Линейные операторы


СОДЕРЖАНИЕ:

Линейные операторы

Пусть Е и Е — линейные пространства. Оператор действующий из Е в называется линейным, если он

1) аддитивен, т. е.

2) однороден, т. е.

Непосредственно из определения линейного оператор следует, что всегда

Из 1) и 2) легко получаем

для любых из Е и любых чисел

Примеры. 1. Оператор О, переводящий каждый элемент х пространства Е в нулевой элемент пространства является линейным. Он называется нулевым оператором.

2. Оператор переводящий каждый элемент пространства Е в себя:

линеен. Он называется единичным или тождественным оператором.

3. Оператор Л, переводящий каждый элемент в элемент ( фиксированное число), есть линейный оператор, называемый оператором подобия.

4. Пусть А — линейный оператор, отображающий n-мерное пространство с базисом в -мерное пространство с базисом

и, в силу линейности оператора А,

Таким образом, оператор А будет задан, если известно, во что он переводит базисные векторы еп-Разложим вектор по базису Будем иметь

Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов столбцами которой служат координаты векторов относительно базиса .

Пусть Е и — линейные нормированные пространства. Определение. Оператор с областью определения и со значениями в называется непрерывным в точке если для всякого существует такое, что для всех таких, что выполняется неравенство

Здесь нормы в пространствах соответственно.

Часто бывает удобно следующее (равносильное) определение непрерывности оператора.

Оператор А непрерывен в точке если для любой последовательности элементов сходящейся к по норме пространства Е, соответствующая последовательность сходится к элементу по норме пространства т. е.

Примеры. 1. Пусть Для произвольной функции положим

где — некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных в квадрате

Используя равномерную непрерывность в получаем, что функция непрерывна для любой непрерывной функции так что равенство (1) определяет оператор действующий из пространства Его называют интегральным оператором Фредгольма с (непрерывным) ядром Линейность этого: оиератора очевидна:

Непрерывность оператора А следует из того, что сходимость в пространстве есть равномерная сходимость, при которой возможен предельный переход под знаком интеграла. Поэтому, если то

2. Пусть теперь Вновь рассмотрим интегральный оператор Фредгольма

но теперь будем предполагать, что ядро интегрируемо с квадратом по области

Покажем, что формула (1) определяет оператор, действующий из

В силу теоремы Фубини (см. [27]) из условия (2) следует, что ядро как функция от принадлежит Значит, интеграл (1) существует для любой функции По той же теореме Фубини функция

Используя неравенство Коши—Буняковского, находим

Неравенство (3) можно записать в виде

Извлекая квадратный корень из обеих частей этого неравенства, будем иметь

Линейность оператора А очевидна, а непрерывность его следует из неравенства (4), поскольку если

Упражнение. Показать, что в конечномерном пространстве всякий линейный оператор непрерывен.

Теорема 3.1 Линейный оператор определенный на линейном нормированном пространстве Е и отображающий Е в линейное нормированное пространство непрерывный в одной точке , непрерывен на всем пространстве Е.

Действительно, пусть х — любая точка из Е и Тогда Так как А непрерывен в точке то

Но в силу линейности оператора

Последнее означает, согласно определению, что оператор А непрерывен в точке

Определение (I). Линейный оператор А, действующий из Е в называется ограниченным, если он определен на всем Е и существует такая постоянная что

Здесь — норма в пространстве — норма в пространстве Е.

Согласно этому определению, ограниченный оператор переводит каждое ограниченное множество элементов в ограниченное же множество элементов

Между ограниченностью и непрерывностью линейных операторов существует тесная связь, которая выражается следующей теоремой.

Теорема 3.2. Для того чтобы линейный оператор А был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Иногда бывает удобнее пользоваться иным, равносильным предыдущему, определением ограниченного оператора.

Определение (II). Оператор А называется ограниченным, если он ограничен в единичном шаре пространства Е, т. е. существует число такое, что

для всех х таких, что

Покажем эквивалентность определений (I) и (II). Пусть оператор А ограничен в смысле второго определения. Положим так что когда Если теперь — любой элемент из Е, то и потому откуда так что условие (5) выполняется с

Предположим, напротив, что выполняется условие (5). Тогда для

т. е. А — ограниченный оператор в смысле второго определения.

Определение. Число определяемое равенством 4

называется нормой оператора А и обозначается символом

Таким образом, для любого

Очевидно, что есть наименьшая из констант, участвующих в неравенстве (5).

В самом деле, если бы это было не так; то нашлось бы число такое, что

Тогда для мы имели бы

Поэтому норму оператора А можно определить как нижнюю грань всех чисел при которых имеет место неравенство (5):

Пример. Рассмотрим в пространстве оператор

называемый оператором умножения на независимую переменную. Очевидно,

Для простоты будем считать, что

Для любой функции имеем

Если взять функцию на то для нее

Из (9) и (10) вытекает, что

Вычисление норм конкретных операторов обычно весьма затруднительно. Однако часто бывает довольно легко оценить норму оператора сверху, что порой оказывается достаточным.

Рассмотрим, например, в пространстве С 1а, интегральный оператор Фредгольма

с непрерывным в ядром

Пусть Для имеем

Оценка (11) является весьма грубой, хотя и используется

во многих рассуждениях. Легко видеть, что справедлива более точная оценка

Можно показать ([19]), что в данном случае

В заключение приведем пример линейного, но не ограниченного оператора.

Рассмотрим оператор дифференцирования

Этот оператор линеен. Однако он определен не на всем а лишь на подмножестве функций, имеющих непрерывную производную. Оператор А на не является ограниченным. В самом деле, пусть на Тогда

Линейные операторы простой структуры

Линейный оператор, действующий в линейном пространстве X, называют оператором простой структуры, если в X существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Теорема 5.17. Линейный оператор Пусть все векторы ei, ег, . еп базиса е являются собственными векторами линейного оператора р, отвечающими собственным значениям Ai, А2, . Ап. Тогда

Столбцами матрицы оператора в данном базисе е являются столбцы координат векторов реi, (ре2, реп в этом базисе, т.е. коэффициенты из разложений (5.20). Поэтому в базисе е линейный оператор р имеет матрицу

Наоборот, пусть в базисе ei, 62, . еп линейный оператор р имеет матрицу Л. Тогда для вектора е*, i = 1,2. гг, с координатным столбцом (0. 0,1,0. 0) т образ pei будет иметь столбец координат

Поэтому pei = Хг в <, i= 1,2,,п. Это означает, что векторы ei, 62, . еп являются собственными векторами оператора р отвечающими собственным значениям Ai, А2, . Ап. ?

Следствие 5.4. Линейный оператор простой структуры в базисе, состоящем из собственных векторов, имеет диагональную матрицу, в которой по диагонали стоят собственные значения этого оператора.

Если матрица оператора р в некотором базисе имеет диагональную матрицу, то говорят, что матрица этого оператора приводится к диагональному виду.

Теорема 5.18. Для того чтобы в линейном пространстве Хп линейный оператор р имел базис из собственных векторов, необходимо и достаточно, чтобы все характеристические числа Ai оператора р принадлежали основному полю и чтобы каждому числу Хг соответствовало столько линейно независимых собственных векторов оператора р, какова алгебраическая кратность корня А,; характеристического многочлена оператора р.

> Утверждение о том, что характеристические числа А,; должны принадлежать основному полю, обеспечивает наличие в линейном пространстве X собственных векторов оператора р, принадлежащих этим числам, и наоборот.

Пусть Ai, А2, . A.s. — все различные характеристические числа линейного оператора р, а к, &2. ks и /1,12. ls — соответственно

их алгебраические и геометрические кратности. Тогда к + &2 +—-Ь

+ks = п, где п — размерность линейного пространства У, и по теореме 5.15 U ^ к-,: при i = 1,2. s.

Предположим, что в пространстве X существует базис из собственных векторов оператора р. Поскольку базис состоит из п векторов, то должны выполняться соотношения

из которых следует, что каждое U = кг. Это означает, что каждое Ai является собственным значением оператора р и, следовательно, принадлежит основному полю, а его алгебраическая и геометрическая кратности совпадают.

Обратно, пусть все различные характеристические числа Ai, А2, . A.s оператора р принадлежат основному полю и их алгебраические и геометрические кратности совпадают, т.е. Ц = ki при г = 1,2, . s. Тогда в пространстве X размерности п по каждому А* существует 1г =

ki линейно независимых собственных векторов оператора ip, причем их общее число

Поскольку собственные векторы оператора (р, принадлежащие различным собственным значениям, также линейно независимые, то рассматриваемые векторы составляют базис в пространстве X, и мы приходим к выводу, что в пространстве X существует базис из собственных векторов оператора Действительно, по условию все характеристические корни оператора ср различные и принадлежат основному полю. Следовательно, они являются собственными значениями этого оператора. Тогда в линейном пространстве существует базис, состоящий из собственных векторов оператора Пример 5.9. Привести, если возможно, действительные матрицы

к диагональному виду и построить для них канонические разложения. Решение, а) Корнями характеристического многочлена

матрицы А являются числа Ai = 2, Л2 = 1 соответственно кратности к = 2, к2 = 1. Все они действительные и потому являются собственными значениями матрицы А. При Ai = 2 матрица

имеет ранг г = 1, и потому 1 = п — Г = 3 — 1 = 2 = к.

При А2 = 1 матрица

имеет ранг Г2 = 2, и потому I2 = п — Г2 = 3 — 2=1 =

Таким образом, у матрицы А геометрическая кратность каждого Ai совпадает с его алгебраической кратностью. Поэтому матрица А приводится к диагональному виду

В этом можно убедиться и непосредственным конструированием матрицы Т, удовлетворяющей соотношению Т

1 АТ = Л. Действительно, при А = 2 система — А Е) X = 0, т.е. система

имеет общее решение X = (х,Х2,— Зад + ЗХ2) 71 , в котором два (1 = к) свободных неизвестных. Из общего решения при Х = 1, Х2 = О и при х = О, Х2 = 1 получаем фундаментальную систему решений

При Л = 1 система — Е) X = 0, т.е. система

имеет общее решение X = х) т , в котором одно (I2 = к.2) свободное неизвестное. Поэтому ФСР этой системы состоит из одного решения, например из решения Х% = (1,1,1) т . Из решений Xi, Х2, Х3, как из столбцов, составляется невырожденная матрица

Поэтому матрица А приводится к диагональному виду и имеет каноническое разложение

Забегая вперед отметим, что к классу матриц простой структуры относятся матрицы простого спектра и нормальные матрицы, в частности, симметричные, эрмитовы и унитарные. В то же время этими подклассами матриц класс матриц простой структуры не исчерпывается. Например, матрица А, являясь матрицей простой структуры, к перечисленным подклассам матриц не принадлежит.

