Метод двух узлов как частный случай метода узловых потенциалов


СОДЕРЖАНИЕ:

Лекция 2. Принцип наложения. Метод контурных токов. Метод узловых потенциалов. Метод двух узлов

Метод наложения — применяется для расчета электрических цепей, имеющих несколько э. д. с. Сущность метода наложения состоит в том, что ток в какой-либо части цепи можно считать состоящим из ряда частичных токов, создаваемых отдельными э. д. с, действующими независимо друг от друга. Метод наложения используется как для расчёта цепей постоянного тока, так и для расчёта цепей переменного тока.

При отключённом генераторе 2 ток I1‘ найдём по формуле:

При отключённом источнике 1, ток I2» будет

Тогда ток I1 при обоих включённых источниках будет равен сумме токов I1‘ и I1»:

В задаче за положительные направления токов I1‘ и I1» приняты направления, совпадающие с направлением, показанным на рисунке для тока I1. То же самое для тока I2»

Метод узловых потенциалов — метод расчета электрических цепей путем записи системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются потенциалы в узлах цепи. В результате применения метода определяются потенциалы во всех узлах цепи, а также, при необходимости, токи во всех ветвях.

Методика:

1. Записывают уравнения для токов в ветвях схемы по обобщенному закону Ома.

2. Записывают для всех узлов, кроме одного, уравнения по 1 закону Кирхгофа.

3. В уравнения 1-ого закона Кирхгофа подставляют токи из уравнений обобщенного закона Ома, раскрывают скобки и проводят подобие относительно потенциалов узлов.

Переход к эквивалентной схеме

Метод узловых потенциалов применяется к эквивалентной схеме. Если изначально дана реальная схема, то для нее необходимо составить эквивалентную схему и дальнейший расчет производить с ней. Таким образом, схема, к которой применяется метод узловых потенциалов, не содержит никаких реальных элементов (транзисторов, диодов, ламп, гальванических элементов, пассивных элементов с паразитными параметрами и т.д.).

Составление системы уравнений

Перед началом расчёта выбирается один из узлов, потенциал которого считается равным нулю. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений.

Слева от знака равенства записывается потенциал заданного узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему, минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.

Справа от знака равенства записывается сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу, если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», если же он направлен от узла — то со знаком «−». Если это источник ЭДС, то он записывается как значение ЭДС, умноженное на проводимость ветвей, соединяющей их с данным узлом.

Метод применяется не к реальной схеме, а к её эквивалентной схеме, поэтому имеют силу те же ограничения, что и для применимости эквивалентных схем.

Метод контурных токов — метод сокращения размерности системы уравнений, описывающей электрическую цепь.

Построение системы уравнений

Для построения системы уравнений необходимо выделить в цепи PУ + 1 независимых контуров. По каждому из этих контуров будет составлено одно уравнение по 2-му закону Кирхгофа. В каждом контуре необходимо выбрать направление обхода (например, по часовой стрелке).

Ток во всех рёбрах схемы необходимо представить как сумму (с учётом знаков) контурных токов, которые протекают по этим рёбрам.

При наличии в цепи источников тока, их предварительно преобразовывают в источники напряжения.

Правило построения уравнения таково. Обходя контур в соответствии с выбранным направлением, записываем в левую часть уравнений сумму (с учётом знаков) токов в рёбрах, умноженных на сопротивление ребра. В правой части уравнения записываем все источники ЭДС, имеющиеся в контуре (со знаком «плюс», если направление обхода контура совпадает с направлением ЭДС, и наоборот).

Составив уравнения для всех независимых контуров, получаем совместную систему PУ + 1 уравнений относительно PУ + 1 неизвестных контурных токов.

Метод двух узлов — метод расчета электрических цепей, в котором за искомое (с его помощью определяют затем и токи ветвей) принимают напряжение между двумя узлами схемы. Часто встречаются схемы, содержащие всего два узла. Наиболее рациональным методом расчета токов в них является метод двух узлов.

Формула для расчета напряжения между двумя узлами:

Метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла.

Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов.

Примем для схемы ᵠ4 = 0.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

Где — проводимость первой ветви.

Где — проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

где g11 = g1 + g2 — собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.
g12 = g2 — общая проводимость между узлами 1 и 2.
Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

— сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.
Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус».
По аналогии запишем для узла 2:

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы φ 1, φ2, φ3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи.
Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов — (n — 1).

Замечание.

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

Метод двух узлов

Схема на рис. 4.4 имеет два узла.

Потенциал точки 2 примем
равным нулю φ 2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

где , , — проводимости ветвей.

В знаменателе формулы — сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе — алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком «плюс», если она направлена к узлу 1, и со знаком «минус», если направлена от узла 1.
После вычисления величины потенциала φ 1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

Метод контурных токов, метод узловых потенциалов

Ранее рассматривались простейшие одноконтурные (двухконтурные) электрические цепи и схемы с двумя узлами. Были описаны способы преобразования схем, с помощью которых в ряде случаев удаётся упростить расчёт разветвлённой электрической цепи.

В случае, когда электрическая схема достаточно сложна и не приводится к схеме одноконтурной цепи, пользуются более общими методами расчёта. Описанные ниже методы применимы для цепей постоянного и переменного тока.

Метод контурных токов позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не меняющими проводимость (они могут содержать источники тока), то число уравнений К, составляемых по методу контурных токов уменьшается на NT.

Метод основывается на том свойстве, что ток в любой ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической суммы независимых контурных токов, протекающих в этой ветви.

При пользовании методом сначала выбирают и обозначают независимые контурные токи (по любой ветви должен протекать хотя бы один выбранный ток).

Пусть электрическая цепь содержит n контуров (независимых). Согласно II закону Кирхгофа получаем следующую систему из n линейных уравнений:

При этом следует считать

где D1 D2 Dn — дополнение

D — определитель системы.

Расчёт установившегося режима в цепи переменного тока комплексным методом выполняется в следующей последовательности:

Составляется электрическая схема, на которой все источники и пассивные элементы представляются комплексными величинами соответственно напряжений, токов, сопротивлений (проводимостей).

Выбирается условно положительное направление для комплексных значений напряжений, ЭДС и токов.

Согласно уравнениям электрических цепей (Ома, Кирхгофа) в комплексной форме составляются алгебраические уравнения для рассчитываемой цепи.

