Электрические цепи с распределенными параметрами основные определения


СОДЕРЖАНИЕ:

Электрические цепи с распределенными параметрами основные определения

В данной главе рассмотрены основы теории установившихся процессов в электрических и магнитных цепях, содержащих линии с распределенными параметрами.

Электрическими линиями с распределенными параметрами называют такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к соседней точке, т. е. являются функциями времени и пространственной координаты.

Под магнитными линиями с распределенными параметрами понимают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней (см. § 14.24).

Эффект непрерывного изменения тока (потока) и электрического (магнитного) напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными элементами (рис. 11.1, а).

На схеме рис. 11.1, а изображен участок линии с распределенными параметрами, через обозначен бесконечно малый элемент длины линии.

Сопротивления называют продольными, в них включены сопротивления и прямого и обратного проводов; сопротивления называют поперечными.

В результате утечки тока через сопротивление ток Аналогично, ток и т. д. Напряжение между точками а и b не равно напряжению между точками с и d и т. д.

В электрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии.

В магнитных линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротивления самих магнитных стержней, образующих магнитную линию, а поперечные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины. Участок линии рис. 11.1, а однороден, если

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны или поперечные сопротивления неодинаковы.

Кроме того, линии с распределенными параметрами можно подразделить на две большие группы: нелинейные и линейные.

В нелинейных линиях с распределенными параметрами продольные и (или) поперечные сопротивления являются функциями протекающих по ним токов, в линейных продольные и поперечные сопротивления не являются функциями протекающих через них токов.

Примером нелинейной электрической линии с распределенными параметрами является электрическая линия передачи высокого напряжения при наличии между проводами линии тихого электрического разряда (явление короны на проводах). В этом случае емкость между противостоящими друг другу участками линии является функцией напряжения между этими участками.

Примером нелинейной магнитной линии с распределенными параметрами является линия, образованная параллельно расположенными магнитными сердечниками, которые в процессе работы линии могут насыщаться.

Когда используют термин линия с распределенными параметрами, то обычно его мысленно связывают с мощными линиями Передачи электрической энергии на большие расстояния, с телефонными и телеграфными воздушными и кабельными линиями, с рельсовыми линиями автоблокировки на железнодорожном транспорте, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками.

В то же время с линиями с распределенными параметрами имеют дело и тогда, когда линий в буквальном смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная индуктивная катушка при достаточно высоких частотах представляет собой линию с распределенными параметрами. Картина электрического и магнитного полей катушки показана на рис. 11.1, б. Линии напряженности электрического поля Е показаны пунктиром, линии напряженности магнитного поля Е — сплошными линиями.

Схема замещения катушки показана на рис. 11.1, в. Из рисунка видно, что кроме индуктивностей в схеме есть межвитковые емкости и емкости на корпус прибора (на землю).

Если по катушке проходит переменный ток, то через межвитковые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и том же напряжении между соседними витками ток через емкости тем больше, чем выше частота переменного тока. При низкой частоте (десятки, сотни, тысячи герц) ток через емкости несоизмеримо мал по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же частота тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи через емкости могут во много раз превышать токи через витки катушки. В этом случае вся катушка в целом будет оказывать прохождению переменного тока емкостное, а не индуктивное сопротивление (количественные изменения перешли в качественные). При промежуточных частотах порядка нескольких мегагерц (когда линейные размеры катушки соизмеримы с длиной волны) индуктивная катушка является типичной линией с распределенными параметрами. Если индуктивная катушка намотана на стальной сердечник, который способен насыщаться, и частота тока достаточно велика, то все устройство в целом представляет собой сложную совокупность из электрической и магнитной нелинейных цепей с распределенными параметрами.

В курсе ТОЭ изучают только основы однородных линейных цепей с распределенными параметрами. Вся теория излагается применительно к электрическим линиям с распределенными параметрами на переменном токе. Теория однородных линейных электрических цепей с распределенными параметрами на постоянном токе непосредственно следует из теории цепей переменного тока, если принять угловую частоту равной нулю.

Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе в значительной мере аналогична теории однородных линейных электрических линий с распределенными параметрами, только вместо тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток, вместо электрического напряжения — магнитное напряжение, вместо продольного активного сопротивления — продольное магнитное сопротивление, вместо поперечной электрической проводимости — поперечная магнитная проводимость.

С распределенными параметрами

Схему замещения линии электропередач с распределенными параметрами можно представить в виде совокупности бесконечно малых участков длиной dx, где х – расстояние от начала линии (рис.14.1).

Первичными параметрами линии являются R, L, G, С0. Эти параметры обусловлены конструктивными особенностями линии.

R – активное сопротивление, обусловленное тепловыми потерями в проводах и поверхностными эффектами.

L – индуктивность цепи, определяемая магнитным потоком, который сцепляется с контуром тока, образуемым токоведущими проводами.

G – поперечная проводимость или проводимость утечки, вызванная несовершенством изоляции проводов, причем в данном случае GR, так как эти параметры обусловлены различными причинами и не связаны друг с другом.

С – емкость цепи, обусловленная емкостью между проводами, емкостью проводов по отношению к земле.

Индекс «0» указывает на то, что параметры приходятся на единицу длины линии (погонные параметры).

Линия с распределенными параметрами является однородной, если продольные и поперечные параметры всех элементарных участков линии одинаковой длины равны.

Параметры R, L, G, C называются основными или первичными параметрами линии с распределенными параметрами. Вторичными или характеристическими параметрами линии являются: волновое сопротивление ZВ, коэффициент распространения γ, коэффициент затухания α, коэффициент фазы β.

Будем отсчитывать координату х от начала линии. Величина тока в проводах линии будет зависеть не только от времени, но и от координаты, поскольку на каждом участке dx ток ответвляется от одного провода к другому в виде тока смещения

и тока проводимости

Поэтому если ток в точке х равен i,то в точке х+dx он уже будет равен . Уравнение для приращения тока на элементе длины dx запишется в следующем виде:

Также и напряжение между проводами зависит не только от времени, но и от координаты, поскольку на каждом участке dx происходит падение напряжения на сопротивлении пары проводов

и на индуктивности

В соответствии со вторым законом Кирхгофа уравнение для напряжения можно записать в следующем виде:

Уравнения (14.1) и (14.2) называются телеграфными уравнениями.

Решение уравнений однородной линии при установившемся

Синусоидальном режиме

Рассмотрим решение телеграфных уравнений при установившемся синусоидальном режиме. В этом случае мы можем перейти к комплексам напряжения и тока, которые не зависят от времени, следовательно, уравнения в частных производных сводятся к обычным дифференциальным уравнениям:

Продифференцируем первое уравнение по х:

Подставим в него из второго уравнения:

Величина γ называется коэффициентом распространения. В общем случае это величина комплексная: γ = α + јβ, где α – коэффициент затухания, β – коэффициент фазы.

Решение этого уравнения ищем в виде

Дифференцируя это выражение, находим уравнение для тока

где – волновое или характеристическое сопротивление линии.

Определим постоянные интегрирования. Обозначим индексом 1 ток и напряжение в начале линии, а индексом 2 – в конце. Будем считать, что ток и напряжение в начале линии (при х = 0) известны, тогда

Подставим эти значения в выражения для тока и напряжения:

Воспользовавшись соотношениями Эйлера:

получим выражения для тока и напряжения в любой точке линии:

В конце линии при x = l получим:

Обычно этими уравнениями пользуются, считая известными токи и напряжения в конце линии (в нагрузке). Тогда в начале линии получим:

Система уравнений в любой точке линии будет иметь следующий вид:

При согласованных нагрузках, когда Z1 = Z2= ZB, уравнения линии сводятся к более простому виду:

Отношение мощностей в начале и конце линии выражается соотношением

Волновое сопротивление и коэффициент распространения – вторичные параметры линии – широко используются для определения эксплуатационно-технических качеств линии связи.

Волновое сопротивление – это сопротивление, которое встречает электромагнитная волна при распространении вдоль однородной линии без отражения. Оно свойственно данному типу кабеля и зависит только от первичных параметров и частоты передаваемого тока.

Коэффициент распространения характеризует потери энергии в цепи передачи – это величина комплексная и может быть записана в следующем виде: γ = α + јβ.

Соотношения токов и напряжений в начале и в конце линии можно представить в виде

Модуль этого выражения характеризует уменьшение абсолютного значения тока или напряжения при прохождении вдоль линии длиной l, коэффициент α называют коэффициентом затухания. Аргумент характеризует изменение угла векторов тока или напряжения вдоль линии, β – коэффициент фазы.

Коэффициент затухания на единицу длины линии определяется по формуле измеряется в неперах или в белах (децибелах). Для децибелов вышеприведенная формула примет вид

Коэффициент фазы, в свою очередь, зависит от первичных параметров линии. Таким образом, коэффициент затухания определяет качество и дальность связи, коэффициент фазы скорость перемещения энергии по линии связи.

Бегущие волны

Рассмотрим напряжение между проводами однородной линии. Запишем его в виде

Поскольку выражения в скобках комплексные, то их можно записать в показательной форме, обозначив

где ζ и η – аргументы комплексных выражений.

Тогда напряжение можно записать

С учетом того, что , получим

Перейдем от комплексных амплитуд к синусоидальным функциям, тогда мгновенное значение напряжения запишется в следующем виде:

Из этого выражения следует, что напряжение в любой точке линии можно рассматривать как сумму двух синусоидальных функций.

Рассмотрим подробнее первую из них

Возьмем какую-либо точку х на линии, то есть считаем, что х = const. Тогда в этой точке напряжение будет являться синусоидальной функцией времени (рис. 14.2).

Теперь зафиксируем какой-то момент времени t1= const и рассмотрим изменение напряжения вдоль линии (рис. 14.3).

В этом случае мы увидим затухающую синусоидальную волну напряжения, амплитуда которой убывает по экспоненциальному закону по мере удаления от начала линии.

Зафиксируем теперь другой момент времени t2=const и увидим, что волна напряжения сместилась к концу линии. В следующий момент она сместится еще больше, то есть волна напряжения как бы движется от начала линии к ее концу. Такая волна называется бегущей волной.

Если мы проведем аналогичный анализ для другой синусоиды

то получим так же бегущую волну, но распространяющуюся от конца линии к началу.

Волна напряжения (или тока), перемещающаяся от начала линии к ее концу, называется прямой или падающей. Волна, перемещающаяся от конца линии к началу, называется обратной или отраженной.

Таким образом, мгновенное напряжение можно рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях.

Скорость перемещения падающей волны называют фазовой скоростью. По сути, фазовая скорость – это скорость перемещения точки, фаза которой остается неизменной:

Отсюда определим фазовую скорость

Фазовая скорость обратной волны равна

Введем понятие длины волны. Обозначим λ – расстояние между двумя точками линии, в которых фазы различаются на 2π, тогда

Отсюда длина волны определится как

Появление обратной волны можно рассматривать как отражение прямой волны от конца линии. Для оценки этого явления вводятится коэффициент отражения.

Коэффициентом отражения называют отношение напряжений отраженной волны и прямой волны в конце линии

Обычно коэффициент отражения определяют через сопротивление нагрузки и волновое сопротивление линии

Если нагрузка согласованная, то есть сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению Zн= ZВ, то коэффициент отражения равен нулю р = 0 и отраженной волны не будет. В этом случае вся энергия, поступающая к приемнику, потребляется им. Этот режим наиболее оптимален, и его стараются реализовать на практике.

Если , что соответствует режиму короткого замыкания, то коэффициент отражения р = –1. Если , что соответствует режиму холостого хода, то р = 1. В обоих последних случаях энергия, поступающая к приемнику, отражается полностью и не потребляется приемником.

Линия без искажений

Волновое сопротивление и коэффициент распространения линии определяются выражениями:

Из этих выражений видно, что данные параметры зависят от частоты, поэтому условия прохождения токов различных частот вдоль длинной линии оказываются различными. Если, например, на входе линии действует сигнал, являющийся периодической несинусоидальной функцией времени, то на выходе форма сигнала будет отличаться от входной, поскольку для различных гармоник условия прохождения тока различны, то есть сигнал при передаче вдоль линии искажается.

Во многих случаях, в частности, в линиях связи, важно, чтобы информация передавалась без искажений. Для этого необходимо, чтобы волновое сопротивление ZВ, коэффициент затухания α и фазовая скорость vф не зависели от частоты. При этом коэффициент фазы β должен быть прямо пропорционален частоте.

Эти требования выполняются в том случае, если между первичными параметрами справедливо соотношение

Тогда волновое сопротивление определяется соотношением

то есть не зависит от частоты.

Выразим коэффициент распространения

Здесь , а , то есть коэффициент затухания не зависит от частоты, коэффициент фаза прямо пропорционален частоте. Фазовая скорость

Обычно в линиях

Добиться равенства в этом выражении можно, увеличивая индуктивность или проводимость, либо уменьшая сопротивление или емкость.

Уменьшения сопротивления можно добиться, увеличивая сечение проводов, но это приведет, во-первых, к увеличению расхода металла, а, следовательно, к удорожанию кабеля, во-вторых, к утяжелению несущих конструкций, что требует опять же увеличения капитальных затрат. То есть уменьшать сопротивление нецелесообразно.

Уменьшения емкости можно добиться технологически, выбирая диэлектрик с наименьшими значениями диэлектрической проницаемости, но в кабельных линиях и так используются диэлектрики с небольшими диэлектрическими проницаемостями, а уменьшить этот параметр ниже единицы невозможно. Можно увеличить расстояния между проводами, он это приведет как к увеличению габаритных размеров линии, так и к изменению других параметров.

Увеличение проводимости нецелесообразно, поскольку это приведет к ухудшению изоляционных свойств диэлектрика и к увеличению потерь.

Остается индуктивность. Таким образом, коэффициент затухания кабельных линий связи уменьшают путем искусственного увеличения индуктивности цепи, включая в линию через определенные расстояния специальные катушки индуктивности.

Кроме того, чтобы линия была неискажающей, необходимо отсутствие отражений от конца линии, для этого линия должна быть согласована. Если Zн≠ ZВ, то согласования добиваются, включая между источником и приемником согласующее устройство, которым может быть трансформатор со специально подобранным числом витков или участок линии определенной длины.

Линия без потерь

Потери энергии в линиях обусловлены нагревом проводов за счет выделения джоулева тепла при прохождении тока и за счет вихревых токов, что характеризуется первичным параметром R. Также потери могут быть вызваны токами утечки, что характеризуется проводимостью G.

Обычно в линиях связи индуктивное сопротивление превышает активное, а емкостная проводимость превышает активную, то есть

С ростом частоты разница между этими величинами становится более существенной, поэтому в ряде случаев при расчетах можно рассматривать линию как не имеющую потерь. В линии без потерь затухание отсутствует. При этом упрощаются расчетные выражения. Коэффициент распространения становится мнимой величиной, а гиперболические функции мнимого аргумента преобразуются в тригонометрические. Система уравнений для линии без потерь принимает следующий вид:

Таким обратом, основными исходными предположениями, позволяющими рассматривать линию как линию без потерь, являются пренебрежимо малые значения активных параметров линии:

В этом случае вторичные параметры линии принимают следующий вид:

Фазовая скорость определится выражением

Виду постоянства фазовой скорости отсутствуют фазовые искажения, следовательно, линия без потерь будет являться также неискажающей линией.

Дата добавления: 2020-03-27 ; просмотров: 2309 | Нарушение авторских прав

Понятие об электрических цепях с распределенными параметрами

ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Понятие об электрических цепях с распределенными параметрами

Строго говоря, всегда параметры электрической цепи в той или иной степени распределены вдоль ее участков, и только абстрагируясь от действительности можно предполагать, что такие параметры цепи как активное сопротивление – R, индуктивность – L и емкость – C сосредоточены в ее определенных участках. Во многих случаях такое допущение не приводит к существенным ошибкам в результатах проводимого анализа. Ранее мы имели дело с цепями с сосредоточенными параметрами. Однако, такой подход не всегда возможен. Например, рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь ввиду, что электрические и магнитные поля распределены по всей длине линии, и превращение электрической энергии в тепло также происходит по всей длине линии. Критерием необходимости рассматривать цепь в качестве цепи с распределенными параметрами является то, что интервал времени распространения электромагнитной волны вдоль всей цепи и интервал времени, в течение которого токи и напряжения меняются на заметную величину, должны быть соизмеримыми.

Токи напряжения в таких цепях являются функциями двух независимых переменных: времени – t и расстояния – x, отсчитываемого вдоль направления цепи. Уравнения, описывающие процессы в таких цепях, являются уравнениями в частных производных. Примерами являются линии передачи электрической энергии, линии связи, антенные вводы радиотехнических устройств, обмотки электрических машин при воздействии на них импульсных токов и напряжений.

Параметры цепи могут быть распределены неравномерно вдоль линии.

Однако во многих случаях этим можно пренебречь и считать параметры равномерно распределенными. Такие линии называются однородными.

В дальнейшем под величинами R, L, C, G, M будем понимать активное сопротивление, индуктивность и т.д., приходящиеся на единицу длины, и будем обозначать их через R, L, C, G, M. В общем случае эти параметры зависят от частоты, например, увеличение активного сопротивления и индуктивности с ростом частоты вследствие поверхностного эффекта. Однако для простоты в дальнейшем это учитывать не будем.

Дата добавления: 2015-06-17 ; просмотров: 411 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Электрическая цепь, основные понятия и законы

Электрической цепью принято называть совокупность элементов, соединённых определённым образом и предназначенных для протекания электрического тока. В отличие от описания электромагнитной системы при помощи векторов поля (E, D , H , B) и уравнений Максвелла, электрическую цепь описывают при помощи интегральных величин, таких как: электрическое напряжение — u, ток — i , заряд q, магнитный поток – Ф.

Электрическое напряжение u — это работа по перемещению заряда в пространстве между двумя точками 1 и 2 , определяется как:

Суммарная работа при обходе замкнутого контура, в потенциальных электромагнитных полях, не зависит от формы пути и равна нулю. Исходя из этого утверждения, сумма напряжений при обходе замкнутого контура равна нулю:

При расчетах, как для напряжений, так и для тока, положительное направление может быть выбрано произвольно, но в большинстве случаев его принимают совпадающим с положительным направлением тока. Связь между напряжением и током на участке проводника определяется законом Ома:

где rk = 1/gk — сопротивление участка проводника; gk — его проводимость.

При перемещении заряда dq в проводнике, находящимся под напряжением u, затрачивается энергия:

Энергия или работа, затраченная на перемещение заряда электрическим током за некоторый интервал времени, например от t1 до t2:

где p мощность электрического тока:

Чтобы “максимально упростить” учёт (расчет) процессов преобразований электромагнитной энергии в электрических цепях ввели “понятие” идеализированных элементов, процессы в которых связаны лишь с одним видом энергии поля, магнитной или электрической. Для магнитного поля используют идеализированную катушку, характеризуемую индуктивностью L = ωФ/i, а для электрического – идеализированный конденсатор, характеризуемый ёмкостью C = q/u. Другие виды энергии, возникающие в результате преобразований энергии электромагнитного поля, учитывают введением идеализированного резистора, характеризуемого сопротивлением r.

