Интегрирование одиночного импульса

СОДЕРЖАНИЕ:

Интегрирование одиночного импульса

В радиоэлектронике часто требуется осуществлять преобразование сигнала, имеющее характер дифференцирования или интегрирования.

На вход линейного устройства, осуществляющего дифференцирование, подается сигнал s(t); с выхода должен сниматься сигнал вида

В интегрирующем устройстве связь между выходным sвых(t) и входным s(t) сигналами должна иметь следующий вид:

В этих выражениях τ — постоянная величина, имеющая размерность времени.

Дифференцирование и интегрирование являются линейными математическими операциями. Следовательно, для дифференциального или интегрального преобразования сигнала следует применять линейные цепи и элементы, обладающие требуемыми соотношениями между входными и выходными величинами. Этим требованиям отвечают в принципе такие элементы, как обычные конденсаторы или катушки индуктивности в сочетании с резистором при надлежащем съеме выходного сигнала.

Рассмотрим сначала цепь, изображенную на рис. 6.5, а.

Рис. 6.5. Цепь, используемая для осуществления дифференцирования или интегрирования (а), дифференцирующая (б) и интегрирующая (в) RC-цепи

Подразумевая под входным сигналом s(t) электродвижущую силу, составим уравнение для тока в цепи i(t)

Умножим это уравнение на С и обозначим постоянную времени цепи τ = RC. Тогда получим уравнение

Характер функциональной связи между током i(t) и входным сигналом s(t) зависит от величины постоянной времени τ. Рассмотрим два крайних случая: очень малого и очень большого τ. В первом случае, т. е. при очень малом τ, первым слагаемым в левой части уравнения (6.16) можно пренебречь. Продифференцировав оставшееся после отбрасывания этого слагаемого уравнение по t, получим

Отсюда видно, что напряжение на резисторе R, совпадающее по форме с i(t), пропорционально производной входного сигнала

Таким образом, приходим к схеме дифференцирующего четырехполюсника, показанной на рис. 6.5, б, в которой выходной сигнал снимается с резистора R.

Во втором случае, т. е. при очень больших значениях τ, второе слагаемое в левой части уравнения (6.16) можно отбросить. При этом ток

совпадает по форме с входным сигналом, а напряжение на конденсаторе С, равное

пропорционально интегралу от входного сигнала s(t). Отсюда следует, что для осуществления интегрирования RС-цепь должна быть использована в соответствии со схемой, показанной на рис. 6.5, в. Аналогичные результаты можно получить с помощью RL-цепи (рис. 6.6).

Рис. 6.6. Дифференцирующая (а) и интегрирующая (б) RL-цепи

В дифференцирующей цепи постоянная времени τ = L/R должна быть достаточно мала, а в интегрирующей — достаточно велика. Принцип дифференцирования в первой схеме (рис. 6.6, а) можно представить следующим образом. При достаточно большой величине сопротивления R ток через RL-цепь почти не зависит от величины L и совпадает по форме с входным сигналом s(t). Выходной же сигнал sвых(t) снимаемый с индуктивности L.

В схеме, показанной на рис. 6.6, б, наоборот, ток в основном определяется индуктивностью L (так как R весьма мало):

выходной же сигнал, снимаемый с резистора R,

Уточним теперь использованные выше понятия «малое» и «большое» τ. Это проще всего сделать на основе спектрального рассмотрения. Если входной сигнал s(t) обладает спектральной плотностью S(ω), то при точном дифференцировании выходной сигнал должен обладать спектральной плотностью iωτS(ω), а при точном интегрировании — плотностью (1/iωτ) S(ω) [см. выражения (2.59) и (2.60)]. Это означает, что для точного дифференцирования требуется четырехполюсник с коэффициентом передачи

а для точного интегрирования

Показанные на рис. 6.5, б и в четырехполюсники обладают передаточными функциями соответственно

Из сравнения выражений (6.17) и (6.19) видно, что для удовлетворительного дифференцирования требуется, чтобы выполнялось условие

Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой верхней.

Из сравнения же выражений (6.18) и (6.20) видно, что для удовлетворительного интегрирования требуется выполнение условия

Это неравенство должно удовлетворяться для всех частот спектра входного сигнала, в том числе и для самой нижней.

Из неравенств (6.21) и (6.22) следует, что при заданной цепи дифференцирование тем точнее, чем ниже частоты, на которых концентрируется энергия входного сигнала, а интегрирование тем точнее, чем выше эти частоты.

Из этих неравенств вытекает также следующее принципиальное положение: чем точнее дифференцирование или интегрирование, тем меньше (по модулю) передаточная функция К(iω) цепи, осуществляющей это преобразование сигнала. Сказанное относится к простейшим RC-или RL-цепям, представленным на рис. 6.5 и 6.6. В пределе, при идеальном преобразовании, К(ω) → 0.

Таким образом, простые RC- или RL-цепи пригодны лишь для приближенного дифференцирования сигналов. Точность дифференцирования можно в принципе повысить с помощью усилителя на выходе дифференцирующей цепи. Однако неизбежная нестабильность усиления и нелинейные искажения в простом усилителе делают такой способ практически неприемлемым. В связи с этим в прецизионных дифференцирующих устройствах применяют усилитель с отрицательной обратной связью по схеме, представленной на рис. 6.7, а.

Рис. 6.7. Дифференцирующая цепь с применением отрицательной обратной связи (а) и схема замещения (б)

Напряжение обратной связи, снимаемое с резистора R2, вводится в цепь резистора R. На рис. 6.7, б построена схема замещения для цепи, расположенной справа от зажимов 2-2′. Усилитель Ку, обладающий большим входным сопротивлением, рассматривается здесь как зависимый источник напряжения, управляемый напряжением. Четырехполюсник обратной связи соответствует делителю напряжения R1, R2; передаточная функция КОС = R2/(R1 + R2).

Ток в цепи резистора R определяется очевидным выражением IR = (U1 — Uoc)/R. Учитывая, что Uос = КосUвых и Uвых = КуU1, получаем

где Rэкв = R/(1 — КуКос) — эквивалентное сопротивление между зажимами 2-2′.

При отрицательной обратной связи выполняется условие КуКос

интегрирование импульсов

Большой англо-русский и русско-английский словарь . 2001 .

Смотреть что такое «интегрирование импульсов» в других словарях:

интегрирование импульсов — impulsų integravimas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. pulse integration vok. Integration von Impulsen, f rus. интегрирование импульсов, n pranc. intégration d impulsions, f … Radioelektronikos terminų žodynas

Спектральная аппаратура рентгеновская — аппаратура, в которой Рентгеновские лучи возбуждаются в исследуемом веществе, разлагаются в спектр и регистрируются. Прецизионная С. а. р. служит для исследования тонкой структуры рентгеновских спектров (См. Рентгеновские спектры),… … Большая советская энциклопедия

Integration von Impulsen — impulsų integravimas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. pulse integration vok. Integration von Impulsen, f rus. интегрирование импульсов, n pranc. intégration d impulsions, f … Radioelektronikos terminų žodynas

impulsų integravimas — statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. pulse integration vok. Integration von Impulsen, f rus. интегрирование импульсов, n pranc. intégration d impulsions, f … Radioelektronikos terminų žodynas

intégration d’impulsions — impulsų integravimas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. pulse integration vok. Integration von Impulsen, f rus. интегрирование импульсов, n pranc. intégration d impulsions, f … Radioelektronikos terminų žodynas

pulse integration — impulsų integravimas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. pulse integration vok. Integration von Impulsen, f rus. интегрирование импульсов, n pranc. intégration d impulsions, f … Radioelektronikos terminų žodynas

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — раздел физики, посвящённый изучению св в макроскопич. тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых ч ц (молекул, атомов, эл нов и т. д.), исходя из св в этих ч ц и вз ствий между ними. Изучением макроскопич. тел занимаются и др … Физическая энциклопедия

Действие (физическая величина) — У этого термина существуют и другие значения, см. Действие (физика). Действие Размерность L2MT−1 Действие в физике скалярная физическая величина, являющаяс … Википедия

Статистическая физика — раздел физики, задача которого выразить свойства макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.… … Большая советская энциклопедия

Интегрирующее устройство — интегратор, вычислительное устройство для определения Интеграла, например вида х и у входные переменные. Входными переменными величинами могут быть механическое перемещение, давление, электрический ток (напряжение), число импульсов,… … Большая советская энциклопедия

АКУСТОЭЛЕКТРОНИКА — занимается разработкой УЗ устройств для преобразования и аналоговой матем. обработки радиосигналов. Возможность и целесообразность такого использования упругих волн обусловлены их малой скоростью по сравнению со скоростью света и разл. видами вз… … Физическая энциклопедия

Ударный спектр и интегралы Дюамеля

Ударный спектр (Shock Spectrum) согласно ГОСТ 8.127-74 «Измерения параметров ударного движения» — это зависимость пиковых откликов ряда резонаторов, возбуждаемых рассматриваемым ударным воздействием, от собственных частот резонаторов [1]. В международном стандарте ISO 18431-4:2007(E) указываются передаточная характеристика и коэффициенты фильтра, который соответствует осциллятору с одной степенью свободы (SDOF) [2]. В работе Субботина С. Г. и Мельниковой А. Ю. «Спектральные характеристики для сравнения и идентификации ударных нагружений» было выведено, что ударный спектр соответствует максимальным значения текущей спектральной характеристики Дюамеля, то есть спектру Дюамеля [3].

В данной работе изложены физический смысл ударного спектра, расчёты и графики ударных спектров стандартных ударных воздействий [4] на основе расчёта по методу Смоллвуда [3] и по интегралу Дюамеля, сравнение результатов работы обоих методов. Приведена таблица с характеристиками ударных спектров стандартных ударных импульсов.

Ударный спектр. Физический смысл

При испытании любых изделий на прочность или устойчивость к вибрации обычно используют гармонический синусоидальный сигнал с качанием частоты, что позволяет при небольших материальных затратах и несложных алгоритмах выяснить передаточную характеристику испытуемого изделия, частоты резонансов и их добротность. Следующим по частоте использования являются испытания на одиночные и многократные ударные воздействия. В результате испытаний на ударные воздействия помимо оценки повреждений и разрушений вычисляется импульсная характеристика испытуемого изделия. Основное отличие между испытаниями гармоническим синусоидальным воздействием и ударным воздействием заключается в том, что в первом случае на протяжении всех испытаний действует внешняя возбуждающая сила, действующая со своей частотой, а во втором случае после короткого воздействия возбуждаются внутренние колебательные системы с собственными частотами (рисунок 1) и исследуется отклик на воздействие. Если не учитывать временные задержки при распространении механических волн в изделии, то передаточная характеристика будет соответствовать импульсной, но в реальных изделиях импульсная характеристика отличается от передаточной. Поэтому при анализе ударных воздействий используется характеристика, включающая в себя задержку входного воздействия.