Уравнения цепи разрешаются относительно искомых переменных (токов, напряжений) в их комплексной форме.

Метод узловых потенциалов

Метод позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа

Сущность метода заключается в том, что сначала определяются потенциалы всех узлов схемы, а токи ветвей, соединяющих узлы, определяются с помощью законов Ома.

При составлении уравнений по МУП сначала полагают равным нулю потенциал какого-либо узла, для оставшихся

Если в цепи некоторые узлы соединяются ветвями, не имеющими сопротивлений (они могут содержать источники напряжений), то число KI уравнений, составленных по МУП, уменьшается на Nн (число ветвей с нулевыми сопротивлениями).

Прежде, чем перейти к изложению самого метода, напомним, что в случае, когда между двумя узлами имеются несколько параллельных ветвей с источниками ЭДС (или без них), их можно привести к одной эквивалентной схеме.

Это представление эквивалентной схемой параллельных ветвей с источниками ЭДС даёт нам право без ограничения общности считать, что между любой парой узлов включена только одна ветвь.


Дальше будем предполагать, что

В качестве примера составим уравнение по методу узловых напряжений для цепи, изображённой на рис. 3.

и параметры всех элементов.

Расчёт цепи производим комплексным методом:

Для узлов 1, 2, 3 имеем уравнения:

Y11=Y12+Y10+Y13; Y22=Y20+Y12+Y23; Y33=Y30+Y13+Y23

Решив систему из 3-х уравнений относительно узловых напряжений, находим напряжения на ветвях и токи в них. Метод узловых напряжений применим к независимым контурам.

Положительное направление всех узловых напряжений принято считать к опорному узлу.

Первое уравнение Кирхгофа для некоторого узла К можно записать:

Значения Z1; Z2; Z3; E1 и E2 у нас были определены ранее (см. 1-ый способ решения).

Метод узловых потенциалов

Искомыми величинами в методе узловых потенциалов (МУП) являются потенциалы узлов схемы. При этом потенциал одного из узлов принимается равным нулю, а значения потенциалов остальных узлов находятся относительно выбранного нулевого. Определив каждый из искомых узловых потенциалов, нетрудно найти напряжения между любыми парами узлов и токи в ветвях цепи.

При расчете цепей с помощью МУП, используют уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа для узлов, потенциалы которых необходимо рассчитать.

Составим уравнения для определения узловых потенциалов схемы рис. 1.13, приняв четвертый узел за опорный, то есть φ4=0. Для чего составим уравнения по первому закону Кирхгофа для остальных узлов:

Выразим токи всех ветвей через потенциалы узлов схемы с помощью закона Ома:

Подставим значения токов в уравнения, составленные по закону Кирхгофа, и после преобразования получим:

Полученную систему уравнений для определения узловых потенциалов можно записать в общем виде:

где – сумма проводимостей ветвей подходящих к первому узлу;

– сумма проводимостей ветвей подходящих ко второму узлу;

– сумма проводимостей ветвей, подходящих к третьему узлу;

– сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между первым и вторым узлами;

– сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между первым и третьим узлами;

– сумма проводимостей ветвей, включенных непосредственно между вторым и третьим узлами; причем, все диагональные коэффициенты в этой системе уравнений имеют положительный знак, а все недиагональные — отрицательный;

– алгебраическая сумма условных узловых токов, создаваемых ЭДС ветвей, подходящих к k-тому узлу; в том случае если ЭДС направлена к узлу, то создаваемый ею узловой ток входит в сумму с положительным знаком, если же от узла, то с отрицательным:

Определив по полученной системе уравнений потенциалы узлов схемы, по закону Ома определяют токи ветвей.

Метод двух узлов

В том случае, если схема (рис. 1.14) имеет только два узла, удобно применять метод двух узлов, который является частным случаем метода узловых потенциалов.

Примем потенциал второго узла равным нулю . И определим потенциал первого узла. Согласно МУП необходимо составить одно уравнение:

Откуда потенциал первого узла и напряжение на зажимах параллельных ветвей можно определить:

или в общем виде:

где – алгебраическая сумма условных узловых токов, создаваемых ЭДС, подходящих к узлу k;

– сумма проводимостей ветвей, подходящих к этому узлу.

Метод наложения

Метод наложения, вытекающий из принципа наложения (суперпозиции), справедлив для линейной цепи любой сложности, содержащей несколько источников электрической энергии.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-той ветви сложной линейной электрической цепи, содержащей несколько источников электрической энергии, равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых каждым источником энергии в отдельности.

Рассчитаем токи в электрической цепи, схема которой приведена на рис. 1.15 методом наложения. Расчет выполняется в следующей последовательности.

Каждый электрик должен знать:  Выключение света одним выключателем сразу в нескольких комнатах

Определим частичные токи от действия первого источника ЭДС Е1.

Для этого составим схему (рис. 1.16, а), содержащую только источник ЭДС Е1, а источник ЭДС Е2 из схемы исключим. При этом зажимы источника ЭДС Е2 закорачиваются, а его внутреннее сопротивление RВ2 остается в схеме.

Необходимо заметить, что в схеме с одним источником электрической энергии мы можем сразу правильно показать положительные направления токов во всех ветвях схемы.

Токи в цепи, содержащей один источник ЭДС удобнее всего определять методом эквивалентных преобразований.

Путем постепенного упрощения схемы найдем ее эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС, что позволит определить ток I1‘в неразветвленной части схемы.

Сопротивления второй и третьей ветвей соединены параллельно, поэтому их эквивалентное сопротивление, найденное относительно зажимов 1-2, может быть записано:

Сопротивление первой ветви и найденное сопротивление R23´ соединены последовательно, поэтому эквивалентное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС Е1 находится как:

Ток в неразветвленной части схемы определяем по закону Ома:

Напряжение между точками 1-2:

Тогда по закону Ома можно определить ток и с помощью первого закона Кирхгофа ток .

Определим частичные токи от действия второго источника ЭДС Е2.

Расчет этих токов выполняется аналогично расчету токов от действия первого источника. При этом рассматривается схема (рис. 1.16, б), в которой действует только источник Е2, зажимы источника ЭДС Е1 закорачиваются, но его внутреннее сопротивление RB1 остается в схеме.

Входное сопротивление для определения частичных токов от действия второго источника ЭДС находится относительно зажимов 5-6 этого источника.