Идеализированные источник тока и источник напряжения вводят для учёта преобразований энергии не электрического происхождения в электрическую. Для идеализированных (т.е. “теоретических”, а не реально существующих источников) принимают, что ток j идеализированного источника тока не зависит от напряжения на его зажимах, а напряжение е идеализированного источника напряжения не зависит от тока в нём. На рисунке 1, приведенном ниже, отображены характеристики простейших элементов электрической цепи и их условные обозначения.

Основной задачей при расчётах электрической цепи, является определение токов и напряжений на зажимах идеализированных элементов, как аналогов электрических устройств, входящих в состав цепи.

В зависимости от длины волны (т.е. частоты) сигнала действующего в электрической цепи она может вести себя как система с сосредоточенными или распределёнными параметрами.

В системе с сосредоточенными параметрами индуктивность L , емкость C, активное сопротивление R сосредоточены в катушке, конденсаторе и резисторе соответственно. Например, электрическую цепь размерами даже в десятки метров, при действующей частоте сигнала 25 кГц и соответствующей ей длине волны

, можно рассматривать как цепь с сосредоточенными параметрами. В этой цепи длина электромагнитной волны значительно превышает размеры самой цепи.

В системах с распределёнными параметрами (или т.н. длинных линиях), в отличии от сосредоточенных, индуктивность, емкость и активное сопротивление распределены по всей длине цепи, что характерно для “длинных” линий передач электромагнитных колебаний (двухпроводных линий, фидеров, волноводов), счётно-решающих устройств, компъютерной техники, и т.п.. Например, в счётно-решающем устройстве анализ процессов в цепи с размерами в несколько сантиметров и частоте сигналов в 500 МГц, длиной волны λ = 0,6 м, должен вестись с позиции электромагнитного поля, или как цепи с распределёнными параметрами, в которой учитываются изменение тока и напряжения в зависимости от положения в пространстве (то есть пространственных координат). Длина электромагнитной волны, в приведенном выше примере, не значительно превышает размеры самой электрической цепи.

Элементы, используемые в электрических цепях, имеют ряд признаков, по которым их можно классифицировать, это : число полюсов, соотношения воздействия и реакции, вид характеристики, потребление энергии и т.д..

Относительно числа полюсов, различают элементы : двухполюсные, четырехполюсные, многополюсные.

К двухполюсным относят резисторы, конденсаторы, катушки, неуправляемые источники энергии (батарейки и т.п.), а также некоторые полупроводниковые и электронные приборы – диоды, динисторы и т.д..

К четырёхполюсным относят большую часть электронных приборов, электромагнитных и электромеханических устройств. В основном это: транзисторы (униполярные и биполярные), электровакуумные триоды , усилители тока и напряжения, управляемые источники энергии (тока или напряжения), трансформаторы (с двумя обмотками) и т.п..

К многополюсным относят многосеточные электронные лампы, интегральные полупроводниковые приборы (аналоговые и цифровые микросхемы), многообмоточные трансформаторы и другие устройства, с достаточно большим количеством полюсов (входных и выходных зажимов) относительно которых интересуются процессами в цепи.

Есть статьи в которых “сознательно упускают” понятие четырёхполюсник, а элементы классифицируются относительно числа полюсов только как двухполюсные и многополюсные, хотя именно понятие четырехполюсник очень часто используется в статьях, описаниях, расчётах, литературе и т.п..

Соотношением воздействия x(t) и реакции y(t), то есть причины и следствия, принято оценивать свойства электрических цепей и их элементов.

Воздействие и реакцию связывают уравнением. В зависимости от вида этого уравнения элементы и цепи подразделяют на инерционные и безинерционные, линейные и нелинейные, управляемые и неуправляемые, обратимые и необратимые, стационарные и нестационарные.

Инерционными принято называть элементы, для которых воздействие и реакцию связывают интегральные или дифференциальные уравнения. Реакция инерционных элементов связана с изменением запаса энергии электромагнитного поля в результате приложенного к ним воздействия. К инерционным элементам, прежде всего, относят индуктивность и ёмкость.

Безинерционными принято называть элементы, для которых воздействие и реакция связаны алгебраическими уравнениями, примером является обычный резистор. В отличии от инерционных, реакция безинерционных элементов, как минимум, не связана с изменениями запасов энергии электромагнитного поля в результате приложенного к ним воздействия.

Уравнения, связывающие воздействие и реакцию, состоят из математических величин, являющихся функциями времени. Эти величины называют переменными. Как пример, для безинерционного k-го элемента зависимость реакции yk, от входного воздействия xk описывают уравнением:

где ak — коэффициент пропорциональности, называемый параметром k-го элемента.

Если параметр ak , постоянная величина и не зависит от значений воздействия или реакции, то такой элемент называют линейным. В противном случае, если значение параметра ak не постоянная величина – элемент называют нелинейным. Цепи которые состоят только из линейных элементов называют линейными, если же в состав цепи входит хотя бы один нелинейный элемент, то такую цепь называют нелинейной.

Элемент называют управляемым, если параметр ak можно изменять путём приложения к нему внешнего управляющего воздействия. Управляемыми могут быть как резистивные, так и емкостные и индуктивные элементы (переменные резисторы, ёмкости, индуктивности…).

Элемент называют обратимым или взаимным, если при взаимной замене переменных , когда за воздействие принимают переменную yk, а реакцией считают переменную xk, параметр ak не изменяется. Элемент называют необратимым или не взаимным, если при взаимной замене переменных, параметр ak изменяется. Цепи, которые состоят только из обратимых элементов называют обратимыми, если же в состав цепи входит хотя бы один необратимый элемент, то такую цепь называют необратимой. К необратимым элементам, в основном, относятся различные электронные и полупроводниковые приборы, это могут быть различные операционные усилители, электровакуумные приборы, транзисторы и др. Элементы “попроще” , например такие как конденсаторы, резисторы, катушки индуктивности, трансформаторы, относят к обратимым элементам.

Если параметр ak не зависит от времени, то такой элемент называют стационарным. Если же параметр ak зависит от времени, то есть является его функцией, то такой элемент называют нестационарным или параметрическим. Нестационарной или параметрической называют электрическую цепь, в состав которой входит хотя бы один нестационарный элемент.

В электротехнике важными являются такие понятия как пассивный и активный элемент. К пассивным элементам относят те которые только потребляют поступающую извне энергию W(t), имеющую положительное значение, и не меняющие её знак на противоположный в любое время. Но если энергия, поступающая в элемент, в какой-либо момент времени меняет знак на отрицательный, то такой элемент принято называть активным. Активные элементы, при наличии сторонних источников питания, могут отдавать энергию во внешнюю цепь. К активным, прежде всего, относят неуправляемые или управляемые внешним воздействием источники электрической энергии (тока или напряжения) , электровакуумные приборы (тетроды, пентоды), электронные приборы (операционные усилители транзисторы) и т.п.. Применение, одного или нескольких активных электронных или электровакуумных элементов в электрической цепи даёт возможность, при определённых режимах их работы усиливать воздействия по мощности за счёт потребления энергии от внешних источников питания.

Подведём итоги вышеизложенного в данной статье материала :

— дано понятие и приведены основные характеристики идеализированных элементов, таких, как катушка индуктивности, конденсатор, резистор, источник тока и напряжения;

— электрические цепи бывают с сосредоточенными и распределёнными параметрами;

— относительно числа полюсов электрические элементы различают как: двухполюсные, четырехполюсные, многополюсные;

— в зависимости от реакции на воздействие, элементы и цепи подразделяют на:

  • инерционные и безинерционные;
  • линейные и нелинейные;
  • управляемые и неуправляемые;
  • обратимые и необратимые;
  • стационарные и нестационарные;
  • активные и пассивные.

Электрические цепи с распределенными параметрами

В предыдущих семестрах рассматривались цепи с сосредоточенными параметрами, т.е. допускалось, что R, L и C сосредоточены на определенных участках цепи (резисторах, катушках и конденсаторах).

В случаях, когда время распространения электромагнитных волн вдоль цепи сравнимо со временем, в течение которого ток и напряжение изменяются на величину, составляющую заметную долю от их полного изменения в рассматриваемом процессе, упомянутого допущения делать нельзя. Т.е. цепь необходимо рассматривать как цепь с распределенными параметрами. В этом случае ток и напряжение являются функциями двух независимых переменных: t (времени) и x (координаты). Уравнения, описывающие процессы в этих цепях, – уравнения в частных производных.

Примеры цепей с распределенными параметрами:

3. Высокочастотные коаксиальные линии связи,

4. Обмотки трансформаторов и электрических машин (при воздействии импульсного напряжения).

Если параметры цепи распределены равномерно по длине, то такие цепи (линии) называются однородными. Для однородных линий вводятся понятия погонных параметров: L, C, R, G и M на единицу длины линии.

В инженерных расчетах зависимость параметров от частоты не учитывается .

Электрические цепи с распределенными параметрами

Характеристика длинных линий, соизмеримых с длиной электромагнитной волны; распределение их индуктивности, емкости, активного сопротивления. Установившийся гармонический режим однородной линии. Бегущие волны; свойства падающей и отраженной волн тока.

Рубрика Физика и энергетика
Вид презентация
Язык русский
Дата добавления 28.10.2013
Размер файла 234,0 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

HTML-версии работы пока нет.
Cкачать архив работы можно перейдя по ссылке, которая находятся ниже.

Подобные документы

Первичные и вторичные параметры электрической линии. Формы записи токов и напряжений. Волны и виды нагрузки в длинной линии без потерь. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии. Коэффициент стоячей волны, векторные диаграммы.

презентация [257,4 K], добавлен 20.02.2014

Схема линий с распределенными параметрами. Телеграфные уравнения для синусоидального сигнала. Расчет постоянной сопротивления, мощности и коэффициента полезного действия линии. Напряжение и ток длинной линии без потерь. Длина электрической волны.

контрольная работа [535,8 K], добавлен 27.06.2013

Определение мгновенных значений напряжения и тока. Комплекс входного сопротивления линии. Режимы и основные уравнения однородной линии без потерь. Понятие стоячих волн. Нахождение индуктивной и емкостной нагрузки, амплитуды падающей и отраженной волн.

презентация [390,7 K], добавлен 28.10.2013

Движение электромагнитных волн в веществе. Отражение и преломление плоской однородной волны на плоской поверхности раздела двух сред и двух идеальных диэлектриков. Формулы Френеля, связь между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн.

курсовая работа [770,0 K], добавлен 05.01.2020

Влияние величины индуктивности катушки на электрические параметры цепи однофазного синусоидального напряжения, содержащей последовательно соединенные катушки индуктивности и конденсатор. Опытное определение условий возникновения резонанса напряжений.

лабораторная работа [105,2 K], добавлен 22.11.2010

Понятие и общие характеристики плоской волны, их разновидности, отличительные признаки и свойства. Сущность гармонической волны. Уравнения однородной линейно поляризованной плоской монохроматической электромагнитной волны. Определение фазовой скорости.

презентация [276,6 K], добавлен 13.08.2013

Излучение электрического диполя. Скорость для электромагнитной волны в вакууме. Структура электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. Объемная плотность энергии.

презентация [143,8 K], добавлен 18.04.2013

Знакомство с моделью двухпроводной линии передачи. Характеристика цепей с распределенными параметрами. Рассмотрение способов решения телеграфных уравнений. Особенности линий передачи электрических сигналов. Анализ эквивалентной схемы участка линии.

презентация [192,5 K], добавлен 20.02.2014

Параметры упругих гармонических волн. Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение стоячей волны. Распространение волн в однородной изотропной среде и принцип суперпозиции. Интервалы между соседними пучностями. Скорость распространения звука.

презентация [155,9 K], добавлен 18.04.2013

Уравнения линии с распределенными параметрами. Эффект непрерывного изменения тока и электрического напряжения вдоль линии. Продольное активное сопротивление единицы длины линии. Применение законов Кирхгофа. Линии синусоидального тока без потерь.

реферат [801,3 K], добавлен 21.12.2013

Цепи с распределенными и с сосредоточенными параметрами

Если электрическая цепь содержит хотя бы один элемент с распределенными параметрами, то эта цепь называется цепью с распределенными параметрами. В противном случае цепь с сосредоточенными параметрами.

Элемент с сосредоточенными параметрами – это такой элемент, размеры которого не влияют на физические процессы в нем. К элементам с распределенными параметрами относятся линии передач, антенны. Если размеры элемента влияют на физические процессы, то это элемент с распределенными параметрами. В основном большинство элементов будем считать элементами с сосредоточенными параметрами.

Все высказанные выше определения достаточно условны. Один и тот же элемент в той или иной степени описания процесса на нем может быть отнесен к линейным или нелинейным, с распределенными или сосредоточенными параметрами.

В дальнейшем мы будем изучать линейные цепи с сосредоточенными параметрами.

Электрическая схема

Графическое изображение электрической цепи называется электрической схемой. На электрических схемах различают 3 элемента:

1. Ветвь – это последовательное соединение элементов, по которым протекает один и тот же ток.

2. Узел – это место электрической схемы, где сходится 3 и более ветвей.

3. Контур – это замкнутый участок цепи.

Число независимых контуров – это минимальное количество контуров, из которых может быть составлена рассматриваемая схема.

Обозначим — число ветвей, — число узлов, — число независимых контуров, которое определяется по формуле .

Положительные направления токов, падений напряжений и э.д.с.

Обычно при анализе электрических цепей произвольно выбирается положительное направление токов в ветвях. Затем в зависимости от выбранных положительных направлений токов определяются положительные направления падений напряжений на элементах. Рассмотрим отдельные элементы.

Это значит , — потенциалы точек а и b.

Падение напряжений – это разность потенциалов, т.е. , . То же самое будет на катушке индуктивности и конденсаторе.

Таким образом, положительное направление падения напряжения на пассивных элементах совпадает с положительным направлением тока через них.

Рассмотрим активный элемент – источник э.д.с.

, — потенциалы точек а и b.Тогда , .

Таким образом, положительное направление падения напряжения на источнике э.д.с. противоположно положительному направлению э.д.с.

3.5. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В ранее рассмотренных линейных цепях напряжения и токи зависят только от времени. Это справедливо, если геометрические размеры цепи много меньше длины волны питающего тока. В ряде случаев это условие не выполняется. При этом напряжения и токи в цепи зависят не только от времени, но и от расстояния от генератора, на котором регистрируется сигнал. Это имеет место в случае длинных линий.

Линия считается длинной, если длина линии сравнима с длиной волны питающего тока , а расстояние между проводами значительно меньше длины волны . Конструктивно длинные линии бывают двухпроводные и однопроводные (один провод и земля или проводящая плоскость, которая выполняет роль второго провода). Наряду с воздушными линиями в радиоэлектронике широко применяются коаксиальные кабели, а в диапазоне СВЧ — волноводы. Длинные линии характеризуются четырьмя распределёнными по длине линии параметрами: активным сопротивлением, индуктивностью, ёмкостью и утечкой между проводами. Линия называется однородной, если эти параметры на единицу длины (погонные параметры) не зависят от координаты , т. е. остаются постоянными по длине линии. Длинная линия, в которой и называется длинной линией без потерь.

3.5.1. Длинная линия без потерь. Волновые уравнения.

Рассмотрим бесконечно малый отрезок длинной линии без потерь.

Рис.3.23.Эквивалентная схема отрезка лини без потерь

Приращение напряжения и тока на отрезке можно представить в виде дифференциалов:

Разделим эти приращения на :

Два последних выражения являются основными дифференциальными уравнениями линии без потерь. Частные производные обусловлены тем, что ток и напряжение зависят не только от времени, но меняются и по длине линии, т. е. зависят от координаты X.

Продифференцировав обе части первого уравнения по X и обе части второго уравнения по T, получим:

Подставляя (3.121) в (3.120), приходим к волновому уравнению для напряжения в линии:

Дифференцируя уравнение (3.118) по , а уравнение (3.119) по , получим волновое уравнение для тока в линии:

Волновые уравнения для напряжения и тока можно переписать в следующем виде:

Где — скорость распространения электромагнитной волны в линии.

Из волновых уравнений видно, что изменения напряжения и тока управляются совершенно одинаковыми закономерностями.

Решения волновых уравнений зависят от начальных и граничных условий. Решением волнового уравнения является любая функция вида:

Где — дважды дифференцируемая функция.

Каждый электрик должен знать:  Защита затвора полевого транзистора

Возьмем первую и вторую производные от по и по :

Подставим производные в волновое уравнение для напряжения:

Уравнение обращается в тождество. Значит функция , является решением волнового уравнения для напряжения.

Решением волнового уравнения для тока будет функция .

Полные решения волновых уравнений имеют вид:

Функции связана с функцией следующим соотношением:

— волновое сопротивление линии.

Для линии без потерь волновое сопротивление равно отношению и является чисто активным сопротивлением.

Таким образом, ток и напряжение в линии представлены в виде суммы прямой и обратной волн, распространяющихся по линии в противоположных направлениях со скоростью . Для воздушной линии эта скорость равна скорости света. В кабельных линиях скорость распространения значительно ниже скорости света. Линия без потерь передаёт волны без затухания и искажений. Эти волны называются бегущими. Итак, отличительное свойство систем с распределенными параметрами состоит в том, что ток и напряжение являются функциями двух переменных и , и описываются уравнениями в частных производных.

Рис.3.24. Прямая и обратная волна в длинной линии.

Если в каком-то сечении бесконечно длинной линии без потерь включить генератор напряжения, создающий импульс, то в линии будут распространяться две волны в противоположных направлениях, как показано на рис.3 .24.

Если в начале линии включить генератор гармонической э. д.с. , то напряжение в любом сечении линии также будет гармоническим, поэтому можно записать: и . С учетом этого волновое уравнение для напряжения можно записать в следующем виде:

где — волновое число.

Решение дифференциального уравнения (3.140) имеет вид:

Второе слагаемое уравнения представляет собой прямую волну напряжения, распространяющуюся вдоль оси вправо от начала линии, а первое слагаемое – обратную волну напряжения, распространяющуюся в противоположном направлении. Постоянные A и B можно определить из граничных условий. При некоторых условиях обратная волна в линии будет отсутствовать. При этом решение уравнения будет представлено только одним слагаемым:

Постоянную определим из граничного условия в начале линии

Положив в (3.142) =0, получим и выражение для синусоидальной волны напряжения, распространяющейся от начала линии,

На рис.3.25 изображены распределения напряжения в линии для двух моментов времени и .

