Энергия сигнала


СОДЕРЖАНИЕ:

Связь между энергетическим спектром и АКФ сигнала

Допустим, что некоторый импульсный сигнал имеет спектральную плотность . С помощью формулы (1)определим АКФ, записав заданный сигнал в виде обратного преобразования Фурье:

Для упрощения и удобства введём новую переменную .

Затем, сделав в последнем выражении ряд перестановок, получим

есть функция, комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала . Поэтому формула (5)примет вид:

называют энергетическим спектром (спектральной плотностью энергии)

сигнала, который показывает распределение его энергии по оси частот. Физическая размерность энергетического спектра сигнала измеряется в

Учитывая соотношение (8), окончательно получим выражение для АКФ аналогового детерминированного сигнала

Как следует из этого выражения, автокорреляционная функция представляет собой обратное преобразование Фурье от энергетического спектра.

Очевидно, что имеется и прямое преобразование Фурье от автокорреляционной функции:

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

Ø Прямое преобразование Фурье (10)автокорреляционной функции детерминированного сигнала определяет его энергетический спектр;

Ø Обратное преобразование Фурье энергетического спектра (9) определяет автокорреляционную функцию детерминированного сигнала.

Данные результаты имеют фундаментальное значение в радиотехнике и важны по двум причинам.

Во-первых, исходя из распределения энергии по спектру, становится возможным оценивать корреляционные свойства сигналов. Чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче его энергетический спектр.

Во-вторых, соотношения (9)и (10)позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой.

В практических случаях часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр сигнала. Этот приём широко применяется при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временнóй задержки при его обработке.

Взаимокорреляционная функция двух сигналов

В ряде случаев часто необходимо оценить степень связи между двумя различными аналоговыми сигналами и . Для этих целей используют взаимокорреляционную функцию (ВКФ)

При взаимокорреляционная функция равна так называемой взаимной энергии двух сигналов

Значение ВКФ не меняется, если вместо задержки второго сигнала рассматривать опережение его первым сигналом . Поэтому выражение (11) можно обобщить следующим образом:

Необходимо отметить, что в отличие от АКФ взаимокорреляционная функция в общем случае не является чётной и не обязательно максимальной при , т.е. при отсутствии временнóго сдвига одного из сигналов.

ВКФ является своеобразной мерой «похожести», или коррелированности, двух сигналов при различном их взаимном расположении. Корреляционная функция (КФ) отражает корреляцию сигнала с собственной копией; в этом случае говорят об автокорреляционных свойствах сигнала. Неравенство , т.е. непременный максимум КФ при в этом контексте может быть объяснено как свидетельство полной корреляции всякого сигнала с самим собой. Уменьшающиеся (иногда немонотонно) значения характеризуют меру коррелированности, связи сигнала со своей копией при различных .

Раскроем смысл корреляционного интеграла и тем самым самого устройства, называемого коррелятором.

Для этого рассмотрим простой пример автокорреляции двух прямоугольных видеоимпульсов амплитудой и длительностью (рис.2).

Будем считать входным сигналом, а – опорным напряжением, с которым будет сравниваться задержанный сигнал. Кроме того, будем полагать, что амплитуды .

Если входной сигнал начинается в момент времени (рис.2, а), а опорный запаздывает на , то до момента , (когда ) и после (когда ), их произведение равно нулю. Только в течение времени , когда каждое напряжение равно , их произведение .

Площадь заштрихованного прямоугольника, которая выражает значение корреляционного интеграла для временнόго сдвига , равна

На графике корреляционной функции этот результат представлен вертикальной линией высотой , проведенной из точки с координатой на оси абсцисс.

а) б)

в)

Рис.2. К графическому определению автокорреляционной функции

Если , т.е. входной и опорный импульсы по всей их длительности совпадают по времени (рис.1, б), то произведение этих сигналов, представленное площадью заштрихованного прямоугольника, равно энергии импульса: .

При временнόм сдвиге опорного сигнала в сторону опережения

( ) интеграл уменьшается по сравнению с интегралом , соответствующим . Это иллюстрируется рис.2,в,где и пропорциональное заштрихованной площади выходное напряжение коррелятора .

Совершив аналогичные операции для всевозможных временных сдвигов (от до ), получим автокорреляционную функцию прямоугольных импульсов (рис.2).

В данном случае, очевидно, область интегрирования можно ограничить значениями . Полученная функция имеет форму равнобедренного треугольника с основанием, равным , и пиковым значением, равным энергии входного сигнала (рис.3).

Рис.3. Автокорреляционная функция одиночного

В импульсной радиолокации широко используются сигналы, представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени, называемый периодом следования зондирующих импульсов.

Рассмотрим пачку из трёх таких прямоугольных видеоимпульсов длительностью и периодом следования (рис.4).

Рис.4. К определению автокорреляционной функции пачки

При сдвиге опорного сигнала относительно входного сигнала на время (рис.4, б) лишь один опорный импульс (заштрихованный) полностью совпадает с входным и поэтому . Если , то полностью совпадают уже два импульса и , а при – три импульса, что соответствует и т.д. Ясно, что вблизи этих значений корреляционная функция имеет вид равнобедренного треугольника с основанием .

В радиотехнике часто вводят удобный для анализа сигналов числовой параметр – интервал корреляции, графически равный ширине основания АКФ. Для данного примера интервал корреляции .

Корреляционная обработка сигналов широко используется в радиолокации. Принцип работы импульсной радиолокационной станции (РЛС) заключается в следующем. Радиопередающее устройство (РПеУ) излучает мощный, короткий зондирующий радиоимпульс в пространство. Мощность излучаемого радиоимпульса может достигать от нескольких сотен киловатт

до 1,5 . 2 мегаватт в импульсе длительностью несколько микросекунд. После излучения зондирующего импульса РЛС переходит в режим приёма отражённого сигнала (эхо-сигнала). Таким образом, РПеУ работает в течение очень короткого времени, после чего следующий зондирующий импульс излучается через 2000 . 3000 мкс. На рис.5показана осциллограмма радиолокационного сигнала.

Рис.5. Осциллограмма радиолокационного сигнала

при импульсной модуляции:

а) модулирующие импульсы; б) зондирующие радиосигналы

Энергетический спектр сигнала

Спектральное представление энергии сигнала легко получить из обобщенной формулы Рэлея, если в ней сигналы u(t) и v(t) считать одинаковыми. Формула (3.3), выражающая спектральную плотность энергии, приобретает вид

Величина Wu(w) носит название спектральной плотности энергии сигнала u(t), или, короче, его энергетического спектра. Формула (3.2) при этом запишется так:

Соотношение (3.9) известно в различных областях физики как формула Рэлея (в узком смысле), которая констатирует следующее: энергия любого сигнала есть результат суммирования вкладов от различных интервалов частотной оси. Каждый малый интервал положительных частот Dw обеспечивает вклад в общую энергию сигнала, равный

где w’ – некоторая внутренняя точка данного интервала.

Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Действительно, энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. В то же время метод преобразования Фурье, применительно к самим сигналам, основан на том, что комплексные амплитуды, описывающие вклады малых частотных участков, складываются как комплексные числа, характеризующиеся модулями и фазами.

Изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключается в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (3.8), энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от её фазы.

Тем не менее, понятие энергетического спектра оказывается очень полезным для получения различных инженерных оценок, устанавливающих реальную ширину спектра того или иного сигнала.

Пример 3.1. Энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса.

Результат получается путём возведения в квадрат спектральной плотности вида (2.20):

Соответствующий график приведён на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Нормированный энергетический спектр прямоугольного видеоимпульса как функция безразмерной частотной переменной wtи

Рисунок наглядно показывает, что энергетический спектр данного сигнала имеет наибольшую величину в области низких частот. С ростом частоты вклад от соответствующих спектральных составляющих имеет немонотонный, колеблющийся характер, однако общая тенденция – уменьшение энергетического спектра по закону обратного квадрата: , при w®¥, (а не обратно пропорционально первой степени частоты, как для обычной спектральной плотности рассматриваемого сигнала).

Выражение (3.10) позволяет проверить формулу Рэлея прямым вычислением. Прежде всего, во временной области без труда находим энергию данного видеоимпульса:

Чтобы определить энергию сигнала в частотной области, необходимо вычислить интеграл

Энергетический спектр сигнала

1) Энергетический спектр сигнала

2) Ширина спектра сигнала и критерии её оценки

Энергетический спектр сигнала

Пользоваться амплитудным спектром удобно, если сигнал детерминированный. В случае полностью случайного сигнала или с частичной неопределённостью, более подходит энергетический спектр.

Пусть сигнал (ток или напряжение) представляет собой сложную периодическую функцию с периодом . Энергия такого колебания, длящегося от до бесконечно велика. Интерес представляет средняя мощность периодического сигнала и распределение этой мощности между отдельными гармониками.

Мгновенная мощность, которая выделится под воздействием этого тока на сопротивлении R

В результате по членного получим слагаемые следующих видов:

Интеграл за период от слагаемых второго и третьего вида даёт 0.

Тогда средняя мощность за период

— мощность постоянной составляющей

— мощность k-ой гармоники

Таким образом, в спектре периодического сигнала мощность можно рассчитать как сумму мощностей отдельных гармоник. Средняя за период энергия периодического сигнала

Полученное выражение позволяет строить энергетический спектр периодического сигнала. Энергетическим спектром называют распределение энергии или мощности по частотам. Чаще всего энергетический спектр строят для мощности.

РИСУНОК ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СПЕКТРА

Для непериодического сигнала энергетический спектр оценивается квадратом модуля спектральной плотности. Энергетический спектр непериодического сигнала – сплошной.

Поскольку сумма энергий всех гармоник даёт полную энергию сигнала, то эту энергию можно получить интегрирую квадрат спектральной плотности по частоте. Эту же энергию можно получить интегрируя квадрат сигнала по времени. Данное положение записывается в виде равенства Парсеваля.

Ширина спектра сигнала

Пользуясь понятием спектральной плотности, можно определить полосу частот, которую занимает этот сигнал. Отсюда предъявлять требования к передающим и приёмным устройствам, рассчитывать количество каналов связи и т.д. Большинство радиотехнических сигналов имеют теоретически неограниченный спектр. Практически используется только часть этого спектра. Например, в спектре любой человеческой фразы бесконечное количество частот, но человеческое ухо слышит из всей этой бесконечности максимум кГц.

