Однофазные цепи переменного тока. Векторные диаграммы


СОДЕРЖАНИЕ:

Однофазные цепи переменного тока. Векторные диаграммы

Как следует из последнего выражения, вид закона Ома для цепи переменного тока, содержащей сопротивление r, тот же, что для цепи постоянного тока. Кроме того, из закона Ома видна пропорциональность между мгновенным значением напряжения и мгновенным значением тока. Отсюда следует, что в цепи переменного тока, содержащей сопротивление r, напряжение и ток совпадают по фазе. На рис. 135 даны кривые напряжения и тока и векторная диаграмма для рассматриваемой цепи, причем длины векторов обозначают действующие значения напряжения и тока.

Рис. 135. Графики и векторная диаграмма для цепи переменного тока, содержащей активное сопротивление

Сопротивление проводников переменному току несколько больше их сопротивления постоянному току * (см. § 65). Поэтому сопротивление проводников переменному току называют активным в отличие от сопротивления, которое оказал бы этот проводник при постоянном токе. Обозначается оно также буквой r.

* ( Это объясняется тем, что при переменном токе наблюдается неравномерное распределение тока по сечению проводника, так что плотность тока будет возрастать от оси к поверхности проводника. Это явление называется поверхностным эффектом. Неравномерная плотность тока приводит к увеличению сопротивления проводника. Однако при стандартной частоте 50 гц, небольшом сечении и медных или алюминиевых проводах явление поверхностного эффекта сказывается слабо. При высокой частоте, большем сечении и стальных проводах оно значительно.)

В цепи, представленной на рис. 134, приложенное внешнее напряжение компенсирует падение напряжения в сопротивлении r, которое называется активным падением напряжения и обозначается Uа:

Мгновенное значение мощности в рассматриваемой цепи равно произведению мгновенных значений напряжения и тока:

На рис. 136 дана кривая мгновенной мощности за один период. Из чертежа видно, что мощность не является постоянной величиной, она пульсирует с двойной частотой * .

* ( Пульсацией называется изменение численного значения переменной величины при постоянстве ее знака.)

Рис. 136. Кривая мгновенной мощности цепи с активным сопротивлением

Среднее за период значение мощности называется активной мощностью, обозначается буквой Р и измеряется в запах.

Для рассматриваемой цепи с активным сопротивлением

т. е. формула мощности для цепи переменного тока с активным сопротивлением такая же, как формула мощности для цепи постоянного тока.

Активным сопротивлением обладают все проводники. В цепи переменного тока практически только одним активным сопротивлением обладают нити ламп накаливания, спирали электронагревательных приборов и реостатов, дуговые лампы, специальные бифилярные обмотки и прямолинейные проводники небольшой длины.

мтомд.инфо

Рассмотрим цепь параллельного включения конденсатора и катушки, обладающей активным сопротивлением и индуктивностью.

Параллельное соединение конденсатора и катушки

В этой схеме общим параметром для двух ветвей является напряжение U. Первая ветвь — индуктивная катушка — обладает активным сопротивлением R и индуктивностью L. Результирующее сопротивление Z1 и ток I1 определяются по формуле:

Поскольку сопротивление этой ветви комплексное, то ток в ветви отстает по фазе от напряжения на угол φ1 = arctg(R/XL). Покажем это на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма для первой ветви

Спроецируем вектор тока I1 на оси координат. Горизонтальная составляющая тока будет представлять собой активную составляющую I1R, а вертикальная — I1L. Количественные значения этих составляющих будут равны:

Во вторую ветвь включен конденсатор. Его сопротивление

Этот ток опережает по фазе напряжение на 90°. Для определения тока I в неразветвленной части цепи воспользуемся формулой:

Его значение можно получить и графическим путем, сложив векторы I1 и I2 (рис. 3). Угол сдвига между током и напряжением обозначим буквой φ. Здесь возможны различные режимы в работе цепи. При φ = +90° преобладающим будет емкостный ток, при φ = -90° — индуктивный.

Векторная диаграмма разветвленной цепи

Резонанс переменного тока. Условие резонанса токов.

Возможен режим, когда φ = 0, т.е. ток в неразветвленной части цепи I будет иметь активный характер. Произойдет это в случае, когда I1L = I2, т.е. при равенстве реактивных составляющих тока в ветвях. Такой режим называется резонансом токов. Также как в случае с резонансом напряжений, он широко применяется в радиотехнике.

Векторная диаграмма в режиме резонанса токов

Рассмотренный выше случай параллельного соединения R, L и C может быть также проанализирован с точки зрения повышения cosφ для электроустановок. Известно, что cosφ является технико-экономическим параметром в работе электроустановок. Определяется он по формуле:

Р — активная мощность электроустановок, кВт;
S — полная мощность электроустановок, кВт.

На практике cosφ определяют снятием со счетчиков показаний активной и реактивной энергии и, разделив одно показание на другое, получают tgφ. Далее по таблицам находят и cosφ.

Чем больше cosφ, тем экономичнее работает энергосистема, так как при одних и тех же значениях тока и напряжения (на которые рассчитан генератор) от него можно получить большую активную мощность.
Снижение cosφ приводит к неполному использованию оборудования и при этом уменьшается КПД установки. Тарифы на электроэнергию предусматривают меньшую стоимость 1 киловатт-часа при высоком cosφ, в сравнении с низким.

Мероприятия по повышению cosφ:

  • недопущение холостых ходов электрооборудования;
  • полная загрузка электродвигателей, трансформаторов и т.д.

Кроме этого, на cosφ положительно сказывается подключение к сети статических конденсаторов.

Учебные материалы

Под переменным синусоидальным током понимается ток, изменяющийся во времени как по величине, так и по направлению по синусоидальному закону.

Преимущества синусоидального тока перед постоянным:

  • легче и дешевле получение;
  • его легко передавать на большие расстояния из-за возможности изменять напряжение с помощью трансформатора;
  • электрические машины переменного тока дешевле и проще по сравнению с двигателями постоянного тока.

Простейшим генератором синусоидальной ЭДС является проводник в виде прямоугольной рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью w в постоянном однородном магнитном поле. При этом в каждом продольном проводнике рамки (секции электрической обмотки машины) будет наводиться изменяющаяся по синусоидальному закону ЭДС:

где В – магнитная индукция поля;

V – линейная скорость движения проводника;
L – длина проводника;
t – время;
w — угловая скорость.

Синусоидальные ЭДС, напряжение и ток в общем случае могут быть записаны в виде:

где е, u, i – мгновенные значения синусоидальных электрических параметров (значения в рассматриваемый момент времени);

Em, Um, Im – амплитудные (максимальные) значения;

yе, yu, yi – начальные фазы – значения аргумента синусоидальной функции в момент начала отсчета времени t=0 (в радианах или градусах);

wt+ye; wt+yu ; wt+yi – фазы, которые отсчитываются от точки перехода синусоидальной функции через нуль к положительному значению.

Величина обратная периоду Т синусоидальной величины называется частотой

Единица измерения частоты – Герц (1Гц=1с), в России частота тока в сети – 50 Гц.

Важным параметром в электротехнике является сдвиг фаз между напряжением и током (j). Это алгебраическая величина, определяемая как разность начальных фаз напряжения и тока

Действующее значение переменного тока I – это такой постоянный ток, который за время равное периоду переменного тока выделяет в проводнике такое же количество тепла, как и протекающий переменный ток.

Существует соотношение между амплитудным и действующим значениями:

Аналоговые (стрелочные) измерительные приборы проградуированы в действующих значениях.

Среднее значение синусоидального тока Iср за полупериод равно величине такого постоянного тока, при котором в течение полупериода через поперечное сечение проводника проходит то же количество электричества Q, что и при переменном токе.

