Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала


СОДЕРЖАНИЕ:

2.6.1 Взаимная и автокорреляционные функции сигнала

Корреляционный анализ используется при необходимости оценить временные свойства сигнала без применения спектрального анализа, например, для оценки скорости изменения или длительности сигнала, временной связи (корреляции) одного сигнала с другим.

Взаимная корреляционная функция определяет временную связь двух сигналов во времени. Если сигналы не зависимы друг от друга, их корреляционная функция равна нулю. Чем шире корреляционная функция, тем большая степень связи двух сигналов друг с другом.

Взаимная корреляционная функция определяется соотношением

Пример получения взаимной корреляционной функции показан на рис.1. Значение корреляционной функции в любой момент x определяется площадью пересечения функций и сдвинутой копии .

Взаимная корреляционная функция не обязательно симметрична и её максимум может оказаться не в точке x=0.

Автокорреляционной функцией (АКФ) ограниченного во времени сигнала называется выражение вида

где x – временной сдвиг исходного сигнала.

Геометрический смысл автокорреляционной функции заключается в определении площади пересечения функции и её копии, сдвинутой на время x (Рис.2)

Изменяя время сдвига x до тех пор, пока сигнал и его копия перестанут пересекаться (в данном случае ), получим АКФ . Очевидно, что при изменении знака сдвига при одинаковой его величине функция автокорреляции одинакова, т.е. , что говорит о четном её характере. Ясно, что при x=0 автокорреляционная функция имеет максимум, при этом

а в свою очередь полная энергия сигнала равна

Таким образом, максимум автокорреляционной функции определяет полную энергию сигнала. При увеличении сдвига x АКФ убывает до нуля.

© Андреевская Т.М., РЭ, МГИЭМ, 2004

Автокорреляционная функция сигналов

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала и его смещённой во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

1) При автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

2) АКФ — функция чётная

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

АКФ прямоугольного видеоимпульса

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время .

АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.1) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символом обозначена смещённая во времени копия сигнала .

Обратившись к теореме Планшереля — можно записать равенство:

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда . Таким образом, приходим к результату

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно, что имеется и обратное соотношение

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.5), (4.6) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Часто вводят удобный числовой параметр — интервал корреляции , представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ.

В данном случае:

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. (Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток АКФ.)

Корреляционная функция периодического сигнала. Составляющие сигнала и шума на выходе. Автокорреляционная функция сигнала

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B su () =s(t) u(t+) dt. (6.2.1)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t- в формуле (6.2.1), получаем:

B su () = s(t-) u(t) dt = u(t) s(t-) dt = B us (-).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B su ()  B su (-), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при  = 0.

Рис. 6.2.1. Сигналы и ВКФ.

Это можно наглядно видеть на рис. 6.2.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.2.1) с постепенным увеличением значений  означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+)). При =0 сигналы ортогональны и значение B 12 ()=0. Максимум В 12 () будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение =1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+).

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.2.1) и (6.2.1″) наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал  сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B su () = B us (-

Рис. 6.2.2. Взаимноковариационные функции сигналов.

На рис. 6.2.2 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь «перекрытия» сигналов максимальна при =0, что и фиксируется функцией B su . Вместе с тем функция B su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь «перекрытия» сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака  при увеличения значения  от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) — сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B sv на рис. 6.2.2. Если поменять местами выражения функций в (6.2.1), то новая функция B vs будет зеркально повернутой относительно =0 функцией B sv .

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

B su () = s(t) u(t+) dt. B us () = u(t) s(t+) dt. (6.2.1″)

Взаимная корреляция зашумленных сигналов . Для двух зашумленных сигналов u(t) = s1(t)+q1(t) и v(t) = s2(t)+q2(t), применяя методику вывода формул (6.1.13) с заменой копии сигнала s(t) на сигнал s2(t), нетрудно вывести формулу взаимной корреляции в следующем виде:

B uv () = B s1s2 () + B s1q2 () + B q1s2 () + B q1q2 (). (6.2.2)

Последние три члена в правой части (6.2.2) затухают до нуля при увеличении . При больших интервалах задания сигналов выражение может быть записано в следующей форме:

B uv () = B s 1 s 2 () +
+
+
. (6.2.3)

При нулевых средних значениях шумов и статистической независимости от сигналов имеет место:

B uv () → B s 1 s 2 ().

ВКФ дискретных сигналов. Все свойства ВКФ аналоговых сигналов действительны и для ВКФ дискретных сигналов, при этом для них действительны и особенности дискретных сигналов, изложенные выше для дискретных АКФ (формулы 6.1.9-6.1.12). В частности, при t = const =1 для сигналов x(k) и y(k) с числом отсчетов К:

B xy (n) =
x k y k-n . (6.2.4)

При нормировании в единицах мощности:

B xy (n) = x k y k-n 
. (6.2.5)

Оценка периодических сигналов в шуме . Зашумленный сигнал можно оценить по взаимной корреляции с «эталонным» сигналом методом проб и ошибок с настройкой функции взаимной корреляции до максимального значения.

Для сигнала u(k)=s(k)+q(k) при статистической независимости шума и → 0 функция взаимной корреляции (6.2.2) с шаблоном сигнала p(k) при q2(k)=0 принимает вид:

B up (k) = B sp (k) + B qp (k) = B sp (k) + .

А поскольку → 0 при увеличении N, тоB up (k) → B sp (k). Очевидно, что функция B up (k) будет иметь максимум, когда p(k) = s(k). Меняя форму шаблона p(k) и добиваясь максимизации функции B up (k), можно получить оценку s(k) в виде оптимальной формы p(k).

Функция взаимных корреляционных коэффициентов (ВКФ) является количественным показателем степени сходства сигналов s(t) и u(t). Аналогично функции автокорреляционных коэффициентов, она вычисляется через центрированные значения функций (для вычисления взаимной ковариации достаточно центрировать только одну из функций), и нормируется на произведение значений стандартов функций s(t) и v(t):

 su () = C su ()/ s  v . (6.2.6)

Интервал изменения значений корреляционных коэффициентов при сдвигах  может изменяться от –1 (полная обратная корреляция) до 1 (полное сходство или стопроцентная корреляция). При сдвигах , на которых наблюдаются нулевые значения  su (), сигналы независимы друг от друга (некоррелированны). Коэффициент взаимной корреляции позволяет устанавливать наличие связи между сигналами вне зависимости от физических свойств сигналов и их величины.

При вычислении ВКФ зашумленных дискретных сигналов ограниченной длины с использованием формулы (6.2.4) имеется вероятность появления значений  su (n)| > 1.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.

Литература: [Л.1], с 77-83

Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время

При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал , а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время . Сигнал, пропорциональный произведению , подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном . Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.

Для экспериментального построения ВКФ сигнал подается на один из входов перемножителя, а сигнал – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.

До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:

а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:

где – наибольшее значение периода.

Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала

где – круговая частота, – начальная фаза.

Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:

Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.

1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.

2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента .

3. При значение представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность .

4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.

Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала .

А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами

Воспользовавшись (2.67) и проводя несложные вычисления, получим

где – разность начальных фаз сигналов и .

Таким образом, взаимная корреляционная функция двух рассматриваемых сигналов содержит информацию о разности начальных фаз. Это важное свойство широко используется при построении различных радиотехнических устройств, в частности, устройств синхронизации некоторых систем радиоавтоматики и других.

В заключение установим связь между АКФ непериодического сигнала и его энергетическим спектром, определение которого [см. (2.51)] было дано выше. Для этого воспользуемся (2.49) при . Тогда получим соотношение

где – функция, комплексно сопряженная с .

Положим теперь и . В соответствии с (2.45) преобразование Фурье имеет вид

С другой стороны

Подставляя эти выражения в (2.68), получим

Но в соответствие с (2.51) есть энергетический спектр. Тогда окончательно

Применяя к прямое преобразование Фурье, приходим к соотношению

Таким образом, АКФ и энергетический спектр сигнала связаны парой преобразований Фурье.

Так как и – вещественные и четные функции, выражения (2.69) и (2.70) можно записать соответственно в виде

Рассмотренный корреляционно-спектральный анализ позволяет дать еще одну трактовку эффективной ширины спектра. Если известен энергетический спектр, то эффективная ширина спектра определяется так:

Иными словами представляет собой сторону прямоугольника по площади равного площади под кривой одностороннего спектра, вторая сторона которого равна (рис.2.13). Очевидно, произведение эффективной ширины энергетического спектра на величину интервала корреляции есть величина постоянная

Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с проявлением принципа неопределенности: чем больше интервал корреляции, тем меньше ширина энергетического спектра, и наоборот.

Контрольные вопросы к главе 2

1. Что такое система базисных тригонометрических функций?

2. Как можно записать тригонометрический ряд Фурье?

3. Дайте определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала.

4. Какой характер носит спектр последовательности прямоугольных импульсов?

5. Чем отличается спектр одиночного импульса от спектра периодической последовательности импульсов?

6. Запишите прямое и обратное преобразование Фурье.

7. Как найти эффективную длительность и эффективную ширину спектра прямоугольного сигнала?

8. Что представляет собой спектр сигнала в виде дельта-функции?

9. Дайте определение автокорреляционной функции детерминированного сигнала.

10. Что такое взаимная корреляционная функция двух сигналов?

11. Как найти коэффициент взаимной корреляции?

12. Какими свойствами обладает автокорреляционная функция периодического сигнала?

Понятие “корреляция” отражает степень сходства некоторых объектов или явлений. Применительно к сигналам корреляционная функция есть количественная мера сходства двух копий сигнала сдвинутых друг относительно друга по времени на некоторую величину t — чем больше значение корреляционной функции, тем больше похожи сигналы друг на друга.

Корреляционная функция задается следующим выражением:

Здесь индекс R ss означает, что вычисляется автокорреляционная функция (АКФ) корреляция сигнала s(t) с его сдвинутой копией.

Корреляционная функция (АКФ) сигнала обладает следующими свойствами:

1. Значение АКФ при t = 0 равно энергии сигнала:

2. АКФ является четной и невозрастающей функцией

R ss (t) = R ss (-t), R ss (t) ≤ R ss (0). (1.26)

3. АКФ сигнала с конечной энергией при t → стримится к нулю.

4. АКФ периодического сигнала периодична с периодом, равным периоду самого сигнала.

Если АКФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то аналогичная ей взаимная корреляционная функция (ВКФ) позволяет оценить степень подобия двух различных сигналов

R 12 (t) =s 1 (t) s 2 (t — t)dt (1.27)

Вычисление АКФ и ВКФ сигналов является одними из основных алгоритмов обработки сигналов при их приеме на фоне помех. В связи с этим понимание физического смысла “корреляции ” и знание свойств корреляционных функций различных сигналов является важным элементом образования специалиста в области передачи информации и связи.

Целью данной работы является изучение простейших радиотехнических сигналов, разложение их в ряд Фурье, создание в среде программирования Matlab соответствующих программ.

1 . Создать программу построения следующих простейших радиотехнических сигналов и представить их графики:

1.1. прямоугольный импульс;

1.2. сумма синусов;

1.3. радиоимпульс с прямоугольной огибающей;

1.5. радиоимпульс с гауссовской огибающей;

1.6. последовательность импульсов типа «меандр»;

1.7. фазоманипулированная последовательность;

1.8. радиоимпульс с экспоненциальной огибающей.

2 . Создать подпрограмму разложения сигнала в ряд Фурье.

3. Определить автокорреляционную функцию Rxx(k) для сформированных моделей сигналов.