б) Корнями характеристического многочлена

являются Ai;2 = — 1, A3 = 0 соответственно кратности к = 2, &2 = 1. Все они действительные и поэтому являются собственными значениями матрицы А‘2. При Ai = — 1 матрица

имеет ранг Г = 2, и потому l = n—ri = 3 — 2 ф к, т.е. геометрическая кратность /i = 1 характеристического числа Ai = —1 не равна его алгебраической кратности к = 2. Поэтому матрица Л2 не приводится к диагональному виду. Если бы строили для матрицы матрицу Т, удовлетворяющую соотношениям (5.21) и (5.22), то она получилась бы неквадратной.

Действительно, при А = — 1 система (Л2 — А Е) X = 0, т.е. система

имеет ФСР, состоящую из одного решения (Zi ф к), например из решения Х = (3,3, — 4) т .

При А = 0 система 2 А Е) X = 0, т.е. система

также имеет ФСР, состоящую из одного решения (/2 = А^) например из решения Х2 = (2,1,—1) т . Решений Xi и Х2 недостаточно для конструирования квадратной невырожденной матрицы Т третьего порядка. Поэтому матрица А2 не приводится к диагональному виду и не имеет канонического разложения. ?

Приведение матриц к диагональному виду и каноническое разложение матриц широко используется в теории и вычислительной практике. Например, если известно каноническое разложение А = Т ЛТ -1 матрицы Л, то ее т-я степень при натуральном числе т легко находится по формуле

так как А тп = ТАТ -1 • ТЛТ -1 . ТКТ

1 = ТА т Г х . Формула

(5.23) сохраняется и при га целом отрицательном для невырожденной матрицы А. В частности,

Один их корней га-й степени из матрицы А определяется формулой

Действительно, возведя правую часть равенства (5.25) по формуле

(5.23) в га-ю степень, получим А. Если в формуле (5.25) все А* > О, то, беря арифметические значения корней га-й степени из каждого А,;, получим единственный корень га-й степени из матрицы А, у которого все характеристические числа положительные. О всех корнях из матрицы см. [7], гл. VIII.

Решение системы АХ = b линейных уравнений также значительно упрощается, если известно каноническое разложение А = Т АТ -1 . В этом случае от системы Т А Т

1 X = Ь переходят к системе A T

х Ь. Затем вводят обозначение Z = Т

г X и решают систему A Z = Т -1 Ь. Причем неизвестным 2r+i, . zn, при которых множителями стоят Ar+i, . Ап равные нулю, придают соответственно произвольные значения Сi, С2, ? ? ?, СпГ? В результате получают

По найденному Z находят

Пример 5.10. Решить систему АХ = (12,12, — 8) т , если известно каноническое разложение:

Решение. От системы АХ = (12,12,—8) т перейдем к системе AT -1 X = Т

г (12,12, — 8) г , т.е. к системе

Полагая здесь Т 1 X = Z, получим систему

или в подробной записи

Отсюда находим Z = (—2,6,С) Т . Поэтому

Пример 5.11. Найти квадратный корень из матрицы А при известном ее каноническом разложении

Линейный оператор

Линейное отображение линейного (векторного) пространства в себя

называется линейным преобразованием или линейным оператором1) на .

В дальнейшем под выражением оператор понимается исключительно линейный оператор (и линейное пространство предполагается конечномерным!).

Напомню свойство линейности:

или, в эквивалентном виде:

для или (здесь — константы из если вещественное пространство, и из , если оно комплексное).

Примеры линейных операторов

Бóльшую часть примеров пункта ☞ ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ представляют именно линейные операторы. Укажу еще несколько, к которым буду часто обращаться.

Пример 1. В пространстве рассмотрим следующие действия над вектором2) :

Все это — примеры линейных операторов. Но вот отображение сдвига оператором не является поскольку

Пример 2. В пространстве отображение ортогонального проецирования на плоскость будет линейным оператором (а вот на плоскость — не будет!). Вообще, в произвольном пространстве разбитом в прямую сумму нетривиальных подпространств отображение, сопоставляющее вектору его проекцию на подпространство параллельно подпространству , будет оператором.

Пример 3. В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами степеней отображение действует по правилу

т.е. полином отображается в остаток от деления произведения на . Это отображение будет оператором в . Действительно, если

Пример 4. Задачу интерполяции можно интерпретировать как построение некоторого отображения. В интерполяционной таблице

будем считать узлы фиксированными, а значения — переменными. Эта таблица однозначно определяет интерполяционный полином со свойством при . При этом . Будет ли получившееся отображение

оператором на ? Покажем, что отображение

является линейным отображением. Действительно, решением задачи интерполяции для таблицы

является полином . Если же, вдобавок, решением задачи интерполяции для таблицы

является полином , то решением задачи интерполяции для таблицы

будет полином и этот полином будет единственным решением среди полиномов степеней . Таким образом, линейность отображения установлена. Далее, множество полиномов из степеней изоморфно пространству . Следовательно, «сложное» отображение

является линейным отображением из в , т.е. оператором на .

По аналогии с задачей алгебраической интерполяции, можно поставить и задачу тригонометрической интерполяции. Имеем здесь «точку входа» в теорию дискретного преобразования Фурье. ♦

Этот пример можно «развернуть»: НИЖЕ будет показано, что произвольный оператор, действующий в пространстве размерности полностью определяется своими значениями в точках пространства. Важное отличие от традиционной, числовой интерполяции: условие различности этих точек не является достаточным для однозначного определения оператора !

В пространстве оператор действует следующим образом:

Пример 5. В пространстве полиномов степени не выше с вещественными коэффициентами от переменных отображение

яыляется линейным оператором. Этот оператор известен как оператор Лапласа и для него используется символьное обозначение

Пример 6. В линейном пространстве квадратных матриц порядка с вещественными элементами рассмотрим коммутирующее отображение

а также отображение Ляпунова

при произвольной фиксированной квадратной матрице и означающем транспонирование. Легко проверить, что оба отображения и являются операторами. ♦

Основные определения

Все введенные для линейного отображения понятия переносятся на этот частный случай. Например, ядром оператора называется множество векторов, отображаемых оператором в нулевой вектор:

а образом оператора называется множество всех векторов из , для каждого из которых существует прообраз в том же пространстве:


Теорема 1. Множества и являются подпространствами пространства .

Доказать, что для оператора в

имеет место равенство .

Для оператора его дефектом его называется размерность ядра, а его рангом — размерность образа:

Оператор называется невырожденным если .

Пример. В пространстве оператор проецирования на плоскость:

является вырожденным поскольку его ядро нетривиально: . ♦

Следующий результат является следствием теоремы из ☞ ПУНКТА.

Теорема 2. Имеет место равенство:

В чем смысл свойства вырожденности оператора? — В том, что такой оператор «схлопывает» пространство, в котором действует: . Происходит уменьшение размерности подобное тому, что описано в предыдущем примере: трехмерное пространство прообразов оператором проецирования отображается в двухмерное пространство всевозможных образов.

Отображение называется произведением оператора на оператор если для любого . Записывать этот факт будем в виде .

Фактически, произведение операторов — частный случай понятия сложной функции.

Теорема 3. Произведение операторов является оператором на . Операция произведения ассоциативна.

Доказательство. Имеем на основании свойства линейности

Далее, для любого вектора :

откуда и следует ассоциативность. ♦

Говорят, что операторы и коммутируют если .

Пример. В пространстве полиномов рассмотрим дифференциальный оператор

Этот оператор не коммутирует с обычным оператором дифференцирования :

Оператор , отображающий произвольный вектор в себя : , называется тождественным на . Оператор называется (левым) обратным оператору , если . В этом случае оператор называют обратимым и записывают: .

Не всякий оператор обратим.

Пример. В пространстве для оператора проецирования на плоскость:

обратного не существует, т.к. и ни при каком выборе оператора нельзя добиться выполнения равенства . ♦

Показать, что обратным для оператора

на является оператор

Теорема 4. Оператор обратим тогда и только тогда, когда когда он невырожден: . В этом случае единствен и коммутирует с .

Из теоремы следует, что левый обратный оператор к оператору — если он существует — совпадает с правым обратным оператором. Это утверждение не будет справедливым для бесконечномерных пространств. См. задачу 7 ☞ ЗДЕСЬ.

При и 1″ w /> , -я степень оператора определяется рекурсивной формулой

Если, вдобавок, невырожден, то отрицательная степень оператора определяется формулой

Полагают также для любого .

Теорема 5. Степени оператора коммутируют:

Пример. -й степенью оператора дифференцирования в пространстве полиномов будет оператор нахождения -й производной:

Заметим, что при n» w /> этот оператор будет нулевым. ♦

Пример. В произвольном пространстве разбитом в прямую сумму нетривиальных подпространств оператор проецирования на подпространство параллельно подпространству обладает свойством (проецирование проекции оставляет ее на месте). ♦

Оператор , обладающий свойством , называется идемпотентным3).

Пример. В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами степени отображение действует по правилу

т.е. полином отображается в остаток от деления произведения на . Для этого оператора -й его степенью является оператор

Завершает доказательство святая индукция по степени … ♦

Пусть задан произвольный полином из или . Выражение

будем называть операторным полиномом.

Доказать, что операторные полиномы коммутируют: .

Доказать, что для любого всегда найдется полином , такой, что .

Сформулируем еще один результат, являющийся частным случаем приведенного в пункте ☞ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ.

Теорема 6. Пустьпроизвольный базис , апроизвольные векторы того же пространства. Существует единственный оператор такой, что

Доказательство. Искомый оператор строится следующим образом. Если — разложение произвольного вектора по базису, то

Единственность этого оператора доказывается от противного. Любой другой оператор , удовлетворяющий условиям , будет действовать на тот же вектор с тем же результатом:

Таким образом, оператор — как функция, действующая в -мерном линейном пространстве, однозначно определяется заданием на линейно независимых векторах. В доказательстве теоремы дается и конструктивный способ представления оператора по этим значениям (т.е. строится его «интерполяционная формула» ).

Матрица оператора

Рассмотрим оператор на и пусть — базис . Являясь частным случаем линейного отображения, оператор должен обладать и соответствующей матрицей. Существенной особенностью, отличающей наш случай от рассмотренного в пункте ☞ МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ, является невозможность произвола при выборе базиса для . Поскольку является подпространством , то было бы слишком большой роскошью иметь два разных базиса для одного и того же пространства.

