Нелинейный элемент и воздействие на него единичного сигнала

СОДЕРЖАНИЕ:

Воздействие гармонического колебания на безинерционный нелинейный элемент

Название Воздействие гармонического колебания на безинерционный нелинейный элемент
Дата 25.08.2013
Размер 153.63 Kb.
Тип Документы
скачать

Сайт ориентирован на работу в INTERNET EXPLORER 4.0 и выше.
Разрешение 800х600 и больше. Используйте кнопку F11

Физика: Аппроксимация характеристик нелинейных элементов и анализ цепей при гармонических воздействиях, Реферат

Реферат на тему:

«АППРОКСИМАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И АНАЛИЗ ЦЕПЕЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ»

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

2. Графо-аналитический и аналитический методы анализа

3. Анализ цепей методом угла отсечки

4. Воздействие двух гармонических колебаний на безынерционный

Для всех рассмотренных ранее линейных цепей справедлив принцип суперпозиции, из которого вытекает простое и важное следствие: гармонический сигнал, проходя через линейную стационарную систему, остается неизменным по форме, приобретая лишь другие амплитуду и начальную фазу. Именно поэтому линейная стационарная цепь не способна обогатить спектральный состав входного колебания.

Особенностью НЭ, по сравнению с линейными, является зависимость параметров НЭ от величины приложенного напряжения или силы протекающего тока. Поэтому на практике при анализе сложных нелинейных цепей пользуются различными приближенными методами (например, заменяют нелинейную цепь линейной в области малых изменений входного сигнала и используют линейные методы анализа) или ограничиваются качественными выводами.

Важным свойством нелинейных электрических цепей является возможность обогащения спектра выходного сигнала. Эта важная особенность используется при построении модуляторов, преобразователей частоты, детекторов и т. д.

Решение многих задач, связанных с анализом и синтезом радиотехнических устройств и цепей, требует знания процессов, происходящих при одновременном воздействии на нелинейный элемент двух гармонических сигналов. Это связано с необходимостью перемножения двух сигналов при реализации таких устройств, как преобразователи частоты, модуляторы, демодуляторы и т. д. Естественно, что спектральный состав выходного тока НЭ при бигармоническом воздействии будет гораздо богаче, чем при моногармоническом.

Нередко возникает ситуация, когда один из двух воздействующих на НЭ сигналов мал по амплитуде. Анализ в этом случае значительно упрощается. Можно считать, что по отношению к малому сигналу НЭ является линейным, но с переменным параметром (в данном случае крутизной ВАХ). Такой режим работы НЭ называется параметрическим.

1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

При анализе нелинейных цепей (НЦ) обычно не рассматривают процессы, происходящие внутри элементов, составляющих эту цепь, а ограничиваются лишь внешними их характеристиками. Обычно это зависимость выходного тока от приложенного входного напряжения

которую принято называть вольт-амперной характеристикой (ВАХ).

Самое простое – использовать имеющуюся табличную форму ВАХ для численных расчетов. Если же анализ цепи должен проводиться аналитическими методами, то возникает задача подбора такого математического выражения, которое отражало бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики.

Это не что иное, как задача аппроксимации. При этом выбор аппроксимирующего выражения определяется как характером нелинейности, так и используемыми расчетными методами.

Реальные характеристики имеют достаточно сложный вид. Это затрудняет их точное математическое описание. Кроме того, табличная форма представления ВАХ делает характеристики дискретными. В промежутках между этими точками значения ВАХ неизвестны. Прежде чем переходить к аппроксимации, необходимо как-то определиться с неизвестными значениями ВАХ, сделать ее непрерывной. Тут возникает задача интерполяции (от лат. inter – между, polio – приглаживаю) – это отыскание промежуточных значений функции по некоторым известным ее значениям. Например, отыскание значений в точках лежащих между точками по известным значениям . Если , то аналогичная процедура носит задачи экстраполяции.

Обычно аппроксимируют лишь ту часть характеристики, которая является рабочей областью, т. е. в пределах изменения амплитуды входного сигнала.

При аппроксимации вольт-амперных характеристик необходимо решить две задачи: выбрать определенную аппроксимирующую функцию и определить соответствующие коэффициенты. Функция должна быть простой и в то же время достаточно точно передавать аппроксимируемую характеристику. Определение коэффициентов аппроксимирующих функций осуществляется методами интерполяции, среднеквадратичного или равномерного приближения, которые рассматриваются в математике.

Математически постановка задачи интерполяции может быть сформулирована следующим образом.

Найти многочлен степени не больше n такой, что i = 0, 1, …, n, если известны значения исходной функции в фиксированных точках , i = 0, 1, …, n. Доказывается, что всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различных формах, например в форме Лагранжа или Ньютона. (Рассмотреть самостоятельно на самоподготовке по рекомендованной литературе).

Аппроксимация степенными полиномами и кусочно-линейная

Она основана на использовании хорошо известных из курса высшей математики рядов Тейлора и Маклорена и заключается в разложении нелинейной ВАХ в бесконечномерный ряд, сходящийся в некоторой окрестности рабочей точки . Поскольку такой ряд физически не реализуем, приходится ограничивать число членов ряда, исходя из требуемой точности. Степенная аппроксимация применяется при относительно малом изменении амплитуды воздействия относительно .

Рассмотрим типичную форму ВАХ любого НЭ (рис. 1).

Напряжение определяет положение рабочей точки и, следовательно, статический режим работы НЭ.

Рис. 1. Пример типичной ВАХ НЭ

Обычно аппроксимируется не вся характеристика НЭ, а лишь рабочая область, размер которой определяется амплитудой входного сигнала, а положение на характеристике – величиной постоянного смещения . Аппроксимирующий полином записывается в виде

где коэффициенты определяются выражениями

Аппроксимация степенным полиномом заключается в нахождении коэффициентов ряда . При заданной форме ВАХ эти коэффициенты существенно зависят от выбора рабочей точки , а также от ширины используемого участка характеристики. В этой связи целесообразно рассмотреть некоторые наиболее типичные и важные для практики случаи.

1. Рабочая точка расположена на середине линейного участка (рис. 2).

Рис. 2. Рабочая точка ВАХ – на середине линейного участка

Участок на характеристике, где закон изменения тока близок к линейному, относительно неширок, поэтому амплитуда входного напряжения не должна выходить за пределы этого участка. В этом случае можно записать:

– дифференциальная крутизна характеристики.

Этот случай применим только при слабом сигнале , поскольку в этом случае можно без большой погрешности пренебречь нелинейностью ВАХ.

2. Рабочая точка расположена на начальном участке характеристики.

Рис. 3. Рабочая точка ВАХ – на начальном участке характеристики

При небольшом изменении амплитуды входного сигнала относительно можно с малой погрешностью аппроксимировать ВАХ квадратичной параболой (степенным полиномом второго порядка). Аппроксимирующее выражение будет иметь вид

Как и в выражении (6.6), – ток покоя (постоянная составляющая выходного тока); – крутизна характеристики в точке . Для определения значений и необходимо составить систему уравнений:

Отсюда можно записать:

3. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики (рис. 4).

Рис. 4. Рабочая точка ВАХ – точка перегиба

В точке перегиба все четные производные функции обращаются в нуль, поэтому в выражении (3) будут присутствовать только слагаемые с нечетными степенями , k = 1, 2, 3, … .

Напомним, что точка перегиба – точка кривой, в которой:

1) вогнутость (выпуклость) кривой меняется на выпуклость (вогнутость);

2) кривая «лежит» по разные стороны от касательной в этой точке.

В общем случае аппроксимирующий полином может быть любого, сколь угодно высокого порядка. Однако в большинстве практических случаев достаточную для инженерной практики точность дает полином третьей степени:

На рисунке 4 график, соответствующий (6), показан пунктирной линией. Рабочий участок ВАХ (динамический диапазон) определяется интервалом . На границах этого интервала производные аппроксимирующей функции обращаются в нуль. Для нахождения коэффициентов и необходимо, как и в предыдущем случае, составить систему уравнений и решить ее относительно и :

При очень больших амплитудах входного сигнала часто бывает удобнее заменять реальную характеристику идеализированной, составленной из отрезков прямых линий. Такое представление ВАХ называется кусочно-линейной аппроксимацией. На рисунке 5 показаны некоторые характерные примеры.

Рис. 5. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ

2. Графоаналитический и аналитический методы анализа

Графоаналитический метод анализа

Этот метод используется в тех случаях, когда отсутствует отсечка тока. Этот метод известен под названием трех (пяти, семи) ординат. Суть его заключается в следующем (рис. 6): пусть на НЭ воздействует напряжение

Рис. 6. Иллюстрация графоаналитического метода анализа

Ток через НЭ будет представлять собой периодическое колебание сложной формы. Аналитически его можно записать в виде ряда Фурье

В реальных исследованиях приходится ограничивать число членов ряда, а для определения амплитуд используются вышеназванные методы. Практически наиболее часто применяются методы трех и пяти ординат.

Суть метода заключается в следующем: ВАХ нелинейного элемента делится на три (пять) участка, точки 1, 3, 5 или 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 6.6), при этом фиксируются значения входного и выходного сигналов ( и ). Затем составляется система из трех (пяти) уравнений для токов и решается относительно неизвестных и т. д. Из графика на рисунке 6 видно, что в точках 1–5 будут следующие значения амплитуд и фаз входного и выходного сигналов (табл. 1).

Мгновенная фаза входного сигнала,

Амплитуда входного сигнала, u(t)

Нелинейные искажения телевизионного сигнала

На число воспроизводимых градаций яркости на ТВ экране влияет нелинейность амплитудной характеристики канала связи от «света до света». В цветном телевидении нелинейность амплитудной характеристики влияет также и на правильность цветовоспроизведения. Нелинейными элементами в канале связи считаются преобразователи «свет — сигнал» и «сигнал — свет». Остальные элементы тракта передачи будем считать в первом приближении линейными.

Рассмотрим более подробно влияние этих факторов на качество изображения.

Нелинейные искажения телевизионного сигнала возникают в фотоэлектронных и электронно-оптических преобразователях из-за нелинейности световой и модуляционной характеристик соответственно, а также в электрическом канале передачи (модуляторе передатчика, каскадах видеоусилителя и др.).

На практике эти искажения определяются главным образом нелинейными характеристиками оконечных устройств – передающими и приемными трубками.

Световая характеристика передающей трубки определяется зависимостью тока сигнала от освещенности на фотокатоде Ic = f(E) или, учитывая, что Ic≡Uc , a E≡Воб , световую характеристику передающей трубки часто выражают следующим соотношением: Uc=φ(Воб),

где Uc — напряжение сигнала, Воб — яркость передаваемого объекта.

Световая характеристика передающих трубок нелинейна и в общем случае с достаточной для практики точностью может быть аппроксимирована выражением: Uc = k1Воб γ1 , (2.25)

где k1 — коэффициент пропорциональности, γ1 — показатель степени, определяющий форму световой характеристики.

Световые характеристики различных передающих трубок имеют не одинаковые значения γ1 . Более того, значение γ1 может в некоторых пределах меняться при изменении режима работы трубки или содержания передаваемого изображения. Однако для всех передающих трубок γ1≤1.

Модуляционная характеристика кинескопа представляет собой зависимость яркости свечения экрана от напряжения на модулирующем электроде и выражается зависимостью: Виз=φ(Uc),

где Виз— яркость изображения.

Как известно, модуляционная характеристика кинескопа нелинейна и может быть аппроксимирована с достаточной для практики точностью следующей функцией: Виз= k2Uc γ2 , (2.26)

где k2 – коэффициент пропорциональности.

