Формулы и уравнения кратных интегралов

СОДЕРЖАНИЕ:

Формулы и уравнения кратных интегралов

Формулы и уравнения кратных интегралов

Кратные интегралы . Некоторые формулы

формула вычисления двойного интеграла по области с помощью повторного интегрирования.

— формула замены переменных в двойном интеграле; здесь — функции задающие отображение области g на область G.

— площадь области G на плоскость Oxy.

— площадь области g на плоскости G через криволинейные координаты u, v; здесь g – прообраз области G при отображении

— элемент площади в криволинейных координатах u, v.

, — формулы перехода к полярным координатам ;

-формула вычисления тройного интеграла по области с помощью повторного интегрирования.

— формула вычисления тройного интеграла по области с помощью повторного интегрирования.

-формула замены переменных в тройном интеграле, здесь -функции задающие отображение области на Т.

— объем тела Т в пространстве Оху.

— выражение объема тела в пространстве Oxyz через криволинейные координаты u, v, w; здесь — прообраз тела Т при отображении .

-элемент объема в криволинейных координатах u, v, w.

-формулы перехода к цилиндрическим координатам — якобиан перехода.

, , — формулы перехода к сферическим координатам ; — якобиан перехода.

, — формулы перехода к обобщенным сферическим координатам; — якобиан перехода.

Первообразная. Неопределенный интеграл. Правила интегрирования. Таблица интегралов. Примеры решения задач

Первообразная

Определение 1 . Функцию F (x) , определенную на интервале (a, b), называют первообразной функции f (x) , определенной на интервале (a, b), если для каждого выполнено равенство

Например, из справедливости равенства

вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .

Замечание . Функция F (x) = sin 2x не является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .

Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

Теорема 1 . Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид

где c – некоторое число.

Неопределенный интеграл

Определение 2 . Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

Обозначение (1) читается так: «Неопределенный интеграл от функции f (x) по dx » .

Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.

В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где k – любое число.

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 2 (интеграл от суммы функций) . Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 3 (интеграл от разности функций) . Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной) . Из справедливости формулы

Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть

что k и b – произвольные числа, .

и формула (4) принимает вид

Формула (5) часто используется при решении задач.

Таблица интегралов

, где k – любое число

где n – любое число, не равное – 1

где n, k, b – любые числа, ,

где n – любое число,

где k, b – любые числа, ,
kx + b > 0

где k, b – любые числа,

где a – любое положительное число, не равное 1

где a – любое положительное число, не равное 1 , k, b – любые числа,

где a – любое положительное число, не равное 1

Интегралы — формулы

Определение неопределенного интеграла

Если $\frac =f(x)$, то $y$ — это функция, производная которой равна $f(x)$. Такая функция называется первообразной от функции $f(x)$ или неопределенным интегралом от $f(x)$ и обозначается $f(x) dx$. Аналогично, если $y = \int f(u) du$, то $\frac =f(u)$. Поскольку производная константы равна нулю, все неопределенные интегралы от одной функции отличаются на константу.

Процедура нахождения значения интеграла называется интегрированием.

Основные правила интегрирования

Далее приняты следующие обозначения: $u, v, w$ — функции от переменной $x$;
$a, b, p, q, n$ — произвольные константы, ограниченные, если об этом сказано;
$e = 2,71828. $ — основание натурального логарифма;
$\ln u$ обозначает натуральный логарифм от $u$, где $u > 0$ (для обобщения формул на случай $u > 0$ необходимо заменить $\ln u$ на $\ln |u|$);
все углы считаются в радианах;
все константы интегрирования опущены, но предполагается, что они существуют.

$\int a f(x) \ dx = a \int f(x) \ dx$

$\int (u \pm v \pm w \pm \cdot \cdot \cdot ) \ dx = \int u \ dx \pm \int v \ dx \pm \int w \ dx \pm \cdot \cdot \cdot$

$\int u \ dv = u.v — \int v \ du$ — интегрирование по частям

$\int_<>^<>\frac =lnu=ln|u|$; если u > 0 или ln(-u) если u 0, a ≠ 1.

