Обобщённая формула Рэлея

Обобщённая формула Рэлея

Обобщенная энергия

Найдем полную производную от функции Лагранжа по време­ни. Так как функция Лагранжа зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые сами являются функциями вре­мени, то получим выражение

Воспользуемся формулой Лейбница для дифференцирования про­изведения двух функций и получим из нее следующее равенство:

С помощью этого равенств преобразуем выражение (3.37) и запи­шем его в форме

Сумма в правой части выражения (3.38) равна нулю вследствие выполнения уравнений Лагранжа (3.8). Выражение в скобках в левой части формулы (3.38), взятое с обратным знаком, называет­ся Обобщенной энергией. Обозначим его буквой :

Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени

Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохра­няется при движении механической системы.

Для обычных механических систем при условии, что формулы преобразования к обобщенным координатам не содержат времени, функция Лагранжа дается формулой (3.26). Найдем в этом случае обобщенную энергию. Для обобщенных импульсов получим

Подставляя этот результат в формулу (3.39), найдем

То есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии.

Если на механическую систему действую силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при от­сутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа. В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение ме­ханической энергии дается формулой (3.43)

Формула (3.43) получается из соотношения (3.38) при подстановке в него уравнения (3.12). Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12)

Диссипативная функция Рэлея

Пусть на любую точку системы, имеющую степеней свободы, действует сила сопротивления пропорциональная первой степени скорости

где — коэффициент сопротивления.

Силе сопротивления сопоставляется диссипативная функция Рэлея , характеризующая быстроту рассеивания (диссипации) энергии системы

которую при стационарных связях можно представить следующим образом:

Для системы с конечным числом степеней свободы, ограничиваясь в разложении коэффициентов в ряд Маклорена только первыми членами, получим выражение функции рассеивания Рэлея в виде однородной положительной квадратичной функции обобщённых скоростей

где — постоянные, называемые коэффициентами диссипации или приведёнными коэффициентами сопротивления.

Отсюда для системы с одной степенью свободы

Дата добавления: 2020-08-08 ; просмотров: 1937 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Критерий Рэлея

Рассмотрите критерий Рэлея для разрешающей способности оптических приборов. Читайте о роли дифракции, что такое разрешающая способность, схема и условия.

Критерий Рэлея вычисляет угол разделения двух отличающихся световых источников.

Задача обучения

  • Разобраться в критерии Рэлея.

Основные пункты

  • В процессе разрешения важную роль играет дифракция. Есть точка, где два световых источника могут быть настолько близкими, что их не удается отличить.
  • При подобной близости они могут быть: неразрешенными, разрешенными, очень хорошо разрешенными.
  • Для хорошего разрешения центр одного дифракционного узора должен перекрываться первым минимумом второго.

Термины

  • Разрешающая способность – степень тонкости, с которой изображение можно записать или произвести.
  • Дифракция – волновой изгиб на краю отверстия или преграды.

Пределы разрешения

Дифракция ограничивает детали, которые можно добыть из изображения. Есть три условия разрешающих ограничений:

(а) – Монохроматический свет, пробивающийся сквозь небольшое круговое отверстие. (b) – Два приближенных точечных световых источника создают перекрывающееся изображение. (с) – Если они расположены еще ближе, то их не получится разрешить

  • свет проходит сквозь небольшую круговую апертуру. Вы не заметите резкого кругового контура, только пятно с размытым очертанием.
  • два приближенных точечных источника формируют перекрывающееся изображение.
  • два точечных источника расположены слишком близко, что не позволяет их разрешить.

Подобный эффект наблюдается, когда свет проходит сквозь небольшие отверстия.

Критерий Рэлея

В 19 веке Лорд Рэлей изобрел критерий, который помогал бы определить, можно ли разрешить два световых источника. Разрешение происходит легко, если центр дифракционного узора одного перекрывается первым минимумом второго. Если дистанция между ними больше, то разрешить их просто. Но при снижающемся расстоянии они способны стать неразрешенными. Критерий Рэлея для разрешающей способности определяются формулой:

(θ – угол, в котором объекты разделены, λ – длина волны света, D – диаметр апертуры).

(а) – График интенсивности дифракционного узора для круговой апертуры. (b) – Два точечных объекта формируют перекрывающиеся дифракционные узоры. Здесь видно, что они легко разрешаются. Центральный максимум одного лежит на первом минимуме второго

Прикладная теория упругости

Ван Цзи-Де

1959 г.

размещено: 04 Сентября 2020

Из предисловия автора

В течение последних лет автор читал курс теории упругости студентам Нью-Йоркского университета — будущим инженерам. Настоящая книга отражает содержание прочитанных лекций. При подготовке курса автор преследовал две цели. Во-первых, необходимо было добиться, чтобы студенты твердо усвоили основы теории и умели правильно поставить любую задачу, относящуюся к классической теории упругости. Во-вторых, имелось в виду познакомить студентов с наиболее эффективными аналитическими и численными методами решения задач. Это должно было научить студентов доводить до конца решение поставленной задачи, используя один из рассмотренных методов.
Автор учитывает, что обычно студенты, изучающие теорию упругости, одновременно с этим проходят специальные главы курса высшей математики. Поэтому при изложении материала предполагается, что слушатель владеет лишь сравнительно простым математическим аппаратом. В тех случаях, когда приходится прибегать к более сложным разделам высшей математики, даются некоторые предварительные сведения. Автор надеется, однако, что это ограничение в отношении математического аппарата не повлияло заметно на строгость изложения.
Так как эта книга предназначена, главным образом, для инженеров, автор старался осветить физический смысл встречающихся обозначений и математических зависимостей. Задача инженера, специализирующегося в области расчетов на прочность, состоит обычно в том, чтобы в пределах сравнительно короткого периода времени снабдить конструктора необходимыми сведениями и числовыми данными для расчета. Поэтому здесь особенно подробно рассмотрены некоторые эффективные численные методы. В тех случаях, когда точное решение задачи затруднено, подобные методы приводят к приближенному решению, вполне удовлетворительному с точки зрения практических приложений.
Во всех разделах книги делаются ссылки на источники. Однако автор должен особо отметить труды С. П. Тимошенко, Р. В. Саусвелла и И. С. Сокольникова, повлиявшие на построение данного курса.