Спектр реального электрического сигнала всегда ограничен.

Под шириной спектра понимают полосу частот, в которой сосредоточена основная часть энергии сигнала. Обозначается ширина спектра [рад/с] или [Гц]. Конкретное значение ширины спектра зависит от критерия оценки этой ширины. Основных критериев 3.

Наиболее распространённые критерии – энергетический, амплитудный, эффективный.

А) Энергетический критерий. Под шириной спектра понимают диапазон частот, в пределах которого сосредоточено 90% — 95% всей энергии сигнала. РИСУНОК.

Так для прямоугольных видеоимпульсов при А = 0,9.

Б) Амплитудный критерий. Под шириной спектра по амплитудному критерию понимают диапазон частот, в пределах которого сосредоточены гармоники с амплитудами не менее заданного уровня. Поскольку амплитудно-частотный спектр определяется спектральной плотностью, то определить ширину спектра по амплитудному критерию можно из условия

— заданный уровень. Чаще всего он равен 0,7; 0,1; 0,5.

РИСУНОК

Амплитудный критерий менее точен, поскольку не учитывает форму спектра сигнала.

РИСУНОК

Однако он более простой и широко применяется.

В) Эффективный критерий. Наиболее точный, широко используется в радиолокации.

Дата добавления: 2020-11-26 ; просмотров: 495 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

2.1.2 Энергетические характеристики сигналов

Основными энергетическими характеристиками сигнала s(t) являются его мощность и энергия.

Мгновенная мощность p(t) для вещественного сигнала определяется как

а для комплексного как

где знак » * » означает комплексно сопряженную функцию.

Если s(t) — напряжение или ток, то p(t) есть мгновенная мощность, выделяемая на сопротивлении 1 Ом.

Энергия сигнала на интервале ( t2 , t1 ) определяется как интеграл от мгновенной мощности

имеет смысл средней на интервале ( t2 , t1 ) мощности.

Для неограниченных по времени периодических сигналов определяют среднюю за период мощность

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Влияние частоты сигнала на энергетику радиолинков в свободном пространстве

Что меняется при изменении применяемого диапазона частот в радиосвязи – не всегда корректно могут сформулировать даже опытные радиолюбители. С одной стороны формула передачи Фрииса крайне проста, и обсуждать, казалось бы, нечего. С другой стороны, в этой формуле кроме явного упоминания длины волны λ, она неявно скрыта в других коэффициентах. Есть много утверждений, заметок и статей, что с более высокими частотами энергетика радиолинков хуже, не меньше есть и статей «разоблачений мифа» — мол ничем высокие частоты не хуже, учите матчасть.

Оба утверждения верны, причем верно и третье – с повышением частоты энергетика линка может значительно улучшаться. Всё зависит от сценария применения (накладываемых ограничений).

Любая передача информации, не только с помощью радиоволн, а и любых других волн (звуковых, ЭМ волн более высоких частот – т.е. света, гравитационных волн) может происходить в 3 сценариях:

  1. Всенаправленное излучение и всенаправленный прием энергии.
  2. Направленное (секторное, узколучевое) излучение и всенаправленный прием
  3. Направленное излучение и направленный прием

В первом случае ни одна из сторон не знает местоположение в пространстве второй стороны, или не имеет средств наведения своих антенн на корреспондента.

К такому сценарию относятся практически все виды раций (военные, гражданские, авиационные), бытовые устройства (WiFi, Bluetooth, радиотелефоны, IoT, беспроводные сенсоры, телематика, брелки-отмычки), связь между спускаемым зондом и его космической станцией. Антенны обоих подвижных корреспондентов должны быть всенаправленными (изотропными) или близкими к ним.

Во втором случае, если одна из сторон стационарная и вероятное местоположение подвижного корреспондента ограничено некоторым сектором пространства – на стационарной стороне возможно применение направленной антенны, которая концентрирует энергию в избранном направлении, формируя луч (beam). Абонент подвижен, ни своего местоположения, ни положение базовой станции он не знает (или не имеет средств наведения антенн).

К такому сценарию относятся все виды обслуживания, когда стационарная базовая станция обслуживает подвижных абонентов (сотовая связь, репитеры для военных или гражданских раций, телерадиовещание на подвижных абонентов, спутниковая связь с подвижными абонентами, наземные станции космической связи обслуживающие высокоподвижные космические зонды). Антенна базовой станции имеет умеренную направленность и формирует луч для обслуживания желаемой зоны пространства. В идеале в любой точке зоны обслуживания на одинаковом расстоянии R от базы будет одинаковая плотность потока энергии Вт/м2. Антенна подвижного корреспондента должна быть всенаправленная (изотропная).

В третьем случае, если обе стороны знают о расположении другой стороны и имеют возможность направить туда свои антенны – можно существенно сэкономить энергию или увеличить скорость связи при тех же затратах энергии, за счет концентрации луча в пространстве.

К такому сценарию относятся все стационарные линии точка-точка: радиорелейные, WiFi точка-точка, радиолюбительская связь между 2 абонентами использующими направленные антенны; малоподвижные абоненты с возможностью точного позиционирования антенн на корреспондента (наземная станция космической связи и космическая станция с сервоприводами направленных антенн или двигателями позиционирования всей станции с жестко прикрепленной направленной антенной; перспективные модемы 5G mmWave или StarLink Илона Маска с автоматической настройкой луча активной фазированной решеткой АФАР; перспективные massive-MIMO модемы и базовые станции 4G/5G использующие большое количество антенн как АФАР)

Вернемся к формулам Фрииса

Здесь r (receiver) и t (transmitter) относятся к приемной и передающей антеннам, Pr/Pt – соотношение мощности на клеммах приемной антенны к мощности на передающей (больше – лучше), d – расстояние в тех же единицах измерения что и λ (например, в метрах)

Апертура антенны A (то же что «Эффективная/действующая площадь») связана с диаграммой направленности (ДН) антенны и её КНД (D = Directivity):

Для антенны в режиме приема эффективная площадь антенны (используется также термин эффективная поверхность антенны) характеризует способность антенны собирать (перехватывать) падающий на неё поток мощности электромагнитного излучения и преобразовывать этот поток мощности в мощность на нагрузке.

Независимо от типа и конструкции антенны, её апертура A и направленность D связаны математически через длину волны.

У всенаправленной (изотропной) антенны D=1 (0 dBi). Идеального изотропного излучателя на практике не существует, наиболее близким аналогом является обычный полуволновый диполь, у которого D

Сравним апертуру полуволнового диполя (или его аналога – четвертьволновый штырь с противовесом), у которого КНД = 2.15 dBi

Передающая антенна во всех диапазонах формирует одинаковую, близкую к сферической, диаграмму излучения. Плотность потока мощности Вт/м 2 от всех источников на одинаковом расстоянии R будет одинаковая.

Но поскольку апертура приемной (тоже всенаправленной) антенны отличается на порядки, то и количество собранной энергии из той же плотности потока будет сильно отличаться.

Возьмем некий абстрактный канал связи, в котором мощность передатчика TX=1W, а чувствительность приемника -101 dBm (2 мкВ при 50 Ом нагрузке). В открытом пространстве (препятствия, поглощения, отражения, помехи здесь не рассматриваем), дальность связи составит:

В открытом пространстве (пока дальность не ограничена видимостью), увеличение частоты в 2 раза увеличивает требования к мощности передатчика в 4 раза. При одинаковой мощности передатчика, увеличение частоты в 2 раза снижает дальность тоже в 2 раза.

Именно этот эффект является доминирующим для объяснения, почему:

  • CDMA/LTE-450 дальнобойнее за GSM-900, который в свою очередь дальнобойнее за GSM-1800.
  • WiFi-2400 дальнобойнее за WiFi-5400
  • Рации 27-40 МГц дальнобойнее за 144-174, которые в свою очередь дальнобойнее за 433-470

В сценарии №2, если на одной стороне разрешено использовать малонаправленную (секторную) антенну ситуация точно такая же как и в сценарии №1, только мощность передатчика может быть уменьшена на усиление антенны базовой станции. Поскольку требуемый сектор обслуживания не зависит от частоты, то направленность антенны БС нужна одинаковая (апертура антенны БС при этом конечно будет разной на разных диапазонах). При направленности БС 12 dBi (на 10 dB или в 10 раз больше чем у диполя 2 dBi) – выигрыш в мощности составит 10 dB (10 раз), дальность связи на мобильного абонента может быть такая же, как в предыдущей таблице, но уже при TX=0.1W. Для 5400 МГц она опять составит 25.7 км, а для 27 МГц – 5142 км.

В сценарии №3 возможны очень различные комбинации решений.

Если отбросить конструктивные ограничения и сложности, то при равной площади (апертуре) обоих антенн направленность обоих антенн Dr и Dt пропорциональна квадрату частоты. Поэтому эффективность приемной антенны останется неизменной (из одного и того же потока плотности Вт/м 2 будет извлечена одинаковая мощность на клеммах, независимо от частоты), а направленность передающей антенны увеличится пропорционально квадрату частоты. При увеличении частоты в 2 раза, луч станет тоньше в 4 раза, плотность потока Вт/м 2 в направлении на абонента увеличится в 4 раза.

Каждый электрик должен знать:  Сколько электроэнергии расходуют в месяц 2 холодильника

При равных ограничениях на габариты/вес антенн, более высокие частоты более выгодны энергетически.

На практике же реализовать такое фундаментальное преимущество не так просто.

К антеннам с фиксированной частотно-независимой апертурой относятся только зеркальные параболические антенны. Количество энергии, которое собирает такое зеркало, не зависит от частоты, а луч диаграммы направленности становится более тонким с ростом частоты.
Но сложность в производстве параболической антенны заданного диаметра зависит не только от диаметра. Чем более высокая частота, тем более высокие требования к точности поверхности зеркала и более высокие требования к точности позиционирования и вообще жесткости всей конструкции.

