Непрерывные и дискретные САУ


СОДЕРЖАНИЕ:

4 Методы исследования линейных САУ 1.Методы исследования линейных САУ 2.Регулирование параметров 3.Непрерывные и дискретные САУ. 4.Дифференциальные уравнения. — презентация

Презентация была опубликована 4 года назад пользователемКлара Пожарская

Похожие презентации

Презентация на тему: » 4 Методы исследования линейных САУ 1.Методы исследования линейных САУ 2.Регулирование параметров 3.Непрерывные и дискретные САУ. 4.Дифференциальные уравнения.» — Транскрипт:

1 4 Методы исследования линейных САУ 1. Методы исследования линейных САУ 2. Регулирование параметров 3. Непрерывные и дискретные САУ. 4. Дифференциальные уравнения процессов САУ. Управление, при котором автоматически поддерживается в заданных пределах одна величина, определяющая функционирование ОУ, называется автоматическим регулированием Если сигнал поступает постоянно, то такие системы называются непрерывными, а если сигнал поступает через заданные интервалы времени, то такой сигнал называется дискретным

2 Методы исследования линейных САУ устойчивость, точность отработки задающего воздействия, нечувствительность к мешающим воздействиям и качество переходного процесса Основные требования, предъявляемыми к САУ: — устойчивость, точность отработки задающего воздействия, нечувствительность к мешающим воздействиям и качество переходного процесса. Указанные требования выражаются через числовые характеристики, называемые показателями качества САУ. прямые и косвенные методы анализа качества Для определения показателей качества САУ используются прямые и косвенные методы анализа качества. Прямыми Прямыми называются методы на основе анализа реакции САУ на внешнее воздействие путём решения дифференциального уравнения САУ, а также нахождения интеграла свёртки. Существует два основных способа решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: классический способ и операторный, основанный на преобразовании Лапласа.

3 Преобразова́ние Лапла́са интегральное преобразование, связывающее функцию \ F(s) комплексного переменного (изображение) с функцией \ f(x) вещественного переменного (оригинал). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения. Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями. Так, свёртка двух функций сводится в пространстве изображений к операции умножения, а линейные дифференциальные уравнения становятся алгебраическими.

5 Методы исследования линейных САУ На практике прямые методы применяют для анализа качества САУ, описываемых уравнениями динамики не выше 2…3 порядка. Косвенными метод коэффициентов ошибок, частотный метод и метод интегральных оценок Косвенными называются методы, позволяющие судить о качестве без определения реакции САУ на внешнее воздействие. Из косвенных методов наибольшее распространение получили метод коэффициентов ошибок, частотный метод и метод интегральных оценок. Достоинством косвенных методов по сравнению с прямыми является простота их применения и возможность сравнительно простой оценки влияния параметров системы на ее качество. недостаток косвенных методов приближенные оценки Основной недостаток косвенных методов — они дают приближенные оценки показателей качества переходного и установившегося режимов.

7 Сущность регулирования — Это процесс, в ходе которого регулируемая величина постоянно измеряется, измеренное значение сравнивается с эталоном и, в зависимости от результата этого сравнения, осуществляется воздействие на регулируемую величину с целью уменьшения различия между ней и задающей величиной. Данный процесс воздействий осуществляется в замкнутом контуре, называемом контуром регулирования.

8 Во-первых,Во-первых, принцип действия некоторых элементов, входящих в систему, может быть дискретным. Во-вторых, в дискретных системах проще реализовать сложные алгоритмы управления. В-третьих, точность решения алгоритмов управления с помощью дискретных устройств (например, ЦВМ) обычно выше, чем с помощью непрерывных В четвертых, Оказывается, что инструментальные погрешности непрерывных устройств значительно больше, чем устройств дискретных, и сильно растут с усложнением алгоритма обработки. В итоге суммарная погрешность дискретных устройств оказывается меньше инструментальной погрешности непрерывных, что и позволяет говорить о более высокой точности работы дискретных систем.

9 Рассмотрим системы автоматического управления, в которых передача, обработка и преобразование информации осуществляются только в определенные моменты времени, то есть дискретно. В этом случае в системах действуют сигналы, являющиеся некоторой последовательностью импульсов, и такие системы называются дискретными.

10 сигнал является физическим носителем квантами по времени, по уровню и по времени и уровню одновременно. При изучении теории дискретных систем следует четко различать такие понятия, как процесс и сигнал. Процесс отображает ту информацию, которая преобразуется системой, а сигнал является физическим носителем этой информации. В непрерывных системах оба эти понятия отождествляются, так как значения сигнала в любой момент времени пропорциональны значениям процесса. В теории дискретных систем указанные понятия надо различать. Благодаря наличию импульсных сигналов информация в системе передается отдельными частями, квантами. Процессы, описывающие преобразование этой информации, называются дискретными, а преобразование непрерывных процессов в дискретные называется квантованием. Существует три вида квантования: по времени, по уровню и по времени и уровню одновременно.

11 Квантование по времени Квантование по уровню Комбинированное квантование

12 Типовые внешние возмущения: Единичный скачок Единичный импульс Гармонический сигнал Возрастающий сигнал

13 Комбинированный случай квантования по времени и уровню при постоянном периоде Tn и шаге Δ амплитуды, длительности, фазы, частоты. амплитудной, широтной, фазовой и частотной модуляциями Информация о значениях дискретного процесса передается с помощью импульсных сигналов путем модуляции их параметров: амплитуды, длительности, фазы, частоты. Различают системы с амплитудной, широтной, фазовой и частотной модуляциями. кодовой модуляцией Особую группу составляют системы с кодовой модуляцией, когда значения процесса передаются путем выбора числа импульсов и их местоположения в группе. Такой вид модуляции применяется в цифровых вычислительных машинах. Одним из достоинств кодовой модуляции является то, что форма импульсов и тип кода практически не влияют на работу системы.

14 Дифференциальные уравнения процессов САУ. Для практической реализации модели в пространстве состояний и их анализа необходимо сделать следующее: 1. Анализ технологического процесса объекта управления с определением переменных управления, управляющих воздействий, возмущений и выходных переменных. 2. Составление балансовых уравнений (материального и энергетического баланса). 3. Запись уравнений в отклонениях. 4. Линеаризация (например, в ряд Тейлора). 5. Переобозначение в привычных символах для модели в пространстве состояний. 6. Нахождение решения. 7. Анализ управляемости и наблюдаемости.

16 По признаку регулируемой величины: 1.температура, 2.расход, 3.давление, 4. уровень и т.д. По роду действия По способу действия Прерывные Непрерывные Прямого действия Не прямого действия (доп. энергия) По числу входных величин Многомерные Одномерные Многоконтурные Одноконтурные Связанные Несвязанные

17 Сокращения структурных схем: 1. устройство измерения (УИ), получающее информацию от объекта регулирования (ОР), 2. датчик (Д), непосредственно подключенный к ОР, 3. информационные преобразователи (ИнП); 4. устройство управления и обработки информации (УУиОИ), 5. в качестве которого в САР используют устройство сравнения (УСр) 6. устройство управления (УУ), формирующее команды управления; 7. устройство воздействия (УВ) на объект регулирования 8. исполнительное устройство (ИУ) 9. регулирующее устройство (РУ), непосредственно воздействующее на ОР.

18 Объект регулирования Простой, одномерный Сложный, многомерный 1 параметр n Составные модели

21 Управляющее Рв Дополнительный ресивер к тормозным камерам

22 Характеристики объектов регулирования аккумулирующая способность (величина А – коэффициент емкости); Время разгона – промежуток времени, за который величина меняется от 0 до максимума при возмущении; Физическая величина, определяющая управляющее воздействие на ОР, называется регулирующей величиной

23 Это реакция объекта на возмущающее действие время запаздывания отрицательно сказывается на качестве регулирования Это инертность системы

26 2 СТРУКТУРНАЯ СХЕМА САР Параметр Д

27 Саморегулирование самостоятельный переход к прежнему состоянию или к новому равновесному Н Н Lo мп=мр без саморегулирования Н Lo Н саморегулирование Неустойчивые объекты имеют отрицательное саморегулирование (ОС – положительна), стабилизация идет за счет обратной отрицательной связи

33 Главная обратная связь в системе автоматического регулирования всегда должна быть отрицательной (при увеличении регулируемой величины регулирующее воздействие должно изменяться в сторону противодействия возрастанию регулируемого параметра).

36 Пути достижения экономичности и мощности ДВС В настоящее время к автомобильным двигателям предъявляются жесткие и противоречивые требования по обеспечению их высокой экономичности при заданных уровнях токсичности выбросов. Для управления любым вращающимся валом, расположенным в перемещающейся системе, необходимо иметь все данные о его положении в пространстве, скорости и ускорении. Самой трудно определяемой величиной является ускорения, с которым движутся вал и поршень. Ускорение поршня при приближении к верхней или нижней мертвой точке изменяется постоянно и очень быстро. Поэтому анализ характера его движения стал возможен только при использовании особого датчика, измеряющего мгновенную скорость в тысячу раз быстрее, чем все приборы, используемы в современных системах зажигания. «

37 Адаптивная система управления УОЗ ДВС представляет собой систему замкнутого регулирования. Совмещённый датчик, укреплённый на распределительном валу, позволяет с высокой точностью, до нескольких угловых минут, измерить угловое положение коленчатого вала, его скорость и ускорение. Система регулирования позволяет отслеживать развитие процесса горения в камере сгорания так, чтобы во всех переходных режимах произведение давления в камере сгорания на плечо кривошипно-шатунного механизма было неизменной и максимальной величиной. Система управляет каждым поршнем двигателя так, чтобы коленчатый вал ДВС вращался равномерно во всех переходных режимах, что позволяет снизить пульсации момента и увеличить его среднее значение без увеличения расхода топлива. Система зажигания имеет столь высокую чувствительность и быстродействие, что позволяет определять состав бензиново-воздушной смеси в каждом цилиндре на этапе сжатия и произвести корректировку УОЗ в цилиндре, в котором должен произойти рабочий ход.