$\int \sin u \ du = — \cos u$

$\int \cos u \ du = \sin u$

$\int \text u \ du = \ln \sec u = — \ln \cos u$

$\int \text u \ du = \ln \sin u$

$\int \sec u \ du = \ln (\sec u + \text u) = \ln \text \frac $

$\int \csc u \ du = \ln (\csc \ u — \text u) = \ln \text \frac $

$\int \sec^2 u \ du = \text u$

$\int \csc^2 \ u \ du = — \text u \ du$

$\int \text ^2 u \ du = \text u — u$

$\int \text ^2 u \ du = — \text u — u$

$\int \sec u \text u \ du = \sec u \\ \int csc \ u \text u \ du = — csc \ u$

$\int \sinh u \ du = \cosh u$

$\int \cosh u \ du = \sinh u$

$\int \tanh u \ du = \ln \cosh u$

$\int \coth u \ du = \ln \sinh u$

$\int sech \ u \ du = \sin^ (\tanh u) \ or \ 2 \text ^ .e^u$

$\int csch \ u \ du = \ln \tanh \frac \ or \ — \coth^ .e^u$

$\int sech^2 \ u \ du = \tanh u$

$\int csch^2 \ u \ du = — \coth u$

$\int tanh^2 u \ du = u — \tanh u$

$\int \coth^2 u \ du = u — \coth u$

$\int sech u \tanh u \ du = — sech \ u \\ \int csch \ u \coth u \ du = — csch \ u$

Вычисление криволинейных интегралов: теория и примеры

Понятие криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы — обобщение понятия определённого интеграла на случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:

где f(x, y) — функция двух переменных, а L — кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB.

Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?

Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L, а функция двух переменных f(x, y) определена в точках кривой L. Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.

  1. Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
  2. В каждой части свободно выбрать точку M.
  3. Найти значение функции в выбранных точках.
  4. Значения функции умножить на
    • длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода;
    • проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода.
  5. Найти сумму всех произведений.
  6. Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.

Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f(x, y) по кривой AB.

Случай криволинейного интеграла
первого рода

Случай криволинейного интеграла
второго рода

Введём следующие ообозначения.

M i (ζ i ; η i ) — выбранная на каждом участке точка с координатами.

f i (ζ i ; η i ) — значение функции f(x, y) в выбранной точке.

Δs i — длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).

Δx i — проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).

d = maxΔs i — длина самой длинной части отрезка кривой.

Криволинейные интегралы первого рода

Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:

Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл. Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:

В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B) считать началом отрезка, а какую концом, то есть

Криволинейные интегралы второго рода

Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:

В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:

При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy. Тогда получим интеграл

На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P(x, y) и f = Q(x, y) и интегралы

а сумма этих интегралов

называется общим криволинейным интегралом второго рода.

Вычисление криволинейных интегралов первого рода

Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть на плоскости задана кривая y = y(x) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b. Тогда в точках кривой подынтегральная функция f(x, y) = f(x, y(x)) («игрек» должен быть выражен через «икс»), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Если интеграл проще интегрировать по y, то из уравнения кривой нужно выразить x = x(y) («икс» через «игрек»), где и интеграл вычисляем по формуле

Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл

где AB — отрезок прямой между точками A(1; −1) и B(2; 1) .

Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x 1 ; y 1 ) и B(x 2 ; y 2 ) ):

Из уравнения прямой выразим y через x :

Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни «иксы»:

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве задана кривая

Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t ( ) а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле

Аналогично, если на плоскости задана кривая

то криволинейный интеграл вычисляется по формуле

Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл

где L — часть линии окружности

находящаяся в первом октанте.

Решение. Данная кривая — четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как

то дифференциал дуги

Подынтегральную функцию выразим через параметр t :

Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:

Вычисление криволинейных интегралов второго рода

Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.

Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах

Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции «игрек», выраженной через «икс»: y = y(x) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение «игрека» через «икс» и определим дифференциал этого выражения «игрека» по «иксу»: . Теперь, когда всё выражено через «икс», криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:

Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции «икс», выраженной через «игрек»: x = x(y) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:

Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл

а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке — синяя). Напишем уравнение прямой и выразим «игрек» через «икс»:

Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:

б) если L — дуга параболы y = x² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:

В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.

Теорема. Если функции P(x,y) , Q(x,y) и их частные производные , — непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .

Кривая дана в параметрической форме

Пусть в пространстве дана кривая

а в подынтегральные функции подставим

выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл

если L — часть эллипса

отвечающая условию y ≥ 0 .

Решение. Данная кривая — часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .

можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Если дан криволинейный интеграл и L — замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина.

Больше примеров вычисления криволинейных интегралов

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл

где L — отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.

Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью OxA(2; 0) , с осью OyB(0; −3) .

Из уравнения прямой выразим y :

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:

В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем:

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл

где L — дуга параболы между точками О(0; 0) и B(2; 2) .

Решение. Так как , то .

Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:

Пример 7. Вычислить криволинейный интеграл

где L — дуга астроиды

в первом квадранте.

Решение. В первом квадранте . Определим дифференциал дуги:

Представляем криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычисляем его:

Пример 8. Вычислить криволинейный интеграл

где L — первая арка циклоиды

Решение. Циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π . Определим дифференциал дуги:

Подставим в криволинейный интеграл dl и y , выраженные через параметр t и получаем:

Пример 9. Вычислить криволинейный интеграл

где L — отрезок прямой от точки A(1; 1) до точки B(3; 5) .

Решение. Составим уравнение прямой AB :

Из полученного уравнения прямой выразим «игрек»:

Поэтому и теперь можем вычислить данный криволинейный интеграл:

Пример 10. Вычислить криволинейный интеграл

где L — первая арка циклоиды

Решение. Из уравнений кривой следует

Так как циклоида образует первую арку при изменении параметра t от 0 до 2π , то получаем соответствующие пределы интегрирования. Решаем данный криволинейный интеграл:

Уравнением кривой M 0 M 1 является y = 1 , тогда dy = 0 , на кривой M 1 M x — константа, значит, dx = 0 . Продолжаем и завершаем решение:

Вычисление длины дуги кривой

Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл первого рода равен длине дуги кривой L:

Пример 12. Вычислить длину дуги кривой

Решение. Составляем криволинейный интеграл первого рода:

Определим производную «игрека»:

Продолжаем и завершаем решение:

Вычисление площади участка плоскости

Если границей участка D плоскости является кривая L, то площадь участка D можно вычислить в виде криволинейного интеграла второго рода

Пример 13. Вычислить площадь участка плоскости, ограниченного эллипсом

Решение. Площадь участка плоскости можно вычислить как криволинейный интеграл второго рода

где L — замкнутая линия, ограничивающая участок. Так как

Вычисление площади цилиндрической поверхности

Пусть на плоскости xOy дана гладка кривая L, в точках которой определена непрерывная функция двух переменных . Построим цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна оси Oz, и которая заключена между кривой L и поверхностью . Площадь этой цилиндрической поверхности можно вычислить по формуле

Вычисление массы материальной кривой

Если L — материальная кривая с плотностью , то массу материальной кривой можно вычислить по формуле

Определение статических моментов материальной кривой

Статические моменты материальной кривой с плотностью относительно осям координат вычисляются по формулам

Вычисление моментов инерции материальной кривой

Моменты инерции материальной кривой с плотностью относительно осей координат и начала системы координат можно вычислить по формулам

Вычисление координат центра тяжести материальной кривой

Координаты центра тяжести материальной кривой с плотностью можно определить по формулам

Вычисление работы силы

Если под воздействием переменной силы материальная точка перемещается из точки M в точку N по кривой L=MN, то приложенную работу можно вычислить по формуле

Пример 14. В каждой точке плоскости действует сила . Вычислить работу, совершаемую силой при перемещении единицы массы по дуге параболы из точки O(0;0) в точку А(4;2) .

Решение. Работу силы вычислим как криволинейный интеграл второго рода

Используя уравнение параболы, производим замену переменной

Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников

За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов

Почему вы не знаете, как решать интегралы

А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.

Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:

  • вычисление площади фигуры.
  • вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
  • определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
  • и др.

Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.

Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.

Интеграл – что это?

Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.

Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.

Метод исчерпывания для определения площади круга

В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.

Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.

Объясняем понятие «Интеграл»

Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.

Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».

Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.

Интеграл записывается так:

Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).

Неопределённый интеграл

Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.

Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».

Определённый интеграл

В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.

Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла

Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся

Как вычислять интеграл правильно

Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:

Вынесение константы из-под знака интеграла

Разложение интеграла суммы на сумму интегралов

Если поменять местами a и b, знак изменится

Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом

Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.

Примеры вычисления интегралов

Решение неопределенного интеграла

Решение определенного интеграла

Базовые понятия для понимания темы

Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.

Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.

Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.

Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.

Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.

Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.

Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.

Заключение

Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.

Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:

Решения интегральных уравнений онлайн

В этом разделе мы рассмотрим типовые задачи по интегральным уравнениям с решениями. Интегральное уравнение содержит неизвестную функцию под знаком интеграла (по аналогии как дифференциальное — функцию под знаком дифференциала:)).

Выделяют два основных класса интегральных уравнений: уравнения Фредгольма I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^b K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^b K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

В случае переменного верхнего предела интегрирования получаем соответственно уравнение Вольтерра I и II рода:

$$ (I) \quad \int_a^x K(x,s)u(s)ds = f(x),\\ (II) \quad u(x)=\int_a^x K(x,s)u(s)ds + f(x). $$

Это линейные неоднородные уравнения (при $f(x)=0$ — однородные), иногда рассматриваются более общий случай с параметром $\lambda$ перед интегралом.

