Цепь переменного тока с rL-элементами


Импульс. RC и RL цепи

Всем доброго времени суток. Сегодняшний мой пост начинает серию статей про импульсные устройства. Такие устройства предназначены для формирования и преобразования электрических сигналов, имеющих характер импульсов и перепадов напряжений. К импульсным устройствам относятся все цифровые микросхемы и некоторые аналоговые, например, микросхемы генераторов и компараторов. Ранее я рассматривал один из основных элементов импульсных устройств – транзистор, работающий в ключевом режиме.

Формы импульса (слева направо): прямоугольная, трапецеидальная, пилообразная, экспоненциальная.

В радиоэлектронике используются импульсы самых разнообразных форм, но наиболее распространённые это: прямоугольные, трапецеидальные, пилообразные и экспоненциальные формы импульсов. Форма любого импульса характеризуется следующими основными параметрами:

  • амплитуда (максимальное значение) импульса, Um;
  • начальное значение импульса, U;
  • длительность импульса, tи;
  • длительность переднего фронта (или просто фронта) импульса, tф;
  • длительность заднего фронта (или среза) импульса, tс;
  • длительность вершины импульса, tв;
  • снижение вершины импульса, Δu;
  • крутизна фронта импульса (скорость изменения напряжения при формировании переднего или заднего фронта).

В случае использовании периодичности повторяющихся импульсов имеют большое значение такие параметры, как скважность импульсов (ξ или S), коэффициент заполнения импульсов (η или D), частота повторения импульсов (f) и период повторения импульсов (T). Данные параметры имеют следующие соотношения между собой

Форма реального импульса

Временные параметры импульса (tи, tф, tс, tв) имеют точное значение только в случае идеального импульса, а в реальности лишь в некоторой степени имеют приближённое значение. Поэтому временные параметры отсчитываются от некоторых приближённых величин, которые в достаточной для практики точности имеют значения 0,05 и 0,95. Поясню на примере формы реального импульса, изображённого выше: при определении длительности фронта (tф) импульса, за начало фронта принимают значение 0,05*Um, а за окончание фронта – 0,95*Um. В случае длительности среза, соответственно, начало – 0,95*Um, а окончание – 0,05*Um.

Переходный процесс

Рассмотрение импульсных устройств и схем не возможно без представлении о переходном процессе. Он возникает в цепях при различных коммутациях, то есть при включении или выключении элементов схемы, источников напряжения, при коротких замыканиях отдельных цепей и т.д. Переходный процесс объясняется тем, что энергия электромагнитных полей, связанных с цепью, в разные промежутки времени неодинакова, а резкое изменение энергии невозможно из-за ограниченной мощности источников питания.

Исходя из вышесказанного, можно сделать вывод, что напряжение на ёмкости и ток в индуктивность не могут изменяться скачкообразно, так как данные параметры определяют энергию электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности.

Таким образом, можно сделать вывод, что при рассмотрении импульсных схем наибольшее внимание необходимо обратить на цепи, представляющие собой комбинации резисторов и конденсаторов или резисторов и катушек индуктивностей (RC- и RL-цепей). Такие цепи применяются непосредственно для формирования импульсов, а также являются важнейшими элементами релаксационных генераторов, триггеров и других устройств. Поэтому ниже рассмотрим основные свойства элементарных RC- и RL-цепей, а также изменение формы импульсов при прохождении через эти цепи.

Влияние RC- и RL-цепей на импульсы различной формы

Несмотря на то, что формы электрических импульсов довольно разнообразны, их можно представить в виде суммы элементарных (типовых) напряжений трёх форм: скачкообразного, линейно изменяющегося и экспоненциального. Поэтому рассмотрим воздействие различных форм напряжений на RC- и RL-цепи.

Изображение RC- и RL-цепей.

Элементарные формы напряжения (сверху вниз): ступенчатое, линейно-изменяющееся, экспоненциальное.

Ступенчатое изменение напряжения. При подключении RC-цепи к источнику постоянного напряжения uвх = Е = const, напряжения на конденсаторе и резисторе будет изменяться по экспоненциальному закону:

где е – математическая постоянная, е = 2,72;
t – время, с;
τ – постоянная времени, с. τ = RC.

С определением напряжения всё понятно, но в практике чаще возникает вопрос о времени установления напряжения. Например, необходимо вычислить время за которое на конденсаторе установится напряжение равное uС = 0,95 Е. Простым преобразованием формулы напряжения получим

[math]t=- \tau \ln(1 — \frac>)[/math]
[math]t=- \tau \ln(1 — \frac<0,95E>)=- \tau \ln(0,05) \approx 3 \tau[/math]

Аналогично при подключении RL-цепи к источнику постоянного напряжения uвх = Е = const

где τ – постоянная времени, с. τ = L/R.

Линейно изменяющееся напряжение. При подключении RC-цепи к источнику линейно изменяющегося напряжения uВХ = kt, напряжения на резисторе и конденсаторе будут изменяться согласно следующей формуле

Для RL-цепи подключённой к источнику с линейно изменяющимся напряжением uВХ = kt, напряжения на элементах соответственно будут такими

Временные диаграммы напряжений при линейно изменяющемся напряжении в RC- и RL-цепях.

Экспоненциально изменяющееся напряжение. При подключении RC-цепи к источнику экспоненциально изменяющегося напряжения [math]u=E(1-e^<- \frac<\tau>>)[/math], напряжения на резисторе и конденсаторе будут изменяться согласно следующей формуле

Соответственно напряжение на конденсаторе будет равно разности напряжений источника и напряжения на резисторе

Временные диаграммы для uR представлены ниже при различных значениях q. При больших значениях q, то есть постоянной времени цепи τ, формы напряжений uR близки к формам, соответствующим ступенчатому изменению входного напряжения. При уменьшении τ, кроме сокращения длительности спада напряжения uR, уменьшается и максимальное значение uR.

Временные диаграммы напряжений на резисторе RC-цепи при различных значениях
q = τ/τ1.

Формулы и временные диаграммы для напряжений на выходе RL-цепи оказываются такими же, как и для RC-цепи.

Дифференцирующие цепи

Довольно часто в электронике вообще, а в импульсной в частности требуется преобразовать один вид импульсов в другой (например, прямоугольный преобразовать в треугольный). Для этой цели используют различные схемы, в основе которых простейшие RC- и RL-цепи. Такие цепи называются дифференцирующими и интернирующими цепями. Для начала рассмотрим дифференцирующие цепи, которые показаны на изображении ниже.

Своё название дифференцирующие цепи получили от того, что напряжение на выходе такой цепи пропорционально производной входного напряжения, а нахождение производной в математике называется дифференцирование. В случае RC-цепи напряжение снимается с резистора, а в случае RL-цепи – с индуктивности.

В настоящее время большинство дифференцирующих цепей основаны на RC-цепях, поэтому будем рассматривать их, но все основные выкладки соответствуют также и RL-цепям.

Рассмотрим, как дифференцирующая цепь будет реагировать на прямоугольный импульс. Прямоугольный импульс представляет собой как бы два скачка напряжения. Реакцию RC-цепи на скачкообразное изменение напряжения рассматривалась выше, а в случае прямоугольного импульса выходное напряжение с дифференцирующей цепи будет в виде двух коротких импульсов различной полярности, длительность которых соответствует 3τ = 3RC и 3τ = 3L/R, в случае RL-цепи.

Реакция дифференцирующей цепи на прямоугольный импульс.

Из величины и формы выходного напряжения можно сделать вывод, что дифференциальные цепи вполне могут применяться для уменьшения длительности импульсов, что довольно часто применяется на практике и ранее такие цепи иногда называли укорачивающими.

Интегрирующие цепи

Интегрирующие цепи, так же как и дифференцирующие строят на основе RC- и RL-цепей, отличие заключается в том, откуда снимают выходное напряжение.

Простейшие RC и RL интегрирующие цепи.

Своё название интегрирующие цепи получили от того, что выходное напряжение, снимаемое с их выхода пропорционально интегралу от входного напряжения. Рассмотрим реакцию интегрирующей цепи на прямоугольный импульс напряжения. Напомню, что прямоугольный импульс, по сути, является напряжением, которое изменяется ступенчато два раза. В результате первого скачка напряжения конденсатор начинает заряжаться до тех пор, пока напряжение на входе не изменится, после этого начнётся разряд конденсатора по экспоненциальному закону.

Реакция интегрирующей цепи на прямоугольный импульс.

Не трудно заметить, что длительность импульса на выходе интегрирующей цепи несколько больше, чем длительность импульса на входе. Эту особенность нередко используют для увеличения длительности импульса, и такие цепи ранее называли расширяющими.

Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.

Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

Практические занятия №3

Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

Вопросы для подготовки к занятиям

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.

9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.

Расчет электрических параметров цепи

Задача 1. Электрическая цепь, показанная на рис. 6.8, питается от источника синусоидального тока с частотой 200 Гц и напряжением 120 В. Дано: R = 4 Ом, L = 6,37 мГн, C = 159 мкФ.

Вычислить ток в цепи, напряжения на всех участках, активную, реактивную, и полную мощности. Построить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощностей.

