Двумерные системы

СОДЕРЖАНИЕ:

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Двумерная система

Двумерная система ( 2М, сэндвич, модель Гинзбурга), состоящая из металлической пленки, окруженной с двух сторон диэлектрическими слоями, по которым должен осуществляться экситонный обмен, способствующий образованию куперовских пар электронов и высокотемпературной сверхпроводимости металлической пленки. [1]

Двумерная система возбуждается одновременно с помощью ПСДС и псевдослучайного четырехуровневого сигнала ( оба некоррелиро-ваны), представленных на рис. 30.3.1, а. Применение метода идентификации КОР-МНК позволяет получить дискретные передаточные функции двумерной модели приблизительно через 130 мин. Время расчета составило от 5 до 10 мин. При уменьшении расхода пара его температура начинает увеличиваться. Однако затем из-за снижения расхода топлива температура пара резко уменьшается. Этот обратный выброс оказывает основное влияние на управление температурой. [2]

Двумерная система ( 10) получается из четырехмерной системы с двумя мнимыми парами собственных чисел следующим образом: х означает квадрат модуля первой, а у — второй ( комплексной) координаты после приведения системы к нормальной форме Пуанкаре — Дюлака. В предположении несоизмеримости частот ( отношение различных по модулю чисто мнимых собственных значений иррационально) резонансные члены выражаются через хну; поэтому нормальная форма факторизуется до указанной двумерной системы. [3]

Моделью двумерной системы , испытывающей стационарные колебания, может служить круглая мембрана, закрепленная по периметру, например, в телефонной трубке. Здесь также возможны лишь определенные, квантованные колебания, для описания которых необходимы уже два числа. [4]

Для двумерных систем с вращательной симметрией мы показали ( см. разд. Существует и второй способ описания этих систем, а именно путем рассмотрения их отклика на одномерный входной сигнал, например в виде прямой линии или пичка. [5]

Исследование двумерной системы носителей , сосредоточенных на границе раздела двух полупроводнике, вызывает большой интерес, в особенности в связи с проблемой квантового эффекта Холла. Ga, х As [1 — 4] и в значительно меньшей степеки система In Ga. Однако какие-либо структуры, отвечающие последовательности: чисел заполнения с четными знаменателями типа 1 / 2 или 1 / 4, не были обнаружены, хотя и высказывались соображения [10] о возможности существования при i 1 / 2 волны зарядовой плотности с квадратной симметрией. [6]

Эту последнюю двумерную систему можно решить методом предложения 6.37, и поэтому редуцированная система (6.35) разрешима в квадратурах. Однако на этом этапе мы не можем использовать данное решение для интегрирования исходной задачи о притяжении к центру, так как группа SO ( 3) не разрешима. Но, как мы вскоре увидим, эту трудность можно обойти с помощью иного подхода к процедуре редукции. [7]

В двумерной системе задача усложняется, поскольку еще не достаточно осознано само понятие двумерного кристалла. Еще Пайерлсом было показано [1397], что термическое возбуждение длинноволновых фононов будет разрушать дальний порядок в двумерном кристалле в том смысле, что среднеквадратичное смещение атома из равновесия логарифмически растет с размером системы и брегговские пики на дифракционной картине из узких становятся широкими. Отсутствие дальнего порядка в обычном смысле было доказано [1199] с помощью строгих неравенств Боголюбова. При этом автор, однако, предположил, что тепловое движение может не разрушать корреляцию в орнентацнн кристаллических осей на больших расстояниях. [8]

В двумерных системах неосциллирующая часть плотности состояний не зависит от Е и подобный множитель отсутствует. Тем не менее ряд авторов [480, 481, 520, 1320] использовал для анализа экспериментальных результатов простую трехмерную формулу, содержащую указанный множитель, что однако, не сказывается на величине эффективной массы, определяемой только по температурной зависимости осцилляции. [9]

В двумерных системах рассеяние рентгеновских лучей зависит только от проекции ( на плоскость слоя) импульса фотонов, переданного образцу. Эта проекция характеризуется ее величиной: — Q и направлением, задаваемым углом % в плоскости слоя. Степень позиционного порядка внутри слоя исследуют, изменяя величину Qn; при этом ширина дифракционных максимумов ( с учетом разрешения-прибора) обратно пропорциональна корреляционно. Изменяя угол %, получают информацию о порядке в ориентации связей. [10]

В двумерных системах аттракторы встречаются только двух типов: устойчивые стационарные точки и предельные циклы. Если оба показателя отрицательны, ( lt Х2) ( -, -), то аттрактором является устойчивая стационарная точка. [12]

Большинство исследований двумерных систем в МДП-структурах выполнено на технологически совершенных структурах металл-двуокись кремния-кремний, хотя возрастает и число работ, посвященных изучению свойств МДП-структур на основе других, главным образом сложных, полупроводников. Он представляет собой плоский конденсатор; изменяя напряжение на одной из его обкладок, металлическом электроде, можно тем самым управлять проводимостью полупроводника — другой его обкладки. В настоящее время полевой транзистор является одним из основных элементов запоминающих и логических схем, используемых в вычислительных машинах. Первое предложение ( патенты Лилиенфилда и Хейла) относится к 1930 г. В 1948 г. Шокли и Пирсон исследовали свойства МДП-структуры [1641], послужившей прототипом большой серии приборов, которые изготавливались обычно из слабоокисляемого полупроводника, изолированного от металлического электрода органической пленкой. [13]

Задачи для двумерных систем уже упоминались во введении; они выходят за рамки данной книги. Мы хотим здесь только упомянуть о работе [332], в которой обменная энергия и теплоемкость найдены с использованием диэлектрической проницаемости. [14]

Из всех двумерных систем , в литературе чаще всего обсуждаются плоский кристалл, л: — / — ферромагнетик ( его магнитные моменты лежат в плоскости) и пленки сверхтекучего гелия-4. [15]

Качественное исследование двумерной системы

Дата публикации: 29.01.2020 2020-01-29

Статья просмотрена: 65 раз

Библиографическое описание:

Мухтаров Я., Турсунов Ф. Р., Шодиев Д. С. Качественное исследование двумерной системы // Молодой ученый. — 2020. — №3. — С. 11-18. — URL https://moluch.ru/archive/107/25376/ (дата обращения: 22.11.2020).

A qualities investigation of one group of two- dimensional systems of differential equation was realized in the study.

For this system stability conditions of singular point, disposed to the point of origin and distribution of other its singular points were achieved.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Система (1) исследована в работе [2] при условии , а также в роботе [3] при .

Система (1) обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Система (1) линейным невырожденным преобразованием приводится к виду

где форма степени с вещественными коэффициентами.

Свойство 2. При нечетном и система (1) инвариантна при замене и на и .

Свойство 3. Особая точка системы (1) есть четырехсепаратрисное седло, если ; фокус или центр, если

Свойство 4. Если форма

знакопостоянна, то у системы (1) в плоскости нет замкнутых траекторий.

Свойство 5. На каждом луче может лежать по две диаметрально противоположны особенны точек (кроме начала координат) системы (1), где — вещественный корень алгебраического уравнения

Свойство 6. При -четное, если форма

знакопостоянна, то у системы (1) нет замкнутых траекторий в плоскости .

1. Устойчивость нулевого решения

Теорема 1. Пусть нечетные числа и , или , тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Применим второй метод Ляпунова. Пусть функция Ляпунова имеет вид

Тогда в силу системы (1) примет вид

где многочлен. Знак функции при малых значениях определяется знаком выражения которое при является определенно отрицательной и нулевое решение асимптотически устойчиво.

Если или , то на основании теорема 5.2 [1] следует асимптотическая устойчивость нулевого решения.

Если же , то нулевое решение неустойчиво в силу свойства 3, особая точка — неустойчивый фокус.

Неустойчивость будет также иметь место в силу теорема 6.3 [1] и в том случае, когда или

Пусть в системе (1) .Тогда имеем

является решением. Чтобы определить тип особой точки и её устойчивость, применим метод Фромера. Введем подстановку

Обозначим степени числителя уравнения (4) через

и построим на плоскости эти прямые, и находим .

При этом значении уравнение (6) примет вид

Особым точкам (0,0) и дифференциального уравнения (5) соответствуют исключительные направления (ось ох) и дифференциального уравнения (3). Сначала исследуем особой точки уравнения (5), определяемые из системы

может быть узел и седло, причем здесь если ,то -узел, а если , то – седло.

Аналогично, если , то -узел, если , то -узел, где .

Возможны следующие неравенства

При выполнении 1), 2) исключительное направление будет 1-го, и исключительное направление 2-го типа;

при 3), 6) — наоборот: 2-го, а 1-го типа; при 4) и 5) оба исключительные направления 2-го типа.

Отсюда следует, что в случае начало координат для дифференциального уравнения (5) является узлом, в случае седлом, причем при узел устойчивый, а при неустойчивый.

Теорема 2. Пусть , -нечетное число. Тогда нулевое решение системы (1) при асимптотически устойчиво.

Пусть в системе (1) , и -четное число, тогда дифференциальное уравнение (5) имеет три изолированы особы точек (0,0), если , и только одну (0,0), если .

В силу свойства 2 особые точки будут одного типа. В данном случае, если:

1). , то (0,0) –узел, седло.

2). ,то (0,0) –седло, при при. узлы, а при -седла.

При переходе в плоскости следует отметить, что особым точкам соответствуют исключительные направления состоящих из полупарабол, т. е. двум особым точкам соответствует одна парабола с осью симметрии .

Теорема 3. Пусть четное, , то особая точки (0,0) системы (1) является:

1) при или при закрытый седло-узел с одной эллиптической и одной гиперболической областью;

2) при четырёхсепаратрисное седло;

3) при закрытый узлом с двумя эллиптическими областями;

4) При вырожденное седло.

2. Распределение изолированных особых точек

Изучим распределение изолированных особых точек системы (1).

Форма разлагается на множители

где корни уравнения

Отметим, что для того, чтобы все различных корней уравнения (6) были вещественными необходимо и достаточно, чтобы её матрица была иннорно — положительной [4]. Количество особых точек зависит от четности чисел и в системе (1).

Каждая изоклина пересекается с изоклиной бесконечности

в двух взаимно симметричных относительно начала точках и система может иметь изолированных особых точек.

б) — нечетное, то количество особых точек не более , так как каждая изоклина нуля пересекается с изоклиной бесконечности (7) только один раз.

Т.о. в силу свойств 1–6 имеет место:

Теорема 4. а). Пусть -нечетные числа, матрица иннорно положительна и . Тогда система (1) имеет изолированных особых точек, причем из них будут антиседлами, другие -седлами и наоборот: -седлами, -антиседлами.

Если -нечетное, — четное, имеет место

в) Пусть — нечетное, -четное, матрица иннорно положительна и . Тогда система (1) имеет -изолированных особых точек, причем возможны случаи

1) -антиседел, — седел.

2) -антиседел, -седло или наоборот особая точка — вырожденное седло.

2.3. -четное, нечетное. Имеет место

с) Пусть -четное, -нечетное, матрица иннорно-положительна и .Тогда система (1) имеет изолированных особых точек, причем из них антиседел и других седел или наоборот. – вырожденное седло.

2.4. -четное. Имеет место

е) Пусть -четное, матрица иннорно положительна и . Тогда система (1) имеет изолированных особых точек, причём из них седла, а другие -антиседла, — вырожденное седло.

3. Распределение особых точек дифференциального уравнения (5).

Форма разлагается на множители , где корни уравнения

Здесь для того, чтобы все различные корни уравнения (8) были вещественными, необходимы и достаточно, чтобы её матрица была иннорно-положительной.

Количество особых точек зависит от четности чисел и в уравнении (5).

Исследуем дифференциальное уравнение (5) в условиях.

3.1. — нечетные. Имеет место:

Теорема 5. Пусть матрица иннорно-положительна и ,тогда уравнение (5) имеет изолированных особых точек, причем если из них будут антиседлами, другие сёдлами и наоборот — седлами, другие -антиседлами, если .

3.2. -нечетное, -четное. Имеет место:

Теорема 6. Пусть матрица иннорно — положительна и . Тогда дифференциальное уравнение (5) имеет -изолированных особых точек, причем возможны случаи:

1) -антиседла, седла;

2) -антиседла, седла;

3) — антиседла, -седла, где – узел в случае и седло, если .