Ниже вы найдете примеры нахождения решений интегральных уравнений, собственных значений и функций, исследования ядра, применения интегральных уравнений для решения других задач.

Примеры решений интегральных уравнений

Задача 1. Пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта, исследовать и решить интегральное уравнение 2-го рода $(E+\lambda A)x=y$ в гильбертовом пространстве $X$.

Задача 2. Найти собственные значения и собственные функции уравнения:

$$ y(x)=\lambda \int_0^1 (\cos 2\pi x +2x \sin 2\pi t +t \sin \pi x)y(t)dt. $$

Задача 3. Решить уравнение Вольтерры, сведя его к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 4. Решить или установить неразрешимость уравнений с вырожденным ядром.

Задача 5. Решить интегральное уравнение, сведя его предварительно к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Задача 6. Найти резольвенту для интегрального уравнения Вольтерры со следующим ядром $K(x,t)=x^ t^ $.

Задача 7. Исследовать решения уравнения с вырожденным ядром при различных значениях параметра $\lambda$ (ограничиться случаем вещественных характеристических чисел).

$$ y(x)-\lambda \int_0^1 x y(t)dt = \sin 2\pi x. $$

Задача 8. Для симметричного ядра $$K(x,t) = \frac \sin |x-t| \quad (0 \le, x,t \le \pi)$$ найти характеристические числа и соответствующие им собственные функции, сводя интегральное уравнение к однородной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения.

Задача 9. Решить краевую задачу, используя функцию Грина

Задача 10. Применяя преобразование Лапласа, решить интегральное уравнение

Помощь с интегральными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по интегральным уравнениям (и другим разделам математического и функционального анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 200 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного

М.: Дрофа, 2004. — 512 с.

Учебник соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

В первом томе содержатся основные сведения по теории определителей и матриц, линейных систем уравнений, а также элементы векторной алгебры. Рассматриваются основные вопросы линейной алгебры: линейные операторы, самосопряженные операторы, квадратичные формы, линейное программирование. Включены элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.
Второй том содержит: введение в анализ, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных, ряды.
Третий том содержит: обыкновенные дифференциальные уравнения, кратные интегралы, векторный анализ, ряды и интеграл Фурье, простейшие задачи из теории уравнений математической физики, функции комплексного переменного, элементы операционного исчисления.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.

Содержание:
Предисловие
Глава 1 — Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задача, приводящая к дифференциальному уравнению
Общие понятия
Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
Теорема существования решения дифференциального уравнения первого порядка
Метрическое пространство
Доказательство теоремы существования решения дифференциального уравнения первого порядка
Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка
Уравнения, не разрешенные относительно производной
Особые решения
Огибающая семейства кривых
Дифференциальное уравнение второго порядка
Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка
Дифференциальное уравнение n-го порядка
Понижение порядка дифференциального уравнения
Линейные уравнения высшего порядка
Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Метод вариации постоянных
Частное решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами. Приложения
Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство
Линейная однородная система дифференциальных уравнений
Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Сведение системы уравнений к одному уравнению
Неоднородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов
Элементы теории устойчивости
Классификация точек покоя
Глава 2 — Кратные интегралы
Сведения из теории меры Жордана
Свойства кратных интегралов. Теоремы существования
Сведение кратного интеграла к повторным
Доказательство существования интеграла от непрерывной функции
Замена переменных. Простейший случай
Замена переменных. Общий случай
Полярная система координат в плоскости
Полярная система координат в пространстве
Цилиндрические координаты
Площадь поверхности
Координаты центра масс
Несобственные интегралы
Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии
Несобственный интеграл, зависящий от параметра
Глава 3 — Векторный анализ
Кусочно-гладкая ориентированная кривая
Криволинейный интеграл первого рода
Интеграл от вектора вдоль кривой
Поле потенциала
Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
Ориентация плоской области
Формула Грина
Интеграл по поверхности первого рода
Ориентация поверхности
Система координат и ориентация поверхности
Интеграл по ориентированной плоской области
Поток вектора через ориентированную поверхность
Дивергенция. Теорема Гаусса-Остроградского
Соленоидальное поле
Формула Стокса
лава 4 — Ряды Фурье. Интеграл Фурье
Тригонометрические ряды
Сходимость тригонометрических рядов
Ряд Фурье
Признаки сходимости рядов Фурье
Ортогональные свойства тригонометрических функций
Коэффициенты Фурье
Оценка коэффициентов Фурье
Пространство функций со скалярным произведением
Ортогональная система функций
Полнота тригонометрических функций
Комплексная форма ряда Фурье
Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье
Косинус- и синус-преобразования Фурье
Примеры
Приближение интеграла Фурье
Сумма Фейера
Полнота систем функций в С и L2
Сведения из теории кратных рядов Фурье
Глава 5 — Уравнения математической физики
Температура тела
Задача Дирихле
Задача Дирихле для круга
Задача Дирихле для полуплоскости
Уравнение теплопроводности в стержне
Теплопроводность для бесконечного стержня
Малые колебания струны
Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера
Колебание круглой мембраны
Общая задача Штурма-Лиувилля
Интеграл энергии (Дирихле)
Применение преобразований Фурье
Глава 6 — Теория функций комплексного переменного
Понятие функции комплексного переменного
Производная функция комплексного переменного
Условия Даламбера-Эйлера (Коши-Римана)
Гармонические функции
Обратная функция
Интегрирование функций комплексного переменного
Формула Коши
Интеграл типа Коши
Степенной ряд
Ряд Лорана
Классификация изолированных особых точек. Вычеты
Классификация особых точек на бесконечности
Теорема о вычетах
Вычисление интегралов при помощи вычетов
Линейная функция. Дробно-линейная функция
Глава 7 — Операционное исчисление
Изображение Лапласа
Изображение простейших функций и свойства изображений
Приложения операционного исчисления
Глава 8 — Обобщенные функции
Понятие обобщенной функции
Операции над обобщенными функциями
Преобразование Фурье обобщенных функций
Предметный указатель