Рис.3.25. Напряжение в линии в два последовательных момента

За время волна пробегает путь . Длина волны . (3.145)

Фаза напряжения на расстоянии X от генератора определяется выражением

3.5.2. Длинная линия с потерями. Телеграфные уравнения.

Рассмотрим отрезок Dx длинной линии с потерями, представленный на рис. 3.26, погонными параметрами которой являются .

Рис.3.26. Отрезок длинной линии с потерями.

Приращения напряжения и тока на отрезке линии Dx можно представить следующими дифференциальными уравнениями:

Разделив оба уравнения на , получим

Дифференцируя уравнение (3.149) по X, а уравнение (3.150) по T, получим:

Подставив (3.150) и (3.152) в (3.151), получим дифференциальное уравнение второго порядка, называемое телеграфным уравнением для напряжения:

Это уравнение упрощается, если для его коэффициентов выполняется следующее условие, называемое условием Хевисайда:

Это условие можно записать в другом виде:

Подставив (3.156) в телеграфное уравнение (3.153), получим:

Разделив (3.157) на , получим:

где: — скорость распространения волны в линии.

Введем новую переменную U0, положив . Найдём производные:

Подставив производные в (3.159), получим следующее уравнение для напряжения:

Аналогичное уравнение может быть получено для тока.

Таким образом, при выполнении условия Хевисайда телеграфное уравнение приводится к волновому. Это означает, что в линии с потерями может распространяться волна любой формы без искажений. Отличие решения этого уравнения по сравнению с уравнениями для линии без потерь заключается в наличии множителя , с которым связаны U и U0, что означает затухание прямой и обратной волны. При выполнении условий Хевисайда затухание на высоких частотах минимально и равно затуханию на низких частотах. При несоблюдении условий Хевисайда передаваемые колебания сложной формы искажаются вследствие неодинакового затухания для разных частот и зависимости скорости распространения от частоты.

3.5.3. Коэффициент отражения.

Пусть на входе однородной линии с волновым сопротивлением , нагрузкой которой на конце является сопротивление , действует гармоническая э. д.с.

Напряжение в любом сечении линии будет равно сумме падающей (прямой) и отраженной волн:

Рис.3.27. К определению коэффициента отражения

Прямая и отраженная волны накладываются друг на друга и происходит их интерференция. Положим, что амплитуды напряжения прямой и обратной волн одинаковы. Тогда для прямой волны можно записать

А для отраженной волны

Результирующее напряжение равно

Колебание, описываемое последним выражением, происходит по всей длине линии с одинаковой фазой, поскольку в множителе отсутствует зависящий от координаты фазовый сдвиг. Такая волна называется стоячей. Другим отличием стоячей волны от бегущей волны является то, что ее амплитуда зависит от координаты

Места, где наблюдаются наибольшие значения амплитуды, называются пучностями, места наименьших значений амплитуды – узлами. Местоположение узлов и пучностей не зависит от времени: они неподвижны.

На рис.2.28 показаны прямая волна, отраженная волна и результирующая – стоячая волна.

Рис.3.28. Волны в линии.

В бегущей волне амплитуда колебаний постоянна, а в стоячей – она периодическая функция координаты.

В бегущей волне фаза колебаний есть линейная функция координаты, а в стоячей волне фаза постоянна на участке между двумя узлами. Вдоль всей линии фаза меняется периодически, принимая попеременно значения 0 и π.

Выясним количественные характеристики явления отражения, воспользовавшись волновым уравнением синусоидального режима

Решение этого уравнения имеет вид:

Как и в любом сечении линии напряжение на нагрузке равно

На основании приведённого выше уравнения (3.116) следует:

С другой стороны, дифференцируя выражение (3.168), получим:

Подставим (3.171) в (3.170):

Таким образом, на основании (3.169) и (3.172) имеем:

На нагрузке при (граничное условие):

Коэффициент отражения по напряжению равен отношению напряжения отраженной волны к напряжению прямой (падающей) волны.

Учитывая это, можно записать:

Анализируя выражение (3.178), можно рассмотреть 3 случая:

1.Линия, разомкнутая на конце.

В этом случае и коэффициент отражения равен

Следовательно, от разомкнутого конца линии волна напряжения полностью отражается с тем же знаком, а волна тока полностью отражается с противоположным знаком. При этом напряжение на конце линии удваивается, а ток на конце линии равен нулю. В линии устанавливается режим стоячих волн.

2. Линия, замкнутая на конце.

В этом случае и коэффициент отражения

От замкнутого конца линии волна полностью отражается с противоположным знаком. В результате напряжение на конце линии равно нулю, а ток удваивается. В линии также будет режим стоячих волн.

3. Линия нагружена на сопротивление, равное волновому сопротивлению, т. е. . При этом коэффициент отражения

В этом случае отражение от нагрузки отсутствует, поскольку линия согласована и в линии устанавливается режим бегущих волн.

В общем случае, если линия нагружена на конечное сопротивление, не равное волновому сопротивлению, будет наблюдаться неполное отражение и коэффициент отражения будет меньше 1. В этом случае в линии имеет место наложение бегущей и стоячей волн.

Коэффициент отражения выражает отношение комплексных амплитуд отраженной и прямой волн и является комплексной величиной. Напряжение в пучности:

Напряжение в узле:

называется коэффициентом бегущей волны.

Коэффициент отражения нельзя измерить непосредственно. Поэтому измеряют коэффициент стоячей волны напряжения КСВ, который равен:

Коэффициент бегущей волны связан с коэффициентом стоячей волны:

3.5.4. Входное сопротивление линии.

Ранее получены выражения для напряжения и тока линии в следующем виде:

Отношение напряжения к току в любом сечении линии равно

При =0 найдем из этого выражения входное сопротивление линии

Отношение определим из (3.189) при помощи граничного условия, задающего нагрузку на конце линии при :

Из этого выражения

Подставив (3.192) в (3.190), получим:

Входное сопротивление линии – комплексная величина, зависящая от волнового сопротивления, длины линии и сопротивления нагрузки. Если линия разомкнута на конце, то и входное сопротивление равно

Короткозамкнутая линия имеет входное сопротивление

На рисунке изображены зависимости модулей входных сопротивлений от длины линии для разомкнутой и короткозамкнутой линии.

Рис2.29.Зависимость модуля входного сопротивления разомкнутой и короткозамкнутой на конце линии от длины линии

Входное сопротивление длинной линии является периодической функцией аргумента и, будучи реактивным, принимает все возможные значения от — до . Обращение входного сопротивления в нуль или бесконечность свидетельствует о наличии в линии резонансных явлений. В линии конечной длины возможно бесчисленное множество резонансов. При в линии наблюдается основной резонанс. При малых расстройках относительно резонансной частоты модуль входного сопротивления изменяется также, как у параллельного колебательного контура. Поэтому четвертьволновые отрезки линий используются в качестве колебательных контуров в дециметровом диапазоне.

Входное сопротивление четвертьволновой короткозамкнутой линии бесконечно велико. Это значит, что подключение такой линии к любой схеме не повлияет на работу схемы, то есть такая линия ведет себя как изолятор. Это позволяет смонтировать двухпроводный фидер – линию передачи электромагнитных колебаний от источника к потребителю на цельнометаллических четвертьволновых стойках, изолирующих оба провода друг от друга, как показано на рис. 3.30.

1-фидер, 2 – металлические четвертьволновые изоляторы

Прямоугольный волновод является длинной линией в диапазоне сверхвысоких частот. Прямоугольный волновод представляет собой полую трубу из проводящего материала, служащую для передачи энергии электромагнитной волны, распространяющейся внутри волновода. Если электрический и магнитный векторы И лежат в плоскости, нормальной к направлению линии, то имеется поток энергии, направленный вдоль линии, выражаемый вектором Пойнтинга:

В основе теории волноводов лежат уравнения Максвелла. Для случая, когда диэлектрическая проницаемость ε=1, магнитная проницаемость μ=1 и проводимость σ=0 (это справедливо для воздуха и вакуума), можно записать уравнения Максвелла в векторной форме:

Где c – скорость света в вакууме.

Для установившегося синусоидального режима:

Примеры расчета электрических и магнитных цепей

Электрические цепи с распределенными параметрами

Параметры электрических цепей в той или иной мере всегда распределены вдоль длины отдельных участков. В большинстве практических случаев распределением параметров вдоль длины пренебрегают и представляют электрическую цепь эквивалентной схемой с сосредоточенными схемными элементами R , L и C.

Однако существует большой класс электрических цепей, для которых пренебрежение распределением параметров вдоль длины приводит к существенным погрешностям при их расчёте и становится неприемлемым.

Из курса физики известно, что электромагнитное поле распространяется вдоль электрической цепи не мгновенно, а с конечной скоростью υ, проходя всю длину цепи l за время . Если за время ∆t режимные параметры в цепи (u, ί) изменяются незначительно и этим изменением можно пренебречь, то для такой цепи пренебрегают распределением параметров вдоль длины и замещают ее схемой с сосредоточенными элементами. Если за время ∆t режимные параметры в цепи (u, ί) изменяются на заметную величину, которую необходимо учитывать в расчете, то такие цепи считаются с распределенными параметрами и расчет их проводится уже с учетам распределения параметров вдоль их длины.

Пример 1. Воздушная линия электропередачи длиной l = 50 км работает на частоте ƒ = 50 Гц, скорость волны υ=300000 км/с, , 6000км, с, . Таким образом, фазовый сдвиг для волн напряжения и тока вначале и в конце линии составляет всего 3,6о, чем можно пренебречь и считать такую линию как цепь сосредоточенными параметрами. Переходные процессы в электрических сетях Понятие переходного процесса При изучении предыдущего материала рассматривались установившиеся режимы работы электрических цепей с сосредоточенными параметрами, т.е. режимы, которые устанавливаются в цепи при неизменных напряжении, токе, сопротивлении и др.

Пример 2. Линия электропередачи длиной l=500 км: ƒ = 50 Гц, υ=300000 км/с, с, .

Фазовый сдвиг для волн напряжения и тока в начале и конце линии составляет 36о, расчет режима в такой линии без учета распределения параметров по длине привел бы к существенным ошибкам, поэтому такую линию следует считать как цепь с распределенными параметрами.

Пример 3. Соединительный кабель от комнатной антенны до входного гнезда телевизора имеет длину l=2 м, телевизионный канал работает на частоте ƒ=150 МГц, υ=200000 км/с, с, 1,3 м, с, .

Вывод: соединительный кабель следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами.

При синусоидальном режиме цепи критерием необходимости учета распределения параметров по длине может служить соотношение между длиной линии l и длиной волны . Если l ,то цепь рассматривается как c сосредоточенными параметрами (в примере 1: ), если l и соизмеримы, то цепь рассматривается как с распределенными параметрами (в примере 2: , в примере 3: ).

К цепи с распределенными параметрами относятся все лини связи, линии электропередачи длиной l > 100 км.

Одни и те же электрические цепи в зависимости от формы воздействующего напряжения в одних случаях принимаются с распределенными параметрами, а в других — с сосредоточенными параметрами. Например, обмотки силовых трансформаторов при расчете установившихся режимов в них на частоте ƒ=50 Гц считаются цепями с сосредоточенными параметрами, но при расчете переходных процессов, возникающих в результате коммутации или атмосферных разрядов те же обмотки считаются цепями с распределенными параметрами.

Если параметры цепи распределены равномерно по ее длине, то цепь называется, однородной, если неравномерно ― то неоднородной. В курсе ТОЭ рассматриваются только однородные цепи.

2. Дифференциальные уравнения цепи с распределенными параметрами

Рассмотрим двухпроводную однородную линию, физические параметры которой равномерно распределены по ее длине:

― активное сопротивление пары проводов на единицу длины [Ом/м], определяется по известной формуле , зависит от материала провода (γ ) и от ее температуры ;

― индуктивность пары проводов на единицу длины линии [Гн/м], определяется как отношение потокосцеплепия к току ( ), является отображением магнитного поля линии в ее схеме замещения, зависит от магнитных характеристик среды (μ) и геометрических размеров линии;

― активная проводимость между проводами на единицу длины линии [См/м], является следствием несовершенства изоляции между проводами, зависит от электрических параметров среды (γ) и геометрических размеров линии;

― емкость между проводами на единицу длины линии [Ф/м], определяется как отношение заряда к напряжению( ), является отображением электрического поля линии в ее схеме замещения, зависит от электрических характеристик среды ( e ) и геометрических размеров линии.

Удельные параметры линии зависят от физических параметров самих проводов и окружающий их среды, поэтому они получили название физических или первичных.

Разделим всю линию на элементарные участки длиной dх и рассмотрим один из таких участков, находящийся на расстоянии х от начала линии. Схема замещения участка будет иметь вид рис.1.Здесь u и i ― напряжение и ток в начале рассматриваемого участка. В конце участка напряжение и ток получают приращения: и .

Функции напряжения и тока ( u, i ) зависят от двух параметров t и x, они изменяются в пространстве и во времени, поэтому дифференциальные уравнения для схемы замещения следует составлять в частных производных.

Уравнение по 2-му закону Кирхгофа для контура:

После упрощения получим:

По закону Ома и 1-му закону Кирхгофа:

В приведенном выражении пренебрегаем слагаемыми второго порядка малости, содержащими .

По 1-му закону Кирхгофа для узла:

После упрощения получим:

Уравнения (1) и (2) являются основными дифференциальными уравнениями двухпроводной линии с распределенными параметрами, которые используются для расчета как переходного, так и установившегося режима линии.

3. Решение уравнений линии с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме

Пусть напряжение и ток в линии с распределенными параметрами изменяются по синусоидальному закону:

Заменим в дифференциальных уравнениях линии синусоидальные функции и и их производные и соответствующими комплексными изображениями , , , :

В уравнениях (1) и (2) приняты обозначения: — комплексное сопротивление линии на единицу длины [Ом /м], — комплексная проводимость линии на единицу длины [См /м].

Дифференцируем уравнение (2) по переменной х и делаем в него подстановку из (1):

Решаем дифференциальное уравнение 2-го порядка (3) классическим методом. Характеристическое уравнение и его корни:

Решение для искомой функции в общем виде:

где — безразмерная комплексная величина, названная коэффициентом (постоянной) распространения, — комплексные постоянные интегрирования, которые определяются через граничные условия, т. е. через значения искомых функций U(x), I(x) в заданной точке линии, например в ее начале (х=0) или в ее конце (x=l).

Из уравнения (1) находим:

где ― волновое или характеристическое сопротивление линии.

Таким образом, решения для искомых функций U(x) и I(x) имеют вид:

Волновое сопротивление и постоянная распространения получили название вторичных параметров линии.

Выразим постоянные интегрирования и через граничные условия начала линии. При х=0 , , подставим эти значения в уравнения (4) и (5):

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования: , .

Подставим полученные значения постоянных интегрирования в решения для искомых функций (4) и (5):

Полученные уравнения используются при расчетах цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять х=l ,то получим значения параметров режима в конце линии:

Выразим постоянные интегрирования через граничные условия конца линии. Для этой цели в полученных ранее решениях (4) и (5) заменим переменные х на l — y из условия x=l — y, где l ― длина всей линии, а y ― расстояние от конца линии до рассматриваемой точки:

Здесь есть некоторые новые постоянные интегрирования.

При y=0 , подставим эти значения в найденные уравнения, получим:

Совместное решение этих уравнений позволяет определить постоянные интегрирования:

Подставляем значение постоянных в решение для искомых функций:

Полученные уравнения используются при расчете цепей с распределенными параметрами в установившемся синусоидальном режиме.

Если принять y=l , то получим значение параметров режима в начале линии:

4. Волновые процессы в линии с распределенными параметрами.

Ранее были получены решения для напряжения и тока в установившемся режиме:

Учитывая, что постоянные интегрирования и коэффициент распространения являются комплексными числами ( , , ) преобразуем уравнение для U(x):

Перейдем от комплексного изображения функции к ее оригиналу, т.е. к ее функции времени:

Функция u(x,t) состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой прямую или падающую волну uп(x,t), а второе — обратную или отраженную волну uо(x,t). Проанализируем, как изменяется каждая из волн в пространстве и во времени.

Падающая волна напряжения равна: .

В произвольной точке линии напряжение изменяется по синусоидальному закону с постоянной амплитудой:

В произвольно выбранный момент времени напряжение вдоль линии изменяется по синусоидальному закону, но с затуханием амплитуды с увеличением расстояния х:

Коэффициент β показывает, как изменяется фаза падающей волны напряжения на единицу длины линии [рад/м] и называется коэффициентом фазы.

Длиной волны λ называется расстояние ∆х между двумя ближайшими точками линии, которые находятся в одинаковом фазовом состоянии, т.е. через интервал 2π:

β∆x = βλ = 2π, откуда следует .

С течением времени синусоидальное распределение напряжения перемещается вдоль линии. Под скоростью распространения волны или фазовой скоростью понимают скорость перемещения вдоль линии определенного фазового состояния, для чего должно удовлетворяться условие: .

Продифференцируем члены этого уравнения, в результате получим: , откуда следует:

Неравенство > 0 означает, что падающая волна перемещается в положительном в направлении, т. е. от начала линии к ее концу.

Амплитуда падающей волны зависит от координаты х: , она

убывает (затухает) по показательному закону в направление возрастания х, т.е. в направлении движения волны. Скорость затухания определяется коэффициентом α, который получил название коэффициента затухания волны [Неп/м].

Коэффициент показывает в комплексе характер изменения волны при движении ее вдоль линии, поэтому получил название коэффициента распространения волны.

Характер распространения падающей волны напряжения показан на рис. 179.

Отраженная волна напряжения равна:

Фазовая скорость отраженной волны найдется из уравнения:

После дифференцирования получим: , откуда следует

Отраженная волна распространяется с той же фазовой скоростью, что и падающая, но в обратном направлении (знак минус), т.е. от конца линии к ее началу. Она имеет ту же длину волны . Амплитуда отраженной волны , при α > 0 убывает ( затухает ) в направлении уменьшения координаты х , т.е. в направлении движения волны.

Характер распространения отраженной волны показан на рис. 180.