Найдем координаты образов базисных векторов в том же базисе :

в столбцах которой стоят координаты образов базисных векторов, называется матрицей оператора в базисе .

Пример. Известны образы базисных векторов под действием оператора :

Найти матрицу этого оператора в исходном базисе.

Решение. Элементы матрицы ищутся по формулам из определения, которые можно переписать в матричном виде:

и для нашего примера эта формула дает

В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами степени оператор действует по правилу

т.е. полином отображается в остаток от деления произведения на . Найти матрицу оператора в базисе .

Ответ.

Теорема 1. Координаты произвольного вектора и его образа связаны формулой

Как изменяется матрица оператора при переходе к новому базису?

Теорема 2. Еслиматрица перехода от старого базиса к новому, то матрицы и оператора в старом и новом базисах связаны формулой:

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Пример. Оператор в базисе пространства

Найти его матрицу в базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому находится по ☞ формуле

Матрицы и , связанные соотношением при какой-то неособенной матрице , называются подобными, этот факт будем записывать: .

Доказать, что отношение подобия есть отношение эквивалентности, и если то при любом полиноме .

Теорема 3. Для оператора ранг его матрицы является инвариантом, т.е. не зависит от выбора базиса пространства. Этот ранг совпадает с рангом оператора .

Доказательство. Если и — матрицы оператора в двух разных базисах, то они являются подобными: . По свойству ранга матрицы имеем: . ♦

Дефект оператора совпадает с дефектом его матрицы в произвольном базисе пространства.

Теорема 4. Для оператора определитель и след его матрицы являются инвариантами, т.е. не зависят от выбора базиса пространства.

Доказательство. Действительно, для подобных матриц и , на основании теоремы Бине-Коши имеем:

Далее, по свойству следа матрицы:

Этот результат позволяет ввести понятие определителя и следа оператора — посредством матрицы этого оператора в произвольном базисе пространства. Такое определение оказывается корректным поскольку оба значения не зависят от выбора базиса.

Каков «физический» смысл определителя оператора?

— Для ответа на этот вопрос рассмотрим оператор в , заданный формулой:

Свойство линейности оператора как отображения плоскости проявляется в том, что параллельные отрезки он отображает в параллельные же отрезки (см. упражнение к теореме 2 из ☞ ПУНКТА ), и, следовательно, любой параллелограмм отображается им в параллелограмм. Площади соответствующих параллелограммов оказываются связанными через определитель матрицы — более точно, через модуль этого определителя. В частном случае настоящего примера это проверяется непосредственно; что касается обобщения на произвольное евклидово пространство, в котором понятие объема вводится аксиоматически то сошлюсь на упражнение 3 ☞ ЗДЕСЬ.

Иными словами: «физический» смысл определителя оператора заключается в том, что модуль его значения представляет коэффициент расширения4)объема (в настоящем примере — площади) тела (соответственно, плоской фигуры) под воздействием этого оператора.

А вот объяснить «физический» смысл следа оператора посложнее будет…

Теорема 5. Оператор обратим тогда и только тогда, когда когда его определитель отличен от нуля.

Теорема 6. Линейное пространство операторов на изоморфно линейному пространству квадратных матриц порядка (с элементами из или из ).

Это утверждение является простым следствием теоремы 2, приведенной в пункте ☞ МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ. Однако в случае операторов установленный изоморфизм сохранит не только результат операции сложения, но и результат операции умножения:

Я сформулирую этот «усиленный вариант» изоморфизма в виде набора свойств, которыми буду пользоваться по мере возникновения потребности.

Теорема 7. В любом базисе пространства

а) матрица нулевого оператора является нулевой матрицей , а матрица тождественного оператора является единичной матрицей ; обратно: если матрица оператора в этом базисе — нулевая (единичная), то оператор является нулевым (соответственно, тождественным);

б) матрица произведения операторов совпадает с произведением матриц этих операторов5);

в) коммутирующим операторам соответствуют коммутирующие матрицы;

г) еслиматрица оператора, томатрица обратного оператора;

д) еслиматрица оператора , то матрицей операторного полинома является матрица .

Матрица оператора и матрица перехода от базиса к базису

Эти матрицы как-то взаимодействовали между собой в предыдущем пункте, хотя вторая была определена совершенно в другом разделе. Обе матрицы квадратные, обе имеют в определении «завязку» на базис пространства . У начинающих изучать теорию часто возникает путаница при различении этих определений.

«Физический» смысл этих понятий различен. Образно говоря, если рассматривать оператор как процесс (точнее: установленную связь между входными и выходными значениями процесса), то выбор базиса можно интерпретировать как выбор точки зрения на этот процесс (можно трактовать эти слова как формализацию выражения «рассмотрим этот процесс под другим углом»).

Тем не менее, с чисто формальной точки зрения, матрица перехода от базиса пространства к какому-то другому базису того же пространства может считаться матрицей некоторого оператора, действующего в этом пространстве. В самом деле, на основании теоремы, приведенной в конце ☞ ПУНКТА, существует единственный оператор , переводящий старые базисные векторы в новые, взятые в той же последовательности:

Но тогда, по определению, матрица оператора в базисе совпадает с матрицей перехода от базиса к базису .

Я буду записывать матрицы операторов и матрицы переходов от базиса к базису в разных стилях: и, соответственно, — с целью быстрого распознавания их «физической» сущности.

Матрица оператора проецирования

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

Теорема. Рассмотрим линейную оболочку линейно независимой системы столбцов .

Пусть скалярное произведение векторов и задается стандартным способом, т.е. . Ближайшей к точке точкой многообразия (или ортогональной проекцией точки на многообразие) является

Матрица невырождена, поскольку является матрицей Грама

системы линейно независимых столбцов .

Доказательство. Пусть , где — ортогональная проекция точки на , а — ортогональная составляющая. Тогда

поскольку . Далее, можно разложить по базису :

На основании теорем и , приведенных ☞ ЗДЕСЬ, точка является ближайшей точкой многообразия к точке . ♦

Матрица является матрицей оператора ортогонального проецирования на многообразие в стандартном базисе

Она симметрична и идемпотентна, т.е. обладает свойством .

Каждый электрик должен знать:  Обогреватели как сделать правильный выбор устрйоства

Пример. В найти матрицу проецирования на плоскость .

Решение. Параметрическое задание плоскости:

В общем случае отображение точки на ближайшую к ней точку произвольного многобразия

при линейно независимом от не является линейным оператором, а относится к типу аффинных отображений. Выражение для этого отображения см. в разделе ☞ ВЫЧИСЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ МЕЖДУ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ.

Матрица оператора отражения (оператора Хаусхолдера)

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

В пространстве со стандартным скалярным произведением рассмотрим плоскость, заданную уравнением

при векторе нормали единичной длины: . Действие оператора зеркального отражения или оператора Хаусхолдера6) относительно этой плоскости на вектор (точку) определим правилом

здесь — ортогональная проекция вектора на заданную плоскость, а — ортогональная составляющая вектора относительно этой плоскости.

Теорема. Оператор задается уравнением

Последний вариант формулы никогда не встречал, но он имеет формальное право на существование!

Доказательство.

Поскольку ортогонален, а вектор коллинеарен вектору единичной длины, то

Теорема. Матрица оператора в стандартном базисе

Пример. Найти зеркальное отражение точки относительно плоскости .

Решение. Здесь и

Проверим результат посредством матричного представления:

Матрица одновременно симметрична и ортогональна, и . Следовательно, ей обратная существует и совпадает с ней самой:

Инвариантное подпространство

Задача. Подобрать базис пространства так, чтобы матрица заданного оператора имела наиболее простой вид.

Исследуем действие оператора на произвольное подпространство :

Вообще говоря, множества и будут различными, т.е. такой, что .

Подпространство называется инвариантным подпространством оператора , если оно отображается этим оператором в себя:

и — тривиальные инвариантные подпространства произвольного оператора .

Нас будут интересовать нетривиальные инвариантные подпространства.

Пример. Оператор

задает в пространстве поворот вокруг оси на угол . Нетривиальными инвариантными подпространствами будут

а) ось вращения , и

б) плоскость, перпендикулярная оси вращения , . ♦

Пример. Оператор

задает на плоскости «растяжение»: -компонента увеличивается в раз, а -компонента — в раз. При любой комбинации коэффициентов растяжения координатные оси будут инвариантными подпространствами. Однако в частном случае инвариантной будет также любая прямая, проходящая через начало координат. ♦

Пример. Оператор в задан блочной матрицей

где — -матрица, — -матрица. Множество столбцов

образует инвариантное подпространство, . Если же, вдобавок, матрица, обозначенная — нулевая, то вторым инвариантным подпространством будет

Теорема. иинвариантные подпространства оператора .

Теорема. Если пространство раскладывается в прямую сумму подпространств, инвариантных относительно оператора , то существует базис пространства, в котором матрица оператора будет блочно-диагональной.

Теорема обобщается очевидным образом на произвольное число слагаемых подпространств: . Если при этом , то матрица оператора в базисе, полученном объединением базисных векторов слагаемых подпространств, становится диагональной — это и является решением задачи, поставленной в начале пункта.

Собственное число и собственный вектор

Задача. Найти одномерные инвариантные подпространства оператора.

Вектор называется собственным вектором оператора , если

В этом случае число называется собственным или характеристическим числом оператора, соответствующим (или принадлежащим) данному собственному вектору; обратно, говорят, что вектор принадлежит собственному числу .

Вопрос существования хотя бы одного собственного числа для произвольного оператора остается пока открытым. Однако, свойство линейности оператора гарантирует, что если это число существует, то ему соответствует бесконечное множество собственных векторов:

т.е. если вектор является собственным, то и вектор будет собственным при любом скаляре . Заметим, что собственное число разыскивается во множестве комплексных чисел: вопрос о существовании вещественного собственного числа — даже в случае вещественного пространства — остается открытым. Геометрический смысл вещественных собственных чисел и векторов проясняет следующий пример.

Пример. Оператор

задает отображение плоскости . На рисунке показан результат действия этого отображения на единичную окружность. Все точки плоскости, за исключением начала координат , изменят свое положение — ни одна не останется на месте.