Смотрите также

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика.Тома 1-3

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление

М.: Наука, 1988. — 432 с. (3-е изд. )

Учебник вместе с двумя другими книгами тех же авторов «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» и «Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного» соответствует программе по высшей математике для инженерно-технических специальностей.

Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 2)

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного

Бугров Я.С., Никольский С.М. Сборник задач по высшей математике

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в примерах и задачах. Часть 2

Учеб. пособие для студентов втузов. В 2-х ч. Ч. II. — 5-е изд., испр. и доп. — М.: Высш. шк. , 1999. — 416 с, ил.

Во второй части рассмотрены кратные и криволинейные интегралы, ряды, дифференциальные уравнения, теория вероятностей, теория функций комплексного переменного, операционное исчисление, методы вычислений, осно.

Калькулятор Интегралов

Вычисление интегралов онлайн
— по шагам и с графиками!

Калькулятор Интегралов позволяет вычислять интегралы и первообразные функций онлайн — совершенно бесплатно!

Наш Калькулятор позволяет проверить решение Ваших математических заданий. Он поможет вам с решением задачи показывая весь ход решения шаг за шагом. Поддерживаются все виды интегрирования включая специальные функции.

Калькулятор Интегралов поддерживает вычисление определённых и неопределённых (первообразных функций) интегралов включая интегрирование функций с несколькими переменными. Кроме этого Вы можете проверить результат своего решения! Интерактивные графики помогут представить и лучше понять функции интегралов.

Чтобы узнать больше о том как пользоваться Калькулятором Интегралов, загляните в раздел «Справка» или ознакомьтесь с примерами.

Ну что ж, теперь — вперед! Успешного интегрирования!

Введите функцию, которую вы хотите проинтегрировать в Калькулятор Интегралов. Не вводите «f(x) =» часть! Калькулятор Интегралов сразу показывает математическое выражение в графическом виде, прямо в процессе ввода. Убедитесь, что это выражение соответствует тому, что Вы хотели ввести. Используйте скобки если понадобится, например «a/(b+c)«.

В разделе «Примеры», приведены некоторые из функций которые Калькулятор Интегралов способен вычислять.

После того как Вы закончили вводить вашу функцию, нажмите «=» и Калькулятор Интегралов выдаст результат.

В разделе «Настройки» переменная интегрирования и пределы интегрирования могут быть установлены/изменены. Если пределы интегрирования не будут указаны, то будет вычислена только лишь первообразная функция.

Щелчок мышки на примере вводит его в Калькулятор Интегралов. Простое наведение мышки — показывает текст выражения.

