Изображение периодического сигнала на комплексной плоскости

2.1.3 Гармоническое колебание

Одним из наиболее часто используемых типов детерминированных периодических сигналов является гармоническое колебание. Это обусловлено несколькими факторами. Во-первых, гармоническое колебание наиболее просто технически воспроизвести; во-вторых, только гармонический сигнал, проходя через линейные цепи, сохраняет свою форму; в-третьих, большинство используемых в радиоэлектронике сигналов с помощью аппарата Фурье может быть представлено суммой гармонических составляющих.

Гармоническое колебание аналитически можно записать как функцию косинуса или синуса. Чаще применяют функцию косинуса:

где Am — амплитуда, w — частота, j — начальная фаза. Величина ( w t +j )= y (t) определяет полную фазу. Частота и период гармонического сигнала связаны соотношениями:

где w — циклическая частота, ее размерность радианы/сек, f -частота, число колебаний за секунду, ее выражают в герцах (Гц, Hz); 10 3 Гц = 1 кГц (килогерц), 10 6 Гц = 1 МГц (мегагерц), 10 9 Гц=1 ГГц (гигагерц). Гармоническое колебание полностью характеризуется тремя параметрами: частотой (или периодом), амплитудой и фазой.

Функция s(t) определяет гармонический сигнал на временной плоскости (рис.1).

Если в качестве оси абсцисс выбрать частоту, а оси ординат — амплитуду и фазу то можно получить представление гармонического сигнала на частотной плоскости, причем для удобства графики амплитуда — частота и фаза — частота рисуют отдельно (см. рис. 2).

В соответствии с формулами Эйлера действительный гармонический сигнал можно записать в виде

Сигнал вида будем называть комплексным. В соответствии с теорией комплексных функций можно записать

и для любого момента времени можно построить на комплексной плоскости вектор функции (рис.3), который называют векторной диаграммой.

Вектор вращается с угловой скоростью w . На рисунке показаны положения вектора в моменты времени t=0 и t1 0. При w t=2 p вектор попадает в положение t=0. Поэтому обычно векторную диаграмму представляют для t=0, а вращение вектора обозначают скоростью вращения (см. рис. 4 ), сам же вектор отображают комплексным числом , называемым комплексной амплитудой ,т.е.

где точка над амплитудой отражает комплексный характер этой величины.

Действительная часть функции есть проекция на действительную ось, т. е.

Если действительный гармонический сигнал представить в виде суммы комплексных по формуле Эйлера, то для построения его комплексно-сопряженной части на частотной плоскости придется использовать и область отрицательных частот. Это показано на рис.5.

Использование понятия комплексной амплитуды гармонического сигнала значительно упрощает расчет электрических цепей. Метод, основанный на использовании этого понятия, называется методом комплексных амплитуд.

Покажем, что линейные преобразования гармонического сигнала легко свести к тем же преобразованиям комплексных амплитуд.

Пусть имеем сумму гармонических колебаний с одинаковой частотой:

Известно, что сумма гармонических функций одной частоты есть также гармоническая функция этой частоты, амплитуда которой равна

Пользуясь же понятиями комплексных амплитуд и векторным представлением имеем (рис.6):

Таким образом, линейная комбинация нескольких гармонических сигналов с одной и той же частотой есть гармоническое колебание с той же частотой, комплексная амплитуда которого соответствует этой линейной комбинации.

Покажем, как меняется комплексная амплитуда при таких операциях как дифференцирование и интегрирование.

откуда видим, что , т.е. дифференцирование гармонической функции соответствует умножению ее комплексной амплитуды на величину .

При интегрировании имеем

т.е. интегрирование гармонической функции эквивалентно делению комплексной амплитуды на частоту и повороту фазы на , т.е.

На векторных диаграммах операция дифференцирования соответствует повороту фазы на +90 0 , а интегрирования — повороту на -90 0 относительно исходного вектора.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Комплексные амплитуды, комплексные действующие значения, комплексы действующих значений

Комплексные амплитуды напряжения

U ˙ m = U m e j α u

I ˙ m = I m e j α i

при анализе установившегося синусоидального режима соответствуют сигналам синусоидальной формы напряжения

Комплексные амплитуды представляют векторами на комплексной плоскости, как комплексное число (рис. 21)

A ˙ = A e j γ = A cos γ + j A sin γ = a + j b ,

где модуль (длина вектора)

A = | A ˙ | = a 2 + b 2 ,

γ = a r c t g b a ,

действительная часть комплексного числа

Re A ˙ = A cos γ = a ,

мнимая часть комплексного числа

Im A ˙ = A sin γ = b ,

j 2 = − 1, j ⋅ ( − j ) = − j 2 = − ( − 1 ) = 1, 1 j = j j 2 = j − 1 = − j .

Сопряженное комплексное число

A * = A e − j γ = A cos ( − γ ) + j A sin ( − γ ) = A cos γ − j A sin γ = a − j b ,

где положительный отсчет угла γ производят против часовой стрелки от «правого горизонта».

Комплексные амплитуды используют при обосновании метода комплексных амплитуд для расчета установившегося синусоидального режима

u ( t ) = Re U ˙ m e j ω t = Re U m e j α u e j ω t = Re U m e j ( ω t + α u ) = U m cos ( ω t + α u ) ; i ( t ) = Re I ˙ m e j ω t = Re I m e j α i e j ω t = Re I m e j ( ω t + α i ) = I m cos ( ω t + α i ) ,

где e j ω t – оператор вращения, U ˙ m e j ω t , I ˙ m e j ω t – вращающиеся векторы, поскольку их суммарная фаза γ = ωt + α равномерно увеличивается с увеличением времени t.

Комплексные действующие значения или комплексы действующих значений:

комплексное действующее напряжение или комплекс действующего напряжения

U ˙ = U e j α u = U ˙ m 2 = U m 2 e j α u ,

комплексный действующий ток или комплекс действующего тока

I ˙ = I e j α i = I ˙ m 2 = I m 2 e j α i .

Разложение сигналов по гармоническим функциям

Понятие собственных функций . Удобство использования частотного представления сигналов заключается в том, что гармонические функции являются собственными функциями операций переноса, интегрирования, дифференцирования и других линейных операций, инвариантных по координатам. Они проходят через линейные системы , не изменяя формы, а изменяют лишь фазу и амплитуду.

Допустим, что исходная функция является линейной комбинацией функций синуса и косинуса:

s(х) = А sin(х)+B cos(х).

Осуществим произвольный сдвиг функции по аргументу на величину h. При этом получаем:

s(х+h) = C sin(х)+D cos(х),

C = А cos(h) – B sin(h),

D = A sin(h) + B cos(h),

где коэффициенты C и D, как и в исходном выражении коэффициенты А и В, не зависят от аргумента, при этом C 2 +D 2 = А 2 +В 2 . Таким образом, при произвольном переносе функции по аргументу (а равно и при интегрировании, дифференцировании и других линейных преобразованиях) любую линейную комбинацию синуса и косинуса можно представить линейной комбинацией этих же функций.

Экспоненциальная комплексная запись гармонических функций делает это свойство еще нагляднее. Для произвольной гармонической функции имеем:

cos( w t- j ) = A cos( w t)+B sin( w t),

где A = cos( j ), B = sin( j ), j — начальный фазовый угол колебания при t = 0. Переходя к комплексной записи данной функции с использованием тождеств Эйлера

cos( w t) = [ехр(j w t)+exp(-j w t)]/2, sin( w t) = [ехр(j w t)-exp(-j w t)]/2j,

cos( w t- j ) = C exp(j w t)+C*exp(-j w t),

где: C = 0,5 exp(-j j ), C* = 0,5 exp(j j ) – величина, комплексно сопряженная с С. Применяя в качестве гармонической составляющей разложения сигнала функцию ехр(j w t), можно рассматривать вторую функцию ехр(-j w t), комплексно сопряженную с первой, как такую же составляющую, но с отрицательной частотой. Естественно, что отрицательная частота является чисто математической абстракцией, но нужно помнить, что пара таких комплексно сопряженных составляющих в сумме всегда дает вещественную функцию.

Экспоненциальные функции также являются собственными функциями линейных операций. Для операции переноса с использованием экспоненциальных функций:

exp[j w (t+h)] = exp(j w h)·exp(j w t) = H( w ) exp(j w t),

где Н( w ) = exp(j w h) — собственное значение операции переноса, независимое от переменной.

Для операции дифференцирования:

d[exp(j w t)]/dt = j w exp(j w t), H( w ) = j w .

Для операции интегрирования:

exp(j w t) dt = (1/j w ) exp(j w t), H( w ) = 1/j w .

В общей форме, для любых линейных операций преобразования:

Т[exp(j w t)] = H( w ) exp(j w t),

где T[.] — произвольный линейный оператор, H( w ) — собственное значение операции, независимое от аргумента.

У специалистов — практиков существует предубеждение против использования комплексных функций с их мнимыми частотами. Поэтому в дальнейшем будем использовать и вещественные функции, и их комплексные аналоги, по крайней мере, до тех пор, пока простота и удобство использования последних не станет очевидным.

Ряды Фурье. Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) = S n exp(jn Dw t), S n = S(n Dw ), Dw = 2 p /T, (4.1.1)

где весовые коэффициенты S n ряда определяются по формуле:

S n = (1/T) s(t) exp(-jn Dw t) dt. (4.1.2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jn Dw t) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(n Dw ) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2 p /Т (или D f = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w 1 = 1 Ч Dw = 2 p /T (или f 1 = 1/T), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра n w 1 при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(n Dw ) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными. Шаг по частоте Dw между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.

С чисто математических позиций множество функций ex p(jn Dw t), — Ґ Ґ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 [a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (4.1.2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (4.1.1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L 2 [a,b], точка с координатами S n по базисным осям пространства exp(jn Dw t).

Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (4.1.2) с использованием тождества Эйлера

exp(±j w t) = cos( w t) ± j Ч sin( w t)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S n = (1/T) s(t) [cos(n Dw t) — j sin(n Dw t)] dt = А n — jB n . (4.1.3)

A n ≡ A(n Dw ) = (1/T) s(t) cos(n Dw t) dt, (4.1.4)

B n ≡ B(n Dw ) = (1/T) s(t) sin(n Dw t) dt. (4.1.5)

На рис. 4.1.1 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(n Dw ) = A(-n Dw ), так как при вычислении значений A(n Dw ) по формуле (4.1.4) используется четная косинусная функция cos(n Dw t) = cos(-n Dw t). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(n Dw ) = -B(-n Dw ), так как для ее вычисления по (4.1.5) используется нечетная синусная функция sin(n Dw t) = — sin(-n Dw t).

Рис. 4.1.1. Сигнал и его комплексный спектр.

Комплексные числа дискретной функции (4.1.3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S n = R n exp(j j n ), (4.1.3′)

R n 2 ≡ R 2 (n Dw ) = A 2 (n Dw )+B 2 (n Dw ),

j n ≡ j (n Dw ) = arctg(-B(n Dw )/A(n Dw )).