38 Основные параметры системы БЗМ-В Диапазон изменения частоты вращения коленвала ДВС от 20 до об/мин Снижение расхода топлива до 7% Снижение массовых выбросов СО, СН и NOx до 50% Снижение выбросов холостого хода по СО и СН до 80% Увеличение момента на валу до 7% Уменьшение времени разгона до 10% Повысить топливную экономичность автомобилей возможно только путем оптимизации законов управления углом опережения зажигания. Это может быть достигнуто исключением традиционных механических регуляторов опережения зажигания и использованием чисто электронного цифрового или микропроцессорного регулирования по специально подобранным законам управления. Достигаемое при этом снижение расхода топлива, правда, не столь велико (в пределах нескольких процентов), но все же достойно того, чтобы быть реализованным на практике.

39 3 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ СХЕМЫ Схема системы автоматического регулирования, представленная функциональными элементами и связями между ними, называется функциональной схемой

МПСУ. Непрерывные и дискретные системы автоматического управления

Название Непрерывные и дискретные системы автоматического управления
Анкор МПСУ.doc
Дата 16.06.2020
Размер 1.49 Mb.
Формат файла
Имя файла МПСУ.doc
Тип Документы
#21728
страница 1 из 11
Подборка по базе: ФИЗИОЛОГИЯ СИСТЕМЫ КРОВИ.docx, достижения воспитательной системы. docx, 5fan_ru_Проектирование системы теплоснабжения района города Томс, Реферат — Файловые системы.docx, 09.02.07 Информационные системы и программирование с 2020 г.doc, Физиология и патология системы крови.pdf, Совместное предпринимательство_из системы.doc, Пр№10_Интернет-технологии.Поисковые системы.docx, Пр№10_Интернет-технологии.Поисковые системы.docx.

Непрерывные и дискретные системы автоматического управления

Структурную схему системы автоматического управления (САУ) можно представить в следующем виде (рис. 1):

Рис. 1.

В состав устройства управления входят корректирующее и вычитающее устройства.

В процессе разработки системы автоматического управления решаются две основные задачи:

  1. Синтез корректирующего устройства, результатом которого является передаточная функция корректирующего устройства;
  2. Техническая реализация корректирующего устройства.

Рассмотрим вопросы технической реализации корректирующего устройства на примере пропорционального регулятора (рис. 2):

Рис. 2.

Вариант 1. Реализация в виде электронной схемы (например, на основе операционного усилителя, рис. 3). В этом случае значение управляющего сигнала может быть измерено в любой момент времени и с любой точностью. Системы, сигналы в которых существуют (могут быть измерены) в любой произвольный момент времени называются непрерывными системами.

Рис. 3.

Вариант 2. Реализация на основе специализированной ЭВМ (рис. 4):

Рис. 4.

В этом случае собственно корректирующее устройство реализуется программно в виде алгоритма расчета значения управляющего сигнала по известным значениям и . Блок-схема такого алгоритма выглядит следующим образом (рис. 5):

Рис. 5. Алгоритм работы корректирующего устройства

Весь управляющий цикл состоит из ввода исходных данных для расчета, собственно расчета и вывода полученного значения управляющей величины. Работа алгоритма может быть представлена на временной оси (рис. 6):

Рис. 6.

Так как реализация алгоритма представляет собой набор операций, а каждая операция выполняется внутри ЭВМ за конечное время, процессы ввода, расчета и вывода также занимают конечное время. Следовательно, значение управляющей величины будет определено только по окончании фазы расчета, а на протяжении самого расчета и ввода данных будет оставаться неопределенным. Так как цикл «ввод-расчет-вывод» выполняется периодически, значение будет определено лишь в отдельные моменты времени, соответствующие моменту окончания фазы расчета на рис. 6. Временной интервал между этими моментами будет равен длительности одного цикла выполнения алгоритма :

Рис. 7.

То же самое можно сказать и о сигналах, вводимых в ЭВМ (рис. 8). Эти сигналы определены внутри ЭВМ лишь в дискретные моменты времени (на фазе ввода и ). В промежутках между ними (на протяжении фазы расчета и вывода) ЭВМ не имеет информации об истинном значении величин и .

Рис. 8.

Системы, сигналы в которых определены лишь в отдельные дискретные моменты времени, называются дискретными системами(Система, сигналы в которой определены лишь в отдельные дискретные моменты времени). Все системы, в состав которых входит ЭВМ, являются дискретными.

Таким образом, все системы автоматического управления в зависимости от варианта технической реализации блока управления (корректирующего устройства) можно подразделить на непрерывные и дискретные.
Понятие о микропроцессорных системах управления

Микропроцесcорная система управления (МПСУ, дискретная САУ, цифровая САУ) — система управления, в которой блок управления реализован в виде специализированной ЭВМ.

Микропроцессорная система (МПС) — специализированная ЭВМ, предназначенная для решения задач управления.

Характеристики непрерывных и дискретных систем

Проведем сравнение непрерывных и дискретных систем управления по трем группам критериев:

Сравнение с точки зрения самого процесса управления

  1. Устойчивость: при ;
  2. Точность: ;
  3. Качество процесса управления, т.е. параметры переходного процесса: перерегулирование (должно быть по возможности меньше) и время переходного процесса (также должно быть по возможности меньше).

Сравнение по общетехническим характеристикам

  1. Масса и габариты;
  2. Энергопотребление;
  3. Надежность.

Сравнение по технико-экономическим параметрам

  1. Стоимость разработки и изготовления;
  2. Стоимость модернизации (изменение алгоритма управления).

Сравнение будем проводить на примере системы, приведенной на рис. 1

Рис. 1.

Сравнение с точки зрения процесса управления

Рассмотрим вначале вариант непрерывной реализации блока управления.

Замкнутая система представляет собой апериодическое звено, устойчивое при любом коэффициенте усиления .

Точность Система имеет астатизм 1-го порядка, следовательно, установившаяся ошибка равна нулю, если ()=const. Если , ошибка обратно пропорциональна коэффициенту усиления

Рис. 2.

Перерегулирования нет, уменьшая постоянную времени Т мы можем добиться уменьшения времени переходного процесса.

Теперь рассмотрим вариант дискретной организации блока управления. Так как значения управляющего сигнала на выходе блока управления определены лишь в дискретные моменты времени, необходимо использовать экстраполяцию для определения значения на всем интервале . Будем считать, что в течение периода (рис. 3)

Рис. 3.

Рассмотрим произвольно взятый интервал времени (рис. 4)

Рис. 4.

Можем записать следующие соотношения:

Для рассматриваемого временного отрезка можем записать дифференциальное уравнение:

Найдем постоянную , рассматривая момент времени :

В результате получаем выражение для :

Рассмотрим момент времени :

Для момента времени ,будем иметь:

Для произвольного момента времени:

где определяется начальными условиями.

Рассмотрим различные варианты:

Вариант 1. , например :

Таблица 1

В этом случае будем иметь некое подобие апериодического процесса (рис. 5).

Рис. 5.

Таблица 2

В этом случае будем иметь колебательный сходящийся (устойчивый) процесс (рис. 6)

Рис. 6.

Таблица 3

В этом случае будем иметь колебательный расходящийся (неустойчивый) процесс (рис. 7)

Рис. 7.

Таким образом, мы видим, что в цифровой системе устойчивость, точность и качество управления зависят от параметров системы, и прежде всего, от значения (периода дискретизации, который определяется временем работы алгоритма управления). В зависимости от значения величины система может стать неустойчивой, чем больше значение этой величины, тем хуже вид переходного процесса. Существуют ограничения на значение , то есть существует предельное значение , при превышении которого система теряет устойчивость. Следовательно, при фиксированном существует ограничение на значение коэффициента усиления . Если же предположить, что фиксирован коэффициент усиления , показатели системы ухудшаются при увеличении периода дискретизации , и мы можем сказать, что при увеличении выше некоего предельного значения, система теряет устойчивость.

На основании этого можно сделать вывод, что при использовании линейных алгоритмов управления, цифровая система всегда хуже непрерывной системы с точки зрения процесса управления. Одна из причин такого положения заключается в том, что в дискретной системе сигнал обратной связи вводится в дискретные моменты времени, следовательно в течение интервала времени система существует без обратной связи.

Сравнение по общетехническим характеристикам

Таблица 4

Параметр сравнения Непрерывная система Дискретная система
Масса и габариты Приблизительно одинаковы Приблизительно одинаковы
Энергопотребление Хуже Лучше
Надежность Приблизительно одинакова Приблизительно одинакова

Сравнение по технико-экономическим характеристикам

Таблица 5

Параметр сравнение Непрерывная система Дискретная система
Стоимость разработки Приблизительно одинакова Приблизительно одинакова
Стоимость модернизации Выше Ниже

Существует также зависимость эффективности непрерывной и дискретной реализации блока управления от сложности реализуемого алгоритма (рис. 8).

Рис. 8.

Из графика видно, что по мере усложнения алгоритма, эффективность непрерывной системы уменьшается, так как возрастает число включенных в нее электронных элементов, а следовательно, усложняется конструкция, увеличиваются масса, габариты, стоимость, уменьшается точность и общая надежность. Для дискретной же системы усложнение алгоритма приводит лишь к изменению программы, что не влияет ни на массу и габариты, ни на стоимость технической реализации, так как не меняется конструкция самого блока управления. Правда, при дальнейшем усложнении алгоритма наступает критический момент, когда эффективность дискретной системы резко падает. Это связано с чрезмерным усложнением программы, сложностью ее отладки и уменьшением общей надежности системы.