Обычно для приемных трубок γ2=2. 3. Общая характеристика нелинейности может быть определена аналитически путем подстановки значения Uc из (2.25) в (2.26):

Из (2.27) видно, что результирующий гамма-коэффициент нелинейности γ равен произведению показателей степени γ1 и γ2 . Если телевизионный канал имеет нелинейную характеристику с показателем γ3 , то в результирующее значение γ должна войти и эта величина, т. е. . γ=γ1γ2γ3. Следовательно, показатель степени γ определяет результирующую нелинейность и может приобретать различные значения в зависимости от нелинейности отдельных узлов тракта.

Нелинейные искажения в черно-белом телевидении приводят к нарушению правильного воспроизведения градаций яркости (передачи полутонов), а в цветном, кроме того, и к искажениям цветности. Если результирующая нелинейность телевизионного тракта будет иметь показатель степени γ 1 изображение будет излишне контрастным по сравнению с контрастностью передаваемого объекта.

Яркость реальных объектов может достигать нескольких тысяч кандел на квадратный метр, а контраст – 1000 и выше. Современные же кинескопы могут обеспечить максимальную яркость 100–200 кд/м 2 при контрасте 100–200. Следовательно, динамический диапазон яркости репродукции в общем случае меньше диапазона изменения яркости передаваемого объекта. Таким образом, при воспроизведении число градаций на репродукции будет меньше, чем на объекте. При ограниченном числе воспроизводимых градаций с целью улучшения качества изображения необходимо перераспределить число воспроизводимых градаций внутри динамического диапазона яркости изображения так, чтобы увеличить число градаций в сюжетно важном участке диапазона за счет уменьшения числа градаций в остальных участках. Это может быть осуществлено с помощью выбора определенной формы нелинейности амплитудной характеристики передачи.

Рассмотрим графически искажения градаций яркости изображения при коэффициенте γ >1. Для удобства количественной оценки нелинейных искажений на вход исследуемого устройства подают напряжение равноступенчатого сигнала.

Для упрощения построения графиков обычно по оси абсцисс и ординат откладывают не абсолютные значения яркости объекта и изображения, а их относительные значения.

На рис. 2.21 показано графически возникновение нелинейных искажений при коэффициенте γ >1. Нетрудно видеть, что нелинейные искажения будут присутствовать при любых значениях γ ≠1. В частном случае при γ = 2 , как видно из рис. 2.21, перепады яркостей первых нескольких ступенек будут практически неразличимы, и они сольются. Следовательно, количество видимых градаций уменьшается.

рис.2.21.Влияние нелинейных искажений на форму видео сигнала

В черно-белых телевизионных системах сюжетно важными полутонами являются полутона крупных деталей в области больших освещенностей. Исходя их этого для этих систем форма характеристики должна иметь нелинейность с коэффициентом контрастности γ >1. При этом в области белого перепады яркости растягиваются (увеличиваются по амплитуде), и там может воспроизводиться большее число градаций. Экспериментальным путем установлено, что наилучшее качество изображения для черно-белых вещательных систем получается при γ ≡1,3.

Для обеспечения подобия воспроизведенного изображения с объектом необходимо иметь прямую пропорциональность между яркостями соответствующих точек объекта и изображения. Для коррекции полутоновых искажений изображений, т. е. получения определенной формы нелинейной амплитудной характеристики, в телевизионный тракт вводится нелинейный корректор с амплитудной характеристикой, описываемой выражением:

где γк– показатель степени, определяющий форму нелинейности амплитудной характеристики корректора.

В этом случае результирующий коэффициент нелинейности телевизионного тракта «от света до света» будет определяться так:

Из соотношения (2.28) видно, что для получения линейной амплитудной характеристики всего телевизионного тракта необходим корректор с коэффициентом нелинейности:

Выбор оптимального значения γк осложняется тем, что модуляционные характеристики кинескопов имеют довольно большой разброс коэффициентов нелинейности, а нелинейность световой характеристики передающих трубок кроме этого зависит от содержания изображения.

Принцип работы схемы корректора нелинейности (гамма-корректора) поясняется на рис. 2.22. Он основан на применении нелинейных элементов с таким расчетом, чтобы, регулируя их, можно было менять гамма-характеристику в желаемых пределах. Сигнал передаваемого изображения, искаженный нелинейной характеристикой телевизионного тракта (рис. 2.22, а) (сигнал с неравномерными перепадами напряжений), поступает на вход гамма-корректора, нелинейная характеристика (рис. 2.22, б) которого рассчитана так, что сигнал на выходе (рис. 2.22, в) получается необходимой формы.

рис. 2.22.Принцип работы гамма-корректора

Схемы гамма-корректоров строятся на разных принципах, однако наибольшее распространение получили гамма-корректоры, в которых требуемая форма амплитудной характеристики получается за счет изменения амплитудно-зависимой отрицательной обратной связи, нелинейного изменения сопротивления нагрузки или амплитудно-зависимого делителя сигнала изображения.

Для работы гамма-корректора необходимо, чтобы уровни сигналов, соответствующие одинаковым яркостям изображения, всегда располагались на одних и тех же нелинейных участках характеристики корректора. Для этого в телевизионном сигнале, поступающем на нелинейный элемент корректора, должна быть восстановлена постоянная составляющая, т. е. фиксирован уровень черного сигнала изображения.

В качестве нелинейных элементов в схемах гамма-корректоров обычно используются полупроводниковые диоды, имеющие нелинейные вольтамперные характеристики. Для получения достаточно больших значений нелинейности диоды иногда включают последовательно или параллельно.

В качестве примеров рассмотрим два вида корректоров, используемых на практике.

рис. 2.23.Принципиальная схема гамма-корректора

На рис. 2.23 изображена упрощенная схема гамма-корректора, в которой использован принцип амплитудно-зависимой отрицательной обратной связи. Величина отрицательной обратной связи меняется нелинейно в зависимости от мгновенного значения телевизионного сигнала, подаваемого на затвор полевого транзистора VT. В цепи затвора VT производится восстановление постоянной составляющей сигнала (ВПС). Диоды VD1 и VD2 , включенные в цепь истока, заперты напряжениями U1 и U2 до тех пор, пока на затвор VT не поступит сигнал. При определенной амплитуде сигнала сначала отпирается диод VD1 , и сопротивление в цепи истока уменьшается от величины R2 до значения:

Для упрощения будем считать, что VD1 и VD2 в запертом состоянии обладают бесконечно большим сопротивлением, а доля сопротивлений резисторов R4 и R6 при определении эквивалентной нагрузки в цепи истока пренебрежимо мала.

При увеличении амплитуды сигнала отпирается VD2 , а эквивалентное сопротивление в цепи истока определится так:

Коэффициент усиления данного каскада будет равен:

где Sd — динамическая крутизна.

где S – статическая крутизна, а Rи – сопротивление в цепи истока. Исходя из этого, в данном каскаде усиление меняется обратно пропорционально изменению R2 . Следовательно, если R2 уменьшается с увеличением амплитуды сигнала на затворе VT, то коэффициент усиления растет с увеличением сигнала.

На рис.2.23, б показан график зависимости Uс вых от Uс вх. Как видно из рисунка, это – ломаная линия, а не плавная кривая. Однако чем больше диодов включать в цепь истока, тем точнее будет приближение к требуемой зависимости. Потенциометры R4 и R6 изменяют напряжения U1 и U2 отпирания диодов, т. е. с их помощью можно изменять координаты точек перегиба кривой и таким образом в некоторых пределах регулировать величину γк.

В описанной схеме гамма-корректора при регулировке величины гамма-коэффициента происходит изменение размаха выходного сигнала. Это может нарушить режим работы последующих звеньев телевизионного тракта. От этого недостатка свободны так называемые двухканальные гамма-корректоры (рис. 2.24).

Сигнал подается на два самостоятельных гамма-корректора, имеющих различное значение γк. В первом корректоре γк1 >1, например, γк1=2, а во втором -γк2

Дата добавления: 2015-03-20 ; просмотров: 1517 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

ЛК3(в) > Разложение сигналов. Приближение нелинейных систем к линейным

6. Метод замещения при анализе сигналов

Основная идея метода замещения – замена сложной проблемы несколькими более простыми. Существуют два основных способа разложения сигнала при его обработке: импульсное разложение (impulse decomposition) и разложение Фурье (Fourier decomposition). Кроме этих способов, существуют ещё несколько разных методов разложения.

При импульсном разложении сигнал, содержащий N отсчетов, разбивается на N составляющих сигнала, каждая из составляющих которого содержит только одну точку, совпадающую с одним из значений исходного сигнала, а остальные составляющие – нулевые (рисунок 3.12).

Рисунок 3.12 Пример импульсного разложения сигнала

Сигнал, состоящий из одного ненулевого отсчета, называется импульсом (impulse). Импульсное разложение позволяет разложить сигнал на серию одиночных импульсов. Таким образом, характеристика системы определятся как реакция на импульс. Если знать реакцию системы на одиночный импульс, то легко просчитать ее реакцию на любой входной сигнал. Такой метод называется сверткой (convolution).

Разложение сигнала на составляющие типа «скачек» (step decomposition) – при таком разложении сигнал, состоящий из N отсчетов, раскладывается на N составляющих, каждая из которых содержит N отсчетов (рисунок 3.13). Каждая составляющая сигнала представляет собой функцию типа «скачек» (step), в которой первые отсчеты равны нулю, а последующие отсчеты имеют некоторое постоянное значения. Рассмотрим разложение сигнала , состоящего из N отсчетов, на составляющие: . Составляющая сигнала (k-тый компонент) состоит из k-1 отсчетов, равных 0, а остальные точки имеют значение, равное . Например, 5-я компонента сигнала будет состоять из нулей для отсчетов с 0 по 4, а следующие отсчеты будут иметь одинаковое значение, равное (разница между 4 и 5 отсчетом в исходном сигнале). В некоторых случаях, составляющая имеет все отсчеты, равные значению отсчета . Если импульсное разложение представляет сигнал единственной точкой на всем интервале, то разложение на функции типа «скачек» представляет сигнал разницей между двумя соседними отсчетами. Таким образом, система характеризуется своей реакцией на изменения во входном сигнале.

Рисунок 3.13 Разложение сигнала на составляющие типа «скачек»

Разложение сигнала на четные/нечетные составляющие позволяет разложить исходный сигнал на две компоненты. Одна имеет четную симметрию (even symmetry), а другая – нечетную симметрию (odd symmetry). Для сигнала, состоящего из N отсчетов, четная симметрия означает, что отсчеты сигнала зеркально отражаются относительно точки . Таким образом, отсчет с номером должен быть равен отсчету , а отсчет с номером , должен быть равен . Соответственно, нечетная симметрия говорит о том, что соответствующие отсчеты сигнала имеют одинаковые значения по амплитуде, но противоположного знака, т.е. , а и т.д. Данное разложение гарантирует, что сигнал содержит четное количество отсчетов, а номера отсчетов нумеруются от 0 до N-1. Значения отсчетов для четной и нечетной составляющих сигнала определяются по следующему уравнению:

где — четная последовательность;

Т.к. данный способ расчета основан на циклической (кольцевой) симметрии, то нулевые отсчеты определяются следующим образом и . Все составляющие состоят из N отсчетов, а индексы изменяются от 0 до .

Такой способ разложения – один из важных элементов ЦОС, называемый циклической (кольцевой) симметрией (circular symmetry). В основе этого метода лежит способ соединения последнего отсчета с его первым отсчетом.