Если рассмотреть эти точки как концы векторов, имеющих начало в , то смещения точек под действием оператора можно представить в виде двух составляющих: растяжения (т.е. увеличения расстояния до начала координат) и поворота вокруг начала координат на некоторый угол. И только по двум направлениям плоскости поворота не происходит. Точки окружности с координатами

будут смещаться без поворота. Эти точки и задают координаты конца собственного вектора. А соответствующие им собственные числа и определяют коэффициенты сдвига. Если вообразить оператор как деформацию физической среды, заполняющей плоскость, то можно сказать, что cобственный вектор задает направление, на котором действие оператора сводится к растяжению, при этом коэффициент растяжения и будет собственным числом.

Анимация процесса ☞ ЗДЕСЬ (1500 Kb, gif).

Пример другого оператора

показывает, что существование вещественных собственных чисел вовсе не гарантировано даже в случае оператора в вещественном пространстве: в этом примере все точки плоскости повернутся вокруг начала координат. ♦

Я «замыливаю» ответ на вопрос какой физический смысл имеют отрицательные собственные числа…

Доказать, что тогда и только тогда, когда оператор имеет собственное число, равное нулю.

Теорема. Любой собственный вектор оператора порождает его одномерное инвариантное подпространство, и обратно: любой ненулевой вектор одномерного инвариантного подпространства оператора является собственным вектором.

Пример. В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами степени оператор действует по правилу

т.е. полином отображается в остаток от деления произведения на . Найти собственные векторы этого оператора.


Решение. В пространстве векторами являются полиномы, а условие того, что полином является собственным, принадлежащим числу , записывается в виде:

Поскольку , то последнее может выполняться тогда и только тогда, когда полином имеет общие корни с . Из этого условия вытекает, что число может принимать только два значения: и . Если является собственным числом, то ему соответствующий собственный вектор — полином степени — должен определяться из условия делимости на . Такой полином имеет вид при произвольной константе . Следовательно множество

является множеством собственных векторов, принадлежащих .

С числом поступаем аналогично. Условие делимости полинома на дает также бесконечное множество:

Однако в этом случае бесконечность множества качественно иная, чем в предыдущем случае; она — «двумерная». ♦

Задача. Для произвольного оператора выяснить условия существования его собственного числа и разработать конструктивный метод его нахождения.

Теорема. В комплексном линейном пространстве любой оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.

Доказательство. Пусть — произвольный базис пространства и — матрица оператора в этом базисе. Тогда для того чтобы вектор был собственным, принадлежащим собственному числу , необходимо и достаточно чтобы выполнялось равенство

Покажем, что существуют комплексные числа и не все нулевые , удовлетворяющие этой системе. Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения у однородной системы линейных уравнений с квадратной матрицей является равенство нулю определителя этой матрицы:

Этот определитель является полиномом степени по . По основной теореме высшей алгебры этот полином имеет по крайней мере один комплексный корень . Подставив его в систему, получаем однородную систему уравнений с нулевым определителем. Находим нетривиальное решение этой системы:

но тогда вектор будет собственным вектором оператора , принадлежащим . ♦

Уравнение называется характеристическим или вековым уравнением, а полином в левой его части — характеристическим полиномом матрицы . Любой корень характеристического полинома матрицы называется собственным числом этой матрицы. Набор всех собственных чисел матрицы (корней характеристического полинома с учетом кратностей) называется спектром матрицы. Ненулевой вектор , удовлетворяющий условию , где — собственное число матрицы, называется собственным вектором матрицы, соответствующим (или принадлежащим) данному собственному числу.

Пример. Применим полученный результат для получения альтернативного решения предыдущего примера.

Решение. Базисом в пространстве выберем . Образы базисных векторов под действием оператора :

Характеристический полином матрицы :

Собственные числа и , спектр матрицы . Подставляем каждое из собственных чисел в матрицу и решаем получившиеся системы однородных уравнений. Поскольку каждая из них должна иметь бесконечное множество решений, то мы строим фундаментальные системы решений (ФСР)

Таким образом, собственному числу соответствует собственнный вектор — полином , и он полностью совпадает с полученным при решении предыдущего примера. В то же время собственному числу соответствует два линейно независимых собственнных вектора — полиномы и . Любой (не тождественно нулевой) полином множества

будет также являться собственным, принадлежащим . Это множество также совпадает с полученным при решении предыдущего примера. ♦

Итак, два формально различных подхода к решению одного и того же примера не привели к противоречию. Хотелось бы, однако, гарантировать глобальную непротиворечивость определения собственных чисел и векторов — т.е. независимость (инвариантность) этих объектов относительно способов их нахождения, и, в частности, от выбора базиса пространства .

Теорема. Характеристические полиномы подобных матриц одинаковы.

Доказательство. неособенная матрица , такая что . Имеем:

Иначе говоря, для оператора характеристический полином его матрицы не зависит от выбора базиса пространства. Поэтому можно говорить о характеристическом полиноме оператора .

Характеристический полином матрицы подробнее исследуется ☞ ЗДЕСЬ. В частности, в указанном разделе приведен результат, на основании которого (а также на основании пунктов а) и д) теоремы 7, приведенной в пункте ☞ МАТРИЦА ОПЕРАТОРА ) выводится следующее нетривиальное утверждение:

Теорема [Гамильтон, Кэли]. Результатом подстановки оператора в собственный характеристический полином будет нулевой оператор.

Пример. Для рассмотренного в предыдущих примерах оператора

действующего в , характеристический полином равен . Проверим утверждение теоремы Гамильтона-Кэли — должно быть выполнено условие

Степени данного оператора обсуждались в примере ☞ ПУНКТА. Переписанное в терминах остатков, последнее условие превращается в

т.е. полином, стоящий в левой части сравнения, должен делиться нацело на при любом выборе полинома . Проверяем:

т.е. утверждение оказывается справедливым. ♦

Диагонализуемость матрицы оператора

Теорема 1. Собственные векторы оператора, принадлежащие различным собственным числам, линейно независимы.

Теорема 2. Если оператор имеет линейно независимых собственных векторов, то в базисе ими образуемом матрица оператора диагональна. Обратно: если матрица оператора в некотором базисе диагональна, то каждый вектор этого базиса является собственным для оператора.

Базис линейного пространства, состоящий из собственных векторов оператора , называется каноническим.

[Матричная версия теоремы]. Пусть — квадратная матрица. Неособенная матрица , удовлетворяющая равенству

существует тогда и только тогда, когда существует базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы . Тогда матрица является матрицей перехода от стандартного базиса

к каноническому, а на диагонали стоят собственные числа матрицы :

Доказательство. Проведем формальное доказательство данного конкретного частного случая. Рассмотрим матричное равенство

при некоторой диагональной матрице . Легко видеть, что оно эквивалентно системе равенств относительно столбцов матрицы :

Если все столбцы ненулевые, то тогда они являются собственными векторами для матрицы , а числа — собственными числами, соответствующими этим собственным векторам. Если матрица невырождена, то все ее столбцы линейно независимы. Но тогда они образуют базис пространства , состоящий из собственных векторов. Обратное тоже верно. ♦

При выполнении условия предыдущего следствия говорят, что матрица диагонализуема или приводится к диагональной форме7).

Теорема позволяет сформулировать достаточное условие диагонализуемости.

Теорема 3. Если характеристический полином оператора не имеет кратных корней, то матрица оператора диагонализуема.

Для проверки условия теоремы не требуется явного вычисления корней: оно проверяется по коэффициентам характеристического полинома «чисто алгебраически» (т.е. за конечное число элементарных алгебраических операций). Оно эквивалентно отличию от нуля дискриминанта характеристического полинома.

Это условие не является необходимым, как показывает пример тождественного оператора .

Случай существования кратного корня у характеристического полинома является «пограничным»: существуют примеры как диагонализуемых, так и недиагонализуемых матриц. Так, для матриц

при попытке подобрать матрицу , удовлетворяющую равенству

В случае наличия у характеристического полинома оператора кратного корня, анализ оператора на возможность диагонализуемости его матрицы усложняется.

Теорема 4. Множество собственных векторов оператора, принадлежащих его собственному числу , дополненное нулевым вектором, образует линейное подпространство пространства .

пространства называется собственным подпространством оператора, соответствующим . Величина

называется геометрической кратностью собственного числа . Можно доказать, что геометрическая кратность собственного числа не превосходит кратности собственного числа в характеристическом полиноме. Для акцентирования различий в определениях двух кратностей, кратность собственного числа в характеристическом полиноме называют еще алгебраической кратностью собственного числа.

Если оператор (в некотором базисе пространства) задан своей матрицей , то базисные векторы собственного подпространства вычисляются посредством нахождения фундаментальной системы решений (ФСР) системы линейных уравнений

Теорема 5. Матрица оператора диагонализуема тогда и только тогда, когда для каждого ее собственного числа алгебраическая кратность равна геометрической кратности:

Диагонализуема ли матрица оператора

рассмотренного в примерах предыдущего пункта?

Пример. Найти все вещественные значения параметра , при которых матрица

Решение. Характеристический полином имеет кратные корни только тогда когда его дискриминант обращается в нуль. При корень имеет алгебраическую кратность . Найдем дефект матрицы :

Таким образом, геометрическая кратность собственного числа равна и условие теоремы не выполнено. Оно не будет выполнено и при (здесь корень имеет кратность ).

Ответ. Матрица диагонализуема при всех значениях параметра, за исключением и .

Диагонализуемость матрицы оператора над полем вещественных чисел

В предыдущем пункте мы рассматривали операторы, не всегда акцентируя внимания на поле, над которым они были определены — над или над . Сама теорема существования собственного числа гарантирует нам только лишь наличие этих чисел в поле . Как следствие, даже если рассматриваются операторы над полем (что чаще всего и случается на практике), то существование для них вещественного канонического базиса вовсе не гарантировано.

Задача. Найти условия диагонализуемости матрицы оператора над полем вещественных чисел.

Необходимое условие следует из теоремы предыдущего пункта: все собственные числа матрицы должны быть вещественными.

Теорема позволяет сформулировать и достаточный критерий диагонализуемости матрицы оператора над .

Теорема. Если характеристический полином оператора имеет только простые вещественные корни, то матрица оператора диагонализуема над .