3.3. -четное, -нечетное. Имеет место:

Теорема 7. Пусть матрица иннорно положительна и . Тогда дифференциальное уравнение (5) имеет -изолированных особых точек, причем возможны случаи -антиседла и сёдел или наоборот. – может быть закрытый седло узел, седло, закрытый узел. Вырожденное седло (см. Теорема 3).

3.4. -четные. Имеет место:

Теорема 8. Пусть матрица иннорно положительна и . Тогда дифференциальное уравнение (5) имеет изолированных особых точек, причем из них седла, а другие -антиседла. в силу теорема 3 может быть закрытый седло-узел, закрытый узел, седло или вырожденное седло.

Система (1) и дифференциальное уравнение (5) исследованы при отсутствии замкнутых траекторий (см. свойство 4 и 6).

Пример. В качестве примера рассмотрим систему

Применяя к системе преобразование , получим:

Матрица уравнения изоклины нуля иннорно положительно и функция распадается на четыре линейных множителя. Кривая Шаля

имеет одну действительную, два мнимых осимпты и три действительных точек перебега. Данная система имеет девять особых точек: -вырожденное седло, 4 –антиседла, 4-седла.

  1. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. Москва. Наука. 1967 г.
  2. Мухтаров Я. Распределение особых точек двумерной системы специального вида. Вопросы теории дифференциальных уравнений и их приложений. Самарканд, 1989 г., ст. 22–25.
  3. Шарипов Ш. Р. Исследование характеристик в целом. Известия ВУЗов «Математика» № 1, 1965г.
  4. Джури Э. Инноры и устойчивость динамических систем. Москва, Наука, 1979г.

Похожие статьи

Построение асимптотических решений системы нелинейных.

Алишев А. Г., Холбеков А., Камолова А. П. Построение асимптотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений

Пусть матрица относительно матрицы имеет один нулевой собственной значений, т. е. корни уравнений удовлетворяют условию.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами в случае простого нулевого корня у

в) , элементы матрицы , отлично от нуля. (5). Тогда уравнение (1) имеет формальные частные решение вида.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Если для системы дифференциальных уравнений (1) выполняются условия 1–4, то уравнения (1) имеет формальные частные решение вида.

Отсюда с учетом (5) имеем. (20). Условие (19) для уравнения (18) имеет место, то из уравнения (18) находим.

Исследование статической задачи несимметричной теории.

Теорема. Если уравнения равновесия (1.16), (1.17) удовлетворяются только на границе

Эллиптичность системы дифференциальных уравнений.

Главная часть полиномиальной матрицы для системы уравнений (4.13) следующая

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Если ввести обозначение. , то систему (5) можно переписать в виде . Тогда при решение в

С. Замена ядра с вырожденным ядром. Ядро называется вырожденным, если. . (13).

О методе решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям.

Построение формальных решений системы нелинейных.

В настоящей работе рассматриваетcя вопрос построения формальных частных решения системы (1) при наличии нулевого корня

Теорема 1. Если выполняются условия 1–4, то система дифференциальных уравнений (5) имеет формальные частные решение вида.

Разрешимость одной краевой задачи для.

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение. (8).

Решение дифференциальных уравнений методом.

Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы: Применение этой формулы посмотрим в одном примере

Построение асимптотических решений системы нелинейных.

Алишев А. Г., Холбеков А., Камолова А. П. Построение асимптотических решений системы нелинейных дифференциальных уравнений

Пусть матрица относительно матрицы имеет один нулевой собственной значений, т. е. корни уравнений удовлетворяют условию.

Об асимптотическом поведении решений систем нелинейных.

Для систем нелинейных дифференциальных уравнений с медленно меняющимися коэффициентами в случае простого нулевого корня у

в) , элементы матрицы , отлично от нуля. (5). Тогда уравнение (1) имеет формальные частные решение вида.

Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Теорема 1. Если для системы дифференциальных уравнений (1) выполняются условия 1–4, то уравнения (1) имеет формальные частные решение вида.

Отсюда с учетом (5) имеем. (20). Условие (19) для уравнения (18) имеет место, то из уравнения (18) находим.

Исследование статической задачи несимметричной теории.

Теорема. Если уравнения равновесия (1.16), (1.17) удовлетворяются только на границе

Эллиптичность системы дифференциальных уравнений.

Главная часть полиномиальной матрицы для системы уравнений (4.13) следующая

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Если ввести обозначение. , то систему (5) можно переписать в виде . Тогда при решение в

С. Замена ядра с вырожденным ядром. Ядро называется вырожденным, если. . (13).

О методе решения линейных интегральных уравнений сведением к дифференциальным уравнениям.

Построение формальных решений системы нелинейных.

В настоящей работе рассматриваетcя вопрос построения формальных частных решения системы (1) при наличии нулевого корня

Теорема 1. Если выполняются условия 1–4, то система дифференциальных уравнений (5) имеет формальные частные решение вида.

Разрешимость одной краевой задачи для.

Ключевые слова: краевая задача, линейный оператор, функционально-дифференциальное уравнение.

Лемма 2. Для любого имеет место неравенство . (7). Определим оператор равенством и рассмотрим уравнение. (8).

Решение дифференциальных уравнений методом.

Из теоремы существование и единственности решения задачи Коши дифференциального уравнения, для метода последовательности можно получать следующие формулы: Применение этой формулы посмотрим в одном примере

Двумерные системы

ЧАСТЬ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Самарский государственный аэрокосмический университет

Исходный URL: http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/49.html

Недаром говорят: «Лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать». Исследования подтверждают, что информационная пропускная способность органов зрения значительно выше, чем у других каналов передачи информации, доступных человеку. В теории информации доказано, что, подбрасывая монету и наблюдая результат, мы всякий раз получаем одну двоичную единицу (бит) информации. Каждая буква в тексте несет примерно четыре бита информации. Изображение участка поверхности Земли, полученное из космоса, содержит примерно 10 миллионов бит информации! Переработать такое количество информации под силу только самому современному компьютеру. Чтобы научить машину обрабатывать изображения, требуется иметь мощный комплекс технических средств, математический аппарат, алгоритмы и большое количество программ.

Часть первая публикации посвящена построению математических моделей оптических изображений и их дискретным представлениям. Во второй части публикации рассматриваются методы и алгоритмы, а также несколько примеров решения прикладных задач.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОПТИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

1.1. Функция яркости

Необходимость построения математической модели возникает сразу же при использовании компьютера для обработки изображений. Оценивая «на глаз» расстояние между двумя предметами, мы не задумываемся о том, как это делается. Поручив это компьютеру, мы обязаны научить его выполнять подобные действия, то есть заложить в него соответствующие данные и алгоритмы. Хорошо известно, что компьютер имеет дело с массивами чисел в качестве данных. Таким образом, первой задачей компьютерной обработки изображений является перевод изображений в числовую форму. Это требует конкретизации самого понятия «изображение».

Рассмотрим объект, освещенный источником света (рис. 1).
На некотором расстоянии от объекта распределение энергии источника светового излучения, отраженного объектом, по пространственным координатам x, y и по длинам волн l описывается функцией с(x, y, l). Эта функция является неотрицательной; ее максимальное значение в изображающих системах ограничено предельной величиной светочувствительности регистрирующих сред,

0 &lt с(x, y, l) &lt A,

где A — максимальная яркость изображения.

Геометрические размеры изображения ограничены характеристиками формирующей системы и параметрами фоторегистрирующей среды. Будем полагать, что все изображения отличны от нуля в прямоугольной области:

— Lx &lt x &lt Lx , — Ly &lt y &lt Ly .

Человеческое зрение и видеодатчики обладают спектральной чувствительностью, описываемой функцией u(l). Например, как известно, человеческий глаз обладает чувствительностью к свету в диапазоне волн от lmin = 0,35 мкм до lmax = 0,78 мкм. При этом функция спектральной чувствительности достигает своего максимума приблизительно в середине этого диапазона и спадает к его краям.

Каждый видеодатчик обладает индивидуальной характеристикой спектральной чувствительности, обусловленной физикой прибора. Имеются видеодатчики ультрафиолетового и инфракрасного диапазонов, которые широко используются, например, при проведении спектрозональных съемок Земли из космоса.

Как в случае наблюдения объекта человеком, так и в случае использования видеодатчика наблюдаемое изображение является результатом усреднения функции с(x, y, l) по диапазону длин волн с весовой функцией u(l) и описывается выражением

Функцию f(x, y) в дальнейшем будем называть изображением. Таким образом, изображение — это ограниченная функция двух пространственных переменных, заданная на ограниченной прямоугольной области.

1.2. Двумерные линейные системы

Из курса физики хорошо известно понятие оптической системы, осуществляющей преобразование изображений по определенным правилам, определяемым совокупностью используемых в ней оптических элементов и их взаимосвязью.

С математической точки зрения под системой будем понимать правило L, ставящее в соответствие входной функции f выходную функцию g. Различают одномерные 1D и двумерные 2D системы. Одномерные системы преобразуют функции одной переменной:

Соответственно двумерные системы преобразуют функции двух переменных:

Оптические системы по сути своей являются двумерными, но в некоторых случаях могут рассматриваться как одномерные.

Особое место среди всевозможных систем занимают линейные системы. Система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции (наложения), который заключается в том, что отклик системы на взвешенную сумму двух входных воздействий равен взвешенной сумме откликов на каждое из воздействий, то есть

L[a1 f1(x, y) + a2 f2(x, y)] = a1L[f(x, y)] + a2L[f2(x, y)].

Принцип суперпозиций можно выразить в более общем виде, рассматривая произвольное число M входных воздействий:

В изучении оптических систем фундаментальную роль играет понятие точечного источника света. Точечный источник света описывается дельта-функцией Дирака

Каждый электрик должен знать:  Какие автоматы выбрать для стиральной машины, бойлера и духовки

Таким образом, точечный источник обладает бесконечно большой плотностью яркости в бесконечно малой пространственной области — в точке. Безусловно, это математическая абстракция, однако исключительно полезная в физике и допускающая ясную физическую трактовку: дельта-функция может быть определена как предел обычной функции, например

Согласно выражению (9) дельта-функция может рассматриваться как бесконечно узкая колоколообразная функция (рис. 2).

Можно также ввести дельта-функцию, расположенную не в начале координат, а в произвольной точке с координатами (u, u), по формуле

Дельта-функция обладает следующими важными свойствами:

1) Свойство нормировки:

Физически это означает, что, хотя плотность яркости точечного источника бесконечна, энергия его ограничена и равна единице.

2) Фильтрующее свойство

где f(x, y) — произвольная функция двух переменных. Интегралы в (11) и (12) берутся по бесконечно большой пространственной области D. Доказательства свойств 1) и 2) выполняются с помощью подстановки в (11) и (12) выражения (9) и раскрытия предела.

Рассмотрим 2D-линейную систему, на вход которой подан сигнал в виде дельта-функции. Реакция системы на дельта-функцию будет различной для различных систем, называется импульсным откликом и служит характеристикой 2D-системы. Систему называют пространственно-инвариантной, если ее импульсный отклик зависит от разности координат входной (x, y) и выходной (x, h) плоскостей. Для оптической системы, показанной на рис. 3, это означает, что при перемещении точечного источника во входной (предметной) области изображение этого предмета в плоскости наблюдения будет также изменять положение, но сохранять форму.

Для пространственно-инвариантных систем импульсный отклик описывается функцией

h(x — u, y — u) Ї h(x, h),

где x = x — u, h = y — Яu,

Используя функцию импульсного отклика, можно записать уравнение, связывающее изображения на входе и выходе 2D-линейной оптической системы. Для этого представим входной сигнал f(x, y) в виде (12) и подадим его на вход 2D-системы с характеристикой h(x, h). Выходной сигнал запишем в виде

Поскольку операция L линейна и операция интегрирования в фигурных скобках (15) также линейна, их можно поменять местами и записать

Учитывая, что по определению

окончательно получим выражение, устанавливающее связь между изображениями во входной и выходной плоскостях линейной системы:

Уравнение (16) называется интегралом свертки. Из этого уравнения следует, что, зная импульсный отклик оптической системы h(x, h), можно рассчитать выходное изображение по входному.

Процесс свертки иллюстрирует рис. 4.

На рис. 4а и 4б изображены функция f(x, y) на входе и импульсный отклик. На рис. 4а показан импульсный отклик при обращении координат, а на рис. 4г — со сдвигом на величину х, у. На рис. 4д заштрихована область, в которой произведение f(x, h) h(x — x, y — h), входящее в подынтегральное выражение (16), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает величину g(х, у) для заданных значений координат х, у. Таким образом, функция g(х, у) на выходе может быть найдена сканированием входной функции скользящим «окном» — обращенным импульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти функции перекрываются.

