Квантование сигналов в дискретных системах

СОДЕРЖАНИЕ:

Реферат: Дискретизация и квантование сигналов погрешности дискретизации и квантования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ (МГУПИ)

Реферат по информатике на тему:

«Дискретизация и квантование сигналов погрешности дискретизации и квантования»

Выполнил студент 1-го курса:

1.2 Недостатки квантования с использованием метода Котельникова…9

2.1 Квантование по времени……………………………………………. 10

2.2 Дискретизация двумерных сигналов………………………………. 11

2.3 Комбинированное квантование……………………………………. 14

Исключительно важным положением теории связи, на котором основана вся современная радиотехника, является так называемая теорема отсчетов, или теорема Котельникова. Эта теорема позволяет установить соотношение между непрерывными сигналами, какими являются большинство реальных информационных сигналов – речь, музыка, электрические сигналы, соответствующие телевизионным изображениям, сигналы в цепях различных радиотехнических систем и т.п., и значениями этих сигналов лишь в отдельные моменты времени – так называемыми отсчетами. На использовании этой связи строится вся современная цифровая радиотехника – цифровые методы передачи и хранения звуковых и телевизионных сигналов, цифровые системы телефонной и сотовой связи, системы цифрового спутникового телевидения и т.д. Можно сказать больше: будущее всей техники обработки сигналов — в ее цифровой реализации. Пройдет еще 10 – 20 лет — и мы будем вспоминать о традиционных аналоговых методах формирования и приема сигналов, их обработки и хранения лишь в теоретическом плане. Вся практическая радиотехника, связанная с обработкой информационных сигналов, перейдет на цифровую реализацию.

Теорема дискретизации, или, как ее еще называют, теорема Котельникова, теорема Уитекера, формулируется следующим образом: непрерывная функция Х(t) с ограниченным спектром, то есть не имеющая в своем спектре

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ

Аналоговый, или непрерывный, сигнал может принимать любое значение в пределах динамического диапазона системы записи-воспроизведения. Иначе обстоит дело с цифровыми, или дискретными сигналами. В отличие от аналоговых дискретные сигналы принимают лишь строго определенные значения. Наиболее широко используются цифровые двоичные сигналы, имеющие всего два значения – «есть сигнал», «нет сигнала». Для их обозначения используется двоичный цифровой код: наличие сигнала можно обозначать единицей, отсутствие – нулем. Для этого над непрерывным сигналом необходимо проделать две операции – дискретизацию и квантование. Дискретизация – это отсчет точек непрерывного аналогового сигнала в определенные моменты времени. Число отсчетов в 1 с называется частотой дискретизации, которая определяется известной теоремой Котельникова и должна более чем вдвое превышать максимальную частоту в спектре аналогового сигнала. Поскольку человеческое ухо нe воспринимает сигналы частотой выше 19-20 кГц, в высококлассных системах цифровой записи существуют два стандарта на частоту дискретизации – 44,1 и 48 кГц. Для систем с сокращенной полосой пропускания существует частота дискретизации 32 кГц, но при этом в спектре воспроизведенного сигнала не будет частот выше 14-15 кГц. Ясно, что такую аппаратуру высококлассной уже называть нельзя, но иногда это делается для сокращения скорости цифрового потока и экономии расхода магнитной ленты.

Каждому отсчету аналогового сигнала, полученному в процессе дискретизации, ставится в соответствие число, характеризующее аналоговый сигнал в этой точке с определенной точностью. Числа эти переводятся в двоичную систему для представления сигнала в цифровом виде, т. е. каждому сигналу ставится в соответствие определенная комбинация нулей и единиц. Точность представления сигнала в таком виде определяется разрядностью аналого-цифровых преобразователей (АЦП), которые и производят эту операцию. Разрядность – это число нулей и единиц (бит) в каждом отсчете. Например, при 16-разрядном АЦП самый младший разряд будет в 2 16 раз меньше самого старшего разряда, что и определяет динамический диапазон записываемого сигнала и так называемые шумы квантования. Выраженные в децибелах, эти величины составляют немногим более 90дБ, что вполне достаточно для записи и воспроизведения любой музыки, даже симфонической. Конечно, было бы неплохо поднять разрядность АЦП до 18, тогда бы и шумы квантования, и динамический диапазон даже теоретически ушли далеко за пределы порога слышимости самого чувствительного человеческого уха (110 дБ). Однако от этого решили отказаться. Во-первых, уровень шумов в 110 дБ все равно не обеспечивают усилители низкой частоты, работающие на акустические системы, а во-вторых, это неудобно для построения цифровой части магнитофона, компоненты которой давно уже работают с так называемыми байтами, имеющими в своем составе 8 бит (нулей и единиц). Таким образом, 16-разрядное число очень удобно разбивается на 2 байта, и стандартную элементную базу, используемую в вычислительной технике, легко приспособить для построения цифровой части устройства цифровой магнитной записи, где приходится обрабатывать большие цифровые потоки в реальном масштабе времени. При воспроизведении сигнала цифрового магнитофона производится обратная операция перевода цифрового сигнала в аналоговую форму с помощью цифро-аналоговых преобразователей (ЦАП), после чего сигнал фильтруется фильтром (ФНЧ) и подается на усилитель воспроизведения аналогового сигнала.

По своим техническим характеристикам устройства цифровой звукозаписи имеют характеристики, несравненно лучшие по сравнению с самым сложным и дорогим аналоговым магнитофоном. В частности:

1) неравномерность АЧХ в полосе частот 20Гц¸20кГц практически отсутствует;

2) динамический диапазон превышает 90 дБ;

3) коэффициент нелинейных искажений – порядка 0,01 %, что не только невозможно услышать, но даже достоверно замерить измерительной аппаратурой;

4) относительный уровень шумов – менее -90 дБ;

5) копирэффект, переходные помехи между дорожками и детонация полностью отсутствуют.

Вместе с тем практическая реализация цифровых магнитофонов сталкивается с рядом существенных трудностей, главная из которых – необходимость согласования частотных характеристик тракта записи-воспроизведения с широким спектром цифрового потока, полученного в результате дискретизации и квантования. Произведем простой подсчет. Поскольку речь идет о стереосигнале, то при частоте дискретизации 48 кГц мы получим 96000 мгновенных отсчетов, каждый из которых при квантовании превратится в последовательность 16 нулей или единиц. Простое перемножение показывает, что объединенный цифровой поток после двух АЦП составляет более 1,5 Мбит/с, т. е. необходимо записать и затем достоверно прочитать более 1,5 млн. импульсов в 1с. Понятно, что для записи импульсов длительностью менее 1мкс верхняя частота в спектре записываемого сигнала превысит 1 мГц. Проблемы возможны и с нижней частью спектра, так как теоретически нельзя исключить ситуации, когда рядом будет расположено много нулей или единиц, что породит длинные импульсы, а следовательно, низкочастотные компоненты в спектре. Поэтому полученный с АЦП сигнал на магнитную ленту никогда не записывают по нескольким причинам.

1. При воспроизведении невозможно будет разобрать, где левый канал, где правый, где начинается и кончается цифровое значение каждого отсчета и т. д., потому что биты будут идти подряд, без всяких обозначающих признаков.

2. На ленте всегда возможны соринки, небольшие дефекты магнитного слоя и т. п., что приводит к искажениям в цифровом потоке при воспроизведении. Поэтому необходима подстраховка, введение в сигнал дополнительных данных, которые в случае помех помогли бы найти и исправить поврежденную информацию. Такая процедура называется помехоустойчивым кодированием и при использовании различных кодов увеличивает скорость цифрового потока примерно на 25-50 %.

3. Необходимо согласовывать спектральный состав цифрового сигнала перед записью с АЧХ тракта записи-воспроизведения. Эта операция называется канальным кодированием и также приводит к появлению дополнительных бит в каждом 8-битовом фрагменте, и в результате скорость цифрового потока еще увеличивается.

4. Необходимо введение в сигнал дополнительной служебной информации, которая структурирует сигнал, разбивая его на заранее оговоренные фрагменты с известными правилами размещения в них информации.

В результате всех этих добавок скорость цифрового потока достигает примерно 2,5 Мбит/с. Если минимальная длина волны записи λ в обычном кассетном магнитофоне составляет 3 мкм, а интервал намагниченного участка, соответствующий 1 биту, равен половине длины волны, то нетрудно подсчитать, что для записи стереосигнала на две дорожки потребуется скорость движения ленты более 3 м/с. При этом время звучания обычной компакт-кассеты не достигнет 1 мин. Ясно, что такой прямой путь – тупиковый.

Идея помехоустойчивого кодирования внешне проста: к определенной группе информационных байтов (блок данных), в которых собственно и заключен записываемый сигнал, добавляется некоторое количество так называемых проверочных байтов. Эти байты несут на себе, можно сказать, некий отпечаток информационных байтов, от которых проверочные байты и произошли. Понятно, что происхождение это чисто математическое. Просто при записи по определенному алгоритму специальный процессор в реальном масштабе времени производит некоторые математические операции с информационными байтами и таким образом генерирует оговоренное заранее количество проверочных байтов. В процессе воспроизведения в помехоустойчивом декодере снова производится проверка соответствия по тому же алгоритму информационных и проверочных байтов. Если результат проверки положителен, то ошибки нет и сигнал поступает на дальнейшую обработку. Если результат проверки отрицательный, то по определенным алгоритмам сначала отыскивается поврежденный байт, а затем он исправляется. Ясно, что делать это надо очень быстро, так как процесс воспроизведения непрерывен.

К настоящему времени широко известны несколько помехоустойчивых кодов. Как правило, они носят фамилии их разработчиков. Эти коды отличаются алгоритмами обработки байтов, степенью избыточности (на сколько процентов после помехоустойчивого кодирования увеличивается скорость цифрового потока), а также возможным числом исправляемых ошибок. Судя по литературным источникам, наиболее часто в цифровых системах используются коды Хемминга и коды Рида-Соломона. Качество кода определяется, с одной стороны, количеством исправляемых ошибок при равной избыточности, а с другой, – простотой математических вычислений, когда не требуются сложные и дорогие процессоры для обработки сигналов.

Избыточность помехоустойчивого кодирования обычно не превышает (35¸50) %, поэтому проверочных байтов всегда меньше, чем информационных, и при использовании любых кодов число возможно исправленных ошибок в одном блоке ограничено. В то же время на магнитной ленте возможны дефекты, приводящие к относительно длительным выпадениям сигнала (появлению пакетов ошибок). Для борьбы с такими явлениями перед помехоустойчивым кодированием байты информации перемешиваются по определенному закону, так что первоначально рядом стоящие байты оказываются на значительном расстоянии друг от друга. При воспроизведении производится обратная перестановка и, если на ленте был длительный пакет ошибок, он раздробляется на более мелкие или одиночные ошибки, которые исправляет помехоустойчивый декодер.

Аналоговые, дискретные и цифровые сигналы

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные понятия

Сигнал называют аналоговым, если он определен на непрерывной оси времени , и в каждый момент может принимать произвольные значения. Аналоговый сигнал может быть представлен непрерывной, или кусочно-непрерывной функции переменной . Пример аналогового сигнала показан на рисунке 1.