5. Оценить коэффициент корреляции исходного сигнала и его разложения в ряд Фурье.

Отчет о выполненной работе должен содержать:

Краткое описание цели работы;


Тексты *.mat программ моделирования;

Графическое представление сформированных полезных сигналов;

Выводы о проделанной работе.

1. Что такое “детерминированный сигнал”? Приведите примеры.

2. Что такое “система ортогональных функций”. Как определяются коэффициенты ряда Фурье.

3. Что такое “спектр сигнала”?

4. Запишите выражения для ряда Фурье на основе тригонометрических и комплексных экспоненциальных функций.

5. Что такое “преобразование Фурье”?

6. Запишите выражения для прямого и обратного преобразований Фурье.

7. Как выглядит спектр одиночного прямоугольного импульса?

8. Как выглядит спектр функции вида sin(x)/x?

9. Как изменится форма спектра прямоугольного (гауссовского) импульса при изменении (увеличении, уменьшении) его длительности?

На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех или иных конкретных применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комплексе с оборудованием для их кодирования, модуляции и обратного преобразования в сообщение оказывалась трудно осуществимой.

В настоящее время ситуация в корне изменилась. В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется прежде всего не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример.

Сравнение сигналов, сдвинутых во времени.

Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до пели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине — задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и и принятого и сигналов одинаковы при любых задержках.

Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рис. 3,3.

Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени

Рис. 3.3. Устройство для измерения времени задержки сигналов

Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели.

Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени.

Таким образом, мы получили качественное «представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения.

Перейдем к точной математической формулировке поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спектров сигналов.

Автокорреляционная функция сигнала.

Для количественного определения степени отличия сигнала и и его смещенной во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала , равную скалярному произведению сигнала и копии:

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.15) заведомо существует.

Непосредственно видно, что при автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:

Действительно, если в интеграле (3.15) сделать замену переменных то

Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см. гл. 1):

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

Пример 3,3. Найти АКФ прямоугольного видеоимпульса.

На рис. 3.4,а изображен прямоугольный видеоимпульс с амплитудой U и длительностью Здесь же представлена его «копия», сдвинутая во времени в сторону запаздывания на . Интеграл (3.15) вычисляется в данном случае элементарно на основании графического построения. Действительно, произведение и и отлично от нуля лишь в пределах интервала времени, когда наблюдается наложение сигналов. Из рис. 3.4, о видно, что этот временной интервал равен если сдвиг не превышает длительности импульса. Таким образом, для рассматриваемого сигнала

График такой функции — треугольник, изображенный на рис. 3.4,б. Ширина основания треугольника в два раза больше длительности импульса.

Рис. 3.4. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса

Пример 3.4. Найти АКФ прямоугольного радиоимпульса.

Будем рассматривать радиосигнал вида

Зная заранее, что АКФ четна, вычислим интеграл (3.15), полагая . При этом

откуда легко получаем

Естественно, что при величина становится равной энергии этого импульса (см. пример 1.9). Формула (3.21) описывает АКФ прямоугольного радиоимпульса при всех сдвигах , лежащих в пределах Если абсолютное значение сдвига превышает длительность импульса, то автокорреляционная функция будет тождественно обращаться в нуль.

Пример 3.5. Определить АКФ последовательности прямоугольных видеоимпульсов.

В радиолокации широко используются сигналы, представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени. Для обнаружения такой пачки, а также для измерения ее параметров, например положения во времени, создают устройства, которые аппаратурным образом реализуют алгоритмы вычисления АКФ.

Рис. 3.5. АКФ пачки из трех одинаковых видеоимпульсов: а — пачка импульсов; б — график АКФ

Каждый электрик должен знать:  Номинал автоматического выключателя для цепи постоянного тока 48В

На рис. 3.5, в изображена пачка, состоящая из трех одинаковых видеоимпульсов прямоугольной формы. Здесь же представлена ее автокорреляционная функция, вычисленная по формуле (3.15) (рис. 3.5, б).

Хорошо видно, что максимум АКФ достигается при Однако если задержка оказывается кратной периоду последовательности (при в нашем случае), наблюдаются побочные лепестки АКФ, сравнимые по высоте с главным лепестком. Поэтому можно говорить об известном несовершенстве корреляционной Структуры данного сигнала.

Автокорреляционная функция неограниченно протяженного сигнала.

Если требуется рассматривать неограниченно протяженные во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен.

Будем считать, что такая последовательность получается из некоторого локализованного во времени, т. е. импульсного, сигнала, когда длительность последнего стремится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости получаемых выражений, определим иовую АКФ как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии:

При таком подходе автокорреляционная функция становится равной средней взаимной мощности этих даух сигналов.

Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды можно воспользоваться формулой (3.21), полученной для радиоимпульса длительностью а затем перейти к пределу при учитывая определение (3.22). В результате получим

Эта АКФ сама является периодической функцией; ее значение при равно

Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.

При изучении материала настоящей главы читатель может подумать, что методы корреляционного анализа выступают как некоторые особые приемы, не имеющие связи с принципами спектральных разложений. Однако это не так. Легко показать, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

Действительно, в соответствии с формулой (3.15) АКФ есть скалярное произведение: Здесь символом обозначена смещенная во времени копия сигнала и ,

Обратившись к обобщенной формуле Рэлея (2.42), можно записать равенство

Спектральная плотность смещенного во времени сигнала

Таким образом, приходим к результату:

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

Ясно, что имеется и обратное соотношение:

Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точней зрения возможности точного измерения момента его начала.

Во-вторых, формулы (3.24) и (3.26) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой прием получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Отсюда следует, что интервал корреляции

оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала.

Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала.

Найденная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром дает возможность установить интересный и на первый взгляд неочевидный критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр любого сигнале, по определению, должен быть положительным [см. формулу (3.25)]. Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять

и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то

Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала.

Кража обычного мобильного телефона не позволяет рассчитывать на его.

Каждый из нас хоть раз в жизни сталкивался с надоедливой надписью.

Потеря или кража Айфона — это всегда большая проблема, поскольку.

Функции корреляции сигналов. Сигналы и линейные системы

Понятие “корреляция” отражает степень сходства некоторых объектов или явлений. Применительно к сигналам корреляционная функция есть количественная мера сходства двух копий сигнала сдвинутых друг относительно друга по времени на некоторую величину t — чем больше значение корреляционной функции, тем больше похожи сигналы друг на друга.

Корреляционная функция задается следующим выражением:

Здесь индекс R ss означает, что вычисляется автокорреляционная функция (АКФ) корреляция сигнала s(t) с его сдвинутой копией.

Корреляционная функция (АКФ) сигнала обладает следующими свойствами:

1. Значение АКФ при t = 0 равно энергии сигнала:

2. АКФ является четной и невозрастающей функцией

R ss (t) = R ss (-t), R ss (t) ≤ R ss (0). (1.26)

3. АКФ сигнала с конечной энергией при t → стримится к нулю.

4. АКФ периодического сигнала периодична с периодом, равным периоду самого сигнала.

Если АКФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того же сигнала, то аналогичная ей взаимная корреляционная функция (ВКФ) позволяет оценить степень подобия двух различных сигналов

R 12 (t) =s 1 (t) s 2 (t — t)dt (1.27)

Вычисление АКФ и ВКФ сигналов является одними из основных алгоритмов обработки сигналов при их приеме на фоне помех. В связи с этим понимание физического смысла “корреляции ” и знание свойств корреляционных функций различных сигналов является важным элементом образования специалиста в области передачи информации и связи.

Целью данной работы является изучение простейших радиотехнических сигналов, разложение их в ряд Фурье, создание в среде программирования Matlab соответствующих программ.

1 . Создать программу построения следующих простейших радиотехнических сигналов и представить их графики:

1.1. прямоугольный импульс;

1.2. сумма синусов;

1.3. радиоимпульс с прямоугольной огибающей;

1.5. радиоимпульс с гауссовской огибающей;

1.6. последовательность импульсов типа «меандр»;

1.7. фазоманипулированная последовательность;

1.8. радиоимпульс с экспоненциальной огибающей.

2 . Создать подпрограмму разложения сигнала в ряд Фурье.

3. Определить автокорреляционную функцию Rxx(k) для сформированных моделей сигналов.

5. Оценить коэффициент корреляции исходного сигнала и его разложения в ряд Фурье.

Отчет о выполненной работе должен содержать:

Краткое описание цели работы;

Тексты *.mat программ моделирования;

Графическое представление сформированных полезных сигналов;

Выводы о проделанной работе.

1. Что такое “детерминированный сигнал”? Приведите примеры.

2. Что такое “система ортогональных функций”. Как определяются коэффициенты ряда Фурье.

3. Что такое “спектр сигнала”?

4. Запишите выражения для ряда Фурье на основе тригонометрических и комплексных экспоненциальных функций.

5. Что такое “преобразование Фурье”?

6. Запишите выражения для прямого и обратного преобразований Фурье.

7. Как выглядит спектр одиночного прямоугольного импульса?

8. Как выглядит спектр функции вида sin(x)/x?

9. Как изменится форма спектра прямоугольного (гауссовского) импульса при изменении (увеличении, уменьшении) его длительности?

  • 5 Спектральный анализ периодических сигналов. Условия Дирихле. Ряд Фурье.
  • 6 Спектральный анализ непериодических сигналов. Преобразование Фурье. Равенство Парсеваля.
  • 7 Представление непрерывных сигналов выборками. Теорема Котельникова. Влияние частоты дискретизации на возможность восстановления сигнала с помощью фильтра.
  • 8 Процесс интерполяции непрерывного сообщения. Простейшие виды интерполяции алгебраическими полиномами.
  • 9 Корреляционный анализ. Корреляционная функция, ее свойства. Вычисление корреляционной функции одиночного импульса и периодического сигнала
  • 10 Взаимная корреляционная функция, ее свойства. Вычисление взаимной корреляционной функции сигналов
  • 11 Случайные процессы. Реализация случайного процесса. Законы распределения случайных процессов
  • 13 Помехоустойчивое кодирование. Повышение верности в одностороннем и двустороннем каналах передачи
  • 14 Блочные систематические коды, свойства и способы представления
  • 15 Коды Хэмминга, свойства. Структурная схема кодера и декодера, принцип работы
  • 16 Общие свойства и способы представления циклических кодов.
  • 18 Аналоговые виды модуляции. Амплитудная модуляция. Амплитудно-модулированное колебание, временная и спектральная характеристики
  • 19 Аналоговые виды модуляции. Амплитудный модулятор.
  • 20 Аналоговые виды модуляции. Демодулятор ам-сигналов.
  • 21. Аналоговые виды модуляции. Балансная модуляция. Балансно-модулированное колебание, временная и спектральная характеристики. Модулятор и демодулятор бмк.
  • 22 Аналоговые виды модуляции. Однополосная модуляция. Методы формирования одной боковой полосы частот ам-колебания.
  • 24 Спектры фазо-модулированных и частотно-модулированных колебаний.
  • 25 Аналого-импульсные виды модуляции. Амплитудно-импульсная модуляция: аим-1 и аим-2. Модуляторы и демодуляторы аим сигналов.
  • 26 Широтно-импульсная модуляция: шим-1 и шим-2. Спектральное представление шим-сигнала. Модуляторы шим-сигналов.
  • 27 Фазо-импульсная модуляция. Модуляторы фим-сигналов.
  • 28 Частотно-импульсная модуляция. Детекторы чим-сигналов.
  • 29 Цифровые виды модуляции. Импульсно-кодовая модуляция. Дискретизация, квантование и кодирование.
  • 30 Дифференциальная икм. Структурная схема системы передачи с предсказанием. Структурная схема линейного предсказателя, принцип работы. Адаптивная дифференциальная икм.
  • 31 Дельта-модуляция. Принцип формирования сигнала дельта-модуляции. Адаптивная дельта-модуляция.
  • 32 Дискретные виды модуляции. Способы двухпозиционной (однократной) модуляции. Позиционность сигнала, кратность модуляции.
  • 33 Однократная абсолютная фазовая манипуляция. Фазовый манипулятор.