Сопротивления первой и третьей ветвей относительно зажимов 1-2 соединены в рассматриваемой схеме параллельно:

Входное сопротивление относительно зажимов источника ЭДС находим, как последовательное соединение сопротивления второй ветви и сопротивления R12«:

Ток в неразветвленной части цепи:

Напряжение между точками 1 и 2:

Тогда можно определить токи: и

Определим действительные токи в ветвях схемы путем алгебраического суммирования частичных токов. Причем, частичные токи, направление которых совпадает с выбранным ранее положительным направлением действительных токов, берем в этой сумме со знаком «плюс», а те которые не совпадают со знаком «минус»:

Дата добавления: 2020-05-25 ; просмотров: 946 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Теория электрических цепей Курс лекций и задач

Этот метод является частным случаем метода узловых потенциалов.

Рис.3.2. Разветвленная цепь с двумя узлами

Для вывода метода выполним следующие рассуждения. Пусть, к примеру, j 1 > j 2, тогда U12 убывает от узла 1 к узлу 2.

Для произвольно выбранных направлений токов имеем

Проверка правильности полученных результатов осуществляется по первому закону Кирхгофа.

Выбрать главные сечения и составить матрицу главных сечений [Д].

Записать с помощью матриц [А] и [Д] две системы уравнений по первому закону Кирхгофа (для узлов и сечений).

Выбрать главные контуры и составить матрицу контуров [В].

Записать с помощью матрицы [В] систему уравнений по второму закону Кирхгофа.

Записать для каждой ветви компонентное уравнение ветви (используя обобщенный закон Ома).

С учетом компонентных уравнений записать систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа и определить напряжения и токи в ветвях.

Составить систему узловых уравнений, определить потенциалы, напряжения на ветвях и токи в ветвях.


Составить систему контурных уравнений, определить токи в ветвях.

Внимание! Уравнения составлять без эквивалентного преобразования электрической схемы.

Определить ток одной из ветвей, не содержащей источника ЭДС с нулевым сопротивлением ветви и идеального источника тока (в нашем варианте для третьей ветви ).

Проверить соблюдение баланса мощности в электрической цепи. Определить расход энергии за t = 10 секунд.

Для любого контура с двумя источниками ЭДС построить потенциальную диаграмму.

Перед началом расчета необходимо ознакомится с Приложением 1 и Приложением 2.

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

При расчете электрической цепи методом узловых потенциалов определяются потенциалы узлов цепи, а затем по закону Ома токи в ее ветвях. Метод целесообразно применять в тех случаях, когда число узлов цели меньше или равно числу независимых контуров этой цепи.
Так, для электрической цепи, имеющей четыре узла, составляется три расчетных уравнения (например, для узлов 1, 2 к 3 потенциал узла 4 принимается равным нулю):

где φk — искомый потенциал K-го узла цепи (K = 1,2, 3)
Gkk- (G11, например) собственная (узловая) проводимость k-го узла, равная сумме проводимостей всех ветвей, присоединенных к этому узлу;
Gkm -(G12, например) взаимная (межузловая) проводимость узлов k и m, равная суше проводимостей ветвей, включенных непосредственно между этими узлами;
Jyk (Jy1, например) — узловой ток к-го узла, определяемый из выражения

Под знаком первой суммы произведения ЭДС ветвей, присоединенных к К-му узлу, на проводимости этих ветвей учитывается ЭДС с положительным (отрицательным) знаком, если она направлена к К-му узлу (от К-го узла). Под знаком второй суммы со знаком «+» («-«> учитываются токи источников тока, которые направлены к К-му узлу (от К-го узла).
Если в цепи между двумя узлами включен идеальный источник ЭДС (внутреннее сопротивление которого равно нулю), необходимо принимать равным нулю потенциал одного из его зажимов, тогда потенциал другого зажима источника будет равен ЭДС с
соответствующим знаком, а количество расчетных уравнений сократится.
Последовательность расчета цепи методом узловых, потенциалов рас-
смотрим на примере. Параметры цепи считаются заданными.

ПРИМЕР 1: Определить токи в ветвях цепи (рис. 1) методом
узловых потенциалов. Положительные направления токов принять по рисунку

E1=100В R1=10 Ом
E6=200В R2=20 Ом
I=5А R3 =5 Ом R4=25 Ом R5=40 Ом

1. В заданной цепи четыре узла. Приравняем нулю (заземлим) потенциал узла 4.Тогда ф4=0

2. Составим расчетную систему уравнений для узлов, потенциалы которых подлежат определению:

Для узлов 2 и 4 уравнения не составляются, так как потенциалы этих узлов известны.
3. Определим узловые и межузловые проводимости:

Взаимная проводимость между узлами 2 и 3 равна нулю, так как эти узлы непосредственно не связаны между собой какими-либо ветвями» т.е. G23=G32=0. Проводимость ветви с источником тока J также равна нулю, так как его внутреннее сопротивление бесконечно велико. Если в какой-либо ветви последовательно включено несколько резисторов, вначале определяется общее сопротивление этой ветви, а затем ее проводимость.
Определим узловые токи:

4. Подставим полученные значения узловых и межузловых проводимостей, а также узловых токов в расчетную систему уравнений. Решая ее, определим искомые потенциалы узлов цепи:

Решить систему уравнений можно методом определителей или с помощью микрокалькулятора по соответствующей программе, однако, если система содержит два уравнения, ее целесообразно решать домножением на общие множители:

*Запись выше несколько непонятна. Она означает домножение левой и правой частей уравнения на множители. Вообще необходимо любым способом решить систему уравнений: например, подстановкой.