На рисунке 1 изображена обобщённая схема, используемая для моделирования вычисления ударного спектра. Представьте себе платформу, на которой закреплено множество различных осцилляторов с единичной степенью свободы с различной резонансной частотой. У каждого осциллятора своя частота собственных колебаний и эти частоты покрывают интересующий нас диапазон с разумной точностью. Платформа подвергается краткосрочному ударному воздействию сигналом подобному, изображённому внизу рисунка 1. Каждый осциллятор отреагирует на это воздействие по-своему. Для каждого осциллятора определяется максимальное мгновенное значение отклика на входное воздействие в течение некоторого времени. Если упорядочить максимальные во времени значения откликов по значениям собственной частоты осцилляторов, то получится ударный спектр.

Необходимо отметить, что один и тот же ударный спектр может порождаться множеством различных ударных импульсов. Вне зависимости от формы входного импульса ударный спектр показывает максимальные перенапряжения в испытуемом изделии, но характер усталостных повреждений может существенно различаться в разных испытаниях. Из совокупности испытаний на удар, описанных в стандартах ГОСТ, МЭК и ISO можно выделить испытания на, так называемый, «классический удар», в котором достаточно жёстко задаётся форма ударного импульса. Следовательно ударные спектры будут также жёстко определены.

Рисунок 1. Общее представление о вычислении ударного спектра

В работе [3] указывается, что отклики сложной системы с различным количеством степеней свободы связаны с интегралами Дюамеля. В случае системы с одной степенью свободы формула вычисления спектральной характеристики Дюамеля выглядит достаточно просто для интегрирования и понимания:

Для того, чтобы получить ударный спектр необходимо выбрать из спектральной характеристики Дюамеля для каждой частоты максимальные по времени значения

где f(τ) — анализируемый ударный процесс. Необходимо добавить, что приведённая формула вычисления ударного спектра как спектра Дюамеля не учитывает демпфирование. В таблице 1 приведены аналитические формулы ударных спектров для импульсов стандартной формы при испытаниях на одиночный удар.

Схема ударного спектра

На рисунке 2 приведены примеры вычисления интеграла Дюамеля для треугольного ударного импульса на двух частотах, соответствующих первым двум «горбам» на графике ударного спектра, а на рисунке 3 приведён двумерный график спектральной характеристики Дюамеля. На этих графиках хорошо видно, что максимума ударный спектр достигает не в момент максимального пикового значения ударного импульса, а после него. Таким образом, ударный спектр определяет максимальный отклик «внутренних резонаторов» на входной импульс без учёта временных задержек воздействия, что даёт более подробную информацию об испытуемом изделии.

Рисунок 2 a). Пример вычисления ударного спектра через интеграл Дюамеля на частоте w1=1,8·w

Рисунок 2 б). Пример вычисления ударного спектра через интеграл Дюамеля на частоте w2=3,0·w

Рисунок 3. Двумерная спектральная характеристика треугольного ударного импульса

На рисунке 4 изображены ударные спектры сигналов, представленных в таблице 1, рассчитанные по указанным формулам. Характерной особенностью всех этих спектров является то, что они по форме напоминают частотную характеристику фильтра высоких частот. Это закономерный результат, так как для возбуждения любого осциллятора необходим импульс продолжительностью не менее периода его собственных колебаний. Поэтому в области низких частот мы наблюдаем наклон графика 12 дБ на октаву. На высоких частотах ударный спектр стремится к постоянному значению, равному максимальному значению в реализации ударного воздействия. То есть, относительно периода собственных колебаний длительность ударного импульса существенно больше и ударный импульс представляет собой внешнее воздействие, которое заставляет колебаться систему по закону ударного импульса. В области средних частот, то есть в области вокруг основной частоты ударного импульса, значение ударного спектра представляет наибольший интерес для исследования. Кроме того, подобие графиков объясняется тем, что не зависимо от формы классический удар представляет собой «дельта-импульс», Фурье-спектр которого содержит всю полосу частот. От формы зависят лишь коэффициенты частотных полос, влияющие в итоге на значения ударного спектра.

На рисунке 5 изображены графики ударных спектров тех же самых ударных импульсов, рассчитанные по методу Смоллвуда [5]. В отличии от графиков на рисунке 4 графики на рисунке 5 имеют наклон в области низких частот 6 дБ на октаву и «завал» на частоте 3 кГц. В области средних частот, то есть в области представляющей наибольший интерес для исследования, графики практически идентичны.

Таким образом, в реальных условиях крутизна наклона зависит от метода расчёта ударного спектра (от 6 до 12 дБ на октаву) и от испытательного стенда. Тем не менее, характерные точки на графиках ударных спектров (частоты и амплитуды локальных максимумов и минимумов) остаются постоянными. Поэтому оба метода могут быть использованы для вычисления ударного спектра. В таблице 2 приведены коэффициенты для определения параметров первого локального максимума и минимума (если они есть) относительно амплитуды ударного воздействия и собственной частоты ударного импульса.

В заключение стоит сказать пару слов об ударном импульсе классической формы. Он обладает такими достоинствами, как стабильность и воспроизводимость. Стабильность обеспечивается однозначностью расчёта интеграла, а воспроизводимость — вычислением необходимой длительности и пикового значения импульса по таблице 2. Основная трудность при воспроизведении импульсов классической формы на вибростенде состоит в том, чтобы добиться равенства нулю ускорения, скорости и перемещения в начале и в конце импульса. Обычно для этого используют компенсирующие импульсы в начале и в конце основного импульса. Тем не менее, удары классической формы более требовательны к возможностям аппаратуры, чем импульсы в виде затухающей синусоиды или колебаний сложной формы [7].

полусинусоидальный импульс пилообразный возрастающий импульс пилообразный ниспадающий импульс
прямоугольный импульс треугольный импульс трапецеидальный импульс

Рисунок 4. Ударные спектры стандартных импульсов, рассчитанные аналитически

полусинусоидальный импульс пилообразный возрастающий импульс пилообразный ниспадающий импульс
прямоугольный импульс треугольный импульс трапецеидальный импульс

Рисунок 5. Ударные спектры стандартных импульсов, рассчитанные методом Смоллвуда [5]

Таблица 2. Характерные точки на ударных спектрах стандартной формы. В таблице указаны коэффициенты для частот относительно собственной частоты fc=1/(2T) Гц, а для ускорения относительно пикового значения входного импульса в единицах g.

Тип импульса Частота первого пика Амплитуда первого пика Частота первого провала Амплитуда первого провала
Полусинусоидальный 1,619 1,768 5,0 1,0
Пилообразный возрастающий 1,432 1,217 2,456 0,872
Пилообразный ниспадающий* 1,482 2,0
Треугольный 1,809 1,517 4,321 0,954
Трапецеидальный 1,440 1,944 8,0 1,0
Прямоугольный* 0,636 2,0
* График ударного спектра получается неубывающий, поэтому частота и амплитуда первого локального минимума отсутствуют, частота первого пика показывает частоту перегиба (-3 дБ).

Автор: Бегишев С. В.

ЛИТЕРАТУРА:
1. ГОСТ 8.127-74. Измерения параметров ударного движения. — М.: Издательство стандартов, 1974. — 14с.
2. ISO 18431-4:2007(E). Mechanical vibration and shock — Signal processing — Part 4: Shock-response spectrum analysis.
3. Субботин С. Г., Мельникова А. Ю. Спектральные характеристики для сравнения и идентификации ударных нагружений. — «заводская лаборатория. Диагностика материалов» № 12. 2009. Том 75. с 53.
4. ГОСТ 28213-89. Испытания Ea Одиночный удар. — М.: Издательство стандартов, 1989. — 34с.
5. David Smallwood, An Improved Recursive Formula For Calculating Shock Response Spectra. «The Shock And Vibration Bulletin», Bulletin No. 51, Part 2, May 1981.
6. Челомей В.Н. Вибрации в технике. Справочник в 6 томах — М. «Машиностроение», 1981. Том 5. С 478.
7. ГОСТ Р 53190-2008. Испытания на удар с воспроизведением ударного спектра.

Прямоугольный импульс.

Прямоугольный импульс.

Разве может о чем-то поведать импульс? — скажете вы. Импульс он и есть импульс, только прямоугольной формы.

Но в том-то и дело, что до сих пор мы лишь наблюдали на экране осциллографа подобные импульсы, скажем, во время настройки электронного коммутатора, и по их наличию судили об исправности генератора. Если же использовать прямоугольный импульс в качестве контрольного сигнала и подавать его, например, на вход усилителя ЗЧ, то по форме выходного сигнала можно сразу же оценить работу усилителя и назвать его недостатки — малую полосу пропускания, недостаточное усиление на низших или высших частотах, самовозбуждение в какой-то области частот.

А возьмите широкополосный делитель напряжения, используемый, например, в самодельных измерительных приборах или осциллографах. «Пропущенный» через него прямоугольный импульс подскажет точные параметры деталей, необходимые для получения неизменного коэффициента деления сигнала в широком диапазоне частот.

Чтобы сказанное стало понятно, давайте сначала познакомимся с некоторыми параметрами импульсного сигнала, которые нередко упоминаются в описаниях различных генераторов, устройств автоматики и вычислительной техники. Для примера на рис. 97 показан «внешний вид» несколько искаженного (по сравнению с прямоугольным) импульса, чтобы нагляднее были видны его отдельные части.

Один из параметров импульса — его амплитуда (Uмакс), наибольшая высота импульса без учета небольших выбросов. Продолжительность нарастания импульса характеризует длительность фронта tф, а убывания -длительность спада tс. Продолжительность же «жизни» импульса определяет длительность tи — время между началом и концом импульса, отсчитываемое обычно на уровне 0,5 амплитуды (иногда на уровне 0,7).

Вершина импульса может быть плоской, с завалом или подъемом. У прямоугольного импульса вершина плоская, а фронт и спад настолько крутые, что определить их длительность по осциллографу не удается.

Импульсный сигнал оценивают еще и скважностью, показывающей соотношение между длительностью импульса и периодом следования импульсов. Скважность — частное от деления периода не длительность. В показанном на рис. 97, б примере скважность равна 3.

Вот теперь, после краткого знакомства с импульсом и его параметрами, построим генератор прямоугольных импульсов, необходимый для последующих экспериментов. Он может быть выполнен как на транзисторах, так и на микросхемах. Главное, чтобы генератор выдавал импульсы с крутыми фронтами и спадами, а также с возможно более плоской вершиной. Кроме того, для наших целей скважность должна находиться в пределах 2-3, а частота следования импульсов составлять в одном режиме примерно 50 Гц, а в другом – 1500 Гц. Чем вызваны частотные требования, вы узнаете позже.

Наиболее просто обеспечить поставленные требования может генератор на микросхеме и транзисторе (рис. 98). Он содержит немного деталей, работоспособен при снижении напряжения питания до 2,5 В (при этом падает в основном амплитуда сигнала) и позволяет получить выходные импульсы амплитудой до 2,5 В (при указанном напряжении питания) при скважности 2,5.

Каждый электрик должен знать:  Реле времени с интервалом 12 часов

Собственно сам генератор выполнен на элементах DD1.1 — DD1.3 по известной схеме мультивибратора. Частота следования импульсов зависит от сопротивления резистора R1 и емкости конденсатора, подключенного в данный момент переключателем SA1. В показанном на схеме положении подвижного контакта переключателя к генератору подключен конденсатор С1, поэтому импульсы на выходе генератора (вывод 8 элемента DD1.3) следуют с частотой 50 Гц (период следования 20 мс). Когда подвижный контакт переключателя будет поставлен в нижнее по схеме положение,подключится конденсатор С2 и частота следования станет равной примерно 2000 Гц (период следования 0,5 мс).