Теория атома водорода по Бору

В качестве последнего примера безуспешных попыток классической физики дать полную теорию физических явлений рассмотрим атом водорода.

Согласно классической модели Резерфорда атом водорода состоит из одного электрона, вращающегося вокруг положительно заряженного малого атомного ядра. Эта классическая модель не смогла объяснить два основных экспериментальных факта:

а) стабильность атома водорода

б) структуру излучаемого им электромагнитного спектра.

В основу теории, исходящей из ядерной модели атома и объясняющей его основные опытные свойства и, прежде всего устойчивость и дискретный спектр излучения, Н. Бор положил два постулата (принципа):

1. Постулат стационарных состояний 3 (орбит) – в атоме существуют некоторые особые стационарные состояния, находясь в которых электрон вращается вокруг ядра по круговым орбитам и не излучает, хотя и движется с ускорением (центростремительным). Этим постулатом Бор, не покушаясь на справедливость теоретических основ классической физики, допускает исключение из общего правила в виде особых состояний атома с круговыми орбитами электрона в них.

Бор установил (догадкой) правило определения стационарных круговых орбит электрона – так называемое правило квантования орбит. Оно утверждает необходимость целочисленности в постоянных Планка момента импульса L электрона на этих орбитах, т. е.: L = mr = n , где m и – масса и скорость электрона, r – радиус его орбиты, n – номер орбиты; — постоянная Планка.

Правило частот. Излучение и поглощение энергии атомом происходит при переходе его из одного стационарного состояния в другое (при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую 4 ). Частота излучения (поглощения) определяется из условия энергетического баланса: , где и — энергии электрона на m — ой и n — ой орбитах, соответственно.

Процесс обратный излучению заключается в поглощении фотона с частотой nm. В этом случае атом переходит из состояния с меньшей энергией в состояние с большей энергией.

искретность, квантованность энергетических уровней электрона в атоме (и атома в целом), гипотетически постулируемая Бором, получила свое убедительное экспериментальное подтверждение в опыте Франка и Герца в 1913 г. Пропуская электрический ток через лампу — триод, наполненную парами ртути, они обнаружили провалы на вольтамперной характеристике I(U). Эти провалы, т. е. снижения силы тока при некоторых значениях напряжения между анодом А и сеткой С, были объяснены ими как результат неупругого соударения носителей тока – электронов с атомами ртути 5 . Сетка С, на которую подавался небольшой, порядка 0,5 В положительный потенциал относительно анода, «перехватывала» «ослабевшие» электроны, потерявшие свою кинетическую энергию в результате неупругих соударений с атомами ртути. Соответственно на анод попадало меньше электронов, что проявляло себя в уменьшении анодного тока. Атомы ртути могли воспринять (забрать) от электронов лишь определенную энергию, кратную энергии их возбуждения. При этом атомы ртути переходят в возбужденные состояния, отстоящие от основного по энергии на 4,9 эВ; 6,7 эВ; 10,3 эВ… . Это говорит о том, что энергия атома ртути обладает дискретным спектром значений.

В математическом плане Бор при построении теории простейшего атома – атома водорода, отталкивался от двух уравнений для электрона в атоме. Одно из них было чисто классическим, представляя собой, второй закон Ньютона с кулоновской силой (центростремительной), а другое – чисто квантовым – уравнение для момента импульса электрона (правило квантования орбит). Отсюда следовал вывод о непоследовательности теории Бора, которая была уже не чисто классической, но не была еще и последовательно квантовой. Такая непоследовательность обусловила значительную ограниченность теории Бора, ее предсказательных возможностей.

Запишем и решим систему из двух уравнений для электрона в атоме с порядковым номером Z. Напомним, что у Бора Z = 1, что соответствовало атому водорода.

n = 1, 2, 3, … — номера орбит.

Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными  и r. Избавимся от , возведя второе уравнение в квадрат и поделив его на первое, в котором сократим r:

олученное выражение для радиуса орбиты электрона в атоме указывает на дискретный, квантовый характер его значений. Для n = 1 и Z = 1 значение радиуса первой (невозбужденной) орбиты r1 = 0,5310 -10 м — хорошо совпадает с размером атома водорода.

Скорость электрона также квантуется:

Полная энергия электрона в атоме складывается из суммы кинетической и потенциальной: ;

— энергия взаимодействия двух, разных по знаку, точечных зарядов – электрона и ядра.

Полученное выражение для полной энергии электрона в атоме содержит набор отрицательных значений; это является свидетельством связанности состояния электрона в атоме – энергия связи (отрицательная) превышает энергию движения (положительную). При возрастании полной энергии до нуля электрон оказывается свободным, а атом ионизированным.

ростом номера и радиуса орбиты полная энергия электрона возрастает, оставаясь до уровня ионизации отрицательной. При n  и  E = 0 – электрон отрывается от ядра, а атом превращается в положительный ион.

Каждый электрик должен знать:  Основные электромагнитные нагрузки и машинная постоянная

Подставляя в выражение для полной энергии электрона ранее выражение для радиуса его орбиты, получаем формулу для полной энергии электрона: . Полная энергия Е электрона в атоме квантуется, т. е. имеет дискретный спектр.

Для n = 1 (атом водорода)  -13,6 эВ; ; ; … Е = 0.

Энергетические уровни атома с ростом номера уровня сгущаются, и при n   изменение энергии атома происходит почти непрерывно. Имеем переход к классической физике, выражаемый принципом соответствия 6 Бора.