Среднее значение синусоидальной величины за период равно нулю.

Из математики известно, что синусоидальная функция может быть представлена в виде вращающегося вектора, совершающего за время равное периоду один оборот. Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, обозначаются буквами, подчеркнутыми снизу (I, U, E) .

Проекция вращающегося вектора на ось ординат представляет собой мгновенное значение электрического синусоидального параметра.

В электротехнике векторы изображают не вращающимися, а неподвижными для момента времени t=0. Масштаб выбирают так, чтобы длина вектора соответствовала действующему значению синусоидального электрического параметра. Угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Положительные углы откладываются в направлении против часовой стрелки, а отрицательные – по часовой стрелке.

Векторная диаграмма это совокупность векторов ЭДС, напряжений и токов, изображенных в общей системе координат. Векторная диаграмма дает наглядное представление о действующих значениях, начальных фазах и углах сдвига фаз электрических параметров цепи.

Если на векторной диаграмме yu>yI, то угол сдвига фаз имеет положительное значение (j>0) и напряжение опережает по фазе на угол сдвига фаз j.

§48. Векторные диаграммы

Векторный метод изображения синусоидально изменяющихся величин. При изучении процессов, происходящих в цепях переменного тока, удобно пользоваться методом векторного изображения синусоидально изменяющихся величин. Этот метод основан на том, что при вращении некоторого вектора OA (рис. 170, а) с равномерной угловой скоростью ? проекция ОВ этого вектора на неподвижную вертикальную ось у — у пропорциональна синусу угла ?t, образованного вектором OA с горизонтальной осью х — х, т. е. ОВ = ОА sin ?t. Следовательно, кривая, выражающая зависимость длины проекции ОВ от угла ?t за один оборот вектора OA, будет представлять собой синусоиду (рис. 170,б). Если в качестве длины (модуля) вектора принять амплитудное значение переменного тока Im, то полученная кривая будет представлять собой графическое изображение изменения мгновенного значения тока I от угла ?t. При ?t = 0 (точка 1) вектор OA будет расположен горизонтально и i = 0; при ?t = 90° (точка 2) вектор OA расположен вертикально вверх и i = Iт при ?t =180° (точка 3) вектор OA также расположен горизонтально и i = 0; при ?t = 270° (точка 4)

Рис. 170. Изображение синусоидально изменяющегося тока: а — вращающимся вектором; б — в виде кривой

вектор OA расположен вертикально вниз и i=—Iт (проекции ОВ вектора OA, расположенные выше точки 0, будем считать положительными, а расположенные ниже этой точки — отрицательными). Точкам 1—4 на рис. 170, а при различных положениях вращающегося вектора OA соответствуют точки 1—4 на кривой изменения тока i (см. рис. 170,б). Направление вращения векторов условно принимают против часовой стрелки, поэтому углы ?t, которые отсчитывают в направлении вращения векторов, считают положительными, а против этого направления — отрицательными.

В случае если требуется получить векторное изображение нескольких синусоидально изменяющихся величин, например двух токов i1 и i2, чертят два вращающихся вектора ОА1 и ОА2 (рис. 171, а) с различными модулями 1т1 и 1т2

Если в момент начала отсчета синусоидально изменяющаяся величина не равна нулю, а имеет некоторое значение Iт sin ?1 (рис. 171,б), то вектор ОА1 в начальный момент при фазе ?t = 0 образует с горизонтальной осью некоторый угол ?1 Этот угол называется начальным фазным углом, или начальной фазой. Разность начальных фаз синусоидально изменяющихся величин называют сдвигом фаз, или углом сдвига фаз. Например, синусоида

Рис. 171. Изображение двух синусоидально изменяющихся токов: а — вращающимися векторами; б — в виде кривых

тока i1 имеет начальную фазу ?1, а синусоида тока i2— начальную фазу ?2 Следовательно, токи i1 и i2 сдвинуты друг относительно друга по фазе на угол ? = ?1 — ?2. Это означает, что каждая точка синусоиды тока i1 сдвинута относительно соответствующей точки синусоиды тока i2 на угол ?. При векторном изображении токов i1 и i2 сдвиг фаз между ними выражается в виде угла ? между векторами ОА1 и ОА2.

Из. рис. 171,а и б видно, что вектор OА2 при своем вращении идет впереди вектора ОА1, т. е. ток i2 при своем изменении достигает нулевых и максимальных значений раньше, чем ток i1. Следовательно, ток i2 опережает по фазе ток i1 на угол ?. Можно также считать, что ток i1 отстает от тока i2 на угол ?. Если же две синусоидально изменяющиеся величины, например токи i1 и i2, одновременно проходят через нулевые и максимальные значения, то говорят, что они совпадают по фазе. В этом случае они изображаются двумя совпадающими по направлению векторами (? = 0). Векторы, изображающие синусоидально изменяющиеся токи, напряжения и э. д. с, обозначаются соответствующими буквами с точкой над обозначением, например, ?, ?, ?.

Построение векторных диаграмм. Векторные диаграммы представляют собой совокупность векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся величины, действующие в данной электрической цепи. Они позволяют упростить расчет цепей синусоидального тока и сделать его наглядным, применив вместо алгебраического сложения или вычитания мгновенных значений синусоидально изменяющихся токов, напряжений или э. д. с сложение или вычитание их векторов. Обычно при расчете электрических цепей переменного тока нас не интересуют мгновенные значения токов, напряжений и э. д. с, требуется определить только их действующие значения и сдвиг по фазе относительно друг друга. Поэтому при построении векторных диаграмм рассматривают неподвижные векторы для некоторого момента времени, который выбирают так, чтобы диаграмма была наглядной. В качестве модулей векторов принимают действующие значения соответствующих величин. Это обусловливает лишь уменьшение длины всех векторов по сравнению с длиной, принятой на рис. 170 и 171, в ?2 раз; все же углы между векторами остаются при этом неизменными.

Рассмотрим в качестве примера построение векторной диаграммы для действующих значений токов i1, i2 и i (рис. 172), причем согласно первому закону Кирхгофа ток i равен сумме токов i1 и i2. Токи i1 и i2 имеют различные амплитудные, а следовательно, и действующие значения и сдвинуты относительно друг друга на некоторый угол ?. Путем суммирования ординат синусоид i1 и i2 можно получить кривую тока i, определить по ней амплитудное значение Iт, а затем и действующее значение I = Iт / ?2.

Однако более удобно определять действующее значение тока i путем сложения векторов токов i1 и i2 согласно формуле

Рис. 172. Графическое сложение двух переменных токов

Рис. 173. Векторное сложение и вычитание двух переменных токов

Сложение векторов осуществляется по правилу параллелограмма или треугольника. В первом случае (рис. 173,а) строят параллелограмм ABCD со сторонами, образованными векторами ?1 и ?2. Вектор ?1 направляют, например, горизонтально (можно начертить этот вектор и в любом другом положении), вектор ?2 — под углом ? к вектору ?1. Угол ? на векторной диаграмме отсчитывают от вектора ?1 по часовой стрелке, так как для рассматриваемого случая ток i2 отстает от тока i1 на угол ?. Диагональ АС векторной диаграммы дает нам суммарный вектор результирующего тока ?. Во втором случае (рис. 173,б) строят треугольник ABC со сторонами АВ и ВС, равными соответствующим векторам ?1 и ?2 получают суммарный вектор ? в виде гипотенузы АС этого треугольника.

Каждый электрик должен знать:  Подключение сварочного инвертора на даче к алюминиевой проводке

Вычитание векторов двух синусоидально изменяющихся величин можно представить в виде сложения одного вектора с другим вектором, взятым с обратным знаком. Например, если известны токи i и i1 (см. рис. 172), то действующее значение тока i2 можно получить вычитанием из вектора ? вектора ?1, т. е. ?2 = ? — ?1 = ? + ( —?1). Вектор -?1 имеет такой же модуль, что и вектор +?1, но направлен противоположно. Следовательно, операцию вычитания векторов ? и ?1 можно осуществить с помощью векторных диаграмм (рис. 173, в и г).