Далее импульсный сигнал поступает через резистор R2 на эмиттерный повторитель, выполненный на транзисторе VT1. С движка переменного резистора R3, являющегося нагрузкой повторителя, сигнал подается на выходной зажим ХТ1. В итоге с зажимов ХТ1 и ХТ2 можно снимать прямоугольные импульсы амплитудой от нескольких десятков милливольт до единиц вольт. Если по каким-либо причинам даже минимального сигнала окажется в избытке (например, при проверке весьма чувствительного усилителя), выходной сигнал можно уменьшить либо включением между верхним по схеме выводом резистора R3 и эмиттером транзистора постоянного резистора сопротивлением 1-З кОм, либо применением внешнего делителя напряжения.

Несколько слов о деталях. В генераторе могут работать элементы И-НЕ других микросхем серий К155 (скажем, К155ЛА4), а также любой транзистор серии КТ315. Конденсатор С1 — К50-6 или другой, рассчитанный на напряжение не ниже 10 В; С2 — любой, возможно меньших габаритов. Резисторы — МЛТ-0,125 и СП-1 (R3), источник питания — батарея 3336. Потребляет генератор менее 15 мА, поэтому такого источника хватит надолго.

Поскольку деталей в генераторе немного, нет нужды давать чертеж печатной платы — разработайте ее самостоятельно. Плату с деталями и источник питания укрепите внутри корпуса (рис. 99), а на его передней стенке разместите переключатель диапазонов, выключатель питания, переменный резистор и зажимы.

Следующий этап — проверка и налаживание генератора с помощью нашего осциллографа. Входной щуп осциллографа подключите к выводу 8 микросхемы, а «земляной» — к общему проводу (зажим ХТ2). Осциллограф работает пока в автоматическом режиме (кнопка «АВТ. -ЖДУЩ.» отжата), синхронизация — внутренняя, вход — открытый чтобы исключить искажения сигнала, следующего с низкой частотой). Входным аттенюатором осциллографа можно установить чувствительность, скажем, 1 В/дел., а переключателями длительности развертки — длительность 5 мс/дел.

После подачи питания на генератор и установки переключателя SA1 в показанное на схеме положение, на экране осциллографа появится изображение в виде двух парал-

лельных линий (рис. 100, а), составленных перемещающимися «штрихами». Так выглядит несинхронизированное изображение импульсного сигнала.

Достаточно теперь перевести осциллограф в ждущий режим (нажать кнопку «АВТ. — ЖДУЩ.») и установить синхронизацию от положительного сигнала поворотом ручки «СИНХР.» в крайнее по часовой стрелке положение, чтобы изображение на экране «остановилось» (рис. 100, б). Если изображение немного подергивается, добейтесь лучшей синхронизации его ручкой регулировки длины развертки.

Определите длительность периода повторения импульсов и, если это необходимо. установите ее равной 20 мс подбором резистора R1.

Измерить точно период при установленной длительности развертки затруднительно, поэтому воспользуйтесь простым приемом. При данной синхронизации установите длительность развертки равной 2 мс/дел. На экране должно появиться более растянутое изображение импульса (рис.100, в), длина вершины которого составит примерно 3,5 деления, т. е. длительность импульса будет равна 7 мс.

Затем при этой же длительности развертки установите синхронизацию отрицательным сигналом, повернув ручку «СИНХР.» в крайнее положение против часовой стрелки. На экране увидите изображение паузы (рис. 100,г), поскольку развертка осциллографа запускается теперь спадом импульса. Длина линии 6,5 деления, значит, длительность паузы равна 13мс. Сумма длительностей импульса и паузы составит значение периода повторения импульсов (20 мс).

Аналогично проверьте работу генератора на втором диапазоне, установив подвижный контакт переключателя в нижнее по схеме положение («2 кГц»). Длительность развертки осциллографа в этом случае установите равной, например, 0,1 мс/дел. Период следования импульсов на этом диапазоне должен составить 0,5 мс, что соответствует частоте повторения 2000 Гц. Подстраивать в генераторе ничего не нужно, поскольку точность частоты на этом диапазоне особой роли не играет. В случае же значительного отклонения частоты от указанной ее можно изменить подбором конденсатора С2.

После этого переключите входной щуп осциллографа на зажим ХТ1 и проверьте действие регулятора амплитуды выходного сигнала — переменного резистора R3. Вы наверняка обратите внимание, что при установке движке переменного резистора в верхнее по схеме положение максимальная амплитуда импульсов будет несколько меньше, чем на мультивибраторе.Объясняется это действием эмиттерного повторителя, коэффициент передачи которого меньше единицы из-за падения части сигнала на эмиттерном переходе транзистора.

Генератор готов, можно проводить эксперименты. Начнем с проверки действия на импульс простых RC-цепей: дифференцирующей и интегрирующей. Сначала подключите к выходу генератора дифференцирующую цепь,составленную из конденсатора и переменного резистора (рис. 101). Движок резистора поставьте в нижнее по схеме положение, а на генераторе установите диапазон «50 Гц» и максимальную амплитуду выходного сигнала. При этом на экране осциллографе (он работает в ждущем режиме с синхронизацией от положительного сигнала, длительность развертки — 5мс/деп., чувствительность — 1 В/дел.) увидите изображение импульсов со скошенной вершиной (рис. 102, а). Нетрудно заметить, что импульс как бы опустился по линии спада, из-за чего увеличился размах изображения.

Искажения импульса будут расти, а размах изображения увеличиваться при перемещении движка переменного резистора вверх по схеме. Уже при сопротивлении резистора около 4 кОм размах практически достигнет удвоенной амплитуды импульса

(рис. 102, б), а при дальнейшем уменьшении сопротивления (до 1 кОм) от импульса останутся лишь остроконечные пики на месте фронта и спада. Иначе говоря, в результате дифференцирования из прямоугольного импульса удастся получить два остроконечных — положительный (по фронту) и отрицательный (по спаду).

Кроме того, дифференцирование позволяет «укоротить» импульс по времени — ведь длительность импульса измеряют по уровню 0,5 его амплитуды, а на этом уровне ширина импульса плавно изменяется при повороте ручки переменного резистора).

Дифференцирующие свойства цепи зависят от частоты повторения импульсов. Достаточно переставить переключатель диапазона генератора в положение «2 кГц» — и скос вершины практически пропадет. Импульсы, следующие с такой частотой, наше дифференцирующая цепочка пропускает практически без искажений. Чтобы получить тот же эффект, что и в предыдущем случае,емкость конденсаторе должна быть уменьшена до 0,01 мкФ.

А теперь поменяйте детали местами (рис. 103) — получится интегрирующая цепочка. Поставьте движок переменного резистора в крайнее левое по схеме положение, т. е. выведите сопротивление резистора. Изображение сигнала останется практически таким же, что и на выходе генератора до подключения цепочки. Правда, спад импульсов станет слегка изогнутым — результат разрядки конденсатора, успевающего зарядиться во время импульса.

Начинайте плавно перемещать движок резистора вправо по схеме, т. е. вводить сопротивление резистора. Сразу же фронт импульса и спад начнут скругляться (рис. 104, в), амплитуда сигнала падать. При максимальном сопротивлении резистора наблюдаемый сигнал стонет походить на пилообразный (рис. 104,б).

В чем суть интегрирования? С момента появления фронта импульса конденсатор начинает заряжаться, а по окончании импульса — разряжаться.Если сопротивление резистора или емкость конденсатора малы, конденсатор успевает зарядиться до амплитудного значения сигнала и тогда»заваливается» лишь фронт и часть вершины импульса (рис. 104, а). В этом случае можно сказать, что постоянная времени интегрирующей цепи(произведение емкости на сопротивление) меньше длительности импульса. Если же постоянная времени соизмерима или превышает длительность импульса, конденсатор не успевает зарядиться полностью во время импульса и тогда амплитуда сигнала на нем падает (рис. 104, б). Конечно, характер интегрирования зависит не только от длительности импульсов, но и частоты их повторения.

Чтобы убедиться в сказанном, вновь выведите сопротивление резистора,установите на генераторе диапазон «2 кГц» и соответственно измените длительность развертки осциллографа. На экране предстанет картина уже проинтегрированных импульсов (рис. 104, в). Это результат «взаимодействия» сопротивления эмиттерного повторителя и емкости конденсатора. Введите хотя бы небольшое сопротивление переменным резистором — и вы увидите на экране осциллографа сигнал треугольной формы (рис. 104, г). Амплитуда его мала, поэтому придется увеличить чувствительность осциллографа. Не правда ли, отчетливо видна линейность процесса зарядки и разрядки конденсатора?

В этом примере постоянная времени интегрирующей цепи немного превышает длительность импульса, поэтому конденсатор успевает заряжаться лишь до весьма малого напряжения.

Пришло время поговорить о практическом использовании прямоугольных импульсов, например, для оценки работы усилителя звуковой частоты. Правда, подобный способ пригоден для своеобразного экспресс-анализа и не дает всеобъемлющей картины амплитудно-частотной характеристики усилителя. Но он позволяет объективно оценивать способность усилителя пропускать сигналы тех или иных частот, устойчивость к самовозбуждению,а также правильность выбора деталей между каскадных связей.

Принцип проверки прост: на вход усилителя подают сначала прямоугольные импульсы с частотой следования 50 Гц, а затем — 2000 Гц, а на эквиваленте нагрузки наблюдают форму выходного сигнала. По искажениям фронта: вершины или спада судят о характеристике усилителя и его устойчивости работы.

Для примера можете исследовать усилитель ЗЧ с темброблоком (либо другой широкополосный усилитель). Его соединяют с генератором и осциллографом соответствии с рис. 105. Переключатель диапазонов генератора устанавливают положение «50 Гц», а выходной сигнал таким, чтобы при максимальном усилении усилителя и примерно средних положениях ручек регуляторов тембра амплитуда сигнала на эквиваленте нагрузки соответствовала номинальной выходной мощности, например 1,4 В (для мощности 0,2 Вт при сопротивлении нагрузки 10 Ом). Картина на экране осциллографа, подключенного к эквиваленту нагрузки, может соответствовать показанной на рис. 106, а, что будет свидетельствовать о недостаточной емкости разделительных конденсаторов между усилительными каскадами или конденсатора на выходе усилителя — через него подключена нагрузка.

Чтобы убедиться, скажем, в последнем предположении, достаточно перенести входной щуп осциллографа непосредственно на выход усилителя -до разделительного конденсатора. Если скос вершины уменьшится (рис.106, б), значит вывод верен и для лучшего воспроизведения нижних частот емкость конденсатора следует увеличить.

Аналогично просматривают изображения импульсов до и после разделительных конденсаторов между каскадами усилителя и обнаруживают тот, емкость которого недостаточна. Если усилитель вообще плохо пропускает низшие частоты, могут наблюдаться на экране осциллографа узкие пики на месте фронта и спада импульсов, как это было при сильном дифференцировании. Но более полная картина состояния усилителя получается при подаче на его вход импульсов частотой 2000 Гц. Считается, что фронт и спад отражают прохождение высших частот звукового диапазона, а вершина – низших.