  • 34 Детектор фмн-сигналов.
  • 35 Манипулятор однократной относительной фазовой манипуляции.
  • 35 Манипулятор однократной относительной фазовой манипуляции.
  • 36 Демодулятор сигналов с однократной офмн.
  • 38 Принципы построения многоканальных систем передачи. Теоретические предпосылки разделения каналов. Частотное разделение каналов.
  • 39 Фазовое разделение каналов. Модулятор и демодулятор сигналов дофмн.
  • 40 Временное разделение каналов. Структурная схема многоканальной системы передачи с временным разделением каналов.
  • 41 Оптимальный прием сигналов. Задачи и критерии оптимального приема.
  • 42 Структурная схема приемника при полностью известных сигналах, принцип работы.

    9 Корреляционный анализ. Корреляционная функция, ее свойства. Вычисление корреляционной функции одиночного импульса и периодического сигнала

    Наряду со спектральным анализом корреляционный анализ играет большую роль в теории сигналов. Его смысл состоит в измерении степени сходства (различия) сигналов. Для этого служит корреляционная ф-ция.

    КФ представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг отн. друга на время .

    Чем больше значение КФ, тем сильнее сходство. КФ обладает следующими свойствами:

    1. Значение КФ при
    равно энергии сигнала (интегралу от его квадрата)

    2. Является четной функцией

    3. Значение КФ при

    4. С ростом абс. значения КФ сигнала с конечной энергией затухает

    5. Если сигнал является ф-цией напряжения от времени, то размерность его КФ [
    ]

    В случае периодического сигнала (с периодом Т) КФ вычисляют, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода:

    Набор свойств такой КФ изменяется:

    1. Значение КФ при
    равно средней мощности сигнала

    2. Свойство четности сохраняется.

    3. Значение КФ при
    является максимально возможным.

    4. КФ является периодической ф-цией (с тем же периодом, что и сигнал)

    5. Если сигнал не содержит дельта-функций, то его КФ непрерывна.

    6. Если сигнал является зависимостью U(t), то размерность КФ [
    ]

    КФ гармонического сигнала является гармонической ф-цией, которая не зависит от начальной фазы сигнала.

    10 Взаимная корреляционная функция, ее свойства. Вычисление взаимной корреляционной функции сигналов

    Взаимная корреляционная функция (ВКФ)- функция, показывающая степень сходства для сдвинутых во времени 2-ух различных сигналов.

    Для примера вычислим ВКФ 2-ух функций:

    Объединяя результаты, можно записать:

    4) Если функции S 1 (t ) и S 2 (t ) не содержат дельта-функций, то их ВКФ не может иметь разрывов.

    5) Если в качестве сигнала выступает функция U (t ) , то размерность ВКФ

    11 Случайные процессы. Реализация случайного процесса. Законы распределения случайных процессов

    Иногда на практике приходится иметь дело с явлениями, протекание которых во времени непредсказуемо и в каждый момент времени описывается случайной величиной. Такие явления называются случайными процессами. Случайным процессом называется функция ζ(t ) неслучайного аргумента t (как правило, времени), которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Например, температура в течение суток, регистрируемая самописцем. Значения, принимаемые процессом ζ(t ) в определенные моменты времени называются состояниями , а множество всех состояний – фазовым пространством случайного процесса. В зависимости от количества возможных состояний случайного процесса его фазовое пространство может быть дискретным или непрерывным. Если случайный процесс может изменять свое состояние лишь в определенные моменты времени, то такой процесс называется случайным процессом с дискретным временем ; а если в произвольные, то – процессом с непрерывным временем .

    Случайный процесс ζ(t ) называется стационарным , если распределение вероятностей его возможных состояний не изменяется во времени. Например, при ежесекундном подбрасывании игральной кости распределение вероятностей состояний соответствующего случайного процесса (рис.44, б ) не зависит (не изменяется) от времени (при этом все состояния ζ(t ) равновозможны). В противоположность этому, случайный процесс, характеризующий температуру окружающей среды, не является стационарным, т.к. для лета характерны более высокие температуры, чем для зимы.

    Распределение вероятностей состояний стационарного случайного процесса называется стационарным распределением .

    Существуют различные законы распределения среди них Равномерное, Гаусовское (нормальное)

    Равномерное : пусть некторая случ величина х может принимать значения х 1 х 2)

    Функцию распределения найдем путем интегрирования

    F(x)= система(0 при x x 2)

    Гауссово (нормальное) распределение . В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности

    Корреляция – математическая операция, схожа со свёрткой, позволяет получить из двух сигналов третий. Бывает: автокорреляция (автокорреляционная функция), взаимная корреляция (взаимнокорреляционная функция, кросскорреляционная функция). Пример:

    [Взаимная корреляционная функция]

    Корреляция — это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне шумов, ещё называют оптимальной фильтрацией. Хотя корреляция очень похожа на свёртку, но вычисляются они по-разному. Области применения их также различные (c(t)=a(t)*b(t) — свертка двух функций, d(t)=a(t)*b(-t) — взаимная корреляция).

    Корреляция – это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Автокорреляция (автокорреляционная функция) характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимнокорреляционная функция характеризует степень связи между 2-мя разными сигналами.

    Свойства автокорреляционной функции:

    • 1) R(τ)=R(-τ). Функция R(τ) – является чётной.
    • 2) Если х(t) – синусоидальная функция времени, то её автокорреляционная функция – косинусоидальная той же частоты. Информация о начальной фазе теряется. Если x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
    • 3) Функция автокорреляции и спектра мощности связаны преобразованием Фурье.
    • 4) Если х(t) – любая периодическая функция, то R(τ) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и от синусоидально изменяющейся составляющей.
    • 5) Функция R(τ) не несёт никакой информации о начальных фазах гармонических составляющих сигнала.
    • 6) Для случайной функции времени R(τ) быстро уменьшается с увеличением τ. Интервал времени, после которого R(τ) становится равным 0 называется интервалом автокорреляции.
    • 7) Заданной x(t) соответствует вполне определённое R(τ), но для одной и той же R(τ) могут соответствовать различные функции x(t)

    Исходный сигнал с шумами:

    Автокорреляционная функция исходного сигнала:

    Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ):

    • 1) ВКФ не является ни чётной ни нечётной функ¬цией, т.е. R ху (τ) не равно R ху (-τ).
    • 2) ВКФ остаётся неизменной при перемене чередования функций и изменений знака аргумента, т.е. R ху (τ)=R ху (-τ).
    • 3) Если случайные функции x(t) и y(t) не содержат постоянных составляющих и создаются независимыми источниками, то для них R ху (τ) стремится к 0. Такие функции называются некоррелированными.

    Исходный сигнал с шумами:

    Меандр той же частоты:

    Корреляция исходного сигнала и меандра:

    Внимание! Каждый электронный конспект лекций является интеллектуальной собственностью своего автора и опубликован на сайте исключительно в ознакомительных целях.

    Смысл спектрального анализа сигналов заключается в изучении того, как сигнал может быть представлен в виде суммы (или интеграла) простых гармонических колебаний и как форма сигнала определяет структуру распределения по частотам амплитуд и фаз этих колебаний. В противоположность этому задачей корреляционного анализа сигналов является определение меры степени сходства и различия сигналов или сдвинутых по времени копий одного сигнала. Введение меры открывает пути к проведению количественных измерений степени схожести сигналов. Будет показано, что существует определенная взаимосвязь между спектральными и корреляционными характеристиками сигналов.

    3.1 Автокорреляционная функция (акф)

    Автокорреляционная функция сигнала с конечной энергией – это значение интеграла от произведения двух копий этого сигнала, сдвинутых относительно друг друга на время τ, рассматриваемое в функции этого временного сдвига τ:

    Если сигнал определен на конечном интервале времени , то его АКФ находится как:

    где
    — интервал перекрытия сдвинутых копий сигнала.

    Считается, что чем больше значение автокорреляционной функции
    при данном значении , тем в большей степени две копии сигнала, сдвинутые на промежуток времени , похожи друг на друга. Поэтому корреляционная функция
    и является мерой сходства для сдвинутых копий сигнала.

    Вводимая таким образом мера сходства для сигналов, имеющих форму случайных колебаний вокруг нулевого значения, обладает следующими характерными свойствами.

    Если сдвинутые копии сигнала колеблются примерно в такт друг к другу, то это является признаком их схожести и АКФ принимает большие положительные значения (большая положительная корреляция). Если копии колеблются почти в противофазе, АКФ принимает большие отрицательные значения (антисходство копий сигнала, большая отрицательная корреляция).

    Максимум АКФ достигается при совпадении копий, то есть при отсутствии сдвига. Нулевые значения АКФ достигаются при сдвигах, при которых не заметно ни сходства, ни антисходства копий сигнала (нулевая корреляция, о тсутствие корреляции).

    На рис.3.1 изображен фрагмент реализации некоторого сигнала на интервале времени от 0 до 1 с. Сигнал случайным образом колеблется вокруг нулевого значения. Поскольку интервал существования сигнала конечен, то конечна и его энергия. Его АКФ можно вычислить в соответствии с уравнением:

    Автокорреляционная функция сигнала, вычисленная вMathCad в соответствии с этим уравнением, представлена на рис. 3.2. Корреляционная функция показывает не только то, что сигнал похож сам на себя (сдвиг τ=0), но и то, что некоторой схожестью обладают и копии сигнала, сдвинутые друг относительно друга приблизительно на 0.063 с (боковой максимум автокорреляционной функции). В противоположность этому копии сигнала сдвинутые на 0.032 с, должны быть антипохожи дуг на друга, то есть быть в некотором смысле противоположными друг другу.

    На рис.33 показаны пары этих двух копий. По рисунку можно проследить, что понимается под похожестью и антипохожестью копий сигнала.

    Корреляционная функция обладает следующими свойствами:

    1. При τ = 0 автокорреляционная функция принимает наибольшее значение, равное энергии сигнала

    2. Автокорреляционная функция является четной функцией временного сдвига
    .

    3. С ростом τ автокорреляционная функция убывает до нуля

    4. Если сигнал не содержит разрывов типа δ — функций, то
    — непрерывная функция.

    5 . Если сигнал является электрическим напряжением, то корреляционная функция имеет размерность
    .

    Для периодических сигналов в определении автокорреляционной функции тот же самый интеграл делят еще на период повторения сигнала:

    Так введенная корреляционная функция отличается следующими свойствами:

    Для примера вычислим корреляционную функцию гармонического колебания :

    Используя ряд тригонометрических преобразований, получим окончательно:

    Таким образом, автокорреляционная функция гармонического колебания является косинусоидой с тем же периодом изменения, что и сам сигнал. При сдвигах, кратных периоду колебания, гармоника преобразуется в себя и АКФ принимает наибольшие значения, равные половине квадрата амплитуды. Сдвиги по времени, кратные половине периода колебания, равносильны смещению фазы на угол
    , при этом меняется знак колебаний, а АКФ принимает минимальное значение, отрицательное и равное половине квадрата амплитуды. Сдвиги, кратные четверти периода, переводят, например, синусоидальное колебание в косинусоидальное и наоборот. При этом АКФ обращается в нуль. Такие сигналы, находящиеся в квадратуре друг относительно друга, с точки зрения автокорреляционной функции оказываются совершенно не похожими друг на друга.