В помощь изучающему электронику

Формулы, вычисления, .

— Векторные диаграммы, действующее сопротивление, сдвиг фаз,
амплитудно и фазо частотные характеристики цепей содержащих L,C,R —

Данный справочник собран из разных источников. Но на его создание подтолкнула небольшая книжка «Массовой радиобиблиотеки» изданная в 1964 году, как перевод книги О. Кронегера в ГДР в 1961 году. Не смотря на такую ее древность, она является моей настольной книгой (наряду с несколькими другими справочниками). Думаю время над такими книгами не властно, потому что основы физики, электро и радиотехники (электроники) незыблемы и вечны.

Схема Векторная диаграмма Действующее сопротивление Фазовый угол Амплитудно-частотная характеристика Z Фазочастотная характеристика Y
R ωL 1/ωC [R 2 +(ωL) 2 ] 1/2 для резонанса
Z=0
для резонанса
Z=R
для резонанса
Z=0
для резонанса
Z=∞
для резонанса
Z=R
Последовательная цепь R, L на переменном токе: векторная диаграмма тока и напряжений, треугольник напряжений. Закон Ома в комплексной форме.

если в такой ветви течет ток , то падение напряжения будет складываться из:

где ; приведенному выше уравнению можно поставить в соответствие выражение: , которое наглядно демонстрируют векторные диаграммы, называемые соответственно треугольником напряжений и треугольником сопротивлений,:

— закон Ома в комплексной форме:

Последовательная цепь R, C на переменном токе: векторная диаграмма тока и напряжений, треугольник напряжений. Закон Ома в комплексной форме.

если в такой ветви течет ток , то падение напряжения будет складываться из:

где ; приведенному выше уравнению можно поставить в соответствие выражение: , которое наглядно демонстрируют векторные диаграммы, называемые соответственно треугольником напряжений и треугольником сопротивлений,:

— закон Ома в комплексной форме:

Последовательная цепь R, L, C на переменном токе: векторная диаграмма тока и напряжений. Реактивное сопротивление цепи. Резонанс напряжений.

падение напряжения на цепи: , где: , а . В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая:

— в цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке а.

— в цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай отражает векторная диаграмма на рисунке б.

— — случай резонанса напряжений (рисунок в).

Условие резонанса напряжений: , при котором . При резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В теоретическом случае при R=0 его величина стремится к бесконечности. Соответственно возрастанию тока увеличиваются напряжения на индуктивном и емкостном элементах, которые могут во много раз превысить величину напряжения источника питания. Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки индуктивности и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остается постоянной.

резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты:

Разветвленные электрические цепи переменного тока: комплексная проводимость последовательной ветви R, L, треугольник проводимостей, эквивалентная параллельная схема с проводимостями.

полное сопротивление такой цепи: ;

— преобразуя далее: , получим выражения для G (активной проводимости цепи RL) и ВL (индуктивной проводимости цепи RL);

— при изображении треугольника проводимостей на комплексной площади откладывают активную, индуктивную и полную проводимости: ( см. рис.) и

— последовательную схему соединения R и L можно заменить на параллельную преобразовав ток через цепь как сумму активного и реактивного тока:

производить расчеты разветвленных схем удобно, приводя их к эквивалентной параллельной:

Параллельная электрическая цепь из конденсатора и катушки индуктивности: эквивалентная параллельная схема, векторная диаграмма токов. Резонанс токов.

— комплекс общего тока через такую ветвь: ;

— проводимость такой цепи: , а

В зависимости от соотношения величин и возможны три различных случая.

— в цепи преобладает индуктивность, т.е. , а следовательно, . Этому режиму соответствует векторная диаграмма на рисунке а.

— в цепи преобладает емкость, т.е. , а значит, . Этот случай иллюстрирует векторная диаграмма на рисунке б.

— и — случай резонанса токов (рисунок в).

Условие резонанса токов или . Таким образом, при резонансе токов входная проводимость цепи минимальна, а входное сопротивление, наоборот, максимально. В частности при отсутствии в цепи на рисунке резистора R ее входное сопротивление в режиме резонанса стремится к бесконечности, т.е. при резонансе токов ток на входе цепи минимален.

Приведенное условие резонанса справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением индуктивного и емкостного элементов.

Мощность в электрической цепи переменного тока: мгновенная мощность в элементах R, L, C. Реактивная мощность индуктивности и емкости. Треугольник мощностей. Активная, реактивная, полная и комплексная мощности всей цепи.

— интенсивность передачи или преобразования энергии называется мощностью:

мгновенное значение мощности в электрической цепи: , приняв начальную фазу напряжения за нуль, а сдвиг фаз между напряжением и током за , получим:

Т.о., мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, угловая частота которой в 2 раза больше угловой частоты напряжения и тока.

Когда мгновенная мощность отрицательна, а это имеет место (см. рисунок), когда u и i разных знаков, т.е. когда направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны, энергия возвращается из двухполюсника источнику питания.

Такой возврат энергии источнику происходит за счет того, что энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях соответственно индуктивных и емкостных элементов, входящих в состав двухполюсника;

— энергия, отдаваемая источником двухполюснику в течение времени t равна .

— среднее за период значение мгновенной мощности называется активной мощностью: , [Вт]; Учитывая, что , получим: . Активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник будет генерировать энергию), поэтому , т.е. на входе пассивного двухполюсника . Случай Р=0, теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего активных сопротивлений, а содержащего только идеальные индуктивные и емкостные элементы.

мощность на резисторе (идеальном активном сопротивлении) потребляется только активная, т.к. ток и напряжение совпадают по фазе:

мощность на катушке индуктивности (идеальной индуктивности) не потребляется:

Т.к. ток отстает от напряжения по фазе на , то: ; На участке 1-2 (см. рис.) энергия, запасаемая в магнитном поле катушки, нарастает. На участке 2-3 — убывает, возвращаясь в источник.

мощность на конденсаторе (идеальной емкости) также не потребляется:

Ток здесь опережает напряжение, поэтому , и . Т.о., в катушке индуктивности и конденсаторе не происходит необратимого преобразования энергии в другие виды энергии. Здесь происходит только циркуляция энергии: электрическая энергия запасается в магнитном поле катушки или электрическом поле конденсатора на протяжении четверти периода, а на протяжении следующей четверти периода энергия вновь возвращается в сеть. В силу этого катушку индуктивности и конденсатор называют реактивными элементами, а их сопротивления ХL и ХС , в отличие от активного сопротивления R резистора, – реактивными.

— интенсивность поступления энергии в магнитное поле катушки или электрическое поле конденсатора называется реактивной мощностью: , [ВАр]. Она положительна при отстающем токе (индуктивная нагрузка- ) и отрицательна при опережающем токе (емкостная нагрузка- ).