Вывод: Дискретная система управления имеет два основных преимущества по сравнению с непрерывной системой:

  1. Простота модернизации (изменения алгоритма);
  2. Большая эффективность при использовании сложных (нелинейных, адаптивных) алгоритмов управления.

Определение, устройство и принцип действия микропроцессора

Микропроцессором называется функционально законченное программно управляемое устройство, предназначенное для обработки информации и управления процессом этой обработки и выполненное в виде большой интегральной схемы.

Микропроцессоры подразделяются на универсальные (применяемые для решения любых задач) и специализированные (для решения ограниченного круга задач).

Основными характеристиками микропроцессора являются его разрядность и тактовая частота, определяющая время выполнения микропроцессором отдельных операций по обработке данных.

В основу устройства и принципа действия микропроцессора положены два постулата:

  1. Наиболее эффективной для представления чисел внутри ЭВМ является двоичная система счисления.
  2. Любой алгоритм обработки информации может быть реализован в виде набора простейших арифметических операций.

Системы счисления

Система счисления — способ представления количественных величин с помощью специальных знаков, например цифр. Наиболее распространены позиционные системы счисления.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в виде

где — представляемая количественная величина (число), — знак, используемый для его представления и занимающий -тую позицию, — основание системы счисления, — количество разрядов (знаков), используемых для представления числа.

В повседневной жизни мы используем десятичную систему счисления, для которой .

Максимальное число, которое может быть представлено разрядами в системе счисления с основанием можно вычислить следующим образом:

т.е. разрядов в системе счисления с основанием позволяют представить числа в диапазоне . Так, напрмер, с помощью одного разряда в десятичной системе счисления можно представить числа от 0 до 9 (), с помощью двух разрядов — от 0 до 99 ( ) и т.д.


Система с основанием 2 () называется двоичной системой счисления. Один разряд двоичной системы счисления может иметь лишь два значения: 0 или 1. Число, представленное в двоичной системе счисления, называется двоичным числом.

Попробуем определить, какая система счисления (по какому основанию) наиболее эффективна с точки зрения представления данных.

Итак, пусть мы имеем систему счисления с основанием . Пользуясь формулой для вычисления , мы можем определить, какое количество разрядов необходимо для представления заданного :

Для представления числа внутри ЭВМ необходимо определенное количество элементов. Оно может быть оценено по следующей формуле:

для двоичной системы

Будем оценивать эффективность различных систем счисления с точки зрения представления информации внутри ЭВМ в сравнении с двоичной системой счисления, то есть в качестве критерия эффективности будем использовать

Если показатель будет меньше 1, то соответствующая система счисления более эффективна, чем двоичная (см. табл. 1).

Дискретные системы автоматического управления , страница 8

Аналоговые и дискретные САУ

В соответствии с рассмотренными видами дискретизации сигналов, различают следующие виды САУ:

— непрерывные (дискретизация отсутствует);

— импульсные (если есть хотя бы один импульсный сигнал);

— релейные (если есть хотя бы один релейный сигнал);

— цифровые (если есть хотя бы один цифровой сигнал).

Релейные системы, при типичном для них двухуровневом квантовании, являются существенно нелинейными и рассматриваются в разделе нелинейных САУ.

Современные цифровые системы характеризуются чрезвычайно малыми шумами квантования. По этой причине они рассматриваются без учета квантования по уровню. Под таким углом зрения, различие между цифровыми и импульсными системами исчезает. Поэтому, ниже термины «цифровые САУ», «импульсные САУ» и дискретные «САУ» употребляется как синонимы и означают «системы с квантованием по времени».

Рассмотрим функциональную схему типичной цифровой САУ, показанную на рис. 5.14.

Рис. 5.14. Цифровая САУ: ЦР – цифровой регулятор; УСП – управляемый силовой преоразователь; Д – датчик координаты ; СПО – схема предварительной обработки сигнала датчика; — РЦС на выходе АЦП ( — масштабированная решетчатая функция рассогласования*); — РЦС на выходе ЦР ( — решетчатая функция сигнала управления**); — аналоговый сигнал управления (по форме весьма близкий к масштабированному РЦС , что отражено на схеме соотношением )

Как правило, АЦП, ЦР и ЦАП, а также СПО, реализуются при помощи промышленного контроллера и соответствующего программного обеспечения. Если имеется датчик с цифровым выходом, то рассогласование также может формироваться программно в цифровой форме. В этом случае, АЦП будет находиться в цепи обратной связи.

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1967
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 300
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 409
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 370
  • КрасГМУ 630
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 139
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 641
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 777
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499

  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 118
  • РГПУ им. Герцена 124
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 318
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 147
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 582
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1655
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1513
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Гайдук А.Р. Непрерывные и дискретные динамические системы

Учебное пособие. – 2-е изд. перераб. — М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература». 2004.- 252с.

В книге излагаются математические методы описания и анализа непрерывных и дискретных динамических систем на основе системного подхода. Рассматривается взаимосвязь математических моделей вход-выход и моделей в переменных состояния, вопросы реализации моделей входвыход, а также методы исследовании непрерывных и дискретных динамических систем при детерминированных и случайных воздействиях.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся разработкой современных динамических систем, а также для студентов, магистрантов и аспирантов соответствующего профиля.

Смотрите также

Поляков К.Ю. Основы теории цифровых систем управления

Грамагин Е.А. Теория дискретных систем управления

Сейдж Э.П. Мелса Дж. Л. Идентификация систем управления

248 с. издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М. , 1974 г.

Книга известных ученых в области ТАУ, рассчитанная на научных работников и инженеров. Тема книги — определение уравнений, описывающих процессы, происходящие в системе.
Описаны методы идентификации линейных и нелинейных систе.

Тюкин В.Н. Теория управления. Часть 2. Особые линейные и нелинейные системы

Дискретные системы — системы, в состав которых, помимо типовых динамических звеньев, входят одно или несколько звеньев, производящих квантование непрерывного сигнала в дискретный. Это или импульсный, или релейный.

СОДЕРЖАНИЕ:
Предисловие
Дискретные системы автоматического управления
Общие сведения

Ротач В.Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процессами

Бородавкин В.А., Петрова И.Л. ТАУ дискретных систем

Балтийский государственный технический университет Военмех 2005

Всего 15 лекций

Дискретные системы автоматического управления
Цифровая комплексно-автоматизированная система управления
Дискретные системы автоматического управления.
Основные понятия. Терминология. Квантование сигналов
Математическ.

Дилигенская А.Н. Идентификация объектов управления

Учеб. пособ. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т., 2009.– 136 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Основные сведения об идентификации
Основные понятия теории идентификации
Постановка задачи идентификации
Классификация методов идентификации
Математические модели систем
Классификация моделей об.

Лекции по ТАУ — файл n9.doc

Лекции по ТАУ
скачать (3059.5 kb.)
Доступные файлы (23):

n1.doc 33kb. 11.01.2008 17:28 скачать
n2.doc 295kb. 11.01.2008 18:38 скачать
n3.doc 541kb. 11.01.2008 19:14 скачать
n4.doc 734kb. 14.10.2005 22:08 скачать
n5.doc 205kb. 20.09.2001 07:20 скачать
n6.doc 294kb. 20.09.2001 07:46 скачать
n7.doc 487kb. 20.09.2001 08:16 скачать
n8.doc 552kb. 11.01.2008 23:27 скачать
n9.doc 571kb. 14.10.2005 21:50 скачать
n10.doc 23kb. 20.09.2001 09:53 скачать
n11.doc 112kb. 14.10.2005 21:35 скачать
n14.doc 25kb. 10.12.2005 00:28 скачать
n15.doc 24kb. 21.12.2006 12:26 скачать
n16.doc 3956kb. 17.08.2007 03:21 скачать
n17.doc 141kb. 22.05.2007 23:42 скачать
n18.doc 171kb. 22.05.2007 23:42 скачать
n19.doc 181kb. 22.05.2007 23:42 скачать
n20.doc 190kb. 22.05.2007 23:43 скачать
n21.doc 157kb. 22.05.2007 23:43 скачать
n22.doc 250kb. 22.05.2007 23:43 скачать
n23.doc 59kb. 22.05.2007 23:43 скачать
n24.doc 492kb. 22.05.2007 23:48 скачать
n25.doc 1514kb. 22.05.2007 23:44 скачать

n9.doc

Оглавление

    1. Определение дискретной САУ……………………1
    2. Основы Z – преобразования……………………….3
    3. Передаточные функции дискретных САУ……….4
    4. Исследование устойчивости дискретных САУ….6
    5. Анализ качества дискретных САУ……………….10
    6. Синтез дискретных САУ………………………….12

8.6.1. Условие грубости дискретной системы………12

8.6.2. Методы синтеза дискретных САУ…………….15

8.7.Операционные методы моделирования дискретно –

непрерывных систем………………………………….21
8.1. Определение дискретной САУ.

Система автоматического управления называется дискретной, если выходная величина какого – либо ее элемента имеет дискретный характер.


Большое внимание к теории и практике дискретных систем объясняется все большим использованием в замкнутом контуре управления цифровых вычислительных машин (ЦВМ). Это обеспечивает системе значительно большие вычислительные возможности, высокую стабильность, простоту перестройки ее структуры и параметров.

Так как информация о состоянии объекта управления является непрерывной, то перед подачей на вход ЦВМ ее необходимо преобразовать в дискретную форму. Эту задачу выполняет преобразователь “ аналог – код ”, который в теории автоматического управления принято называть импульсным элементом” (ИЭ). Дискретизация осуществляется путем квантования непрерывного сигнала по времени и по уровню. Это означает, что аналоговый сигнал в ИЭ через равные промежутки T заменяется дискретными по уровню значениями, ближайшими к значениям непрерывного сигнала (рис.8.1).