Действительное значение напряжения в любой точке лини х’ в любой момент времени t’ будет равно сумме значений напряжений падающей и отраженной волн:

Очевидно, что функцию тока в линии также можно рассматривать как результат наложение падающей и отраженной волн стой лишь разницей, что отраженная волна накладывается с обратным знаком:

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

    Андрей Гридчин 2 лет назад Просмотров:

1 МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ А.C. СЕРЕБРЯКОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Утверждено редакционно-издательским советом РОAТ в качестве учебного пособия РОАТ Москва 00

2 УДК 6.308(075) ББК 3. С35 Серебряков А.С. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с распределенными параметрами: Уч. пос. -е изд. перераб. и доп. М.: МИИТ, с. Рассмотрены установившиеся и переходные процессы в электрических цепях с распределенными параметрами. Приведены решения типовых задач и даны задачи для самостоятельного решения. Предназначено для студентов II курса электротехнических специальностей АТС и ЭНС. Рецензенты: кандидаты техн. наук, доценты Т.А. Евстигнеева (НГТУ), М.В. Кузнецова (НГСА) ISN Московский государственный университет путей сообщения, 00

3 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ, ПРИНЯТЫЕ В ПОСОБИИ Латинский алфавит А, А постоянные интегрирования. С 0 электрическая емкость между проводами линии на единицу длины, Ф/км. v 0 скорость света в вакууме, равная м/с. e =,7 основание натуральных логарифмов. G 0 активная проводимость линии между проводами на единицу длины, См/км. i, I мгновенное и действующее значения тока в данной точке линии, А. I, I действующее значение тока в начале и в конце линии, А. I пучн максимумы действующего значения тока, называемые пучностями тока в режиме стоячих волн, А. i п, I п мгновенное и действующее значения падающей волны тока в данной точке линии, А. i о, I о мгновенное и действующее значения обратной волны тока в данной точке линии, А. j = мнимая единица. k б коэффициент бегущей волны. L 0 индуктивность проводов линии на единицу длины, Гн/км. l длина линии, м. n u коэффициент отражения волны напряжения. P, P активная мощность в начале и в конце линии, Вт. R 0 активное сопротивление проводов линии на единицу длины, Ом/км. Т время полного цикла в переходном режиме, с. u п, п мгновенное и действующее значения падающей волны напряжения в данной точке линии, В. u о, о мгновенное и действующее значения обратной волны напряжения в данной точке линии, В., действующее значение напряжения в начале и в конце линии, В. u, мгновенное и действующее значения напряжения в данной точке линии, В. 3

4 пучн максимумы действующего значения напряжения, называемые пучностями напряжения в режиме стоячих волн, В. x координата, м. Y 0 поперечная проводимость переменному току на единицу длины линии, См/км. 0 продольное сопротивление переменному току на единицу длины линии, Ом/км. волновое сопротивление линии, Ом. сопротивление нагрузки, Ом. c характеристическое сопротивление четырехполюсника, Ом. ВХ входное сопротивление линии, Ом. 0, к сопротивление линии со стороны первичных выводов в режиме холостого хода и короткого замыкания, Ом. Греческий алфавит α коэффициент затухания (коэффициент ослабления или коэффициент амплитуды), Нп/км, дб/км. β коэффициент фазы, рад/км. γ коэффициент распространения. ε r относительная диэлектрическая проницаемость. λ длина волны, м. µ r относительная магнитная проницаемость. ω угловая частота, рад/с. υ фазовая скорость волны, м/с. 4

5 . ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ ОБ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Ранее мы рассматривали электрические цепи с сосредоточенными параметрами, т.е. предполагали, что электрическая цепь представляет собой совокупность некоторых элементов R, L и С, сосредоточенных в определенных ее участках. Напряжение и ток в этих элементах связываются соотношениями: di di u = R Ri; u = L L ; ic C. dt = dt В соответствии с выше написанными уравнениями мы полагали, что в активном сопротивлении R выделяется тепловая энергия, в индуктивной катушке L запасается магнитная энергия, а в конденсаторе C электрическая энергия. Кроме того, мы предполагали, что ток, входящий в каждый их этих элементов цепи, равен току, выходящему и него. Решение этих уравнений дает закон изменения исследуемой электрической величины в зависимости от времени (координата длины в эти уравнения не входит). Однако представление электротехнических устройств в виде цепей с сосредоточенными параметрами не всегда возможно. Например, рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых электрическая энергия или электрические сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь в виду, что магнитные и электрические поля распределены по всей длине линии и превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине линии. В этом случае невозможно разграничить элементы, содержащие только тепловую или только магнитную или электрическую энергию. Если представить себе такую длинную линию как последовательное соединение большого числа сосредоточенных малых активных сопротивлений, то напряжение вдоль линии, конечно, будет изменяться в зависимости от координаты или длины линии (рис. ). Однако эта зависимость будет линейной, так как ток в каждом участке линии будет одинаков, и каждый участок линии будет иметь равные сопротивления. 5

6 Рис.. Изменение действующего значения напряжения вдоль линии, не обладающей утечкой между проводами В действительности же в линиях электропередачи по всей ее длине существует утечка между проводами, и она существенно влияет на закон изменения напряжения вдоль линии (рис. ). Если мысленно выделить какой-либо конечный участок этой реальной линии, то токи на концах этого участка окажутся неодинаковыми вследствие наличия токов утечки через изоляцию и токов смещения, обусловленных емкостью между токоведущими проводами. Ток в проводах вызывает падение напряжения в активном сопротивлении проводов. Поскольку токи в разных участках линии не одинаковы, то падение напряжения на единицу длины линии также не остается постоянным вдоль линии. В общем случае, когда линия работает на переменном напряжении, чтобы учесть изменение тока и напряжения вдоль линии, нужно считать, что каждый сколь угодно малый элемент линии обладает не только активным сопротивлением R, но и индуктивностью L, а между проводами не только активной проводимостью G, но и емкостью C, т.е. необходимо рассматривать линию как цепь с распределенными по ее длине параметрами. Такую линию называют длинной. Основное отличие длинной 6

7 Рис.. Изменение действующего значения напряжения вдоль линии, обладающей утечкой между проводами линии от короткой заключается в том, что ток в длинной линии имеет различные величины (и даже различные направления) в разных точках одного и того же провода. Таким образом, в линейных цепях с распределенными постоянными параметрами закон изменения напряжения и тока вдоль линии оказывается нелинейным. К цепям с распределенными параметрами можно отнести воздушные и кабельные линии связи, а также рельсовые цепи автоблокировки на железнодорожном транспорте, в которых всегда существует утечка по балласту, а следовательно, напряжение вдоль блок-участка изменяется по нелинейному закону. К длинным линиям относятся фидерные линии радиопередающих и радиоприемных устройств, т.е. линии, передающие энергию высокой частоты от генератора к антенне или от антенны 7

8 к приемнику. Длина этих линий обычно соизмерима с длиной волны радиосигнала. К цепям с распределенными параметрами можно отнести и гирлянду изоляторов, так как каждый элемент гирлянды обладает емкостью и активной проводимостью по отношению к «земле». Следовательно, вдоль гирлянды изоляторов напряжение распределяется неравномерно (рис. 3) и для выравнивания напряжений нужны специальные мероприятия. В некоторых случаях приходится рассматривать линии с распределенными параметрами и тогда, когда таких линий, казалось бы, вовсе нет. 8 Рис. 3. Распределение напряжения вдоль гирлянды изоляторов

9 Например, при атмосферных или коммутационных перенапряжениях обмотки электрических машин и трансформаторов за счет токов утечки на корпус также будут представлять собой цепи с распределенными параметрами, и напряжение вдоль витков обмотки будет распределяться неравномерно. Повышение напряжения на отдельных витках обмотки может привести к их пробою (рис. 4). Все это говорит о необходимости подробного изучения процессов в цепях с распределенными параметрами, отыскания основных закономерностей, присущих всем указанным выше электрическим цепям. Рис. 4. Распределение импульса атмосферного перенапряжения вдоль обмотки трансформатора В качестве цепи с распределенными параметрами рассмотрим однородную двухпроводную линию, т.е. такую линию, индуктивность, емкость, активное сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей длины линии.. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ В двухпроводных однородных линиях индуктивность и сопротивление линии, а также емкость и проводимость между проводами считают распределенными равномерно вдоль всей линии. 9

10 Эти параметры на единицу длины обозначим: R o сопротивление проводов, Ом/км; L o индуктивность проводов, Гн/км; G o проводимость изоляции, См/км; C o емкость проводов, Ф/км и назовем их первичными параметрами (R o и L o продольными, а G o и C о поперечными). Следует обратить внимание на то, что G o /R o, так как эти параметры не связаны друг с другом: G o зависит от электрических свойств диэлектрика, заполняющего пространство между проводами, а R o определяется размерами и материалом проводов. Первичные параметры линии зависят от ее конфигурации и частоты. Вычисление первичных параметров относится к задачам теории электромагнитного поля. В справочной литературе приводятся формулы для расчета этих параметров. Бесконечно малый элемент двухпроводной линии длиной х может быть заменен эквивалентной схемой с параметрами R o х, L o х, G o х и С о х (рис. 5). Рис. 5. Эквивалентная схема однородной линии с распределенными параметрами Условимся называть верхний провод линии прямым, а нижний обратным. Для упрощения анализа будет считать, что активное сопротивление R o х и индуктивность L o х включены только в прямой провод. Вся длинная линия будет заменена в этом случае цепочкой из бесконечно большого числа последовательно включенных элементарных четырехполюсников. Бу- 0

11 дем считать началом линии левые выводы -, где подключен источник питания, а концом правые выводы -, где присоединен приемник электрической энергии. Выберем положительное направление тока от начала линии к концу, а положительное направление напряжения от верхнего провода к нижнему. Начало отсчета производим от конца линии, т.е. считаем что, элементарный участок линии х находится на расстоянии x от конца линии. Обозначим: u напряжение между верхним и нижним проводом в точке х; u приращение напряжения на участке х; i ток в точке х; i приращение тока на участке х. Напряжение и ток на расстоянии (х + х) равны (u + u ) и (i + i ). Разность напряжений в начале и в конце участка равна сумме падений напряжения на активном сопротивлении и индуктивности. Изменение тока на участке х равно сумме утечек через активную проводимость и емкость. С учетом этого уравнения для приращений напряжения и тока на элементе длины х на основании законов Кирхгофа запишутся: u дi i дu = R0 i+ L0 ; = G0 u+ C0 x. x дt x дt Ввиду наличия двух независимых переменных x и t, уравнения записываются в частных производных. По мере стремления х к нулю степень точности этих уравнений повышается, причем величины второго порядка малости i R0 x и L0 x дt д i могут быть опущены. Разделим обе части уравнений на х: u дi i дu = R0 i+ L0 ; = G0 u+ C0. x дt x дt Переходя к пределу при х 0, получим дифференциальные уравнения линии в частных производных: u i = R i+ L x t 0 0 ; ()

12 i u = G0 u+ C0. () дx t Уравнения () и () называют в литературе телеграфными уравнениями. Если за точку отсчета координаты х выбрать начало линии, то с увеличением х, т.е. с продвижением от начала линии к концу, напряжение и ток будут не увеличиваться, а уменьшаться. Поэтому телеграфные уравнения для этого случая запишутся: u дi = R i+ L x дt 0 0 ; i дu = G0 u+ C0. (4) дx дt Как видим, уравнения (), () и (3), (4) отличаются, друг от друга только знаками в левой части уравнений. Эти уравнения могут быть решены однозначно, когда заданы начальные и граничные условия, т.е. заданы значения напряжения и тока в начале или в конце линии в момент времени, принятый за нуль. Решение дифференциальных уравнений дает функциональные зависимости напряжения и тока от переменных x и t. Следует заметить, что при низких частотах и при малой длине линии, когда G о и С о малы, токи в начале и в конце линии практически одинаковы и линия может рассматриваться как цепь с сосредоточенными параметрами. Таким образом, разграничение понятий «короткая» и «длинная» линия связано с частотой, на которой работает рассматриваемая линия. (3) 3. УСТАНОВИВШИЙСЯ СИНУСОИДАЛЬНЫЙ РЕЖИМ В ОДНОРОДНОЙ ЛИНИИ. БЕГУЩИЕ ВОЛНЫ В курсе ТОЭ теория линейных цепей с распределенными параметрами рассматривается для синусоидального режима. Теория процессов на постоянном токе вытекает непосредственно из теории цепей синусоидального тока, если принять угловую частоту равной нулю.

13 При периодическом режиме под воздействием приложенного к линии синусоидального напряжения в любой точке линии напряжение и ток изменяются синусоидально с частотой источника питания. Это следует из линейности уравнений. Для анализа синусоидального режима воспользуемся комплексным методом. Обозначим комплексные действующие значения напряжения и тока на расстоянии х от конца линии через: = ( x) и I = I( x). Комплексные значения и I не зависят от времени t и являются только функциями х, поэтому частные производные по х заменим обыкновенными (простыми) производными. Заменяя мгновенные значения u и i в уравнениях () и () их комплексами, получим: d ( R0 j L0) I 0 I; dx = + ω = (5) di ( G j C ) Y dx = + ω = (6) Здесь о = R о + jωl о комплексное продольное сопротивление на единицу длины линии; Y о = G о + jωc о комплексная поперечная проводимость на единицу длины линии. Из уравнений (5) и (6) следует, что изменение напряжения в точке линии на единицу длины пропорционально току в этой точке линии, а изменение тока в точке линии на единицу длины пропорционально напряжению в этой точке линии. Взяв производную от уравнения (5), получим: d di 0. = (7) dx dx Подставим в уравнение (7) значение di из уравнения (6): dx d = 0 Y 0. (8) dx 3

14 4 Аналогично для тока ( I ) найдем: d I d Y 0 0 Y 0 I. dx = dx = (9) Обозначим комплексный множитель о Y о через γ, т.е. γ= ( R + jωl ) ( G + jω C ) =α+ jβ Величину γ называют коэффициентом распространения или постоянной распространения. Смысл такого названия поясним ниже. Поскольку комплексный множитель γ, как мы увидим в дальнейшем, входит в показатель степени, т.е. является верхним индексом, то мы будем его записывать без подчеркивания внизу, как это делается для комплексных величин, помня при этом, что γ величина комплексная. Итак, уравнения (8) и (9) запишутся в виде: d d I =γ ; =γ I или dx dx d 0; dx γ = (0) d I I 0. dx γ = () Получились одинаковые однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Следовательно, комплексы напряжения и тока вдоль линии изменяются одинаково. Как известно из математики, полное решение дифференциального уравнения равно сумме частного и общего решения. Частное решение, определяемое правой частью дифференциального уравнения (0), равно нулю. Общее же решение уравнения (0) для напряжения на расстоянии х от конца линии записывается в виде двух экспонент: P x P x = A e + A e. () Здесь А и А комплексные постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий; р и р корни характеристического уравнения.

15 Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0) имеет вид: p γ =0. Следовательно, корни характеристического уравнения равны р, = ±γ или р = γ; р = γ. Подставим значения корней в уравнение (). Окончательно уравнение () для напряжения будет иметь вид: = A e + A e (3) γx γx. Из уравнения (5) определим ток: d γx γx I = = γ ( A e A e ) = 0 dx 0 Y Y = ( A e A e ) = ( A e A e ) = Здесь 0 0 γx γx 0 γx γx 0 0 ( γx γx A ) γx A γx A e A e e e. = = (4) ( R + jωl ) = = = jϕ e Y 0 ( G0 + jωc0) комплексная величина, которую называют волновым (характеристическим) сопротивлением линии. Оно измеряется в омах (Ом). На постоянном токе (ω = 0) и при очень высокой частоте (ω = ) волновое сопротивление вещественное. Параметры γ и В называют вторичными или характеристическими параметрами однородной линии. Выясним физический смысл полученных решений, проанализировав уравнения (3) и (4). Перейдем от комплексных значений к мгновенным значениям напряжения и тока по правилу: j t j t u Im ( e ω ω = ) и i = Im ( I e ). Символ Im указывает на использование коэффициента при мнимой части комплекса. Итак, в соответствии с формулой (3) имеем для напряжения: 5

16 6 u = Im ( A e e + A e e ), γx jωt γx jωt jψ jψ где A = A e, A = A e, γ =α+ jβ. Следовательно: jψ Im( x j x j t jψ u = A e e α e β e ω + A e e αx e jβx e jωt ) = αx j( ω+β t x+ψ) αx j( ω β t x+ψ) = Im( A e e + A e e ) = αx = A e sin( ω t +β x+ψ ) + + A e sin( ωt β x+ψ ). αx Напряжение можно рассматривать как сумму двух составляющих u = u A + u А. Рассмотрим первую составляющую u A. Прием x = const, т.е. выберем фиксированную точку x. Тогда это будет синусоидальная функция времени с постоянной амплитудой A e αx. Если же принять t = const (например, t = 0), т.е. взять фиксированный момент времени и рассмотреть изменение мгновенного значения напряжения вдоль линии, то первая составляющая в соответствии с выражением αx ua = A e sin( ω t +β x+ψ ) будет распределена вдоль линии по закону синуса с амплитудой A e αx, которая растет x в соответствии с множителем e α от конца линии к ее началу, т.е. затухает от начала линии к ее концу (рис. 6, а). Следовательно, напряжение вдоль линии изменяется и по значению и по фазе. Расстояние между двумя точками линии, в которых фазы рассматриваемой слагающей напряжения отличаются на π называется длиной волны и обозначается λ. Итак, разность фаз между двумя точками, находящимися друг от друга на расстоянии λ, будет равна π, т.е.: ( ω t +ψ +β ( x+λ)) ( ω t +ψ +β x) = π или откуда длина волны β λ = π,. π λ= β

Каждый электрик должен знать:  Цифро-аналоговые преобразователи с суммированием напряжений

17 Рис. 6. Прямая (а) и обратная (б) бегущие волны в линии с распределенными параметрами Линии, физическая длина которых соизмерима с длиной волны λ передаваемого сигнала, считаются длинными линиями. Возьмем теперь другой фиксированный момент времени t > 0. Тогда составляющая ωt вызовет увеличение начальной фазы синусоиды, т.е. синусоида сместится вправо на величину ωt x =. Следовательно, значение напряжения u β A представляет собой волну, которая движется вдоль линии со скоростью υ, одновременно затухая. Иными словами, u A является прямой волной, бегущей от начала линии к ее концу. Итак, мгновенное значение напряжения u A изменяется по синусоидальному закону при изменении двух параметров: времени t и координаты x. Причем, при изменении t (x = const) амплитуда синусоиды не 7

18 меняется, а при изменении x (t = const) амплитуда синусоиды убывает от начала линии к концу. Величина α, характеризующая изменения амплитуды волны на единицу длины линии, называется коэффициентом затухания (километрическим коэффициентом затухания). Коэффициент затухания показывает, как убывает величина напряжения вдоль линии вследствие потерь энергии в проводах или изоляции линии. Коэффициент затухания величина безразмерная. Однако на практике единицей измерения затухания принято считать непер (Нп) или децибел (дб) на один километр. a( x x) a Из соотношения = = e рассчитывается коэффициент затухания (затухание на единицу длины), измеряемый в неперах на один километр и равный: 8 a = ln. Здесь и действующие значения напряжения в начале и в конце единичного участка (x x = ). α = Нп/км, если e или. = =,7 Коэффициент затухания может быть выражен в децибелах (дб) на один километр: P a = = = 0 lg 0 lg 8,69 ln (дб/км). P Отсюда следует, что Нп = 8,69 дб. Величина β, характеризующая изменения фазы на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы (километрическим коэффициентом фазы) и изменяется в рад/км. Убывание амплитуды волны вдоль линии обусловлено потерями в линии, а изменение фазы конечной скоростью электромагнитных колебаний. Оба эти коэффициента α и β входят в комплексный параметр γ= a+ jβ, который характеризует распространение волн напря-