реактивная мощность на индуктивности:

реактивная мощность на конденсаторе :

— полная мощность: , [ВА]

— комплексная мощность: активную, реактивную и полную мощности можно определить, пользуясь комплексными изображениями напряжения и тока. Если , а , то комплекс полной мощности:

треугольник мощностей – отображение комплексных значений мощностей на комплексной плоскости (при имеем следующее отображение):

Лекции — компьютерное моделированние электронных устройств — файл Лекция № 7. Мощность в цепи переменного тока.doc

Доступные файлы (13):

Вынужденные и свободные колебания.doc 2415kb. 28.03.2011 12:15 скачать
Лекция № 11-12. Основы промышленной электроники часть 1.doc 1014kb. 22.04.2011 02:51 скачать
Лекция № 11-12. Основы промышленной электроники часть 2.doc 148kb. 13.04.2010 02:25 скачать
Лекция № 1. Понятие модели.doc 130kb. 29.01.2010 02:23 скачать
Лекция № 2. История развития электротехники.doc 111kb. 02.02.2010 03:32 скачать
Лекция № 3. Основные понятия ЭМП.doc 150kb. 09.02.2010 02:57 скачать
Лекция № 4-5. Электрические цепи постоянного тока.doc 237kb. 15.02.2010 21:49 скачать
Лекция № 6. Установившиеся процессы в линейных цепях синусоидального тока.doc 145kb. 17.03.2011 23:21 скачать
Лекция № 7. Мощность в цепи переменного тока.doc 310kb. 09.03.2010 03:46 скачать
Переходные процессы в линейных электрических цепях.doc 153kb. 12.04.2011 02:52 скачать
Преобразование энергии в электрической цепи.doc 134kb. 04.06.2010 11:29 скачать
Электрические цепи несинусоидального тока.doc 113kb. 23.03.2010 02:36 скачать
Электрические цепи несинусоидального тока.pdf 112kb. 23.03.2010 02:45 скачать

Лекция № 7. Мощность в цепи переменного тока.doc

Однофазные электрические цепи переменного тока

Большинство потребителей электрической энергии работает на переменном токе. В настоящее время почти вся электрическая энергия вырабатывается в виде энергии переменного тока. Это объясняется преимуществом производства и распределения этой энергии. Переменный ток получают на электростанциях, преобразуя с помощью генераторов механическую энергию в электрическую. Основное преимущество переменного тока по сравнению с постоянным заключается в возможности с помощью трансформаторов повышать или понижать напряжение, с минимальными потерями передавать электрическую энергию на большие расстояния, в трехфазных источниках питания получать сразу два напряжения: линейное и фазное. Кроме того, генераторы и двигатели переменного тока более просты по устройству, надежней в работе и проще в эксплуатации по сравнению с машинами постоянного тока.

В электрических цепях переменного тока наиболее часто используют синусоидальную форму, характеризующуюся тем, что все токи и напряжения являются синусоидальными функциями времени. В генераторах переменного тока получают ЭДС, изменяющуюся во времени по закону синуса, и тем самым обеспечивают наиболее выгодный эксплуатационный режим работы электрических установок. Кроме того, синусоидальная форма тока и напряжения позволяет производить точный расчет электрических цепей с использованием метода комплексных чисел и приближенный расчет на основе метода векторных диаграмм. При этом для расчета используются законы Ома и Кирхгофа, но записанные в векторной или комплексной форме.
^

Способы представления синусоидальных токов, напряжений, ЭДС

В современной технике широко используют разнообразные по форме переменные токи и напряжения: синусоидальные, прямоугольные, треугольные и др. Значение тока, напряжения, ЭДС в любой момент времени t называется мгновенным значением и обозначается малыми строчными буквами, соответственно

i = i(t); u = u(t); e = e(t).

Токи, напряжения и ЭДС, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения происходят, называют периодом Т.

Если кривая изменения периодического тока описывается синусоидой, то ток называют синусоидальным. Если кривая отличается от синусоиды, то ток несинусоидальный.

В промышленных масштабах электрическая энергия производится, передается и расходуется потребителями в виде синусоидальных токов, напряжений и ЭДС,

При расчете и анализе электрических цепей применяют несколько способов представления синусоидальных электрических величин.
^

1. Аналитический способ

В уравнениях (2.1 – 2.3) обозначено:

Im, Um, Em – амплитуды тока, напряжения, ЭДС;
значение в скобках – фаза (полная фаза);
ψi, ψu, ψe – начальная фаза тока, напряжения, ЭДС;
ω – циклическая частота, ω = 2πf;
f – частота, f = 1 / T; Т – период.

Величины i, Im – измеряются в амперах, величины U, Um, e, Em – в вольтах; величина Т (период) измеряется в секундах (с); частота f – в герцах (Гц), циклическая частота ω имеет размерность рад/с. Значения начальных фаз ψi, ψu, ψe могут измеряться в радианах или градусах. Величина ψi, ψu, ψe зависит от начала отсчета времени t = 0. Положительное значение откладывается влево, отрицательное – вправо.
^

2. Временная диаграмма

Временная диаграмма представляет графическое изображение синусоидальной величины в заданном масштабе в зависимости от времени (рис. 2.1).

3. Графоаналитический способ

Графически синусоидальные величины изображаются в виде вращающегося вектора (рис. 2.2). Предполагается вращение против часовой стрелки с частотой вращения ω. Величина вектора в заданном масштабе представляет амплитудное значение. Проекция на вертикальную ось есть мгновенное значение величины.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины (ток, напряжение, ЭДС) одной и той же частоты называют векторной диаграммой.

Векторные величины отмечаются точкой над соответствующими переменными.

Использование векторных диаграмм позволяет существенно упросить анализ цепей переменного тока, сделать его простым и наглядным.

В основе графоаналитического способа анализа цепей переменного тока лежит построение векторных диаграмм.
^

Пример (рис. 2.3)

Первый закон Кирхгофа выполняется для мгновенных значений токов:

Приравниваем проекции на вертикальную и горизонтальные оси (рис. 2.4):

Из равенств (2.4 – 2.5) получаем

4. Аналитический метод с использованием комплексных чисел

Синусоидальный ток i(t) = Im sin(ωt + ψ) можно представить комплексным числом Ím на комплексной плоскости (рис. 2.5)

где амплитуда тока Im – модуль, а угол ψ, являющийся начальной фазой, – аргумент комплексного тока.

Использование комплексной формы представления позволяет заменить геометрические операции над векторами алгебраическими операциями над комплексными числами. В результате этого к анализу цепей переменного тока могут быть применены все методы анализа цепей постоянного тока. Подробнее этот метод будет рассмотрен ниже.
^

2.2. Действующее значение переменного тока и напряжения

Для сравнения действий постоянного и переменного токов вводят понятие действующее значение переменного тока.

Действующее значение переменного тока численно равно такому постоянному току, при котором за время равное одному периоду в проводнике с сопротивлением R выделяется такое же количество тепловой энергии, как и при переменном токе.

Каждый электрик должен знать:  Как самому сделать токопроводящую пасту

Определим количество энергии, выделяемой за период в проводнике с сопротивлением R для каждого из токов и приравняем их.

Для любой из синусоидальных величин получаем

Условились, что все измерительные приборы показывают действующие значения. Например, 220 В – действующее значение, тогда .
^

2.3. Элементы электрической цепи синусоидального тока

Индуктивность

Вокруг всякого проводника с током образуется магнитное поле, которое характеризуется вектором магнитной индукции В и магнитным потоком Ф:

Если поле образуют несколько (w) проводников с одинаковым током, то используют понятие потокосцепления ψ

Отношение потокосцепления к току, который его создает называют индуктивностью катушки

При изменении во времени потокосцепления согласно закону Фарадея возникает ЭДС самоиндукции

С учетом соотношения (2.8) для eL получаем

Эта ЭДС всегда препятствует изменению тока (закон Ленца). Поэтому, чтобы через проводники все время тек ток, необходимо к проводникам прикладывать компенсирующее напряжение

Сопоставляя уравнения (2.9) и (2.10) получаем

Это соотношение является аналогом закона Ома для индуктивности. Конструктивно индуктивность выполняется в виде катушки с проводом.

Условное обозначение индуктивности

Катушка с проводом кроме свойства создавать магнитное поле обладает активным сопротивлением R.

Условное обозначение реальной индуктивности.