Как после точки следует точка , так после точки следует точка . Это как змея, ухватившая себя за хвост. Если рассматривать четную и нечетную последовательности с точки зрения кольцевой симметрии, естественно, имеются две оси симметрии – в точке и в точке . Например, для четной последовательности, симметрия относительно точки гарантирует, что значения в точке равно значению в точке , а значения в точке равно значению в точке и т.д. Для нечетной последовательности значения в точке 0 и точке всегда равно нулю. Для четной последовательности значения в этих точках всегда равно значению в исходном сигнале.

Сама идея цикличности сигнала для такого способа разложения не очень важна, эта идея более важна для анализа Фурье – когда сигнал рассматривается как непрерывная последовательность с определенным периодом повторения. Для такого способа разложения важно, что сумма четной и нечетной последовательности дает нам исходный сигнал.

Чередующееся (interlaced) разложение позволяет разделить исходный сигнал на две составляющие – содержащие четные отсчеты сигнала и нечетные отсчеты сигнала (здесь нет четной и нечетной симметрии сигнала). Для формирования составляющей с четными отсчетами сигнала берется исходный сигнал, в котором все нечетные отсчеты заменяются нулевым значением. Аналогично получается составляющая с нечетными отсчетами (четные отсчеты сигнала заменяются нулевыми) (рисунок 3.14).

Рисунок 3.14 Чередующееся разложение сигнала

На первый взгляд такой способ разложения сигнала прост и неинтересен. Но данный способ разложения является базовым для широко применяемого в ЦОС алгоритма обработки данных – быстрого преобразования Фурье (Fast Fourier Transform, FFT). Идея этого алгоритма как раз заключается в многократном разложении
сигнала способом чередования, вычисления преобразования Фурье для отдельных компонентов сигнала и последующий синтез с целью получения выходного сигнал. Такой способ позволяет сократить время вычисления преобразования Фурье в сотни или тысячи раз.

Разложение Фурье (Fourier Decomposition) – имеет серьезную математическую основу и не столь прозрачно и понятно. С помощью данного разложения любой сигнал, состоящий из N отсчетов, может быть разложен на N+2 компонентов, половина из которых – синусоидальные сигналы, а другая половина – косинусоидальные сигналы. Наименьшая частота этих гармонических колебаний (называемых и ) равна нулю (ноль колебаний за период в N отсчетов), т.е. соответствует постоянному уровню (DC). Следующие гармонические составляющие и , и , и содержат 1, 2 или 3 периода колебаний сигнала на интервале N отсчетов, соответственно. Так как частота колебаний этих составляющих фиксирована, то все изменения могут заключаться только в амплитуде синусных и косинусных составляющих (рисунок 3.15).

Разложение Фурье является очень важным по трем причинам. Во-первых, большое количество сигналов формируется путем сложения нескольких синусоидальных сигналов (хороший пример – аудиосигналы). Разложение Фурье позволяет провести непосредственный анализ информации, содержащейся в таких сигналах. Во-вторых, линейные системы реагируют на синусоидальный сигнал однозначно – выходной сигнал тоже будет синусоидальным. В этом случае, реакция системы проявится в изменении амплитуды или фазы входного сигнала, т.е. реакция системы определяется однозначно. В-третьих, разложение с применением математических преобразований, называемых анализом Фурье (Fourier analysis), имеет ряд преимуществ перед преобразованием Лапласа и Z-преобразованием. Многие алгоритмы ЦОС основаны на анализе Фурье. Основная идея разложения Фурье заключается в том, что сумма всех гармонических составляющих сигнала позволяет восстановить исходный сигнал.

Рисунок 3.15 Пример разложения сигналов на гармонические составляющие.

7. Анализ нелинейных систем путем приближения к линейным

Особенность применения линейных систем заключается в том, что существует один из методов анализа нелинейных систем, который заключается в приближении нелинейных систем к линейным системам. Для этого существуют три способа.

Во-первых, игнорирование нелинейности. Если нелинейность мала, ею можно пренебречь, т.е. система анализируется как линейная. Ошибка, которая в этом случае получится, соизмерима с шумами.

Во-вторых, принять диапазон изменений входного сигнала очень малым. Большинство нелинейных систем ведут себя линейно при малых входных сигналах. Например, транзистор очень нелинейный элемент для сигналов с большой амплитудой, но ведет себя линейно, если амплитуда входного сигнала не превышает нескольких милливольт.

В-третьих, применение линеаризирующих преобразований. Например, если необходимо выполнить перемножение сигналов , можно изменить сигналы на их логарифмы, и заменить операцию умножения операцией сложения: . Все это называется линеаризацией сигналов. Такая техника используется при обработке изображений.

Каждый электрик должен знать:  Соединения в звезду и треугольник, фазные и линейные напряжения и токи
Добавить комментарий
1. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл1.Введение.doc
2. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл10. Нелинейные Цепи.doc
3. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл11.Применение нел_цепи.doc
4. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл12.Обратные связи.doc
5. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл13.Устойчивость.doc
6. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл14.Автогенераторы.doc
7. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл15.начало теор. вер.doc
8. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл16.оптималсист.doc
9. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл2.Теория сигналов.doc
10. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл3.Теория цепей.doc
11. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл4.Примеры применения классич. метода.doc
12. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл5.Метод компл. ампл.doc
13. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл6.Преобразование Лапласа.doc
14. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл7.Применение интегралов свертки.doc
15. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл8.Имп.хар-ка.DOC
16. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл9.Част-изб-цеп.doc
17. /радиотехнические цепи и сигналы/Конспет лекций ЦУиМ.doc
18. /радиотехнические цепи и сигналы/титулРЦИС.doc
Факультет гражданской авиации
Нелинейные цепи
Воздействие гармонического колебания на безинерционный нелинейный элемент
Лекция 10 Обратные связи в радиотехнических цепях
Устойчивость систем с ос
Колебательный процесс, существующий в цепи без внешнего воздействия, называется автоколебательным
Лекция основные понятия теории вероятностей
Оптимальные линейные системы
Специальные сигналы и их спектральные плотности
Радиотехнические элементы, цепи, устройства, системы
Пример №1 Включение источника постоянного напряжения в rl цепь
Метод комплексных амплитуд (символический метод)
Применения преобразований Лапласа к анализу линейных цепей
Применение интегралов свертки (Наложения, Дюамеля) к анализу линейных цепей
Импульсная функция цепи (системы) и её применения
Частотно –избирательные цепи
Факультет гражданской авиации
Факультет гражданской авиации

ВОЗДЕЙСТВИЕ ГАРМОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ НА БЕЗИНЕРЦИОННЫЙ

Это воздействие уже рассматривалось при существенном ограничении: амплитуда сигнала должна быть малой. В этом случае НЭ замещается линейной эквивалентной схемой.

Однако в случае большого сигнала такой подход становится неверным, т.е. он неправильно описывает явления в цепи. Поэтому необходимо рассмотреть воздействие сигнала с возможно более полным учетом нелинейности, т.е. режим большого сигнала.

При анализе этого режима применяются различные модели НЭ, различные аппроксимации ВАХ.

Для предварительного анализа с целью выработки интуиции рассмотрим простой случай, когда ВАХ НЭ описывается выражением

Изменился спектральный состав тока, появилась вторая гармоника, изменилась постоянная составляющая. По этому изменению можно судить о наличии сигнала, т.е. использовать цепь с НЭ как детектор. Эту же цепь можно использовать и как умножитель частоты.

Существует много математических моделей, математических описаний НЭ. При выборе модели исходят из следующих соображений:

— общий характер задачи;

— адекватность модели реальности, т.е. описание моделью реального НЭ с минимальной ошибкой;

Существует большой выбор моделей. Одна из них — описание НЭ линейно-ломанной линией. Тогда гармоники сигнала описываются функциями Берга.

Рассмотрим другую возможность — степенную аппроксимацию. При этом ВАХ разлагается в сходящийся степенной ряд.

Тогда при , пользуясь известными формулами

и т.д., найдем амплитуды соответствующих гармоник токов.

Постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами ряда с четными номерами, а амплитуды нечетных гармоник — нечетными номерами.

Общий вид амплитуды n-ой гармоники

Т.о., с помощью НЭ можно производить детектирование и умножение частоты в N раз.

N зависит от вида ВАХ и выбора рабочей точки. Простейший умножитель частоты имеет контур, настроенный на частоту Nω, а Е — смещение выбрано так, чтобы 3-я гармоника

была максимальной. Здесь более удобно использовать аппроксимацию Берга.

В линейном усилителе обратная ситуация — нужно выбрать рабочую точку так, чтобы амплитуды гармоник были минимальными. Качество усилителя оценивается коэффициентом нелинейных искажений

Для квадратичной характеристики Кн л = А2*Um / 2A1

У качественного усилителя Кн л

Воздействие нескольких гармонических сигналов на НЭ

Пусть на НЭ, описываемый полиномом 2-го порядка действует сигнал

Подставив это выражение в ВАХ, получим

Для определенности пусть ω1 > ω2 .Рассмотрим спектр сигнала.

Анализ спектра показывает, что здесь мы имеем следующие явления:

Преобразовать частоту можно как вверх относительно избранной частоты, так и вниз.

Коэффициент АМ m=2*A2*Um 1/A1 если W2 частота модуляции.

Таким образом, НЭ позволяет производить с сигналом такие операции, которые невозможно произвести в линейных цепях.

Уточним эти операции и рассмотрим функциональные схемы, позволяющие их выполнить.

Как ясно из предыдущего, принцип работы умножителя частоты основан на применении нелинейного элемента, создающего гармоники напряжения ( тока ) при действии на него синусоидального напряжения.

частотой ω

нелинейный

фильтр, настро-енный на час-

фильтр, настро-енный на час-

Для получения балансной модуляции можно использовать перемножитель сигналов.

ω – частота несущего сигнала, Ω- частота модулирующего (информационного) сигнала.

Сигнал однополосной модуляции можно получить, используя фильтр, настроенный либо на верхнюю, либо на нижнюю боковую полосу сигнала балансной модуляции.

Обычная амплитудная модуляция

Для получения обычной амплитудной модуляции можно использовать следующую функциональную схему:

Работа устройства описывается следующей формулой:

где USUM — выходное напряжение на выходе сумматора.

Угловые модуляторы (УМ)

Угловую модуляцию можно осуществить различными способами. Здесь рассматривается УМ с помощью безинерционного НЭ (метод Армстронга). Его работа поясняется функциональной схемой и векторной диаграммой.

При небольших углах ,а

Для увеличения индекса модуляции используют умножение частоты. Если на входе умножителя девиация частоты Δω , то на выходе nΔω.

Способы угловой модуляции с применением нелинейных реактивных элементов рассмотрены далее.

Детекторы модулированных сигналов

Фазовый детектор на основе перемножителя.

Такие детекторы можно осуществить различными способами.

1.Фазовый детектор с дифференциатором.

Если после фазового детектора разместить дифференциатор, то работа такого устройства будет описываться выражением:

2. Частотный детектор с преобразованием ЧМ сигнала в АМ сигнал.

Принцип работы этого детектора заключается в следующем. Если взять резонансный контур, расстроенный относительно несущей частоты ЧМ сигнала, то при изменении его частоты вследствие модуляции выходной сигнал, снимаемый с контура, будет изменяться по амплитуде в соответствии с резонансной характеристикой контура. Таким образом частотная модуляция преобразуется в амплитудную. Работу такого модулятора можно пояснить рисунком и расчетом.

Сопротивление параллельного резонансного контура можно найти по формуле:

где ξ 2 обобщенная расстройка, для которой можно записать следующее выражение: где:

ωр -резонансная частота контура, ωс –несущая частота модулированного сигнала, ωм –максимальное изменение частоты, Ω –частота модуляции, Q –добротность контура.