    Важным является то, что в выражение для корреляционной функции сигнала не вошла его начальная фаза. Информация о фазе потерялась. Это означает, что по корреляционной функции сигнала нельзя восстановить сам сигнал. Отображение
    в противоположность отображению
    не является взаимно однозначным.

    Если под механизмом генерирования сигналов понимать некоего демиурга, создающего сигнал по выбранной им корреляционной функции, то он смог бы создать целую совокупность сигналов (ансамбль сигналов), имеющих действительно одну и ту же корреляционную функцию, но отличающихся друг от друга фазовыми соотношениями.

    актом проявления сигналом своей свободной воли, независимой от воли создателя (возникновение отдельных реализаций некоторого случайного процесса),

    результатом постороннего насилия над сигналом (введение в сигнал измерительной информации, получаемой при проведении измерений какой либо физической величины).

    Аналогичным образом обстоит дело с любым периодическим сигналом. Если периодический сигнал с основным периодом Т имеет амплитудный спектр
    и фазовый спектр
    , то корреляционная функция сигнала принимает следующий вид:

    Уже в этих примерах проявляется некоторая связь между корреляционной функцией и спектральными свойствами сигнала. Подробнее об этих соотношениях речь пойдет в дальнейшем.

    На ранних этапах развития радиотехники вопрос о выборе наилучших сигналов для тех или иных конкретных применений не был очень острым. Это обусловливалось, с одной стороны, относительно простой структурой передаваемых сообщений (телеграфные посылки, радиовещание); с другой, практическая реализация сигналов сложной формы в комплексе с оборудованием для их кодирования, модуляции и обратного преобразования в сообщение оказывалась трудно осуществимой.

    В настоящее время ситуация в корне изменилась. В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется прежде всего не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример.

    Сравнение сигналов, сдвинутых во времени.

    Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до пели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине — задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего и и принятого и сигналов одинаковы при любых задержках.

    Структурная схема устройства обработки радиолокационных сигналов, предназначенного для измерения дальности, может выглядеть так, как это изображено на рис. 3,3.

    Система состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени

    Рис. 3.3. Устройство для измерения времени задержки сигналов

    Задержанные сигналы вместе с принятым сигналом подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели.

    Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени.

    Таким образом, мы получили качественное «представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения.

    Перейдем к точной математической формулировке поставленной проблемы и покажем, что этот круг вопросов имеет непосредственное отношение к теории энергетических спектров сигналов.

    Автокорреляционная функция сигнала.

    Для количественного определения степени отличия сигнала и и его смещенной во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала , равную скалярному произведению сигнала и копии:

    В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный характер, так что интеграл вида (3.15) заведомо существует.

    Непосредственно видно, что при автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

    К числу простейших свойств АКФ можно отнести ее четность:

    Действительно, если в интеграле (3.15) сделать замену переменных то

    Наконец, важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

    Этот факт непосредственно вытекает из неравенства Коши — Буняковского (см. гл. 1):

    Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

    Пример 3,3. Найти АКФ прямоугольного видеоимпульса.

    На рис. 3.4,а изображен прямоугольный видеоимпульс с амплитудой U и длительностью Здесь же представлена его «копия», сдвинутая во времени в сторону запаздывания на . Интеграл (3.15) вычисляется в данном случае элементарно на основании графического построения. Действительно, произведение и и отлично от нуля лишь в пределах интервала времени, когда наблюдается наложение сигналов. Из рис. 3.4, о видно, что этот временной интервал равен если сдвиг не превышает длительности импульса. Таким образом, для рассматриваемого сигнала

    График такой функции — треугольник, изображенный на рис. 3.4,б. Ширина основания треугольника в два раза больше длительности импульса.

    Рис. 3.4. Нахождение АКФ прямоугольного видеоимпульса

    Пример 3.4. Найти АКФ прямоугольного радиоимпульса.

    Будем рассматривать радиосигнал вида

    Зная заранее, что АКФ четна, вычислим интеграл (3.15), полагая . При этом

    откуда легко получаем

    Естественно, что при величина становится равной энергии этого импульса (см. пример 1.9). Формула (3.21) описывает АКФ прямоугольного радиоимпульса при всех сдвигах , лежащих в пределах Если абсолютное значение сдвига превышает длительность импульса, то автокорреляционная функция будет тождественно обращаться в нуль.

    Пример 3.5. Определить АКФ последовательности прямоугольных видеоимпульсов.

    В радиолокации широко используются сигналы, представляющие собой пачки из одинаковых по форме импульсов, следующих друг за другом через одинаковый интервал времени. Для обнаружения такой пачки, а также для измерения ее параметров, например положения во времени, создают устройства, которые аппаратурным образом реализуют алгоритмы вычисления АКФ.

    Рис. 3.5. АКФ пачки из трех одинаковых видеоимпульсов: а — пачка импульсов; б — график АКФ

    На рис. 3.5, в изображена пачка, состоящая из трех одинаковых видеоимпульсов прямоугольной формы. Здесь же представлена ее автокорреляционная функция, вычисленная по формуле (3.15) (рис. 3.5, б).

    Хорошо видно, что максимум АКФ достигается при Однако если задержка оказывается кратной периоду последовательности (при в нашем случае), наблюдаются побочные лепестки АКФ, сравнимые по высоте с главным лепестком. Поэтому можно говорить об известном несовершенстве корреляционной Структуры данного сигнала.

    Автокорреляционная функция неограниченно протяженного сигнала.

    Если требуется рассматривать неограниченно протяженные во времени периодические последовательности, то подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть несколько видоизменен.

    Будем считать, что такая последовательность получается из некоторого локализованного во времени, т. е. импульсного, сигнала, когда длительность последнего стремится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости получаемых выражений, определим иовую АКФ как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии:

    При таком подходе автокорреляционная функция становится равной средней взаимной мощности этих даух сигналов.

    Например, желая найти АКФ для неограниченной во времени косинусоиды можно воспользоваться формулой (3.21), полученной для радиоимпульса длительностью а затем перейти к пределу при учитывая определение (3.22). В результате получим

    Эта АКФ сама является периодической функцией; ее значение при равно

    Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией.

    При изучении материала настоящей главы читатель может подумать, что методы корреляционного анализа выступают как некоторые особые приемы, не имеющие связи с принципами спектральных разложений. Однако это не так. Легко показать, что существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

    Действительно, в соответствии с формулой (3.15) АКФ есть скалярное произведение: Здесь символом обозначена смещенная во времени копия сигнала и ,

    Обратившись к обобщенной формуле Рэлея (2.42), можно записать равенство

    Спектральная плотность смещенного во времени сигнала

    Таким образом, приходим к результату:

    Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак, энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

    Ясно, что имеется и обратное соотношение:

    Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точней зрения возможности точного измерения момента его начала.

    Во-вторых, формулы (3.24) и (3.26) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить автокорреляционную функцию, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой прием получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

    Отсюда следует, что интервал корреляции

    оказывается тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала.


    Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала.

    Найденная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром дает возможность установить интересный и на первый взгляд неочевидный критерий существования сигнала с заданными корреляционными свойствами. Дело в том, что энергетический спектр любого сигнале, по определению, должен быть положительным [см. формулу (3.25)]. Данное условие будет выполняться далеко не при любом выборе АКФ. Например, если взять

    и вычислить соответствующее преобразование Фурье, то

    Эта знакопеременная функция не может представлять собой энергетический спектр какого-либо сигнала.

    Исследование автокорреляционной функции нового класса широкополосных сигналов Текст научной статьи по специальности « Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

    Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Павликов Сергей Николаевич, Убанкин Евгений Иванович

    Объект исследования широкополосные сигналы в системах радиосвязи. Предмет исследование корреляционных свойств нового класса широкополосных сигналов. Цель обосновать выбор сигнала и метода его обработки для обеспечения максимума отклика согласованного фильтра при больших значениях относительной радиальной скорости между передатчиком и приёмником и значительном превышении уровня шума над уровнем сигнала на входе приемника. В работе проанализированы автокорреляционные и взаимные корреляционные функции определяющие область использования сигналов из того или иного ансамбля. В частотно-временной плоскости временная и частотная корреляционные функции образуют поверхность называемую функцией неопределенности , которая является мерой способности телекоммуникационной системы различать принимаемые сигналы по задержке и относительной радиальной скорости . Функция неопределенности , введенная Вудвордом и нашедшая широкое применение при анализе сигналов, по классификации преобразований времени соответствует параболическому типу. В работе показано, что в соответствии моделями аддитивных и мультипликативных преобразований способность разрешения по скорости определяется шириной полосой Меллина сигнала, изменение которой связано с введением задержки начала мультипликативного сигнала относительно начала его отсчета. Для выявления зависимости корреляционных свойств мультипликативного сигнала от сдвига относительно начала сигнала проведено численное моделирование в среде MathCad. Анализ полученных результатов показал увеличение помехоустойчивости системы связи за счет устранения потерь связанных с доплеровской дисперсией и уменьшение элемента разрешения позволяющего, в свою очередь, расширить объем ансамбля ортогональных сигналов и тем самым увеличить количество одновременно работающих линий связи. В результат численного моделирования получен максимальный контрастный отклик согласованного фильтра для относительной радиальной скорости 106 м/сек и аддитивной помехи в виде шума при отношении сигнал помеха на входе приемника в диапазоне 0,25-0,15.

    Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Павликов Сергей Николаевич, Убанкин Евгений Иванович

    Study of the autocorrelation function of a new >Object of research broadband signals in radio communication systems. Subject: study of correlation properties of a new >broadband signals . Aim is to justify the choice of method and signal processing to ensure maximum response coordinated the filter at high values of the relative radial velocity between the transmitter and receiver and significantly exceeding the noise level above the level of the signal at the input of the receiver. In the analysed avtokorreljacionnye and mutual correlation functions define the scope of the use of signals from an ensemble. In the time-frequency plane time and frequency correlation functions form a surface called a function of uncertainty , which is a measure of the ability of a telecommunications system to distinguish the signals taken by delay and the relative radial velocity. Function of uncertainty imposed by Woodward and found w >multiplicative models transformation ability to speed resolution is determined by the w >multiplicative signal relative to the beginning of it. To >multiplicative correlation dependence of the signal (MS) from shift relative to the start signal numerical modelling in MathCad Wednesday. Analysis of the results showed an increase in the noise immunity of communication systems by eliminating losses associated with Doppler dispersion and reduces an item permissions allowing, in turn, increase orthogonal ensemble signals and thereby increase the number of simultaneous lines of communication. In the result of numerical simulations obtained maximum contrast response agreed to filter the relative radial velocity 106 m/s and additive noise interference when the SWAPS at the entrance of the receiver in the range 0.25-0.15.