Единицей измерения индуктивности является Генри (Гн). Часто используют дробные единицы

1 мкГн = 10 –6 Гн; 1 мкГн = 10 –3 Гн.

Емкость

Все проводники с электрическим зарядом создают электрическое поле. Характеристикой этого поля является разность потенциалов (напряжение). Электрическую емкость определяют отношением заряда проводника к напряжению

С учетом соотношения

получаем формулу связи тока с напряжением

Для удобства ее интегрируют и получают

uC = 1 / C · ∫ i dt.

Это соотношение является аналогом закона Ома для емкости.

Конструктивно емкость выполняется в виде двух проводников разделенных слоем диэлектрика. Форма проводников может быть плоской, трубчатой, шарообразной и др.

Единицей измерения емкости является фарада:

1Ф = 1Кл / 1В = 1Кулон / 1Вольт.

Оказалось, что фарада является большой единицей, например, емкость земного шара равна ≈ 0,7 Ф. Поэтому чаще всего используют дробные значения

1 пФ = 10 –12 Ф, (пФ – пикофарада);
1 нФ = 10 –9 Ф, (нФ – нанофарада);
1 мкФ = 10 –6 Ф, (мкФ – микрофарада).

Условным обозначением емкости является символ

2.4. Основные свойства простейших цепей переменного тока

1. Участок цепи, содержащий активное сопротивление (рис. 2.6).

Зададимся изменением тока в резисторе по синусоидальному закону

Воспользуемся законом Ома для мгновенных значений тока и напряжения

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

Соотношения (2.13) и (2.14) будут равны если будут выполнены условия равенства амплитуд и фаз

Соотношение (2.15) может быть записано для действующих значений

Соотношение (2.16) показывает, что фазы напряжения и тока в резисторе совпадают. Графически это представлено на временной диаграмме (рис. 2.7) и на комплексной плоскости (рис. 2.8).

2. Участок цепи, содержащий идеальную индуктивность (рис 2.9)

Зададим изменение тока в индуктивности по синусоидальному закону

Используем уравнение связи между током и напряжением в индуктивности

Заменим cos на sin и получим

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

Соотношения (2.18) и (2.19) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

Уравнение (2.20) можно переписать для действующих значений

Уравнение (2.21) показывает, что фаза тока в индуктивности отстает от фазы напряжения на 90°. Величину XL = ωL в уравнении (2.20) называют индуктивным сопротивлением. Единицей его измерения является Ом. Графически электрические процессы в индуктивности представлены на рис. 2.10, 2.11.

3. Участок цепи, содержащий ёмкость (рис. 2.12)

Зададим изменение тока в емкости по синусоидальному закону

Используем уравнением связи между током и напряжением в емкости

uC = 1 / C · ∫ i dt,

Заменим –cos на sin

Формальная запись синусоидального напряжения имеет вид

Соотношения (2.23) и (2.24) будут равны если выполняется условие равенства амплитуд и фаз

Уравнение (2.25) можно переписать для действующих значений

Уравнение (2.26) показывает, что фаза напряжения в емкости отстает от фазы тока на 90°. Величину XC = 1 / (ωC) в уравнении (2.25) называют емкостным сопротивлением цепи и измеряют его в Омах. Графически электрические процессы в емкости представлены на рис. 2.13, 2.14.

2.5. Сопротивления в цепи переменного тока

В цепях переменного тока выделяют следующие виды сопротивлений.

Активное. Активным называют сопротивление резистора. Условное обозначение

Единицей измерения сопротивления является Ом. Сопротивление резистора не зависит от частоты.

Реактивное. В разделе реактивные выделяют три вида сопротивлений: индуктивное xL и емкостное хс и собственно реактивное. Для индуктивного сопротивления выше была получена формула XL = ωL. Единицей измерения индуктивного сопротивления также является Ом. Величина xL линейно зависит от частоты.

Для емкостного сопротивления выше была получена формула XC = 1 / ωC. Единицей измерения емкостного сопротивления является Ом. Величина хс зависит от частоты по обратно-пропорциональному закону. Просто реактивным сопротивлением цепи называют величину X = XL — XC.

^ Полное сопротивление . Полным сопротивлением цепи называют величину

Из этого соотношения следует, что сопротивления Z, R и X образуют треугольник: Z – гипотенуза, R и X – катеты. Для удобства в этом треугольнике рассматривают угол φ, который определяют уравнением

и называют углом сдвига фаз. С учетом него можно дать дополнительные связи

2.6. Мощности в цепях переменного тока

Элемент R (резистор)

Зададим напряжение и ток в виде соотношений

Известно, что для резистора ψu = ψi, тогда для р получим

Из уравнения (2.32) видно, что мгновенная мощность всегда больше нуля и изменяется во времени. В таких случаях принять рассматривать среднюю за период Т мощность

Если записать Um и Im через действующие значения U и I: , , то получим

По форме уравнение (2.34) совпадает с мощностью на постоянном токе. Величину Р равную произведению действующих значений тока и напряжения называют активной мощностью. Единицей ее измерения является Ватт (Вт).
^

Элемент L (индуктивность)

Известно, что в индуктивности соотношение фаз ψu = ψi + 90°. Для мгновенной мощности имеет

Усредняя уравнение (2.35) по времени за период Т получим

Для количественной оценки мощности в индуктивности используют величину QL равную максимальному значению рL

и называют ее реактивной (индуктивной) мощностью. Единицей ее измерения выбрали ВАр (вольт-ампер реактивный). Уравнение (2.36) можно записать через действующие значения U и I и используя формулу UL = I XL получим

Элемент С (ёмкость)

Известно, что в емкости соотношение фаз ψu = ψi — 90°. Для мгновенной мощности получаем

Среднее значение за период здесь также равно нулю. По аналогии с уравнением (2.36) вводят величину QC = I 2 XC, которую называют реактивной (емкостной) мощностью. Единицей ее измерения также является ВАр.

Если в цепи присутствуют элементы R, L и С, то активная и реактивная мощности определяются уравнениями

где φ – угол сдвига фаз.

Вводят понятие полной мощности цепи

С учетом уравнений (2.37) и (2.39), (2.40) можно записать в виде

Единицей измерения полной мощности является ВА – вольт-ампер.
^

2.7. Цепь с последовательным соединением элементов

Проведем анализ работы электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

Положим, что в этой задаче заданы величины R, L, С, частота f, напряжение U. Требуется определить ток в цепи и напряжение на элементах цепи. Из свойства последовательного соединения следует, что ток во всех элементах цепи одинаковый. Задача разбивается на ряд этапов.

1. Определение сопротивлений.

Реактивные сопротивления элементов L и С находим по формулам

Полное сопротивление цепи равно

угол сдвига фаз равен

2. Нахождение тока. Ток в цепи находится по закону Ома

Фазы тока и напряжения отличаются на угол φ.

3. Расчет напряжений на элементах. Напряжения на элементах определяются по формулам

Для напряжений выполняется второй закон Кирхгофа в векторной форме.

4. Анализ расчетных данных. В зависимости от величин L и С в формуле (2.42) возможны следующие варианты: XL > XC; XL XC угол φ > 0, UL > UC. Ток отстает от напряжения на угол φ. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма напряжений имеет вид (рис. 2.16).

2.8. Цепь с параллельным соединением элементов

Проведем анализ работы электрической цепи с параллельным соединением элементов R, L, С. Рассмотрим следующую схему.

Положим, что заданы величины R1, R2, L, С, частота f и входное напряжение U. Требуется определить токи в ветвях и ток всей цепи.

В данной схеме две ветви. Согласно свойству параллельного соединения, напряжение на всех ветвях параллельной цепи одинаковое, если пренебречь сопротивлением подводящих проводов.

Задача разбивается на ряд этапов

1. Определение сопротивлений ветвей.