Представим обобщенную расстройку состоящей из двух частей: одна часть вызвана смещением несущей частоты относительно резонансной частоты контура, а вторая – частотной модуляцией:

Теперь можно найти изменение сопротивления контура вследствие расстройки, вызванной частотной модуляцией:

Выходное напряжение Uвых=IΔZ I –амплитуда тока.

Существует много различных типов амплитудных детекторов.

  1. Квадратичные детекторы.

Как указывалось выше, НЭ с квадратичной ВАХ может использоваться в качестве детекторов, т. е. обнаруживать низкочастотный информационный сигнал.

  1. Детектор по схеме выпрямитель ( ограничитель ) – ФНЧ.

Такие детекторы могут использовать НЭ с линейно – ломанной характеристикой, которую можно аппроксимировать экспонентой для разложения в степенной ряд. И здесь основным членом будет квадратичный.

  1. Вместо НЭ можно использовать систему перемножитель- ФНЧ. Это – корреляционный детектор. Его выходной информационный сигнал также квадратичный. Для получения линейного информационного сигнала он должен быть дополнен извлекателем корня, что очень сложно сделать аналоговыми методами.

Все эти детекторы из-за квадратичности искажают информационный сигнал, создавая 2-ю гармонику этого сигнала.

  1. Линейный амплитудный детектор.

Это наиболее часто используемая схема. Однако теория его работы, основанная на функциях Берга, является очень грубым приближением, т.к. не учитывает изменение угла отсечки. Этот детектор трудно разбить на отдельные независимые блоки, выполняющие единственные операции: умножение, фильтрацию и т.д. Скорее всего, имеется внутренняя обратная связь, которая линеаризует характеристику детектора.

  1. Цифровой детектор.

Учитывая бурное развитие цифровой техники, возможно построение линейного амплитудного детектора по схеме автокорреляционный детектор – извлекатель квадратного корня. Ниже изображена функциональная схема такого детектора.

После ФНЧ тогда

Синхронные (когерентные, корреляционные) детекторы

В тех случаях, когда в точке приема есть колебание с частотой, точно равной частоте сигнала, можно использовать синхронные детекторы. Основу таких детекторов составляют перемножитель и ФНЧ т.е. их структура представляет рссмотренный выше фазовый детектор. При необходимости добавляются дополнительные фильтры.

В общем случае напряжение на выходе такого детектора имеет вид:

где — напряжение местного источника напряжения, — напряжение сигнала.

а) амплитудный детектор

Если то напряжение на выходе ФНЧ

г) детектор ОБП сигнала (например, для нижней боковой)

д) детектор БМ сигнала

т.к. каждая полоса дает СosΩt т.к. каждая полоса дает CosΩt .

Для показа принципов работы вышеперечисленных устройств использовались в зависимости от удобства сигналы синус или косинус. Реальный сигнал состоит из той и другой функций. Поэтому надо использовать квадратичную обработку. Возможно для этого и используется преобразование Гильберта.

Угловые модуляторы на основе нелинейной емкости

В качестве нелинейной емкости часто используется емкость PN перехода, смещенного в обратном направлении. Диоды, работающие в таком режиме, называются варикапами. Схема с таким диодом показана ниже.

Здесь D1- варикап. С помощью источника Ес варикап устанавливается в режим нелинейной емкости. Переменное напряжение Е, подаваемое через трансформатор Т1 модулирует значение емкости варикапа, включенного параллельно емкости контура генератора. Таким образом, при изменении емкости варикапа меняется емкость контура и, следовательно, частота генератора. Выходное частотно модулированное колебание снимается с точки А. Изменение частоты дается формулой

ΔС — амплитуда изменения емкости варикапа, ωр – резонансная частота контура.

Вышеприведенную схему можно использовать как фазовый модулятор. Для этого надо разорвать обратную связь между базой и коллектором транзистора и превратить ее в усилитель. При изменении емкости варикапа контур будет расстраиваться относительно частоты входного сигнала, что приедет к изменению фазы выходного сигнала, снимаемого с контура. Т.к. , то сигнал при расстройке приобретает угол

Фазовая модуляция сопровождается паразитной частотной модуляцией т.к. из-за расстройки меняется сопротивление контура.

Цепь ранее характеризовалась оператором Т, воздействовавшим на входной сигнал.

Если Т является функцией времени, то такая цепь называется нестационарной. Такая цепь является линейной, т.е.

Т(t)[aUвх1 + bUвх2] =TUвх1 + bTUвх2

Для создания такой цепи надо, чтобы параметры хотя бы одного из ее элементов зависели от времени — R(t),C(t),L(t).

Если параметры такой цепи изменяются во времени по определенному закону, то такая цепь называется параметрической.

Реализовать параметрические цепи можно двумя способами:

  • используя внешний физический процесс, например механически изменяя параметры цепи;
  • используя НЭ, на который воздействует специальный генератор тока или напряжения изменяющий, изменяющий эти параметры.

В радиотехнической практике широко используется второй способ получения параметрической цепи. Поэтому такая цепь является некоторой идеализацией, упрощенной моделью нелинейной цепи, учитывающей некоторые характерные явления, происходящие в этой цепи.

Резистивные параметрические цепи

Вначале рассмотрим самый простой пример для выяснения основных ее свойств.

Ток I в этой цепи

где R(t) = 1/G(t) При >>G(t)

Пусть G(t) = G(1+ mSinωt). Тогда

Из этого выражения видно, что в зависимости от соотношения частот ω и ωс можно получить:

— преобразователь частоты;

  • синхронный детектор.

Синхронный детектор

Выше уже рассматривался синхронный детектор на основе специального устройства – перемножителя. В параметрических резистивных элементах перемножение производится естественным образом по закону Ома.

Как было показано выше

Отсюда видно, что синхронный детектор может использоваться для детектирования как АМ, так и ФМ-ЧМ сигналов. Основная трудность при использовании синхронного детектора – необходимость точной синхронизации частоты сигнала и местного генератора – гетеродина.

Как уже отмечалось, НЭ на который действует напряжение гетеродина и сигнала, можно рассматривать как параметрический, если Uг >> Uс .

Как правило, параметрические цепи создаются на базе нелинейных цепей, т.е. в некоторых случаях нелинейные цепи рассматриваются как параметрические, иначе говоря, нелинейная цепь моделируется параметрической. В этом случае учитывают только некоторые явления, происходящие в этой цепи, а остальные по тем или иным причинам игнорируются.

Переход от нелинейных к параметрическим цепям можно сделать следующим образом:

Пусть ВАХ НЭ описывается функцией i=f(u) Тогда:

Остальные члены отбрасываем из-за малости Δu.

-напряжение гетеродина напряжение сигнала.

Подставив выражения для напряжения сигнала и гетеродина в приближенную формулу тока, получим:

где крутизна ВАХ, Uрт –напряжение в рабочей точке. Крутизна и ток при действии на НЭ гетеродина являются периодическими функциями времени. Разложим ток в ряд Фурье и отбросим все гармоники гетеродина, начиная со второй, т.к. предполагается применение соответствующих фильтров. Тогда:

где S(t)=S+S1Cosωгt + S2Cos2ωгt где S являются функциями рабочей точки и амплитуды гетеродина.

Отбрасывая вторую гармонику гетеродина, можно записать:

Выбирая подходящую рабочую точку, амплитуду гетеродина и подходящую фильтрацию, можно сделать основным член:

; Отбрасывая член с 2ωг , получим

Сформулируем алгоритм определения параметрической проводимости по ВАХ НЭ.

  1. Находим крутизну – производную ВАХ по напряжению S=f ‘(u)
  2. Вместо u подставляем U + UmгCosωгt
  3. Разлагаем крутизну в ряд Фурье
  4. Берем постоянную составляющую и первую гармонику
  5. Их сумма и есть G(t) (Шинаков, Колодяжный Основы Радиотехники )

Такой подход позволяет найти характеристики, определяющие работу того или иного нелинейного устройства. Такими характеристиками являются зависимости амплитуды гармоники тока от амплитуды напряжения гетеродина . Например, зависимость первой гармоники тока от амплитуды гетеродина называется колебательной характеристикой.

Реактивные параметрические элементы

Как уже отмечалось, в цепи кроме резистивных параметрических элементов могут быть и реактивные. Поскольку реактивные элементы не рассеивают энергию, то при определенных условиях в цепи с реактивными может происходить усиление и генерация колебаний.

В параметрических реактивных цепях используется энергия, поступающая в устройство на одной частоте ( подкачка), для усиления и генерации на другой частоте.

Энергетические соотношения в параметрических реактивных цепях

Известно, что энергия Е заряженного до напряжения U конденсатора емкостью С равна: E=CU 2 /2 или через заряд q. Тогда E=q 2 /2C

Если уменьшить емкость конденсатора с помощью внешней силы, например, раздвинуть пластины, то будет произведена работа против поля и энергия конденсатора возрастет на величину ΔΕ=EdC ⁄C

Известно, что, если заряженный конденсатор подключить к добротному колебательному контуру, то в контуре начнется периодический разряд конденсатора. Приложим к конденсатору внешнюю силу, изменяющую его емкость. Здесь очень важен момент времени приложения этой силы. Если емкость уменьшаем в момент времени, когда заряд конденсатора будет максимальным, а увеличиваем, когда заряд равен 0, то в контур будет поступать (подкачиваться) энергия от внешней силы. В простейшем случае емкость можно изменять два раза за период, а в общем случае – когда частота накачки ωнконтура/n где n- целое число.

Рассмотрим баланс энергии в простейшем случае. Если уменьшение емкости происходит в момент, когда напряжение на емкости максимально и равно Umc , то в контур поступает энергия ΔΕ=2EdC ⁄C=Umc 2 ΔC. Если такое уменьшение емкости делается два раза за период собственных колебаний контура, то в контур поступает энергия 2ΔE=Umc 2 C.

Сравним эту энергию с энергией потерь в контуре. Известно, что мощность потерь P можно определить по формуле P=Im 2 /r, где Im— амплитуда тока при резонансе, r- активное сопротивление контура. Используя соотношения:

Тогда для энергии потерь можно записать Ep=PT=P2π/ω=Umc 2 r2π/ρ 2 ω=Umc 2 πC/Q

Если энергия накачки равна энергии потерь, то в контуре могут установиться незатухающие колебания. Это произойдет при выполнении условия:

При C=20pF, Q=100 ΔC=0.63hF

Таким образом, в данном контуре возможна генерация сигнала на резонансной частоте.

Применение параметрической емкости для усиления сигнала.

Если в контур вносится дополнительная мощность, то можно считать, что в контур вносится отрицательное сопротивление, которое уменьшает имеющееся активное сопротивление и тем самым увеличивает мощность сигнала. Для оценки усилительного эффекта определим отрицательное сопротивление. По аналогии с активным сопротивлением, для вносимой энергии можно записать:

Более полно можно исследовать параметрические явления с помощью уравнения Матье

Y»+(δ+εCos2τ)Y=0; δ и ε – параметры цепи, τ- безразмерное время.

Рис. 1.2

Функция  (  0 t ,  ) — периодическая, разложим ее в ряд Фурье:

Коэффициенты разложения функции  n (  ) — (коэффициенты А.И.Берга) — представлены на рис.1.3а. Выразим ток i через (1.12):

Отсюда расчетная формула амплитуды любой гармоники

Практически расчет амплитуды этим методом при n  5  7 затруднителен, т.к. коэффициенты  n (  ) становятся малыми и погрешность расчета возрастает. Рассматриваемый метод угла отсечки для кусочно-линейной аппроксимации дает хорошие результаты только при достаточно больших амплитудах входного сигнала. При малых амплитудах сигнала кусочно-линейная аппроксимация сильно отличается от реальной ВАХ, особенно вблизи напряжения отсечки . Поэтому для малых сигналов лучшие результаты дает второй метод угла отсечки — для кусочно-параболической аппроксимации (1.5). Для этого метода сохраняется формула (1.8) для расчета cos  ( c заменой на ):

Изменяется формула (1.11) для расчета i max :

Амплитуды гармоник находятся по формулам:

Коэффициенты Берга (  ) приводятся на рис.1.3,б.

