Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису


Ортогональные сигналы для чайников. Ортогональные сигналы. Скалярное произведение сигналов

Увеличение числа уплотняемых каналов без увеличения числа физических линий возможно путём наделения сигналов особыми индивидуальными признаками, которые бы приводили к различению уплотняемых каналов с целью их дальнейшего разделения. Такими признаками в обще случае могут быть параметры переносчиков сигналов: амплитуда, частота, фаза в случае непрерывной модуляции, временное положение, длительность или форма импульсов при дискретной модуляции.

Пусть необходимо организовать одновременную и независимую работу индивидуальных каналов по общему групповому тракту. Предположим, что каждый канал есть результат я балансной амплитудной или узкополосной угловой модуляции первичного сигнала, линеаризованная модель которых в упрощённой форме имеет вид

где
соответственно первичный сигнал и функция переносчика -го канала,
.

Будем также полагать, что сумма верхних границ эффективно передаваемых участков спектра первичных сигналов намного меньше частоты канальных переносчиков, т.е.

Сигнал группового
тракта в соответствии с формулами (6.5) и (6.2) равен

Функцию модели группового сигнала можно увязать с фильтрующими свойствами дельта-функции (см. также формулу (4.9) третьей главы), а именно

где
дельта-функция;
-ый дискретный отсчёт сигнала
;
время дискретизации.

Согласно (6.7) подставим в (6.8) значения канальных сигналов
, взятые в отсчётные моменты времени
,

Если считать, что в канале передачи отсутствуют искажения и помехи, то оценка группового сигнала
(см. рисунок 6.1) равна сигналу
.

На приёмной стороне системы будем наблюдать за сигналом
в течение короткого промежутка времени , также для удобства возьмём
. Так как интервал относительно короткий, то согласно (6.6) изменение сигналов
,
будет обусловлено действием только одних переносчиков, а не первичных сигналов. Тогда можно положить, что значения первичного сигнала являются константами для выбранного промежутка времени наблюдения , т.е.

Нетрудно видеть, что условие (6.9) будет выполняться, если будут соблюдаться система равенств по отдельным отсчётам группового сигнала:

Система (6.11) получена с учётом (6.10).

Выражение (6.11) может быть переписано в компактной матричной форме. Введем в рассмотрение вспомогательный вектор отсчётов группового сигнала, вектор первичных сигналов и матрицу переносчиков
:

С учётом введенных обозначений система (6.11) будет описываться так

Так как передача группового сигнала происходит без искажения, то выделение первичных сигналов осуществляется по данным отсчётов группового сигнала. При этом признаки канальных сигналов определяются матрицей переносчиков
, которая должна быть «известной» для аппаратуры разделения каналов в приёмной части многоканальной системы. Другими словами, задача разделения каналов сводится к определению вектора отсчётных значений первичных сигналов при условии, что известными являются вектор наблюдения группового сигнала и матрица переносчиков
. Следовательно, чтобы определить вектор надо решить систему линейных уравнений (6.12). Решение (6.12) можно записать в виде

где
матрица обратная
;
единичная матрица размерности
. Как видно из (6.13), решение системы линейных уравнений (6.12) связано с обращением квадратной матрицы переносчиков
.

Из курса линейной алгебры известно, что обращение квадратной матрицы связано с вычислением её определителя. Обозначим определитель матрицы
как
. Также из теории решения линейных уравнений известно, что единственность (однозначность) решения (6.13) возможно, если

Ненулевое значение определителя (6.14) возможно тогда и только тогда, когда столбцы (и строки) матрицы
линейно независимы. Условие линейной независимости столбцов формулируется так: взвешенная сумма столбцов матрицы
равна нулевому вектору, т.е.

только тогда, когда числа . Если найдётся хотя бы одно число
, то определитель (6.14) будет равен нулю и система (6.12) не будет иметь единственного и однозначного решения , что говорит невозможности разделения каналов на приёмной стороне многоканальной системы.

Каждый столбец представлен в (6.15) отсчётами переносчиков -го канала. Следовательно, первое условие построения многоканальных систем связи заключается в обеспечениилинейной независимости переносчиков канальных сигналов.

Переносчики сигналов могут быть представлены непрерывными функциями времени
(
). В общем случае условие линейной независимости переносчиков канальных сигналов записывается в виде

только когда для некоторого временного интервала
, в течение которого осуществляется многоканальная передача сигналов.

Например, гармонические переносчики вида
(
) являются линейно независимыми, если будут иметь разные частоты для каждого канала. В противном случае они будут линейно зависимыми, даже, если будут характеризоваться разными значениями амплитуд .

Как видно из формулы (6.13) для того, чтобы восстановить вектор первичного сигнала необходимо произвести обращение матрицы
, что является достаточно трудоёмкой операцией, которая усложняется при увеличении
количества каналов.

Решение уравнения (6.12) существенно упрощается, если матрица E является ортогональной, т.е. её обратная матрица равняется транспонированной матрице

Выпишем подробнее произведение матриц
и приравняем его единичной матрице:

Из последнего равенства нетрудно установить новое свойство переносчиков: сумма произведения дискретных отсчётов «одноимённых» (с одним и тем же индексом одним и тем же номером канала
) переносчиков не равна нулю, а «разноимённых» (для разных индексов разных каналов
) равна нулю, т.е.

Свойство (6.17) определяет ортогональность переносчиков «разноимённых» канальных сигналов.

По существу левая часть выражения (6.17) в
-мерном пространстве Евклида есть скалярное произведение векторови, т.е.

где
индекс транспонирования. Скалярное произведение отражает проекцию векторов друг на друга. Так, если
векторы и ортогональны, то их взаимная проекция равна нулю. Если
, то сумма (6.17) и (6.18) равна квадрату длины (нормы) вектора .

Следует заметить, что если переносчики сигналов ортогональны, то решение линейной системы уравнений (6.12) резко упрощается

В общем случае, при
пространство Евклида переходит в бесконечномерное пространство Гильберта. В этом случае скалярное произведение отсчётов (6.17) заменяется скалярным произведением непрерывных функций переносчиков. Для вещественных функций переносчиков
и
принцип ортогональности на конечном временном интервале наблюдения
примет вид

Для бесконечного интервала наблюдения
ортогональность непрерывных переносчиков будет иметь вид

где
некоторая весовая функция (смысл её поясняется ниже).

Представленные основы теории линейного разделения каналов были построены без учёта действия помех и искажений в каналах передачи. В этих условиях построение многоканальных систем может осуществляться без особой разницы, как из условия линейной независимости, так и условия ортогональности канальных переносчиков . Однако при наличии в каналах помех предпочтение отдаётся многоканальным системам с ортогональными переносчиками, позволяющими повысить помехоустойчивость передаваемых сигналов.

Спектральное представление сигналов. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством: ,

s (t) = s (t ± пТ), п = 1, 2, . (3.8).

Здесь T-период сигнала.

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис.

Любая функция um из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (3.8). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s (t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты C m =(s,u m), получим спектральное разложение

, (3.9) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида (3.9) называется рядом Фурье.

Двасигнала и и v называются ортогональными , если их ска­лярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u,v)= . (3.1)

Пусть H- гильбертово пространство сигналов с конеч­ным к значением энергии (линейное пространство со скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре­дельные точки любых сходящихся последовательностей век­торов из этого пространства). Эти сигналы определены на отрезке времени , конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ­ций , ортогональных друг другу и обла­дающих единичными нормами:(ui,uj) = 1, если i=j (3.2)

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис .

Разложим произвольный сигнал s(t) H в ряд:

s(t)= (3.3) Представление (3.3) называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию и k произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (3.3) и затем про­интегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равен­ства (3.4) останется только член суммы с номером i = k, поэтому (3.5)

Прежде чем рассматривать общий случай когерентного приема, полезно и поучительно остановиться на частном слуяае ортогональных сигналов. Если при всех , получается существенное упрощение выражения для вероятности ошибки, так как в этом случае корреляционная матрица превращается в единичную (8.8) и переходит в следующее соотношение:

Заметим, что формула (8.9) представляет и общую вероятность ошибки, так как представляет просто переменную интегрирования и, следовательно, не зависит от переданного сигнала.

В § 8.1 были рассмотрены два примера ортогональных сигналов, соответствующих дискретной фазово-импульсной модуляции и дискретной частотной функции. Предположим, что время передачи сигнала равно Т, а мощность сигнала S. Тогда энергия сигнала

Каждый сигнал передает символов сообщения. Так как по предположению все символы независимы и с равной вероятностью могут быть нулями и единицами, то безошибочному приему сигнала соответствует прием k бит информации. Следовательно, скорость передачи информации,

которую обозначим R, равна

С помощью (8.10) и (8.11) можно выразить основной параметр через отношение сигнал/шум , скорость передачи R и число сигналов М:

При сравнении качества двух систем связи с различным числом передаваемых сигналов разумно предполагать одинаковые значения отношения и R и не одинаковые значения отношения . На рис. 8.3 показана зависимость вероятности ошибки от при . Кривые были построены на основании результатов численного интегрирования (8.9) с помощью вычислительной машины IBM 704 .

Вероятность ошибки представляет вероятность неправильного приема последовательности из k бит, т. е. вероятность того, что появится ошибка в одной или нескольких битах из последовательности k бит. Сравним эти соотношения с соотношениями для когерентной двоичной системы связи, рассмотренной в § 7.1. Предположим, что с помощью такой системы были переданы k последовательных бит. Было показано, что вероятность ошибки при приеме любого одного бита равна , где Е — энергия сигнала и — скалярное произведение сигнала . Так как передается только один бит, то . Для того чтобы минимизировать ошибку, необходимо применить противоположные сигналы, так что . Наконец, вероятность правильного приема k последовательных бит равна k-й степени вероятности правильного приема одного бита. Следовательно, вероятность ошибки в одном или нескольких последовательных битах из переданных k бит при применении двоичной когерентной системы связи и использовании противоположных сигналов равна

Рис. 8.3. Вероятность ошибки для ортогональных сигналов (k = 1, 2. 10, 15, 20).