Если сигнал принимает произвольные значения только в фиксированные моменты времени , — целое число, то такой сигнал называется дискретным. Наиболее широкое распространение получили дискретные сигналы, определенные на равноотстоящей сетке , где — интервал дискретизации. При этом в моменты дискретизации дискретный сигнал может принимать произвольные значения. Если значения дискретного сигнала также берутся на фиксированной сетке значений, и при этом сами значения могут быть представлены числом конечной разрядности в одной из систем счисления, то такой дискретный сигнал называется цифровым . Часто говорят, что цифровой сигнал представляет собой квантованный по уровню дискретный сигнал. Примеры дискретного и цифрового сигналов также показаны на рисунке 1. Тонкая разница между дискретными и цифровыми сигналами дает возможность их отождествлять практически во всех прикладных задачах. Аналоговый сигнал может быть описан функцией времени, в то время как дискретный и цифровой сигналы могут быть заданы вектором отсчетов :

Указанный преимущества определили повсеместное распространение цифровых систем хранения и обработки сигналов. Но цифровые сигналы также имеют и недостатки по сравнению с аналоговыми.

Во-первых нет возможности передавать цифровые сигналы «как есть», поскольку передача сигналов чаще всего происходит при использовании электромагнитных и акустических волн, которые являются непрерывными во времени. Поэтому для передачи цифровых сигналов требуются дополнительные методы цифровой модуляции, а также цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП).

Другим недостатком цифровых сигналов является меньший динамический диапазон сигнала (т.е. отношение самого большого значения к самому маленькому), из-за квантования сигнала на фиксированной сетке значений.

Дискретизация аналоговых сигналов. Математическая модель дискретного сигнала

В данном параграфе мы рассмотрим способ выборки дискретных значений аналогового сигнала. Структурная схема устройства дискретизации показана на рисунке 2. Данное устройство называется аналого-цифровой преобразователь (АЦП), потому что оно преобразует аналоговый сигнал в набор оценок дискретных значений , где — целое число, взятых через равноотстоящие промежутки времени .

Временны́е осциллограммы, поясняющие принцип работы устройства показаны на рисунке 3 (см. [1, стр. 475–476], или [2, стр. 438]).

На входе АЦП имеется аналоговый сигнал . Генератор импульсов формирует равноотстоящие стробирующие импульсы , которые управляют ключом, в результате чего на вход усилителя подаются котроткие выборки сигнала длительности длительности , взятые через интервал дискретизации .

Оценка дискретного сигнала может быть представлена в виде

Интегрируя на каждом интервале длительности стробирующего импульса получим оценку значения сигнала в момент времени . При конечной величине мы можем говорить об оценке значения сигнала в момент времени с некоторой погрешностью, ввиду изменения сигнала на интервале . Поэтому мы используем шапочку над обозначением , чтобы подчеркнуть приближенную оценку.

При уменьшении длительности погрешность оценки будет уменьшаться, и в пределе мы можем получить дискретный сигнал как:

Бесконечная сумма смещенных дельта-функций называется решетчатой функцией и обозначается [3, стр. 77]:

Тогда математической моделью дискретного сигнала будет произведение исходного аналогового сигнала на решетчатую функцию:

Графически модель дискретного сигнала , с использованием решетчатой функции показана на рисунке 4.

Для получения численных значений дискретного сигнала необходимо проинтегрировать дискретный сигнал (5) в окрестности :

В дальнейшем мы будем широко использовать данную модель дискретного сигнала для перехода от методов анализа и обработки аналоговых сигналов, к цифровым.

Размерность дискретного сигнала

Пусть исходный аналоговый сигнал описывает изменение напряжения во времени и имеет размерность вольт . Вспомним, что дельта-функция Дирака имеет размерность, обратную размерности ее аргумента. Тогда решетчатая функция , согласно (4) имеет размерность , а размерность дискретного сигнала (5) будет .

Заметим, что значения дискретного сигнала, полученные из (6) как результат интегрирования дискретного сигнала в окрестности момента времени , будут иметь размерность исходного сигнала .

Преобразование Фурье решетчатой функции

В данном разделе мы проанализируем спектральную плотность решетчатой функции . Для начала рассмотрим как периодический сигнал. Тогда можно представить в виде разложения в ряд Фурье:

Тогда (7) с учетом (8):

Выражение (10) представляет как бесконечную сумму комплексных экспонент.

Рассмотрим теперь преобразование Фурье решетчатой функции:

Поменяем операции интегрирования и суммирования и применим фильтрующее свойство дельта-функции:

Выражение (12) также представляет собой бесконечную сумму комплексных экспонент. Учтем, что и получим:

Таким образом, спектральная плотность решетчатой функции представляет собой также решетчатую функцию.

Период повторения дельта-функций в частотной области равен , при этом дельта-функции масштабируются в раз, как это показно на рисунке 5.

Заметим, что умножение на в частотной области изменяет размерность спектральной плотности , в результате чего спектральная плотность переходит в безразмерный спектр (что не удивительно, потому что исходная решетчатая функция — периодическая).

Спектральная плотность дискретного сигнала

Пусть дан аналоговый сигнал , спектральная плотность которого равна . В данном параграфе мы рассмотрим процесс равноотстоящей дискретизации сигнала в частотной области.

Преобразование Фурье дискретного сигнала (5) равно:

Применим свойство преобразования Фурье произведения сигналов, тогда представляет собой свертку спектральной плотности решетчатой функции и спектральной плотности исходного сигнала :

Уравнение (17) задает спектральную плотность дискретного сигнала как бесконечную сумму масштабированных копий спектральной плотности , отстоящих друг от друга на рад/с по частоте, как это показано на рисунке 6.

Заметим, что мы не накладываем никаких ограничений ни на интервал дискретизации , ни на сигнал , ни на спектральную плотность . Вне зависимости от частоты дискретизации рад/с, и формы , спектральная плотность дискретного сигнала всегда будет представлять собой сумму масштабированных копий , отстоящих друг от друга на величину частоты дискретизации рад/с.

Размерность спектра дискретного сигнала

Проанализируем выражение (17) на предмет размерности , в предположении, что исходный аналоговый сигнал имеет размерность :

Если аналоговый сигнал описывает изменения напряжения во времени и измеряется в единицах вольт, то при дискретизации аналогового сигнала, получим дискретные отсчеты, также измеряемые в вольт, и спектр дискретного сигнала также будет измеряться в единицах вольт. Тогда функцию мы можем назвать спектром, а не спектральной плотностью.

Главный вывод: преобразование Фурье дискретного сигнала не изменяет размерности дискретных отсчетов сигнала, в отличии от преобразования Фурье аналогового сигнала, которое возвращает спектральную плотность .

Выводы

В данном разделе мы ввели понятие дискретного и цифрового сигналов. Мы опеределили, что дискретный сигнал может быть представлен как результат произведения решетчатой функции и аналогового сигнала.

Были детально рассмотрены свойства решетчатой функции и показано, что спектральная плотность решетчатой функции также представляет собой масштабированную по амплитуде решетчатую функцию.

В результате свойств решетчатой функци получили, что спектральная плотность дискретного сигнала представляется бесконечной суммой копий спектральных плотностей исходного сигнала, отставленных дург от друка на величину равную частоте дискретизации.

Типы квантования непрерывных сигналов. Основы теории z-преобразования. Анализ устойчивости и точности дискретных систем. Частотные характеристики дискретных систем

Страницы работы

Фрагмент текста работы

ЛЕКЦИИ ПО КУРСУ

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Типы квантования непрерывных сигналов.

Наряду с непрерывными системами автоматического управления (САУ) широкое применение находят системы, в которых имеет место дискретный способ передачи и преобразования дискретных сигналов. Процесс преобразования непрерывных сигналов в дискретные называется квантованием. Дискретность сигналов может быть обусловлена их квантованием по времени, по уровню или одновременно по уровню и по времени. По этому признаку дискретные системы подразделяются на три вида.

1. В импульсных системах в результате квантования по времени непрерывного сигнала формируется последовательность его дискретных значений (дискрет), соответствующих фиксированным моментам времени. Обычно эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину , называемую интервалом квантования по времени (рис. 1). При этом сформированную последовательность дискрет принято называть решетчатой функцией целочисленного аргумента. Очевидно, что различным непрерывным сигналам может соответствовать одна и та же решетчатая функция (рис. 2). В тоже время при заданном интервале квантования каждой функции соответствует единственная решетчатая функция. В общем случае квантование сигнала по времени сопровождается потерей информации, так как решетчатая функция не передает характер изменения непрерывного сигнала между моментами квантования.

Рис.1. Квантование непрерывного сигнала Рис.2. К определению решетчатой в импульсной системе функции

2. В отличие от квантования по времени, квантование по уровню может происходить в произвольные моменты времени, которым соответствует достижение непрерывного сигнала заранее фиксированного уровня (рис. 3). Системы с таким типом квантования называются релейными.

3. Система, в которой имеет место квантование по уровню, и по времени, относятся к цифровым САУ (рис. 4).

Если величина интервала квантования много меньше диапазона изменения сигнала , дискретностью по уровню можно пренебречь и тем самым свести цифровую систему к импульсной. Допустимость такой замены позволяет существенно упростить математическое описание дискретных систем. В дальнейшем под дискретными САУ в данном курсе подразумеваются только импульсные системы.

Рис.3. Квантование непрерывного сигнала Рис.4. Квантование непрерывного сигнала в релейной системе по времени

( — интервал квантования по уровню)

1.2. Решетчатые функции разностные уравнения.

Очевидно, что для получения математического выражения, описывающего решетчатую функцию , необходимо в выражении для выполнить формальную замену непрерывного аргумента t на . Например, непрерывной функции

будет соответствовать решетчатая функция

Для решетчатой функции определены ее разности. Первая обратная разность равна

, а первая прямая разность определяется выражением вида

Введем в рассмотрение прямую и обратную разности k-го порядка, которые определяются через разности (k-1)-го порядка по формулам:

соответственно. При управлении системой в реальном масштабе времени величина дискреты не может быть определена в текущий момент времени , поэтому технически реализуется только обратная разность. Разности решетчатых функций являются аналогами производных для непрерывных функций времени.

Операцией, обратной операции взятия разности, является суммирование решетчатой функции, в результате которого получаем новую решетчатую функцию:

, в левой части которого записана комбинация решетчатых функций и ее разностей, называется разностным уравнением. Поскольку разность любого порядка может быть выражена в виде линейной комбинации значений решетчатой функции в различные моменты времени, для записи разностного уравнения используется следующая форма:

Любое разностное уравнение может быть разрешено относительно значения решетчатой функции от наибольшего аргумента

Очевидно, что (2) определяет рекуррентную процедуру численного решения разностного уравнения при известных начальных условиях .

Если комбинация решетчатых функций в (1) является линейной, то динамика дискретной системы описывается линейным разностным уравнением k-го порядка:

в котором — постоянные числа, если система стационарна, а — известная решетчатая функция, описывающая входное воздействие. Общее решение уравнения (3) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения , полученного из (3) при , и частного уравнения , определяемого функцией :

Первое слагаемое в (4), описывающее свободную составляющую движения

Способы квантования сигналов

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ

В любую систему информация поступает в виде сигналов. Различные параметры физических процессов с помощью датчиков обычно преобразуются в электри­ческие сигналы. Как правило, ими являются непрерыв­но изменяющиеся ток или напряжение, но возможно поступление и импульсных сигналов, как, например, в радиолокации. Печатный текст отображается буквами, цифрами и другими знаками.

Хотя поступающую информацию можно хранить, передавать и обрабатывать как в виде непрерывных (аналоговых), так и в виде дискретных сигналов, на современном этапе развития информационной техники предпочтение отда­ется дискретным сигналам, поэтому сигналы, как прави­ло, преобразуются в дискретные. С этой целью каждый непрерывный сигнал подвергается операциям кванто­вания по времени (дискретизации) и по уровню.

