в полезный принятый Sp(t,λ). Если ограничиться предположением, что в канале действует аддитивный нормальный белый шум n(t), то непрерывные каналы подразделяются по виду преобразования Sp(t,λ) в Sp(t,λ), т.е. по виду искажений сигнала. В большинстве радиотехнических систем излученные сигналы являются узкополосными:

где A(t) и φ(t) – функции, отображающие законы амплитудной и угловой модуляции; ω – несущая частота сигнала.

Искажения излученного сигнала Sp(t,λ) принято рассматривать отдельно для однолучевых и многолучевых каналов. В однолучевых каналах электромагнитные колебания распространяются по одному пути. Однолучевыми каналами являются линии связи на расстояниях прямой видимости: линии ближней радиосвязи на коротких и ультракоротких волнах, линии связи Земля-воздух, воздух-Земля, воздух-воздух и т. п.

Принятый полезный сигнал по отношению к излученному характеризуется дополнительными параметрами: случайным ослаблением α(t), средним временем запаздывания τз, доплеровским смещением частоты и случайной начальной фазой θ и может быть записан в виде

Таким образом, совокупность параметров принятого сигнала λ = <A(t), φ(t), ω, α(t), τз, , θ>. Зная значения дополнительных параметров α(t), τз, , θ на приемной стороне, можно выделить несколько моделей непрерывных каналов [2, 9].

Гауссовским каналом называется канал, в котором действует аддитивный нормальный белый шум, а искажения полезного сигнала несущественны и могут быть скомпенсированы. Компенсация искажений возможна, если на приемной стороне дополнительные параметры полностью известны или могут быть измерены достаточно точно. Поэтому можно считать, что Sp(t,λ) = Sp(t,λ). Выходной сигнал гауссовского канала

Представление выходного сигнала в виде суммы полезного сигнала и нормального белого шума n(t) позволяет указать правило принятия решения о переданном сигнале.

Гауссовский канал с неизвестной фазой сигнала определяется параметрами τз, , α(t) = α, которые постоянны и известны. Фаза θ считается равномерно распределенной величиной в интервале 0 ÷ 2π. Такая модель хорошо описывает процессы в линиях радиосвязи на расстояниях прямой видимости.

Канал с амплитудными замираниями является дальнейшим усложнением канала с неизвестной фазой в предположении, что α(t) – случайная функция времени. Выходной полезный сигнал канала с замираниями

Случайная функция α(t) перемножается с сигналом и поэтому называется мультипликативной помехой, которую можно рассматривать как функцию, модулирующую по амплитуде излученный сигнал. Модуляция приводит к расширению спектра принятого сигнала относительно спектра излученного сигнала. Поэтому такой канал называют каналом с рассеянием энергии по частоте.

По времени корреляции мультипликативные помехи разделяются на медленные и быстрые [10]. О медленных замираниях говорят в случае, если время корреляции α(t) значительно превышает интервал наблюдения сигнала. Причинами медленных замираний являются изменения свойств среды распространения радиоволн в зависимости от метеорологических условий, времени суток и года, от солнечной активности и т. п. Быстрая мультипликативная помеха имеет время корреляции меньшее, чем интервал наблюдения сигнала. Основной причиной быстрых замираний является наличие многих путей, по которым распространяются электромагнитные волны. Многолучевое распространение возникает при передаче информации на дальние расстояния при отражении радиоволн от протяженных поверхностей суши и моря, при отражении от ионосферы и тропосферы. Из-за разных путей распространения время запаздывания отдельных принимаемых сигналов различно. Поэтому многолучевые каналы называют также каналами с рассеянием энергии во времени.

Результирующий сигнал на выходе многолучевого канала

При большом числе путей можно считать, что Sp(t,λ) является реализацией нормального СП. Обычно среднее значение процесса равно нулю, тогда модели многолучевых каналов различаются по виду КФ [11].

Таким образом, непрерывный канал считается заданным, если указаны мощность сигналов, полоса частот, дано описание моделей помех и искажений сигналов.

Модели дискретных каналов

Дискретными называются каналы, входные и выходные сигналы которых принимают конечное число мгновенных значений. Понятие дискретного канала естественно возникает при передаче дискретных сообщений и определяется как совокупность технических средств, включенных между кодером и декодером канала (рис. 14.1).

Переход от дискретных сигналов к непрерывным осуществляется на передающей стороне при манипуляции параметрами непрерывной несущей. На приемной стороне дискретные сигналы появляются на выходе первой решающей схемы (демодулятора).

