Метод эквивалентного генератора


Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока в одной ветви сложной электрической цепи.

Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части – на сопротивление R, ток которого I нужно определить, и всю остальную цепь, ее называют активным двухполюсником, так как эта часть имеет две клеммы а и b, к которой и подключается сопротивление R (рис. 2.9).

Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС Еэ и определенным внутренним сопротивлением Rэ и называется эквивалентным генератором.

Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома. Таким образом, определение тока I сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора Еэ и его внутреннего сопротивления Rэ.

Величина ЭДС Еэ определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек а и b при разомкнутых клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС можно измерить вольтметром, подключенным к клеммам а и b при холостом ходе.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэ вычисляется относительно точек а и b после предварительной замены всех источников сложной схемы эквивалентного генератора их внутренними сопротивлениями.

Найдем методом эквивалентного генератора ток в сопротивлении R3 цепи, изображенной на рис. 2.7. Разорвем ветвь R3, получим схему рис. 2.10. Найдем напряжение холостого хода между точками a и b:

Найдем сопротивление между точками а и b:

С учетом знака напряжения Uab схема эквивалентного генератора примет вид, изображенный на рис. 2.9. направление тока в сопротивлении R3 однозначно определяется направлением ЭДС. Ток в этой ветви будет равен:

Полученный результат повторяет предыдущие расчеты.

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Этим методом удобно рассчитывать ток в одной ветви, особенно, если сопротивление этой ветви меняется.

Цель называется активной, если она содержит внутри себя источники или усилительные элементы и пассивной, если нет (R, L, C).

Согласно теории об эквивалентном генераторе любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным ЭДС с эквивалентным внутренним сопротивлением.

Схема с активным двухполюсником из нее следует

Чтобы найти Е э надо разомкнуть ветвь АВ и найти напряжение на зажимах разомкнутой ветви.

Пример решения задачи методом эквивалентного генератора.

U АВ = U хх = Е э

Обходим контур, который замыкается через U AB по второму закону Кирхгофа.

E 2 = — I xx ∙(R 2 + R i2 ) + U AB

Чтобы найти R э надо разомкнуть ветвь АВ, исключить все ЭДС, оставив их внутренне сопротивление и рассчитать входное сопротивление цепи по отношению к зажимам разомкнутой ветви.

R i1,1 =R i1 +R 1 =1+3=4 ОМ

R i2,2 =R i2 +R 2 =1+5=6 Ом

R i1 =R i2 = R i3 =1Ом

Пример решения задачи

E 3 -E 2 =-I xx (R i3 +R 2 +R i2 )+U AB

R i1,1-3 =R 1 +R i1 +R 3 =10+1+29=40Ом

R i2,2-3 =1+118+1=120Ом

1. Электромагнитная волна (в религиозной терминологии релятивизма — «свет») имеет строго постоянную скорость 300 тыс.км/с, абсурдно не отсчитываемую ни от чего. Реально ЭМ-волны имеют разную скорость в веществе (например,

200 тыс км/с в стекле и

3 млн. км/с в поверхностных слоях металлов, разную скорость в эфире (см. статью «Температура эфира и красные смещения»), разную скорость для разных частот (см. статью «О скорости ЭМ-волн»)

2. В релятивизме «свет» есть мифическое явление само по себе, а не физическая волна, являющаяся волнением определенной физической среды. Релятивистский «свет» — это волнение ничего в ничем. У него нет среды-носителя колебаний.

3. В релятивизме возможны манипуляции со временем (замедление), поэтому там нарушаются основополагающие для любой науки принцип причинности и принцип строгой логичности. В релятивизме при скорости света время останавливается (поэтому в нем абсурдно говорить о частоте фотона). В релятивизме возможны такие насилия над разумом, как утверждение о взаимном превышении возраста близнецов, движущихся с субсветовой скоростью, и прочие издевательства над логикой, присущие любой религии.

4. В гравитационном релятивизме (ОТО) вопреки наблюдаемым фактам утверждается об угловом отклонении ЭМ-волн в пустом пространстве под действием гравитации. Однако астрономам известно, что свет от затменных двойных звезд не подвержен такому отклонению, а те «подтверждающие теорию Эйнштейна факты», которые якобы наблюдались А. Эддингтоном в 1919 году в отношении Солнца, являются фальсификацией. Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

Метод эквивалентного генератора

Методом эквивалентного генератора удобно пользоваться, когда требуется определить ток только в одной ветви сложной схемы, а токи в остальных ветвях нас не интересуют. Интересующая нас ветвь в общем случае может быть как линейной, так и нелинейной. Остальная схема обязательно должна быть линейной.

Предположим, нас интересует ток Iq в q-й ветви схемы рис. 38. По отношению к этой ветви остальная цепь представлена активным двухполюсником, внутренняя схема которого нас не интересует.

Рис. 38. Активный двухполюсник

Двухполюсник – это схема, из которой выведены два конца. Если внутри двухполюсника есть источник – двухполюсник активный. Если внутри двухполюсника источника нет – двухполюсник пассивный. Пассивный двухполюсник характеризуется одним параметром: входным сопротивлением Rвх. Активный двухполюсник характеризуется двумя параметрами: входным сопротивлением Rвх и напряжением холостого хода на разомкнутых зажимах Uхх. На схемах двухполюсник представляется в виде прямоугольника, из которого выходят два конца. Пассивный двухполюсник обозначается буквой «П», а активный – буквой «А».