Для проверки расчета целесообразно полученные значения потенциалов, вычисленные с точностью до 3-4 значащей цифры, подставить в исходную систему уравнений, которые при этом, очевидно, должны обратиться в тождества.
5. Используя закон Ома, определим токи в ветвях цепи.
Направления токов в ветвях выбраны произвольно и указаны на схеме (рис. I).
Составим выражение для разности потенциалов (напряжения) между узлами 3 и 1:

т.е. в дальнейшем при выбранном направлении тока в ветви его величина определяется следующим образом: в числителе выражения от потенциала узла, из которого ток вытекает, вычитается потенциал узла, к которому ток подтекает.
Если в ветви есть ЭДС, она учитывается со знаком «+» («-«), когда ее направление совпадает (противоположно) с направлением тока, В знаменателе выражения для тока находится суммарное сопротивление ветви. Аналогично определяются токи остальных ветвей:

Значения токов I1 , I2, и I4 получились со знаком «-». Это свидетельствует о том, что их направления в ветвях противоположны выбранным. Токи I3 и I4 равны между собой в силу принципа непрерывности электрического тока.
Ток в ветви с идеальной ЭДС Е6 определяется из уравнения, составленного по первому закону Кирхгофа. Например, для узла 2

6. Проверка расчета цепи выполняется по законам Кирхгофа
и уравнению энергетического баланса (балансу мощностей),
по первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю. Проверяем выполнение этого закона для всех узлов цепи (кроме узла 2: из уравнения для этого узла определялся ток I6:

По второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС в любом замкнутом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах этого контура. Проверяем выполнение этого закона дня всех независимых контуров заданной цепи;
Для контура с элементами Е1, R1 и R2

для контура с элементами R2, R3, R4 и R5

для контура с элементами E1, R3, E6, R4 и R1

Дня любой электрической цепи мощность, потребляемая резисторами этой цепи, должна равняться мощности источников энергии. Уравнение энергетического баланса ( баланс мощностей) в общем виде записывается следующим образом:

В левой части уравнения учтена мощность источников энергии. Мощность источников ЭДС учитывается с положительным (отрицательным) знаком, если ток, протекающий через источник ЭДС, совпадает ( противоположен) с направлением ЭДС.
Для определения знака мощности источника тока необходимо определить напряжение на источнике. Если ток источника вытекает из точки с меньшим потенциалом и подтекает к точке с большим потенциалом, мощность источника будет положительной (источник генерирует энергию). Если ток источника вытекает из точки более высокого потенциала по сравнению с потенциалом точки, куда ток втекает, мощность источника будет отрицательной, а режим его работы соответствует потреблению энергии.
В правой части уравнения энергетического баланса записывается арифметическая сумма мощностей, потребляемых резисторами цепи и определяемых по закону Джоуля-Ленца. По своему физическому смыслу эти мощности могут быть только положительными.
Для заданной электрической цепи (рис. I) уравнение энергетического баланса имеет вид

Расчет считается выполненным правильно, если расхождение между левой и правой частями уравнения электрического баланса не превышает 1. 2%. Следует помнить, что при выполнении проверки расчета по законам Кирхгофа и балансу мощностей уравнения составляются по выбранным. В начале расчета положительным направлениям токов в ветвях заданной цепи, а числовые значения токов в уравнения подставляются со знаками, полученными в расчете.

Метод двух узлов как частный случай метода узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов

Метод Узловых Потенциалов заключается в расчете неизвестных напряжений на узлах схемы при помощи системы уравнений Первого Закона Кирхгофа. Этот метод выглядит немного странным, поскольку он предполагает замену источников напряжения эквивалентными источниками тока. Кроме того, значения сопротивлений резисторов в Омах заменяются на эквивалентные проводимости в Сименсах: G = 1/R.

Изучение данного метода мы начнем со схемы, имеющей традиционные источники напряжения. В качестве точки отсчета выберем общий узел U. Узловые напряжения U1 и U2 будут рассчитываться по отношению к этой точке.

Источники напряжения, включенные последовательно с сопротивлениями, нужно заменить на эквивалентные источники тока, включив их параллельно данным сопротивлениям. После этого можно сформировать уравнения Первого Закона Кирхгофа для каждого из узлов. Правые части уравнений будут содержать значения источников тока, питающих соответствующие узлы.

После замены источников напряжения на эквивалентные источники тока, и замены сопротивлений резисторов в Омах на проводимости в Сименсах, наша схема немного изменится и примет следующий вид:

Параллельные проводимости (резисторы) можно объединить путем сложения их величин. Перерисовывать схему ради этого действия мы не будем, и можно считать, что она готова к анализу.

Теперь можно написать два уравнения Первого Закона Кирхгофа с точки зрения неизвестных напряжений U1 и U2. Для наглядности мы продемонстрируем первоначальные уравнения, и их упрощенный вид:

Сумма проводимостей, связанных с первым узлом схемы, будет положительным коэффициентом первого напряжения в уравнении 1. Сумма проводимостей, связанных со вторым узлом схемы, будет положительным коэффициентом второго напряжения в уравнении 2. Остальные коэффициенты будут иметь отрицательный знак, так как они представляют проводимости, расположенные между узлами. Правые части обоих уравнений представляют собой значения источников тока, подключенных к соответствующим узлам. Этот образец можно использовать для быстрого формирования уравнений в других схемах. Ниже приведен набор правил Метода Узловых Потенциалов:

Правила Метода Узловых Потенциалов:

  • Замените источники напряжения, включенные последовательно с сопротивлениями, на эквивалентные источники тока, включенные параллельно сопротивлениям.
  • Замените сопротивления резисторов на проводимости.
  • Выберите опорный узел (U).
  • Назначьте неизвестные напряжения (U1), (U2). (UN) оставшимся узлам.
  • Сформируйте уравнения Первого Закона Кирхгофа для каждого из узлов. Сумма проводимостей, связанных с первым узлом схемы, будет положительным коэффициентом первого напряжения в уравнении 1. Сумма проводимостей, связанных со вторым узлом схемы, будет положительным коэффициентом второго напряжения в уравнении 2, и так далее, в зависимости от количества узлов. В результате у вас должна получиться диагональ положительных значений.
  • Все остальные коэффициенты уравнений будут иметь отрицательный знак, так как они представляют проводимости, расположенные между узлами.
  • Правые части уравнений представляют собой значения источников тока, подключенных к соответствующим узлам.
  • Решите систему уравнений, чтобы найти неизвестные напряжения.

Задание: Сформируйте уравнения и найдите узловые напряжения для вышеприведенной схемы.