1.3. Средства ввода изображений

Техническая задача, которую необходимо решить в компьютерной обработке изображений, — это ввод оптических изображений в память компьютера и вывод (визуализация) изображений. К счастью, в современных компьютерах задача визуализации решена. Для этих целей используются высокоразрешающие цветные дисплеи и другая техника отображения информации.

Ввод изображений в память компьютера осуществляется с помощью видеодатчиков. Видеодатчик переводит оптическое распределение яркости изображения в электрические сигналы и далее в цифровые коды. Поскольку изображение является функцией двух пространственных переменных, а электрический сигнал является функцией одной переменной — времени, то для преобразования используется развертка. Например, при использовании телевизионной камеры изображение считывается по строкам: строка за строкой. При этом в пределах каждой строки зависимость яркости от пространственной координаты x преобразуется в пропорциональную зависимость амплитуды электрического сигнала от времени t. Переход от конца предыдущей строки к началу следующей осуществляется практически мгновенно. Широкое применение в качестве видеодатчиков находят также матрицы фотодиодов и матрицы приборов с зарядовой связью. При использовании матричных видеодатчиков изображение как бы наблюдается сквозь экран с множеством прозрачных ячеек. Число таких ячеек для современных видеодатчиков весьма велико и составляет величину 1024 i 1024 и более (см. рис. 5).

Исходное изображение, как уже отмечалось, представляет собой функцию двух непрерывных аргументов. В то же время цифровая память компьютера способна хранить только массивы данных. Поэтому ввод изображения в компьютер неизбежно связан с дискретизацией изображений по пространственным координатам и по яркости.

2. ДИСКРЕТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

2.1. Дискретизация изображений

Рассмотрим непрерывное изображение f (x, y) — функцию двух пространственных переменных x и y на ограниченной прямоугольной области (рис. 6).

Введем понятие шага дискретизации T1 по пространственной переменной х и Т2 по переменной у. Например, можно представить, что в точках, удаленных друг от друга на расстояние Т1 по оси х, расположены точечные видеодатчики. Если такие видеодатчики установить по всей прямоугольной области, то изображение окажется заданным на двумерной решетке:

Для сокращения записи обозначим

f (n1T1 , n2T2) Ї f (n1 , n2).

Функция f(n1 , n2) является функцией двух дискретных переменных и называется двумерной последовательностью. То есть дискретизация изображения по пространственным переменным переводит его в таблицу выборочных значений. Размерность таблицы (число строк и столбцов) определяется геометрическими размерами исходной прямоугольной области и выбором шага дискретизации по формуле

где [ » ] обозначает целую часть числа.

Если область определения непрерывного изображения — квадрат Lx = Ly = L и шаг дискретизации выбран одинаковым по осям х и у (Т1 = Т2 = Т ), то

и размерность таблицы составляет М 2.

Элемент таблицы, полученной путем дискретизации изображения, называют пиксел. Рассмотрим пиксел f (n1 , n2). Это число принимает непрерывные значения.

Память компьютера способна хранить только дискретные числа. Поэтому для записи в памяти непрерывная величина f должна быть подвергнута аналогово-цифровому преобразованию с шагом D (см. рис. 7).

Операцию дискретизации непрерывной величины по уровням часто называют квантованием. Число уровней квантования равно

В практических задачах обработки изображений величина K варьируется в широких пределах от К = 2 («бинарные» (черно-белые) изображения) до K = 210 и более (практически непрерывные значения яркости). Наиболее часто выбираются К = 28, при этом пиксел изображения кодируется одним байтом информации. Из всего вышеуказанного делаем вывод, что пикселы, хранящиеся в памяти компьютера, представляют собой результат дискретизации исходного непрерывного изображения по аргументам и по уровням. Ясно, что шаги дискретизации Т1 ,Т2 и D должны выбираться достаточно малыми, для того чтобы погрешность дискретизации была незначительна и цифровое представление сохраняло основную информацию об изображении.

При этом следует помнить, что чем меньше шаг дискретизации и квантования, тем больший объем данных об изображении должен быть записан в память компьютера. Рассмотрим в качестве иллюстрации этого утверждения изображение на слайде размером 50 i 50 мм, которое вводится в память с помощью цифрового измерителя оптической плотности (микроденситометра). Если при вводе линейное разрешение микроденситометра (шаг дискретизации по пространственным переменным) составляет 100 мкм, то в память записывается двумерный массив пикселов размерности М 2 = 500 i 500 = 25 i 104. Если же шаг уменьшить до 25 мкм, то размеры массива возрастут в 16 раз и составят М 2 = 2000 i 2000 = = 4 i 106. Используя квантование по 256 уровням, то есть кодируя найденный пиксел байтом, получаем, что в первом случае для записи необходим объем 0,25 мегабайт памяти, а во втором случае — 4 мегабайта.

С физической точки зрения выбор шага дискретизации диктуется шириной пространственного спектра изображения. Чем больше ширина спектра W , тем меньше шаг дискретизации Т. Практически при дискретизации стремятся удовлетворить соотношению

Рассмотрим несколько практически важных 2D-последовательностей, имеющих аналитическое выражение.

1) Цифровой единичный импульс

Нетрудно заметить, что эта последовательность подобна дельта-функции (8). Произвольная последовательность F(n1 , n2) может быть представлена в виде

(сравним с формулой (12)).

2) Цифровой единичный скачок

— функция, которая принимает единичные значения в правом верхнем квадранте координатной плоскости и нулевое значение в других квадрантах.

3) Экспоненциальная последовательность

4) Комплексная экспонента

exp(n1 , n2) = exp[i(w1n1 + w2n2)],

где w1 , w2 имеют смысл пространственных частот.

С математической точки зрения, 2D-система — это правило, которое ставит в соответствие 2D-входной последовательности f (n1 , n2) 2D-выходную последовательность g(n1 , n2).

Напомним, что мы рассматриваем линейные пространственно-инвариантные системы. Подавая на вход системы функцию u0(n1 , n2), на выходе получаем функцию h(n1 , n2), которая называется импульсной реакцией системы.

Импульсная реакция позволяет записать связь между входной и выходной двумерными последовательностями системы в виде

Формула 2D-свертки имеет большую вычислительную сложность. Для иллюстрации рассмотрим

1. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. В двух книгах. М.: Мир, 1982.

Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — v Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Басов Владимир Владимирович, Чермных Александр Сергеевич

Данная статья является пятой в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам . В ней рассматривается случай, когда однородный векторный многочлен в правой части системы имеет линейный общий множитель. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных принципов выделяется простейшая система нормальная форма третьего порядка, задаваемая матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, относящее КФ к выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для каждой КФ приводятся: а) условия на коэффициенты исходной системы, б) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, в) получаемые значения ненормированных элементов КФ.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Басов Владимир Владимирович, Чермных Александр Сергеевич

Two-dimensional homogeneous cubic systems: >This article is the fifth in a series of works devoted to two-dimensional cubic homogeneous systems. It cons >normal form is distinguished on the basis of properly introduced principles. Such a form is defined by the matrix of its right-hand part coefficients, which is called the canonical form (CF). Each CF has its own arrangement of non-zero elements, their specific normalization and canonical set of permissible values for the unnormalized elements, which relates CF to the selected class of equivalence. In addition to classification, each CF is provided with: (a) the conditions on the coefficients of the initial system, (b) non-singular linear substitutions that reduce the right-hand part of the system under these conditions to the selected CF, (c) obtained values of CF’s unnormalized elements.

Текст научной работы на тему «Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — v»

УДК 517.925 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 5 (63). Вып. 4 MSC 34C20

Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — V

В. В. Басов, А. С. Чермных

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Басов В. В., Чермных А. С. Двумерные однородные кубические системы: классификация и нормальные формы — V // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 5(63). Вып. 4. С. 556-571. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.403

Данная статья является пятой в цикле работ, посвященном двумерным однородным кубическим системам. В ней рассматривается случай, когда однородный векторный многочлен в правой части системы имеет линейный общий множитель. Множество таких систем разбивается на классы линейной эквивалентности, в каждом из которых на основании определенным образом введенных принципов выделяется простейшая система — нормальная форма третьего порядка, задаваемая матрицей коэффициентов своей правой части, которая называется канонической формой (КФ). Каждая КФ имеет свою структуру расположения ненулевых элементов, их определенную нормировку и каноническое множество допустимых значений для ненормированных элементов, относящее КФ к выбранному классу эквивалентности. Помимо классификации для каждой КФ приводятся: а) условия на коэффициенты исходной системы, б) линейные неособые замены, преобразующие правую часть системы при этих условиях в выбранную КФ, в) получаемые значения ненормированных элементов КФ.

Ключевые слова: однородная кубическая система, нормальная форма, каноническая форма.

1. Введение. Настоящая работа является непосредственным продолжением работ [1, 2], ив ней сохраняются все введенные ранее обозначения. В связи с большим количеством ссылок на формулы из работы [1] их номера для краткости отмечаются сверху цифрой «1». Например, система (2.1) из [1] обозначается (2.1)1.

Также в работе имеются ссылки на доказательства, выполненные в пакете Maple и доступные в любом из хранилищ https://github.com/Vladimir-Basov/DE или https://github.com/ACherm/DE.

Эта работа завершает классификацию вещественных систем (2.1)1

x 1 = Pi(xi,x2), x2 = P^(xi,X2) (Pi = aix\ + bix1x2 + CiXix\ + dix^ ф 0),

в которых многочлены Pi и P2 имеют общий множитель ненулевой степени l.

Множество систем (2.1)i удалось разбить на классы линейной эквивалентности и выделить в каждом классе образующую — простейшую систему, названную кубической нормальной формой, и отождествляемую с матрицей коэффициентов ее правой части, названной канонической формой (КФ).

Предлагаемая классификация преследует цель максимально упростить сведение возмущенных систем (1.4)i с различными КФ в невозмущенной части к обобщенным нормальным формам. Определение обобщенных нормальных форм и кон-

(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020 556 https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2020.403

структивный метод получения их всевозможных структур приведены в [1, разд. 1.3]. Далее, основываясь на рассуждениях из раздела 1.4, в [2, разд. 1] были разработаны структурные и нормировочные принципы, позволившие оптимально определить КФ.

Рассмотрим для сравнения классификацию двумерных однородных кубических систем, основанную на иных принципах выделения канонических форм.

А. Сима, Дж. Либре в [3] сначала осуществили классификацию однородных многочленов от двух переменных четвертого порядка с вещественными коэффициентами или, коротко, бинарных форм, найдя их алгебраические инварианты относительно линейных неособых замен и выделив образующие — канонические бинарные формы (КБФ). Для этого они адаптировали методы, применявшиеся Г. Гуревичем в [4] для классификации комплексных бинарных форм. Было получено десять КБФ.

Затем произвольной системе (2.1)1 была сопоставлена бинарная форма Г(х1 ,Х2) = Х1Р2(ж1,ж2) — Х2Р1Х ,Х2) и выделено трехпараметрическое семейство систем, которым также сопоставима полученная бинарная форма Г.

Было доказано, что линейная неособая замена, сводящая Г к какой-либо из КБФ, преобразует исходную систему к системе, сопоставимой с полученной КБФ.

Таким образом, была получена алгебраическая классификация систем (2.1)1, позволившая разбить их на десять линейно неэквивалентных классов с явно выписанными образующими — трехпараметрическими семействами систем, каждому из которых сопоставима своя КБФ. Выделенные семейства систем естественно называть каноническими формами данной классификации.

Полученные результаты позволили провести полную топологическую классификацию фазовых портретов в случае, когда многочлены Р1 и Р2 не имеют общего множителя, что справедливо для девяти КБФ и соответствует случаю I = 0 в терминах данного цикла статей. В случаях, когда I = 1, 2, 3, КБФ тождественно равна нулю.

Отметим также, что классификация двумерных однородных квадратичных систем, связанная с вещественными однородными многочленами третьего порядка, была осуществлена в [5].

2. Выделение канонических форм и их допустимых множеств при I = 1. Выделим из списка 1.1 работы [2] структурные формы до ЯГ^’1 включительно, относящиеся к случаю I = 1 (имеется 41 такая форма) и нормируем их согласно НП из [2, разд. 1.2]. Выясним, какие из полученных нормированных структурных форм (ЫБГ, см. [2, опред. 1.6]) являются каноническими формами (СГ, см. [2, опред. 1.10]).