Рис.8.1. Дискретизация непрерывного сигнала

В результате дискретизации непрерывный сигнал заменяется серией импульсов бесконечно малой длительности, амплитуда которых близка к значениям непрерывного сигнала в моменты дискретизации. Ошибки дискретизации по уровню определяются только точностью представления чисел в ЦВМ и они настолько малы, что ими в практических приложениях можно пренебречь. Это дает возможность рассматривать ИЭ только как дискретизатор по времени. На структурных схемах ИЭ изображается в виде ключа. Серия импульсов x * (iT) на выходе импульсного элемента называется решетчатой функцией. После производства вычислений на выходе ЦВМ информация появляется также в виде тешетчатой функции. Перед подачей этой информации на исполнительную систему, которая является аналоговой, ее необходимо преобразовать из дискретной в непрерывную. Эту задачу решают преобразователи “код – аналог”, которые в теории автоматического управления получили название экстраполяторов. В полном соответствии со своим наименованием, эти устройства экстраполируют значение сигнала на такт вперед. Наиболее часто используется экстраполятор нулевого порядка, который реализует операцию

(8.1)
Работа экстраполятора нулевого порядка иллюстрируется рис.8.2.

Рис.8.2. Работа экстраполятора нулевого порядка
Все вышесказанное позволяет общую схему дискретной (цифровой) САУ изобразить в виде, показанном на рис.8.3.

Экстраполя-

Рис. 8.3. Схема дискретной САУ

На схеме под Wнч(s) подразумевается непрерывная часть системы. Следует отметить, что так как в состав системы входят как дискретные, так ианалоговые элементы, то такие системы часто называют дискретно – непрерывными или гибридными.

8.2. Основы Z – преобразования.

Для анализа и синтеза дискретных САУ используется дискретное преобразование Лапласа в форме Z – преобразования [9].

Найдем преобразование Лапласа от выражения (8.2).

Обозначим . Тогда можно записать

Это и есть Z – преобразование функции x(t).
Пример. Найти Z – преобразование функции

Этот ряд представляет собой геометрическую прогрессию с показателем

Сумма геометрической прогрессии где а1 – первый член прогрессии. Получим

Рассмотрим некоторые основные теоремы Z – преобразования.

  1. Изображение суммы функций равно сумме изображений.
  2. Теорема о начальном значении оригинала

. (8.5)

3.Теорема о конечном значении оригинала

В литературе по ТАУ приводятся таблицы преобразования Лапласа и Z – преобразования от типовых непрерывных функций.

8.3. Передаточные функции дискретных САУ.

Рассмотрим схему дискретной системы, показанную на рис. 8.3. Определим передаточную функцию дискретной системы или какого – либо ее звена, по аналогии с непрерывными системами, как отношение Z – изображения выходного сикнала к Z – изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях. Обозначим входной сигнал ЦВМ как Е(z), а выходной – Y(z). Тогда

Будем считать, что в системе используется экстраполятор нулевого порядка и определим его передаточную функцию. На вход экстраполятора поступает дельта – функция с амплитудой Y(0). Экстраполятор запоминает это значение на один такт и формирует прямоугольный импульс (рис. 8.4). Для решения задачи исскуственно продлим этот импульс в бесконечность, т.е. условно посчитаем, что экстраполятор формирует ступенчатый сигнал Y(0)1(t), а для сохранения истинного положения дополним рисунок ступенчатым воздействием

Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка примет вид

С учетом ранее сделанного обозначения , окончательно получим

Множитель относят к непрерывной части системы и считают, что ее передаточная функция определяется выражением

Теперь структурную схему дискретной системы можно изобразить в виде, показанном на рис.8.5. Основная трудность дальнейших преобразований, имеющих целью получение Z- передаточной функции всей системы, заключается в получении Z – передаточной функции приведенной непрерывной части При этом необходимо помнить, что если непрерывная часть системы задана в виде соединения каких – либо звеньев, то нельзя

Рис. 8.5. Структурная схема дискретной САУ

определить Z – передаточную функцию каждого звена, а затем воспользоваться правилами о соединениях динамических звеньев. Z – преобразование необходимо определять от всей передаточной функции Исключение из этого правила составляют приближенные методы получения Z – преобразования, например, методы подстановки и подбора корня.

Для получения точного Z – преобразования по непрерывной передаточной функции можно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов. Для этого необходимо найти полюсы непрерывной передаточной функции и представить ее в виде суммы злементарных динамических звеньев с неопределенными коэффициентами в числителе. После приведения к общему знаменателю составляется и решается система уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Для каждого элементарного звена по таблицам можно определить его Z – передаточную функцию и затем, для получения передаточной функции приведенной непрерывной части, в соответствии с теоремой 1 просуммировать эти передаточные функции.

Если определены полюсы si приведенной непрерывной части, то для получения ее Z – изображения можно воспользоваться теоремой о вычетах.

В этом выражении — полиномы числителя и знаменателя передаточной функции непрерывной части системы, а

После определения Z — передаточной функции непрерывной части, легко определяются передаточные функции всей системы:

  • — передаточная функция разомкнутой системы;
  • передаточная функция замкнутой системы;
  • передаточная функция замкнутой системы по ошибке.

8.4. Исследование устойчивости дискретных САУ.

По аналогии с предыдущим назовем уравнение

характеристическим уравнением замкнутой системы. При исследовании непрерывных систем было установлено, что для их устойчивости необходимо и достаточно, чтобы каждый корень характеристического уравнения si=i ji имел отрицательную вещественную часть. Учитывая, что , для каждого корня уравнения (8.10) можно записать

Это выражение есть уравнение окружности радиуса Нетрудно видеть, что при нахождении системы на границе устойчивости, когда i=0, радиус R=1, и это есть уравнение границы устойчивости дискретной системы. Для устойчивой непрерывной системы i 0, если k 0, если k ,

H = -2.67дб., явно недостаточны. Отметим также, что на приведенном рисунке на оси частот указаны значения круговых частот.

8.5. Анализ качества дискретных САУ

Показатели качества дискретной системы наиболее просто определяются по кривой переходного процесса, вызванного единичным ступенчатым воздействием

Изображение переходной функции будет

Дискретные значения переходного процесса могут найдены путем разложения изображения H(z) в ряд Лорана, которое реализуется простым делением числителя изображения переходной функции на ее знаменатель. После деления получим

С другой стороны, по определению Z – преобразования

Сравнивая (8.15) с (8.14), можно заключить, что коэффициенты разложения Сi равны дискретным значениям h(iT) переходной функции.

Пример. Передаточная функция замкнутой системы задана выражением

Считая, что Т=0.1, построить переходную функцию. Для изображения

переходной функции получим

Разделим числитель на знаменатель

Отложив на графике ординаты дискретных значений и соединив их плавной кривой, получим переходную функцию системы (рис.8.7).

Продлив вычисления дальше, можно определить все показатели качества, но уже и так ясно, что переходный процесс неудовлетворителен, т.к. перерегулирование превышает 60%, что является следствием малых запасов устойчивости.

По аналогии с непрерывными системами точность дискретных САУ в установившемся режиме можно оценивать с помощью коэффициентов ошибок. В общем случае коэффициенты ошибок дискретной системы определяются выражением
(8.16)

Введением в передаточную функцию прямой цепи звена что соответствует введению интеграла, системе можно придать астатизм. Передаточная функция разомкнутой системы в этом случае имеет вид

Здесь — порядок астатизма. Передаточная функция замкнутой системы по ошибке будет равна

Синтез дискретных САУ состоит в разработке такой программы обработки информации в ЦВМ, при которой синтезированная система удовлетворяет поставленным требованиям.

При синтезе дискретных систем необходимо учитывать некоторые особые условия, важнейшим из которых является условие грубости.
8.6.1. Условие грубости системы.

При синтезе замкнутой дискретной САУ ее передаточная функция не может быть выбрана произвольно, она должна удовлетворять определенным требованиям. Прежде всего желаемая передаточная функция замкнутой системы Фж(z) должна удовлетворять условию физической реализуемости, которое выполняется, если Фж(z) представляет собой правильную дробь по z (n>m).
Условие физической реализуемости является необходимым, но в общем случае недостаточным. При практической реализации дискретных (цифровых) корректирующих цепей их характеристики могут несколько отличаться от необходимых. Если это отличие вызовет малое изменение процессов в замкнутой САУ, то такая САУ представляет собой грубую систему. Если же малое отличие характеристик качественно изменит процесс, то система будет не грубой. Следовательно, всякая синтезированная система должна удовлетворять условию грубости.

Предположим, что параметры дополнительной корректирующей цепи несколько отличаются от расчетных. Тогда передаточная функция замкнутой системы Ф(z) будет несколько отличаться от желаемой Фж(z). Оценим отклонеие (вариацию) Ф(z) от Фж(z):

(8.20)
Обозначим как Wk(z) передаточную функцию корректирующей цепи. Тогда, по определению вариации, можно записать

(8.21)
Для последовательной коррекции в прямой цепи

(8.23)
Передаточную функцию корректирующей цепи можно представить в виде

(8.26)
Подставим это выражение в (8.23) и, учитывая (8.24) и W(z), после преобразований получим окончательное выражение для вариации передаточной функции замкнутой системы

Если передаточная функция неизменяемой части не имеет нулей и полюсов по модулю больших единицы (устойчивая и минимально-фазовая неизменяемая часть), то и вариация Ф(z) не будет содержать неустойчивых полюсов, и передаточная функция

(8.28)
будет соответствовать устойчивой замкнутой САУ. Чем меньше по абсолютной величине будут вариации Q(z) и P(z), тем меньше будет отличаться передаточная функция замкнутой системы от желаемой и тем меньше будет отличаться процесс в системе от желаемого.