Рис. 4.1.2. Модуль и аргумент спектра.

Модуль спектра R(n Dw ) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ — амплитудно-частотной характеристикой сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j (n Dw )) — двусторонним спектром фаз или ФЧХ – фазово-частотной характеристикой. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(n Dw ) = R(-n Dw ), а спектр фаз нечетную: j (n Dw ) = — j (-n Dw ). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4.1.1, приведен на рис. 4.1.2. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2 p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее — p происходит сброс значения -2 p ).

Если функция s(t) является четной, то все значения B(n Dw ) по (4.1.5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(n Dw t) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(n Dw ) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 4.1.3(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 4.1.3(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

Рис. 4.1.3. Ортогональность функций.

При n = 0 имеем В о = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

Тригонометрическая форма рядов Фурье. Объединяя в (4.1.1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S 0 ), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = А о +2 (A n cos(n Dw t) + B n sin(n Dw t)), (4.1.6)
s(t) = А о +2 R n cos(n Dw t + j n ). (4.1.6′)

Значения A n , B n вычисляются по формулам (4.1.4-4.1.5), значения R n и j n — по формулам (4.1.3′).

Ряд (4.1.6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2 Ч A n , 2 Ч B n ) не что иное, как амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами n Dw . Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот n Dw ) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4.1.1, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения А о на нулевой частоте, которое, как это следует из (4.1.6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко (за исключением чисто технических приложений).

Более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (4.1.6′). Спектр амплитуд косинусных гармоник при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 4.1.2) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p , для нечетных соответственно ± p /2.

Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).

На рис. 4.1.4 показано разложение в комплексный ряд Фурье модельного сигнала, выполненное в среде Mathcad. Модель сигнала задана с тремя разрывами первого рода (скачками). Любой скачок функции содержит все частоты диапазона до бесконечности, в связи с чем ряд Фурье также бесконечен и очень медленно затухает. На рисунке приведены значения только первых 100 членов ряда, при этом график спектра сигнала, как это обычно принято на практике, построен в виде огибающей значений модулей коэффициентов ряда S n и только по области положительных значений n.

Рис. 4.1.4. Разложение сигнала в комплексный ряд Фурье.

Программа на рис. 4.1.5 продолжает программу рис. 4.1.4 и показывает реконструкцию сигнала по его спектру при ограничении числа членов ряда Фурье.

Рис. 4.1.5. Реконструкция сигнала (продолжение программы на рис. 4.1.4)

На верхнем графике рисунка приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = w s / Dw) , N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала.

Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса . При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции. Пример явления Гиббса для радиоимпульса приведен на рис. 4.1.6 (использована программа на рис. 4.1.4, точками показан реконструированный сигнал с увеличением масштаба в 10 раз).

На рис. 4.1.7 приведен пример разложения в ряд Фурье одного периода T=(a,c) модельного периодического сигнала sq(x), представленного информационным сигналом s(x) в сумме с шумовым сигналом. Спектр шумов близок к спектру белого шума (равномерное распределение энергии шумов по всем частотам спектра).

На спектре модельного сигнала достаточно четко выделяется диапазон частот информационного сигнала. Реконструкция сигнала с ограничением ряда Фурье гармониками только информационного сигнала (сигнал sr5(x), N=5) дает сглаженную форму сигнала по минимуму среднеквадратического расхождения с модельным сигналом для данного количества членов ряда, но только по периоду разложения (а, с), и наиболее точное приближение к информационному сигналу. При увеличении в реконструкции количества членов ряда Фурье восстановленный сигнал начинает приближаться к модельному сигналу, но только по данному периоду T=(a,c), при этом расхождение с информационным сигналом увеличивается. Заметим, что спектр сигнала может определяться и по нескольким периодам сигнала, что повышает точность реконструкции информационного сигнала.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (4.1.1-4.1.6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. Однако при этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 4.1.8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Параметры эффекта Гиббса. Большинство методов анализа и обработки сигналов представляют собой или имеют в своем составе операцию свертки сигналов с функцией оператора свертки . Как сигнал, так и оператор свертки, выполняющий определенную задачу обработки данных и реализующий определенную частотную функцию системы обработки, могут быть бесконечно большими. Практика же обработки на ЭВМ может иметь дело только с ограниченными множествами и данных, и коэффициентов оператора. В общем случае, эти ограниченные множества «вырезаются» из бесконечных множеств, а разложение в ряды Фурье, также ограниченные по размерам, является одной из самых распространенных операций обработки цифровых множеств. С учетом этого рассмотрим явление Гиббса более подробно, т.к. при любых ограничениях рядов Фурье оно всегда может весьма существенно сказаться на качестве и точности обработки сигналов.

Очевидно, что при усечении ряда Фурье (4.1.1) любой функции до конечного числа членов N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:

s N (x) = S(n) exp(jxn Dw ), (4.1.7)

при этом происходит усечение спектральной характеристики функции до частоты n Dw и сходимость суммы остающихся членов ряда s N (x) к исходной функции s(x) ухудшается в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) функций:

— крутизна перепадов «размывается», т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (4.1.7);

— по обе стороны «размытых» перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (4.1.7).

Рассмотрим явление Гиббса на примере разложения в ряд Фурье функции единичного скачка s(x), которая имеет разрыв величиной 1 в точке х = 0. Уравнение функции:

s(x) = — 0.5 при –T/2 ≤ x 0; s(x) = 0.5 при 0 Ј x ≤ T/2 .

Поскольку функция является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда в односторонней тригонометрической форме определяются выражением (с учетом соотношения Dw = 2 p /T):

b n = (2/T) s(x) sin(xn Dw ) dx = (2/T) sin(xn Dw ) dx.

b n = 2/(n· p ), n- нечетное,

b n = 0, n- четное.

Рис. 4.1.9. Значения коэффициентов b n .

Как видно на рис. 4.1.9, ряд коэффициентов b n затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции s(x):

s(x) = (2/ p )[sin x Dw + (1/3)·sin x3 Dw + (1/5)·sin x5 Dw +. ].

s(x) = (2/ p ) sin[x(2n+1) Dw ]/(2n+1). (4.1.8)

Этот ряд при усечении до M нечетных членов можно записать в следующем виде:

s(x) = (2 Dw / p ) cos(x(2n+1) Dw) dx = (2 Dw / p ) [ cos(x(2n+1) Dw) ] dx.

Сумма косинусного ряда равна sin[2(M+1)x Dw ]/(2sin x Dw ). Отсюда:

Для определения местоположения максимумов и минимумов возникающих осцилляций функции, приравняем к нулю ее первую производную (подынтегральную функцию) выражения (4.1.9), при этом:

x k = ± k p /(2 Dw (M+1)) = ± kT/(4(M+1)) , k = 1,2.

Соответственно, амплитудные значения первых (максимальных) осцилляций функции приходится на точки x k=1 = ± T/(4(M+1)) , вторых (противоположных по полярности) — на точки x k=2 = ± T/(2(M+1)). Период пульсаций равен x k=3 -x k=1 ≡ 2x k=1 = ± T/(2(M+1)), т.е. на одном периоде задания сигнала появляется 2(М+1) пульсация с частотой, обратным периоду и равной 2(M+1) D f – частоте последнего сохраненного в суммировании члена ряда Фурье. Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции s(x) на точке периода Т значения х k являются значениями D x k относительно точки скачка. Амплитудные значения функции в точках х 1 и х 2 (при подстановках х 1 и х 2 верхним пределом в (4.1.9)) практически не зависят от количества членов ряда М и равны:

Каждый электрик должен знать:  Монтаж электропроводки в деревянном доме

s M (x 1 ) » 0.5+0.09, s M (x 2 ) » 0.5-0.05.

Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает.

Реконструкция скачка при трех значениях ряда приведена на рис. 4.1.10. Как и положено, функция продолжается периодически за пределами заданного интервала (-Т/2, Т/2), при этом на границах периодов также образуются скачки. Скачки являются центрами возникающих осцилляций. Наложение осцилляций друг на друга в зависимости от расстояния между их центрами может как уменьшать амплитуду пульсаций, так и увеличивать.

Рис. 4.1.10. Реконструкция скачка по ограниченному раду Фурье при М =3.

Таким образом, для усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9% и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна T/(2(M+1)), а по уровню исходных значений функции на скачке (в данном случае от -0.5 до 0.5) порядка (2/3)T/(2(M+1)). Это явление типично для всех функций с разрывами.

Глава 2. Анализ реакции цепи на периодическое воздействие сложной формы

Глава 2 Анализ реакции цепи на периодическое воздействие сложной формы

2.1. Представление периодического воздействия рядом Фурье

Периодическая последовательность прямоугольных импульсов состоит из. обычных синусоид. Напомним, прежде всего, что периодическим называется сигнал, значения которого повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом.

Синусоида, или гармоническое колебание вида

является простейшим периодическим сигналом.

Примером сложного периодического сигнала может служить последовательность прямоугольных импульсов с периодом повторения Т (рис. 2.1, а).

Как Вы думаете, из чего состоят прямоугольные импульсы? Оказывается, из синусоид. Хотите убедиться в этом? Тогда взгляните на рис. 2.1. В качестве исходной синусоиды нужно выбрать такую, у которой период совпадает с периодом повторения Т прямоугольных импульсов (рис. 2.1, б):

Следующая синусоида должна иметь частоту в три раза большую, а амплитуду – в три раза меньшую:

Сумма этих двух синусоид, т. е. , пока еще мало похожа на прямоугольные импульсы (рис. 2.1, в). Но если мы добавим к ним синусоиды с частотами в 5, 7, 9, 11 и т. д. раз большими, то сумма всех этих колебаний:

будет не так уж сильно отличаться от прямоугольных импульсов (рис. 2.1, г и д).

Для того, чтобы сигнал, сформированный из синусоид (2.1), совпадал с прямоугольными импульсами также и по высоте, амплитуду основной синусоиды следует взять:

Таким образом, степень прямоугольности импульсов определяется количеством синусоид со все более высокими частотами, которые мы будем суммировать в (2.1).

Сигнал, похожий на зубья пилы, также состоит из . обычных синусоид. По научному этот сигнал называют периодической последовательностью пилообразных импульсов (рис. 2.2, а). Радиолюбители знают, что подобную форму имеет напряжение, развертывающее изображение на экране телевизора по строкам.

Рисунок 2.2 – Последовательность пилообразных импульсов и образующие ее синусоиды

Чтобы сформировать пилообразный сигнал, нужно кроме основной синусоиды (рис. 2.2, б):

использовать перевернутую синусоиду удвоенной частоты и половинной амплитуды (рис. 2.2, в):

а также синусоиды с утроенной, учетверенной и т. д. частотами (рис. 2.2, г – е):

Пример 2.1. Определим параметры синусоид, формирующих последовательности прямоугольных (рис. 2.1, а) и пилообразных (рис. 2.2, а) импульсов, имеющих амплитуду U = 10 В и период Т = 20 мс.