Режим работы электрической цепи не изменится, если в q-ю ветвь включить два дополнительных источника ЭДС с равными, но противоположно направленными ЭДС: E‘ и E» (рис. 39).

Рис. 39. Активный двухполюсник с двумя дополнительными источниками ЭДС

Воспользуемся методом наложения. Разобьем схему рис. 39 на две (рис. 40а, б) и определим частичные токи этих схем: Iq‘ и Iq«.

Рис. 40. Активный двухполюсник с источником ЭДС E‘ (а)

и пассивный двухполюсник с источником ЭДС E» (б)

Частичный ток Iq‘ обусловлен совместным действием источников активного двухполюсника и источника ЭДС E‘. Частичный ток Iq» обусловлен действием источника ЭДС E«. В соответствии с этим на рис. 40а двухполюсник активный, а на рис. 40б двухполюсник пассивный.

Предположим, что ЭДС дополнительных источников E‘ = E» плавно увеличиваются от нуля вверх. При этом ток Iq‘ начнет уменьшаться и при каком-то значении ЭДС достигнет нуля. Для цепи рис. 40а это будет режимом холостого хода в q-й ветви (Iq‘ = 0). Напряжение на зажимах q-й ветви будет напряжением холостого хода Uхх активного двухполюсника. Это напряжение будет равно ЭДС E‘. Тогда очевидно и в схеме рис. 40б ЭДС E» будет равна напряжению холостого хода активного двухполюсника Uхх. Т.е. мы имеем: E‘ = E» = Uхх и ток Iq» в схеме рис. 40б будет равен

где Rвх – входное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам q-й ветви.

Полученное выражение соответствует формуле закона Ома для замкнутой цепи. Поэтому исходную схему (рис. 38) можно заменить эквивалентной ей одноконтурной схемой замкнутой цепи рис. 41, на которой вместо активного двухполюсника представлен эквивалентный источник (эквивалентный генератор) с ЭДС Eэг = Uхх и эквивалентным внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению двухполюсника Riэг = Rвх .

Название схемы замещения дало название методу расчета: метод эквивалентного генератора.

Рис. 41. Схема замещения активного двухполюсника эквивалентным генератором

Методика расчета по методу эквивалентного генератора.

1. Отключаем от схемы исследуемую ветвь.

2. Выполняем анализ схемы с отключенной ветвью и находим напряжение холостого хода между зажимами, соответствующими отключенной ветви.

3. Находим входное сопротивление схемы по отношению к зажимам отключенной ветви. При этом ЭДС источников опускаем, оставляя их внутренние сопротивления, а ветви с идеальными источниками тока размыкаем.

4. Используя формулу метода эквивалентного генератора, находим ток исследуемой ветви.

Рассмотрим примеры применения метода эквивалентного генератора для расчета тока одной из ветвей конкретной схемы.

Пример 4. Дана схема электрической цепи (рис. 42). Параметры схемы известны. Требуется найти ток в пятой ветви методом эквивалентного генератора.

Рис. 42. Схема электрической цепи

Решение


Отключим от схемы пятую ветвь (рис. 43).

Рис. 43. Схема электрической цепи с отключенной пятой ветвью

В оставшейся схеме опустим ЭДС E1 и E2, оставив в схеме сопротивления ветвей и внутренние сопротивления источников (рис. 44).

Рис. 44. Схема для расчета входного сопротивления

Находим входное сопротивление схемы (рис. 44) относительно зажимов a и b, учитывая, что первая и вторая ветви схемы включены параллельно, третья ветвь включена последовательно с ними, образуя смешанное соединение ветвей, а четвертая ветвь подключена параллельно со смешанным соединением. Для такой схемы имеем:

Вновь вернемся к рассмотрению схемы (рис. 43) с отключенной пятой ветвью. Заземлим узел b, приравняем потенциал этого узла нулю (φb = 0) и найдем напряжение между зажимами a и b схемы при холостом ходе пятой ветви Uabхх методом узловых потенциалов. Имеем следующую систему уравнений:

в которой собственные gaa, gcc и смежные gaс = gca проводимости узлов a и c выражены через проводимости ветвей схемы

Решение системы позволяет найти потенциалы узлов a и c

Тогда напряжение между зажимами a и b схемы в режиме холостого хода пятой ветви будет равно

Заменим исходную схему без пятой ветви активным двухполюсником (рис. 45а), а его, в сою очередь, — эквивалентным генератором (рис. 45б).

ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению между зажимами a и b в режиме холостого хода пятой ветви Eэг = Uabхх. Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению схемы в режиме холостого хода пятой ветви Riэг = Rвх.

Тогда в соответствии с методом эквивалентного генератора ток в пятой ветви можно определить, используя формулу закона Ома для замкнутой цепи:

А) б)

Рис. 45. Схемы замещения: а) с активным двухполюсником;

Метод эквивалентного генератора

В некоторых случаях при расчете электрической цепи нас интересуют ток, напряжение, мощность только в какой-либо одной ветви схемы. Тогда, чтобы упростить задачу и не рассчитывать всю цепь, применяют метод эквивалентного генератора.

Прежде чем перейти к методу эквивалентного генератора, докажем теорему о компенсации.

Теорема о компенсации. Любой пассивный элемент электрической цепи можно заменить активным элементом, величина ЭДС которого равна падению напряжения на пассивном элементе, а направление противоположно направлению тока в нем.