С другими, незеркальными антеннами, ситуация намного сложнее. Все конструкции таких антенн могут быть описаны в частотно-независимых размерах (в лямбдах) и имеют фиксированную диаграмму направленности, присущую этому типу антенн, которая не зависит от выбранной частоты проектирования. Иными словами, например 7-элементная антенна волновой канал (Уда-Яги) будет иметь одинаковую диаграмму направленности и усиление

10 dBi независимо на какую частоту её рассчитать: на 30 МГц или на 3000 МГц. Во втором случае её апертура будет в 10 000 раз меньше. Просто так, взять и увеличить размеры какого-то типа антенн чтобы увеличить апертуру – нельзя. Добавление каких-либо пассивных (паразитных) структур добавляет направленности очень незначительно (по сравнению с ростом габаритов) и лишь до небольших значений порядка 16 dBi (40 раз).

Дальнейшее повышение апертуры, которое соответствует направленности более 16 dBi на практике возможно только соединением многих антенн в ФАР (фазированную антенную решетку). Теоретически удвоение количества элементов в решетке может увеличивать апертуру в 2 раза, т.е. формировать в 2 раза более тонкий луч с усилением +3 dB. Но практически построение таких ФАР сопряжено с большими трудностями: сигнал от единого источника надо согласованными (по волновому сопротивлению) волноводами синфазно доставить к каждому из N элементов решетки.

Для небольшого количества элементов, например 2х2, 2х4, 3х3 такая задача решаема, а для бОльшего количества элементов она настолько сложна, что всегда проигрывает зеркальным параболическим антеннам, с помощью которых легко создается направленность 20-40 dBi, а в больших проектах (как наземные станции дальней космической связи) достигает 70 dBi (усиление параболической антенны диаметром 70 метров на частоте 5885 МГц).

Для примера рассчитаем дальность связи линии «точка-точка» с TX=1W, чувствительностью -101 dBm с парой параболических антенн диаметром D=1 метр и эффективностью использования апертуры k=60% (типичное значение для современных облучателей зеркала)

Для расчета КНД параболического зеркала воспользуемся формулой:

Увеличение частоты в 2 раза увеличивает дальность в 2 раза или позволяет применить на одной из сторон антенну с диаметром апертуры меньше в 2 раза, или с каждой стороны уменьшить диаметр антенны в SQRT(2)

Требования к точности наведения луча (юстировки антенны на абонента) тоже растут пропорционально квадрату частоты.

В этой статье мы НЕ рассматриваем вообще другие вопросы, такие как отражение, дифракция, рефракция, поглощение в газах, препятствиях, атмосфере, ионосфере, шумовая и помеховая обстановка

Выводы

Повышение частоты радиосвязи может давать как преимущества так и недостатки в зависимости от сценария применения (техзадания).

В условиях подвижной безподстроечной связи низкие частоты более выгодны, т.к. апертура всенаправленной антенны пропорциональна квадрату длины волны. Увеличение длины волны в 2 раза увеличивает апертуру антенны в 4 раза. Это дает возможность или увеличить дальность в 2 раза (в условиях видимости и ограничения дальности связи по энергетическому бюджету) или снизить мощность передатчика в 4 раза при прочих равных.

По этой причине военные ранцевые, автомобильные и танковые рации продолжают проектироваться на самый низ диапазона УКВ – от 27 до 50 МГц, в то время как гражданская и коммерческая связь неумолимо осваивает всё более высокие частоты.


Полуволновый диполь (или четвертьволновый штырь с противовесом) на низких частотах более крупные, что является с одной стороны недостатком. С другой стороны именно этот недостаток и позволяет собирать из пространства больше энергии.

В условиях линий точка-точка низкие частоты тоже более выгодны во всех случаях, кроме применения параболических антенн с фиксированной апертурой. Для антенн с одинаковой направленностью апертура убывает пропорционально квадрату роста частоты. При росте частоты в 2 раза, размеры антенны того же типа уменьшаются в 2 раза (в каждом измерении, т.е. объем уменьшается в 8 раз), но расплатой за этой является снижение в 4 раза апертуры такой антенны.

А вот в линиях «точка-точка» с параболическими антеннами – наоборот переход на более высокие частоты позволяет при тех же диаметрах зеркала улучшать энергетический бюджет в 4 раза при росте частоты в 2 раза. Повышение частоты в 2 раза позволяет:

  • при прочих равных увеличить дальность в условиях видимости в 2 раза
  • при той же дальности уменьшить мощность излучения в 4 раза
  • при прочих равных увеличить в 4 раза скорость линии

Расплатой за такое повышение являются повышенные требования к прецизионности изготовления, как самой антенны, так и механизма наведения (юстировки) на абонента.

Читают сейчас

Похожие публикации

  • 28 сентября 2020 в 11:00

Антенна из пульверизатора: миниатюрность, гибкость и производительность

Excel-калькулятор трансформации комплексного волнового сопротивления на отрезках волноводных линий

Смарт-антенна для сетей LTE

Вакансии

AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Комментарии 8

И все таки сферический конь в вакууме слишком сферический. Статья по сути о связи в космосе, что рядовому пользователю во-первых малополезно, а во-вторых при беглом прочтении может ввести в заблуждение. Уж очень сильно влияние опущенных факторов.

И, ксати, вояки широко использовали LowBand все-таки не из-за столь высоких материй, как энергетика канала.

Как раз из-за них и использовали.

Нет. Данный выбор имеет под собой совершенно иную мотивацию. Это потом уже переложили с больной головы на здоровую и нашли преимущества этого выбора. Но это было потом.

Как в статье и сказано при ненаправленной передаче (Рации) НЧ сильно дальнобойней СВЧ

Статья по сути о связи на Земле, почему GSM-900 при равной мощности бьет дальше чем 1800, почему WiFi-2400 на одинаковом открытом расстоянии от ТД сигнал в dBm сильнее чем от WiFi-5400, почему на одинаковом расстоянии сигнал 1W 27 МГц мощнее чем 5W 433 MHz и т.д.
Почему в Intel работы такие «убогие дизайнеры», которые сделали mmWave модем 28 GHz «привет из 90-ых»

Все настолько увлеклись влиянием «опущенных факторов», что о Фриисе вообще забыли, хотя влияние этой формулы доминирующее для объяснения большинства наблюдаемых земных явлений

Статья по сути о связи на Земле, почему GSM-900 при равной мощности бьет дальше чем 1800

Почти на 100% эта разница обусловлена препятствиями, разностью мощностей передатчиков, и особенностями протоколов передачи. Доказательства? Да легко. В любом мобильном терминале антенна общая для всех диапазонов, и площадь абсорбции у нее примерно равна на всех частотах. Просто на 900 МГц такая антенна является чем-то типа укороченного четвертьволнового вибратора, на 1800 МГц — четвертьволновым вибратором, а на 2600 — слегка укороченной «половинкой». И в итоге на 900 МГц такая антенна оказывается даже менее эффективной, чем на 1800, потому что укороченный вибратор сам по себе хуже полновесного, да еще и на согласовании импедансов и компенсации реактивностей теряем часть энергии.

почему WiFi-2400 на одинаковом открытом расстоянии от ТД сигнал в dBm сильнее чем от WiFi-5400

Разве что на совсем открытом пространстве. Но и тут как правило на 5 ГГц и мощность передатчика оказывается ниже, и чувствительность приемника хуже, чем на 2.45 ГГц.

почему на одинаковом расстоянии сигнал 1W 27 МГц мощнее чем 5W 433 MHz и т.д.

А вот это, простите, уже почти всегда не так. Если речь о портативных станциях с антеннами в десяток сантиметров, то на CB/27 тут вообще ловить нечего во всех смыслах, хоть площадь абсорбции, казалось бы, одинаковая. Сильно укороченная антенна имеет КПД в единицы процентов и гробит все преимущество НЧ-бэнда. Плюс помехи, которых на CB/27 часто столько, что стрелка S-метра ниже девятки не опускается.

К тому же в статье совершенно не упомянут такой тип антенны с круговой ДН, как колинеарная. Это частный случай фазированной антенной решетки, но в какой-то мере самобалансирующаяся, не требующая сложного питания. Такая антенна позволяет легко умножать площадь абсорбции на СВЧ-диапазонах до уровня того же CB/27.

Почему в Intel работы такие «убогие дизайнеры», которые сделали mmWave модем 28 GHz «привет из 90-ых»

Вообще не понял, к чему это.

Все настолько увлеклись влиянием «опущенных факторов», что о Фриисе вообще забыли, хотя влияние этой формулы доминирующее для объяснения большинства наблюдаемых земных явлений

Доминирующий фактор в любой УКВ-радиосвязи — это кривизна земной поверхности. И самая главная формула любого УКВиста: L = 4.12*(Sqrt(h1)+Sqrt(h2)). И в эту формулу, как видите, не входит ни мощность передатчиков, ни чувствительность приемников, ни эффективность антенн, ни даже длина волны. На втором месте — влияние местных препятствий. И только потом идет энергетика самого канала.

Почему так? А потому что никакими киловаттами и суперэффективными антеннами за горизонт все равно не заглянешь (отражение от небесных тел и неоднородностей атмосферы не в счет). И сквозь лист металла никакой мощностью на сотнях МГц тоже не пробьешься. А дальность действия LPD-станций с мощностью передатчика 0.01 Ватт имеет тот же порядок, что и у станций аналогичного диапазона с мощностью 5 Ватт.

Доказательства? Да легко. В любом мобильном терминале антенна общая для всех диапазонов, и площадь абсорбции у нее примерно равна на всех частотах

Площадь абсорбции пропорциональна квадрату длины волны.

Для антенн одного типа. И только потому, что при этом отличается их физический размер. У нас же один и тот же проводник является разным типом антенны для разных диапазонов, но его эффективная площадь остается неизменной (плюс/минус).

Некоторые ухудшения укороченных антенн могут быть связаны или с рассогласованием (при КСВ=2 11% энергии не воспринимается антенной) или с применением диэлектриков с высоким тангенсом угла потерь (низкий КПД).

Основной (и де-факто единственный в реальных условиях) фактор, ухудшающий эффективность короткой антенны, — потери при согласовании низкого сопротивления излучения такого огрызка с высоким выходным сопротивлением передатчика (или таким же входным сопротивлением приемника).

Я говорю почему при равной мощности передатчика сила принятого и измеренного сигнала в dBm (которая никак не зависит от чувствительности отдельно взятого приемника — это лишь констатация факта — сколько энергии в заданной полосе частот было принято антенной) ниже в 4 раза (на 6 dB).