а) Для формирования периодической последовательности прямоугольных импульсов амплитуда основной синусоиды должна быть

Частота колебаний этой синусоиды обратно пропорциональна периоду:

Круговая частота w1 = 2pf1 = 100p рад/с. Таким образом, основная синусоида

Все последующие синусоиды в соответствии с (2.1) должны иметь амплитуды в нечетное количество раз меньшие, а частоты – в это же нечетное количество раз большие, чем у основной синусоиды:

Последовательность прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 2.1, а – это сумма синусоид:

Сигнал изображен на рис. 2.1, д.

б) Для формирования последовательности пилообразных импульсов необходимо, чтобы амплитуда основной синусоиды была равна

Частота основной синусоиды

Последующие синусоиды в соответствии с (2.2) должны иметь вид:

Последовательность пилообразных импульсов – это сумма синусоид:

Чем больше синусоид используется при формировании сигнала, тем ближе его форма к пилообразной.

Изменение начала координат может превратить ряд, состоящий из синусов в косинусный ряд. Покажем на примере последовательности прямоугольных импульсов как изменение начала координат превращает ряд, состоящий из синусов, в ряд, состоящий из косинусов.

Рис. 2.3, а отличается от рис. 2.1, а незначительно: момент наблюдения (т. е. начало координат) смещен вправо на четверть периода последовательности прямоугольных импульсов.

Напомним, что колебание, которое начинается раньше начала координат, называется опережающим по отношению к колебанию, возникающему из начала координат, и характеризуется появлением начальной фазы со знаком плюс. Это означает, что теперь вместо колебания (2.1) мы будем иметь дело с колебанием, опережающим по фазе данное колебание на p/2 рад или на 90° (рис. 2.3, б):

Колебание утроенной частоты 3w1 после переноса начала координат получит сдвиг по фазе, равный 3p/2 рад или 270° (рис. 2.3, в):

Продолжая действовать таким образом, мы придем к формуле для последовательности прямоугольных импульсов:

Применив к (2.3) тригонометрические формулы приведения

можно представить ряд (2.3) в виде суммы только косинусоид:

Периодические сигналы любой формы также состоят из синусоид или косинусоид; при этом нечетные сигналы состоят только из синусоид, в то время как четные сигналы – только из косинусоид. Впервые этот факт был доказан в 20-х годах прошлого века французским математиком Ж. Фурье.

В табл. 2.1 приведены наиболее часто встречающиеся на практике периодические последовательности импульсов и записаны их представления в виде синусных или косинусных рядов. Из таблицы видно, что нечетные функции содержат только синусоиды, а четные – только косинусоиды.*)

Таблица 2.1 – Ряды Фурье наиболее часто встречающихся сигналов

В честь французского математика приведенные в таблице ряды называются рядами Фурье.

Наинизшая частота синусоидальных или косинусоидальных компонент есть

Эта частота принадлежит основной составляющей и она совпадает с частотой повторения сигнала. Таким образом, периодический сигнал с периодом в 1 миллисекунду (мс) имеет основную составляющую с частотой f1 = 1 кГц.

Частоты остальных составляющих сигнала являются числами, кратными частоте основной составляющей. Эти составляющие называются гармониками основной компоненты, и номер гармоники определяется отношением ее частоты к частоте основной составляющей. Так, в приведенном в предыдущем абзаце примере гармониками основной составляющей в общем случае могут быть вторая – с частотой 2 кГц, третья – с частотой 3 кГц, четвертая – с частотой 4 кГц и т. д.

Кроме основной составляющей и высших гармоник в сигнале может присутствовать постоянная составляющая. Посмотрите на рис. 2.4, а и б. Нижний рисунок получен из верхнего вычитанием среднего значения сигнала, которое вычисляется как известно по формуле:

Для последовательности прямоугольных импульсов, изображенной на рис. 2.4, а, указанную площадь вычислить нетрудно, поэтому

В случае, когда сигнал имеет сложную форму, площадь вычисляется с помощью интеграла:

Среднее значение сигнала U0 называют постоянной составляющей. Удаление постоянной составляющей из последовательности прямоугольных импульсов на рис. 2.4, а приводит к последовательности, показанной на рис. 2.4, б.

Поскольку гармонический состав последнего сигнала известен (2.1), то гармонический состав однополярной последовательности импульсов (рис. 2.4, а) будет отличаться только наличием постоянной составляющей U0:

В двух последних строках табл. 2.1 можно увидеть постоянные составляющие у переменного напряжения, выпрямленного одно — и двухполупериодным выпрямителями.

Пример 2.2. Определим гармонический состав последовательности треугольных импульсов, изображенных на рис. 2.5, имеющих амплитуду U = 10 В и период Т = 10 мс.

Периодический сигнал на рис. 2.5 отличается от сигнала во второй строке Таблицы 2.1 на величину постоянной составляющей

Частота основной составляющей сигнала

Амплитуда основной составляющей сигнала рассчитывается по формуле, приведенной в табл. 2.1:

Четная функция (рис. 2.5) содержит только косинусоиды, амплитуды и частоты которых определяются по формулам, приведенным во второй строке табл. 2.1.

Амплитуда и частота третьей гармоники:

Амплитуда и частота пятой гармоники:

Амплитуда и частота седьмой гармоники:

Гармонический состав последовательности треугольных импульсов (рис. 2.5) имеет вид

Общая форма записи ряда Фурье не зависит от момента наблюдения за сигналом. Мы наблюдали ранее как изменение начала координат (т. е. момента наблюдения) превращало ряд синусов в ряд косинусов. Так, при переносе начала координат на рис. 2.1, а вправо на четверть периода последовательности прямоугольных импульсов (т. е. при переходе к рис. 2.3, а) изменились начальные фазы основной составляющей и высших гармоник на величины, кратные p/2 радиан (2.3).

Очевидно, если начало координат переносить на произвольное расстояние вправо или влево, то начальные фазы основной составляющей и гармоник в (2.3) будут принимать любые значения, а не только кратные p/2 радиан. В этом случае ряд (2.3) преобразуется в ряд:

qn – начальная фаза n-ой гармоники.

Для однополярной последовательности прямоугольных импульсов, типа показанной на рис. 2.4, а, к данному ряду добавится постоянная составляющая U0 = U/2.

Каждый сигнал, отличающийся от других по форме, имеет свой сугубо индивидуальный гармонический состав, т. е. содержит основную синусоиду и ее высшие гармоники со своими амплитудами и начальными фазами. Поэтому в общем случае ряд Фурье для произвольного периодического сигнала записывается в форме:

Мы уже знаем, что амплитуды некоторых гармоник могут быть равны нулю, а фазы могут принимать любые значения, в том числе и кратные p/2 радиан – это зависит от формы сигнала (см. табл. 2.1).

Форма записи ряда Фурье (2.5) получила название амплитудно-фазовой формы. Она справедлива для любого момента наблюдения, т. е. для любого расположения начала координат. Изменение начала координат меняет только значение фазовых углов qn.

Существуют две равноправные записи ряда Фурье в амплитудно-фазовой форме – через функцию синуса и через функцию косинуса. Ряд Фурье с использованием функции синуса мы уже записали в виде формулы (2.5). Чтобы заменить функцию синуса на функцию косинуса, обратимся к главе 1 этой книги.

с частотой w1 можно изобразить на комплексной плоскости как вектор, направленный первоначально вдоль положительной горизонтально полуоси (рис. 2.6, а) и вращающийся с угловой скоростью w1.

Аналогичным образом, мгновенное напряжение

отображается вектором, направленным вдоль положительной вертикальной полуоси (рис. 2.6, б) и вращающимся с той же скоростью.

Поэтому положительную горизонтальную полуось комплексной плоскости можно с полным основанием назвать осью синусоидальных функций, или, короче, осью синусов, а положительную вертикальную полуось – осью косинусоидальных функций, или осью косинусов.

соответствует вектор (рис. 2.7)

который опережает по­ложительную ось синусов на 30°, т. е. его можно получить вращением вектора на рис. 2.6, а на +30°.

Если желательно записать этот вектор как функцию косинуса, то следует обратить внимание на то, что получить картину, показанную на рис. 2.7, можно только одним способом – вращать вектор на рис. 2.6, б на угол –60°. В этом случае вместо колебания (2.7) получим колебание

Таким образом, можно сделать вывод, что при записи гармонического колебания в виде синусной функции угол, или начальная фаза колебания, отсчитывается от положительной горизонтальной полуоси, а при записи колебания в косинусной форме угол отсчитывается от положительной вертикальной полуоси.

Основываясь на описанном правиле, легко привести две равнозначные записи ряда Фурье:

где угол n-ой гармоники qn отсчитывается от положительной горизонтальной оси, а угол jn – от положительной вертикальной оси комплексной плоскости. Вот и вся разница!

Чтобы избежать путаницы, примем в дальнейшем в качестве основной формы записи ряда Фурье формулу (2.9) и, кроме того, будем иметь дело не с угловой частотой w1, а линейной частотой f1 в Гц, кГц, МГц, устанавливаемой на шкалах реальных измерительных приборов, так что ряд Фурье будет иметь вид:

Напомним, что запись (2.10) называется амплитудно-фазовой формой ряда Фурье.

Пример 2.3. Представим переменное напряжение, выпрямленное двухполупериодным выпрямителем (пятая строка табл. 2.1), рядом Фурье в амплитудно-фазовой форме (2.10).

Из табл. 2.1 следует, что переменное напряжение u(t) представлено рядом Фурье:

Постоянная составляющая напряжения u(t) рассчитывается по формуле U0 = 0,635U.

Нечетные гармоники отсутствуют в ряде Фурье, поскольку функция u(t) – четная.

Для расчета амплитуд четных гармоник необходимо определить Um1 = 1,27U. Тогда амплитуда второй гармоники

Начальная фаза второй гармоники равна нулю: j2 = 0.

Амплитуда четвертной гармоники

Фаза четвертой гармоники j4 = 180°, т. к. в ряде Фурье перед слагаемым стоит знак минус.

Амплитуда шестой гармоники

а ее фаза, а также фазы десятой, четырнадцатой и т. д. гармоник равны нулю.

Амплитуда восьмой гармоники

а ее начальная фаза, также как и фазы гармоник с номерами 12, 16, 20 и т. д., равна 180°.

Амплитудно-фазовая форма ряда Фурье рассматриваемого напряжения имеет вид:

Уравнение (2.10) есть тригонометрическая форма ряда Фурье. При анализе цепей часто удобно пользоваться комплексной формой ряда Фурье, которая может быть получена из (2.10) с помощью формулы Эйлера.

Подставляя (2.11) в формулу (2.10), получим

Изменяя порядок суммирования во втором слагаемом от –¥ до –1 и обозначая U0 = Um0/2, придем к следующему выражению:

При записи u(t) учтен тот факт, что амплитуды спектральных составляющих Umn являются четными величинами, а фазы jn – нечетными. Это означает, что при замене индекса n на отрицательный индекс –n

В последнем выражении u(t) произведение

представляет собой комплексную амплитуду Umn n-ой гармоники. Объединение всех слагаемых под одной суммой дает запись ряда Фурье в комплексной форме

Пример 2.4. Представим ряд Фурье, полученный в Примере 2.3, в комплексной форме, ограничив его восьмой гармоникой.