Разность энергий электрона на втором и первом энергетических уровнях называется энергией возбуждения атома: Ев = Е2 – Е1. Энергии возбуждения соответствует потенциал возбуждения Vв: Е = qеVв. Для водорода Ев = 10,2 эВ и Vв = 10,2 В.

Разность энергий на бесконечно удаленной от ядра и первой орбитах называется энергией ионизации, т. е. отрыва электрона от атома; для водорода Е = Е – Е1 = — Е1 = 13,6 эВ.

Энергия фотона, излучаемого при переходе электрона с m — ой на n — ую орбиты может быть записана в виде: Е = Е(1/n 2 – 1/m 2 ).

Объяснение закономерностей линейчатого спектра атома водорода.

Вытекающая из теории Бора дискретная структура энергетических уровней электрона в атоме позволяет объяснить закономерности в спектре излучения атома водорода. Из опыта известно, что спектр теплового излучения невзаимодействующих атомов имеет дискретный характер в виде совокупности отдельных спектральных линий, которые определенным образом упорядочены в некоторые группы, называемые сериями. Такая сериальная упорядоченность спектра излучения атома водорода описывается обобщенной формулой Бальмера:

, где и — постоянные Ридберга: ,

n — номер спектральной серии; n = 1, 2, 3 …

m — номер спектральной линии в серии; m = n + 1, m + 2 …

При n = 1;  = (1 – 1/m 2 ), где m = 2, 3, 4 … — серия Лаймана – лежит в ультрафиолетовом диапазоне.

n = 2;  = (1/2 2 – 1/m 2 ), где m = 3, 4, 5… — серия Бальмера – первые четыре ее линии лежат в

видимой области спектра.

= 3; = (1/3 2 – 1/m 2 ), где m = 4, 5, 6 … — серия Пашена – лежит в инфракрасной области.

Наглядное представление механизма образования сериально упорядоченного линейчатого спектра атома водорода дано на схеме.

Теория Бора позволяет просто получить и саму обобщенную формулу Бальмера. Выразим из правила частот Бора частоту излучения:

и, подставив в нее выражение для энергии: получим:

Сравнивая с формулой Бальмера, видим, что постоянная Ридберга образуется набором фундаментальных физических констант: при Z = 1. Подставляя их значения, получим для значение , совпадающее с известным из опыта.

Формулу Бальмера часто записывают не для частоты , а для обратной длины волны 1/.

Из  = с/  1/ = /с = ( /с)(1/n 2 – 1/m 2 ) = R(1/n 2 – 1/m 2 ), где R = /с = .

Спектральная линия с наибольшей длиной волны в данной серии называется ее головной линией, а с наименьшей длиной волны – границей серии.

Формула Бальмера оказывается применимой для так называемых водородоподобных атомов. К ним относят ионизованные атомы, имеющие один электрон, например, однократно ионизованный атом гелия Не + ( = 2) и двухкратно ионизованный атом лития L ++ ( = 3).

Ограниченность теории Бора.

Теория Бора была первым серьезным шагом на пути внедрения квантовых идей в физику вещественного состояния материи. Она позволила вывести характер спектра излучения простейшего атома – водорода, но была не в состоянии предсказать распределение интенсивностей в этом спектре, а также рассчитать спектр более сложных, чем водород атомов. Такая ограниченность теории Бора объяснялась ей внутренней непоследовательностью, паллиативностью (половинчатостью). Здесь был сделан лишь один, первый “квантовый шаг”, который вскрыл плодотворность квантовой гипотезы и необходимость ее более полного воплощения в теории. Оно было последовательно осуществлено в рамках новой фундаментальной физической теории – квантовой механики.

В квантовой механике был найден такой формально — математический аппарат, из которого квантованность (дискретный спектр) мер движения частицы получалась как следствие определенных условий движения и взаимодействия, а не вводилась “вручную”, постулативно, как это вначале было осуществлено Н. Бором.

Гипотеза де Бройля. Волны де Бройля: опытное подтверждение, принцип соответствия.

опытки построения адекватной опыту теории движения микрочастиц показали плодотворность, но недостаточность введения в теорию квантовых постулатов (Бор, Зоммерфельд). Следующим (и решающим) шагом на пути полноценного теоретического отображения свойств и поведения микрообъектов явилась идея де Бройля (1923 г) о корпускулярно – волновом дуализме свойств микрочастиц вещества. Эта идея как бы замыкала в целостность идею Планка, реализованную им лишь применительно к свету (электромагнитным волнам, полю). Таким образом, всяфизическая реальность – и вещество, и поле, сблизились в микромире в своих свойствах, в их универсальной корпускулярно – волновой двойственности (дуализме).

По гипотезе де Бройля, любой частице массой m, движущейся со скоростью , можно сопоставить некоторую волну, длина  которой определяется выражением (формулой де Бройля):

 = h/m = h/р 7 и называется длиной волны де Бройля. Такая волна является математическим образом и средством, инструментом, позволяющим отобразить волновые свойства микрочастиц. Их наиболее характерным проявлением оказывается дифракция. И

гипотеза де Бройля вскоре была убедительно подтверждена экспериментом. В 1927 г. Дэвиссон и Джермер, наблюдая рассеяние электронов монокристаллом никеля, установили наличие характерной дифракционной картины, подобной той, которая наблюдалась и при рассеянии электромагнитных волн (рентгеновского диапазона частот) в опытах Вульфа — Брэггов. Максимумы рассеянных монокристаллом никеля электронов повторялись для разных углов рассеяния в соответствии с известной формулой Вульфа — Брэггов: 2dsin  = n, где d – межатомное расстояние, а n = 1, 2, 3, . Для волн де Бройля удобно менять не , а , посредством изменения ускоряющего электроны напряжения U:

qеU = m 2 /2 = р 2 /2m = h 2 / 2 2m   = h/(2mqеU) и 2dsin  = nh/(2mqеU).