19 жения и тока по линии и называется комплексным коэффициентом распространения. Скорость υ перемещения прямой волны вдоль линии называется фазовой скоростью волны. Она определяется как скорость перемещения точки, фаза колебаний в которой остается постоянной. Это условие для прямой волны записывается так: ω t +ψ +β x = const, (5) откуда: d ( t x) 0. dt ω+ψ+β = Следовательно ω+β dx = 0. dt Изменение координаты по времени есть скорость, значит, dx ω = v =. (6) dt β Знак «минус» указывает на то, что волна перемещается в направлении, обратном увеличению координаты х, т.е. волна перемещается от начала к концу линии. Аналогично, вторая составляющая u А является волной такой же длины λ, но бегущей вдоль линии со скоростью υ от конца линии к началу. Такую волну называют обратной волной, амплитуда которой равна Ae ax. В соответствии с множителем e αx волна затухает по мере продвижения от конца линии к началу (рис. 6, б). Результирующее напряжение u = uа+ uа можно представить как сумму прямой и обратной волн: u = u п + и о. Итак, мгновенное напряжение следует рассматривать как сумму двух волн, движущихся в противоположных направлениях с одинаковой фазовой скоростью υ причем каждая из этих волн затухает в направлении движения. Такие волны называются бегущими волнами. Постоянная интегрирования А характеризует прямую волну, а А обратную волну. Абсолютное значение скорости движения бегущих волн равно: ω π f v = =. β β 9

20 Учитывая, что π =λ, получим: v =λ f. Отсюда: λ= v = vt. I β f Здесь T = период питающего напряжения. f Фазовая скорость в воздушных линиях с медными проводами близка к скорости распространения электромагнитных 8 волн, т.е. к скорости света v = 30м/с. Следовательно, при частоте f = 50 Гц длина волны будет равна: 0 v f λ= = = 6 0 м = 6000 км, при частоте: f = 50 МГц = Гц длина волны будет равна: 8 v 30 λ= = = 6 м. 6 f 50 0 Следовательно, в первом случае длинной будет линия, измеряемая тысячами километров, а во втором случае несколькими метрами. Выражение для комплексного тока I, как видно из уравнения (4), такое же, как и для комплексного напряжения. Поэтому ток I можно рассматривать как наложение двух затухающих синусоидальных волн, бегущих навстречу друг другу с одной скоростью. При этом i = ia ia или i = iп iо. Представление установившегося процесса как алгебраической суммы двух волн является лишь удобным приемом, который носит формальный характер и определяется математическим разложением функций на составляющие, которые трактуются как прямая и обратная волны. В действительности в линии существуют только результирующий ток и результирующее напряжение. Однако представление действительных значений тока и напряжения в виде прямых и обратных волн бывает полезно не только при теоретическом расчете цепей с распределенными параметрами, но также в ряде случаев и на практике. В установившемся режиме падающие и отраженные волны наблюдать путем измерения нельзя, так как в каждой точке линии напряжение равно сумме напряжений падающей и отражен-

21 ной волн. В переходном режиме падающие и отраженные волны можно наблюдать каждую в отдельности, что используют в импульсных приборах, предназначенных для обнаружения повреждений в линиях. Зададим себе вопрос, почему волны напряжения складываются, а волны тока вычитаются. Как видно из рис. 7, волны напряжения и тока это движение положительных зарядов q п и q o. Напряжение на конденсаторе С равно: = q = ( q п + q о ), C C так как оба заряда повышают напряжение на конденсаторе независимо от направления движения этих зарядов (заряды складываются и напряжение суммируется). Отсюда следует, что напряжение между проводами есть сумма напряжений падающей и отраженной волн. На рис. 7 показано, что по отношению к напряжению u направления u п и и о одинаковы и совпадают с направлением u. Для тока же заряды вычитаются, так как направлены противоположно, а ток зависит от направления движения зарядов: i = ( qп qо). t Рис. 7. Движение зарядов в линии с распределенными параметрами как причина образования прямых и обратных волн напряжения и тока

22 Следовательно, ток есть разность падающей и отраженной волн. Из рис. 7 видно, что направление прямой волны тока совпадает с направлением i, а направление обратной волны тока противоположно направлению тока i, откуда следует, что i = i п i o. Перепишем уравнения (3) и (4), записывая прямую и обратную волны в комплексной форме: = + I = = I I ; п о п о п о, yx где п = A e комплексное напряжение прямой волны в точке х; о = A e yx комплексное напряжение обратной волны в точке х; I п, I o комплексные токи прямой и обратной волн в точке х. Нетрудно видеть, что напряжение и ток прямой и обратной волн связаны законом Ома: I п = = (7) п o ; I о. Соотношение (7) объясняет смысл названия волновое сопротивление. Волновым сопротивлением линии называется отношение напряжения бегущей волны к ее току. Оно зависит только от конструкции линии. В частности, для коаксиального кабеля оно зависит от отношения диаметров внутреннего электрода d и оболочки D. Как показывают расчеты, при постоянном значении внешнего диаметра D и отношении D:d =,7 кабель имеет наибольшую электрическую прочность или наибольшее пробивное напряжение. Это соответствует при воздушном заполнении волновому сопротивлению 50 Ом. Кабели с таким волновым сопротивлением применяются в радиопередающих устройствах для соединения передатчика с антенной.

23 Волновое сопротивление линии с потерями зависит от частоты питающего генератора и имеет активную и реактивную составляющие. Это означает, что напряжение и ток бегущей волны в реальной линии имеют фазовый сдвиг. Однако при высоких частотах, которые используют в радиотехнике, ωl 0 >> R 0 и ωс 0 >> G 0, поэтому можно считать волновое сопротивление линии с небольшими потерями чисто активным. Рассмотрим с качественной стороны, как распределяется напряжение вдоль линии. Распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно рассматривать как результат наложения напряжений двух затухающих волн прямой и обратной, перемещающихся вдоль линии в противоположных направлениях с одинаковой фазовой скоростью υ. Векторы действующего значения напряжения волн в разных точках отличаются как по амплитуде, так и по фазе (рис. 8, а, б). Амплитуда и действующее значение напряжения прямой волны уменьшаются от начала к концу, а амплитуда и действующее напряжение обратной волны уменьшаются от конца к началу. При движении наблюдателя от конца линии к началу (при t = const) фаза прямой волны изменяется на величину βx, т.е. увеличивается, а фаза обратной волны изменяется на величину βx, т.е. уменьшается. Если сложить в каждой точке линии эти векторы с разными модулями и фазами, то модуль результирующего вектора в каждой точке даст действующее значение напряжения в этой точке. В точках, где фазы напряжений одинаковы, наблюдаются максимумы, а в точках, где фазы противоположны, наблюдаются минимумы действующего значения напряжения. При изменении времени t разность фаз прямой и обратной волн в данной точке линии не изменяется. Поэтому действующее значение напряжения вдоль линии (рис. 8, в) изменяется волнообразно с рядом максимумов и минимумов, чередующихся примерно через четверть длины волны. Таким образом, в любой точке линии у каждой волны и у результирующего напряжения будет вполне определенные, не изменяющиеся с течением времени амплитудные и действующие значения, т.е. максимумы и минимумы напряжений имеют постоянные координаты. 3

24 Рис. 8. Изменение действующих значений и начальных фаз прямой (а) и обратной (б) волн. Распределение действующего значения напряжения вдоль линии с распределенными параметрами (в) 4 Пример. Кабель длиной l = 80 км имеет параметры: R =,4 Oм/км, L = 0,6 0 Гн/км, С = 38 0 Ф/км, G 0 = 0,8 0 Cм/км. Для частоты f = 300 Гц определить волновое сопротивление В коэффициент затухания α, длину волны λ, коэффициент фазы β, фазовую скорость υ, и задержку во времени τ при прохождении сигналом всей длины линии.

25 Решение: Комплексное продольное сопротивление 0 кабеля: R j L j j e 3 j = 0 + ω 0 =,4 + π 300 (0,6 0 ) =,4 +,3 =,46. Комплексная поперечная проводимость Y 0 кабеля: Y G j C j = 0 + ω 0 = 0,8 0 + π = j 89 0 = 0,8 0 + j7,6 0 = 7,6 0 e См. Волновое сопротивление j 540 0,46 e 4 j83 40 j4 5 = = = 6 0 e = 400 e Ом. 6 j 89 0 Y 0 7,6 0 e Коэффициент распространения: j540 6 j ,46 7,6 0 3 j γ=α+ jβ= Y = e e = = 8,63 0 e = (9,4 + j,) 0 /км. Отсюда коэффициент затухания и коэффициент фазы: Фазовая скорость: α = 0,094 Нп/км; β = 0,0 рад/км. ω π 300 v = = = км/с. β 0,0 Длина волны: π π λ= = = 300 км. β 0,0 Задержка по времени при прохождении сигналом всей длины линии: l 80 τ= = = v ,9 0 c. 5

26 Пример. Телефонная линия имеет волновое сопротивление j3,33 = 6 e Ом и коэффициент распространения j 75,40 3 γ= 0,08e / км при ω= 50 /c. Определить первичные параметры линии R 0, L 0, G 0 и C 0. 0 Решение: волновое сопротивление: =. Y 0 Коэффициент распространения: γ= 0 Y 0, γ следовательно, γ = 0, = Y 0. 0 Продольное комплексное сопротивление: j3,33 j75,40 j6,0 0 = R0 + jω L0 = γ = 6e 0,08e =,55 e = = (5,4+ j0,) Ом/км. Следовательно R ωl 0, = L = = = ω ,4 Ом/км, 0,04 0 Гн/км. 3 Поперечная комплексная проводимость j 75,40 γ 0,08e 5 j 88,77 Y = G + jω C = = = 30 e = j3,33 0 6e 6 5 Следовательно, С = 0, j3 0 ) См/км. 6 G 0 = 0,64 0 См/км = 0,64 мксм/км; ωс 30 = = = ω Ф/км = 6 нф/км. 6

27 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ А И А ИЗ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ Граничными условиями могут быть заданные значения напряжения и тока в начале или в конце линии. Пусть заданы напряжение в конце линии и сопротивление нагрузки, т.е. задан ток I = Тогда для конца линии, т.е. при x = 0 уравнение (3) и (4) запишутся: или или Отсюда = A + A ; I = ( A A ), A A I A A = + ; =.. A = ( + I ), (8) A = ( I ) (9) A = ( I + I ) = ( + ) I, A = ( I I ) = ( ) I. Если = В, то А = 0. Следовательно, обратные волны отсутствуют. Такую нагрузку называют согласованной. Согласование параметров линии и нагрузки часто применяют в устройствах связи, так как условие отсутствия обратных волн близко к условию, при котором приемник получает максимальную мощ- 7

28 ность (энергия передается от начала к концу прямой волной, обратная передача энергии отсутствует). Если В, в линии существуют обратные волны. Обратные волны можно рассматривать как результат отражения прямых волн от конца линии. Тогда обратные волны называют отраженными, а прямые падающими. Отражение происходит потому, что энергия падающих волн в конце линии либо вовсе не потребляется, либо потребляется частично. Отражение в радиолиниях нежелательно по ряду причин. Во-первых, если затухание в линии невелико, то отраженная волна создает эффект эха в начале линии. Вовторых, отражения связаны с потерей энергии. Часть энергии, достигшая приемного конца, не поступает в приемник, а возвращается по линии обратно в виде энергии отраженной волны. При этом возникает дополнительные потери энергии в сопротивлении R о и проводимости G о линии. Если сопротивление источника, питающего линию, не равно волновому сопротивлению линии, то отраженная волна, достигнув начала линии, претерпевает повторно отражение и т.д. Происходящая вследствие этого потеря энергии в линии понижает общий КПД передачи. В-третьих, в случае отражений может иметь место нежелательное увеличение напряжения или тока в линии. Сказанное выше поясняется рис. 9 и 0, на которых показано движение волн результирующего напряжения вдоль линии при согласованной и несогласованной нагрузке. Вследствие указанных причин на практике стремятся согласовать сопротивление приемника с волновым сопротивлением линии. Итак, если = и I =, то A = 0, A = ( + I ) =. Следовательно, закон изменения напряжения и тока вдоль линии будет записываться в комплексной форме так: 8 = e = e = e e γx ( α+ jβ) x αx I = I e = I e = I e e γx ( α+ jβ) x αx j( β x+ψu ) j( β x+ψi ).,

29 Рис. 9. Движение волн результирующего напряжения вдоль линии при согласованной нагрузке. Отраженные волны отсутствуют Рис. 0. Движение волн результирующего напряжения вдоль линии при несогласованной нагрузке. В линии существуют отраженные волны 9

30 Действующие значения напряжения и тока (модули комплексных значений) будут распределяться вдоль линии по экспоненциальному закону (рис., а): 30 αx = e ; I = I e. α x Напряжение и ток в начале линии длиной l будут равны: e I I e γ l γl = ; =. Входное сопротивление вх линии, замкнутой на волновое сопротивление ( = В ): = = = = вх I I также равно волновому сопротивлению. Мощность, передаваемая по согласованной линии называется естественной или натуральной мощностью. В воздушных линиях напряжением 35 кв натуральная мощность составляет 3МВт, а в линиях 0 кв 30 МВт. Если же нагрузка несогласованная, т.е. В, то А 0, и в линии существуют как падающие, так и отраженные волны. Подставим значения А и А из уравнений (8) и (9) в уравнения (3) и (4) будем иметь: γx γx = ( + I ) e + ( I ) e = γx γx γx γx e + e e e = + I ; γx γx I = ( + I ) e ( I ) e = γx γx γx γx e e e + e = + I. Учитывая, что e γx + e γx = ch( γ x) гиперболический косинус γх, (0) ()

31 и e γx e γx = sh( γ x) гиперболический синус γх, уравнения (0) и () можно записать в гиперболической форме: = ch( γ x) + I sh( γ x); () sh( γx) I = + I ch( γ x). (3) Если длина линии l, то напряжение и ток I в начале линии будут выражаться: I = ch( γ l) + sh( γl ); (4) sh( γl) I = + I ch( γl ). (5) Сравнивая уравнения (4) и (5) с уравнениями симметричного четырехполюсника, записанными в форме А: = A + I и I = C + DI, можно заметить сходство этих уравнений. Следовательно, если рассматривать напряжения и токи только в начале и в конце линии, то однородную линию можно представить симметричным четырехполюсником, у которого A = D = ch( γ l); = sh( γ l); C = sh( γl). Причем AD C = γ γ = ch ( l) sh ( l ). Постоянная передачи g такого эквивалентного четырехполюсника будет равна: g ln( A C) ln(ch( ) sh( )) ln e γ l = + = γ l + γ l = =γl, 3

32 а характеристическое сопротивление C выразится: 3 C sh( γl) = = = C sh( γl ) Из уравнений (4) и (5), можно, применив закон Ома, найти входное сопротивление линии со стороны первичных выводов: + th( γl) вх = =. (6) I th( γ l) + Если уравнение (4) записать в виде = ch( γ l) + sh( γl ), (7) то при заданных значениях напряжения и сопротивления нагрузки можно определить напряжение на нагрузке = (8) ch( γ l) + sh( γl) и ток в нагрузке I =. (9) ch( γ l) + sh( γl) Из уравнений (4) и (5) можно выразить напряжение и ток I через напряжение и ток I : = ch( γl) I sh( γl ); (30) I = I ch( γl) sh( γl ). (3) Формулы (30) и (3) позволяют выразить напряжение и ток в любой точке линии через напряжение и ток в начале линии: = ch( γy) I sh( γ y), (3) I = I ch( γy) sh( γ y), (33) где y = l x расстояние от начала линии до данной точки..

33 Заметим, что напряжение и ток в любой точке линии на расстоянии х от ее конца можно выразить через напряжение в начале линии и сопротивление нагрузки. Для этого подставим уравнения (8) и (9) в уравнения () и (3), после чего получим: ch( γ x) + sh( γx) = ; (34) ch( γ l) + sh( γl) I = sh( γ x) + ch( γx). ch( γ l) + sh( γl) (35) Приведенные выше формулы позволяют исследовать линии с распределенными параметрами в интегрированном пакете MATHCAD. Пример применения интегрированного пакета MATHCAD для исследования линии с распределенными параметрами в установившемся режиме при питании ее синусоидальным напряжением приведен в приложении. Запишем уравнения (4) и (5) для режима ХХ (I 0 = 0): = γ l I = γl ch( ); O O O O sh( ). Тогда входное сопротивление в режиме ХХ будет равно: O O = = γl I O cth( ). В режиме короткого замыкания ( К = 0) уравнения (4) и (5) запишутся: K = I K sh( γ l); I K = I Kch( γl). Входное сопротивление в режиме КЗ будет равно: K th( ). K = = γl I K Умножая входные сопротивление в режиме ХХ и КЗ получим: 33

34 34 O K =, oткуда = O K. (36) Эта формула позволяет экспериментально определить волновое сопротивление линии, измерив, входное сопротивление линии при холостом ходе и коротком замыкании. Зная сопротивление в режиме холостого хода и короткого замыкания, можно определить не только волновое сопротивление, но и коэффициент распространения γ. Для этого разделим сопротивление в режиме короткого замыкания на сопротивление в режиме холостого хода: К thγl = = th γl или, извлекая квадратный корень из левой и правой частей уравнения, получим: = th γl. 0 cthγl К 0 Отсюда значение коэффициента распространения определится: ath К γ=. l 0 Заметим, что коэффициент распространения γ можно определить и без помощи обратных гиперболических функций. Для этого представим уравнение γ l γl γ l К K shγ l e е e = thγl в виде = = = γ l γl γ l. 0 0 chγ l e + е e + Решая это уравнение, получим: K + γl 0 e =. K 0 К К Отсюда: γ= ln + ln. l 0 0