Существуют ещё 2 варианта метода угла отсечки, когда амплитуды гармоник находят не через i max , а через амплитуду входного напряжения U m .

Третий вариант метода угла отсечки рассчитан на кусочно-линейную аппроксимацию (1.4) и коэффициенты Берга (  ) — см. рис.1.3,в. Для третьего метода угла отсечки амплитуды гармоник находятся по формулам:

Четвертый вариант метода угла отсечки рассчитан на кусочно-параболическую аппроксимацию (1.5) и соответствующие коэффициенты Берга (  ) (рис.1.3,г):

Методы трех и пяти ординат. Эти методы вообще не требуют аппроксимации ВАХ. По графикам реальной ВАХ и входного воздействия (моногармонический сигнал с заданной амплитудой и смещением) находят три (или пять) значений тока, по которым путем простейших расчетов находят амплитуды гармоник. Рассмотрим метод трех ординат рис.1.4. Запишем усеченный ряд Фурье для первых трех гармоник:

Подставляя в эти уравнения значения трех координат (1,2 и 3) из графика (рис.1.4), получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными токами I 0 , I m 1 и I m 2 .

Так для точки 1:  0 t =0; i 1 = i max ; i max = I 0 + I m1 + I m2 ,

для точки 2:  0 t =  /2; i 2 = i п (ток покоя); i п = I 0 — I m 2 ,

для точки 3:  0 t =  ; i 3 = i мин ; i мин = I 0 — I m 1 + I m 2 .

Решая систему уравнений, получим:

Достоинство этого метода — простота, однако точность невысокая. Более точным является метод пяти ординат, к тому же дающий возможность расчета ещё двух гармоник — третьей и четвертой  1  .

Рис. 1.3. (А-Г) Коэффициенты А.И.Берга.

Схема работы и измерительная аппаратура

В данной работе используется универсальный лабораторный стенд со сменным блоком НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ. Принципиальная схема исследуемой цепи (рис. 1.5) содержит резистивный усилительный каскад на полевом транзисторе. Для формирования этой схемы достаточно переключатель НАГРУЗКА ( RVLC ) установить в положение » R «; состояние остальных переключателей макета безразлично (колебательный контур и связанные с ним цепи в данной работе не используются).

Источниками входных сигналов служат внутренние генераторы, гнезда и регуляторы выходного напряжения которых расположены в левой части стенда (в блоке ИСТОЧНИКИ СИГНАЛОВ). Там же находится встроенный звуковой генератор типа Г3-111. Входные сигналы, подаваемые на любые из трех входов макета (гнезда 1  3), а также напряжение смещения Е СМ , через сумматор (  ) подаются на затвор полевого транзистора (гнездо 4). Сумматор выполнен на операционном усилителе; его коэффициент передачи по каждому входу равен единице. Схема сумматора исключает взаимное влияние между входами 1,2 и 3, что позволяет измерять напряжения каждого источника, непосредственно на входе сумматора, не отключая остальные источники. Выходом макета является гнездо 5 в цепи стока. Напряжение смещения устанавливается движковым потенциометром в правой части стенда (ручкой Е СМ ) и контролируется вольтметром, расположенным выше. Для измерения постоянной составляющей тока стока ( i С ) там же расположен микроамперметр. Для включения прибора в цепь стока следует нажать кнопку » i С » в середине сменного блока.

В работе используются также встроенный вольтметр переменного напряжения типа В7-38, двухлучевой осциллограф и персональный компьютер (ПК), который в данной работе используется в качестве спектроанализатора.

  1. Снимите и постройте вольтамперную характеристику нелинейного элемента.

Исследуйте преобразование формы и спектра моногармонического сигнала на квадратичном участке вольтамперной характеристики нелинейного элемента.

Исследуйте преобразование формы и спектра бигармонического сигнала на квадратичном участке вольтамперной характеристики нелинейного элемента.

Выполните исследования по пунктам 2 и 3 для кусочно-параболического участка характеристики.

  1. Снятие вольтамперной (сток-затворной) характеристики полевого транзистора i С = f ( Е СМ ) производится путем последовательной установки ряда напряжений смещения (см. табл. 1.1), измеряя для каждого из них значения тока стока i С . Для последнего необходимо нажать кнопку » i С » и снять отсчет со встроенного миллиамперметра.

Преобразование гармонического сигнала в нелинейной цепи

На нелинейное сопротивление с ВАХ подается напряжение сигнала , спектр которого известен. Определить спектральный состав тока , протекающего в цепи с нелинейным элементом (Н. Э.). Пусть в цепь включено также постоянное смещение (рисунок 6. 7, а). Вследствие нелинейности вольт-амперной характеристики форма тока будет отличаться от гармонической. Представим периодическую функцию в виде ряда Фурье:

где –– постоянная составляющая тока;

Ток, протекающий через цепь с нелинейным элементом, содержит высокочастотные составляющие, которые являются следствием проявления нелинейности. Если бы вольт-амперная характеристика была линейна, то высших гармоник (при ) не было бы. Таким образом, нелинейные элементы обладают свойством преобразования частоты входного сигнала, которое заключается в том, что в нелинейных устройствах спектр выходного сигнала содержит новые гармоники, которых нет у входного сигнала (воздействия).

Расчет составляющих тока при заданных амплитуде напряжения U и напряжения смещения можно выполнить различными методами. Рассмотрим два из них:

1) метод степенного полинома;

2) метод кусочно-линейной аппроксимации.

а)
б)

Расчет составляющих тока при заданных амплитудах напряжения U и напряжения смещения можно выполнить различными методами. Рассмотрим два из них:

1) метод степенного полинома;

2) метод кусочно-линейной аппроксимации.

Исследование нелинейной цепи методом степенного полинома

Известно, что ВАХ нелинейного элемента может быть аппроксимирована степенным полиномом: , или при

Выполняя разложение для окрестности точки , получим уравнение для вольт-амперной характеристики в виде:

–– крутизна в исходной точке.

Рассмотрим 2 типичных случая: режим малого и режим большого сигнала.

Режим малого сигнала

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента и характер изменения тока в цепи приведены на рисунке 6.7.б.

При этом переменное напряжения сигнала на входе мало и рабочий участок характеристики можно принять за отрезок прямой линии. Членами высших порядков полинома (6.7)можно пренебречь. В этом случае выходная функция (ток) содержит постоянную составляющую и первую гармонику :

— постоянная составляющая тока,

— сопротивления постоянному току.

Амплитуда тока основной частоты

здесь –– сопротивление переменному току в рабочей точке или дифференциальное сопротивление.

Итак, в режиме малых колебаний рабочий участок остается в пределах линейной части характеристик, и от смещения не зависит.

Режим большого сигнала

Амплитуда переменного напряжения настолько велика, что рабочий участок выходит за пределы линейного участка вольт-амперной характеристики. Форма тока отличается от косинусоиды. В этих условиях пренебрегать членами высших степеней ряда (6.7) нельзя, так как эти высшие составляющие и будут определять тот эффект, который дает нелинейность. Продукты нелинейности количественно определяются членами полинома (6.7) при .

Составим таблицу составляющих ряда (6. 7) при различных k.

k Частота

Видно, что члены четных степеней ряда дают слагаемые четных гармоник, а члены нечетных степеней приводят к появлению составляющих всех нечетных гармоник. Из этого следует:

1. Нелинейность цепи приводит к тому, что спектр тока в общем случае содержит постоянную составляющую и гармоники с частотами , где

2. Соотношения между амплитудами отдельных гармоник зависят от характера нелинейности, положения исходной рабочей точки на характеристике, а также от амплитуды возбуждающего колебания.

6.4.2 Исследование нелинейной цепи методом кусочно-линейной аппроксимации

Метод применяется в тех случаях, когда вольт-амперную характеристику можно аппроксимировать с достаточной точностью двумя прямолинейными участками (рисунок 6. 8).

Пусть имеется нелинейный элемент с известной вольт-амперной характеристикой и на него поданы напряжение смещения и гармоническое косинусоидальное напряжение с амплитудой (рисунок 6. 8. б). Ток в цепи с нелинейным элементом в этом случае имеет форму отдельных импульсов. Длительность импульсов можно выражать в электрических градусах через угол отсечки. Углом отсечки называется половина выраженной в градусах длительности импульсов тока. Угол отсечки может изменяться от 0 до

Определим аналитическое выражение тока

Уравнения участка II вольт-амперной характеристики:

(6. 8) Так как , то подставив значение в (6. 8), получим

Из (6. 9) определим угол отсечки . Согласно рисунку 6. 8 при ток , значит

Определим, как зависит текущее значение тока i от угла отсечки . Для этого вычтем из (6. 9) соотношение (6. 10), получим

Пронормируем значения относительно максимального значения тока IМАКС. Максимальный ток протекает в цепи при . Тогда из выражения (6. 11) получим:

Разделив (6. 11) на (6. 12), получим нормированное значение тока

Это соотношение показывает, что для определения мгновенного значения нормированного тока достаточно знать угол отсечки . Используя выражения (6. 13), можно рассчитать постоянную составляющую и амплитуду всех гармоник тока:

где –– нормированные коэффициенты Берга.

Коэффициент постоянной составляющей определяется следующим образом (методика определения такая же, как и для определения коэффициентов в разложении Фурье):

Коэффициент первой гармоники:

Видно, что все коэффициенты зависят только от угла отсечки. Значения коэффициентов в зависимости от рассчитаны, табулированы и представлены в справочниках в виде графиков (рисунок 6. 9).

Рисунок 6. 9

Возможные режимы работы нелинейных элементов принято классифицировать по величине угла отсечки :

режим класса АВ: ;

Метод кусочно-линейной аппроксимации позволяет выразить все величины, характеризующий режим цепи, через одну величину – угла осечки , который и будет определять характер и величину образующихся гармонических составляющих.

Нелинейный элемент и воздействие на него единичного сигнала

Теория электрических цепей

Нелинейные электрические цепи при гармонических воздействиях

§ 11.3. Воздействие гармонического колебания на нелинейный резистивный элемент

Постановка задачи анализа. Пусть к нелинейному резистивному элементу подведено гармоническое колебание и постоянное напряжение смещения U 0 , т. е. пусть . Ток в элементе может быть найден по вольт-амперной характеристике элемента i = F ( u ) и является функцией времени i ( t ).

График тока i ( t ) может быть найден с помощью простейших построений, которые иллюстрируются на рис. 11.7 . Данные этого рисунка показывают, что реакция i ( t ) и воздействие u ( t ) могут существенно отличаться по форме.

Искажения формы сигнала, обусловленные нелинейностью характеристик электрической цепи, называются нелинейными искажениями .

При воздействии , подведенном к нелинейному элементу, ток i ( t ) в элементе будет периодической функцией времени, которая может быть представлена рядом Фурье в форме (5.9) :

Следовательно, ток в нелинейном элементе содержит постоянную составляющую D I 0 , гармоническое колебание с частотой w и начальной фазой j воздействия и гармонические колебания с частотами, кратными частоте воздействия (гармоники колебания). Начальные фазы гармоник кратны начальной фазе воздействия.