И опять же вы забываете о том, что антенна на 5 ГГц не обязана быть полным аналогом антенны на 2.4 ГГц. При той же длине и кажущейся конструкции внутри это уже может быть не четверть, а половина. Или не половина, а колинеар из двух половин.

статья не рассматривает вообще вопросы горизонта,

И именно поэтому я написал то, что написал в первом комментарии.

При снижении частоты вдвое мощность можно снизить вчетверо или увеличить скорость (полосу) вчетверо при той же мощности.

Для антенн одного типа. И только потому, что при этом отличается их физический размер. У нас же один и тот же проводник является разным типом антенны для разных диапазонов, но его эффективная площадь остается неизменной (плюс/минус).

ЭП (апертура) одного и того же проводника, иными словами широкополосной или многодиапазонной антенны,- пропорциональна квадрату длины волны (плюс/минус), с поправкой на неравномерность КНД. Если одна и та же антенна имеет G=2 dBi на 1 ГГц и на 2 ГГц, то на второй частоте её апертура в 4 раза ниже. Если одна и та же антенна имеет одинаковую апертуру на 1 ГГц и на 2 ГГц, то на второй частоте её направленность в 4 раза (на 6 dB) выше.
Широкополосные антенны проектируются 2 подходами:
* расширение полосы пропускания одного и того же активного элемента. можно достичь перекрытия до 1.5-2х по частоте, но это большая редкость, зачастую и 30% добиться сложно, особенно на фиксированную (неперестраиваемую) нагрузку, например Z=50 +j0
* комбинирование в одной конструкции (корпусе/мачте/подложке) разных активных элементов, которые включаются в работу только на своем диапазоне.
При втором подходе это почти как независимые антенны (исключение из конструкции частей ответственных за другой диапазон может сохранять нормальную работоспособность оставшейся конструкции).

Основной (и де-факто единственный в реальных условиях) фактор, ухудшающий эффективность короткой антенны

Не хочу в чисто теоретической статье переходить к обсуждению конкретных образцов конкретных антенн и выбранного производителем типа ССУ. Описываемая Вами ситуация имеет место быть широко представленной на современном рынке бытовых устройств.
В модемах и телефонах (частоты 450 и выше) сегодня коммерчески успешно применение диэлектриков с очень высокой проницаемостью (до 30. 40), что уменьшает размеры антенны в корень из проницаемости раз (до 6 раз). КПД у них снижается до 50% и менее, потому что до половины энергии уходит в нагрев этой подложки, из-за того что тангенс угла потерь этих материалов значительно выше 0. На этапе согласования КСВ — потери невысокие, низкое рачетное сопротивление (15-20 Ом) непосредственно согласовывается с транзисторным трансивером (минуя преобразование вверх на 50 Ом и обратно вниз), поэтому дополнительных потерь тепла в ССУ нет.

В ладонных рациях низких диапазонов диэлектрик обычно воздушный (без потерь), а укорочение диполя проводят катушками с воздушным зазором. Потери идут или потому что ССУ вообще нет как такового (50 Ом выход внаглую без разрешения разработчиков нагрузили на 10-20 Ом антенну с КСВ=3. 5, это если ещё попали в резонанс) или ССУ есть, но это миниатюрные схемы на LC или PCB-балуны с большими потерями, которые имеют стоимость $0.01 и почти не занимают пространства.
Теория не запрещает проектировать ССУ с низкими потерями и укороченные антенны на воздушном диэлектрике. Просто это не всегда востребовано рынком — намного дешевле и компактнее вдуть впятеро больше мощи в ТХ и всё.

И опять же вы забываете о том, что антенна на 5 ГГц не обязана быть полным аналогом антенны на 2.4 ГГц. При той же длине это будет уже не четверть, а половина. Или не половина, а колинеар из двух половин.

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. Войдите, пожалуйста.

Энергия дискретного сигнала.

Корреляция и энергетический спектр.

В качестве энергии дискретного сигнала принята мера

соответственно в частотной области, согласно равенству Парсеваля,

Wx = X 2 (w)dw = X(jw)X * (jw)d(jw), (2.16)

где X(jw) = X(w)e j j ( w ) — спектр сигнала x(nT),

X * (jw) = X(w)e -j j ( w ) — спектр x(-nT) в соответствии с теоремой о спектре инверсного сигнала,

X 2 (w) = X(jw)ЧX * (jw) = Sx(jw) — энергетический спектр сигнала x(nT).

На рис.(2.8) показан в качестве примера сигнал x(nT) и его инверсная копия x(-nT) для некоторого частного случая

Энергетический спектр выражает среднюю мощность сигнала x(nT), приходящуюся на узкую полосу частот в окрестности переменной w.

Во временной области энергетическому спектру соответствует свертка инверных сигналов, что определяет корреляционную функцию Sx(nT) сигнала x(nT).

Согласно (2.17) и (2.15) корреляционная функция в точке n = 0 равна энергии сигнала, т. е.

Для периодических дискретных сигналов корреляционная функция и энергетический спектр связаны формулами ДПФ

Отсюда получаются расчётные формулы энергии периодических дискретных последовательностей

что соответствует равенству Парсеваля для дискретных периодических сигналов. Корреляционная функция таких сигналов определяется по формуле круговой свёртки

Расчет энергии дискретного сигнала можно выполнить при необходимости, применяя равенство Парсеваля относительно Z — изображений сигнала и его инверсной копии (теорема энергий)

где — Z — изображение корреляционной функции.

Умесно заметить, что применительно к случайным сигналам корреляционная функция чаще определяется формулой с весовым множителем , т.е.

соответственно для энергетического спектра

что приводит к результату, при котором среднее значение случайной величины с ростом N сходится к постоянной величине.

Свертка сигнала с инверсной копией другого сигнала называется взаимной корреляцией этих сигналов.

2.8 Расчёт энергии сигнала в дискретной цепи.

В любой точке дискретной цепи энергию сигнала можно вычислить по известному сигналу или по корреляционной функции сигнала в этой точке. Корреляционную функцию сигнала в некоторой точке цепи можно определить не только по известному сигналу, но и по известной корреляционной функции входного сигнала и импульсной реакции

где — корреляционная функция сигнала на входе цепи,

— корреляционная функция импулсного отклика в данной точке,

— условный знак свёртки.

Докажем равенство (2.22).

В этом выражении в силу линейности цепи сигналы можно сочетать различными способами. Поэтому

что доказывает справедливость (2.22). Следовательно

Автокорреляционная функция является чётной функцией, поэтому применяя круговую свёртку (2.22), периоды и необходимо выровнять с таким расчетом, чтобы сохранить чётный характер этих функций.

Пример. Определить энергию сигнала на выходе цепи, если

1. Расчет во временной области.

Определяем сигнал на выходе цепи по формуле круговой свёртки

2. Расчёт в частотной области.

Вначале необходимо определить отсчёты спектра сигнала по формуле прямого ДПФ

Отсюда, согласно равенству Парсеваля,

3. Расчёт по формуле (2.23).

Определяем корреляционные функции и .

увеличивая период и до N=5, получаем

На рис.(2.9,а) показана периодическая последовательность до увеличения периода, на рис. (2.9,б) — после увеличения периода .

В заключении рассмотрим важный часный случай применения формулы (2.23).

Для случайных сигналов с нулевым средним

где — дисперсия случайного сигнала x(nT).

Отсюда, учитывая (2.23),

Формула (2.25) применяется, в частности, для расчёта шумов квантования в цифровых цепях .

Реальные сигналы могут иметь значительную протяжённость во времени, поэтому обработка таких сигналов на ЭВМ осуществляется посекционно. Расчёты по каждой секции выполняются по формуле круговой свёртки

где h(nT) — импульсная характеристика, определяющая способ обработки сигнала .

Каждая секция совмещается с предидущей секцией с учётом сдвига между секциями входного сигнала .

Применяются два основных метода секционирования: метод перекрытия с суммированием и метод перекрытия с накоплением.

1. Метод перекрытия с суммированием.

Сигнал x(nT) разбивается на секции длиной L. Отсюда — длина секции , — длина секции , — длина .

Длина секции больше длины секции на . Поэтому смежные секции выходного сигнала перекрываются на интервале длиной . На интервале перекрытия необходимо выполнить арифметические операции по суммированию отсчётов.

2. Метод перекрытия с накоплением.

Сигнал x(nT) разбивается на секции длиной L. Затем каждая секция наращивается слева участком предидущей секции длиной . Поэтому

— длина , — длина , — длина .

Искусственное удлинение каждой секции приводит к тому, что первые и последние отсчётов секции являются ложными и поэтому отбрасываются. Оставшиеся L отсчётов каждой секции, являются истинными, поэтому смежные секции совмещаются без перекрытия и без зазора.

Пример. Осуществить посекционную обработку сигнала

Применим метод перекрытия с накоплением.

Пусть L = 1. Отсюда ;

, поэтому после искусственного удлинения секций:

Выравниваем периоды сигналов для применения круговой свёртки:

N = N1 + N2— 1 = 3. Следовательно x(nT)= <0; 0,4; 0>, x1(nT)= <0,4; 0,8; 0>, x2(nT)= <0,8; 0; 0>После свёртки по каждой секции и отбрасывания отсчётов получаем: отсюда

Метод перекрытия с накоплением получил преимущественное распространение, поскольку здесь не требуется проведения дополнительных арифметичкских операций после обработки каждой секции.

Цифровые фильтры.

3.1 Цифровая система обработки сигналов.

Обработка дискретных сигналов осуществляется как правило в цифровой форме: каждому отсчёту ставится в соответствие двоичное кодовое слово и, в результате, действия над отсчётами заменяются на действия над кодовыми словами. Таким образом дискретная цепь становится цифровой цепью, цифровым фильтром (ЦФ). Перевод отсчётов в двоичные кодовые слова происходит в аналогово-цифровом преобразователе (АЦП). На выходе ЦФ (рис.3.1) осуществляется обратная операция: кодовые слова в цифро-аналоговом преобразователе превращаются в отсчёты дискретного сигнала и, наконец, на выходе, синтезирующего фильтра (СФ) формируется обработанный аналоговый сигнал.

Дискретная и цифровая цепи описываются одинаковыми уравнениями. Отличие состоит в приближённом характере представления отсчётов сигнала кодовыми словами конечной размерности (ошибки квантования). Поэтому сигнал на выходе цифровой цепи отличается от идеального варианта на величину погрешности квантования.

