Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы

Дифференциальные операторы представляют собой обобщение операции дифференцирования . Простейший дифференциальный оператор \(D,\) действуя на функцию \(y,\) «возвращает» первую производную этой функции: \[Dy\left( x \right) = y’\left( x \right).\] Двукратное применение операции \(D\) позволяет получить вторую производную функции \(y\left( x \right):\) \[y\left( x \right) = D\left( \right) = Dy’\left( x \right) = y»\left( x \right).\] Аналогично, \(n\)-ая степень оператора \(D\) приводит к \(n\)-ой производной: \[y\left( x \right) = >\left( x \right).\] Здесь мы предполагаем, что функция \(y\left( x \right)\) является \(n\) раз дифференцируемой и определенной на множестве действительных чисел. Сама функция \(y\left( x \right)\) может принимать комплексные значения.

Дифференциальные операторы могут иметь и более сложный вид − в зависимости от образующих их дифференциальных выражений.

Так например, в векторном анализе часто встречается дифференциальный оператор набла , определяемый как \[\nabla = \frac<\partial ><<\partial x>>\mathbf + \frac<\partial ><<\partial y>>\mathbf + \frac<\partial ><<\partial z>>\mathbf,\] где \(\mathbf, \mathbf, \mathbf\) − единичные векторы вдоль координатных осей \(Ox, Oy, Oz.\)

В результате действия оператора \(\nabla\) на скалярное поле \(F\) мы получаем градиент поля \(F:\) \[\nabla F = \frac<<\partial F>><<\partial x>>\mathbf + \frac<<\partial F>><<\partial y>>\mathbf + \frac<<\partial F>><<\partial z>>\mathbf.\] Вектор градиента указывает направление наибольшего возрастания функции \(F,\) а его длина показывает скорость возрастания функции в данном направлении.

Скалярное произведение вектора \(\nabla\) и векторного поля \(\mathbf\) известно как дивергенция вектора \(\mathbf:\) \[\nabla \cdot \mathbf = \text

\,\mathbf = \frac<<\partial >><<\partial x>> + \frac<<\partial >><<\partial y>> + \frac<<\partial >><<\partial z>>.\] В результате векторного произведения векторов \(\nabla\) и \(\mathbf\) мы получаем ротор вектора \(\mathbf:\) \[ <\nabla \times \mathbf= \text\,\mathbf > = <\left| <\begin<*<20>> \mathbf & \mathbf & \mathbf\\ <\frac<\partial ><<\partial x>>>&<\frac<\partial ><<\partial y>>>&<\frac<\partial ><<\partial z>>>\\ <>&<>&<> \end> \right|.> \] Скалярное произведение \(\nabla \cdot \nabla = <\nabla ^2>\) соответствует скалярному дифференциальному оператору, называемому оператором Лапласа или лапласианом . Он обозначается также символом \(\Delta:\) \[\Delta = <\nabla ^2>= \frac<<<\partial ^2>>><<\partial >> + \frac<<<\partial ^2>>><<\partial >> + \frac<<<\partial ^2>>><<\partial >>.\] Упомянем еще один дифференциальный оператор второго порядка − оператор Д’Аламбера . Этот оператор обозначается в виде квадрата \(\require\Box\) и используется в теории относительности, электромагнетизме и других областях физики. В четырехмерном пространстве-времени \(\left( \right)\) он представляется дифференциальным выражением \[\Box = \frac<1><<>>\frac<<<\partial ^2>>><<\partial >> — \Delta ,\] где \(\Delta\) − оператор Лапласа.

Каждый электрик должен знать:  Ремонт варочной панели причины и устранение неисправностей

Введение дифференциальных операторов позволяет исследовать дифференциальные уравнения в терминах теории операторов и функционального анализа . Такой обобщенный подход оказывается мощным и эффективным. В частности, в приложении к линейным дифференциальным уравнением \(n\)-го порядка мы получаем компактный способ записи уравнений, а в некоторых случаях − возможность их быстрого решения.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение \(n\)-го порядка: \[ <>\left( x \right) + \left( x \right) \right)>>\left( x \right) + \cdots > + <>\left( x \right)y’\left( x \right) + \left( x \right)y\left( x \right) = f\left( x \right).> \] Используя оператор дифференцирования \(D,\) это уравнение можно записать в виде \[L\left( D \right)y\left( x \right) = f\left( x \right),\] где \(L\left( D \right)\) − дифференциальный многочлен , равный \[L\left( D \right) = + \left( x \right)> + \cdots + >\left( x \right)D + \left( x \right).\] Другими словами, оператор \(L\left( D \right)\) представляет собой алгебраический многочлен, в котором роль переменной играет дифференциальный оператор \(D.\)