Этот случай назовем некодированной передачей. На рис. 8.4 и 8.5 показаны для сравнения вероятности ошибок при некодированной передаче и при кодированной передаче с ортогональными сигналами для k = 5 и 10, вычисленные согласно (8.13) и (8.9) соответственно. Из рисунков видно, что при фиксированных значениях необходимая мощность сигнала уменьшается почти в два раза при и почти в четыре раза при . Другими словами, при фиксированных значениях и применение кодирования дает возможность приблизительно удвоить скорость передачи данных при и учетверить ее при k = 10.

Вероятность ошибочного приема последовательности можно принять за меру качества, например, в случае передачи сообщений, состоящих из k бит и соответствующих символам телетайпа или квантованным выборочным данным. С другой стороны, если передается последовательность независимых бит то нужно определить вероятность ошибочной передачи определенного бита. Если при ортогональных сигналах произошла ошибка, то может быть выбрано с одинаковой вероятностью решение о неправильности любого из сигналов. Это следует из того, что скалярные произведения всех пар сигналов равны (в рассматриваемом случае равны нулю). Таким образом, если произошла ошибка, то вероятность того, что искажены i из k бит, равна Следовательно, среднее число искаженных бит равно

1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов

Продемонстрируем вначале возможность построения простейших множеств ортогональных сигналов за счет дробления доступного частотно-временного ресурса.

1.5.1. Кодирование временным сдвигом

Этот достаточно тривиальный способ кодирования означает, что каждый из сигналов сдвинут по времени относительно предшествующего на интервал, равный индивидуальной длительности сигнала . Очевидно, что не перекрывающиеся во временной области сигналы являются ортогональными (см. рисунок):

Для каждого индивидуального сигнала частотно-временное произведение , так что данные сигналы относятся к разряду простых. Недостатки ее, однако, также довольно очевидны и должны соответствующим образом учитываться. Во-первых, необходима точная синхронизация, поскольку флюктуации временного положения сигналов потенциально способны вызвать перекрытие последних, нарушающее их ортогональность. Другим недостатком этого простейшего ортогонального кодирования является то, что для сохранения требуемой энергии каждого сигнала необходимо обеспечить высокую пиковую мощность. Чем выше единицы значение пик-фактора (отношения пиковой мощности к средней), тем более жесткие требования предъявляются к линейности усилителя и, как итог, хуже его энергетические показатели. Для временного кодирования при .

1.5.2. Кодирование частотным сдвигом

Другим прямым способом реализации ортогональности служит кодирование частотным сдвигом . На основании дуальности времени и частоты или теоремы Парсеваля скалярные произведения сигналов и их спектров совпадают:

что позволяет механически перенести только что обсужденную схему в частотную область (см. рисунок).

При полном перекрытии сигналов во времени каждый из них занимает полосу не менее . Понятно, что каждый индивидуальный сигнал опять не является сигналом с распределенным спектром, поскольку его частотно-временное произведение , и значит, любая система со сколь угодно большим числом ортогональных сигналов подобного сорта, конечно, не является системой с распределенным спектром.

В отличие от кодирования временным сдвигом пик-фактор ортогональных сигналов данного вида и ошибки в синхронизации не играют столь критической роли, так как ортогональность достигается отсутствием перекрытия в частотной области. Вместо этого деструктивным в некоторых случаях может оказаться дрейф спектра (к примеру, вследствие эффекта Доплера). Тем не менее данный способ передачи чрезвычайно популярен и примером его непосредственного воплощения служит традиционная -ичная частотная манипуляция.

1.5.3. Ортогональное кодирование широкополосными сигналами

Двум ранее рассмотренным методам ортогональной передачи присуще дробление общего частотно-временного ресурса. Первый из них предполагает выделение некоторой части общего временного пространства каждому сигналу, тогда как частотная область совместно используется всеми сигналами. При втором же способе роли временного и частотного пространства меняются местами. Распределение выделенного ресурса при временном и частотном кодировании иллюстрирует ниже приведенный рисунок.

Альтернативой этим простейшим способам кодирования может служить метод, в котором любой сигнал занимает все доступное частотно–временное пространство: , , вследствие чего все сигналы являются широкополосными, поскольку

В этих условиях все сигналы совместно используют общий частотно-временной ресурс без распределения или дробления последнего (см. рисунок, на котором третья ось используется для нумерации сигналов).

Рассмотрим простой пример воплощения подобной идеи в форме дискретных БФМ сигналов. Образуем каждый из сигналов как последовательность следующих друг за другом элементарных импульсов или чипов прямоугольной формы и длительности с изменяющейся полярностью. Предположим использование таких законов чередования полярности чипов, что все сигналы оказываются ортогональными, как это имеет место в примере для M =4 на рисунке слева.

При нахождение законов чередования полярностей, обеспечивающих ортогональность сигналов, эквивалентно нахождению матрицы Адамара. Последняя является матрицей порядка M , состоящей только из элементов и обладающей ортогональными строками. Примеры матриц Адамара порядка два и четыре представлены ниже:

Достаточно мощным способом конструирования матриц Адамара служит рекуррентный алгоритм Сильвестра, позволяющий построить матрицу порядка , если уже была найдена матрица порядка :

Не трудно заметить, что, начиная алгоритм Сильвестра с простейшей матрицы , можно построить матрицы порядка , строками которых являются функции Уолша.

Ортогональные сигналы подобного типа лишены недостатков присущих сигналам, ортогональность которых обеспечивается временным или частотным кодированием. Они характеризуются пик-фактором, равным единице, и не требуют параллельных полосовых фильтров в приемнике. Относясь к широкополосным сигналам, они обладают всеми достоинствами широкополосной философии, которые будут рассмотрены позднее. Вследствие этого в настоящее время они находят широкое применение. Так следует упомянуть CDMA систему мобильного телефона 2-го поколения стандарта IS-95 (cdmaOne), в которой используются M =64 функции Уолша как в прямом (для образования каналов), так и в обратном (для рассмотренной выше 64-ичной передачи) каналах. В стандартах мобильной связи 3-го поколения WCDMA и cdma2000 планируется использовать значительно большее число (вплоть до 512) ортогональных сигналов на основе матриц Адамара.

Можно дать следующее резюме к содержанию параграфов 1.3-1.5. Как можно видеть, теоретически классическая задача -ичной передачи не ориентирует на безоговорочное использование технологии расширения спектра и, в принципе, оптимальный -ичный ансамбль можно составить из простых сигналов. С другой стороны, существуют стимулы реализационного порядка, подкрепленные стремлением к утилизации преимуществ расширенного спектра вне классической постановки задачи приема. Поскольку такая возможность потенциально присутствует всякий раз, когда полный частотно-временной ресурс принципиально необходим, предпочтение разработчиком широкополосных сигналов простым в подобных обстоятельствах может оказаться вполне оправданным.

При исследовании некогерентного приема нам понадобятся такие понятия, как огибающая сигнала, его мгновенная фаза и мгновенная частота. Эти понятия довольно широко применяются в инженерной практике, но не всегда понимаются однозначно. В этом параграфе даются определения, которые будут использованы в этой и последующих главах. Хотя такие определения и не являются наиболее общими, они удобны для принятой здесь математической модели сигнала и помехи и достаточны для решения поставленных задач.

Пусть элемент сигнала , заданный на интервале , может быть представлен на этом интервале рядом (3.2):

Предположим, что все гармонические составляющие этого сигнала сдвинулись по фазе на некоторую величину . В результате получится сигнал

называют сопряженным с рядом . Он получается из поворотом фаз его составляющих на .

Выражение (4.4) можно записать в комплексной форме:

назовем финитным аналитическим сигналом . Запишем аналитический сигнал в экспоненциальной форме:

Мгновенная фаза сигнала.

Производную по времени от мгновенной фазы называют мгновенной круговой частотой :

Легко видеть, что

Таким образом, все реализации сигнала , отличающиеся только сдвигом фазы составляющих ряда Фурье, имеют одинаковую огибающую и одинаковые мгновенные частоты, а их мгновенные фазы отличаются на .

Заметим, что приведенные определения огибающей и мгновенной частоты применимы к любому сигналу, выражаемому рядом (3.2), а не только к относительно узкополосным сигналам. Тем не менее представлением (4.12) особенно удобно пользоваться для узкополосных сигналов, так как в этом случае огибающая и мгновенная частота оказываются медленно меняющимися функциями времени, по сравнению с высокочастотным заполнением сигнала . Если — произвольно выбранная круговая частота в пределах той полосы частот, в которой сосредоточена основная часть мощности узкополосного сигнала, то функция также оказывается медленно меняющейся. При этом вместо (4.12) часто применяют такую запись:

Каждый электрик должен знать:  Как подключить три лампы от одного выключателя и одну лампу от другого

Операцию преобразования функции в ее огибающую или в мгновенную частоту называют идеальным амплитудным или соответственно частотным детектированием. Для элемента сигнала, заданного на интервале эти операции физически реализуемы, если допустимо запаздывание на время, большее . Действительно, зная функцию на всем этом интервале, можно определить ее коэффициенты Фурье (см. рис. 3.1) и построить сопряженную функцию а затем воспроизвести (например, на вычислительной машине) и пo формулам (4.9) и (4.11). Реальный «линейный» амплитудный детектор выделяет огибающую поданного на него сигнала (или некоторую монотонную функцию от ) при условии, что его нагрузка является безынерционной для огибающей и полностью инерционной для высокочастотного заполнения сигнала . Очевидно, что эти условия противоречивы и могут быть выполнены лишь приближенно, с тем большей точностью, чем меньше отношение эффективной ширины спектра сигнала к его средней частоте. Аналогичное утверждение справедливо и для обычных частотных детекторов.

