Двумерное преобразование Фурье

Двумерное преобразование Фурье

В результате двумерного преобразования Фурье функции , описывающей изображение, получается спектр этого изображения, который определяется как

где — пространственные частоты, а . Если обозначить оператор преобразования Фурье через , то можно записать

В общем случае спектр есть комплексная величина. Его можно разложить на действительную и мнимую части:

или представить с помощью амплитуды и фазы:

Достаточным условием существования фурье-спектра функции является абсолютная интегрируемость этой функции, т.е. условие

Исходная функция может быть восстановлена обратным преобразованием Фурье:

Каждый электрик должен знать:  Назначение, разновидности и устройство силовых контроллеров

Это соотношение в операторной форме можно записать как

Поскольку ядро двумерного преобразования Фурье разделимо, это преобразование может быть выполнено в два этапа. Сначала находится

Ниже приводятся несколько полезных свойств двумерного преобразования Фурье. Их доказательства можно найти в книгах [1, 2].

Если функция разделима по пространственным переменным, так что

где — одномерные фурье-спектры функций , . Если есть фурье-спектр функции , то является фурье-спектром функции . (Звёздочка обозначает комплексную сопряженность.) Если функция симметрична, т.е. , то .

Каждый электрик должен знать:  Прокладка кабеля по фасаду здания нормы, правила ПУЭ и способы

Оператор преобразования Фурье линеен:

Изменение масштаба пространственных приводит к обратному изменению масштаба пространственных частот и пропорциональному изменению значений спектра:

Следовательно, сжатие вдоль одной из осей плоскости приводит к растяжению вдоль соответствующей оси частотной плоскости и наоборот. Происходит также пропорциональное изменение значений спектра.

Сдвиг (изменение координат) на исходной плоскости приводит к фазовым изменения на частотной плоскости:

Наоборот, сдвиг на частотной плоскости вызывает фазовые изменения исходной функции:

Фурье-спектр функции, полученный в результате свертки двух функций, равен произведению спектров исходных функций:

Каждый электрик должен знать:  Патрон для галогеновой лампы MR16 c цоколем GU5.3

Обратная теорема утверждает, что

Два представления энергии изображения – через функцию и фурье-спектр — связаны следующим образом:

Теорема о спектре автокорреляционной функции

Фурье-спектр двумерной автокорреляционной функции изображения равен квадрату модуля фурье-спектра этого изображения:

Спектры пространственных производных

Фурье-спектры первых пространственных производных функции связаны с её фурье-спектром следующими соотношениями:

Следовательно, спектр лапласиана равен

© 2020 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Добавить комментарий