Рассмотрим некоторые свойства введенного оператора \(L\left( D \right).\)

Каждый электрик должен знать:  Правильно ли составлена схема электрощита для квартиры

Оператор \(L\left( D \right)\) является линейным: \[ \left( x \right) + \left( x \right)> \right] > = <L\left( D \right)\left( x \right) + L\left( D \right)\left( x \right).> \]

Коммутативный закон сложения: \[L\left( D \right) + M\left( D \right) = M\left( D \right) + L\left( D \right).\]

Для операторов \(L\left( D \right)\) и \(M\left( D \right)\) можно ввести также и операцию умножения: \[\left[ \right]y\left( x \right) = L\left( D \right) \cdot \left[ \right].\] Важно отметить, что операция умножения обладает коммутативностью лишь для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами , т.е. для операторов вида \[L\left( D \right) = + > + \cdots + >D + ,\] где \(, \ldots ,\) − постоянные числа.

Для таких операторов выполняются свойства \(4-6:\)

Коммутативный закон умножения: \[L\left( D \right) \cdot M\left( D \right) = M\left( D \right) \cdot L\left( D \right)\]

Как видно, дифференциальные операторы \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами обладают такими же свойствами, что и обычные алгебраические многочлены. Следовательно, также как и алгебраические многочлены, дифференциальные операторы \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами можно умножать, разлагать на множители или делить. Указанные свойства лежат в основе операторного метода решений дифференциальных уравнений .

Вычислим \(LMy:\) \[My = \left( <2D + 3>\right)y = 2y’ + 3y.\] Получаем следующее дифференциальное выражение: \[ \right) > = <\left( <+ 1> \right)\left( <2y' + 3y>\right) > = <2y''' + 3y'' + 2y' + 3y >= <\left( <2+ 3 + 2D + 3> \right)y.> \] Теперь вычислим \(MLy:\) \[Ly = \left( <+ 1> \right)y = y» + y.\] Следовательно, \[ \right) > = <\left( <2D + 3>\right)\left( \right) > = <2y''' + 3y'' + 2y' + 3y >= <\left( <2+ 3 + 2D + 3> \right)y.> \] Видно, что в данном случае коммутативный закон умножения выполняется (это справедливо для любых операторов \(L\left( D \right)\) с постоянными коэффициентами).

Вычислим сначала дифференциальное выражение \(LMy:\) \[My = \left( <+ > \right)y = y» + y,\] \[ \right) > = <\left( \right)\left( y> \right) > = y’> \right) — y > = y + y’ — y > = y’ + y > = <\left( + D + > \right)y.> \] Аналогично вычислим \(MLy\) и сравним результаты. \[Ly = \left( \right)y = xy’ — y,\] \[\require \right) > = <\left( <+ > \right)\left( \right) > = \right) + y’ — y» — y > = + xy»’ — \cancel + y’ — y > = y’ — y = \left( + + D — > \right)y.> \] Таким образом, при различном порядке действия операторов \(L\) и \(M\) получаются различные дифференциальные выражения. Это свойство характерно для дифференциальных операторов с переменными коэффициентами.

Каждый электрик должен знать:  Автоматизированный и автоматический электропривод

Уравнение записывается в виде \[ \;\; <\text<или>\;\;\left( <+ 1> \right)y = 2\sin x.> \] Данный дифференциальный многочлен содержит лишь четные степени оператора \(D.\) Можно заметить, что при действии оператора \(\) на функцию \(A\sin kx\) мы получаем \[ <y = \left( \right) > = < - A\sin kx > = < - y.> \] Ясно, что для произвольного дифференциального многочлена \(L\left( <> \right)\) с постоянными коэффициентами будет справедлива формула \[ > \right)y = L\left( <> \right)\left( \right) > = > \right)A\sin kx > = > \right)y.> \] Тогда частное решение уравнения выражается формулой \[ = \frac<><> \right)>>.\] В нашем случае правая часть уравнения равна \(2\sin x,\) а дифференциальный оператор можно записать в виде \[L\left( <> \right) = <\left( <> \right)^2> — + 1.\] В результате получаем: \[ <= \frac<><> \right)>> > = <\frac<><<<<\left( < - > \right)>^2> — \left( < - > \right) + 1>> > = <\frac<<2\sin x>><<<<\left( < - <1^2>> \right)>^2> — \left( < - <1^2>> \right) + 1>> > = <\frac<<2\sin x>><3>.> \]

Добавить комментарий