Появление гармоник в составе тока в элементе обусловлено нелинейностью его вольт-амперной характеристики, в связи с чем их часто называют продуктами нелинейности.

В соответствии с изложенным спектр амплитуд тока в нелинейном элементе при гармоническом воздействии на элемент является дискретным. Такими же будут спектры напряжений и токов в тех ветвях цепи, которые не подсоединены непосредственно к источнику гармонического воздействия.

В устройствах, используемых в режиме малого сигнала, нелинейные искажения носят паразитный характер и строго нормируются. Для их оценки обычно используется коэффициент нелинейности

где U m 1 – амплитуда колебания основной частоты (частоты воздействия), a U m 2 , U m 3 , . – амплитуды гармоник напряжения на выходных зажимах устройства. Так, в высококачественных системах звуковоспроизведения коэффициент нелинейности не превышает долей одного процента.

Ниже рассматриваются аналитические методы вычисления спектров амплитуд колебаний в нелинейных резистивных электрических цепях для различных функций, аппроксимирующих вольт-амперную характеристику нелинейного элемента.

Спектр реакции при полиномиальной характеристике нелинейного элемента. Пусть в окрестности рабочей точки ( U 0 , I 0 ) вольт-амперная характеристика нелинейного элемента описывается полиномом степени n :

При гармоническом воздействии, когда ,

Для нахождения спектра амплитуд реакции тока i ( t ) в нелинейном элементе удобно вместо общего метода разложения периодической функции i ( t ) в ряд Фурье воспользоваться выражениями степеней функции cos k a через функции кратных дуг, согласно которым:

Тогда, полагая и осуществляя группировку коэффициентов при функциях одинаковых аргументов, преобразуем выражение для i ( t ) к виду

Анализ полученных выражений показывает, что при полиномиальной вольт-амперной характеристике нелинейного элемента и гармоническом воздействии на НЭ:

Число гармонических составляющих реакции (гармоник) конечно и равно степени полинома, поскольку при n > 2:

Амплитуда I m 1 первой гармоники колебания при n > 2 в общем случае нелинейно зависит от амплитуды U m приложенного воздействия.

Амплитуды четных (нечетных) гармоник определяются только коэффициентами при четных (нечетных) степенях слагаемых полинома.

Изменяется на величину D I 0 постоянная составляющая тока.

Действительно, при w t = 0 ток i (0) = I max , при w t = ± q i ( t ) = = 0, а в интервале функция i ( t ) изменяется как ограниченная снизу (отсеченная) косинусоида.

Пределы изменения угла отсечки заключены между q = 0, когда нелинейный элемент заперт, и q = p ( q = 180 ° ), когда ограничение снизу отсутствует, т. е. когда элемент используется в линейном режиме.

Для нахождения спектра амплитуд рассматриваемой периодической последовательности разложим ее в ряд Фурье. Тогда, опуская промежуточные выкладки, находим следующие выражения:

для постоянной составляющей тока

для амплитуды первой (основной) гармоники

для второй гармоники

Эти выражения можно было бы получить как частные случаи существующей общей формулы для амплитуды k- й гармоники

На рис. 11.10 приведены графики тока и спектра амплитуд тока, соответствующие углу отсечки q = p /3.

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник тока в элементе являются функциями угла отсечки. Обычно они выражаются в относительных единицах

Анализ установленных соотношений показывает, что при линейно-ломаной характеристике нелинейного элемента и гармоническом воздействии на него:

Число гармонических составляющих реакции бесконечно велико, хотя амплитуды некоторых из них при определенных значениях угла отсечки могут быть равны нулю.

В общем случае амплитуды гармоник нелинейно зависят от амплитуды гармонического воздействия в силу нелинейного характера зависимости угла отсечки от U m .

В частном случае, когда рабочая точка U 0 совмещена с точкой излома характеристики U отс , т. е. когда угол отсечки равен p /2, амплитуды гармоник оказываются прямо пропорциональными амплитуде U m гармонического воздействия, поскольку при этом условии величина I max прямо пропорциональна U m , а угол отсечки согласно (11.4) не изменяется с изменением U m .

Выражение (11.6) является достаточно громоздким для выполнения вычислений. Из (11.7) следует, что

Выражая величину I max через амплитуду U m напряжения на НЭ, крутизну S вольт-амперной характеристики и угол отсечки q

получим более компактную формулу для расчета амплитуд гармоник тока:

где – функции Берга.

Напряжение на сопротивлении R создают гармоники тока. Выражение для амплитуды k -той гармоники тока при кусочно-линейной аппроксимации НЭ имеет вид (11.6):

Приравнивая в этом выражении амплитуду 3-й гармоники нулю I m 3 = 0, получим

Термины: Эффекты линейные и нелинейные в измерительном тракте

В измерительном тракте или в измерительной системе все происходящие с сигналом преобразования можно разделить на линейные или нелинейные преобразования, и, соответственно, наблюдаемые внешние результаты этих преобразований можно отнести к линейным или нелинейным эффектам. Преобразования сигнала могут происходить в ходе аналоговой , цифровой обработки или вследствие особенностей схемы измерения и характера воздействия внешних факторов.

Важно, что, как правило, в реальной измерительной системе могут наблюдаться несколько эффектов, как линейных, так и нелинейных, имеющих разные физические причины их возникновения. В данной статье описываются принципиальные различия линейных и нелинейных эффектов, различия их внешнего проявления и возможных причин возникновения.

К линейным преобразованиям сигнала можно отнести любые преобразования, не расширяющие частотный спектральный состав исходных сигналов и помех, участвующих в данном преобразовании. Например, сумма сигнала и помехи является линейным преобразованием, поскольку в частотном спектре этой суммы найдутся только спектральные составляющие исходных сигнала и помехи и не найдутся каких-либо новых частотных составляющих. Еще пример: ФНЧ теоретически является линейным преобразованием сигнала, поскольку он подавляет высокочастотные составляющие сигнала, не продуцируя новых. При этом, ФНЧ может вызвать сильные искажения формы сигнала, если он подавляет значительную часть информационных спектральных составляющих в эффективной полосе частот этого сигнала. Кроме операций линейной фильтрации, к линейным преобразованиям сигнала также можно отнести усиление/деление сигнала (с постоянным коэффициентом передачи), а также смещение уровня сигнала на постоянную величину.

К нелинейным преобразованиям сигнала можно отнести любые преобразования, расширяющие частотный спектральный состав исходных сигналов и помех, участвующих в данном преобразовании. Например, ограничение сигнала является ярко выраженным нелинейным эффектом, добавляющим комбинационные частотные составляющие в сигнал, это те спектральные составляющие, которых не было в исходном сигнале. К нелинейным преобразованиям можно также отнести все виды модуляции сигнала. К нелинейным преобразованиям можно отнести все виды преобразований, в которых изменяемым (модулируемым) параметром является коэффициент передачи сигнала (мультипликативная помеха), или частота, или фаза сигнала.

К примеру, в схеме измерений участвует диод (p-n переход), у которого, как известно, ёмкость зависит от приложенного напряжения при закрытом состоянии p-n перехода. Если в данной схеме измерений эта ёмкость оказывает существенное влияние на амплитуду (фазу) выходного сигнала, то это влияние непременно породит нелинейный эффект.

Нелинейный эффект может быть вызван также нелинейным сопротивлением участка цепи в рассматриваемой схеме измерений.

Поскольку, как показано выше, линейные и нелинейные эффекты имеют разные внешние проявления и причины возникновения, то, наблюдая частотный спектр сигнала на выходе измерительного тракта, и, зная спектры исходных сигналов, можно в большинстве случаев точно диагностировать линейный или нелинейный эффект, а значит, исключить или подтвердить возможные причины возникновения данного эффекта. Например, к проявлениям нелинейного эффекта относятся интермодуляция и биения частот.

Заметим, что с линейными эффектами в ряде случаев можно бороться на уровне обработки сигнала, не устраняя причину этого эффекта. А с нелинейными эффектами, в подавляющем большинстве случаев, практически реально бороться только путём устранения самой причины возникновения этого эффекта. Однако, известен искусственный приём Dithering, уменьшающий нелинейные искажения при дефиците разрядности АЦП.

Интересным примером является влияние коммутатора в схеме измерений. Принципиально, коммутатор несомненно является нелинейным элементом в схеме. Но его некоторые применения, например, в случае Вход «16 дифференциальных каналов, 32 – с общей землёй» , теоретически не вызывают нелинейных эффектов в тракте АЦП, если верхняя частота полосы частот коммутируемых сигналов меньше половины частоты коммутации (частоты преобразования АЦП для рассматриваемого канала преобразования). Также, к нелинейным преобразованиям можно отнести квантование по уровню сигнала и дискретизацию по времени, влияние этих эффектов описаны в теории ЦОС.

Ещё одной интересной причиной возникновения нелинейного эффекта является температурная зависимость сопротивления элементов схемы, если температура зависит от величины измеряемого сигнала и скорость изменения сигнала сравнима со скоростью изменения температуры.

Классическими причинами возникновения нелинейности в индуктивных элементах с магнитным сердечником являются эффект насыщения сердечника и эффект магнитного гистерезиса.

Нелинейность может вызвать физическое ограничение скорости нарастания сигнала различной физической природы, например, у датчиков с питанием током скорость нарастания выходного напряжения ограничена ёмкостью кабеля и величиной тока питания датчика.

Отметим, что устоявшийся технический термин нелинейные искажения впрямую означает: искажения, вызванные нелинейным эффектом. Но также употребим термин линейные искажения, вызванные линейными преобразованиями сигнала. В частности, линейные искажения, внесённые в сигнал умышленно (с целью компенсации не идеальных линейных характеристик тракта передачи сигнала), называют предыскажением сигнала.

6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛА

6.1. Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Основные радиотехнические преобразования (модуляция, детектирование, преобразование частоты и т.п.) осуществляются с помощью нелинейных электрических цепей или линейных цепей с переменными параметрами (параметрических цепей).
Нелинейными элементами, входящими в состав нелинейных электрических цепей, являются полупроводниковые и любые другие приборы, имеющие нелинейную вольтамперную характеристику (рис.6.1.).

Для анализа нелинейных преобразований и расчета нелинейных цепей необходимо использовать вольтамперные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме. Однако реальные характеристики имеют сложный вид, затрудняющий их описание с помощью достаточно простого аналитического выражения. Поэтому в электронике используются способы представления реальных характеристик относительно простыми функциями, приближенно отображающими истинные характеристики. Замена реальной характеристики приближенно представляющей ее функцией называется аппроксимацией.
Выбор оптимальной аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента. Одним из наиболее распространенных способов аппроксимации является аппроксимация степенным полиномом вида:

где a, a1, a2, а3. аn — коэффициенты аппроксимации; i — ток, протекающий через нелинейный элемент; u — приложенное напряжение.
Для удовлетворительной аппроксимации характеристик нелинейного элемента во всем диапазоне изменения аргумента (в случае вольтамперных характеристик аргументом является напряжение) необходимо пользоваться полиномами, содержащими большое число членов. Однако на практике решение системы уравнений, содержащих большое число неизвестных, очень сложно, поэтому функция, аппроксимирующая характеристику, выбирается таким образом, чтобы она точно воспроизводила рабочий участок характеристики нелинейного элемента. При этом, чем меньше рабочий участок, тем меньшая степень полинома требуется для этого.
Перейдем к простейшим способам аппроксимации:
1. Полином первой степени / n = 1 /.