Решение:

Решение системы из двух уравнений может быть выполнено при помощи калькулятора или программы Octave (в данной статье мы его показывать не будем). Проверить полученные значения можно программой PSPICE, на основе оригинальной схемы с источниками напряжения:

Давайте рассмотрим еще один пример, за основу которого взята мостовая схема, имеющая три узла. Менять сопротивления резисторов на проводимости мы не будем, однако вы помните, что G = 1/R:

Для анализа данной схемы Методом Узловых Потенциалов нам необходимо сформировать систему из трех уравнений (по количеству узлов). Коэффициент U1 уравнения 1, коэффициент U2 уравнения 2 и коэффициент U3 уравнения 3 должны иметь положительные знаки (коэффициентами, как вы помните, являются суммы проводимостей, связанные с соответствующими узлами). Все остальные коэффициенты должны иметь отрицательные знаки, так как они представляют проводимости, расположенные между узлами. Правая часть первого уравнения должна представлять собой значение связанного с узлом 1 источника тока — 0,136092 А. Правые части остальных уравнений будут иметь нулевые значения, так как источники тока в них отсутствуют. Исходя из вышесказанного, давайте запишем уравнения для нашей мостовой схемы:

Каждый электрик должен знать:  Проведение измерений с помощью осциллографа

Поскольку нам лень переводить сопротивления в проводимости, данную работу мы предоставим программе Octave. Запись матрицы «А» при этом немного изменится по сравнению с записями аналогичной матрицы, рассмотренными в предыдущей статье: элементы строк теперь разделяются пробелами, а столбцы — переводом строки:

Заметьте, что диагональ матрицы «А» представляют положительные значения. Все остальные значения — отрицательны.

Итак, мы нашли значения узловых напряжений: U1 = 24 В, U2 = 17,655 В и U3 = 19,31 В. Сравнив эти значения со значениями, полученными при анализе аналогичной схемы Методом Контурных Токов, мы можем увидеть, что они одинаковы (U1 = U источника, U2 = UR4, U3 = UR5). Это не совпадение, поскольку величина 0,13609 А источника тока была специально подобрана под напряжение 24 В источника напряжения.

Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

На рис. 4.1 изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи.
В схеме имеются четыре узла, можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа.

Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения:

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Система уравнений (4.1) является зависимой.
Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n — 1.
Для схемы на рис. 4.1 число независимых уравнений равно трем.

Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры .
Выберем три независимых контура и укажем направления обхода контуров. Запишем три уравнения по второму закону Кирхгофа.

Решив совместно системы уравнений (4.2) и (4.3), определим токи в схеме.
Ток в ветви может иметь отрицательное значение. Это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному нами.

Метод контурных токов

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа громоздок. Имеется возможность уменьшить количество совместно решаемых уравнений системы. Число уравнений, составленных по методу контурных токов, равно количеству уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа.
Метод контурных токов заключается в том, что вместо токов в ветвях определяются, на основании второго закона Кирхгофа, так называемые контурные токи, замыкающиеся в контурах.
На рис. 4.2 в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I11 и I22 — контурные токи.

Рис. 4.2
Токи в сопротивлениях R1 и R2 равны соответствующим контурным токам. Ток в сопротивлении R3, являющийся общим для обоих контуров, равен разности контурных токов I11 и I22, так как эти токи направлены в ветви с R3 встречно.

Порядок расчета

Выбираются независимые контуры, и задаются произвольные направления контурных токов.
В нашем случае эти токи направлены по часовой стрелке. Направление обхода контура совпадает с направлением контурных токов. Уравнения для этих контуров имеют следующий вид:

Перегруппируем слагаемые в уравнениях

Суммарное сопротивление данного контура называется собственным сопротивлением контура .
Собственные сопротивления контуров схемы

Сопротивление R3, принадлежащее одновременно двум контурам, называется общим сопротивлением этих контуров.

где R12 — общее сопротивление между первым и вторым контурами;
R21 — общее сопротивление между вторым и первым контурами.
E11 = E1 и E22 = E2 — контурные ЭДС.
В общем виде уравнения (4.4) и (4.5) записываются следующим образом:

Собственные сопротивления всегда имеют знак «плюс».
Общее сопротивление имеет знак «минус», если в данном сопротивлении контурные токи направлены встречно друг другу, и знак «плюс», если контурные токи в общем сопротивлении совпадают по направлению.
Решая уравнения (4.4) и (4.5) совместно, определим контурные токи I11 и I22, затем от контурных токов переходим к токам в ветвях.
Ветви схемы, по которым протекает один контурный ток, называются внешними, а ветви, по которым протекают несколько контурных токов, называются общими. Ток во внешней ветви совпадает по величине и по направлению c контурным. Ток в общей ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих в этой ветви.
В схеме на Рис. 4.2.

Рекомендации

Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы их внутренняя область не пересекалась ни с одной ветвью, принадлежащей другим контурам.
Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против).
Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным.
Если в схеме имеется ветвь с известным контурным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

Метод узловых потенциалов


Метод узловых потенциалов позволяет составить систему уравнений, по которой можно определить потенциалы всех узлов схемы. По известным разностям узловых потенциалов можно определить токи во всех ветвях. В схеме на рисунке 4.3 имеется четыре узла. Потенциал любой точки схемы можно принять равным нулю. Тогда у нас останутся неизвестными три потенциала. Узел, величину потенциала которого выбирают произвольно, называют базисным. Укажем в схеме произвольно направления токов. Примем для схемы φ 4 = 0.

Запишем уравнение по первому закону Кирхгофа для узла 1.

В соответствии с законами Ома для активной и пассивной ветви

где — проводимость первой ветви.

где — проводимость второй ветви.

Подставим выражения токов в уравнение (4.6).

где g11 = g1 + g2 — собственная проводимость узла 1.

Собственной проводимостью узла называется сумма проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле.
g12 = g2 — общая проводимость между узлами 1 и 2.
Общей проводимостью называют проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2.

— сумма токов источников, находящихся в ветвях, сходящихся в узле 1.
Если ток источника направлен к узлу, величина его записывается в правую часть уравнения со знаком «плюс», если от узла — со знаком «минус».
По аналогии запишем для узла 2:

Решив совместно уравнения (4.7), (4.8), (4.9), определим неизвестные потенциалы ?1, ?2, ?3, а затем по закону Ома для активной или пассивной ветви найдем токи.
Если число узлов схемы — n, количество уравнений по методу узловых потенциалов — (n — 1).

Замечание

Если в какой-либо ветви содержится идеальный источник ЭДС, необходимо один из двух узлов, между которыми включена эта ветвь, выбрать в качестве базисного, тогда потенциал другого узла окажется известным и равным величине ЭДС. Количество составляемых узловых уравнений становится на одно меньше.

Метод двух узлов

Схема на рис. 4.4 имеет два узла. Потенциал точки 2 примем
равным нулю φ 2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.