Реактивные сопротивления элементов L и С определяем по формулам

Полное сопротивление ветвей равны

соответствующие им углы сдвига фаз

2. Нахождение токов в ветвях.

Токи в ветвях находятся по закону Ома

3. Нахождение тока всей цепи.

Ток всей цепи может быть найден несколькими методами: графическим, методом мощностей, методом проекций и методом проводимостей.

Чаще всего используют метод проекций и метод проводимостей. В методе проекций ток I1 и I2 раскладываются по две ортогональные составляющие активную и реактивную. Ось активной составляющей совпадает с вектором напряжения U. Ось реактивной составляющей перпендикулярна вектору U (рис. 2.20).

Активные составляющие токов равны

Реактивные составляющие токов равны

В последнем уравнении взят знак минус, поскольку составляющие I (индуктивная) и I (емкостная) направлены в разные стороны от оси U.

Полный ток находится из уравнений

В методе проводимостей также используется разложение на активные и реактивные составляющие. Используя уравнение (2.30) активные составляющие токов записываются в виде

где через g1 = R1 / Z1 2 обозначена величина названная активной проводимостью первой ветви. Аналогичным образом получим

где g2 = R2 / Z2 2 ; а величину g = g1 + g2 называют активной проводимостью всей цепи.

Используя уравнение (2.31) запишем реактивные составляющие токов

где b1 и b2 – реактивные проводимости ветвей b1 = XL / Z1 2 , b2 = XC / Z2 2 . Для реактивной проводимости всей цепи имеем

В этом уравнении взят знак минус, из тех же соображений, как и в уравнении (2.44). Величина тока I и угол φ находятся из соотношений (2.45) и (2.46).

4. Анализ расчетных данных.

В зависимости от соотношения реактивных проводимостей b1 и b2 возможны три варианта: b1 > b2; b1 b2 имеем I > I, φ > 0. Цепь имеет активно-индуктивный характер. Векторная диаграмма изображена на рис. 2.21.

2.9. Повышение коэффициента мощности в электрической цепи

Активная мощность потребителя определена формулой

Величину cos φ здесь называют коэффициентом мощности. Ток в линии питающей потребителя с заданной мощностью Р равен

и будет тем больше, чем меньше cos φ. При этом возрастают потери в питающей линии. Для их снижения желательно увеличивать cos φ. Большинство потребителей имеет активно-индуктивную нагрузку. Увеличение cos φ возможно путем компенсации индуктивной составляющей тока путем подключения параллельно нагрузке конденсатора (рис. 2.24).

Расчет емкости дополнительного конденсатора для обеспечения заданного cos φ проводится следующим образом. Пусть известны параметры нагрузки Pн, U и Iн . Можно определить cosφн

Из п. 2.8.3 следует, что подключение емкости не изменяет активную составляющую нагрузки

Реактивная составляющая нагрузки Iнр может быть выражена через tg φн

При подключении емкости величина Iнр уменьшается на величину IC.

Если задано, что коэффициент мощности в питающей линии должен быть равен cos φ, то можно определить величину реактивной составляющей тока в линии

Уменьшение реактивной составляющей нагрузки с Iнр до Iр определяет величину тока компенсирующей емкости

Подставляя в уравнение (2.53), значение Iна из (2.52) и учитывая, что IC = U / XC = U ωC, получим U ωC = Pн / U · (tg φн — tg φ), откуда для емкости конденсатора имеем

Для больших значений Pн величина емкости C может оказаться слишком большой, что технически трудно реализовать. В этом случае используют синхронные компенсирующие машины.
^

2.10. Комплексный (символический) метод расчета цепей синусоидального тока

Все параметры цепи представляются в комплексной форме.

– комплексное мгновенное значение;
– комплексное действующее значение силы тока;
– комплексное действующее значение напряжения.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Закон Ома

Под законом Ома в комплексной форме понимают:

Комплексное сопротивление участка цепи представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует величине активного сопротивления, а коэффициент при мнимой части – реактивному сопротивлению.

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи:

R + j X — активно-индуктивное сопротивление;
R – j X — активно-емкостное.

Первый закон Кирхгофа в комплексной форме

Алгебраическая сумма комплексных действующих значений токов в узле равна нулю.

Второй закон Кирхгофа в комплексной форме

В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных действующих значений ЭДС равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.

При использовании символического метода можно пользоваться понятиями мощностей. Но в комплексной форме можно записать только полную мощность:

где Ï — комплексно-сопряженный ток

S cos φ ± j S sin φ = P ± j Q.

Полная мощность в комплексной форме представляет собой комплексное число, вещественная часть которого соответствует активной мощности рассматриваемого участка, а коэффициент при мнимой части – реактивной мощности участка. Значение знака перед мнимой частью: “+” означает, что напряжение опережает ток, нагрузка – активно-индуктивная; “–” означает, что нагрузка — активно-емкостная.
^

Мощность цепи переменного тока.

Понятие потенциала или разности потенциалов u позволяет определить работу, совершаемую электрическим полем при перемещении элементарного электрического заряда dq, как dA = udq. В то же время, электрический ток равен i = dq/dt. Отсюда dA = ui dt, следовательно, скорость совершения работы, т.е. мощность в данный момент времени или мгновенная мощность равна

, (1)

где u и i — мгновенные значения напряжения и тока.

Величины тока и напряжения, входящие в выражение (1), являются синусоидальными функциями времени, поэтому и мгновенная мощность является переменной величиной и для ее оценки используется понятие средней мощности за период. Ее можно получить, интегрируя за период T работу, совершаемую электрическим полем, а затем соотнося ее с величиной периода, т.е.

. (2)

Пусть u=Umsin t и Imsin(t- ), тогда средняя мощность будет равна

(3)

т.к. интеграл второго слагаемого равен нулю. Величина cos называется коэффициентом мощности.

Из этого выражения следует, что средняя мощность в цепи переменного тока зависит не только от действующих значений тока I и напряжения U, но и от разности фаз  между ними. Максимальная мощность соответствует нулевому сдвигу фаз и равна произведению UI. При сдвиге фаз между током и напряжением в  90 средняя мощность равна нулю. Максимальные значения напряжения и тока любой электрической машины определяются ее конструкцией, а максимальная мощность, которую они могут развивать — произведением этих величин. Если электрическая цепь построена нерационально, т.е. сдвиг фаз  имеет значительную величину, то источник электрической энергии и нагрузка не могут работать на полную мощность. Поэтому в любой системе источник-нагрузка существует т.н. «проблема cos «, которая заключается в требовании возможного приближения cos к единице.

Выражение (3) можно представить также с помощью понятий активных составляющих тока Iа и напряжения Uа в виде

P = UI cos = U(I cos ) = UIа = I(U cos ) = IUа . (4)

Учитывая, что активные составляющие тока и напряжения можно выразить через резистивную состаляющую комплексного сопротивления цепи как Iа=U/R или Uа=IR , выражение (4) можно записать также в форме

P = I 2 R = U 2 /R . (5)

Среднюю мощность P называют также активной мощностью и измеряют в ваттах [Вт].

Выделим подинтегральную функцию выражения (3)

(6)

Отсюда следует, что мгновенная мощность изменяется с двойной частотой сети относительно постоянной составляющей UIcos равной средней или активной мощности.

При cos = 1 ( = 0) , т.е. для цепи, обладающей чисто резистивным сопротивлением

(7)

Временные диаграммы, соответствующие этому случаю приведены на рис. 1 а).

^ Положительные значения мгновенной мощности соответствуют поступлению энергии от источника в электрическую цепь . Следовательно, при резистивной нагрузке вся энергия поступающая от источника преобразуется в ней в тепло.