Условие различности и вещественности корней произвольного полинома можно проверить по коэффициентам этого полинома «чисто алгебраически», т.е. за конечное число элементарных алгебраических операций над этими коэффициентами. Воспользуемся, например, теоремой Якоби из раздела ☞ ЛОКАЛИЗАЦИЯ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА. По коэффициентам можно определить сумму Ньютона полинома , т.е. величину

Далее, после нахождения всех этих сумм для значений , из них составляется ганкелева матрица

и вычисляются ее главные миноры . Для различности всех корней полинома необходимо и достаточно выполнение условия (этот минор совпадает с дискриминантом полинома ); для различности и вещественности всех корней необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства

Пример. Найти все вещественные значения параметра , при которых матрица

Решение. На основании теоремы нам нужно установить условия вещественности корней характеристического полинома . Вычисляем суммы Ньютона: , составляем матрицу:

и вычисляем ее главные миноры:

При и все собственные числа различны, условие теоремы выполняется при . Граничные точки последнего интервала следовало бы исследовать отдельно: хотя этим значениям параметра и соответствует случай кратных вещественных корней характеристического полинома, но матрица может оказаться диагонализуемой на основании теоремы 5 предыдущего пункта. Но при решении примера в предыдущем пункте мы уже установили, что это условие не выполняется.

Ответ. Матрица диагонализуема над при .

Примером гарантировано диагонализуемых над матриц являются вещественные симметричные матрицы. См. ☞ ЗДЕСЬ.

Жорданова нормальная форма

Если матрица оператора оказывается недиагонализуемой над , то к какому простейшему виду ее можно привести ? — Этим видом является, например, ☞ ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА.

Задачи

Источники

[1]. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. М.Наука. 1988.

[2]. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.ГИФМЛ.1960

[3]. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.Мир.1989

[4]. Мишина А.П., Проскуряков И.В. Высшая алгебра. М.Наука. 1965

Линейные операторы

Определение 8. Отображение А линейного пространства R» в линейное пространство R m называется линейным отображением (гомоморфизмом или морфизмом), если для любых элементов х> у е /?» и любого числа а справедливы равенства

Свойство (3.36) называется аддитивностью линейного отображения, а свойство (3.37) — однородностью этого отображения. В таком случае говорят, что задан линейный оператор А , действующий из R n в R m .

Будем говорить, что А(х) является образом элемента х.

Определение 9. Линейное отображение пространства R n в себя (т.е. когда пространства R” и R m совпадают) называется линейным оператором на линейном пространстве R«.

Пусть <с*>— некоторый базис в векторном пространстве R». Тогда разложение произвольного вектора х по этому базису имеет вид:

Применим линейный оператор А к вектору х. В силу свойств линейности (3.36) и (3.37) получаем:

Группируя коэффициенты при базисных векторах ё), получаем:

Пусть вектор у-А <х)имеет в том же базисе <ёА> разложение

Поскольку А(е<) также является вектором из R n , его можно разложить по базису <е*>. Пусть

Подставляя формулы (3.39) в разложение (3.38), получаем:

Тогда в силу единственности разложения вектора в данном базисе получаем путем приравнивания коэффициентов при базисных векторах в разложениях (3.39) и (3.40):

| (/, j — 1, 2, . л), составленная из коэффициентов при хп называется матрицей оператора А в базисе |ёА>. При этом ранг г, матрицы А называется рангом оператора А. Как следует из формул (3.42), связь между вектором х и его образом А(х) можно выразить в матричной форме:

Таким образом, каждому линейному оператору А в некотором базисе пространства R’ соответствует матрица А, по которой можно пересчитывать любой вектор в его образ в этом же базисе. Иными словами, любой линейный оператор можно задать в некотором базисе соответствующей матрицей.

Если матрица А является вырожденной, то оператор А называется вырожденным.

Пример 13. В пространстве R? линейный оператор А задан в базисе ё<, е2, е> матрицей

Для разных базисов матрицы одного и того же оператора будут разными. Связь между ними определяется следующей теоремой.

Теорема 3.7. Пусть линейный оператор А задан матрицами А и А* соответственно в базисах к> и к]. Тогда справедлива формула

где С — матрица перехода от базиса <ек> к базису к>.

Доказательство. Линейным оператором А вектор X пространства R n переводится в вектор Y этого же пространства, т.е. для обоих базисов справедливы равенства

Поскольку С — матрица перехода от базиса <ёА.> к базису <«?>, то согласно п. 3.5.1 имеем:

Умножив первое равенство (3.46) слева на матрицу А, получим АХ = АСХ* или с учетом первого равенства (3.43) Y-АСХ Подставляя сюда второе выражение (3.46) имеем CY* = АСХ 9 . Умножая последнее равенство слева на матрицу С -1 , получаем окончательно формулу

Сравнивая это выражение со вторым соотношением (3.45), получаем доказываемую связь (3.44) между матрицами А и А*. ?

Пример 14. В пространстве R? линейный оператор А задан в базисе е ё2> ег матрицей

Найти матрицу А* оператора А в базисе

Согласно решению примера 12 матрица перехода

1. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах. Равносильность непрерывности и ограниченности линейного оператора. Понятие нормы ограниченного оператора. Различные формулы для вычисления норм. Примеры линейных ограниченных операторов.

Одним из важнейших и наиболее хорошо изученных классов отображений является класс линейных операторов, определенных в линейных пространствах. Среди них находятся многие операторы алгебры и анализа.

Определение 1. Пусть X и Y – линейные нормированные пространства. Отображение А, действующее из X в Y , называется линейным оператором, если выполняются условия:

2) оператор является однородным, т.е. Аlх = lAx, для любого вещественного (комплексного числа) l.

Определение 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным в точке х, если из сходимости xn ® x вытекает сходимость Axn ® Ax. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Х.

Лемма 1. Если линейный оператор А, действующий из Х в Y, непрерывен в точке х, то он непрерывен.

Доказательство. Покажем, что оператор А непрерывен в любой точке y. Пусть уn®y. Тогда yn – y + x ® x. В силу непрерывности в точке х вытекает сходимость А(yn – y + x) ® Ах или (в силу линейности оператора А) Аyn – Ay + Ax ® Ax. Последнее эквивалентно сходимости Аyn ® Ay.

Определение 3. Линейный оператор А, действующий из Х в Y называется ограниченным, если существует такое положительное число Р, что ||Аx|Y|| £ Р||x|X|| для всех хÎХ.

Заметим, что из контекста, как правило, видно в каком пространстве вычисляется норма, и часто мы будем опускать указание этого пространства.

Теорема 1. Ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности.

Доказательство. Пусть оператор А непрерывен, а множество М Ì Х ограниченное. Покажем, что множество А(М) также ограниченное. Ограниченность множества М означает, что существует такое число d, для которого нормы всех точек из М не превосходят d. Пусть напротив множество А(М) не является ограниченным. Это означает, что для любого натурального n существует точка хnÎМ такая, что ||А(хn)|| > n. Рассмотрим точки yn = хn/n. Тогда ||yn|| = ||хn/n|| = ||хn||/n £ d/n ® 0, т.е. yn® 0. Но при этом ||А(yn)|| = ||А(хn/n)|| = ||А(хn)||/n > 1, т.е. неверно, что А(yn) ® 0, что противоречит непрерывности оператора А. Итак, множество А(М) ограничено.

В частности, оператор А переводит единичный шар ||x|| £ 1 пространства Х в ограниченное множество в Y. Пусть для точек из этого шара ||Аx|| £ Р. Рассмотрим произвольный вектор x ? 0 и построим элемент х/||x||. Тогда ||(x/||x||)|| = 1. Отсюда ||Аx||/||x|| = ||(Аx/||x||)|| = ||А(x/||x||)|| £ Р, т.е. ||Аx|| £ Р||x|| при x ? 0. Для нулевого вектора это неравенство очевидно.

Пусть оператор А ограниченный. При любых x, y выполняется неравенство ||Аx — Аy|| = ||А(x — y)|| £ Р||x — y||, откуда из условия xn®x следует, что Аxn ® Аx. Тем самым оператор непрерывный.

Пример 1. Оператор, который каждому вектору пространства X ставит в соответствие нулевой вектор этого пространства, очевидно, является линейным.

Пример 2. Оператор I, ставящий в соответствие каждому вектору х сам вектор х, очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Пример 3. Линейный оператор А, переводящий каждый вектор х в λх (λ – фиксированное число), называется оператором подобия.

Пример 4. Пусть Н – сепарабельное гильбертово пространство и e1, e2,…, en, … – полная ортонормированная система в Н. Фиксируем ограниченную последовательность вещественных чисел λ 1, λ 2,…, λn , и для любого вектора

положим по определению (оператор нормального типа)

Так как , то оператор Ах определен во всем пространстве Н. Легко проверить его аддитивность и однородность, а непрерывность легко следует из неравенства

Каждый базисный вектор en переводится оператором А в себя самого с коэффициентом λn: А en = λn en .

Пример 5. На отрезке [a, b] фиксируем непрерывную функцию α(x). В пространстве С[a,b] определен линейный оператор умножения на α(x): .

Пример 6. Пусть Х = Rn, Y = Rm. Каждому элементу х=<ξ1, ξ2, . , ξn> Rn с помощью матрицы (аij), i=1, 2, . , m; j=1, 2, . , n ставим в соответствие элемент у= 1, 2, . , m> Rm , полагая

Тем самым задан оператор А: у = Ах, определенный на Rn, со значениями в Rm. В этом случае также говорят, что оператор А задается матрицей (аij), i = 1, 2, . , m; j = 1, 2, . , n. Линейность оператора А устанавливалась в курсе линейной алгебры.

Если yk=Axk, y=Ax, то → для всех j = 1, 2, . n и, следовательно,

Но это означает, что, yk = Axk y = Ax и оператор A непрерывен.

Пример 7. Пусть Х = Y = С[а, b]. Для произвольной функции , положим

где K(t, s)– непрерывная в квадрате функция. Равенство (1) определяет оператор у = Ах, действующий в С[а, b], который называют интегральным оператором . Аддитивность и однородность оператора практически очевидны. Например:

Непрерывность его вытекает из того, что сходимость в пространстве С[а, b] есть равномерная сходимость, при которой возможен переход к пределу под знаком интеграла. Поэтому если xn(t)→x(t) , то

Пример 8. Пусть Х = Y = L2[а, b]. Снова рассмотрим интегральный оператор

Но теперь будем предполагать, что функция K(t, s), называемая ядром оператора, интегрируема по Лебегу в квадрате по совокупности обеих переменных:

Покажем, что оператор А действует в пространстве L2[а, b]. Из условий k 2 = и следует, что К(t, s)x(s), как функция от и t и s, интегрируема на . Но тогда в силу теоремы Фубини

есть измеримая и интегрируемая функция, и неравенство Гельдера дает

т. е. что . Предыдущее выражение после извлечения из него квадратного корня можно записать в виде

Линейность оператора А очевидна, а ограниченность и непрерывность легко следует из неравенства (2).