Это уравнение описывает прямую, смещенную относительно начала координат (рис.6.2).
Средний участок анодно-сеточной характеристики лампы или входной характеристики полевого транзистора мало отличается от подобной прямой. Если работа схемы ограничивается этим участком, то вольтамперную характеристику можно представить в виде уравнения (6.2). Т.к. наклон прямолинейного участка соответствует статической крутизне S ,то

где I — ток, при u=0.
Этот вид аппроксимации применяется в усилителях и не может быть использован для нелинейных преобразований.
2. Полином второй степени / n = 2 /.

Это уравнение представляет собой квадратичную параболу (рис.6.3).

Правая часть параболы соответствует начальному участку характеристики биполярного или полевого транзистора, следовательно, этот вид аппроксимации может использоваться только при малых сигналах, при которых рабочая точка перемещается в пределах квадратичного участка 1,2 (рис.6.3) реальной характеристики. Аппроксимация полиномом 2-ой степени используется при анализе процессов преобразования и умножения частоты, модуляции и детектирования амплитудно-модулированных колебаний.
3. Экспоненциальный полином. Обычно используются одночленные или двучленные полиномы или

. Экспоненциальные функции удовлетвори-тельно описывают характеристики полупроводниковых приборов, однако анализ нелинейных преобразований с помощью экспоненциального полинома оказывается достаточно сложным и проводится сравнительно редко.
4. Кусочно-линейная аппроксимация (рис.6.4).
При этом способе аппроксимации реальная характеристика заменяется ломаной линией, состоящей из 2-х прямолинейных отрезков. Аппроксимирующая функция в этом случае имеет вид:

Этот вид аппроксимации является довольно грубым, но он учитывает самые характерные черты нелинейной характеристики и используется при рассмотрении вопросов умножения, усиления мощных колебаний, детектирования, выпрямления переменных токов, т.е. для больших сигналов, где I — начальный ток (при u=0) и a — коэффициент, определяемый свойствами p-n перехода.

6.2. Амплитудная модуляция

Управление амплитудой высокочастотных колебаний называется амплитудной модуляцией /АМ/.
В процессе АМ происходит изменение амплитуды напряжения несущей частоты в соответствии с законом изменения модулирующей частоты ( w >> W ).

Уравнение модулированных по амплитуде колебаний имеет вид:

где m — коэффициент глубины модуляции ,
Уравнению (6.6) соответствует временное представление АМ колебаний, изображенное на рис.6.5.
Путем простых тригонометрических преобразований уравнение (6.6) может быть представлено в виде:

Из этого уравнения следует, что модулированное по амплитуде гармоническим током частоты W колебание высокой частоты представляет собой сумму 3-х колебаний. Спектральная составляющая частоты w имеют амплитуду Um и называется колебанием несущей частоты, а составляющие частот w + W и w — W имеют амплитуду и называются колебаниями верхней и нижней боковых частот.
Уравнению (6.7) соответствует спектральное представление модулированных колебаний, изображенное графически на рис. 6.6.

При модуляции высокочастотных колебаний сложным сигналом возникают верхняя и нижняя боковые полосы частот (рис.6.7а). Ширина спектра АМ колебания определяется наивысшим значением частоты модулирующего сигнала и равна 2 W max.

Практически амплитудная модуляция может осуществляться действием высокочастотного модулирующего напряжения на нелинейный элемент (рис. 6.7б) либо на специальный усилитель высокочастотных колебаний, называемый модулируемым усилителем.

Предположим, что к нелинейному элементу (полупроводниковый диод) приложено напряжение несущей частоты u=U1msin w t, а также и модулирующее напряжение u2=U2mcos W t. Рассмотрим процесс АМ с помощью нелинейного элемента с характеристикой, описываемой полиномом 2-ой степени.
В этом случае суммарное напряжение u=u1+u2 воздействует на нелинейный элемент, и ток, протекающий через элемент, определится соотношением:

Т.к. нагрузкой является колебательный контур, он выделяет из нескольких составляющих тока, протекающего через нелинейный элемент те, которые выражаются слагаемыми со множителем w :

где — амплитуда первой гармоники тока;
— коэффициент модуляции.
Напряжение на контуре uк определится произведением тока первой гармоники i1 и сопротивления контура Rое для этой гармоники:

где .
1. АМ возможна, если характеристика нелинейного элемента описывается полиномом 2-ой степени (квадратичная характеристика).
2. Спектр АМ колебаний получается за счет умножения двух функций 1+mcos W t и sin w t. Следовательно, процесс АМ заключается в перемножении входных напряжений, имеющих несущую частоту w и частоту модулирующего сигнала W .
Этот эффект дает квадратичный член a2u 2 характеристики усилителя.
3. В спектре тока, протекающего через нелинейный элемент, содержится много составляющих. Число их зависит от числа членов в аппроксимирующем полиноме. Поэтому нагрузкой усилителя должен быть фильтр (колебательный контур) с полосой пропускания, равной ширине спектра АМ колебания.
Ограничивая рабочую область характеристики ее нижним изгибом (квадратичный участок), нельзя получить большую колебательную мощность и высокий КПД. Более выгодные энергетические соотношения получаются, если усилительный элемент работает с отсечкой выходного тока.
На практике в качестве нелинейных элементов обычно используют не диоды, а лампы и транзисторы. Модулируемое высокочастотное напряжение падают во входную цепь транзистора, а модулирующий сигнал в цепь базы или коллектора (соответственно базовая или коллекторная модуляция).

6.3. Частотная модуляция

При частотной модуляции (ЧМ) несущая частота имеет постоянную амплитуду. Информация в этом случае заключена в изменении (модулировании) несущей частоты относительно ее среднего значения. Величину изменения частоты Dw называют девиацией частоты.
Уравнение модулированного по частоте колебания имеет вид:

где : w — несущая частота,
W — модулирующая частота,
М — индекс модуляции,
Получение ЧМ колебания иллюстрируется рис.6.8.

Спектр ЧМ колебания в общем случае состоит из несущего колебания с частотой w и бесконечного ряда боковых колебаний. Число, а также амплитуды среднего и боковых колебаний зависят от индекса модуляции М. При М 1 в спектр входят только 2 боковые частоты, и он имеет ту же ширину, что и амплитудно-модулированный сигнал. При М>1 боковые частоты спектра ЧМ равны w n W , где n=1,2,3. Расстояние между соседними боковыми колебаниями равно частоте модулирующего сигнала W .. С увеличением М амплитуда среднего колебания уменьшается и при определенных значениях М равна 0.

Амплитуды первой пары боковых частот при небольших М возрастают, а затем уменьшаются. По мере увеличения n амплитуды боковых частот быстро убывают. На рис.6.9 показан спектр ЧМ колебания с индексом модуляции М=2.

Ширина спектра, необходимая для передачи ЧМ сигнала, определяется девиацией частоты w при постоянной модулирующей частоте w , которая, в свою очередь, зависит от амплитуды модулирующего напряжения u2. Для идеальной передачи ЧМ сигнала необходима очень широкая полоса частот.
Однако, начиная с некоторого номера, боковыми частотами можно пренебречь, т.к. они принимают очень малое участие в воспроизведении сигнала. При высококачественной передаче сигнала пренебрегают боковыми частотами, амплитуды которых составляют менее 1% амплитуды несущей частоты. В этом случае имеет место, так называемая, широкополосная ЧМ.
Наиболее часто для получения ЧМ колебаний используется прямой способ, заключающийся в непосредственном изменении частоты автогенератора по закону модулирующего сигнала путем соответственного изменения емкости или индуктивности колебательной системы. Устройство, изменяющее частоту автогенератора воздействием на его параметры, называется частотным модулятором.
Существует ряд схем ЧМ модуляторов, использующих в качестве управляемых реактивных элементов нелинейную емкость полупроводниковых приборов (варикапов). В них используется емкость двойного электрического слоя, возникающего по обе стороны p-n перехода под воздействием внешнего запирающего напряжения. Таким образом, варикап действует как переменная емкость, управляемая модулирующим сигналом. Зависимость емкости С(U) варикапа от приложенного напряжения показана на рис.6.10.

Схема ЧМ генератора с параллельно подключенным к контуру варикапом показана на рис.6.11

Модулирующий сигнал на варикапе VD1 поступает через дроссель Др1. С помощью делителя R1R2 к варикапу приложено запирающее напряжение U, смещающее рабочую точку на середину характеристики. Варикап с помощью конденсатора C1 включен в колебательный контур L1 C2 генератора.

Под действием модулирующего напряжения меняется положение рабочей точки и емкость варикапа VD1, что приводит к изменению частоты, а следовательно, к ЧМ.
Частотная модуляция обладает следующими свойствами:
Высокая помехоустойчивость, обусловленная постоянством амплитуды модулированного сигнала.
Высокие энергетические параметры ЧМ передатчиков в отличие от АМ, в которых большая часть мощности расходуется на передачу несущей частоты, не являющейся носителем информации. Недостатком ЧМ является необходимость использования более коротких волн. ЧМ применяется в радиовещании в УКВ диапазоне, в телевидении, в радиорелейных линиях связи.

6.4. Преобразование частоты

Преобразование частоты — это сдвиг спектра сигнала на определенный частотный интервал.
Преобразование частоты позволяет с помощью двух напряжений частот w 1 и w 2 получить напряжение с частотой w 1+ w 2 или w 2— w 1. Это преобразование частоты находит широкое применение в радиоэлектронике.
Рассмотрим процесс преобразования частоты с помощью нелинейного элемента с характеристикой, аппроксимируемой полиномом 2-ой степени (рис.6.12).

На преобразователь частоты действует сумма 2-х напряжений: напряжение сигнала u1=U1msin w 1t, и напряжение гетеродина (специального генератора, с помощью которого осуществляется перенос частоты сигнала) u2=U2msin w 2t.
.
Ток, протекающий через нелинейный элемент, определится соотношением:

Продукты преобразования содержатся только в слагаемом:

Кроме этого, в цепи нелинейного элемента имеются колебания частот w 2, w 1, 2 w 1 и др. С помощью фильтра (колебательного контура), являющегося нагрузкой преобразователя, из всех этих колебаний, выделяются колебания суммарной w 2+ w 1 или разностной w 2— w 1 частоты. Для этого колебательный контур должен быть настроен на сумму или разность частот (рис.6.13).
Если амплитуда напряжения сигнала модулируется по закону , то амплитуда результирующего сигнала также будет изменяться по закону:

При этом весь спектр напряжения сигнала /несущая и боковые частоты/ переносится на суммарную или разностную частоту. Если напряжение сигнала мало, можно получить достаточно большую амплитуду преобразованного сигнала, использовав колебания гетеродина с большой амплитудой. Так обычно и происходит в реальных преобразователях сигналов. В этом случае, если преобразователь частоты используется с отдельным гетеродином, он носит название смесителя. Сместители очень широко применяются в радиоэлектронных устройствах.
Эффективность преобразователя оценивается коэффициентом преобразования:

где Uпр — напряжение суммарной или разностной частоты.
Наиболее эффективно в преобразователях частоты используются полевые транзисторы, характеристика которых очень близка к квадратичной, что позволяет получить очень малый уровень дополнительных продуктов преобразования, однако Кпр при использовании полевых транзисторов меньше, чем при использовании биполярных.
1. Для осуществления преобразования частоты необходимо использование нелинейного элемента. В случае использования квадратичной характеристики продуктами преобразования являются колебания суммарной или разностной частоты w 2+ w 1 и w 2— w 1, выделяемые с помощью фильтра. В случае использования элемента с характеристикой, аппроксимируемой полиномами более высоких степеней, продуктами преобразования являются составляющие частоты, выраженные соотношением: w =(m w 2±n w 1), где m и n — любые числа (целые) (при квадратичной характеристике m=1, n=1). Все новые колебания, описанные формулой w =(m w 2±n w 1), носят название комбинационных частот.
2. Фильтр преобразователя частоты должен быть настроен на выделение не только суммарной или разностной частоты, но и всего спектра выходного сигнала.
3. Так как амплитуда суммарной или разностной частоты пропорциональна произведению U1m, U2m, целесообразно устанавливать амплитуду вспомогательного колебания U2m значительно большей, что приводит к росту амплитуды результирующих колебаний.