В дальнейшем будем рассматривать только сигналы с конечной базой, т. е. верхний предел суммирования в (3.2) и (4.5) будем считать сколь угодно большим, но конечным числом .

Сопряженные сигналы и ортогональны на интервале , т. е.

В этом легко убедиться, подставив в этот интеграл (3.2) и (4.5) и произведя почленное интегрирование:

Если два сигнала и взаимно ортогональны, то и сопряженные с ними сигналы и также ортогональны между собой. Для доказательства этого достаточно, представив сигналы соответствующими тригонометрическими полиномами, перемножить их и произвести интегрирование, в результате которого получим

Система сигналов называется ортогональной в усиленном смысле, если условия (4.18) выполняются для любой пары сигналов.

Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису

Подойдем теперь к описанию ансамбля сигналов с иной точки зрения, обращая внимание на соотношения между входящими в ансамбль сигналами. Начнем с самого простого примера. Пусть ансамбль состоит из сигналов, заданных на интервале времени (О, Т) и имеющих вид A sin(ktω + (D) , где ω = 2π/T, k — постоянное целое число, А — может принимать любые неотрицательные значения, а Φ — любые значения на интервале (0, 2π). Эти сигналы представляют собой синусоиды одной и той же частоты, но с разными амплитудами и начальными фазами, причем на интервале времени длительностью Т укладывается целое число периодов.

Будем изображать каждый из этих сигналов вектором на плоскости с прямоугольными координатами XY, начинающимся в начале координат, имеющим длину l, пропорциональную А и направленным под углом Φ относительно оси X. Очевидно, что каждому сигналу из ансамбля соответствует Y определенный вектор, а каждому вектору — определенный сигнал.

Проекции вектора на оси X и Y равны, соответственно, A cos Φ и A sin Φ.

Легко убедиться, что сумме двух сигналов ансамбля a1 sin(ktω + φ1) + а2 sin(ktω + φ2) соответствует сумма двух векторов s1 + s2, соответствующих суммируемым сигналам. Для этого достаточно представить эту сумму в виде a1sin φ1×sin ktω+a1sin φ1cos ktω+a2cos φ2sin ktω+a2sin φ2cos ktω=(a1sin φ1 + a2sin φ2)cos ktω+(a1cosφ1+a2cos φ2)sin ktω.

Рис. 2.14. Сумма двух векторов расстояние d между ними

Как видно из рис. 2.14, сумма векторов s1 и s2 имеет проекцию на ось X l1cos φ1 + l2cos φ2, а на ось Y — l1sin φ1 + l2sin φ2 и, следовательно, соответствует сумме сигналов.

Если для длины векторов выбрать масштаб √T/2, то квадрат длины вектора равен энергии сигнала:

Расстоянием между векторами будем называть расстояние d между их концами. Как известно из тригонометрии, d 2 = l 2 1 + l 2 2-2l1l2×cos (φ21) = l 2 1 + l 2 2-2(s1, s2). Здесь (s1, s2) = l1l2cos(φ21) — скалярное произведение векторов s1 и s 2. Таким образом, с увеличением скалярного произведения векторов расстояние между ними уменьшается. Покажем, что при принятом масштабе скалярное произведение совпадает с интегралом от произведения сигналов:

Помеха, добавляющаяся к сигналу, смещает конец соответствующего ему вектора. Поэтому, чем меньше расстояние между двумя векторами, тем вероятнее, что помеха приведет к невозможности уверенно отличить один сигнал от другого, что является причиной ошибочного приема переданного сигнала. Таким образом, векторное представление сигналов помогает изучать вопросы помехоустойчивости системы связи.

Распространим теперь векторное представление на более сложные ансамбли сигналов. Для начала добавим к данному ансамблю сигналы вида Bsin ntω (где n≠k — целое число; В принимает любое действительное значение), а также всевозможные суммы вида A sin(ktω + Φ) + В sin ntω. Такой расширенный ансамбль уже нельзя представить векторами на плоскости. Однако его легко изобразить векторами в трехмерном пространстве с проекциями √T/2 A cos Φ на ось Х, √T/2 A sin Φ на ось Y и √T/2 В на ось Z. Легко убедиться, что квадрат длины вектора по-прежнему равен энергии сигнала, и все, что было сказано о расстояниях и скалярных произведениях, остается в силе. В частности, векторы, изображающие сигнал В sin ntω и любой из сигналов A sin(ktω + Φ), ортогональны, т. е. их скалярное произведение равно нулю, что соответствует известному факту: при n≠k и ω = 2π/Т


Расширим ансамбль, введя дополнительно сигналы вида В cos ntω и всевозможные их суммы, что даст в результате общий вид сигнала A sin(ktω + Φ) + В sin(ntω + Ψ).

Для того чтобы представить такие сигналы векторами, понадобятся уже проекции на четыре взаимно перпендикулярные оси: √Т/2A cos Φ, √T/2 A sin Φ, √T/2 B cos Ψ и √T/2B sin Ψ. Другими словами, такие сигналы можно представить векторами в четырехмерном пространстве. Хотя физическое пространство, в котором мы живем, трехмерное, в математике уже давно изучены пространства с любым конечным и даже бесконечным числом измерений и получены все их основные свойства. Такие абстрактные пространства изучаются в функциональном анализе и помогают разобраться в поведении различных множеств функций. Это позволяет практически все сигналы, как дискретные, так и непрерывные, представлять в виде векторов. Поэтому для изучения теории передачи сигналов необходимо иметь общее представление об основах функционального анализа, к изложению которых мы и приступаем.

В функциональном анализе множество любых элементов х, y. называется линейным (или векторным) пространством, если юно удовлетворяет следующим условиям:

1. Для любых двух элементов хну однозначно определен третий элемент х+y, называемый их суммой и также входящий в данное пространство, причем х + y = y + х; x + (y + z) = (х + y) + z.

2. В линейном пространстве существует нулевой элемент, обозначенный 0, такой, что х + 0= х для всех х.

3. Для каждого элемента х линейного пространства существует противоположный ему элемент (-х), такой, что х + (-x)=0.

4. Любой элемент пространства можно умножить на любое число из некоторого множества <α>, называемого множеством скаляров * причем ах также принадлежат данному пространству, и выполняются следующие соотношения: 1х = х, (α + β)x = αx + βx, α(х + y) = αх + αy, α(βх) = (αβ)х.

* ( Множество <α>должно быть полем, т. е. на нем должны быть определены операции сложения и умножения с коммутативными и дистрибутивными свойствами и оно должно содержать нуль и единицу. Примерами полей являются множества всех целых чисел, всех действительных чисел, всех комплексных чисел и др. Существуют и конечные поля (см. ниже). )

Примерами линейных пространств могут служить:

множество векторов на плоскости с обычным определением векторного сложения и умножения вектора на число;

множество всех действительных (или всех комплексных) чисел с обычными определениями сложения и умножения;

множество упорядоченных последовательностей из n действительных чисел <а1, a2. an>, если определить сумму и умножение на скаляр следующим образом:

Во всех приведенных примерах скалярами могут быть любые действительные числа. При другом выборе поля скаляров можно построить, например, такие линейные пространства:

множество всех целых положительных и отрицательных чисел (включая нуль), если поле скаляров содержит тоже только целые числа;

множество, состоящее всего лишь из двух чисел, 0 и 1, если сложение производится по модулю 2, т. е. по правилу

а скалярами являются также только 0 и 1;

множество упорядоченных последовательностей из n чисел, принимающих значения 0 и 1, при таких же скалярах, причем сложение и умножение производятся поразрядно, т. е. по (2.88), а каждые два числа складываются по модулю 2, т. е. по (2.89). Заметим, что в последних двух пространствах -х = х.

Очевидно, что множества, приведенные в последних двух примерах, не представляли бы линейного пространства, если бы сложение определялось не по модулю 2, а обычным образом, так как не выполнялось бы условие 1. Точно так же не являлось бы линейным пространством (при обычном определении сложения) множество всех положителыных чисел (не выполняются условия 2 и 3) или множество всех действительных (либо комплексных) чисел, не превосходящих по модулю некоторого числа М (не выполняется условие 1).

Особый интерес представляют функциональные пространства, т. е. линейные пространства, элементами которых являются функции. Примером может служить множество всех непрерывных комплекснозначных функций ẋ(t), заданных на интервале — T/2≤t≤Т/2, если скаляры принадлежат полю комплексных чисел.

Элементы любого линейного пространства называются векторами, их можно рассматривать как обобщение понятия обычных векторов на плоскости или в трехмерном пространстве. Многие свойства обычных векторов переносятся на элементы различных линейных пространств. В частности, ниже будут определены «длина» вектора (которую будем называть нормой), угол между двумя векторами, расстояние между векторами и скалярное произведение двух векторов.

Для теории передачи сигналов важным является то обстоятельство, что практически все сигналы (дискретные и непрерывные) и все аддитивные помехи можно рассматривать как векторы в некотором пространстве. Это позволит получить сравнительно просто и наглядно многие важные результаты.

Определим размерность векторного пространства. Особенностью обычных векторов на плоскости (двумерном пространстве) является то, что любой вектор z можно выразить в виде линейной комбинации любых двух непараллельных между собой векторов х и у: z = α1x + α2y. Для трехмерного пространства это не имеет места, однако любой вектор можно выразить линейной комбинацией трех не лежащих в одной плоскости и не параллельных векторов.