Под дискретизацией подразумевают преобразование функции непрерывного времени в функцию дискретно­го времени, представляемую совокупностью величин, называемых координатами, по значениям которых исход­ная непрерывная функция может быть восстановлена с заданной точностью. Роль координат часто выполняют мгновенные значения функции, отсчитанные в опреде­ленные моменты времени.

Под квантованием подразумевают преобразование некоторой величины с непрерывной шкалой значений в величину, имеющую дискретную шкалу значений. Оно сводится к замене любого мгновенного значения одним из конечного множест­ва разрешенных значений, называемых уровнями кван­тования.

Аналоговый сигнал (рис. 4.1а), описывается непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией х(t), причем и аргумент, и сама функция могут принимать любые значения из некоторых интервалов: t’ ≤ t ≤ t», x’ ≤ x ≤ x» (см. рис. 4.1а).

Первоначально в электросвязи использовались преимущественно аналоговые сигналы. Их можно просто генерировать, усиливать, передавать

и принимать. Недостатком таких сигналов является то, что любое изменение их формы из-за помех и искажений влечет за собой изменение принимаемого

сообщения. Возросшие требования к качеству передачи со
общений заставили перейти к дискретным и цифровым сигналам.

Рис. 4.1. Основные типы сигналов

Причины перехода к дискретному и цифровому вы­ражению информации заключаются в следующем.

Для конкретных задач управления или исследования интересующего нас объекта обычно требуется значительно меньше информации, чем ее поступает с датчиков в виде сигналов, изменяющихся во времени непрерывно. Учет априорных сведений об этих сигналах и целях их получения позволяет ограничиться отсчетами, взятыми через определенные моменты времени.

При неизбежных флуктуациях во времени интересующих нас параметров и конечной погрешности средств измерения информация о величине сигнала в каждый момент отсчета всегда ограничена, что и выражается в конечном числе уровней квантования. Кроме того, специфика решаемых в системе задач часто такова, что целесообразно ограничиться значительно меньшим числом уровней, чем следует из указанных выше огра­ничений.

Во многих случаях информация извлекается и передается с целью дальнейшей обработки средствами цифровой техники, в первую очередь ЭВМ и микропроцессорами. Рациональное выполнение операций дискретизации и квантования при этом приводит к значительному экономическому эффекту как за счет снижения затрат на хранение и обработку получаемой информации, так и вследствие сокращения времени обработки информации, что ведет к улучшению качества управления.

При передаче и обработке информации в цифровой технике существует принципиальная возможность снижения вероятности получения ошибочного результата до весьма малых значений. Она возникает потому, что при использовании дискретных сигналов, во-первых, применимы такие методы кодирования, которые обеспечивают обнаружение и исправление ошибок, а во-вторых, можно избежать свойственного аналоговым сигналам эффекта накопления искажений в процессе их передачи и обработки, поскольку квантованный сигнал легко восстановить до первоначального уровня всякий раз, когда величина накопленных искажений приблизится к половине кванта. Практическая реализация указанных методов наиболее эффективна при минимальном числе уровней, равном двум.

Выражение информации в цифровой форме облегчает унификацию операций ее преобразования на всех этапах обращения. Массовость изготовления типовых узлов и блоков, простота их настройки, отсутствие необходимости регулировки в процессе эксплуатации позволяют, в свою очередь, улучшить такие важнейшие технико-экономические показатели средств цифровой техники, как стоимость изготовления и эксплуатации, а также надежность.

Низкая стоимость и высокая надежность больших интегральных схем, естественно, являются мощными стимулами дальнейшего расширения областей использова­ния цифровых сигналов.

В данной главе мы ограничимся рассмотрением методов преобразования непрерывных сигналов в диск­ретные.

Дискретные сигналы – это сигналы, принимающие конечное число значений или состояний. Числа, составляющие последовательность значений сигнала, называются отсчетами сигнала (samples). Отсчеты берутся через промежутки времени Т, называемые периодом дискретизации (или интервалом, шагом дискретизации – sample time). Величина, обратная периоду дискретизации, fд = 1/T называется частотой дискретизации (sampling frequency).

Дискретные сигналы могут непосредственно создаваться на выходе преобразователя «сообщение – сигнал» или образовываться в результате дискретизации аналоговых сигналов. Процесс преобразования аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией (sampling), а результат такого преобразования – дискретным (решетчатым) сигналом (см. рис. 4.1б). Дискретный сигнал описывается решетчатой функцией x(nT), где п – номер отсчета, п = 0, 1, 2, 3… . Он может быть вещественным или комплексным.

При обработке сигнала в вычислительных устройствах его отсчеты представляются в виде двоичных чисел, имеющих ограниченное число разрядов. Вследствие этого отсчеты могут принимать лишь конечное множество значений и, следовательно, при представлении сигнала неизбежно происходит его округление. Процесс преобразования отсчетов сигнала в числа называется квантованием по уровню (quantization), а возникающие при этом ошибки округления – ошибками (или шумами) квантования.

Сигнал, дискретный как во времени, так и по состоянию, называется цифровым (см. рис. 4.1в). Сигналы этого типа также описываются решетчатыми функциями хц(пТ), которые, однако, могут принимать только конечное число значений из некоторого конечного интервала х’ ≤ х ≤ х». Эти значения называются уровнями квантования, а соответствующие функции – квантованными.

При анализе дискретных сигналов удобно пользоваться нормированным временем

Таким образом, номер п отсчета дискретного сигнала может интерпретироваться как нормированное время. Переход к нормированному времени позволяет рассматривать дискретный сигнал как функцию целочисленной переменной п.

Цифровые сигналы – разновидность дискретных сигналов, для которых квантованные по уровню и дискретные по времени значения представлены в виде числа. Преимущество цифровых сигналов – более высокая помехоустойчивость и возможность их формирования и обработки микроэлектронными логическими устройствами. Цифровые сигналы находят все большее применение в современных системах электросвязи.

Итак, переход от аналогового представления сигналов к цифровому во многих случаях дает значительные преимущества при переда­че, обработке и хранении информации. Для успешного взаимодействия систем цифровой обработки сигналов с реальным миром необходим аналоговый интерфейс ввода-вывода, позволяющий осуществлять переход от аналогового формата к цифровому. Такой переход связан с дискретизацией сигнала по времени и с квантованием по уровню.

2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ

    Филипп Писарчук 2 лет назад Просмотров:

1 2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ И КВАНТОВАНИЕ СИГНАЛОВ В систему обработки информации сигналы поступают, как правило, в непрерывном вие. Далее они преобразуются к искретному виу, более уобному ля обработки. Для этого выполняются операции искретизации (по времени) и квантования (по уровню). Получившиеся искретные отсчеты коируются тем или иным образом, и на вхо вычислителя системы ЦОС поступает послеовательность цифр. Операции искретизации и квантования, выполняются АЦП, операции преобразования цифрового сигнала в аналоговый ЦАП. В анной главе рассматриваются основные проблемы, возникающие при преобразованиии сигналов из оной формы в ругую, и пути их решения. Также рассмотрены принципы построения ЦАП и АЦП. Особое внимание уелено сигмаельта АЦП Дискретизация непрерывных сигналов По искретизацией понимается преобразование непрерывного сигнала в искретный, преставляемый совокупностью отсчетов, по которым непрерывный сигнал может быть восстановлен с заанной точностью. Без потери общности везе в анной главе буем преполагать, что отсчеты сигнала являются отсчетами времени. На Рис.2.1 показан процесс искретизации сигнала x () t. Интервал времени T, через который берутся значения непрерывного сигнала называется интервалом, или шагом искретизации. Обратная шагу искретизации величина называется частотой искретизации, или частотой взятия отсчетов f. T а) t T б) t Рис.2.1. Дискретизация непрерывного сигнала; а) исхоный сигнал; б) сигнал после искретизации. 2-1

2 Возникает вопрос: с какой частотой брать отсчеты сигнала ля того, чтобы была возможность его обратного восстановления по этим отсчетам? Очевино, что если мы буем брать отсчеты слишком реко, то в них не бует соержаться информация о быстро меняющемся сигнале. Скорость изменения сигнала характеризуется верхней частотой его спектра. Таким образом, интуитивно понятно, что минимально опустимая ширина интервала искретизации связана с наибольшей частотой спектра сигнала, обратно пропорциональна ей. Тога если сигнал не ограничен по спектру (верхняя частота стремится к бесконечности), то минимально опустимая величина интервала искретизации бует стремиться к нулю. Отсюа слеует важный выво: без потерь информации искретными отсчетами могут быть преставлены лишь ограниченные по спектру аналоговые сигналы. Именно поэтому в системах ЦОС пере выполнением искретизации сигнала его спектр ограничивается путем применения фильтра низких частот, который называется еще антиэлайзинговым фильтром. К сожалению, этот фильтр искажает форму вхоного сигнала. По-виимому, еинственный способ бороться с искажениями это резко увеличить полосу пропускания системы. Явление элайзинга заключается в возникновении искажений сигнала за счет наложения спектра при неуачном выборе частоты искретизации. Дискретизация во времени привоит к появлению периоических копий спектра сигнала, как показано на Рис.2.2. При слишком малой частоте искретизации эти копии перекрываются, что привоит к искажениям сигнала при его восстановлении (Рис.2.2(б)). Гармоники сигнала с частотами выше частоты искретизации отображаются в частоты ниже этой частоты, созавая помехи.как вино из Рис.2.2(а), преельная частота искретизации f, при которой перекрытия еще не происхоит равна увоенной верхней частоте спектра сигнала, 2 FB. Эта частота называется частотой Найквиста. Дискретизация с частотой Найквиста называется преельной искретизацией. Сигнал, искретизированный с f F > 2 B, называется переискретизированным сигналом. Несмотря на то, что в этом случае получается избыточно большое число отсчетов, инога такая техника необхоима, особенно при анализе сигналов, выелении каких-то признаков. Кроме того, переискретизация широко применяется внутри современных АЦП, как это бует описано в п.2.3. Рис.2.2. Периоические спектры сигнала, возникающие при искретизации. 2-2

3 Если шаг искретизации постоянен, то искретизация называется равномерной, в противном случае неравномерной. При неравномерной искретизации шаг «постраивается» по скорость изменения сигнала, увеличиваясь на глаких, мало информативных участках. Несмотря на то, что при этом уменьшается количество несущих всю информацию о сигнале отсчетов, появляется потребность в хранении значения интервала искретизации межу кажой парой отсчетов. Поэтому, неравномерная искретизация реко применяется на практике. Для случая равномерной искретизации справелива теорема Котельникова, которую он опубликовал в 1933 гоу в работе О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи. Она гласит: если непрерывный сигнал x() t имеет спектр, ограниченный частотой F B, то он может быть полностью и онозначно восстановлен по его искретным отсчетам, взятым через интервалы времени T = 1/ 2F B, т.е. с частотой f = 2FB. Восстановление сигнала осуществляется при помощи функции () x sin()x x / sinc =. Котельниковым было оказано, что непрерывный сигнал, уовлетовряющий выше привеенным критериям, может быть преставлен в вие ряа x () t x( kt ) ( t / T k) = k Z sinc. (2.1) Поэтому, функции sinc () x называется еще функцией отсчетов или Котельникова, хотя интерполяционный ря (2.1) изучал еще Е.Уитакер в 1915 гоу. Функция отсчетов имеет бесконечную протяженность по времени и остигает наибольшего значения, равного еинице, в точке k = t / T, относительно которой она симметрична (Рис.2.3). Рис.2.3. Функции Котельникова и их спектр. Кажую из этих функций можно рассматривать как отклик иеального (прямоугольного) фильтра низких частот (ФНЧ) с граничной частотой 1/ T на ельта-импульс, пришеший в момент времени kt. Таким образом, ля восстановления непрерывного сигнала из его искретных отсчетов, их необхоимо пропустить через соответствующий ФНЧ. Заметим, что этот фильтр является некаузальным и физически нереализуемым. 2-3