где , , — проводимости ветвей.

В знаменателе формулы — сумма проводимостей параллельно включенных ветвей. В числителе — алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком «плюс», если она направлена к узлу 1, и со знаком «минус», если направлена от узла 1.
После вычисления величины потенциала ?1 находим токи в ветвях, используя закон Ома для активной и пассивной ветви.

Метод эквивалентного генератора

Этот метод используется тогда, когда надо определить ток только в одной ветви сложной схемы.
Чтобы разобраться с методом эквивалентного генератора, ознакомимся сначала с понятием «двухполюсник».
Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными . На рис. 4.5 показано условное обозначение активного двухполюсника.
Двухполюсники, не содержащие источников, называются пассивными . На эквивалентной схеме пассивный двухполюсник может быть заменен одним элементом — внутренним или входным сопротивлением пассивного двухполюсника Rвх. На рис. 4.6 условно изображен пассивный двухполюсник и его эквивалентная схема.

Входное сопротивление пассивного двухполюсника можно измерить.
Если известна схема пассивного двухполюсника, входное сопротивление его можно определить, свернув схему относительно заданных зажимов.
Дана электрическая цепь. Необходимо определить ток I1 в ветви с сопротивлением R1 в этой цепи. Выделим эту ветвь, а оставшуюся часть схемы заменим активным двухполюсником (рис. 4.7).
Согласно теореме об активном двухполюснике, любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором (источником напряжения) с ЭДС, равным напряжению холостого хода на зажимах этого двухполюсника и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению того же двухполюсника, из схемы которого исключены все источники (рис. 4.8). Искомый ток I1 определится по формуле:

Параметры эквивалентного генератора (напряжение холостого хода и входное сопротивление) можно определить экспериментально или расчетным путем.
Ниже показан способ вычисления этих параметров расчетным путем в схеме на рис. 4.2. Изобразим на рис. 4.9 схему, предназначенную для определения напряжения холостого хода. В этой схеме ветвь с сопротивлением R1 разорвана, это сопротивление удалено из схемы. На разомкнутых зажимах появляется напряжение холостого хода. Для определения этого напряжения составим уравнение для первого контура по второму закону Кирхгофа

где определяется из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для второго контура

Так как первая ветвь разорвана, ЭДС Е 1 не создает ток. Падение напряжения на сопротивлении R вн1 отсутствует.
На рис. 4.10 изображена схема, предназначенная для определения входного сопротивления.

Из схемы на рис. 4.9 удалены все источники (Е1 и Е2), т.е. эти ЭДС мысленно закорочены. Входное сопротивление Rвх определяют, свертывая схему относительно зажимов 1-1′

Для определения параметров эквивалентного генератора экспериментальным путем необходимо выполнить опыты холостого хода и короткого замыкания.
При проведении опыта холостого хода от активного двухполюсника отключают сопротивление R1, ток I1 в котором необходимо определить. К зажимам двухполюсника 1-1′ подключают вольтметр и измеряют напряжение холостого хода Uxx (рис. 4.11).
При выполнении опыта короткого замыкания соединяют проводником зажимы 1-1′ активного двухполюсника и измеряют амперметром ток короткого замыкания I1кз (рис. 4.12).

Рис. 4.11 Рис. 4.12

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира
01.10.2020 — 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога — это что, военный объект?
— Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Примеры расчета электрических и магнитных цепей

Метод двух узлов является частным случаем метода узловых потенциалов при числе узлов в схеме n = 2. Пусть требуется выполнить расчет режима в заданной схеме (рис. 20).

Принимаем j 0 = 0, тогда уравнение для узла 1 по методу узловых потенциалов будет иметь вид: j 1G11 = J11, откуда следует непосредственное определение напряжения между узлами схемы:

— уравнение метода двух узлов.

Применительно к схеме рис. 20 данное уравнение примет конкретную форму:

Токи в ветвях схемы определяются из потенциальных уравнений:

7. Принцип наложения. Метод наложения

Принцип (теорема) наложения гласит, что ток в любой ветви (напряжение на любом элементе) сложной схемы, содержащей несколько источников, равен алгебраической сумме частичных токов (напряжений), возникающих в этой ветви (на этом элементе) от независимого действия каждого источника в отдельности. Для упрощения доказательства теоремы выберем одну из наружных ветвей сложной схемы за номером 1, в которой действительный ток равен контурному: I1 = Ik1. Составим для сложной схемы систему контурных уравнений и решим ее относительно тока I1 = Ik1 методом определителей (Крамера):

Здесь G11 – входная проводимость ветви 1, G12, G13, …, G1n– взаимные проводимости между 1-й и остальными ветвями, I11 = E1G11 – частичный ток в ветви 1 от источника ЭДС E1, I12 = E2G12, …, I1n = EnG1n – частичные токи в ветви 1 от источников ЭДС E2,…, En.

Принцип наложения выполняется только для тех физических величин, которые описываются линейными алгебраическими уравнениями, например, для токов и напряжений в линейных цепях. Принцип наложения не выполняется для мощности, которая с током связана нелинейным уравнением P=I2 × R.

Принцип наложения лежит в основе метода расчета сложных цепей, получившего название метода наложения. Сущность этого метода состоит в том, что в сложной схеме с несколькими источниками последовательно рассчитываются частичные токи от каждого источника в отдельности. Расчет частичных токов выполняют, как правило, методом преобразования схемы. Действительные токи определяются путем алгебраического сложения частичных токов с учетом их направлений.

Пример. Задана схема цепи (рис. 21) и параметры ее элементов: E1 =12 B; E2 =9 B; R1= R2 =R3 = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях схемы методом наложения.

На рис. 22а представлена схема цепи для определения частичных токов от источника ЭДС Е1, а на рис. 22б — от источника ЭДС Е2.

Частичные токи в схеме рис. 22а от E1:

Ом; I11= E1/R11=12/3 = 4A; I21= I31= 2А.

Частичные токи в схеме рис. 22б от E2:

Ом; I22 = E2/R22 = 9/3 = 3A; I12= I32 = 1,5А.