Анализ и решение задачи 1

1. Вычисление сопротивлений участков и всей цепи

Индуктивное реактивное сопротивление

XL = 2πf L = 2×3,14×200×6,37·10 -3 Ом.

Емкостное реактивное сопротивление

XC = 1 / (2πf C) = 1 / (2×3,14×200×159·10 -6 ) Ом.

Реактивное и полное сопротивления всей цепи:

2. Вычисление тока и напряжений на участках цепи

I = U / Z = 120 / 5 А.

Напряжения на участках:

3. Вычисление мощностей

P = R I 2 = U1 I = 2304 Вт.

Полная мощность цепи

4. Расчет цепи методом комплексных чисел

Запишем в комплексном виде сопротивление каждого элемента и всей цепи

R = 4e j0° = 4 Ом; XL = 8e +j90° = j8 Ом; XC = 5e -j90° = -j5 Ом.

На комплексной плоскости в масштабе: в 1 см – 2 Ом, построим треугольник сопротивлений (рис. 6.9. а).

Из треугольника определим величину полного сопротивления Z и угол фазового сдвига φ

В показательной форме полное сопротивление всей цепи запишется в виде

Z = Ze +jφ = 5e +j37° Ом.

Примем начальную фазу приложенного к цепи напряжения за нуль и определим по закону Ома ток в данной цепи

Í = Ú / Z = 120e +j0° / 5e +j37° А.

Следовательно, в данной цепи ток отстает по фазе от напряжения на угол φ. Зная величину тока I, определим мощности для отдельных элементов и всей цепи.

P = 2304 Вт; QL = 4608 ВАр; QC = 2880 ВАр.

Треугольник мощностей в масштабе: в 1 см – 1000 Вт (ВАр); (ВА), построим (рис. 6.9. б) на основе выражения для полной мощности

Для построения векторных диаграмм по току и напряжениям примем начальную фазу тока равной нулю, т.к. ток I в данной схеме является одним и тем же для всех элементов в цепи.

Í = Ie +j0° / 24e +j0° А.

Запишем выражения для напряжений в комплексной форме

Ú1 = R Í = 96e +j0° В; Ú2 = XL Í = 192e +j90° В;

Ú3 = XC Í = 120e -j90° В; Ú = Z Í = 120e +j37° В.

Выберем масштабы для векторной диаграммы: в 1 см – 6 А; в 1 см – 50 В. Векторная диаграмма напряжений строится на основе второго закона Кирхгофа для данной цепи

Векторная диаграмма цепи показана на рис. 6.9. в. При последовательном соединении элементов построение диаграммы начинают с вектора тока Í, по отношению к которому ориентируются вектора напряжений на участках цепи: напряжение на активном сопротивлении Ú1 совпадает с ним по направлению, напряжение на индуктивности Ú2 опережает его на 90°, на емкости отстает на 90°. Полное напряжение Ú строится как их векторная сумма.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Какой характер носит эквивалентное реактивное сопротивление цепи?

По условию задачи XL > XC, поэтому X = XL — XC имеет индуктивный характер. Обратите внимание, что реактивные сопротивления отдельных участков цепи (XL, XC) могут быть больше ее полного сопротивления, так в данном случае XL > Z.

2. Как изменяется режим работы цепи при изменении частоты питающего напряжения?

От частоты зависят реактивные сопротивления: XL прямо пропорционально частоте f, XC обратно пропорционально f. В рассматриваемой схеме XL > XC, поэтому при росте частоты X возрастает, ток уменьшается и возрастает угол φ его отставания от напряжения. При уменьшении частоты X уменьшается и при некотором ее значении X = 0, т.е. схема ведет себя как чисто активное сопротивление (режим резонанса напряжений, при котором UL = UC, Z = R и ток наибольший). При дальнейшем уменьшении частоты XC > XL, Z возрастает, I уменьшается, схема ведет себя как активно-емкостное сопротивление.

Анализ и решение задачи 2

1. Вычисление полного сопротивления катушки

ZК = U / I = 100 / 10 = 10 Ом.

2. Вычисление активного сопротивления катушки RК

Ваттметр измеряет активную мощность, которая в данной схеме потребляется активным сопротивлением RК.

RК = PК / I 2 = 600 / 100 = 6 Ом.

3. Вычисление индуктивности катушки LК

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Как решить задачу другим способом?

Параметры катушки индуктивности можно определить, рассчитав полную мощность SК и реактивную мощность катушки QК.

SК = U I = 100 · 10 = 1000 ВА.

2. Записать законы изменения тока и всех напряжений для данной цепи.

Определим угол фазового сдвига между током i(t) и приложенным напряжением u(t)

В цепи с активно-индуктивной нагрузкой напряжение опережает ток на угол φ = 53°. Амплитуды тока и напряжения определим, зная действующие значения тока и напряжения

Законы изменения тока i(t) и напряжения u(t) запишутся в следующем виде:

i(t) = 14,1 sinωt; u(t) = 141 sin(ωt + 53°).

Для записи напряжений uR(t) и uL(t) определим их величины

UR = R I = 60 В; В;

На активном сопротивлении RК ток i(t) и напряжение uR(t) по фазе совпадают. При протекании тока через индуктивность LК возникает фазовый сдвиг φ = 90° между током i(t) и напряжением uL(t).

Практическое занятие №5.

Анализ и решение задачи 1

1. Схема замещения каждого двигателя может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного элементов, т.к. в двигателе происходит как необратимое преобразование электрической энергии в механическую и тепловую, так и колебательный обмен энергией между магнитным полем двигателя и сетью. Схема замещения к задаче представлена на рис. 6.11.

2. Токи двигателей рассчитываются по паспортным данным:

Сдвиги токов по фазе по отношению к напряжению: φ1 = 53,1°, φ2 = 45,5°.

3. Мощности ветвей приведены в исходных данных, поэтому расчет схемы удобно вести через треугольники мощностей.

Реактивные мощности двигателей:

Q1 = U I1 sin φ1 = 220 · 2,27 · 0,8 = 399 ВАр;

Q2 = U I2 sin φ2 = 220 · 2,6 · 0,713 = 407 ВАр.

Активная и полная мощности всей цепи:

P = P1 + P2 = 300 + 400 = 700 Вт;

Q = Q1 + Q2 = 399 + 407 = 806 ВАр;

Ток в цепи источника

I = S / U = 1068 / 220 = 4,85 А.

Коэффициент мощности схемы

cos φ = P / S = 700 / 1068 = 0,655.

4. Рассчитаем емкость конденсатора, необходимую для повышения коэффициента мощности схемы до cos φ’ = 0,9.

Включение конденсатора параллельно нагрузке не изменяет ее активную мощность, а уменьшает реактивную и полную мощности, потребляемые всей схемой от источника. Поэтому по активной мощности цепи и заданному значению cos φ’ определим полную мощность цепи

S’ = P / cos φ’ = 700 / 0,9 = 777,8 ВА.

Реактивная мощность цепи

Реактивная мощность всей цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ее участков. В данном случае Q’ = Q — QC, поэтому мощность конденсатора

QC = Q — Q’ = 806 — 339 = 467 ВАр.

Многоугольник мощностей показан на рис. 6.12.

Ток в цепи конденсатора и его сопротивление:

IC = QC / U = 467 / 220 = 2,12 А; XC = U / IC = 220 / 2,12 = 103 Ом.

C = 1 / (2πf XC) = 1 / (2π · 50 · 103) = 30,7·10 -6 Ф = 30,7 мкФ.

Результатирующий ток источника

I’ = S’ / U = 777,8 / 220 = 3,535 А.

На рис. 6.13 приведены векторные диаграммы напряжения и токов схемы без конденсатора (а) и после подключения параллельно нагрузке конденсатора (б).

5. Если в исходных данных приведены сопротивления ветвей или их токи и коэффициенты мощности, то расчет удобно вести через треугольники токов (их активные и реактивные составляющие).

Активные составляющие токов ветвей:

Реактивные составляющие токов ветвей:

Полный ток источника

Коэффициент мощности эквивалентной нагрузки

cos φ = Iа / I = 3,18 / 4,854 = 0,655.

Реактивная составляющая тока источника после подключения конденсатора

I’р = Iа tg φ’ = 3,18 · 0,484 = 1,54 А.

Ток конденсатора IC = Iр — I’р = 3,67 — 1,54 = 2,13 А.

Далее определяются XC и С, как было рассмотрено выше.

Дополнительные вопросы к задаче 1

1. Как по результатам расчета определить параметры последовательной схемы замещения двигателей и всей схемы в целом?

Полные сопротивления двигателей определяются по закону Ома:

Активные и реактивные составляющие сопротивлений рассчитываются через треугольники сопротивлений:

Сопротивления можно подсчитать также и через треугольники мощностей. Например, для схемы в целом

R = P / I 2 = 700 / 4,856 2 = 29,68 Ом; X = Q / I 2 = 339 / 4,856 2 = 14,37 Ом.

2. Какова схема замещения цепи при представлении токов ветвей в виде суммы активных и реактивных составляющих.

Разложение тока на составляющие соответствует представлению реального элемента цепи в виде соединенных параллельно идеальных активного и реактивного сопротивлений (рис. 6.14).

Параметры схемы подсчитываются по закону Ома или через мощности:

R’ = U / Iа = U 2 / P; X’ = U / Iр = U 2 / Q; Z = U / I = U 2 / S.