4 Восстановление сигнала из искретных отсчетов по формуле (2.1) почти никога не используется. Причина заключается в меленном убывании функций отсчетов. Чаще применяются горазо более простые метоы линейной интерполяции. Теорема Котельникова широко применяется при выборе частоты искретизации сигналов на практике. Обычно частоту искретизации выбирают с небольшим запасом, чтобы учесть неиеальные характеристики фильтров (антиэлайзингового и реконструкции), невозможность формирования ельтаимпульсов, а также ограниченность сигнала по времени. В самом еле, у ограниченного по времени сигнала принципиально не может быть ограниченного спектра, значит при искретизации возникнут искажения. Нао отметить, что точная интерполяция возможна только при использовании физически нереализуемых фильтров, то есть в теории. На практике же возникает ошибка интерполяции, величину которой можно строго рассчитать. Наличие этой ошибки является оной из причин различия звучания аналогового и цифрового звука (винил и CD) Современные обобщения теоремы отсчетов Известно несколько обобщений теоремы отсчетов. Оно из них неравномерную искретизацию — мы уже упоминали. При этом можно примерно считать, что восстановление сигнала бует возможно, если среняя частота взятия отсчетов равна частоте Найквиста. Этот факт называется инога «нароной теоремой» и был, по всей виимости, известен еще во времена Коши. Другое обобщение теоремы отсчетов теорема отсчетов произвоной. Она гласит, что если в распоряжении имеются сигнал и его первая произвоная, то ля сохранения всей информации остаточно иметь равномерно взятые отсчеты этих сигналов, взятых с частотой ввое меньшей частоты Найквиста. И в этом случае ля восстановления необхоимо иметь иеальные фильтры. Рассмотрим теперь применение теоремы отсчетов ля цифрового сигнала, то есть ля послеовательности x [] n. Аналогом искретизации ля цифрового сигнала служит операция прореживания. Теорема отсчетов ля послеовательностей описывает правила, согласно которым мы можем без потери информации «выбрасывать» некоторые ее члены, то есть прореживать цифровой сигнал. Операция прореживания называется еще ецимацией, ее выполняет устройство, называемое ециматором. Обратная ей операция восстановления сигнала называется интерполяцией, ее реализует интерполятор. Децимация обозначается стрелкой, направленной вниз:, а интерполяция стрелкой, направленной вверх:. Ряом со стрелкой стоит коэффициент ецимации (интерполяции). Например, запись 2 означает, что из послеовательности выбрасывается кажый второй отсчет, запись 2 означает вставку нуля межу сосеними отсчетами. Дециматор и интерполятор являются линейными системами. 2-4

5 Соотношение вхо-выхо ля ециматора имеет ви [] n x[ Mn] y =, (2.2) то есть выхоной сигнал равен вхоному в моменты времени Mn. Интерполятор описывается выражением y [] n x = 0, [ n L], / n кратно L, в ругих случаях. (2.3) Спектр выхоного сигнала интерполятора является L -кратно сжатой версией исхоного сигнала. Кроме того, появляются L 1 копий, члены отражения. При интерполяции потери информации не происхоит. Так как ецимация соответствует сжатию во временной области, то в частотной области наблюается эффект растяжения. Спектр M -кратно ецимированного сигнала «растянут» в M раз. Кроме того, появляются M -1 копий, члены наложения. Для того, чтобы эти копии не перекрывались с «основным» спектром, полоса частот x [] n олжна быть ограничена величиной ω 6 x [] n [] x 1 y[] n n L M -2π / 3 0 2π / 3 X 1 -π -π / 3 0 π / 3 π Рис.2.5. Преобразования сигналов в робном преобразователе частоты. X Y ω ω Теорема отсчетов произвоной также может быть применена ля сжатия сигналов. В искретном случае взятие произвоной заменяется взятием первой разности, то есть δ = x[ m] x[ m 1]. Пусть отсчет цифрового сигнала коируется 16 битами. Можно ожиать, что разность межу сосеними отсчетами потребует ля своего преставления меньшего количества бит, например, 8. Вместо переачи N отсчетов остаточно переать N / 2 отсчетов и столько же разностей. Среняя скорость коирования на отсчет составит 12 бит Квантование аналоговых сигналов По квантованием понимают преобразование некоторой величины с непрерывной шкалой значений в величину, имеющую искретную шкалу значений. Оно заключается в замене любого значения отсчета оним из конечного множества разрешенных значений, или уровней квантования, как это показано на Рис.2.6. В результате выполнения этой операции появляется ошибка квантования, исхоя из требуемого значения которой выбирается число уровней квантования. Рис.2.6. Функция переачи квантователя (равномерного). 2-6

7 Ошибка квантования случайного сигнала носит шумовой характер, и может моелироваться путем обавления аитивного шума к сигналу. Чем больше уровней квантования, тем меньше ошибка. Простейшим примером квантования является округление вещественных чисел. Максимально возможная при этом ошибка составляет 0,5/отсчет, или 0,25/отсчет, если говорить об энергии ошибки. Так как целые числа (уровни квантования) расположены через оинаковые интервалы, то говорят о равномерном квантовании. Известно, что среняя 2 ошибка равномерного квантователя случайного сигнала равна / 12, ге — шаг квантователя. Таким образом, в случае операции округления среняя ошибка получается равной 1/12. Привеем еще оно важное соотношение, справеливое ля равномерно квантуемого случайного сигнала. Отношение сигнал/шум на выхое квантователя примерно равно 6N Б, ге N — число бит, используемых ля коирования оного отсчета. Например, у 12-разряного АЦП отношение сигнал/шум может быть 72Б. Конечно, моелировать ошибку квантования аитивным шумом не всега справеливо. Так на Рис.2.7 показано квантование синусоиы, и соответствующая ошибка квантования, как можно увиеть, алеко неслучайна и коррелирована с сигналом. Коррелированная с сигналом ошибка квантования, например, музыкального сигнала ает ощущение «грязного» звука при прослушивании. Для «приания» ошибке более случайного характера к исхоному аналоговому сигналу можно обавить некоторое количество высокочастотного шума. Этот мето называется изеризацией, а соответствующий квантователь изеризованным. Рис.2.7. Ошибка квантования синусоиального сигнала. Энергия ошибки при использовании анного метоа несколько возрастает, но ошибка оказывается екоррелированной с сигналом, что в некоторых случаях улучшает качество звучания. Наиболее эффективный, но труоемкий мето екорреляции ошибки квантования называется изеризацией с вычитанием. Суть его состоит в слеующем. 2-7

8 Вначале генерируется и запоминается послеовательность псевослучайных чисел. Затем она пропускается через ЦАП и склаывается с аналоговым сигналом. На выхое АЦП запомненные случайные числа вычитаются из оцифрованного сигнала. Ошибка на выхое иеального равномерного квантователя имеет равномерный спектр от 0 о частоты, равной половине частоты искретизации. Онако, система человеческого слуха (человеческого зрения) имеет различную частотную чувствительность. Существуют метоы построения квантователей, учитывающих ауиовизуальные свойства человека. Спектр ошибки квантования при этом перемещается за преелы виимого (слышимого) иапазона, то есть осуществляется шейпинг шума квантования. Такой шейпинг осуществляет, например, моулятор сигма-ельта АЦП. Уменьшение ошибки квантования возможно путем увеличения числа уровней квантования. Онако, это не всега возможно. Вместе с тем в технике широкое применение нашли компанеры: устройства, осуществляющие сжатие инамического иапазона аналогового сигнала пере квантователем (компанирование) и его расширение после квантователя (экспанирование). Применение компанеров позволяет уменьшить ошибки квантования. Оним из примеров компанера является логарифмический компанер, использующийся при коировании речи по станарту ИКМ (А-закон, µ -закон) Принципы работы ЦАП и АЦП Цифроаналоговый преобразователь преобразует послеовательность чисел в непрерывный сигнал. В сущности он нахоит взвешенную сумму бит числа. На Рис.2.8 ля примера показан трехбитный ЦАП. Точность преобразования такого ЦАП зависит от качества резисторов и опорного напряжения. Опорное напряжение R 2R 4R Выхоное напряжение Рис.2.8. ЦАП с умножением напряжения источника. 2-8

9 ЦАП, изображенный на Рис.2.8, называется ЦАП с умножением напряжения источника. В ЦАП с умножением напряжения источника используется эталонное напряжение, которое поключается, либо отключается по возействием цифровых анных. Преобразователь называется «с умножением напряжения источника», потому что он умножает значение напряжения источника на опрееленную величину усиления. Такая схема построения АЦП имеет существенный неостаток: число различных номиналов резисторов олжно быть равным числу бит ЦАП. Онако, существует возможность построения многобитного ЦАП и с использованием всего лишь вух резисторов. Так строятся обычно применяемые 8-, 12- и 16-битные ЦАП (посление — в высококачественной аппаратуре). Так как число различных уровней напряжения на выхое ЦАП конечно (в нашем примере 3), то сигнал на выхое бует ступенчатым, также, как и при искретизации. Пообный ступенчатый эффект преставляет собой искажение, которое необхоимо устранить о того, как аналоговый сигнал бует использоваться. Для устранения этого эффекта применяют низкочастотные сглаживающие фильтры (которые инога путают с анти-элайзинговыми фильтрами, применяющимися в АЦП). Пообные фильтры стоят и в звуковых платах ваших компьютеров. Их назначение, честно говоря, не очень-то понятно. В самом еле, частота искретизации звуковых карт обычно нахоится в районе 44 кгц. Значит, фильтр поавляет помехи выше 22 кгц. Но человеческое ухо и так не способно воспринимать эти частоты! С ругой стороны, фильтр вносит искажения. Оним из параметров ЦАП является максимально возможная скорость изменения аналогового сигнала на выхое. От него зависит преельная скорость поступления цифровых анных в ЦАП. Обычно этот параметр нахоится в преелах нескольких вольт в микросекуну и опрееляется качеством выхоного усилителя ЦАП, а также перехоными процессами в емкостях. Слишком высокая скорость поступления анных в ЦАП может вызвать так называемый глич-эффект, или появление выбросов в выхоном сигнале. Он объясняется тем, что биты на вхое не изменяются точно в оин и тот же момент. Рассмотрим ля примера четырехбитовый ЦАП, в котором вхоной отсчет изменяется с 0111 в Если старший бит «прохоит» через более быструю логику, чем остальные, выхо ЦАП бует эквивалентен вхоной послеовательности , то есть в ней бует наблюаться выброс. Для борьбы с этим эффектом применяют схему стабилизации выхоного напряжения, которая поерживает его постоянным о того момента, как все ключи «сработают». Наиболее часто применяемый АЦП, называемый АЦП с послеовательным приближением, состоит из ЦАП и компаратора. Этот преобразователь показан на Рис