Пример 9. Пусть Х = Y = l2 и (аij), i, j = 1, 2, . – бесконечная матрица такая, что

Рассмотрим оператор А, определяемый следующим формальным равенством: для х =<ξi> положим

Прежде всего линейность оператора А очевидна. Далее, из неравенства Гельдера следует, что ряд абсолютно сходится, так как

т е. частичные суммы ряда ограничены. Далее,

и так как это верно для любого натурального n, то , т.е. .

Если извлечь из неравенства

квадратный корень, то получим . Следовательно, оператор А ограничен.

Лемма 2. Линейный оператор А, действующий из Х в Y, является ограниченным, если он ограничен хотя бы на одном шаре пространства Х.

Доказательство. Так как ограниченность на открытом шаре влечет ограниченность на замкнутом шаре с тем же центром и половинным радиусом, будем сразу считать, что оператор ограничен на замкнутом шаре. Пусть S[y, r] – шар, на котором ограничен оператор А, т.е. ||Ax|| £ C для всех xÎ S[y, r]. Возьмем произвольный элемент z ÎX. Построим по этому элементу новый элемент z = y + rz/||z|| (или z = ||z||(z – y)/r). Непосредственным подсчетом убеждаемся, что z Î S[y, r]. Следовательно, ||Az|| £ C. С другой стороны, ||Az|| = ||z||/r(||A(z – y)||) £ ||z||/r(||Az|| + ||Ay||) £ (2C/r)||z||, что доказывает утверждение.

Важнейшим свойством линейного оператора является его ограниченность на S1 – единичном шаре пространства X. Она влечет в силу леммы 2 ограниченность линейного оператора.

Число К, определяемое равенством (4), называют нормой оператора и обозначают ||А||. В следующем пункте мы покажем, что это действительно норма. Итак, для любого

Очевидно, что К = ||A|| есть наименьшая из констант, удовлетворяющих неравенству из определения ограниченности, потому что если бы это было не так и нашлось число К’

Некоторые линейные операторы (стр. 1 из 9)

§1. Определение линейного оператора. Примеры

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

§4. Оператор умножения на непрерывную функцию

§5. Оператор интегрирования

§6. Оператор дифференцирования


§7. Оператор сдвига

Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа.

Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.

В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.

В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.

В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную функцию: Ах(t) = g(t)x(t).

В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=

В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).

Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки спектра и резольвента всех трех операторов.

В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f / (x), в пространстве дифференцируемых функции D[ a , b ] . Показана его линейность. Доказано, что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности оператора следует его разрывность.

§1. Определение линейного оператора. Примеры

Определение 1. Пусть Ex и Ey [1] – линейные пространства над полем комплексных (или действительных) чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором , если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного (действительного) числа

Каждый электрик должен знать:  Светодиодная лампа светится после выключения причины, устранение

Примеры линейных операторов:

1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор А задан формулой:

Ax = x для всех x

Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является линейным и называется единичным оператором.

2) Рассмотрим D[ a , b ] – пространство дифференцируемых функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[ a , b ] задан формулой:

Оператор Д определен не на всем пространстве C[ a , b ] , а лишь на множестве функций имеющих непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств производной.

3) Рассмотрим пространство С[-

Проверим линейность оператора А:

1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).

Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.

2) A(kf(x)) = kf(x+a) = kA(f(x)).

Верна аксиома однородности.

Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.

Так как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то

§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном

пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора

Определение 2 . Оператор А: Е

Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного оператора.

Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x , если какова бы не была окрестность[3] U точки y = А (x ) можно указать окрестность V точки x такую, что А(V)

Среди всех констант K, удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.

Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k

Понятие линейного оператора. Основные свойства

19.1

19.2 Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

19.3 Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Т2 Ранги эквивалентных систем векторов равны.

20.1 Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.,То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю., То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю.

20.2Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

20.3 1).транспозиция любых ее двух строк или столбцов; 2).умножение любой строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 3). прибавление к любой строке (столбцу) матрицы другой строки (столб-ца), умноженной на число.

21.1 Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А)

21.2 Строки квадратной матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.

Базис. Размерность. Координаты.

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):

Примеры. Базис на плоскости (V2 – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V3 – 3 некомпланарных вектора), в пространстве R n (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n — (1,х,х 2 ,…,х n ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

(В силу т.1 это определение – корректно)

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов.

базис пространства L Рассмотрим (n + 1) произвольных элементов Разложим каждый из них по базису <e> и запишем столбцы полученных коэффициентов разложения в виде матрицы An,n+1. Т.к. rangAn,n+1 ≤ n, то, хотя бы один из столбцов будет линейной комбинацией остальных элементы aţ – линейно зависимы

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Понятие линейного оператора. Основные свойства

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение.Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x1 u x2 пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ( x1 u x2) = λx1+ λx2 (свойство аддитивности оператора);
2°. А (λх) = λАх (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)

Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λА, определяемый равенством

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов.Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ(АВ) = (λА)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ. С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение A n+m = A n A m .
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А -1 .
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А -1 Ах = х.
Таким образом, если А -1 Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x1 и x2 отвечают различные элементы y1 = Ax1 и у2 = Аx2.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x1,x2. xn пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax1,Ax2. Axn элементов этого же пространства.
Итак, пусть x1,x2. xn — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α1Ax1+ α2Ax2. + αnAxn представляет собой нулевой элемент пространства V:

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A(α1x1+ α2x2. + αn xn) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α1x1+ α2x2. + αn xn = 0. Но элементы x1,x2. xn линейно независимы. Поэтому α1 = α2 = . = αn = 0. Следовательно, элементы Ax1,Ax2. Axn также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x1 и x2, x2 — x1 ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax1 = Ах2. Но тогда А(x2 — x1) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x1 — x2 = 0. Но выше было отмечено, что x2 — x1 ≠ 0. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А , обладающий тем свойством, что А -1 у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

где — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

где — -я координата -го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным

Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2.Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x1 и x2 отвечают различные у1 = Ax1 и у2 = Ах2 (если бы y1 = у2, то А(x2 — x1) = 0, т. е. x1 = х2 и элементы x1 и x2 не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3.Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1.Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.

Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V1 пространства V, что V1 будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V1 + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V1 = dim (im A).
Пусть dimV1 = р, dim(im A) = q и y1,y2. yq — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V1 в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V1 такой, что Ах = у. Поэтому в V1 определены элементы x1,x2. xq такие, что Ахk = уk, к = 1, 2. q. Элементы x1,x2. xq линейно независимы, ибо если α1x1 + α2x2+. + αqxq = 0, то A(α1x1 + α2x2+. + αqxq) = α1y1 + α2y2+. + αqyq = 0, а так как элементы y1,y2. yq линейно независимы, то α1 = α2 = . = αq = 0, т. е. и x1,x2. xq линейно независимы. Таким образом, в V1 имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V1).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x1,x2. xq элементы xq+1,xq+2. xp так, что x1,x2. xp образуют базис в V1. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax1,Ax2. Axp , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ12. λp такие, что λ1Ax1 + λ2Ax2 + . + λpAxp = 0. Отсюда следует, что A(λ1x1 + λ2x2 + . + λp xp) = 0. Так как А действует из V1 в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ1x1 + λ2x2 + . + λp xp = 0.
Но x1,x2. xp — базис в V1. Поэтому λ1 = λ2 = . = λp = 0.
Выше указывалось, что не все λ12. λp равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V1 и V2 — два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV1 +dimV2 = dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V1= im A и V2 = ker А.
Доказательство.Пусть dim V1 = p, dim V2 = q. Выберем в пространстве V базис е1, е2. еn так, чтобы элементы е1, е2. еn принадлежали V2. Далее в пространстве V1 выберем некоторый базис g1, g2. gp.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е1, е2. еn пространства V следующим образом:

Далее, если х = x1e1 + x2e2 + . + xpep + xp+1ep+1 + . +xnen,
то Ах = x1g1 + x2g2 + . + xpgp. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А -1 необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.

Доказательство.Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang AB ≥ rang A + rang В — n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1

dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)

Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n — dim (ker AB). (5.6)

Поскольку, согласно теореме 5.1,

dim (ker A) + dim (ker В) = 2n — (rang A + rang В), (5.7)

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

rang AB n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть

dim (ker В) = q. (5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение

dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)

Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выбрать базис x1,x2. xp+q так, что элементы xp+1. xp+q образуют базис в ker В. При таком выборе x1,x2. xp+q элементы Bx1,Bx2. Bxp линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x1,x2. xp, лишь при λk, = 0, к = 1, 2. р). Поэтому элементы Bx1,Bx2. Bxp принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),

rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).
Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.

Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования .

Вместо слов «собственное число» говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если — двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования — это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В примере 19.2 при не кратном преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

Пример 19.7 Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в вектор , симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор , он соответствует собственному числу , и вектор , который соответствует собственному числу . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу . С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте Геометрические приложения поверхностных интегралов

[an error occurred while processing this directive]

Предложение 19.2 Пусть — собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу и пусть — ненулевое число. Тогда — тоже собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу .

Пример 19.8 Пусть — двумерное векторное пространство, — некоторая прямая, проходящая через начало координат, — преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.

Пример 19.9 Пусть — линейное преобразование примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.

Если в пространстве задан базис, то линейному преобразованию соответствует матрица . Пусть — собственный вектор преобразования , соответствующий собственному числу , — координатный столбец вектора . Тогда равенство означает, что .

Определение 19.4 Ненулевая матрица-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Замечание 19.2 Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.

| следующая лекция ==>
Етична думка епохи Відродження | Моральні пророки (Конфуцій, Будда, Мойсей, Ісус Христос, Мухаммед)

Дата добавления: 2020-09-03 ; просмотров: 539 | Нарушение авторских прав

Линейные операторы

Оператором называется правило, по которому каждому элементу x некоторого непустого множества X ставится в соответствие единственный элемент y некоторого непустого множества Y . Говорят, что оператор действует из X в Y .

Действие оператора обозначают y = A ( x ), y — образ x , x — прообраз y .

Если каждый элемнт y из Y имеет единственный прообраз x из X , y = A ( x ), оператор называют взаимно однозначным отображением X в Y или преобразованием X , X — область определения оператора.

Пусть X и Y два линейные пространства. Оператор A , действующий из X в Y , называется линейным оператором , если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо:

A ( u + v ) = A ( u ) + A ( v ) , A (α· u ) = α· A ( u ).

Примеры линейных операторов

3.1

Системой линейных уравнений с неизвестными называются соотношения вида

где — коэффициенты системы, — свободные члены, — неизвестные системы.