3. Как изменятся токи в схеме, если параллельно двигателю подключить осветительную (чисто активную) нагрузку?

За счет увеличения активной составляющей (освещение) ток источника возрастет, токи в ветвях схемы не изменятся.

4. Как рассчитать схему графоаналитическим методом?

Для определения тока источника рассчитываются, как это было приведено выше, токи в ветвях I1 и I2 и их сдвиги по фазе φ1 и φ2 по отношению к напряжению. Далее строится в масштабе векторная диаграмма токов и по диаграмме определяется величина тока I и его сдвиг по фазе по отношению к напряжению φ (рис. 1.13).

5. Как рассчитать токи в схеме комплексным методом?

Для расчета связываем векторную диаграмму с комплексной плоскостью; для упрощения выкладок один из векторов, например напряжение, направим по действительной оси, т.е. U = 220 В.

Токи в ветвях в комплексной форме:

Í1 = 2,27e -j53,1° = 2,27 (cos 53,1° — j sin 53,1°) = (1,36 — j 1,81) А;
Í2 = 2,6e -j45,5° = 2,6 (cos 45,5° — j sin 45,5°) = (1,82 — j 1,84) А.

По первому закону Кирхгофа ток источника

Í = Í1 + Í2 = 1,36 — j 1,81 + 1,82 — j 1,84 = 3,18 — j 3,66 = 4,85e -j49° А.

Мощность цепи в комплексной форме:

S = Ú Î = 220 · 4,85e j49° =1067e j49° = (700 + j 806) ВА;
S = 1067 ВА; P = 700 Вт; Q = 806 ВАр.

Батарея конденсаторов рассчитывается, как это было рассмотрено выше.

Анализ и решение задачи 2

1. По условию задачи составим схему замещения цепи (рис. 6.15), в которой кабельная линия электропередачи представлена в виде последовательного соединения резистивного и емкостного элементов.

2. Определим неизвестные параметры и запишем в комплексном виде сопротивления всех элементов цепи.

С3 = 200 мкФ; X3 = 1 / (2πf C) = 1 / (2π · 50 · 200 · 10 -6 ) = 16 Ом; Z3 = 16e -j90° Ом.

Каждый электрик должен знать:  Установка конвектора этапы монтажа + фото

3. Расчет комплексного эквивалентного сопротивления Zэкв схемы замещения.

В схеме замещения к линии электропередачи с сопротивлением ZЛ параллельно подключена группа потребителей с сопротивлениями Z1, Z2, Z3, поэтому для расчета Zэквнеобходимо сначала определить их общее сопротивление ZП, используя метод проводимостей.

Определим активные и реактивные проводимости параллельно включенных ветвей

q1 = R1 / Z1 2 = 4 / 25 = 0,16 см; b1 = X1 / Z1 2 = 3 / 25 = 0,12 см;
q2 = 1 / R2 = 1 / 8 = 0,125 см; b3 = 1 / -X3 = -1 / 16 = -0,0625 см.

Определим активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи

Определим активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка цепи

Нарисуем эквивалентную схему замещения (рис. 6.16), где все сопротивления включены последовательно

Определим эквивалентные активное, реактивное и полное сопротивления всей цепи

4. Определим токи и напряжения на всех участках цепи.

Ток в линии электропередачи

Падение напряжения в линии электропередачи

Напряжение, подаваемое на потребители

Токи в параллельных ветвях

5. Построим векторные диаграммы для токов и напряжений.

Запишем второй закон Кирхгофа для схемы замещения (рис. 6.15)

Векторную диаграмму для напряжений строим на комплексной плоскости (рис. 6.17), направив вектор напряжения ÚC по действительной оси, т.е. ÚC = 660e +j0° В. Построение произведем в масштабе: в 1 см – 60 В.

Векторную диаграмму для токов строим на основании первого закона Кирхгофа записанного для узла а схемы замещения (рис. 6.15)

ÍЛ = Í1 + Í2 + Í3; 127,4e -j1° = 88e -j27° + 55e +j10° + 27,5e +j100° .

Дополнительные вопросы к задаче 2

1. Как проверить правильность произведенных расчетов.

Приближенно расчеты проверяются по векторной диаграмме. Построив в масштабе вектора напряжений ÚC и ÚЛ, измеряют величину суммарного вектора ÚC и сравнивают с исходной UC = 660 В. Вектора токов Í1, Í2, Í3 строят на комплексной плоскости с соблюдением масштаба по величине и углов фазового сдвига φ1, φ2, φ3относительно действительной оси. Измеряют величину и фазу суммарного вектора и сравнивают с расчетным значением ÍЛ.

Точная проверка расчетов, как и в цепях постоянного тока, производится составлением баланса мощностей.

Определим активные и реактивные мощности для всех элементов цепи.

PЛ = RЛ IЛ 2 = 1,8 · 127,4 2 = 29215 Вт;
QЛ = XЛ IЛ 2 = -0,6 · 127,4 2 = -9738 ВАр;
P1 = R1 I1 2 = 4 · 88 2 = 30976 Вт; Q1 = X1 I1 2 = 3 · 88 2 = 23232 ВАр;
P2 = R2 I2 2 = 8 · 55 2 = 24200 Вт; Q3 = X3 I3 2 = -16 · 27,5 2 = -12100 ВАр.

Определим расходуемые мощности для всей цепи

Определим величины активной, реактивной и полной мощности, поставляемые из сети.

SC = UC IЛ = 660 · 127,4 = 84084 ВА;
PC = SC cos φC = 84084 · 0,999 = 84071 Вт;
QC = SC sin φC = 84084 · 0,0174 = 1467 ВАр.

Величины мощностей, поставляемых для данной цепи, практически совпадают с расходуемыми во всех элементах цепи мощностями, следовательно расчеты произведены верно.

2. Как изменится схема замещения цепи, если напряжение UC будет подводиться по воздушной линии электропередачи.

Схема замещения воздушной линии электропередачи представляется в виде последовательного соединения резистивного RЛ и индуктивного XЛ элементов.

Практическое занятие №6.

Самостоятельная работа студента

В процессе выполнения самостоятельной работы студент должен решить нижеприведенные задачи, используя лекционный материал, примеры расчета и анализа задач, рассмотренных на практических занятиях №4 и №5.

Отчет о проделанной работе должен быть представлен преподавателю по форме, указанной в методических указаниях. В отчете, кроме решенных задач, привести ответы на вопросы к практическим занятиям №4 и №5.

Задача 1. Для схемы (рис. 6.18) определить показания вольтметра, если задано: U = 50 В; XL = 3 Ом; R = 4 Ом.

Задача 2. Для схемы (рис. 6.19) определить UL, если задано: U = 10 В; UR = 6 В; UC = 2 В; а XL > XC.

Задача 3. Для схемы (рис. 6.20) определить XC, если U = 150 В; а показания приборов PW = 500 В; PA = 5 A.

Задача 4. В схеме (рис. 6.21) определить показания амперметра, если U = 240 Ом; XC = 60 Ом; R = 80 Ом.

Задача 5. Для схемы (рис. 6.22) определить по векторной диаграмме как изменятся показания амперметра при замыкании ключа, если R = XL = XC = 2 Ом.

Задача 6. Для схемы (рис. 6.23) определить как изменятся показания приборов, если частота питающего напряжения увеличится. Ответ дать в доказательной форме.

Ответ: I2 не изменится, P, I1, I3 – уменьшаться.

Задача 7. Для схемы (рис. 6.24) определить величину приложенного напряжения U, если XL = 8 Ом, а приборы показывают PW = 96 Вт; PA = 4 А.

Задача 8. Для схемы (рис. 6.25) определить показания приборов, если U = 100 Вт; XL1 = XL2 = XС = R = 1 Ом.

Ответ: PW = 0 Вт; PA = 0 А.

Практические занятия №3

Расчет цепи переменного тока с последовательным соединением элементов

Вопросы для подготовки к занятиям

1. Какими параметрами характеризуются синусоидальный ток или напряжение?

2. Каково соотношение между амплитудным и действующим значениями величин, изменяющихся во времени по синусоидальному закону?

3. С какими физическими процессами связаны понятия активного сопротивления, активной мощности? Построить векторную диаграмму напряжения и тока для участка цепи.

4. С какими физическими процессами связаны понятия реактивного сопротивления, реактивной мощности? Как величина индуктивного и емкостного реактивных сопротивлений зависит от частоты питающего напряжения?

5. Построить векторные диаграммы для участков цепи с идеальной индуктивностью и идеальной емкостью.

6. Как определяют активное, реактивное и полное сопротивления цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов?

7. Привести формулы для расчета активной, реактивной и полной мощностей цепи.

8. Построить треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей для участка цепи с последовательным соединением R и L, с последовательны соединением R и C.

9. Построить векторную диаграмму для цепи, содержащей несколько последовательно включенных элементов.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Анализ электрических цепей синусоидального тока с RLC-элементами

Электрическая цепь синусоидального тока с реальной катушкой индуктивности

Если в катушке индуктивности учесть активное сопротивление R обмотки или присоединить реостат, то ее схема замещения будет соответствовать (рис. 1).