Цифровая техника позволяет получить высокое качество обработки сигналов несмотря на ошибки квантования: ошибки (шумы) квантования можно привести в норму увеличением разрядности кодовых слов. Рациональные способы конструирования цифровой цепи также способствуют минимизации уровня шумов квантования.

Расчёт цифровой цепи по заданным требованиям к её характеристикам имеет ряд принципиальных особенностей в зависимости от наличия обратной связи. Эти особенности являются следствием конечной длины импульсного отклика нерекурсивного ЦФ.

Поэтому нерекурсивные фильтры содержат большое число элементов цепи, но вместе с тем имеют целый ряд важных достоинств: нерекурсивные ЦФ всегда устойчивы, позволяют строить фильтры с минимальной линейной фазой, отличаются простой настройкой. С учётом изложенного становятся понятны причины, по которым методы расчёта нерекурсивных ЦФ и рекурсивных цифровых фильтров принято рассматривать отдельно.

3.2 Расчёт нерекурсивных ЦФ общего вида.

Цель расчёта нерекурсивных цифровых фильтров (рис. 3.2,а) заключается в расчёте значений коэффицентов и их числа N по допускам на системные характеристики, а так же в расчёте разрядности кодовых слов и выборе оптимального динамического диапазона ЦФ по нормам на помехозащищённость сигнала и вероятность перегрузки системы, что определяется эффектами конечной разрядности кодовых слов.

Требования к системным характеристикам чаще задаютс относительно одной из них: импульсной или частотной. Поэтому различают расчёт ЦФ во временной области и расчёт ЦФ в частотной области.

Расчёт ЦФ во временной области.

Требуемая импульсная характеристика в общем случае имеет бесконечную протяжённость во времени. Поэтому вначале необходимо задаться конечным числом N первых отсчётов требуемой импульсной характеристики

Оставшиеся отсчёты по причине их малости отбрасывают и определяют погрешность приближения, которую можно оценить, например, по среднеквадратичному критерию близости.

Коэффициенты фильтра принимаются равными соответствующим отсчётам требуемой импульсной характеристики. После расчёта разрядности коэффицентов, шумов квантования и масштабирующих коэффицентов остаётся оценить погрешность реализованной импульсной характеристики по отношению к требуемой и принять решение о необходимости повторного расчёта.

Расчёт ЦФ в частотной области.

Вначале необходимо продолжить требуемую частотную характеристику на диапазон [0,5wд; wд] по правилам комплексно-сопряжённой симметрии (рис. 3.2,б), что определяется вещественным характером импульсного отклика. По характеристикам следует определить N комплексных частотных отсчётов

где число N выбирается ориентировачно с таким расчётом, чтобы плавным соединением точек и требуемые кривые восстановились без заметных искажений.

Расчёт коэффицентов фильтра выполняется по формуле обратного ДПФ

Затем необходимо расчитать реализованные частотные характеристики по формулам, которые следуют из выражения для передаточной функции фильтра.

Остаётся сравнить требуемые и реализованные характеристики и принять решение о необходимости повторного расчёта.

Расчёты по учёту эффектов конечной разности кодовых слов остаются

3.3. Схемы и характеристики фильтров с линейной фазой

Нерекурсивный фильтр позволяет получить четную или нечетную импульсную характеристику и, как результат, линейную ФЧХ или произвольной АЧХ, что следует из теоремы о спектре четных и нечетных сигналов: спектр фаз четных и нечетных сигналов является линейным.

Фильтры с четными импульсными характеристиками называются симметричными, с нечетными — антисимметричными. Каждый из отмеченных типов фильтров имеет свои особенности в зависимости от четности числа отводов N, что удобно рассмотреть на конкретных примерах.

Симметричные фильтры с нечетным N.

На рис. 3.3, а приведена схема и импульсная характеристика симметричного фильтра для случая N=5. Передаточная функция такой цепи:

Отсюда, после подстановки Z = e j w T и с учетом формулы Эйлера

H (jw) = e -j2 w T (a + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT)

следовательно, формулы АЧХ и ФЧХ

H(w) = a + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT, j(w) = -2wT

График АЧХ и графики поясняющие характер АЧХ — cos wT, cos 2wT — приведены на рис. 3.4, а.

Симметричные фильтры с четным N.

На рис. 3.3, б приведены схема и импульсная характеристика симметричного фильтра для случая N=4. Передаточная функция фильтра

Отсюда H (jw) = e -j1,5 w T (2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT)


Соответствующие формулы АЧХ и ФЧХ

H(w) = 2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5wT, j(w) = -1,5wT

Характер АЧХ и поясняющие графики — на рис. 3.4, б.

Антисимметричные фильтры с нечетным N.

На рис. 3.5, а приведены схема и импульсная характеристика антисимметричного фильтра для случая N=5.

Передаточная функция фильтра

отсюда H (jw) = e -j2 w T j(2a1 sin wT + 2a2 sin2wT)

Поэтому формулы АЧХ и ФЧХ

H(w) = 2a1 sin wT + 2a2 sin 2wT, j(w) = -2wT

Характер АЧХ и поясняющие графики — на рис. 3.6, f.

Антисимметричные фильтры с четным N.

Схема и импульсная характеристика для случая N=4 приведены на рис. 3.5, б. Передаточная функция

H (jw) = e -j1,5 w T j(2a1 sin 0,5 wT + 2a2sin 1,5wT)

Формулы АЧХ и ФЧХ

H(w) = 2a1 sin 0,5 wT + 2a2 sin 1,5wT, j(w) = -1,5wT

Характер АЧХ и поясняющие графики — на рис. 3.6, б.

3.4 Общие свойства фильтров с линейной фазой

Анализ рассмотренных вариантов фильтров с линейной фазой позволяет сделать выводы общего характера.

1. Симметричные фильтры.

H(0) № 0, j(w) = — wT (3.3)

а. Если N — нечетное, то АЧХ — четная функция

Применяется при условии H(0,5wд) № 0

б. Если N — четное, то АЧХ — нечетная функция

H(w) = 2 аm cos [(m — 0,5) wT] (3.5)

Применяется при условии H(0,5wд) = 0

2. Антисимметричные фильтры

H(0) = 0, j(w) = — wT (3.6)

а. Если N — нечетное, то АЧХ — нечетная функция

H(w) = 2 аm sin m wT (3.7)

Применяется при условии H(0,5wд) = 0

б. Если N — четное, то АЧХ — четная функция

H(w) = 2 аm sin [(m — 0,5) wT] (3.8)

Применяется при условии H(0,5wд) № 0

На рис. 3.7, а, б приведены графики, поясняющие отмеченные выше свойства.

Если требуемая передаточная функция имеет в качестве множителя мнимую единицу, то применяются исключительно антисимметричные фильтры. Например, передаточная функция дифференциатора или интегратора

H(jw) = jw, H(jw) = 1 / jw

В этом случае условия

при необходимости следует воспроизвести искусственно.

3.5. Расчет ЦФ с линейной фазой. Метод взвешивания.

Расчет фильтров с линейной фазой начинается с выбора типа фильтра (симметричный, антисимметричный) и четности N в соответствии с общими свойствами фильтров с линейной фазой и требуемой АЧХ.

а. Если Н(0) № 0, то фильтр симметричный. Отсюда:

N — нечетное, если H(0,5wд) № 0

N — четное, если H(0,5wд) = 0

б. Если Н(0) = 0, то фильтр антисимметричный. Отсюда:

N — нечетное, если H(0,5wд) = 0

N — четное, если H(0,5wд) № 0

После выбора типа фильтра и четности N необходимо продолжить требуемую АЧХ на диапазон [0,5wд; wд] в соответствие с графиками на Рис. 3.7, а, б. Выбор расчетной формулы для ФЧХ, т.е. (3.3) или (3.6), определяется типом фильтра.

После выполненных процедур расчет фильтра осуществляется по общим правилам расчета не рекурсивных ЦФ.

Пример. Рассчитать ФНЧ с линейной фазой по следующим исходным данным:

ПП ® [0; 200] Гц, переходная область ® [200; 300] Гц.

Выбираем fд = 800 Гц. Отсюда после нормирования частот W =

ПП ® [0; 0,25], ПН ® [0,375; 0,5].

Здесь Н(0) № 0, поэтому фильтр симметричный.

H(0,5wд) = 0, поэтому N — четное.

Следовательно, требуемую АЧХ необходимо продолжить на диапазон [0,5wд; wд] нечетным образом (Рис. 3.8, а).

Расчет начинается с выбора величины N.

Пусть N = 8. Отсюда интервал между выборками W1 = = 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): j(w) = — wT . Отсюда

j (W) = -7pW, или для частот выборки j (kW1) = -7pW1,

Отсчеты АЧХ — по требуемой АЧХ на графике Рис. 3.8, а.

Следовательно, комплексные частотные отсчеты:

Отсюда расчет импульсной характеристики по формуле обр. ДПФ

h (nT) = H (jkW1) e j (2 p /N) kn =

что соответствует схеме фильтра на Рис. 3.8, б

Расчетная формула АЧХ такого типа фильтра — (3.5).

Поэтому Н(W) = 1,06 cos pW + 0,05 cos 3pW — 0,33 cos 5pW + 0,13 cos 7pW

Результаты расчета реализованной АЧХ приведены на графике Рис. 3.8, а (штриховая линия).

В окрестности точек разрыва требуемой АЧХ (в данном примере это частоты 0,25 и 0,75) отклонение от нормы реализованных характеристик получается значительным вследствие влияния эффекта Гиббса. Ослабить влияние эффекта Гиббса удается введением весовой функции (метод взвешивания) к импульсной характеристике.

Новая импульсная характеристика формируется по правилу:

h’ (nT) = W (nt) * h (nT)

Где W (nT) — весовая функция или «сглаживающее окно».

Находят применение различные типы окон, например «окно» Хэмминга:

W(nT) = 0,54 + 0,46 cos [2p ], (3.9)

где n = 0, 1, 2, . (N — 1)

Для рассматриваемого примера

Отсюда новые коэффициенты фильтра и новая передаточная функция

H'(Z) = 0,005 — 0,04Z -1 + 0,016Z -2 + 0,51Z -3 + 0,51Z -4 + 0,016Z -5 — 0,04Z -6 +

График АЧХ с учетом сглаживающего окна приведен на Рис. 3.9. Расчетная функция получена из формулы для Н'(Z) после подстановки

Z = e j w T = e j2 p W .

