Эффект Гиббса


СОДЕРЖАНИЕ:

Open Library — открытая библиотека учебной информации

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Физика Эффект Гиббса

Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса. При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всœегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всœех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции. Пример явления Гиббса для радиоимпульса приведен на рис. 4.6 (использована программа на рис. 4.4, точками показан реконструированный сигнал с увеличением масштаба в 10 раз).

На рис. 4.7 приведен пример разложения в ряд Фурье одного периода T=(a,c) модельного периодического сигнала sq(x), представленного информационным сигналом s(x) в сумме с шумовым сигналом. Спектр шумов близок к спектру белого шума (равномерное распределœение энергии шумов по всœем частотам спектра).

На спектре модельного сигнала достаточно четко выделяется диапазон частот информационного сигнала. Реконструкция сигнала с ограничением ряда Фурье гармониками только информационного сигнала (сигнал sr5(x), N=5) дает сглаженную форму сигнала по минимуму среднеквадратического расхождения с модельным сигналом для данного количества членов ряда, но только по периоду разложения (а, с), и наиболее точное приближение к информационному сигналу. При увеличении в реконструкции количества членов ряда Фурье восстановленный сигнал начинает приближаться к модельному сигналу, но только по данному периоду T=(a,c), при этом расхождение с информационным сигналом увеличивается. Заметим, что спектр сигнала может определяться и по нескольким периодам сигнала, что повышает точность реконструкции информационного сигнала.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. При этом следует помнить, что применение формул (4.1-4.6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. При этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 4.8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом делœе при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье.

При усечении рядов Фурье определœенное искажение функций существует всœегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) данный эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Читайте также

Основное достоинство метода частотной выборки заключается в том, что он позволяет довольно просто рассчитать КИХ фильтр с линейной ФЧХ и произвольной АЧХ, заданной на сетке частот . Для этого требуется построить комплексный коэффициент передачи фильтра на заданной сетке. [читать подробенее]

Исследуем детальнее характер искажений, вносимых в амплитудную характеристику боковыми лепестками V(&. [читать подробенее]

Исследуем детальнее характер искажений, вносимых в амплитудную характеристику боковыми лепестками V(&. [читать подробенее]

Синтез – процесс обратный анализу колебаний, который подчинен задаче реставрации колебания по известной спектральному представлению. При этом необходимо говорить о точности преобразования колебаний в частотной области. Погрешность аппроксимации определяется. [читать подробенее]

Эффект Гиббса возникает при разложении в ряд Фурье разрывных функций. Изучим основные его проявления на примере разложения прямоугольной импульсной функции , которая имеет скачек, равный 1 в точке разрыва . Формальное разложение в ряд Фурье в виде находится. [читать подробенее]

Эффект Гиббса возникает при разложении в ряд Фурье разрывных функций. Изучим основные его проявления на примере разложения прямоугольной импульсной функции , которая имеет скачек, равный 1 в точке разрыва . Формальное разложение в ряд Фурье в виде находится. [читать подробенее]

Эффект Гиббса возникает при разложении в ряд Фурье разрывных функций. Изучим основные его проявления на примере разложения прямоугольной импульсной функции , которая имеет скачек, равный 1 в точке разрыва . Формальное разложение в ряд Фурье в виде находится. [читать подробенее]

Эффект Гиббса возникает при разложении в ряд Фурье разрывных функций. Изучим основные его проявления на примере разложения прямоугольной импульсной функции , которая имеет скачек, равный 1 в точке разрыва . Формальное разложение в ряд Фурье в виде находится. [читать подробенее]

Разложение сигналов по гармоническим функциям

Понятие собственных функций . Удобство использования частотного представления сигналов заключается в том, что гармонические функции являются собственными функциями операций переноса, интегрирования, дифференцирования и других линейных операций, инвариантных по координатам. Они проходят через линейные системы , не изменяя формы, а изменяют лишь фазу и амплитуду.

Допустим, что исходная функция является линейной комбинацией функций синуса и косинуса:

s(х) = А sin(х)+B cos(х).

Осуществим произвольный сдвиг функции по аргументу на величину h. При этом получаем:

s(х+h) = C sin(х)+D cos(х),

C = А cos(h) – B sin(h),

D = A sin(h) + B cos(h),

где коэффициенты C и D, как и в исходном выражении коэффициенты А и В, не зависят от аргумента, при этом C 2 +D 2 = А 2 +В 2 . Таким образом, при произвольном переносе функции по аргументу (а равно и при интегрировании, дифференцировании и других линейных преобразованиях) любую линейную комбинацию синуса и косинуса можно представить линейной комбинацией этих же функций.

Экспоненциальная комплексная запись гармонических функций делает это свойство еще нагляднее. Для произвольной гармонической функции имеем:

cos( w t- j ) = A cos( w t)+B sin( w t),

где A = cos( j ), B = sin( j ), j — начальный фазовый угол колебания при t = 0. Переходя к комплексной записи данной функции с использованием тождеств Эйлера

cos( w t) = [ехр(j w t)+exp(-j w t)]/2, sin( w t) = [ехр(j w t)-exp(-j w t)]/2j,

cos( w t- j ) = C exp(j w t)+C*exp(-j w t),

где: C = 0,5 exp(-j j ), C* = 0,5 exp(j j ) – величина, комплексно сопряженная с С. Применяя в качестве гармонической составляющей разложения сигнала функцию ехр(j w t), можно рассматривать вторую функцию ехр(-j w t), комплексно сопряженную с первой, как такую же составляющую, но с отрицательной частотой. Естественно, что отрицательная частота является чисто математической абстракцией, но нужно помнить, что пара таких комплексно сопряженных составляющих в сумме всегда дает вещественную функцию.

Экспоненциальные функции также являются собственными функциями линейных операций. Для операции переноса с использованием экспоненциальных функций:

exp[j w (t+h)] = exp(j w h)·exp(j w t) = H( w ) exp(j w t),

где Н( w ) = exp(j w h) — собственное значение операции переноса, независимое от переменной.

Для операции дифференцирования:

d[exp(j w t)]/dt = j w exp(j w t), H( w ) = j w .

Для операции интегрирования:

exp(j w t) dt = (1/j w ) exp(j w t), H( w ) = 1/j w .

В общей форме, для любых линейных операций преобразования:

Т[exp(j w t)] = H( w ) exp(j w t),

где T[.] — произвольный линейный оператор, H( w ) — собственное значение операции, независимое от аргумента.

У специалистов — практиков существует предубеждение против использования комплексных функций с их мнимыми частотами. Поэтому в дальнейшем будем использовать и вещественные функции, и их комплексные аналоги, по крайней мере, до тех пор, пока простота и удобство использования последних не станет очевидным.

Ряды Фурье. Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода Т = b-a и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле (ограниченная, кусочно-непрерывная, с конечным числом разрывов 1-го рода), можно представить в виде ряда Фурье:

s(t) = S n exp(jn Dw t), S n = S(n Dw ), Dw = 2 p /T, (4.1.1)

где весовые коэффициенты S n ряда определяются по формуле:

S n = (1/T) s(t) exp(-jn Dw t) dt. (4.1.2)

Ряд Фурье представляет собой ансамбль комплексных экспонент exp(jn Dw t) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Функцию весовых коэффициентов S(n Dw ) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Dw = 2 p /Т (или D f = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1, равную w 1 = 1 Ч Dw = 2 p /T (или f 1 = 1/T), называют основной частотой сигнала (первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра n w 1 при n>1 называют гармониками сигнала. Значения S(n Dw ) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными. Шаг по частоте Dw между двумя соседними синусоидами из разложения Фурье называется частотным разрешением спектра.

С чисто математических позиций множество функций ex p(jn Dw t), — Ґ Ґ образует бесконечномерный базис линейного пространства L 2 [a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты S n по (4.1.2) представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье (4.1.1) – это бесконечномерный вектор в пространстве L 2 [a,b], точка с координатами S n по базисным осям пространства exp(jn Dw t).

Подынтегральную функцию экспоненты в выражении (4.1.2) с использованием тождества Эйлера

exp(±j w t) = cos( w t) ± j Ч sin( w t)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

S n = (1/T) s(t) [cos(n Dw t) — j sin(n Dw t)] dt = А n — jB n . (4.1.3)

A n ≡ A(n Dw ) = (1/T) s(t) cos(n Dw t) dt, (4.1.4)

B n ≡ B(n Dw ) = (1/T) s(t) sin(n Dw t) dt. (4.1.5)

На рис. 4.1.1 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс на интервале (1-3.3), повторяющийся с периодом Т=40) и форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(n Dw ) = A(-n Dw ), так как при вычислении значений A(n Dw ) по формуле (4.1.4) используется четная косинусная функция cos(n Dw t) = cos(-n Dw t). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(n Dw ) = -B(-n Dw ), так как для ее вычисления по (4.1.5) используется нечетная синусная функция sin(n Dw t) = — sin(-n Dw t).

Рис. 4.1.1. Сигнал и его комплексный спектр.

Комплексные числа дискретной функции (4.1.3) могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

S n = R n exp(j j n ), (4.1.3′)

R n 2 ≡ R 2 (n Dw ) = A 2 (n Dw )+B 2 (n Dw ),

j n ≡ j (n Dw ) = arctg(-B(n Dw )/A(n Dw )).

Рис. 4.1.2. Модуль и аргумент спектра.

Модуль спектра R(n Dw ) называют двусторонним спектром амплитуд или АЧХ — амплитудно-частотной характеристикой сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов j (n Dw )) — двусторонним спектром фаз или ФЧХ – фазово-частотной характеристикой. Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(n Dw ) = R(-n Dw ), а спектр фаз нечетную: j (n Dw ) = — j (-n Dw ). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рис. 4.1.1, приведен на рис. 4.1.2. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2 p угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее — p происходит сброс значения -2 p ).

Если функция s(t) является четной, то все значения B(n Dw ) по (4.1.5) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(n Dw t) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все значения коэффициентов А(n Dw ) (нечетные функции ортогональным косинусным гармоникам) и спектр является чисто мнимым. Этот фактор не зависит от выбора границ задания периода функции на числовой оси. На рис. 4.1.3(А) можно наглядно видеть ортогональность первой гармоники синуса и четной функции, а на рис. 4.1.3(В) соответственно косинуса и нечетной функции в пределах одного периода. Учитывая кратность частот последующих гармоник первой гармонике спектра, ортогональность сохраняется для всех гармоник ряда Фурье.

Рис. 4.1.3. Ортогональность функций.

При n = 0 имеем В о = 0, и получаем постоянную составляющую сигнала:

S 0 ≡ A o ≡ R o ≡ (1/T) s(t) dt.

Тригонометрическая форма рядов Фурье. Объединяя в (4.1.1) комплексно сопряженные составляющие (члены ряда, симметричные относительно центрального члена ряда S 0 ), можно перейти к ряду Фурье в тригонометрической форме:

s(t) = А о +2 (A n cos(n Dw t) + B n sin(n Dw t)), (4.1.6)
s(t) = А о +2 R n cos(n Dw t + j n ). (4.1.6′)

Значения A n , B n вычисляются по формулам (4.1.4-4.1.5), значения R n и j n — по формулам (4.1.3′).

Ряд (4.1.6) представляют собой разложение периодического сигнала s(t) на сумму вещественных элементарных гармонических функций (косинусных и синусных) с весовыми коэффициентами, удвоенные значения которых (т.е. значения 2 Ч A n , 2 Ч B n ) не что иное, как амплитуды соответствующих гармонических колебаний с частотами n Dw . Совокупность амплитудных значений этих гармоник образует односторонний физически реальный (только для положительных частот n Dw ) спектр сигнала. Для сигнала на рис. 4.1.1, например, он полностью повторяет правую половину приведенных на рисунке спектров с удвоенными значениями амплитуд (за исключением значения А о на нулевой частоте, которое, как это следует из (4.1.6), не удваивается). Но такое графическое отображение спектров используется довольно редко (за исключением чисто технических приложений).