Настройте параметры калькулятора:

Основная формула Обобщения
Переменная интегрирования:
Верхний предел (до): +∞
Нижний предел (от): –∞
Использовать только численное интегрирование?
Упрощать выражения интенсивнее?
Упрощать все корни?
(√ x² станет x, а не |x|)
Использовать комплексные числа (ℂ)?
Использовать числа с запятой вместо дробей?

Генератор заданий для тренировки позволяет сгенерировать сколько угодно различных случайных заданий.

Ниже Вы найдете настройки конфигурации и один из предложенных вариантов задания. Вы можете взяться за его решение (тогда оно будет введено в Калькулятор) или сгенерировать новое.

Вычисляем интеграл: Введите Ваш результат:

Следующее выражение будет вычислено:

Загрузка … пожалуйста подождите!
Это займет несколько секунд.

Это не то, что Вы имели ввиду? Используйте скобки! В случае необходимости, выберите переменную и пределы интегрирования в разделе «Настройки«.

Результаты вычислений

Как работает Калькулятор Интегралов

Для тех кому интересны технические подробности, в этой части рассказывается как устроен и работает Калькулятор Интегралов.

Сначала синтаксический анализатор (па́рсер) анализирует исходное математическое выражение. Он преобразует его в форму более удобную для компьютера, а именно в форму дерева (см. картинку ниже). В процессе такого преобразования, Интегральный Калькулятор должен соблюдать порядок операций с учетом их приоритета. Так же, как и то, что в математических выражениях знак умножения часто опускается, например, мы обычно пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор Интегралов должен уметь понимать такие случаи и сам добавлять знак умножения.

Па́рсер написан на JavaScript, и основывается на алгоритме сортировочной станции, поэтому может исполняться прямо в браузере. Это дает возможность генерировать удобочитаемое выражение на ходу, преобразуя получающееся дерево в код для LaTeX (Ла́тех). С помощью MathJax происходит генерация картинки и ее отображение в браузере.

По нажатию кнопки «=», Калькулятор Интегралов отправляет математическое выражение вместе с параметрами (переменной интегрирования и пределами интегрирования) на сервер, где оно анализируется еще раз. В этот раз выражение преобразуется в форму которая будет понятна системе компьютерной алгебры Maxima (Ма́ксима).

Ма́ксима вычисляет интеграл математической функции. Результат Ма́ксимы снова преобразуется в Ла́тех а затем показывается пользователю. Первообразная вычисляется с помощью алгоритма Ри́ша, который достаточно замысловат для понимания человеком. Именно поэтому задача показывать промежуточные шаги решения интегралов является такой сложной.

Для того чтобы всё-таки показать пошаговое решение, Калькулятор Интегралов использует такие же методы, которыми бы воспользовался человек. Алгоритм, который это осуществляет, разрабатывался в течении нескольких лет и был написан на собственном языке программирования Ма́ксимы. Программа содержит более чем 17000 строк кода. Если интегрируемое выражение совпадает по форме с уже известным, алгоритм применяет заранее определённые правила для решения интеграла (например, метод неопределённых коэффициентов для рациональных функций, тригонометрическую подстановку в интегралах с квадратным корнем из квадратичной функции или интегрирование по частям для продуктов определенных функций). Если же оно не совпадает с уже известным, тогда алгоритм пробует разные подстановки и преобразования пока интеграл не будет решен или пока не закончится отведённое для этого время или же пока не кончатся все возможные варианты. С одной стороны, у Калькулятора нет математической интуиции, которая бы очень помогла в поисках первообразной, но зато, с другой стороны, Калькулятор в состоянии перепробовать большое количество разных вариантов за очень короткое время. Такое пошаговое вычисление первообразной по правилам, зачастую, более компактно и элегантно чем вычисленное Ма́ксимой.

Еще один режим работы «Проверка решения» должен решить сложную задачу по определению являются ли два математических выражения равными друг другу. Разница между выражениями вычисляется и упрощается с помощью Ма́ксимы настолько, насколько это возможно. К примеру, это может быть переписывание тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальные формы. Если удается упростить разницу до нуля — задача выполнена. В противном случае, применяется вероятностный алгоритм, который вычисляет и сравнивает оба выражения в случайно выбранных местах. В случае с первообразной, вся процедура повторяется для каждой производной, т.к. первообразная может отличаться константой.

Интерактивные графики функций вычисляются в браузере и отрисовываются на Сanvas («Холст») из HTML5. Для каждой математической функции, которая должна быть отрисована, Калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется с шагом, необходимым для правильного отображения графика. Все сингулярности (например полюса) функции обнаруживаются в процессе отрисовки и обрабатываются отдельно. Управление жестами для мобильных устройств сделано на основе hammer.js.