Далее, в опытах Штерна и Эстермана, подобная волновая картина наблюдалась и для пучков атомов, молекул (1929 г., 1932 г.), а также и нейтронов. Таким образом, гипотеза де Бройля, утверждающая универсальный характер корпускулярно – волновой двойственности свойств физической реальности, убедительно подтверждена опытом.

Тот факт, что волновые свойства частиц вещества не были обнаружены в макромире, объясняется тем, что для макрообъектов, обладающих много большей, чем микрообъекты массой, длина волны де Бройля оказывается чрезвычайно малой 8 . Если для электрона с mе = 9,110 -31 кг и   10 7 м/с, она равна е = h/mе  10 -10 м, то, например, для пули с mп  10 г и   10 3 м/с, п = h/mп  10 -30 м. Эта величина лежит далеко за пределами возможностей ее регистрации современными техническими средствами. Поэтому и наблюдать проявление волновых свойств макротел не представляется возможным.

а очерчивающей ее границы, вскрывающей пределы ее ограниченной справедливости, включающей ее в себя как частный, предельный случай. Условие соответствующего предельного перехода квантовой механики в ее классическое приближение может быть кратко сформулировано в количественной форме в виде S  h или: . Иначе это означает, что = h/m  0. Это условие подобно условию перехода волновой оптики в геометрическую, лучевую оптику.

Свойства волн де Бройля: фазовая и групповая скорости, суперпозиция плоских волн, дисперсия. Волновой пакет и частица. Квантовое условие Бора.

Согласно гипотезе де Бройля, любой вещественной частице массой m, движущейся с постоянной скоростью , присущи волновые свойства с характерной длиной волны , называемой дебройлевской и равной . Как и для электромагнитных волн, для волн де Бройля можно различать фазовую и групповую скорости. Фазовая скорость определяется отношениемф = /k, и, так как , а , тоф = /k = / k = Е/р =(с 2 р 2 + m 2 с 4 )/р = с(1 + m 2 с 2 /р 2 )  ф  с.

олучили результат, уже знакомый из анализа электромагнитных волн и сводящийся к превышению фазовой скорости волны (здесь — де Бройля) над значением скорости света в вакууме. Этот результат нас не должен смущать, так как фазовая скорость не имеет ничего общего со скоростью переноса энергии. Она устанавливает лишь связь между фазами колебаний в разных точках, и на ее величину не накладывается никаких ограничений.

Согласно современной физической интерпретации, фазовая скорость волн де Бройля имеет чисто символическое значение, ибо является принципиально не наблюдаемой величиной. Принципиально наблюдаемой величиной согласно этой интерпретации является групповая скорость, скорость максимума амплитуды узкополосной группы (или пакета волн) с разной частотой (длиной волны). Предположение о введении таких волновых пакетов для описания движения реальных частиц было выдвинута де Бройлем, пытавшимся устранить корпускулярно – волновую двойственность путем сведения свойств частицы к чисто волновым. Но эта попытка оказалась безуспешной вследствие дисперсии волн де Бройля (даже в вакууме). Дисперсия волн де Бройля проявляется в зависимости их фазовой скорости от длины волны. Это следует из формулы:

ф = с(1 + m 2 с 2 /р 2 ) = с(1 + m 2 с 2  2 /h 2 ).

Групповая скорость гр, определяемая через производную от циклической частоты по волновому числу k, оказывается равной скорости  самой частицы. Покажем это для свободной частицы:

и т. к. , то из Е 2 = с 2 р 2 + m 2 с 4  2ЕdЕ = 2рdрс 2  dE/dр = рс 2 /Е = m/m =  = гр.

Де Бройль и предлагал рассматривать частицы как волновые пакеты достаточно малой протяженности (локализованные), представляющие собой суперпозицию большого числа плоских монохроматических волн (де Бройля) с разными частотами. Но все эти составляющие узкого пакета распространяются вследствие дисперсии с разными скоростями и пакет в целом “расплывается” за ничтожно малое время порядка 10 -26 с. Поэтому попытка сведения поведения микрочастиц к чисто (и односторонне) волновому оказалась неудачной.

Де Бройль использовал представление о волнах (де Бройля) для наглядного представления таинственного правила квантования орбит Бора в случае одноэлектронного атома. Он рассматривал волну де Бройля, бегущую вокруг ядра по круговой орбите электрона. Если на длине орбиты 2r длина волны  укладывается целое число раз, то при обходе ядра она будет всякий раз возвращаться в исходную точку с той же фазой и амплитудой. В каждой точке орбиты установится неизменный во времени колебательный режим стоячей волны (не переносящей энергию), и не возникнет излучения, что и есть условие стационарности орбиты. Исходя из этих соображений, де Бройль записал условие стационарности орбиты или правило квантования, в виде: 2r/ = n, где n = 1, 2, 3…

Полагая, что  = h/р и замечая, что pr = L (L – момент импульса электрона), получим: 2rр/h = n  L = n — квантовое условие Бора (целочисленность момента импульса L в постоянных Планка ). В этом де Бройль видел успех своей концепции волн материи. В дальнейшем квантовое условие удалось обобщить и на случай некруговых, эллиптических орбит. Но этот успех оказался призрачным. В рассуждениях де Бройля предполагалось, что волна распространяется не в пространстве, а вдоль линии – вдоль стационарной орбиты электрона. Такая идеализация соответствует приближению геометрической (лучевой оптики), справедливому лишь в предельном случае малости в сравнении с радиусом r орбиты, т. е. при больших квантовых числах. А тогда сама проблема квантования оказывается несущественной.

Введение в теорию движения частиц условий, адекватных волновой оптике, было осуществлено Шредингером.