    Текст научной работы на тему «Исследование автокорреляционной функции нового класса широкополосных сигналов»

    ’АДИОТЕХНИКА И СВЯЗЬ

    ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОМ ФУНКЦИИ НОВОГО КЛАССА ШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ

    ПАВЛИКОВ Сергей Николаевич1

    УБАНКИН Евгений Иванович2

    Сведения об авторах:

    1к.т.н., профессор, профессор кафедры радиоэлектроники и радиосвязи Морского государственного университета имени адмирала Г.И. Невельского, г. Владивосток, Россия, psn1953@mail.ru

    2к.т.н., доцент, доцент кафедры радиоэлектроники и радиосвязи Морского государственного университета имени адмирала Г.И. Невельского, г. Владивосток, Россия, uei@inbox.ru

    Объект исследования — широкополосные сигналы в системах радиосвязи. Предмет -исследование корреляционных свойств нового класса широкополосных сигналов. Цель — обосновать выбор сигнала и метода его обработки для обеспечения максимума отклика согласованного фильтра при больших значениях относительной радиальной скорости между передатчиком и приёмником и значительном превышении уровня шума над уровнем сигнала на входе приемника. В работе проанализированы автокорреляционные и взаимные корреляционные функции определяющие область использования сигналов из того или иного ансамбля. В частотно-временной плоскости временная и частотная корреляционные функции образуют поверхность называемую функцией неопределенности, которая является мерой способности телекоммуникационной системы различать принимаемые сигналы по задержке и относительной радиальной скорости. Функция неопределенности, введенная Вудвордом и нашедшая широкое применение при анализе сигналов, по классификации преобразований времени соответствует параболическому типу. В работе показано, что в соответствии моделями аддитивных и мультипликативных преобразований способность разрешения по скорости определяется шириной полосой Меллина сигнала, изменение которой связано с введением задержки начала мультипликативного сигнала относительно начала его отсчета. Для выявления зависимости корреляционных свойств мультипликативного сигнала от сдвига относительно начала сигнала проведено численное моделирование в среде Ма1:ИСаС. Анализ полученных результатов показал увеличение помехоустойчивости системы связи за счет устранения потерь связанных с доплеровской дисперсией и уменьшение элемента разрешения позволяющего, в свою очередь, расширить объем ансамбля ортогональных сигналов и тем самым увеличить количество одновременно работающих линий связи. В результат численного моделирования получен максимальный контрастный отклик согласованного фильтра для относительной радиальной скорости 106 м/сек и аддитивной помехи в виде шума при отношении сигнал помеха на входе приемника в диапазоне 0,25-0,15.

    КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: широкополосный сигнал; помехоустойчивость; дисперсия; корреляция; преобразование; обработка; скорость; радиальная функция; мультипликативная; неопределенности.

    Для цитирования: Павликов С.Н., Убанкин Е.И. Исследование автокорреляционной функции нового класса широкополосных сигналов // Наукоемкие технологии в космических исследованиях Земли. 2020. Т. 11. № 3. С. 46-59. Сок 10.24411/2409-5419-2020-10268

    3-2020, H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION

    При выборе ортогональных функций в качестве математических моделей ортогональных сигналов и кодов при построении телекоммуникационных систем необходимо учитывать не только степенью сложности их реализации, но и уровень влияния различных видов аддитивных и мультипликативных помех и преобразований сигналов в канале распространения [1]. Увеличение вероятностей ошибок при приеме (проигрыша в отношении сигнал помеха (ОСП)) связано не только с видом и уровнем помех, но и с выбором ансамбля сигналов.

    Автокорреляционные и взаимные корреляционные свойства сигналов, выражающие степень их зависимости при различных временных сдвигах, определяют условия и ограничения использования того или иного ансамбля сигналов.

    Сигналы могут характеризоваться корреляционной функцией в частотной области (при заданном частотном сдвиге) [1-2].

    В частотно-временной плоскости временная и частотная корреляционные функции образуют поверхность называемую функцией неопределенности (ФН) [2-3].

    Благодаря существованию соотношения между частотно-временным представлением сигнала и ФН, последняя играет важную роль при исследовании сигналов [4].

    Сигнал характеризуется рядом характеристик, таких как длительность, несущая частота, количество волн под огибающей, мощность, форма, вид ФН. Функция неопределенности характеризует степень разрешения принимаемых сигналов по задержке и доплеровскому параметру или по ускорению и задержке. Другими словами, ФН является мерой точности различения сигналов по дальности, радиальной скорости и производной радиальной скорости (ускорению) между объектами, а также надежности разрешения по указанным параметрам. Функция неопределенности, введенная Вудвордом [5] и нашедшая широкое применение при анализе сигналов, по классификации преобразований времени соответствует параболическому типу. При связи между подвижными объектами необходимо рассматривать группу линейных преобразований времени, учитывающих как задержку сигнала, так и его доплеровское искажение. В параболической же ФН данная группа О заменяется на двухпараметрическую группу Н с законом композиции элементов, действующих по правилу:

    £(ТР Ц) • £(Т 2, Ц) = £(Т ! + Т 2, Ц + Ц), (1)

    а ее представление в пространстве спектров Фурье задается соотношением

    Из (1) и (2) видно, что Н является декартовым произведением двух коммутативных групп параболического типа, что и обосновывает определение ФН, построенной на этих группах, как параболической. Указанная замена справедлива при выполнении условия узкополосности сигналов, когда дисперсионное произведение много меньше единицы:

    WT ■— Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    %(t, т, Q) = F- (у (ю + Q) • • у * (ю)> = = (y(t) •y*(-t)> • (t -т),

    где у (0 — импульсная реакция,

    * — знак оператора свертки Фурье. Максимум отклика (3) достигается, если фильтр согласован с сигналом, т.е. при Ц = 0, t = т, в этом случае:

    |у(т, т,0)| = -1 fly(ю)|2 dю =1 fly(t)|2 dt = E, 2п 2 2

    T (g) -ф (ю) = е>»»-ф (ю + П)

    где Е — энергия сигнала.

    Под ФН понимается модуль отклика (3) в плоскости частота — время, наблюдаемый на выходе согласованного фильтра.

    В реальных устройствах для устранения неопределенности по доплеровскому параметру применяют набор фильтров, каждый из которых настроен на частоты Цп = п ДЦ, где п = 0, ±1, ±2, ±3, . ; ДЦ — разумный частотный интервал, в пределах которого энергетические потери отклика малы. Неопределенность по задержке выбирается за счет инвариантности откликов относительно сдвига. В этом случае по максимуму отклика на выходе одного из фильтров можно судить о значении доплеровского сдвига, а по моменту появления максимального отклика — о задержке.

    В силу инвариантности относительно сдвига модуля отклика фильтра в плоскости (^ Ц), без потери общности (3) можно переписать:

    а используя замену переменной преобразовать в симметричный вид:

    Заметим, что функция отклика (4) может быть обобщена на случай, когда импульсная характеристика фильтра описывается функцией, отличной от передаваемого сигнала:

    Объем параболической ФН зависит только от энергии сигнала, его инвариантность при нормировке сигнала по энергии называется «принципом неопределенности».

    В ряде работ описаны ФН, вид которых наиболее приспособлен к типу исследуемого сигнала. Так, например, в работе [6] рассмотрена обобщенная ФН сигнала с линейно частотной модуляцией (ЛЧМ), учитывающая рассогласование сигнала как по времени прихода и несущей частоте, так и по скорости качания частоты. Поведение ФН при больших произведениях длительности сигнала на полосу частот является частным случаем асимптотической аппроксимации интегралов вида

    I = | g (х) • ехр<> • Ф( x)>dx,

    где g(x) и Ф(х) — действительные функции;

    V — большой положительный параметр.

    В работах [7-8] рассмотрен асимптотический метод вычисления ФН ЧМ-сигналов на основании принципа стационарной фазы. Метод стационарной фазы, основан на том, что при интегрировании вклады в величину интеграла быстроосцилирующей функции ехр(/’фФ(х)) взаимокомпенсируются, за исключением концевых или стационарных точек функции Ф(х). Стационарной точкой функции Ф(х) является точка, в которой Ф(х) = 0. Стационарной точкой экспоненциальной функции является точка пересечения / -1 линии опорного и принятого сигналов. Но использование этого метода связано с рядом

    трудностей. Так функция ехр(/г-Ф(х)) всегда является бы-строосцилирующей, а для сигналов с прямоугольной огибающей при значениях вблизи т = ±Т, а так же близких к началу координат, метод не дает точных результатов. Из анализа формулы (3) видно, что для широкополосных сигналов параболическое приближение становится некорректным даже при небольших относительных скоростях между объектами. Если ограничение на узкополосность не выполняется, то возникает необходимость модернизации узкополосной ФН Вудворда с учетом реальной модели эффекта Доплера. Этой проблеме посвящено множество работ, важно отметить, что в общем случае при параболическом подходе объем широкополосной ФН (ШФН) определяется выражением [9]:

    Следствием является то, что только для сигналов, удовлетворяющих условию интегрируемости относительно мер dю и ^ю/ю, объем тела неопределенности будет конечен, что значительно сужает класс анализируемых сигналов. Анализ объема ШФН показывает зависимость от формы сигнала. В работе [10] показано, что объема ШФН не существует, если спектр содержит нулевую частоту. Для согласования выражения (6) с традиционным представлением ФН используют ограничение области допустимых значений коэффициента сжатия, при условии, что он близок к единице, или используют узкополосное приближение [9].

    Однако это не позволяет использовать ФН при анализе широкополосных сигналов. Новая функция неопределенности может быть построена в классе нестационарных процедур. В дальнейшем будем полагать, что задержка сигнала известна. Если же нет, то для устранения неопределенности по дальности применим набор нестационарных процедур, каждая из которых настроена на свою задержку ти = Атп где п = 0, 1, 2, 3, . Ат — разумный временной интервал, в пределах которого энергетические потери отклика малы.

    Изоморфизм между группой преобразований сдвига О и группой преобразований сжатия О позволяет ввести узкополосность и для мультипликативных сигналов, условие узкополосности на гиперболическом базисе выглядит в виде:

    Ж Т Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    Vol 11 No 3-2020, H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION

    Тт = ln(ti/tn) — длительность сигнала в мультипликативном масштабе;

    Тп, tk — время начала и конца мультипликативного сигнала;

    в — параметр, учитывающий относительное радиальное ускорение абонента.

    При этом группа преобразований сжатия О заменяется на двухпараметрическую группу Н с законом композиции элементов, действующим по следующему правилу:

    £(ар Ц) • я(а2, Ц2) = • с^, Ц + Ц2)

    а ее представление в пространстве спектров Меллина задается соотношением:

    \у m (ю + Q) -у m (ю)>| = ]у m (at)-ym (-) — 111 —

    где е ^ 0 — бесконечно малая величина.

    Несложной заменой переменных формулу (9) можно привести к симметричному виду

    /у m (®+О•у m (®-О • 111 ‘d ®

    /у m ( Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    T (g) -ф (ю) = exp(y’ro ln a) -(p (ю + Q).

    Предположим, что сформирована мультипликативная (гиперболическая) комплексная огибающая сигнала принятого от подвижного объекта двигающегося с ускоре-

    нием, с точностью до фазы е :

    Ym (t) ^ Уm (» 1) ‘ eXP(./^ln Z), a

    где a—доплеровский параметр;

    tntk — сдвиг меллиновских частот

    обусловленных ускорением объекта;

    — центральная меллиновская частота сигнала, С — скорость распространения электромагнитных колебаний в среде,

    R(0) — начальное расстояние между объектами. Спектр Меллина комплексной огибающей составляет

    Выражение (10) может быть преобразовано к виду

    ут (exp(ln — +ln a)) • ym (exp(ln a -ln -)) • exp(jQln a) — 2 2 a

    I У m (exP(a’ + -2)) • У*т (exP(a’- 2) • exPja’)da’

    Предположим, что комплексные огибающие у(0 и ум(^ имеют соответствующие им тождественные спектральные функции Фурье и Меллина, т.е. у(ю) = ут(ю). При этом условии сигналу утф будет соответствовать эквивалентный сигнал уф = ут(ехр () и, наоборот, сигналу y(t) будет соответствовать эквивалентный сигнал утф = у(1п t). При сравнении формул (5) и (11) видно, что для эквивалентных сигналов имеет место соответствие:

    гт (t, Q) = x(in t, Q) X т (exp t, Q) = x(t, Q).