Если у Вас есть вопросы или пожелания, а так же идеи как улучшить Калькулятор Интегралов, пожалуйста пишите мне на e-mail.

© David Scherfgen 2020 — all rights reserved.

Вычисление интегралов

Примеры правильной записи некоторых выражений

sqrt(6-x)
(6+2*x)^(1/3)
log5(1+x) log(1+x,5)
(2/3+x^2)/(x^3+x)

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Точки разрыва функции

Приемы нахождения неопределенных интегралов

Пример 1. Вычислить ∫ (3x+15) 17 dx .
Решение.
Возводить двучлен в 17-ю степень нецелесообразно. Исходя из табличного интеграла , получаем
= .
Пример 2. Вычислить .
Решение.
Аналогично предыдущему,
=

Пример 3. .
Решение. Поскольку
, то .

Пример 4. Вычислить
Решение. Так как
, то .

Пример 5. Вычислить .
Решение.
Применим подстановку . Отсюда x-5=t 2 , x=t 2 +5 , dx=2tdt .
Подставив в интеграл, получим

Пример 6. Вычислить ∫ x 2 e x dx .
Решение.
Положим u=x 2 , dv=e x dx ; тогда du=2xdx , v=e x . Применим формулу интегрирования по частям:
∫x 2 e x dx=x 2 e x -2∫xe x .
Мы добились понижения степени x на единицу. Чтобы найти ∫xe x , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем u=x , dv=e x dx ; тогда du=dx , v=e x и
∫xe x =x 2 e x -2xe x +2e x +C .

Пример 7. Вычислить .
Решение. Выделяя целую часть, получим: .
Учитывая, что x 4 +5x 2 +4=(x 2 +1)(x 2 +4) , для второго слагаемого получаем разложение

Приводя к общему знаменателю, получим равенство числителей:
-5x 2 –4=(Ax+B)(x 2 +4)+(Cx+D)(x 2 +1) .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем
x 3 : 0=A+C
x2: -5=B+D
x: 0=4A+C
x 0 : -4=4B+D

Отсюда находим A=C=0 , B= 1 /3 , D=- 16 /3 .
Подставляя найденные коэффициенты в разложение и интегрируя его, получаем:

Пример 8. Вычислить .
Решение. Так как
,
то подынтегральное выражение есть рациональная функция от x и ; поэтому введем подстановку:
; ,
откуда
; ; ; .
Следовательно,

Пример 9. Вычислить .
Решение.
Подынтегральная функция рационально зависит от sinx(x) и cos(x) ; применим подстановку tg x /2=t , тогда
, , и
=
Возвращаясь к старой переменной, получим
= .

Пример 10. Вычислить .
Решение.
Произведем замену 1+3x 8 = z 2 . Тогда , ;
таким образом,
.
Следует обратить внимание, что при замене переменной в определенном интеграле пределы интегрирования в общем случае изменяются.

Пример 11.Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Решение. Подынтегральная функция не ограничена в окрестности точки x =1. На любом же отрезке [1+ε;e] она интегрируема, так как является непрерывной функцией. Поэтому

Пример 13. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x 2 и прямой x+y=2 .
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения параболы y=x 2 и прямой y=2-x . Решая уравнение x 2 =2-x , находим x1=-2 , x2=1 . Так как фигура ограничена сверху прямой, а снизу параболой, по известной формуле находим
.

Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.

Интегралы и их решение многих пугает. Давайте избавимся от страхов и узнаем, что это такое и как решать интегралы!
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое.
Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию.
Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему.
В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .

Так вот площадь закрашенной области, есть интеграл от функции в пределах от a до b.
Не верится? Проверим на любой функции. Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию значениями а=1 и b=2. Построим:

Итак ограниченная фигура прямоугольник. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. В наше случае длина 3, ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить тоже самое не прибегая к построению, используя интегрирование:

Как видите ответ получился тот же. Решение интегралов – это собирание во едино каких-либо элементарных частей. В случае с площадью суммируются полоски бесконечно малой ширины. Интегралы могут быть определенными и неопределенными.
Решить определенный интеграл значит найти значение функции в заданных границах. Решение неопределенного интеграла сводиться к нахождению первообразной.