Свойства дискретного канала определяются непрерывным каналом и структурой модема. Дискретный канал задается множеством входных <si>, и выходных <yj>, символов (сигналов), длительностью символов τ и условными вероятностями P(yj/si) преобразования входных символов в выходные. Обычно длительности всех входных и выходных символов одинаковы. Объемы алфавитов входных Ls и выходных Ly сигналов в общем случае могут быть разными, причем Ly Ls. Однако в большинстве случаев Ly = Ls. Для дискретных каналов широко используется представление принятой последовательности символов Y = (y1, y2. yn) в виде суммы переданной последовательности S = (s1, s2. sn) и комбинации помехи (вектора ошибки) E = (e1, e2. en)

где – понимается как поразрядное сложение S и E по модулю Ls. В случае двоичных последовательностей (Ls = 2) нулевой символ вектора ошибки ei = 0 означает, что i-й символ принят правильно (yi = si), а ei = 1 указывает на ошибку в приёме (yisi).

Классификацию дискретных каналов удобно вести по вектору ошибки Е. Разные модели каналов различаются распределением вероятностей вектора Е. Наиболее распространены следующие модели [2].

Канал без памяти – это канал, в котором символы ei являются независимыми СВ. Прием каждого сигнального символа в таком канале не зависит от результата приема предыдущих символов. При наличии такой зависимости имеет место канал с памятью. Дискретный канал называется стационарным, если вероятность ошибочного приема символов не изменяется с течением времени.

В силу простоты технической реализации наибольшее применение находят каналы, сигналы в которых представляются двоичным кодом.
Такие каналы называются двоичными (бинарными) и задаются с помощью графа (рис. 14.2). Вероятности P(0/0) и P(1/1) характеризуют правильный прием символов 0 и 1 соответственно, a P(1/0) и P(0/1) – вероятности ошибок при приеме символов 0 и 1.

Симметричным двоичным называется канал, в котором вероятности ошибок при приеме 0 и 1 одинаковы, P(1/0) = P(0/1), а следовательно, равны и вероятности правильного приема символов P(0/0) = P(1/1) = 1 — p. Для симметричного стационарного канала без памяти вероятность искажения i-го символа P(ei = 1) = p, а вероятность правильного приема P(ei = 0) = 1 – p.

Рис. 14.2. Граф двоичного канала

Двоичный канал без памяти со стиранием отличается от рассмотренного тем, что выходной алфавит помимо 0 и 1 содержит третий символ «?» – символ стирания. Он появляется в тех случаях, когда демодулятор не может надежно опознать переданный символ. Такой канал часто используется в системах передачи информации с обратной связью, когда при приеме символа «?» производится повторение передачи. Это позволяет значительно снизить вероятность ошибочного приема за счет уменьшения скорости передачи.

Марковский канал является простейшей моделью дискретного канала с памятью. Он характеризуется вектором ошибки, символы которого образуют простую цепь Маркова [12]. Вероятность искажения символа в этом канале зависит от результата приема только предыдущего символа.

Марковская модель задается матрицей переходных вероятностей:

где p1 – условная вероятность принять (i + 1)-й символ ошибочно, если i-й принят правильно; 1- p1 – условная вероятность принять (i + 1)-й символ правильно, если i-й принят правильно; p2 – условная вероятность принять (i + 1)-й символ ошибочно, если i-й принят ошибочно; 1- p2 – условная вероятность принять (i + 1)-й символ правильно, если i-й принят ошибочно.

Безусловная (средняя) вероятность ошибки в рассматриваемом канале должна удовлетворять уравнению:

Данная модель имеет достоинство – простоту использования, но не всегда адекватно воспроизводит свойства реальных каналов. Большую точность позволяет получить модель Гильберта для дискретного канала с памятью. В такой модели канал может находиться в двух состояниях S1 и S2. В состоянии S1 ошибок не происходит; в состоянии S2 ошибки возникают с вероятностью p2.

Также считаются известными вероятности перехода p(S1 / S2) из состояния S1 в S2 и вероятности перехода p(S2 / S1) из состояния S2 в состояние S1. В этом случае простую марковскую цепь образует не последовательность ошибок, а последовательность переходов:

При этом достаточно легко выразить безусловные вероятности нахождения канала в состояниях S1 и S2:

Безусловная вероятность ошибки в этом случае может быть определена по формуле:

Наиболее часто при использовании модели Гильберта для двоичного канала полагают p2 = 1/2, т.е. состояние S2 рассматривается как полный обрыв связи. Это согласуется с представлением о канале, в котором действуют коммутационные помехи.

Из других моделей симметричных двоичных каналов следует отметить канал с пакетами ошибок, который характеризуется тем, что искажающие символы (единицы) вектора ошибки группируются в пакеты. Такое группирование происходит, если в непрерывном канале, входящем в дискретный, действуют сильные замирания сигналов на время длительности нескольких символов или присутствуют импульсные помехи большой длительности. Подобные каналы задаются вероятностями искажений серий из q символов подряд.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Каждый электрик должен знать:  Распаечная коробка в электропроводке все за и против
Добавить комментарий