    Отклик, измеренный на выходе нестационарного фильтра, согласованного с переданным сигналом, т. е. имеющего коэффициент передачи ут, запишется:

    Природа полученного соответствия обусловлена наличием отображенных изоморфизмов между группой сдвига О и группой сжатия О :

    Хт (t, a, Q) = M-1 (у m (ю + Q) • a • y I (ю)> =

    где ® — знак оператора свертки Меллина.

    Под мультипликативной (гиперболической) функцией неопределенности (МФН) понимается модуль отклики в плоскости частота-время, приведенный в формуле (8) и наблюдаемый на выходе мультипликативного согласованною фильтра. В силу инвариантности модуля отклика нестационарного фильтра в плоскости (^ Ц) относительно сжатия (расширения), имеем

    При этом указанные отображения сохраняют групповые операции. На основании полученных соответствий в формулах (12) и (13) можно построить простой алгоритм вычисления МФН, который представлен ниже.

    I. Преобразование сигнала: у(0 ^ у(ехр

    II. Вычисление параболической (аддитивной) функции неопределенности для преобразованного сигнала известными способами либо используя существующие таблицы [11-12].

    III. В полученной ФН осуществить преобразование аргумента: t ^ ln t.

    Для примера вычислим МФН сигнала с гиперболической ЧМ вида:

    если ут(-, соответствует ут (ю), то xm(t•ekn, соответствует у (ю) • екю.

    6. Инвариантность объема: если — МФН, то

    £,(-) = rect(ln t / Тт) • • 1п t).

    II. Для полученного сигнала, представляющего не что иное, как отрезок гармоники, параболическая ФН известна и имеет вид:

    t Q t (1 — T )sin( — T Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    (1 — L^)sin( — T Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    1т (t, П) = \ 1 ml(t, Ц) -Xm2(t, П ,

    аналогично если уm (Q) = уm1 (Q) • уm2 (Q), то соответствующая МФН определяется сверткой

    » t dx Im (А = jXmlCX ‘Im iL ф —. c x x

    2. Наибольшее значение МФН принимает в начале координат

    \Хт(t,Q)| Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    5. Гиперболическая фаза (частота):

    9. МФН обладает свойством оставаться инвариантной к следующему преобразованию

    ti = t*ii Q1 = k21 ln t + k22 Q’

    Таким образом, если хт(-, есть МФН соответствующая сигналу Ym(a), то хт(-1, — так же МФН, но соответствующая сигналу

    Vol 11 No 3-2020 RF TECHNOLOGY AND COMMUNI

    H&ES R=SEARC^|ffl||^J] ‘ \/lUNICATION

    У mi (a) = КГ J — n expjpQn a — -2 ß)) x где .(t)

    x f У m (x) exp(-j ln x(ß — T^ln x)) -X J 2—,,

    Вид МФН приведен на рис. 1.

    Сама МФН ут(!1, Ц1) может быть получена последовательным использованием свойств 3, 4, 5. Следовательно, если ут(а) соответствует х^, Ц), то гт(а) = ут(а)ехр(/’д(1па)2) соответствует

    к гт [1к, -1(Q + 2q 1п а)>.

    Нормированные сечения запишутся:

    \хт (0,0) ( Tm >’ \Xm (0,0)

    Постоянные разрешения по доплеровскому параме-Если же Z(ttl) = М(а)>, то МФН, которая соответ- тру и по частоте Меллина соответственно составляют:

    ствует сигналу со спектром Меллина V(ю) = Z(ю)е^Ью , есть

    1 (.k kbü. qlnt йп TTiXm — + — (1 + qb)>. k а а

    Рассмотрим пример мультипликативной функции неопределенности сигнала в виде отрезка гиперболической гармоники

    5(0 = !+(/) • гей(1п t/Tm)cos(Цln t).

    МФН в плоскости (lna, ß) запишется:

    Рис. 1. Общая структура неопределенности для сигнала, представляющего отрезок гиперболической гармоники в плоскости (lna, ß)

    При отсутствии априорных данных распределения параметров сигнала и помехи в частотно-временной плоскости желательную ФН можно представить в виде функции, приближающейся к Ц) — функции. Сравнительный анализ позволяет понять процедуру выбора передаваемого сигнала.

    С физической точки зрения, необходимо подчеркнуть, что при построении МФН доплеровский эффект описывается точно, т.е. МФН применима для анализа широкополосных сигналов. Кроме того, в МФН учитывается дополнительный параметр, обусловленный ускорением носителя сигнала.

    Частотные корреляционные функции особо актуальны при информационном обмене между абонентами, движущимися с большими скоростями, например, в системах спутниковый радиосвязи, а выигрыш в качестве определяется числом символов последовательности и их взаимокорреляционными свойствами.

    Оптимальной формой корреляционной функции сигнала для систем связи с РКФ является 5-импульс. Который имеет узкий центральный пик и малые боковые лепестки, распределенные равномерно во времени.

    Разрешающая способность сигналов в частотно-временной плоскости определяется областью их высокой корреляции по этим параметрам [11].

    Аналогичную оценку можно выполнить в спектральной области сравнивая энергетический спектр исследуемого сигнала со спектром 5-импульса:

    R (®) = Sm (ю) = |Г(./^ + 1)\ ‘М-

    Используя выражение Г(х + 1) = хГ(х), получим:

    Исследуем энергетический спектр мультипликативного сигнала на предмет близости к единице [13]

    2. При у = 1/2, выражение (15) имеет вид:

    Sm (t) = ejnhi(t-т) • (t — т)-у = (t — т)jQ-y,

    где Q — начальная частота (ra(t) = Q/(t — т.)); т = const; Y = const; 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    Sm (ш) = 0, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    В условиях больших значениях ^ для гиперболических функций, выражения (16)^(18) примут вид:

    Sm(ro) = -jr(jfi-y + 1)х

    • Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    Из анализа которых видно, что при Y = 1 энергетический спектр исследуемого сигнала соответствует спектру 5-функции и оптимальной моделью канального сигнала является мультипликативный сигнал вида:

    Sm (ш) = 0, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.


    Исследуем выражение (15) при различных y = 0; Y = 1/2; y = 1.

    1. При y = 0 выражение (10) примет виду:

    H&ES RESEARC-RF TECHNOLOGY AND COMMUNICATION

    Vol 11 No 3-2020,

    Автокорреляционная функция (АКФ) выражения

    (23) принимает вид:

    При этом модуль АКФ определяется выражением (24)

    Из анализа выражения (24) следует, что основная часть отклика ограничена точками Да^ = ±п, а элемент разрешения по времени равен:

    В предположении, что начало отсчета сигнала зафиксировано, а параметр сдвига начала сигнала относительно начала его отсчёта т изменяется, преобразование Меллина сигнала (26) запишется:

    x ejC1111 ‘d In t = f ejC1111 tdt.

    Произведем замену переменных 1п t = г, тогда:

    и определяется полосой Фурье сигнала.

    Для случаев когда у = 0 и у = 1/2 видно, что временное разрешение уменьшается. Амплитуда огибающей спектров спадает по закону, соответственно, 1/а2 и 1/1а1 Огибающие (19) и (20) можно с достаточной степенью достоверности аппроксимировать функцией:

    где Аю’ выбирается с условием равенства площадей под функциями (25) и ограниченными в полосе Да функциями (19) и (20). При Аю’ А^), т.е. разрешающая способность уменьшается. Таким образом, наилучшее разрешение по оси времени соответствует сигналу при у = 1, приведенному в выражении (22).

    Разрешающая способность мультипликативных сигналов по дальности обратно пропорциональна полосе 2 к

    Фурье А^) = —, а разрешающая способность по скорости Аю

    обратно пропорциональна полосой Меллина сигнала ДЦ:

    В силу неинвариантности спектра Меллина сигнала относительно преобразований сдвига, ширина спектра Меллина изменяется с появлением задержки начала сигнала относительно начала его отсчета. Для определения этой зависимости оценим ширину спектра Меллина сигнала длительностью Т с прямоугольной огибающей. Так как несущая частота не несет информации о форме спектра, сигнал определяется выражением:

    Определим энергетический спектр Меллина:

    С учетом, того, что основная часть энергетического

    Автокорреляционная функция (АКФ)

    АКФ ФМ сигналов имеет вид типичный для всех типов ШПС. Нормированная АКФ состоит из центрального (основного) типа с амплитудой 1, размещенного на интервале (-t, t) и боковых (фоновых) максимумов, распределенных на интервале (-T, t) и (t, T).

    Амплитуды боковых типов принимают различные значения, но у сигналов с “хорошей” корреляцией они малы, т.е. существенно меньше амплитуды центрального пика. Отношение амплитуды центрального пика (в данном случае 1) к максимальной амплитуде боковых максимумов называют коэффициентом подавления К. Для произвольных ШПС с базой В

    Для ФМ ШПС К»1 . Пример АКФ ШПС дан на рисунке 9. Величина К существенно зависит от вида кодовой последовательности А. При правильном выборе закона формирования А можно добиться максимального подавления, а в ряде случаев – равенства амплитуд всех боковых максимумов.

    Сигналы Баркера

    Кодовая последовательность сигнала Баркера состоит из символов ±1 и характеризуется нормированной АКФ вида:

    где l = 0, 1, . (N-1)/2.

    Знак в последней строчке зависит от величины N. На рисунках 8-9 показаны ФМ сигнал, его комплексная огибающая и АКФ семизначного кода Баркера.

    Из (18) следует, что одна из особенностей сигнала Баркера — равенство амплитуд всех (N-1) боковых максимумов АКФ, и все они имеют минимально возможный уровень, не превышающий 1/N. В таблице 1 приведены известные кодовые последовательности Баркера и их уровни боковых типов АКФ. Кодовые последовательности, обладающие свойствами (18), для N > 13 не найдены.

    Рисунок 9 — АКФ семизначного кода Баркера

    Таблица 1 Кодовые последовательности Баркера

  • Статьи по теме:
    Код Кодовая последовательность Уровень боковых лепестков
    1 1 -1 -1/3
    1 1 -1 1 1/4
    1 1 1 -1 1 1/5
    1 1 1 -1 -1 1 –1 -1/7
    1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1/11
    1 1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 1 1/13

    Формирование и обработка сигналов БаркераФормирование сигналов Баркера может осуществляться несколькими способами, так же, как и произвольного ФМ сигнала. Поскольку сигналы Баркера были первыми ПШС, причем с наилучшими АКФ, рассмотрим кратко один из возможных способов формирования и обработки сигналов Баркера.