35 Появление обратных волн можно рассматривать как результат отражения прямых волн от конца линии. Введем понятие комплексных коэффициентов отражения волны напряжения и волны тока, которые равны: A A n = = ; ni = =, A + A + т.е. n = ni. При разомкнутой линии (режим ХХ) = ; n = ; n I =, т.е. волна напряжения отражается без перемены знака. Следовательно, на конце линии падающая и отраженная волны напряжения равны по значению и одинаковы по знаку. Результирующее напряжение на конце линии оказывается в два раза больше напряжения падающей волны. Волна тока отражается от конца линии с переменной знака, т.е. падающая и отраженная волны тока равны по значению и противоположны по знаку. Следовательно, результирующий ток на конце линии равен нулю. Для линии замкнутой на конце накоротко = 0; n = ; n I =, т.е. волна напряжения отражается с переменной знака, а волна тока без перемены знака. В этих двух случаях отражение происходит без изменения значения напряжения и тока падающих волн. Если = В, то n = 0; n I = 0 и отраженных волн не будет (рис. ). Пример 3. Кабель длиной l = 30 км имеет j 36,9 волновое сопротивление = 00 e = (60 j0) Ом, j 53, коэффициент распространения γ= 0,05 e = (0,03 j0,04) /км. Кабель нагружен на активное сопротивление R = 300 Ом. Каким должно быть напряжение на входе кабеля, чтобы напряжение на нагрузке было равно = 60 В? Какой будет ток на входе? Решение: уравнения, связывающие напряжение и токи на входе и выходе однородной длинной линии, независимо от конструкции этой линии имеют вид: + I γl I γl = e + e, + I γl I γl I = e e. 35

36 Зная сопротивление нагрузки, найдем ток нагрузки I, приняв, что напряжение на нагрузке имеет нулевую начальную фазу, т.е. 36 Рис.. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль длинной линии с потерями (а) и без потерь (б) при согласованной нагрузке 60 = = 60 В. Тогда I = = = 0, Α. R 300 Затухание линии γ l = (0,03+ j0,04) 30 = 0,9+ j,. Напряжение в начале линии: , (60 j0) (0,9+ j,) 60 0, (60 j0) (0,9+ j,) = e + e = 0,9 j, 0,9 j, = (46 j) e e + (4 + j) e e. Заменим угол в радианах, равный,, на угол в градусах, исходя из соотношения:, 80 = 68,75. π

37 j, j68,75 j, j68,75 Тогда e = e и e = e. Учитывая, что e = = = 0,4; 46 j = 47,5e j4,6 ;, j = 8,4e j40,6, 0,9 0,9,46; e вычислим напряжение в начале линии: j4,6 j68,75 j40,6 j68,75 = 47,5e,46e + 8,4e 0,4e = j54,5 j8,5 6,8e 7,36 e (68,4 j94,7) (6,5 j3,47) + = + + = j 50,6 = 74,9 + j9,3 = 8 e. Первое слагаемое в скобках есть значение падающей волны напряжения в начале линии, а второе значение отраженной волны в начале линии. Следовательно, напряжение на входе кабеля должно быть 8 В. Ток в начале линии получим, разделив значение падающей и отраженной волн в начале линии на величину волнового сопротивления: j54,5 j8,5 6,8e 7,36e I = e e e j36,9 j36,9 00e 00e = + = j9,05 j8,75 j9 0,584 0,037 0,58 A. Ток в начале линии равен 0,58 А. Заметим, что напряжение и ток в начале линии можно найти, применив формулы (4) и (5) с гиперболическими функциями. Например, напряжение в начале линии в соответствии с (4) запишется: = ch( γ l) + I sh( γl). Определим гиперболические функции для γl = 0,9 + j, = = 0,9 + j68,75. Гиперболический косинус γl γl 0,9 j68,75 0,9 j68,75 j68,75 j68,75 e + e e e + e e,46e + 0,4e ch( γ l) = = = = (0, j,9) + (0,45 j0,373), j,97 = = = j 6,8 = 0,5 + j0,958 =,086 e. 37

38 Гиперболический синус γl γl 0,9 j68,75 0,9 j68,75 j68,75 j68,75 e e e e e e,46e 0,4e sh( γ l) = = = = (0,8905+ j,9) (0,45 j0,373) = = = + = Напряжение в начале линии: j 74,3 0,373 j,33,38 e. j6,8 j36,9 j74,3 l j6,8 j37,4 j5 = ch( γ l) + I sh( γ ) = 60, 086e + 00e 0,,38e = = 65,6e + 55,e = 74, + j9,6 = 8 e. Как видим, полученное значение практически совпадает с вычисленным ранее значением. Пример 4. Известно, что мощность передающего телефонного аппарата составляет мвт, а мощность, подводимая к приемному телефонному аппарату должно быть не меньше мквт. Сопротивление телефонного аппарата согласовано с линией. Определить отношение действующих значений напряжений в конце и в начале линии, а также затухание линии αl и КПД. Решение: мощность, подводимая к приемному аппарату, равна: P I cos cos cos. = ϕ = ϕ = ϕ Мощность передающего аппарата: cos cos. = ϕ = ϕ P I Поскольку при согласованной нагрузке = В = и cosϕ = cosϕ можно записать 38 P =. = P

39 Отсюда, 3 P 0 = = = = 6 P 0 3 0,5 0,36. Следовательно, =,36. a a При согласованной нагрузке = e l l или = e. Отсюда затухание линии al = ln = ln,36 = 3,07 Нп. Затухание линии может быть найдено и из соотношения: P P Отсюда затухание линии = = e = e al al ( ). P al = = = = P ln ln500 6,4 3,07 Нп. Коэффициент полезного действия: P P al 3,07 η= = = = = e e 0,00 0,%. 5. ЛИНИЯ БЕЗ ИСКАЖЕНИЯ (НЕИСКАЖАЮЩАЯ ЛИНИЯ) Сигналы, передаваемые по линии связи, представляют собой совокупность множества различных частот, причем каждая гармоника может передаваться по линии с разными коэффициентами затухания и с разной скоростью. Если, двигаясь по линии с разными скоростями, каждая гармоника будет и затухать по-разному, то это приведет к нежелательным амплитудным и фазовым искажениям. Возникает так называемая дисперсия волны в линии. Чтобы избежать этих искажений, нужно иметь не зависящий от частоты коэффициент затухания, т.е. коэф- 39

40 фициент, при котором все гармоники затухали бы одинаково. Кроме того, все гармоники должны двигаться вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью. Если же скорость движения волн на разных частотах будет неодинакова, то возникают фазовые искажения. Следовательно, для того чтобы линия была неискажающей, т.е. форма сигнала в конце линии была бы подобна форме сигнала в начале линии, необходимо иметь не зависящий от частоты коэффициент затухания α и коэффициент фазы β прямо пропорциональный частоте. Для этого необходимо соблюдение равенства: R0 G0 = = k, (37) L0 C0 тогда коэффициент распространения γ будет равен: 40 R 0 G 0 γ= ( R0 + jωl0) ( G0 + jω C0) = LC jω + jω = L0 C0 = LC ( k+ jω ) = LC ( k+ jω ) = RG + jω LC В этом случае коэффициент затухания α= RG 0 0 не зависит от частоты, а коэффициент фазы β=ω LC 0 0 пропорционален частоте и скорость распространениях волн на всех частотах ω ω υ= = = (38) β ω LC LC будет постоянной. Следовательно, все гармоники будут двигаться синхронно, неподвижно относительно друг друга. Линия, параметры которой удовлетворяют условию (37), называется линией без искажений, поскольку любые сигналы распространяются по ней с сохранением их формы. Линия без искажения является одновременно и линией с минимальным затуханием, которое только и возможно при заданных параметрах R 0 и G 0. Минимальным будет и коэффициент фазы β. В этом случае фазовая скорость принимает максималь-

41 ное значение, равное скорости распространения электромагнитных волн в диэлектрике, окружающем провода линии: υ0 υ= =. (39) LC 0 0 εµ r r 8 Здесь υ 0 = 30 м/с скорость света в вакууме. ε r и µ r относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика, окружающего провода линии с распределенными параметрами. Для воздушных линий Ом, а υ м/с, так как ε r и µ r близки к единице. Для кабельных линий 50 Ом, а υ,5 08 м/с так как относительная диэлектрическая проницаемость изоляции кабеля ε r примерно равна 4. Волновое сопротивление линии без искажений действительное число, что равносильно активному сопротивлению, не зависящему от частоты: R 0 L0 + jω ( R0 + jωl0) L0 L0 = = =. ( g0 + jωc0) g C 0 0 C0 + jω C0 (40) Как видно из формулы (40), волновое сопротивление тем больше, чем больше индуктивность L 0 и тем меньше, чем больше емкость С 0. Для устранения искажений, вызванных несогласованностью сопротивления приемника с линией, т.е. во избежание отражений на приемном конце сопротивление приемника должно быть равно волновому сопротивлению линии. Ввиду того, что волновое сопротивление линии без искажений является активным, при согласованной нагрузке напряжение и ток в любой точке линии совпадают фазе. На практике условие (37), как правило, не выполняется даже для воздушных линий и тем более для кабельных. R0 G0 Обычно >. L C 0 0 4

42 Чтобы сделать линию неискажающей, необходимо либо увеличить G 0, либо уменьшить R 0, C 0. Уменьшение R 0 возможно за счет увеличения сечения провода, что, безусловно, значительно увеличило бы стоимость линии. Увеличение G 0 за счет больших утечек также экономически невыгодно, так как увеличивается затухание в линии и уменьшается ее КПД. Уменьшение С 0 также увеличило бы стоимость линии, так как пришлось бы увеличить расстояние между проводами линии. Наилучшим средством является искусственное увеличение L 0 за счет включения в линию через определенное расстояние индуктивных катушек или применение кабеля, проводящие жилы которого обмотаны тонкой лентой из материала с высокой магнитной проницаемостью. Следует иметь в виду, что с увеличение L 0 уменьшается одновременно и скорость движения волн υ=. I L C Пример 5. Телефонная линия характеризуется параметрами: R 0 = Ом/км; L 0 = мгн/км; G 0 = мксм/км; C 0 = 6 нф/км. Определить значение индуктивности L доп, которую надо включить на каждый километр длины, чтобы линия стала неискажающей. Решение: для неискажающей линии должно соблюдаться условие: L0 + Lдоп C0 =. R G 0 0 RC 0 0 Отсюда Lдоп + L0 =. G0 Дополнительная индуктивность равна: 9 RC Lдоп = L0 = 0 = 6 G = = 64 0 = 64 мгн/км. Заметим, что поскольку индуктивность на единицу длины увеличилась в 66 = 33 раза, то скорость движения волны уменьшилась в 33, т.е. почти в 6 раз.

43 6. ЛИНИЯ БЕЗ ПОТЕРЬ В воздушных и кабельных линиях индуктивное сопротивление линии ωl 0 значительно превышает активное сопротивление R 0, а емкостная проводимость ωc 0 превышает активную проводимость G 0. С ростом частоты разница между указанными величинами возрастает еще больше, что дает основание в первом приближении пренебречь активными сопротивлениями и проводимостью по сравнению с соответствующими реактивными составляющими, т.е. принять R 0 = 0 и G 0 = 0. Такую идеализированную линию называют линией без потерь. Для линии без потерь вторичные параметры принимают довольно простой вид: или jωl L = = = Y jωc C γ= a+ jβ= 0 Y 0 = jωl0 jω C0 = jω L0 C0 a= 0; β=ω L C. 0 0 Следовательно, в линии без потерь затухание отсутствует, а фазовая скорость постоянная: ω υ= = β 0 0 т.е. отсутствуют фазовые искажения. Выражения для коэффициента фазы, фазовой скорости и волнового сопротивления линии без потерь совпадают с выражениями, полученными для неискажающей линии с потерями. Следовательно, линия без потерь является неискажающей линией. L C 7. РЕЖИМЫ РАБОТЫ ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ. СОГЛАСОВАННАЯ НАГРУЗКА В линии без потерь напряжение и ток каждой волны совпадают по фазе, так как волновое сопротивление линии чисто активное. Режим линии без потерь, как и линии с потерями, опре-,, 43

44 деляется не только свойствами самой линии, но и нагрузкой на ее конце. Рассмотрим режим линии без потерь при различных нагрузках. Вначале исследуем закон распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии без потерь при согласованной активной нагрузке, когда L0 = = и I = I =. C 0 Из формул (8) и (9) следует, что A = и А = 0, т.е. напряжение и ток в линии в точке х будут определяться только прямой волной, так как отраженная волна будет отсутствовать: = e = e e = e (4) jβx jψ jβχ j( β x+ψ ) ; I = I e = I e e = I e (4) jβx jψi jβx j( β x+ψi ). Из формул (4) и (4) следует, что действующее значение напряжения и тока I вдоль линии без потерь не изменяется (рис., б), а изменяется лишь его начальная фаза. Затухание в линии отсутствует. Входное сопротивление линии (при x = l): jβl e вх = = = = j = βl I I e I при любой ее длине равно волновому сопротивлению (или сопротивлению приемника). Следовательно, линия без потерь с согласованной нагрузкой представляет для генератора чисто активную нагрузку. Мощность, проходящая через любое сечение линии, будет иметь постоянное значение и будет равна мощности, потребляемой приемником энергии ХОЛОСТОЙ ХОД И КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ В ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ Исследуем закон распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии без потерь в режиме холостого хода, когда = ; I = 0. Зависимость комплексного действующего напряжения вдоль линии без потерь будет выражаться j x j x A e β β = + A e.

45 Постоянные интегрирования при заданных граничных условиях (I = 0) будут равны: A = ( + I ) =, A = ( I ) =. Таким образом, комплексные действующие значения падающей и отраженной волн в конце линии равны друг другу. При движении волн их действующие значения не изменяются, а изменяются только фазы. Следовательно, jβx jβx jβx jβ x e + e = e + e = = ch( jβx). Нетрудно видеть, что jβx jβx e + e cos( β x) + jsin( β x) + cos( βx) jsin( βx) ch( jβ x) = = = cos( βx). Тогда = cos( β x ). (43) Аналогично для тока: A jβx A jβx jβx jβx I = e e = e e = sh( jβx). Учитывая, что jβx jβx e e cos( β x) + jsin( βx) cos( β x) + jsin( βx) sh( jβ x) = = = jsin( βx), получим I = j sin( β x). (44) Как видно из уравнения (43), напряжения во всех точках линии, для которых cos( β x) > 0, имеют одну и ту же фазу, т.е. одновременно достигают максимальных значений и изменяют фазу на (π), сохраняя ее также постоянной в точках, для которых cos( β x) 46 изменяется cos(βx). Уравнение (43) для действующих значений напряжений запишется: = cos( β x). (45) Модуль cos(βx) взят, исходя из того, что действующее значение напряжения не может быть отрицательным, а cos(βx) λ изменяется от + до. В точках с координатами х = 0,, λ и т.д. действующие значения напряжения наибольшие, т.е. в этих точках находятся пучности напряжения, так как cos(βx) λ 3λ 5λ при этом обращается в. В точках, где x =. и т.д., действующие значения напряжения равны нулю, так как cos(βx) = 0 и в этих точках имеют место узлы напряжения. На рис. 3, а показан график распределения действующего значения напряжения вдоль линии при ХХ. Действующее значение тока вдоль линии при ХХ, как следует из уравнения (44) распределяется по закону выпрямленной синусоиды (рис. 3, а): I = sin( βχ ). (46) 46 Рис.. Изменение волн напряжения во времени вдоль линии без потерь в режиме холостого хода. Образование стоячих волн

47 Рис. 3. Распределение действующих значений напряжения и тока вдоль линии без потерь в режиме ХХ (а) и режиме КЗ (в) и зависимости входного сопротивления линии от ее длины в режиме ХХ (б) и режиме КЗ (г) 47

48 Следовательно, пучности тока совпадают с узлами напряжения, а узлы тока с пучностями напряжения, т.е. узлы и пучности сдвинуты относительно друг друга на четверть волны. Такое распределение напряжения и тока носит название стоячей волны. Волны называются стоячими потому, что их максимальные и нулевые значения не перемещаются вдоль линии, а все время находятся в одних и тех же точках. Таким образом, в результате наложения (интерференции) двух незатухающих бегущих навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами получаются стоячие волны. Из теории колебательных движений известно, что стоячая волна с пучностью на конце получается при полном отражении падающей волны без перемены знака, что и имеет место при холостом ходе в линии без потерь, когда амплитуды прямой и обратной волн равны. Фазы падающей и отраженной волн непрерывно изменяются в противоположных направлениях : одна фаза растет, другая уменьшается. Однако, поскольку модули синусоид равны, то фаза результирующей волны остается постоянной, изменяясь после узла скачком на величину π, так как вектор результирующего напряжения изменяет свое направление на 80. В тех точках линии, где фазы падающей и отраженной волн совпадают, образуются пучности, а в тех точках, где волны находятся в противофазе, образуются узлы. Отношение действующих значений напряжения и тока в пучностях равно волновому сопротивлению. Стоячие волны будут возникать и при коротком замыкании на конце линии, когда = 0; = 0. Постоянные интегрирования A и A при заданных граничных условиях будут равны: 48 A = ( + I ) = I ; A = ( I ) = I. Распределение напряжения вдоль линии запишется: jβχ jβχ jβχ jβχ e e = Ae + Ae = I = I sh( jβ x) = (47) = j I sin( βx).