Если в усилителе все в порядке и он равномерно пропускает сигнал в широкой полосе частот, то выходной импульс (сигнал на эквиваленте нагрузки) будет соответствовать по форме входному (рис. 107, а). В случае «завала» фронте и спада (рис. 107, б) можно считать, что на высших частотах уменьшилось усиление. Еще большее снижение усиления на этих частотах зафиксирует изображение, приведенное на рис. 107, а.

Возможны и многие другие варианты: падение усиления на низших частотах(рис. 107, г), некоторое повышение усиления на низших частотах (рис.107, д), падение усиления на низших и средних (провал в вершине)частотах (рис. 107, е), мала постоянная времени межкаскадных связей(рис. 107, ж) — обычно мала емкость переходных конденсаторов, подъем усиления на низших (рис 107, з) или высших (рис. 107, и) частотах,снижение усиления в каком-то узком диапазоне (рис. 107. к).

А вот два примера изображения выходного импульса (рис. 107, л, м), когда в усилителе есть резонирующие цепи.

Практически большинство этих изображений вам удастся наблюдать при изменении положений ручек регулировки тембра по низшим и высшим частотам. Одновременно с просмотром изображений неплохо было бы снимать амплитудно-частотную характеристику усилителя и сравнивать ее с «показаниями» импульсов.

И еще об одном примере использования прямоугольных импульсов — для настройки широкополосных делителей напряжения. Такой делитель,например, стоит в нашем осциллографе, он может быть в вольтметре или милливольтметре переменного тока. Поскольку полоса частот измеряемых сигналов может быть весьма широкой (от единиц до миллионов герц), делитель должен эти сигналы пропускать с одинаковым ослаблением, Иначе неизбежны ошибки измерении.

Можно, конечно, проконтролировать работу делителя снятием его амплитудно-частотной характеристики, которая подскажет, в какую сторону следует изменить номинал того или иного элемента. Но дело это значительно более трудоемкое по сравнению с методом анализа прямоугольными импульсами.

Взгляните на рис. 108, а — на нем приведена схема широкополосного компенсированного делителя напряжения. Если на низших частотах можно было бы обойтись только резисторами, сопротивления которых определяют коэффициент передачи (или коэффициент деления) делителя, то на высших частотах помимо резисторов в работе делителя участвуют конденсаторы в виде емкости монтажа, входной емкости, емкости соединительных проводников. Поэтому коэффициент передачи делителя на этих частотах может измениться значительно.

Чтобы этого не произошло, в делителе используют конденсаторы, шунтирующие резисторы и позволяющие компенсировать возможное изменение коэффициента передачи на высших частотах. Причем конденсатором С2 может быть емкость монтажа, достигающая иногда десятков пикофарад. Резистором же R2 может быть входное сопротивление устройства (осциллограф или вольтметр).

Компенсированным делитель станет в том случае, если будет обеспечено вполне определенное соотношение сопротивлений и емкостей делителя, а значит, будет равномерным коэффициент передачи делителя независимо oт частоты входного сигнала. К примеру, если применен делитель на 2, то должно соблюдаться условие R1* C1=R2*C2. При других соотношениях нарушится равномерность передачи сигнала разной частоты.

Принцип проверки компенсированного делителя с помощью прямоугольных импульсов аналогичен принципу проверки усилителя — подавая сигнал частотой 2000 Гц на вход делителя, наблюдают форму его на выходе. Если делитель скомпенсирован, форма (но, конечно, не амплитуда) сигналов будет одинаковой. В противном случае окажутся «заваленными» фронт и спад либо искажена вершина — свидетельства неравномерного пропускания делителем сигналов разных частот.

Если, к примеру, изображение сигнала будет таким, как показано на рис.108, б, значит, на высших частотах коэффициент передачи делителя падает из-за большого сопротивления на этих частотах цепочки R1C1. Следует увеличить емкость конденсатора C1. В случае появления искажений импульсов, показанных на рис. 108, в, придется, наоборот, уменьшить емкость конденсатора С1.

Попробуйте самостоятельно составить делители с разными коэффициентами деления (например, 2, 5, 10) из резисторов с высоким сопротивлением (100. 500 кОм) и конденсаторов разной емкости (от 20 до 200 пФ) и добиться полной компенсации подбором конденсаторов.

В этой работе вы заметите влияние на результаты измерений самого осциллографа — ведь его входная емкость составляет десятки пикофарад, а

входное сопротивление около мегаома. Помните, что аналогичное влияние осциллограф оказывает на все высокоомные цепи, а также на частотозависимые. А это порою приводит либо к получению ошибочных результатов, либо вообще лишает возможности применить осциллограф, скажем, для анализа работы и измерения частоты радиочастотных генераторов. Поэтому в подобных случаях следует пользоваться активным щупом — приставкой к осциллографу, позволяющей сохранить высокое входное сопротивление его и в десятки раз уменьшить входную емкость.Описание такой приставки будет опубликовано в следующем номере журнала.

Вот теперь, когда вы познакомились с возможностью прямоугольного импульса подсказывать «диагноз» и контролировать «лечение», соберем еще одну приставку. Это делитель напряжения, с помощью которого осциллографом станет возможно контролировать цепи с напряжением до 600В, например, в телевизионных приемниках (как известно, осциллографОМЛ-2М допускает подачу на вход напряжения до 300 В).

Делитель образован всего двумя деталями (рис. 109), составляющими верхнее плечо предыдущей схемы. Нижнее же плечо сосредоточено а самом осциллографе — это его входное сопротивление и суммарная входная емкость, включая емкость выносного кабеля со щупами.

Поскольку нужно лишь вдвое уменьшить входной сигнал, резистор R1 должен быть такого же сопротивления, что и входное сопротивление осциллографа, а емкость конденсатора С1 соответствовать суммарной входной емкости осциллографа.

Делитель можно выполнить в виде переходника со щупом ХР1 на одном конце и гнездом XS1 на другом. Резистор R1 должен быть мощностью не менее 0,5 Вт, а конденсатор с номинальным напряжением не ниже 400 В.

Налаживание делителя весьма упрощено благодаря использованию нашего генератора импульсов. Его сигнал подают на гнездо ХР1 делителя и «земляной» щуп осциллографа. Вначале устанавливают на генераторе диапазон «50 Гц», на осциллографе включают ждущий режим и открытый вход. Касаются входным щупом осциллографа щупа ХР1 делителя (или зажимаХТ1 генератора). Подбором чувствительности осциллографа и амплитуды выходного сигнала генератора добиваются размаха

изображения, равного, скажем, четырем делениям.

Затем переключают входной щуп осциллографа в гнездо XS1 делителя. Размах изображения должен уменьшиться ровно вдвое. Более точно коэффициент передачи делителя можно установить подбором резистора R1делителя.

После этого устанавливают на генераторе диапазон «2 кГц» и подбором конденсатора С1 (если это понадобится) добиваются правильной формы импульсов — такой, как и на входе делителя.

При пользовании таким делителем для проверки режимов работы блоков развертки телевизоров по приводимым в инструкциях и различных статьях изображениям сигналов чувствительность осциллографа устанавливают равной 50 В/дел., а проверку ведут при закрытом входе осциллографа. Как и прежде, отсчет ведут по шкале масштабной сетки, но результаты увеличивают вдвое.

Интегрирование одиночного импульса

Для того чтобы применить данные о периодическом сигнале к одиночному импульсу представим, что этот импульс повторяется с некоторым периодом Т и устремим этот период к бесконечности. Расстояние между соседними гармониками в спектре периодического сигнала равно 1/T . Следовательно, для T стремящегося к бесконечности расстояние между гармониками стремится к нулю, т. е. они сливаются. Амплитуды этих гармоник, стремятся к нулю, т. к. интеграл берется только в пределах существования импульса (вне импульса v(t)=0 ), а Т в знаменателе неограниченно возрастает.

Итак, отдельных гармоник в спектре одиночного импульса не будет. Этот спектр является сплошным (в него входят все частоты).

Очевидно, нулевые амплитуды гармоник не могут использоваться для описания спектра.

Для характеристики одиночных импульсов вводят новую характеристику: спектральную плотность S(f). Под спектральной плотностью понимают предел отношения амплитуды гармоник к расстоянию между соседними при Т стремящемся к бесконечности.

Удобно рассмотреть это на примере четного сигнала. Согласно определению:

где D f=1/T — расстояние между соседними гармониками.

Интегрировать достаточно в пределах до t/2 , так как дальше v ( t )=0. Поэтому

Видно, что выражение для S(w) и для огибающей В(w) отличаются только константой (периодом в знаменателе В(w)).

Зависимость спектральной плотности от частоты для одиночного импульса полностью повторяет форму огибающей В i (w) для периодической последовательности таких же импульсов.

На рис. 8 приведены для примера спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов и одиночного импульса:

Рис.8. Сравнение периодического и непериодического

сигналов и их спектров

Зависимость S(f) в отличие от В i (w) изображается сплошной линией, а не пунктиром, так как S(f) существует во всех точках графика. Для импульса общего вида (не являющегося четным) следует вводить отдельно спектральную плотность для Sin и Cos в разложении Фурье или, что обычно и делается, применять метод комплексных амплитуд и рассматривать спектральную плотность в комплексном виде S`(w).

При использовании комплексной спектральной плотности S`(w) для одиночного импульса ряд Фурье переходит в преобразования Фурье:

Формулы (4.4.) представляют прямую и обратную зависимость сигнала и его спектра. Интегрирование чаще всего производится в пределах существования сигнала. Например, импульс будет существовать (не быть равным нулю) только в течение его длительности.

Интегрирование одиночного импульса

20.2. ВРЕМЕННОЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ИНТЕГРАЛ СВЕРТКИ. ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ

Рассмотрим процесс в цепи при действии на ее входе сигнала произвольной формы f 1 ( t ) (рис. 20.3). Этот сигнал можно представить в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью D x с амплитудами f 1 ( k D x ).

При малых значениях D x каждый такой импульс эквивалентен действию на цепь d -импульса, включаемого в момент t = k D x и имеющего площадь f 1 ( k D x ) D x . Поэтому входной сигнал представим в виде суммы . После перехода к пределу при D x ® 0, k D x ® x получим .

Поскольку реакция цепи на каждый d -импульс описывается импульсной характеристикой h d , то для выходной величины f 2 ( t ) можно записать аналогичный интеграл, в котором реакция на входной импульс d ( t – x ) выражена как h d ( t – x ):

Полученный интеграл называется интегралом свертки и используется при вычислении реакции цепи f 2 ( t ) на воздействие f 1 ( t ) произвольной формы. Он и является основой временнóго метода расчета переходных процессов.

Как уже отмечалось, указанные выше пределы интегрирования требуют уточнения, особенно, при наличии в подынтегральных сомножителях слагаемых в виде d -функций. При вычислении интеграла свертки необходимо учитывать, что первый сомножитель под интегралом f 1 ( x ) = 0 при x h d ( t – x ) = 0 при t – x x > t + 0. Именно эти значения пределов интегрирования (– 0 x t f 1 d -слагаемое может содержаться в h d ( t – x ). Вклад этого слагаемого можно учесть отдельно. Для этого запишем

Так как второй интеграл можно преобразовать к виду , то окончательно получим

В последнем выражении под интегралом учитывается только ограниченная часть импульсной характеристики h d .