Более широкое применение для отображения физически реальных спектров находит формула (4.1.6′). Спектр амплитуд косинусных гармоник при таком отображении называется амплитудно-частотным составом сигнала, а спектр фазовых углов гармоник – фазовой характеристикой сигнала. Форма спектров повторяет правую половину соответствующих двусторонних спектров (см. рис. 4.1.2) также с удвоенными значениями амплитуд. Для четных сигналов отсчеты фазового спектра могут принимать только значения 0 или p , для нечетных соответственно ± p /2.

Ряды Фурье произвольных аналоговых периодических сигналов могут содержать бесконечно большое количество членов. Однако одним из важных достоинств преобразования Фурье является то, что при ограничении (усечении) ряда Фурье до любого конечного числа его членов обеспечивается наилучшее по средней квадратической погрешности приближение к исходной функции (для данного количества членов).

На рис. 4.1.4 показано разложение в комплексный ряд Фурье модельного сигнала, выполненное в среде Mathcad. Модель сигнала задана с тремя разрывами первого рода (скачками). Любой скачок функции содержит все частоты диапазона до бесконечности, в связи с чем ряд Фурье также бесконечен и очень медленно затухает. На рисунке приведены значения только первых 100 членов ряда, при этом график спектра сигнала, как это обычно принято на практике, построен в виде огибающей значений модулей коэффициентов ряда S n и только по области положительных значений n.

Рис. 4.1.4. Разложение сигнала в комплексный ряд Фурье.

Программа на рис. 4.1.5 продолжает программу рис. 4.1.4 и показывает реконструкцию сигнала по его спектру при ограничении числа членов ряда Фурье.

Рис. 4.1.5. Реконструкция сигнала (продолжение программы на рис. 4.1.4)

На верхнем графике рисунка приведен реконструированный сигнал при N = 8 (гармоники первого пика спектра, центр которого соответствует главной гармонике сигнала и члену ряда n = w s / Dw) , N = 16 (гармоники двух первых пиков) и N=40 (пять первых пиков спектра). Естественно, что чем больше членов ряда включено в реконструкцию, тем ближе реконструированный сигнал к форме исходного сигнала.

Принцип последовательного приближения к исходной форме наглядно виден на нижнем графике рисунка. На нем же можно видеть и причины появления пульсаций на реконструкции скачков функций, которые носят название эффекта Гиббса . При изменении количества суммируемых членов ряда эффект Гиббса не исчезает. Не изменяется также относительная амплитуда пульсаций (по отношению к амплитуде скачка) и относительное затухание (по коэффициенту последовательного уменьшения амплитуды пульсаций по отношению к максимальному выбросу), изменяется только частота пульсаций, которая определяется частотой последних суммируемых гармоник.

Эффект Гиббса имеет место всегда при резких нарушениях монотонности функций. На скачках эффект максимален, во всех других случаях амплитуда пульсаций зависит от характера нарушения монотонности функции. Пример явления Гиббса для радиоимпульса приведен на рис. 4.1.6 (использована программа на рис. 4.1.4, точками показан реконструированный сигнал с увеличением масштаба в 10 раз).

На рис. 4.1.7 приведен пример разложения в ряд Фурье одного периода T=(a,c) модельного периодического сигнала sq(x), представленного информационным сигналом s(x) в сумме с шумовым сигналом. Спектр шумов близок к спектру белого шума (равномерное распределение энергии шумов по всем частотам спектра).

На спектре модельного сигнала достаточно четко выделяется диапазон частот информационного сигнала. Реконструкция сигнала с ограничением ряда Фурье гармониками только информационного сигнала (сигнал sr5(x), N=5) дает сглаженную форму сигнала по минимуму среднеквадратического расхождения с модельным сигналом для данного количества членов ряда, но только по периоду разложения (а, с), и наиболее точное приближение к информационному сигналу. При увеличении в реконструкции количества членов ряда Фурье восстановленный сигнал начинает приближаться к модельному сигналу, но только по данному периоду T=(a,c), при этом расхождение с информационным сигналом увеличивается. Заметим, что спектр сигнала может определяться и по нескольким периодам сигнала, что повышает точность реконструкции информационного сигнала.

В ряд Фурье может разлагаться и произвольная непериодическая функция, заданная (ограниченная, вырезанная из другого сигнала, и т.п.) на интервале (a,b), если нас не интересует ее поведение за пределами данного интервала. Однако следует помнить, что применение формул (4.1.1-4.1.6) автоматически означает периодическое продолжение данной функции за пределами заданного интервала (в обе стороны от него) с периодом Т = b-a. Однако при этом на краях интервала может возникнуть явление Гиббса, если уровень сигнала на краях не совпадает и образуются скачки сигнала при его периодическом повторении, как это видно на рис. 4.1.8. При разложении исходной функции в ограниченный ряд Фурье и его обработке в частотной области на самом деле при этом обрабатывается не исходная функция, а реконструированная из ограниченного ряда Фурье.

При усечении рядов Фурье определенное искажение функций существует всегда. Но при малой доле энергии отсекаемой части сигнала (при быстром затухании спектров функций) этот эффект может быть и мало заметен. На скачках и разрывах функций он проявляется наиболее ярко.

Параметры эффекта Гиббса. Большинство методов анализа и обработки сигналов представляют собой или имеют в своем составе операцию свертки сигналов с функцией оператора свертки . Как сигнал, так и оператор свертки, выполняющий определенную задачу обработки данных и реализующий определенную частотную функцию системы обработки, могут быть бесконечно большими. Практика же обработки на ЭВМ может иметь дело только с ограниченными множествами и данных, и коэффициентов оператора. В общем случае, эти ограниченные множества «вырезаются» из бесконечных множеств, а разложение в ряды Фурье, также ограниченные по размерам, является одной из самых распространенных операций обработки цифровых множеств. С учетом этого рассмотрим явление Гиббса более подробно, т.к. при любых ограничениях рядов Фурье оно всегда может весьма существенно сказаться на качестве и точности обработки сигналов.

Очевидно, что при усечении ряда Фурье (4.1.1) любой функции до конечного числа членов N мы будем иметь усеченный ряд Фурье:

s N (x) = S(n) exp(jxn Dw ), (4.1.7)

при этом происходит усечение спектральной характеристики функции до частоты n Dw и сходимость суммы остающихся членов ряда s N (x) к исходной функции s(x) ухудшается в тем большей степени, чем меньше значение N. Особенно ярко это проявляется на крутых перепадах (разрывах, скачках) функций:

— крутизна перепадов «размывается», т.к. она не может быть больше, чем крутизна (в нулевой точке) последней сохраненной гармоники ряда (4.1.7);

— по обе стороны «размытых» перепадов появляются выбросы и затухающие осцилляции с частотой, равной частоте последнего сохраненного или первого отброшенного члена ряда (4.1.7).

Рассмотрим явление Гиббса на примере разложения в ряд Фурье функции единичного скачка s(x), которая имеет разрыв величиной 1 в точке х = 0. Уравнение функции:

s(x) = — 0.5 при –T/2 ≤ x 0; s(x) = 0.5 при 0 Ј x ≤ T/2 .

Поскольку функция является нечетной, ее ряд Фурье не содержит косинусных членов, и коэффициенты ряда в односторонней тригонометрической форме определяются выражением (с учетом соотношения Dw = 2 p /T):

b n = (2/T) s(x) sin(xn Dw ) dx = (2/T) sin(xn Dw ) dx.

b n = 2/(n· p ), n- нечетное,

b n = 0, n- четное.

Рис. 4.1.9. Значения коэффициентов b n .

Как видно на рис. 4.1.9, ряд коэффициентов b n затухает очень медленно. Соответственно, медленно будет затухать и ряд Фурье функции s(x):

s(x) = (2/ p )[sin x Dw + (1/3)·sin x3 Dw + (1/5)·sin x5 Dw +. ].

s(x) = (2/ p ) sin[x(2n+1) Dw ]/(2n+1). (4.1.8)

Этот ряд при усечении до M нечетных членов можно записать в следующем виде:

s(x) = (2 Dw / p ) cos(x(2n+1) Dw) dx = (2 Dw / p ) [ cos(x(2n+1) Dw) ] dx.

Сумма косинусного ряда равна sin[2(M+1)x Dw ]/(2sin x Dw ). Отсюда:

Для определения местоположения максимумов и минимумов возникающих осцилляций функции, приравняем к нулю ее первую производную (подынтегральную функцию) выражения (4.1.9), при этом:

x k = ± k p /(2 Dw (M+1)) = ± kT/(4(M+1)) , k = 1,2.

Соответственно, амплитудные значения первых (максимальных) осцилляций функции приходится на точки x k=1 = ± T/(4(M+1)) , вторых (противоположных по полярности) — на точки x k=2 = ± T/(2(M+1)). Период пульсаций равен x k=3 -x k=1 ≡ 2x k=1 = ± T/(2(M+1)), т.е. на одном периоде задания сигнала появляется 2(М+1) пульсация с частотой, обратным периоду и равной 2(M+1) D f – частоте последнего сохраненного в суммировании члена ряда Фурье. Функция пульсаций (при ее выделении) является нечетной относительно скачка. Соответственно, при скачке функции s(x) на точке периода Т значения х k являются значениями D x k относительно точки скачка. Амплитудные значения функции в точках х 1 и х 2 (при подстановках х 1 и х 2 верхним пределом в (4.1.9)) практически не зависят от количества членов ряда М и равны:

s M (x 1 ) » 0.5+0.09, s M (x 2 ) » 0.5-0.05.

Амплитуда последующих осцилляций постепенно затухает.

Реконструкция скачка при трех значениях ряда приведена на рис. 4.1.10. Как и положено, функция продолжается периодически за пределами заданного интервала (-Т/2, Т/2), при этом на границах периодов также образуются скачки. Скачки являются центрами возникающих осцилляций. Наложение осцилляций друг на друга в зависимости от расстояния между их центрами может как уменьшать амплитуду пульсаций, так и увеличивать.

Рис. 4.1.10. Реконструкция скачка по ограниченному раду Фурье при М =3.

Таким образом, для усеченных рядов Фурье предельные значения максимальных выбросов по обе стороны от скачка и следующих за ними обратных выбросов при единичной амплитуде разрыва функции достигают соответственно 9% и 5% значения амплитуды скачка. Кроме того, сам скачок функции из собственно скачка преобразуется в переходную зону, длина которой между точками максимальных выбросов по обе стороны скачка равна T/(2(M+1)), а по уровню исходных значений функции на скачке (в данном случае от -0.5 до 0.5) порядка (2/3)T/(2(M+1)). Это явление типично для всех функций с разрывами.

Copyright ©2006 Davydov А.V.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира
01.10.2020 — 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога — это что, военный объект?
— Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

ГИББСА ЯВЛЕНИЕ

— особенность поведения частных сумм (или их средних) рядов Фурье. Впервые обнаружена Г. Уилбрейамом [1] и значительно поеже переоткрыта Дж. Гиббсом [2]. Пусть частные суммы ряда Фурье функции f(x) сходятся к в нек-рой окрестности точки , в к-рой

В точке x 0 , имеет место Г. я. для s n (x), если , где

Геометрически это означает, что графики (рис.) частных сумм при и приближаются не к «ожидаемому» отрезку по оси ординат, а к строго большему отрезку . Аналогично определяется Г. я. для средних от частных сумм ряда Фурье при суммировании его тем или иным методом.

Для -периодич. функций f с ограниченным изменением на справедливы, напр., утверждения (см. [3]).

1) В точках неустранимого разрыва (и только в них) имеет место Г. я. для . В частности, если при , то для точки отрезок , а отрезок , где

2) Существует такая абсолютная постоянная , что средние Чезаро при не имеют Г. я., а при оно наблюдается в каждой точке неустранимого разрыва функции f.

Лит.: [1] Willbrahаm Н., «Cambridge and Dublin Math. J.», 1848, v. 3, p. 198-201; [2] Gibbs J. W., «Nature», 1S98, v. 50, p. 200; [3]Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1, 2, М., 1965. П. Л. Ульянов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .

Смотреть что такое «ГИББСА ЯВЛЕНИЕ» в других словарях:

Эффект Марангони — (Марангони Гиббса) явление переноса вещества вдоль границы раздела двух сред, возникающее вследствие наличия градиента поверхностного натяжения. Такая разновидность конвекции называется капиллярной или конвекцией Марангони … Википедия

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА — раздел физики, посвящённый изучению св в макроскопич. тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых ч ц (молекул, атомов, эл нов и т. д.), исходя из св в этих ч ц и вз ствий между ними. Изучением макроскопич. тел занимаются и др … Физическая энциклопедия

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия

Термодинамика — Термодинамика … Википедия

ФАЗОВЫЙ ПЕРЕХОД — (фазовое превращение), в широком смысле переход в ва из одной фазы в другую при изменении внеш. условий темп ры, давления, магн. и электрич. полей и т. д.; в узком смысле скачкообразное изменение физ. св в при непрерывном изменении внеш.… … Физическая энциклопедия

Статистическая физика — раздел физики, задача которого выразить свойства макроскопических тел, т. е. систем, состоящих из очень большого числа одинаковых частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), через свойства этих частиц и взаимодействие между ними.… … Большая советская энциклопедия

ФИЗИКА. — ФИЗИКА. 1. Предмет и структура физики Ф. наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиб. общие свойства и законы движения окружающих нас объектов материального мира. Вследствие этой общности не существует явлений природы, не имеющих физ. свойств … Физическая энциклопедия

Фазовый переход — фазовое превращение, в широком смысле – переход вещества из одной фазы (См. Фаза) в другую при изменении внешних условий – температуры, давления, магнитного и электрического полей и т.д.; в узком смысле – скачкообразное изменение… … Большая советская энциклопедия

АДСОРБЦИЯ — (от лат. ad на, при и sorbeo поглощаю), процесс, приводящий к аномально высокой концентрации в ва (а д с о р б а т а) из газообразной или жидкой среды на поверхности её раздела с жидкостью или тв. телом (а д с о р б е н т о м). Частный случай… … Физическая энциклопедия

ФЕРМИ-ДИРАКА СТАТИСТИКА — (ферми статистика) квантовая статистика, применяемая к системам тождественных частиц с полуцелым (в единицах h )спином. Такие частицы наз. ферми частицами или фермионами. К ним относятся, напр., электроны, нуклоны, ядра с нечётным числом нуклонов … Физическая энциклопедия

Эффект Гиббса

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 3573 ; Нарушение авторских прав

Рисунок 11-6 показывает сигнал временной области, синтезируемый из синусоид. Реконструируемый сигнал показан на последнем графике (h). Поскольку длина сигнала 1024 точки, необходимо 512 частот для его реконструкции. Рисунки от (а) до (g) показывают, как будет выглядеть сигнал при использовании только части из этих частот. Например, (f) показывает сигнал, для реконструкции которого использовались частоты от 0 до 100. Этот сигнал был получен следующим образом. С помощью ДПФ был преобразован сигнал (h), значения частот от 101 до 512 были установлены в ноль, затем с помощью инверсного ДПФ найден результирующий сигнал во временной области.

Чем больше частот используется при реконструкции, тем ближе сигнал приближается к исходной форме. Интересно рассмотреть, как осуществляется приближение к резким краям финального сигнала. Имеется три формы краев в (h). Два – это края прямоугольного импульса. Третий находится между отсчетами 1023 и 0, поскольку ДПФ рассматривает временную область как периодическую. Когда немного частот используются для реконструкции, каждый край смотрится как звенящий выброс (с затухающими колебаниями). Этот выброс и звон называются эффектом Гиббса, по имени математика и физика Джоза Гиббса, который объяснил этот феномен в 1899 году.

Рассмотрите поближе выбросы на рисунках (e), (f) и (g). Чем больше добавляется синусоид, тем ширина выброса делается меньше, однако амплитуда выброса остается той же самой, около 9%. Для дискретных сигналов здесь нет проблемы, выброс исчезает, когда добавляется последняя частота. Однако реконструкция непрерывного сигнала не может быть так легко объяснена. Бесконечное число синусоид должно быть добавлено для синтеза непрерывного сигнала. Проблема заключается в том, что амплитуда выброса не уменьшается по мере приближения числа синусоид к бесконечности, и остается все той же 9%. В этой ситуации возникает вопрос: может ли сумма непрерывных синусоид восстановить резкий край? Вспомните спор между Лагранжем и Фурье.

Решение этой загадки заключается в том, что ширина выброса становится меньше по мере увеличения числа синусоид. Выброс еще присутствует при бесконечном числе синусоид, но он имеет нулевую ширину. Точно в месте нарушения непрерывности (скачка) величина реконструируемого сигнала сходится в среднюю точку ступеньки. Как показал Гиббс, сумма синусоид сходится к сигналу в том смысле, что ошибка между ними имеет нулевую энергию.

Проблемы, связанные с эффектом Гиббса, часто встречаются в ЦОС. Например, низкочастотный фильтр есть резкое обрезание высоких частот, в результате чего во временной области возникает выброс и звон на спаде характеристики. Другая типичная процедура – отсечение конца сигнала временной области для предотвращения его проникания в соседние периоды. Благодаря свойству двойственности это нарушает края в частотной области. Эти случаи будут рассмотрены в главах по созданию фильтров.

Эффект Гиббса — Доннана

Связанные понятия

Солюбилизáция (от лат. solubilis — «растворимый») — коллоидный процесс самопроизвольного и обратимого проникновения солюбилизата (вещества с низкой молекулярной массой, как правило, неполярного (гидрофобного)) внутрь мицелл солюбилизатора (поверхностно-активного вещества или высокомолекулярных глобул (клубков) полимера). Солюбилизация играет важную роль в повседневной жизни человека.

Уникальные свойства позволили воде играть в клетке роль растворителя, терморегулятора, а также поддерживать структуру клеток и осуществлять транспорт веществ и пр.

MTT-тест — колориметрический тест для оценки метаболической активности клеток. НАДФ-H-зависимые клеточные оксидоредуктазные ферменты могут, при определенных условиях, отражать количество жизнеспособных клеток. Эти ферменты способны восстанавливать тетразолиевый краситель 3-(4,5-диметилтиазол-2-ил)-2,5-дифенил-тетразолиум бромид в нерастворимый формазан, который имеет пурпурное окрашивание. Другие близкородственные тетразолиевые красители: XTT, MTS и WST, которые используются в связи с промежуточным.

Электрохими́ческий градиéнт, или градиéнт электрохимического потенциáла, — совокупность градиента концентрации и мембранного потенциала, которая определяет направление движения ионов через мембрану. Состоит из двух составляющих: химического градиента (градиента концентрации), или разницы в концентрациях растворённого вещества по обе стороны мембраны, и электрического градиента (мембранного потенциала), или разницы зарядов, расположенных на противоположных сторонах мембраны. Градиент возникает вследствие.

Золь (также лиозоль, коллоидный раствор, англ. sol от лат. solutio — раствор) — высокодисперсная коллоидная система (коллоидный раствор) с жидкой (лиозоль) или газообразной (аэрозоль) дисперсионной средой, в объёме которой распределена другая (дисперсная) фаза в виде капелек жидкости, пузырьков газа или мелких твёрдых частиц, размер которых лежит в пределе от 1 до 100 нм (10−9—10−7м).

Стеклянные электроды — тип ионоселективных электродов, сделанных из легированных стеклянных мембран, которые чувствительны к специфическим ионам, используемые для определения концентрации ионов в растворе. Важная часть приборов химического анализа и физико-химических исследований. В современной практике широко применяются мембранные ионоселективные электроды (ИСЭ, в том числе и стеклянные), являющиеся частью гальванического элемента. Электрический потенциал электродной системы в растворе чувствителен.

способ выявления искажений, вызванных эффектом гиббса, при jpeg-кодировании

Изобретение относится к цифровой фотографии, а именно к анализу качества цифрового изображения, и может быть использовано при выявлении искажений при JPEG-кодировании. Способ выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса, при JPEG-кодировании заключается в оценке размера кодировочного блока по отношению к заданному разрешению печатающего устройства; определении для каждого кодировочного блока в случае, если размер блока делает его различимым для человеческого глаза при требуемом разрешении печати, приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса; установлении на нуль соответствующих элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, в случае, если они имеют значения ниже предопределенного порога; вычислении для ненулевых элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, соответствующей дисперсии искажения, для остальных элементов дисперсию обнуляют. 3 з.п. ф-лы, 6 ил.

Рисунки к патенту РФ 2365994

Изобретение относится к цифровой фотографии, а более конкретно к анализу качества цифрового изображения, и может найти применение для эффективного выявления искажений при использовании JPEG-кодирования.

Методика кодирования, известная как JPEG (термин JPEG образован от английского названия Объединенной Группы Экспертов-Фотографов), была принята в качестве стандарта (см. http://www.jpeg.org/) [1], который широко используется для сжатия цифровых данных, образующих фотоизображение. Обычно, чтобы добиться заметного коэффициента сжатия, применяют дискретное косинусное преобразование (DCT) и квантование. При JPEG-кодировании изображение разбивают на мелкие блоки, обычно имеющие размер 8×8 пикселей, и к этим блокам применяют кодировочное преобразование, а именно дискретное косинусное преобразование (DCT). В результате кодировочного преобразования вместо конкретного числа пикселей получают эквивалентное число коэффициентов преобразования (DCT коэффициенты). Затем эти коэффициенты квантуются.

Квантование — это операция, заключающаяся в том, что DCT коэффициенты делят нацело на матрицу квантования, чье значение соответствует каждой частоте области. За счет квантования значение частотной компоненты с малым DCT коэффициентом становится нулевым. Вообще энергия концентрируется в низкочастотной области сигнала изображения, и, следовательно, высокочастотная составляющая удаляется посредством этой операции.

Таким образом, некоторый объем информации об изображении утрачивается в процессе квантования, вызывая появление так называемых блочных артефактов (искажений) и артефактов, вызванных эффектом Гиббса, после восстановления цифрового изображения путем применения обратного кодировочного преобразования к набору квантованных коэффициентов преобразования для реконструкции кодированного изображения. Искажения проявляются в районе границ смежных блоков в виде неоднородности (скачка) яркости, контраста и/или цвета. Искажения, вызванные эффектом Гиббса, проявляются на резких границах яркости (краях объектов) и обычно представляют собой нечеткие, серые линии вблизи края. С увеличением коэффициента сжатия проявление этих искажений также увеличивается.

Чтобы уменьшить искажения, вызванные эффектом Гиббса, было предложено большое количество различных алгоритмов и способов. Однако большинство решений основано на выявлении краев, что является сложной и ненадежной процедурой, оптимальные параметры которой неизвестны.

Решение, предложенное в патенте США № 6,845,180 [1], связано с обнаружением областей, на которых возможны искажения, вызванные эффектом Гиббса. Изобретатель пришел к выводу о том, что эти искажения можно предвидеть путем выявления тех областей изображения, которые имеют относительно высокое значение яркости и высокую контрастность. Блоки, которые могут быть подвержены таким искажениям, выявляются путем сравнения яркости каждого пикселя и его соседа по горизонтали с первым пороговым значением Т1 и абсолютной величиной яркостного контраста между соседними по горизонтали пикселями со вторым пороговым значением Т2. Если одно из значений яркости превышает первый порог, и разность больше, чем второй порог, пиксель маркируют. Ту же самую проверку проводят с вертикальным соседом. Если число маркированных (отмеченных) пикселей превышает третий порог, блок считается кандидатом на последующую обработку.

В патенте США № 6,707,952 [2] блоки-кандидаты на последующую обработку отбираются в том случае, если они имеют доминирующий край. Для этого используются маски горизонтального и вертикального края: [-101] и [-101] T. Абсолютные значения величин разностей пикселей накапливаются в двух переменных, для разностей по горизонтали и по вертикали. Направление края определяют путем сравнения этих двух величин друг с другом, при этом если «горизонтальная» сумма больше, чем «вертикальная», то предполагается присутствие горизонтального края и наоборот. Максимум вычисленных значений называется «содержимым края», и после сопоставления «содержимого края» с заданным порогом гладкости решают, является ли самый сильный край доминантой или нет (если «да», то текущий блок обрабатывают с целью удаления искажения).