Докажем эквивалентность такой замены. Рассмотрим для пимера схемы (рис. 3.9, а,б).

Заменим пассивный элемент R1 источником ЭДС Е1.

Каждый электрик должен знать:  При проверке магнитного пускателя показывает разноименные фазы

Для схемы а запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

Отсюда выразим ток в виде

Для схемы б второй закон Кирхгофа запишется в следующей форме:

Ток выразим в виде

При эквивалентной замене ток в сопротивлении R должен остаться неизменным, а он не изменится только в том случае, если , что и требовалось доказать.

В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от ее структуры, условно изобразить прямоугольником (рис. 3.10).

Например, выделим ветвь с сопротивлением R5, а всю остальную часть заключим в прямоугольник.

Заключенную в прямоугольник часть схемы, которая двумя выводами подключается к выделенной ветви, называют двухполюсником.

Чаще всего нас не интересует часть схемы, заключенная в двухполюснике, и его обозначают прямоугольником с двумя выводами, к которым присоединяется интересующая нас ветвь (рис. 3.11).

Если внутренняя схема двухполюсника содержит только пассивные элементы, то такой двухполюсник называется пассивным и в прямоугольнике ставится буква П, если внутренняя схема двухполюсника содержит активные элементы, то есть источники ЭДС или тока, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике ставится буква А.

Внутреннюю схему двухполюсника всегда можно разбить на участки, и эти участки, пользуясь теоремой о компенсации, заменить эквивалентными источниками. Тогда двухполюсник по отношению к выделенной ветви будет представлять собой некоторый эквивалентный генератор (рис. 3.12).

Тогда ток, протекающий в выделенной ветви, можно определить, используя формулу

Таким образом, всякий активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением Rэк. Для того чтобы токораспределение во внешней цепи не изменилось, должны соблюдаться следующие требования:

1) ЭДС эквивалентного генератора Еэк равна напряжению на зажимах ab двухполюсника при холостом ходе Еэк= Uabxx;

2) внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэк равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно зажимов ab.

Таким образом, расчет цепи методом эквивалентного генератора сводится к определению параметров эквивалентного генератора Еэк и Rэк.

Параметры эквивалентного генератора можно определить двумя способами: экспериментальным и расчетным.

Экспериментальный способ – это единственный путь определения параметров эквивалентного генератора, если неизвестна схема соединений двухполюсника. Суть его сводится к следующему.

1. При разомкнутых зажимах ab, то есть в режиме холостого хода (R = ∞ и I = 0), измеряют напряжение на зажимах ab Uаbхх. Согласно требованию 1 Uаbхх = Еэк.

2. При замкнутых зажимах ab, то есть в режиме короткого замыкания (R = 0), измеряют ток в выделенной ветви Iкз (это можно сделать, отсоединив сопротивление R и подключив к зажимам ab амперметр, сопротивление которого мало, поэтому его можно считать замыкающим проводником).

Ток короткого замыкания связан с ЭДС источника соотношением

Расчетный способ применяется тогда, когда известна схема внутренних соединений двухполюсника и параметры входящих в нее сопротивлений и ЭДС. Рассмотрим этот способ на конкретном примере (рис. 3.13).

Выделяем нагрузочную ветвь с сопротивлением Rн, заключая остальную часть схемы в прямоугольник. Эта часть схемы представляет собой двухполюсник с зажимами ab.

Мысленно закоротив источник ЭДС, находим эквивалентное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab, которое согласно требованию 2 равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора:

3. Определим ЭДС эквивалентного генератора Еэк, равную напряжению на зажимах ab при холостом ходе. Для этого отсоединим сопротивление нагрузки, схема примет вид (рис. 3.14).

Так как ветвь с сопротивлением R4 разомкнута, ток будет протекать только по контуру R1R3R2, то есть

Напряжение на зажимах ab будет равно напряжению на зажимах cb:

Зная Rэк и Еэк, находим ток в нагрузке

Нагрузка эквивалентного генератора согласно закону Джоуля – Ленца потребляет мощность, определяемую выражением

В режиме холостого хода ток равен нулю, следовательно, потребляемая мощность равна нулю. В режиме короткого замыкания нулю равно сопротивление нагрузки, следовательно, мощность так же не потребляется Р = 0. Таким образом, следует предположить, что в нагрузочном режиме с ростом сопротивления нагрузки мощность сначала увеличивается до некоторого максимального значения, а потом спадает до нуля (рис. 3.15).

Найдем условие, при котором нагрузка эквивалентного генератора потребляет максимальную мощность.

Мощность в нагрузке согласно закону Джоуля – Ленца определяется выражением

Подставим выражение для тока в формулу мощности:

Исследуем это выражение на экстремум. Функция имеет экстремум при условии равенства нулю ее первой производной.

Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:

Преобразуем это выражение следующим образом:

Взяв вторую производную, можно доказать, что она отрицательна, следовательно, мощность максимальна при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению эквивалентного генератора. Такое сопротивление нагрузки Rc называется согласованным.

Максимальную мощность можно определить по формуле

На рис. 3.15 показано изменение мощности, потребляемой нагрузкой при изменении сопротивления нагрузки от нуля до бесконечности.


Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение простых и сложных цепей.

2. Опишите порядок расчета простых цепей методом эквивалентных преобразований.

3. Опишите порядок расчета простых цепей методом пропорциональных величин.

4. В чем состоит метод расчета сложных электрических цепей, основанный на прямом использовании законов Киргофа?

5. Назовите достоинства и недостатки этого метода.

6. В чем состоит метод контурных токов?

7. Как определить собственные и взаимные сопротивления?

8. Поясните правило знаков при определении истинных токов по известным контурным токам.

9. Назовите достоинства и недостатки метода контурных токов.

10. В чем состоит метод узловых потенциалов?

11. Назовите достоинства и недостатки этого метода.

12. В каком случае применим метод двух узлов?

13. Что позволяет определить этот метод?

14. В чем состоит метод наложения?

15. Как при расчетах электрической цепи методом наложения определить истинные токи в ветвях?

16. Сформулируйте теорему о компенсации.

17. Что называют двухполюсником?

18. Какие существуют способы определения параметров эквивалентного генератора?

19. Поясните, при каком условии в двухполюснике выделится максимальная мощность?

Метод эквивалентного генератора

При постоянных и синусоидальных токах и напряжениях для определения в нагрузке линейной исходной цепи комплекса действующего значения тока часто применяется метод эквивалентного генератора [1-2, 5], когда вся внешняя к нагрузке цепь как активный двухполюсник заменяется одним эквивалентным генератором с комплексом действующего значения ЭДС и комплексным внутренним сопротивлением , где — комплексное сопротивление нагрузки; — комплекс действующего значения напряжения нагрузки.

В результате ток в нагрузке рассчитывается так

причем ЭДС равна напряжению холостого хода при и , а сопротивление эквивалентного генератора находится с учетом тока короткого замыкания при и :

Однако метод эквивалентного генератора не позволяет определять суммарные с учетом нагрузки значения активной P и реактивной Q мощностей в исходной цепи, которые могут потребоваться, например, для определения оптимального значения сопротивления , обеспечивающего максимальную эффективность передачи в нагрузку активной энергии:

где — действующее значение тока нагрузки; — активная мощность нагрузки.

Наряду с этим существуют методы, основанные на энергетическом подходе, когда сохраняется мощность, но не сохраняется ток [2].

Таким образом, актуальность расширения возможностей метода эквивалентного генератора с целью определения мощностей в исходной цепи не вызывает сомнений.

Описание метода

Рассмотрим вначале расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных напряжениях и токах.

На рис. 1 представлена схема замены активного двухполюсника расширенным эквивалентным генератором с ЭДС EГ, сопротивлением RГ, источником тока генератора JГ и дополнительным сопротивлением R. Предположим, что в исходной схеме известны для режимов:

Рис. 1. Схема расширенного эквивалентного генератора

В режиме холостого хода (рис. 1) UХХ и PХХ равны:

Из режима короткого замыкания очевидно, что:

Определим параметры расширенного эквивалентного генератора , и R. При этом сопротивление генератора RГ определяем общепринятым способом [1-2, 5]:

тогда уравнения (4) и (6) объединяются. Таким образом, вместо системы из четырех уравнений необходимо решить систему из трех уравнений (4), (5) и (7).

Из уравнения (4) выразим EГ, а из уравнения (5) выразим дополнительное сопротивление R:

Подставим полученные выражения (9) и (10) в уравнение (7):

Из уравнения (11) выразим ток генератора JГ:

Подставим полученное выражение в (9) и определим EГ:

После определения параметров генератора переходим к определению тока в нагрузке IН и мощности РН. Записав уравнение по второму закону Кирхгофа для контура с участием тока нагрузки и используя выражение (4) или (9) с учетом (8), легко доказать, что ток в нагрузке определяется по формуле (14):

Суммарная мощность в схеме расширенного эквивалентного генератора будет равна:

Для иллюстрации работы метода рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2, а. Преобразуем ее к схеме расширенного эквивалентного генератора (рис. 1).

По формулам (8), (10), (12) и (13) определяем параметры расширенного эквивалентного генератора: RГ=26,92 Ом; R=561,211 Ом, JГ=-0,771 А и EГ=169,231 В. Используя найденные параметры генератора, определяем ток в нагрузке и потребляемую мощность по формулам (14) и (15). Для сравнения определим вырабатываемую мощность P1 и ток в нагрузке I1=IН1 в исходной схеме, изменяя сопротивление нагрузки RН от 0 до ∞ и вырабатываемую мощность P2 и ток в нагрузке I2=IН в схеме расширенного эквивалентного генератора (рис. 3).

Ток в нагрузке, определенный в исходной схеме и методом расширенного эквивалентного генератора, совпал (рис. 4, а). Вырабатываемая мощность и КПД, определенные в исходной схеме, совпали с расчетами по методу расширенного эквивалентного генератора и не совпали с расчетами по методу эквивалентного генератора (рис. 3).

Рис. 3. Графики зависимостей мощностей от IН: P1 — вырабатываемой в исходной схеме, P2 — вырабатываемой в схеме эквивалентного генератора, P3 — вырабатываемой в схеме расширенного эквивалентного генератора, РН — мощность, потребляемая в нагрузке

Рис. 4. Графики зависимости: а) тока в нагрузке от RН: I1 — в исходной схеме, I2 — в схеме расширенного эквивалентного генератора, б) КПД от IН: η1 — в исходной схеме, η2 — в схеме эквивалентного генератора, η3 — в схеме расширенного эквивалентного генератора

Рассмотрим работу расширенного метода эквивалентного генератора при гармонических напряжениях и токах.

Введем в схему эквивалентного генератора (рис. 5) дополнительное комплексное сопротивление , которое совместно с сопротивлениями и будет задавать мощности P и Q исходной цепи (рис. 5), причем величины и сохраняют свои значения.

Рис. 5. Комплексная схема замещения расширенного эквивалентного генератора

В результате ток будет рассчитываться согласно (1), а сопротивление найдем из баланса активной P и реактивной мощности Q в схеме рис. 5:

где — действующее значение напряжения холостого хода.

С учетом (1) действующее значение тока нагрузки составит

тогда на основании формул (16) и (17) получаем расчетный параметр

реактивную составляющую дополнительного сопротивления

активную составляющую дополнительного сопротивления

В формулах (18-20) мощности P и Q являются суммарными мощностями в исходной цепи при конкретном значении сопротивления нагрузки . Очевидно, что при изменении сопротивления будут меняться мощности P, Q и параметры дополнительного сопротивления λ, , . Поэтому из режимов холостого хода и короткого замыкания находим расчетом или экспериментально значения напряжения холостого хода и тока короткого замыкания , по формуле (2) вычисляем сопротивление . При заданном режиме изменения нагрузки для нескольких значений сопротивления рассчитываем или определяем экспериментально соответствующие значения мощностей P и Q, а затем вычисляем по формулам (18-20) параметры λ, RД, XД. Далее можно проводить исследования в схеме расширенного эквивалентного генератора (рис.4, б) с целью нахождения тока (1), мощностей P, Q и эффективности (3). Рассчитанные составляющие дополнительного сопротивления RД и XД могут задаваться графически или приближенными аналитическими зависимостями.

Каждый электрик должен знать:  Реле контроля фаз устройство, принцип действия, назначение

Для иллюстрации применения расширенного метода эквивалентного генератора в качестве примера рассмотрим линейную исходную цепь, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 2, б.

Из режимов холостого хода ( ) и короткого замыкания ( ) определяем: (В); (В); (А); (Ом). Для заданных значений сопротивления нагрузки в табл. 1 и на рис. 6 приведены полученные по формулам (1-3, 16-20) с использованием системы Mathcad [4] результаты расчета параметров расширенного эквивалентного генератора.


Таблица 1. Параметры расширенного эквивалентного генератора

Рис. 6. Зависимость эффективности передачи в нагрузку активной энергии η от действующего значения тока нагрузки

Точки пересечения нелинейной внешней характеристики эквивалентного генератора с линейными зависимостями позволяют найти действующие значения напряжения и тока нагрузки с фиксированным модулем сопротивления . Таким образом, для исследованной исходной цепи максимальная эффективность передачи активной энергии в нагрузку достигается при действующем значении тока (А). Этот ток будет при оптимальном сопротивлении нагрузки равном (Ом), которое отличается от сопряженного значения сопротивления , т. е. (Ом), когда наблюдается максимум активной мощности нагрузки [2]. Следует отметить, что во многих учебниках, например, в [2], считают, что при максимуме активной мощности нагрузки эффективность (КПД) передачи активной энергии в нагрузку составляет . Это утверждение неверно для исходной сложной цепи и справедливо лишь для одноконтурной схемы, состоящей из ЭДС источника и сопротивлений , .

Выводы

В данной работе предложен расширенный метод эквивалентного генератора при постоянных и синусоидальных токах, позволяющий определить не только ток и напряжение в нагрузке, но и активную и реактивную мощности в исходной цепи, а также эффективность (КПД) передачи активной энергии от всех источников исходной цепи в нагрузку, что может быть использовано для оптимизации параметров сложных электрических цепей.

Расширенный метод эквивалентного генератора дает возможность найти оптимальное комплексное сопротивление нагрузки для получения реального значения максимальной эффективности передачи в нагрузку активной энергии.

Для обеспечения заданной активной мощности в исходной линейной цепи величина активной составляющей дополнительного сопротивления может принимать при определенных значениях сопротивления нагрузки отрицательные значения, что свидетельствует о том, что дополнительное сопротивление расширенного эквивалентного генератора является математическим приемом для учета реальных физических процессов в электрических цепях.

Рецензенты:

Усов Юрий Петрович, д.т.н., профессор каф. ЭСиЭ ЭНИН ФГБОУ ВПО НИ ТПУ, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск.

Федор Юрьевич Канев, д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник института оптики атмосферы им. В. Е. Зуева СО РАН, г. Томск.

Лабораторная работа № 3 Метод эквивалентного генератора. Линейные соотношения между токами и напряжениями

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Кафедра Теоретических Основ Электротехники

Лабораторная работа № 3


Метод эквивалентного генератора.

Линейные соотношения между токами и напряжениями.

Л а б о р а т о р н а я р а б о т а № 3

МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА. ЛИНЕЙНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТОКАМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ

Краткое содержание работы

В работе теоретически и экспериментально находятся параметры эквивалентного генератора. Исследуются зависи­мости тока, напряжения и мощности приемника при изменении его сопротивления, а также линейные соотношения между токами ветвей в разветвленной электрической цепи.

Ключевые слова: линейная электрическая цепь; активный двухполюсник; схемы замещения двухполюсников; метод эквивалентного генератора; параметры эквивалентного генератора; формула (схема) Тевенена; формула (схема) Нортона; активная мощность двухполюсника

1. Теоретическая справка

При анализе сложных электрических цепей часто требуется определить ток и напряжение только в одной ветви. В этом случае используют метод эквивалентного генератора. Выделяют исследуемую ветвь (активную или пассивную), присоединенную к сложной цепи. Остальная часть цепи с двумя выделенными узлами представляет собой активный двухполюсник. По отношению к выделенной ветви активный двухполюсник можно преобразовать в эквивалентный генератор.

Теорема Тевенена – Гельмгольца: если активный двухполюсник, к которому присоединена выделенная ветвь, заменить источником ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви и сопротивлением, равным входному сопротивлению, то ток в этой ветви не изменится.

Математическая формулировка теоремы для нахождения тока пассивной ветви ab выражается формулой Тевенена:

Этому равенству соответствует расчетная схема (последовательная схема замещения активного двухполюсника), представленная на рис. 1:

Если выделенная ветвь содержит источник ЭДС, тогда расчетная схема будет иметь вид, представленной на рис. 2:

Применение теоремы об эквивалентном генераторе позволяет свести расчет сложной цепи к расчету одноконтурной и использовать для определения тока формулу Тевенена: .

Алгоритм расчета по методу эквивалентного генератора:

1. Находят напряжение холостого хода на зажимах разомкнутой ветви ab.

2. Определяют входное сопротивление двухполюсника, преобразуя его в пассивный (все внутренние источники ЭДС и тока принимают равными нулю).

3. Определяют искомый ток по формуле Тевенена.

Можно использовать формулу Нортона, соответствующую параллельной схеме замещения активного двухполюсника (рис 3):

В данной работе сопротивление выделенной ветви может изменяться и определяется как нагрузка (Rн) по отношению к активному двухполюснику (эквивалентному генератору). При экспериментальном определении параметров эквивалентного генератора в данной работе используется режим холостого хода, в котором практически идеальным вольтметром ( ) измеряется напряжение холостого хода . Далее осуществляется режим короткого замыкания, в котором измеряется ток . По результатам измерения строят нагрузочную характеристику активного двухполюсника (эквивалентного генератора). Входное сопротивление может быть найдено из соотношения . По результатам измерений проводится проверка выполнения теоремы Тевенена.

Передача энергии от активного двухполюсника к пассивному.

Определим условия, при которых мощность пассивного двухполюсника (приемника) максимальна. По теореме об эквивалентном генераторе ток и напряжение в приемнике R можно определить по расчетной схеме эквивалентного генератора (рис.1).

Напряжение , мощность приемника или , мощность эквивалентного генератора .

Если мощность приемника максимальна, то , следовательно, ток приемника должен быть . По формуле Тевенена , максимальная мощность выделяется в приемнике при . Максимальная мощность равна .

Отношение мощности Pн к мощности Pг называется к. п.д. эквивалентного активного двухполюсника:

Графики зависимости Pн(Iн), Pг(Iн), Uн(Iн), η(Iн) представлены на рис. 4.

Согласно принципу линейности при изменении сопротивления резистивного элемента в одной из ветвей линейной электрической цепи все токи и напряжения связаны линейными соотношениями. При изменении сопротивления Rн токи i-ой и k-ой ветвей связаны линейным соотношением:

Коэффициенты линейности a и b определяются из двух любых режимов при разных значениях сопротивления резистора и неизменности остальных параметров цепи.

2. Подготовка к работе

1. Рассчитать любым методом токи в цепи, схема которой представлена на рис. 5, при E1= 9 В и J2= 50 мА. Значения сопротивлений резисторов и даны в таблице 1, Ом, Rн=R1. Определить напряжение Uн, мощность Pн.

2. Рассматривая цепь относительно резистора Rн как активный двухполюсник (эквивалентный генератор), рассчитать его параметры Uхх, Rвх, Iкз. Нарисовать последовательную и параллельную схемы замещения активного двухполюсника. Вычислить значение тока Iн при Rн=R1 по двум схемам замещения. Построить вольт-амперную характеристику активного двухполюсника Uн(Iн). Графически определить значение тока Iн и напряжения Uн при Rн=R1 и Rн=Rвх.

3. Определить величину сопротивления Rн, при котором в нем потребляется максимальная мощность. Вычислить Pmax. Построить график зависимости Pн(Iн).

4. Записать линейное соотношение I1(Iн)=aIн+b. Определить коэффициенты и по двум известным значениям токов (Rн и Rн=R1).

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора используется ля определения тока в одной (или нескольких) из ветвей сложной электрической цепи. Этот метод основан на теореме об активном двухполюснике: ток в некоторой заданной ветви не изменится, если активную цепь, к которой подключена эта ветвь, заменить источником энергии, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, а его (источника) внутреннее сопротивление равно сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов искомой ветви (рис. 1).

Рис 1. а – активный двухполюсник, б – ЭГ как источник ЭДС (напряжения), в – ЭГ как источник тока.
Если эквивалентный генератор представляется источником ЭДС, ток в заданной ветви определяется по закону Ома (рис. 1,6):

Если эквивалентный генератор представляется источником тока, ток в заданной ветви находится по правилу «чужого сопротивления» (рис. 1,в):

В формулах Uх — напряжение холостого хода активного двухполюсника на зажимах ветви, в которой определяется ток; Iк — ток короткого замыкания активного двухполюсника при закороченной заданной ветви; Rвх — входное сопротивление пассивного двухполюсника, найденное относительно зажимов заданной ветви; R — сопротивление заданной ветви. Выбор схемы замещения эквивалентного генератора определяется схемой цепи, в которой рассчитывается ток. Если в заданной ветви, кроме резистора, есть источник ЭДС и для расчета используется последовательная схема замещения эквивалентного генератора ( рис. 1,6), ток можно определить из выражения

ЭДС Е учитывается с положительным ( отрицательным) знаком, если напряжение Uх
и ЭДС Е совпадают (противоположны) по направлению.
Определение тока в заданной ветви электрической цепи методом эквивалентного генератора удобно производить в следующей последовательности:
1. Разомкнуть (или закоротить – в случае с ЭГ с источником тока) заданную ветвь с искомым током.
2. Определить напряжение холостого хода (ток короткого замыкания – в случае с ЭГ с источником тока) активного двухполюсника относительно заданной ветви.
3. Исключая из активного двухполюсника все источники энергии, определить входное сопротивление двухполюсника относительно зажимов заданной ветви. При
исключении источников в схеме должны быть сохранены их внутренние сопротивления.
4. Используя закон Ома (правило » чужого сопротивления»), найти ток в заданной ветви. Направление тока определяется направлением напряжения холостого хода /тока короткого замыкания»/

Эквивалентный генератор тока

Любой генератор всегда характеризуется электродвижущей силой Е и внутренним сопротивлением Ri. Он создает определенную ЭДС, которая не зависит от сопротивления нагрузки. Поэтому такой генератор и называют генератором ЭДС. Иногда его представляют в виде некоторого идеального генератора ЭДС, не имеющего внутреннего сопротивления, и включают в цепь последовательно с резистором, сопротивление которого равно Ri.

В некоторых случаях для упрощения расчетов заменяют генератор ЭДС на так называемый эквивалентный генератор тока , создающий ток, не зависящий от нагрузки. Такую замену можно обосновать следующими математическими преобразованиями.

Ток, даваемый генератором ЭДС

Умножив обе части равенства на Rн, получим выражение для напряжения на зажимах генератора, т. е. напряжения на нагрузке

Каждый электрик должен знать:  Безопасен ли переходник на вилке от чайника Xiaomi

А теперь умножим и разделим правую часть на Ri


В полученной формуле E/Ri есть ток короткого замыкания, а выражение RнRi/(Rн+Ri) есть общее сопротивление параллельно включенных ветвей с сопротивлениями RH и Ri. Отсюда и следует, что генератор ЭДС можно заменить генератором тока, дающим ток E/Ri, но при этом Ri следует считать сопротивлением ветви, подключенной параллельно к нагрузке RH (рис. 1).

Пользоваться заменой генератора ЭДС на эквивалентный генератор тока иногда бывает удобно для расчетов, в частности, если нагрузка имеет несколько ветвей, соединенных параллельно, так как тогда все сводится к расчету параллельной цепи.

Рис 1. Эквивалентный генератор тока

Если же при расчете пользоваться генератором ЭДС, то получится смешанное соединение, так как Ri будет включено последовательно с нагрузкой, которая сама является параллельной цепью. Смешанное же соединение рассчитывать сложнее, особенно для цепей переменного тока.

Однако следует помнить, что с помощью генератора тока можно правильно рассчитывать ток, напряжение и мощность только в нагрузке. Нельзя с помощью генератора тока производить расчет тока, напряжения, и мощности внутри генератора, так как будут получены совершенно неправильные результаты.

Таким образом, использование схемы электрической цепи с генератором тока не соответствует действительности и служит лишь для расчета электрического режима нагрузки. А с генератором ЭДС всегда получается правильное отражение действительных процессов в электрической цепи и результаты расчета для любой части цепи будут верны.

ЛЕКЦИЯ 4. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА. БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Цель лекции: научить пользоваться методом эквивалентного источника и составлять баланс мощностей.

Метод эквивалентного генератора

Применение метода эквивалентного генератора (метода активного двухполюсника или метода холостого хода и короткого замыкания) целесообразно для определения тока в какой-либо одной ветви сложной электрической цепи. Имеется два варианта метода: 1) метод эквивалентного источника э.д.с. и 2) метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника э.д.с. Для нахождения тока I в произвольной ветви ab, сопротивление которой R (рисунок 4.1, а; буква А означает активный двухполюсник), надо эту ветвь разомкнуть (рисунок 4.1, б), а часть цепи, подключенную к этой ветви, заменить эквивалентным источником с э.д.с. Еэк и внутренним сопротивлением Rэк (рисунок 4.1, в).

Э.д.с. Еэк этого источника равняется напряжению на зажимах разомкнутой ветви (напряжение холостого хода)

Расчет схем в режиме холостого хода (рисунок 4.1,б) для определения Еэк проводится любым известным способом.

Внутреннее сопротивление Rэк эквивалентного источника э.д.с. равняется входному сопротивлению пассивной цепи относительно зажимов a и b исходной схемы, из которой исключены все источники (источники э.д.с. заменены короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока отключены, рисунок 4.1, г; буква П указывает на пассивный характер цепи), при разомкнутой ветви ab. Сопротивление Rэк можно вычислить непосредственно по схеме рисунка 4.1, г.

Ток в искомой ветви схемы (рисунок 4.1, д), имеющей сопротивление R, определяется по закону Ома

Метод эквивалентного источника тока. Для расчета тока в ветви ab, сопротивление которой R, надо заменить часть схемы относительно зажимов a и b (при замкнутой ab) эквивалентным источником тока, ток которого Jэк а проводимость Gэк (рисунок 4.1, е).

Для нахождения тока Jэк надо зажимы a и b закоротить и любым способом рассчитать ток которого замыкания Ik , протекающий по закороченному участку (рисунок 4.1, ж). При этом Jэк = Ik . Сопротивление Rэк можно найти, как и при расчете по методу эквивалентного источника э.д.с. (см. рисунок 4.1,г). Это же сопротивление может быть рассчитано, как это видно из схемы замещения заданной схемы в режиме короткого замыкания (рисунок 4.1,з) по формуле

Ток в ветви R (рисунок 4.1,и)

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рисунке 4.2 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах . Параметры цепи Е=100 В; R1=R4=40 Ом; R2=R3=60 Ом.

Рисунок 4.2 Рисунок 4.3

Для нахождения значения перейдем к схеме на рис. 4.3, где напряжение на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС . В данной цепи

Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рисунке 4.4.

Рисунок 4.4 Рисунок 4.5

Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно

Таким образом, для показания амперметра в схеме на рисунке 4.2 в соответствии с (4.2) можно записать

Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (4.2) получаем кривую на рисунке 4.5.

Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора используется в случае,когда необходимо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника [2]. Двухполюсник называют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассивным в противном случае. На рисунках активный двухполюсник будем обозначать буквой А, а пассивный – П. Различают две модификации метода эквивалентного генератора: метод эквивалентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод базируется на теореме Тевенина, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с задающим напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви (рисунок 1.8).

Рисунок 1.8 – Суть теорем Тевенина и Нортона

После замены активного двухполюсника эквивалентным источником на рисунке 1.8 в соответствии с этой схемой имеем:

где Rэ можно найти либо экспериментальным, либо расчетным путем.

Метод эквивалентного источника тока. В основе этого метода лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви (рисунок 1.8, в).

Искомый ток можно найти по формуле: i = iкз[Rэ/(R + Rэ)].

Очевидно, что методы эквивалентного источника как напряжения, так и тока дают один и тот же результат.Применение того или иного метода определяется удобством и простотой нахождения uхх или iкз.

Принцип дуальности

Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в предыдущих разделах, позволяет сформулировать важный принцип теории электрических цепейпринцип дуальности (двойственности). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Этот принцип проявляется, например, в сходстве законов изменения напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (дуальной).

Таблица 1.1 иллюстрирует двойственный характер основных законов и соотношений в электрических цепях.

Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для одной цепи, то, используя дуальные соотношения, можно сразу записать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

Баланс мощности

Одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей является теорема Телледжена. Рассматривая произвольную электрическую цепь, содержащую nв ветвей и nу узлов, для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Телледженагласит [2]: сумма произведений напряжений uk и токов ik всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю:

Таблица 1.1 – Двойственный характер соотношений в электрических цепях

Понятия
исходные дуальные
Напряжение u Сопротивление R Задающее напряжение uГ Ток i Проводимость G Задающий ток iГ
ЗТК: u = Ri; Метод контурных токов. Метод эквивалентного генератора напряжения. ЗНК: i = Gu; Метод узловых напряжений. Метод эквивалентного генератора тока.
Последовательное: ; . Параллельное: ; .

Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных, цепей, параметры которых изменяются во времени (параметрических цепей).

Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведениеukik представляет собой мгновенную мощностьрk k-й ветви, поэтому сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю.

Если выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощности можно сформулировать следующим образом: сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

При определении Рист произведение uгi берется со знаком «, если направления задающего напряжения uг и тока i направлены навстречу друг другу, и со знаком «–» в противном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника направлено навстречу задающему току iг берется знак «, а если напряжение совпадает с током – знак «–». Баланс мощности выражает закон сохранения энергии в электрической цепи.

Одной из важнейших практических задач является оптимальная передачаэлектрической энергии от активного к пассивному двухполюснику. Оптимум обычно понимается в смысле получения максимальной мощности в нагрузке Rн. Для цепи постоянного тока активный и пассивный двухполюсники можно заменить эквивалентной схемой, изображенной на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 – Активный и пассивный двухполюсники

Мощность p определим с помощью выражения:

Напряжение на нагрузке uн = uг — iRг. Максимум мощности будет достигаться при Rн = Rг, при этом ток в цепи принимает значение io = = uг/(2Rг), а мощность рн max = uг 2 /(4Rг).

Коэффициент полезного действия системы передачи определяется равенством:

При i = io и pн = pн max имеем h =0,5 (50 %). На рисунке 1.10 представлены зависимости рист, рн и h от тока i.

Рисунок 1.10 – Зависимости мощностей, выделяющихся на источнике и нагрузке при Rн = Rг

Вопросы для самотестирования

1 Закон Кирхгофа для токов гласит: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической цепи, равна нулю. Но применим ли этот закон для цепи, в одной из ветвей которой ток в её начале имеется, а на её конце ток равен нулю?

2 Справедливы ли законы токов и напряжений Кирхгофа для метода контурных токов?

3 Теорема Телледжена гласит: сумма произведений напряжений uk и токов ik всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю. Справедлива ли она для линейных, нелинейных, активных и пассивных цепей?

4 Для нахождения тока в одной и той же ветви электрической цепи сначала использован метод эквивалентного источника напряжения, а затем метод эквивалентного источника тока. Чем будут отличаться результаты, полученные в обеих случаях?

5 Как называются две электрические цепи, если существует сходство изменения напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (u = Ri и i = Gu)?

Добавить комментарий