49 Распределение тока вдоль линии будет иметь вид jβχ jβχ A jβχ A jβχ e + e I = e e = I = = I ch( jβ x) = I cos( βx). (48) Для действующих значений напряжения и тока будем иметь = I sin( β x), (49) I = I cos( β x). (50) Из этих выражений следует, что действующее значение напряжения распределяется вдоль линии по закону выпрямленной синусоиды, а тока по закону выпрямленной косинусоиды (рис. 3, в). При наличии стоячих волн мощность в узлах напряжения и узлах тока всегда равна нулю. Следовательно, энергия через эти точки от начала линии к ее концу не передается. Значит и передача активной мощности вдоль линии не происходит. Однако на участках линии между узлами напряжения и тока существует определенный запас электромагнитной энергии. Эта энергия периодически переходит из одного вида в другой, за счет чего возникают колебания электромагнитной энергии на этих участках. Например, в момент времени, когда ток вдоль линии оказывается равным нулю, а напряжение достигает максимального значения, вся энергия переходит в электрическую энергию или энергию электрического поля. В момент времени, когда напряжение вдоль линии оказывается равным нулю, а ток достигает максимального значения, вся энергия переходит в энергию магнитного поля. Стоячие волны возникают и в том случае, если линия в конце нагружена на реактивное сопротивление (индуктивное или емкостное). Но в этом случае в конце линии не будет ни пучности ни узла. В этом случае энергия в линии и в приемнике также не расходуется. Для передачи энергии должны существовать бегущие волны напряжения и тока. Пример 6. Определить параметры L 0 и C 0 воздушной линии без потерь, если ее волновое сопротивление = 300 Ом, а фазовая скорость υ= 30 5 км/с. 49

50 Решение: для линии без потерь ω ω υ= = = β ω LC Следовательно, Отсюда C LC υ L υ= 0 LCC = C0 = = = = α= β=ω LC = L 0 0; 0 0; ; C 0. 9, 0 Ф/км =, нф/км. Для определения L 0 воспользуемся соотношением L υ 0 = CL 0 0 = L0 C0. Отсюда L = = = υ Гн/км = мгн/км ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ Входное сопротивление линии без потерь определяется как отношение напряжения к току на входных зажимах, т.е. вх = I В режиме ХХ ( = = ; I O 0). = β l I = j βl Следовательно, O O O cos( ); O sin( ). O вх = = β = j β = jx I O j. ctg( l) ctg( l ). (5)

Каждый электрик должен знать:  Подключение реле времени через реле напряжения

51 В режиме короткого замыкания ( = 0; K = 0) Следовательно, ji I I K = K sin( β l); K = K cos( βl). K вхк = = j β = jx I K tg( l ). (5) В обоих случаях входное сопротивление чисто реактивное. Значение и характер входного сопротивления ( индуктивное или емкостное) зависят от длины линии l (рис. 3, б, г). Если длина λ π линии l= и β l =, то входное сопротивление разомкнутого 4 отрезка линии равно нулю, а короткозамкнутого отрезка линии равно бесконечности. Это обстоятельство дает возможность использовать короткозамкнутый четвертьволновый отрезок линии как изолятор для изоляции высокочастотных линий вместо диэлектрических изоляторов, применение которых на высоких частотах вызывает большие потери в диэлектрике. λ При l 52 Замену индуктивного и емкостного элементов отрезками линии без потерь целесообразно производить в тех случаях, когда эти элементы при высоких частотах приходится включать параллельно или последовательно приемнику. Справедливо и обратное утверждение, что часть линии в конце можно заменить индуктивностью или емкостью. Пример 7. Определить входное сопротивление ВХ короткозамкнутой линии без потерь длиною в λ (где λ длина волны). 8 βλ Решение: длина линии l = λ, следовательно, β l = 8 8 π π π Учитывая, что λ=, получим β l =β =. β β8 4 Входное сопротивление линии без потерь в режиме КЗ: π вх = j tg( β l) = j tg = j. 4 Следовательно, короткозамкнутая линия длиной 8 λ представляет собой чистую индуктивность, причем величина ее равна волновому сопротивлению линии. Пример 8. Линия без потерь, работающая на частоте 5 кгц, имеет волновое сопротивление = 300 Ом. Коэффициент фазы β = 0,5 рад/км. В конце линии включена индуктивность L = 0,0 Гн. Найти, на каком расстоянии х от конца линии будет ближайшая пучность тока? Решение: индуктивное сопротивление в конце линии 5 X =ω L = π fl = π ,0 = 68 Ом. L Индуктивность в конце линии можно заменить замкнутым на конце отрезком линии. В конце этого отрезка будет находиться пучность тока. Определим минимальную длину с этого отрезка из сравнения входного сопротивления отрезка линии с сопротивлением индуктивности: вхк = j tg( β x) = jω L = jx. L

53 Отсюда X L 68 tg( β x) = = =, Следовательно,,5 β x =,5 рад, x = = 0 км. 0,5 Таким образом, отключив индуктивность, следует удлинить линию на 0 км. В конце этого отрезка будет находиться пучность тока, а ближайшая от конца удлиненной линии пучность будет находиться на расстоянии λ π π = = = 7,9 км β 0,5 или от индуктивности на расстоянии λ 7,9 0 7,9 км. x = = Пример 9. Двухпроводная линия без потерь имеет волновое сопротивление 490 Ом, коэффициент фазы β = 0,034 рад/м и подключена к гармоническому напряжению с частотой f =,5 МГц. В конце линии включен конденсатор С = 00 пф. Напряжение на конденсаторе С = 400 В. Чему равны напряжение в точке, соответствующей пучности напряжения и ток в точке, соответствующей пучности тока. Решение: конденсатор в конце линии можно заменить разомкнутым на конце отрезком линии. Минимальная длина этого отрезка определится из равенства сопротивления конденсатора входному сопротивлению линии при ХХ. Сопротивление конденсатора j = = j530 Ом. 6 ωc π, Входное сопротивление разомкнутой линии без потерь: вхо = j ctg( β x) = j = j530 Ом. ω C 53

54 Отсюда / ωc 530 ctg( β x) = = =, Следовательно, βх = 0,745 рад или 4,4. Минимальная величина отрезка х равна βx 0,745 x = = = 3,7 м. β 0,034 Таким образом, конденсатор можно заменить отрезком линии, равным 3,7 м. В конце этого отрезка будет находиться пучность напряжения. Определим напряжение в конце удлиненной линии или напряжение пучности из соотношения: Отсюда = cos( βx). C пучн C 400 пучн 0 = = = 544 В. cos( β x) cos 4,40 Значение тока в точке, соответствующей пучности тока: I пучн пучн = = = , А. 0. ПРОИЗВОЛЬНАЯ НАГРУЗКА ЛИНИИ БЕЗ ПОТЕРЬ. КОЭФФИЦИЕНТ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ Если сопротивление нагрузки не равно волновому сопротивлению линии, то в линии существуют как падающая, так и отраженная волны. Полное напряжение в любой точке линии есть сумма напряжений падающей и отраженной волн (или прямой и обратной). В линии без потерь модули векторов действующих значений напряжения вдоль линии не изменяются. Фазы же векторов напряжения волн изменяются при переходе от точки к точке вдоль линии. В точках, где векторы П и O совпадают по фазе, результирующее напряжение максимальное макс = П + О, 54

55 а в точках, где эти векторы противоположны по фазе, напряжение минимальное: мин = П О. Чем больше величина отраженной волны, тем больше колебания величины напряжения (рис. 4). Отношение минимального напряжения к максимальному оценивает степень согласования нагрузки и называется коэффициентом бегущей волны: min П О kб = =. (55) + max П О Рис. 4. Распределение действующего значения напряжения вдоль линии без потерь при несогласованной нагрузке На рис. 5 показано распределение напряжения вдоль линии без потерь при различных значениях активной нагрузки, Рис.5. Распределение напряжения вдоль линии без потерь при различных значениях активной нагрузки, включенной на конце линии 55

56 включенной на конце линии. При согласованной нагрузке ( = ) отраженные волны отсутствуют и напряжение вдоль линии постоянное. При = и при = 0,5, т.е. при несогласованной нагрузке наблюдаются колебания напряжения. Значение сопротивления активной нагрузки можно вычислить по формуле: =, (56) λ /4 где значение напряжения в конце линии; λ/4 значение напряжения в точке, отстоящей на одну четвертую длины волны от конца линии. 56. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ЛИНИИ ДЛЯ СОГЛАСОВАНИЯ НАГРУЗКИ Уравнения (4) и (5) для линии без потерь (γ = jβ; В = В ) запишутся: = ch( jβ l) + I sh( jβ l) = cos( β l) + ji sin( βl); sh( jβl) I = + I ch( jβ l) = j sin( β l) + I cos( βl) λ π λ π при l = изменение фазы β l = =, 4 λ 4 следовательно, для четвертьволновой линии π π = cos + ji sin = ji ; π π I = j sin + I cos = j. Входное сопротивление такой линии будет равно I =. вх I = При чисто активной нагрузке I = R.

57 Следовательно, входное сопротивление четвертьволнового отрезка линии без потерь, замкнутого на активное сопротивление, так же активное и равно вх = Rвх = R Следовательно, четвертьволновая линия без потерь может использоваться как трансформатор для согласования сопротивлений. Волновое сопротивление такой линии определяется из выражения. = Rвх R (57) В этом случае четвертьволновую линию называют четвертьволновым трансформатором, поскольку эта четвертьволновая линия трансформирует волновое сопротивление питающей линии к сопротивлению нагрузки. РЕЖИМ ХОЛОСТОГО ХОДА В ЛИНИИ С ПОТЕРЯМИ В реальной линии с потерями R 0 0, G 0 0, α 0. Уравнение для напряжения вдоль линии при ХХ (I = 0) записывается = e + e = Воспользуемся формулой Эйлера αx jβx αx jβx γx γ x e e + e e jβx jβx e = cosβ x+ jsin β x и e = cosβx jsin βx. Тогда напряжение выразится:. αx αx e (cosβ x+ jsin β x) + e (cosβx jsin βx)) = = αx αx αx αx e + e e e = cosβ x + jsinβ x = = (ch( αx) cosβ x+ jsh( αx) sin( β x) = ( a+ jb). (58) 57

58 Модуль напряжения вдоль линии из уравнения (58) определяется: b x x x x = α + = ch ( α ) cos β + sh ( α ) sin β (59) учитывая, что: + cosβx cosβx cos β x = и sin β x = подкоренное выражение формулы (59) можем записать: + cosβx αx β x+ αx β x = αx + cosβx ch( α x) + sh( αx) + sh ( αx) = + ch ( αx) sh ( αx) + cos βx ch ( ) cos sh ( ) sin ch ( ) Из математике известно, что: ch ( α x) + sh ( α x) = ch( αx); ch ( αx) sh ( α x) =. Следовательно, действующее значение напряжения: ch( αx) cos βx = + = (ch( α x ) + cos β x ). (60) Пояснение к тому, как по выражению (60) строится кривая распределения напряжения вдоль линии с потерями, приведено на рис. 6. Заметим, что в режиме короткого замыкания напряжение в линии с потерями после аналогичных выкладок будет иметь вид: = I (ch( αx ) cos β x ). (6) 58

59 Рис. 6. Пояснение к определению действующего значения напряжения вдоль линии с потерями в режиме холостого хода 3. НЕОДНОРОДНАЯ ЛИНИЯ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ДВУХ УЧАСТКОВ ОДНОРОДНЫХ ЛИНИЙ Рассмотрим случай, когда линия с распределенными параметрами неоднородная и состоит из двух участков (рис. 7). Первый участок линии длиной l, имеющий вторичные параметры В и γ, подключен к источнику питания, а второй участок линии длиной l, имеющий вторичные параметры и γ разомкнут на конце. В Напряжение в начале линии равно. Требуется определить напряжение в конце линии и ток I в начале линии. Для анализа установившегося процесса введем следующие обозначения: I напряжение и ток в конце второго участка; и I напряжение и ток на стыке первого и второго участка. Напряжение и ток I на стыке первого и второго участка определим, пользуясь формулами (4) и (5), учитывая, что в режиме холостого хода I = 0: = ch γ l, (6) I = sh γ l. (63) В 59

60 Считая напряжение и ток I на стыке линий как напряжение и ток в конце первого участка, найдем напряжение и ток I в начале первого участка: = chγ l + I Вsh γ l, (64) I = shγ l + I ch γ l. (65) В После подстановки напряжения и тока I из уравнений (6) и (63) уравнения (64) и (65), получим: В = chγ l chγ l+ shγ l sh γ l; (66) В I = sh lсh l ch lsh l. γ γ + В γ γ (67) В Выразим из уравнения (66) напряжение на конце разомкнутого участка В =. (68) Вshγlshγ l+ Вchγlсhγl Подставим полученное значение напряжения в уравнение (67) и найдем искомое значение тока в начале линии: Вchγlshγ l + Вshγlchγl I =, (69) В Вshγlshγ l+ Вchγlсhγl которое после деления числителя и знаменателя на chγ l shγ l примет вид: В + Вthγlcthγl I =. (70) thγ l + сthγ l 60 Рис. 7. Неоднородная линия, состоящая из двух участков однородных линий В В В

61 4. ПЕРEХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ОДНОРОДНЫХ ЛИНИЯХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ При включении и выключении линий и изменениях нагрузки, а также под влиянием атмосферных разрядов в линиях с распределенными параметрами так же как и в цепях с сосредоточенными параметрами возникают переходные процессы. Поскольку решение дифференциальных уравнений () и () в частных производных представляет собой сложную математическую задачу, то в курсе ТОЭ переходные процессы рассматривают с некоторыми упрощениями. В частности, полагают, что длинные линии являются линиями без потерь (R 0 = 0, G 0 = 0 и волновое сопротивление линий является вещественным числом). Это не вносит существенных погрешностей в расчеты поскольку реальные линии с распределенными параметрами, как правило, обладают относительно малыми потерями. Как показывает анализ, напряжение и ток в линии в переходном режиме так же как и в установившемся режиме можно представлять в виде наложения прямых и обратных волн, бегущих навстречу друг другу со скоростью υ. Возникновение волн в линиях обычно связано с включением и выключением линий, а также с ударами молнии непосредственно в линию или вблизи ее. В обоих случаях после разряда молнии, имеющей очень крутой передний фронт, заряды, попавшие на линию непосредственно или индуктированные в ней, становятся свободными и начинают двигаться вдоль линии в обоих направлениях. Это движение зарядов и представляет собой движение волн напряжения и тока прямоугольной формы. В тех случаях, когда длина линии мала по сравнению с длиной волны, то даже при подключении синусоидального напряжения с частотой 50 Гц волны вдоль линии будут пробегать настолько быстро, что за это время значение питающего напряжения изменяется очень незначительно. Так что и в этом случае будем считать, что волны имеют прямоугольную форму. Итак, после включения линии вдоль нее от начала к концу пойдет прямоугольная волна напряжения с прямоугольным фронтом (рис. 8). Говоря о том, что фронт волны имеет прямоу- 6

62 гольную форму, мы все же будем подразумевать, что длительность фронта не равна нулю, а имеет очень малое конечное значение для того, чтобы функция, описывающая напряжение падающей волны, была бы дифференцируема. В противном случае ток на переднем фронте волны будет описываться δ-функцией. Направление ее движения показано стрелкой. Волна напряжения П с прямоугольным фронтом заряжает последовательно один за одним каждый емкостной элемент линии до напряжения П и на верхнем проводе накапливается положительный заряд. Распространение заряда волной напряжения создает в верхнем проводе волну тока прямоугольной формы, которая движется синхронно с волной напряжения. Значение тока определяется по формуле: 6 Рис. 8. Подключение линии с распределенными параметрами к источнику напряжения I П = Вместе с падающими волнами напряжения и тока по линии передается электромагнитная энергия, т.е. энергия электрического поля и энергия магнитного поля. На каждом единичном отрезке линии, пройденном волнами, в электрическом поле запасается энергия и в магнитном поле энергия C 0 П LI 0 П, причем эти значения равны между собой. Если волна, бегущая от источника ЭДС по однородной линии с волновым сопротивлением В, достигнет конца этой П В.

63 линии, в которой она соединена с другой однородной линией, имеющей волновое сопротивление В В, то она частично отразится от конца первой линии, а частично перейдет во вторую линию. В первой линии будут две бегущих волны падающая и отраженная, а во второй линии будет только одна преломленная или проходящая волна. Если бегущие волны напряжения и тока достигнут конца линии с волновым сопротивлением В, замкнутой на некоторую нагрузку с сосредоточенными параметрами, то при В в результате отражения падающих волн от конца линии в ней возникнут отраженные волны напряжения и тока, которые будут двигаться от конца линии к ее началу. Рассмотрим последний случай. На основании выше сказанного будем представлять напряжение и ток в переходном режиме в любой точке х линии в виде наложения прямой и обратной (или падающей и отраженной) волн, бегущих навстречу друг другу со скоростью υ: u = u + u, i = i i. п о п о В конце линии, где включена нагрузка, напряжение и ток будут равны: u = u + u, i = i i. п о п о Заменив токи их выражениями: систему уравнений: u = п о п и iо, = В получим В i u u u u = u + u i = или п о п о,, В В u = i = u + u ; (7) п о i = u u. (7) в п о Складывая уравнения (7) и (7), получим: i + i = u, откуда В п 63

64 64 i u uп = + Рис. 9. Схема замещения для определения напряжения и тока в месте отражения волны В u п = + В ;. (73) (74) Уравнениям (73) и (74) соответствует схема замещения, показанная на рис. 9, называемая схемой Петерсена. Уравнения (73) и (74) и схему Петерсена используют для определения напряжения и тока в момент прихода падающих волн в точку, в которой происходит отражение волн. Такой точкой может быть конец линии, к которому присоединяется нагрузка с сосредоточенными параметрами или другая линия с распределенными параметрами. Пользуясь уравнениями (73) и (74), определим отраженные волны напряжения в конце линии, к которой подсоединена нагрузка : u u = u u = u = u = u n. п В о п п п п u + В + В (75) В Здесь nu = коэффициент отражения волны напряжения. + В Из формулы (75) следует, что если =, то n и =, а если = 0, то n и =. Таким образом, от разомкнутого конца линии ( = ) волна напряжения полностью отражается без перемены знака, а от короткозамкнутого конца ( = 0) с переменой знака. Поскольку перед отраженной волной тока стоит знак минус, то для отраженной волны тока справедливо обратное утверждение n i = п и.