В международной патентной публикации № WO 99/22509 [3] упоминаются так называемые «блочный семафор» и «семафор звона», которые определяют, нуждается ли текущий кодирующий блок в последующей обработке. Блочный семафор и семафор звона обнаруживают путем анализа распределения обратных коэффициентов квантования, которые являются коэффициентами дискретно-косинусного преобразования (DCT), после того как сжатый двоичный поток подвергнется обратному квантованию. «Предполагая, что самый верхний с левой стороны пиксель блока среди 64 пикселей, составляющих блок размером 8×8 пикселей, является пикселем А, пиксель справа от пикселя А является пикселем В, и пиксель ниже пикселя А является пикселем С, семафор звона (RS) устанавливают на «I», что означает, что требуется последующая обработка, если какой-либо из пикселей, помимо пикселей А, В и С обратного квантования блока 8×8 пикселей, имеет ненулевой коэффициент». Однако это простое решение обеспечивает недостаточную точность и приводит к получению многочисленных ложных срабатываний.

В патенте США № 6,748,113 [4] присутствие искажения, вызванного эффектом Гиббса, выявляется путем классификации кодировочного блока по трем классам, используя четыре предопределенных процедуры. Классификация в любую из процедур заключается в сравнении абсолютных значений коэффициентов DCT в заштрихованных областях с некоторой предопределенной величиной.

В патенте США № 7,050,649 [5] присутствие искажений, вызванных эффектом Гиббса, выявляется путем сравнения локального градиента, вычисленного с использованием четырех смежных выборок изображения, с предопределенным порогом.

В патенте США № 7,003,173 [6] первые края вычисляют, используя фильтр Roberts. Затем края классифицируют в те края, которые нуждаются в устранении искажений, вызванных эффектом Гиббса, края, которые нуждаются в повышении четкости, или края, которые не нуждаются ни в том, ни в другом, при этом классификация основана на «силе» края и «True Edge Threshold» (пороге истинного края), а также на признаке, является ли текущий край «истинным визуальным краем» или нет.

В патенте США № 6,807,317 [7] выявляют первые края и сглаживают для удаления искажений.

Различные метрики для искажений, вызванных эффектом Гиббса, были предложены в литературе, они основаны, главным образом, на обнаружении края и оценке колебаний около основных краев.

В публикации Feng, X., J.P.Allebach, «Measurement of ringing artifacts in JPEG images». Digital Publishing. Edited by Allebach, Jan P.; Chao, Hui. Proceedings of the SPIE, Volume 6076, pp.74-83 (2006). [8] предлагается выявлять ложные блоки, содержащие искажения, вызванные эффектом Гиббса, путем анализа усредненного краевого градиента в блоке. Метрики для искажений, вызванных эффектом Гиббса, основываются на измерении локального воздействия, как усредненного абсолютного значения градиентов яркости, с учетом концепции «Едва Различимых Отличий» по Chou и Li из статьи С. Chou and Y. Li, «A perceptually tuned sub-band image coder based on the measure of just-noticeable distortion profile,» IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol. 5(6), pp.467-476, 1995 [9].

В работе Oguz, S.H.; Hu, Y.H.; Nguyen, T.Q, «Image coding ringing artifact reduction using morphological post-filtering», Multimedia Signal Processing, 1998 IEEE Second Workshop on Volume, Issue, 7-9 Dec 1998 Page(s): 628-633 [10] предложено использовать так называемую «Метрику Измерения Искажений, вызванных эффектом Гиббса» (VRM), основанную на усредненной локальной дисперсии в области основных краев. Сначала создают маску VRM путем выполнения операций по обнаружению краев и морфологических операций над краями. Затем строят локальную усредненную дисперсию вокруг краев, избегая слишком плавных краев.

В статье Ying-Wen Chang and Yen-Yu Chen, «Alleviating-Ringing-Artifact Filter Using Voting Scheme», ICGST International Journal on Graphics, Vision and Image Processing, Special Issue on Applicable Image Processing [11] изображение разбивается на гладкие, краевые или текстурированные области путем применения метода дерева. Способ устранения искажений, вызванных эффектом Гиббса, в этом случае основан на применении морфологических операций. Для выбора оптимального структурирующего элемента для морфологической операции применяют голосование.

Способ, описанный в статье Marziliano, P., Dufaux, F., Winkler, S., and T. Ebrahimi «Perceptual Blur and Ringing Metrics: Application to JPEG 2000», Signal Processing: Image Communication, Volume 19, No 2, February 2004, pp.163-172 (10) [12], основан на вычислении разности между исходным и кодированным изображениями. Предлагается определить метрику искажений, вызванных эффектом Гиббса, для каждого значительного вертикального края. Сначала определяют вертикальные края в исходном изображении (слабые края и шум вновь отсеиваются путем применения порогового значения), и вычисляют разность между обработанным изображением и исходным. Затем каждый ряд в обработанном изображении сканируют и измеряют искажения вокруг каждого края.

В докладе S.Yang, Y.Hu, T.Q.Nguyen, and D.L.Tull, «Maximum-likelihood parameter estimation for image ringing-artifact removal,» IEEE Trans. Circuits Syst. Video TechnoL, vol.11, no. 8, pp.963-973, Aug 2001 [13] авторы предлагают применить кластеризацию методом k-средних к блоку, содержащему искажения, вызванные эффектом Гиббса, для создания плоскостной модели, заменяющей волнистую поверхность плоскостью, для оценки интенсивности исходного (несжатого) изображения. Авторы исходят из предположения, что оценка исходного изображения представляет собой монтаж из плоских поверхностей. Чтобы обрабатывать широкий класс изображений, плоскостную модель применяют локально к малым областям изображения. Прежде всего определяют число классов для различных кусочков изображения (для областей с текстурой и для областей, содержащих только резкие края). Затем авторы сводят модель к группированию по трем классами для простоты расчетов. Этот способ наиболее близок к заявляемому изобретению.

Все упомянутые способы требуют весьма высоких вычислительных ресурсов, поскольку либо применяют операцию по выявлению краев, либо предусматривают использование исходного (несжатого) изображения.

Задача, на решение которой направлено заявляемое изобретение, состоит в разработке такого способа выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса, при JPEG-кодировании, который позволял бы обойтись без операции по обнаружению краев и без проведения сравнительного анализа кодированного изображения с исходным изображением.

Технический результат достигается за счет использования нового способа, заключающегося в том, что выполняют следующие операции:

— оценивают размер кодировочного блока по отношению к заданному разрешению печатающего устройства;

— определяют для каждого кодировочного блока в случае, если размер блока делает его различимым для человеческого глаза при требуемом разрешении печати, приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса;

— устанавливают на нуль соответствующие элементы приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, в случае, если они имеют значения ниже предопределенного порога;

— вычисляют для ненулевых элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, соответствующую дисперсию искажения, для остальных элементов дисперсию считают нулевой (обнуляют).

Для эффективного функционирования заявляемого способа важно, чтобы приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, для текущего кодировочного блока изображения вычисляли на основе числа ненулевых DCT коэффициентов, наибольшего индекса ненулевого DCT коэффициента при зигзагообразном сканировании текущего кодировочного блока изображения и восьми кодировочных блоков изображения, прилегающих к текущему кодировочному блоку изображения.

Для эффективного функционирования заявляемого способа важно, чтобы предопределенный порог вычисляли на основе максимального значения приблизительной метрики различимости искажения помимо всех других значений.

Для эффективного функционирования заявляемого способа важно, чтобы дисперсию искажения вычисляли на основе группирования (кластеризации) интенсивностей декодированного изображения.

Заявляемый способ применим как для черно-белых, так и для цветных изображений.

Новизна заявляемого изобретения подтверждается следующими факторами:

— в заявляемом изобретении не применяется поиск краев;

— вероятность присутствия искажения, вызванного эффектом Гиббса, рассчитывают в частотной области на основе простой и эффективной формулы;

— заявляемый способ определения серьезности (силы) искажения, вызванного эффектом Гиббса, основан на кластеризации интенсивностей пикселей.

Для лучшего понимания существа заявляемого изобретения далее приводится его детальное описание с привлечением графических материалов.

Фиг.1 — Схема основных компонентов системы, реализующей заявляемый способ.

Фиг.2 — Основные операции процедуры выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса.

Фиг.3 — Процедура вычисления приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, этап 202.

Фиг.4 — Базисные функции решетки косинусного преобразования с надпечатанным индексом зигзагообразного сканирования на каждой базисной функции, аналогично упорядочению блока 8×8 коэффициентов DCT после квантования.

Фиг.5 — Процедура вычисления дисперсии искажения, этап 204.

Фиг.6 — Результаты выявления искажения, вызванного эффектом Гиббса, где исходное (сжатое) изображение помещено сверху, а дисперсия искажения надпечатана на нижнем изображении.

На Фиг.1 представлена блок-схема основных компонентов системы, с помощью которой реализуется заявляемый способ. Функционирование системы управляется процессором 101, который выполняет код программы, записанный в памяти 102. В памяти 102 хранится исходное черно-белое или цветное фотоизображение. Изображение обрабатывают и передают на устройство 104 отображения. Обмен информацией осуществляется через шину 106 данных.

На Фиг.2 представлены основные этапы обнаружения искажений. На этапе 201 определяют, различим ли кодировочный блок изображения человеческим глазом при данном разрешении печатающего устройства. Пусть разрешение печатающего устройства равно Х точек/дюйм (обычно 300-400 точек/дюйм), размер пикселя кодировочного блока равен 8 пикселям, тогда ширина и высота блока при печати равны 8/Х дюймов. В случае, если этот размер неразличим человеческим глазом, изображение далее не обрабатывают, поскольку блочные искажения в этом случае также неразличимы, и никакие искажения окружения не обнаружены, этап 205.

В противном случае выполняют следующие процедуры. На этапе 202 для каждого кодировочного блока изображения вычисляют приблизительную метрику искажения, вызванного эффектом Гиббса. Детали этапа 202 приведены ниже. На этапе 203 вычисленная приблизительная метрика искажения, вызванного эффектом Гиббса, сопоставляется с пороговым значением таким образом, что все элементы, которые меньше, чем предопределенное пороговое значение, обнуляются. Пороговое значение определено как максимальное значение среди всех значений приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, умноженных на число, которое меньше единицы, в предпочтительном варианте реализации изобретения это значение равно 0,5. На этапе 204 для всех блоков, чья соответствующая приблизительная метрика различимости искажения больше нуля, осуществляют вычисление дисперсии искажения. Детали этапа 204 представлены ниже. В результате устанавливают, что все блоки, имеющие ненулевую дисперсию, подвержены искажениям, вызванным эффектом Гиббса, в то время как остальные блоки не подвержены данным искажениям.

На Фиг.3 представлена процедура вычисления приблизительной метрики различимости искажений, вызванных эффектом Гиббса, этап 202. На этапе 301 вычисляют, начиная от первого кодировочного блока изображения, приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, для текущего кодировочного блока изображения.

Модель появляющихся искажений, вызванных эффектом Гиббса, может быть сформулирована в соответствии со следующими правилами.

Текущий блок (подверженный данному искажению) имеет высокую активность, то есть он представлен достаточным числом ненулевых DCT коэффициентов.

По меньшей мере, один из его восьми соседей (сверху, снизу, слева или справа, слева-вверху, слева-внизу, справа-вверху, справа-внизу) представляет собой гладкий блок (малое число ненулевых коэффициентов).

Текущий блок сжат, и, в основном, причина искажений заключается в квантовании, это означает, что число нулевых коэффициентов DCT также значительно.

Рассмотрим основные функции DCT и индексы зигзагообразного сканирования для JPEG кодирования. На Фиг.4 индекс зигзагообразного сканирования надпечатан на каждой базисной функции, точно так же, как блок 8х8 коэффициентов DCT упорядочивается после квантования. Для каждого обрабатываемого блока 8×8 изображения найдены следующие значения:

1. Максимальный индекс ненулевого коэффициента DCT, если блок организован с применением зигзагообразного порядка в векторе, i max .

2. Число ненулевых DCT коэффициентов N DCT .

3. Те же самые значения для его восьми соседей (смежных блоков), 8×8 пикселей, сверху, снизу, слева, справа, слева-вверху, слева-внизу, справа-вверху, справа-внизу. , k=0 7.

Приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, RM, вычисляют для текущего кодировочного блока изображения, используя следующие формулы:

(64-N DCT ) — число нулевых DCT коэффициентов в текущем блоке. Чем больше число, тем выше сжатие;

(G 1 2 max 5) равно 1, если искажения, вызванные эффектом Гиббса, имеют достаточно высокую частоту.

На этапе 302 заявляемый способ переходит к следующему кодировочному блоку изображения. На этапе 303 проверяют выполнение условия, имеются ли какие-нибудь необработанные блоки изображения. Если 303 дает положительный ответ, вычисление приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, заканчивают. В противном случае рассматривают следующий блок изображения, и этапы 301-303 повторяют.

Фиг.5 представляет подробности процедуры вычисления дисперсии искажения, этап 204. На этапе 501 осуществляют проверку, не превышает ли нулевого значения приблизительная метрика различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса. Если проверка на этапе 501 дает отрицательный результат, дисперсия искажения для текущего блока обнуляется. В противном случае вычисляют дисперсию искажения для текущего кодировочного блока изображения, этап 502. Дисперсия искажения вычисляется для того, чтобы определить силу (серьезность) искажения, вызванного эффектом Гиббса. Нецелесообразно просто рассчитать дисперсию потенциальной области, подверженной искажениям, поскольку очень высока вероятность того, что эта область включает в себя четко выраженный край. Цель состоит в том, чтобы измерить дисперсию нечеткости (размытости) около края. С этой целью интенсивности пикселей кластеризируют (группируют) в блоке, подверженном искажениям. Пиксели кластеризируют (группируют) в пределах такого блока в несколько классов с использованием алгоритма k-средних. Группировку проводят по двум, трем и четырем классам, при этом выбирают тот, у которого ошибка кластеризации является наименьшей. Вычисляют среднее значение между дисперсией обнаруженных классов. Дисперсия множества интенсивностей пикселей вычисляется по стандартной формуле ( — среднее значение):

Рассчитывают дисперсию между фактическими интенсивностями пикселя и «оценками для плоских поверхностей», полученными посредством кластеризации. В результате оценка силы искажения, вызванного эффектом Гиббса, выдается как дисперсия в блоке, подверженном искажениям.

На этапе 504 способ переходит к следующему кодировочному блоку изображения. На этапе 505 проверяют, имеются ли еще необработанные блоки изображения. Если таких блоков нет, то выполнение способа завершают. В противном случае приступают к рассмотрению следующего блока изображения и повторяют этапы 501-505. В результате делают заключение о том, что все блоки, которые имеют ненулевую дисперсию, подвержены искажениям, вызванным эффектом Гиббса, а остальные блок не подвержены данным искажениям.

Предложенный способ применим для цифровых камер, слайдовых сканнеров, камерафонов, принтеров или т.п.

Следует учитывать, что все вышеизложенное приведено в качестве примера реализации заявляемого способа, поэтому для специалиста в данной области должно быть ясно, что возможны различные замены, дополнения и модификации, не выходящие за объем охраны, определенный в данном описании и в прилагаемой формуле изобретения.

ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ

1. Способ выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса, при JPEG-кодировании, заключающийся в выполнении следующих операций:
оценивают размер кодировочного блока по отношению к заданному разрешению печатающего устройства;
определяют для каждого кодировочного блока, в случае, если размер блока делает его различимым для человеческого глаза при требуемом разрешении печати, приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса;
устанавливают на нуль соответствующие элементы приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, в случае, если они имеют значения ниже предопределенного порога;
вычисляют для ненулевых элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, соответствующую дисперсию искажения, для остальных элементов дисперсию обнуляют.

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, для текущего кодировочного блока изображения вычисляют на основе числа ненулевых DCT коэффициентов, наибольшего индекса ненулевого DCT коэффициента при зигзагообразном сканировании текущего кодировочного блока изображения и восьми кодировочных блоков изображения, прилегающих к текущему кодировочному блоку изображения.

3. Способ по п.1, отличающийся тем, что предопределенный порог вычисляют на основе максимального значения приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, помимо всех других значений.

4. Способ по п.1, отличающийся тем, что дисперсию искажения вычисляют на основе кластеризации интенсивностей декодированного изображения.

Обратный эффект Гиббса Томсона

    Зинаида Шумакова 1 лет назад Просмотров:

1 05 Обратный эффект Гиббса Томсона В.Ю. Гершанов, С.И. Гармашов Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия (Поступило в Редакцию 14 февраля 2014 г. Показано существование эффекта, обратного эффекту Гиббса Томсона, для массопереноса в системах, состоящих из твердой фазы и раствора материала твердой фазы в некотором растворителе. Эффект состоит в изменении формы межфазной границы, вызванном изменением равновесных концентраций на ней под влиянием внешних условий, и существует при наличии отрицательной обратной связи для массопереноса, обусловленного капиллярными эффектами. Эффект Гиббса Томсона состоит в изменении равновесных значений давления паров на межфазной границе жидкость пар или концентрации на границе кристалл жидкость в зависимости от формы этих границ по сравнению с равновесным давлением пара (концентрацией раствора в случае бесконечной плоской межфазной границы [1,2]. Для атомно-шероховатой (несингулярной сферической межфазной границы с радиусом кривизны r ns и изотропной межфазной поверхностной энергией γ ns в случае, когда одна из контактирующих фаз есть кристалл А, а вторая раствор вещества А в расплаве некоторого металла-растворителя В, равновесная концентрация e A,ns раствора А может быть представлена следующим образом: ( e A,ns = L 2γns Aexp r ns V M, (1 RT где L A ликвидусная концентрация, т.е. концентрация насыщенного раствора, определяемая, согласно линии ликвидус, по температуре межфазной границы без учета капиллярных эффектов, V M молярный объем вещества, R универсальная газовая постоянная, T абсолютная температура, r ns считается положительным, когда кристалл находится внутри раствора, и отрицательным в случае жидкого включения (полости внутри кристалла. В случае анизотропии межфазной поверхностной энергии на границе кристалл раствор А в расплаве В энергетически выгодно помимо несингуляр- ных (атомно-шероховатых участков межфазной границы существование сингулярных граней (атомно-гладких участков [1]. Предположим, что удельная межфазная поверхностная энергия изотропна и равна γ ns для всех кристаллографических плоскостей, за исключением тех, которые перпендикулярны некоторому вектору n и характеризуются удельной межфазной энергией γ s 2 62 В.Ю. Гершанов, С.И. Гармашов r ns r s L s S n s( s = s ( = ns ns ns Рис. 1. Схематическое изображение сингулярного и несингулярного участков межфазной границы при наличии анизотропии межфазной поверхностной энергии (σ s и σ ns удельные силы межфазного поверхностного натяжения для сингулярного и несингулярного участков межфазной границы. твердой фазе (кристалле. Действительно, если во всех точках рассматриваемой системы установилась постоянная температура, то для постоянства концентраций (т. е. для отсутствия потоков в жидкой фазе необходимо равенство равновесных концентраций вдоль всей межфазной границы, рассчитанных с учетом эффекта Гиббса Томсона (см. выражения (1, (2а, (2б. Различие равновесных концентраций, если оно существует, связано с неравновесной формой межфазной границы и является движущей силой массопереноса, который приведет к изменению формы полости (включения и установлению равновесия в системе. Если межфазное поверхностное натяжение изотропно, то равновесной формой включения в кристалле, согласно выражению (1, является сфера с радиусом r ns. При наличии анизотропии межфазного натяжения равновесная форма включения будет ограничена как несингулярными, так и сингулярными участками (плоскими гранями, причем равновесные концентрации и для тех, и для других должны быть одинаковыми. Учитывая баланс удельных сил поверхностного натяжения на сингулярном (σ s и несингулярном (σ ns участках межфазной границы (рис. 1: σ s = σ ns cosα 0 (или γ s = γ ns cosα 0 и приравнивая выражения для равновесных концентраций (1 и (2б, можно установить связь между радиусом круглой грани и радиусом кривизны несингулярного участка межфазной границы в условиях равновесия: r s = r ns sinα 0 = r ns 1 c 2, (3 где α 0 равновесное значение угла α, c = γ s /γ ns = = cosα 0. Вообще говоря, приведенные выше рассуждения для анизотропного случая корректны лишь в том случае, когда влиянием межфазной кинетики на массоперенос в системе можно пренебречь. Если такое допущение использовать нельзя, то истинная равновесная форма, т.е. определяемая выражением (3, за разумное время не будет достигаться. В результате, возможен гистерезис формы включения, описанный для системы Al Pb в работе [3], т.е. различие равновесных форм включения, установившихся при одной и той же температуре, но при разных направлениях приближения к ней со стороны высоких или со стороны низких температур. Возникновение такого гистерезиса равновесных форм, с нашей точки зрения, также является проявлением обратного эффекта Гиббса Томсона. Если к температуре проведения эксперимента приблизились от более высоких ее значений, т.е. за счет охлаждения системы, то на сингулярных участках должно остаться положительное пересыщение, равное критическому пересыщению образования двумерного зародыша. При этом в соответствии с обратным эффектом Гиббса Томсона размер всех сингулярных участков межфазной границы должен уменьшиться по сравнению с истинно равновесным, а кривизна несингулярных участков должна уменьшиться по сравнению с кривизной истинно равновесной формы. При приближении к температуре эксперимента от более низких температур пересыщение на сингулярных участках должно быть отрицательным (что соответствует недосыщению раствора и их размеры будут увеличенными по сравнению с истинно равновесными. Кривизна несингулярных участков соответственно возрастет. Аналогичный гистерезис равновесной формы должен наблюдаться при росте одиночного кристалла в жидкой фазе. В этом случае массоперенос протекает такжевусловиях отрицательнойобратной связи. Равновесная форма кристалла, полученного при охлаждении раствора, что необходимо для процесса кристаллизации, будет отличаться от равновесной формы, полученной при растворении (при повышении температуры. Если кристалл не одиночный, то массоперенос будет протекать в условиях положительной обратной связи и больший кристалл будет расти за счет меньшего. Проиллюстрировать существование обратного эффекта Гиббса Томсона можно также результатами экспериментального и теоретического исследований миграции цилиндрических включений жидкой фазы состава Si-Al через кристалл Si в поле градиента температуры в направлении, перпендикулярном плотноупакованной кристаллографической плоскости (111 [4]. Будем считать, что удельная межфазная поверхностная энергия для всех плоскостей, ограничивающих жидкое включение, за исключением плоскостей (111, одинакова и равна γ ns. Удельную межфазную энергию плоскостей (111 положим равной γ s = γ ns cosα 0 3 Обратный эффект Гиббса Томсона 63 a c L ( x

T( x = const L ( x

T( x = const ns( e x = const ns( e x = const R = 1/ K R 0 w 0 0 l = 2R x e ns(0 c e s (0 L (0 L ( x

6.Тепловые эффекты химических реакций. Энтальпия. Закон Гесса.

любая химическая реакция сопровождается выделением или поглощением энергии. Чаще всего энергия выделяется или поглощается в виде теплоты (реже — в виде световой или механической энергии). Эту теплоту можно измерить. Результат измерения выражают в килоджоулях (кДж) для одного моля реагента или (реже) для моля продукта реакции. Такая величина называется тепловым эффектом реакции.

Тепловой эффект — количество теплоты, выделившееся или поглощенное химической системой при протекании в ней химической реакции.

Тепловой эффект обозначается символами Q или DH (Q = -DH). Его величина соответствует разности между энергиями исходного и конечного состояний реакции:

Значки (г), (ж) обозначают газообразное и жидкое состояние веществ. Встречаются также обозначения (тв) или (к) — твердое, кристаллическое вещество, (водн) — растворенное в воде вещество и т.д.

Обозначение агрегатного состояния вещества имеет важное значение. Например, в реакции сгорания водорода первоначально образуется вода в виде пара (газообразное состояние), при конденсации которого может выделиться еще некоторое количество энергии. Следовательно, для образования воды в виде жидкости измеренный тепловой эффект реакции будет несколько больше, чем для образования только пара, поскольку при конденсации пара выделится еще порция теплоты.