В соответствии с (2.12) значения постоянной составляющей и амплитуд гармоник уменьшаются в 2 раза по сравнению со значениями, которые были рассчитаны в Примере 2.3. Поэтому ряд Фурье в комплексной форме имеет вид:

Из данного раздела мы узнали, что:

2.2. Спектр амплитуд и фаз гармонических
колебаний

Набор гармоник, образующих ряд Фурье в амплитудно-фазо­вой форме, называют спектром периодического сигнала, а наборы амплитуд и начальных фаз этих гармоник – спектрами амплитуд и фаз. Каждую гармонику:

можно отобразить двумя вертикальными линиями. Для этого на одной оси частот необходимо отложить значение частоты этой гармоники nf1 и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде гармоники Umn; затем на другой оси частот на частоте этой же гармоники nf1 изобразить вторую вертикальную линию, равную по высоте начальной фазе гармоники jn.*)

После такой договоренности ряд Фурье (2.1) можно переписать в виде:

Учитывая, что функция косинуса периодична с периодом 2p = = 360°, т. е. ее значения повторяются через 360°, можно вычесть целое число периодов из фазовых углов гармонических составляющих. Тогда получим еще одну форму записи ряда (2.1):

Эти ряды можно изобразить графически. Основная составляющая и высшие гармоники этого сигнала, входящие в формулы (2.1), показаны на временных диаграммах рис. 2.1, б – д. Другой способ графического изображения составляющих ряда Фурье для сигнала на рис. 2.1, а приведен на рис. 2.8, а – в. Амплитуды гармоник убывают по закону 1/n, где n – номер гармоники, а фазы гармоник изменяются по закону nj1, где j1 – фаза первой гармоники.

Для смещенной на четверть периода периодической последовательности прямоугольных импульсов (рис. 2.3, а) формула ряда Фурье (2.4) может быть видоизменена, если вспомнить, что знак минус перед гармоническим колебанием означает поворот колебания по фазе на 180° (т. е. «переворачивание» колебания):

Начальные фазы колебаний в ряде (2.15) поочередно принимают значения 0° и 180°. Графическое изображение ряда (2.15) дано на рис. 2.9, а и б.

Вертикальные линии на рис. 2.8 и 2.9 получили название спектральных линий, а наборы этих линий, или, что то же, наборы амплитуд Umn и фаз jn гармоник в (2.10) получили название спектров амплитуд и фаз данного сигнала.

Пример 2.5. Построим спектр амплитуд и фаз выпрямленного напряжения (строка 5 таблицы 2.1), имеющего амплитуду U = 10 В и период Т = 10 мс.

При решении Примера 2.3 была получена амплитудно-фазовая форма ряда Фурье, соответствующая выпрямленному напряжению:

Частота основной составляющей сигнала определяется периодом колебаний:

В спектре сигнала отсутствуют нечетные гармоники, т. к. само колебание является четной функцией. Частоты высших гармоник с четными номерами кратны этим номерам: частота второй гармоники равна 2f1 = = 200 Гц, четвертой, шестой, восьмой гармоник – 400 Гц, 600 Гц, 800 Гц соответственно и т. д.

Амплитуды четных гармоник спектра в соответствии с выражениями, полученными для ряда Фурье, имеют следующие значения:

Фазы гармоник поочередно принимают значения 0° и 180°.

Спектры амплитуд и фаз приведены на рис. 2.10, а и б.

Слово «спектр» нам хорошо знакомо из других областей техники. Если, например, пропустить солнечный свет через призму, то получим цветные полосы. Набор цветов, на которые разложили солнечный свет, и называется его спектром. Заметим, что луч какого-либо цвета – это электромагнитное колебание со строго определенной частотой (т. е. гармоническое колебание). Другой цвет – другая частота колебаний. Таким образом, солнечный свет представляет собой сумму простейших электромагнитных колебаний с различными частотами, различными амплитудами (т. е. различными интенсивностями цветных полос), а также с различными фазами (т. е. различным временем распространения их в среде).

Может показаться, что представление периодических сигналов в виде совокупности гармоник есть не более чем математический прием и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Если бы вам удалось, например, подобрать струны с частотами колебаний, кратными числам 1, 3, 5, 7, . и, расположив их рядом друг с другом, привести одновременно в движение так, чтобы амплитуды колебаний струн соотносились как 1 : (1/3) : (1/5) : (1/7) . то вы бы увидели, что форма кривой звукового давления, создаваемого этими струнами совместно (а, значит, и форма тока, например, в цепи микрофона), была бы прямоугольной.

Радиоинженерам хорошо знакомы приборы (они называются анализаторами спектров), которые откликаются на каждую гармонику, входящую в состав сигнала сложной формы.

Таким образом, спектр амплитуд – это набор амплитуд гармоник U0, Um1, Um2, Um3, . (включая постоянную и основную составляющие), входящих в ряд Фурье, записанный в амплитудно-фазовой форме (2.10), а спектр фаз – это набор начальных фаз j1, j2, j3, . этих гармоник.

Анализ спектрального (гармонического) состава периодических сигналов – это вычисление амплитуд Umn и начальных фаз jn гармонических составляющих ряда Фурье. Обычно, для вычисления указанных величин используется другая форма записи ряда Фурье, пришедшая из математики, – косинусно-синусная форма:

Покажем, что форма записи (2.16) эквивалентна форме записи (2.8). Сделаем это с помощью стандартного тригонометрического преобразования:

приходим к равенству:

Применяя равенство (2.18) к ряду (2.8), сразу же получаем ряд (2.16).

Преобразование (2.18) хорошо иллюстрируется геометрически (рис. 2.11). Слагаемое представляется вектором с амплитудой

направленным вдоль положительной вертикальной (т. е. косинусной) оси. Напротив, слагаемое – вектором с амплитудой

расположенным вдоль положительной горизонтальной (синусной) оси. Сумма двух векторов дает третий вектор, соответствующий гармоническому колебанию .

Пример 2.6. Рассмотрим в качестве примера сигнал, ряд Фурье которого содержит постоянную составляющую, основную составляющую (первую гармонику) с частотой 1 кГц и вторую гармонику с частотой 2 кГц. Синусно-косинус­ная форма ряда Фурье имеет вид:

Необходимо представить этот ряд в амплитудно-фазовой форме:

Представляя гармонические колебания

векторами, направленными вдоль косинусной и синусной осей соответственно (рис. 2.12, а), вычисляем суммарный вектор:

Точно так же рассчитываем вектор (рис. 2.12, б), представляющий 2-ую гармонику:

В соответствии с равенством (2.18) мы получили амплитуды Um1, Um2, углы q1 и q2 и поэтому можем записать амплитудно-фазовую форму (2.19) ряда Фурье:

Углы j1 и j2 в (2.20) отсчитываются от положительной вертикальной (косинусной) оси и получаются путем вычитания 90° из углов q1 и q2:

Таким образом, для формы записи (2.20) имеем:

Поскольку мы договорились, что для изображения спектра сигнала всегда будем использовать выражения (2.10), то можем сказать, что спектр амплитуд в данном случае состоит из трех спектральных линий высотой 18, 50 и 26 единиц (например, милливольт), расположенных на частотах 0, 1 кГц и 2 кГц, а спектр фаз – из двух спектральных линий, высота которых выражена в градусах 36,87° и –157,38°, на частотах 1 кГц и 2 кГц. Спектр данного сигнала изображен на рис. 2.13.

Каждый электрик должен знать:  При включении гирлянды отключается свет в квартире

Из приведенных выше рассуждений следует, что для анализа спектрального состава сигнала достаточно знать, как вычислять величины U0, U¢mn и в выражении (2.16). Обратимся к учебникам математики и воспользуемся известными математическими формулами.

Постоянная составляющая ряда U0 вычисляется, мы уже знаем, как среднее значение функции:

Коэффициенты U¢mn и вы­числяются как средние взвешенные значения с весами и соответственно:

Применяя формулу Эйлера

получим окончательно выражение для комплексного спектра сигнала:

Пример 2.7. Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов, показанную на рис. 2.4, а:

Она имеет постоянную составляющую, равную в соответствии с (2.21) U0 = U. Коэффициенты вычисля­ются по формуле (2.22):

Здесь было учтено, что f1 = 1/T.

Коэффициенты вычисляются по формуле (2.23):

Выражение cospn удовлетворяет соотношению:

Синусно-косинусная форма ряда Фурье (2.16) будет содержать только синусоиды с нечетными гармони­ческими частотами:

что, естественно, с точностью до постоянной составляющей U совпадает с полученным ранее выражением (2.1).

Переход к амплитудно-фазовой форме (2.10) дает:

Спектр такого сигнала без постоянной составляющей был показан на рис. 2.8.

Пример 2.8. Представим спектр (2.25) сигнала из Примера 2.7, в комплексной форме.

Комплексный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов рассчитывается по формуле (2.24):

Это значит, что комплексный спектр Umn существует только для нечетных гармоник:

Заметим, что в спектре Umn нет постоянной составляющей U0, которая рассчитывается по формуле (2.21) и равна U.

Полученный комплексный спектр Umn соответствует спектрам амплитуд и фаз, изображенным на рис. 2.8.

На спектр сигнала влияют не только форма сигнала, но и его параметры. Лучше всего рассмотреть это влияние на конкретном примере, а проще всего – на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов. В достаточно общем случае эта последовательность изображена на рис. 2.14, а. Период повторения импульсов обозначен Т¢, а отношение периода к длительности импульсов называют скважностью и обозначают .

Вычисление коэффициентов ряда Фурье в синусно-косинусной форме по формулам (2приводит нас к записи (см. табл. 2.1):

Спектр амплитуд такой периодической последовательности со скваж­ностью q = 3 изображен на рис. 2.14, б.

При значениях n, кратных скважности q импульсной последовательности, функция принимает нулевые значения и гармоники с этими номерами имеют нулевые амплитуды (в нашем примере с n = 3, 6, 9, . ). Частота первой гармоники определяется по формуле

Для гармоник с номерами n, для которых амплитуда Umn положительная, фазовый угол jn равен 0; для гармоник же с номерами n, для которых величина Umn окажется отрицательной, фазовый угол принимает значение 180° (рис. 2.14, в).

Рассмотрим влияние на спектр последовательности прямоугольных импульсов таких ее параметров, как период и длительность импульса.

От величины периода зависит прежде всего частота основной гар­моники, т. е. ее местоположение в спектре. Если мы будем, например, увеличивать период импульсной последовательности (рис. 2.15, а), то частота первой гармоники ( ) будет уменьшаться. Это приведет к сгущению спектральных линий (рис. 2.15, б и в). Скважность импульсов будет также увеличиваться с ростом периода (в нашем примере q = 5), следовательно, обращаться в нуль будут гармоники с более высокими номерами, кратными q (n = 5, 10,Амплитуды всех гармоник уменьшатся.