F(x) – первообразная. Дифференцируя первообразую, мы получим исходное подинтегральное выражение. Чтобы проверить правильно ли мы решили интеграл, мы дифференциируем полученный ответ и сравниваем с исходным выражением.
Основные функции и первообразные для них приведены в таблице:

Таблица первообразных для решения интегралов

Основные приемы решения интегралов:
Решить интеграл, значит проинтегрировать функцию по переменной. Если интеграл имеет табличный вид, то можно сказать, что вопрос, как решить интеграл, решен. Если же нет, то основной задачей при решении интеграла становиться сведение его к табличному виду.
Сначала следует запомнить основные свойства интегралов:

Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные приемы решения интегралов. Данные приемы охватывают большую часть заданий по теме нахождения интегралов.
Также мы рассмотрим несколько базовых примеров решения интегралов на базе этих приемов. Важно понимать, что за 5 минут прочтения статьи решать все сложные интегралы вы не научитесь, но правильно сформированный каркас понимания, позволит сэкономить часы времени на обучение и выработку навыков по решению интегралов.

Основные приемы решения интегралов

1. Замена переменной.

Для выполнения данного приема потребуется хороший навык нахождения производных.

2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой.

Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.

3. Интегрирование дробно-рациональных функций.
— разложить дробь на простейшие
— выделить полный квадрат.
— создать в числителе дифференциал знаменателя.

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций.
— выделить под корнем полный квадрат
— создать в числителе дифференциал подкоренного выважения.
5. Интегрирование тригонометрических функций.
При интегрировании выражений вида
применяет формулы разложения для произведения.
Для выражений
m-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin 2 +cos 2 =1
m,n – четные, sin 2 x=(1-cos2x)/2 и cos 2 x=(1+cos2x)/2
Для выражений вида:
— Применяем свойство tg 2 x=1/cos 2 x — 1

С базовыми приемами на этой всё. Теперь выведем своего рода алгоритм:
Алгоритм обучения решению интегралов:
1. Разобраться в сути интегралов. Необходимо понять базовую сущность интеграла и его решения. Интеграл по сути есть сумма элементарных частей объекта интегрирования. Если речь идет об интегрирование функции, то интеграл есть площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. Если интеграл неопределенный, то есть границы интегрирования не указаны, то решение сводиться к нахождению первобразной. Если интеграл определенный, то необходимо подставить значения границ в найденную функцию.
2. Отработать использование таблицы первообразных и основным свойства интегралов. Необходимо научиться пользоваться таблицей первообразных. По множеству функций первообразные найдены и занесены в таблицу. Если мы имеем интеграл, которые есть в таблице, можно сказать, что он решен.
3. Разобраться в приемах и наработать навыки решения интегралов.Если интеграла не табличного вида, то его решение сводиться к приведению его к виду одного из табличных интегралов. Для этого мы используем основные свойства и приемы решения. В случае, если на каких то этапах применения приемов у вас возникают трудности и непонимания, то вы более подробно разбираетесь именно по этому приему, смотрите примеры подобного плана, спрашиваете у преподавателя.
Дополнительно после решения интеграла на первых этапах рекомендуется сверять решение. Для этого мы дифференциируем полученное выражение и сравниваем с исходным интегралом.
Отработаем основные моменты на нескольких примерах:

Примеры решения интегралов

Пример 1:
Решить интеграл:

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.

Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице.
Решение интеграла:

Проверим решение(найдем производную):

Пример 2. Решаем интеграл

Интеграл неопределенный. Находим первообразную.
Сравниваем с таблицей. В таблице нет.
Разложить, пользуясь свойствами, нельзя.
Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной.
Заменяем х+5 на t 5 . t 5 = x+5 . Получаем.

Но dx нужно тоже заменить на t. x= t 5 — 5, dx = (t 5 — 5)’ = 5t 4 . Подставляем:

Интеграл из таблицы. Считаем:

Подставляем в ответ вместо t ,

Пример 3. Решение интеграла:

Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:

В данном случае коэфециент ? перед интегралом получился в результате замены dx на ?*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ?*(2x+1)’= 1, то поймете почему так.
В результате мы привели интеграл к табличному виду.
Находим первообразную.

В итоге получаем:

Для закрепления темы интегралов рекомендуем также посмотреть видео.

В нем мы на примере физики показываем практическое применение интегрирования, а также решаем еще несколько задач.

Надеюсь вопрос, как решать интегралы для вас прояснился. Мы дорабатываем статью по мере поступления предложений. Поэтому если у вас появились какие то предложения или вопросы по теме решения интегралов, пишите в комментариях.

Рекламная заметка: Для особо пытливых умов советуем Видео-лекции по математическому программированию . Программирование одна из дочек математики!

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Каждый электрик должен знать:  Техника безопасности при обслуживании электрооборудования станков
Добавить комментарий