Пример использования интеграла свертки рассмотрен в Задаче 17.1.

Основные свойства интеграла свертки.

1. Поскольку при t f 1 ( t ) и h d ( t ) º 0, то пределы в интеграле свертки можно взять от — ¥ до ¥ , то есть

так как на добавленных отрезках (– ¥ , 0) и ( t , ¥ ) один из подынтегральных сомножителей тождественно равен нулю.

Каждый электрик должен знать:  Системы безопасности для дома как выбрать

2. Переменные интегрирования можно заменять, используя связь t – x = y . Интеграл при этом примет вид

Операция свертки растягивает импульсный сигнал во времени. Пусть прямоугольный импульс A длительностью T (рис. 20.4, а ) действует на входе цепи, импульсная характеристика которой изображена на рис. 20.4, б . Такая цепь представляет интегратор с конечным временем интегрирования t .

В этом простом случае результат свертки легко найти графически. Пусть для определенности T > t , тогда для различных моментов времени t 1 , t 2 и t 3 произведение f 1 на h ( t – x ) будет определяться площадью перекрывающихся прямоугольников (рис. 20.4, в ), и выходной сигнал будет иметь вид, показанный на рис. 20.4, г . Таким образом, цепь суммирует длительность импульса T и собственное время t .

Интеграл Дюамеля. Интеграл свертки можно выразить через переходную характеристику. Это приводит к интегралу Дюамеля. Для его получения используем записанную п. 20.1 связь h d = dh / dt , из которой произведение h d ( t – x ) dx можно представить как – dh ( t – x ):

В последнем преобразовании использована формула интегрирования по частям. Так как внеинтегральный член равен нулю, то окончательно получим

Неудобство этого выражения связано с d -слагаемыми в , которые появляются, если входной сигнал f 1 ( t ) имеет разрывы. При наличии разрыва в точке t = 0 [ f 1 (– 0) = 0, f 1 (+ 0) ¹ 0],] его можно выделить и записать

Последнее выражение является наиболее распространенной формой записи интеграла Дюамеля.

Если входная функция f 1 имеет разрывы, то для расчета переходного процесса временным методом удобнее использовать интеграл свертки, если она непрерывна, то — интеграл Дюамеля (при неограниченной характеристике h d ).

При выполнении расчетов временным методом следует обращать внимание на: 1) различное аналитическое описание функции f 1 на различных отрезках у импульсов сложной формы; 2) правильный учет неограниченного характера функции h d (при вычислении интегралов с d- слагаемыми); 3) правильный учет разрывов функции f 1 в интеграле Дюамеля.

Пример расчета переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля рассмотрен в Задачe 17.2.

Особенности применения операторного метода при определении «последействия» импульса. Реакция цепи на одиночный импульс длительностью Т при t > Т содержит лишь свободные составляющие процесса, соответствующие корням характеристического уравнения цепи. В связи с этим при использовании операторного метода нахождение оригинала по теореме разложения требует учета не всех корней знаменателя изображения реакции, а лишь тех из них, которые являются корнями знаменателя передаточной функции. Это существенно упрощает расчет, особенно для импульсов сложной формы. Пусть определено изображение импульса с конечной длительностью

(f1(t) = 0 при t > T). При воздействии такого импульса на цепь с передаточной функцией K( s) = Q(s)/P(s) реакция при t > Т содержит лишь экспоненты е s k t с показателями, в которые входят корни P(s) =0. Поэтому для реакции при t > Т по теореме разложения имеем

(предполагается отсутствие кратных корней s k) .

Рассмотрим в качестве примера Задачу 17.1. Передаточная функция цепи имеет выражение K( s) = s t /(l + s t ). Операторное изображение входного сигнала имеет вид

Поэтому изображение выходного напряжения равно

что совпадает с результатом, полученным в Задаче 17.1.

Если воздействующий импульс f1(t) не имеет простого аналитического описания, то его представляют в виде совокупности импульсов прямоугольной формы с амплитудой f1(tk) длительностью D tk, каждый из которых рассматривается как d -импульс

С помощью теоремы запаздывания получим изображение входного сигнала F1(s)

При таком представлении временной метод приводит к замене интеграла свертки суммой; для выходного сигнала будем иметь

Интегрирование уравнений движения

Симуляция физики делает небольшие предсказания на основании законов физики. Эти предсказания на самом деле достаточно просты, что-то вроде «если объект вот здесь и он движется с такой скоростью в этом направлении, то за краткий промежуток времени он окажется вот тут». Мы создаём такие предсказания с помощью математической техники под названием интегрирование.

Темой этой статьи как раз и будет реализация такого интегрирования.

Интегрирование уравнений движения

Вы можете помнить из курса старшей школы или вуза, что сила равна произведению массы на ускорение.

Преобразуем это уравнение и увидим, что ускорение равно силе, делённой на массу. Это соответствует нашим интуитивным ожиданиям, потому что тяжёлые объекты труднее бросать.

Ускорение — это темп изменения скорости от времени:

Аналогично, скорость — это темп изменения позиции от времени:

Это значит, что если мы знаем текущие позицию и скорость объекта, а также приложенные к нему силы, то сможем проинтегрировать, чтобы найти его позицию и скорость в определённый момент времени.

Численное интегрирование

Если вы не изучали дифференциальные уравнения в вузе, то можете вздохнуть спокойно — вы почти в такой же ситуации, что и те, кто их изучал, потому что мы не будем решать дифференциальные уравнения аналитически. Вместо этого мы будем искать решение численным интегрированием.

Вот как работает численное интегрирование: во-первых, начнём с исходной позиции и скорости, затем сделаем небольшой шаг вперёд, чтобы найти скорость и позицию в будущем. Затем повторим это, двигаясь вперёд небольшими шагами, используя результат предыдущих вычислений как исходную точку следующих.

Но как нам найти изменение скорости и позиции на каждом шаге?

Ответ лежит в уравнениях движения.

Давайте назовём наше текущее время t, а шаг времени dt или «delta time».

Теперь мы можем представить уравнения движения в понятном всем виде:

Интуитивно это понятно: если вы находитесь в автомобиле, движущемся со скоростью 60 км/ч, то за один час вы проедете 60 км. Аналогично, автомобиль, ускоряющийся на 10 км/ч в секунду, через 10 секунд будет двигаться на 100 км/ч быстрее.

Разумеется, эта логика сохраняется, только когда ускорение и скорость постоянны. Но даже если они меняются, то это для начала вполне неплохая аппроксимация.

Давайте представим это в коде. Начнём с стационарного объекта массой один килограмм и приложим к нему постоянную силу в 10 кН (килоньютонов) и сделаем шаг вперёд, принимая, что один временной шаг равен одной секунде:

Вот каким будет результат:

Как вы видите, на каждом шаге мы знаем и позицию, и скорость объекта. Это и есть численное интегрирование.

Явный метод Эйлера

Вид интегрирования, который мы только что использовали, называется явным методом Эйлера.

Он назван в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера, впервые открывшего эту технику.

Интегрирование Эйлера — это простейшая техника численного интегрирования. Она точна на 100% только когда темп изменений в течение шага времени постоянен.

Поскольку в примере выше ускорение постоянно, интегрирование скорости выполняется без ошибок. Однако мы ещё интегрируем и скорость для получения позиции, а скорость увеличивается из-за ускорения. Это значит, что в проинтегрированной позиции возникает ошибка.

Но насколько велика эта ошибка? Давайте выясним!

Существует аналитическое решение движения объекта при постоянном ускорении. Мы можем использовать его, чтобы сравнить численно интегрированную позицию с точным результатом:

Через 10 секунд объект должен был переместиться на 500 метров, но явным метод Эйлера даёт нам результат 450. То есть погрешность в целых 50 метров всего за 10 секунд!

Кажется, что это невероятно плохо, но в играх обычно для шага физики берётся не такой большой временной интервал. На самом деле, физика обычно вычисляется с частотой, примерно равной частоте кадров дисплея.

Если задать шаг dt = 1 ⁄100, то мы получим гораздо лучший результат:

Как вы видите, это достаточно хороший результат, определённо вполне достаточный для игры.

Почему явный метод Эйлера не (всегда) так уж хорош

С достаточно малым шагом времени явный метод Эйлера при постоянном ускорении даёт вполне достойные результаты, но что будет, если ускорение не постоянно?

Хорошим примером переменного ускорения является система пружинного амортизатора.

В этой системе масса присоединена к пружине, и её движение гасится чем-то вроде трения. Существует сила, пропорциональная расстоянию до объекта, которая притягивает его к исходной точке, и сила, пропорциональная скорости объекта, но направленная в противоположном направлении, которая замедляет его.

Здесь ускорение в течение шага времени совершенно точно изменяется, но эта постоянно меняющаяся функция является сочетанием позиции и скорости, которые сами постоянно изменяются за шаг времени.

Вот пример гармонического осциллятора с затуханием. Это хорошо изученная задача, и для него существует аналитическое решение, которое можно использовать для проверки результата численного интегрирования.

Давайте начнём со слабозатухающей системы, в которой масса колеблется рядом с исходной точкой, постепенно замедляясь.

Вот входные параметры системы масса-пружина:

  • Масса: 1 килограмм
  • Исходная позиция: 1000 метров от исходной точки
  • Коэффициент упругости по закону Гука: k = 15
  • Коэффициент затухания по закону Гука: b = 0.1

И вот график точного решения:

Если для интегрирования этой системы мы применим явный метод Эйлера, то получим следующий результа, который я отмасштабировал по вертикали:

Вместо затухания и сближения с исходной точкой, система со временем набирает энергию!

При интегрировании явным методом Эйлера и с dt= 1 ⁄100 такая система нестабильна.

К сожалению, поскольку мы уже интегрируем с малым шагом времени, то не имеем практичных способов повышения точности. Даже если мы уменьшим шаг времени, то всегда будет коэффициент упругости k, при котором мы получим такое поведение.

Симплектический метод Эйлера

Мы можем рассмотреть ещё один интегратор — симплектический метод Эйлера.

В большинстве коммерческих игровых физических движков используется этот интегратор.

Переход от явного к симплектическому методу Эйлера заключается только в замене:

Использование симплектического интегратора Эйлера при dt = 1 ⁄100 для системы пружинного амортизатора даёт стабильный результат, очень близкий к точному решению:

Даже несмотря на то, что симплектический метод Эйлера имеет ту же степень точности, что и явный метод (степень 1), при интегрировании уравнений движения мы получаем намного лучший результат, потому что оно является симплектическим.

Существует множество других методов интегрирования

И теперь нечто совершенно другое.

Неявный метод Эйлера — это способ интегрирования, хорошо подходящий для интегрирования жёстких уравнений, которые при других методах становятся нестабильными. Его недостаток заключается в том, что он требует решения системы уравнений на каждом шаге времени.

Интегрирование Верле обеспечивает бо́льшую точность, чем неявный метод Эйлера, и требует меньше памяти при симуляции большого числа частиц. Это интегратор второй степени, который тоже является симплектическим.