10 Рис.2.9. Структурная схема ЦАП с послеовательным приближением. Он работает слеующим образом. Компаратор воспринимает ва вхоных аналоговых сигнала и вырабатывает выхоной признак по результату сравнения. Управляющая логика вырабатывает необхоимые логические сигналы ля послеующих этапов, указывая какой бит слеует опреелить в анный момент. Регистр послеовательного приближения устанавливает необхоимые биты в «0» или «1» в зависимости от сигналов, поступающих из управляющей логики. ЦАП преобразует цифровые сигналы к оному из 16 (в анном случае) уровней напряжения. В АЦП с послеовательным приближением формирование кажого бита осуществляется за оин цикл. Поэтому n-разряному АЦП требуется ля преобразования n циклов. Как правило, АЦП с послеовательным приближением ешевые, точные и быстрые. Обычно время преобразования составляет микросекун. Заметьте, что программа, работающая с таким АЦП не сможет сразу считать цифровой результат. Она олжна вызвать «старт» преобразования и ожаться его окончания (флаг статуса). Хотя на схеме и не показано, но АЦП имеет схему накопления-хранения в аналоговой части. Иначе изменение сигнала в сереине преобразования привеет к существенной ошибке. Послеовательные АЦП по принципу ействия схожи с АЦП с послеовательным приближением. Отличие состоит в том, что преобразование выполняется послеовательно, каскано. Преимущество такого похоа в том, что при преобразовании послеовательности бит опрееленное время требуется лишь ля преобразования первых битов, а затем биты выаются на кажом такте с заержкой, равной числу каскаов. 2-10

11 Интегрирующие АЦП работают, считая импульсы в течении времени, пропорциональному вхоному напряжению. С прихоом кажого импульса интегратор увеличивает значение пилообразного напряжения. Это проолжается о тех пор, пока размер пилы не остигнет значения вхоного напряжения. Такие АЦП более меленные, чем АЦП с послеовательным приближением, но так как в них не использутся ЦАП, они имеют большее разрешение Сигма-ельта АЦП В посление гоы благоаря развитию технологий оними из наиболее популярных стали сигма-ельта АЦП и ЦАП высокого разрешения. Они применяются в ауиоаппаратуре, измерительных устройствах, везе, ге требуются большой инамический иапазон при низкой скорости выборки отсчетов. В сигма-ельта АЦП аналоговый сигнал квантуется с очень низким разрешением (как правило, 1 бит) на частоте, во много раз превышающей максимальную частоту спектра сигнала. Используя эту переискретизацию в сочетании с цифровой фильтрацией, уается значительно повысить разряность. Для уменьшения числа отсчетов на выхое АЦП применяется ецимация. Онобитовые сигма-ельта АЦП и ЦАП облаают превосхоной линейностью благоаря линейности 1-битного квантователя. Зесь не требуется высокоточная лазерная погонка, как в ругих архитектурах АЦП. Структура сигма-ельта ЦАП принципиально не отличается от АЦП, за исключением поряка слеования процессов. Рис Сигма-ельта АЦП первого поряка. Блок-схема сигма-ельта АЦП первого поряка преставлена на Рис Вхоная (аналоговая) часть такого класса приборов — сигма-ельта моулятор, преобразующий вхоной сигнал в послеовательный непрерывный поток нулей и еиниц, слеующих с частотой KF S. Замкнутая цепь обратной связи состоит из вычитающего устройства, интегратора, компаратора (1-бит АЦП), 1-бит ЦАП. Этот ЦАП принимает послеовательный поток анных, а сигнал с его выхоа вычитается из вхоного сигнала. 2-11

12 Из теории обратной связи слеует, что среняя величина напряжения на выхое ЦАП при остаточном петлевом усилении может остигать значения на вхое моулятора. Интегратор может быть преставлен как фильтр, амплитуа отклика которого пропорциональна 1/f, ге f — частота вхоного возействия. Компаратор синхронизируется тактовыми импульсами, слеующими с частотой KF S, преобразуя меленный вхоной сигнал в сигнал переменного тока высокой частоты, меняющейся в зависимости от сренего значения напряжения на вхое. Таким образом эффективное значение шума квантования на низких частотах пренебрежимо мало, а интегратор выступает в роли фильтра высоких частот ля шума квантования. Распрееление спектра результирующего шума сильно зависит от скорости квантования, постоянной времени интегратора и точности балансировки обратной связи по напряжению. Рис Формирование сигналов сигма-ельта моулятора. Для различных вхоных величин в оном интервале квантования анные от 1-бит АЦП мало что значат. Только кога накоплено большое число отсчетов, мы получим результирующее значение. Если вхоной сигнал близок к положительному краю полной шкалы, то в битовом потоке на выхое больше еиниц, чем нулей, и наоборот, если сигнал ближе к отрицательному краю, то больше нулей. Для сигнала, близкого к сереине шкалы, количество нулей и еиниц примерно оинаково. На Рис.2.11 показано выхоное состояние интегратора ля вух вхоных условий: первое — ля нулевого вхоного возействия (сереина шкалы), второе — ля некоторого положительного сигнала. Для екоирования выхоного потока пропустим выхоные отсчеты через простой цифровой фильтр низкой частоты, который усреняет только по четырем отсчетам. На выхое фильтра бует 2/4. Это значение соответствует нулю. По мере накопления отсчетов остигается более широкий инамический иапазон. Например, накопление 8 отсчетов аст 4/8 (3-бит разрешение). На нижней иаграмме накопление, провеенное ля 4 отсчетов, аст 3/4, а ля 8-6/8. Сигма-ельта АЦП можно также рассматривать как синхронный преобразователь напряжения в частоту и слеующий за ним счетчик. Число еиниц, посчитанное в заанном количестве отсчетов выхоного потока анных, счетчик выаст как цифровое значение вхоного возействия. 2-12

13 Онако прямой мето накопления похоит только ля постоянных или меленно меняющихся вхоных сигналов из-за низкой скорости преобразования, так как только за 2 N тактов цикла можно остичь N-бит эффективного разрешения. Для повышения скорости преобразования применяют специальные способы распараллеливания процессов. Рис Линейная моель сигма-ельта моулятора. Дальнейший анализ сигма-ельта АЦП лучше всего произвоить в частотной области, используя линейную моель (Рис.2.12). Отметим, что зесь интегратор преставлен как аналоговый фильтр с заанной переаточной характеристикой Н(f) имеющей амплитуную зависимость обратно пропорциональную частоте. Квантователь показан как каска усиления, прешествующий сумматору шума квантования. Оним из преимуществ частотного похоа является то, что ля описания повеения сигналов можно пользоваться простой алгеброй. Выхоная величина Y может быть преставлена как разность Х — Y, умноженная на переаточную функцию аналогового фильтра и на коэффициент переачи усиливающего звена, а затем сложенная с шумом квантования Q. Если положить коэффициент переачи равным 1, а переаточную функцию преставить как 1/f, то в результате получим: Y=(X-Y)/f+Q=X/(f+1)+Qf/(f+1) Отсюа слеует, что на частоте f = 0, Y = Х. С увеличением частоты величина Х уменьшается, а значение шумовой компоненты возрастает. Так как аналоговый фильтр ействует как ФНЧ на сигнал и как ФВЧ на шум квантования, такие моуляторы с фильтрами часто называют шумообразующими. Это иллюстрирует Рис Рис Распрееление шума квантования. 2-13

14 Из теории аналоговых фильтров известно: чем выше поряок фильтра, тем лучше его основные свойства. С некоторыми оговорками это справеливо и ля сигмаельта моуляторов (Рис.2.14). Рис Сигма-ельта АЦП второго поряка. На Рис.2.15 аны сравнительные характеристики шумовых распреелений. Рис.2.15 Функции распрееления спектра шума ля моуляторов первого и второго поряка. На Рис.2.16 преставлены графики зависимостей отношения сигнал/шум от коэффициентов переискретизации ля моуляторов первого, второго и третьего поряков. Отметим, что ля первого поряка характеристика имеет наклон 9 Б на октаву и 15 Б на октаву ля второго. Моуляторы высшего поряка (начиная с третьего) могут реально иметь лучшие показатели, но их линейная моель олжна быть более точной, а ля остижения стабильности потребуются более тонкие технологии произвоства. Зесь ля нагляности привеена характеристика иеального устройства третьего поряка, график ля реальных схем бует иметь наклон на 2-3 Б меньше. 2-14

15 Рис Зависимость отношения сигнал/шум от коэффициента переискретизации ля оно- вух- и трехкасканого преобразователей Эти кривые могут быть использованы ля приблизительного опрееления остижимого разрешения в зависимости от поряка моулятора и значения коэффициента переискретизации. Например, если величина переискретизации составляет 64, иеальная система второго поряка способна показать отношение сигнал/шум около 80 Б. Это соответствует разрешению АЦП, равного примерно 13 бит. К тому же при фильтрации, произвоимой цифровым фильтром, возможно уточнение выхоного слова более 13 бит. Дополнительные биты могут быть скрыты по шумовым порогом. Рассмотрим основные составляющие технологии построения сигма-ельта преобразователей: переискретизацию, процесс шумообразования в сигма-ельта моуляторе, цифровую фильтрацию и ецимацию. Как мы уже знаем, при классическом похое к процессу искретизации эффективное значение шума квантования в полосе частот от 0 о f / 2 составляет 2 /12, ге — шаг квантования, или вес млашего разряа отсчетов на выхое АЦП. Значительная часть шума квантования попаает в рабочую полосу частот. При соблюении условия теоремы Котельникова (полоса частот полезного сигнала меньше либо равна) аналоговый фильтр на вхое преобразователя олжен облаать высокой крутизной спаа АЧХ за полосой пропускания. Это необхоимо ля эффективного ослабления высокочастотных шумов и помех, проникающих в рабочую полосу в результате интерференции с гармониками частоты искретизации. В поавляющем большинстве случаев, это — активный ФНЧ. Но обиться уовлетворительного коэффициента гармоник у таких фильтров — весьма непростая заача, также как обиться малых фазовых искажений. При решении анной проблемы возникают глубокие противоречия. При этом вхоной сигнал квантуется с частотой Kf, ге К — отношение переискретизации, а f — частота выхоного цифрового потока. Зесь появляется ва новых элемента схемы: цифровой фильтр и ециматор, описанный в п

16 Шум квантования в полосе частот от f о Kf / 2 поавляется цифровым фильтром в выхоном потоке. Кроме того можно обиться малой неравномерности АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра и высокой линейности. Сам же аналоговый фильтр вырожается в простое R-С звено. К сожалению цена за сверхразрешение высока, потому что ля улучшения отношения сигнал/шум на 6 Б (1 бит) требуется соответственно увеличить коэффициент переискретизации в 4 раза. Для сохранения значения этого коэффициента в разумных преелах можно перераспреелить спектр шума квантования так, что бы основная его часть была межу f / 2 и Kf / 2 и только небольшая на отрезке [0.. f / 2 ]. Эту в функцию шейпинга шума выполняет сигма-ельта моулятор. После такого распрееления цифровой фильтр легко поавит значительную часть энергии шума квантования, и общее отношение сигнал/шум, опрееляющее инамический иапазон, ощутимо возрастет. Рис Действие цифровой фильтрации на шум квантования. После того, как шум квантования был сформирован квантователем в полосе частот выше рабочего иапазона, необхоимо поавить проукты этого шума с помощью цифровой фильтрации (см. Рис.2.17). Цифровой фильтр преслеует войную цель. Во-первых, он олжен ослаблять переотражения от выхоной частоты преобразования f. Во-вторых, поавлять проукты высокочастотных компонент шумообразующего процесса сигма-ельта моулятора. Снижение частоты вывоа анных выполняется с помощью ецимации. Децимация может также рассматриваться как мето избавления от избыточной информации, привнесенной переискретизацией. В сигма-ельта АЦП широко используется совмещение функций цифрового фильтра и ециматора — в результате вычислительная эффективность повышается. 2-16