Действительные токи как алгебраические суммы частичных токов:

I1 = I11 — I12 = 4 – 1,5 = 2,5 A

I2 = — I21 + I22 = — 2 + 3 =1 A

I3 = I31+ I32 = 2 + 1,5 =3,5 A

8. Теорема о взаимности

Выделим из сложной схемы две произвольные ветви “m” и “n”, в одной из которых включен источник ЭДС E (в ветви m). Теорема о взаимности гласит, что если источник ЭДС E, включенный в ветви “m”, вызывает в ветви “n” частичный ток I , то такой же источник ЭДС E, включенный в ветвь “n”, вызовет в ветви “m” такой же частичный ток I (рис.23) .

Доказательство теоремы о взаимности вытекает из принципа наложения. Частичные токи равны:

— для схемы рис. 23а, — для схемы рис. 23б.

Так как взаимные проводимости в линейной цепи равны (Gmn= Gnm), то соответственно равны токи в обеих схемах.

9. Теорема о компенсации

Формулировка теоремы: любой пассивный элемент электрической схемы можно заменить а) идеальным источником напряжения с ЭДС, равной напряжению на этом элементе (E=U) и направленной навстречу току, б) идеальным источником тока J, равным току в этом элементе (J=I) и направленным согласно току I.

Выделим пассивный элемент Rk с током Ik и напряжением Uk из схемы цепи (рис. 24а). Для доказательства п. а) теоремы включим последовательно с элементом Rk навстречу друг другу два идеальных источника ЭДС (рис. 24б). Такое включение источников ЭДС не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действие взаимно компенсируются. Cоставим потенциальное уравнение между точками “a” и “d” :

, откуда следует , или .

Точки “a” и “d”, как точки равного потенциала, можно закоротить и закороченный участок “a — d” из схемы удалить без нарушения ее режима. В результате удаления закороченного участка схема получает вид рис. 24в, в которой пассивный элемент Rk заменен идеальным источником ЭДС .

Для доказательства п. б) теоремы включим параллельно с элементом Rk два идеальных источника тока , направленные навстречу друг другу (рис. 25б).

Такое включение источников тока не вызовет изменения режима сложной схемы, так как их действия взаимно компенсируются. С другой стороны, ток в ветви “a — c” равен нулю ( и эту ветвь можно отключить без нарушения режима остальной части схемы. В результате отключения схема получает вид рис. 25в, в которой пассивный элемент Rk заменен идеальным источником тока Jk=Ik .


10. Теорема о линейных отношениях

Формулировка теоремы: если в произвольной к-ой ветви сложной схемы изменяется ЭДС источника Ek или сопротивление резистора Rk, то параметры режима в двух других ветвях (например, 1 и 2, I1 и I2, U1 и U2, U1 и I2, I1 и U2 ) изменяются так, что между ними сохраняется линейная зависимость ( и т.д.).

Пусть изменяется ЭДС Eк. В соответствии с принципом наложения ток каждой ветви равен сумме частичных токов от каждого источника в отдельности:

Исключим из уравнений переменную величину Eк путем подстановки:

, что требовалось доказать.

Если в схеме изменяется сопротивление резистора , то для доказательства теоремы о линейных отношениях переменный резистор следует заменить в соответствии с теоремой о компенсации переменной ЭДС и повторить доказательство.

Метод двух узлов как частный случай метода узловых потенциалов

Очень часто необходимым этапом при решении самых разных задач электротехники и электроники является расчет электрической цепи. Под этим термином понимается процесс получения полной информации о напряжениях во всех узлах и о токах во всех ветвях заданной электрической цепи. Для расчета линейной цепи достаточно записать необходимое число уравнений, которые базируются на правилах Кирхгофа и законе Ома, а затем решить полученную систему.

Однако на практике записать систему уравнений просто из вида электрической схемы удается только для очень простых схем. Если в схеме более десятка элементов или она содержит много взаимосвязанных контуров (участки типа мостов), то для записи определяющей схему системы уравнений уже требуются специальные методики. К таким методикам относятся метод узловых потенциалов и метод контурных токов.

Метод узловых потенциалов не привносит ничего нового к правилам Кирхгофа и закону Ома. Данный метод лишь формализует их использование настолько, чтобы их можно было применить к любой, сколь угодно сложной цепи и пригоден для расчёта посредством компьютеров. Иными словами, метод даёт ответ на вопрос «как использовать законы для расчета данной цепи?».

Теоретические основы

Если в цепи, состоящей из У узлов и Р рёбер известны все характеристики звеньев (полные сопротивления R, величины источников ЭДС E и тока J), то возможно вычислить токи Ii во всех рёбрах и потенциалы φi во всех узлах. Поскольку электрический потенциал определён с точностью до произвольного постоянного слагаемого, то потенциал в одном из узлов (назовём его базовым узлом) можно принять равным нулю, а потенциалы в остальных узлах определять относительно базового узла. Таким образом, при расчёте цепи имеем У+Р–1 неизвестных переменных: У–1 узловых потенциалов и Р токов в рёбрах.

Не все из указанных переменных независимы. Например, исходя из закона Ома для участка цепи, токи в звеньях полностью определяются потенциалами в узлах:

С другой стороны, токи в рёбрах однозначно определяют распределение потенциала в узлах относительно базового узла:

Таким образом, минимальное число независимых переменных в уравнениях цепи равно либо числу звеньев, либо числу узлов минус 1, в зависимости от того, какое из этих чисел меньше.

При расчёте цепей чаще всего используются уравнения, записываемые исходя из законов Кирхгофа. Система состоит из У–1 уравнений по 1-му закону Кирхгофа (для всех узлов, кроме базового) и К уравнений по 2-му закону Кирхгофа для каждого независимого контура. Независимыми переменными в уравнениях Кирхгофа являются токи звеньев. Поскольку согласно формуле Эйлера для плоского графа число узлов, рёбер и независимых контуров связаны соотношением

то число уравнений Кирхгофа равно числу переменных, и система разрешима. Однако число уравнений в системе Кирхгофа избыточно. Одним из методов сокращения числа уравнений является метод узловых потенциалов. Переменными в системе уравнений являются У–1 узловых потенциалов. Уравнения записываются для всех узлов, кроме базового. Уравнения для контуров в системе отсутствуют.

Уравнение для потенциала в узлах

Рассмотрим фрагмент цепи, состоящий из узла и примыкающих к нему звеньев (рис. 1). Согласно 1-му закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю:

Ток в звене определим исходя из закона Ома для участка цепи:

Обозначив проводимости рёбер через

получим окончательное уравнение для узла

Последнее уравнение получено исходя из предположения, что все источники тока и ЭДС направлены в сторону рассматриваемого узла. Если какой-либо источник направлен в противоположную сторону, его ЭДС или ток необходимо взять с обратным знаком.