6.5. Детектирование АМ сигналов

Детектирование — процесс восстановления модулирующего сигнала, являющийся обратным модуляции.
В результате детектирования АМ сигнала происходит процесс преобразования АМ сигнала в напряжение, соответствующее огибающей сигнала. Т.к. модулированное колебание описывается соотношением:

детектированием является процесс выделения составляющей:

Рассмотрим процесс детектирования на основе использования нелинейного элемента с характеристикой, описываемой полиномом 2-й степени.
Считаем, что входное напряжение равно .
В этом случае ток, протекающий через нелинейный элемент, равен:

Составляющие высоких частот w и 2 w являются лишними и отфильтровываются в схеме детектора. Нас интересуют составляющие
Если бы амплитуда Um была постоянной, то и ток iд — постоянный. В этом случае схема играет роль выпрямителя. Однако амплитуда

Таким образом, ток детектора содержит постоянную составляющую:

и переменные низкочастотные составляющие:

Первая составляющая является полезной, а вторая составляющая с частотой 2 W вызывает нелинейные искажения.

В связи с тем, что амплитуда частоты W пропорциональна квадрату амплитуды несущей частоты , подобное детектирование носит название квадратичного. Диаграмма работы квадратичного детектирования приведена на рис.6.14а.

Недостатком квадратичного детектирования является большой коэффициент нелинейных искажений g , зависящий от коэффициента модуляции m АМ колебания / /. Он достигает значения g =0,25 при m=1.
В том случае, если на вход детектора поступает АМ сигнал с большой амплитудой, пренебрегая квадратичным участком характеристики, и используют кусочно-линейную аппроксимацию (рис.6.14б).

При такой аппроксимации ток, протекающий через нелинейный элемент, принимает вид остроконечных импульсов, возникающих при положительных значениях модулированного напряжения.
Амплитуда импульсов Iамах пропорциональна амплитуде АМ колебания. Поэтому постоянная составляющая тока детектора также пропорциональна амплитуде АМ колебаний. В силу такой особенности подобный детектор называется линейным. В случае линейного детектирования значительно снижены нелинейные искажения. Большинство детекторов, в зависимости от амплитуды сигналов, являются квадратичными при малых сигналах и линейными — при больших.
Как следует из анализа работы детектора, в цепи нелинейного элемента протекают токи различных частот. Колебания требуемой частоты можно выделить с помощью RC-фильтра.
Элементы R и C фильтра выбираются таким образом, чтобы постоянная времени удовлетворяла следующему соотношению:

Так как частоты w и W сильно различаются, выполнение условия не вызывает затруднения.

Возможны последовательная и параллельная схемы диодного детектора.
В последовательной схеме (рис.6.15а) через нагрузку может протекать постоянная составляющая, а высокочастотная — нет. В схеме последовательного диодного детектора нагрузочное сопротивление R1 включено последовательно с диодом. При работе детектора на сопротивлении выделяется переменное напряжение низкой частоты, а также постоянная составляющая. Для того, чтобы воспрепятствовать попадению постоянной составляющей на следующие каскады, включается разделительный конденсатор C2, емкость которого должна быть = 10000 пФ, для того чтобы он хорошо пропускал напряжение звуковой частоты.

В параллельной схеме (рис.6.15б) нагрузочное сопротивление включено параллельно диоду. В этом случае конденсатор C1 препятствует протеканию постоянной составляющей через нагрузку, однако к R1 приложено высокочастотное напряжение, присутствующее на нагрузке.
Диодный детектор позволяет получить высокое качество сигнала (малые линейные искажения) и используется в большинстве радиовещательных приемников, однако не позволяет получить усиление сигнала, что является его самым основным недостатком.
1. Для детектирования АМ колебаний необходимо использование нелинейного элемента. При использовании квадратичного участка характеристики, описываемой полиномом 2-й степени, осуществляется квадратичное детектирование, при котором амплитуда частоты W пропорциональна квадрату амплитуды несущей частоты . При использовании характеристики, описываемой кусочно-линейной аппроксимацией, осуществляется линейное детектирование. При линейном детектировании амплитуда частоты W пропорциональна амплитуде несущей частоты Um.
2. Линейное детектирование позволяет получить значительно меньшие искажения, чем квадратичное.
3. В цепи детектора должен быть включен фильтр, выделяющий огибающую АМ колебания с частотой W . В качестве такого фильтра используется RC-цепь.

6.6. Детектирование ЧМ сигналов

Напряжение на выходе частотного детектора должно воспроизводить закон изменения мгновенной частоты модулированного колебания. Для выделения информации из ЧМ сигнала, спектр которого состоит из высокочастотных колебаний (несущей и боковой частот), необходимо нелинейное устройство. Однако для выделения модулирующей частоты этого недостаточно в силу того, что информация в ЧМ сигнале содержится в изменении его частоты, а любой нелинейный элемент при постоянстве амплитуды входного напряжения не реагирует на изменение частоты. Поэтому в общем случае частотный детектор должен содержать:
а) линейную систему, преобразующую ЧМ в амплитудную модуляцию;
б) амплитудный детектор.
В качестве линейной системы может быть использована любая электрическая цепь, обладающая неравномерной частотной характеристикой (цепи RL, RC, фильтры, колебательные контуры). Наиболее часто в качестве линейной системы используют колебательные контуры (рис. 6.16).

При изменении частоты сигнала (частотно-модулированного) изменение амплитуды напряжения на контуре позволяет изменение частоты входного напряжения. Таким образом, осуществляется преобразование частотной модуляции в амплитудную. В силу того, что сигнал распространяется в реальных условиях (помехи и т.д.), амплитуда ЧМ сигнала может меняться. Это приводит к дополнительным изменениям амплитуды, а следовательно, и к искажениям сигнала. Для ликвидации этого сигнал на входе ЧМ детектора подвергаются амплитудному ограничению. Резонансная частота контура должна отличаться от средней частоты модулирующего напряжения. Напряжение на контуре пропорционально изменению частоты, т.е. амплитудно-модулированно. Это напряжение поступает на АМ диодный детектор. Недостатком такой схемы является ограниченный участок резонансной кривой. Этот недостаток устранен в ЧМ детекторе отношений.
Детектор отношений, кроме детектирования ЧМ колебаний, подавляет паразитную амплитудную модуляцию. Подобный детектор применяется во всех радиовещательных приемниках ЧМ сигналов.
1. Для осуществления детектирования необходимо использование нелинейного элемента.
2. В связи с тем, что нелинейный элемент не реагирует на изменение частоты, в схему частотного детектора включается линейная система, преобразующая частотную модуляцию в пропорциональное изменение амплитуды.

6.7. Умножение частоты

Процесс получения и выделения гармоники с частотой n w , отличающийся от исходной частоты w в целое число n раз, где n=2,3,4. называется умножением частоты. Этот процесс осуществляется в умножителях частоты — устройствах, позволяющих выделить n-ю гармонику основной частоты (рис.6.17).

Рассмотрим процесс умножения частоты. Для этой цели используем нелинейный элемент, характеристика которого описывается полиномом 2-ой степени. К нелинейному элементу подводится синусоидальное напряжение:

Ток в цепи нелинейного элемента

Используя следующее тригонометрические преобразование,

соотношение можно привести к виду:

Из этого выражения следует, что ток, протекающий через нелинейный элемент, будет содержать постоянную составляющую, основную частоту w и вторую гармонику 2 w . Видно, что степень полинома определяет номер гармоники, т.е. для получения 2-й гармоники необходимо использовать нелинейный элемент с чисто квадратичной характеристикой, описываемой полиномом 2-й степени, и т.д. Для выделения тока n-й гармоники фильтр в цепи нелинейного элемента (параллельный контур) должен быть настроен на частоту n-й гармоники. Спектральный состав тока, протекающего через нелинейный элемент в режиме умножения, показан на рис.6.19.
Однако, при использовании квадратичного (кубического) участка, которое имеет место при умножении слабого сигнала, амплитуда второй и высших гармоник оказывается очень малой. Более целесообразно использовать режим сильного сигнала. В этом случае характеристика нелинейного элемента описывается кусочно-линейной аппроксимацией (рис. 6.19).

Рабочая точка лежит у изгиба характеристики. Для этой цели к нелинейному элементу должно быть приложено соответствующее отрицательное напряжение смещения. При отрицательных полуволнах входного синусоидального напряжения частотой w нелинейный элемент закрыт. Он открывается только при положительных полуволнах входного напряжения, и ток, протекающий через нелинейный элемент, принимает форму отсеченной косинусоиды. Полученные импульсы целиком определяются двумя величинами — амплитудой импульса тока Imax и углом отсечки q .
Угол отсечки q — фазовый угол, соответствующий половине той части периода, в течение которого в цепи нелинейного элемента протекает ток. Угол отсечки q может лежать в пределах от 0 до p . Угол q меняется при перемещении рабочей точки влево и вправо от излома характеристики при изменении напряжения смещения.
Ток, протекающий через нелинейный элемент, содержит постоянную составляющую I и составляющие 1-й, 2-й, 3-й . гармоник:

Амплитуды токов гармоник связаны с максимальным значением импульса тока Imax коэффициентами Берга an.
Коэффициенты Берга a , a 1 , a 2 , a 3 в свою очередь зависят от угла отсечки q (рис.6.20).

Как следует из графика, максимальное значение коэффициента a 2 соответствует углу q , равному 600. В этом случае (при q =600) амплитуда 2-й гармоники оказывается максимальной и поэтому для режима удвоения частоты угол отсечки выбирают равным 600 , устанавливая соответствующее напряжение смещения. 3-я гармоника максимальна при q =400. Отсюда видна связь кратности умножения и угла отсечки q .

Изменение угла отсечки осуществляется изменением положения рабочей точки с помощью напряжения смещения.
Для осуществления умножения частоты необходимо использование нелинейного элемента. Для выделения n- гармоники основной частоты необходим нелинейный элемент с характеристикой, описываемой полиномом n — степени. Однако амплитуды гармоник при таком использовании нелинейного элемента очень малы.
Целесообразно в умножителях частоты использование нелинейного элемента с характеристикой, описываемой кусочно-линейной аппроксимацией. В этом случае ток, протекающий через нелинейный элемент, будет содержать постоянную составляющую и токи первой и высших гармоник связаны с углом отсечки q. Соответствующим выбором угла отсечки q можно выделить n-ю гармонику основной частоты.
Фильтр умножителя частоты должен быть настроен на частоту выделяемой гармоники.
Умножение частоты используется в тех случаях, когда необходимо от одного источника с частотой w получить несколько кратных частот. В последнее время в связи с освоением сверхвысоких частот возникает необходимость получать колебания с частотой 5-10 Ггц. Однако активные элементы (лампы и транзисторы) на таких частотах не позволяют осуществить получение мощных колебаний. В этом случае колебания генерируются на сравнительно низких частотах (порядка сотен Мгц) и подаются на цепочку умножителей, в которых осуществляется многократное умножение сигнала (до 5-10 Ггц). В таких умножителях используются полупроводниковые приборы с нелинейной емкостью, так называемые варакторы.

раздел 6.1.
раздел 6.2.
раздел 6.3.
раздел 6.4.
раздел 6.5.
раздел 6.6.
раздел 6.7.