Существует целое семейство интеграторов, называемое методами Рунге-Кутты. На самом деле, явный метод Эйлера считается частью этого семейства, но в него входят интеграторы и более высокого порядка, самым классическим из которых является метод Рунге-Кутты порядка 4 (Runge Kutta order 4) или просто RK4.

Это семейство интеграторов названо в честь открывших их немецких физиков: Карла Рунге и Мартина Кутты.

RK4 — это интегратор четвёртого порядка, то есть накапливаемая ошибка имеет порядок четвёртой производной. Это делает метод очень точным, гораздо более точным, чем явный и неявный методы Эйлера, имеющие только первый порядок.

Но хотя он более точен, нельзя сказать, что RK4 автоматически становится «лучшим» интегратором, или даже что он лучше симплектического метода Эйлера. Всё гораздо сложнее. Тем не менее, это довольно интересный интегратор и его стоит изучить.

Реализация RK4

Существует уже много объяснений математики, используемой в RK4. Например: здесь, здесь и здесь. Я настоятельно рекомендую изучить его выведение и понять, как и почему он работает на математическом уровне. Но я понимаю, что целевая аудитория этой статьи — программисты, а не математики, поэтому мы здесь будем рассматривать только реализацию. Так что давайте приступим.

Прежде чем приступить, давайте зададим состояние объекта как struct в C++, чтобы можно было удобно хранить позицию и скорость в одном месте:

Также нам нужна структура для хранения производных значений состояний:

Теперь нам нужна функция для вычисления состояния физики из t в t+dt с помощью одного набора производных, а после этого для вычисления производных в новом состоянии:

Функция ускорения управляет всей симуляцией. Давайте используем её в системе пружинного амортизатора и вернём ускорение для единичной массы:

То, что нужно здесь записать, разумеется, зависит от симуляции, но необходимо структурировать симуляцию таким образом, чтобы можно было вычислять ускорение внутри этого метода для заданных состояния и времени, в противном случае он не подойдёт для интегратора RK4.

Наконец, мы получаем саму процедуру интегрирования:

Интегратор RK4 делает выборку производной в четырёх точках, чтобы определить кривизну. Заметьте, как производная a используется при вычислении b, b используется при вычислении c, и c для d. Эта передача текущей производной в вычисление следующей и даёт интегратору RK4 его точность.

Важно то, что каждая из этих производных a, b, c и d будет разной, когда темп изменения в этих величинах является функцией времени или функцией самого состояния. Например, в нашей системе пружинного амортизатора ускорение является функцией текущей позиции и скорости, которые меняются в шаге времени.

После вычисления четырёх производных наилучшая общая производная вычисляется как взвешенная сумма, полученная из разложения в ряд Тейлора. Эта комбинированная производная используется для перемещения позиции и скорости вперёд во времени, точно так же, как мы делали это в явном интеграторе Эйлера.

Сравнение симплектического метода Эйлера и RK4

Давайте подвергнем проверке интегратор RK4.

Очевидно, что поскольку он является интегратором более высокого порядка (четвёртый против первого) он наглядно будет более точен, чем симплектический метод Эйлера, правда?

Неправда. Оба интегратора так близки к точному результату, что при таком масштабе почти невозможно найти между ними разницу. Оба интегратора стабильны и очень хорошо повторяют точное решение при dt= 1 ⁄100.

При увеличении видно, что RK4 действительно более точен, чем симплектический метод Эйлера, но стоит ли эта точность сложности и лишнего времени выполнения RK4? Трудно судить.

Давайте постараемся и посмотрим, сможем ли мы найти значительное различие между двумя интеграторами. К сожалению, мы не сможем долго наблюдать за этой системой, потому что она быстро затухает до нуля, поэтому давайте перейдём к простому гармоническому осциллятору, который колеблется бесконечно и без затуханий.

Вот точный результат, к которому мы будем стремиться:

Чтобы усложнить интеграторам задачу, давайте увеличим шаг времени до 0,1 секунды.

Теперь запустим интеграторы на 90 секунд и увеличим масштаб:

Через 90 секунд симплектический метод Эйлера (оранжевая кривая) сдвинулся по фазе относительно точного решения, потому что его частота немного отличалась, в то время как зелёная кривая RK4 соответствует частоте, но теряет энергию!

Мы чётко можем это заметить, увеличив шаг времени до 0,25 секунды.

RK4 сохраняет верную частоту, но теряет энергию:

А симплектический метод Эйлера в среднем намного лучше сохраняет энергию:

Но от сдвигается от фазы. Какой интересный результат! Как вы видите, если RK4 имеет более высокий порядок точности, то он не обязательно «лучше». В этом вопросе есть множество нюансов.

Заключение

Мы реализовали три различных интегратора и сравнили результаты.

  1. Явный метод Эйлера
  2. Симплектический метод Эйлера
  3. Метод Рунге-Кутты порядка 4 (RK4)

Так какой же интегратор стоит использовать в игре?

Я рекомендую симплектический метод Эйлера. Он «дёшев» и прост в реализации, гораздо стабильнее явного метода Эйлера и в среднем стремится к сохранению энергии даже при близких к предельным условиях.

Если вам действительно нужна бОльшая точность, чем у симплектического метода Эйлера, я рекомендую посмотреть на симплектические интеграторы более высокого порядка, рассчитанные на гамильтоновы системы. Таким образом вы изучите более современные техники интегрирования высокого порядка, которые лучше подходят для симуляций, чем RK4.

И наконец, если вы всё ещё пишете в игре такое:

То потратьте секунду и замените эти строки на:

Двухтактный измеритель энергии одиночных импульсов

Изобретение относится к информационно-измерительной технике и может быть использовано в радиопромышленности. Цель изобретения — повышение статической точности . Для этого в измеритель введены источник 6 опорного напряжения, второй компараторе, генератор 10 импульсов, третий ключ 11, цифровой счетчик 12с соответствующими связями. Измеритель также содержит входную цепь 1, первый ключ 2, квадратор 3, интегратор 4, первый компаратор 5, второй ключ 7, триггер 9 и блок 13 регистрации. Измеритель энергии работает по принципу двухтактного интегрирования. В первом такте производится интегрирование квадратичной функции одиночного импульса за время, равное его длительности; во втором такте — интегрирование инвертированного значения квадрата опорного напряжения до момента равенства выходного напряжения интегратора 4 нулю. 3 ил. Ё

ПО ИЗОБРЕТЕНИЯМ И ОТКРЫТИЯМ

К АВТОРСКОМУ СВИДЕТЕЛЬСТВУ (21) 4790253/21 (22) 08.02.90 (46) 23.03.92; Бюл. hL 11 (71) Пензенское производственное объединение «Завод им. Фрунзе» (72) Ю.В.Блинков, В.П.Блинкова и В.П.Романов (53) 621.317.38 (088.8) . (56) 1. Авторское свидетельство СССР

М 1422171, кл. 6 01 R 21/00, 1987.

2. Авторское свидетельство СССР

N- 4443326, кл. G 01 R 21/00, 1988;

3. Титце У., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. — М.: Мир, 1982, с. 462.

4, Гусев В.Г., Гусев Ю.М. Электроника:

Учебное пособие для вузов..— М.: Высшая школа, 1982, с. 332-333. (54) ДВУХТАКТНЫЙ ИЗМЕРИТЕЛЬ ЭНЕРГИИ ОДИНОЧНЫХ ИМПУЛЬСОВ!

Ж, 1721520 À1 (я)5 G 01 R 11/00 (57) Изобретение относится к информационно-измерительной технике и может быть использовано в радиопромышленности. Цель изобретения — повышение статической точности. Для этого в измеритель введены источник 6 опорного напряжения, второй компаратор 8, генератор 10 импульсов, третий ключ 11, цифровой счетчик 12 с cooTBGT ствующими связями. Измеритель также содержит входную цепь 1, первый ключ 2, квадратор 3, интегратор 4, первый компаратор 5, второй ключ 7, триггер 9 и блок 13 регистрации. Измеритель энергии работает по принципу двухтактного интегрирования.

В первом такте производится интегрирование квадратичной функции одиночного импульса за время, равное его длительности; во втором такте — интегрирование инвертированного значения квадрата опорного напряжения до момента равенства выходного напряжения интегратора 4 нулю. 3 ил.

Изобретение относится к информационно-измерительной технике и может быть использовано, например, в радиопромышленности для измерения энергии одиночных импульсов.

Известен джаульметр, содержащий входную цепь, термапреобразователь, усилитель постоянного тока, детектор, атсчетный блок, формирователь импульсов запуска, блок установки в исходное состояние, логический элемент ИЛИ, одновибратор, аналоговый ключ,- квадратор, интегратор, компаратор, триггер и реле, Принцип работы джоульметра основан на двойном преобразовании электрической энергии импульса в тепловую энергию, выделенную на подогревателе, которая затем преобразуется в терма-ЭДС термопары (1).

Недостатком джоульметра является низкая точность измерений, так как термопреабразаватель подвержен влиянию температуры окружающей среды, Наиболее близким по технической сущности к предлагаемому является устройство измерения энергии одиночного импульса, содержащее, входную цепь, квадратор, первый и второй ключи, интегратор, масштабный усилитель, блок управления, в который входят компаратор, инвертор, первый и второй триггеры и устройство неравнозначности, а также блок измерения и индикации, состоящий из аналого-цифрового. преобразователя и блока регистрации. Устройства работает по принципу интегрирования квадратичной функции от входного одиночного импульса за время, равное его длительности (2).

B известном устройстве основными источниками мультипликативнай погрешности являются интегратор и квадратор. В случае использования, например, интегратора на прецизионном ОУ статическая относительная мультипликативная погрешность, обусловленная конечным значением коэффициента усиления ОУ, неточностью элементов операционной системы (погрешности резистора и конденсатора>, а также временной и температурной нестабильностью элементов интегратора (резистора и конденсатора),. для наиболее худшего случая, когда предел измерения входного сигнала минимален, а длительность входного импульса максимальна, составляет порядка

0,9,, Погрешность квадратора, собранного на аналоговом перемножителе, 0,1$. Gcтальные блоки, входящие в измеритель, имеют погрешность около 0,01 4. Следовательно, известное устройство имеет низкую точность, Кроме того, em схема сложна, так как содержит отдельный аналого-цифровой преобразователь.

Целью изобретения является повышение статической точности и упрощение уст5 ройства, Поставленная цель достигается тем, что в двухтактнам измерителе энергии одиночных импульсов, содеажащем входную цепь, квадратор, интегратор, первый и второй

10 ключи, источник опорного напряжения, первый и второй компараторы, триггер, генератор импульсов, третий ключ, цифровой счетчик и блок регистрации, инверсный выход первого компаратора соединен с вта15 рым входом триггера, а прямой его выхоД— с входом «Сброс» цифрового счетчика и с вторым входом первого ключа.

На фиг. 1 представлена структурная схема двухтактнаго измерителя энергии оди20 ночных импульсов; на фиг. 2 — временные диаграммы ег работы; на фиг, 3 — характеристика работы двухтактного измерителя энергии одиночных импульсов.