РАССЕЯНИЕ СВЕТА, УРАВНЕНИЕ РЭЛЕЯ И ЕГО АНАЛИЗ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Гетерогенность дисперсных систем является причиной их оптической неоднородности и вызывает изменение направления световых, электронных, ионных и других лучей на межфазных поверхностях, а также неодинаковое поглощение или пропускание лучей веществами сопряженных фаз дисперсной системы. Всё это является причиной появления целого ряда специфических оптических явлений, присущих только коллоидным системам. Отличие оптических свойств коллоидных систем от свойств однородных сред привело к созданию целого ряда оптических методов исследования дисперсных систем, которые широко используются для изучения состава и структуры фаз, свойств межфазных поверхностей, дисперсности системы, а также природы, состава и структуры поверхностных слоёв.

Каждый электрик должен знать:  Вентильный двигатель

Теоретические основы оптических явлений, характерных для дисперсных систем, и оптические методы их исследования следует изучить по учебникам, перечень которых приведен в списке литературы. В данном методическом пособии даётся только краткое теоретическое введение.

Основная часть издания посвящена практической части раздела «оптические свойства дисперсных систем» курса коллоидной химии и содержит подробное описание лабораторной работы по теме с практическими рекомендациями по её выполнению, обработке полученных данных и составлению отчета. Перед началом работы необходимо прочитать и принять к неукоснительному исполнению правила по технике безопасности, которые приведены в начале описания лабораторной работы и являются дополнением к общему инструктажу, проводимому со студентами в начале семестра.

Освоение практической части следует начинать только после изучения теории. Для теоретической подготовки по теме ниже приводится план теоретического коллоквиума. В конце методического пособия приведено приложение, которое является вспомогательным материалом, полезным для самоконтроля: контрольные вопросы и задачи.

ПЛАН ТЕОРЕТИЧЕСКОГО КОЛЛОКВИУМА

1. Общая характеристика оптических явлений.

2. Явление рассеяния света. Эффект Тиндаля. Влияние размеров частиц на вид индикатриссы рассеяния (диаграмма Ми).

3. Уравнение Рэлея и его анализ.

4. Светорассеяние токопроводящими сферическими частицами.

5. Абсорбция света. Уравнение Бугера – Ламберта — Бера. Оптическая плотность раствора, светопропускание, относительное поглощение.

6. Оптические методы исследования коллоидных систем: (принципиальные основы метода, его возможности и границы применимости):

а) световая и электронная микроскопия;

г) нефелометрия; определение молярной массы макромолекул.

7. Окраска коллоидных систем.

8. Лабораторная работа. Определение размеров частиц дисперсных систем турбидиметрическим методом:

a) Принципиальная оптическая схема фотоэлектроколориметра;

б) Определение размеров частиц дисперсных систем, подчиняющихся уравнению Рэлея;

в) Определение размеров частиц дисперсных систем, не подчиняющихся уравнению Рэлея, метод Геллера.

9. Самоподготовка по контрольным вопросам и задачам в приложении.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фролов Ю.Г. Курс коллоидной химии. М., Химия, 1982г., с.245-267.

2. Боюцкий С.С. Курс коллоидной химии. М., Химия, 1975г., с. 33-53

3. Фридрихсберг Д.А. Курс коллоидной химии. Л., Химия, 1984г., с.38-44.

4. Лабораторные работы и задачи по коллоидной химии.- Под. ред. Ю.Г. Фролова и А.С. Гродского. М., Химия, 1986г., с.111-117.

5. Расчёты и задачи по коллоидной химии. Под ред. В.И.Барановой. М., Высш. шк., с. 254-260.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

РАССЕЯНИЕ СВЕТА, УРАВНЕНИЕ РЭЛЕЯ И ЕГО АНАЛИЗ

При падении луча света на дисперсную систему возможно его прохождение или преломление, а также отражение, рассеяние или поглощение света частицами дисперсной фазы. Прохождение света характерно для прозрачных гомогенных сред. Отражение – для микрогетерогенных и грубодисперсных систем с размерами частиц, превышающими длину волны падающего света (0,4 — 0,7 мкм), и проявляется в виде мутности суспензий, эмульсий и аэрозолей. Для коллоидных систем с радиусом частиц меньше длины волны падающего света характерны явления рассеяния света (опалесценция) и его поглощение (абсорбция).

Теория светорассеяния для сферических частиц, не проводящих электрический ток, разработана Рэлеем.

Дисперсные системы с размерами частиц, меньше длины световой волны, рассеивают свет во всех направлениях. При этом каждая точка неоднородности становится источником вторичных электромагнитных колебаний с частотой, равной частоте волны падающего света (дифракция). Частица представляет собой, таким образом, наведенный диполь, равный произведению поляризуемости частицы α на напряженность электрического поля Е:

Интенсивность рассеянного света определяется величинами, входящими в уравнение (1). Поляризуемость частицы α пропорциональна её объёму V, а интенсивность рассеяния света пропорциональна квадрату поляризуемости и, следовательно, квадрату объёма частицы. Таким образом, с ростом размера частиц интенсивность рассеяния возрастает. На поляризуемость влияет также разность показателей преломления дисперсной фазы n и дисперсионной среды n .

Напряженность электрического поля Е характеризует плотность энергетического потока подающего света (его интенсивность) и пропорциональна квадрату амплитуды волны, излучаемой электрическим диполем (частицей дисперсной фазы). А поскольку амплитуда волны пропорциональна квадрату частоты колебаний диполя, то интенсивность рассеянного света Јр пропорциональна частоте колебаний диполя в четвертой степени или обратно пропорциональна длине волны λ в четвертой степени.

Если падающий свет не поляризован, то интенсивность рассеянного света зависит от направления распространения излучения: Јр пропорциональна (1+cos 2 Θ), где Θ – угол между направлениями падающего и рассеянного света ( угол рассеяния).