По второму закону Кирхгофа будем иметь:

Пусть . Тогда можем записать:

где .
Как видим, напряжение на индуктивности сдвинуто на угол относительно напряжения на активном сопротивлении. Определим их сумму:

— модуль Z полного комплексного сопротивления ,

— угол сдвига между напряжением U и током i в RL-цепи,

— амплитуда напряжения в RL-цепи.
Значительно проще получим искомые величины символическим методом:

— комплексное сопротивление, которое может иметь алгебраическую и показательную формы:

где угол определим по формуле , а модуль Z по Символический комплекс напряжения

Вектор имеет две составляющие: активную и реактивную Активная по направлению совпадает с током , реактивная — опережает его на угол . Вместе эти напряжения образуют треугольник (рис. 2, а, б) напряжений

Треугольники подобные, поскольку все стороны помножить или поделить на одно и то же число. Поделив последнее выражение на получим формулу и соответствующий ей треугольник (рис. 2, а). Комплексный вращающийся вектор, равняется:

Мгновенное значение напряжения, составит:

где совпадает с , поскольку . На рисунке 2, в приведен график U(t) с начальной фазой = 0. Начальная фаза рассчитывается как наименьший отрезок оси от точки, где функция переходит из минуса в плюс, до начала координат. Графики (Рис. 2, г) активной Ua(t) и реактивной Up(t) составляющих U(t) соответствуют уравнениям

Мгновенное значение мощности в RL-цепи

имеет две составляющих (рис. 2, в): постоянную которая равняется активной мощности Р, и синусоидальную удвоенной частоты и амплитуды . На участках, где p(t) отрицательная, энергия возвращается источнику. Чтобы лучше выделить активную и реактивную составляющие пульсирующей мощности, разложим :

Обозначим где S — амплитуда пульсации мощности. Тогда получим:

Графики пульсаций активной и реактивной и реактивной составляющих мгновенной мощности p(t) показаны на рисунке 2, г. Активная и реактивная мощности, соответственно,

Полная мощность S = UI, в комплексной

или скалярной форме

Если воспользоваться понятием комплексно-сопряженного к величине или , то комплекс полной мощности определяется непосредственно через символические комплексы и :

В некоторых случаях, например при вычислении эквивалентных параметров обмотки намагничивания трансформатора по экспериментальным данным, вместо схемы (рис. 1) используют эквивалентную ей параллельную (рис. 3) с такими параметрами Re и Le, что токи и напряжение в обоих схемах одинаковы.

Символические комплексы действующих значений токов:

где Ge = Re -1 активная проводимость ветви с сопротивлением Re; — индуктивная проводимость ветви с индуктивностью.
Ток в неразветвленной части цепи

— комплексная проводимость двух параллельных ветвей;

На рисунке 4, б приведена векторная диаграмма токов, из которой видно, что ток совпадает по фазе с напряжением U; ток — отстает по фазе на угол , а ток I отстает на угол .

На рисунке 4, а построен треугольник проводимостей. Его можно получить, если поделить каждую сторону треугольника токов на напряжение .
Установим связь между параметрами R, L последовательного соединения элементов (рис. 1) и параметрами R e L e параллельного соединения (рис. 3):

Или, наоборот, при условии

Отношения или называется добротностью катушки индуктивности.

Последовательное соединение RL при гармоническом воздействии

В реальной катушке происходит 2 процесса: она нагревается и возникает ЭДС самоиндукции. Поэтому на схеме замещения реальную катушку изображает последовательное соединение R и L

-активная составляющая напряжения или в некоторых учебниках — резистивная составляющая напряжения.

— индуктивная составляющая напряжения

Пусть по цепи течет ток.

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током.

Напряжение на идеальной катушке опережает ток на угол 90 0 .

Общее напряжение равно сумме напряжений участков (справедливо для мгновенных значений или векторов)

Сложим напряжения участков векторно.

Из векторной диаграммы получаем и записываем уравнение напряжения на входе

Вывод: при последовательном соединении R и L напряжение опережает ток на угол

Закон Ома. Треугольники напряжений и сопротивлений

Разделим все стороны диаграммы напряжений на . Получим треугольник напряжений для действующих значений, из которого выведем закон Ома.

Обозначим — полное сопротивление цепи RL.

Закон Ома для цепи RL

Разделим все стороны треугольника напряжений на ток и получим треугольник сопротивлений

Энергетический процесс в цепи RL

Умножим все стороны треугольника напряжений на ток и получим треугольник мощностей.

В этом треугольнике: Р — активная мощность отражает процесс преобразования электрической энергии в тепловую; — реактивная мощность отражает процесс обмена энергией между катушкой и источником; S — полная мощность- это вся мощность выделяемая генератором. В∙А.

— это коэффициент мощности, чем он больше тем лучше используется мощность генератора.

Задание

Варианты ответов

1.Укажите какой треугольник сопротивлений соответствует цепи последовательного соединения R L

2.Укажите какая из формул для расчета активной мощности является неверной.

а) U а ·I; б) U·I·cosφ;

в) U·I·sinφ; г) I 2 ·R

Задание

Векторная диаграмма

Варианты ответов

3.Укажите какой вектор на векторной диаграмме соответствует перечисленным в ответах напряжениям.

а) напряжение на резисторе;

б) общее напряжение цепи;

г) напряжение на катушке индуктивности.

1. Электромагнитная волна (в религиозной терминологии релятивизма — «свет») имеет строго постоянную скорость 300 тыс.км/с, абсурдно не отсчитываемую ни от чего. Реально ЭМ-волны имеют разную скорость в веществе (например,

200 тыс км/с в стекле и

3 млн. км/с в поверхностных слоях металлов, разную скорость в эфире (см. статью «Температура эфира и красные смещения»), разную скорость для разных частот (см. статью «О скорости ЭМ-волн»)

2. В релятивизме «свет» есть мифическое явление само по себе, а не физическая волна, являющаяся волнением определенной физической среды. Релятивистский «свет» — это волнение ничего в ничем. У него нет среды-носителя колебаний.

3. В релятивизме возможны манипуляции со временем (замедление), поэтому там нарушаются основополагающие для любой науки принцип причинности и принцип строгой логичности. В релятивизме при скорости света время останавливается (поэтому в нем абсурдно говорить о частоте фотона). В релятивизме возможны такие насилия над разумом, как утверждение о взаимном превышении возраста близнецов, движущихся с субсветовой скоростью, и прочие издевательства над логикой, присущие любой религии.

4. В гравитационном релятивизме (ОТО) вопреки наблюдаемым фактам утверждается об угловом отклонении ЭМ-волн в пустом пространстве под действием гравитации. Однако астрономам известно, что свет от затменных двойных звезд не подвержен такому отклонению, а те «подтверждающие теорию Эйнштейна факты», которые якобы наблюдались А. Эддингтоном в 1919 году в отношении Солнца, являются фальсификацией. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира
01.10.2020 — 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога — это что, военный объект?
— Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Цепь переменного тока с rL-элементами

15.3. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПРОСТЕЙШЕЙ RL -ЦЕПИ

Процессы в RL -цепи с последовательным соединением элементов (рис. 15.4, а ) рассчитываются аналогично.

Дифференциальное уравнение для тока имеет вид

L di/dt + Ri = u 0 ( t ).

Оно не требует преобразования, так как сам ток i является переменной состояния. Запишем общее решение уравнения в виде суммы вынужденной и свободной составляющих

имеет корень l = – R / L , поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид

где t = L / R — постоянная времени индуктивной цепи.

Вид частного решения i ‘ зависит от характера напряжения источника.

1. Включение к источнику постоянного напряжения ( u 0 ( t ) = U 0 = const). В этом случае при t ® Ґ в цепи устанавливается постоянный ток, падение напряжения на индуктивности становится равным нулю, и все напряжение источника приложено к резистору. Поэтому этот ток будет равным i ‘ = U 0 / R . Теперь для определения значений постоянной A в общем решении

используем, как и выше, закон коммутации — условие непрерывности тока в цепи в момент коммутации. Так как до замыкания i (– 0) = 0, то

и A = – U 0 / R . Это приводит к окончательным выражениям для тока в цепи и напряжения на индуктивности

Характер зависимостей тока и напряжения на катушке от времени (рис. 15.4, б ) аналогичен кривым для u C ( t ) и i ( t ) в RC -цепи.

2. Замыкание цепи RL накоротко . Процессы при коротком замыкании цепи, в которой ранее протекал ток I 0 (рис. 15.5, а ), описываются однородным уравнением ( u 0 ( t ) = 0);

общее решение для тока в цепи имеет лишь свободную составляющую

Из начального условия имеем i (0) = I 0 = A , поэтому окончательно

а напряжение на катушке равно

Соответствующие кривые изображены на рис. 15.5, б . Ток после замыкания катушки сохраняет направление, а напряжение принимает скачком в момент коммутации значение – I 0 R , после чего спадает по экспоненте. При большом значении сопротивления цепи разряда начальный скачок может вызвать перенапряжение на элементах цепи. Так, если закорачивающая ветвь сама имеет большое значение сопротивления R 0 >> R (изображено штриховой линией на рис. 15.5, а ), модуль начального напряжения возрастет до значения I 0 ( R + R 0 ), что может привести к повреждению элементов цепи.