Система (3.1) называется однородной, если все свободные члены . Система (3.1) называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов .

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых в уравнения системы вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превращается в тождество. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной, или противоречивой. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Если совместная система имеет более одного решения, то она называется неопределенной. Однородная система всегда совместна, так как имеет, по крайней мере, нулевое решение . Выражение для неизвестных , из которого можно получить любое конкретное решение системы, называют ее общим решением, а любое конкретное решение системы – ее частным решением. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из них является решением другой или обе системы несовместны.

Рассмотрим методы решения систем линейных уравнений.

3.2

Одним из основных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Суть этого метода состоит в сведении системы линейных уравнений к ступенчатому виду. При этом над уравнениями приходится проводить следующие элементарные преобразования:

1. Перестановка уравнений системы.

2. Прибавление к одному уравнению другого уравнения.

3. Умножение обеих частей уравнения на число, отличное от нуля.

4. Прибавление к одному уравнению другого, умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

5. Вычеркивание уравнений вида , т.е. тождеств .

В результате элементарных преобразований система преобразуется в эквивалентную ей систему.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса. Пусть дана система вида (3.1). Предположим, что в этой системе коэффициент . Заметим, что этого всегда можно достигнуть перестановкой уравнений системы. Для исключения неизвестной во всех уравнениях, начиная со второго, умножим первое уравнение системы последовательно на числа и добавим соответственно ко 2-му, 3-му, . — му уравнению системы.

В результате система примет вид:

Продолжая этот процесс дальше, исключим неизвестную из всех уравнений, начиная с третьего. Для этого умножим второе уравнение на числа и добавим к 3-му, . к — му уравнению системы. Следующие шаги метода Гаусса осуществляются аналогично. Если в результате преобразований получится тождественное уравнение, то вычеркнем его из системы. Если на некотором шаге метода Гаусса получается уравнение вида:

тогда рассматриваемая система несовместна и дальнейшее ее решение прекращается. Если же уравнение вида (3.2) не встретится при выполнении элементарных преобразований, то не более чем через — шагов система (3.1) будет преобразована к ступенчатому виду:

где . Если , то говорят, что система свелась к треугольному виду. В этом случае система имеет единственное решение, которое находим, решая систему снизу вверх.

Если , то говорят, что система свелась к трапециидальному виду. В этом случае система является неопределенной. Для нахождения общего решения системы в этом случае выбирают главных и свободных неизвестных. Например, неизвестные принимают за главные, а неизвестные принимают за свободные. Переносим свободные неизвестные в правую часть уравнений и выражаем главные неизвестные через свободные. В результате получаем общее решение системы:

Для получения частного решения системы необходимо будет в (3.4) придать свободным переменным конкретные значения.

Заметим, что так как в методе Гаусса все преобразования выполняются над коэффициентами при неизвестных уравнений и свободными членами, то на практике обычно этот метод применяют к матрице, составленной из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов. Эту матрицу называют расширенной. С помощью элементарных преобразований эту матрицу сводят к ступенчатому виду. После чего по полученной матрице восстанавливают систему и применяют к ней все предыдущие рассуждения.

Пример 1. Решить систему:

Решение. Составляем расширенную матрицу и сводим ее к ступенчатому виду:

*) – первую строку умножили на и добавили ко второй, полученную строку записали на первое место (цель этого преобразования получить единицу в первом столбце); оставили без изменения вторую строку на втором месте (можно было сюда записать первоначальную первую строку) и третью строку на своём месте.

**) – умножили первую строку на и на и добавили ко второй и третьей соответственно.

***) – вторую строку умножили на .

****) – вторую строку умножили на и добавили к третьей.

Матрица свелась к треугольному виду, следовательно, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем систему и решаем её снизу вверх.

Пример 2. Решить систему:

Решение. Составляем расширенную матрицу и сводим её к ступенчатому виду:

Заметим, что выполнялись преобразования те же, что и в примере 1.

Данная система не совместна, так как последняя строка матрицы соответствует уравнению , которое решения не имеет.


Пример 3. Решить систему:

Решение. Составляем расширенную матрицу и сводим ее к ступенчатому виду:

*) — вторую строку умножили на и вычеркнули третью строку.

Матрица свелась к трапецеидальному виду, следовательно, система является неопределенной:

Пусть — свободная неизвестная. Тогда получаем общее решение системы:

Замечание 1. При решении однородной системы линейных уравнений методом Гаусса на практике выписывают основную, а не расширенную матрицу системы. И сводят ее к ступенчатому виду.

Замечание 2. Метод Гаусса применим для любой системы линейных уравнений, в том числе и для системы, у которой число уравнений не равно числу неизвестных.

3.3

Выяснить вопрос о совместности системы и о числе ее решений помогает следующая теорема.

Теорема (Критерий совместности системы линейных уравнений). Система линейных уравнений (3.1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы (матрицы ) равен рангу расширенной матрицы (матрицы ). В противном случае, т.е. если , то система не совместна. Если , где — число неизвестных системы, то система определенная. Если , то система неопределенная.

Применим эту теорему для рассмотренных в п.3.2 примеров.

Для примера 1. и число неизвестных , т.е. система определенная.

Для примера 2. , поэтому система несовместна.

Для примера 3. , число неизвестных , поэтому система является неопределенной.

3.4

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Рассмотрим еще один метод решения систем линейных уравнений – метод Крамера, основанный на следующей теореме.

Теорема (правило Крамера). Если в системе линейных уравнений с неизвестными (система вида (3.5)) определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

гдеопределитель, полученный из определителя заменой -го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Пусть в системе (3.5) определитель . Обозначим – алгебраические дополнения -го столбца определителя . Умножим 1-е уравнение системы на , 2-е – на , …, -е – на и сложим полученные уравнения. В результате получим

Учитывая, что сумма произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения есть определитель системы, а сумма произведений элементов строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю, получаем, что левая часть (3.7) равна .

Несложно заметить, что правая часть (3.7) есть определитель , раскрытый по элементам -го столбца , т.е.

Таким образом, (3.7) можно записать в виде:

Откуда при и получаем формулы (3.6), т.е. формулы Крамера.

Замечание. Методом Крамера можно решать только системы, в которых число уравнений равно числу неизвестных и основной определитель системы отличен от нуля.

Пример 4. Решить систему из примера 1 методом Крамера

Решение. Вычисляем основной определитель системы:

3.5

Квадратная матрица называется обратимой, если существует такая матрица , что выполняется условие:

В этом случае матрица называется обратной к и обозначается , т.е. . Тогда матрицы и , называются взаимно-обратными.

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, в противном случае матрица называется вырожденной.

Справедлива следующая теорема, доказательство которой дает способ вычисления обратной матрицы.

Теорема. Для любой невырожденной квадратной матрицы существует обратная матрица.

Доказательство. Пусть дана матрица . Заменим каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением и транспонируем полученную матрицу, обозначив ее :

Найдем произведение и . Обозначим произведение , где . Тогда по правилу нахождения произведения матриц

Далее воспользуемся следующими свойствами.

1. Определитель матрицы равен сумме парных произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

2. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения другой строки (столбца) определителя равна нулю.

Тогда, если в (3.10) , то , а если , то . Таким образом,

где — единичная матрица.

Тогда получаем формулу для нахождения обратной матрицы:

Отсюда следует алгоритм нахождения обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы ; убеждаемся, что матрица невырожденная.

2. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы и составляем из них матрицу .

3. Транспонируем матрицу , получаем матрицу .

4. Умножаем матрицу на число , т.е. каждый элемент матрицы делим на величину определителя матрицы .

5. Полученная в п.4 матрица и есть обратная для данной матрицы, ее обозначаем .

Пример 5. Найти матрицу, обратную матрице

Решение.

1. (был вычислен ранее).

5. Можно сделать проверку, получив и .

Другой способ нахождения обратной матрицы основан на элементарных преобразованиях. К матрице приписывают единичную матрицу того же порядка. Далее с помощью элементарных преобразований получают слева единичную матрицу. Тогда матрица, которая окажется справа, и будет обратной для данной матрицы.

Пример 6.Для матрицы из примера 5 найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований.

Решение.

т.е. ответ совпал с матрицей полученной в предыдущем примере.

3.6

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (система (3.5)):

Обозначим — матрицу из коэффициентов при неизвестных, — матрицу-столбец из неизвестных, — матрицу-столбец свободных членов, т.е.

Несложно заметить, что тогда система (3.5) может быть записана в виде матричного уравнения

Умножим слева обе части уравнения (3.12) на матрицу, обратную матрице , т.е. на :

Учитывая, что из (3.13) получаем формулу для решения системы в матричной форме :

Пример 7. Решить систему из примеров 1 и 4 в матричной форме:

Решение. Запишем систему в матричной форме:

Обозначим — матрицу из коэффициентов при неизвестных, — матрица из неизвестных, — матрица-столбец свободных членов. Обратная матрица для была найдена в примерах 5 и 6: . Тогда находим решение системы:

Замечание. Матричный метод решения систем линейных уравнений применим только тогда, когда число уравнений системы равно числу неизвестных и матрица является невырожденной (ограничения те же, что и в методе Крамера).

3.7

Как было отмечено выше, однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как, согласно критерию совместности, ранги основной и расширенной матриц совпадают. Это следует из того, что для однородной системы расширенная матрица содержит столбец нулей – столбец свободных членов.

Для того чтобы однородная система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен числу неизвестных, т.е. .

Единственным решением однородной системы будет нулевое решение. Поэтому для существования ненулевых решений должно выполняться условие .

Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то условие существования ненулевых решений состоит в равенстве нулю основного определителя системы, т.е. .

Лекция 4. Линейный оператор и его матрица. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

4.1. Линейные пространства. Понятие n-мерного вектора.

4.2. Размерность и базис линейного пространства. Координаты вектора линейного пространства.

4.3. Определение линейного оператора, примеры.

4.4. Матрица линейного оператора.

4.5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их нахождение.

4.1

Пусть L = – множество элементов произвольной природы и P= – числовое поле. Определим операцию над элементами из L, условно называемую сложением, и операцию элементов из L на элементы из P, условно называемую умножением элементов из L на числа из P. Причём «a,bÎL:a+bÎL и «aÎL»aÎP:aaÎL.

Множество L называется линейным пространством над полем P (обозначается L(P)), если операции сложения элементов из L и умножения элементов из L на числа из P удовлетворяют аксиомам:

1 o . «a,bÎL:a+b=b+a – сложение коммутативно.