(п 0 0 Л „ (1 0 0 0

= а[У 01 0) (иг = ^МБЕ*? = а[и 00 Чж^1 = а’20 ^10 и 0) У ^ ‘ 22 ^0 1 1 0^ 37

0 0 и М,^ ■ 1 = 4и У У » и ^ ,тЕ5′ 1 = а(и У 0 и » Л, МВЕ5 1 =

1 1 0 0у 1 ^0 0 1 у 2 ^0 0 1 1 у 5

001 1 I при всех допустимых значениях параметров линеиными заменами (2.2)1 сводятся к каким-либо предшествующим согласно СП из [2, разд. 1.1] структурным формам.

Утверждение 2.1. Только №Е4’1 = ст , ШЕ*’1 = а ,

0 0 11/ ‘ \1 г и 0

Доказательство. 1) ШГ4,1 заменой с в1 = —в2, т2 = 0 сводится к БГ54 2) ‘ 15 заменой с Г1 = —2иь-1Т2, в1 =0 сводится к БГ43

3) N5Г4 20 = и 1) заменой с в1 = 0, Т2 = ит1 сводится к БР1

4) №БГ221 заменой с в1 = — в2, Т2 = Т1 сводится к БГ42О;

5) МБЛ^1 заменой с в! = — в2, Т2 = Т1 при и = 1 сводится к БГ^ при и = —1 сводится к БГ43 ,114 к, а при и = ±1 заменой с в1 = — в2, т1 = иТ2 сводится к БГ4 ,217;

6) тГ5,1, №Г2,\ N5^,х заменой с в1 = — в2, т2 =0 сводятся к БГ5

Проверка показала, что остальные тридцать три NSГm,1 являются СГ^^1. □

Замечание 2.1. Здесь и в дальнейшем запись «сводится к какой-либо БГm, 1» означает, что получена указанная форма или одна из предшествующих ей форм.

Выпишем имеющиеся СГm,1, их допустимые множества (рв) и канонические множества (ев) из [2, опред. 1.8, 1.9], причем 03™^ будут установлены в последующих утверждениях 3.1, 3.2 (записи Ьрв, Ьев означают, что ограничений на параметры нет). Укажем также разложение каждой формы на строку (1,в) и матрицу О, как это сделано в системе (2.9)1 х = (а, в) хОд[2 (х), и результант Я2 =0 (см. [6]) матрицы О.

Список 2.1. Все CГ¡n’,1 до СГ^1 включительно с указанием коэффициента в, матрицы О, результанта Д2, рв™^ и еs™l,1 (а, к = ±1, = 0, а =1, Д2 = 0).

I) 24 формы с в = 0 , ¿2 = 0, О — три первых столбца соответствующей CГ¡n,1) :

Лекции — Сигналы и системы их обработки — файл tema13.htm

Доступные файлы (59):

content.htm 6kb. 23.05.2010 19:36 скачать
ts01.doc 436kb. 22.09.2009 19:41 скачать
ts02.doc 602kb. 18.09.2008 22:27 скачать
ts03.doc 157kb. 19.09.2008 20:18 скачать
ts04.doc 585kb. 20.09.2008 17:15 скачать
ts05.doc 158kb. 26.09.2008 21:31 скачать
ts06.doc 336kb. 02.10.2008 13:57 скачать
ts07.doc 321kb. 03.10.2008 18:41 скачать
ts08.doc 231kb. 11.09.2008 19:35 скачать
ts09.doc 564kb. 17.10.2008 15:34 скачать
ts10.doc 448kb. 17.10.2008 20:16 скачать
ts11.doc 200kb. 11.09.2008 18:18 скачать
ts12.doc 252kb. 08.02.2010 22:45 скачать
ts13.doc 428kb. 01.03.2010 20:05 скачать
ts14.doc 177kb. 01.03.2010 20:05 скачать
ts15.doc 290kb. 07.03.2010 21:27 скачать
ts16.doc 152kb. 22.03.2010 21:39 скачать
ts17.doc 188kb. 22.03.2010 21:39 скачать
ts18.doc 174kb. 28.03.2010 22:25 скачать
ts19.doc 197kb. 11.09.2008 19:16 скачать
ts20.doc 136kb. 05.04.2010 18:57 скачать
ts21.doc 179kb. 05.04.2010 18:57 скачать
ts22.doc 153kb. 11.09.2008 19:34 скачать
ts23.doc 479kb. 04.04.2010 20:32 скачать
ts24.doc 613kb. 04.04.2010 21:26 скачать
ts25.doc 324kb. 11.04.2010 19:04 скачать
index.html 4kb. 19.05.2010 00:41 скачать
literature.htm 8kb. 17.05.2010 22:04 скачать
main.htm 5kb. 19.05.2010 00:45 скачать
index.htm 8kb. 24.05.2010 23:20 скачать
index.html 5kb. 24.05.2010 23:20 скачать
title.htm 4kb. 24.05.2010 23:20 скачать
slsprog.doc 133kb. 11.09.2008 20:05 скачать
tema10.htm 7kb. 17.05.2010 21:48 скачать
tema11.htm 6kb. 17.05.2010 21:47 скачать
tema12.htm 7kb. 17.05.2010 21:46 скачать
tema13.htm 7kb. 17.05.2010 21:45 скачать
tema14.htm 7kb. 17.05.2010 21:44 скачать
tema15.htm 7kb. 17.05.2010 21:42 скачать
tema16.htm 5kb. 17.05.2010 21:41 скачать
tema17.htm 6kb. 17.05.2010 21:41 скачать
tema18.htm 6kb. 17.05.2010 21:39 скачать
tema19.htm 9kb. 17.05.2010 21:39 скачать
tema1.htm 8kb. 17.05.2010 22:03 скачать
tema20.htm 6kb. 17.05.2010 21:36 скачать
tema21.htm 7kb. 17.05.2010 21:34 скачать
tema22.htm 8kb. 17.05.2010 21:32 скачать
tema23.htm 7kb. 17.05.2010 21:28 скачать
tema24.htm 6kb. 17.05.2010 22:05 скачать
tema2.htm 6kb. 17.05.2010 22:01 скачать
tema3.htm 7kb. 17.05.2010 21:59 скачать
tema4.htm 7kb. 17.05.2010 21:58 скачать
tema5.htm 6kb. 17.05.2010 21:56 скачать
tema6.htm 7kb. 17.05.2010 21:55 скачать
tema7.htm 7kb. 17.05.2010 21:54 скачать
tema8.htm 6kb. 17.05.2010 21:53 скачать
tema9.htm 9kb. 17.05.2010 21:52 скачать
title.htm 4kb. 19.05.2010 00:41 скачать
titul.htm 9kb. 10.09.2008 00:26 скачать

tema13.htm

Двумерные и многомерные сигналы и системы

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И, в-третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае и многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в геофизической практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме – многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

Двумерная система координат

Задание точек построения является фундаментальной операцией в любой графической системе, и AutoCADв этом смысле не исключение. До тех пор, пока не освоено определение точек на чертеже, ни о каком вычерчивании не может быть и речи.

Абсолютные прямоугольные координаты

Точка на чертеже однозначно определяется парой чисел – значениями ее координат XиY. Как уже отмечалось, положительное направление осей координат совпадает с направлением стрелок на пиктограмме пользовательской системы координат –USC.Сначала задается координатаX, а затем через запятую – координатаY(имеются в виду числа). Для трехмерных моделей понадобится еще одна координата –Z. По умолчанию, точка пересечения координатных осейXиYимеет координаты 0,0. Точки левее нее будут иметь отрицательные координатыX, а точки, расположенные ниже, — отрицательные координатыY.

Выполним простое упражнение, используя для вычерчивания отрезков только мышь.

Упражнение 2. Убедитесь, что текущим является слой Контур. Нажмите кнопку Линия (отрезок) на панели инструментов «Рисование» (или меню Рисование Линия). Обратите внимание на командную строку – в ней появилось приглашение на ввод команды:

Command: _line Specify first point:

(Команда: _отрезок Задайте первую точку:)

Перемещайте перекрестие в зоне черчения, пока в строке состояния не увидите, что значения координат приблизительно равны 200,200, зафиксируйте точку щелчком левой кнопки мыши. Теперь переместите перекрестие в точку, имеющую координаты примерно равные 300,250 (обратите внимание, что за перекрестием потянулась «резиновая нить»), зафиксируйте точку. В результате построен отрезок. Продолжайте щелчками указывать новые 3-4 точки. Прекратить вычерчивание следует нажатием клавиш [Esc] или [Enter] на клавиатуре, или выбрав из контекстного меню пункт ввод.

Выделение объектов производится щелчком мыши по объекту, при этом объект должен попасть в прицел. Выделить группу объектов можно, обрисовав их рамкой, удерживая нажатой левую кнопку мыши, и после обрисовки зафиксировать выделение щелчком. Если объект выбран, его изображение становится пунктирным, и появляются маленькие квадратики, называемые «ручками».

Выделенный объект можно удалить, нажав клавишу [Delete] на клавиатуре или кнопку (Стереть) на панели инструментовИзменить. У выделенного объекта можно изменять цвет, толщину (вес), тип линии с помощью панели инструментовСвойства объектаили пунктаСвойстваконтекстного меню объекта.

Научимся пользоваться кнопкой . Выделите один-два объекта, построенных на слое Контур. Теперь, пользуясь указанной кнопкой, выберите слой Оси. Выделенные объекты перейдут на этот слой и приобретут свойства объектов этого слоя. Обратите внимание на свойства слоя. Снимите выделение клавишей [Esc]. Заморозьте слой Контур и вернитесь на Оси – объекты слоя Контур не видны, разморозьте слой – видны все объекты.

Каждый электрик должен знать:  Как выбрать паяльную станцию и какая лучше в 2020 году

Выделите вычерченные вами отрезки и удалите их.

Теперь вычертим фигуру, вводя координаты ее вершин с клавиатуры.

Упражнение 3. Вычертить фигуру на слое Контур по координатам ее вершин.

Введите с клавиатуры через запятую без пробела координаты первой точки отрезка, нажмите клавишу [Enter], затем введите координаты последующих точек, заканчивая ввод каждой точки клавишей [Enter].

Command: _line Specify first point: 0,0

(Команда: _отрезок Задайте первую точку:0,0)

Specify next point or [Undo]: 200,0

(Задайте следующую точку или [Отмени]:200,0)

Specify next point or [Undo]: 200,100

(Задайте следующую точку или [Отмени]:200,100)

Specify next point or [Close/Undo]: 100,200

(Задайте следующую точку или [Замкни/Отмени]:100,200)

Specify next point or [Close/Undo]: 0,200

(Задайте следующую точку или [Замкни/Отмени]:0,200)

Specify next point or [Close/Undo]: c

(Задайте следующую точку или [Замкни/Отмени]:З)

В результате на экране должен получиться квадрат, от которого отрезан треугольник, прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон.

Рассмотрим команду LINEподробнее. Во второй строке команды содержится текст «Specify next point or [Undo]», то есть вам предлагается сделать выбор: задать координаты следующей точки или отменить ввод предыдущих координат. Слова в квадратных скобках называютопциямикоманды. Опции отделены друг от друга символом /. Опция имеет одну заглавную букву, реже две. Эту букву и нужно ввести для выбора этого варианта, причем вводить можно и строчную букву. То есть, если нужно отменить ввод координат, заданных неверно, текст команды должен быть«Specify next point or [Undo]: U. Закончить ввод опции нужно клавишей [Enter]. Сравните следующий текст с текстом выполненного упражнения:

Command: _line Specify first point: 0,0

Specify next point or [Undo]: 200,0

Specify next point or [Undo]: 200,200 введены неверные координаты

Specify next point or [Undo]: U отменен ввод этих координат

Specify next point or [Undo]: 200,100 — верный ввод

В последнем приглашении команды LINEвыбрана опция [Close] – Замкни, то есть, произведено соединение текущей вершины с первой.

Можно было закончить построение фигуры еще и так:

Specify next point or [Close/Undo]: 0,0 и нажать [Esc].

Упражнение 4. Измените цвет, тип и вес каждого отрезка построенной фигуры. Сохраните и закройте файл Чертеж_1.

Замечание. Если толщина линии не изменяется, посмотрите, чтобы кнопка в строке состояния была утоплена, то есть режим отображения толщины линий должен быть включен.