Другими словами, в двумерном пространстве три вектора, а в трехмерном пространстве четыре вектора всегда линейно-зависимы. Распространим это понятие на любое линейное пространство.

Элементы х1, х2. xk линейного пространства называются линейно-зависимыми, если существуют скаляры α1, α2. αk, не все равные нулю, такие, что

Очевидно, что в этом случае любой из этих элементов можно выразить линейной комбинацией остальных элементов. Этого нельзя сделать, если (2.90) выполняется только при α1 = α2 = . = αk = 0. В последнем случае элементы х1 . xk линейно-независимы.

Линейное пространство, в котором можно найти n линейно-независимых элементов, а любые n + 1 элементов линейно-зависимы, называется n-мерным. Если же можно найти произвольное число линейно-независимых элементов, то пространство называется бесконечномерным.

Базисом в n-мерном пространстве называется любая система из п линейно-независимых векторов.

Во многих линейных пространствах можно ввести понятие скалярного произведения двух элементов х и y, которое обозначается (х, y). Скалярным произведением называется число (в некоторых пространствах комплексное), удовлетворяющее следующим условиям:

а) (х, y) = (y, х)* (где * означает комплексную сопряженность);

б) (х, х)≥0, т. е. скалярное произведение вектора на самого себя всегда является действительным неотрицательным числом;

в) (х, х)=0 только тогда, когда х = 0;

Из условий а) и г) следует, что

Конечномерное пространство со скалярным произведением называется евклидовым.

Нормой вектора х называется неотрицательное число, обозначаемое ||х|| и равное арифметическому значению √(х, х). Из условия в) следует, что ||х|| = 0 только для нулевого вектора. Из условия г) вытекает важное свойство нормы: ||αх||= |α| × ||х||. В частности, при α = — 1 отсюда следует ||-х|| = ||х||. Для обычных векторов нормой, как легко убедиться, является длина.

Расстоянием между векторами х и y, которое обозначается d(x; y), называют норму разности этих векторов:

Очевидно, что d(y, х) = ||y-х|| = ||-(х-y)|| = ||х-y|| = d(x; у).

Важную роль в математике играет неравенство Коши — Буняковского — Шварца, справедливое для всех линейных пространств:

Для его доказательства рассмотрим квадрат нормы элемента αх + y, который, разумеется, неотрицателен:

Раскрывая скалярное произведение с помощью (2.91), найдем

при всех значениях α. Положим α = -(х, y)*/(х, х) и подставим это значение в (2.94):

откуда непосредственно следует (2.93). Заметим, что в (2.93) имеет место равенство, если y = βх, где β — любой скаляр.

Из неравенства (2.93) вытекают важные свойства нормы и расстояния:

Доказательство этих неравенств предоставляем читателю. В применении к обычным векторам на плоскости оба эти неравенства характеризуют известный из элементарной геометрии факт — длина стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон. Поэтому их часто называют «соотношением треугольника».

В пространстве обычных векторов на плоскости скалярное произведение определяется, как известно, следующим образом:

где φ — угол между векторами. Нетрудно убедиться, что при этом выполняются условия (2.91).

По аналогии с этим определим угол φ между элементами х и y любого евклидова пространства как

Это определение корректно, так как из неравенства (2.93) следует, что |cos φ| ≤ 1.

В частности, если (х, y) = 0, то φ = ±π/2 и элементы пространства х и у называются ортогональными.

Подмножество векторов <хk> в евклидовом пространстве называется ортогональной системой, если (хk, xl)=0 при k≠l.

Элементы ортогональной системы линейно-независимы. Действительно, если в (2.90) все хi взаимно ортогональны, то, умножая обе части уравнения скалярно на х1 найдем, что α1 = 0. Так как то же самое можно получить для всех αi, то из этого следует линейная независимость ортогональных векторов. В любом n-мерном пространстве можно построить полный ортогональный базис, т. е. систему из n ортогональных векторов.

Ортогональный базис, удовлетворяющий условию

называется ортонормированным. Очевидно, что по любому ортогональному базису <хk> можно построить ортонормированный, заменив все xk на хk/||хk||.

Ортогональный базис в линейном пространстве определяет некоторую систему декартовых координат. Каждый вектор можно представить проекциями на эти координатные оси. Такое представление является разложением вектора по данному ортогональному базису.

Пусть <φk> — полный ортогональный базис, а х — некоторый вектор в данном пространстве. Определим числа ck следующим образом:

и построим ряд kΣ ckφk В случае конечномерного пространства этот ряд вырождается в конечную сумму. Имеет место равенство

называемое разложением вектора х по базису <φk>. В случае конечномерного пространства это равенство понимается в обычном смысле, в случае же бесконечномерного пространства — в смысле сходимости по норме, т. е.

Ряд (2.98) называют обобщенным рядом Фурье, а числа ck — коэффициентами Фурье по данному базису.

Докажем равенство (2.98) для конечномерного пространства. Предположим, что оно неверно. Тогда вектор

Умножим его скалярно на любой вектор φi из данного ортогонального базиса. Учитывая (2.97), получим

и так как по предположению y — ненулевой вектор, то он ортогонален всем векторам базиса, что противоречит полноте базиса. Это противоречие и доказывает (2.98). Аналогичное доказательство можно провести и для бесконечномерного базиса, но потребуются более тонкие аргументы для доказательства сходимости ряда.

В случае ортонормированного базиса ||φk|| = 1. Тогда, умножив скалярно обе части равенства (2.98) на вектор х, найдем

называется равенством Парсеваля. Оно выполняется для любого вектора только при полном ортонормированном базисе.

Два векторных пространства х и у называются изоморфными, если между элементами х и у можно установить взаимно-однозначное соответствие и при этом выполнить следующие условия: если элементам xk и xl соответствуют элементы yk и yl, то элементу xk+xl соответствует yk + yl элементу αxk соответствует αyk и (хk, хl) = (yk, yl). Очевидно, что если пространство A изоморфно B ,а B изоморфно E, то и A изоморфно E.

Просто о сложном: OFDM-модуляция 38

Введение

Изучая теорию технологий беспроводных сетей доступа или сетей сотовой связи, неизбежно, так или иначе, можно столкнуться с такой аббревиатурой, как OFDM. Обратившись к википедии, мы обнаружим там следующее: «OFDM (англ. Orthogonal frequency-division multiplexing) — мультиплексирование с ортогональным частотным разделением каналов, является цифровой схемой модуляции, которая использует большое количество близко расположенных ортогональных поднесущих. Каждая поднесущая модулируется по обычной схеме модуляции (например, квадратурная амплитудная модуляция) на низкой символьной скорости, сохраняя общую скорость передачи данных, как и у обычных схем модуляции одной несущей в той же полосе пропускания. На практике сигналы OFDM получаются путём использования БПФ (быстрое преобразование Фурье)».

Думаю после прочтения данного объяснения для большинства читателей тема OFDM как была непонятной, так ей и осталась. Это неудивительно, поскольку при описании используются довольно нетривиальные и непростые термины. Рядовой читатель спросит, что это еще за ортогональное частотное разделение каналов? Тот, кто хотя бы частично знаком со спектральным анализом может удивиться, откуда здесь взялось быстрое преобразование Фурье?

В данной статье сделана попытка объяснить суть OFDM модуляции простым языком, так сказать «на пальцах» без сильного углубления в математический анализ и теорию цифровой обработки сигналов.

Краткая биография OFDM

Параллельная передача данных с частотным разделением была придумана еще в середине 60-х годов прошлого века и использовалась, как и большинство известных сегодня технологий, сначала только в военных системах. В те времена военные, используя OFDM, уже осуществляли параллельную передачу данных с использованием 34 поднесущих.

В 1980-х стали рассматривать применение OFDM в коммерческих системах: в первую очередь в высокоскоростных модемах и цифровых мобильных сетях. В 1990-х OFDM модуляцию стали использовать в цифровом радиовещании (DAB), в наземном телевещании, при передаче видео высокой четкости HDTV, а также в известных технологиях последней мили ADSL, HDSL.

Долгое время OFDM не находила весьма широкого распространения в других системах связи по причине сложной технической реализации. Решение задачи формирования OFDM сигнала аналоговыми методами весьма проблематично. Развитие вычислительных систем и методов цифровой обработки сигналов позволяет применять сегодня OFDM модуляцию в самых различных системах – от радио до проводных линий и даже волоконно-оптических.

В чем же смысл OFDM?

Несмотря на то, что метод дословно расшифровывается как мультиплексирование с ортогональным частотным разделением, его все-таки в первую очередь относят к методам цифровой модуляции. Дело в том, что метод OFDM использует одновременно и модуляцию и мультиплексирование, но мультиплексирование особенное. Обычное мультиплексирование подразумевает объединение различных сигналов от разных источников, здесь же происходит объединение составных частей одного и того же сигнала.

Каждый электрик должен знать:  Сравнение программируемых реле Logo Siemens и Zelio Logic Schneider Electric

Постараемся объяснить все на простом примере. Представьте, что нам надо передать из одного пункта в другой стеклянный витраж. Для этого в нашем распоряжении есть некоторый ресурс, допустим 4 тележки (в случае передачи информации в качестве ресурса можно было бы считать доступный для передачи диапазон частот).

В случае OFDM мы разбираем наш стеклянный витраж на некоторое определенное количество частей, для примера пусть их будет 4. Далее каждая тележка перевозит свою часть посылки (витража), при этом тележки катятся одновременно параллельно друг другу. Допустим на пути у нас встречается одна преграда в виде камня (в случае передачи информации – узкополосная помеха). Одна из тележек наезжает на камень, соответственно одна из частей посылки не доходит до пункта приема.