Таким образом, интенсивность рассеянного света различна в разных направлениях, при этом рассеянный свет частично поляризован. Рассеяние и поляризацию света частицей во всех направлениях характеризует векторная диаграмма Ми (рис.1). Стрелка указывает направление падающего луча. Незаштрихованная область соответствует интенсивности неполяризованного света, заштрихованная – поляризованной части.

Как видно из диаграммы, рассеянный свет не поляризован в направлении падающего луча и под углом 180 о . Максимально поляризован свет, рассеянный под углом 90 о к падающему лучу.

Теория Рэлея применима к разбавленным коллоидным растворам, поэтому возможность вторичного рассеяния не учитывается, и интенсивность рассеянного света пропорциональна числу частиц в единице объема, ν.

Уравнение Рэлея для интенсивности света Јр , рассеянного единицей объема дисперсной системы со сферическими частицами, не проводящими электрический ток, радиусом, значительно меньшим длины волны падающего света (r ≤ 0,1λ), на расстоянии R от частиц, в направлении, составляющем угол Θ с направлением падающего луча, имеет вид:

J – интенсивность падающего света;

ν — число частиц дисперсной фазы в единице объема (частичная концентрация);

и — соответственно, показатель преломления вещества дисперсной фазы и дисперсионной среды;

— объем одной частицы.

Рис.1. Диаграммы Ми, характеризующие рассеяние и поляризацию света сферическими частицами, не проводящими электрический ток:

а) малой; б) крупной частицей

Рассмотрим влияние различных параметров на интенсивность рассеянного света в соответствии с уравнением Рэлея.

1. Уравнение (2) применимо при отсутствии поглощения света, для «белых» неметаллических золей.

2. Область строгой применимости уравнения ограничена условием где r – радиус частиц дисперсной фазы. Для видимой части спектра это соответствует значениям радиуса r -6 см. Зависимость от r используется для определения размеров частиц дисперсных систем. Превышение указанных размеров частиц и приближение их к значениям приводит к снижению показателя степени при в уравнении Рэлея с 4 до 2,8. Нижняя граница показателя степени соответствует значениям r , когда явление рассеяния заменяется отражением света. Когда значение показателя степени при становится меньше 4, закон Рэлея перестает соблюдаться и для определения радиуса частиц пользуются эмпирическими методами. Наиболее распространен из них рассмотренный ниже метод Геллера.

3. Зависимость интенсивности рассеянного света от концентрации частиц используется для определения концентрации (в отсутствие многократного рассеяния).

4. Согласно уравнению Рэлея, чем выше дисперсность частиц, тем меньше рассеяние. Приближение размеров частиц к молекулярным приводит к исчезновению опалесценции.

5. обратно пропорциональна λ 4 , т.е. при прохождении через коллоидный раствор пучка белого света рассеиваются в основном короткие волны, т.е. синяя область спектра. Это проявляется в голубоватой окраске коллоидных систем при боковом наблюдении. При рассмотрении кюветы с коллоидным раствором в проходящем свете, т.е. когда источник света по отношению к наблюдателю находится за кюветой, — раствор имеет оранжево – красные оттенки. Указанная закономерность объясняет применение синего цвета для светомаскировки и красного для сигнализации. Голубой цвет неба также объясняется опалесценцией, рассеиванием коротких волн солнечного излучения атмосферой Земли. При восходе и заходе солнца мы наблюдаем свет, прошедший через атмосферу, поэтому небо мы воспринимаем окрашенным в оранжево – красные тона.

6. Разность показателей преломления частицы и среды весьма мала у растворов высокомолекулярных соединений и некоторых эмульсий. Светорассеяние для таких систем мало (в соответствии с уравнением (2)).

Формулы Рэлея — Джинса

Из рассмотрения законов Стефана — Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа rl,T не дал желаемых результатов, так как все константы получены эмпирическим путем, и механизм излучения энергии нагретым телом оставался неясным. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости rl,T принадлежит английским ученым Д. Рэлею и Д. Джинсу (1877 — 1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Формула Рэлея-Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где — средняя энергия осциллятора с собственной частотой v. Для классического осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы .

С использованием зависимости зависимость (10.1) может быть представлена в виде:

Как показал опыт, выражение (17.13) согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея — Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом смещения Вина (рис. 10.1).

Рис. 10.1. Теория Рэлея – Джинса и реальное излучение абсолютно черного тела.

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

Формула Планка

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться , т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями – квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания:

где h = 6,625×10 -34 Дж×с — постоянная Планка.

Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулы

которые блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот (длин волн) и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики. Сам Макс Планк в объективное существование квантов не поверил до конца своих дней в 1947 году. Ход его рассуждений: «Я построил теорию, позволяющую получить хорошее совпадение с экспериментом».

Однако значение теории Планка в физике трудно переоценить.

· Во-первых, она позволяет получить не только совпадение со всеми эмпирическими законами по форме, но и дает возможность с поразительной точностью вычислить константы законов.

· Во-вторых, термодинамические теории Рэлея-Джинса и Вина получаются из теории Планка как частные предельные случаи.

· В-третьих, введение в физику квантов произвело переворот в познании микромира и в настоящее время само существование физики без квантов невозможно.

В качестве подтверждения всесильности планковской теории излучения получим из формулы Планка закон Стефана-Больцмана.

По определению энергетической светимости абсолютно черного тела

где, по теории Планка

Учитывая константы, не зависящие от длины волны излучения

Чтобы вычислить этот не самый простой интеграл, сделаем подстановку

Таким образом, получается

по форме совпадающее с законом Стефана-Больцмана Re = sT 4 , но самое удивительное заключается в том, что подстановка в (10.5) значений констант после вычислений дает именно 5,67×10 -8 Вт/(м 2 ×К 4 ).