17 2.4. Квантование искретных сигналов В посление гоы по квантованием чаще всего понимают процесс преобразования сигналов с искретной шкалой значений также в цифровые сигналы, иапазон значений отсчетов которых меньше. Особенно важное значение такое преобразование имеет ля сжатия сигналов, то есть уменьшения размерности их цифрового описания. При этом аналоговый сигнал вначале преобразуется в цифровой при помощи квантования с остаточно большим числом уровней, выполняемым АЦП, а затем этот сигнал «сжимается» в системе ЦОС. Сжатие остигается за счет вух вещей. Во-первых, цифровые значения отсчетов реальных сигналов оказываются коррелированными. Так, коэффицент корреляции сосених отсчетов речи примерно равен 0,9. Эта корреляция может использоваться, например, в ифференциальных системах коирования или в системах сжатия с пресказанием. Во-вторых, при сжатии используются свойства системы человеческого слуха (зрения), которая выступает пообно фильтру, пропускающего опрееленные частоты (и типы искажений) и заерживающего остальные. Благоаря этим свойствам зачастую наблюается эффект несовпаения субъективно наблюаемого качества сигнала и объективно измеренной меры искажения. Выбор меры искажения является оним из главных вопросов при проектировании квантователя. Наиболее часто используют сренекваратическую ошибку, которая выражается в уобной математической форме и во-многом отражает свойства увственного восприятия. Сренекваратическая ошибка опрееляется из выражения 1 d = ( x ˆ ) 2 k x k, N (2.4) ге xk — отсчет исхоного сигнала; xˆ k — отсчет квантованного сигнала, N — лина сигнала. Инога квантование непосрественно сигнала не столь эффективно, как квантование его преобразованной версии. Причина этого заключается в том, что коэффициенты преобразования могут оказаться екоррелированными, при олжном выборе преобразования. Кроме того, оказывается возможным елать априорные преположения о величине коэффициентов,исхоя из их местоположения. В основном применяются ортогональные преобразования, например, Фурье, искретное косинусное, вейвлетное преобразования. Чаще всего коирование с преобразованием применяется при сжатии изображений. Так, в основе станарта JPEG лежит искретное косинусное преобразование блоков изображения, а в основе станарта JPEG2000 вейвлет-преобразование изображения. 2-17

18 На заключительной стаии многих алгоритмов сжатия применяется энтропийный коер, осуществляющий собственно сжатие. В качестве такого коера наиболее часто используется сочетание коера лин серий с коером Хаффмана или арифметическим коером. Отметим, что при векторном квантовании сигналов, рассматриваемом ниже, нужа в энтропийном коере инога отсутствует. При построении алгоритма сжатия существуют ве возможности: анализировать и квантовать кажый отсчет сигнала в отельности или вместе с ругими отсчетами, объеиняя их в вектор. Соответственно, выеляют скалярные и векторные квантователи. 2-18

19 Скалярные квантователи Скалярный квантователь характеризуется вумя параметрами: числом уровней квантования и шагом квантования. Простейшим виом скалярного квантователя является равномерный квантователь Векторное квантование. (Основные понятия, Ллойа-Макса, ревовиный). Рис Переискретизация при аналоговой и цифровой фильтрациях 2-19

Квантование сигнала, его виды. Типы преобразования и обработки сигнала

Квантовамние (англ. quantization) — разбиение диапазона значений непрерывной или дискретной величины на конечное число интервалов. Существует векторное квантование — это разбиение пространства возможных значений векторной величины на конечное число областей. Простейшим видом квантования является деление целочисленного значения на натуральное число, называемое коэффициентом квантования.

Рисунок 9 — Квантованный сигнал

Не следует путать квантование с дискретизацией (и, соответственно, шаг квантования с частотой дискретизации). При дискретизации изменяющаяся во времени величина (сигнал) замеряется с заданной частотой (частотой дискретизации), таким образом, дискретизация разбивает сигнал по временной составляющей (на рисунке 10 — по горизонтали). Квантование же приводит сигнал к заданным значениям, то есть, разбивает по уровню сигнала (на рисунке 10 — по вертикали).

Рисунок 10 — Неквантованный сигнал с дискретным временем

Сигнал, к которому применены дискретизация и квантование, называется цифровым.

Рисунок 11 — Цифровой сигнал

Квантование часто используется при обработке сигналов, в том числе при сжатии звука и изображений. [2]

Виды квантования

Однородное (линейное) квантование — разбиение диапазона значений на отрезки равной длины. Его можно представлять как деление исходного значения на постоянную величину (шаг квантования) и взятие целой части от частного:

Квантование по уровню — представление величины отсчётов цифровыми сигналами. Для квантования в двоичном коде диапазон напряжения сигнала от Umin до Umax делится на 2 n интервалов. Величина получившегося интервала (шага квантования):

Каждому интервалу присваивается -разрядный двоичный код — номер интервала, записанный двоичным числом. Каждому отсчёту сигнала присваивается код того интервала, в который попадает значение напряжения этого отсчёта. Таким образом, аналоговый сигнал представляется последовательностью двоичных чисел, соответствующих величине сигнала в определённые моменты времени, то есть цифровым сигналом. При этом каждое двоичное число представляется последовательностью импульсов высокого (1) и низкого (0) уровня.

Обработка цифровых сигналов

Цифровая обработка сигналов оперирует с дискретными преобразованиями сигналов и обрабатывающих данные сигналы систем. Математика дискретных преобразований зародилась в недрах аналоговой математики еще в 18 веке в рамках теории рядов и их применения для интерполяции и аппроксимации функций, однако ускоренное развитие она получила в 20 веке после появления первых вычислительных машин. В принципе, в своих основных положениях математический аппарат дискретных преобразований подобен преобразованиям аналоговых сигналов и систем. Однако дискретность данных требует учета этого фактора, и его игнорирование может приводить к существенным ошибкам. Кроме того, ряд методов дискретной математики не имеет аналогов в аналитической математике.

Дискретизация

Дискретизация – переход от непрерывного сигнала к близкому (в определенном смысле) дискретному сигналу, описываемому разрывной функцией времени. Пример дискретного сигнала – последовательность коротких импульсов с изменяющейся амплитудой (последняя выступает в данном случае в качестве информативного параметра).

Обработка и передача дискретной информации имеет ряд преимуществ по сравнению с информацией, заданной в непрерывном виде. Дискретные сигналы в меньшей степени подвержены искажениям в процессе передачи и хранения, они легко преобразуются в двоичный цифровой код и обрабатываются с помощью цифровых вычислительных устройств.

Процесс дискретизации состоит обычно из двух этапов: дискретизации по времени и дискретизации (квантования) по уровню.

Дискретизация аналогового сигнала по времени – процесс формирования выборки аналогового сигнала в моменты времени, кратные периоду дискретизирующей последовательности ∆t.

Дискретизирующая последовательность – периодическая последовательность отсчетов времени, задающая сетку дискретного времени.

Период дискретизации ∆t – интервал времени между двумя последовательными отсчетами аналогового сигнала (шаг дискретизации по времени).

При выборе частоты дискретизации по времени можно воспользоваться теоремой В.А. Котельникова.

Теорема отсчетов (теорема Котельникова) – теорема, определяющая выбор периода дискретизации ∆t аналогового сигнала в соответствии с его спектральной характеристикой.

Согласно теореме, всякий непрерывный сигнал, имеющий ограниченный частотный спектр, полностью определяется своими дискретными значениями в моменты отсчета, отстоящие друг от друга на интервалы времени ∆t = l/(2Fmax), где Fmax – максимальная частота в спектре сигнала. Иначе, дискретизация по времени не связана с потерей информации, если частота дискретизации f дискр = 1/∆t в два раза выше указанной верхней частоты сигнала Fmax.

Согласно теореме Котельникова, нет необходимости передавать бесконечное множество всех значений непрерывного сигнала x(t), достаточно передавать лишь те его значения (рис. 3.52), которые отстоят друг от друга на расстоянии ∆t = l/(2Fmax). Для восстановления сигнала x(t) на вход идеального фильтра низких частот, имеющего полосу пропускания частот от 0 до Fmsx, необходимо подать последовательность узких импульсов с амплитудой, соответствующей дискретным отсчетам сигнала x(ti) в моменты времени ti = it.

Рис. 3.52. Дискретные отсчеты сигнала

Поскольку теорема отсчетов (теорема Котельникова) сформулирована для сигнала с ограниченным спектром, а реальные сигналы имеют неограниченную спектральную плотность, то при расчетах ∆t =1/(2Fmax) используют приближенное значение Fmax (например, активную ширину спектра, определенную по амплитудному критерию, по критерию 90%-ного содержания энергии или средней мощности сигнала). Кроме того, и идеальный фильтр низких частот, необходимый для восстановления сигнала в соответствии с теоремой, является физически нереализуемым, так как предъявляемые к нему требования (идеально прямоугольная форма амплитудно-частотной характеристики, отсутствие фазового сдвига в рассматриваемой полосе частот от 0 до Fmax) оказываются противоречивыми и могут выполняться лишь с определенной погрешностью. Учитывая сказанное, частоту дискретизации по времени обычно принимают в 1,5–2,5 раза больше значения, рассчитанного по теореме Котельникова.

Существуют и другие способы выбора частоты дискретизации сигнала (с учетом времени корреляции передаваемого сообщения, значения наибольшего или среднеквадратичного отклонения процесса). Так, в соответствии с критерием Н.А. Железнова, который выполняется для случайных сигналов, имеющих конечную длительность Тс и неограниченный частотный спектр, рекомендуется принимать шаг дискретизации ∆t, равный максимальному интервалу корреляции сигнала φ0. Предполагается, что параметр φ0, характеризует такой промежуток времени, в пределах которого отдельные значения случайного процесса можно считать статистически зависимыми (коррелированными), причем φ0Тс. Таким образом, исходный непрерывный сигнал заменяется совокупностью N=Тс/φ0 некоррелированных отсчетов (импульсов), следующих с частотой fдискр=1/∆t= φ0. При этом восстановление сигнала x(t) осуществляется с помощью линейного прогнозирующего фильтра со среднеквадратической ошибкой, сколь угодно мало отличающейся от нуля в промежутке времени, равном интервалу корреляции φ0.

Более полно учитывая свойства реальных сигналов (конечная длительность, неограниченность спектра), критерий Железнова тем не менее исходит из допущения о равенстве нулю корреляционной функции сигнала Кх(φ) вне интервала [-φ0; φ0], что на практике выполняется с определенной погрешностью.

В тех случаях, когда имеется более подробная информация о законе изменения сигнала, выбор частоты дискретизации можно осуществлять исходя из допустимой погрешности аппроксимации функции x(t) на каждом из интервалов дискретизации. На рис. 3.53 дан пример кусочно-линейной аппроксимации, когда соседние отсчеты функции x(t), взятые в дискретные моменты времени ti и ti+1, соединяются отрезками прямых.

Рис. 3.53. Кусочно-линейная аппроксимация

Рассмотренные способы равномерной дискретизации (при ∆t=const) иногда могут приводить к получению избыточных отсчетов, не оказывающих существенного влияния на процесс восстановления исходного сообщения. Например, если функция x(t) мало изменяется на некотором, достаточно протяженном интервале времени То, то соответствующие дискретные отсчеты сигнала практически не отличаются друг от друга и, следовательно, нет необходимости использовать все указанные отсчеты для хранения или передачи информации по линии связи. Сокращение избыточной информации возможно на основе способов адаптивной (неравномерной) дискретизации, обеспечивающих выбор интервала ∆t между соседними отсчетами с учетом фактического изменения характеристик сигнала (в частности скорости его изменения).