2 o . «а,b,cÎL:(a+b)+c = a+(b+c) – сложение ассоциативно.

3 o . $qÎL:»aÎL:a+q=q+a=a – существует нейтральный элемент по сложению.

4 o . «аÎL$(-a)ÎL:a+(-a)=(-a)+a=q – для любого элемента из L существует противоположный элемент по сложению.

5 o . «aÎL^1ÎP:a×1=1×a=a – в поле P существует 1 – нейтральный элемент по умножению.

6 o . «a,bÎP^»aÎL:(ab)a=a(ba) – ассоциативность относительного умножения элемента из L на произведение чисел из P.

7 o . «a,bÎP^»aÎL:(a+b)×a=aa+ba – дистрибутивность умножения элемента из L относительно суммы чисел из P.

8 o . «a,bÎL^»aÎP:a(a+b)=aa+ab – дистрибутивность умножения числа из P относительно суммы элементов из L.

Будем называть элементы из L векторами, поэтому линейное пространство L(P) называют и векторным пространством. Заметим, что рассмотренные ранее пространства V2 и V3 являются линейными. Однако, исходя из введенного определения линейного пространства, понятие вектора можно распространить далее и на не геометрические объекты.

Арифметическим вектором, или n-мерным вектором a будем называть упорядоченную последовательность из n чисел a1,a2,…,an и обозначать a=[a1,a2,…,an], где ai( ) – компоненты вектора. Обозначим множество всех n-мерных векторов Tn и введем над ними операции сложения и умножения вектора на число из P по правилам:

Можно проверить, что множество Tn удовлетворяет аксиомам 1 o — 8 o линейного пространства, и поэтому его называют арифметическим n-мерным пространством.

Можно проверить, что множество Tn всех n-мерных векторов a=[a1,a2,…,an] удовлетворяет аксиомам 1 o — 8 o линейного пространства, и поэтому его называют арифметическим n-мерным пространством.

4.2

Введенные ранее понятия линейно зависимой и линейно независимой систем векторов можно распространить на любую систему векторов, а не только на систему геометрических векторов.

Система векторов a1,a2,…,an линейного пространства L(P) называется линейно зависимой, если их линейная комбинация l1a1+l2a2+…+lnan равна нулю при условии, что не все li равны нулю ( ), и называется линейно независимой, если все li=0 ( ). Можно дать и другое определение. Система векторов a1,a2,…an – линейно зависимая, если один из векторов может быть выражен через другие, и линейно независимая – в противном случае.

Если в линейном пространстве L(P) имеется n линейно независимых векторов, но любые n+1 вектора этого пространства линейно зависимы, то пространство L(P) называют n-мерным, или говорят, что линейное пространство имеет размерность n. Записывают dim L(P)=n.

Таким образом, размерностью линейного пространства называют максимальное число линейно независимых векторов, которые можно выбрать в этом пространстве. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называют бесконечномерным, и пишут dim L(P)=¥.

Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства, через которые можно выразить любой другой вектор этого пространства, называется базисом этого пространства. Таким образом, число векторов базиса показывает, чему равна размерность этого пространства. Каждый вектор линейного пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов базиса. Так, если е12,…,еn – базис линейного пространства, то для любого вектора aÎL(P) разложение a=l1е1+l2е2+…+lnеn единственно. Коэффициенты разложения вектора по векторам базиса линейного пространства называются координатами вектора в данном базисе, т.е. можно записать a=(l1,l2,…,ln)B, где B=<е1, е2,,…,еn>.

Базис линейного пространства может быть выбран неоднозначно, но для данного линейного пространства количество векторов в базисе должно быть постоянно. Таким образом, постоянной существенной характеристикой линейного пространства является его размерность.

4.3

Будем говорить, что в линейном пространстве задано преобразование или оператор , если каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор .

Оператор называется линейным, если для любых двух векторов и из и для любого числа выполняются условия:

1. Образ суммы двух векторов равен сумме образов этих векторов, т. е.

2. Образ произведения вектора на число равен произведению этого числа на образ вектора, т.е.

Условия (4.1) и (4.2) в определении линейного оператора можно заменить одним условием: образ линейной комбинации векторов линейного пространства равен линейной комбинации образов этих векторов, т.е. для любых двух векторов и из и для любых чисел и :

Примеры линейных операторов.

1. Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует любой вектор в самого себя, и обозначается Е. Таким образом,

2. Нуль-оператор – это оператор, переводящий любой вектор в нуль-вектор, и обозначается . Таким образом,

3. Оператор подобия задаётся правилом:

4.4

Пусть в n-мерном линейном пространстве с базисом задан линейный оператор . Образами базисных векторов будут векторы: этого же линейного пространства, поэтому каждый из них можно разложить единственным образом по векторам базиса:

Матрицей линейного оператора в базисе В называется квадратная матрица , составленная из коэффициентов разложения образов базисных векторов по векторам базиса, т.е.

Для приведённых в п. 4.3 примеров матрицы линейных операторов имеют вид:

Отметим тот факт, что матрица линейного оператора зависит от выбора базиса.

Пример 1. Проверить, что заданный в пространстве Т3 оператор является линейным. Найти матрицу этого оператора в базисе , , .

Решение. Проверим условие (4.3):

Следовательно, данный оператор является линейным.

Найдём образы базисных векторов , , :

Разлагаем образы базисных векторов по векторам базиса:

Для определения элементов матрицы линейного оператора получаем системы:

С учетом, что матрица из коэффициентов при неизвестных во всех полученных системах одинаковая, эти системы лучше решать матричным способом.

Запишем системы в матричной форме:

Находим обратную матрицу:

Таким образом, данный оператор в указанном базисе имеет матрицу:

Линейные операторы

Индивидуальные онлайн уроки: Отправьте запрос сейчас: ut2020@protonmail.com
Математика (ЕГЭ, ОГЭ), Английский язык (разговорный, грамматика, TOEFL)
Решение задач: по математике, IT, экономике, психологии Линейный оператор Учебные дисциплины на сайте Bodrenko.org
Портабельные Windows-приложения на сайте Bodrenko.com

Глава 5
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В этой главе исследуются так называемые линейные отображения линейных и евклидовых пространств, т. е. такие отображения, при которых образ суммы элементов равен сумме их образов и образ произведения элемента на число равен произведению этого числа на образ элемента. При этом мы будем рассматривать комплексные линейные и евклидовы пространства. Результаты, относящиеся к вещественным пространствам, будут оговорены специально.

§ 1. Понятие линейного оператора. Основные свойства

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение. Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x1 u x2 пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ ( x1 u x2) = λ x1+ λ x2 (свойство аддитивности оператора);
2°. А ( λ х) = λ Ах (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)

Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λ А, определяемый равенством

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов. Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ (АВ) = ( λ А)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их п оследовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ. С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение A n+m = A n A m .
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А -1 .
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А -1 Ах = х.
Таким образом, если А -1 Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x1 и x2 отвечают различные элементы y1 = Ax1 и у2 = Аx2.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x1,x2. xn пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax1,Ax2. Axn элементов этого же пространства.
Итак, пусть x1,x2. xn — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α1 Ax1 + α2 Ax2. + αn Axn представляет собой нулевой элемент пространства V:

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A( α1 x1 + α2 x2. + αn xn) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α1 x1 + α2 x2. + αn xn = 0. Но элементы x1,x2. xn линейно независимы. Поэтому α1 = α2 = . = αn = 0. Следовательно, элементы Ax1,Ax2. Axn также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x1 и x2, x2 — x1 ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax1 = Ах2. Но тогда А(x2 — x1) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x1 — x2 = 0. Но выше было отмечено, что x2 — x1 ≠ 0 . Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А , обладающий тем свойством, что А -1 у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.
Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2. Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x1 и x2 отвечают различные у1 = Ax1 и у2 = Ах2 (если бы y1 = у2, то А(x2 — x1) = 0, т. е. x1 = х2 и элементы x1 и x2 не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3. Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.

Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V1 пространства V, что V1 будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V1 + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V1 = dim (im A).
Пусть dimV1 = р, dim(im A) = q и y1,y2. yq — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V1 в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V1 такой, что Ах = у. Поэтому в V1 определены элементы x1,x2. xq такие, что Ахk = уk, к = 1, 2. q. Элементы x1,x2. xq линейно независимы, ибо если α1 x1 + α2 x2 + . + α qxq = 0, то A( α1 x1 + α2 x2 + . + α qxq) = α1y 1 + α2y 2 + . + αqy q = 0, а так как элементы y1,y2. yq линейно независимы, то α1 = α2 = . = αq = 0, т. е. и x1,x2. xq линейно независимы. Таким образом, в V1 имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V1).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x1,x2. xq элементы xq+1,xq+2. xp так, что x1,x2. xp образуют базис в V1. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax1,Ax2. Axp , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ12. λp такие, что λ1 Ax1 + λ2 Ax2 + . + λp Axp = 0. Отсюда следует, что A( λ1 x1 + λ2 x2 + . + λp xp) = 0. Так как А действует из V1 в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ1 x1 + λ2 x2 + . + λp xp = 0.
Но x1,x2. xp — базис в V1. Поэтому λ1 = λ2 = . = λp = 0.
Выше указывалось, что не все λ12. λp равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V1 и V2 — два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV1 +dimV2 = dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V1= im A и V2 = ker А.
Доказательство. Пусть dim V1 = p, dim V2 = q. Выберем в пространстве V базис е1, е2. еn так, чтобы элементы е1, е2. еn принадлежали V2. Далее в пространстве V1 выберем некоторый базис g1, g2. gp.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е1, е2. еn пространства V следующим образом:

Далее, если х = x1e1 + x2e2 + . + xpep + xp+1ep+1 + . +xnen,
то Ах = x1g1 + x2g2 + . + xpgp. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А -1 необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.

Доказательство. Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang AB rang A + rang В — n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1

dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)

Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n — dim (ker AB). (5.6)

Поскольку, согласно теореме 5.1,

dim (ker A) + dim (ker В) = 2n — (rang A + rang В), (5.7)

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

rang AB n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть

dim (ker В) = q. (5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение

dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)

Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выб р ать базис x1,x2. xp+q так, что элементы xp+1. xp+q образуют базис в ker В. При таком выборе x1,x2. xp+q элементы Bx1,Bx2. Bxp линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x1,x2. xp, лишь при λk , = 0, к = 1, 2. р). Поэтому элементы Bx1,Bx2. Bxp принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),

rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).

Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.

Каждый электрик должен знать:  Регулирование постоянного и переменного напряжения и тока
Добавить комментарий