В области малых частот, т. е. при h (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка совпадает с формулой Рэлея — Джинса. Для доказательства этого достаточно разложить экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами.

Каждый электрик должен знать:  Схема вводного щитка

Закон смещения Вина получим с помощью формул (10.4) после дифференцирования по lи приравнивания производной нулю. Второй закон Вина может быть получен после дифференцирования формул (10.4) по Т.

Более того, вычисленные константы С1 и С2 близки к экспериментальным.

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

Функция Лагранжа в обобщенных координатах

Для того чтобы записать функцию Лагранжа в обобщенных координатах, необходимо пересчитать к ним потенциальную и ки­нетическую энергию механической системы. Если потенциаль­ная энергия задана как функция декартовых координат, то, за­меняя их на обобщенные с помощью преобразования [от декартовых координат к обобщенным координатам в векторной форме: (2.2) ]

(2.2), полу­чим потенциальную энергию как функцию обобщенных координат . Выражение для кинетической энергии мы найдем только для случая, когда связи стационарны и формулы преобразования (2.2) не содержат времени. Подставляя формулу для скорости [ (2.4)] из (2.4) в выражение для кинетической энергии ( ), имеем

Введем матрицу коэффициентов, зависящих только от обобщен­ных координат:

Матрица это симметричная матрица. Учитывая обозначения (3.24), запишем кинетическую энергию механической системы в виде

Если формулы преобразования к обобщенным координатам не со­держат времени, то кинетическая энергия является однородной функцией второго порядка от обобщенных скоростей. Функция Лагранжа (разность кинетической и потенциальной энергии называется функцией Лагранжа и обозначается буквой ) принимает форму

Если формулы преобразования к обобщенным координатам со­держат время, то выражение для кинетической энергии в обобщен­ных координатах будет содержать члены, линейные по обобщен­ным скоростям, и члены, не зависящие от обобщенных скоростей.

Обобщенный импульс, обобщенная энергия

Циклические координаты.

Для одной материальной точки производные от функции Лагранжа по равны проекциям импульса на декартовы оси

В обобщенных координатах вводится понятие обобщенного импульса. Обобщенный импульс, сопряженный координате определяется по формуле, аналогичной формулам (3.27): (3.28)

Если координаты не декартовы, то обобщенные импульсы больше не равны проекциям импульса. Их можно выразить через импуль­сы отдельных материальных точек, составляющих систему материальных точек. Рассмотрим функцию Лагранжа как сложную функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей:

Вычислим производные по обобщенным координатам как производные от сложной функции:

Для частных производных от векторов скорости из формулы (2.4) находим, что

В рез-те имеем следующую связь обобщенного импульса с импульсами отдельных материальных точек механической системы: (3.31)

Обобщенный импульс, сопряженный де­картовой координате, равен проекции импульса на декартову oсь. Обобщенный импульс, сопряженный угловой координате, равен проекции момента импульса на ось вращения. Чтобы убедиться в этом, выразим радиус-вектор материальной точки через сфери­ческие координаты:

Используя представление (3.32), легко проверить,

Подставляя выражение (3.33) в формулу (3.31), найдем для одной материальной точки , (3.34)

то есть обобщенный импульс , сопряженный угловой координате , равен проекции момента импульса на ось OZ, которая в дан­ном случае представляет ось вращения при изменении угла . По­скольку моменты импульса складываются, то это будет справед­ливо и для системы материальных точек.

Используя определение обобщенного импульса, уравнения Лагранжа можно записать в форме (3.35)

Возможны случаи, когда некоторые координаты не входят в функ­цию Лагранжа, но в ней присутствуют их производные по времени — обобщенные скорости. Такие координаты называются цикличе­скими координатами. Например, если в функции Лагранжа ма­териальной точки ( массой , находящейся в потен­циальном поле : (3.14) потенциальная энергия не будет зависеть от координат х и у, то координаты х и у будут циклическими. Для циклической координаты правая часть уравнения (3.35) равна ну­лю и, следовательно, интеграл этого уравнения имеет вид

Так как обобщенный импульс, сопряженный циклической коорди­нате, остается постоянным при движении механической системы, то говорят, что он сохраняется. Каждой циклической координате отвечает свой закон сохранения.

Наличие законов сохранения упрощает решение задач механи­ки. Уравнения Лагранжа — это дифференциальные уравнения второго порядка относительно неизвестных координат . Соот­ношения вида (3.36) являются дифференциальными уравнениями первого порядка относительно . Понижение порядка диффе­ренциальных уравнений облегчает их интегрирование. Поэтому выбор обобщенных координат, когда некоторые из них являются циклическими, является предпочтительным.

Найдем полную производную от функции Лагранжа по време­ни. Так как функция Лагранжа зависит от обобщенных координат и обобщенных скоростей, которые сами являются функциями вре­мени, то получим выражение

Воспользуемся формулой Лейбница для дифференцирования про­изведения двух функций и получим из нее следующее равенство:

С помощью этого равенств преобразуем выражение (3.37) и запи­шем его в форме

Сумма в правой части выражения (3.38) равна нулю вследствие выполнения уравнений Лагранжа (3.8). Выражение в скобках в левой части формулы (3.38), взятое с обратным знаком, называет­ся обобщенной энергией. Обозначим его буквой :

Равенство (3.38) дает полную производную от обобщенной энергии по времени

Если функция Лагранжа не зависит явно oт времени, то правая часть в формуле (3.40) равна нулю и обобщенная энергия сохра­няется при движении механической системы.

Для обычных механических систем при условии, что формулы преобразования к обобщенным координатам не содержат времени, функция Лагранжа дается формулой (3.26). Найдем в этом случае обобщенную энергию. Для обобщенных импульсов получим

Подставляя этот результат в формулу (3.39), найдем

то есть определение обобщенной энергии в этом случае совпадает с обычным определением механической энергии.