При cos = 0 ( =   /2) , т.е. для чисто реактивной цепи

(8)

Временные диаграммы, соответствующие чисто индуктивной и чисто емкостной нагрузке приведены на рис. 1 б) и г). Из выражений (8) и временных диаграмм следует, что мощность колеблется относительно оси абсцисс с двойной частотой, изменяя свой знак каждые четверть периода. Это означает, что в течение четверти периода (p > 0) энергия поступает в электрическую цепь от источника и запасается в магнитном или электрическом поле, а в течение следующей четверти (p cos > 0 ( 1

(8)

Как следует из временных диаграмм рис. 1 в), большую часть периода мощность потребляется нагрузкой (p > 0), но существуют также интервалы времени, когда энергия запасенная в магнитных и электрических полях нагрузки возвращается в источник. Участки с положительным значением p независимо от характера реактивной составляющей нагрузки всегда больше участков с отрицательным значением, поэтому средняя мощность P положительна. Это означает, что в электрической цепи преобладает процесс преобразования электрической энергии в тепло или механическую работу.

Рассмотрим энергетические процессы в последовательном соединении rLC (рис. 2). Падение напряжения на входе цепи уравновешивается суммой падений напряжения на элементах u=ur+uL+uC . Мгновенная мощность в цепи равна

u i=uri+uLi+uCi (9)

Пусть напряжение и ток на входе равны u=Umsint и Imsin(t- ). Тогда падения напряжения на элементах будут ur= rImsin(t- ), uL=  LImsin(t- + /2) = xLImsin(t- + /2), uC= Imsin(t- - /2)/( C) = xCImsin(t- - /2). Подставляя эти выражения в (9), получим

(10)

Уравнение (10) в левой и правой частях имеет постоянную и переменную составляющие. Постоянная составляющая представляет собой активную или среднюю мощность. Второе слагаемое в правой части это переменная составляющая активной мощности с амплитудой равной P = UIcos . Третье слагаемое правой части также является переменной составляющей мгновенной мощности, но эта составляющая находится в квадратуре с переменной составляющей активной мощности и имеет амплитуду Q = UIsin Эту величину называют реактивной мощностью. Она равна среднему за четверть периода значению энергии, которой источник обменивается с магнитным и электрическим полями нагрузки. Реактивная мощность не преобразуется в тепло или другие виды энергии, т.к. ее среднее значение за период равно нулю.

Реактивную мощность также можно представить через реактивные составляющие тока или напряжения

Q = UI sin = U(I sin ) = UIр = I(U sin ) = IUр . (11)

В отличие от всегда положительной активной мощности, реактивная мощность положительна при  > 0 и отрицательна при

(12)

Величина ^ S называется полной или кажущейся мощностью . Из выражения (12) следует, что полную мощность можно представить гипотенузой прямоугольного треугольника с углом  , катетами которого являются активная и реактивная мощности.

Таким образом, полная мощность это максимально возможная активная мощность, т.е. мощность, выделяющаяся в чисто резистивной нагрузке (cos = 0). Именно эта мощность указывается в паспортных данных электрических машин и аппаратов.

Реактивные составляющие токов и напряжений можно представить через активные и реактивные составляющие комплексного сопротивления, тогда для составляющих мощности

P = UIа = I 2 R = UаI = U 2 /R = U 2 G ;

S = UI = I 2 Z = U 2 /Z = U 2 Y.

(13)

Треугольник мощностей можно описать также с помощью комплексных чисел и изобразить векторами на комплексной плоскости в виде

, (14)

где S — комплексная полная мощность, — сопряженный комплексный ток.

П ользуясь представлением активной и реактивной составляющих мощности через активные и реактивные составляющие токов и напряжений (выражения (4) и (11)), треугольник мощностей можно построить в двух вариантах (рис. 3 а) и б)). В первом случае активная и реактивная составляющие полной мощности выражаются через активную и реактивную составляющие напряжения U и треугольник мощностей получается изменением масштаба треугольника напряжений (рис. 3 а)). Во втором случае (рис. 3 б)), построение выполнено с помощью активной и реактивной составляющих тока I.

Очевидно, что все виды мощности имеют одинаковую размерность, поэтому для их отличия от активной мощности, измеряемой в ваттах [Вт], для полной мощности введена единица, называемая вольт-амперы [ВА], а для реактивной мощности — вольт-амперы реактивные [ВАр]

В ыражение для активной мощности P = UIcos позволяет определить коэффициент мощности с помощью ваттметра, вольтметра и амперметра.

Для этого на вход цепи включают приборы по схеме рис. 4 и по их показаниям определяют коэффициент мощности в виде

где W, V и A — показания соответственно ваттметра, вольтметра и амперметра действующих значений. Из этого выражения можно также определить угол сдвига фаз  между током и напряжением на входе двухполюсника.

Однофазные цепи переменного тока. Векторные диаграммы

Тема 6. АНАЛИЗ ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЕЙ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА.
ВЕКТОРНЫЕ ДИАГРАММЫ (задачи с решением)

Задача 6.1. Записать выражение для мгновенного значения синусоидального тока (см. п. 7.1) с периодом T = 12 мс и действующим значением I = 2 мА, если при t = 0 мгновенный ток равен 1 мА, а через 2,31 мс ток достигнет ближайшего максимума. Является ли полученное решение единственным?

Параметры, входящие в общее выражение для мгновенного значения тока i = Imsin( w t + y) — амплитуда Im, частота w и начальная фаза y определяются через заданные величины следующим образом

В результате получим i = 2,828sin(523,6t + 0,3614 ) . Многозначность функции arcsin не делает ответ многозначным, так как из условия следует, что начальная фаза находится в первой четверти.

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 7 .

Задача 6.2. Построив векторную диаграмму, определить действующие значения входного напряжения и тока для цепи, схема которой изображена на рис. П6.1 при числовых данных: U1 = U3 = 20 В, U5 = 10 В, I2 = 1 А, I4 = I5 = 2 А;

Построение векторной диаграммы следует начать с изображения вектора напряжения или тока, относительно которого можно однозначно сориентировать наибольшее количество векторов, отвечающих другим токам или напряжения в данной цепи.

Правила изображения на векторной диаграмме токов и напряжений на отдельных элементах цепи см. в > Табл. 7.1 .

Для цепи, изображенной на рис. П6.1, такой величиной является напряжение U5, относительно которого известен фазовый сдвиг токов I5 и I4. Отложим U 5 на диаграмме (рис. П6.2) вертикально. Вектор тока в резистивной ветви I 5 совпадает по направлению с U 5, а I 4 в индуктивности отстает от U 5 на угол p /2. Далее используем первый закон Кирхгофа в векторной форме и строим вектор I 3 = I 4 + I 5.

Как следует из диаграммы: I3 = 2 Ц 2 А. Вектор напряжения на конденсаторе U 3 отстает от I 3 на p /2. Используя второй закон Кирхгофа, строим U 2 = U 3 + U 5. Из диаграммы найдем U2 = 14 В. Ток I2 в резистивной ветви совпадает по фазе с U2. Далее суммируем векторы I вх = I 2 + I 3. Численное значение этого тока определим из диаграммы: I вх = 3,4 А. Вектор напряжения на катушке U 1опережает I вх на p /2. Наконец, строим вектор U вх = U 1 + U 2 и находим U вх = 14,8 В. Полностью векторная диаграмма изображена на рис. П6.2. Как следует из диаграммы, цепь в целом имеет индуктивный характер, так как U вх опережает I вх по фазе.

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 7 .

Задача 6.3. Определить эквивалентные параметры R э , X э , z э , y э , B э , G э двухполюсника (см. п. 7.4 теоретического материала), изображенного на рис. П6.3, а , при = 1 Ом.