    На рисунке 10 изображен генератор сигнала Баркера с N=7.Генератор синхроимпульсов (ГСИ) формирует узкие прямоугольные синхроимпульсы, период следования которых равен длительности сигнала Баркера Т=7τ, а τ — длительность одиночного (единичного) прямоугольного импульса. Генератор синхроимпульсов запускает генератор одиночных импульсов (ГОИ), который в свою очередь формирует одиночные прямоугольные импульсы длительностью τ и периодом Т.Одиночные прямоугольные импульсы поступают на вход многоотводной линии задержки (МЛЗ), которая имеет N-1=6 секций с отводами через интервалы времени, равные τ. Число отводов, включая начало линии, равно 7. Так как кодовая последовательность Баркера с N =7 имеет вид 111-1 -11 -1, то импульсы с первого, второго, третьего и шестого отводов (счет ведется от начала линии) поступают на вход сумматора ( + ) непосредственно, а импульсы с четвертого, пятого и седьмого отводов поступают на вход сумматора через инверторы (ИН), которые превращают положительные одиночные импульсы в отрицательные, т. е. осуществляют изменение фазы на π. Поэтому инверторы называются также фазовращателями. На выходе сумматора имеет место видеосигнал Баркера (рисунок 8б), который затем поступает на один вход балансного модулятора (БМ), на другой вход которого подается радиочастотное колебание на несущей частоте, формируемое генератором несущей частоты (ГНЧ). Балансный модулятор осуществляет фазовую манипуляцию радиочастотного колебания ГНЧ в соответствии с кодовой последовательностью Баркера: видеоимпульсу с амплитудой 1 соответствует радиоимпульс с фазой 0, а видеоимпульсу с амплитудой -1 — радиоимпульс с фазой π. Таким образом, на выходе балансного модулятора имеет место радиочастотный сигнал Баркера (рисунок 8а).

    Рисунок 10 – Генератор сигнала Баркера с N = 7

    Оптимальная обработка сигналов Баркера так же, как и других ШПС, производится либо с помощью согласованных фильтров, либо с помощью корреляторов. Возможно несколько способов построения согласованных фильтров и корреляторов, отличающихся друг от друга в техническом выполнении, но обеспечивающих одно и то же максимальное отношение сигнал-помеха на выходе. На рисунке 11 приведена схема согласованного фильтра для сигнала Баркера с N = 7.Свыхода усилителя промежуточной частоты приемника сигнал поступает на согласованный фильтр одиночного импульса (СФОИ), который производит оптимальную обработку (фильтрацию) одиночного прямоугольного радиоимпульса с центральной частотой, равной промежуточной частоте приемника. На выходе СФОИ радиоимпульс имеет треугольную огибающую. Треугольные радиоимпульсы с длительностью по основанию 2 τ поступают на МЛЗ, которая имеет 6 секций и 7 отводов (включая начало линии). Отводы следуют через τ. Так как импульсная характеристика согласованного фильтра совпадает с зеркально отраженным сигналом, то кодовую импульсную характеристику фильтра для сигнала Баркера с N=7следует устанавливать в соответствии с последовательностью -11-1-1111. Поэтому радиоимпульсы со второго, пятого, шестого и седьмого отводов МЛЗ поступают в сумматор ( + ) непосредственно, а радиоимпульсы с первого, третьего и четвертого отводов — через инверторы (ИН), которые меняют фазу на π. На выходе сумматора имеет место АКФ сигнала Баркера, огибающая которой приведена рисунке 9.

    Рисунок 11 – Согласованный фильтр сигнала Баркера с N = 7

    1.9 М – последовательности

    Среди фазоманипулированных сигналов особое значение занимают сигналы, кодовые последовательности которых являются последовательностями максимальной длины или М -последовательностями.

    М – последовательности принадлежат к разряду двоичных линейных рекуррентных последовательностей и представляют собой набор N периодически повторяющихся двоичных символов. Причем каждый текущий символ dj образуется в результате сложения по модулю 2 некоторого числа m предыдущих символов, одни из которых умножаются на 1, а другие – на 0.

    Для j-го символа имеем:

    Технически генератор М-последовательности строится в виде регистра (последовательно включенных триггеров) с отводами, с цепью обратной связи и с сумматором по модулю 2. Пример такого генератора приведен на рисунке 12. Умножение на а1…аm в (4) означает просто наличие или отсутствие отвода, т.е. связи соответствующего триггера (разряда регистра) с сумматором. В m-разрядном регистре максимальный период равен: N m – 1. Величина m называется памятью последовательности. Если отводы выбраны произвольно, то не всегда на выходе генератора будет наблюдаться последовательность максимальной длины. Правило выбора отводов, позволяющее получить последовательность с периодом N m -1, предполагает найти неприводимые примитивные полиномы степени m с коэффициентами, равными 0 и 1. Не равные нулю коэффициенты в полиномах определяют номера отводов в регистре.

    Так, при m=6 существует 3 примитивных многочлена:

    p1 ( x ) = x 6 + x + 1 1 0 0 0 0 1 1

    p2 ( x ) = x 6 + x 5 + x 2 + x + 1 1 1 0 0 1 1 1

    p3 ( x ) = x 6 + x 5 + x 3 + x 2 + 1 1 1 0 1 1 0 1

    На рисунке 12 реализован первый вариант.

    Рисунок 12 ­­­- Генератор М-последовательности с периодом N = 2 6 – 1 = 63

    Особенности автокорреляционной функции М-последовательности Наибольший интерес представляет нормированная автокорреляционная функция (АКФ). Различают два случая получения такой функции: в периодическом (ПАКФ) и апериодическом режимах. Периодическая АКФ имеет основной, равный единице, пик и ряд боковых выбросов, амплитуды которых 1/N. С ростом N ПАКФ приближается к идеальной, когда боковые пики становятся по сравнения с основным пренебрежимо малы.

    Боковые пики АКФ в апериодическом режиме существенно больше боковых пиков ПАКФ. Среднеквадратичное значение боковых пиков (вычисленное через дисперсию) равно

    Дата добавления: 2020-06-02 ; просмотров: 3830 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

    Корреляционный анализ детерминированных сигналов

    В теории связи корреляционная теория используется при исследовании случайных процессов, позволяя установить связь между корреляционными и спектральными свойствами случайных сигналов. Часто возникает задача обнаружения одного передаваемого сигнала в другом или в помехах. Для надежного обнаружения сигналов и применяется метод корреляции, основанный на корреляционной теории. На практике оказывается полезным анализ характеристики, дающей представление о скорости изменения во времени, а также длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

    Пусть копия сигнала u(t — т) смещена относительно своего оригинала u(t) на интервал времени т. Для количественной оценки степени отличия (связи) сигнала u(t) и его смещенной копии u(t — т) используют автокорреляционную функцию (АКФ). АКФ показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией — чем больше значение АКФ, тем это сходство сильнее.

    Для детерминированного сигнала конечной длительности (финитного сигнала) аналитическая запись АКФ представляет собой интеграл вида

    Формула (2.56) показывает, что при отсутствии сдвига копии относительно сигнала (т = 0) АКФ положительна, максимальна и равна энергии сигнала:

    Такая энергия [Дж] выделяется на резисторе с сопротивлением в 1 Ом, если к его выводам подключить некоторое напряжение u(t) [В].

    Одним из важнейших свойств АКФ является ее четность: В(т) = В(-т). Действительно, если в выражении (2.56) произвести замену переменной х = t — т, то

    Поэтому интеграл (2.56) можно представить в другом виде:

    Для периодического сигнала с периодом Г, энергия которого бесконечно велика (поскольку сигнал существует бесконечное время), вычисление АКФ по формуле (2.56) неприемлемо. В этом случае определяют АКФ за период:

    Определим АКФ прямоугольного импульса, который имеет амплитуду Е и длительность ти (рис. 2.24).

    Для импульса вычисления АКФ удобно провести графически. Такое построение показано на рис. 2.24, а — г, где приведены соответственно исходный импульс u(t) = ut сдвинутая на т его копия мт(?) = u(t — т) = мт и их произведение u(f)u(t — т) = ииг Рассмотрим графическое вычисление интеграла (2.56). Произведение u(t)u(t — т) не равно нулю на интервале времени, когда имеется наложение друг на друга любых частей сигнала и его копии. Как следует из рис. 2.24, этот интервал равен т — тм, если временной сдвиг копии меньше длительности импульса. В подобных случаях для импульса АКФ определится как В(т) = Е 2 (ти — |т|) при временном сдвиге копии на текущее время |т| 2 ти = Э (см. рис. 2.24, г).

    Рис. 2.24. Определение АКФ импульса:

    а — импульс; 6 — копия; в — произведение сигнала и копии; г — АКФ

    Часто вводят удобный для анализа и сравнения сигналов числовой параметр — интервал корреляции тк, аналитически и графически равный ширине основания АКФ. Для данного примера интервал корреляции тк = 2ти.

    Определим АКФ гармонического (косинусоидального) сигнала u(t) = = t/mcos(co? + 2 ). Отметим еще один очень важный факт, что вычисленная АКФ не зависит от начальной фазы гармонического сигнала (параметр 2 -с)/Гц].

    Учитывая соотношение (2.60), окончательно получим выражение для АКФ:

    Итак, АКФ сигнала представляет собой обратное преобразование Фурье от его энергетического спектра. Прямое преобразование Фурье от АКФ

    Итак, прямое преобразование Фурье (2.62) АКФ определяет энергетический спектр, а обратное преобразование Фурье энергетического спектра (2.61) — АКФ детерминированного сигнала. Эти результаты важны по двум причинам. Во-первых, исходя из распределения энергии но спектру становится возможным оценить корреляционные свойства сигналов — чем шире энергетический спектр сигнала, тем меньше интервал корреляции. Соответственно, чем больше интервал корреляции сигнала, тем короче его энергетический спектр. Во-вторых, соотношения (2.61) и (2.62) позволяют экспериментально определить одну из функций по значению другой. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем с помощью прямого преобразования Фурье вычислить энергетический спектр. Этот прием широко применяют при анализе свойств сигналов в реальном масштабе времени, т.е. без временной задержки при его обработке.

    Взаимокорреляционная функция двух сигналов. Если надо оценить степень связи между сигналами ux(t) и u2(t), то используют взаимокорреля- ционную функцию (ВКФ)

    При т = О ВКФ равна так называемой взаимной энергии двух сигналов

    Значение ВКФ не меняется, если вместо задержки второго сигнала u2(t) рассматривать опережение его первым сигналом м,(?), поэтому

    АКФ является частным случаем ВКФ, если сигналы одинаковы, т.е. uy(t) = u2(t) = u(t). В отличие от АКФ ВКФ двух сигналов В12(т) не является четной и необязательно максимальна при т = 0, т.е. при отсутствии временного сдвига сигналов.

    Лекция 17. Применения автокорреляционной функции

    Лекция 15. Автокорреляция и ее вычисление

    Пусть задана бесконечная последовательность . По ней строится автокорреляционная функция . Эта функция играет огромное значение в при обработке сигналов. Основное назначение — отыскание максимумов функции , которые интерпретируются как аналоги периодов. Из неравенства Коши следует, что . В точках максимума сдвинутая на исходная последовательность «похожа» на исходную. В качестве примера рассмотрим фрагмент звукового файла с записью звука «а». Этот сигнал не является периодическим в математическом смысле слова, однако, визуально такая периодичность просматривается. Значения периода находятся по максимумам соответствующей автокорреляционной функции. Найдем преобразование Фурье от . Для непрерывного случая эта задача рассматривалась выше. Положим . Теперь , где — свертка последовательностей. = . С другой стороны, = . Это означает, что . Если исходная последовательность вещественная, то и

    Случай конечной последовательности

    При практическом использовании автокорреляционной функции мы имеем дело с конечными последовательностями. Пусть дана последовательность . Определим функцию ( как обычно, последовательность считается периодической). Повторяя предыдущие рассуждения, получим для конечного преобразования Фурье в вещественном случае аналог (1)

    Если для заданного существует схема БПФ, то выгоднее для отыскания значений сначала найти преобразование Фурье от исходной последовательности, а затем воспользоваться (2) для отыскания значений функции.

    В случае конечных последовательностей мы имеем дело с циклической сверткой. Для того, чтобы избавиться от эффекта цикличности, используется следующий прием. Вместо исходной последовательности длины берется последовательность длины . Если используются значения , то при их вычислении эффект цикличности не имеет места.

    Практическое оценивание частот

    В предыдущий рассмотрениях не учитывалась частота выборки из исходного непрерывного сигнала. Имеем

    . Рассматривая последнее выражение как приближение соответствующего интеграла, получим, что данный коэффициент соответствует частоте . При выборе значения следует учитывать следующее обстоятельство — увеличение повышает разрешающую способность, но при этом происходит усреднение по длине окна.

    Если для оценки периода использована автокорреляционная функция, то максимуму этой функции в точке отвечает частота

    Лекция 17. Применения автокорреляционной функции

    Частота основного тона

    В качестве примера укажем применение автокорреляционной функции для вычисления частоты основного тона речевого сигнала. В настоящее время нет математического определения этой частоты. В предыдущей лекции приведен пример вида сигнала, соответствующего произнесению звука «а». На рисунке просматриваются периодический характер колебаний. Фактическое значение найденной частоты зависит от способа оценки. Простейший — подсчет с помощью преобразования Фурье. Это показано на рисунке. Основному тону соответствует частота, для которой достигается максимум. Этот способ не годится, если вблизи максимума график является пологим. Рассмотрим другие подходы.

    Амплитудное ограничение. Выбирается порог, и исходный сигнал заменяется последовательностью нулей и единиц: в точках, где сигнал превышает порог, ставится 1, в остальных точках — 0. Получается сигнал вида приведенного на рисунке. После этого ищут максимумы для автокорреляционной функции сигнала. При этом можно не прибегать к схемам, основанным на БПФ, поскольку в этом случае все сводится лишь к операциям сложения.

    Пересечение с нулем. Рассмотрим график функции . Значение можно оценить по формуле , где — длина интервала, а — количество переходов через 0. Этот способ применяют к речевому сигналу. Для того, чтобы исключить из рассмотрения мелкие колебания в окрестности 0, сигнал пропускают через фильтр низких частот.

    Поиск сигнала с помощью кросс корреляционной функции

    К рассматриваемому кругу вопросов примыкает следующая задача. Пусть имеется входная последовательность большой длины и образец значительно меньшей длины . Требуется выяснить, присутствует ли образец во входной последовательности, и если присутствует, определить его место положения. Фактически, Wavelet преобразование первоначально возникло как обобщение этой задачи. Очевидно, что при наличии искажений, задача не имеет точного решения. Можно говорить лишь о близости в некотором смысле отрезка входной последовательности и образца. В вещественном случае в качестве меры близости часто используют функцию и ищут значения аргумента, для которых эта функция имеет локальный максимум. После этого, соответствующие отрезки входной последовательности подвергаются дополнительному исследованию. Наша ближайшая цель — указать методы, с помощью которых осуществляется подсчет значений , поскольку непосредственные вычисления требуют значительных ресурсов.

    Процессор малой мощности

    Предположим, что процессор быстро производит лишь операции сложения и вычитания с целыми числами. Для подсчета произведения используется следующий прием. Имеем . В памяти хранятся значения квадратов возможных значений, а деление на 4 в двоичном коде сводится к логическому сдвигу на две позиции.

    Даже при наличии мощного процессора непосредственный подсчет всех нужных значений является трудоемкой задачей. Для уменьшения числа умножений используется следующий подход. Образец заменяется последовательностью длины . Из входной последовательности образуют последовательности длины , . После этого подсчитывается циклическая свертка

    Для отыскания значений свертки используется БПФ. Для этого число должно обладать соответствующими арифметическими свойствами. Покажем теперь, как по найденным значениям подсчитываются значения . Это проще всего продемонстрировать на примере . Имеем

    Корреляционная функция двух сигналов для чайников. Сигналы и линейные системы

    Signals and linear systems. Correlation of signals

    Тема 6. КОРРЕЛЯЦИЯ СИГНАЛОВ

    Предельный страх и предельный пыл храбрости одинаково расстраивают желудок и вызывают понос.

    Мишель Монтень. Французский юрист-мыслитель, XVI в.

    Вот это номер! Две функции имеют стопроцентную корреляцию с третьей и ортогональны друг другу. Ну и шуточки были у Всевышнего при сотворении Мира.

    Анатолий Пышминцев. Новосибирский геофизик Уральской школы, ХХ в.

    1. Автокорреляционные функции сигналов. Понятие автокорреляционных функций (АКФ). АКФ сигналов, ограниченных во времени. АКФ периодических сигналов. Функции автоковариации (ФАК). АКФ дискретных сигналов. АКФ зашумленных сигналов. АКФ кодовых сигналов.

    2. Взаимнокорреляционные функции сигналов (ВКФ). Взаимная корреляционная функция (ВКФ). Взаимная корреляция зашумленных сигналов. ВКФ дискретных сигналов. Оценка периодических сигналов в шуме. Функция взаимных корреляционных коэффициентов.

    3. Спектральные плотности корреляционных функций. Спектральная плотность АКФ. Интервал корреляции сигнала. Спектральная плотность ВКФ. Вычисление корреляционных функций при помощи БПФ.

    Корреляция (correlation), и ее частный случай для центрированных сигналов – ковариация, является методом анализа сигналов. Приведем один из вариантов использования метода. Допустим, что имеется сигнал s(t), в котором может быть (а может и не быть) некоторая последовательность x(t) конечной длины Т, временное положение которой нас интересует. Для поиска этой последовательности в скользящем по сигналу s(t) временном окне длиной Т вычисляются скалярные произведения сигналов s(t) и x(t). Тем самым мы «прикладываем» искомый сигнал x(t) к сигналу s(t), скользя по его аргументу, и по величине скалярного произведения оцениваем степень сходства сигналов в точках сравнения.

    Корреляционный анализ дает возможность установить в сигналах (или в рядах цифровых данных сигналов) наличие определенной связи изменения значений сигналов по независимой переменной, то есть, когда большие значения одного сигнала (относительно средних значений сигнала) связаны с большими значениями другого сигнала (положительная корреляция), или, наоборот, малые значения одного сигнала связаны с большими значениями другого (отрицательная корреляция), или данные двух сигналов никак не связаны (нулевая корреляция).

    В функциональном пространстве сигналов эта степень связи может выражаться в нормированных единицах коэффициента корреляции, т. е. в косинусе угла между векторами сигналов, и, соответственно, будет принимать значения от 1 (полное совпадение сигналов) до -1 (полная противоположность) и не зависит от значения (масштаба) единиц измерений .

    В варианте автокорреляции (autocorrelation) по аналогичной методике производится определение скалярного произведения сигнала s(t) с собственной копией, скользящей по аргументу. Автокорреляция позволяет оценить среднестатистическую зависимость текущих отсчетов сигнала от своих предыдущих и последующих значений (так называемый радиус корреляции значений сигнала), а также выявить в сигнале наличие периодически повторяющихся элементов.

    Особое значение методы корреляции имеют при анализе случайных процессов для выявления неслучайных составляющих и оценки неслучайных параметров этих процессов.

    Заметим, что в терминах «корреляция» и «ковариация» существует некоторая путаница. В математической литературе термин «ковариация» применяется к центрированным функциям, а «корреляция» – к произвольным. В технической литературе , и особенно в литературе по сигналам и методам их обработки, часто применяется прямо противоположная терминология. Принципиального значения это не имеет, но при знакомстве с литературными источниками стоит обращать внимание на принятое назначение данных терминов.

    6.1. Автокорреляционные функции сигналов .

    Понятие автокорреляционных функций сигналов . Автокорреляционная функция (АКФ, CF — correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, выявления в сигнале характера и параметров взаимной временной связи отсчетов, что всегда имеет место для периодических сигналов, а также интервала и степени зависимости значений отсчетов в текущие моменты времени от предыстории текущего момента. АКФ определяется интегралом от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t:

    Bs(t) =s(t) s(t+t) dt = ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)|| ||s(t+t)|| cos j(t). (6.1.1)

    Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t. Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

    АКФ относится к четным функциям, в чем нетрудно убедиться заменой переменной t = t-t в выражении (6.1.1):

    Bs(t) = s(t-t) s(t) dt = Bs(-t).

    Максимум АКФ, равный энергии сигнала при t=0, всегда положителен, а модуль АКФ при любом значении временного сдвига не превосходит энергии сигнала. Последнее прямо вытекает из свойств скалярного произведения (как и неравенство Коши-Буняковского):

    cos j(t) = 1 при t = 0, ás(t), s(t+t)ñ = ||s(t)||×||s(t)|| = Es,

    Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода при изучении характеристик систем.

    6.3. Спектральные плотности корреляционных функций .

    Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений.

    В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного произведения сигнала и его копии, сдвинутой на интервал t, при -¥

    Ограничения, накладываемые на вид автокорреляционной функции сигнала

    Конспект лекции: Корреляция, автокорреляция, взаимная корреляция. Свойства автокорреляционной и взаимной корреляционной функции

    Корреляция – математическая операция, схожа со свёрткой, позволяет получить из двух сигналов третий. Бывает: автокорреляция (автокорреляционная функция), взаимная корреляция (взаимнокорреляционная функция, кросскорреляционная функция). Пример:

    [Взаимная корреляционная функция]

    Корреляция — это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне шумов, ещё называют оптимальной фильтрацией. Хотя корреляция очень похожа на свёртку, но вычисляются они по-разному. Области применения их также различные (c(t)=a(t)*b(t) — свертка двух функций, d(t)=a(t)*b(-t) — взаимная корреляция).

    Корреляция – это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Автокорреляция (автокорреляционная функция) характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимнокорреляционная функция характеризует степень связи между 2-мя разными сигналами.

    Свойства автокорреляционной функции:

    • 1) R(τ)=R(-τ). Функция R(τ) – является чётной.
    • 2) Если х(t) – синусоидальная функция времени, то её автокорреляционная функция – косинусоидальная той же частоты. Информация о начальной фазе теряется. Если x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
    • 3) Функция автокорреляции и спектра мощности связаны преобразованием Фурье.
    • 4) Если х(t) – любая периодическая функция, то R(τ) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и от синусоидально изменяющейся составляющей.
    • 5) Функция R(τ) не несёт никакой информации о начальных фазах гармонических составляющих сигнала.
    • 6) Для случайной функции времени R(τ) быстро уменьшается с увеличением τ. Интервал времени, после которого R(τ) становится равным 0 называется интервалом автокорреляции.
    • 7) Заданной x(t) соответствует вполне определённое R(τ), но для одной и той же R(τ) могут соответствовать различные функции x(t)

    Исходный сигнал с шумами:

    Автокорреляционная функция исходного сигнала:

    Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ):

    • 1) ВКФ не является ни чётной ни нечётной функ¬цией, т.е. Rху(τ) не равно Rху(-τ).
    • 2) ВКФ остаётся неизменной при перемене чередования функций и изменений знака аргумента, т.е. Rху(τ)=Rху(-τ).
    • 3) Если случайные функции x(t) и y(t) не содержат постоянных составляющих и создаются независимыми источниками, то для них Rху(τ) стремится к 0. Такие функции называются некоррелированными.

    Исходный сигнал с шумами:

    Меандр той же частоты:

    Корреляция исходного сигнала и меандра:

    Внимание! Каждый электронный конспект лекций является интеллектуальной собственностью своего автора и опубликован на сайте исключительно в ознакомительных целях.

    Каждый электрик должен знать:  Подключение трехфазного реле напряжения через контактор
    Добавить комментарий