Если на механическую систему действую силы, не имеющие потенциала, то в правой части уравнений Лагранжа стоит уже не нуль. Поэтому сумма в правой части формулы (3.38) не равна нулю, и механическая энергия не будет сохраняться даже при от­сутствии явной зависимости от времени в функции Лагранжа. В частности, если непотенциальные силы являются силами трения, описываемыми диссипативной функцией Рэлея, то уменьшение ме­ханической энергии дается формулой (3.43)

Формула (3.43) получается из соотношения (3.38) при подстановке в него уравнения (3.12). Для механических систем, в которых силы трения могут быть описаны диссипативной функ­цией Рэлея, уравнения Лагранжа имеют вид (3.12)

Последнее изменение этой страницы: 2020-04-07; Нарушение авторского права страницы

Формула Рэлея-Джинса

Излучение абсолютно черного тела равнозначно с энергетической точки зрения излучению бесконечного количества гармонических осцилляторов, которые не взаимодействуют между собой. Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению в полости теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Которая говорит о том, что в состоянии статистического равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем $\frac kT$ кинетической энергии ($k=1,38\cdot ^ \frac $). Если степень свободы колебательная, то следует учесть и потенциальную энергию. Если мы имеем дело с гармоническими колебаниями, то значение энергии взаимодействия, так же будет равно $\frac kT$. Так, получается, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия ($\left\langle \varepsilon \right\rangle $) равная $kT$, то есть запишем:

В полости рассматриваемое нами излучение является системой стоячих волн. Если не учитывать поляризацию количество этих волн в единице объема полости задается формулой:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Используя предположение Рэлея и Джинса об энергии колебаний, умножим (2) на (1), получим плотность энергии ($w_ $), которая приходится на частоты в интервале $d\nu $:

Формулу (4) можно записать через циклическую частоту ($\omega $), в таком случае она примет вид:

Зная связь между спектральной плотностью ($w_ $) и излучательной способностью абсолютно черного тела ($ _ $):

получим, что энергетическая светимость абсолютно черного тела равна:

Формулы (7,8) называются формулами (законами) Рэлея — Джинса. Формулы (4,5) также иногда называют формулами Рэлея — Джинса. Расчеты, проводимые с помощью формулы Рэлея — Джинса сходятся с экспериментальными данными только в области малых частот (или больших длин волн) и резко расходятся с опытом для больших частот. Так при больших частотах $ _ $ монотонно возрастает, не имея максимума.

Интегральную плотность энергии. Проинтегрируем выражение (4) по частоте в пределах от нуля до бесконечности.

Классическая физика требует, чтобы формула Релея — Джинса была справедлива при любых частотах. Однако мы получили в (9) для интегральной плотности энергии бесконечное значение. Следствием теории Рэлея — Джинса становится невозможность теплового равновесия между веществом и излучением. П.С. Эренфестом такой вывод был назван ультрафиолетовой катастрофой. Дело в том, что в теории Рэлея — Джинса излучение в полости имеет бесконечное количество степеней свободы, а вещество конечное. И если основываться на равномерном распределении энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна быть сосредоточена в излучении. Однако и тезис о том, что теорема о равномерном распределении энергии является неприменимой к излучению, неубедителен, так как непонятно, почему для одних она справедлива, а для других нет.

Формула для плотности энергии

К формуле Рэлея — Джинса пришел и Планк. Планк провел рассуждения и применение вышеназванной теоремы к одномерному гармоническому осциллятору, помещенному в полость с равновесным излучением (к веществу, а не излучению). Под действием изменяющегося хаотически электромагнитного поля излучения осциллятор совершает колебания с произвольно изменяющимися амплитудами и фазами, поглощая и излучая электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет изменяться около среднего значения $\left\langle \varepsilon \right\rangle $. В результате Планк получил формулу для плотности энергии:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Прикладная теория упругости

Ван Цзи-Де

1959 г.

размещено: 04 Сентября 2020

Из предисловия автора

В течение последних лет автор читал курс теории упругости студентам Нью-Йоркского университета — будущим инженерам. Настоящая книга отражает содержание прочитанных лекций. При подготовке курса автор преследовал две цели. Во-первых, необходимо было добиться, чтобы студенты твердо усвоили основы теории и умели правильно поставить любую задачу, относящуюся к классической теории упругости. Во-вторых, имелось в виду познакомить студентов с наиболее эффективными аналитическими и численными методами решения задач. Это должно было научить студентов доводить до конца решение поставленной задачи, используя один из рассмотренных методов.
Автор учитывает, что обычно студенты, изучающие теорию упругости, одновременно с этим проходят специальные главы курса высшей математики. Поэтому при изложении материала предполагается, что слушатель владеет лишь сравнительно простым математическим аппаратом. В тех случаях, когда приходится прибегать к более сложным разделам высшей математики, даются некоторые предварительные сведения. Автор надеется, однако, что это ограничение в отношении математического аппарата не повлияло заметно на строгость изложения.
Так как эта книга предназначена, главным образом, для инженеров, автор старался осветить физический смысл встречающихся обозначений и математических зависимостей. Задача инженера, специализирующегося в области расчетов на прочность, состоит обычно в том, чтобы в пределах сравнительно короткого периода времени снабдить конструктора необходимыми сведениями и числовыми данными для расчета. Поэтому здесь особенно подробно рассмотрены некоторые эффективные численные методы. В тех случаях, когда точное решение задачи затруднено, подобные методы приводят к приближенному решению, вполне удовлетворительному с точки зрения практических приложений.
Во всех разделах книги делаются ссылки на источники. Однако автор должен особо отметить труды С. П. Тимошенко, Р. В. Саусвелла и И. С. Сокольникова, повлиявшие на построение данного курса.

Добавить комментарий