Двухтактный измеритель энергии оди25 ночных импульсов содержит входную цепь

1, первый ключ 2, квадратор 3, интегратор 4, первый компаратор 5, источник 6 опорного напряжения, второй ключ 7. второй компаратор 8, триггер 9, генератор 10 импульсов, 30 третий ключ 11, цифровой счетчик 12 и блок

Рассмотрим статическое состояние отдел ьн ых блоков.

В исходном состоянии первый ключ 2

35 разомкнут, интегратор 4 сброшен, т.е. напряжение на его выходе равно нулю. Триггер 9 сброшен, ега неинвертирующий выход находится в состоянии «0». При этом второй

7 и третий 11 ключи находятся в разомкну40 там состоянии, Цифровой счетчик 12 и блок

13 регистрации фиксируют нулевые значения энергии. На прямых выходах первого 5 и второго 8 компараторов — сигнал «0». На инверсном выходе первого кампаратара 5—

45 сигнал «0», так как.этот компаратор выдает положительные импульсы установки триггера 9 в «1» только в момент перехода первого компаратора 5 из состояния «1» в нулевое, т.е. в. момент окончания измеряемого им-, 50 пульса. Для этой цели первый кампаратор 5 с потенциальными выходами на инверсном выходе должен иметь дифференцирующую цеп ь.

Каждый электрик должен знать:  Электрический ток

Двухтак.гный измеритель энергии ади55 ночных импульсов работает следующим образом.

Одиночный импульс на входной цепи 1 поступает одновременно на входы разомкнутого первого ключа 2 и первого компаратора 5. С приходом одиночного импульса

1721520 первый компаратор 5 формирует на своем выходе прямоугольный импульс, длительность которого равна длительности входного импульса. Передним фронтом импульса с выхода первого компаратора 5 замыкается первый ключ 2, через который проходит измеряемый импульс на вход квадратора 3;

Одновременно сбрасывается цифровой счетчик 12. Импульс, преобразовавшийся в квадраторе 3 в импульс с квадратичной функцией по отношению к исходной его форме, поступает на вход интегратора 4.

Начинается первый такт работы двухтактного измерителя энергии одиночных импульсов, в котором производится интегрирование квадратичной функции одиночного импульса за время, равное его длительности. В момент окончания воздействия одиночного импульса во входной цепи 1 первый компаратор 5 задним фронтом своего выходного импульса размыкает первый ключ 2 и перебрасывает триггер 9, который сигналом логической «1» со своего выхода замыкает второй 7 и третий 11 клю чи.

Начинается второй такт работы двухтактного измерителя энергии одиночных импульсов, в котором на вход квадратора 3 через открытый второй ключ 7 поступает опорное напряжение 4 с источника 6 опорного напряжения. В этом такте интегратор интегрирует инвертированное значение квадрата опорного напряжения до момента равенства выходного напряжения интегра-. тора 4 нулю. B течение этого времени цифровой счетчик 12 производит подсчет числа импульсов, поступающих на его вход с генератора 10 импульсов через открытый третий ключ 11, и производится регистрация измеренного значения энергии в блоке 13 регистрации и .

В момент равенства нулю выходного напряжения интегратора 4 срабатывает второй компаратор 8, перебрасывающий триггер 9 в исходное состояние, После этого сигналом логического «0» с выхода триггера

9 размыкаются второй 7 и третий 11 ключи, Таким образом, устройство подготовлено к приходу следующего одиночного импульса и очередному измерению его энергии.

Энергия одиночного импульса, полученного, например, разрядом заряженного конденсатора на сопротивлении во входной цепи 1, пропорциональна площади кривой мощности и определяется выражением

1. tot, е= — J О dt, о

55 где R — can ðîòèâëåíèå на рузки конденсатора;

Usx — мгновенное значение входного напряжения;

5 т — постоянная времени, определяемая сопротивлением R и емкостью С входной цепи, Через время, равное 10 r, практически произойдет полный разряд конденсатора, Реально интервал интегрирования зависит от длительности измеряемых импульсов.

Для двухтактового измерителя энергии одиночных импульсов имеет место следующее соотношение для выходного напряжения интегратора U> при интегрировании в первом такте (фиг. 3): — — р 1и (2) где 0вх.ср — усредненное значение входного напряжения эа время длительности импульс а; 1и — время интегрирования в первом такте, равное длительности входного одиночного импульса;

R — сопротивление нагрузки во входной цепи.

При интегрировании во втором такте инвертированного значения квадрата опорного напряжения

U =Оо И, где Uo — опорное напряжение;

tzи — время интегрирования во втором такте.

Сравнивая правые части полученных выражений (2) и (3), получают интервал времени интегрирования во втором такте t2>, несущий информацию об энергии измеряемого одиночного импульса: я 2и =—

Число импульсов, подсчитанное цифровым счетчиком 12 за время второго такта интегрирования, может быть определено по формуле

Nx = f т2и, (5) где f — частота генератора 10 импульсов.

Техред М.Моргентал Корректор Н.Король

Производственно-издательский комбинат Патент», . р д, у .

» г. Ужго о, л.Гагарина, 101

Заказ 950 Тираж ям и отк ытиям при ГКНТ СССР

ВНИИПИ Государственного комитета по изобретениям и открытиям при

Особенности формирования испытательного импульса тока при его идентификации набором контролируемых параметров и интегралом действия Текст научной статьи по специальности « Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — А. А. Петков

Рассмотрен вопрос формирования испытательных импульсов тока, заданных амплитудно-временными параметрами и интегралом действия. Предложен метод выбора элементов генератора при нечетком определении контролируемых параметров формируемого импульса тока

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — А. А. Петков

The question of test current pulse formation, given by amplitude-time parameters and action integral is considered. The method of generator elements choice at indistinct definition of controllable parameters of formed current pulse is offered.

Текст научной работы на тему «Особенности формирования испытательного импульса тока при его идентификации набором контролируемых параметров и интегралом действия»

приводять до якюно нових можливостей несанкцю-нованого доступу до ресурав i даних iнформацiйноí системи, до 1’х високоí уразливостi. В цьому випадку необхщне вирiшення як проблем фiзичного захисту iнформацií, так i захист и вiд користувачiв, як несанкць оновано уклинюються в обчислювальний процес. Для вирiшення цього питання:

1. Автором розроблена методика побудови системи захисту шформацп комплешв керування тяговим електропостачанням електриф^ованих залiзниць.

2. Для забезпечення захисту комплексу керування тяговим електропостачанням вщ загроз необхщне уз-годжене застосування рiзнорiдних заходiв захисту (органiзацiйно — правових, техшчних, програмних). Обфунтоване поеднання цих заходiв i е системою захисту комплексу керування тяговим електропостачанням електричного транспорту вщ внутршшх та зовшшшх загроз.

1. Аналiз роботи господарства електриф^ацп та електропостачання в 2006 роц [Текст] / МУстер-ство транспорту та зв’язку Укра’ни. Державна ад-мiнiстрацiя залiзничного транспорту. Головне уп-

равлiння електрифiкацií та електропостачання. -К. : ТОВ «НВП Полiграфсервiс», 2007. — 197 с.

2. Яковлев В. В. Информационная безопасность и защита информации в корпоративных сетях железнодорожного транспорта [Текст] / В. В. Яковлев, А. А. Корниенко. — М. : УМК МПС России, 2002. — 327 с.

3. Матусевич А. А. Основные направления и методы повышения надежности аппаратуры и защиты информации телемеханических комплексов тягового электроснабжения железных дорог [Текст] / А. А. Матусевич // Вюник Днтропетровсь-кого нацюнального ушверситету залiзничного транспорту. — 2007. — № 15. — С. 32-35.

4. Хорошко, В. А. Методы и средства защиты информации [Текст] / В. А. Хорошко, А. А. Чекатков — К. : «ЮНИОР», 2003. — 501 с.

5. Матусевич А. А. Анализ надежности существующей системы телемеханики на Приднепровской железной дороге [Текст] / А. А. Матусевич, В. Г. Кузнецов // Залiзничний транспорт Укра’ни. — 2007. -№ 5. — С. 72-73.

Поступила в редакцию 25.03.09 г.

Предложена методика построения системы защиты информации комплексов управления тяговым электроснабжением электрифицированных железных дорог.

The author proposed the method of protective system construction for management complexes of traction power supply railways.

Особенности формирования испытательного импульса тока при его идентификации набором контролируемых параметров и интегралом действия

Рассмотрен вопрос формирования испытательных импульсов тока, заданных амплитудно-временными параметрами и интегралом действия. Предложен метод выбора элементов генератора при нечетком определении контролируемых параметров формируемого импульса тока.

Процесс совершенствования электротехнического, электронного и микропроцессорного оборудования обязательно включает аспект повышения его устойчивости к воздействиям различных электромагнитных факторов, сопровождающих все жизненные циклы оборудования. Одним из наиболее значимых факторов этого класса является разряд молнии. Особая важность проверки устойчивости авиационного оборудования на прямое поражение молнией нашла отражение в разработке ряда международных и национальных нормативных документов, например [1, 2].

Особенностью воздействия разрядов молнии яв-

© А. А. Петков 2009 р.

ляется то, что имеющие при этом место процессы (электромагнитные, электротермические и электродинамические), наряду с амплитудно-временными параметрами (АВП) импульса тока, определяются такой его характеристикой, как интеграл действия [2, 3]. Это влечет за собой ряд проблем при разработке и создании генераторов импульсов тока (ГИТ), моделирующих ток прямого поражения разрядом молнии. Одной из задач, возникающих на стадии проектирования ГИТ, является выбор параметров разрядной цепи, позволяющей формировать импульс тока при его идентификации АВП и интегралом действия.

Выбор элементов традиционной схемы ГИТ для формирования импульса тока, заданного только на-

бором контролируемых АВП, осуществляется с использованием метода безразмерных характеристик, который изначально был применен при расчетах генераторов импульсов напряжения [4] и модифицирован для расчетов ГИТ при известной емкости и одному из наборов контролируемых АВП [5]. Дальнейшее развитие метод получил в работах [6, 7].

В настоящее время в литературе освещены также вопросы анализа параметров генерируемых импульсов тока, в том числе расчета интеграла действия [3, 8]. Выбор параметров ГИТ для одного из вариантов соотношения контролируемых параметров и интеграла действия рассмотрен в [9].

Однако при проектировании ГИТ имеется ряд практических проблем, решение которых не нашли отражение в известных источниках. К ним, в первую очередь, следует отнести учет нечеткого задания контролируемых АВП, которое имеет место при наличии широких допусков на значения АВП [2], и необходимости получить импульс тока с минимально возможным временем нарастания или максимально возможным временем спада значений в пределах допусков. В первом случае, наряду с термическим воздействием, может быть исследовано влияние наведенных на объекте напряжений и токов с предельными значениями. Во втором — реакция объекта на возникающие электродинамические усилия.

Второй проблемой является отсутствие общего метода определения параметров ГИТ при идентификации импульса тока контролируемыми АВП и интегралом действия.

Целью настоящей статьи является разработка метода выбора параметров разрядной цепи генератора импульсов тока в условиях нечеткого задания амплитудно-временных параметров импульса тока и его интеграла действия.