Если же передаточная функция неизменяемой части системы имеет нули или полюсы, по модулю большие единицы, что соответствует неминимально-фазовой или неустойчивой неизменяемой части, то эти нули и полюсы будут совпадать с полюсами вариации (8.27) замкнутой системы, как бы ни были малы вариации Q(z) и P(z). Следовательно, передаточная функция замкнутой системы, определяемая выражением (8.28) будет соответствовать неустойчивой системе. В этом случае система является негрубой, ибо при небольшом отличии параметров корректирующей цепи от заданных замкнутая САУ становится неустойчивой. Отсюда следует, что корректирующая цепь не должна содержать

нулей и полюсов, которые близки к неустойчивым нулям и полюсам передаточной функции неизменяемой части системы. Иначе говоря, для обеспечения грубости замкнутой САУ нельзя сокращать неустойчивые нули и полюсы передаточной функции неизменяемой части разомкнутой системы с полюсами и нулями передаточной функции корректирующей цепи.

Этот вывод накладывает определенные ограничения на желаемую пере даточную функцию замкнутой системы.

Представим числитель и знаменатель передаточной функции неизме

няемой части системы в виде

(8.29)
Для устойчивой неизменяемой части системы Q (z)=1, а для минимально-фазовой неизменяемой части разомкнутой САУ P (z)=1. Если неизменяемая часть разомкнутой системы неустойчива и неминимально-фазовая, то передаточную функцию цепи коррекции (8.24) можно представить в виде

Действуя аналогично можно определить условия грубости для систем с последовательной коррекцией в цепи обратной связи и для параллельной коррекции. В результате можно получить следующие выводы.

1. Для минимально-фазовой и устойчивой неизменяемой части разомкнутой САУ условия грубости заведомо выполняются, и поэтому выбор желаемой передаточной функции замкнутой системы не стеснен ограничениями.

2. Для неминимально-фазовой и устойчивой неизменяемой части разомкнутой САУ условия грубости одинаковы при любом виде коррекции и накладывают определенные ограничения на выбор Фж(z)— она должна содержать неустойчивые нули передаточной функции W(z).

  1. Для минимально-фазовой и неустойчивой неизменяемой части разомкнутой системы возникают дополнительные ограничения на выбор Фж(z), вытекающие из условия грубости, для последовательной коррекции в прямой цепи и параллельной коррекции (см. 8.30).
  2. Для неминимально-фазовой и неустойчивой неизменяемой части разомкнутой САУ ограничения на выбор желаемой передаточной функции замкнутой системы возникают при всех видах коррекции.

Выше мы рассматривали замкнутую систему при одном внешнем воздействии, приложенном ко входу импульсного элемента. Изменение точки приложения входного воздействия изменяет вид передаточной функции замкнутой системы. Поэтому, в силу неизбежных флюктуаций в различных точках замкнутой САУ, следует выбирать Фж(z), исходя из наиболее жестких условий грубости, выведенных из анализа формулы 8.30. Таким образом, для всех видов коррекцииФж(z)должна содержать нулиP(z), аФ(z)=1-Фж(z)— нулиQ(z).
8.6.2. Методы синтеза дискретных САУ

Синтез дискретной системы может быть произведен с помощью ЛЧХ, по методике изложенной для непрерывных систем. Полученная передаточная функция корректирующего устройства Wk(w) с помощью выражения для билинейного преобразования переводится в Wk(z), что и определяет фрагмент программы ЦВМ.

Дискретная система может быть синтезирована по аналоговому прототипу, т.е. по выполнению условия

Передаточная функция неизменяемой части известна

Выбрав требуемую коррекцию, например использованием ЛЧХ, можно определить желаемую передаточную функцию замкнутой непрерывной системы, а следовательно и ее импульсную переходную характеристику k(t). По ней можно определить желаемую передаточную функцию дискретной системы

Далее определяется передаточная функция разомкнутой системы

С другой стороны, передаточная функция разомкнутой системы

Выражения (8.32) и (8.33) позволяют определить передаточную функцию ЦВМ, т.ее программу ее работы.

Рассмотрим методику синтеза дискретной САУ по критерию быстродействия, когда основным является требование, чтобы выходной сигнал имел конечную и минимальную длительность.

Примем следующие обозначения:

передаточная функция неизменяемой части;

передаточная функция ЭВМ.
Тогда для передаточных функций разомкнутой и замкнутой системы можно записать:

(8.34)
Если передаточные функции неизменяемой части и замкнутой системы известны, то из (8.34) следует:

(8.35)
Представим передаточную функцию неизменяемой части в следующем виде:

(8.36)
Полиномы с индексом “+” имеют все корни внутри круга единичного радиуса, а полиномы с индексом “-” вне этого круга. Операция представления передаточной функции в виде (8.36) называется факторизацией.

Условие грубости системы требует, чтобы передаточная функция желаемой замкнутой системы содержала в качестве своих нулей нули полинома В (z), а передаточная функция 1-Ф(z) в качестве своих нулей содержала нули полинома С (z).

При необходимости получить конечную длительность процесса регулирования выбирают характеристический полином замкнутой системы в виде:

(8.38)
где — целое положительное число.

В силу выражений (8.36) и (8.37) можно получить

Тогда для характеристического полинома замкнутой системы можно записать:

(8.39)
Соблюдение принципа физической реализуемости обеспечивается, если

(8.41)
Из (8.40) и (8.41) следует, что минимальный порядок желаемого характеристического полинома замкнутой системы

При избранных порядках полиномов N(z) и M(z) полиномиальное уравнение (8.39) решается развертыванием его в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов указанных полиномов путем приравнивания членов с одинаковыми степенями оператора z в левой и правой части исходного уравнения.

Выбор определяет процесс минимальной и конечной длительности. В этом случае число уравнений полученной системы равно числу неизвестных коэффициентов и она имеет единственное решение. Чаще всего при таком выборе длительности процесса синтезированная система не обладает достаточными запасами устойчивости и имеет высокое перерегулирование.

Для исключения этого явления есть два пути. Первый заключается в сохранении конечной длительности переходного процесса при увеличении времени регулирования путем выбора > . В этом случае система алгебраических уравнений содержит неизвестных больше, чем уравнений и имеет бесчисленное количество решений. Разность между числом уравнений и числом неизвестных равна величине увеличения порядка системы по сравнению с минимальным. Каких-либо общих рекомендаций по выбору “лишних” неизвестных коэффициентов дать невозможно. Одной из возможностей решения этой проблемы является наложение ограничений на коэффициенты числителя передаточной функции замкнутой системы. Для этого необходимо получить изображение переходной функции и выбрать ее значения исходя из требований к переходному процессу. Эти значения являются функциями коэффициентов полиномов B (z) и M(z). Таким способом иногда удается подобрать приемлемые значения “лишних” коэффициентов и затем решить систему уравнений относительно оставшихся коэффициентов полиномов M(z) и N(z). Решение задачи и в этом случае неоднозначно и при невозможности получить желаемый переходный процесс приходиться еще более увеличивать порядок системы.
Второй путь заключается в отказе и от конечной длительности переходного процесса. В этом случае характеристический полином замкнутой системы выбирается в следующем виде:

(8.43)
Величину перерегулирования и длительность переходного процесса, определяемую заданным временем регулирования, часто удается получить и при минимальном порядке системы путем надлежащего выбора величин a и k.

Пример. Рассмотрим структурную схему цифрового автомата стабилизации, в которой демпфирование осуществляется по аналоговому каналу.

Рис 8.8. Структурная схема автомата стабилизации

Передаточная функция неизменяемой части определяется выражением

При вычисленном выше коэффициенте демпфирования и заданных параметров объекта получим

Факторизация этой передаточной функции дает

В соответствии с приведенными выше соображениями Для обеспечения минимальной длительности переходного процесса порядки полиномов M(z) и N(z) должны быть равны соответственно 1 и 0, т.е.

Характеристический полином замкнутой системы примет вид

Приравнивая члены при одинаковых степенях оператора z в левой и правой части получим

Переходный процесс в такой системе имеет вид, показанный на рисунке 8.9.

Рис.8.9.Переходный процесс минимальной и конечной длительности

Процесс действительно заканчивается на втором такте, но имеет очень большое перерегулирование.

Для повышения качества системы увеличим порядок ее до 4.На столько же возрастут порядки полиномов M(z) и N(z), т.е. получим, что m=3, n=2. Характеристический полином примет вид

Соответствующая система алгебраических уравнений будет

В системе 4 уравнения и 6 неизвестных. Зададим значения двух неизвестных, например, Тогда решение относительно неизвестных коэффициентов будет:
Переходный процесс в замкнутой системе при таком выборе порядка характеристического полинома показан на рисунке 8.10. Переходный процесс заканчивается на четвертом такте, но все еще имеет высокое перерегулирование (40%) и существенно уменьшить его подбором коэффициентов затруднительно.

Выберем теперь характеристический полином замкнутой системы в виде

Выберем минимальный порядок системы l = lmin = 2 и выберем произвольно а = 0.6. Составив и решив систему алгебраических уравнений, получим

Рис.8.10.Переходный процесс конечной, но неминимальной длительности

Вычислив передаточную функцию, получим переходный процесс (рис.8.11).

Рис.8.11.Переходный процесс неминимальной и неконечной длительности
Показатели качества такой системы (=16%, tp=2.7c) вполне приемлемы.
8.7. Операционные методы цифрового моделирования дискретно – непрерывных систем.