Фазовые переходы в двумерном мире, где их быть не может

Нобелевская премия Костерлицу и Таулесу за переход Березинского — Костерлица — Таулеса

Валентин Рыжов,
доктор физико-математических наук, заместитель директора Института физики высоких давлений РАН
«Коммерсантъ Наука» №1, октябрь 2020

Когда стали известны имена лауреатов Нобелевской премии по физике за 2020 год, физики стали говорить друг другу, что премия присуждена за «переход Костерлица — Таулеса». Третий лауреат, Дункан Халдейн, несомненно, выдающийся теоретик, известный работами по топологическим состояниям в одномерных цепочках и дробному эффекту Холла, все-таки видится несколько случайной фигурой в этой компании. Зато есть человек, которого нельзя не упомянуть — Вадим Львович Березинский.

Вадим Березинский получил бы Нобелевскую премию, если бы дожил

К сожалению, нобелевскими лауреатами могут стать только живые люди. Иначе премия досталась бы и российскому ученому — Вадиму Львовичу Березинскому. В то время как в англоязычной литературе мы встречаем термин «переход Костерлица — Таулеса», российские ученые чаще говорят о переходе Березинского — Костерлица — Таулеса. Березинский — талантливый советский физик, обладавший выдающимися математическими способностями. Он занимался многими проблемами, но наиболее яркие результаты получил в теории фазовых переходов в двумерных системах и теории локализации в одномерных проводниках. Березинский умер в 1980 году, прожив всего 45 лет. Закончив физический факультет МГУ и аспирантуру МИФИ, он долгое время проработал в ведомственном НИИТеплоприборе и лишь последние три года жизни провел в Институте теоретической физики имени Ландау. Именно Березинский первым сформулировал основные моменты теории, которая в этом году отмечена Нобелевской премией. Будь он жив, безусловно, получил бы ее.

Вопросы приоритета очень сложны, и разбираться в них — дело неблагодарное. Позднее я все-таки выскажу ряд субъективных замечаний по поводу того, почему работа Березинского не получила такого признания, как результаты Костерлица и Таулеса, а сейчас скажу только, что в их основополагающей статье есть корректные ссылки на обе статьи Березинского на эту тему. Более того, в вышедшем в этом году обзоре Костерлица с выразительным названием «Физика Костерлица — Таулеса: основные вопросы» он пишет: «Дэвид и я поздравляли себя с открытием важной новой области физики, однако наша эйфория быстро растаяла. Нам сообщили, что Березинский рассматривал переход, вызываемый вихрями в сверхтекучей пленке, годом ранее, чем мы. Так как ни один из нас не знал русского, мы были в блаженном неведении об этой работе, пока мы разрабатывали основы физики переходов, вызываемых вихрями. По каким-то непонятным причинам наша работа вызвала гораздо больший отклик, чем работа Березинского». Комментарии на эту тему я приведу позднее, сейчас же отмечу, что ЖЭТФ («Журнал экспериментальной и теоретической физики». — «Ъ-Наука»), в котором была напечатана статья Березинского, и в то время исправно переводился на английский.

ЖЭТФ — «Журнал экспериментальной и теоретической физики», один из важнейших и старейший российский физический журнал. Основан в 1873 году как физический раздел «Журнала Русского физико-химического общества». С 1930 года переходит в ведение Академии наук и меняет название на «ЖЭТФ», с 1955 года переводится на английский язык.

Теперь обратимся к теории Березинского — Костерлица — Таулеса. Фазовые переходы представляют собой одно из наиболее распространенных явлений, с которыми приходится сталкиваться как в обыденной жизни, так и в науке и технике. Каждый день мы наблюдаем кипение воды в чайнике. С наступлением зимы — замерзание воды, а весной — таяние льда. Это простейшие примеры фазовых переходов. Их можно множить до бесконечности — магнитные фазовые переходы обеспечивают запись информации в компьютерах, переходы в жидких кристаллах позволяют просматривать эту информацию на дисплеях. Синтез новых материалов при высоких давлениях и температурах (например, алмаза из графита) — это также фазовый переход. Есть и более изощренные примеры, как переход металла в сверхпроводящее состояние, когда он полностью теряет сопротивление или переход гелия-4 в сверхтекучую форму, когда пропадает вязкость. И так далее, вплоть до элементарных частиц и астрофизических объектов, до геофизики и биологии.

Фазовые переходы по стандартной классификации бывают двух типов — первого рода, когда свойства меняются скачком (например, плавление льда), и второго рода, непрерывные (например, переход из магнитного в немагнитное состояние).

Теория, описывающая физику фазовых переходов, была предложена в 1937 году Львом Ландау. Основным пунктом теории Ландау является введенное им представление о параметре порядка — величине, которая равна нулю выше температуры перехода, в неупорядоченной фазе, и возникает при переходе в упорядоченную. Параметр порядка характеризует нарушение симметрии при фазовом переходе. Простейший пример параметра порядка — намагниченность в ферромагнетике. При высоких температурах магнитные моменты свободно вращаются, намагниченности нет, все направления равноправны, система изотропна. Однако при понижении температуры, при некотором ее значении, спонтанно появляется ненулевая намагниченность, происходит фазовый переход в ферромагнитное состояние. Магнитные моменты направлены в основном в одну сторону. Теперь в системе есть выделенное направление (направление вектора намагниченности) — и она перестает быть изотропной, симметрия нарушилась.

Теория Ландау хорошо описывала экспериментальные факты, хотя не учитывала флуктуации параметра порядка. Самым ярким ее достижением оказалось описание сверхпроводимости, за которое в 2003 году Алексей Абрикосов и Виталий Гинзбург были удостоены Нобелевской премии. Вместе с тем к 60-м годам прошлого века стало ясно, что учет флуктуаций принципиален для описания поведения системы непосредственно вблизи фазового перехода второго рода. Это привело к созданию флуктуационной теории фазовых переходов (А. З. Паташинский, В. Л. Покровский, Л. Каданов, М. Фишер, К. Вильсон), за которую в 1982 году Кеннету Вильсону была присуждена Нобелевская премия. Эти и другие авторы обратили, в частности, внимание на роль размерности пространства, в котором происходит переход.

В работах Пайерлса, Ландау, а затем Боголюбова, Мермина и Вагнера было показано, что в двумерных системах с непрерывной симметрией (это, например, двумерные магнетики, сверхпроводники и двумерные кристаллы) флуктуации разрушают дальний порядок, то есть распространенное на всю систему ненулевое значение параметра порядка. Отсюда был сделан вывод, что в таких системах фазовый переход возможен только при нулевой температуре, когда тепловых флуктуаций нет.

Однако появились эксперименты — по сверхтекучести в тонких пленках жидкого гелия-4 при ненулевой температуре, а также результаты компьютерного моделирования, которые противоречили этим выводам.

Ясность была внесена как раз в работах Березинского, Костерлица и Таулеса. Березинский впервые показал, что, несмотря на отсутствие дальнего порядка, пленка жидкого гелия при достаточно низких температурах обладает свойством сверхтекучести. Двумерные кристаллы, несмотря на отсутствие дальнего трансляционного порядка, имеют конечный модуль сдвига, то есть представляют собой твердое тело. Двумерные магнетики оказывают сопротивление неоднородному повороту спинов.

Березинский понял общую природу этих явлений и дал им название поперечной жесткости, используемое сейчас в мировой литературе. Он показал, что в системах с поперечной жесткостью корреляционные функции, описывающие взаимное влияние параметров порядка в двух разных точках, хотя и стремятся при разнесении этих точек к нулю, но спадают медленно, по степенному закону.

Напомним, в «обычных» трехмерных системах возможны два случая. Если дальний порядок есть, то корреляционная функция при бесконечном удалении двух точек стремится к ненулевому пределу. В неупорядоченной же фазе, когда дальнего порядка нет, корреляции спадают экспоненциально быстро. Условно случай Березинского можно назвать промежуточным — стремлению к нулю, но медленное.

Новая фаза, иногда называемая фазой Березинского, принципиально отличается от того, что можно наблюдать в трех измерениях. Из-за медленного спадания корреляций об этой фазе говорят как о фазе с квазидальним порядком. Аналогичные результаты несколько позднее были получены Костерлицем и Таулесом.

Поскольку в низкотемпературной (с квазидальним порядком) и высокотемпературной (без него) фазах таких двумерных систем корреляции спадают по разным законам, между ними должен быть фазовый переход. Какой-то новый переход, отличный от стандартных переходов первого и второго рода. Возник вопрос о его механизме. Березинский первым обнаружил важную роль так называемых топологических дефектов при переходе: вихрей в пленке сверхтекучего гелия, дислокаций в двумерном кристалле, вихревых конфигураций в двумерном магнетике (X–Y-модель) (рис. 1) и дал качественное объяснение механизма перехода. При низких температурах дефекты образуют связанные пары, которые не разрушают квазидальний порядок. Однако при повышении температуры происходит распад, диссоциация связанных пар и образуются свободные дефекты, которые превращают квазидальний порядок в неупорядоченную фазу с быстрым экспоненциальным спаданием корреляций. Метод вычисления температуры перехода был развит уже в работах Костерлица и Таулеса.

Вихрь (слева) и антивихрь (справа) в двумерной X–Y модели. При распаде связанных пар вихрь-антивихрь в системе пропадает квазидальний порядок

Можно только поразиться таланту Вадима Березинского — он взялся за проблему, которой, по мнению большинства физиков в то время, и не существовало вовсе, и открыл новое направление. И это направление живет и развивается до сих пор. Работы Березинского нобелевского уровня послужили основой его кандидатской диссертации.

Теория Березинского — Костерлица — Таулеса (БКТ) нашла и продолжает находить применение при рассмотрении самых разных двумерных систем: сверхтекучих и сверхпроводящих пленок, магнитных и жидкокристаллических пленок, двумерных систем ультрахолодных атомов в ловушках и других.

Остановимся теперь на интересной и активно развивающейся проблеме плавления двумерных кристаллов. Еще в первоначальной работе Костерлиц и Таулес отметили, что двумерный кристалл должен плавиться посредством распада дислокационных пар. Дислокации в данном случае являются топологическими дефектами, при наличии квазидальнего трансляционного порядка эти дефекты хорошо определены. Однако, как было отмечено Мерминым, в двумерном кристалле, кроме квазидальнего трансляционного порядка, есть дальний ориентационный порядок, то есть порядок в направлениях векторов, соединяющих частицу с ее ближайшими соседями.

Как обнаружили позднее Хальперин и Нельсон, диссоциация дислокационных пар разрушает квазидальний трансляционный порядок, но не разрушает дальний ориентационный, а только превращает его в квазидальний. То есть возникает новая фаза, она получила название гексатической. В гексатической фазе существуют свободные дислокации, поэтому ее модуль сдвига равен нулю, то есть это жидкость с элементами упорядочения.

Заметим, что дислокацию можно рассматривать как связанную пару двух других дефектов — дисклинаций. Гексатическая фаза превращается в обычную изотропную жидкость в результате еще одного перехода БКТ посредством распада этих дисклинационных пар. Представленная теория носит название теории Березинского — Костерлица — Таулеса — Хальперина — Нельсона — Янга (BKTHNY). В рамках этой теории двумерный кристалл должен плавиться через два непрерывных перехода типа БКТ с промежуточной гексатической фазой (в трех измерениях плавление всегда есть один переход первого рода).

Дислокация — вид дефекта в кристалле. Дислокацию можно представить себе как не до конца вставленную в кристалл «лишнюю» кристаллическую плоскость.

Дисклинация — вид дефекта в кристалле, связанный с поворотом одной части кристалла относительно другой в ограниченной области.

Теория BKTHNY представляется крайне привлекательной и даже универсальной. Однако в ней есть два момента, вызывающие сомнения: в ее рамках невозможно вычислить энергию ядра топологического дефекта, а также энергию взаимодействия между дисклинациями в гексатической фазе. Это вызвало поток публикаций, как экспериментальных, так и базирующихся на компьютерном моделировании. Эксперименты проводятся на широком круге объектов: двумерные коллоиды, электроны на поверхности жидкого гелия, атомы инертных газов на подложках, магнитные домены в тонкой пленке, вихри в высокотемпературных сверхпроводниках, пылевая плазма, тонкие пленки жидкостей и т. д. В настоящее время можно сделать вывод, что сценарий плавления двумерной системы кардинально зависит от вида взаимодействия между частицами. В частности, показано, что теория BKTHNY справедлива для систем с дальнодействующим взаимодействием. Для систем же с короткодействущими потенциалами плавление также происходит через два перехода с промежуточной гексатической фазой, однако только первый — из кристалла в гексатическую фазу идет в соответствии с теорией БКТ, а гексатическая фаза превращается в изотропную жидкость уже в результате перехода первого рода.

Двумерное плавление различных систем (в частности, систем с потенциалами, качественно описывающими аномальные свойства воды), активно изучается в нашем институте (Институте физики высоких давлений РАН) методами компьютерного моделирования. Удалось показать, что сценарий плавления может как соответствовать теории БКТ, так и качественно отличаться от нее. В настоящее время многое уже понятно в механизмах плавления двумерных систем, но очень многое еще предстоит понять.

В заключение я хотел бы вернуться к вопросу, который был задан в начале статьи: «Так почему статьи Костерлица и Таулеса вызвали больший отклик, нежели статьи Березинского?», и высказать личную точку зрения. Во-первых, есть очевидная объективная причина — хотя основные отечественные журналы переводятся на английский, читали и цитировали их и тогда мало, а сейчас еще меньше. Об этом свидетельствуют низкие импакт-факторы большинства наших журналов.

Однако, на мой взгляд, присутствует и субъективный фактор. Как писали позже некоторые из наших соотечественников, перебравшихся за рубеж, например, Марк Азбель, среди части советских физиков существовали представления, что нужно донести свои идеи только до избранного круга понимающих людей, поэтому и статьи писались в расчете на этот круг. Как я уже говорил, Березинский демонстрировал выдающиеся математические способности (об этом мне рассказали знавшие его люди). В каком-то смысле это, на мой взгляд, сыграло негативную роль. В его статьях видно стремление доказать все результаты в строгой математически форме, а обсуждению физических «последствий» практически не уделяется внимания — три-четыре строчки по поводу «фазы Березинского» в первой статье, несколько строчек о роли вихрей во второй и т. д. В это же время статьи Костерлица и Таулеса производят впечатление популярного изложения идей Березинского (конечно, с учетом серьезного продвижения вперед по сравнению с его работами). Более того, как мне говорил Александр Паташинский, статью Березинского не поняли даже в редакции ЖЭТФ, куда он ее принес, и только заступничество Паташинского и Покровского помогло. Ни один нормальный физик-теоретик не будет отрицать важность уверенного владения математическим аппаратом, но не нужно и про физику забывать.

И еще по поводу математики: в конце одной из статей Костерлиц и Таулес приносят благодарность профессору Скайрму (T. H. R. Skyrme) — за помощь в приближенном решении нелинейного уравнения, описывающего двумерный кулоновский газ. Помог решить уравнение человек, имя которого знает сейчас любой физик — по названию открытого им нелинейного топологического возбуждения «скирмион».

Разрушение квазидальнего порядка

Механизм разрушения квазидальнего порядка в двумерных системах с непрерывной группой симметрии был изящно рассмотрен Костерлицем и Таулесом. Примером такой системы может служить классическая XY-модель, описывающая магнетик, в котором магнитные моменты имеют две компоненты Sx и Sy, расположенные в плоскости. Система описывается гамильтонианом:

где φ — угол между векторами Si и Sj (i и j — ближайшие соседи), J — обменный интеграл. При низких температурах в системе существует квазидальний порядок, характеризуемый степенным убыванием корреляций, при высоких температурах корреляции спадают экспоненциально. Разрушение квазидальнего порядка происходит посредством образования в системе свободных топологических дефектов — вихрей (см. рис. 1),

где интеграл берется по контуру вокруг вихря, Температура перехода может быть определена из простых энергетических соображений: энергия отдельного вихря может быть получена из (1) и имеет вид:

где a — постоянная решетки, L — размер системы. Изменение свободной энергии при появлении вихря равно

S = 2 k B ln ( L / a ) —

энтропия вихря, которая пропорциональна логарифму площади системы, kB — постоянная Больцмана. Величина

F = ( J π − 2 k B T ) ln ( L / a )

T ≥ T 0 = π J / k B

становится отрицательной, так что появление вихря становится энергетически выгодным. Эта простая картина, однако, не является полностью физически адекватной, так как связанные пары противоположно «заряженных» вихрей не разрушают квазидальний порядок и имеют конечную энергию. Такие пары могут существовать даже при низких температурах.

Механизм перехода Березинского — Костерлица — Таулеса представляет собой диссоциацию разреженного газа вихревых пар. Костерлиц и Таулес решили задачу об определении температуры перехода с помощью метода ренормгруппы. Следует отметить, что полученная таким образом с помощью метода ренормгруппы температура перехода совпадает с температурой, вычисленной выше из простых соображений, с заменой константы связи на ее перенормированное значение.

Работа поддержана грантом РНФ 14-12-00820.

Литература
1. В. Л. Березинский, ЖЭТФ, 59, 907 (1970); ЖЭТФ, 61, 1144 (1971).
2. J. M. Kosterlitz and D. J. Thouless, J. Phys. C: Solid State Phys. 5 L124-6 (1972); ibid. 6 1181-203 (1973)
3. J. M. Kosterlitz, J. Phys. C: Solid State Phys. 7, 1046 (1974); Rep. Prog. Phys. 79, 026001 (2020).
4. N. D. Mermin, Phys. Rev. 176, 250 (1968).
5. D. R. Nelson and B. I. Halperin, Phys. Rev. B 19, 2457 (1979).
6. A. P. Young, Phys. Rev. B 19, 1855 (1979).
7. D. E. Dudalov, Yu. D. Fomin, E. N. Tsiok, and V. N. Ryzhov, J. Chem. Phys. 141, 18C522 (2014).
8. E. N. Tsiok, D. E. Dudalov, Yu. D. Fomin, and V. N. Ryzhov, Phys. Rev. E 92, 032110 (2015).

Многомерные сигналы и системы

Двумерные и многомерные сигналы. Двумерный единичный импульс. Специальные двумерные системы. Частотные характеристики сигналов. Дискретизация двумерных сигналов. Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации. Частотный анализ многомерных сигналов.

Рубрика Физика и энергетика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 15.11.2020
Размер файла 333,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Многомерные сигналы и системы

Когда ты смотришь в бездну, бездна смотрит в тебя.

Фридрих Ницше. Немецкий философ-моралист, ХIХ в.

Человек и бездна — две бесконечномерных системы в разных функциональных пространствах с одной точкой пересечения. И лучше держаться от этой точки подальше.

Эрик Трубов. Русский геофизик-оптимист, ХХ в.

1. Двумерные и многомерные сигналы. Двумерный единичный импульс. Двумерный линейный импульс. Двумерная единичная ступенька. Экспоненциальная последовательность. Разделимые последовательности. Конечные последовательности. Периодические последовательности.

2. Двумерные системы. Базовые операции. Линейные системы. Инвариантность к сдвигу. Импульсный отклик. Двумерная свертка. Разделимые системы. Устойчивость систем. Специальные двумерные системы.

3. Частотные характеристики сигналов и систем. Частотный отклик системы. Импульсный отклик системы. Свойства двумерного преобразования Фурье.

4. Дискретизация двумерных сигналов. Прямоугольный растр дискретизации. Дискретные преобразования Фурье. Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Произвольный растр дискретизации. Двумерное интегральное преобразование Фурье. Преобразование Фурье дискретного сигнала. Интерполяция дискретных сигналов. Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации.

5. Частотный анализ многомерных сигналов. Периодические последовательности. Конечные последовательности. Многомерные последовательности.

Обработка многомерных сигналов, используя в частных случаях методы обработки одномерных сигналов, имеет и существенные особенности. Это объясняется тремя факторами. Во-первых, математические методы описания многомерных систем далеки от совершенства и завершенности. Во-вторых, при решении многомерных задач используется значительно больший объем данных. И в третьих, многомерные системы обладают большим числом степеней свободы и, соответственно, значительно большей гибкостью. Так, например, при дискретизации информации в одномерном случае устанавливается только частота отсчетов, а в многомерном не только частота, но и форма растра дискретизации. С другой стороны, многомерные полиномы разлагаются на множители только в частном случае, а, следовательно, многие одномерные методы не обобщаются на случай многомерных задач.

Ниже будут рассматриваться сигналы и системы с размерностью два и более, при этом основное внимание будет уделяться двумерным задачам, имеющим широкое распространение в геофизической практике. Повышение размерности выше двух не приводит к качественным отличиям от двумерных случаев, кроме повышения сложности вычислений.

Многомерная информация в своем абсолютном большинстве, это дискретная информация в цифровой форме — многомерные массивы данных. Многомерные непрерывные функции используются только в чисто теоретических исследованиях. Даже двумерных данных, непрерывных (аналоговых) по обоим аргументам практически не существует. С учетом этого ниже рассматриваются, в основном, многомерные сигналы в дискретной форме.

1. Двумерные и многомерные сигналы [9].

Понятие многомерного сигнала. Многомерные сигналы представляют собой функции P независимых переменных при P>1. В общем случае, сигнал может быть непрерывным, дискретным или смешанным. Понятия непрерывности и дискретности аналогичны одномерным сигналам. Что касается смешанного сигнала, то это многомерный сигнал, который описывается функцией некоторого количества непрерывных и некоторого количества дискретных переменных. Пример смешанного двумерного сигнала: ансамбль непрерывных сигналов, изменяющихся во времени (t — вторая переменная), снимаемых с набора сейсмических приемников сейсмотрассы (номера датчиков — первая переменная).

В общем случае, двумерный непрерывный сигнал представляет собой функцию, значения которой зависят от двух независимых переменных (аргументов, координат):

двумерный сигнал дискретизация частотный

s(x,y) = sin(x 2 +y 2 ), — n b m , — 2 .

Линейные системы. Система считается линейной при выполнении двух условий:

1. Пропорциональное изменение входного сигнала вызывает пропорциональное изменение выходного сигнала.

2. Суммарный сигнал двух входных последовательностей дает суммарный сигнал двух соответствующих выходных последовательностей.

Другими словами, если оператор Т[s(x,y)] описывает линейную систему и имеет место z(x,y) = Т[s(x,y)], q(x,y) = Т[u(x,y)], то Т[as(x,y)+bu(x,y)] = az(x,y)+bq(x,y). Линейные системы подчиняются принципу суперпозиции сигналов.

В выражении (2.1) значения s(i,j) можно рассматривать как скалярные множители для соответствующих единичных импульсов. Применяя оператор преобразования Т[.] к левой и правой части (2.1), получаем:

Каждый электрик должен знать:  Электрическое поле в диэлектрике, окружающем проводники с постоянными токами

где hij(n,m) — отклик системы в точке (n,m) на единичный импульс в точке (i,j). Если импульсный отклик hij(n,m) определен для всех точек (i,j), то отклик системы на произвольный многомерный сигнал, как и для одномерных систем, находится с помощью суперпозиции.

Инвариантность к сдвигу. Система инвариантна к сдвигу, если сдвиг входной последовательности приводит к такому же сдвигу выходной последовательности:

Линейность и инвариантность к сдвигу являются независимыми свойствами системы. Так, пространственное маскирование линейно, но не инвариантно к сдвигу, а безынерционные операторы нелинейны, но инвариантны к сдвигу.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением только систем, широко распространенных при решении практических задач — линейных и инвариантных к сдвигу (ЛИС-системы).

Импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс, как следует из выражения (2.3), описывается выражением:

Для частного случая i = j = 0 имеем:

Используя принцип инвариантности к сдвигу, получим:

т.e. импульсный отклик на произвольно расположенный входной импульс равен сдвинутому импульсному отклику на входной импульс, расположенный в начале координат.

Двумерная свертка. Подставляя (2.4) в выражение (2.3), получаем:

Двумерная дискретная свертка (2.5), является аналогом одномерной дискретной свертки. При замене переменных n-i = k, m-j = l, получим:

т.е. двумерная свертка коммутативна, как и одномерная. В такой же мере она обладает свойством ассоциативности по отношению к последовательности операций свертки нескольких функций (результат не зависит от порядка свертки) и свойством дистрибутивности по отношению к операции свертки с суммой функций (результат аналогичен сумме сверток с каждой функцией). Эти свойства определяют и основное свойство двумерных (и многомерных) линейных систем при их параллельном и/или последовательном соединении — результирующая система также является линейной.