3. Включение к источнику синусоидального напряжения w y . Общее решение дифференциального уравнения для тока сохраняет форму

где постоянная времени t = L / R .

Для нахождения частного решения рассмотрим установившийся режим в цепи при t ® Ґ по окончании переходного процесса. Используя комплексный метод, найдем комплексную амплитуду тока

где — полное сопротивление цепи; j = arctg ( w L / R ) — угол сдвига фаз между напряжением и током. Мгновенное значение установившегося тока равно

где I m = U m / z — амплитуда установившегося тока.

Для определения постоянной A используем начальное условие

откуда A = – I m sin ( y – j ). Поэтому окончательно для тока имеем

i(t) = I m sin ( w t + y – j ) – I m sin ( y – j ) e -t/ t .

Кривые тока в цепи, отвечающие этому выражению, изображены на рис. 15.6.

Здесь, как и у рассмотренных выше зависимостей для u C ( t ) в емкостной цепи (см. рис. 15.3, а ), возможно отсутствие апериодической составляющей тока переходного процесса ( i » = 0), если начальная фаза напряжения в момент включения y = j , и sin ( y – j ) = 0. Наоборот, апериодическая составляющая максимальна, если y – j = p /2, и ее начальное значение равно амплитуде тока I m . В этом случае максимальное значение тока i max отмечается через полпериода после включения. Поскольку к этому моменту апериодическая составляющая уже успевает уменьшиться, максимальное значение Ѕ i max Ѕ» I m (1 + e – p / wt ) не может превысить удвоенной амплитуды тока I m . Отношение K I = Ѕ i max Ѕ / I m — ударный коэффициент — тем ближе к двум, чем больше значение параметра wt = w L / R — добротность контура.

Основы функционирования систем сервиса ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА.ppt

Основы функционирования систем сервиса ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Однофазные цепи • Электрические цепи постоянного тока, в которых выполняются законы Ома и Кирхгофа, характеризуются основным параметром — сопротивлением (или проводимостью). • В таких цепях предполагается, что их параметры постоянны и не зависят от токов в элементах цепи и от напряжений на их зажимах. Элементы эти имеют линейную характеристику — прямую линию для зависимости тока от напряжения. Такие элементы называют линейными. 3

Однофазные цепи • Применение к линейным цепям законов Ома и Кирхгофа, представляющих собой линейные зависимости, приводит, как известно, к линейным алгебраическим уравнениям, решение которых не представляет собой принципиальных трудностей. • Во многих практических задачах для цепей переменного тока линейными элементами можно считать резистор, катушку индуктивности без стального сердечника и конденсатор с диэлектриком без потерь. 4

Однофазные цепи • В линейных цепях переменного тока приходится учитывать не только их активные сопротивления, в которых электрическая энергия безвозвратно преобразуется в другие виды энергии, но и так называемые реактивные сопротивления, в которых электрическая энергия «циркулирует» между этими сопротивлениями и источником переменного тока. В этих случаях исследование линейных цепей усложняется применением математических действий дифференцирования и интегрирования 5

Принцип получения переменной синусоидальной ЭДС • Пусть в однородном магнитном поле NS равномерно вращается рамка, активные стороны которой а и b, расположенные перпендикулярно к плоскости чертежа и пересекающие линии магнитной индукции, движутся с некоторой линейной скоростью ν по часовой стрелке. При этом в них будут наводиться ЭДС противоположной полярности 6

Принцип получения переменной синусоидальной ЭДС е =Blvt = Blvsinα 7

Принцип получения переменной синусоидальной ЭДС • Величину стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой колебаний, описываемых этими функциями. Фаза определяет значение ЭДС в любой момент времени t. • Время Т одного полного изменения ЭДС (в нашем случае время одного оборота рамки) называют периодом ЭДС. • Изменение ЭДС со временем может быть представлено временной диаграммой 8

Действующие значения тока и напряжения • Действующее значение переменного тока — это значение постоянного тока, при котором за период переменного тока в проводнике выделяется столько же теплоты, сколько и при переменном токе. 9

Среднее значение переменного тока 10

Метод векторных диаграмм • Если за амплитудное значение тока (или напряжения) принять отрезок (вектор) длиной ОА и вращать его, например, против часовой стрелки (0 A 1, 0 А 2, . . . ) так, чтобы за период переменного тока он совершал один оборот, то проекция этого отрезка на вертикальную ось в любой момент времени будет равна мгновенному значению переменного тока (или напряжения) в данный момент. 11

Метод векторных диаграмм • Если изобразить две периодические величины (например ток и напряжение) в выбранных масштабах (изменения этих величин происходят с одинаковой частотой, но отличаются по фазе на некоторый угол), то при вращении их векторов угол сдвига фаз (угол между векторами) остается постоянным в течение всего периода (оборота). 12

Метод векторных диаграмм Этот способ и положен в основу метода векторных диаграмм: • а) длину вектора выбирают равной (в масштабе) амплитуде изображаемой периодической величины, а направление произвольное; • б) при построении нескольких векторов на одном и том же чертеже один из них выбирают основным и направляют произвольно, а остальные — в соответствии со сдвигом по фазе относительно основного; • в) поворот вектора против часовой стрелки соответствует опережению по фазе, по часовой — отставанию по фазе. 13

Метод векторных диаграмм • На одной и той же векторной диаграмме могут быть изображены периодические величины только равных частот. Одна и та же векторная диаграмма справедлива как для амплитудных, так и для действующих значений периодических величин (разные лишь масштабы). • Метод векторных диаграмм очень нагляден. По правилам векторного сложения легко осуществляют сложение и вычитание векторов, а вместе с этим — сложение и вычитание самих переменных величин. 14

Сопротивления в цепях переменного тока • Как известно, металлический проводник оказывает электрическому току вполне определенное сопротивление, обусловленное материалом, из которого он изготовлен, и размерами этого проводника. Но один и тот же проводник поразному ведет себя в цепях постоянного и переменного токов, оказывая им разные сопротивления. Так, в результате поверхностного эффекта проводник оказывает большее сопротивление переменному току, нежели постоянному. Правда, при промышленной частоте 50 Гц разница между этими сопротивлениями весьма незначительна и на практике их считают равными. Однако сопротивления, оказываемые переменному току катушкой индуктивности (индуктивностью) и конденсатором (емкостью) коренным образом отличаются от сопротивления, которым обладает резистор (например, электронагревательный прибор). 15

Цепь переменного тока с активным сопротивлением П 16

Цепь переменного тока с активным сопротивлением • Средняя за период мощность переменного тока называется активной мощностью, а соответствующее ей 17 сопротивление — активным.

Цепь переменного тока с индуктивностью 18

Цепь переменного тока с индуктивностью 19

Цепь переменного тока с активноиндуктивной нагрузкой 20

Цепь переменного тока с активноиндуктивной нагрузкой 21

Цепь переменного тока с активноиндуктивной нагрузкой • Среднее же значение активной составляющей мощности равно нулю: • Среднее же значение реактивной (индуктивной) составляющей мощности равно нулю: 22

Цепь переменного тока с активноиндуктивной нагрузкой • В цепи переменного тока с активной R и индуктивной L нагрузкой угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от соотношения значений Rи. L • Угол сдвига фаз изменяется в пределах 0 xc нагрузка является активно» /> Резонанс напряжений • В рассматриваемой цепи при x. L > xc нагрузка является активно индуктивной, а при x. L x. L — перекомпенсация. • При х. С = x. L —полная компенсация (ток становится максимальным, а cosφ = 1). • Такой способ компенсации иногда применяют на практике для повышения cosφ в сетях. • Отношение приложенного напряжения к напряжению индуктивного (или емкостного) участка при x. L > R напряжение на реактивном участке UL (и равное ему UC) окажется больше приложенного в раз 41

Резонанс напряжений • Это означает, что при резонансе напряжений на отдельных участках цепи могут возникнуть напряжения, опасные для изоляции обмоток приборов и машин, включенных в данную цепь. Например, при наступлении резонанса напряжений индуктивное напряжение UL на обмотке трансформатора (рис. ) может оказаться значительно больше того напряжения, на которое рассчитана сама обмотка, в результате чего изоляция ее будет повреждена. • Однако резонанс напряжений может быть не только нежелательным явлением, которое приходится учитывать при расчетах силовых цепей, но и полезным. В частности, в радиотехнических колебательных контурах благодаря резонансу напряжений получают значительное усиление слабых радиосигналов за счет образования больших напряжений на емкости и индуктивности. Для этого специально делают индуктивное сопротивление контура x. L во много раз больше его активного сопротивления R. 42

Резонанс токов • Рассмотрим параллельное соединение емкости С с ветвью, состоящей из индуктивности L и активного сопротивления R • Обе ветви находятся под одним и тем же приложенным напряжением U. Построим векторную диаграмму для этой цепи. За основной вектор выберем вектор приложенного напряжения U 43

Резонанс токов отложим этот вектор по отношению к вектору U под углом φ1 определяемым по формуле длина и положение вектора общего тока зависят от соотношения реактивных токов IL и IС. В частности, при IL > IС общий ток может отставать по фазе от приложенного напряжения, при IL

Анализ простейших линейных цепей при гармоническом воздействии

Последовательная RL-цепь.