Для исследования дискретно – непрерывных САУ широко рапространено моделирование их динамики на ЦВМ. Математическая модель для ее программирования на ЦВМ в любом случае сводится к описанию системы в форме разностных уравнений. Разностное уравнение (уравнение в конечных разностях) является аналогом дифференциальных уравнений в дискретной области. Формально переход от дифференциального уравнения к разностному осуществляется путем замены в первом производных конечными разностями в соответсивии с выражением

где — конечная разность к – го порядка. Пусть дифференциальное уравнение системы имеет вид

Подставив иместо производных выражения вида (8.44) и учитывая формулу конечных разностей, после преобразований получим

Это и есть уравнение системы в конечных разностях. В этом уравнении Разностное уравнение дает возможность получить рекуррентную формулу для вычисления для вычисления

i го значения выходной величины по ее прошлым значениям и значениям входной величины

Рекуррентное выражение легко программируется для вычислений на ЦВМ.

Недостатком такой математической модели является то, что начальное значение выходной величины не равно нулю: При малых значениях периода дискретизации эта ошибка невелика и ею можно пренебречь. С увеличением числа тактов вычислений ошибка дискретной модели непрерывной системы быстро уменьшается. Начальную ошибку можно исключить ее вычитанием из правой части (8.46) при i=0 .

Применив Z – преобразование к (8.45) и учитывая теорему запаздывания, поучим передаточную Z – функцию непрерывной системы

(8.47)
Отсюда следует, что, зная передаточную функцию дискретной системы в аппарате Z – изображений, легко получить моделирующее ее разностное уравнение.

Важным обстоятельством является то, что при иммитационном моделировании операцию преобразования дифференциального уравнения в разностное можно применить отдельно к каждому элементу непрерывной части системы и попученные уравнения включить в общую систему разностных уравнений,моделирующую дискретно – непрерывную САУ.

Пример. Передаточная функция элемента непрерывной части системы имеет вид

Требуется получить соответствующее разностное уравнение. При Т=0.5 и =0.3 переходная функция непрерывного элемента имеет вид, показанный на ис.8.12.
Р
ис.8.12. Переходная функция непрерывного элемента
При заданных значениях параметров путем описанных выше преобразований получим разностное уравнение для Т=0.1

Отсюда для рекуррентного выражения можно записать

Производя вычисления по полученной рекуррентной формуле с учетом вычитания начальной ошибки при i=0, получим для f(t)=1(t) переходную функцию, показанную на рис.8.13. Сопоставляя ординаты процессов, приведенных на рис.8.12 и 8.13 в точкахквантования по времени, легко убедиться, что уже после пятого шага вычисле ний отличие дискретного процесса от точного не превышает 5%. Совершенно аналогичный результат получим, если для построения переходного процесса использовать передаточную функцию вида (8.47), предварительно умноженную на z –1 для обеспечения выполнения условия x(0)=0.

Допустим, что каким – либо способом получена передаточная функция вычислительной машины и требуется получить для программирования соответствующее разностное уравнение.

Разделим числитель и знаменатель в (8.48) на . Получим

Р
ис.8.13. Переходная функция непрерывного элемента, вычисленная

по разностному уравнению

В этом выражении

Из полученного следует

Переходя к оригиналам, с учетом теоремы запаздывания, получим

Это и есть рекуррентная формула для вычисления дискретных значений выходной величины.

Очень часто дискретно – непрерывная система задана в виде структурной схемы и желательно получить разностные уравнения непрерывных динамических звеньев непосредственно по их передаточным функциям. Для этой цели распрстранение нашли методы подстановки, связанные с заменой s =f(z). При этом должны выполняться следующие требования:

1)если непрерывная передаточная функция W(s) соответствует устойчивой системе, то и полученная передаточная функция W(z) должна определять устойчивую систему;

2)способ должен допускать возможность раздельного применения к звеньям структурной схемы;

  1. для постоянных сигналов коэффициент усиления дискретной цепи должен соответствовать тем же значениям коэффициента усиления непрерывной цепи.

Перечисленным требованиям наиболее полно удовлетворяет подстановка Тастина

Подстановка Тастина дает хорошие результаты при где основная постоянная времени непрерывной системы. В некоторых изданиях рекомендуют выбирать Этим требованиям не всегда удается удовлетворить и в таких случаях можно использовать модифицированную подстановку Тастина

При неизменном значении периода дискретизации удовлетворительное соответствие динамики непрерывной системы с ее дискретной моделью иногда можно получить подбором параметра Тастина w. Полученная подстановкой Z – передаточная функция описанным выше способом преобразуется в рекуррентную формулу.

Для получения дискретной модели непрерывной системы можно использовать метод подбора корня, который заключается в выполнении следующих операций:

1) определение нулей и полюсов передаточной функции непрерывной системы;

2) отображение нулей и полюсов s плоскости в z плоскости, исппользуя соотношения

  1. образование полиномов Z – передаточной функции с полюсами и нулями, определенными в п.2;
  2. определение конечного значения реакции непрерывной системы на единичное ступенчатое воздействие;
  3. определение конечного значения реакции дискретной системы на единичное ступенчатое воздействие;
  4. подбор конечного значения дискретной системы в соответствии с конечным значением непрерывной системы введением постоянной в передаточную функцию, образованную в п.3;
  5. добавление нулей в передаточную функцию дискретной системы до получения m=n– 1.
  6. Определение моделирующего разностного уравнения.

Для использования рассмотренного способа непрерывная система должна удовлетворять следующим требованиям:

  1. быть асимптотически устойчивой и удовлетворять теореме о конечном значении;
  2. конечное значение не должно равняться нулю.

Пример. Методом подбора корня получить разностное уравнение для моделирования на ЦВМ непрерывной системы, имеющей передаточную функцию

Параметры передаточной функции те же, что и в предыдущем примере.

Нулей передаточная функция не имеет, а полюсы комплексно сопряженные и равные  j, где = -0.6, = 1.908. Передаточную функцию моделирующей дискретной системы запишем в виде

После преобразований и умножения на пока неизвестный коэффициент k, получим

Конечное значении реакции непрерывной системы на единичное ступенчатое воздействие будет

Конечное значение реакции дискретной системы на то же воздействие определится как

Для того, чтобы конечные значения реакций непрерывной и дискретной систем были равны, коэффициент k должен быть равен

Подставив коэффициент усиления, а так же значения и и дополнив передаточную функцию дискретной системы одним нулем, получим

По этой передаточной функции можно получить моделирующее разностное уравнение и рекуррентную формулу, по которой и рассчитан переходный процесс, показанный на рис.8.14.

Р
ис.8.14. Переходный процесс, полученный при использовании

метода подбора корня

Полученная переходная функция с достаточно высокой точностью соответствует переходной функции исходной непрерывной системы.

Электронная библиотека

Непрерывные корректирующие устройства, изменяющие НЧ системы, реализуются на практике активными или пассивными фильтрами, которые включаются либо последовательно с НЧ, либо вводятся в контур обратных связей (рис. 7.1, 7.2).

Рассмотрим пример расчета непрерывного последовательного регулятора.

Введение корректирующего устройства в систему (рис. 7.1) с передаточной функцией

и интервалом квантования должно обеспечивать время регулирования и перерегулированием .

Дискретная передаточная функция разомкнутой нескорректированной САУ имеет вид:

Вводим новую переменную w, осуществляя переход от z-изображений к w-изображениям:

Для построения логарифмических частотных характеристик используем абсолютную псевдочастоту . При имеем:

Тогда выражение для комплексной амплитудно-фазовой характеристики нескорректированной разомкнутой системы имеет вид:

Соответствующие этому выражению логарифмическая амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики приведены на рис. 7.3. По их виду на основании критерия Найквиста можно сделать заключение, что нескорректированная система находится на границе устойчивости.

Далее необходимо построить логарифмическую амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики скорректированной системы, для чего необходимо воспользоваться соответствующими номограммами, разработанными для коррекции непрерывных систем. С их помощью определена частота среза и запас устойчивости по амплитуде для ЛАХ скорректированной системы: и дб. Характеристики и приведены на рис. 7.3.

Для обеспечения физической реализуемости корректирующего устройства не в полной мере обеспечен требуемый запас устойчивости по амплитуде в высокочастотной части среднечастотного участка ЛАХ.

При этом выражение для комплексной амплитудно-фазовой характеристики скорректированной разомкнутой системы имеет вид:

Осуществляя обратную замену , получим:

Используя подстановку , определим дискретную передаточную функцию скорректированной разомкнутой системы в z-форме:

Непосредственно из полученного выражения искомую передаточную функцию корректирующего устройства определить нельзя. Поэтому воспользуемся тем, что:

Далее необходимо тем или иным способом найти функцию , Z-изображение которой равно выражению, стоящему в правой части равенства (7.1), т.е.:

После этого искомая передаточная функция непрерывного корректирующего звена определяется следующим образом:

В ряде случаев для нахождения функции достаточно воспользоваться таблицами Z-преобразования. Кроме того, можно применить следующий прием: предварительно найдем решетчатую функцию , Z-изображение которой равно выражению, стоящему в правой части равенства (7.1).

Для рассматриваемого примера

Такой решетчатой функции соответствует сколь угодно много непрерывных функций , совпадающих с в моменты квантования. Поэтому переход к осуществим, формально воспользовавшись равенством:

Изображение по Лапласу от имеет вид:

Передаточная функция непрерывного корректирующего звена в соответствии с выражением (7.2) равна:

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Непрерывные и дискретные динамические системы

Учебное пособие. – 2-е изд. перераб. — М.: Учебно-методический и издательский центр «Учебная литература». 2004.- 252с.

В книге излагаются математические методы описания и анализа непрерывных и дискретных динамических систем на основе системного подхода. Рассматривается взаимосвязь математических моделей вход-выход и моделей в переменных состояния, вопросы реализации моделей вход-выход, а также методы исследовании непрерывных и дискретных динамических систем при детерминированных и случайных воздействиях.
Книга предназначена для специалистов, занимающихся разработкой современных динамических систем, а также для студентов, магистрантов и аспирантов соответствующего профиля.