65 Учитывая, что u = u + u o и i = i п i o, и с учетом формулы (75) получим: u = ( + п и )u п, i = ( + п и )i п. Это значит, что при включении разомкнутой на конце линии ( = = и n u ) напряжение в конце линии удваивается: u = u п, а ток i становится равным нулю. Если же линия в конце замкнута накоротко ( = 0, n u = ), то напряжение в конце линии u = 0, а ток удваивается i = i п. В общем случае можно сделать следующий вывод. Если сопротивление приемника энергии больше волнового сопротивления линии, то заряды падающей волны не успевают стечь через сопротивление нагрузки и напряжение в конце линии, обусловленное этими зарядами, возрастает. Если же сопротивление приемника энергии меньше волнового сопротивления линии, то через нагрузку стекает больше зарядов чем приносится волной, что приводит к снижению напряжения в конце линии. Рассмотрим подробнее процесс подключения разомкнутой на конце линии к источнику постоянного напряжения. Внутреннее сопротивление источника питания равно нулю, т.е мощность его весьма велика. Тогда волны тока и напряжения будут отражаться от начала линии так, как будто она замкнута накоротко. До момента включения напряжение и ток по всей длине линии равны нулю. После включения разомкнутой на конце линии вдоль нее пойдут волны напряжения и тока (рис. 0, а). Направление их движения показано стрелками. Вместе с падающими волнами по линии передается электромагнитная энергия, т.е. энергия электрического поля и энергия магнитного поля, причем эти энергии равны друг другу. На каждом единичном отрезке линии, пройденном волной, запасается энергия в электри- C 0 LI 0 ческом поле и в магнитном поле, причем эти значения равны между собой. Когда волны подойдут к концу линии, напряжение во всех ее точках будет равно, а ток I =. Дойдя до разомкнутого конца линии, эти волны отразятся, причем В волна напряжения отразится без перемены знака, а волна тока 65

66 с переменой знака. В результате наложения отраженных волн на падающие волны напряжение на конце линии возрастает в два раза, а ток уменьшается до нуля. Это можно пояснить следующим образом. При холостом ходе (также как и при коротком замыкании линии) падающие волны с присущей им энергией полностью отражаются от конца линии, так как в конце линии энергия не потребляется. Поскольку в режиме холостого хода ток в конце линии упадет до нуля, то становится равной нулю энергия магнитного поля, она перейдет в энергию электрического поля и эта электрическая энергия вместе с отражен- 66 Рис. 0. Переходные процессы при включении длинной линии, разомкнутой на конце

67 ными волнами будет распространяться от конца линии к ее началу, увеличивая электрическую энергию в линии в четыре раза, а напряжение в линии в два раза, т.е до значения. При этом ток в линии уменьшается до нуля (рис. 0, б). Когда отраженные волны дойдут до генератора, ток по всей длине линии будет равен нулю, и вся линия будет заряжена до значения, равного удвоенному напряжению генератора. Дойдя до начала линии, отраженные волны отразятся и от него, но отражаться они будут так, как будто линия в начале замкнута накоротко, так как внутреннее сопротивление источника питания равно нулю. Это значит, что волна напряжения отразится с переменой знака, а волна тока без перемены знака. Отраженные волны пойдут опять вдоль линии, на которой напряжение станет равным, а ток станет равным I (рис. 0, в). В результате третьего отражения от конца линии от конца линии к началу пойдет отрицательная волна напряжения и положительная волна тока, уменьшая напряжение и ток в линии до нуля (рис. 0, г). В момент прихода этих волн к началу линии вся линия будет без напряжения и тока, как и в начальный момент времени. Этим завершается полный цикл изменения напряжения и тока, после чего процессы начнут повторяться в той же самой последовательности. Время Т полного цикла будет равно l T = 4 = 4l LC 0 0 (см. рис. 0, д, е). υ Это время называют периодом собственных колебаний линии. На рис. показано изменение напряжения в конце линии, из которого видно, что оно изменяется скачком от 0 до и от Рис..Изменение напряжения на конце разомкнутой линии при включении ее на постоянное напряжение 67

68 до 0. В реальных линиях с потерями волны напряжения и тока постепенно затухают и достигают установившихся значений. В случае, когда к генератору постоянного напряжения подключается линия без потерь, конец которой замкнут накоротко, волна напряжения, распространяющаяся от генератора, отражается от конца линии с переменой знака, а волна тока без перемены знака. Отраженная волна напряжения, налагаясь на падающую волну, понижает напряжение в линии до нуля. Отраженная же волна тока, накладываясь на падающую волну, повышает ток в линии до удвоенного значения I. Когда отраженные волны дойдут до генератора, то напряжение во всей линии будет равно нулю, а ток удвоенному первоначальному току. При отражении от генератора так же как и от короткозамкнутого конца волна напряжения снова отразится с переменой знака, а волна тока без перемены знака. Бегущая от начала линии к ее концу волна напряжения повышает напряжение в линии от нуля до напряжения генератора. Волна же тока, накладываясь на двойной ток в линии, вызывает увеличение тока, который становится равным I + I = 3I. Так как при всех последующих отражениях и от генератора и от короткозамкнутого конца линии волна напряжения отражается с переменой знака, то напряжении в линии изменяется скачком от u = 0 до u =, затем от u = до u = 0 и так далее. Волна же тока отражается каждый раз и от генератор и от короткозамкнутого конца линии без перемены знака. Поэтому ток в линии после каждого отражения возрастает на значение I, т.е. ток в линии принимает скачком значения I, I, 3I, 4I, 5I и т.д. теоретически до бесконечности. Наличие потерь в реальных линиях вызывает затухание волн и ограничивает нарастание тока. Рассмотрим теперь случай, когда в конце линии без потерь, имеющей волновое сопротивление В включено активное сопротивление В. Пусть, например, = 3 В. Коэффициент отражения n ик волны напряжения в конце линии будет равен: 3В В nи к = = = В В

69 Это значит, что волна напряжения будет отражаться от конца линии наполовину с тем же знаком. От начала линии волна напряжения будет отражаться полностью со сменой знака, так как коэффициент n ин отражения волны напряжения в начале линии будет равен: 0 В nu н = =. 0 + Волна тока также будет отражаться от конца линии наполовину, но со сменой знака. В начале же линии волна тока будет полностью отражаться без смены знака. Рассматриваемые выше процессы в линии при подключении ее к источнику постоянного напряжения приведены на рис.. На рис. 3 приведены процессы в линии при подключении ее к источнику постоянного напряжения для случая, когда в конце линии включено сопротивление = В /3. В этом случае коэффициент n ик отражения волны напряжения в конце линии будет равен: В В 3 3 nu к = = =. В 4 + В 3 3 Это значит, что волна напряжения будет отражаться от конца линии наполовину со сменой знака. От начала линии волны напряжения будут отражаться полностью с переменой знака. Волна же тока будет отражаться от конца линии наполовину без смены знака, а от начала линии полностью и так же без смены знака. Кривые, приведенные на рис. 0 3, являются некоторой теоретической абстракцией. В действительности же из-за наличия индуктивностей и емкостей напряжения и токи не будут изменяться скачками, они изменяются плавно. Частота этих изменений определяется по формуле: υ f = = =. T 4l 4l LC В

70 Рис.. Зависимость напряжения от времени в конце длинной линии, замкнутой на приемник с резистивным сопротивлением = 3 при подключении ее к источнику постоянного напряжения Рис. 3. Зависимость напряжения от времени в конце длинной линии, замкнутой на приемник с резистивным сопротивлением = /3 при подключении ее к источнику постоянного напряжения 70

71 Фронт волны не будет прямоугольным, он слегка «заваливается». Ближе к реальным процессам в линии с распределенными параметрами будут решения дифференциальных уравнений, представляющих собой математическую модель длинной линии. Для решения этих уравнений целесообразно использовать интегрированный пакет MATHCAD. В приложении приведены примеры использования этой системы для расчета установившихся и переходных процессов в линиях с распределенными параметрами. 5. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ Задача. Параметры кабельной линии R 0 = Ом/км; L 0 = 0; G 0 = 0; C 0 = 0,4 мкф/км. Определить фазовую скорость υ волны в линии при частоте ω = 4000 /с. Задача. Длина волны в линии λ = 80 км. Определить коэффициент фазы β линии. Задача 3. Телеграфный коаксиальный кабель при частоте j 34,68 γ = 000 Гц имеет волновое сопротивление = 84 e Ом и коэффициент распространения γ = (5,36 + 6,8j) 0 /км. Вычислить скорость распространения волны. Задача 4. Кабельная линия имеет параметры R 0 = Ом/км; G 0 = 0; ωc 0 = 0,8 мсм/км; ωl 0 = 0. Определить волновое сопротивление В, коэффициент затухания α и коэффициент фазы β линии. Задача 5. Телефонная линия без искажений характеризуется следующими параметрами: R 0 = Ом/км, L 0 = 88 мгн/км, G 0 = мксм/км, C 0 = 8 нф/км. Вычислить волновое сопротивление линии В, коэффициент затухания α и фазы β при ω = 0000 /с. Задача 6. Мощность передающего телефонного аппарата составляет мвт, а мощность, подводимая к приемному телефонному аппарату, не должна быть меньше мквт. Сопротивление телефонного аппарата согласованно с линией. Определить допустимую дальность связи по линии с коэффициентом затухания α = 0 3 Нп/км. 7

72 Задача 7. Двухпроводная линия длиной l = 00 км нагружена на волновое сопротивление В = 707е j30 Ом. В точке α, удаленной от конца линии на 40 км, напряжение в линии определяется выражением u α = 4sin(34t + 60 ). Мгновенное значение тока в точке в, удаленной от конца линии на 60 км, равно ι в = 0,3sin(34t + 0 ) А. Определить коэффициент распространения γ линии. Задача 8. Двухпроводная линия длиной l = 00 км нагружена на волновое сопротивление В = 707е j30 Ом. В точке α, удаленной от конца линии на 0 км, напряжение в линии определяется выражением u α = 4sin(34t + 60 ). Мгновенное значение тока в точке в, удаленной от конца линии на 40 км, равно ι в = 0,3sin(34t + 0 ) А. Определить мгновенное значение напряжения u в начале линии. Задача 9. Телефонный кабель имеет первичные параметры: R 0 = 0 Ом/км; L 0 = 0,5 мгн/км; G 0 = мксм/км; C 0 = 40 нф/км. Кабель работает в режиме согласованной нагрузки при частоте f = кгц. Определить длину l участка кабеля, на котором затухание равно Нп и длину l, на котором затухание равно дб. Задача 0. Телефонный кабель имеет параметры: R 0 =0 Ом/км; L 0 = 0,5 мгн/км; G 0 = мксм/км; C 0 = 40 нф/км. Кабель работает в режиме согласованной нагрузке при частоте f = кгц. Определить длину l участка кабеля, на котором ток и напряжение изменяют свою фазу на 360. Задача. Линия длиной l = 0 км и вторичными параметрами В =00е j30 Ом; γ = ( j0,04) /км нагружена на сопротивление, равное волновому. Вычислить мощность Р, расходуемую в нагрузке, и мощность Р, подводимую к линии, если = 0 В. Задача. Линия с коэффициентом затухания α = 0,0 Нп/км работает в режиме согласованной нагрузки. Длина линии l = 5 км. Определить КПД линии η. Задача 3. Линия без потерь длиной /8λ (где λ длина волны) имеет волновое сопротивление В. Определить входное сопротивление вх линии при холостом ходе. Задача 4. Известна длина волны λ в линии без потерь с волновым сопротивлением В. Определить, на каком минимальном 7

73 расстоянии l должна быть закорочена линия, чтобы ее входное сопротивление стало j В. Задача 5. Линия без потерь разомкнута на конце и имеет волновое сопротивление В. Длина волны в линии λ. Определить наименьшую длину линии l, при которой ее входное сопротивление вх = j В. Задача 6. Определить входное сопротивление ВХ линии без потерь при коротком замыкании. Длина линии l = 40 м, длина волны λ = 60 м. Волновое сопротивление линии В = 300 Ом. Задача 7. Линия без потерь имеет длину l, волновое сопротивление В, коэффициент фазы β. В конце линии включена индуктивность L. Найти, на каком расстоянии x от конца линии будет ближайшая пучность тока. Задача 8. Линия без потерь имеет длину l, волновое сопротивление В, коэффициент фазы β. В конце линии включена индуктивность L. Найти, на каком расстоянии x от конца линии будет ближайшая пучность напряжения. Задача 9. Однородная линия без потерь с волновым сопротивлением В, волновой скоростью υ, и длиной l разомкнута на конце. Линия подключается к источнику ЭДС o. Определить напряжение и ток i в линии через время t = 5 ι/υ после момента включения. Задача 0. Однородная линия без потерь длиною l включается под действием постоянного напряжения о. Линия в конце разомкнута. Вычислить время T, в течение которого совершается полный цикл процесса движения и отражения волн напряжения и тока. Задача. Воздушная линия без потерь с волновым сопротивлением В = 400 Ом, волновой скоростью υ = км/с и длиною l = 90 км разомкнута на конце. Линия подключается к источнику постоянного напряжения о = 0 кв. Определить напряжение и ток i в линии через, мс после момента включения. Задача. Воздушная линия без потерь с волновым сопротивлением В = 400 Ом, волновой скоростью υ = км/с и длиною l = 90 км разомкнута на конце. Линия подключается к источнику постоянного напряжения о = 0 кв. Определить напряжение u и ток i в линии при t = 900 мкс после момента включения. 73

74 6. ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ задачи Ответ задачи Ответ υ =,4 0 5 км/с β = 0,079 рад/км υ = 0 5 км/с В = 50е j45 Ом α = 0,08 Нп/км β = 0,08 рад/км В = 337 Ом α = 3, Нп/км β = 0,65 рад/км l = 554 км γ = (0,04 + jπ/0) /км u = 96sin(34t + 80 ) l = 33,3 км l = 3,8 км l = 53 км Р = 7 мвт Р = 3 мвт η = 0,368 вх = j В l = λ/8 l = λ/8 вх = ±j x = π/β arctg(ωl / В )/β x = π/β arctg(ωl / В )/β = о ; i = о / В Т = 4l/υ υ скорость движения волны u = 0; i = 0 u = 0 кв ι = 300 А 74

75 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. Чем отличаются цепи с распределенными параметрами от цепей с сосредоточенными параметрами?. Какие электротехнические устройства можно отнести к цепям с распределенными параметрами? 3. Что такое однородная линия? 4. Как записываются дифференциальные уравнения однородной линии? 5. Что такое первичные и вторичные параметры однородной линии? 6. Когда линию с распределенными параметрами можно считать «длинной», а когда «короткой»? 7. Как записываются дифференциальные уравнения для напряжения и тока в длинной линии в комплексной форме при синусоидальном режиме? 8. Что такое коэффициент распространения, коэффициент затухания и коэффициент фазы? Что они характеризуют и в каких единицах они измеряются? 9. Что такое волновое сопротивление и в каких единицах оно измеряется? 0. Что такое бегущие волны? Как выражаются напряжение и ток в линии через бегущие волны?. Как определяется коэффициент отражения для волн напряжения и тока?. Чему равна длина волны в воздушных линиях с медными проводами при частоте 50Гц? 3. Как записываются основные уравнения длинной линии через гиперболические функции? 4. Что такое фазовая скорость? Как она определяется? 5. Как определяются постоянные интегрирования? 6. Что такое согласованная нагрузка? 7. Что такое линия без искажений? Какие условия должны выполняться, чтобы линия была неискажающей? 8. Какая линия считается линией без потерь? 9. В каких случаях в линии без потерь возникают стоячие волны? 75

76 0. Что такое узлы и пучности в линии без потерь?. Как выражается входное сопротивление линии без потерь в режиме холостого хода и короткого замыкания?. При каких условиях отрезок линии без потерь может представлять собой индуктивное или емкостное сопротивление? 3. Как определяется коэффициент бегущей волны? 4. Как применяют отрезки линии для согласования нагрузки? 5. Как распределяется напряжение вдоль линии с потерями в режиме холостого хода? 6. Как протекают переходные процессы в линии с распределенными параметрами при включении ее на постоянное напряжение? РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учеб. для вузов. Том 4-е изд. / К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. СПб.: Питер, с.. Серебряков А.С., Шумейко В.В. MATHCAD и решение задач электротехники: Уч. пос. для вузов ж.-д. тр-та. М.: Маршрут, с. 3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В -х т.: Учеб. для вузов. Том. 3-е изд., перераб. и доп. Л.: Энергоатомиздат, с. 4. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. 5-e изд., перераб. М.: Энергоатомиздат, с. 76

77 ПРИЛОЖЕНИЯ 77

78 Рис. П. Применение интегрированного пакета MATHCAD для исследования линии с распределенными параметрами в установившемся режиме при питании ее синусоидальным напряжением 78

79 На рис. П приведена схема замещения линии с распределенными параметрами для расчета переходных процессов в интегрированном пакете MATHCAD. Искомые переменные величины токи и напряжения в линии обозначены буквой х с индексами от 0 до 0. Ток, потребляемый от источника питания, обозначен х 0, напряжение в конце линии х 9, ток нагрузки х 0. С помощью рубильника Р линия подключается к источнику питания, а с помощью рубильника Р нагрузка подключается к линии. Дифференциальные уравнения математической модели линии в рекуррентной форме записи будут иметь вид: dxn dxn uln = L = xn xn+, icn = C = xn xn+. dt dt Уравнения в форме Коши для решения их методом Рунге- Кутта запишутся: для токов dxn xn xn+ =, dt L (П) для напряжений dxn xn xn+ =. dt C (П) Рис. П. Схема замещения для расчета переходных процессов в линии без потерь с распределенными параметрами: L =,5 0 6 Гн/м, С = 7,5 0 Ф/м, В = 447, Ом, υ =, м/с, = 0 В Применение интегрированного пакета MATHCAD для расчета переходных процессов в линии с распределенными параметрами, представленной на схеме замещения (pис. П) приведено на рис. П3. При включении линии с нагрузкой все начальные условия нулевые. При подключении нагрузки к включенной линии все токи в элементах L равны нулю, а напряжения на конденсаторах С равны. 79

80 80 Рис. П3. Применение интегрированного пакета MATHCAD для расчета переходных процессов в линии с распределенными параметрами, представленной на схеме замещения рис. П

81 Рис. П3. Окончание. Первый столбец матрицы (индекс 0) время, второй столбец (индекс) х 0 и т.д. На рисунке показано только 8 столбцов из 8

82 Как видно из рис. П4, при включении длинной линии, нагруженной в конце на сопротивление, равное волновому сопротивлению линии (режим согласованной нагрузки) волна напряжения достигает конца линии через промежуток времени, l равный τ= = =,667 0 = 6,7 0 c = 6,7 nc. 8 υ,98 0 Здесь l = 5 длина линии. При несогласованной нагрузке, как видно из рис. П5 и П6, возникают отраженные волны и напряжение на нагрузке устанавливается не сразу, а спустя некоторое время. В режиме холостого хода (рис. П7) возникают незатухающие колебания, размах которых равен двойному значению питающего напряжения. Период этих колебаний равен 9 T = 4τ= 4 6,7 0 c = 66,8 nc. На рис. П8 показаны зависимости тока и напряжения в активно-индуктивной нагрузке при подключении линии к источнику питания. Как видно из рис. П8, ток в нагрузке возрастает по экспоненциальному закону с постоянной времени 6 6 Ln + 5 L ,5 0 9 τ = = = 33 0 c = 33 nc. Rn 55,9 8 Рис. П4. Зависимость напряжения в конце линии с распределенными параметрами при включении линии с согласованной нагрузкой Rn =

83 Здесь Ln =0 0-6 Гн индуктивность нагрузки, а Rn = 55,9 Ом ее активное сопротивление. Установившееся значение тока в нагрузке равно: i У 0 = = = 0,79 A = 79 ма. Rn 55,9 Рис. П5. Зависимость напряжения в конце линии с распределенными параметрами при включении линии, замкнутой на приемник с резистивным сопротивлением Rn = 3 Рис. П6. Зависимость напряжения в конце линии с распределенными параметрами при включении линии, замкнутой на приемник с резистивным с сопротивлением Rn = /3 83

84 Рис. П7. Зависимость напряжения в конце линии с распределенными параметрами при включении линии в режиме холостого хода Рис. П8. Переходный процесс при включении линии с активно-индуктивной нагрузкой Rn, Ln С такой же постоянной времени τ протекают переходные процессы при подключении активно-индуктивной нагрузки к включенной линии (рис. П9). Как видно из рис. 8 и 9, в переходном режиме на экспоненциальные кривые накладываются высокочастотные колебания с частотой f υ = = = = = 9 T 4l 4l LC 46, ,9 0 Гц=4,9 МГц. 84

85 Рис. П9. Подключение активно-индуктивной нагрузки Rn, Ln к включенной линии, заряженной до напряжения На рис. П0 показан переходный процесс при включении линии, на конце которой включена активно-емкостная нагрузка. Параметры нагрузки: Сn = Ф, Rn =,8 Ом. Постоянная времени τ цепи RnCn равна: τ= RnCn = = = 9, c 39 nc. Рис. П0. Переходный процесс при включении линии с активно-емкостной нагрузкой Rn, Cn 85

Добавить комментарий