Записав последнее уравнение для каждого узла цепи кроме базового, получим систему уравнений для узловых потенциалов.

Практическое применение

Составление системы уравнений

Перед началом расчёта выбирается один из узлов (базовый узел), потенциал которого считается равным нулю. Затем узлы нумеруются, после чего составляется система уравнений.

Уравнения составляются для каждого узла, кроме базового. Слева от знака равенства записывается:

  • потенциал рассматриваемого узла, умноженный на сумму проводимостей ветвей, примыкающих к нему;
  • минус потенциалы узлов, примыкающих к данному, умноженные на проводимости ветвей, соединяющих их с данным узлом.

Справа от знака равенства записывается:

  • сумма всех источников токов, примыкающих к данному узлу;
  • сумма произведений всех ЭДС, примыкающих к данному узлу, на проводимость соответствующего звена.

Если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», в противном случае — со знаком «−».

Пример системы уравнений

На схеме (рис. 2) четыре узла. Потенциал в узле 0 принят равным нулю (φ = 0). Записываем уравнения для узлов 1, 2 и 3:

где проводимости рёбер равны

Формальный подход

В матричном виде система уравнений для метода узловых потенциалов выглядит следующим образом [1] :

— матрица соединений размера (q – 1) × p (q — количество узлов, р — количество рёбер) , в которой i–я строка соответствует узлу i, а j–й столбец соответствует ребру j, причём элемент Aij равен

  • 0, если ребро j не присоединено к узлу i;
  • 1, если ребро выходит из узла;
  • –1, если ребро входит в узел.

Понятие «входит» и «выходит» означает, что для каждого ребра задаётся направление, которое обычно ассоциируется с направлением тока в этом ребре;

— диагональная матрица проводимостей размера p × p, в которой диагональный элемент Yii равен проводимости i–го ребра, а недиагональные элементы равны нулю;

— транспонированная матрица соединений;

— матрица-столбец узловых потенциалов размером (q – 1) × 1. Потенциалы измеряется относительно предварительно выбранного узла, потенциал которого считается равным нулю. Нулевой узел не входит ни в одну из перечисленных в данном разделе матриц;

— матрица-столбец источников тока размером p × 1, где каждый элемент равен току соответствующего источника, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник тока отсутствует; положительная, если направление тока источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае;

— матрица-столбец источников ЭДС размером p × 1, где каждый элемент равен ЭДС соответствующего источника, причём эта величина нулевая, если в данном ребре источник ЭДС отсутствует; положительная, если направление ЭДС источника совпадает с направлением тока в ребре; и отрицательная в противном случае.

Пример системы уравнений

Для схемы рис. 2 матрицы имеют вид:

Перемножаем матрицы в соответствии с матричным уравнением:

Раскрывая матричную запись, получаем следующую систему уравнений:

Ограничения

Метод узловых потенциалов применяется к эквивалентной схеме, поэтому имеют силу те же ограничения, что и для применимости эквивалентных схем. Если изначально дана реальная схема, то для неё необходимо составить эквивалентную схему и дальнейший расчет производить с ней. Таким образом, схема, к которой применяется метод узловых потенциалов, не содержит никаких реальных элементов (транзисторов, диодов, ламп, гальванических элементов, пассивных элементов с паразитными параметрами и т.д.).

Примечания

  1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: в 2-х т. Учебник для вузов. Том I. — 3-е изд., перераб. и доп. — Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. — 536 с., ил.

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Метод узловых потенциалов» в других словарях:

метод узловых потенциалов — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва] Тематики электротехника, основные понятия EN nodal methodnodal potential methodnodal voltage methodnode voltage method … Справочник технического переводчика

метод узловых потенциалов — mazgų potencialų metodas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. nodal analysis; nodal solution; nodal potential method; nodal voltage method; node voltage method vok. Knotenspannungsmethode, f rus. метод узловых потенциалов, m pranc.… … Automatikos terminų žodynas

метод узловых потенциалов — mazginių potencialų metodas statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. nodal potential method; nodal voltage method vok. Knotenspannungsmethode, f rus. метод узловых потенциалов, m pranc. méthode nodale, f … Radioelektronikos terminų žodynas

Узловых потенциалов метод — узловых напряжений метод, один из общих методов расчёта режима в линейных электрических цепях (См. Электрическая цепь) (то есть метод определения токов во всех ветвях цепи и напряжений на зажимах всех приёмников и источников электрической … Большая советская энциклопедия

УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ МЕТОД — один из методов расчёта электрич. цепей, при к ром сначала с помощью первого Кирхгофа правила определяются потенциалы всех узловых точек рассматриваемой цепи (узловые потенциалы), а затем по Ома закону сила тока во всех её ветвях … Большой энциклопедический политехнический словарь

Метод эквивалентного генератора — метод преобразования электрических цепей, в котором схемы, состоящие из нескольких ветвей с источниками ЭДС, приводятся к одной ветви с эквивалентным значением. Применение Метод эквивалентного генератора используется при расчёте сложных схем в… … Википедия

Метод комплексных амплитуд — метод расчета линейных электрических цепей, содержащих реактивные элементы, в установившемся режиме при гармонических входных сигналах, впервые применённый О. Хевисайдом. Суть метода заключается в следующем: Для всех реактивных элементов… … Википедия

SPICE (симулятор электронных схем) — У этого термина существуют и другие значения, см. Spice (значения). SPICE (Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis) симулятор электронных схем общего назначения с открытым исходным кодом. Является мощной программой, используемой … Википедия

Методы расчёта электрических цепей — Для расчета значений и направлений токов на участках электрической цепи при известных параметрах источников тока и напряжения применяются следующие методы: метод непосредственного применения законов Кирхгофа метод контурных токов метод узловых… … Википедия

Методы расчета электрических цепей — Для расчета значений и направлений токов на участках электрической цепи при известных параметрах источников тока и напряжения применяются следующие методы: метод непосредственного применения законов Кирхгофа метод контурных токов метод узловых… … Википедия

Каждый электрик должен знать:  Напряжение 15В и сила тока 2А - опасно или нет
Добавить комментарий