Дискретизация сигнала по уровню – процесс отображения бесконечного множества значений аналогового сигнала на некоторое конечное множество (определяемое числом уровней квантования).

Отличительной особенностью дискретизации по уровню является замена непрерывной шкалы уровней сигнала x(t) дискретной шкалой хi (i = 1, 2, . m), в которой различные значения сигнала отличаются между собой не менее чем на некоторое фиксированное (или выбираемое в процессе квантования) значение ∆t, называемое шагом квантования.

Шаг квантования – величина, равная интервалу между двумя соседними уровнями кванто-вания (определена только для случая равномерного квантования).

Необходимость квантования вызвана тем, что цифровые вычислительные устройства могут оперировать только с числами, имеющими конечное число разрядов. Таким образом, квантование представляет собой округление передаваемых значений с заданной точностью. При равномерном квантовании (∆x=const) число разрешенных дискретных уровней х составляет

где xmax и xmin – соответственно верхняя и нижняя границы диапазона изменения сигнала.

Ошибка квантования – величина, определяемая как ξ(х) = ххдi, где х – кодируемая дискретная величина, хдi– дискретизированный сигнал.

Шум квантования – случайная функция времени, определяемая как зависимость ошибки квантования от времени.

Чем меньше значение ∆х, тем меньше получаемая ошибка. Если в результате квантования любое из значений сигнала x(t), попавшее в интервал (хдi — ∆х/2; хдi + хдi х/2), округляется до хд, то возникающая при этом ошибка ξ(х) не превышает половины шага квантования, т.е. mах|ξ(х)|=0,5∆х. На практике шаг квантования ∆х выбирают исходя из уровня помех, в той или иной форме присутствующих при измерении, передаче и обработке реальных сигналов.

Если функция x(t) заранее неизвестна, а шаг квантования ∆х достаточно мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала (хmax – хmin), то принято считать ошибку квантования ξ(х) случайной величиной, подчиняющейся равномерному закону распределения. Тогда, как показано на рис. 3.54, плотность вероятности f1(ξ) для случайной величины ξ, принимает значение 1/(∆х) внутри интервала (-∆х/2; +∆х/2) и равна нулю вне этого интервала.

Рис. 3.54. Равномерный закон распределения ошибки квантования

При ∆x=const относительная погрешность квантования ∆х=ξ(х)/х существенно зависит от текущего значения сигнала x(t). В связи с этим при необходимости обработки и передачи сигналов, изменяющихся в широком диапазоне, нередко используется неравномерное (нелинейное) квантование, когда шаг ∆х принимается малым для сигналов низкого уровня и увеличивается с ростом соответствующих значений сигнала (например ∆х выбирают пропорционально логарифму значения |x(t)|). Выбор шага ∆хi =хдi – хдi-1 осуществляется еще и с учетом плотности распределения случайного сигнала (для более вероятных значений сигнала шаг квантования выбирают меньшим, для менее вероятных – большим). Таким образом удается обеспечить высокую точность преобразования при ограниченном (не слишком большом) числе разрешенных дискретных уровней сигнала x(t).

Процесс преобразования дискретного сигнала в цифровой называют кодированием информации, а множество различных кодовых комбинаций, получаемых при данном правиле кодирования, – кодом. Важной характеристикой кода является основание (или значность) кода, т.е. число возможных значений, которые могут принимать элементы кодовой комбинации. Пусть требуется передать сигнал, уровень которого изменяется от 0 до 10 В. Если шаг квантования данных составляет 10 мВ, то каждый отсчет сигнала можно рассматривать как одно из 1000 возможных сообщений. Для передачи этой информации можно предложить различные способы:

– каждому сообщению поставить в соответствие определенный уровень напряжения, при этом основание кода m = 1000, а длина кодовой комбинации (слова) принимает минимальное значение n=1;

– можно воспользоваться двоичным (бинарным) представлением амплитуды сигнала с m = 2, но тогда потребуется комбинация длины n = 10 (210=1024, так что некоторые комбинации здесь не использованы).

ЛК2(a) > Дискретизация и квантование аналоговых сигналов

1. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование сигналов

Большинство сигналов, с которыми сталкиваются инженеры – электронщики, являются непрерывными. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразования позволяют цифровым компьютерам обрабатывать эти сигналы. Цифровые сигналы отличаются от соответствующих непрерывных сигналов двумя основными параметрами: они дискретизованы и квантованы. Естественно, что при переходе от аналогового сигнала к цифровому, часть информации теряется. Все это зависит от частоты дискретизации, количества бит при квантовании сигнала по уровню и типа аналогового фильтра, применяемого при преобразовании сигнала

Процесс преобразования аналогового сигнала в цифровую форму разделяется на два этапа: дискретизация и удержание (sample-and-hold, S/H) и непосредственно аналого-цифровое преобразование (analog-to-digital conversion, ADC). На этапе дискретизации и удержания значение входного сигнала запоминается и удерживается неизменным на время его преобразования в цифровой вид. Изменения входного сигнала в течение интервала удержания игнорируются. Т.о., процесс дискретизации преобразовывает независимую переменную (время и пр.) из непрерывной величины в дискретную. В процессе квантования каждому дискретному отсчету аналогового сигнала ставится в соответствие цифровой код. Другими словами, в процессе квантования,
зависимая переменная преобразовывается из непрерывной величины в дискретную.

Эффекты, возникающие при дискретизации и квантовании, искажают исходный аналоговый сигнал. В процессе квантования, каждый отсчет цифрового сигнала может содержать максимальную ошибку равную . (Least Significant Bit – младший значащий разряд), что соответствует расстоянию между двумя соседними уровнями квантования. Другими словами, цифровой сигнал эквивалентен аналоговому сигналу плюс ошибки квантования, которые ведут себя как случайный шум. Т.е. можно утверждать, что для учета эффекта квантования, к исходному сигналу необходимо добавить случайный шум определенной величины. Величина шума квантования зависит от количества разрядов для представления числа. Разрядность преобразователя определяет точность представления данных.

Рисунок 2.1 Преобразование аналогового сигнала в цифровой сигнал.

2. Теорема Котельникова

Для правильного выбора частоты дискретизации, в ЦОС используется теорема дискретизации (теорема Котельникова, критерий Найквиста). Эта теорема гласит, что для преобразования аналогового сигнала в цифровой сигнал, без потери информации, частота дискретизации, как минимум, должна быть вдвое больше, чем наивысшая частота, присутствующая в спектре аналогового сигнала. Если частота дискретизации не удовлетворяет данному критерию (т.е. выбрана ниже), то происходит искажение входного сигнала, вызванное наложением частот (элайсинг, aliasing). Кроме искажения частоты, элайсинг искажает и фазу входного сигнала на 180 о (т.е., фаза выходного сигнала будет принимать два значения – 0 о и 180 о ).

Елайсингв статистике, обработке сигналов и смежных дисциплинах, еффект, который приводит к наложению, неотличимости разних неперервных сигналов при их дискретизации.

Рисунок 2.2 Два разных синусоидальных сигнала после оцифровки не отличаются: высокочастотный с частотой f > fs / 2 (красный) и низкочастотный с частотой fs

Понять переход от непрерывного сигнала к цифровому сигналу, представляющему cобой массив чисел, весьма сложно. Для представления этого процесса вводится промежуточный сигнал, который называется импульсная последовательность. Импульсная последовательность – непрерывный сигнал, состоящий из коротких импульсов (d-импульсов, дельта-импульсов), с амплитудой, соответствующей аналоговому сигналу и периодом повторения импульсов, равному периоду частоты дискретизации. Между импульсами значение сигнала равно нулю. Импульсная последовательность – это теоретический сигнал, а не сигнал, реально существующий в электронике. Информация, содержащаяся в импульсной последовательности, идентична цифровому сигналу.

Если теперь перейти к рассмотрению спектров сигнала, то для аналогового сигнала спектр является непериодической функцией и занимает строго определенную полосу частот. Спектр импульсной последовательности аналогичен спектру аналогового сигнала, но является периодическим. Период повторения его кратен частоте дискретизации, а полоса частот имеет свое зеркальное отражение (симметрию) относительно частоты дискретизации. Т.е. дискретизация порождает новые частоты.

3. Искажение сигналов при цифро-аналогов преобразовании

Теоретически, наиболее простой способ цифро-аналогового преобразования заключается в чтении значений отсчетов импульсов из памяти с последующим преобразованием их в импульсную последовательность. Для восстановления исходного аналогового сигнала, необходимо полученную импульсную последовательность пропустить через низкочастотный фильтр с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Это позволит исключить из сигнала спектральные составляющие, лежащие выше половины частоты дискретизации.

Математически это очень просто, но сгенерировать дельта-импульсы в электронике весьма сложная задача. Все микросхемы ЦАП удерживают полученное значение до прихода следующих обновляемых данных. Этот процесс называется удержанием нулевого порядка и эквивалентен режиму удержания АЦП. В частотной области это приводит к искажению спектра импульсной последовательности – он умножается на передаточную характеристику ЦАП, описываемую следующим выражением:

В общем виде, выражение
называется функцией или . Аналоговый фильтр, восстанавливающий аналоговый сигнал из последовательности с удержанием нулевого порядка должен выполнять две функции: удалять из спектра сигнала все частоты, лежащие выше половины частоты дискретизации, и устранять эффект удержания нулевого порядка (умножать сигнал на функцию ).

Устранение эффекта удержания нулевого порядка можно осуществлять несколькими способами:

– игнорировать его (т.е. не устранять);

– построить соответствующий аналоговый фильтр на входе;

– использовать несколько частот дискретизации (multirate);

– использовать программную коррекцию сигнала до передачи его в ЦАП.

Для закрепления материала еще раз остановимся на особенностях аналоговых и цифровых сигналов. Информация, передаваемая цифровым сигналом, ограничивается двумя причинами. Во-первых, количество уровней дискретизации (бит) ограничивает разрешающую способность зависимой переменной, т.е. небольшое изменение амплитуды сигнала теряется в шуме квантования. Во-вторых, частота дискретизации ограничивает разрешающую способность независимой переменной, т.е. очень быстрые события в аналоговом сигнале теряются между отсчетами. Аналоговые сигналы тоже имеют ограничения, которые связаны с шумом и шириной полосы. Шум ограничивает измерения амплитуды аналогового сигнала. Возможность различать малейшие изменения аналогового сигнала во времени ограничена наивысшей частотой в спектре сигнала.

4. Базовая схема устройства для цифровой обработки сигналов . Аналоговые фильтры

Если рассмотреть блок-схему устройства, предназначенного для решения задач ЦОС, то в ней будут присутствовать два аналоговых фильтра. До АЦП, сигнал поступает на аналоговый ФНЧ, который удаляет все частотные составляющие спектра, лежащие выше частоты Найквиста (половины частоты дискретизации). Т.е. этот фильтр необходим для устранения эффекта наложения спектров (элайсинга), и он называется антиэлайсинговым фильтром. На выходе системы, цифровой сигнал с выхода ЦАП также проходит через ФНЧ с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. Этот фильтр называется восстанавливающим, и с его помощью устраняется эффект удержания нулевого порядка. Для реализации аналоговых фильтров в электронике применяются три основных типа: Чебышева, Баттерворта и Бесселя. Каждый из этих фильтров отличается параметрами оптимизации.