Рассмотрим идеализированную электрическую цепь, состоящую из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности L (рис. 2.18, а). Пусть напряжение, приложенное к внешним зажимам цепи, изменяется но гармоническому закону

где U, со, fu заданные величины. Используя метод комплексных амплитуд, найдем установившееся значение тока i в цепи.

Искомый ток i является гармонической функцией времени той же частоты, что и приложенное напряжение:

где /, ij — неизвестные действующее значение и начальная фаза тока

Представляя сопротивление и индуктивность комплексными схемами замещения и переходя от тока i и напряжения и к их комплексным изображениям

Рис. 2.18. Схемы и векторные диаграммы последовательной

получаем комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, б). Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи:

где ZR = R ZL= jcoL — комплексные сопротивления входящих в рассматриваемую цепь идеализированных элементов.

Подставляя выражения (2.82)—(2.84) в уравнение (2.81), находим соотношение, связывающее комплексные изображения искомого тока и заданного напряжения:

Выражение (2.85) представляет собой математическую запись закона Ома в комплексной форме для рассматриваемого участка цепи, причем Z = ZR + ZL= R + jcoL — комплексное входное сопротивление данного участка цепи. Выражению (2.85) можно поставить в соответствие комплексную схему замещения цепи (рис. 2.18, в). Таким образом, комплексное входное сопротивление цепи, состоящей из последовательно включенных сопротивления R и индуктивности I, равно сумме комплексных сопротивлений этих элементов. В дальнейшем мы убедимся (см. п. 2.6), что аналогично можно найти комплексное сопротивление любого участка цепи, представляющего собой последовательное соединение произвольного числа идеачизированных двухполюсных элементов.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемой цепи может быть изображено на комплексной плоскости в виде вектора Z, равного геометрической сумме векторов ZR и ZL (рис. 2.18, г). Длина этого вектора равна, в выбранном масштабе, модулю комплексного входного сопротивления цепи

а угол наклона к положительной вещественной полуоси — его аргументу

Очевидно, что при конечных значениях со, L и R угол (р лежит в пределах

Когда аргумент комплексного входного сопротивления (р какого-либо двухполюсника равен нулю, то говорят, что его входные сопротивление и проводимость имеют чисто резистивный (вещественный) характер, когда |ф | = к/2, то входные сопротивление и проводимость имеют чисто реактивный (мнимый) характер. Если аргумент комплексного входного сопротивления двухполюсника равен +л/2, то его входные сопротивление и проводимость имеют индуктивный характер, если к = -п/2 — емкостный. В рассматриваемом случае значение аргумента ф определяется соотношением (2.88), поэтому входное сопротивление цепи имеетрезистивно-индуктивный характер.

Используя соотношение (2.85), находим комплексное действующее значение искомого тока:

где 2 и ф определяются соотношениями (2.86) и (2.87). Из выражений (2.89) и (2.80) можно найти действующее значение и начальную фазу тока:

Переходя от комплексного изображения тока к оригиналу, окончательно получаем

В связи с тем, что при заданной частоте внешнего воздействия со установившиеся значения токов и напряжений цепи полностью определяются их действующими значениями и начальными фазами, на практике обычно не возникает необходимости находить оригиналы токов и напряжений. Решение задачи анализа цепи считается законченным, если получены комплексные действующие значения соответствующих функций.

Векторные диаграммы для тока и напряжений /?1-цепи приведены на рис. 2.18, д. Так как напряжение на сопротивлении совпадает ио фазе с током, вектор UR совпадает по направлению с вектором /, вектор (] повернут относительно вектора / на угол л/2 против часовой стрелки (напряжение на индуктивности по фазе опережает ток на я/2). Независимо от начальной фазы напряжения у,, вектор / повернут относительно вектора 0= U! <+ UL по часовой стрелке на угол ф, т.е. ток отстает ио фазе от напряжения на угол ф, равный аргументу комплексного входного сопротивления цепи. Отметим также, что так называемый треугольник напряжений, образованный векторами U, UR и UL (см. рис. 2.18, д), подобен треугольнику сопротивлений (см. рис. 2.18, г), образованному векторами Z, ZR и Zj.

Из векторной диаграммы очевидно, что действующие значения напряжения на входе цепи U, напряжения на сопротивлении UR и напряжения на индуктивности UL, которые определяют длину сторон треугольника напряжений, связаны соотношением

т.е. действующее значение напряжения па входе цени не равно алгебраической сумме действующих значений напряжений на элементах цепи.

Пример 2.3. Найдем комплексное входное сопротивление и ток последовательной Л’/.-цени (смлшс. 2.18, а), к зажимам которой приложено напряжение и = V2 • 50cos(6,28 • 10 6 f + 60°) В. Определим напряжения на элементах цепи (R = 5 кОм; L = 1 мГн).

Комплексное входное сопротивление Z последовательной RL-цепи равно сумме комплексных сопротивлений входящих в нее элементов:

Переходя от алгебраической формы записи к показательной

находим модуль комплексного входного сопротивления Z = = 8,03 кОм и его аргумент ф = 51,5°. Комплексный ток цепи

Комплексные напряжения на сопротивлении и индуктивности:

Мгновенные значения соответствующих величин:

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt3, когда при времени t3 сумма ωt3 + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt7, когда при времени t7 сумма углов ωt7 + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωtn + φ = 0, когда ωtn = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt11, когда при времени t11 сумма ωt11 + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

2) тригонометрическая форма в виде

3) алгебраическая форма

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

      • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

      Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Цепь переменного тока с rL-элементами

Широкое использование синусоидального переменного тока в технике и народном хозяйстве связано со многими его преимуществами, в частности с удобством его преобразования с помощью трансформаторов и с исключительной простотой повсеместно применяемых асинхронных двигателей.

Почему из всех возможных форм периодических переменных токов наибольшее распространение получили переменные токи именно синусоидальной формы? Дело в том, что синусоидальные токи по сравнению со всеми другими токами позволяют наиболее просто и экономично осуществлять передачу, распределение, преобразование и использование электрической энергии.

§ 22. Цепи переменного тока. Закон Ома

Только в случае синусоидальных токов сохраняются неизменными формы кривых зависимости от времени напряжения и токов на всех участках линейной электрической цепи, т. е. цепи, содержащей резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности. В цепи, содержащей нелинейные элементы — диоды, транзисторы, электронные лампы и т. п. — форма этих кривых не сохраняется при любой, в том числе и синусоидальной, зависимости от времени подаваемого напряжения.

Прямоугольные импульсы в RС-цепочке. Рассмотрим следующую простую линейную цепь, состоящую из конденсатора С и резистора R (рис. 135). Посмотрим, что будет на выходе этой цепи, если на ее вход подавать напряжение в виде прямоугольных импульсов.

Рис. 135. RС-цепочка

Начало каждого прямоугольного импульса соответствует подключению к цепи источника постоянного напряжения на время, равное длительности импульса. При этом в цепи скачком возникает ток, который постепенно уменьшается по мере того, как конденсатор заряжается.

Время, в течение которого продолжается процесс зарядки конденсатора, определяется произведением Если это время меньше длительности подаваемого на вход прямоугольного импульса, то ток

Рис. 136. Преобразование прямоугольных импульсов напряжения RC-цепочкой

зарядки прекратится раньше, чем закончится прямоугольный импульс. Именно этот случай изображен на рис. 136.

В момент прихода заднего фронта прямоугольного импульса подаваемое напряжение скачком обращается в нуль. Но этого можно добиться только путем короткого замыкания входных клемм схемы. Цепь, содержащая и С, становится короткозамкнутой, и конденсатор С разряжается через сопротивление Направление тока разрядки противоположно зарядному току, поэтому выходное напряжение на сопротивлении имеет противоположную полярность (рис. 136).

Таким образом, форма выходного напряжения оказывается совершенно иной, чем форма входного напряжения.

Синусоидальное напряжение в RC-цепочке. Посмотрим теперь, что получится, если на вход той же -цепочки подать синусоидальное напряжение

Будем считать, что это напряжение действует в течение достаточно большого по сравнению с промежутка времени, так что все переходные процессы к рассматриваемому моменту уже закончились. Тогда ток в цепи будет изменяться по синусоидальному закону с той же частотой со, причем между приложенным напряжением и током будет некоторый сдвиг по фазе.

Рис. 137. Изменяющаяся по синусоидальному закону величина может быть представлена как проекция вращающегося вектора длины

Чтобы найти амплитуду этого тока и сдвиг по фазе, воспользуемся тем обстоятельством, что мгновенное значение любой изменяющейся по синусоидальному закону величины можно представить как проекцию вектора длиной на некоторое заранее выбранное направление, причем сам вектор равномерно вращается в плоскости с угловой скоростью равной циклической частоте, а длина вектора равна амплитудному значению соответствующей величины (рис. 137). С помощью такого представления каждой исследуемой схеме можно сопоставить определенную векторную диаграмму.

Векторные диаграммы. В -цепочке, показанной на рис. 135, сумма мгновенных значений напряжений на конденсаторе С и резисторе равна значению приложенного напряжения в тот же момент времени:

Если цепочка не нагружена, т. е. к выходу ничего не подключено, то сила тока через конденсатор С и резистор в каждый момент времени одинакова. Этой схеме можно сопоставить векторную диаграмму, изображенную на рис. 138а.