С другой стороны, если период последовательности оставлять неизменным (например, Т¢), а длительность импульсов, скажем, уменьшать (например, до величины t² как на рис. 2.16, а), то первая гармоника не меняет свое местоположение в спектре сигнала. С ростом же скважности в нуль будут обращаться, как и ранее, гармоники с номерами, кратными q (на рис. 2.16, б с n = 5, 10,

На рис. 2.17, а – б показан случай, когда подверглись изменению и период и длительность импульса. Предлагаем читателям проанализировать данную ситуацию самостоятельно.

Хотя, мы проанализировали довольно частные примеры, характерное поведение спектра наблюдается и для других видов периодических импульсных последовательностей. Оно заключается в следующем:

– при увеличении периода последовательности Т частота первой гармоники f1 уменьшается и спектральные линии сгущаются; наоборот, при уменьшении периода частота первой гармоники увеличивается и спектральные линии становятся реже;

– чем короче импульсы в последовательности, тем медленнее убывают с ростом номера n амплитуды гармоник; наоборот, чем шире импульсы, тем быстрее убывают амплитуды высших гармоник.

Пример 2.9. Найдем спектр последовательности прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 2.18.

Сигнал, изображенный на рис. 2.18, имеет следующие параметры: амплитуда U = 10 В, длительность импульса t = 10 мс, период повторения импульсов Т = = 40 мс, скважность q = T/t = 4. Спектр этого сигнала в синусно-косинусной форме (2.16) имеет вид:

Частота первой гармоники

Частоты высших гармоник кратны 100 Гц.

Амплитуды первых шести гармоник, рассчитываемые по формуле (2.26)

имеют следующие значения:

Фазы 1, 2, 3, 5 гармоник равны 0°, фаза шестой гармоники равна 180°, т. к. при расчете Um6 получено отрицательное значение. Амплитуды и фазы последующих гар­моник рассчитываются аналогичным образом. Причем амплитуды гармоник, кратных скважности q = 4, 8, 12, 16 гармоник и т. д. равны нулю. Спектры амплитуд и фаз сигнала, изображенного на рис. 2.18, приведены на рис. 2.19.

Из данного раздела мы узнали, что

2.3. Анализ реакции цепи на периодическое
воздействие

Пусть к последовательному колебательному контуру, изображенному на рис. 2.20, подключен источник, вырабатывающий периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.21), ряд Фурье которой имеет вид:

Колебательный контур (рис. 2.20), на который подается сумма гармонических напряжений (2.27), можно представить последовательностью схем, каждая из которых содержит источник гармонического напряжения только одной частоты (рис. 2.22). Используя принцип суперпозиции, запишем результирующий ток в исходной цепи:

Найдем также результирующее напряжение на резисторе в контуре:

Расчет цепи от отдельных гармонических составляющих напряжения проводится в символической форме. При этом нужно иметь в виду, что на n-й гармонике сопротивление индуктивности XL n = nw1L, а сопротивление емкости XСn = 1/nw1С.

Таким образом, для определения реакции цепи на периодический сигнал необходимо просуммировать реакции этой цепи на гармонические составляющие сигнала.

Пример 2.10. Определим напряжение на резисторе uR(t) в последовательном колебательном контуре, на который подается последовательность прямоугольных импульсов (рис. 2.21). Параметры элементов контура и сигнала заданы: R = 2 Ом; L = 0,704 мГн; С = 4 мкФ; U = 5 В; Т = 1 мс; t = 0,5 мс.

Найдем параметры постоянной и гармонических составляющих сигнала (рис. 2.21), представленного рядом Фурье (2.27). Частота первой гармоники

Частоты третьей, пятой и т. д. гармоник равны соответственно: 3w1 = 18,84 рад/с, 3f1 = 1 кГц; 5w1 = = 31,4 рад/с, 5f1 = 5 кГц; . .

Амплитуды четных гармоник равны нулю. Амплитуды нечетных гармоник рассчитываются по формуле

Ряд Фурье сигнала имеет вид:

Определим резонансную частоту w0 и f0 контура (рис. 2.20):

Резонанс в контуре наступает на частоте третьей гармоники входного напряжения.

Определим гармонические составляющие тока в цепи и напряжения на резисторе в каждой из схем, изображенных на рис. 2.22.

Схема последовательного колебательного контура с источником постоянного напряжения U0 = U/2 = 2,5 В приведена на рис. 2.23. В этой цепи сопротивление индуктивности равно нулю, а сопротивление конденсатора равно бесконечности, поэтому i0 = 0; uR0 = 0.

В цепи изображенной на рис. 2.24, в контур включен источник напряжения, соответствующий напряжению первой гармоники. Синусоидальное напряжение

заменено на комплексное (10/p)ej0°. На частоте f1 = 1 кГц (w1 = 6,28×103 рад/с) сопротивление индуктивности

а сопротивление емкости

Комплексное сопротивление цепи

Определим комплексные значения тока I1 и напряжения UR1:

Это соответствует составляющей синусоидального напряжения (2.27) в исходной цепи

На третьей гармонике синусоидальный источник

в цепи с гармоническим напряжением (рис. 2.22) заменяется источником комплексного напряжения (10/3p)ej0°. В результате имеем цепь, изображенную на рис. 2.25.

На частоте 3f1 = 3 кГц (3w1 = 18,84 рад/с) в цепи наступает резонанс напряжений. Сопротивления индуктивности и емкости равны по величине и противоположны по знаку:

Комплексное сопротивление цепи Z = R = 2 Ом. Ток

Напряжение на резисторе UmR3 равно входному напряжению:

На пятой гармонике синусоидальный источник

заменяется источником комплексного напряжения (10/5p)ej0° (рис. 2.26).

На частоте 5f1 = 5 кГц (5w1 = 31,4 рад/с) сопротивления индуктивности и емкости равны соответственно:

Комплексное сопротивление цепи:

Ток Im5 рассчитаем по формуле

Напряжение на резисторе

что соответствует в (2.27) слагаемому

Таким образом, ряд Фурье напряжения на резисторе uR(t) имеет вид:

Спектры амплитуд и фаз этого напряжения изображены на рис. 2.27, б, в.

Анализ спектра UmRn показывает, что колебательный контур выделил 3-ю гармонику из входной последовательности и подавил остальные гармоники, т. е. явление резонанса можно использовать для выделения отдельных гармоник из периодического несинусоидального сигнала.

Из данного раздела мы узнали, что

2.4. Комплексная передаточная
функция. Задача спектрального анализа цепи

Комплексная передаточная функция цепи на какой-либо частоте вычисляется как отношение комплексной амплитуды реакции на этой частоте к комплексной амплитуде воздействия на этой же частоте.

При подключении цепи к источнику периодического напряжения комплексная передаточная функция цепи принимает различные значения на частотах гармоник. Сравнение спектров амплитуд и фаз реакции и воздействия позволяет рассчитать коэффициенты передачи и фазовые сдвиги в цепи для каждой гармонической составляющей периодического сигнала.

Пример 2.11. Сравним спектры амплитуд (рис. 2.27) входной последовательности прямоугольных импульсов u(t) и напря­жения uR(t) на резисторе колебательного контура из Примера 2.10, чтобы определить коэффициенты передачи по напряжению цепи на частотах гармоник.

В соответствии с (2.27) и рис. 2.7, а постоянная составляющая U0 в спектре напряжения u(t) равна 2,5 В, амплитуды 1-й, 3-ей и 5-й гармоник имеют значения:

Постоянная составляющая в спектре напряжения uR(t) на резисторе (рис. 2.7, б) равна нулю, а амплитуды нечетных гармоник равны соответственно:

Коэффициенты передачи по напряжению HuRn на частотах гармоник рассчитаем по формуле

На частоте f = 0 кГц получаем HuR0 = 0/2,5 = 0.

На частоте f = 1 кГц (частота основной составляющей) HuR1 = 0,18/3,2 = 0,056.

На частоте f = 3 кГц (третья гармоника) HuR3 = = 1,06/1,06 = 1.

На частоте f = 5 кГц (пятая гармоника) HuR5 = = 0,089/0,64 = 0,14.

На рис. 2.28 приведен график зависимости коэффициента передачи контура от частоты гармоник. На частоте резонанса коэффициент передачи максимален и равен 1. На частотах 1-й и 5-ой гармоник коэффициент передачи резко уменьшается.

Пример 2.12. Найдем коэффициенты передачи по напряжению на емкости HuСn на частотах гармоник периодической последовательности прямоугольных импульсов, колебательного контура в Примере 2.10.

Определим комплексные амплитуды и мгновенные значения напряжения на емкости на частотах гармоник, воспользовавшись результатами расчета в При­мере 2.10.

На частоте f = 0 кГц имеем постоянную составляющую UC0 = 2,5 В.

На частоте первой гармоники f = 1 кГц,

На частоте третьей гармоники f = 3 кГц

На частоте пятой гармоники f = 5 кГц

Ряд Фурье напряжения uС(t) имеет вид:

Сравнивая спектры амплитуд Um(nw1) и UmС(nw1) (рис. 2.29) входного сигнала u(t) и напряжения на емкости uС(t), получаем значения коэффициента передачи по напряжению на емкости

на частотах 0 кГц, 1 кГц, 3 кГц и 5 кГц:

График зависимости коэффициента передачи контура от частоты fn приведен на рис. 2.30. На частоте резонанса контура f0 = 3f1 = 3 кГц коэффициент передачи имеет максимальное значение HuС3 = 6,63, равное добротности Q контура. На первой и пятой гармониках значение HuСn гораздо меньше.

Комплексная передаточная функция по напряжению на резисторе последовательного колебательного контура (рис. 2.20) имеет вид:

Модуль комплексной передаточной функции или коэффициент передачи по напряжению на частотах гармоник

показывает во сколько раз изменяются амплитуды каждой гармонической составляющей периодического сигнала на входе цепи при его прохождении через цепь.

Аргумент комплексной передаточной функции или фазовый сдвиг

показывает изменение начальных фаз каждой гармонической составляющей входного периодического сигнала после передачи его по цепи.

Аналогичным образом можно определить комплексную передаточную функцию по напряжению на емкости на частотах гармоник

и комплексную передаточную проводимость

Зная значения комплексной передаточной функции цепи на частотах гармоник периодического воздействия, можно вычислить реакцию цепи на это воздействие.

Задача определения изменения спектра периодического воздействия произвольной формы при прохождении его по цепи называется задачей спектрального анализа цепи. Для расчета спектра реакции цепи необходимо определить спектр воздействия, разложив периодический сигнал в ряд Фурье, вычислить комплексную передаточную функцию цепи на частотах гармоник, а затем найти спектр реакции, умножив спектр воздействия на комплексную передаточную функцию.

