Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных

3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов

Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

Пусть оригинал является постоянной величиной f(t) = U = const. Вычислим интеграл Лапласа:

Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор (р).

Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона:

Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

Изображение показательной функции

Если функция времени представляет собой показательную функцию , то изображение можно получить с помощью интеграла Лапласа:

Отсюда вытекает ряд важных следствий.

1) Положив a = jw, получим:

2) Функции е -? tt соответствует изображение:

Каждый электрик должен знать:  Как за полгода построить в России 10 Саяно-Шушенских ГЭС!

Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например,

то E(p), при , равно:

Изображение по Лапласу комплексной величины

Пусть , тогда при t = 0, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения:

Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:

Изображение по Лапласу производной функции времени

Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0).

Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям. Обозначив и , получим:

Изображение напряжения на индуктивности

Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:

По формуле определим изображение производной тока:

Каждый электрик должен знать:  Подключение проточного водонагревателя к электросети и водопроводу

где i(0) – значение тока i при t = 0. следовательно,

Изображение второй производной

Аналогично тому, как было получено изображение первой производной, получаем изображение второй производной

Следовательно, изображение второй производной тока i:

Изображение интеграла функции времени

изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).

функцию преобразованию Лапласа:

и возьмем интеграл по частям:

Первое слагаемое правой части полученного выражения при подстановке и верхнего, и ниж­него предела дает нуль.

sin(wt)

При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функция f(t) если и растет с увеличением t, то все же медленнее, чем растет функция е at , где а – действительная часть корня р.

Каждый электрик должен знать:  Подключение однофазного генератора к трехфазной сети

При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения в нуль .

Следовательно, если то

Изображение напряжения на конденсаторе

Напряжение на конденсаторе ( )

часто записывают в виде:

где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через конденсатор в интер­вале времени от 0 до t, но и тем напряжением которое на нем было при t = 0.

В соответствии с формулой Лапласа оригиналу соответствует изображение , а изображение постоянной есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запи­сывают следующим образом:

Добавить комментарий