Рис. 138. Векторная диаграмма для -цепочки (а) и графики входного и выходного напряжений (б)

Вся система векторов вращается как целое против часовой стрелки с угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка.

Поскольку ток в цепи находится в фазе с напряжением и опережает на напряжение на емкости то при выбранном направлении вращения векторы направленные в одну сторону, опережают на вектор Очевидно, что вектор изображающий приложенное напряжение должен быть равен, как видно из (2), векторной сумме Из рис. 138 видно, что

Используя связь между амплитудным значением силы тока и амплитудными значениями напряжений на резисторе и конденсаторе

с помощью (3) находим

Если приложенное напряжение дается формулой (1), то сила тока в цепи определяется выражением

где и определяются формулами (4). Это значит, что выходное напряжение (рис. 135), совпадающее с напряжением на резисторе как и подаваемое напряжение будет синусоидальным, но опережающим его по фазе на угол Из второй формулы (4) следует, что этот сдвиг по фазе зависит не только от соотношения между С и но и от частоты входного напряжения.

Подчеркнем еще раз, что для сохранения формы передаваемого напряжения необходимо использовать именно синусоидальный переменный ток.

Проиллюстрированный на примере -цепочки метод векторных диаграмм можно применять для исследования любых линейных цепей переменного тока.

Последовательная RLC-цепь. Рассмотрим произвольную последовательную цепь переменного тока, содержащую активное сопротивление емкость С и индуктивность (рис. 139). Будем считать, что на вход этой цепи подано синусоидальное напряжение, даваемое формулой (1). В последовательной цепи квазистационарного переменного тока сила тока I в каждый момент времени во всех участках цепи одинакова. Сумма мгновенных значений напряжений на сопротивлении емкости С и индуктивности равна значению приложенного напряжения в тот же момент времени:

Рис. 139. Последовательная RLC цепь

Этой схеме можно сопоставить векторную диаграмму, изображенную на рис. 140а. Каждой величине — току напряжениям на сопротивлении емкости С и индуктивности — сопоставляются векторы, длина каждого из которых равна амплитудному значению соответствующей величины. Вся система векторов вращается как целое с угловой скоростью со. Мгновенные значения величин получаются проецированием соответствующих векторов на заранее выбранное фиксированное направление Поскольку, как мы видели, ток в цепи изменяется в фазе с напряжением отстает на от напряжения на индуктивности и опережает на напряжение на емкости то при указанном направлении вращения вектор опережает векторы на которые в свою очередь опережают на вектор

Вектор, изображающий приложенное напряжение, равен сумме векторов так как проекция результирующего вектора, которая определяет мгновенное значение приложенного напряжения равна сумме проекций составляющих векторов, равных мгновенным значениям напряжений и в полном соответствии с

равенством (6) (рис. 1406). Из этого рисунка видно, что

Используя связь между амплитудным значением тока и амплитудными значениями напряжений на отдельных элементах цепи:

с помощью (7) получаем

Итак, если приложенное напряжение то ток в цепи где определяются формулами (8) и (9). Ток в цепи, как и напряжение, меняется по синусоидальному закону, но между током и напряжением существует сдвиг по фазе, равный

С помощью векторной диаграммы на рис. 1406 теперь легко написать выражения для мгновенных напряжений на отдельных элементах схемы:

Выясним, что покажет вольтметр, если его подключить к какому-либо из элементов схемы.

Рис. 140. Векторная диаграмма для последовательной RLC-цепи (а); к определению связи между приложенным напряжением и током в цепи (б)

Произведя измерения напряжений на всех элементах схемы по отдельности, можно убедиться, что сумма этих напряжений всегда больше действующего значения подаваемого на схему напряжения. Более того, напряжение на любом из реактивных сопротивлений может быть гораздо больше подаваемого напряжения. Напряжение же на активном сопротивлении никогда не бывает больше подаваемого напряжения.

Резонанс напряжений. Если при измерении напряжений на реактивных элементах напряжения окажутся равными друг другу, то это значит, что равны реактивные сопротивления: Такую ситуацию называют резонансом напряжений в цепи переменного тока. При этом напряжение на активном сопротивлении равно приложенному внешнему напряжению. Сопротивление всей последовательной цепи при резонансе напряжений становится чисто активным и равным R. Сдвиг фаз между приложенным напряжением и током в этом случае отсутствует.

Рис. 141. Параллельное соединение и С

При резонансе напряжений дважды за период колебаний происходят взаимные превращения энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Энергия, подводимая к контуру из внешней цепи, целиком идет на компенсацию джоулевых потерь в активном сопротивлении контура.

Параллельная RLC-цепь. Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую параллельно соединенные активное сопротивление индуктивность и емкость С (рис. 141), на которую подается переменное синусоидальное напряжение Как и в случае последовательного соединения элементов, эту цепь удобно исследовать с помощью векторных диаграмм. Напряжение на всех параллельно соединенных элементах одинаково и равно приложенному напряжению Мгновенное значение квазистационарного тока в неразветвленной части цепи равно алгебраической сумме токов в параллельных участках:

Рис. 142. Векторная диаграмма для параллельной RLC-цепи

Поскольку ток через сопротивление находится в фазе с приложенным напряжением, ток в ветви, содержащей емкость, опережает напряжение на а ток через индуктивность отстает от напряжения на то векторная диаграмма, соответствующая этой цепи, имеет вид, изображенный на рис. 142. Учитывая связь между амплитудными значениями токов в различных элементах и амплитудным значением приложенного напряжения:

с помощью векторной диаграммы на рис. 142 получаем следующие выражения для амплитуды тока в неразветвленной части цепи и для

сдвига по фазе между приложенным напряжением и этим током:

Таким образом, ток в неразветвленной части цепи равен где определяются формулами (11) и (12). Векторная диаграмма дает также возможность написать выражение для мгновенных значений тока в отдельных ветвях цепи:

Резонанс токов. При равенстве емкостного и индуктивного сопротивлений, т. е. при сдвиг фаз между током в неразветвленной части цепи и напряжением обращается в нуль. Токи и

11 при этом равны по величине, и так как они находятся в противофазе, то ток в неразветвленной части становится равным току через активное сопротивление.

Заметим, что токи и в отдельных ветвях цепи могут значительно превосходить ток в проводящих проводах. Такая ситуация носит название резонанса токов. При этом, как и в последовательной . -цепи при резонансе напряжений, происходит обмен энергией между электрическим и магнитным полями, сосредоточенными в емкости и индуктивности, а источник питания только компенсирует потери энергии за счет выделения джоулевой теплоты на сопротивлении Если сопротивление вообще убрать из цепи то энергетические потери в такой идеализированной схеме отсутствуют и ток в подводящих проводах равен нулю, хотя в контуре, состоящем из и С, ток может быть сколь угодно большим. В этом случае на резонансной частоте полное реактивное сопротивление контура неограниченно возрастает.

Резонанс токов, наряду с резонансом напряжений, широко используется в технике. В качестве примера можно указать на использование резонансных свойств RLC-цепи для выделения сигнала нужной частоты в антенне радиоприемника при настройке на определенную радиостанцию. Другим важным примером использования резонанса токов является индукционная печь, в которой нагревание и плавление металлов производятся вихревыми токами. Параллельно нагревающей катушке, в которую помещается разогреваемый металл, присоединяют конденсатор и подбирают его емкость так, чтобы получить на частоте питающего генератора резонанс токов. Тогда через подводящие провода и генератор пойдет сравнительно небольшой ток, который может быть во много раз меньше тока в -контуре, образованном конденсатором и нагревающей катушкой.

• В чем заключаются достоинства переменного тока синусоидальной формы?

• Как преобразуются прямоугольные импульсы -цепочкой? Рассмотрите случай, когда длительность импульсов много больше и когда она много меньше .

• Поясните идею метода векторных диаграмм для расчета цепей синусоидального переменного тока?

• Поясните, почему на векторной диаграмме на рис. 137 вектор, изображающий приложенное напряжение, равен сумме векторов, изображающих напряжения на сопротивлении и емкости С.

• Рассмотрите последовательную -цепочку и постройте соответствующую ей векторную диаграмму. Найдите сдвиг фаз между приложенным напряжением и током в цепи. Будет ли ток отставать от напряжения или опережать его?

• Если в общей формуле (9) для последовательной -цепи положить , то для сдвига фаз получается выражение, отличающееся знаком от формулы (4) для RC-цепи. Как по-вашему, с чем связано это различие?

• При каких соотношениях между параметрами последовательной RLC-цепи ток в ней опережает по фазе приложенное напряжение, а при каких — отстает от него?

• Поясните, почему на векторной диаграмме для параллельной RLC-цепи складываются токи, а не напряжения?

• Что такое резонанс напряжений и резонанс токов? Какие энергетические превращения при этом происходят в цепи?

• Можно ли применять векторные диаграммы для нахождения тока сразу после приложения переменного напряжения?

Закон Ома. Закон Ома — это утверждение о пропорциональности между током и напряжением в цепи.