Сравнивая реализованные АЧХ на Рис. 3.8, а и Рис. 3.9, можно убедиться в улучшении качества аппроксимации требуемой АЧХ при введении «окна».

С ростом N положительный эффект от применения «сглаживающего окна» возрастает.

В рассмотренном примере нормы на отклонение реализованной АЧХ от требуемой не заданы. Если эти нормы не выполняются, то. (строчка ксерокопии не влезла)

3.6. Метод частотной выборки

Коэффициенты не рекурсивного ЦФ (Рис. 3.2, а) соответствуют отсчетам импульсной характеристики. Схему не рекурсивного ЦФ можно преобразовать таким образом, чтобы коэффициенты фильтра соответствовали отсчетам другой системной характеристики — передаточной функции. Новая схема ЦФ является основой конструирования фильтров по методу частотной выборки.

3.6.1 Схема фильтра.

Схема фильтра формируется по результатам эквивалентных преобразований передаточной функции не рекурсивного ЦФ

где в соответствии с формулой обратного ДПФ

Н(Z) = H (jkw1) e j(2 p /N)kn Z -n = (e j(2 p /N)kn Z -1 ) n

Применяя здесь формулу суммы N первых членов геометрической прогрессии

P(Z) = 1 — dZ -N , Fk(Z) = 1 / (1 — bkZ -1 ), d = e j2 p k , bk = e j2 p k/N (3.11)

Схема фильтра, соответствующего (3.10), приведена на Рис. 3.10, а. Схемы звеньев фильтра, соответствующих (3.11), приведены на Рис. 3.10, б.

Схема фильтра на рис. 3.10 применяется с учетом поправок, обусловленных особенностями расположения нулей и полюсов передаточной функции.

Нули и полюсы H(Z) (3.10), т.е. корни уравнений

1- e j2 p k Z -N = 0, 1 — e j2 p k/N Z -1 = 0

Расположены на единичной окружности плоскости Z в точках

и взаимно компенсируется. Но компенсация получается неполной по причине конечной разрядности кодовых слов, что приводит к скачкам частотной характеристики фильтра и, более того, не исключена вероятность самовозбуждения цепи. Поэтому рекомендуется смещать точки Zk внутрь единичного круга на малую величину, т.е.

Zk = e — a T/N e j2 p k/N , где aТ -5

что соответствует коэффициентам фильтра

d = e — a T e j2 p k , bk = e — a T e j2 p k/N (3.12)

Небольшая поправка коэффициентов фильтра (3.12) практически не отразится на характеристиках фильтра.

3.6.2 Частотная характеристика фильтра

Частотная характеристика фильтра по методу частотной выборки получается подстановкой

в (3.10). Отсюда, с учетом формулы Эйлера,

что соответствует ряду Котельникова для спектров дискретных сигналов. Таким образом, частотную характеристику не рекурсивного ЦФ можно представить как в форме ряда Фурье, так и в форме ряда Котельникова.

Каждая из отсчетных функций в (3.13)

на частоте w = kw1 принимает значение частотной выборки H(jkw1); остальные отсчетные функции на этой частоте обращаются в нуль. На графике Рис. 3.11 показана в качестве примера некоторая АЧХ и ее составляющие — равносмещенные отсчетные функции для случая N=8, где отсчетные функции представлены главным лепестком, кроме модуля отсчетной функции при К=0, которая изображена полностью.

С учетом вышеизложенного становится понятным, что регулировка частотных отсчетов фильтра по методу частотной выборки является взаимонезависимой подобно взаимонезависимой регулировке отсчетов импульсной характеристики не рекурсивного ЦФ по схеме на Рис. 3.2, а.

Расчет фильтра начинается с ориентировочного выбора величины N. Коэффициенты фильтра приравнивают к соответствующим отсчетам требуемой частотной характеристики. Особый случай имеет место в точках разрыва характеристики: отсчеты, расположенные в окрестности точек разрыва, т.е. в переходной области, необходимо выбирать с таким расчетом, чтобы получить удовлетворительное приближение реализованной характеристики к требуемой в диапазоне частот, прилегающем к переходной области. Наиболее часто в переходную область попадает 1 или 2 отсчетных частоты. В этом случае удовлетворительный результат аппроксимации можно получить простым подбором модуля отсчетов в переходной области.

После проверочного расчета частотных характеристик по формуле 3.10 или 3.13 принимается решение о необходимости повторного расчета.

3.6.3. Схема фильтра с вещественными отводами

Реализация фильтров по схеме на Рис. 3.10, а сопряжена с некоторыми особенностями, обусловленными комплексным характером коэффициентов в отводах. Поэтому на практике получил распространение еще один вариант схемы такого фильтра, отличающийся вещественным характером коэффициентов.

Фильтр с вещественными коэффициентами получается за счет объединения каждой пары отводов с индексами К и (N-K), которая является комплексно-сопряженной по причине комплексно-сопряженной симметрии частотных характеристик фильтра относительно частоты 0,5wд. В результате

Схема вещественного отвода, соответствующего (3.15), приведена на Рис. 3.12.

Завершая обсуждение фильтра с частотной выборкой следует отметить еще одно важное качество таких фильтров: в схеме отсутствуют звенья, соответствующие нулевым значениям требуемой АЧХ. В результате, например, схема частотно-селективного фильтра существенно упрощается, сохраняя при этом возможность получения линейной фазы.

3.7. Расчет рекурсивных фильтров. Метод билинейного преобразования.

Методы расчета рекурсивных ЦФ можно разделить на прямые и косвенные. Прямые методы предполагают расчет непосредственно рекурсивного ЦФ, косвенные используют в качестве промежуточного этапа расчет аналогового фильтра (АФ).

К числу косвенных методов относится метод билинейного преобразования, основанный на таком преобразовании частот, при котором частотная ось сжимается до конечных размеров. Формула частотного преобразования

где w — реальная частота, т.е. частота проектируемого ЦФ, — расчетная частота, т.е. частота вспомогательного АФ, , — соответствующие комплексные частоты.

На рис. 3.13, а приведен график зависимости расчетной частоты от реальной частоты, на Рис. 3.13, б — пример соответствия кривых АЧХ фильтров АФ и ЦФ.

Связь комплексных переменных вспомогательного АФ и реального ЦФ, т.е. и Z определяется равенством

Формула (3.17) получается подстановкой в (3.16) Z = e pT . В результате

Перечислим последовательность этапов расчета ЦФ методом билинейного преобразования.

1. Перевести требуемые характеристики и нормы ЦФ в соответствующие требования к АФ, применяя формулу

2. Рассчитать передаточную функцию АФ , применяя методы расчета аналоговых фильтров.

3. Определить передаточную функцию ЦФ H(Z) по известной

4. Построить схему ЦФ по H(Z).

5. Выполнить необходимые расчеты по учету эффектов конечной разрядности.

Пример. Рассчитать рекурсивный ЦФ нижних частот методом билинейного преобразования по следующим исходным данным:

ПП ® [0; 200] Гц, перех. область ® [200; 300] Гц, DА = 3 дБ, Аmin­­­ = 15 дБ.

Выбираем fд = 800 Гц.

Контрольные частоты для перевода норм ЦФ в нормы АФ: 0; 200 Гц; 300 Гц.

Расчетная формула для преобразования частот

f = 200 Гц ® 1600 ® Wн = 1

f = 300 Гц ® 3840 ® Wн = 2,4

где Wн = — нормированная частота ФНЧ,

= 1600 — частота среза ФНЧ.

Основная формула расчета АФ

В данном случае достаточно ограничиться аппроксимирующим полиномом Баттерворта второго порядка. Поэтому, учитывая что Е=1 для DА = 3 дБ, получаем

Отсюда полюсы Н(рн): рн 1,2 = -0,707 ± j 0,707,

что соответствует нормированной передаточной функции

получаем денормированную передаточную функцию АФ

После подстановки здесь (3.17), получаем передаточную функцию рекурсивного ЦФ

Что соответствует схеме рекурсивного ЦФ, приведенной на Рис. 3.14, а.

Уместно напомнить, что схему цепи по дробной передаточной функции от Z удобно строить в 2 этапа: вначале строится не рекурсивная часть, соответствующая числителю Н(Z), затем каскадно с ней — рекурсивная часть, соответствующая дроби, в числителе которой — единица.

График реализованной АЧХ приведен на рис. 3.14, б.

Нелинейная зависимость частотного преобразования (3.16) определяет как недостатки, так и достоинства метода билинейного преобразования. Недостаток в том, что наклонные участки частотной характеристики изменяют свой наклон тем больше, чем выше частота. Поэтому, например, линейная фаза после преобразования (3.16) становится нелинейной. Достоинство определяется отсутствием ошибок наложения при переходе АФ ® ЦФ, что позволяет получить высокие уровни ослабления в ПН при конструировании частотно-селективных фильтров.

4. Эффекты конечной разрядности и их учет.

4.1. Шум квантования и шумовая модель.

Отсчеты сигнала на входе цифровой системы квантуются к ближайшему из разрешенных уровней. Расстояния между смежными уровнями равно шагу квантования D. Шаг квантования и разрядность кодовых слов связаны соотношением


где b — разрядность кодовых слов.

Значение младшего разряда кодовых слов численно равно шагу квантования.

Разность истинного и квантованного числа называется ошибкой квантования. Ошибка квантования е(n) определяется неравенствами:

— при округлении чисел,

— при усечении чисел. (4.2)

На выходе цифровой системы ошибки квантования воспринимаются в виде шума, который называется шумом квантования.

Цифровые умножители наравне с АЦП являются источниками шума квантования; на выходе умножителей длину кодовых слов приходится ограничивать, т.к. разрядность результата перемножения кодовых слов возрастает и равна сумме разрядностей множимого и множителя.

Расчет уровня шума квантования осуществляется по шумовой модели, которая отличается от исходной цепи наличием источников шума квантования на выходе АЦП и каждого из умножителей.

На Рис. 4.1, а приведена в качестве примера шумовая модель цифровой цепи, схема которой показана на Рис. 4.1, б. Обозначения для источников шума:

e(n) — источник шума от АЦП

ei(n) — источник шума от каждого из Z множителей.

НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

8.1. Спектры непериодических сигналов

Непериодические сигналы можно разделить на два класса:

— одиночные импульсные сигналы (например, рис. 8.1а);

— непрерывные случайные (шумовые) сигналы (например, рис. 8.1б).

Спектральный анализ случайных процессов проводится специфическими методами и не рассматривается в настоящем пособии. В дальнейшем будут рассматриваться только одиночные импульсы.

Одиночный импульсный сигнал или пачку импульсов можно рассматривать как периодический процесс, но с бесконечным периодом . В этом случае для комплексной амплитуды -й гармоники получим

то есть она является бесконечно малой величиной. Из выражения для частоты первой гармоники , которая равна ин-

тервалу частот между соседними гармониками в спектре сигнала, получим

Таким образом, ряд Фурье не пригоден для спектрального анализа непериодических сигналов. В этом случае используют преобразование (интеграл) Фурье. Прямое преобразование Фурье имеет вид

а обратное преобразование соответственно

Функцию называют полной комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала . Можно показать, что

где — бесконечно малая амплитуда гармоники на частоте (при сплошном спектре использовать номер гармоники

нельзя, так как он равен бесконечности), а — бесконечно

малый интервал частот между соседними гармониками. Это выражение типично для физического определения плотности.

Согласно (8.3) или (8.5) спектральная плотность измеряется в единицах сигнала, умноженных на секунду (или деленных на единицу частоты). Она является комплексной функцией частоты и может быть представлена в виде

Модуль комплексной спектральной плотности , равный

называют спектральной плотностью амплитуд сигнала. Она измеряется в единицах сигнала, умноженных на секунду (или деленных на единицу частоты). Можно использовать термин «спектр амплитуд», не забывая, что речь идет о спектральной плотности.

Спектр фаз непериодического сигнала определяется выражением

Он не является «плотностью», так как начальные фазы гармоник с бесконечно малыми амплитудами имеют конечные значения и измеряются в радианах или градусах.

Спектры амплитуд и фаз полностью определяют комплексную спектральную плотность сигнала, а значит в соот-

ветствии с обратным преобразованием Фурье и сам исходный сигнал

В качестве примера рассмотрим одиночный прямоугольный импульс длительностью , показанный на рис. 8.2. Его полная комплексная спектральная плотность равна

Ее модуль представляет собой спектральную плотность амплитуд , равную

а спектр фаз имеет вид

Графики спектров амплитуд и фаз одиночного прямоугольного импульса с амплитудой В и длительностью мс

показаны на рис. 8.3.

Максимум спектральной плотности амплитуд имеет место при и равен (получите этот результат самостоятельно, используя известный их курса математического анализа первый замечательный предел)

Сравнивая (7.23) и (8.10), нетрудно убедиться, что форма спектральной плотности амплитуд одиночного прямоугольного импульса совпадает с формой огибающей спектра амплитуд периодической последовательности тех же импульсов.

Спектральные функции обладают следующими свойствами:

— спектральная плотность амплитуд четная функция частоты ;

— действительная часть комплексной спектральной плотности четная функция частоты;

— мнимая часть комплексной спектральной плотности нечетная функция частоты;

— спектр фаз нечетная функция частоты .

Так как отрицательные частоты не имеют физического смысла, то спектральные характеристики необходимо рассматривать только в положительной области частот.

8.2. Энергетические характеристики

Непериодические сигналы характеризуются полной энергией, равной

так как их средняя мощность при бесконечном периоде равна нулю.

В частотной области энергия сигнала определяется выражением

которое называют теоремой Релея. Как видно, энергия сигнала определяется его спектральной плотностью амплитуд и не зависит от фазового спектра.

Функцию называют спектральной плотностью энергии сигнала или его энергетическим спектром,

при этом энергия сигнала будет равна

8.3. Ширина спектра непериодического сигнала

Определим ширину спектра Ш как частотный диапазон, в котором сосредоточена заданная доля энергии сигнала.

Рассмотрим энергию сигнала в полосе частот от 0 до , равную

Зависимость нормированной энергии от для сигнала на рис. 8.2 при мс показана на рис. 8.4. Из графика следует, что при заданной доле энергии ширина спектра равна 512 рад/c. С ростом величины

Рис. 8.4 ширина спектра значи-

тельно возрастает, как и в случае периодических сигналов.

Можно использовать независимое от определение эффективной ширины спектра в виде

где — максимальное значение энергетического спектра. Зависимость для сигнала на рис. 8.2 при В и мс показана на рис. 8.5.

Величина равна ширине прямоугольника, показанного пунктиром на рис. 8.5, высота которого равна . Для одиночного прямоугольного импульса вида рис. 8.2 энергия сигнала согласно (8.12) равна

энергетический спектр имеет вид

а его максимум равен

тогда для эффективной ширины спектра получим

В рассматриваемом случае при мс эффективная ширина спектра равна рад/c. Ранее была определена полоса частот, в которой сосредоточено 90% энергии сигнала, существенно большая и равная 512 рад/c.

На практике используется инженерная оценка ширины спектраодиночныхимпульсных сигналов с длительностью (например, рис. 8.2) вида

(рад/с) или (Гц) (8.22)

Те же оценки использовались и для периодических сигналов. Чаще всего используются соотношения с единичным множителем вида

Эта оценка при мс дает значение рад/с.

8.4. Спектральные характеристики экспоненциального

Рассмотрим экспоненциальный одиночный импульс вида

график этой функции при и 1/c показан на рис. 8.6. Определим полную комплексную спектральную плотность

При этом спектральная плотность амплитуд равна

а энергетический спектр определяется выражением

Согласно (8.16), функция имеет вид

На рис. 8.7а показана зависимость при В и 1/c. Полная энергия сигнала равна ,

тогда для ширины спектра получим

Зависимость ширины спектра от параметра при 1/c показана на рис. 8.7б. Ширина спектра будет равна при , то есть в полосе частот сосредоточено 50% энергии сигнала. При ширина спектра существенно больше и стремится к бесконечности при .

С ростом параметра сигнала сигнал затухает быстрее

(импульс становится короче) и ширина спектра возрастает.

8.5. Свойства спектров непериодических сигналов

Спектральное преобразование непериодического сигнала линейно, то есть комплексная спектральная плотность суммы сигналов равна сумме спектральных плотностей каждого из суммируемых сигналов.

Теорему смещенияможно сформулировать следующим образом.

Взяв модули левой и правой частей (8.30), получим

то есть спектральная плотность амплитуд не изменяется при временной задержке сигнала.

Вычислив аргументы обеих частей выражения (8.30), получим соотношения для спектров фаз в виде

Рассмотрим влияние симметрии сигнала на свойства спектральных характеристик.

Для четного сигнала комплексная спектральная плотность является действительной функцией частоты, при этом в (8.6) , а фазовый спектр принимает значения 0 или .

Для нечетного сигнала комплексная спектральная плотность является мнимой функцией частоты, , а фазовый спектр принимает значения .

8.6. Задания для самостоятельного решения

Задание 8.1. Определите и постройте графики спектров амплитуд и фаз сигналов, показанных на рис. 8.8.

Задание 8.2. Найдите спектры амплитуд и фаз сигналов, показанных на рис. 8.9, постройте их графики. Сравните результаты расчета спектров амплитуд сигналов на рис. 8.8 и рис. 8.9.

Задание 8.3. Вычислите полную комплексную спектральную плотность сигнала на рис. 8.8а, используя результаты, полученные для сигнала на рис. 8.2 и теорему смещения.

Задание 8.4. Определите комплексную спектральную плотность пачки из двух импульсов, показанных на рис. 8.10, используя результаты, полученные для одиночного импульса на рис. 8.2 и теорему смещения. Постройте графики спектров амплитуд и фаз.

Задание 8.5. Определите комплексную спектральную плотность пачки из двух импульсов, показанных на рис. 8.11, используя результаты, полученные для одиночного импульса на рис. 8.2 и теорему смещения. Проанализируйте графики спектра амплитуд для различных значений временной задержки второго импульса.

1.1.2 Анализ сигналов: энергия и мощность

Чтобы просмотреть это видео, включите JavaScript и используйте веб-браузер, который поддерживает видео в формате HTML5

Цифровая обработка сигналов Часть 1. Сигналы и системы дискретного времени

Курс разработан Санкт-Петербургским государственным электротехническим университетом «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова при поддержке Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. «Сигналы и системы дискретного времени» — первый из нескольких курсов специализации, посвященной цифровой обработке сигналов. Современная цифровая обработка сигналов — сложная и многогранная область техники. Чтобы разобраться в ней, нужно прежде всего понять базовые принципы, о которых и пойдет речь в этом курсе. В нем всего две темы. Первая из них посвящена дискретным сигналам, в ней мы поговорим о том, что такое дискретное время, откуда берутся дискретные сигналы, как они анализируются, из каких элементарных кирпичиков складываются и каким образом попадают обратно в окружающий нас физический мир. Во второй теме мы перейдем от сигналов к системам, предназначенным для их обработки, и посмотрим, как эти системы классифицируются, какими характеристиками обладают и как именно изменяют проходящие через них сигналы. Это те основы, глубокое понимание которых необходимо для освоения и грамотного использования более сложных методов обработки сигналов, речь о которых пойдет в следующих курсах специализации. Цель курса : сформировать у слушателей представление о базовых принципах обработки сигналов в дискретном времени. В результате обучения слушатели будут: * Знать основы теории дискретных сигналов и систем. * Понимать законы преобразования сигналов в дискретных системах. * Уметь выполнять расчеты, связанные с анализом дискретных сигналов и систем, а также с прохождением сигналов через такие системы.

На этой неделе мы для начала разберемся с тем, что такое дискретные сигналы и откуда они могут появляться. Далее введем понятие анализа сигналов и посмотрим, какие основные характеристики для них мы можем придумать. После этого перейдем к рассмотрению тех элементарных кирпичиков, из которых можно складывать любые сигналы и которые часто используются при анализе сигналов и систем. К таким кирпичикам прежде всего относятся единичный импульс, единичный скачок и гармонический сигнал. Все это и составляет содержание первой недели курса.