Комплексные амплитуды гармоник напряжения на резисторе в последовательном колебательном контуре рассчитываются по формуле

Чтобы вычислить амплитуды гармоник реакции, необходимо, в соответствии с (2.29) и (2.31), амплитуды гармоник воздействия умножить на значения коэффициента передачи для этих гармоник. Чтобы вычислить начальные фазы гармоник реакции цепи необходимо, в соответствии с (2.30) и (2.31), к начальным фазам гармоник воздействия прибавить фазовые сдвиги, вносимые цепью на этих гармониках.

Амплитуды гармоник напряжения на резисторе в последовательном колебательном контуре

а их начальные фазы

Зная спектры амплитуд и фаз реакции, можно рассчитать реакцию цепи, воспользовавшись ее представлением в виде ряда Фурье в амплитудно-фазовой (2.8) или комплексной форме (2.12), и установить, как изменилась форма воздействия при передаче его по цепи.

Пример 2.13. Определим спектр амплитуд напряжения на резисторе в цепи, изображенной на рис. 2.31, а, на вход которой поступает периодическая последовательность прямоуголь­ных импульсов (рис. 2.31, б), если заданы R = 50 Ом, L = 10 мГн, U = 10 В, t = 1 мс, Т = 4 мс.

Найдем комплексный спектр входного сигнала u(t), воспользовавшись (2.24):

Применив формулу Эйлера, получаем

Вычислим амплитуды спектральных составляющих:

Амплитуда постоянной составляющей

Частота основной составляющей

Аналогичным образом определяются частоты и амплитуды высших гармоник.

n = 10 10f1 = 2,5 кГц Um10 = 0,64 В

Спектр амплитуд Umn входного сигнала изображен на рис. 2.32, а. Огибающая спектра амплитуд прямоугольных импульсов изменяется по закону |sinx/x|; нули спектра расположены на частотах, кратных скважности q = T/t = 4 импульсов или частотах, кратных 1/t (4, 8, 12 и т. д. гармоники).

Комплексная передаточная функция цепи (рис. 2.31) определяется по формуле

Вычислим коэффициенты передачи цепи на частотах гармоник при n = 0; 1; 2; 3; по формуле

График зависимости коэффициента передачи RL-цепи от частоты изображен на рис. 2.32, б.

Спектр амплитуд UmRn напряжения на резисторе, рассчитываемый в соответствии с (2.31)

и приведен на рис. 2.32, в.

Из данного раздела мы узнали, что

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Из каких тригонометрических функций можно сформировать периодический сигнал?

2. Что такое постоянная и основная составляющие, гармоники сигнала?

3. Какие формы ряда Фурье используются для описания периодических сигналов?

4. Записать ряд Фурье (2.2) в амплитудно-фазовой и комплексной формах, ограничившись третьей гармоникой.

5. Что такое спектр амплитуд и спектр фаз периодического сигнала?

6. Периодический сигнал задан рядом Фурье в синусно-косинусной форме

Представить этот ряд в амплитудно-фазовой форме.

7. Рассчитать и построить спектр амплитуд периодической последовательности прямоугольных импульсов, изображенных на рис. 2.4, б, используя выражение для комплексного спектра сигнала.

8. Каким образом длительность периодических импульсов, период их следования и скважность влияют на спектр сигнала?

9. Как определить реакцию цепи на периодическое воздействие?

10. Определить параметры седьмой гармоники напряжения на резисторе в Примере 2.10.

11. Как рассчитывается комплексная передаточная функция цепи, на вход которой поступает периодический сигнал?

12. Каков физический смысл коэффициента передачи и фазового сдвига цепи на частотах гармоник?

13. Сформулировать задачу спектрального анализа цепи при периодическом воздействии.

14. Как рассчитывается спектр реакции цепи на периодическое воздействие?

15. Рассчитать спектр UmLn напряжения на индуктивности колебательного контура в Примере 2.10. Записать выражение uL(t).

*) Напомним, что четной называется функция, удовлетворяющая соотношению х(t) = х(t), нечетной – удовлетворяющая соотношению х(t) = –х(t).

*) Постоянную составляющую можно считать нулевой гармоникой, т. е. гармоникой с номером n = 0.

Глава 4. Спектральное представление периодических сигналов

Электрические сигналы, математическими моделями которых являются периодические функции времени, могут быть представлены в виде графического описания (рис. 6) и соответствующего ему аналитического представления. Любое периодическое несинусоидальное колебание можно разложить в бесконечный тригонометрический ряд, состоящий из постоянной составляющей и гармонических составляющих.
Рис. 6

Тригонометрический ряд, называемый еще рядом Фурье (24), имеет две формы записи.

В первой форме, кроме постоянной составляющей, присутствуют лишь синусоидальные или косинусоидальные составляющие с начальными фазами, не равными нулю:

Во второй форме наряду с постоянной составляющей присутствуют синусоидальные и косинусоидальные составляющие, но с начальными фазами, равными нулю:

В обеих формах записи использованы следующие обозначения: – номер гармоники; – круговая частота первой (основной) гармоники; – период колебания; – постоянная составляющая; – амплитуда –й косинусоидальной составляющей; – амплитуда –й синусоидальной составляющей.

Графическое изображение ряда Фурье (рис. 7) представляет собой спектральную диаграмму, которая дает наглядное представление о зависимости амплитуд гармоник (спектр амплитуд) и фаз гармоник (спектр фаз) от их частот. Спектр амплитуд Спектр фаз
Рис. 7

Ряд Фурье существенно упрощается, если имеет место какая–либо симметрия колебания относительно начала или осей координат. В табл. 2 приведены соответствующие упрощения.

Табл. 2
Кривая симметрична относительно:
1) оси ординат (четная функция): .

В спектре отсутствуют синусоидальные ( ) составляющие;
2) начала координат (нечетная функция): .

В спектре отсутствуют постоянная составляющая и косинусоидальные составляющие ( );
3) оси абсцисс при совмещении двух полупериодов: .

В спектре отсутствуют постоянная составляющая ( ) и четные синусоидальные и косинусоидальные составляющие ( );
4) оси ординат и оси абсцисс при совмещении полупериодов: .

В спектре отсутствуют постоянная составляющая ( ), все синусоидальные составляющие ( ) и четные косинусоидальные составляющие ( );
5) начала координат и оси абсцисс при совмещении двух полупериодов: .

В спектре отсутствуют постоянная составляющая ( ), все косинусоидальные составляющие ( ) и четные синусоидальные составляющие ( ).

Спектральная диаграмма (спектр) зависит от формы сигналов и их параметров. Пусть, например, необходимо построить спектральную диаграмму сигнала, графическое и аналитическое представление которого приведено на рис. 8. Параметры сигнала приведены рядом.

Рис. 8

Из сопоставления графического представления сигнала (рис. 8) с табл. 2 можно сделать вывод о том, что описывающая сигнал функция является четной, следовательно, в спектре сигнала отсутствуют синусоидальные ( ) составляющие. Постоянная составляющая в соответствии с приведенным ранее выражением находится следующим образом:

Таким образом, разложение данной функции в ряд Фурье может быть представлено следующим образом:

Из этого выражения можно сделать вывод о том, что амплитуды четных гармоник в спектре данного сигнала равны нулю . Остальные расчеты сведены в табл. 3., используя которую можно построить спектральную диаграмму данного сигнала (рис. 9).

Таблица 3
, кГц
an
An= 12,7 4,2 2,5
Рис. 9

Эти же расчеты позволяют записать аналитическое представление разложения рассматриваемого сигнала в ряд Фурье с конкретными числовыми коэффициентами

Из приведенного примера можно сделать следующие выводы:

1. Спектр периодической последовательности является дискретным, линейчатым.

2. Количество спектральных линий в одном лепестке огибающей спектра определяется скважностью, так как интервал между спектральными линиями обратно пропорционален периоду, а точки пересечения огибающей спектра с осью частот определяются в данном случае длительностью импульса ( ).

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить и несколько по иному, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Функции этой системы периодичны с периодом и ортонормированы на отрезке времени , так как

Функции из рассматриваемой системы принимают комплексные значения. Поэтому при вычислении скалярного произведения используется операция комплексного сопряжения ( ).

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в данном случае принимает вид:

Обычно используют следующую форму записи:

Выражение (28) представляет собой ряд Фурье в комплексной форме. Спектр сигнала в соответствии с формулой (28) содержит компоненты на отрицательной полуоси частот, причем . В ряде (28) слагаемые с положительными и отрицательными частотами объединяются в пары, например:

Положительной частоте соответствует вектор, вращающийся против часовой стрелки, а отрицательной частоте – вектор, вращающийся по часовой стрелке. Итак, отрицательная частота – понятие не физическое, а математическое, вытекающее из способа представления комплексных чисел.

Структура ряда Фурье (28) дает возможность изобразить периодический сигнал посредством бесконечной суммы вращающихся векторов на комплексной плоскости.

Дата добавления: 2020-09-06 ; просмотров: 1722 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Изображение на комплексной плоскости вихретокового сигнала

Изображение на комплексной плоскости вихретокового сигнала (Complex plane display) — изображение, полученное при откладывании вихретокового сигнала, демодулированного по фазе, по горизонтальной оси и квадратурно демодулированного вихретокового сигнала — по вертикальной оси.

[Система неразрушающего контроля. Виды (методы) и технология неразрушающего контроля. Термины и определения (справочное пособие). Москва 2003 г.]

Правообладателям! В случае если свободный доступ к данному термину является нарушением авторских прав, составители готовы, по требованию правообладателя, убрать ссылку, либо сам термин (определение) с сайта. Для связи с администрацией воспользуйтесь формой обратной связи.

ISSN: 2587-9413 Энциклопедия терминов, определений и пояснений строительных материалов.

2.14 Изображение синусоидально изменяющихся величин на комплексной плоскости

Комплексной называют плоскость, на которой можно изображать комплексные числа (рис.2.24). Комплексное число в общем случае имеет вещественную и мнимую части. Вещественную часть комплексных чисел откладывают по оси абсцисс, которую помечают индексом «+1». Мнимую часть комплексных чисел откладывают по оси ординат, которую помечают индексом «+j» (j=√-1).

Из курса математики известна формула Эйлера:

Рисунок 2.24 – Комплексная плоскость

Комплексное число e jα на комплексной плоскости изобразится вектором, модуль которого равен единице, а угол с вещественной осью – α. Угол α откладывается против часовой стрелки от оси «+1». Модуль вектора:

Проекция вектора на ось +1 равна Сosα, а на ось +j–Sinα.

Если вместо функции e jα взять функцию Ime jα , то:

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция e jα , изобразится вектором под углом α к оси +1 , но модуль вектора будет в Im раз больше.

Угол α может быть любым. Положим его равным (ωt+ψ). Тогда:

Функция ImSin(ωt+ψ) есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения Ime j(ωt+ψ) Синусоидально изменяющийся ток :

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i можно представить как Ime j(ωt+ψ) или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора Ime j(ωt+ψ) на ось «+j».