Рассмотрим для простоты участок цепи, содержащий последовательно соединенные резистор конденсатор С и катушку индуктивности Такая цепь была подробно рассмотрена выше. Как было показано, вид закона Ома имеет только соотношение между амплитудными значениями тока и напряжения в цепи:

Наличие определенного сдвига по фазе между током и напряжением приводит к тому, что мгновенные значения тока и напряжения не пропорциональны друг другу и мы не можем с помощью вещественных чисел представить ток в цепи как отношение приложенного напряжения к сопротивлению.

Однако это можно легко сделать, используя комплексные числа. Разумеется, ток, напряжение и сопротивление цепи, как и любые другие измеряемые на опыте физические величины, должны выражаться вещественными числами. Мгновенные значения

интересующих нас физических величин получаются в результате проецирования векторной диаграммы, изображенной на рис. 140. Но вектор на плоскости можно задать с помощью комплексного числа. Будем фиксировать мгновенное значение каждого из вращающихся векторов на рис. 140 заданием некоторого комплексного числа. В частности, вектору, изображающему ток, сопоставим комплексное число вектору, изображающему напряжение, — комплексное число Поскольку угол между этими вращающимися векторами постоянен, комплексные числа сопоставляемые этим векторам, можно связать равенством где — некоторое постоянное комплексное число.

Это соотношение формально имеет вид закона Ома для участка цепи, причем комплексное число как-то характеризует сопротивление этого участка цепи переменному току. Найдем вид этого числа. Запишем выражения для и в тригонометрической форме:

и учтем, что разность аргументов этих комплексных чисел равна постоянному сдвигу фаз между напряжением и током. Используя равенства (14) и правило деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, получим

Таким образом, модуль комплексного числа как видно из выражений (13) и (15), равен

а его аргумент представляет собой сдвиг фаз между напряжением и током и определяется формулой (9). Переходя от тригонометрической к алгебраической форме комплексного числа и учитывая, что

получаем для выражение

Комплексное число полностью характеризует сопротивление рассматриваемого участка цепи синусоидальному переменному току с частотой со. Оно носит название комплексного сопротивления или импеданса цепи. Зная легко найти амплитуду тока и сдвиг по фазе между напряжением и током.

Формула (16) показывает, что импеданс последовательной цепи можно получить, если элементам схемы и С сопоставить комплексные сопротивления переменному току по следующему правилу:

после чего сложить эти «сопротивления» по правилу сложения сопротивлений в последовательной цепи.

Полученный рецепт имеет совершенно общий характер и справедлив для любой разветвленной цепи: всем элементам сопоставляются комплексные сопротивления по правилу (17), которые затем складываются по правилам для цепей постоянного тока.

Отметим, что формулы (14) и (15) можно записать компактнее, если воспользоваться формулой Эйлера

При этом, очевидно, и

• Сформулируйте основную идею использования комплексных чисел для анализа цепей синусоидального переменного тока.

• Сформулируйте правила расчета произвольной разветвленной цепи, содержащей RLC-элементы.

• Рассмотрите с помощью комплексных чисел параллельную RLC-цепь и получите формулы (11) и (12).

Цепь переменного тока с rL-элементами

Расчеты напряжения и тока в RC и L/R цепях

Существует простой способ расчета любой величины реактивной цепи постоянного тока в любой момент времени. Первый шаг этого способа заключается в определении начальных и конечных значений тех величин, против изменения которых выступает конденсатор или катушка индуктивности (которые они пытаются держать на постоянном уровне, независимо от реактивной составляющей). Для конденсаторов такой величиной будет напряжение, а для катушек индуктивности — ток. Начальное значение — это такое значение, которое было до момента замыкания (размыкания) контактов выключателя, и которое реактивный компонент пытается удерживать на постоянном уровне после замыкания (размыкания) контактов. Конечное значение — это значение, которое устанавливается по истечении неопределенно длительного периода времени. Оно может быть определено путем анализа емкостной цепи, когда конденсатор выступает в качестве обрыва цепи, и индуктивной цепи, когда катушка индуктивности выступает в роли короткозамкнутой перемычки, потому что именно так ведут себя эти элементы при достижении «полной зарядки» через неопределенно длительный промежуток времени.

Следующим шагом является вычисление постоянной времени цепи. Постоянная времени представляет собой промежуток времени, в течение которого величина напряжения или тока в переходном процессе изменится примерно на 63% от начального до конечного значения. В последовательной RC- цепи , постоянная времени равна общему сопротивлению (в Омах) умноженному на общую емкость ( в Фарадах) . В последовательной L/R — цепи она равно общей индуктивности ( в Генри) деленной на общее сопротивление (в Омах) . В обоих случаях постоянная времени выражается в секундах и обозначается греческой буквой «тау» (τ):

Увеличение и уменьшение значений тока и напряжения в переходных процессах, как уже отмечалось ранее, носит асимптотический характер . А это значит, что они начинают быстро изменяться в начальный момент времени, и практически не изменяются в последующем. На графике данные изменения отображаются в виде экспоненциальных кривых.

Как уже было сказано выше, постоянная времени представляет собой промежуток времени, в течение которого величина напряжения или тока в переходном процессе изменится примерно на 63% от начального до конечного значения. Каждая последующая постоянная времени приближает эти величины к конечному значению еще примерно на 63%. Математическая формула для определения точного процента довольно проста:

Буква e здесь — иррациональная константа, равная приблизительно 2,718 281 8 . За время τ, процент изменения от начального до конечного значения составит:

За время 2τ, процент изменения от начального до конечного значения составит:

За время 10τ, процент изменения составит:

Для расчета напряжений и токов в реактивных цепях эту формулу можно сделать более универсальной:

Давайте проанализируем повышение напряжения в RC-цепи, показанной в первой статье этого раздела:

Обратите внимание, мы выбрали для анализа напряжение, так как именно эту величину конденсатор пытается поддерживать на постоянном уровне. Зная сопротивление резистора (10 кОм) и емкость конденсатора (100 мкФ) мы можем рассчитать постоянную времени данной цепи:

Так как в момент замыкания контактов выключателя напряжение на конденсаторе равно 0 вольт, то именно это значение мы и будем использовать в качестве начального. Конечным значением конечно же будет напряжение источника питания (15 Вольт). С учетом всех этих цифр наше уравнение примет следующий вид:

Таким образом, через 7,25 секунд (к примеру) после подачи напряжения в схему через замкнутые контакты выключателя , напряжение на конденсаторе увеличится на :

Из этих расчетов можно сделать следующий вывод: если начальное напряжение конденсатора составляло 0 вольт, то через 7,25 секунд после замыкания контактов выключателя оно будет равно 14,989 вольт.

При помощи этой же формулы можно рассчитать и ток через конденсатор. Поскольку разряженный конденсатор первоначально действует как короткозамкнутая перемычка, ток через него будет максимальным. Рассчитать этот ток можно поделив напряжение источника питания (15 вольт) на единственное сопротивление (10 кОм):

Известно также, что конечный ток будет равен нулю , так как конденсатор в конечном итоге ведет себя как разомкнутая цепь. Теперь мы можем подставить эти значения в нашу универсальную формулу для расчета величины тока через 7,25 секунд после замыкания контактов выключателя:

Обратите внимание, что полученное значение является отрицательным , а не положительным! Это говорит об уменьшении тока с течением времени . Так как начальное значение тока составляет 1,5 мА, то его уменьшение на 1,4989 мА за 7,25 секунд даст в конечном итоге 0,001065 мА ( 1,065 мкА ).

Это же значение можно получить при помощи закона Ома, отняв напряжение конденсатора ( 14,989 вольт) от напряжения источника питания (15 вольт) и поделив полученное значение на сопротивление (10кОм):

Рассмотренная выше универсальная формула хорошо подходит и для анализа L/R цепи. Давайте применим ее к цепи, рассмотренной во второй статье данного раздела:

При индуктивности 1 Генри и последовательном сопротивлении 1 Ом постоянная времени будет равна 1 секунде:

Поскольку катушка индуктивности в данной цепи выступает против изменения тока, именно эту величину мы и выберем для анализа. Начальным значением здесь выступит величина тока через катушку индуктивности в момент замыкания контактов выключателя. Она будет равна нулю. В качестве конечного значения мы возьмем величину тока, которая установится в катушке индуктивности по прошествии неопределенно длительного промежутка времени (максимальная величина). Рассчитать ее можно поделив напряжение источника питания на последовательное сопротивление: 15 В/1 Ом = 15 А.

Если мы хотим определить величину тока через 3,5 секунды после замыкания контактов выключателя, то формула примет следующий вид:

Учитывая тот факт, что начальный ток через катушку индуктивности равнялся нулю, через 3,5 секунды с момента замыкания контактов выключателя его величина составит 14,547 ампер.

Расчет напряжений в индуктивной цепи осуществляется при помощи закона Ома и начинается с резисторов, а заканчивается катушкой индуктивности. При наличии в нашем примере только одного резистора ( имеющего значение 1 Ом ), произвести эти расчеты довольно легко :

Отняв полученное значение от напряжения источника питания (15 В), мы получим напряжение, которое будет на катушке индуктивности через 3,5 секунды после замыкания контактов выключателя:

Каждый электрик должен знать:  Правильность установки автоматических выключателей мастером
Добавить комментарий