Используется также частный случай теплового эффекта реакции — теплота сгорания. Из самого названия видно, что теплота сгорания служит для характеристики вещества, применяемого в качестве топлива. Теплоту сгорания относят к 1 молю вещества, являющегося топливом (восстановителем в реакции окисления), например:

теплота сгорания ацетилена

Запасенную в молекулах энергию (Е) можно отложить на энергетической шкале. В этом случае тепловой эффект реакции (Е) можно показать графически

Этот закон был открыт Гессом в 1840 г. на основании обобщения множества экспериментальных данных.

7.Энтропия. Свободная энергия Гиббса. Термодинамический критерий направленности химического процесса.

Энтропия— это сокращение доступной энергии вещества в результате передачи энергии. Первый закон термодинамики гласит, что энергию невозможно создать или уничтожить. Следовательно, количество энергии во вселенной всегда такое же, как было и при ее создании. Второй закон термодинамики гласит, чтокоэффициентполезного действия ни одного реального (необратимого) процесса не может быть 100% при преобразовании энергии в работу.

где ΔS— изменение энтропии, ΔQ— изменениетеплоты,T— абсолютная термодинамическая температура.

Следовательно, количество энергии для преобразования в работу или теплоту непрерывно уменьшается со временем, так как теплота спонтанно переходит из более теплой области к более холодной

Энергия Гиббса и направление протекания реакции

В химических процессах одновременно действуют два противоположных фактора — энтропийный( ) иэнтальпийный( ). Суммарный эффект этих противоположных факторов в процессах, протекающих при постоянном давлении и температуре, определяет изменениеэнергии Гиббса( ):

Из этого выражения следует, что , то есть некотороеколичество теплотырасходуется на увеличение энтропии ( ), эта часть энергии потеряна для совершения полезнойработы(рассеивается в окружающую среду в виде тепла), её часто называютсвязанной энергией. Другая часть теплоты ( ) может быть использована для совершения работы, поэтому энергию Гиббса часто называют также свободной энергией.

Характер изменения энергии Гиббса позволяет судить о принципиальной возможности осуществления процесса. При процесс может протекать, при процесс протекать не может (иными словами, если энергия Гиббса в исходном состоянии системы больше, чем в конечном, то процесс принципиально может протекать, если наоборот — то не может). Если же , то система находится в состояниихимического равновесия.

Свободная энергия Гиббса(или простоэнергия Гиббса, илипотенциал Гиббса, илитермодинамический потенциалв узком смысле) — это величина, показывающая изменение энергии в ходе химической реакции и дающая таким образом ответ на вопрос о принципиальной возможности протекания химической реакции; этотермодинамический потенциалследующего вида:

Энергию Гиббса можно понимать как полную химическуюэнергиюсистемы (кристалла, жидкости и т. д.)

Понятие энергии Гиббса широко используется в термодинамикеихимии.

Самопроизвольное протекание изобарно-изотермического процесса определяется двумя факторами: энтальпийным, связанным с уменьшением энтальпиисистемы (ΔH), и энтропийным T ΔS, обусловленным увеличением беспорядка в системе вследствие роста еёэнтропии. Разность этих термодинамических факторов является функцией состояния системы, называемой изобарно-изотермическим потенциалом или свободной энергией Гиббса (G, кДж)

Классическим определением энергии Гиббса является выражение

где —внутренняя энергия, —давление, —объём, — абсолютнаятемпература, —энтропия.

Дифференциалэнергии Гиббса для системы с постоянным числом частиц, выраженный в собственных переменных — черездавлениеp итемпературуT:

Для системы с переменным числом частиц этот дифференциал записывается так:

Здесь —химический потенциал, который можно определить как энергию, которую необходимо затратить, чтобы добавить в систему ещё одну частицу.

ru.knowledgr.com

В математике явление Гиббса, обнаруженное и открытый вновь, является специфическим способом, которым серия Фурье кусочной непрерывно дифференцируемой периодической функции ведет себя одним прыжком неоднородность. У энной частичной суммы ряда Фурье есть большие колебания около скачка, который мог бы увеличить максимум частичной суммы выше той из самой функции. Проскакивание не вымирает, когда частота увеличивается, но приближается к конечному пределу. Этот вид поведения также наблюдали экспериментальные физики, но, как полагали, происходил из-за недостатков в измерительных приборах.

Это одна причина звонящих экспонатов в обработке сигнала.

Описание

Явление Гиббса включает и факт, что Фурье суммирует проскакивание одним прыжком неоднородность, и что это проскакивание не вымирает, когда частота увеличивается.

Эти три картины справа демонстрируют явление для прямоугольной волны (высоты), чье расширение Фурье —

Более точно это — функция f, который равняется между и и между и для каждого целого числа n; таким образом у этой прямоугольной волны есть неоднородность скачка высоты в каждом целом числе, многократном из.

Как видно, как число повышений условий, ошибка приближения уменьшена по ширине и энергия, но сходится к фиксированной высоте. Вычисление для прямоугольной волны (см. Zygmund, парня. 8.5., или вычисления в конце этой статьи), дает явную формулу для предела высоты ошибки. Оказывается, что ряд Фурье превышает высоту прямоугольной волны

или приблизительно 9 процентов. Более широко, в любом пункте скачка кусочной непрерывно дифференцируемой функции со скачком a, энный частичный ряд Фурье будет (для очень большого n), промахиваются по этому скачку приблизительно в одном конце и отклонении от номинала это той же самой суммой в другом конце; таким образом «скачок» в частичном ряду Фурье также будет приблизительно на 9% больше, чем скачок в оригинальной функции. В местоположении самой неоднородности частичный ряд Фурье будет сходиться к середине скачка (независимо от того, что фактическое значение оригинальной функции в этом пункте). Количество

иногда известен как постоянный Уилбрахам-Gibbs.

История

Явление Гиббса было сначала замечено и проанализировано неясным Генри Вилбрэхэмом. Он опубликовал работу на нем в 1848, которая осталась незамеченной математическим миром. Альберт А. Майкельсон разработал устройство в 1898, которое могло вычислить и повторно синтезировать ряд Фурье. Широко распространенный миф говорит, что, когда коэффициенты Фурье для прямоугольной волны были введены к машине, граф будет колебаться в неоднородностях, и что, потому что это было физическое устройство, подвергающееся производству недостатков, Майкельсон был убежден, что проскакивание было вызвано ошибками в машине. Фактически графы, произведенные машиной, не были достаточно хороши, чтобы показать явление Гиббса ясно, и Майкельсон мог не заметить его, когда он не упомянул об этом эффекте в его статье о его машине или его более поздних письмах Природе. Вдохновленный некоторой корреспонденцией в Природе между Майкельсоном и Любовью о сходимости серии Фурье функции прямоугольной волны, в 1898 J. Виллард Гиббс издал короткое примечание, в котором он рассмотрел то, что сегодня назовут пилообразной волной и указало на важное различие между пределом графов частичных сумм ряда Фурье и графом функции, которая является пределом тех частичных сумм. В его первом письме Гиббс не заметил явление Гиббса, и предел, который он описал для графов частичных сумм, был неточен. В 1899 он издал исправление, в котором он описал проскакивание при неоднородности (Природа: 27 апреля 1899, p. 606). В 1906 Максим Бошер дал подробный математический анализ того проскакивания, которое он назвал «явлением Гиббса».

Объяснение

Неофициально, это отражает трудность, врожденную от приближения разрывной функции конечной серией непрерывного синуса и волн косинуса. Важно поставить акцент на слове, конечном, потому что даже при том, что каждая частичная сумма ряда Фурье промахивается по функции, которую это приближает, предел частичных сумм не делает. Ценность x, где максимальное проскакивание достигнуто, придвигается поближе и ближе к неоднородности, поскольку число условий суммировало увеличения так, снова неофициально, как только проскакивание прошло особым x, сходимость в ценности x возможна.

Нет никакого противоречия в проскакивании, сходящемся к сумме отличной от нуля, но пределу частичных сумм, имеющих проскакивание, потому что, где то проскакивание происходит шаги. У нас есть pointwise сходимость, но не однородная сходимость. Для кусочной функции C ряд Фурье сходится к функции в каждом пункте кроме в неоднородностях скачка. В самих неоднородностях скачка предел будет сходиться к среднему числу ценностей функции по обе стороны от скачка. Это — последствие теоремы Дирихле.

Явление Гиббса также тесно связано с принципом, что распадом коэффициентов Фурье функции в бесконечности управляет гладкость той функции; у очень гладких функций будут очень быстро распадающиеся коэффициенты Фурье (приводящий к быстрой сходимости ряда Фурье), тогда как у разрывных функций будут очень медленно распадающиеся коэффициенты Фурье (то, чтобы заставлять ряд Фурье сходиться очень медленно). Отметьте, например, что коэффициенты Фурье 1, −1/3, 1/5. прерывистой прямоугольной волны, описанной выше распада только с такой скоростью, как гармонический ряд, который не является абсолютно сходящимся; действительно, вышеупомянутый ряд Фурье, оказывается, только условно сходящийся для почти каждой ценности x. Это обеспечивает частичное объяснение явления Гиббса, так как ряд Фурье с абсолютно сходящимися коэффициентами Фурье был бы однородно сходящимся M-тестом Вейерштрасса и таким образом будет неспособным показать вышеупомянутое колебательное поведение. К тому же, это

невозможно для разрывной функции иметь абсолютно сходящиеся коэффициенты Фурье, так как функция таким образом была бы однородным пределом непрерывных функций и поэтому была бы непрерывна, противоречие. Посмотрите больше об абсолютной сходимости ряда Фурье.

Решения

На практике трудности, связанные с явлением Гиббса, могут быть улучшены при помощи более гладкого метода последовательного суммирования Фурье, такого как суммирование Fejér или суммирование Риеса, или при помощи приближения сигмы. Используя небольшую волну преобразовывают с основными функциями Хаара, явление Гиббса не происходит в случае непрерывных данных в неоднородностях скачка и минимально в дискретном случае в больших точках перехода. В анализе небольшой волны это обычно упоминается как явление Longo.

Формальное математическое описание явления

Позвольте быть кусочной непрерывно дифференцируемой функцией, которая является периодической с некоторым периодом. Предположим, что в некоторый момент, левый предел и правильный предел функции отличаются промежутком отличным от нуля:

Для каждого положительного целого числа N ≥ 1, позвольте S f быть Энным частичным рядом Фурье

\frac <1> <2>a_0 + \sum_

где коэффициенты Фурье даны обычными формулами

Тогда у нас есть

Более широко, если какая-либо последовательность действительных чисел, которая сходится к как, и если промежуток положительного тогда

Если вместо этого промежуток отрицательного, нужно обменяться пределом, выше с низшим пределом, и также обменяться

≤ и знаки ≥, в вышеупомянутых двух неравенствах.

Объяснение обработки сигнала

С точки зрения обработки сигнала явление Гиббса — ответ шага фильтра нижних частот, и колебания называют, звоня или звоня экспонаты. Усечение Фурье преобразовывает сигнала на реальной линии, или серия Фурье периодического сигнала (эквивалентно, сигнала на круге) соответствует отфильтровыванию более высоких частот идеалом (кирпичная стена) low-pass/high-cut фильтр. Это может быть представлено как скручивание оригинального сигнала с ответом импульса фильтра (также известный как ядро), который является функцией sinc. Таким образом явление Гиббса может быть замечено как результат скручивания функции шага Heaviside (если периодичность не требуется), или прямоугольная волна (если периодический) с sinc функционируйте: колебания в функции sinc вызывают рябь в продукции.

В случае скручивания с функцией шага Heaviside получающаяся функция — точно интеграл функции sinc, интеграл синуса; для прямоугольной волны как просто не заявлено описание. Для функции шага величина отклонения от номинала — таким образом точно интеграл (левого) хвоста, объединяясь к первому отрицательному нолю: для нормализованного sinc периода выборки единицы это — проскакивание, имеет соответственно ту же самую величину: интеграл правого хвоста, или, который составляет ту же самую вещь, различие между интегралом от отрицательной бесконечности до первого положительного ноля, минус 1 (непромахивающаяся стоимость).