Анализ и синтез линейной непрерывной САУ

3.1 Составить структурную схему САУ

Рис. 3.1. Структурная схема САУ

3.2 Определить передаточную функцию разомкнутой системы и замкнутой САУ относительно входного и возмущающего воздействия.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Передаточная функция замкнутой системы относительно входного воздействия:

Передаточная функция замкнутой системы относительно возмущающего воздействия:

3.3 Построить амплитудно-частотную характеристику. В устойчивых системах определить запас устойчивости.

Рис. 3.2. Годограф Найквиста

3.4 Построить логарифмическую АФЧХ. Определить запасы устойчивости и сравнить их с результатами, полученными в п.3.3.

3.5 Провести коррекцию системы с помощью введения в её состав последовательно корректирующего устройства, исходя из показателей качества.

3.6 Представить схему корректирующего устройства, рассчитать его параметры

Корректирующее устройство представлено на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Корректирующее устройство

3.7 Рассчитать и построить график переходной характеристики скорректированной САУ.

Используя программный пакет Mathcad, разложим изображение на элементарные дроби:

Переходная характеристика будет иметь вид:

3.8 Для заданного типа входного воздействия определить установившуюся ошибку скорректированной САУ.

s + 100s 2 + 1.1s 3 + 0.001s 4 680.4 + 681.4s + 100s 2 + 1.1s 3 + 0.001s 4

s + 1.022s 2 + 0.15s 3 + 0.00615s 4 0.0015s — 0.145s 2

98.978 s 2 + 0.95s 3 — 0.00215 4

3.9 Провести моделирование при воздействии единичного ступенчатого сигнала и при воздействии заданного типа входного воздействия.

Рис. 3.7. Переходная характеристика скорректированной САУ

3.10 Оценить качество скорректированной САУ.

В результате последовательной коррекции неустойчивой системы была получена устойчивая система которая имеет запас устойчивости по амплитуде и запас устойчивости по фазе .

Анализ дискретной САУ. За основу взять линейную непрерывную САУ после коррекции.

4.1. Определить период дискретизации импульсного элемента. В качестве формирователя импульсов взять экстраполятор нулевого порядка.

За теоремой Котельникова:

Поскольку период дискретизации не должен быть больше чем постоянная времени, которая определяет скорость изменения сигнала при прохождении непрерывной части САУ, то имеем:

4.2 Определить передаточную функцию разомкнутой и замкнутой дискретной САУ.

Передаточная функция разомкнутой САУ:

Разложим выражение в скобках используя программный пакет Mathcad на элементарные дроби:

Передаточная функция замкнутой САУ:

Передаточная функция замкнутой САУ по ошибке:

4.3 Определить устойчивость системы используя критерий Гурвица

Проведем билинейное превращение:

Поскольку все определители Гурвица положительные, система устойчива.

4.4 Построить логарифмические псевдочастотные характеристики дискретной САУ и определить запасы устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде:

Запас устойчивости по фазе:

4.5 С помощью MATLAB построить переходную характеристику дискретной САУ и определить показатели качества системы

>> den=[0.001 1.1 100 1 0];

0.001 s^4 + 1.1 s^3 + 100 s^2 + s

1.241 e-005 z^3 + 3.106e-005 z^2 — 3.401e-005 z — 9.425e-006

z^4 — 3.558 z^3 + 4.692 z^2 — 2.712 z + 0.5769

Sampling time: 0.0005

1.241 e-005 z^3 + 3.106e-005 z^2 — 3.401e-005 z — 9.425e-006

z^4 — 3.558 z^3 + 4.693 z^2 — 2.712 z + 0.5769

Sampling time: 0.0005

4.6 Для заданного типа входного сигнала рассчитать установившуюся ошибку дискретной САУ

Используя программный пакет Mathcad найдем две первые производные от передаточной функции по ошибке:

Классификация САУ (непрерывные и дискретные, прямого и непрямого управления)

Системы автоматического управления классифицируются по следующим признакам :

Ø По задачам управления;

Ø По назначению;

Ø По принципу работы.

По задачам управления различают следующие системы:

ü Системы автоматической сигнализации. (состоят из:ОУ- объекта управления; ВЭ – воспринимающего элемента; ИУ – исполнительного устройства)

ü Системы автоматического контроля. (состоят из:ОУ- объекта управления; ИП – измерительного преобразователя; ИУ – исполнительного устройства)

ü Системы автоматической защиты.(ЗС – задающий сигнал; ЭС – элемент сравнения; УУ – усилительное устройство)

ü Системы автоматического пуска и останова объектов управления.

ü Системы автоматического регулирования. (Структура такой системы зависит от алгоритма управления объектом. )

По назначению системы автоматического управления имеют 3 разновидности:

  • Системы автоматической стабилизации. Предназначены для поддержания на заданном уровне одного или нескольких параметров объекта управления.
  • Системы автоматического программного управления. Предназначены для автоматизации работы объекта управления по заданной программе.
  • Следящие системы автоматического управления. Это системы, в которых управляющее воздействие на объект управления строго следует за изменением величины входного сигнала в устройстве управления.

По принципу работы системы автоматического управления имеют следующие разновидности:

  • Системы непрерывного и дискретного действия.

В непрерывных системах сигналы непрерывны во времени.

Дискретные системы бывают релейные, импульсные и цифровые.

В релейных системах сигналы скачкообразно переходят с одного уровня на другой.

Импульсные системы делятся на амплитудномоделируемые и широтномоделируемые.

В цифровых системах значимость сигнала заключена характере чередования импульсов постоянной амплитуды и частоты.

  • Системы прямого и непрямого управления.

В системах прямого управления энергии сигнала достаточно для воздействия на объект управления.

В системах непрямого управления энергии сигнала не достаточно для воздействия на объект управления, поэтому требуется дополнительный управляемый источник этой энергии, который называется усилителем сигнала.

Тема 8 ДИСКРЕТНЫЕ САУ

    Валерия Мариенгоф 4 месяцев назад Просмотров:

1 Тема 8 ДИСКРЕТНЫЕ САУ Лекция 7 Общие понятия и определения теории дискретных САУ. Основные сведения о математическом аппарате теории линейных дискретных стационарных систем. Математическое описание процессов в дискретных элементах Общие понятия и определения теории дискретных САУ Основой процесса управления любой САУ является получение, передача и преобразование сигналов, действующих в системе, в целях формирования требуемого закона изменения управляющего воздействия. В зависимости от способа преобразования сигналов САУ подразделяются на непрерывные и дискретные. В непрерывных САУ передается и преобразуется каждое мгновенное значение сигнала на входе и выходе всех элементов системы. Дискретные САУ представляют собой класс систем управления, в которых имеется хотя бы один элемент, преобразующий непрерывны сигнал в дискретный. Процесс преобразования непрерывного сигнала в дискретный называется квантованием. Он осуществляется с помощью элементов дискретного действия, называемых дискретными элементами. Различают три способа квантования сигналов: по уровню; по времени; по уровню и времени. При квантовании по уровню осуществляется фиксация значений непрерывного сигнала в моменты достижения им равностоящих уровней q i (рис.8.8а). x() вход x() вход 5q 4q выход 5q 4q выход 3q 3q 2q 2q q q а б Рис.8.8

2 Обычно в интервалах между моментами фиксации 2, 2 3, 3 4. значение выходного дискретного сигнала остается постоянным. Поэтому при квантовании по уровню сигнал после дискретного элемента имеет ступенчатый характер, т.е. является дискретным по уровню и непрерывным по времена (см. рис.8.8б). Квантование по уровню осуществляется с помощью релейных элементов. При квантовании по времени осуществляется фиксация значений непрерывного сигнала через равные промежутки времени T. В этом случае дискретные сигналы претерпевают скачкообразные изменения через заданные промежутки времени T. Интервал времени T называется периодом квантования, периодом дискретности или тактом дискретной САУ (см. рис.8.9). Квантование по времени осуществляется с помощью идеальных импульсных элементов. При квантовании по времени и уровню осуществляется фиксация значений непрерывного сигнала через равные промежутки времени T, при этом значение сигнала берется равным ближайшему фиксированному уровню (рис.8.). x() вход 6q x() вход выход 5q 4q 3q 2q q выход T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T T 2T 3T 4T 5T 6T 7T 8T 9T Рис.8.9 Рис.8. Примером дискретного элемента, осуществляющего одновременное квантование по времени и уровню, может служить ЦВМ. Если при осуществлении двух последних способов квантования в интервалах времени T, T 2T и т.д. фиксировать значения дискретного сигнала, то получим сигнал, имеющий ступенчатую форму (см, пунктирную линию на рис. 8.9 и 8.). Из рассмотренных способов квантования следует, что если квантование по времени в какой-то степени является линейной операцией, то квантование по уровню существенно нелинейной операцией. Из рис.8. видно, что чем меньше по значению величины q и T, тем с большей точностью и линейностью дискретный сигнал будет воспроизводить характер и значения

3 непрерывного сигнала. В зависимости от используемого способа квантования непрерывного сигнала дискретные САУ подразделяются на релейные, импульсные и цифровые. Для релейных САУ характерен процесс квантования по уровню. Они относятся к классу нелинейных систем. Для импульсных САУ характерен процесс квантования по времени, а для цифровых по времени и уровню. Импульсные и цифровые CAУ могут быть как линейными, так и нелинейными. По характеру изменения задающего воздействия дискретные САУ, как и непрерывные, классифицируются на три типа: системы стабилизации, системы программного регулирования и следящие системы. В дальнейшем будем рассматривать вопросы теории цифровых САУ. Математическим аппаратом теории этих систем являются решетчатые (дискретные) функции, разностные уравнения, дискретное преобразование Лапласа и z преобразование. Основные сведения о математическом аппарате теории линейных дискретных стационарных систем К понятию решетчатой функции приводит работа дискретных элементов, осуществляющих квантование по времени и, в частности, работа отдельных импульсных элементов. Решетчатой называется функция x(nt ), значения которой определены только в дискретные моменты времени = nt, где n натуральные числа,, 2. (рис.8.). x(), x(nt ) x(nt ) x() 7T 8T 9T =nt T 2T 3T 4T 5T 6T Рис.8. Следовательно, для нахождения решетчатой функции необходимо в непрерывную функцию x() подставить = nt.