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся величин для момента времени ωt=0. При этом вектор:

где Ím– комплексная величина, модуль которой равен Im; ψ– угол, под которым вектор Ím проведен к оси +1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину Ím называют комплексной амплитудой тока i. Комплексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ωt=0. Точка, поставленная над током I или напряжением U, означает, что эта величина во времени изменяется по синусоидальному закону.

Рассмотрим пример. Пусть задана синусоидально изменяющаяся ЭДС e=28,2Sin(ωt+30°). Запишем выражение для комплексной амплитуды этой ЭДС. В данном случае Em=28,2В, ψ=30°. Следовательно, Ém=28,2e j30° В.

По комплексной амплитуде может быть найдено мгновенное значение.

Например: Ím=1,41e -j30° , тогда i=1,41Sin(ωt-30°). По аналогии вводят комплекс действующего значения:

Найдем производную и интеграл от символического изображения тока. Пусть i=ImSinωt. Тогда Í=Ie jωt .

Изображение периодического сигнала на комплексной плоскости

2.1. Спектры периодических сигналов

Периодическим сигналом (током или напряжением) называют такой вид воздействия, когда форма сигнала повторяется через некоторый интервал времени T, который называется периодом. Простейшей формой периодического сигнала является гармонический сигнал или синусоида, которая характеризуется амплитудой, периодом и начальной фазой. Все остальные сигналы будут негармоническими или несинусоидальными. Можно показать, и практика это доказывает, что, если входной сигнал источника питания является периодическим, то и все остальные токи и напряжения в каждой ветви (выходные сигналы) также будут периодическими. При этом формы сигналов в разных ветвях будут отличаться друг от друга.

Существует общая методика исследования периодических негармонических сигналов (входных воздействий и их реакций) в электрической цепи, которая основана на разложении сигналов в ряд Фурье. Данная методика состоит в том, что всегда можно подобрать ряд гармонических (т.е. синусоидальных) сигналов с такими амплитудами, частотами и начальными фазами, алгебраическая сумма ординат которых в любой момент времени равна ординате исследуемого несинусоидального сигнала. Так, например, напряжение u на рис. 2.1. можно заменить суммой напряжений и , поскольку в любой момент времени имеет место тождественное равенство: . Каждое из слагаемых представляет собой синусоиду, частота колебания которой связана с периодом T целочисленными соотношениями.

Для рассматриваемого примера имеем период первой гармоники совпадающим с периодом негармонического сигнала T 1 = T , а период второй гармоники в два раза меньшим T 2 = T /2, т.е. мгновенные значения гармоник должны быть записаны в виде:

Здесь амплитуды колебаний гармоник равны между собой ( ), а начальные фазы равны нулю.

Рис. 2.1. Пример сложения первой и второй гармоники

В электротехнике гармоническая составляющая, период которой равен периоду негармонического сигнала, называется первой или основной гармоникой сигнала. Все остальные составляющие называются высшими гармоническими составляющими. Гармоника, частота которой в k раз больше первой гармоники (а период, соответственно, в k раз меньше), называется

k — ой гармоникой. Выделяют также среднее значение функции за период, которое называют нулевой гармоникой. В общем случае ряд Фурье записывают в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих разных частот:

где k — номер гармоники; — угловая частота k — ой гармоники;

ω 1 = ω =2 π / T — угловая частота первой гармоники; — нулевая гармоника.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В таблице 2 приведены разложения для восьми форм периодических сигналов. Следует отметить, что приведенные в таблице 2 разложения будут иметь место, если начало системы координат выбраны так, как это указано на рисунках слева; при изменении начала отсчета времени t будут изменяться начальные фазы гармоник, амплитуды гармоник при этом останутся такими же. В зависимости от типа исследуемого сигнала под V следует понимать либо величину, измеряемую в вольтах, если это сигнал напряжения, либо величину, измеряемую в амперах, если это сигнал тока.

Разложение в ряд Фурье периодических функций

2.2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

В соответствии со спектральным способом анализа прохождения сигналов через линейные цепи любой случайный сигнал S(T) можно представить в виде бесконечной суммы элементарных аналитически однотипных детерминированных сигналов :

Подавая на вход линейной цепи (рис. 1.14), коэффициент передачи которой равен , элементарный детерминированный сигнал, можно найти элементарный отклик цепи, то есть сигнал на выходе цепи.

Рис.2.3.К определению сигнала на выходе линейной цепи.

Сигнал на выходе линейной цепи равен

Поскольку для линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, то результирующий отклик будет равен:

Функции, описывающие элементарные сигналы, называются базисными функциями. Представление сигнала базисными функциями упрощается, если они являются ортогональными и ортонормированными.

Набор функций называется ортогональным, Если в интервале от до

И ортонормированным, Если для всех Выполняется условие

Ортогональность базисных функций, с помощью которых представляется исходный сигнал , является гарантией того, что представление сигнала может быть сделано единственным образом. Условию ортогональности отвечают гармонические функции кратных частот, а также функции Уолша, которые на отрезке своего существования от до принимают лишь значения, равные 1, дискретные сигналы Баркера и некоторые другие функции. Спектральный метод анализа сигналов основан на преобразованиях Фурье и состоит в замене сложной функции времени, описывающей сигнал, суммой простых гармонических сигналов, образующих частотный спектр этого сигнала. Знаменитый французский физик и математик Ж. Б. Фурье (1768 – 1830 г. г.) доказал, что любое изменение во времени некоторой функции можно аппроксимировать в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть ток или напряжение в электрической цепи.

Рассмотрим вначале представление периодического электрического сигнала (рис. 2.4), отвечающего условию

где: — период сигнала; =1,2,3,….

Рис. 2.4. Периодический сигнал

Представим этот сигнал бесконечным тригонометрическим рядом:

Этот ряд называется рядом Фурье.

Возможна запись ряда Фурье в другом виде:

Где: — модуль амплитуд гармоник;

— коэффициенты косинусоидальных составляющих; — коэффициенты синусоидальных составляющих; — среднее значение сигнала за период (постоянная составляющая).

Отдельные слагаемые рядов называют гармониками. Число является номером гармоники. Совокупность величин в ряде (2.15) называют спектром амплитуд, а совокупность величин — спектром фаз.

Ниже на рис. 2.5 представлены амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Вертикальные отрезки амплитудного спектра представляют амплитуды гармоник и называются спектральными линиями.

Рис 2.5. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала

Таким образом, спектр периодического сигнала Линейчатый. Каждый периодический сигнал имеет вполне определенные амплитудный и фазовый спектры.

Сумма ряда (2.15) является бесконечной, но, начиная с некоторого номера, амплитуды гармоник настолько малы, что ими можно пренебречь и практически реальный периодический сигнал представляется функцией с ограниченным спектром. Интервал частот, соответствующий ограниченному спектру, называется шириной спектра.

Если функция , описывающая периодический сигнал, является четной, то сумма ряда (2.14) будет содержать только косинусоидальные составляющие. Если — нечетная функция, то сумма будет содержать только синусоидальные составляющие.

Возможно также представление периодического сигнала в виде комплексного ряда Фурье:

— комплексные амплитуды спектра, содержащие информацию, как об амплитудном, так и о фазовом спектрах.

После подстановки значений и , получим:

Если подставить полученное значение в ряд (1.29), то он обращается в тождество. Таким образом, периодический электрический сигнал можно задавать либо функцией времени , либо комплексной амплитудой спектра.

2.2.1. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Состав спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов зависит от величины отношения периода последовательности к длительности импульса, называемого скважностью импульсов. В спектре будут отсутствовать гармоники с номерами кратными скважности импульсов. Скважность импульсов равна . На рис.1.17 приведены три импульсные последовательности с разными скважностями и соответствующие им спектры. Для периодической последовательности, скважность которой равна 2, в спектре отсутствуют 2, 4, 6 ,8 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 3, в спектре отсутствуют 3, 6 и т. д. гармоники. Для последовательности, скважность которой равна 4, в спектре отсутствуют 4, 8 и т. д. гармоники. Во всех приведенных спектрах интервал между спектральными линиями равен величине обратной периоду последовательности. Точки на оси частот, в которых спектр равен нулю, соответствуют величине, обратной длительности импульсов периодических последовательностей.

Рис.2.6.Периодические последовательности импульсов и их спектры.

2.2.2. Спектр непериодического сигнала

При рассмотрении спектра непериодического сигнала воспользуемся предельным переходом от периодического сигнала к непериодическому сигналу, устремив период к бесконечности.

Для периодического сигнала, представленного на рис. 2.4, ранее получено выражение (2.17) для комплексной амплитуды спектра:

Построим модуль спектра :

Рис. 2.7. Модуль спектра периодического сигнала

Расстояние между спектральными линиями равно . Если увеличивать период , то будет уменьшаться интервал w1 . При интервал между спектральными линиями w1® dw. При этом периодическая последовательность импульсов превращается в одиночный импульс и модуль спектра стремится к непрерывной функции частоты . В результате предельного перехода от периодического сигнала к непериодическому линейчатый спектр вырождается в сплошной спектр, представленный на рис. 2.8.

Рис. 2.8. Спектр непериодического сигнала

При этом комплексная амплитуда равна:

С учетом предельного перехода при

Подставим полученное выражение в ряд (2.16). При этом сумма трансформируется в интеграл, а значения дискретных частот в значение текущей частоты и непериодический сигнал можно представить в следующем виде:

Это выражение соответствует обратному преобразованию Фурье. Огибающая сплошного спектра одиночного импульса совпадает с огибающей линейчатого спектра периодической функции, представляющей периодическое повторение этого импульса.

Интеграл Фурье позволяет любую непериодическую функцию представить в виде суммы бесконечного числа синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами и бесконечно малым интервалом по частоте. Спектр сигнала определяется из выражения

Этот интеграл соответствует прямому преобразованию Фурье.

– комплексный спектр, в нём содержится информация, как о спектре амплитуд, так и о спектре фаз.

Таким образом, спектр непериодической функции сплошной. Можно сказать, что в нём содержатся «все» частоты. Если вырезать из сплошного спектра малый интервал частот , то частоты спектральных составляющих в этом участке будут отличаться сколь угодно мало. Поэтому спектральные составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и одинаковые комплексные амплитуды. Спектральная плотность есть отношение комплексной амплитуды малого интервала частот к величине этого интервала.

Спектральный анализ сигналов имеет фундаментальное значение в радиоэлектронике. Информация о спектре сигнала позволяет обоснованно выбирать полосу пропускания устройств, на которые воздействует этот сигнал.

2.2.3. Спектр одиночного прямоугольного видеоимпульса

Рассчитаем спектр одиночного прямоугольного импульса, амплитуда которого равна Е, а длительность — t, представленного на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Одиночный прямоугольный импульс

В соответствии с выражением (2.24) спектр такого сигнала равен

Поскольку = 0 , когда , то частоты, на которых спектр обращается в нуль равны , где K=1,2,3…

На рис. 2.10 представлен комплексный спектр одиночного прямоугольного импульса длительностью .