Проскакивание и отклонение от номинала могут быть поняты таким образом: ядра обычно нормализуются, чтобы иметь интеграл 1, таким образом, они приводят к отображению постоянных функций к постоянным функциям – иначе у них есть выгода. Ценность скручивания в пункте — линейная комбинация входного сигнала с коэффициентами (веса) ценности ядра.

Если ядро будет неотрицательным, такой что касается Гауссовского ядра, то ценность фильтрованного сигнала будет выпуклой комбинацией входных ценностей (коэффициенты (ядро) объединяются к 1, и неотрицательные), и таким образом упадет между минимумом и максимумом входного сигнала – это не недостаточно поднимется или промахнется. Если с другой стороны ядро примет отрицательные величины, такие как функция sinc, то ценность фильтрованного сигнала вместо этого будет аффинной комбинацией входных ценностей и может упасть за пределами минимума и максимума входного сигнала, приводящего к отклонению от номинала и проскакиванию, как в явлении Гиббса.

Взятие более длительного расширения – сокращающийся в более высокой частоте – соответствует в области частоты расширению кирпичной стены, которая во временном интервале соответствует сужению функции sinc и увеличению ее высоты тем же самым фактором, оставляя интегралы между соответствующими пунктами неизменными. Это — общая особенность Фурье, преобразуйте: расширение в одной области соответствует сужению и увеличению высоты в другом. Это приводит к колебаниям в sinc быть более узким и более высоким и, в фильтрованной функции (после скручивания), колебания урожаев, которые являются более узкими и таким образом имеют меньше области, но не уменьшают величину: отключение в любой конечной частоте приводит к функции sinc, однако узкой, с теми же самыми интегралами хвоста. Это объясняет постоянство проскакивания и отклонения от номинала.

Явление Image:Gibbs 10.svg|Oscillations может интерпретироваться как скручивание с sinc.

Явление Image:Gibbs 50.svg|Higher сокращение делает sinc более узкое, но более высокое, с теми же самыми интегралами хвоста величины, приводя к более высоким колебаниям частоты, но чья величина не исчезает.

Таким образом особенности явления Гиббса интерпретируются следующим образом:

  • отклонение от номинала происходит из-за ответа импульса, имеющего отрицательный интеграл хвоста, который возможен, потому что функция берет отрицательные величины;
  • проскакивание возмещает это, симметрией (полный интеграл не изменяется при фильтрации);
  • постоянство колебаний состоит в том, потому что увеличение сокращения сужает ответ импульса, но не уменьшает его интеграл – колебания таким образом двигают неоднородность, но не уменьшаются в величине.

Пример прямоугольной волны

Мы теперь иллюстрируем вышеупомянутое явление Гиббса в случае прямоугольной волны, описанной ранее. В этом случае период L, неоднородность в ноле и скачке равного.

Поскольку простота позволила нам просто иметь дело со случаем, когда N даже (случай странного N очень подобен). Тогда

Замена, мы получаем

как требуется выше. Затем, мы вычисляем

Если мы вводим нормализованную функцию sinc, мы можем переписать это как

Но выражение в квадратных скобках — числовое приближение интеграции к интегралу (более точно, это — приближение правила середины с интервалом). Так как функция sinc непрерывна, это приближение сходится к фактическому интегралу

как. Таким образом у нас есть

\lim_ S_N f\left (\frac <2\pi><>на 2 Н \\право)

& = \frac <\\пи> <2>\int_0^1 \operatorname (x) \, дуплекс \\[8 ПБ]

& = \frac <1> <2>\int_0^\\пи \frac <\\грех (t)>\\dt \quad = \quad \frac <\\пи> <4>+ \frac <\\пи> <2>\cdot (0.089490\dots),

который был тем, что требовалось в предыдущей секции. Подобное вычисление показывает

Последствия

В обработке сигнала явление Гиббса — нежелательный, потому что это вызывает экспонаты, а именно, обрезающие от проскакивания и отклонения от номинала, и звонящие экспонаты от колебаний. В случае фильтрации низкого прохода они могут быть уменьшены или устранены при помощи различных фильтров нижних частот.

В MRI явление Гиббса вызывает экспонаты в присутствии смежных областей заметно отличающейся интенсивности сигнала. С этим обычно сталкиваются в спинном отображении Г-НА, где явление Гиббса может моделировать появление syringomyelia.

Способ выявления искажений, вызванных эффектом гиббса, при jpeg-кодировании

Владельцы патента RU 2365994:

Изобретение относится к цифровой фотографии, а именно к анализу качества цифрового изображения, и может быть использовано при выявлении искажений при JPEG-кодировании. Способ выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса, при JPEG-кодировании заключается в оценке размера кодировочного блока по отношению к заданному разрешению печатающего устройства; определении для каждого кодировочного блока в случае, если размер блока делает его различимым для человеческого глаза при требуемом разрешении печати, приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса; установлении на нуль соответствующих элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, в случае, если они имеют значения ниже предопределенного порога; вычислении для ненулевых элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, соответствующей дисперсии искажения, для остальных элементов дисперсию обнуляют. 3 з.п. ф-лы, 6 ил.

Изобретение относится к цифровой фотографии, а более конкретно к анализу качества цифрового изображения, и может найти применение для эффективного выявления искажений при использовании JPEG-кодирования.

Методика кодирования, известная как JPEG (термин JPEG образован от английского названия Объединенной Группы Экспертов-Фотографов), была принята в качестве стандарта (см. http://www.jpeg.org/) [1], который широко используется для сжатия цифровых данных, образующих фотоизображение. Обычно, чтобы добиться заметного коэффициента сжатия, применяют дискретное косинусное преобразование (DCT) и квантование. При JPEG-кодировании изображение разбивают на мелкие блоки, обычно имеющие размер 8×8 пикселей, и к этим блокам применяют кодировочное преобразование, а именно дискретное косинусное преобразование (DCT). В результате кодировочного преобразования вместо конкретного числа пикселей получают эквивалентное число коэффициентов преобразования (DCT коэффициенты). Затем эти коэффициенты квантуются.

Квантование — это операция, заключающаяся в том, что DCT коэффициенты делят нацело на матрицу квантования, чье значение соответствует каждой частоте области. За счет квантования значение частотной компоненты с малым DCT коэффициентом становится нулевым. Вообще энергия концентрируется в низкочастотной области сигнала изображения, и, следовательно, высокочастотная составляющая удаляется посредством этой операции.

Таким образом, некоторый объем информации об изображении утрачивается в процессе квантования, вызывая появление так называемых блочных артефактов (искажений) и артефактов, вызванных эффектом Гиббса, после восстановления цифрового изображения путем применения обратного кодировочного преобразования к набору квантованных коэффициентов преобразования для реконструкции кодированного изображения. Искажения проявляются в районе границ смежных блоков в виде неоднородности (скачка) яркости, контраста и/или цвета. Искажения, вызванные эффектом Гиббса, проявляются на резких границах яркости (краях объектов) и обычно представляют собой нечеткие, серые линии вблизи края. С увеличением коэффициента сжатия проявление этих искажений также увеличивается.

Чтобы уменьшить искажения, вызванные эффектом Гиббса, было предложено большое количество различных алгоритмов и способов. Однако большинство решений основано на выявлении краев, что является сложной и ненадежной процедурой, оптимальные параметры которой неизвестны.

Решение, предложенное в патенте США №6,845,180 [1], связано с обнаружением областей, на которых возможны искажения, вызванные эффектом Гиббса. Изобретатель пришел к выводу о том, что эти искажения можно предвидеть путем выявления тех областей изображения, которые имеют относительно высокое значение яркости и высокую контрастность. Блоки, которые могут быть подвержены таким искажениям, выявляются путем сравнения яркости каждого пикселя и его соседа по горизонтали с первым пороговым значением Т1 и абсолютной величиной яркостного контраста между соседними по горизонтали пикселями со вторым пороговым значением Т2. Если одно из значений яркости превышает первый порог, и разность больше, чем второй порог, пиксель маркируют. Ту же самую проверку проводят с вертикальным соседом. Если число маркированных (отмеченных) пикселей превышает третий порог, блок считается кандидатом на последующую обработку.

В патенте США №6,707,952 [2] блоки-кандидаты на последующую обработку отбираются в том случае, если они имеют доминирующий край. Для этого используются маски горизонтального и вертикального края: [-101] и [-101] T. Абсолютные значения величин разностей пикселей накапливаются в двух переменных, для разностей по горизонтали и по вертикали. Направление края определяют путем сравнения этих двух величин друг с другом, при этом если «горизонтальная» сумма больше, чем «вертикальная», то предполагается присутствие горизонтального края и наоборот. Максимум вычисленных значений называется «содержимым края», и после сопоставления «содержимого края» с заданным порогом гладкости решают, является ли самый сильный край доминантой или нет (если «да», то текущий блок обрабатывают с целью удаления искажения).

В международной патентной публикации № WO 99/22509 [3] упоминаются так называемые «блочный семафор» и «семафор звона», которые определяют, нуждается ли текущий кодирующий блок в последующей обработке. Блочный семафор и семафор звона обнаруживают путем анализа распределения обратных коэффициентов квантования, которые являются коэффициентами дискретно-косинусного преобразования (DCT), после того как сжатый двоичный поток подвергнется обратному квантованию. «Предполагая, что самый верхний с левой стороны пиксель блока среди 64 пикселей, составляющих блок размером 8×8 пикселей, является пикселем А, пиксель справа от пикселя А является пикселем В, и пиксель ниже пикселя А является пикселем С, семафор звона (RS) устанавливают на «I», что означает, что требуется последующая обработка, если какой-либо из пикселей, помимо пикселей А, В и С обратного квантования блока 8×8 пикселей, имеет ненулевой коэффициент». Однако это простое решение обеспечивает недостаточную точность и приводит к получению многочисленных ложных срабатываний.

В патенте США №6,748,113 [4] присутствие искажения, вызванного эффектом Гиббса, выявляется путем классификации кодировочного блока по трем классам, используя четыре предопределенных процедуры. Классификация в любую из процедур заключается в сравнении абсолютных значений коэффициентов DCT в заштрихованных областях с некоторой предопределенной величиной.

В патенте США №7,050,649 [5] присутствие искажений, вызванных эффектом Гиббса, выявляется путем сравнения локального градиента, вычисленного с использованием четырех смежных выборок изображения, с предопределенным порогом.

В патенте США №7,003,173 [6] первые края вычисляют, используя фильтр Roberts. Затем края классифицируют в те края, которые нуждаются в устранении искажений, вызванных эффектом Гиббса, края, которые нуждаются в повышении четкости, или края, которые не нуждаются ни в том, ни в другом, при этом классификация основана на «силе» края и «True Edge Threshold» (пороге истинного края), а также на признаке, является ли текущий край «истинным визуальным краем» или нет.

В патенте США №6,807,317 [7] выявляют первые края и сглаживают для удаления искажений.

Различные метрики для искажений, вызванных эффектом Гиббса, были предложены в литературе, они основаны, главным образом, на обнаружении края и оценке колебаний около основных краев.

В публикации Feng, X., J.P.Allebach, «Measurement of ringing artifacts in JPEG images». Digital Publishing. Edited by Allebach, Jan P.; Chao, Hui. Proceedings of the SPIE, Volume 6076, pp.74-83 (2006). [8] предлагается выявлять ложные блоки, содержащие искажения, вызванные эффектом Гиббса, путем анализа усредненного краевого градиента в блоке. Метрики для искажений, вызванных эффектом Гиббса, основываются на измерении локального воздействия, как усредненного абсолютного значения градиентов яркости, с учетом концепции «Едва Различимых Отличий» по Chou и Li из статьи С. Chou and Y. Li, «A perceptually tuned sub-band image coder based on the measure of just-noticeable distortion profile,» IEEE Trans. Circuits Syst. Video Technol. 5(6), pp.467-476, 1995 [9].