Однако большее количество частей витража все-таки было корректно получено, поэтому с помощью интуиции и волшебства (помехоустойчивого кодирования), есть шанс восстановить недостающую в результате падения одной тележки часть посылки.

Как бы все было, не применяя OFDM? При традиционном подходе для наискорейшей передачи всей посылки мы также задействуем все доступные ресурсы, но будем транспортировать витраж целиком на всех 4 тележках (используем высокоскоростной метод модуляции, занимающий всю полосу канала). Допустим, на пути у нас также встречается одна преграда в виде камня. В результате одна из тележек наезжает на камень, витраж падает и разбивается вдребезги.

Алгоритма, по которому в данном случае распался на части наш витраж, мы не знаем, поэтому собрать по кусочкам заново мы его не можем. Итог: целый витраж не доехал до пункта приема (потерян немалый объем данных, здесь даже помехоустойчивое кодирование нас не спасет). Таким образом, можно сказать, что один из основных девизов OFDM: «не надо класть все яйца в одну корзину».

Одной из особенностью OFDM является то, что все тележки могут двигаться параллельно практически вплотную и при этом не мешать друг другу. При передаче информации роль тележек выполняют поднесущие сигналы, т.е. множество несущих колебаний (если забыли, что это такое, почитайте в любом учебнике основы модуляции). Вспомним фильм Терминатор 2 и представим, что тележки сделаны из жидкого металла. В связи с этим даже если при движении пути тележек частично перекрываются, они не мешают друг другу, комфортно сосуществуют вместе и движутся дальше. Существует аналогичный эффект по отношению к передаче сигналов – ортогональность сигналов. Обычно для объяснения термина ортогональность сигналов приводят интегральное математическое выражение. Однако поскольку было дано обещание объяснять все на пальцах, можно просто уяснить следующее. Ортогональные сигналы обладают замечательным свойством – их взаимная энергия равна нулю. Ортогональность поднесущих позволяет на приёме выделить каждую из них из общего сигнала даже в случае частичного перекрытия их спектров. Поскольку поднесущие располагаются вплотную друг к другу и даже частично накладываются друг на друга (см. рис. 3) спектральная эффективность модулированного OFDM сигнала получается высокой.

Рис. 3 – Изображение поднесущих на частотной оси

Как видно из рисунка, каждая поднесущая представлена отдельным пиком. Обратите внимание, что в точке пика каждой поднесущей значение остальных поднесущих равно нулю. На оси времени каждой кривой соответствует свой модулированный сигнал. Сумма всех этих сигналов дает сложный по форме OFDM-сигнал.

Параметры поднесущих сигналов (например, синусойд) подбираются таким образом, чтобы они были по отношению друг к другу ортогональны. Для быстрой реализации данного действия с помощью вычислительных устройств используют алгоритм обратного быстрого преобразования Фурье (ОБПФ). То есть мы нарочно представляем, что значения сигнала перед блоком ОБПФ относятся к частотной области. Тогда на выходе блока ОБПФ мы получаем значения сигнала на временной оси. Объединяя все значения, мы получаем сложный составной OFDM сигнал.

Важно отметить, что в данной упрощенной схеме представлены не все блоки, имеющиеся в реальных системах с OFDM. Здесь для упрощения схемы не приведены блоки добавления защитных бит и циклического префикса, являющегося неотъемлемой частью технологии.

В виду того, что ОБПФ работает эффективно с массивами размерности 2^k, количество поднесущих выбирается аналогичной кратности. Например, в WiMAX число поднесущих выбирается от 128 до 2048 и может занимать полосы частот от 1,25 МГц до 20 МГц.

Для каждой из поднесущих используется свой формат модуляция в зависимости от требований и величины помех в канале.

На приемном конце все блоки приведенной выше схемы инвертируются (вместо ЦАП ставится АЦП, вместо обратного БПФ – прямое БПФ) и ставятся в обратном порядке.

В чем же заключается изюминка OFDM, что обусловило его популярность во всех современных системах связи?

Преимущества (добротные изюминки) OFDM:

  • способность противостоять сложным условиям в радиоканале, в первую очередь устранять межсимвольную интерференцию и бороться с узкополосными помехами (как в примере мы потеряли одну из тележек и в последующие моменты времени можем пока сменить данный путь с препятствием на другой);
  • высокая спектральная эффективность. Если число поднесущих приближается к бесконечности, OFDM системы показывают почти удвоенную спектральную эффективность в сравнении с традиционными системами с частотным разделением каналов.
  • адаптивность метода – возможность использования различных схем модуляции для разных поднесущих, что позволяет адаптироваться к условиям распространения сигнала и к различным требованиям к качеству принимаемого сигнала;
  • простая реализация методами цифровой обработки (стала простой с развитием мощности вычислительных устройств);
  • способность противостоять интерференции между поднесущими, что обуславливает хорошие показатели при многолучевом распространении.
  • требуется высокоточная синхронизация по времени и по частоте;
  • OFDM сигнал имеет относительно высокое значение пик-фактора, что приводит к чрезмерным энергетическим затратам;
  • использование защитных интервалов снижает спектральную эффективность метода;
  • метод чувствителен к эффекту Доплера, что накладывает дополнительные трудности при его применении в мобильных сетях.

Текущее применение OFDM. На сегодняшний день наиболее известно применение OFDM модуляции в беспроводных системах связи Wi-Fi, WiMax, LTE, в наземных системах цифрового телевидения DVB-T, в системах кабельного телевидения DVB-C, в технологии ADSL и это далеко не все примеры.

Важно отметить, что в данной статье рассмотрены только некоторые основные моменты OFDM. Если вы хотите разобраться в этой теме более серьезно, то стоит обратить внимание также на такие моменты как добавление циклического префикса для устранения помех и борьбы с замираниями, процедуры тактовой и фазовой синхронизации, использование пилотных поднесущих и др.

Разложение сигналов по системе базисных функций

Задача анализа реальных сигналов, которые обычно являются сложными по форме и аналитически часто не поддающимися описанию, заключается в том, чтобы эти сигналы в соответствии с методами линейной теории представить в виде совокупности простых элементарных сигналов, обладающих свойством ортогональности в виде, удобном для последующего математического анализа прохождения их через различные измерительные цепи. Это дает нам возможность детально исследовать как сами сигналы (их форму, внутреннее строение, различные физические и информационные характеристики), так и реальные измерительные каналы. Существует много способов такого представления сложных сигналов, и каждый из них предполагает наличие вполне определенной системы функций, обладающих свойством ортогональности, которая называется базисной системой.

Итак, любой реальный сигнал может быть представлен в виде суммы более простых функций:

где к> — набор весовых коэффициентов; к = 0,1, 2. <Ск(()> — система базисных функций. Такое представление сигнала (1.10) называют разложением сигнала по системе базисных функций. Если учесть, что систему базисных функций <Ck(t)>, применяемых для разложения, мы выбираем заранее, то сигнал может быть полностью охарактеризован набором весовых коэффициентов <ак> для этих функций. При приближенном представлении сигналов, что всегда имеет место в инженерной практике, набор весовых коэффициентов <>ак> конечен, их называют спектральными характеристиками или просто спектром. Таким образом, задача анализа сигналов решается выбором системы базисных функций, удобной для последующего анализа прохождения сигнала через те или иные цепи и каналы связи. К системе базисных функций также предъявляют определенные требования: для любого сигнала ряд должен сходиться, функции <Ck(t)> должны иметь простую аналитическую форму, коэффициенты к> должны вычисляться относительно просто. Этим требованиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Ортогональной называется совокупность функций , удовлетворяющая следующему условию на отрезке времени (t2 — /[):

Ортогональность двух функций означает, что данная функция не содержит в своем составе компонент, имеющих форму второй ортогональной ей функции, т.е. каждая из них несет только свою долю информации, содержащуюся в сигнале.

Если совокупность функций Ck(t) удовлетворяет также и условию

то она называется ортонормированной, т.е. базисные функции нормированы по энергии или по мощности к единице.

К классическим способам ортогонального представления сигналов относят их описание с помощью функций времени, представляющих временной спектр как результат разложения сложного сигнала по системам единичных импульсов или дельта-функций; описание с помощью гармонических функций, представляющих гармонический спектр как результат разложения сигнала по системам синусоидальных и косинусоидальных функций. Способ разложения по системам гармонических функций широко используется из-за ряда преимуществ перед другими системами ортогональных функций. В частности, они являются довольно простыми; обладают свойством симметрии относительно времени и частоты (повышение частоты колебаний в несколько раз эквивалентно сжатию функции по времени во столько же раз); обладают свойством инвариантности к пространственным операциям типа сдвигов и поворотов самих источников сигналов; могут быть выражены с помощью формулы Эйлера через комплексные экспоненциальные функции, которые, в свою очередь, обладают важным свойством мультипликативности, т.е. при перемножении этих функций их аргументы суммируются. Теория гармонического спектрального анализа получила законченную форму в работах Фурье. Следует также учитывать, что помимо временного и гармонического представлений, один и тот же сигнал может быть разложен и по другим ортогональным базисным системам. В частности, могут быть использованы различного типа многочлены (полиномы Лежандра, Якоби), системы «прямоугольных» функций Ха- ара, Уолша, Адамара и др. В зависимости от выбранной системы базисных функций, один и тот же сигнал может иметь как непрерывный, так и дискретный спектр.

Для детерминированных сигналов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа, использующие преобразования Фурье. В роли базиса Ck(t) могут использоваться как гармонические, так и экспоненциальные функции, а роль коэффициентов ак играют амплитуды гармоник. Доказано, что сложный детерминированный сигнал х(/) на интервале (t2 -tx) можно заменить суммой т взаимно ортогональных на этом интервале сигналов Ck(t), причем погрешность такой аппроксимации будет зависеть от числа членов ряда т. Для случайных сигналов наибольшее распространение получили методы корреляционного и спектрального анализа, основанные на преобразовании Хинчина—Винера. Эти преобразования являются результатом распространения метода Фурье на случайные процессы.

При разложении случайных процессов коэффициенты ак являются случайными величинами, а оптимальные базисы определяются через корреляционные функции этих процессов.

В настоящее время нет единой обобщенной спектральной теории, описывающей общие для всех систем базисных функций закономерности спектрального анализа. Эффективность решения задач на практике во многом зависит от корректного выбора базисной системы функций, поэтому для каждой конкретной задачи выполняется поиск оптимальной спектральной системы путем измерения спектров сигналов с последующей оценкой их по определенным критериям. Поэтому широкий класс задач обработки и распознавания сигналов различного происхождения может быть решен только путем предварительного измерения их спектральных характеристик.

В практике спектрального анализа наибольшей популярностью пользуются гармонические базисные функции из-за довольно простых способов их генерирования, например с помощью простых аналоговых схем. В связи с развитием цифровых и программных средств обработки сигналов открылись большие возможности спектрального анализа сигналов практически в любой базисной системе. Поэтому именно цифровым (дискретным) методам спектрального анализа в настоящее время отдается большее предпочтение.


Дискретный сигнал — это множество значений непрерывного сигнала, полученное в процессе его дискретизации по временной оси (рис. 1.9). При дискретизации непрерывного сигнала каждое значение дискретизированного сигнала строго «привязано» к определенному моменту времени. От выбора шага дискретизации А/ зависит точность последующего воспроизведения исходного сигнала по его дискретным отсчетам.

Рис. 1.9. Дискретизация непрерывного сигнала

Разложение сигнала по ортонормированным базисам

Запишем энергию суммы двух сигналов:

Последнее слагаемое буде представлять собой взаимную энергию.

Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Предположим, то в некотором пространстве сигналов задана система ненулевых функций φ(x)φn(x), причем выполняется на конечном отрезке [a,b] условия:

1) Функции должны быть ортогональными, то есть

[a,b] – интервал ортогональности.

2) Функции должны иметь единичную норму:

При выполнении данных условий говорят, что система функций n(х)> ортонормированна.

Система нормированных функций, каждая из которых попарно ортогональна, называется ортонормированной.

Доказано, если в линейном пространстве сигналов существуют φ1(t), φ2(t)φn(t) и эта система функций является нормируемой, то любую кусочно-непрерывную функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье, если оно удовлетворяет условиям Дирихле:

— обобщенный ряд Фурье, где

i-ый коэффициент ряда Фурье, так как необходимо.

На геометрическом языке. Сi – ‘j проекция исследуемого сигнала на ортонормируемый базис.

Представление сигнала по ортогональному базису называется обобщенным рядом Фурье.Коэффициентами такого рода служат скалярные произведения разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов.

Основные свойства ряда Фурье.

При заданной системе функций φn(х) и фиксированном числе слагаемых ряда, он обеспечивает наилучшую аппроксимацию исследуемого сигнала, то есть линейные значения среднеквадратичного отклонения.

Ортогональная система называется полной, если увеличение числа коэффициентов ряда позволяет среднюю квадратическую ошибку μ сколь угодно малой.

Все слагаемые, кроме i=j будут равны нулю, поэтому:

Энергия сигнала –сумма энергий всех компонент, из которых складывается ряд Фурье.

Дата добавления: 2015-08-05 ; просмотров: 149 | Нарушение авторских прав

Ортогональная система функций. Разложение сигнала в ортогональный ряд.

Сигналы x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Система линейно независимых функций (t), f1(t), . fk(t), . >, заданных на некотором отрезке [a, b] называется ортогональной системой функций, если все они попарно ортогональны на этом отрезке.

Если все функции системы имеют норму 1, то система называется ортонормированной.

Пример ортогональной системы функций : функции cos (k?t), k=0,1. ортогональны на отрезке [-?/?, ?/?], но система не ортонормирована.

Разложение сигнала в ортогональный ряд:задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты разложения функции y(x) в ряд:

на интервале [a, b]

Функции Pk(x) называются базисными функциями разложения. Требуется найти коэффициенты разложения Ak. Для того, чтобы найти Ak0 для конкретного k0, умножим обе части равенства на Pk0(x) и на s(x) и на интервале ортогональности [a, b] проинтегрируем по x .

В предположении, что ряд сходится абсолютно и интегралы существуют, меняем порядок интегрирования

Ввиду ортогональности базисных функций Pk(x) все интегралы в правой части, кроме слагаемого с индексом k0, обращаются в нули. Получаем:

Записывая для простоты результат с индексом k, получаем формулу Последнее отношение – это производная от H(t) в точке t, то есть значение h(t).

Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье

Предположим, что на отрезке задана бесконечная система функций , ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис. Разложим произвольный сигнал в ряд:

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигналав выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.1) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.2) останется только член суммы с номером , поэтому:

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме окажутся отличными от нуля только члены с номерами . Отсюда получается результат, который называется равенством Парсеваля:

Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье.

Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису

Элементы обобщенной спектральной теории сигналов.

а) Основные определения и понятия.

Обобщенной спектральной теорией называют совокупность методов представления сигналов в виде суммы ортогональных составляющих

Наибольшее распространение получили методы, использующие представления сигналов в виде колебаний ( т.е. функций времени ) и спектрального разложения на синусоидальные и косинусоидальные составляющие ( это преобразования Фурье ). Обобщенная спектральная теория исследует общие закономерности спектрального анализа для систем базисных функций и рассматривает особенности выбора базисных систем при решении задач передачи и обработки сигналов. Представление (1) называют разложением сигнала по системе базисных функций. К системе базисных функций предъявляют следующие требования : для любого сигнала ряд (1) должен сходиться; функции к(t) должны иметь простую аналитическую форму; коэффициенты ак должны вычисляться относительно просто. Этим трем условиям удовлетворяют системы ортогональных функций. Условие ортогональности функций

Методы расчета нелинейных цепей переменного тока на основе ВАХ для эквивалентных синусоид Замена несинусоидальных функций i(t) и u(t) эквивалентными синусоидальными позволяет применить к расчету нелинейных цепей переменного тока комплексный метод со всеми вытекающими из него преимуществами. В простейших случаях, когда схема цепи состоит только из последовательно или только из параллельно включенных элементов, решение задачи может быть выполнено графически методом сложения ВАХ. Отличительной особенностью данного метода является то обстоятельство, что отдельные ВАХ складываются не арифметически, как это имело место в цепях постоянного тока, а векторно в соответствии с уравнениями Кирхгофа в комплексной (векторной) форме

Число ck называют нормой базисной функции . Нормированная базисная функция

Система нормированных базисных функций , удовлетворяющая одновременно и условию ортогональности, и условию нормировки

Если под y i или y k понимать ток или напряжение, то равенство (3) имеет смысл энергии сигнала, выделенной сигналом y k на сопротивлении 1 Ом за время (t2-t1), а равенство (2) имеет смысл энергии взаимодействия сигналов y i и y k. Отсюда следует физический смысл понятий ортогональности и нормы функций : ортогональные сигналы не взаимодействуют между собой, а энергия нормированного сигнала равна 1.

б) Определение коэффициентов.

Рассмотрим, как определяют коэффициенты ак при разложении сигнала по системе ортонормированных функций. Представим сигнал

Умножив обе части (6) на j i(t) и проинтегрировав на интервале [t1,t2] получим

Из условия ортонормированности функций (5) следует, что в правой части соотношения (*) все интегралы при i ¹ k будут равны нулю, а при i=k один из них равен единице. Поскольку знак суммы в правой части (*) при этом исчезает, то

Ортогональные разложения (6) называют обобщенным рядом Фурье, а коэффициенты (7) — обобщенным коэффициентом Фурье.

Ортонормированные функции удовлетворяют трем условиям: они должны иметь простую аналитическую форму; для любого сигнала ряд должен сходиться ; коэффициенты ak должны вычисляться относительно просто.

Выбор базисных ортонормированных функций — одна из ответственных задач и ее решение существенно зависит от характера преобразований сигналов в системе. Коэффициенты ak представляют собой эффективные значения составляющих спектра ( обобщенных гармоник), поэтому выделяемая на сопротивлении 1 Ом средняя мощность сигнала равна :

Соотношение (8) называют равенством Парсеваля. Из него следует, что мощность сигнала равна сумме мощностей всех составляющих спектра.

в) Минимизация погрешности разложения.

Определим коэффициенты, минимизирующие погрешность ортогонального разложения. Используем для этого понятие среднеквадратичной погрешности :

Для минимизации необходимо решить систему уравнений вида

Для этого, при условии необходимо найти из решения akопт, подставить значения этих коэффициентов в (9) и определить

Эту задачу решил Фурье. Он показал, что оптимальными будут коэффициенты, определяемые по соотношению (7) ; если число членов ряда n , то имеется некоторая среднеквадратическая погрешность , из-за которой

если же n ® , то это неравенство выраждается в равенство Парсеваля (8) и, следовательно, .

Таким образом, бесконечный ряд дает адекватное в среднеквадратическом смысле ортонормированное разложение сигнала.

г) Выбор числа членов ряда.

Для реальных сигналов всегда можно указать такое число n (обычно небольшое), при котором 80. 90% мощности заключено в составляющих спектра с номерами n ³ k. Поэтому ряды, используемые на практике, конечны, а число членов ряда определяет допустимые среднеквадратические погрешности. Относительную погрешность разложения определяют как отношение D R ( n ) ошибки аппроксимации к мощности Р самого сигнала :

Ошибка аппроксимации, т.е. величина D R ( n ) — это та часть мощности, которая оказывается за пределами используемой полосы частот и не учитывается при восстановлении сигнала. По допустимой относительной погрешности d 0 из соотношения d (n)= d 0 нетрудно определить число n удерживаемых членов ряда.

д) Базисные сигналы.

В качестве базисных используют системы ортогональных функций Бесселя, Хаара, Уолша, системы ортогональных полиномов Лежандра, Чебышева, Эрмита, Лаггера и др. Примеры ортогональных разложений по таким функциям рассмотрим позднее. Реальные сигналы всегда ограничены во времени и имеют неограниченный спектр. Для удобства изучения сигналы часто рассматривают не на конечном интервале времени [t1,t2], а на полубесконечном [0, ] или на бесконечном [- , ]. Для определенности начало отсчета совмещают с началом сигнала или с серединой. Если сигнал имеет конечную длительность, то его рассматривают на интервале [0,T] или [-T/2,T/2].

Реальные сигналы случайны. Несмотря на это в теории часто рассматривают сигналы, полностью известные в любой момент. Такие сигналы называют детерминированными. Теория детерминированных сигналов, как теория первого приближения, удобна для решения простейших задач и полезна для развития теории случайных процессов.

е) Взаимная энергия и взаимная мощность.

Для изучения взаимосвязей сигналов используют два основных понятия: — взаимная энергия сигналов S1(t) и S2(t)

— взаимная мощность сигналов S1(t) и S2(t)

ж) Условия ортогональности и когерентности.

Различают сигналы ортогональные по энергии, когда E12=0 и ортогональные по мощности, когда P12=0. Для ортогональных сигналов средняя мощность и энергия суммы обладают свойством аддитивности (т.е. значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части). Это свойство записывается в виде соотношений:

Сигналы, ортогональные по мощности, образуют более широкий класс, частью которого являются сигналы ортогональные по энергии, поскольку первые привязаны к конечным интервалам времени.

Из ортогональности по энергии следует ортогональность по мощности, но не наоборот, поскольку понятие ортогональности по энергии является более общим. Только на конечном интервале времени T условия ортогональности по мощности и по энергии выполняются одновременно. Следовательно, ортогональность сигналов тесно связана с интервалом их определения.

Взаимные энергия и мощность характеризуют степень сходства сигналов. Если два сигнала полностью совпадают, то P12=P21=P, где Р — мощность любого из сигналов (S1 или S2).

Такие сигналы называются полностью когерентными. Для ортогональных по мощности сигналов P12=P21=0, следовательно ортогональные сигналы полностью некогерентны. Если 0

з) oртогональность постоянной и переменной составляющих.

Большое значение имеет ортогональность постоянной S0 и переменной S1,n составляющих любого сигнала S(t)=S0+ S1,n(t) , где постоянная составляющая определяется как среднее значение сигнала на интервале [0,T]-S0= а переменная составляющая S1,n(t)=S(t)-S0.

Взаимная энергия постоянной и переменной составляющих

Следовательно, составляющие S0 и S1,n , ортогональны. Из их ортогональности следует, что среднее значение переменной составляющей

и что их прохождение через различные цепи может рассматриваться отдельно, а результат определяться простым суммированием.

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ 2 страница

Передача информации с помощью сигналов может произво­диться непрерывно во времени или в некоторые фиксированные моменты. В зависимости от характера передачи информации (не­прерывно или дискретно) различают непрерывные или аналоговые и дискретные сигналы. Аналоговые сигналы повторяют или зависят от закона непрерывного изменения физических величин, информа­цию о которых они содержат; описываются непрерывными или ку­сочно-непрерывными функциями времени. Дискретные сигналы представляют последовательность коротких импульсов, амплитуды которых соответствуют мгновенным значениям непрерывного сиг­нала или соответствующей физической величины. Значения сигна­ла в выделенные моменты времени называются выборочными зна­чениями или отсчетами. Дискретные сигналы (дискретные во вре­мени), квантованные по уровню и представленные цифровым ко­дом, называются цифровыми сигналами. В связи с широким приме­нением цифровой обработки цифровые сигналы становятся все более распространенным видом сигналов. При анализе цифровые сигналы чаще всего заменяются дискретными, а их отличие от цифровых интерпретируется как шум.

В зависимости от ширины спектра выделяют узкополосные и широкополосные сигналы. Узкополосным называют сигнал, спектр которого сосредоточен в относительно узкой (по сравнению со средней частотой) полосе. Понятие узкополосного сигнала являет­ся довольно условным. Однако с его введением связано удобство описания и анализа сигналов.

Для передачи информации на расстояние и в ряде других слу­чаев используются высокочастотные колебания. Непосредствен­ным носителем информации, как правило, является низкочастот­ный сигнал. Перенос информации на высокочастотное, несущее колебание производится в процессе модуляции. В качестве несу­щего, кроме высокочастотного колебания, может быть использова­на также периодическая последовательность импульсов. Таким об­разом, можно выделить немодулированные и модулированные сиг­налы. Модулированные сигналы представляют несущее колебание

(гармоническое колебание или периодическую импульсную после­довательность), параметры которого изменяются под воздействием модулирующего (управляющего) сигнала. Возможна амплитудная, угловая и смешанная виды модуляции гармонического колебания. Понятие угловой модуляции объединяет два вида модуляции: фа­зовую и частотную. При модуляции импульсной последовательно­сти выделяют: амплитудную, фазовую, частотную и модуляцию длительности импульсов (широтно-импульсную модуляцию). Воз­можны смешанные виды модуляции.

В качестве модулирующего сигнала может использоваться кодо­вая последовательность различных символов. Сигнал, получаю­щийся в результате модуляции несущего колебания такой последо­вательностью, называется кодированным сигналом.

Приведенная краткая классификация сигналов не рассчитана на полноту охвата всего их разнообразия. Однако, помимо системати­зации сигналов, она позволяет уяснить и принцип выбора структуры книги.

ОБОБЩЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Спектральный анализ сигналов основан на представлении сиг­нала в виде взвешенной суммы элементарных составляющих, в математическом плане — разложении функции, описывающей сиг­нал во временной области, в ряд по системе базисных функций. Такое разложение позволяет свести анализ сложного сигнала к анализу его более простых составляющих.

При разложении сигналов чаще всего используются: система тригонометрических функций, ортогональные системы многочле­нов, в первую очередь, Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, функций Уолша и др. При их применении для сигналов с ограни­ченной энергией обеспечивается средняя квадратичная сходимость ряда, в который раскладывается функция, описывающая сигнал.

Ортогональные системы функций полезны также при аппрокси­мации и интерполяции сигналов и их характеристик, находят при­менение при кодировании передаваемых сообщений, в вейвлетных преобразованиях и в ряде других случаев. Таким образом, анализ сигналов с использованием ортогональных систем функций имеет широкое приложение, является неотъемлемой частью общего ана­лиза сигналов. Описание ортогональных систем функций использу­ется в дальнейшем — в других разделах книги, частей 1 и 2.

В этом разделе рассматриваются наиболее распространенные ортогональные системы функций и их применение при спектраль­ном анализе сигналов.

2.1. Обобщенный ряд Фурье

Функция, описывающая сигнал во временной области s(t), мо­жет быть представлена в виде взвешенной суммы базисных функ­ций ортогональной системы <φn(t)>

где сn — постоянные коэффициенты.

Такое представление сигнала означает, что сигнал рассматри­вается как совокупность элементарных колебаний, взятых с соот­ветствующими коэффициентами.

Для ортогональной на интервале [ta, tb] системы функций <φn(t)> выполняется следующее равенство

где ρ (t) — весовая функция; ||φn| — норма функций φn(t).


При ||φn|| = 1 система функций <φn(t> называется ортонормированной. Коэффициенты ряда (2.1) с учетом (2.2) могут быть опре­делены как

Ряд, в который раскладывается функция s(t), сходится в сред­нем квадратичном, если выбранная система базисных функций яв­ляется полной. Ортогональная система считается полной, если не существует никакой другой функции, не входящей в систему, кото­рая была бы ортогональна ко всем функциям данной системы.

В обобщенный ряд Фурье может быть разложена любая функ­ция, квадратично интегрируемая на интервале [ta, tb]. Это означает, что анализ с использованием обобщенного ряда Фурье может про­водиться для сигналов с ограниченной энергией на рассматривае­мом интервале. Разложение функции s(t) по ортогональной системе функций (2.1) называется обобщенным рядом Фурье. Совокупность коэффициентов разложения называется спектром сигнала в вы­бранной системе базисных функций.

Коэффициенты Фурье обладают следующим свойством. Любая частичная сумма ряда Фурье

наилучшим образом аппроксимирует функцию s(t). Это означает,

что средняя квадратичная ошибка такой аппроксимации сигнала с весом ρ (t)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, сопровож­дающими описание сигнала в виде (2.4) с коэффициентами, отлич­ными от (2.3). Учитывая, что σ 2 N ≥ 0, из (2.5) получаем неравенство Бесселя

которое при N → ∞ переходит в равенство Парсеваля

Равенство (2.7) означает, что ряд (2.1) сходится в среднем квад­ратичном к функции s(t).

Некоторые ортогональные системы базисных функций, которые могут быть использованы при описании и анализе сигналов и их характеристик, приведены в табл. 1.3.

2.2. Спектральный анализ сигналов на основе системы тригонометрических функций

При анализе сигналов наиболее часто используется разложение временной функции, описывающей сигнал, в тригонометрический ряд Фурье (разложение по ортогональной системе тригонометриче­ских функций). Сигнал представляется в виде взвешенной суммы гармонических составляющих. Спектральный анализ, основанный на таком представлении сигналов, называется гармоническим. Ис­пользуемая система функций является ортогональ­ной и полной на интервале [-π,π]. Эта система периодическая, со­храняет свою ортогональность и полноту на любом интервале дли­тельностью 2π.

Периодический сигнал s(t), имеющий частоту повторения можно представить в виде

где π=2π/T; Т — период сигнала.

Ортогональность базисных функций приводит к следующим ра­венствам:

С учетом (2.9) определяются коэффициенты разложения (2.8)

Предполагается, что функция s(t) является квадратично интег­рируемой на интервале периодичности [- T/2, T/2]. Такие функции описывают сигналы с конечной мощностью.

От (2.8) можно перейти к несколько иной форме записи тригоно­метрического ряда Фурье

Периодический сигнал рассматривается как сумма гармониче­ских составляющих с амплитудами Аn, и начальными фазами φn.

Совокупность амплитуд <Аn> -амплитудный спектр, а совокупность

начальных фаз <φn> -фазовый спектр сигнала. Спектры сигналов

в базисе тригонометрических функций называются частотными спектрами.

Как следует из (2.11), спектры периодических сигналов являются дискретными или линейчатыми, интервал дискретизации по частоте определяется частотой сигнала (или его периодом Т,ω1 =2π/Т), рис. 2.1.

В качестве примера рассмотрим прямоугольное колебание (ме­андр), рис. 2.2,а. Для него из (2.10) получим

Переходя к форме записи (2.11), имеем (рис. 2.2,6)

2.3. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Лежандра

Система многочленов Лежандра n(t)> ортогональна на интер­вале [-1, 1] с весом ρ(t) = 1. Многочлены Лежандра определяются выражением

Многочлены первых порядков (рис. 2.3):

P5(t) = 1/8(63t 5 — 70t 3 + 15t).

Условие ортогональности многочленов Лежандра записывается в виде

Функция s(t) раскладывается в ряд по многочленам Лежандра

Совокупность коэффициентов (2.16) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе многочленов Лежандра.

В качестве примеров рассмотрим некоторые виды функций, опи­сывающих сигналы во временной области.

1. Сигнал описывается степенным многочленом

где аn — постоянные коэффициенты.

Переходя к безразмерной величине х = 2t/τu, запишем

Разложим функцию в ряд по многочленам Лежандра

Приравнивая в левой и правой частях равенства коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями х, получим систему урав­нений для определения коэффициентов сn.

Переходя к безразмерной величине х = 2f / xu, запишем

Коэффициенты сп определяются выражением

Вычисляя интеграл получаем

2.4. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева первого рода определяются выражением

Многочлены Tn(t) первых порядков (рис. 2.4):

T4(t) = 8t 4 — 8t 2 + 1,

T5(t) = 16t 5 — 20t 3 + 5t.

Многочлены Tn(t) ортогональны на интервале [-1, 1] с весом

Многочлены Чебышева второго рода Un(t) определяются через многочлены первого рода

Функция s(t) раскладывается в ряд по многочленам Tn(t) (2.21)

Совокупность коэффициентов (2.22) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе многочленов Чебышева.

Примеры разложения в ряд по многочленам Чебышева.

В ряде случаев разложение функции s(t)’no многочленам Чебы­шева на интервале [-1, 1] сводится к разложению функции s(cost) на интервале [-π, π] по косинусам. Для рассматриваемой функции используем известное соотношение

где In(а) — функция Бесселя.

Замена t = cosφ дает

Аналогично, из разложений по косинусам можно получить сле­дующие разложения по многочленам Чебышева.

2. Сигнал s(t) = cosπt/τu,│t│ — t . Определяются выражением

Многочлены Ln(t) первых порядков имеют вид:

L3(t) = t 3 — 9t 2 + 18t-6,

L4(t)=t 4 — 16t 3 + 72t 2 — 96t + 24,

Ls(t)= ? 5 — 25? 4 + 200? 3 — 600? 2 + 600t- 120.

Условие ортогональности многочленов Лагерра:

При t→∞ многочлены Ln(t) расходятся. Поэтому при разложе­нии сигналов обычно используют функции Лагерра

Графики Функций ln(t) первых порядков показаны на рис. 2.5. Функции ln(t) ортогональны и нормированы

Функция s(t) раскладывается в ряд по функциям Лагерра

Совокупность коэффициентов (2.28) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе функций Лагерра.

Сигнал описывается выражением s(t) = e — at — e — bt , t≥ 0.

2.6. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Эрмита

Многочлены Эрмита Hn(t) ортогональны на всей оси ( -∞,∞) с весом е — t . определяются выражением

Многочлены Hn(t) первых порядков:

H4(t)= 16t 4 -48t 2 + 12,

H5(t) = 32t 5 -160t 3 + 120t.

Условие ортогональности многочленов Эрмита:

При t→±∞ многочлены Hn(t) расходятся. Поэтому при разло­жении сигналов удобнее использовать функции Эрмита

Графики функций hn(t) первых порядков показаны на рис. 2.6. Функции hn(t) ортогональны и нормированы

Разложение s(t) по функциям Эрмита

Совокупность коэффициентов (2.34) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе функций Эрмита

Сигнал — гауссов импульс s(t) = е — at 2

Коэффициенты разложения определяются выражением

Вычисление интегралов дает

2.7. Спектральный анализ сигналов на основе функций Уолша

Спектральный анализ сигналов на основе функций Уолша нахо­дит практическое применение прежде всего при исследовании сиг­налов, формируемых в цифровых устройствах.

2.7.1. Системы функций Уолша

Функции Уолша являются кусочно-постоянными знакоперемен­ными функциями, принимающими значения 1 или -1. Они опреде­ляются с помощью функций Радемахера rn(t) (рис. 2.13)

где n= 1,2. — порядок функции; x=t/T, Т- интервал времени.

Функции Радемахера имеют вид меандра, ортонормированы. Все они являются нечетными относительно середины интервала

определения и не образуют полной системы, следовательно, не могут быть использованы при разложении функций в ряд Фурье. Ортогональная система кусочно-постоянных функций становится полной при переходе к функциям Уолша. Функции Уолша опреде­ляются произведением функций Радемахера. Принцип формирова­ния этого произведения задает систему функций Уолша. Наиболь­шее применение нашли системы функций Уолша, известные как системы Пэли, Адамара и Хармута (Уолша).

Система Пэли. Функция Уолша с номером n в системе Пэли за­дается произведением функций Радемахера с номерами к, равны­ми разрядам двоичного представления n. При двоичном представ­лении число n записывается в виде

где т — число разрядов.

Функции Уолша в системе Пэли определяются как

где п — порядок функции Уолша.

Двоичное представление n для значений от 0 до 15 приведено в табл. 2.1.

Двоичное представление порядка функций Уолша в системах Хармута (Уолша), Пэли и Адамара

Читайте также:

  1. Анализ ситуации по слабым сигналам и оценка рисков.
  2. Если машинист не уверен в правильности восприятия сигнала или распоряжения, он должен остановить ЭПС и выяснить обстановку.
  3. Измерение уровня телевизионного сигнала на ответвителе магистральном
  4. Код 045—низкий уровень сигнала датчика положения клапана адсорбера.
  5. На уровне красного сигнала светофора с вертикальным расположением сигналов может устанавливаться табличка белого цвета с нанесенной на ней стрелкой зеленого цвета.
  6. Она никогда не навязывается и предлагается только после крика о помощи — сигнала, который в отдельных системах представлений передается в молитве.
  7. Преемство Апостольского предания и верность ему православной Церкви. Разложение протестантства
№ п/п Система Хармута (Уолша) Система Пэли Система Адамара

№ п/п Система Хармута (Уолша) Система Пэли Система Адамара

Система Адамара. Получается из системы Пэли записью раз­рядов двоичного представления номера функции Уолша п в обрат­ном порядке

Комбинации nт-k+1 соответствующие первым номерам функции Уолша, приведены в табл. 2.1.

Система Хармута. Эту систему можно получить из системы Пэ­ли, представляя номер соответствующей функции Уолша в коде Грея. Код Грея получается последовательным суммированием по модулю два соседних разрядов двоичного разложения п, начиная с младшего.

Обозначив k-ый разряд кода Грея , запишем

где знак означает операцию поразрядного суммирования по мо­дулю два

Выражение для функции Уолша в системе Хармута имеет вид

Комбинации , соответствующие нумерации Функций Уолша, приведены в табл. 2.1. Определение функций Уолша первых по­рядков n ———- > означает преобразование кода Грея в двоич­ный код.

5. Параметры n и х симметричны: любые выводы относительно п справедливы для х и наоборот.

Такой вывод следует непосредственно из выражений (2.37), (2.38) и (2.40).

2.7.3. Спектры сигналов в базисе Уолша

Сигнал, описываемый интегрируемой функцией s(t) и опреде­ленный на интервале [0, Т], можно разложить в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша

Совокупность коэффициентов сп представляет спектр сигнала в базисе Уолша или спектр Уолша. При вычислении спектров Уолша выражение для сп целесообразно представить несколько в иной форме. Разобьем интервал значений t/T на N участков, в пределах которых функция wal(n,t/T) постоянна. С учетом этого выражение для сп запишем в виде

Дата добавления: 2015-12-16 ; просмотров: 942 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Каждый электрик должен знать:  Напряжение на корпусе дросселя к лампе ДНаТ - что делать
Добавить комментарий