Материалы и методика исследования

Для традиционного исполнения ГИТ, разрядная цепь которого представима последовательным Н1С контуром, рассмотрим ряд соотношений, связывающих контролируемые АВП параметры и интеграл действия униполярного апериодического импульса тока, с коэффициентами следующего выражения, определяющего изменение значений тока во времени:

сом тока максимального значения

где /(/) — значение тока в момент ^ нормирующий множитель — 1пг > 0; постоянные экспонент, характеризующие соответственно нарастание и спад значений импульса тока, связаны соотношением Р2 >Р1 > 0.

Для дальнейшего анализа преобразуем (1) к виду

где диапазон возможного изменения отношения постоянных экспонент определяется соотношением

1 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ln(ß 2/ ßi) ß2/ßi — l’

Как видно из (4), максимальное значение импульса тока не зависит от конкретных значений постоянных экспонент, а зависит только от их отношения.

Выражение для полного интеграла действия получим, интегрируя квадрат выражения (1) в интервале времени от 0 до ж.

2 l + ß2/ßi 2(2/ ßi)

Как видно из (5), полный интеграл действия зависит от меньшей постоянной Рр характеризующей спад значений импульса тока и отношения постоянных экспонент.

Можно показать, что для вычисления временных контролируемых параметров импульса тока имеют место следующие соотношения.

Для времени нарастания импульса тока от значе-

где В = 1 + 2,87(р2/ р1)

При Р2/ Р1 > 1,01 относительная погрешность

вычисления по (6) 8 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где э = 1 + 0,59(02/ Р1)-

При Р2/ Р1 > 1,01 относительная погрешность

тельная погрешность вычисления 8 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Отметим, что как показано в [9], интеграл действия тока, вычисленный за промежуток времени от 0 до

Тс 0,01 для импульса вида (1), с большой точностью может быть принят равным полному интегралу действия, определяемому по (5), а именно,

1 (Тс 0,01 Это позволяет в дальнейшем

оперировать выражением (5).

Анализ (4), (5) и (7) показывает, что можно установить непосредственную связь между интегралом действия 1, максимальным значением тока /тах и временем спада Тс 001. Для этого в (7) подставим величину Р1, определенную из (5), и далее, величину I пг, определенную из (4). В результате после преобразования получим зависимость, связывающую время достижения на спаде импульса значения 0,01/тах, интеграл действия, максимальное значения тока в импульсе и отношение постоянных Р2/Р1

где n = 2 + ■ . где Р2/ в

Разделив почленно выражение (7) на (6), получим

Далее, подставим выражение (8) в (9) и после преобразования получим зависимость, связывающую время нарастания импульса тока от значения 0,1/тах до 0,9/тах, интеграл действия, максимальное значение тока в импульсе и отношение постоянных Р2/Р1

Применяя к выражениям (6) и (8) предельные переходы, получим соотношения, приведенные в табл. 1, которые позволяют определять границы изменения временных параметров импульса тока при заданных значениях интеграла действия 1 и максимального значения тока /тах.

На рис. 1 и рис. 2 показаны зависимости временных параметров, вычисленных по выражениям (8) и (10) для А-составляющей импульса тока молнии с учетом предельных допусков на значение интеграла действия и максимального значения тока [2].

Из приведенных графиков видно, что они имеют монотонный характер, а также то, что при заданном

Обозначение Значение отношения постоянных экспонент

Р 2/ Р1 ^ 1 Р 2/ Р1

Пт ТН (0,1;0,9 ) 0,307 1 у2 тах 2 2 11т 22 = 0 в2 Р 2

Ит Тс 0,01 3,85-^ у тах 9,21 1 у тах

диапазоне изменения /тах и 1 существует только ограниченный интервал соотношений ТН(0,1;0 9) и Тс 0 01.

Рис. 1. Изменение времени нарастания импульса тока:

1. 1 = 2-10б А • с, уп

2. 1 = 2,4 •Ш6 А1 • с, Утах = 1,8 -105 А ;

3. 1 = 1,6-10б А2 • с, / = 2,2-105 А

Рис. 2. Изменение времени спада импульса тока:

1. 1 = 2-10б А2 • с , 4

2. 1 = 2,4-10б А2 • с, утах = 1,8-105 А;

3. 1 = 1,б •Ю6 А2 • с, /тах = 2,2 -105 А

Используем полученные выше выражения для решения задачи выбора параметров ГИТ.

Теоретическое обоснование и анализ полученных результатов

Постановка задачи. Пусть для апериодического импульса тока заданны границы диапазонов допустимого изменения интеграла действия и максимального значения тока в виде

j н Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

H(0,1;0,9) Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рис. 3. Варианты взаимного расположения интервалов для времени нарастания

Рис. 4. Варианты взаимного расположения интервалов для времени спада

В случае, если для интервалов времени нарастания Тн(0109) имеет место взаиморасположение И0-

И1, показанное на рис. 3 (Т*В Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Аналогично, в случае если для интервалов времени спада значений Тс 001 имеет место взаиморасположение И0-И1 и И0-И 2, показанное на рис. 4

(ТСВ Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Интегрирующие и дифференцирующие схемы

Методические указания

Реакция дифференциатора на одиночный импульс В задачах данного раздела требуется найти выходное напряжение при воздействии на схему одиночным импульсом. Рекомендуется рассмотреть переходный процесс на двух временных интервалах: интервале импульса и интервале паузы после окончания импульса. На каждом из этих интервалов необходимо найти временную зависимость тока входной цепи. Этот ток протекает через резистор в цепи обратной связи и создаёт на нём падение напряжения, которое без учета знака и является выходным напряжением схемы.

Пример решения задачи:

Файлс11_105 Дано: Положительный импульс прямоугольной формы, амплитудой 5 В, длительностью 1 мс, подан на вход схемы. По окончании импульса напряжение на входе схемы равно нулю. Найти: Напряжение u(t) на выходе.

Расчет. Введем обозначения: iвx — входной ток, uвых выходное напряжение, t = R1C — постоянная времени входной цепи, Uc(t) — напряжение на конденсаторе. 1). Рассмотрим интервал импульса: 0

т = 1 к- 0.1 мкф=0.1 мс.

т.е. конденсатор зарядится за время tи.

Ответ. В интервале 0

в интервале t > tи:

tи = 1 мс, t =0.1 мс.

По результатам расчета можно построить временные зависимости входного и выходного напряжении, которые удобно сравнивать с экспериментальными результатами (рис. 11.45). Экспериментальная проверка результатов расчета Качественное совпадение экспериментальных и расчетных результатов заметно при сравнении рис. 11.45 и рис. 11.46, на которых представлены осциллограммы входного и выходного напряжений схемы. Если перевести осциллограф в расширенную модификацию нажатием кнопки Zoom, то можно проверить и количественное совпадение.

Работа мультивибратора В задачах, размещенных в файлах с11_116. с11_127, приведены различные варианты схемы мультивибратора, построенного на основе схемы компаратора, рассмотренного в разделах 11.4 и 11.8. Так как операционный усилитель в схеме работает в режиме компаратора, то его выходное напряжение принимает одно из двух значений напряжения ограничения (в нашем случае либо +12 В, либо -12 В). Принцип действия мультивибратора, изображенного на рис. 11.47, заключается в том, что конденсатор стремится зарядиться до величины напряжения ограничения (+12 В или -12 В). Как только напряжение на конденсаторе (оно же — напряжение на инвертирующем входе) сравняется с пороговым напряжением на неинвертирующем входе, происходит изменение выходного напряжения на противоположное и процесс повторяется снова. Для расчета необходимо найти пороговые напряжения компаратора (это рассмотрено в разделе 11.8) и напряжение на конденсаторе, которое описывается выражением:

Для определения периода колебаний будем считать, что в начальном состоянии напряжение на конденсаторе равно пороговому, а выходное напряжение имеет соответствующее значение напряжения ограничения (например, +12 В). Далее необходимо рассмотреть процесс заряда конденсатора и определить напряжение на неинвертирующем входе. Пример решения задачи. Задача 1

Файл с11_116.са4 Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до +12 В. Найти: Частоту работы мультивибратора, построить осциллограммы напряжений Uвых, Uc.

Расчет 1). Найдем пороги срабатывания по методу узловых потенциалов:

Un1=7B, Uп2=-5B, т = 0.1 мкФ10к = 1 мс. 2). Интервал Ti (процесс заряда конденсатора до напряжения, равного Uп1).

3). Интервал Т2 (процесс разряда конденсатора до напряжения Uп1).

По полученным результатам расчета можно построить графики временных зависимостей входного и выходного напряжений, которые удобно будет сравнивать с экспериментальными результатами (рис. 11.48).

Экспериментальная проверка результатов расчета Предоставим читателю возможность самому убедиться в степени совпадения расчета и эксперимента по представленным нарис. 11.49 осциллограммам.

Задачи для самостоятельного исследования Реакция дифференцирующего ОУ на одиночный импульс

Дано: Положительный импульс прямоугольной формы, амплитудой 5 В, длительностью 1 мс, подан на вход схемы. Найти: Напряжение u(t) на выходе.

Задача 2. (с11_106)

Дано: Положительный импульс прямоугольной формы, амплитудой 6 В, длительностью 5 мс, подан на вход схемы Найти: Напряжение u(t) на выходе.

Дано: Положительный импульс прямоугольной формы, амплитудой 8 В, длительностью 5 мс, подан на вход схемы. Найти: Напряжение u(t) на выходе.

Задача 4. (cll_108.ca4)

Дано; Положительный импульс прямо- угольной формы, амплитудой 8 В, длительностью 2 мс, подан на вход схемы. Найти: Напряжение U(t) на выходе схемы.

Задача 5. (с11_109. ca4 )

Дано: Положительный импульс прямоугольной формы, амплитудой 12 В, длительностью 4 мс, подан на вход схемы. Найти: Значение U(t) на выходе схемы.

Задача 6 (с11_110. ca4)

Дано: Положительный импульс прямоугольной формы, амплитудой 12 В, длительностью 4 мс, подан на вход схемы. Найти: Значение U(t) на выходе схемы.

Файлы с11 111. с11_115 с задачами 4. 11 размещены на прилагаемой к книге дискете.

Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до +12 В. Найти: Частоту импульсов на выходе мультивибратора, построить графики напряжения на выходе схемы и на конденсаторе.

Задача 2. (с11_117)

Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до +12 В. Найти: Частоту импульсов на выходе мультивибратора, построить графики напряжения на выходе схемы и на конденсаторе.

Задача 3. (с11_118)

Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до +12 В. Найти: Частоту импульсов на выходе мультивибратора, построить графики напряжения на выходе схемы и на конденсаторе.

Задача 4. (cll_119.ca4)

Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до 4-12 В. Найти: Частоту работы мультивибратора, построить осциллограммы напряжений Uвых, Uc.

Задача 5. (с11_120. ca4)

Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до +12 В. Найти: Частоту работы мультивибратора, построить осциллограммы напряжений Uвых, Uc.

Задача 6. (с11_121. ca4)

Дано: Значение напряжения на выходе изменяется в диапазоне от -12 В до +12 В. Найти: Частоту работы мультивибратора, построить осциллограммы напряжений Uвых, Uc.

Файлы с11_122. с11_127 с задачами 4. 12 размещены на прилагаемой к книге дискете.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира
01.10.2020 — 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога — это что, военный объект?
— Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Добавить комментарий