Рис.2.10. Спектр одиночного прямоугольного импульса

Спектральная плотность определяет распределение энергии в спектре одиночного импульса. В общем случае распределение энергии неоднородно. Однородное распределение характерно для хаотического процесса, называемого «белым шумом».

Спектральная плотность импульса на нулевой частоте равна его площади. Приблизительно 90% энергии одиночного прямоугольного импульса сосредоточено в спектре, ширина которого определяется выражением

Соотношение (1.41) определяет требования к ширине полосы пропускания радиотехнического устройства. В задачах, где форма сигнала имеет второстепенное значение полосу пропускания устройства для этого сигнала можно выбрать равной ширине первого лепестка спектра. При этом неизвестна степень искажения формы сигнала. Двукратное увеличение полосы пропускания лишь на 5% увеличит энергию сигнала при одновременном возрастании уровня шумов.

2.2.4. Спектры неинтегрируемых сигналов

Фурье анализ применим лишь к интегрируемым функциям, то есть к функциям, для которых выполняется условие сходимости интеграла:

К неинтегрируемым относятся такие сигналы, как -импульс, единичный скачок, гармонический сигнал, постоянное напряжение.

Рассчитаем спектр Импульса с помощью интеграла прямого преобразования Фурье.

На основании стробирующего свойства — функции получим:

Таким образом, и . При фаза .

Рис.2.11. Спектр — импульса

Итак, — функция имеет сплошной бесконечный спектр с единичной амплитудой на всех частотах. В момент возникновения импульса все гармонические составляющие бесконечного спектра складываются когерентно, поскольку спектр вещественный. В результате этого наблюдается бесконечно большая амплитуда импульса.

Спектр гармонического сигнала

Вычислим спектр гармонического сигнала с единичной амплитудой .

В соответствии с обратным преобразованием Фурье

Учитывая дуальность частоты и времени, запишем:

Знак экспоненты можно выбрать, считая — функцию четной.

В соответствии с этим спектр гармонического сигнала запишется в следующем виде:

Таким образом, гармоническому сигналу соответствует дискретный спектр из двух линий в виде дельта функций на частотах и

Рис. 2.12. Спектр гармонического сигнала

Спектр постоянного напряжения

Для гармонического сигнала получено следующее выражение для спектральной плотности:

Если в этом выражении приравнять частоту нулю, то получим спектр постоянного напряжения единичного уровня:

Таким образом, спектр постоянного напряжения содержит особенность типа функции.

Рис. 2.13. Спектр постоянного напряжения

ХАРАКТЕРИСТИКИ СРАБАТЫВАНИЯ ДИСТАНЦИОННЫХ РЕЛЕ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ

а) Характеристика срабатывания

Первоначально дистанционная защита выполнялась спомощью реле сопротивления, реагирующих только на абсолютную вели­чину сопротивления zk до точки к. з. Но по мере увеличения протяженности линий электропередачи и роста передаваемой по ним нагрузки абсолютные значения сопротивлений при к. з. zk = Uк/Iк в конце линий стали соизмеримыми с сопротивле­ниями zн при аварийной нагрузке на линиях электропередачи. В таких условиях реле сопротивления, реагирующие на абсолют­ные значения z, не могут точно резличать к. з. от нагрузки. В связи с этим дистанционные защиты стали выполняться реагирующими не только па величину zр, но и на угол φр = arctg , так как при к. з. и при передаче больших потоков активной мощности углы сопротивлений zk и zН различаются: при к. з. φр ≈80°, а при нагрузке φр ≈15 ÷30°. Для этой цели были разработаны реле сопротивления, у которых zс.р = f (zр, φр). Такая зависимость называется характеристикой срабатывания реле. Предложены и получили распространение реле с различными характеристиками, рассматриваемыми ниже.

б) Использование комплексной плоскости для изображения характеристик реле

плоскости изобразится в виде прямой, смещенной относительно оси r на угол φл (рис. 11-6, г).

Начало защищаемой линии, где установлена рассматриваемая защита А, совмещается с началом координат (рис. 11-6, в и г). Координаты всех участков сети, попадающих в зону защиты А, считаются положительными и располагаются в I квадранте пло­скости (рис. 11-6, в). Координаты участков сети, расположенных влево от точки А, считаются отрицательными и располагаются

место точек, удовлетворяющих условию zр = zс.р. Заштрихованная часть характеристики, где zр ‹ zс.р, соответствует области действия реле. При zр, выходящих за пределы заштрихованной части, т. е. при zр > zс.р, реле не работает. Таким образом, характери­стика работы реле является пограничной кривой, определяющей условия действия реле. Эту характеристику можно рассматривать как зависимость величины (модуля) вектора сопротивления сраба-

тывания реле zс.р от угла φр, определяющего его направление, и представлять в виде уравнения zс.р = f (φр).

Характеристика срабатывания реле должна обеспечивать ра­боту реле при к. з. в пределах принятой зоны действия (z’). С уче­том сопротивления электрической дуги вектор zр = zk + rД мо­жет располагаться при к. з. на защищаемом участке линии в пре­делах площади четырехугольника ОКК’К», показанного на рис. 11-6, д. Действие реле при к. з. будет обеспечено, если хара­ктеристики срабатывания реле, показанные на рис. 11-7, будут охватывать область комплексной плоскости, в которой может находиться вектор сопротивления zр при к. з. на линии (пло­щадь ОКК’К» на рис. 11-6, д).

На рис. 11-7 приводятся наиболее распространенные характе­ристики реле, изображаемые в осях х, r в виде окружности, эллипса, прямой линии, многоугольника.

Ненаправленное реле полного сопротивления (рис. 11-7, а).

Уравнение срабатывания реле

где К — постоянная величина.

Характеристика этого реле имеет вид окружности с центром в начале координат и радиусом, равным К. Реле работает при zрК, при любых углах φр между вектором zр и осью r. Зона действия реле расположена в четырех квадрантах, в том числе в первом и третьем. Последнее означает, что реле с характери­стикой (11-2) работает как ненаправленное реле сопро­тивления.

Направленное реле полного сопротивления имеет zс.р, завися­щее от угла φр (рис. 11-7, б). Его характеристика срабатывания изображается окружностью, проходящей через начало координат. Сопротивление срабатывания имеет максимальное значение при

где φм.ч — угол максимальной чувствительности реле, при кото­ром zс.р= zс.р.макс, т. е. равен диаметру окружности ОВ.

Зависимость срабатывания этого реле от угла φр может быть представлена уравнением

Реле со смещенной круговой характеристикой (рис. 11-7, в). Характеристика реле смещена относительно оси координат в тре­тий квадрант на величину z». Поэтому реле не только работает на защищаемой линии, но и захватывает шины А, питающие линию, часть длины отходящих от них присоединений. Уравнение сме­щенной характеристики имеет вид:

Оно легко получается из рассмотрения треугольника ОВС на рис. 11-7, б. Реле не работает при zр, расположенных в третьем квадранте. Это означает, что оно не может действовать, если мощ­ность направлена к шинам подстанции. Следовательно, рассмо­тренное реле является направленным.

Уравнение (11-4) можно получить из рассмотрения треуголь­ника ОО’С. Как видно из чертежа, геометрическая разность ректора z’ —z» равна диаметру-окружности, отсюда

где С — любая точка окружности; r— радиус окружности.

Приравнивая левые части уравнений (11-4а) и (11-46), получаем (11-4).

Реле с эллиптической характеристикой. На рис. 11-7, г изобра­жена характеристика направленного реле, имеющая вид эллипса. Сопротивление срабатывания zс.ртакого реле зависит от угла φр и имеем наибольшее значение при φр = φм.ч. Угол φм.ч обычно принимается равным φл. Сопротивление zс.р.макс равно большей оси эллипса 2а.

Как известно, эллипс является геометрическим местом точек, сумма расстояний которых до фокусов b и d постоянна и равна большой оси 2а. На основании этого, обозначая координаты фоку­сов b и d, z» и z’, а координаты любой -точки С эллипса zс.р, полу­чаем уравнение эллиптической характеристики

Зона действия реле заштрихована. По сравнению с круговой характеристикой эллиптическая характеристика имеет меньшую рабочую область. Это дает возможность лучше отстроить реле от качаний и перегрузок.

Реле реактивного сопротивления срабатывает при

где хс.р — постоянная величина, не зависящая от φр.

Характеристика таких реле изображается прямой линией, параллельной оси r (рис. 11-7, д), отстоящей от нее на расстоянии xс.р = К.

Реле с характеристикой в виде многоугольника. Подобная характеристика направленных реле сопротивлений показана на рис. 11-7, е. Сопоставляя эту характеристику с площадью ОКК’К» на рис. 11-6, д, можно установить, что четырехугольная характе­ристика реле в большей мере, чем другие характеристики, совпа дает с контуром области расположения векторов zр при к. з. и является, с этой точки зрения, наиболее рациональной.

Реле с характеристикой в виде многоугольника сложнее в конструктивном отношении и имеют пока ограниченное применение.

Пунктиром показан вариант характеристики подобных же реле в виде многоугольника ОА’ВС´. Такое расширение зоны реле дрецусматривается для обеспечения его действия при двусторон­нем питании к. з. через переходное сопротивление rд.

ПРИНЦИПЫ ВЫПОЛНЕНИЯ РЕЛЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К ИХ КОНСТРУКЦИЯМ

Дистанционные реле могут выполняться на различных принци­пах (см. § 2-1). До последнего времени значительное распростра­нение имеют электромеханические конструкции на электромагнит­ном и особенно индукционном принципе. За последние годы раз­работаны и внедряются реле с использованием полупроводниковых приборов. Реле сопротивления на полупроводниках обладают существенными преимуществами, отмеченными в § 2-1-4, и посте­пенно вытесняют электромеханические конструкции. Отечествен­ная промышленность переходит на выпуск реле сопротивлений только на выпрямленном токе с полупроводниковыми приборами.

Вреле на полупроводниках напряжения UI и UII сравниваются с помощью схем сравнения, рассмотренных в § 2-16.

Меняя коэффициенты k в выражениях (11-6), можно получать реле сопротивления с различными характеристиками, изображен­ными на рис. 11-7, аг.

Для получения реле с более сложными характеристиками, изображенными на рис. 11-7, г, е и другими разновидностями используется сравнение трех и более электрических величин, также являющихся линейными функциями Iр и Up.

Основные требования к параметрам реле сопротивления сво­дятся к следующему:

1. Реле сопротивления должны быть быстродействующими, чтобы обеспечить быстрое отключение к. з. в пределах первой зоны. Для этого в сетях 110—500 кВ необходимо иметь время действия реле tР = 0,02 ÷ 0,05 с.

2. Реле сопротивления, выполняющие функции дистанционных органов, должны отличаться точностью zс.р с тем, чтобы зоны действия защит были стабильными. Погрешность в отклонении величины zс.р от заданной установки zу не должна превышать 10%.

3. Пусковые реле сопротивления должны иметь высокий коэффициент возврата:

Добавить комментарий