помощью соотношений между эквивалентными параметрами R, X и G, B двухполюсника (п.7.4) преобразуем в исходной задаче параллельную R 2 C цепочку с проводимостями параллельных ветвей G 2 = 1/ R 2 и B 3 = – ωC к эквивалентной последовательной RC цепи, параметры которой определятся формулами

В результате приходим к эквивалентной цепи, изображенной на рис П6.3, б , для которой . Используя вышеуказанные соотношения, найдем по формулам y э = 1/ z э = 0,6325 См,

При работе в режиме изучения теоретического материала вернитесь назад к тексту Лекции 7 .

Однофазные цепи переменного тока. Векторные диаграммы

§ 56. Цепь переменного тока с активным и индуктивным сопротивлениями

Любая проволочная катушка, включенная в цепь переменного тока, обладает активным сопротивлением, зависящим от материала, длины и сечения проволоки и индуктивным сопротивлением, которое зависит от индуктивности катушки и частоты переменного тока, протекающего по ней (XL = ωL = 2πf L). Такую катушку можно рассматривать как приемник энергии, в котором активное и индуктивное сопротивления соединены последовательно.
Рассмотрим цепь переменного тока, в которую включена катушка индуктивности (рис. 59, а) с активным r и индуктивным сопротивлением XL. Падение напряжения на активном сопротивлении

Падение напряжения на индуктивном сопротивлении

Построим векторную диаграмму тока и напряжения (рис. 59, б) для рассматриваемой цепи.

Отложим по горизонтали вектор тока 1 в выбранном масштабе. Известно, что ток и напряжение в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе, поэтому вектор падения напряжения на активном сопротивлении откладываем по вектору тока.
В цепи с индуктивностью ток отстает от напряжения на угол φ = 90°. Поэтому вектор падения напряжения на индуктивном сопротивлении откладываем на диаграмме вверх под углом 90° к вектору тока.
Для определения общего напряжения, приложенного к цепи, сложим векторы Суммой этих векторов будет диагональ параллелограмма — вектор Треугольник АОБ, стороны которого выражают соответственно напряжения Ua , UL и общее напряжение U, называется треугольником напряжений. На основании теоремы Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов — следует, что общее напряжение на зажимах цепи

Пример. Падение напряжения на активном сопротивлении Ua = 15 в. Напряжение на индуктивном сопротивлении UL = 26 в. Вычислить общее напряжение, приложенное к цепи.
Решение . Общее напряжение на зажимах цепи переменного тока с последовательно соединенными активным и индуктивным сопротивлениями

Чтобы определить полное сопротивление цепи переменного тока с активным и индуктивным сопротивлениями, следует разделить векторы Ua =I r и UL = IXL, на число I, выражающее силу тока в цепи, и построить треугольник А′О′Б′ (рис. 59, в), стороны которого меньше сторон треугольника напряжений в I раз. Образованный треугольник называется треугольником сопротивлений. Его сторонами являются сопротивления r и ХL и полное сопротивление цепи Z.
Пользуясь теоремой Пифагора, можно написать, что

отсюда полное сопротивление цепи

Пример. Активное сопротивление катушки r = 7 ом, а ее индуктивное сопротивление ХL = 24 ом. Вычислить полное сопротивление катушки.
Решение . Полное сопротивление катушки переменному току

Сила тока в цепи с активным и индуктивным сопротивлениями определяется по закону Ома:

На векторной диаграмме видно, что в цепи переменного тока с активным и индуктивным сопротивлениями ток и напряжение не совпадают по фазе.
Ток отстает от напряжения на угол φ.
Угол сдвига между током и напряжением можно определить, если известен косинус этого угла.
Из треугольника напряжений косинус угла сдвига фаз

Теперь можно, пользуясь таблицей тригонометрических функций, определить угол φ.

Пример. Падение напряжения на активном сопротивлении катушки Ua = 30 в. Общее напряжение на ее зажимах Uв = 60 в. Определить угол сдвига фаз между током и напряжением в цепи.
Решение. На основании данных найдем

По таблице тригонометрических функций угол сдвига фаз при cos φ = 0,5 составляет 60°.
По треугольнику сопротивлений можно также определить угол сдвига фаз между током и напряжением:

Пример. Активное сопротивление катушки составляет 5 ом, а ее полное сопротивление Z = 30 ом. Определить угол сдвига фаз.
Решение .

Метод векторных диаграмм

Метод векторных диаграмм — то есть изображение величин, характеризующих переменный ток векторами, а не тригонометрическими функциями, чрезвычайно удобен.

Переменный ток, в отличие от постоянного, характеризуется двумя скалярными величинами — амплитудой и фазой. Поэтому для математического описания переменного тока необходим математический объект, также характеризуемый двумя скалярными величинами. Существуют два таких математических объектов — это вектор на плоскости и комплексное число. В теории электрических цепей и те и другие используются для описания переменных токов.

При описании электрической цепи переменного тока с помощью векторных диаграмм каждому току и напряжению сопоставляется вектор на плоскости в полярных координатах, длина которого равна амплитуде тока или напряжения, а полярный угол равен соответствующей фазе. Поскольку фаза переменного тока зависит от времени, то считается, что все векторы вращаются против часовой стрелки с частотой переменного тока. Векторная диаграмма строится для фиксированного момента времени.

Более подробно построение и использование векторных диаграмм будет изложено ниже на примерах конкретных цепей.

Цепь переменного тока с активным сопротивлением и индуктивностью

Рассмотрим цепь (рис. 3), в котором к активному сопротивлению (резистору) приложено синусоидальное напряжение:

U (t) = U0sin ?t (1.11)

Тогда по закону Ома ток в цепи будет равен:

I (t) = U (t)/R = U0sin ?t/R = I0 sin ?t (1.12)

Мы видим, что ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма для этой цепи приведена на рисунке 4:

Выясним, как изменяется со временем мощность в цепи переменного тока с резистором. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений тока и напряжения:

p (t) = i(t)u(t) = I0 U0 sin ?t = I0 U0(1- cos2 ?t)/2 (1.13)

Из этой формулы мы видим, что мгновенная мощность всегда положительна и пульсирует с удвоенной частотой (рис. 5):

Это означает, что электрическая энергия необратимо превращается в теплоту независимо от направления тока в цепи.

Вычислим среднее значение мощности за период:

Pср = 1/T ? p(t)dt = I0U0/2T ? dt ? I0U0/2T ? cos2?t dt = (I0U0/2T) •T = IU = I R

поскольку второй интеграл равен нулю как интеграл от периодической функции за период.

Мы видим, что в цепи с резистором вся электрическая энергия необратимо превращается в тепловую энергию. Те элементы цепи, на которых происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии (не только в тепловую), называются активными сопротивлениями. Поэтому резистор представляет собой активное сопротивление.

Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):

Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:

Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:

Подставив (1.16) в (1.15), имеем:

dI/dt = ? eL/L = U/L = U0 sin ?t/L (1.17)

Интегрируя это уравнение, получим:

I =? U0cos ?t/? L + const = U0sin (?t ? ?/2)/ ?L+ const (1.18)

где const — постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:

I = I0 sin (?t ? ?/2) (1.19)

где I0 = U0/ ?L. Деля обе части на v2, получим:

I = U/ ?L= U/ XL (1.20)

Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ?L называется индуктивным сопротивлением.

Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на ?/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.

Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.

Мгновенная мощность равна:

p (t)= I0 U0 sin ?t(?t ? ?/2)= ? I0 U0 sin2 ?t/2 (1.21)

Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).

Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные — возврату запасенной энергии обратно источнику.

Средняя за период мощность равна:

Pср = 1/T ? p(t)dt = (? I0 U0 /2T) ? sin2 ?t dt = 0 (1.22)

Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет — это чисто реактивная нагрузка.

Добавить комментарий