Преподаватели

Сергиенко Александр Борисович

Текст видео

Большая часть первой темы будет посвящена тем или иным вопросам, связанным с анализом сигналов. Что такое анализ сигналов? И какие цели он преследует? Основная его цель это дать какие-то математические механизмы для сравнения сигналов друг с другом, чтобы мы могли выявить их сходства и различия. Что мы для этого делаем? Каковы основные составляющие анализа сигнала? Прежде всего мы можем измерять различные числовые их параметры, такие как: максимальное значение, энергия, мощность, о чем мы чуть дальше сейчас поговорим. Следующий аспект это разложение сигналов на элементарные составляющие. Представление их в виде суммы каких-то отдельных элементарных кирпичиков. Для чего это нам может понадобиться? Во-первых, для того, чтобы через свойства этих отдельных кирпичиков мы увидели свойства сигнала в целом, а также для того, чтобы рассматривать преобразования сигналов какими-то устройствами обработки более простым образом — через преобразование этих отдельных элементарных кирпичиков. Наконец, важным аспектом является измерение степени схожести сигналов, количественная мера того, насколько два сигнала похожи друг на друга или наоборот, друг от друга отличаются. Первые параметры сигналов, которые мы рассмотрим, относятся к измерению размера, если можно так выразиться, или уровня сигнала. Для этого вводятся понятия нормы сигнала. Мы можем трактовать последовательности чисел, наши дискретные сигналы как векторы, как элементы некоего, так называемого, пространства сигналов. Подробно в доказательства математических свойств, связанных с этим понятием, мы в нашем базовом курсе вдаваться не будем, я лишь кратко скажу о том, каким требованиям должно удовлетворять понятие нормы сигнала, характеризующее его размер. Это норма должна быть не отрицательной, должна быть равна нулю только для сигнала, все отсчёты которого равны нулю, и кроме того, при умножении всех отсчетов сигнала на одну и ту же константу, норма сигнала должна пропорционально измениться, то есть оказаться умноженной на модуль этой константы. Кроме того я хочу отметить, что мы будем считать почти везде, за исключением оговоренных исключений, что отсчеты сигнала представляют собой комплексные числа. Откуда могут взяться комплексные сигналы — мы увидим на последней неделе первой темы, когда будем говорить об особенностях дискретизации узкополосных аналоговых сигналов. Итак, как вводится понятие нормы сигнала? Есть общее понятие так называемой p нормы, которая рассчитывается как сумма модулей отсчётов сигнала, возведенных в степень p, после чего из этой суммы извлекается корень, так же степени p, чтобы полученный результат действительно линейно зависел от уровня сигнала, то есть при умножении его отсчетов на какой-то фиксированный множитель на модуль этого множителя умножался и полученный результат. p является параметром, который может принимать разные значения. Наибольшее распространение получила Евклидова норма, которая соответствует значению p=2. При этом данная норма рассчитывается как квадратный корень и сумма квадратов модулей всех отсчетов сигнала. Квадрат этой Евклидовой нормы, т.е. просто сумма квадратов модуля и отсчета, без извлечения квадратного корня, называется энергией дискретного сигнала. Почему используется этот термин? Потому что если мы напряжение прикладываем к резистору, то выделяющаяся в этом резисторе мощность, согласно законам физики, пропорциональна квадрату, придложенного к нему напряжения. Если мы интегрируем мощность по времени, то у нас получается энергия за определенный промежуток времени. Аналогично этому здесь мы берем квадраты модулей отсчетов сигнала и суммируем применительно к дискретному времени, это аналог операции интегрирования и фактически интегрируем их по времени. Поэтому данная характеристика и называется энергией. Отсюда получается важный класс сигналов, это сигналы, для которых энергия является конечной. Они называются сигналами с конечной энергией. Но даже если энергия сигнала является бесконечной, возможно нам удастся рассчитать для него энергетические характеристики. Для этого нам поможет понятие мощности. Мгновенная мощность для дискретного сигнала определяется просто как квадрат модуля его отсчётов. Как я уже говорил, если мы прикладывает к резистору электрическое напряжение, то мощность выделяемая в резисторе пропорциональна квадрату этого напряжения, поэтому квадрат модуля значение дискретного сигнала и трактуется как его мгновенная мощность. Чтобы вычислить среднюю мощность, мы должны усреднить мгновенную мощность по заданному интервалу. Для конечного интервала мы суммируем квадраты модуля и отсчетов для определенного диапазона значений номеров отсчетов от K1 до K2 и делим результат на количество этих отсчетов, которое равно K2-K1 плюс единица. Если нас интересует средняя мощность для всего сигнала бесконечной длительности, то мы должны это усреднение произвести по бесконечному интервалу времени. Для этого используются предельный переход, мы вычисляем среднюю мощность для ограниченного интервала номеров отчетов от минус n до +n, их количество равняется 2n+1, и устремляем параметр N к бесконечности, вычисляя соответствующий предел. В результате, даже если у сигнала была бесконечная энергия, может оказаться, что у него будет конечная средняя мощность. Таким образом мы получаем еще один класс сигналов, это класс сигналов с конечной средней мощностью.

Сигналы в радиотехнических системах. Сложные сигналы в радиотехнических системах. Обнаружение радиосигналов. Различение радиосигналов

Страницы работы

Содержание работы

1.1. Краткие теоретические сведения

Сигналы, как переносчики информации, представляют собой гармонические колебания, частота, фаза, временная задержка, длительность, амплитуда, которых может изменяться по закону передаваемой или извлекаемой информации. От выбора формы сигнала, вида информационной модуляции зависят такие показатели качества радиотехнической системы (РТС), как помехоустойчивость, точность (достоверность), разрешающая способность, информационная защищенность и др. Сигналы характеризуются длительностью Т, временем анализа, эффективной полосой частот (FЭФ), энергией (Е), мощностью (Р), видом информационной модуляции, корреляционной функцией, базой. Время анализа сигналов, передающих непрерывные сообщения, зависит от верхней граничной частоты сообщения (FВ) и, в соответствии с теоремой Котельникова не превышает величины 1/2FВ .

Эффективная полоса частот, занимаемая сигналом определяется выражением:

где – спектральная плотность сигнала, – спектральная функция сигнала, – мощность на несущей частоте сигнала. Для видео сигнала .

Спектральная функция сигнала находится из прямого преобразования Фурье:

Энергия сигнала определяется как:

Если передаваемое сообщение , то для амплитудной (АМ), фазовой (ФМ) и частотной (ЧМ) видов модуляции имеем:

В (4) М – коэффициент амплитудной модуляции, – приращение фазы, – девиация частоты. Величины и соответственно индексы фазовой и частотной модуляции, а – полоса частот сообщения . Чем больше отличаются индексы модуляции от единицы, тем больше в спектр информационных составляющих и шире спектр сигнала. Отсюда и высокая потенциальная помехоустойчивость у сигналов с угловой модуляцией (ФМ и ЧМ) по сравнению с АМ.

Насыщены информационными составляющими сигналы с импульсными видами модуляции (АИМ, ШИМ, ФИМ, КИМ). При разложении периодической импульсной последовательности с амплитудой А, длительностью импульса и периодом следования в ряд Фурье имеем: , (6)

Следует отметить, что эффективная полоса частот занимаемая сигналом (6), практически не зависит от вида модуляции и определяется лишь минимальной длительностью импульса и его формой.

Важной характеристикой сигнала является корреляционная функция. Для ансамбля сигналов , i=1,2,…,m, это автокорреляционная (АКФ) каждого сигнала и функция взаимной корреляции (ФВК) между любой парой сигналов ансамбля.

Основные свойства АКФ:

а) , б) – энергия сигнала, в) , г) .

Для сигналов с одинаковой энергией Е применяют нормированную АКФ:

В соответствии с преобразованием Винера-Хинчина:

При корреляционном анализе дискретных и цифровых сигналов применяют решетчатую АКФ:

где – символы дискретной или цифровой последовательности длительности ; N – значность (количество символов) дискретного (цифрового) сигнала на длительность .

Если сигналы периодические, то по (7),(8),(9) можно вычислить АКФ периодического сигнала, считая временные сдвиги, как циклические.

Решетчатая АКФ периодического сигнала записывается так:

ФВК сигналов ансамбля:

Нормированная запись ФВК для сигналов с одинаковой энергией Е:

Основные свойства ФВК:

в) – коэффициент взаимной корреляции, ;

г) — взаимно ортогональны;

то система сигналов называется симплексной (равноудаленной).

Обобщенной функцией, устанавливающей связь между элементами сигнала во временной и частотной областях, является двумерная корреляционная функция:

Модуль нормированной двумерной корреляционной функции называется функцией неопределенности (ФН) сигнала:

Основные свойства ФН:

c) – есть модуль нормированной АКФ.

d) – есть модуль спектральной функции квадрата огибающей сигнала.

e) – объем, ограниченный ФН, есть величина постоянная, не зависящая от формы сигнала.

f) Сечение ФН горизонтальной плоскостью на уровне 0,5 называется диаграммой неопределенности (ДН).

По виду ДН можно произвести оценку потенциальной точности, разрешающей способности и однозначности при измерении временной задержки и смещения частоты сигнала. Ширина ДН по и определяется интервалами неопределенности.

1.2.1. Определить , занимаемую огибающей прямоугольного радиоимпульса длительности .

Энергия и средняя мощность периодического сигнала

Средняя мощность сигнала, рассматриваемого на всей оси времени, совпадает с мощностью, средней за один период Т. Таким образом, средняя мощность периодического сигнала

При использовании тригонометрической формы ряда Фурье, учитывая, что С0=а0/2, получаем

Если s(t) представляет собой ток i(t), то при прохождении его через сопротивление r выделяется мощность (средняя):

Символом I0=а0/2 обозначена постоянная составляющая, а In =An — амплитуда n-ой гармоники тока.

Для данного сигнала средняя мощность равна: Рcp=

Энергия периодического сигнала за 1 период:

Е= Рср* Т = 1.697 мДж

Итак, средняя мощность периодической последовательности равна сумме средних мощностей всех составляющих в спектре и не зависит от начальных фаз отдельных составляющих.

Система централизованного контроля температуры
Система централизованного контроля температуры (СЦКТ) предназначена для измерения температуры объекта и получении информации о выходе температуры разных точек объекта за границы уставок. Система централизованного контроля (СЦК) позволяет собирать и обрабатывать большое количество .

Добавить комментарий