Для упрощения символьного аппарата двумерную свертку обозначают индексом (**):

При обобщении этого выражения на многомерные системы, в векторной форме:

Разделимые системы. Если импульсный отклик системы может быть разделен:

то выражение (2.5′) принимает вид:

Массив g(n,m) вычисляется одномерной сверткой столбцов массива s(n,m) при n = const (сечения массива по координатам n) с откликом h(l), с последующим вычислением выходного массива z(n,m) одномерной сверткой строк g(n,m) при m = const с откликом h(k). Результат не изменится, если сначала выполнять свертку по строкам, а затем по столбцам. Система с откликом вида (2.6) называется разделимой. Отметим, что в разделимой системе входной и выходной сигнал не обязаны быть разделимыми.

Аналогичные разделимые системы могут существовать и в многомерном варианте.

Устойчивость систем. Интерес для практики представляют только устойчивые системы, обеспечивающие определенный конечный результат системной операции на конечные входные сигналы. Необходимым и достаточным условием устойчивости системы является абсолютная суммируемость ее импульсного отклика: ?k ?l |h(k,l)| 2 +?y 2 2 2 ; H(?x,?y) = 0 в остальных случаях.

Вычисления по круговой области целесообразно выполнять в полярных координатах: ??=,

. arctg(?y/?x), ??= arctg(m/n), при этом выражение 3.2 перепишется в следующем виде:

где Jo(…), J1(…)- функции Бесселя 1-го рода 0-го и 1-го порядков соответственно.

На рис. 3.2 приведена пространственная форма импульсного отклика фильтра, расчет которой проведен при R = 1 с ограничением по N = 10 и M = 10, и сечения отклика по координате m.

Рис. 3.2. Круговой низкочастотный фильтр (справа — сечения по координате m).

Свойства двумерного преобразования Фурье. Вышеприведенные преобразования импульсного отклика в частотный отклик и наоборот представляют собой двумерные дискретные преобразования Фурье с прямоугольным растром дискретизации информации, эквивалентные одномерным преобразованиям. На двумерные преобразования с прямоугольным растром переносятся и другие свойства одномерных систем. В частности:

1. Фурье-преобразования сигналов.

2. Теорема о свертке.

3. Основные свойства Фурье-преобразования.

1) Линейность (в том числе для любых комплексных чисел a и b):

2) Пространственный сдвиг:

4) Комплексное сопряжение:

Вещественная и мнимая части Фурье-образов последовательностей s(n,m):

5) Теорема Парсеваля:

В частности, при s(n,m) = s(n,m):

где левая часть уравнения представляет собой полную энергию дискретного сигнала s(n,m), a функция |S(?n,?m)| 2 — спектральную плотность энергии сигнала.

4. Дискретизация двумерных сигналов [9].

Прямоугольный растр дискретизации. Из способов обобщения одномерной периодической дискретизации на двумерный случай наиболее простым является периодическая дискретизация в прямоугольных координатах:

где ?x и ?y — горизонтальный и вертикальный интервалы дискретизации двумерного непрерывного сигнала sa(x,y) с непрерывными координатами x и y. Ниже значения ?x и ?y, как и в одномерном случае, принимаются равными 1.

Дискретизация двумерного, а в общем случае и многомерного сигнала, также приводит к периодизации его спектра и наоборот. Сохраняется также и условие информационной равноценности координатного и частотного представлений дискретного сигнала при равном количестве точек дискретизации в главных диапазонах сигнала. Для прямоугольной дискретизации связь фурье-преобразований непрерывного и дискретного сигналов устанавливается аналогично одномерной дискретизации.

Интегральные преобразования Фурье аналоговых сигналов в непрерывной шкале частот ?x и ?y:

S(k,l) =exp(-jn2?k/N) s(n,m) exp(-jm2?l/M), (4.3′)

s(n,m) =S(k,l) exp(-jn2?k/N-jm2?l/M). (4.4)

s(n,m) =exp(-jn2?k/N) S(k,l) exp(-jm2?l/M). (4.4′)

Выражения (4.3′) и (4.4′) показывают, что двумерное ДПФ по прямоугольному растру дискретизации данных может вычисляться с помощью одномерных последовательных ДПФ. Вторые суммы выражений являются одномерными ДПФ сечений функций s(n,m) и S(k,l) по линиям n и k соответственно, а первые — одномерными ДПФ вычисленных функций в сечениях по m и l. Другими словами, исходные матрицы значений s(n,m) и S(k,l) пересчитываются сначала в промежуточные матрицы с ДПФ по строкам (или по столбцам), а промежуточные — в окончательные с ДПФ по столбцам (или соответственно по строкам).

Интерполяционный ряд восстановления двумерного сигнала. Если непрерывный сигнал sa(x,y) является сигналом с ограниченным спектром, а периоды дискретизации выбраны достаточно малыми и спектры соседних периодов не перекрываются:

то, как и в одномерном случае, сигнал sa(x,y) может быть восстановлен по дискретному сигналу с использованием двумерного аналога ряда Котельникова-Шеннона:

Сигнал с неограниченным спектром также может быть дискретизирован, однако в этом случае имеет место наложение спектров в смежных периодах, при этом высокие частоты, большие частоты Найквиста, будут «маскироваться», как и в одномерном случае, под низкие частоты главного периода. Эффект «отражения» от границ периода дает еще более сложную картину вследствие интерференции частот, отраженных по разным координатам.

Произвольный растр дискретизации. Понятие прямоугольной дискретизации обобщается на произвольный растр дискретизации с линейно независимыми векторами v1 = (v11,v21) T и v2 = (v12,v22) T , где T — индекс транспонирования (рис. 4.1). Координаты двумерного периодического множества отсчетов на плоскости (x,y):

С использованием векторных обозначений:

где = (x,y) T , =(n,m) T , =(v1|v2)- матрица дискретизации. Определитель матрицы не равен нулю, если вектора v1 и v2 линейно независимы. При дискретизации непрерывного сигнала sa(x,y) матрицей формируется дискретный сигнал:

Двумерное интегральное преобразование Фурье непрерывного сигнала по непрерывному вектору = (?1,?2) T :

Данные интегралы являются двойными, поскольку дифференциалы d и d являются векторами.

Преобразование Фурье дискретного сигнала:

Выражение s() может быть получено дискретизацией выражения sa() (4.7):

После подстановки в это выражение значения = T , получаем:

Или, с учетом периодичности по квадратным областям плоскости:

где — вектор целочисленных значений периодов дискретизированной функции по осям ?х и ?у. Сравнивая последнее выражение с выражением (4.9), получаем:

где — матрица периодичности:

которой задаются два линейно независимых вектора периодичности спектра, — единичная матрица 2 х 2. Выражение (4.11) определяет связь между преобразованиями Фурье дискретных и аналоговых сигналов.

Как и в одномерном случае, интервалы дискретизации ?x и ?y определяют главный период двумерного спектра соответственно по осям ?x и ?y и частоты Найквиста: ?xN = ?/?x и ?yN = ?/?y. Спектр дискретного сигнала также является периодическим продолжением спектра аналогового сигнала. Для исключения искажений спектра (наложения спектров боковых периодов на главный период) предельные частоты сигнала должны быть меньше частот Найквиста.

На рис. 4.2 приведен пример центральной части спектра дискретного сигнала при ?x=1 и ?y=1.

В случае прямоугольной дискретизации:

Интерполяция дискретных сигналов. Для сигнала с ограниченным спектром изменением матрицы дискретизации можно подобрать матрицу периодичности таким образом, чтобы в правой части выражения (4.11) не было перекрытия спектров. Тогда для значений по точкам T области С главного периода спектра выражение (4.11) упрощается:

Из выражения (4.16) следует, что при корректной дискретизации непрерывной двумерной функции ее спектр с точностью до нормировочного множителя |det | может быть восстановлен по спектру дискретной функции. Соответственно, выполнив обратное преобразование Фурье левой и правой части равенства (4.16), получим уравнение восстановления непрерывной функции по ее дискретному варианту (многомерный аналог интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона):

где f(..) — интерполяционная функция:

Все приведенные векторные уравнения могут быть обобщены на Р-мерные функции с заменой константы 4? 2 там, где она встречается, на (2?) P .

Прямоугольный и гексагональный растры дискретизации. В принципе, сигнал с ограниченным спектром можно представить по различным растрам дискретизации. Выбор растра обычно производят из условия минимальной плотности отсчетов на плоскости, т.е. минимизацией величины |det|, при котором обеспечивается отсутствие наложений для частот анализируемых сигналов.

На практике для двумерных сигналов используют, как правило, только два варианта растров дискретизации — прямоугольный и гексагональный. Прямоугольному варианту соответствуют диагональные матрицы дискретизации и периодичности (4.13-14). Для гексагональной дискретизации, пример которой приведен на рис. 4.1, в частном случае при ?t = ?х каждый отсчет располагается на равном расстоянии от шести ближайших отсчетов, при этом матрицы дискретизации:

Допустим, имеем сигнал с частотным спектром, ограниченным круговой областью частот ?r:

Круговая область частот вписывается без перекрытий в квадрат со стороной 2?r или в шестиугольник со стороной 2?r/. Матрицы дискретизации:

Поскольку плотность отсчетов пропорциональна 1/|det|, то отсюда следует, что для представления одного и того же сигнала гексагональный растр дискретизации требует на 4% меньше отсчетов по сравнению с прямоугольным. Эффективность «гексагональной» матрицы возрастает при увеличении размерности сигнала. Так, при 4-мерном сигнале для «гексагональной» матрицы требуется в 2 раза меньше отсчетов, чем для «прямоугольной».

5. Многомерный спектральный анализ [9].

Периодические последовательности. Двумерная последовательность s(n,m) прямоугольно периодична, если

для всех (n,m) при целочисленных значениях N и M. Минимальные значения N и M, при которых выполняется данное равенство, называют горизонтальным и вертикальным периодами функции sп(..), которыми ограничивается прямоугольная область RN,M главного периода, содержащая NM независимых отсчетов: 0nN-1, 0mM-1.

Последовательность sп(n,m) с периодами N и M можно представить в виде конечной суммы (ряда Фурье) комплексных синусоид с кратными частотами:

Разложить в ряд Фурье периодический сигнал: sп(n,m) = ?(n,m), 0n4, 0m2

(единичные импульсы с периодом: N = 5, M = 3).

Sп(k,l) =?(n,m) exp(-j2?nk/5-j2?ml/3) = 1 для всех k и l, т.е. равномерная частотная характеристика в главном диапазоне. Соответственно сам сигнал может быть записан в виде двумерного ряда Фурье:

Конечные последовательности. Если s(n,m) представляет собой последовательность конечной протяженности, имеющей опорную область RN,M, то периодическую последовательность sп(n,m) с главным периодом RN,M можно сформировать периодическим продолжением s(n,m):

s() =S() exp(j T 2?/). (5.4)

Кратко рассмотрим особенности многомерных ДПФ (на примере двумерных последовательностей).

ДПФ суммы двух последовательностей с опорной областью на RN,M равно сумме их ДПФ:

но при этом все ДПФ должны быть одного размера и этот размер должен быть достаточным, чтобы включить всю опорную область суммарной последовательности аs(n,m)+bz(n,m). Практически это означает, что х(..) и z(..) должны иметь одну и ту же опорную область. Опорная область каждой последовательности при необходимости дополняется нулями.

Операция свертки двух функций в пространственной области отображается операцией умножения фурье-образов функций в частотной области, однако при этом линейная свертка полных пространственных сигналов при ее вычислении через ДПФ в силу периодического продолжения пространственных функций переходит в циклическую свертку (как и для одномерных сигналов). Результат свертки зависит от периодов N и М.

Допустим, что s(n,m) имеет опорную область RP1,P2, a h(n,m) — RQ1,Q2. Результат линейной свертки:

Опорная область последовательности s(n,m):

Следовательно, наложения периодов результата свертки не произойдет и циклическая свертка в главном частотном диапазоне будет равна линейной свертке при опорной области ДПФ:

Заданы последовательности (начало координат в нижнем левом углу): s(n,m) = , h(n,m) = .

Вычислить свертку z(n,m) = s(n,m) ** h(n,m).

ДПФ размера 2 х 2 для s(n,m). S(0,0) = s(0,0) + s(1,0) + s(0,1) + s(1,1) = 2+1+1+0 = 4

S(1,0) = s(0,0) — s(1,0) + s(0,1) — s(1,1) = 2 -1+1 -0 = 2

S(0,1) = s(0,0) + s(1,0) — s(0,1) — s(1,1) = 2+1 -1 -0 = 2

S(1,1) = s(0,0) — s(1,0) — s(0,1) + s(1,1) = 2 -1 -1+0 = 0

После аналогичного вычисления H(k,l) и перемножения S(k,l)= S(k,l) H(k,l):

После обратного ДПФ размера 2 х 2 получим результат циклической свертки: z(n,m) = .