Рисунок 2.3 Блок-схема устройства для цифровой обработки сигналов.

Наиболее распространенная форма для построения аналоговых низкочастотных фильтров – модифицированная схема Салливана-Кея. Это низкочастотный фильтр второго порядка (с двумя полюсами). Для повышения порядка фильтра применяется каскадное включение. Схема Салливана-Кея позволяет реализовать любой из трех типов фильтров – Чебышева, Баттерворта или Бесселя (все зависит от параметров пассивных компонентов). Для преобразования ФНЧ в ФВЧ в этой схеме достаточно поменять резисторы и конденсаторы местами.

Рисунок 2.4 Схема Салливана – Кея.

Рассмотрим некоторые характеристики этих трех классических фильтров. Первый из рассматриваемых параметров – крутизна спада АЧХ за частотой среза. Принцип работы ФНЧ заключается в том, что он пропускает все частоты ниже частоты среза (в полосе пропускания, pass band) и не пропускает все частоты, выше частоты среза (в полосе подавления, stop band). Эта характеристика наилучшая у фильтра Чебышева, затем – у фильтра Баттерворта, и хуже всех – у фильтра Бесселя. Следующий важный параметр – постоянство коэффициента усиления в полосе пропускания фильтра. И в фильтре Бесселя и в фильтре Баттерворта коэффициент усиления убывающий, а в фильтре Чебышева присутствуют пульсации (passband ripple).

Последний параметр – переходная характеристика (step response), показывает реакцию фильтра на резкое изменение входного сигнала (от одного значения к другому). В этом случае фильтр Чебышева и Баттерворта обладают перерегулированием (overshoot) и колебательностью (ringing). Фильтр Бесселя не имеет этих проблем.

Исходя из вышесказанного, приходим к следующему выводу: фильтр Чебышева оптимизирован по крутизне спада АЧХ, фильтр Баттерворта – по линейности в полосе пропускания, фильтр Бесселя – по переходной характеристике.

При выборе антиэлайсингового фильтра очень важно представлять себе какая информация содержится в аналоговом сигнале. Существуют множество способов представления информации, но все они разделяются на два основных типа – информация содержится во временной области или информация содержится в частотной области.

Хорошим примером сигнала, содержащего информацию в частотной области, является аудиосигнал. Для такого сигнала важно сохранить все частоты, содержащиеся в нем. Форма этих сигналов не имеет значения. В этом случае, в качестве антиэлайсингового фильтра, лучше выбирать фильтр Чебышева или Баттерворта.

Для сигналов, содержащих информацию во временной области, очень важно сохранение формы сигналов (например – сигналы ЭКГ в медицине). В этом случае фильтр Бесселя подходит лучше всего.

Квантование и дискретизация измерительных сигналов

По характеру изменения информативного пара­метра сигналы делятся на четыре группы;

1. Сигналы, непрерывные по времени и размеру, — наиболее распространенные (см. рис. 3.2, а, 3.9). Они чаще всего встречаются в практике измерений, поскольку все первичные природные сигналы макро­мира непрерывны по времени и размеру. Такие сиг­налы определены в любой момент времени существования сигнала и могут принимать любые значения в диапазоне его изменения.

Рис. 3.9. Исходный непрерывный

сигнал (1) и сигнал непрерывный по времени и квантованный по размеру (2>

Сигналы, непрерывные по времени и квантованные по размеру, получаются из сигнала, непрерывного по времени и размеру, посредством его квантования.

Кван­тование — измери­тельное преобразо­вание непрерывно изменяющейся ве­личины в ступенча­то изменяющуюся с заданным размером ступени q — кван­том. В результате проведения этой опе­рации непрерывное множество значений сигнала Y(t) в диапа­зоне от Ymin до Ymax преобразуется в дискретное множество значений YM(t) Квантование широко применя­ется в измерительной технике. Существует большая группа естественно квантованных физических вели­чин. К ним относятся электрический заряд, квантом которого является заряд электрона, масса тела, кван­том которой является масса молекулы или атома, со­ставляющих данное тело, и др.

Процесс квантования описывается уравнением

где N(ti) — число квантов; l(t-ti) — единичная функция,

Любой процесс измерения по сути своей есть процесс квантования. Например, при измерении длины тела линейкой с миллиметровыми делениями определяется целое число миллиметров, наиболее близкое к истинному размеру тела. В данном случае в роли кванта выступает миллиметр. При использовании микрометра квантом является величина, равная 1СГ 6 м.

Погрешность квантования∆ — методическая по­грешность отражения непрерывной величины огра­ниченным по числу разрядов числом. Она равна раз­ности между значением непрерывной функции и зна­чением, полученным в результате квантования;

Погрешность квантования подчиняется равно­мерному, закону распределения с основанием, равным q. Ее СКО при всех видах равномерного квантования σ(∆)=q/(2√3).

Сигналы, дискретизированные по времени и непре­рывные по размеру, получаются из непрерывных по времени и размеру сигналов посредством дискретиза­ции. Дискретизация— измерительное преобразование непрерывного во времени сигнала в последовательность мгновенных значений этого сигнала ,соответствующих моментам времени ,где = 1, 2. Интервал времени называется шагом дискрети­зации, а обратная ему величина – частотой дискретизации.

Процесс дискретизации непрерывного сигнала показан на рисунке

Рис. 3.10. Дискретизация непрерывного сигнала (а): исходный непрерывный сигнал (1), сигнал, дискретизированный по времени и непрерывный по размеру (2), и восстановленный при помощи поли­нома Лагрэкжа нулевой степени непрерывный во времени сигнал (3) и погрешность восстановления (б)

Математически он описывается с помощью дельта функции , которая, как из­вестно, обладает стробирующим действием. Идеаль­ный дискретизированный сигнал является после­довательностью импульсов нулевой длительности и аналитически может быть представлен в виде

где Y(k∆t) — значение непрерывного сигнала в каждой точке дискретизации.

Дискретизация бывает равномерной и неравномерной( — переменная величина). Частота дискретизации выбирается на основе априорных све­дений о характеристиках дискретизируемого сигнала. На практике наибольшее распространение получила равномерная дискретизация. Это объясняется тем, что алгоритмы дискретизации и последующего вос­становления сигнала и реализующая их аппаратура относительно просты. Однако при недостаточности априорных данных о характеристиках сигнала воз­можна значительная избыточность отсчетов.

В дискретизированном сигнале отсутствуют про­межуточные значения, которые содержались в исход­ном непрерывном сигнале. Однако часто принципи­ально необходим непрерывный сигнал. Поэтому во многих случаях дискретизированный сигнал требуется преобразовать в непрерывный, т. е. восстановить его промежуточные значения. Задача восстановления дискретизированных сигналов в общем случае аналогична задаче интерполирования функций. При восстановле­нии исходного сигнала по совокупности выборок формируется обобщенный многочлен

где — система базисных функций, которая обыч­но является ортогональной или ортонормированной; — коэффициенты ряда. Его значения в точках дис­кретизации совпадают со значениями непрерывной функции. В ряде случаев при формировании восста­навливающего многочлена накладывается условие совпадения производных до заданного порядка п включительно.

При восстановлении непрерывный сигнал на ка­ждом из участков между соседними дискретными значениями заменяется кривой, вид которой определя­ется выбранными базисными функциями. Восстанов­ление непрерывного сигнала из дискретизированного должно проводиться с возможно меньшей заданной погрешностью. Для этого необходимо соответствую­щим образом выбрать для данного участка сигнала восстанавливающую базисную функцию.

Коэффициенты ряда и базисные функции могут выбираться на основе различных критериев, например: наибольшего отклонения, минимума по­грешности или совпадения значений восстанавливае­мого непрерывного сигнала с мгновенными значения­ми дискретизированного сигнала. В измерительной технике наиболее широко используется последний критерий, так как он удобен для аналитического вос­становления с помощью компьютера на основе резуль­татов измерения мгновенных значений дискретизиро­ванного сигнала, отличается простотой реализации и достаточно высокой точностью.

Восстановление сигнала в данном случае регули­руется теоремой Котельникова, которая формулирует­ся следующим образом: если функция Y(t), удовле­творяющая условиям Дирихле — ограничена, кусоч­но-непрерывна, имеет конечное число экстремумов — и обладающая спектром с граничной частотой , дискретизирована циклически с периодом , меньшим или равным т. е. , то она может быть вос­становлена по всей этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.

Если теорема Котельникова выполняется, то не­прерывный сигнал может быть восстановлен как сумма базисных функций — рядом Котельникова:

где — круговая граничная частота спектра не­прерывного сигнала ; — период дискретизации; — функция отсчетов.

Ряд Котельникова является одним из примеров обобщенного ряда Фурье и замечателен тем, что его коэффициенты равны мгновенным дискретизированным значениям сигнала и поэтому определя­ются наиболее простым способом.

Погрешность восстановления дискретизированных сигналов равна разности между значениями непре­рывной исходной функции и восстанавливающей функции. Она существенным образом зависит от вида используемой базисной функции.

Погрешность восстановления зависит от закона изменения дискретизируемой функции, выбранных восстанавливающих полиномов и величины шага или частоты дискретизации. Чем менее гладкой и монотонной является дискретизируемая функция (т. е, чем больше в ее спектральном составе высших гармоник), тем больше, при прочих равных условиях, погреш­ность восстановления.

Погрешность восстановления доводят до требуе­мой величины главным образом соответствующим выбором шага дискретизации. Очевидно, что при его уменьшении погрешность восстановления снижается.

Методика расчета зависит от применяемых ба­зисных функций. При использовании ряда Котельникова частота дискретизации рассчитывается по фор­муле , где — коэффициент запаса, выбирае­мый из диапазона (1,5—6) и учитывающий неограниченность спектра реальных сигналов; — максимальная частота в спектре сигнала.

Сигналы, дискретизированные по времени и кванто­ванные по размеру, согласно приведенной классификации являются цифровым сигналами. На практике они формируются цифроаналоговыми преобразователями. Последние фактически являются управляемыми цифровым кодом мерами, выходной сигнал которых подвергнут дискретизации. Следова­тельно, в этих устройствах параллельно осуществля­ются два процесса преобразования измерительной информации: дискретизация и квантование. Их сов­местное действие описывается математическим вы­ражением

где — цифровой код (число квантов), соответ­ствующий моменту .

Рис. 3.11. Исходный непрерывный сигнал (1), сигнал,дискретизированный по времени и квантованный по уровню (2),

и восстановленный непрерывный сигнал (3)

Значения сигнала, дискретизированного по вре­мени и квантованного по уровню, определены только в моменты, кратные периоду дискретизации ∆t. По­этому имеет место задача формирования непрерывно­го сигнала по данным значениям. Эта задача анало­гична рассмотренной задаче восстановления дискретизированного сигнала. Отличие состоит в том, что последний равен исходному непрерывному сигналу, а квантованный и дискретизированный сигналы отли­чаются от него, но не более чем на величину кванта q. Вследствие этого погрешность состоит из двух со­ставляющих, обусловленных процессами дискретиза­ции и квантования.

Каждый электрик должен знать:  Устройство проточного водонагревателя, принцип действия, схема, разновидности
Добавить комментарий
Название: Дискретизация и квантование сигналов погрешности дискретизации и квантования
Раздел: Рефераты по информатике
Тип: реферат Добавлен 21:23:16 07 июля 2011 Похожие работы
Просмотров: 415 Комментариев: 13 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать