Нагревание и охлаждение идеального однородного твердого тела

Нагревание и охлаждение идеального однородного твердого тела

Дата публикации: 08 сентября 2020 .
Категория: Машины постоянного тока.

Уравнение нагревания

Хотя электрическая машина имеет сложное устройство, в основу анализа процесса ее нагревания может быть положена теория нагревания идеального однородного твердого тела, под которым здесь понимается тело, обладающее равномерным рассеянием тепла со всей поверхности и бесконечно большой теплопроводностью, вследствие чего все точки тела имеют одинаковую температуру. Составим дифференциальное уравнение нагревания такого тела, для чего рассмотрим его тепловой баланс.

Пусть в единицу времени в теле выделяется количество теплоты Q. Тогда за бесконечно малый промежуток времени выделяемое количество теплоты будет равно Q × dt. Эта теплота частично аккумулируется в теле при повышении температуры и частично отдается во внешнюю среду.

Если за время dt температура тела повысилась на dΘ, то количество аккумулируемой за это время теплоты равно G × c × dΘ, где G – масса тела и c – его удельная теплоемкость.

Пусть в рассматриваемом бесконечно малом интервале времени превышение температуры тела над температурой окружающей среды равно Θ. Тогда количество теплоты, отдаваемое в окружающее пространство за время dt вследствие лучеиспускания, конвекции и теплопроводности, будет равно S × λ × Θ × dt, где S – площадь тела и λ – коэффициент теплоотдачи с поверхности.

На основе закона сохранения энергии

Q × dt = G × c × dΘ + S × λ × Θ × dt . (1)

Прежде чем приступить к решению уравнения нагревания (1), несколько преобразуем его.

Установившееся превышение температуры и постоянная времени нагревания

После истечения достаточно длительного времени (теоретически при t = ∞) температура тела достигает установившегося значения. Тогда dΘ = 0 и Θ = Θ. Подставив эти значения в выражение (1), получим

Каждый электрик должен знать:  Примеры соединений измерительных трансформаторов

Установившееся превышение температуры Θ тем больше, чем больше выделяется тепла и чем хуже условия ее отдачи, то есть чем меньше S × λ.

Разделим обе части выражения (1) на S × λ, используем равенство (2) и обозначим

Тогда вместо (1) получим

Θ × dt = T × dΘ + Θ × dt. (4)

Размерность всех членов (4) должна быть одинакова – температура, умноженная на время. Поэтому T имеет разность времени, что можно установить также по формуле (3). Величина T называется постоянной времени нагревания тела; согласно формуле (3), она тем больше, чем больше теплоемкость тела G × c и чем меньше интенсивность отдачи тепла, то есть меньше S × λ.

Если определить из равенства (2) S × λ и подставить в (3), то получим еще одно выражение для T:

Числитель этого выражения равен количеству теплоты, накопленной в теле при достижении Θ = Θ.

Следовательно, в соответствии с выражением (5) постоянная времени нагревания T равна времени, в течение которого температура достигла бы установившегося значения Θ, если бы отсутствовала передача тепла в окружающую среду и все выделяемое тепло накапливалось в теле.

Решение уравнения нагревания

В уравнении (4) можно разделить переменные и привести его к виду

При интегрировании уравнения (6) получим

t / T = – ln (Θ – Θ) + C . (7)

Постоянная C определяется из начального условия: при t = 0 тело в общем случае имеет некоторое превышение температуры Θ = Θ. Подставив указанные значения t и Θ в (7), найдем, что

Подставим это значение C в (7) и переменим знаки. Тогда

откуда окончательно для Θ = f(t) находим

Θ = Θ × (1 – et/T ) + Θ × et/T . (8)

Случай нагревания при Θ = 0

В этом случае вместо выражения (8) имеем

Каждый электрик должен знать:  Классификация электроизмерительных приборов, условные обозначения на шкалах приборов

Охлаждение тела

Если тело имеет некоторое начальное превышение температуры Θ ≠ 0, но Q = 0 и, следовательно, в соответствии с выражением (2) Θ = 0, то происходит охлаждение тела от Θ = Θ до Θ = Θ = 0.

Подставив в (8) Θ = 0, получим уравнение охлаждения тела

Общий случай нагревания тела
Рисунок 2. Общий случай нагревания идеального однородного твердого тела

Общий случай нагревания тела, описываемый уравнением (8), на основании формул (9) и (10) можно рассматривать как наложение двух режимов: 1) нагревания тела от начального превышения температуры Θ = 0 до Θ = Θ и 2) охлаждения тела от Θ = Θ до Θ = 0. На рисунке 2 кривая 3 представляет собой кривую нагревания, построенную по уравнению (8). Эту кривую можно получить путем сложения ординат кривых 1 и 2, соответствующих уравнениям (9) и (10).

Каждый электрик должен знать:  Как защитить квартиру от превышения напряжения

Графический способ определения T

Найдем подкасательную бв (рисунок 1, а), отсекаемую на асимптоте Θ = Θ касательной к кривой Θ = f (t). Из рисунка 1, а следует, что

где α – угол наклона касательной к кривой Θ = f(t).

Но, согласно выражению (6),

Подставив tg α из (12) в (11), получим

Таким образом, подкасательная к любой точке кривой нагревания или охлаждения равна постоянной времени нагревания T. Этим свойством кривых Θ = f(t) можно воспользоваться для графического определения T, если имеется кривая Θ = f(t), снятая, например, опытным путем. На рисунке 1, б и 2 показан способ определения T при построении касательной к начальной кривой.

Заключительные замечания

Выше была изложена теория нагревания идеального однородного твердого тела. В действительности электрическая машина не представляет собой такого тела, так как она состоит из разных частей, обладающих конечной теплопроводностью, причем теплопроводность электрической изоляции достаточно мала. Поэтому отдельные части машины (обмотка, сердечники и другие) имеют различные температуры. В связи с этим более правильно было бы рассматривать электрическую машину как совокупность нескольких однородных тел, между которыми существует теплообмен. В действительных условиях величина T также не вполне постоянна, так как коэффициенты теплоотдачи зависят в определенной мере от температуры. Кроме того, воздух или другой охлаждающий агент при протекании по вентиляционным каналам нагревается, и поэтому температура охлаждающей среды для различных участков охлаждаемой поверхности имеет различные значения.

Таким образом, кривые нагревания и охлаждения не являются, строго говоря, экспоненциальными. Однако в большинстве практических случаев мы не делаем существенных ошибок, считая их экспоненциальными, то есть применяя изложенную выше теорию нагревания идеального однородного тела.

Источник: Вольдек А. И., «Электрические машины. Учебник для технических учебных заведений» – 3-е издание, переработанное – Ленинград: Энергия, 1978 – 832с.

Добавить комментарий