Дополним опорные области s(.) и h(.) до размера 4 х 4 (для исключения искажения спектра, в принципе, достаточен размер 3 х 3), и повторим вычисления:

Сравнение данного результата с ДПФ размером 2 х 2 позволяет наглядно видеть эффект цикличности свертки.

В настоящее время имеются разнообразные и весьма эффективные алгоритмы ДПФ. Для прямого вычисления P-мерного ДПФ требуется (N1N2. NP) 2 операций умножения и сложения. Для многомерного ДПФ, как и для одномерного, существуют алгоритмы быстрых преобразований Фурье. Простейший из них в двумерном ДПФ — разбиение на строки и столбцы, который мы уже рассматривали. Аналогично, Р-мерное ДПФ может заменяться Р-операциями одномерных ДПФ, при этом общее количество операций умножения и сложения сокращается.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Основные понятия и определения систем передачи дискретных сообщений. Сигнальные созвездия при АФМ и квадратурная АМ. Спектральные характеристики сигналов с АФМ. Модулятор и демодулятор сигналов, помехоустойчивость когерентного приема сигналов с АФМ.

дипломная работа [1,9 M], добавлен 09.07.2013

Физическая теория материи, многомерные модели Вселенной. Физические следствия, вытекающие из теории многомерных пространств. Геометрия Вселенной, свойства пространства и времени, теория большого взрыва. Многомерные пространства микромира и Вселенной.

курсовая работа [169,4 K], добавлен 27.09.2009

Формула для сигнала при гармонической модуляции. Амплитуда и частота несущего колебания. Компьютерное моделирование ЧМ-сигналов с помощью программного пакета Electronics Workbench. Спектр частотно-модулированного сигнала. Частота модулирующего колебания.

лабораторная работа [565,1 K], добавлен 04.06.2015

Примеры измерительных сигналов, используемых в различных разделах науки и техники. Спектральная плотность стационарного случайного процесса. Составляющая погрешности измерений. Причины возникновения внешних помех. Частотная, амплитудная модуляции.

реферат [245,9 K], добавлен 07.05.2014

Основные понятия теории электрических цепей: переходные процессы; интеграл Дюамеля; передаточные характеристики; дискретизация. Первый и второй законы коммутации. Классический метод расчета переходных процессов. Сопоставление дискретизированных сигналов.

курсовая работа [997,1 K], добавлен 22.08.2013

Определение операторной функции ARC-фильтра. Расчет амплитудного и фазного спектров реакции. Построение графика функции времени реакции цепи. Определение переходной и импульсной функции фильтра. Реакция цепи на непериодический прямоугольный импульс.

курсовая работа [358,7 K], добавлен 30.08.2012

Общие свойства линейных цепей с постоянными параметрами. Рассмотрение преобразования сигналов линейными цепями в частотной и временной области. Простейшие цепи и их характеристики: фильтры интегрирующего, дифференцирующего и частотно-избирательного типа.

контрольная работа [739,7 K], добавлен 13.02.2015

Анализ электрической цепи: обозначение узлов, токов. Определение входного и выходного сигналов, передаточной характеристики четырехполюсника. Структурная схема системы управления. Реакции системы на единичное ступенчатое воздействие при нулевых условиях.

контрольная работа [398,1 K], добавлен 05.07.2014

Характеристика спектрального метода анализа сигналов, при помощи которого можно оценить спектральный состав сигнала, а также количественно выяснить его энергетические показатели. Корреляционный анализ сигнала для оценки прохождения сигнала через эфир.

курсовая работа [169,7 K], добавлен 17.07.2010

Понятие и содержание квантования по уровню как процесса преобразования сигнала с непрерывным множеством значений в сигнал с дискретными значениями. Определение погрешности квантования и его шума. Особенности квантования сигналов при наличии помех.

презентация [130,4 K], добавлен 19.08.2013

Двумерные системы

Существует ряд подходов и разработано множество моделей, моделирующих движение дискретных многомассовых систем в вибрирующем контейнере [2].

Существенным недостатком разработанных моделей является то, что процедура моделирования даже двух секунд процесса выполняется от двух часов и более. Поэтому снижение времени моделирования – это очень актуальная задача. Снижение времени предполагается выполнить за счет распараллеливания вычислений, что в свою очередь требует построения специальной модели и алгоритма системы. Автором предлагается следующий подход к моделированию многомассовых систем, при котором параллельно, при помощи видеокарт NVIDIA, с использованием архитектуры вычислений CUDA отслеживаются параметры движения отдельных частиц, их упругое взаимодействие друг с другом и со стенками контейнера и выполняется визуализация процесса.

В 2000 г. профессором С.Н. Шевцовым и А.А. Петряевым была разработана программа моделирования динамики быстрых движений гранулированных сред GranMos [3, 5].

Система GranMoS предназначена для моделирования динамики гранулированных сред при воздействии на них внешнего механического возбуждения со стороны границ. Сконструировав систему, т.е. задав размеры и физико-механические свойства сферических гранул, форму ограничивающего контейнера и закон его движения, законы взаимодействия гранул друг с другом и с границами, системе предоставляют возможность развиваться в соответствии с законами динамики.

Процесс моделирования в этой программе может занимать от нескольких минут до десятков часов. Завершив моделирование, можно увидеть движение системы частиц в реальном времени, поле скоростей и плотности частиц. Система используется для проектирования технологических машин, работающих с гранулированными средами: вибростанков, транспортеров, сепараторов, сит.

Материалы и методы исследования

В настоящей статье предлагается осуществить сокращение машинного времени моделирования за счет разработки эффективного вычислительного метода, использующего распараллеливание на базе многоядерных графических процессоров. Для этого были решены следующие задачи:

а) определены затраты времени на вычислительные процедуры на каждом этапе вычисления;

б) определены резервы сокращения времени;

в) оптимизированы алгоритм вычисления с распараллеливанием;

г) разработан эффективный вычислительный метод программы моделирования с распараллеливанием.

В связи с тем, что эффект сокращения времени моделирования наблюдается при большом количестве частиц, в настоящей работе для определения затрат времени используется контейнер и деталь круглой формы. Это позволяет исключить влияние формы контейнера и детали на ускорение вычислений (рис. 1).

Рис. 1. Фрагмент интерфейса программы исследования процесса виброударного упрочнения детали и контейнера круглой формы

Для определения затрат времени выбирались контейнеры, форма которых представляет собой сплайн 1-й степени, с количеством сегментов в диапазоне от 200 до 800 и числом частиц инструментальной среды в диапазоне от 500 до 10000.

В результате исследования времени выполнения одного шага интегрирования системы выяснилось, что наиболее длительные (от 80 до 90 %) затраты времени «расходуются» на функцию расчета скоростей и ускорений для состояния ансамбля частиц. Остальные процедуры, включающие в себя процедуру обновления границы контейнера, а также функции предиктора, корректора в совокупности занимают не более 20 % процедуры шага интегрирования.

Одним из важных моментов исследования является то, что время моделирования одного шага интегрирования прямопропорционально количеству частиц инструментальной среды (рис. 2). На каждом шаге интегрирования движения ансамбля частиц для каждой частицы выполняются вычисления, не зависящие от результатов вычислений для остальных частиц ансамбля. В этом случае необходимо применить распараллеливание вычислений, которое даст значительное сокращение общего времени выполнения моделирования. Это подтверждается еще тем, что структура программы состоит из этапов, напрямую зависящих от количества частиц ИС и количества сплайнов.

Рис. 2. Время выполнения процедуры интегрирования в зависимости от количества частиц ИС

Результаты исследования и их обсуждение

Рассматривается алгоритм интегрирования двумерной многомассовой системы, состоящей из n частиц и m сегментов сплайновых кривых, методом Адамса 4 порядка с предикт-коррекцией без распараллеливания (рис. 3). Вся процедура выполняется с использованием центрального процессора (ЦП) и ОЗУ хоста.

Рис. 3. Алгоритм процедуры интегрирования без распараллеливания

Шаг 1. В начале каждой итерации процедура интегрирования принимает значение времени time = time + step, где step – шаг по времени. Его характерное значение равно 10-6 с. Таким образом, для моделирования 1 секунды динамики многомассовой системы необходимо выполнить порядка миллиона итераций!

Шаг 2. Осуществляется копирование состояния предыдущего состояния ансамбля инструментальной среды в текущее состояние prevstate = currstate.

Шаг 3. Получение состояния сплайновой границы в момент времени time, при помощи вызова функции buildboundary. Здесь последовательно для каждого сегмента границы контейнера рассчитывается его положение в текущий момент time на основе его кинематической функции движения. Сложность шага O(m).

Шаг 4. Последовательное вычисление предиктора для каждой частицы инструментальной среды. Сложность шага O(n).

Шаг 5. Последовательное вычисление ускорений и скоростей для «предсказанного» состояния ансамбля частиц: fpr = D(time, currstate). Сложность шага линейно зависит от n и m.

Шаг 6. Последовательное вычисление корректора для каждой частицы инструментальной среды. Сложность шага O(n).

Шаг 7. Последовательное вычисление ускорений и скоростей для «скорректированного» состояния ансамбля частиц: fcor = D(time, currstate). Сложность шага аналогична шагу 6.

Шаг 8. Переопределение временных слоев.

Шаг 9. Переход к шагу 1, либо завершение работы при достижении заданного модельного времени.

Анализ алгоритма показывает, что, во-первых, самыми длительными по времени являются шаги 5 и 7, так как именно здесь происходит расчет сил, действующих на все элементы системы и между ними, и, во-вторых, вычисления на шагах 3, 4 и 6 можно легко распараллелить. Так как количество элементов системы лежит в диапазоне от нескольких сотен до нескольких десятков тысяч, то необходимо при распараллеливании вычислений применить аппаратные средства, которые могут генерировать примерно такое же количество потоков. В качестве таких средств в настоящей работе используются видеокарты с поддержкой технологии NVidia CUDA.

Процедура интегрирования двумерной многомассовой системы с распараллеливанием выполняется на основной системе (называемой термином хост), к которой подключен GPU – сопроцессор для массивно-параллельных вычислений, который по отношению к хосту называют устройством. CUDA-программа задействует CPU, где выполняется последовательная часть кода и подготовительные стадии для GPU вычислений, а параллельные участки кода переносятся на GPU, где будут выполняться большим множеством нитей [1, 4]. Исходный код программы прямого моделирования реализован в среде Delphi. Для того чтобы применить распараллеливание при помощи NVIDIA CUDA, необходимо текст кода с распараллеливанием операций реализовать в среде C++. Cвязано это с тем, что на текущий момент времени компилятор CUDA поддерживает только языки С, С++ и Fortran для ускорения приложений с помощью графических процессоров NVIDIA с массивно параллельной архитектурой. Все функции, написанные на С++, реализуются в форме динамической библиотеки, которая подключается к исходной программе моделирования на языке Pascal.

Рис. 4. Алгоритм процедуры интегрирования с распараллеливанием

Алгоритм моделирования с распараллеливанием (рис. 4) отличается тем, что процедура инициализации, которая производится вызовом функций из динамической библиотеки, выполняется как в общей ОЗУ хоста, так и устройства. Затем после выполнения процедуры разгонки «warmup», выполняющейся на CPU, осуществляется копирование всех данных, необходимых для моделирования системы (координат всех сплайнов, координаты и скорости частиц инструментальной среды и т.д.) с хоста на устройство и последующие 100 итераций интегрирования выполняются на устройстве посредством вызова функций из динамической библиотеки. Каждая из вызываемых функций реализована в виде вызова ядер CUDA, код в которых выполняется параллельно, т.е. внутри ядра одновременно происходят вычисления для каждой из частиц инструментальной среды и каждого сегмента детали. Таким образом, распараллелены вычисления на наиболее длительных шагах 3–7 (рис. 3).

При необходимости визуализации или сохранения данных или достижения счетчиком итераций максимального количества шагов, происходит копирование данных из памяти устройства в ОЗУ хоста, а затем освобождение ресурсов на хосте и устройстве.

Рассмотрим модель, содержащую 1576 гранул и 432 сплайна. Траектория движения контейнера по оси Ox и Oy задаются, как гармоническая осцилляция. Частицы инструментальной среды представляют собой стальные шарики. Время моделирования процесса виброударного упрочнения составило 685 с в реализации вычислений с распараллеливанием в сравнении с 7200 с без распараллеливания, что соответствует уменьшению времени моделирования в 10 раз.

Добавить комментарий