4 Примеры.. x() = l(). Этой непрерывной функции соответствует решетчатая функция x(nt )= (nt ). Она представляет собой последовательность идеальных импульсов, модулированных по закону l() (рис. 8.2). Эту последовательность можно записать так: (nt ) = <. >. x(), x(nt ) x() T 2T 3T 4T 5T 6T nt Рис x( ) e, где α >. При = nt имеем ( ) nt x nt e. nt T, 2T e e, e. При этом x(), x(nt ) x() T 2T 3T 4T 5T 6T nt Рис. 8.3 Из изложенного следует, что непрерывная функция является огибающей решетчатой функции и ей соответствует только данная решетчатая функция x(nt ). Если же известна не непрерывная, а решетчатая функция, то она может иметь множество огибающих x (), x 2 (). (рис.8.4). Это обстоятельство не позволяет считать решетчатую функцию аналогом непрерывной функции. Для определения значения решетчатой функции между точками квантования вводится смещенная решетчатая функция x(nt + ξt )= x[(n + ξ)t ], где ξ постоянное число в интервале 5 x(), x(nt ) x 2 () x () T 2T 3T 4T 5T 6T nt Рис. 8.4 Часто для упрощения записи решетчатой функции вводится относительная переменная nt /T = n. В этом случае запись решетчатой и смещенной решетчатой функции принимает вид: x(n)= x[(n+ ξ)]. Вверение решетчатых функций привело к понятию линейного разностного уравнения, которое можно рассматривать как аналог линейного дифференциального уравнения. При этом аналогом производных являются разности первого, второго. и п-го порядков решетчатых функций. Разность первого порядка обозначается Δ x(n) и определяется по формуле x( n) x( n ) x( n), (8.2) графически x( n) определяется так, как показано на рис.8.5. x(n) Δ Δ x(2) Δ x(3) Рис. 8.5 n По физическому смыслу разность первого порядка характеризует скорость нарастания или убывания решетчатой функции за период дискретности. Поэтому она является аналогом первой производной непрерывной функции. Разность второго порядка определяется как первая разность разностей первого порядка, т.е. Δ 2 x(n) = Δ x(n+) Δ x(n) = x(n+2) x(n+) x(n+) + x(n) (8.3) Разность второго порядка является аналогом второй производной непрерывной функции. Аналогично определяются разности третьего, четвертого и т.д. порядков. Математическая зависимость между решетчатыми функциями и их разностями различных порядков на выходе и входе элемента (системы)

6 называется разностным уравнением или уравнением в конечных разностях. Динамка дискретных линейных стационарных САУ описывается линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами. Это уравнение можно записать в следующем виде a m Δ m y(n) + a m- Δ m- y(n) + a Δ y(n) + a y(n) = b k Δ k x(n) + b x(n), (8.4) где y(n) решетчатая функция управляемой величины; y(n) решетчатая функция задающего или в возмущающего воздействия; m, k, a i, b i постоянные коэффициенты. Учитывая связь разностей с дискретами решетчатой функции (см.формулы (8.2) и (8.3)) разностное уравнение записывается и в такой форме a m Где y( n m). a y( n ) a y( n) bk x( n k). b x( n), (8.5) a i, b i постоянные коэффициенты, определенным образом связанные с коэффициентами a i, b i. Решение линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами производится по аналогии с решением линейных дифференциальных уравнений. Однако сложность в определении корней характеристического уравнения ограничивает возможности использования такого подхода к анализу качества линейных дискретных САУ. Наиболее простым и распространенным методой анализа и синтеза линейных дискретных САУ является метод, основанный на использовании дискретного преобразования Лапласа и z -преобразования. Дискретное преобразование Лапласа — это есть обобщение прямого преобразования Лапласа: s X ( s) L[ x( )] x( ) e d на решетчатые функции. Оно выполняется по формуле X ( s) D[ x( nt )] n x( nt ) e snt где D [ x( nt )] символ операции дискретного преобразования; x ( nt ) решетчатая функция, называемая оригиналом, X (s) изображение решетчатой функции в смысле D преобразования; s=c+jω оператор Лапласа.

7 Пример. Задана решетчатая функция x nt ) ( nt ) <. >.Требуется найти x*(s)=*(s). Решение. Применяя формулу (8.6), получим st 2 st ( s ) e e (. Это выражение представляет собой собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии s, знаменатель которой q q st e. Поэтому st e ( s ). st st e e Особенность D-преобразования состоит в том, что (s) это функция не от s, а от e s s X e, которая является периодической, так как ( s2 jk ) s e e (cos2πk jsin 2πk) e А это значит, что и функция x*(s) является также периодической с частотой ω =2π/T. Периодичность функции x*(s) приводит к неудобствам при расчетах. Поэтому от D-преобразования переходят к z-преобразованию. Переход осуществляется с помощью подстановки самое, e st. (8.7) z s. e st z или, что то же Подставляя (8.7) в (8.6) получим формулу z-преобразования решетчатой функции Пример. Известно, что )] x( nt ) n n X ( z) z[ x( nt z. Найти ( z) z[( nt )]. st e ( s ). st e

8 st Решение. Подставляя в заданное выражение вместо e переменную z получим z ( z ). z Подстановка e st z устанавливает однозначную связь между точками комплексной плоскости s=α+jω (8.9) и точками новой комплексной плоскости st j T T j T z e ( ω) ω e e e j arg z z e, (8.) T z e, arg z ωt Графически комплексные плоскости s и z имеют вид, показанный на рис.8.6. Если α=, то согласно (8.9), все значения s находятся на мнимой оси плоскости s. В этом случае, согласно (8.), z, а arg z ωt. А это значит, что мнимая ось ω плоскости s отображается не плоскости z окружностью единичного радиуса (см. рис.8.6). Аналогично можно показать, что если α>, то правая полуплоскость плоскости s отображается плоскости z внешней частью круга единичного радиуса. Если α 9 Таблица 8. x() X(s) X(z) z () s z zt 2 2 s ( z ) e z s α αt z e Более полная таблица имеется в литературе по ТАУ. Там же приведены» основные свойства и теоремы z -преобразования. Так, например, теорема о конечном значении функции x nt ) гласит ( так как, если s z z z lim x( nt ) lim X ( z ), n z z z, то s. z Математическое описание процессов в дискретных элементах Широкое применение в дискретных системах получили так называемые импульсные элементы (Им.Э). Импульсный элемент служит для формирования импульса определенной формы (чаще прямоугольной). При этом он выполняет функцию квантования по времени и функцию импульсной модуляции. Импульсная модуляция — это процесс изменения одного из параметров последовательности импульсов по закону изменения непрерывного сигнала. Рассмотрим прямоугольную последовательность импульсов (рис.8.7). A T и T Рис.8.7

10 Параметрами этой последовательности являются: амплитуда (высота) импульса А; ширина (длительность) импульса Т и ; период повторения (период дискретности) импульса Т. Ширина Т и и период дискретности Т связаны соотношением Т и = γт >, где 11 В технике управления наиболее распространены импульсные САУ с АИМ, а также с ШИМ. При исследовании импульсных САУ реальный импульсный элемент заменяет последовательным соединением двух элементов: а) идеального импульсного элемента (прерыватель П, ключ); б) формирующей цепи ФЦ (рис. 8.2). Прерыватель осуществляет квантование по времени, т.е. преобразует непрерывный сигнал x () в последовательность идеальных модулированных импульсов. Каждый такой импульс математически описывается дельта-функцией определенной площади, т.е. выражением вида x( nt ) ( nt ) где n=, I, 2. Поэтому, модулированную последовательность идеальных импульсов на выходе можно описать следующим выражением X ( ) x( nt ) ( nt ) n Формирующая цепь служит для формирования из последовательности идеальных модулированных импульсов последовательности реальных модулированных импульсов той или иной формы. На рис.8.2 изображен график X 2 () модулированной последовательности прямоугольных импульсов, т. е. сигнал на выходе импульсного элемента с АИМ -го рода.

12 x () П Им Э x * () ФЦ x 2 () x () x * () x (T )δ(-t ) x (2T )δ(-2t ) x (3T )δ(-3t ) 7T 8T 9T T 2T 3T 4T 5T 6T x 2 () 7T 8T 9T T 2T 3T 4T 5T 6T Рис. 8.2 Так как на вход ФЦ в моменты nt ступает сигнал в виде дельтафункции, то выходной сигнал будет представлять собой функцию w(). Графически это означает следующее (рис. 8. 2).

13 x ()= x (nt )δ(-nt ) x * () ФЦ x 2 () = w() A x 2 () = w() T и=γt Рис Поскольку любая передаточная функция W(s)= w(s), то передаточная функция ФЦ W фц (s)= w(s)= X 2 (s). Для нахождения выражения W фц (s) = X 2 (s) представим прямоугольный импульс X 2 ()= w() с амплитудой A= как разность двух ступенчатых функций (рис. 8.22). () (-γт ) γт x 2 () Рис Из рис получаем, что X 2 ()= w()=() ( γt ), Или в изображении по Лапласу при нулевых начальных условиях

Тема 8. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ

Тема 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ Понятие дискретной системы Методы описания линейных дискретных систем: разностное уравнение, передаточная функция, импульсная характеристика, частотная передаточная функция

Каждый электрик должен знать:  Осаждение пленок Лэнгмюра-Блоджетт
Добавить комментарий