В работе Oguz, S.H.; Hu, Y.H.; Nguyen, T.Q, «Image coding ringing artifact reduction using morphological post-filtering», Multimedia Signal Processing, 1998 IEEE Second Workshop on Volume, Issue, 7-9 Dec 1998 Page(s): 628-633 [10] предложено использовать так называемую «Метрику Измерения Искажений, вызванных эффектом Гиббса» (VRM), основанную на усредненной локальной дисперсии в области основных краев. Сначала создают маску VRM путем выполнения операций по обнаружению краев и морфологических операций над краями. Затем строят локальную усредненную дисперсию вокруг краев, избегая слишком плавных краев.

В статье Ying-Wen Chang and Yen-Yu Chen, «Alleviating-Ringing-Artifact Filter Using Voting Scheme», ICGST International Journal on Graphics, Vision and Image Processing, Special Issue on Applicable Image Processing [11] изображение разбивается на гладкие, краевые или текстурированные области путем применения метода дерева. Способ устранения искажений, вызванных эффектом Гиббса, в этом случае основан на применении морфологических операций. Для выбора оптимального структурирующего элемента для морфологической операции применяют голосование.

Способ, описанный в статье Marziliano, P., Dufaux, F., Winkler, S., and T. Ebrahimi «Perceptual Blur and Ringing Metrics: Application to JPEG 2000», Signal Processing: Image Communication, Volume 19, No 2, February 2004, pp.163-172 (10) [12], основан на вычислении разности между исходным и кодированным изображениями. Предлагается определить метрику искажений, вызванных эффектом Гиббса, для каждого значительного вертикального края. Сначала определяют вертикальные края в исходном изображении (слабые края и шум вновь отсеиваются путем применения порогового значения), и вычисляют разность между обработанным изображением и исходным. Затем каждый ряд в обработанном изображении сканируют и измеряют искажения вокруг каждого края.

В докладе S.Yang, Y.Hu, T.Q.Nguyen, and D.L.Tull, «Maximum-likelihood parameter estimation for image ringing-artifact removal,» IEEE Trans. Circuits Syst. Video TechnoL, vol.11, no. 8, pp.963-973, Aug 2001 [13] авторы предлагают применить кластеризацию методом k-средних к блоку, содержащему искажения, вызванные эффектом Гиббса, для создания плоскостной модели, заменяющей волнистую поверхность плоскостью, для оценки интенсивности исходного (несжатого) изображения. Авторы исходят из предположения, что оценка исходного изображения представляет собой монтаж из плоских поверхностей. Чтобы обрабатывать широкий класс изображений, плоскостную модель применяют локально к малым областям изображения. Прежде всего определяют число классов для различных кусочков изображения (для областей с текстурой и для областей, содержащих только резкие края). Затем авторы сводят модель к группированию по трем классами для простоты расчетов. Этот способ наиболее близок к заявляемому изобретению.

Все упомянутые способы требуют весьма высоких вычислительных ресурсов, поскольку либо применяют операцию по выявлению краев, либо предусматривают использование исходного (несжатого) изображения.

Задача, на решение которой направлено заявляемое изобретение, состоит в разработке такого способа выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса, при JPEG-кодировании, который позволял бы обойтись без операции по обнаружению краев и без проведения сравнительного анализа кодированного изображения с исходным изображением.

Технический результат достигается за счет использования нового способа, заключающегося в том, что выполняют следующие операции:

— оценивают размер кодировочного блока по отношению к заданному разрешению печатающего устройства;

— определяют для каждого кодировочного блока в случае, если размер блока делает его различимым для человеческого глаза при требуемом разрешении печати, приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса;

— устанавливают на нуль соответствующие элементы приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, в случае, если они имеют значения ниже предопределенного порога;

— вычисляют для ненулевых элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, соответствующую дисперсию искажения, для остальных элементов дисперсию считают нулевой (обнуляют).

Для эффективного функционирования заявляемого способа важно, чтобы приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, для текущего кодировочного блока изображения вычисляли на основе числа ненулевых DCT коэффициентов, наибольшего индекса ненулевого DCT коэффициента при зигзагообразном сканировании текущего кодировочного блока изображения и восьми кодировочных блоков изображения, прилегающих к текущему кодировочному блоку изображения.

Для эффективного функционирования заявляемого способа важно, чтобы предопределенный порог вычисляли на основе максимального значения приблизительной метрики различимости искажения помимо всех других значений.

Для эффективного функционирования заявляемого способа важно, чтобы дисперсию искажения вычисляли на основе группирования (кластеризации) интенсивностей декодированного изображения.

Заявляемый способ применим как для черно-белых, так и для цветных изображений.

Новизна заявляемого изобретения подтверждается следующими факторами:

— в заявляемом изобретении не применяется поиск краев;

— вероятность присутствия искажения, вызванного эффектом Гиббса, рассчитывают в частотной области на основе простой и эффективной формулы;

— заявляемый способ определения серьезности (силы) искажения, вызванного эффектом Гиббса, основан на кластеризации интенсивностей пикселей.

Для лучшего понимания существа заявляемого изобретения далее приводится его детальное описание с привлечением графических материалов.

Фиг.1 — Схема основных компонентов системы, реализующей заявляемый способ.

Фиг.2 — Основные операции процедуры выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса.

Фиг.3 — Процедура вычисления приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, этап 202.

Фиг.4 — Базисные функции решетки косинусного преобразования с надпечатанным индексом зигзагообразного сканирования на каждой базисной функции, аналогично упорядочению блока 8×8 коэффициентов DCT после квантования.

Фиг.5 — Процедура вычисления дисперсии искажения, этап 204.

Фиг.6 — Результаты выявления искажения, вызванного эффектом Гиббса, где исходное (сжатое) изображение помещено сверху, а дисперсия искажения надпечатана на нижнем изображении.

На Фиг.1 представлена блок-схема основных компонентов системы, с помощью которой реализуется заявляемый способ. Функционирование системы управляется процессором 101, который выполняет код программы, записанный в памяти 102. В памяти 102 хранится исходное черно-белое или цветное фотоизображение. Изображение обрабатывают и передают на устройство 104 отображения. Обмен информацией осуществляется через шину 106 данных.

На Фиг.2 представлены основные этапы обнаружения искажений. На этапе 201 определяют, различим ли кодировочный блок изображения человеческим глазом при данном разрешении печатающего устройства. Пусть разрешение печатающего устройства равно Х точек/дюйм (обычно 300-400 точек/дюйм), размер пикселя кодировочного блока равен 8 пикселям, тогда ширина и высота блока при печати равны 8/Х дюймов. В случае, если этот размер неразличим человеческим глазом, изображение далее не обрабатывают, поскольку блочные искажения в этом случае также неразличимы, и никакие искажения окружения не обнаружены, этап 205.

В противном случае выполняют следующие процедуры. На этапе 202 для каждого кодировочного блока изображения вычисляют приблизительную метрику искажения, вызванного эффектом Гиббса. Детали этапа 202 приведены ниже. На этапе 203 вычисленная приблизительная метрика искажения, вызванного эффектом Гиббса, сопоставляется с пороговым значением таким образом, что все элементы, которые меньше, чем предопределенное пороговое значение, обнуляются. Пороговое значение определено как максимальное значение среди всех значений приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, умноженных на число, которое меньше единицы, в предпочтительном варианте реализации изобретения это значение равно 0,5. На этапе 204 для всех блоков, чья соответствующая приблизительная метрика различимости искажения больше нуля, осуществляют вычисление дисперсии искажения. Детали этапа 204 представлены ниже. В результате устанавливают, что все блоки, имеющие ненулевую дисперсию, подвержены искажениям, вызванным эффектом Гиббса, в то время как остальные блоки не подвержены данным искажениям.

На Фиг.3 представлена процедура вычисления приблизительной метрики различимости искажений, вызванных эффектом Гиббса, этап 202. На этапе 301 вычисляют, начиная от первого кодировочного блока изображения, приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, для текущего кодировочного блока изображения.

Модель появляющихся искажений, вызванных эффектом Гиббса, может быть сформулирована в соответствии со следующими правилами.

Текущий блок (подверженный данному искажению) имеет высокую активность, то есть он представлен достаточным числом ненулевых DCT коэффициентов.

По меньшей мере, один из его восьми соседей (сверху, снизу, слева или справа, слева-вверху, слева-внизу, справа-вверху, справа-внизу) представляет собой гладкий блок (малое число ненулевых коэффициентов).

Текущий блок сжат, и, в основном, причина искажений заключается в квантовании, это означает, что число нулевых коэффициентов DCT также значительно.

Рассмотрим основные функции DCT и индексы зигзагообразного сканирования для JPEG кодирования. На Фиг.4 индекс зигзагообразного сканирования надпечатан на каждой базисной функции, точно так же, как блок 8х8 коэффициентов DCT упорядочивается после квантования. Для каждого обрабатываемого блока 8×8 изображения найдены следующие значения:

1. Максимальный индекс ненулевого коэффициента DCT, если блок организован с применением зигзагообразного порядка в векторе, imax.

2. Число ненулевых DCT коэффициентов NDCT.

3. Те же самые значения для его восьми соседей (смежных блоков), 8×8 пикселей, сверху, снизу, слева, справа, слева-вверху, слева-внизу, справа-вверху, справа-внизу. , k=0…7.

Приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, RM, вычисляют для текущего кодировочного блока изображения, используя следующие формулы:

(64-NDCT) — число нулевых DCT коэффициентов в текущем блоке. Чем больше число, тем выше сжатие;

θ(G1 — среднее значение):

Рассчитывают дисперсию между фактическими интенсивностями пикселя и «оценками для плоских поверхностей», полученными посредством кластеризации. В результате оценка силы искажения, вызванного эффектом Гиббса, выдается как дисперсия в блоке, подверженном искажениям.

На этапе 504 способ переходит к следующему кодировочному блоку изображения. На этапе 505 проверяют, имеются ли еще необработанные блоки изображения. Если таких блоков нет, то выполнение способа завершают. В противном случае приступают к рассмотрению следующего блока изображения и повторяют этапы 501-505. В результате делают заключение о том, что все блоки, которые имеют ненулевую дисперсию, подвержены искажениям, вызванным эффектом Гиббса, а остальные блок не подвержены данным искажениям.

Предложенный способ применим для цифровых камер, слайдовых сканнеров, камерафонов, принтеров или т.п.

Следует учитывать, что все вышеизложенное приведено в качестве примера реализации заявляемого способа, поэтому для специалиста в данной области должно быть ясно, что возможны различные замены, дополнения и модификации, не выходящие за объем охраны, определенный в данном описании и в прилагаемой формуле изобретения.

1. Способ выявления искажений, вызванных эффектом Гиббса, при JPEG-кодировании, заключающийся в выполнении следующих операций:
оценивают размер кодировочного блока по отношению к заданному разрешению печатающего устройства;
определяют для каждого кодировочного блока, в случае, если размер блока делает его различимым для человеческого глаза при требуемом разрешении печати, приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса;
устанавливают на нуль соответствующие элементы приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, в случае, если они имеют значения ниже предопределенного порога;
вычисляют для ненулевых элементов приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, соответствующую дисперсию искажения, для остальных элементов дисперсию обнуляют.

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что приблизительную метрику различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, для текущего кодировочного блока изображения вычисляют на основе числа ненулевых DCT коэффициентов, наибольшего индекса ненулевого DCT коэффициента при зигзагообразном сканировании текущего кодировочного блока изображения и восьми кодировочных блоков изображения, прилегающих к текущему кодировочному блоку изображения.

3. Способ по п.1, отличающийся тем, что предопределенный порог вычисляют на основе максимального значения приблизительной метрики различимости искажения, вызванного эффектом Гиббса, помимо всех других значений.

4. Способ по п.1, отличающийся тем, что дисперсию искажения вычисляют на основе кластеризации интенсивностей декодированного изображения.

Каждый электрик должен знать:  Построение схем внешнего электроснабжения промышленных предприятий и коммунальных хозяйств
Добавить комментарий
Классы МПК: G06K9/40 фильтрация помех
H04N1/409 подчеркивание контуров или деталей; подавление шумов или уменьшение погрешности
Автор(ы): Толстая Екатерина Витальевна (RU)
Патентообладатель(и): Корпорация «САМСУНГ ЭЛЕКТРОНИКС Ко., Лтд.» (KR)
Приоритеты: