Ортогональные сигналы и обобщённые ряды Фурье

СОДЕРЖАНИЕ:

ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ 2 страница

Передача информации с помощью сигналов может произво­диться непрерывно во времени или в некоторые фиксированные моменты. В зависимости от характера передачи информации (не­прерывно или дискретно) различают непрерывные или аналоговые и дискретные сигналы. Аналоговые сигналы повторяют или зависят от закона непрерывного изменения физических величин, информа­цию о которых они содержат; описываются непрерывными или ку­сочно-непрерывными функциями времени. Дискретные сигналы представляют последовательность коротких импульсов, амплитуды которых соответствуют мгновенным значениям непрерывного сиг­нала или соответствующей физической величины. Значения сигна­ла в выделенные моменты времени называются выборочными зна­чениями или отсчетами. Дискретные сигналы (дискретные во вре­мени), квантованные по уровню и представленные цифровым ко­дом, называются цифровыми сигналами. В связи с широким приме­нением цифровой обработки цифровые сигналы становятся все более распространенным видом сигналов. При анализе цифровые сигналы чаще всего заменяются дискретными, а их отличие от цифровых интерпретируется как шум.

В зависимости от ширины спектра выделяют узкополосные и широкополосные сигналы. Узкополосным называют сигнал, спектр которого сосредоточен в относительно узкой (по сравнению со средней частотой) полосе. Понятие узкополосного сигнала являет­ся довольно условным. Однако с его введением связано удобство описания и анализа сигналов.

Для передачи информации на расстояние и в ряде других слу­чаев используются высокочастотные колебания. Непосредствен­ным носителем информации, как правило, является низкочастот­ный сигнал. Перенос информации на высокочастотное, несущее колебание производится в процессе модуляции. В качестве несу­щего, кроме высокочастотного колебания, может быть использова­на также периодическая последовательность импульсов. Таким об­разом, можно выделить немодулированные и модулированные сиг­налы. Модулированные сигналы представляют несущее колебание

(гармоническое колебание или периодическую импульсную после­довательность), параметры которого изменяются под воздействием модулирующего (управляющего) сигнала. Возможна амплитудная, угловая и смешанная виды модуляции гармонического колебания. Понятие угловой модуляции объединяет два вида модуляции: фа­зовую и частотную. При модуляции импульсной последовательно­сти выделяют: амплитудную, фазовую, частотную и модуляцию длительности импульсов (широтно-импульсную модуляцию). Воз­можны смешанные виды модуляции.

В качестве модулирующего сигнала может использоваться кодо­вая последовательность различных символов. Сигнал, получаю­щийся в результате модуляции несущего колебания такой последо­вательностью, называется кодированным сигналом.

Приведенная краткая классификация сигналов не рассчитана на полноту охвата всего их разнообразия. Однако, помимо системати­зации сигналов, она позволяет уяснить и принцип выбора структуры книги.

ОБОБЩЕННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

Спектральный анализ сигналов основан на представлении сиг­нала в виде взвешенной суммы элементарных составляющих, в математическом плане — разложении функции, описывающей сиг­нал во временной области, в ряд по системе базисных функций. Такое разложение позволяет свести анализ сложного сигнала к анализу его более простых составляющих.

При разложении сигналов чаще всего используются: система тригонометрических функций, ортогональные системы многочле­нов, в первую очередь, Лежандра, Чебышева, Лагерра, Эрмита, функций Уолша и др. При их применении для сигналов с ограни­ченной энергией обеспечивается средняя квадратичная сходимость ряда, в который раскладывается функция, описывающая сигнал.

Ортогональные системы функций полезны также при аппрокси­мации и интерполяции сигналов и их характеристик, находят при­менение при кодировании передаваемых сообщений, в вейвлетных преобразованиях и в ряде других случаев. Таким образом, анализ сигналов с использованием ортогональных систем функций имеет широкое приложение, является неотъемлемой частью общего ана­лиза сигналов. Описание ортогональных систем функций использу­ется в дальнейшем — в других разделах книги, частей 1 и 2.

В этом разделе рассматриваются наиболее распространенные ортогональные системы функций и их применение при спектраль­ном анализе сигналов.

2.1. Обобщенный ряд Фурье

Функция, описывающая сигнал во временной области s(t), мо­жет быть представлена в виде взвешенной суммы базисных функ­ций ортогональной системы <φn(t)>

где сn — постоянные коэффициенты.

Такое представление сигнала означает, что сигнал рассматри­вается как совокупность элементарных колебаний, взятых с соот­ветствующими коэффициентами.

Для ортогональной на интервале [ta, tb] системы функций <φn(t)> выполняется следующее равенство

где ρ (t) — весовая функция; ||φn| — норма функций φn(t).

При ||φn|| = 1 система функций <φn(t> называется ортонормированной. Коэффициенты ряда (2.1) с учетом (2.2) могут быть опре­делены как

Ряд, в который раскладывается функция s(t), сходится в сред­нем квадратичном, если выбранная система базисных функций яв­ляется полной. Ортогональная система считается полной, если не существует никакой другой функции, не входящей в систему, кото­рая была бы ортогональна ко всем функциям данной системы.

В обобщенный ряд Фурье может быть разложена любая функ­ция, квадратично интегрируемая на интервале [ta, tb]. Это означает, что анализ с использованием обобщенного ряда Фурье может про­водиться для сигналов с ограниченной энергией на рассматривае­мом интервале. Разложение функции s(t) по ортогональной системе функций (2.1) называется обобщенным рядом Фурье. Совокупность коэффициентов разложения называется спектром сигнала в вы­бранной системе базисных функций.

Коэффициенты Фурье обладают следующим свойством. Любая частичная сумма ряда Фурье

наилучшим образом аппроксимирует функцию s(t). Это означает,

что средняя квадратичная ошибка такой аппроксимации сигнала с весом ρ (t)

имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, сопровож­дающими описание сигнала в виде (2.4) с коэффициентами, отлич­ными от (2.3). Учитывая, что σ 2 N ≥ 0, из (2.5) получаем неравенство Бесселя

которое при N → ∞ переходит в равенство Парсеваля

Равенство (2.7) означает, что ряд (2.1) сходится в среднем квад­ратичном к функции s(t).

Некоторые ортогональные системы базисных функций, которые могут быть использованы при описании и анализе сигналов и их характеристик, приведены в табл. 1.3.

2.2. Спектральный анализ сигналов на основе системы тригонометрических функций

При анализе сигналов наиболее часто используется разложение временной функции, описывающей сигнал, в тригонометрический ряд Фурье (разложение по ортогональной системе тригонометриче­ских функций). Сигнал представляется в виде взвешенной суммы гармонических составляющих. Спектральный анализ, основанный на таком представлении сигналов, называется гармоническим. Ис­пользуемая система функций является ортогональ­ной и полной на интервале [-π,π]. Эта система периодическая, со­храняет свою ортогональность и полноту на любом интервале дли­тельностью 2π.

Периодический сигнал s(t), имеющий частоту повторения можно представить в виде

где π=2π/T; Т — период сигнала.

Ортогональность базисных функций приводит к следующим ра­венствам:

С учетом (2.9) определяются коэффициенты разложения (2.8)

Предполагается, что функция s(t) является квадратично интег­рируемой на интервале периодичности [- T/2, T/2]. Такие функции описывают сигналы с конечной мощностью.

От (2.8) можно перейти к несколько иной форме записи тригоно­метрического ряда Фурье

Периодический сигнал рассматривается как сумма гармониче­ских составляющих с амплитудами Аn, и начальными фазами φn.

Совокупность амплитуд <Аn> -амплитудный спектр, а совокупность

начальных фаз <φn> -фазовый спектр сигнала. Спектры сигналов

в базисе тригонометрических функций называются частотными спектрами.

Как следует из (2.11), спектры периодических сигналов являются дискретными или линейчатыми, интервал дискретизации по частоте определяется частотой сигнала (или его периодом Т,ω1 =2π/Т), рис. 2.1.

В качестве примера рассмотрим прямоугольное колебание (ме­андр), рис. 2.2,а. Для него из (2.10) получим

Переходя к форме записи (2.11), имеем (рис. 2.2,6)

2.3. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Лежандра

Система многочленов Лежандра n(t)> ортогональна на интер­вале [-1, 1] с весом ρ(t) = 1. Многочлены Лежандра определяются выражением

Многочлены первых порядков (рис. 2.3):

P5(t) = 1/8(63t 5 — 70t 3 + 15t).

Условие ортогональности многочленов Лежандра записывается в виде

Функция s(t) раскладывается в ряд по многочленам Лежандра

Совокупность коэффициентов (2.16) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе многочленов Лежандра.

В качестве примеров рассмотрим некоторые виды функций, опи­сывающих сигналы во временной области.

1. Сигнал описывается степенным многочленом

где аn — постоянные коэффициенты.

Переходя к безразмерной величине х = 2t/τu, запишем

Разложим функцию в ряд по многочленам Лежандра

Приравнивая в левой и правой частях равенства коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями х, получим систему урав­нений для определения коэффициентов сn.

Переходя к безразмерной величине х = 2f / xu, запишем

Коэффициенты сп определяются выражением

Вычисляя интеграл получаем

2.4. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Чебышева

Многочлены Чебышева первого рода определяются выражением

Многочлены Tn(t) первых порядков (рис. 2.4):

T4(t) = 8t 4 — 8t 2 + 1,

T5(t) = 16t 5 — 20t 3 + 5t.

Многочлены Tn(t) ортогональны на интервале [-1, 1] с весом

Многочлены Чебышева второго рода Un(t) определяются через многочлены первого рода

Функция s(t) раскладывается в ряд по многочленам Tn(t) (2.21)

Совокупность коэффициентов (2.22) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе многочленов Чебышева.

Примеры разложения в ряд по многочленам Чебышева.

В ряде случаев разложение функции s(t)’no многочленам Чебы­шева на интервале [-1, 1] сводится к разложению функции s(cost) на интервале [-π, π] по косинусам. Для рассматриваемой функции используем известное соотношение

где In(а) — функция Бесселя.

Замена t = cosφ дает

Аналогично, из разложений по косинусам можно получить сле­дующие разложения по многочленам Чебышева.

2. Сигнал s(t) = cosπt/τu,│t│ — t . Определяются выражением

Многочлены Ln(t) первых порядков имеют вид:

L3(t) = t 3 — 9t 2 + 18t-6,

L4(t)=t 4 — 16t 3 + 72t 2 — 96t + 24,

Ls(t)= ? 5 — 25? 4 + 200? 3 — 600? 2 + 600t- 120.

Условие ортогональности многочленов Лагерра:

При t→∞ многочлены Ln(t) расходятся. Поэтому при разложе­нии сигналов обычно используют функции Лагерра

Графики Функций ln(t) первых порядков показаны на рис. 2.5. Функции ln(t) ортогональны и нормированы

Функция s(t) раскладывается в ряд по функциям Лагерра

Совокупность коэффициентов (2.28) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе функций Лагерра.

Сигнал описывается выражением s(t) = e — at — e — bt , t≥ 0.

2.6. Спектральный анализ сигналов на основе многочленов Эрмита

Многочлены Эрмита Hn(t) ортогональны на всей оси ( -∞,∞) с весом е — t . определяются выражением

Многочлены Hn(t) первых порядков:

H4(t)= 16t 4 -48t 2 + 12,

H5(t) = 32t 5 -160t 3 + 120t.

Условие ортогональности многочленов Эрмита:

При t→±∞ многочлены Hn(t) расходятся. Поэтому при разло­жении сигналов удобнее использовать функции Эрмита

Графики функций hn(t) первых порядков показаны на рис. 2.6. Функции hn(t) ортогональны и нормированы

Разложение s(t) по функциям Эрмита

Совокупность коэффициентов (2.34) представляет спектр сигна­ла s(t) в базисе функций Эрмита

Сигнал — гауссов импульс s(t) = е — at 2

Коэффициенты разложения определяются выражением

Вычисление интегралов дает

2.7. Спектральный анализ сигналов на основе функций Уолша

Спектральный анализ сигналов на основе функций Уолша нахо­дит практическое применение прежде всего при исследовании сиг­налов, формируемых в цифровых устройствах.

2.7.1. Системы функций Уолша

Функции Уолша являются кусочно-постоянными знакоперемен­ными функциями, принимающими значения 1 или -1. Они опреде­ляются с помощью функций Радемахера rn(t) (рис. 2.13)

где n= 1,2. — порядок функции; x=t/T, Т- интервал времени.

Функции Радемахера имеют вид меандра, ортонормированы. Все они являются нечетными относительно середины интервала

определения и не образуют полной системы, следовательно, не могут быть использованы при разложении функций в ряд Фурье. Ортогональная система кусочно-постоянных функций становится полной при переходе к функциям Уолша. Функции Уолша опреде­ляются произведением функций Радемахера. Принцип формирова­ния этого произведения задает систему функций Уолша. Наиболь­шее применение нашли системы функций Уолша, известные как системы Пэли, Адамара и Хармута (Уолша).

Система Пэли. Функция Уолша с номером n в системе Пэли за­дается произведением функций Радемахера с номерами к, равны­ми разрядам двоичного представления n. При двоичном представ­лении число n записывается в виде

где т — число разрядов.

Функции Уолша в системе Пэли определяются как

где п — порядок функции Уолша.

Двоичное представление n для значений от 0 до 15 приведено в табл. 2.1.

Двоичное представление порядка функций Уолша в системах Хармута (Уолша), Пэли и Адамара

№ п/п Система Хармута (Уолша) Система Пэли Система Адамара

№ п/п Система Хармута (Уолша) Система Пэли Система Адамара

Система Адамара. Получается из системы Пэли записью раз­рядов двоичного представления номера функции Уолша п в обрат­ном порядке

Комбинации nт-k+1 соответствующие первым номерам функции Уолша, приведены в табл. 2.1.

Система Хармута. Эту систему можно получить из системы Пэ­ли, представляя номер соответствующей функции Уолша в коде Грея. Код Грея получается последовательным суммированием по модулю два соседних разрядов двоичного разложения п, начиная с младшего.

Обозначив k-ый разряд кода Грея , запишем

где знак означает операцию поразрядного суммирования по мо­дулю два

Выражение для функции Уолша в системе Хармута имеет вид

Комбинации , соответствующие нумерации Функций Уолша, приведены в табл. 2.1. Определение функций Уолша первых по­рядков n ———- > означает преобразование кода Грея в двоич­ный код.

5. Параметры n и х симметричны: любые выводы относительно п справедливы для х и наоборот.

Такой вывод следует непосредственно из выражений (2.37), (2.38) и (2.40).

2.7.3. Спектры сигналов в базисе Уолша

Сигнал, описываемый интегрируемой функцией s(t) и опреде­ленный на интервале [0, Т], можно разложить в обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша

Совокупность коэффициентов сп представляет спектр сигнала в базисе Уолша или спектр Уолша. При вычислении спектров Уолша выражение для сп целесообразно представить несколько в иной форме. Разобьем интервал значений t/T на N участков, в пределах которых функция wal(n,t/T) постоянна. С учетом этого выражение для сп запишем в виде

Дата добавления: 2015-12-16 ; просмотров: 943 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Поясните понятие обобщенного ряда Фурье

Обобщенный ряд Фурье. В теории и технике передачи аналоговых сообщений широко используется разложение непрерывных функций на интервале определения в ряд (1)

Ряд (1), в котором коэффициенты Сn определены по данной формуле называются обобщенным рядом Фурьепо данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала x(t) в ортогональной системе и полностью определяет этот сигнал.

При этом система функций называется базисной, а представление сигнала в виде (1) – его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом. Если сигнал является комплексным, то и коэффициенты также будут являться комплексными.

В общем случае ряд (1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. Для практических расчетов такой ряд обычно усекают до N-го члена ряда, и имеет место аппроксимация сигнала конечным рядом (1). Поэтому возникают задачи по выбору системы функций позволяющих технически просто получить набор коэффициентов и минимизирующих погрешность

при заданном N по какому-либо определенному критерию. Обычно в качестве критерия приближения используют среднеквадратическую погрешность

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (1) было возможным, системы базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

  1. Быть упорядоченной системой линейно-независимых функций.
  2. Быть полнойдля ортогональных функций, т.е. представлять в заданном базисе любой сигнал из заданного множества, любую реализацию случайного процесса удовлетворяющего условию (условие конечности энергии на интервале определения .
  3. Число линейно-независимых функций в полной система должна быть равно размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций.

Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система является ортогональной на интервале определения сигнала :

22. Запишите основные формулы прямого и обратного преобразования Фурье для непрерывного и дискретного сигналов

Обобщенный ряд Фурье. В теории и технике передачи аналоговых сообщений широко используется разложение непрерывных функций на интервале определения в ряд

При этом система функций называется базисной, а представление сигнала в виде (1) – его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом. Если сигнал является комплексным, то и коэффициенты также будут являться комплексными.

В общем случае ряд (1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. Для практических расчетов такой ряд обычно усекают до N-го члена ряда, и имеет место аппроксимация сигнала конечным рядом (1).

При представлении сигналов в форме (1) необходимо решить вопрос о способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от принятого критерия сходимости (приближения). Для среднеквадратичного критерия коэффициенты Сn выбирают таким образом, чтобы СКП была минимальной. Умножив обе части уравнения (1) на , проинтегрировав в пределах и учтя ортогональность функций и , получим важное соотношение (2)

Ряд (1), в котором коэффициенты Сn определены по данной формуле называются обобщенным рядом Фурьепо данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала x(t) в ортогональной системе и полностью определяет этот сигнал.

До сих пор мы говорим о непрерывных сигналах. Рассмотрим представление с помощью спектров дискретных сигналов. Решетчатая функция x(i), записывается в виде обобщенного дискретного ряда (3)

по любым полным и ортогональным системам решетчатых базисных функций (в дальнейшем БФ) . При этом моменты отсчетов БФ должны совпадать с моментами отсчетов раскладываемых сигналов.

Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определяются уравнениями:

а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид

Для дискретных функций, удовлетворяющих условию

справедлива следующая формула для определения спектра (4)

Формулы (3) и (4) представляют собой дискретные преобразования Фурье.

Число СБФ в дискретном ряде совпадает с размерностью раскладываемой решетчатой функции N. В соответствии с этим дискретные ряды Фурье ( ) для сигналов с ограниченным интервалом определения имеют конечный характер и дискретные функции воспроизводятся с их помощью точно. Это принципиально отличает их от непрерывных разложений, где суммирование ведется по бесконечному числу членов и которые воспроизводят не саму функцию, а ее копию, совпадающую с ней при .

Последнее изменение этой страницы: 2020-04-26; Нарушение авторского права страницы

Ортогональные сигналы и обобщенный ряд Фурье

страница 17/19
Дата 22.01.2020
Размер 0.6 Mb.
Название файла Виды и методы представления сигналов.docx
1.11. Ортогональные сигналы и обобщенный ряд Фурье
Энергия сигнала , выделяемая на сопротивлении 1 Ом, определяется интегралом от квадрата сигнала (1.42) по всей оси времени

Используя это выражение, можно провести сравнение сигналов относительно энергии им соответствующей.

Допустим, что на вход некоторого устройства воздействуют два сигнала . Энергии этих сигналов имеют вид . Энергия суммы двух сигналов определяется выражением (1.44). Из выражения (1.44) видно, что энергия суммы двух сигналов в общем виде не равна сумме энергий этих сигналов. Энергия суммарного сигнала включает в себя так называемую взаимную энергию сигналов . При этом сигналы и называют ортогональными, если взаимная энергия от суммы двух сигналов равна нулю

Допустим, что на временном интервале задано множество сигналов , попарно ортогональных друг другу и обладающих нулевой взаимной энергией. В этом случае условие ортогональности сигналов имеет вид

Равенство единице интеграла от квадрата сигнала говорит о том, что сигнал нормирован, а условие (1.49) определяет в пространстве сигналов ортонормированный базис, образованный сигналами . В соответствии с этим базисом произвольный сигнал s(t) может быть представлен рядом

Ряд (1.50) называют обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе ортонормированных функций .

где функция – i-я функция из базиса ортонормированных функций.

Обобщенный ряд Фурье (1.50), с определенными по формуле (1.51) коэффициентами , и множеством функций из выбранного базиса ортонормированных функций, можно использовать для аппроксимации любого сложного сигнала. В данном случае под аппроксимацией понимают разложение сложного сигнала на более простые функции (сигналы) из базиса ортонормированных функций, каждая из которых имеет амплитуду, определенную формулой (1.51).

Представление сигналов в виде обобщенных рядов Фурье имеет важное практическое значение. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость сложного сигнала в бесконечном множестве точек, исследователь может характеризовать сигнал системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье (1.51).

К числу ортонормированных базисов, наиболее применимых в радиотехнике, можно отнести следующие базисы.

Ортогональные сигналы и обобщённые ряды Фурье

Название: Теория и преобразование сигналов в оптических системах — учебное пособие (Дубнищев Ю.Н.)

1.2. линейное пространство сигналов

Пусть – некоторое множество сигналов, объединенных каким-то общим свойством. Отличительные свойства сигналов выявляются, если прослеживается взаимосвязь между отдельными сигналами, входящими во множество М.

Структура линейного множества сигналов. Вещественное линейное множество сигналов должно удовлетворять следующим условиям:

1. Любой сигнал при любых значениях аргумента s Î M может принимать лишь вещественные значения.

2. Для любых s Î M и v Î M существует их сумма w = s + v, причем w также содержится в M, w Î M. При этом операция суммирования коммутативна и ассоциативна .

3. Для любого сигнала s Î M и любого вещественного числа a определен сигнал as Î M.

4. Множество M содержит нулевой элемент Æ, такой, что s + Æ = s для всех s Î M. В случае, если математические модели сигналов допускают комплексные значения, а свойство 3 допускает умножение на комплексное число, можно говорить о комплексном линейном множестве сигналов.

П р и м е р 1.1. Множество M образовано сигналами, амплитуды s которых не превосходят s0. Можно ли считать данное множество M линейным?

Ответ будет отрицательным, так как может быть больше s0.

Нормированное линейное пространство сигналов. Линейное пространство L является нормированным, если каждому сигналу sÎ L однозначно сопоставлено число – норма этого сигнала. При этом должны выполняться следующие условия:

— норма неотрицательна, т.е. ³ 0, причем = 0 тогда и только тогда, если s = Æ;

— для любого числа справедливо равенство ;

— если s и р – два элемента из пространства L, то выполняется неравенство треугольника

Норма сигнала – аналог длины вектора в векторном пространстве. Для вещественных сигналов

Комплексные сигналы имеют норму

Здесь и далее * означает комплексное сопряжение.

Энергия сигнала определяется как квадрат нормы:

П р и м е р 1.2. Найти энергию Es и норму сигнала , представляющего импульс треугольной формы (рис. 1.3): , 0 £ х £ х0.

П р и м е р 1.3. Найти энергию радиоимпульса с прямоугольной огибающей (рис. 1.4).

Если , то независимо от значений

Физическое обоснование введения нормы через энергию заключается в следующем:

– о величине сигнала можно судить по суммарному энергетическому эффекту;

– вводимая таким образом энергетическая норма оказывается “нечувствительной” к изменениям формы сигнала, временным или пространственным, на относительно малом интервале.

Метрическое пространство. Нормированное линейное множество сигналов является метрическим, если каждой паре элементов u, v Î L сопоставляется неотрицательное число r (u, v), называемое метрикой. Метрику можно представить как расстояние между элементами. Поэтому множество сигналов, в котором задана метрика, приобретает геометрические свойства. Метрика независимо от способа ее определения должна подчиняться аксиомам метрического пространства: 1) r (u, v) = r (v, u) (рефлексивность метрики); 2) r (u ,u) = 0 при

любых u Î L; 3) каков бы ни был элемент w Î L, всегда r (u, v) £

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов: r (u, v)= . Норма, в свою очередь, может определяться и как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом . Понятие метрики позволяет судить, например, о том, насколько хорошо один из сигналов аппроксимирует другой. Нормированное линейное множество сигналов, в котором определена метрика, получило название метрического пространства.

П р и м е р 1.4. Сигнал s(x) представляет собой отрезок синусоиды на интервале [0, x0] (рис. 1.5). Амплитуда (высота) импульса s0 известна:

Найти амплитуду А прямоугольного импульса той же длительности, чтобы обеспечить минимальное расстояние между этими импульсами.

Квадрат расстояния между сигналами

Энергия синусоидального импульса

отсюда , т.е. минимальное расстояние между импульсами r составляет 40 \% от нормы синусоидального импульса.

Координатный базис. Линейное пространство (по аналогии с обычным трехмерным пространством) может быть снабжено специальной структурой, играющей роль системы координат. Совокупность векторов , принадлежащих множеству M, называется линейно независимым координатным базисом, если равенство возможно только в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов ai.

Если разложение некоторого сигнала дано в виде , то числа являются проекциями сигнала s относительно выбранного базиса.

Количество базисных векторов может быть неограниченно велико. Такие линейные пространства называются бесконечномерными.

П р и м е р 1.5. Если линейное пространство образовано сигналами, которые описываются многочленами неограниченно высокого порядка , то координатным базисом в этом пространстве служит система одночленов

В метрическом пространстве норма – аналог модуля вектора в векторном пространстве.

Скалярное произведение сигналов. Вычислим энергию суммы двух сигналов:

Энергии сигналов не аддитивны – энергия суммарного сигнала содержит в себе взаимную энергию

По аналогии с суммой векторов в линейном векторном пространстве определяем скалярное произведение сигналов u и v:

Косинус угла между сигналами вычисляется так: ; аналогия – косинус угла между векторами:

Свойства скалярного произведения:

(u, v) ³ 0; (u, v) = (v, u); (lu, v) = l (u, v),

где l – произвольное число;

(u + v, w) = (u, w)+ (v, w). (1.4)

Линейное пространство, в котором введено скалярное произведение, называется вещественным гильбертовым пространством. В математике доказывается, что в гильбертовом пространстве справедливо неравенство Коши – Буняковского:

Если сигналы принимают комплексное значение, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в него скалярное произведение по формуле

П р и м е р 1.6. Даны сигналы (рис. 1.6):

Определить угол между этими сигналами.

П р и м е р 1.7. Доказать неравенство Шварца

Здесь сигналы u и v — элементы гильбертова пространства. Воспользуемся свойствами скалярного произведения (1.4). Применим эти свойства к сигналу вида u + av (a – произвольный скалярный множитель). Энергия этого сигнала выражается формулой . Образуем скалярное произведение . Отсюда . Подставим оценку a в выражение для энергии сигнала:

С учетом получим

Отсюда следует неравенство Шварца (1.8). Извлекая квадратный корень из правой и левой частей неравенства Шварца, запишем неравенство Коши – Буняковского (1.5).

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Два сигнала u и v называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

Пусть Н – гильбертово пространство с конечным значением энергии. Эти сигналы определены в промежутке [x1, x2], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же интервале задана бесконечная система функций , попарно ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

где dij – символ Кронеккера. Это означает, что в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд

Такое представление сигнала называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

П р и м е р 1.8. Пусть u и v – сигналы в вещественном гильбертовом пространстве. Какими свойствами они должны обладать, чтобы сигналы s1 = u + v и s2 = u – v были ортогональными?

Запишем скалярное произведение сигналов s1 и s2:

Сигналы s1 и s2 ортогональны, если энергии сигналов u и v равны: .

П р и м е р 1.9. Определить, сохранится ли ортогональность сигналов s1 и s2 (см. пример 1.8) в комплексном гильбертовом пространстве?

Найдем скалярное произведение сигналов s1 и s1:

Сигналы s1 и s2 ортогональны, если обменная энергия комплексных сигналов u и v вещественна: .

Нахождение коэффициентов ci. Возьмем базисную функцию uk с произвольным номером k, умножим скалярно обе части равенства (1.9) и проинтегрируем его на интервале [x1, x2], в котором заданы эти сигналы:

Поскольку базис ортонормированный, в правой части остается только член с номером i = k. Отсюда

Таким образом, обобщеный ряд Фурье позволяет представлять сигнал через счетное множество коэффициентов, которые определяют проекции вектора в гильбертовом пространстве на базисные направления. Например, ортонормированная система гармонических сигналов имеет вид

П р и м е р 1.10. Пусть в гильбертовом пространстве сигналов задан ортонормированный базис . Показать, что вектор при произвольном ортогонален любому вектору из ортонормированного базиса .

Построение ортонормированной системы базисных функций. Результаты, полученные в примере 1.10, могут служить основой для построения ортонормированного базиса из системы взаимно неортогональных функций , заданных в гильбертовом пространстве. Найдем норму вектора и образуем новый вектор . Согласно примеру 1.10, вектор ортогонален . Сформируем аналогичным способом новый вектор . Продолжая этот процесс для n-го вектора ортогонального базиса запишем

где – постоянные коэффициенты. Этот метод получения ортогонального базиса носит название процедуры Грама — Шмидта.

Энергия сигнала, представленного в виде обобщенного ряда Фурье. Пусть некоторый сигнал разложен в ряд по ортонормированному базису:

Энергия сигнала выражается формулой

Из свойства ортонормированности следует, что = dik. Отсюда получим

Энергия сигнала равна сумме всех компонент обобщенного ряда

Оптимальность разложения по ортогональному базису. Представим сигнал , заданный на интервале , конечномерной аппроксимацией на ортонормированном базисе. Определим коэффициенты ci из условия минимальной ошибки аппрокси-

условие экстремума для m = 1, 2, . N.

Учитывая, что базисные функции um ортонормированы,

для um получаем

что совпадает с формулой для определения коэффициента разложения в обобщенный ряд Фурье.

Следовательно, условие экстремума соответствует минимуму ошибки аппроксимации. Поскольку разложение сигнала в обобщенный ряд Фурье обеспечивает минимальную ошибку аппроксимации, оно оптимально. Если предел суммы существует, то он сам является элементом гильбертова пространства. Это означает, что гильбертово пространство сигналов обладает свойством полноты.

Полученные результаты хорошо интерпретируются на основе формальной аналогии между представлением сигналов обобщенным рядом Фурье и многомерными векторами. Поэтому принято говорить о линейных векторных пространствах сигналов.

ПРОСТРАНСТВО И МЕТРОЛОГИЯ СИГНАЛОВ

Содержание: 2.1. Пространство сигналов. Линейное пространство сигналов. Норма сигналов. Метрика сигналов. Скалярное произведение сигналов. Коэффициент корреляции сигналов. Координатный базис пространства. 2.2. Мощность и энергия сигналов. Понятия мощности и энергии сигналов. 2.3. Пространства функций. Нормирование метрических параметров. Ортогональные сигналы. Ортонормированный базис пространства. Разложение сигнала в ряд. Ортонормированные системы функций. Разложение энергии сигнала. 2.4. Функции корреляции сигналов. Корреляционные функции сигналов. Взаимная корреляционная функция. 2.5. Математическое описание шумов и помех. Шумы и помехи. Природа помех. Характеристики помех. Литература.

В данной теме метрология сигналов рассматривается, в основном, на уровне понятий и базовых определений, предваряя их более подробное изучение в дальнейших темах курса. Это объясняется тем, что при детальном изучении каких-либо характеристик или свойств сигналов их рассмотрение не может выполняться в отрыве от других метрологических характеристик рассматриваемых типов сигналов и требует определенной ориентировки в общей метрологии сигналов, хотя бы на уровне понятий .

2.1. Пространство сигналов

Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу их ограничения по разрядности, в принципе относятся к разряду нелинейных операций, однако последним фактором можно пренебречь, если ошибки, которые вносятся в результаты наблюдений при квантовании отсчетов, достаточно малы по сравнению с шумами зарегистрированной информации. При дискретизации и квантовании данных непосредственно на входах в ЭВМ последнее выполняется практически всегда, поскольку ошибки определяются разрядностью ЭВМ и программными системами обработки данных, которые обычно не ниже 6-12 десятичных разрядов.

Пространство сигналов. Пусть L — множество сигналов, которые имеют какие-то общие свойства и определенную структуру связи между сигналами. Например, множество может состоять из сигналов вида s n (t) = A n cos( w n t+ j n )·exp(-at 2 ) – затухающих гармонических колебаний с определенными значениями амплитуд, частот и начальных фаз. Путем введения структурных ограничений множество сигналов может быть превращено в функциональное пространство сигналов. Так, если пространство значений независимой переменной t задано выражением R:=(- Ґ ,+ Ґ ), то пространство сигналов L p [R] определяет множество сигналов в этом пространстве, для которых выполняется условие однозначной реализации:

Для анализа сигналов наиболее часто используется гильбертово пространство, сигналы в котором должны удовлетворять условию интегрирования с квадратом:

Периодические сигналы обычно рассматриваются в пространстве L 2 [0,2 p] одного периода:

Линейное пространство сигналов. Множество сигналов L образует линейное пространство сигналов, если для него справедливы следующие аксиомы :

Для любых сигналов u(t) О L и v(t) О L существует их сумма s(t) = u(t)+v(t), которая также содержится в L. Операция суммирования коммутативна: u(t)+v(t) = v(t)+u(t), и ассоциативна: u(t)+(v(t)+x(t)) = (u(t)+v(t))+x(t).

Для любого сигнала s(t) О L и числа a определен сигнал y(t) = a s( t), у(t) О L.

Множество L содержит такой нулевой элемент Ж , что для всех сигналов u(t) О L выполняется равенство u(t)+ Ж = u(t).

Пример. Множество сигналов L состоит из импульсных сигналов произвольной формы с амплитудой не более 10 вольт. Образуют ли эти сигналы линейное пространство?

Нет, не образуют, так как не выполняется, по крайней мере, первая аксиома линейного пространства (сумма двух сигналов с амплитудой более 5 вольт превышает 10 вольт). Требуются дополнительные структурные ограничения по параметрам сигналов.

Сигналы могут описываться как вещественными, так и комплексными функциями, и линейные пространства также могут быть вещественными или комплексными.

Множество L, для которого выполняются данные аксиомы, при анализе сигналов и систем может рассматриваться как специальным образом сконструированное многомерное (в пределе – бесконечномерное) геометрическое пространство. Сигналы таких линейных пространств называют векторами в силу аналогии их свойств со свойствами векторов. Рассмотрим это на конкретном примере.

Представим себе произвольный сигнал s(t), заданный на интервале [a, b]. Дискретизируем сигнал с равномерным шагом дискретизации и переведем в цифровую форму (представим N последовательными выборками):

s = (s 1 , s 2 , … , s N ).

В таком представлении величина s может рассматриваться в виде N-мерного вектора в N-мерном пространстве, в котором значения s n представляют собой проекции s-вектора на координатные оси данного пространства. Двумерный вектор в двумерном пространстве – это точка с координатами s 1 и s 2 на рис. 2.1.1. Соответственно, в трехмерном пространстве сигнал s представлен точкой в трехмерном пространстве. Представить себе N-мерное пространство при N>3 можно только абстрактно, но с математических позиций такое пространство вполне реально и N-мерный сигнал s отображается вполне определенной точкой в этом пространстве с координатами s n по осям пространства. При уменьшении интервала дискретизации сигнала до бесконечно малой величины значение N стремится к бесконечности, и пространство сигналов превращается в бесконечномерное пространство аналоговых сигналов. Следовательно, и аналоговые сигналы могут рассматриваться как предельный случай бесконечномерных векторов.

Рис. 2.1.1. Пространства сигналов и функций.

С учетом вышеизложенного, для математического анализа систем и сигналов в линейном пространстве может использоваться математика векторов. Основными метрическими параметрами векторного анализа являются норма, метрика и скалярное произведение сигналов.

Норма сигналов в линейном пространстве является аналогом длины векторов и обозначается индексом ||s(t)|| — норма (norm). В математике существуют различные формы норм. При анализе сигналов обычно используются квадратичные нормы :

Соответственно, для дискретных сигналов:

Для комплексных сигналов :

где s*(t) – величины, комплексно сопряженные с s(t).

Линейное пространство сигналов L является нормированным, если каждому сигналу пространства s(t) однозначно сопоставлена его числовая норма ||s(t)||, и выполняются следующие аксиомы:

Норма неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда сигнал равен нулю (||s(t)|| = Ж , при s(t) = Ж ).

Для любого числа b должно быть справедливо равенство : ||bs(t)|| = |b| Ч ||s(t)||.

Если v(t) и u(t) – сигналы из пространства L, то должно выполняться неравенство треугольника : ||v(t)+u(t)|| Ј ||v(t)|| + ||u(t)||.

Пример норм для двумерных цифровых сигналов приведен на рис. 2.1.2.

Метрика сигналов. Линейное пространство сигналов L является метрическим, если каждой паре сигналов s(t) О L и v(t) О L однозначно сопоставляется неотрицательное число r (s(t),v(t)) – метрика (metric) или расстояние между векторами. Пример метрики для двух векторов в двумерном пространстве приведен на рис. 2.1.2.

Для метрик сигналов в метрическом пространстве любой размерности должны выполняться аксиомы:

r (s(t),v(t)) = r (v(t),s(t)) – рефлексивность метрики.

r (s(t),s(t)) = 0 для любых s(t) О L.

r (s(t),v(t)) Ј r (s(t),a) + r (a,v(t)) для любых a О L.

Метрика определяется нормой разности двух сигналов (см. рис. 2.1.2) :

В свою очередь норму можно отождествлять с расстоянием от выбранного элемента пространства до нулевого : ||s(t)|| = r (s(t), Ж ).

По метрике сигналов можно судить, например, о том, насколько точно один сигнал может быть аппроксимирован другим сигналом, или насколько изменяется выходной сигнал относительно входного при прохождении через какое-либо устройство.

Пример. Сигнал на интервале (0,Т) представляет собой половину периода синусоиды амплитудой A: s(t) = A Ч sin( p t/T), 0 Ј t Ј T. Требуется аппроксимировать сигнал прямоугольным импульсом п(t) (см. рис. 2.1.3).

Если принять амплитуду импульса п(t) равной В, то квадрат расстояния между сигналами: r 2 (s,п) = (A sin( p t/T)-В) 2 dt = A 2 T/2 — 4ABT/ p + B 2 T.

Для решения задачи требуется найти минимум выражения r 2 (s,п). Дифференцируем полученное выражение по В, приравниваем нулю и, решая относительно В, находим значение экстремума: В = 2A/ p » 0.64А. Это искомое значение минимума функции r 2 (s,п), так как вторая производная функции по В положительна. При этом минимальное значение метрики: r min » 0.31A . Вычислим нормы сигналов при А = 1:

Е s = А 2 sin 2 ( p t/T) dt = A 2 T/2 = 10. Норма: ||s(t)|| = = 0.707 A » 3.16.

Е п = B 2 dt = B 2 T » 8.1. Норма: ||п(t)|| = = B » 2.85.

Скалярное произведение произвольных сигналов u(t) и v(t) отражает степень их связи (сходства) по форме и положению в пространстве сигналов, и обозначается как б u(t), v(t) с .

б u(t), v(t) с = ||u(t)|| Ч ||v(t)|| cos j , (2.1.4)

Физическую сущность скалярного произведения векторов в двумерном пространстве можно видеть достаточно наглядно (рис. 2.1.4). Это произведение «длины» (нормы) одного вектора на проекцию второго вектора по «направлению» первого вектора.

Рис. 2.1.4. Скалярное произведение сигналов в двумерном пространстве.

При кажущейся абстрактности скалярного произведения сигналов оно может приобретать вполне конкретный физический смысл для конкретных физических процессов, которые отображаются этими сигналами. Так, например, если v = F – сила, приложенная к телу, а u = s – перемещение тела под действием этой силы, то скалярное произведение W = F·s определяет выполненную работу, при условии совпадения силы с направлением перемещения. В противном случае, при наличии угла j между векторами силы и перемещения, работа будет определяться проекцией силы в направлении перемещения, т.е. W = s·F·cos j .

Вычисление скалярного произведения обычно производится непосредственно по сигнальным функциям. Поясним это на примере двумерных сигналов с использованием рисунка 2.1.2. Для квадрата метрики сигналов s и v имеем:

||s-v|| 2 = ||s|| 2 + ||v|| 2 – 2 ||s|| ||v|| cos j = ||s|| 2 + ||v|| 2 – 2 б s, v с .

2 б s,v с = ||s|| 2 + ||v|| 2 — ||s-v|| 2 = (s 1 2 +s 2 2 )+(v 1 2 +v 2 2 )– <(s 1 -v 1 ) 2 +(s 2 -v 2 ) 2 >= 2 (s 1 v 1 +s 2 v 2 ).

б s,v с = s 1 v 1 +s 2 v 2 .

Обобщая полученное выражение на аналоговые сигналы:

б s(t), v(t) с = s(t)v(t) dt. (2.1.5)

Соответственно, для дискретных сигналов в N-мерном пространстве:

б s n , v n с = s n v n . (2.1.5′)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами :

б as,v с = a б s,v с , где а – вещественное число;

б s+v, a с = б s,a с + б v,a с .

Линейное пространство аналоговых сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н (второе распространенное обозначение — L 2 ). Линейное пространство дискретных и цифровых сигналов — пространством Евклида (обозначение пространства — R 2 ). В этих пространствах справедливо фундаментальное неравенство Коши-Буняковского (модуль косинуса в (2.1.4) может быть только равным или меньше 1) :

| б s,v с | Ј ||s|| Ч ||v||. (2.1.6)

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение вычисляется по формуле :

б s(t), v(t) с = s(t)v*(t) dt. (2.1.7)

При определении функций в пространстве L 2 [a,b] вычисление скалярного произведения производится соответственно с пределами интегрирования от а до b.

Из выражения (2.1.4) следует косинус угла между сигналами:

cos j = б s(t),v(t) с / (||s|| Ч ||v||). (2.1.8)

Пример. Имеется два смещенных во времени прямоугольных импульса с одинаковой амплитудой и длительностью: s 1 (t) = 2 при 0 Ј t Ј 5, s 1 (t) = 0 при других t; и s 2 (t) = 2 при 4 Ј t Ј 9, s 2 (t) = 0 при других t.

Квадраты норм сигналов: ||s 1 || 2 = s 1 2 (t)dt = 20. ||s 2 || 2 = s 2 2 (t)dt = 20

Скалярное произведение: б s 1 ,s 2 с = s 1 (t) s 2 (t) dt = 8.

Отсюда имеем: cos j = (s 1 ,s 2 )/ (||s 1 || Ч ||s 2 ||) = 8/20 = 0.4 и j » 1.16 радиан » 66 о

При полном совмещении сигналов: б s 1 ,s 2 с = s 1 (t) s 2 (t) dt = 20, cos j = 1, j = 0.

При отсутствии перекрытия сигналов; б s 1 ,s 2 с = 0, cos j = 0, j = 90 о .

Физическое понятие «угла» между многомерными сигналами довольно абстрактно. Однако при рассмотрении выражения (2.1.8) совместно с выражением для квадрата метрики сигналов

r 2 (s,v) = [s(t)-v(t)] 2 dt = ||s|| 2 + ||v|| 2 — 2 Ч ||s|| Ч ||v|| cos j .

можно отметить следующие закономерности. При j = 0 (cos j = 1) сигналы «совпадают по направлению» и расстояние между ними минимально. При j = p /2 (cos j = 0) сигналы «перпендикулярны друг другу» (иначе говоря – ортогональны), и проекции сигналов друг на друга равны 0. При j = p (cos j = -1) сигналы «противоположны по направлению» и расстояние между сигналами максимально. Фактор расстояния между сигналами играет существенную роль при их селекции в многоканальных системах.

Коэффициент корреляции сигналов. Одновременно заметим, что значение косинуса в (2.1.8) изменяется от 1 до -1, и не зависит от нормы сигналов («длины» векторов). Максимальное значение cos j = 1 соответствует полной тождественности относительной динамики сигналов, минимальное значение cos j = -1 наблюдается при полной противоположности значений относительной динамики сигналов. По существу, коэффициент r = cos j является интегральным коэффициентом степени сходства формы сигналов по пространству их задания. С учетом этого он и получил название коэффициента корреляции сигналов . На рис. 2.1.5 можно наглядно видеть значения коэффициента корреляции двух сигналов в зависимости от их формы и сдвига по независимой переменной.

Рис. 2.1.5. Коэффициент корреляции сигналов.

Однако количественные значения коэффициентов корреляции существенно зависят от выбора нулевой точки сигнального пространства. Рассмотрим это более детально на конкретном примере.

На рис. 2.1.6 приведено изменение средней месячной температуры воздуха в трех городах земного шара в течение одного календарного года. Характер корреляции между изменениями температур в городах достаточно хорошо виден на графиках. Вычислим (см. пример ниже) значения коэффициентов корреляции для шкалы температур по Цельсию.

Пример. Среднемесячная температура воздуха в городах по Цельсию:

Буэнос — Айрес: B k = <26,24,21,18,14,11,10,10,12,15,20,23>. Нумерация месяцев: k = 1, 2, 3, …, 12.

Норма сигналов: ||E|| = = 45.39, ||D|| = = 93.05, ||B|| = = 61.9.

Скалярные произведения: б E, D с = = 2542, б E, B с = 268, б B, D с = 4876.

Коэффициенты корреляции: Екатеринбург – Дели: r ED = б E, D с / (||E|| ||D||) = 0.602.

Екатеринбург – Буэнос-Айрес: r EB = 0.095, Дели – Буэнос-Айрес: r DB = 0.847,

Как следует из вычислений, полученные коэффициенты корреляции маловыразительны. Практически не регистрируется разнонаправленная корреляция Екатеринбург — Буэнос-Айрос, и не различаются одно- (Екатеринбург – Дели) и разнонаправленные (Дели – Буэнос-Айрос) типы корреляции.

Повторим вычисления в шкале Фаренгейта (0 о F = -17,8 o C, 100 o F = +37,8 o C), и в абсолютной шкале температур Кельвина. Дополнительно вычислим значения коэффициентов корреляции в шкале Цельсия и Фаренгейта для центрированных сигналов. Центрированный сигнал вычисляется путем определения среднего значения сигнала по интервалу его задания и вычитания этого среднего значения из исходных значений сигнала, т.е. среднее значение центрированного сигнала равно нулю. Сводные результаты вычислений приведены в таблице.

Коэффициенты корреляции сигналов

Пары городов

Нецентрированные сигналы

Центрированные сигналы

Цельсий

Фаренгейт

Кельвин

Цельсий

Фаренгейт

Дели – Буэнос-Айрес

Как видно из таблицы, значения коэффициента корреляции нецентрированных сигналов существенно зависят от положения сигналов относительно нулевой точки пространства. При одностороннем смещении сигналов относительно нуля (шкала Фаренгейта) значение коэффициента корреляции может быть только положительным, и тем ближе к 1, чем дальше от сигналов нулевая точка (шкала Кельвина), т.к. при больших значениях сигналов-векторов значение скалярного произведения сигналов стремится к значению произведения норм сигналов.

Для получения значений коэффициентов корреляции, независимых от нуля сигнального пространства и от масштаба единиц измерений, необходимо вычислять коэффициент по центрированным сигналам, при этом в оценках коэффициента, как это видно из результатов, приведенных в таблице, появляется знаковый параметр совпадения (или несовпадения) по «направлению» корреляции и исчезает зависимость от масштаба представления сигналов. Это позволяет вычислять коэффициенты корреляции различных сигналов вне зависимости от физической природы сигналов и их величины.

Координатный базис пространства. Для измерения и отображения одномерных величин достаточно одного нормированного параметра – стандарта величины или единицы ее измерения (для измерения длины – сантиметр, для измерения тока – ампер, и т.п.).

В пространстве сигналов роль такого метрологического стандарта выполняет координатный базис пространства — подмножество векторов <е 1 , е 2 , е 3 , …>со свойствами ортогональных координатных осей, по которым можно разложить любой произвольный сигнал, принадлежащий этому линейному пространству.

Совокупность векторов e i пространства L является линейно независимой и образует координатный базис пространства, если равенство a i e i = Ж выполняется только в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов a i . При этом произвольный сигнал s(t) может быть разложен по координатному базису e i в виде

s(t) = с i e i , (2.1.9)

где числа с i – проекции сигнала s(t) на координатный базис.

Число базисных векторов определяет размерность векторного пространства. Так, для двумерных векторов в качестве ортогонального базиса пространства могут быть приняты векторы , если выполняется условие их взаимной перпендикулярности – нулевое значение скалярного произведения б v 1 , v 2 с = 0. При ||v 1 || = ||v 2 || = 1 эта пара векторов является ортонормированным базисом с единичными векторами координатных осей в качестве стандарта (единицы измерения) пространства.

Пример. Могут ли быть приняты в качестве координатного базиса двумерного пространства векторы

v 1 = ( /2, 1/2), v 2 = (-1/2, /2).

б v 1 , v 2 с = ( /2)·(-1/2) + (1/2)·( /2) = 0. Векторы ортогональны.

||v 2 || = = 1. Векторы нормированы.

Векторы могут быть ортонормированным базисом пространства.

Разложение произвольного двумерного вектора — сигнала s в двумерном пространстве по координатным осям элементарно:

s = c 1 v 1 + c 2 v 2 , (2.1.10)

где коэффициенты с 1 и с 2 выражают значения составляющих вектора s по направлениям векторов v 1 и v 2 , т.е. являются проекциями вектора s на координатный базис пространства . Значения проекций определяются скалярными произведениями:

c 1 = б s, v 1 с , c 2 = б s, v 2 с .

В последнем нетрудно убедиться, если вычислить скалярные произведения левой и правой части выражения (2.1.10) сначала с вектором v 1 :

б s, v 1 с = б (c 1 v 1 +c 2 v 2 ), v 1 с = б с 1 v 1 , v 1 с + б с 2 v 2 , v 1 с = с 1 б v 1 , v 1 с + с 2 б v 2 , v 1 с .

При ортонормированности базиса имеем:

б v 1 , v 1 с = ||v 1 || 2 = 1, б v 2 , v 1 с = 0.

Отсюда следует: б s, v 1 с = с 1 . Аналогичным образом можно получить и выражение для значения c 2 = б s, v 2 с .

Пример. Разложить вектор s = ( /2, 5/2) по базису, представленному векторами

v 1 = ( /2, 1/2) и v 2 = (-1/2, /2) из предыдущего примера .

s = c 1 v 1 + c 2 v 2 .

с 1 = б s, v 1 с = ( /2)·( /2) + (5/2)·(1/2) = 2.

с 2 = б s, v 2 с = ( /2)·(-1/2) + (5/2)·( /2) = .

Результат: В пространстве с базисом вектор s однозначно определяется двумя векторами v 1 и векторами v 2 . s = 2v 1 + v 2 .

2.2. Мощность и энергия сигналов [1,3,16].

Понятия мощности и энергии в теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отражающими определенные свойства сигналов и динамику изменения их значений (отсчетов) во времени, в пространстве или по любым другим аргументам.

Для произвольного, в общем случае комплексного, сигнала s(t) = a(t)+jb(t), где а(t) и b(t) — вещественные функции, мгновенная мощность (instantaneous power) сигнала по определению задается выражением:

w(t) = s(t) s*(t) = [a(t)+jb(t)] [a(t)-jb(t)] = a 2 (t)+b 2 (t) = |s(t)| 2 , (2.2.1)

т.е. функция распределения мгновенной мощности по аргументу сигнала равна квадрату функции его модуля, для вещественных сигналов — квадрату функции амплитуд.

Аналогично для дискретных сигналов:

w n = s n s* n = [a n +jb n ] [a n -jb n ] = a n 2 + b n 2 = |s n | 2 , (2.2.1′)

Энергия сигнала (также по определению) равна интегралу от мощности по всему интервалу существования или задания сигнала. В пределе:

Е s = w(t)dt = |s(t)| 2 dt. (2.2.2)

E s = w n = |s n | 2 . (2.2.2′)

Мгновенная мощность w(t) является плотностью мощности сигнала, так как измерения мощности возможны только через энергию на интервалах ненулевой длины:

w( t ) = (1/ D t) |s(t)| 2 dt .

Энергия сигналов может быть конечной или бесконечной. Конечную энергию имеют финитные сигналы и сигналы, затухающие по своим значениям в пределах конечной длительности, которые не содержат дельта-функций и особых точек (разрывов второго рода и ветвей, уходящих в бесконечность). В противном случае их энергия равна бесконечности. Бесконечна также энергия периодических сигналов.

Как правило, сигналы изучаются на определенном интервале Т, для периодических сигналов — в пределах одного периода Т, при этом средняя мощность (average power) сигнала:

W T ( t ) = (1/T) w(t) dt = (1/T) |s(t)| 2 dt. (2.2.3)

Понятие средней мощности может быть распространено и на незатухающие сигналы, энергия которых бесконечно велика. В случае неограниченного интервала Т строго корректное определение средней мощности сигнала должно производиться по формуле:

Квадратный корень из значения средней мощности характеризует действующее (среднеквадратическое) значение сигнала (root mean sqare, RMS).

Применительно к электрофизическим системам, данным понятиям мощности и энергии соответствуют вполне конкретные физические величины. Допустим, что функцией s(t) отображается электрическое напряжение на резисторе, сопротивление которого равно R Ом. Тогда рассеиваемая в резисторе мощность, как известно, равна (в вольт-амперах):

а полная выделенная на резисторе тепловая энергия определяется соответствующим интегрированием мгновенной мощности w(t) по интервалу задания напряжения s(t) на резисторе R. Физическая размерность мощности и энергии в этом случае определяется соответствующей физической размерностью функции напряжения s(t) и сопротивления резистора R. Для безразмерной величины s(t) при R=1 это полностью соответствует выражению (2.2.1). В теории сигналов в общем случае сигнальные функции s(t) не имеют физической размерности, и могут быть формализованным отображением любого процесса или распределения какой-либо физической величины, при этом понятия энергии и мощности сигналов используются в более широком смысле, чем в физике. Они представляют собой специфические метрологические характеристики сигналов.

Из сравнения выражений (2.1.2) и (2.2.2) следует, что энергия и норма сигнала связаны соотношениями:

E s = ||s(t)|| 2 , ||s(t)|| = (2.2.4)

Пример. Цифровой сигнал задан функцией s(n) = <0,1,2,3,4,5,4,3,2,1,0,0,0,0. >.

Энергия сигнала: E s = s 2 (n) = 1+4+9+16+25+16+9+4 +1 = 85. Норма: ||s(n)|| = » 9.22

Вычислим энергию суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) :

E = [u(t)+v(t)] 2 dt = E u + E v + 2 u(t)v(t) dt. (2.2.5)

Как следует из этого выражения, энергии сигналов (а равно и их мощности), в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию :

E uv = 2 u(t)v(t) dt. (2.2.6)

Нетрудно заметить, что энергия взаимодействия сигналов равна их удвоенному скалярному произведению :

E uv = 2 б u(t), v(t) с . (2.2.6′)

При обработке данных используются также понятия мощности взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t):

w xy (t) = x(t) y*(t), (2.2.7)

Для вещественных сигналов:

w xy (t) = w yx (t) = x(t) y(t). (2.2.8)

С использованием выражений (2.2.7-8) интегрированием по соответствующим интервалам вычисляются значения средней мощности взаимодействия сигналов на определенных интервалах Т и энергия взаимодействия сигналов.

2.3. пространства функций [1,3,11,16,29].

Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Нормирование метрических параметров . Норма функций в пространстве L 2 [a, b] определяется выражением:

Нетрудно заключить, что чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при прочих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов (как аналоговых, так и многомерных дискретных) такое понятие не всегда удобно, и вместо него очень часто используют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала[a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак С :

Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:

d С (s(t), v(t)) = , d С (s n , v n ) =

Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигналов или среднеквадратической погрешности выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоретически ожидаемым или априорно известным.

Нормированное скалярное произведение сигналов:

б s(t), v(t) с С = s(t)v(t) dt = ||s(t)|| С ||v(t)|| С cos j .

б s n , v n с С =(1/N) s n v n = ||s n || С ||s n || С cos j .

Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами – функциями не изменяет своих значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скалярного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения (2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.

Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются на длину главного периода Т.

Ортогональные сигналы. Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение :

б u(t), v(t) с = u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен j = 90 о ), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos j = 0) , и имеют нулевую энергию взаимодействия (E uv = 0).

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых — взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, энергии взаимодействия.

Ортонормированный базис пространства. Множество сигналов – векторов в N-мерном декартовом пространстве при единичной норме и выполнении условий взаимной ортогональности:

б v m , v n с = (2.3.1)

могут быть приняты в качестве ортонормированного базиса данного пространства. Выражение (2.3.1) обычно записывается в следующей форме:

б v m , v n с = d mn , (2.3.1′)

где d mn – импульс Кронекера, равный правой части выражения (2.3.1).

С использованием ортонормированного базиса любой произвольный сигнал можно представить в виде линейной комбинации взвешенных базисных векторов:

s = c 1 v 1 + c 2 v 2 + … + c N v N ,

где весовое значение с k определяется проекцией вектора s на соответствующее координатное направление:

При распространении данных положений на функциональное пространство L 2 [a, b] в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций , в пределе — бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций , т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

б u m (t), u n (t) с = u m (t) u n (t) dt = 0, m = 1, 2, . ; n = 1, 2, . ; m № n.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при m=n имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

б u m (t), u m (t) с = ||u m (t)|| 2 = (u m (t)) 2 dt = 1, ||u m (t)|| = 1, m = 1, 2, .

Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

u m (t)·u n * (t) dt = d m,n .

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

Разложение сигнала в ряд. Произвольный сигнал s(t) О H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций u k (t) :

s(t) = c k u k (t). (2.3.2)

Для нахождения значений коэффициентов с k умножим обе части данного выражения на базисную функцию u m (t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим :

s(t)u m (t) dt = c k u m u k dt.

С учетом ортонормированности функций u i (t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при u k u k dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление :

c k = s(t)u k (t) dt. (2.3.2)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты с k представляют собой проекции вектор — сигнала s(t) на соответствующие базисные направления u k (t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе — бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (2.3.2) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов c k обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

б x(t), y(t) с = x(t)y(t) dt = [ a n u n (t)] [ b m u m (t)] dt = a n Ч b n . (2.3.3)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.3.3):

cos j = a n Ч b n / (||x(t)|| Ч ||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

— для любого сигнала ряды разложения должны сходиться;

— при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

— функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

— коэффициенты разложения должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt Ґ , |s'(t)| dt Ґ .

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, как и координатных осей для обычного трехмерного пространства (декартовы, цилиндрические, сферические и пр.), определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов. При спектральном анализе сигналов используются, в основном, два вида ортонормированных функций : гармонические функции и функции Уолша.

На интервале [- p , p ] рассмотрим систему следующих гармонических функций:

Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы:

б 1, sin kt с =(1/2 p ) sin kt dt = (1/2k p ) [cos k p — cos(-k p)] = 0, k = 1, 2, 3, …

б sin mt, sin nt с =(1/2 p ) sin mt sin nt dt =(1/4 p ) dt =

Следовательно, система (2.3.4) является системой взаимно ортогональных функций. Норма функций:

||sin kt|| 2 =(1/2 p ) sin 2 kt dt= (1/4 p ) (1-cos 2kt) dt= =1/2.

||sin kt|| = 1/ , k = 1, 2, 3, …

Соответственно, для превращения системы (2.3.4) в ортонормированную следует разделить все функции системы на значение нормы (рис. 2.3.2):

Рис. 2.3.2. Ортонормированный базис гармонических функций.

Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гармонических функций:

и объединенной синус-косинусной системы:

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(j w t) = cos( w t) + j sin( w t), exp(-j w t) = cos( w t) — j sin( w t),

cos( w t) = [ехр(j w t)+exp(-j w t)]/2, sin( w t) = [ехр(j w t)-exp(-j w t)]/2j

всегда можно перейти к синус-косинусным функциям. Термин «частотного» обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной «х», как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту — число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только ± 1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша : wal (k,х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы : четные и нечетные функции cal(n,х) = wal(2n,х), – аналогичные косинусам, и sal(n,х) = wal (2n-1,х), – аналогичные синусам.

Рис. 2.3.3. Функции Уолша.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала. Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье (2.3.2). Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2) :

E s = s 2 (t) dt = c m c n u m u n dt = c m c n u m u n dt. (2.3.7)

В этом выражении в силу ортонормированности базисной системы отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда :

E s = s 2 (t) dt = c n 2 , (2.3.8)

т.е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется, и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

2.4. Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].

Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом.

Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов (correlation function, CF). Применительно к детерминированным сигналам с конечной энергией АКФ является количественной интегральной характеристикой формы сигнала, и представляет собой интеграл от произведения двух копий сигнала s(t), сдвинутых относительно друг друга на время t :

B s ( t ) = s(t) s(t+ t ) dt. (2.4.1)

Как следует из этого выражения, АКФ является скалярным произведением сигнала и его копии в функциональной зависимости от переменной величины значения сдвига t . Соответственно, АКФ имеет физическую размерность энергии, а при t = 0 значение АКФ непосредственно равно энергии сигнала и является максимально возможным (косинус угла взаимодействия сигнала с самим собой равен 1):

B s (0) = s(t) 2 dt = E s .

Функция АКФ является непрерывной и четной. В последнем нетрудно убедиться заменой переменной t = t- t в выражении (2.4.1):

B s ( t ) = s(t) s(t- t ) dt = s(t- t ) s(t) dt = B s (- t ).

С учетом четности, графическое представление АКФ обычно производится только для положительных значений t . Знак + t в выражении (2.4.1) означает, что при увеличении значений t от нуля копия сигнала s(t+ t ) сдвигается влево по оси t. На практике сигналы обычно также задаются на интервале положительных значений аргументов от 0-Т, что дает возможность продления интервала нулевыми значениями, если это необходимо для математических операций. В этих границах вычислений более удобным является сдвиг копии сигнала влево по оси аргументов, т.е. применение в выражении (2.4.1) функции s(t- t ):

B s ( t ) = s(t) s(t- t ) dt. (2.4.1′)

По мере увеличения значения величины сдвига t для финитных сигналов временное перекрытие сигнала с его копией уменьшается, а, соответственно, косинус угла взаимодействия и скалярное произведение в целом стремятся к нулю:

Пример. На интервале (0,Т) задан прямоугольный импульс с амплитудным значением, равным А. Вычислить автокорреляционную функцию импульса.

При сдвиге копии импульса по оси t вправо, при 0≤ t ≤T сигналы перекрываются на интервале от t до Т. Скалярное произведение:

B s ( t ) = A 2 dt = A 2 (T- t ).

При сдвиге копии импульса влево, при -T≤ t t . Скалярное произведение:

B s ( t ) = A 2 dt = A 2 (T+ t ).

При | t | > T сигнал и его копия не имеют точек пересечения и скалярное произведение сигналов равно нулю (сигнал и его сдвинутая копия становятся ортогональными).

Обобщая вычисления, можем записать:

В случае периодических сигналов АКФ вычисляется по одному периоду Т, с усреднением скалярного произведения и его сдвинутой копии в пределах этого периода:

B s ( t ) = (1/Т) s(t) s(t- t ) dt.

При t =0 значение АКФ в этом случае равно не энергии, а средней мощности сигналов в пределах интервала Т. АКФ периодических сигналов при этом также является периодической функцией с тем же периодом Т. Так, для сигнала s(t) = A cos( w 0 t+ j 0 ) при T=2 p / w 0 имеем:

B s ( t ) = A cos( w 0 t+ j 0 ) A cos( w 0 (t- t )+ j 0 ) = (A 2 /2) cos( w 0 t ).

Отметим, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала, что характерно для любых периодических сигналов и является одним из свойств КФ.

Для сигналов, заданных на определенном интервале [a, b], вычисление АКФ также производится с нормировкой на длину интервала [a, b]:

B s ( t ) = s(t) s(t+ t ) dt. (2.4.2)

В пределе, для непериодических сигналов с измерением АКФ на интервале Т:

Автокорреляция сигнала может оцениваться и коэффициентом автокорреляции, вычисление которого производится по формуле (по центрированным сигналам):

r s ( t ) = cos j ( t ) = б s(t), s(t+ t ) с / ||s(t)|| 2 .

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) сигналов (cross-correlation function, CCF) показывает степень сходства сдвинутых экземпляров двух разных сигналов и их взаимное расположение по координате (независимой переменной), для чего используется та же формула (2.4.1), что и для АКФ, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых сдвинут на время t :

B 12 ( t ) = s 1 (t) s 2 (t+ t ) dt. (2.4.3)

При замене переменной t = t- t в формуле (2.4.3), получаем:

B 12 ( t ) = s 1 (t- t ) s 2 (t) dt = s 2 (t) s 1 (t- t ) dt = B 21 (- t )

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, а значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0. Это можно наглядно видеть на рис. 2.4.1, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (2.4.3) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+ t )).

При t =0 сигналы ортогональны и значение B 12 ( t )=0. Максимум В 12 ( t ) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t =1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+ t ). При вычислении значений B 21 (- t ) аналогичный процесс выполняется последовательным сдвигом сигнала s1(t) вправо по временной оси с постепенным увеличением отрицательных значений t , а соответственно значения B 21 (- t ) являются зеркальным (относительно оси t=0) отображением значений B 12 ( t ), и наоборот. На рис. 2.4.2 это можно видеть наглядно.

Таким образом, для вычисления полной формы ВКФ числовая ось t должна включать отрицательные значения, а изменение знака t в формуле (2.4.3) равносильно перестановке сигналов.

Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не применяется, за исключением сигналов с одинаковым периодом, например, сигналов входа и выхода систем при изучении характеристик систем.

Коэффициент взаимной корреляции двух сигналов вычисляется по формуле (по центрированным сигналам):

r sv ( t ) = cos j ( t ) = б s(t), v(t+ t ) с / ||s(t)|| ||v(t)||. (2.4.4)

Значение коэффициента взаимной корреляции может изменяться от -1 до 1.

2.5. математическое описание шумов и помех [1, 30].

Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы — шумы и помехи самой различной природы. К помехам относят также искажения информационных сигналов при влиянии различных дестабилизирующих факторов на процессы измерений, как, например, влияние микрокаверн в стенках скважины на измерения в рентгенорадиометрических методах каротажа, грозовых разрядов на электроразведочные методы измерений и т.п. Выделение информационных составляющих из зарегистрированных сигналов или максимальное подавление шумов и помех в информационном сигнале при сохранении его полезных составляющих является одной из основных задач первичной обработки сигналов (результатов наблюдений).

Если помехи известны и регулярны, как например, фон переменного тока, то борьба с ними особых затруднений не представляет. Наибольшие трудности представляет борьба со случайными (непредсказуемыми) помехами. В общей форме влияние помех на регистрируемый сигнал записывается в следующем виде:

где s(t) – информационная (полезная) часть сигнала, q(t) – помеха.

Помеха называется аддитивной, и обычно именуется шумом, если выражение (2.5.1) представляет собой простую сумму сигнала и помехи:

Если случайный процесс v(t), оказывающий влияние на сигнал, является неотрицательным, а его влияние выражается в форме:

то помеху v(t) называют мультипликативной .

В общем случае в сигнале могут присутствовать оба вида помех:

y(t) = v(t) s(t) + q(t). (2.5.4)

Природа помех . Как правило, случайные шумовые помехи (аддитивные) порождаются различного рода физическими флюктуациями – случайными отклонениями тех или иных физических величин от своих средних значений. Природа флюктуаций обычно определяется статистической природой физических процессов. Многие физические величины представляют собой результаты усреднения определенных параметров физических процессов, дискретных и случайных по своей природе. Так, например, тепловой шум регистрируемого напряжения на резисторах электрических цепей обуславливается флюктуациями теплового движения носителей зарядов — случайностью процесса дрейфа отдельных электронов по резистору, по суммарной интенсивности движения которых и формируется падение напряжения на резисторе. Дискретной является природа электромагнитных видов излучения – дискретный квант энергии излучения (фотон) определен значением h n , где h – постоянная Планка, n — частота. Флюктуации физических величин, дискретных и случайных по своей природе, принципиально неустранимы, и речь может идти только о том, чтобы уменьшать их относительную величину имеющимися в нашем распоряжении средствами.

Природа мультипликативных помех обычно связана с изменениями условий измерений, параметров каналов передачи данных и систем их обработки, т.е. когда случайные помехи накладываются не на сам сигнал непосредственно, а на системы, в которых этот сигнал формируется и обращается, вызывая опосредствованные искажения сигнала, как линейные, так и нелинейные.

Характеристики помех. В математическом описании помехи представляются случайными функциями времени. Случайную функцию непрерывного времени обычно называют случайным процессом , ее дискретный аналог – случайной последовательностью . Как правило, помехи относятся к классу стационарных случайных процессов, и характеризуются своими распределениями и моментами распределений, как их числовыми параметрами. Основное распределение большинства шумовых сигналов – нормальное (гауссов процесс). Это объясняется тем, что распределение сумм независимых случайных величин, из которых складываются случайные помехи, сходится к нормальному, вне зависимости от характера распределения слагаемых (теорема Ляпунова).

Момент первого порядка выражает среднее значение (постоянную составляющую) случайного процесса. Теоретическое значение и оценка момента (по интервалу [a, b]):

где p(q) – плотность вероятностей значений q.

Центральный момент второго порядка определяет дисперсию процесса:

D = s 2 = (q- ) 2 ·p(q) dq = — 2 . (2.5.6)

Дисперсия выражает мощность переменной составляющей процесса. Корень квадратный из значения дисперсии, т.е. значение s , является средним квадратическим значением разброса случайных значений q относительно среднего значения .

Смешанный момент второго порядка называется функцией автокорреляции случайного процесса q(t):

M = x 1 x 2 ·p(x 1 ,x 2 ) dx 1 dx 2 = B( t ). (2.5.7)

Величина B( t ) при t = 0 равна общей мощности случайного процесса q(t).

На практике большинство случайных процессов обладают свойством эргодичности. Оно заключается в том, что средние значения по множеству реализаций (математические ожидания, вычисляемые по плотностям распределений (2.5.5-7)) совпадают со средними значениями по времени Т одной реализации процесса при Т Ю Ґ . Это позволяет производить оценку числовых значений параметров помех непосредственно по произвольным интервалам [a, b] задания сигналов:

s 2 = (q(t)- ) 2 dt » (q(t)- ) 2 dt. (2.5.9)

B(t) = q(t)q(t+ t ) dt » q(t)q(t+ t ) dt. (2.5.10)

Спектральная плотность мощности случайного процесса (распределение мощности помех и шумов по частоте) связано с функцией автокорреляции преобразованием Фурье. В одностороннем (физическом) представлении спектра:

B( f ) = 4 B( t ) cos 2 p f t d t . (2.5.11)

B(t) = B(f) cos 2 p f t d t . (2.5.12)

Аддитивную помеху с равномерным спектром

называют белым шумом. Мощность белого шума в полосе частот 0-F пропорциональна ширине полосы:

W F = B(f) df = B o F.

При белом шуме полоса частот всегда полагается конечной, т.к. в противном случае мы получим бесконечную мощность шумов.

Сигнал с аддитивной помехой обычно характеризуют не абсолютной мощностью помехи, а отношением средних мощностей сигнала и помехи, которое кратко называют отношением сигнал/помеха :

Значения случайных процессов являются некоррелированными только при неограниченной полосе частот. Любое ограничение частотной полосы вносит определенную корреляцию в процесс и независимыми друг от друга можно считать только значения процесса, отстоящие друг от друга как минимум на интервал корреляции t o :

t o = (2/W F ) B(t) dt = 1/2F.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы : Учебник для вузов. — М. : Высшая школа, 1988.

3. Васильев Д.В. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1982. — 528 с.

11. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей: Учебное пособие для вузов. — М.: Высшая школа, 1975. — 264 с.

16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях: В 2-х томах.- М.: Мир, 1983.

25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. / Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 203. – 608 с.

29. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. – Изд.: ДОДЭКА, 2002.

30. Харкевич А.А. Борьба с помехами. – М.: Наука, 1965.

Copyright ©2005 Davydov А.V.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира
01.10.2020 — 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога — это что, военный объект?
— Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Ортогональные сигналы для чайников. Ортогональные сигналы. Скалярное произведение сигналов

Увеличение числа уплотняемых каналов без увеличения числа физических линий возможно путём наделения сигналов особыми индивидуальными признаками, которые бы приводили к различению уплотняемых каналов с целью их дальнейшего разделения. Такими признаками в обще случае могут быть параметры переносчиков сигналов: амплитуда, частота, фаза в случае непрерывной модуляции, временное положение, длительность или форма импульсов при дискретной модуляции.

Пусть необходимо организовать одновременную и независимую работу индивидуальных каналов по общему групповому тракту. Предположим, что каждый канал есть результат я балансной амплитудной или узкополосной угловой модуляции первичного сигнала, линеаризованная модель которых в упрощённой форме имеет вид

где
соответственно первичный сигнал и функция переносчика -го канала,
.

Будем также полагать, что сумма верхних границ эффективно передаваемых участков спектра первичных сигналов намного меньше частоты канальных переносчиков, т.е.

Сигнал группового
тракта в соответствии с формулами (6.5) и (6.2) равен

Функцию модели группового сигнала можно увязать с фильтрующими свойствами дельта-функции (см. также формулу (4.9) третьей главы), а именно

где
дельта-функция;
-ый дискретный отсчёт сигнала
;
время дискретизации.

Согласно (6.7) подставим в (6.8) значения канальных сигналов
, взятые в отсчётные моменты времени
,

Если считать, что в канале передачи отсутствуют искажения и помехи, то оценка группового сигнала
(см. рисунок 6.1) равна сигналу
.

На приёмной стороне системы будем наблюдать за сигналом
в течение короткого промежутка времени , также для удобства возьмём
. Так как интервал относительно короткий, то согласно (6.6) изменение сигналов
,
будет обусловлено действием только одних переносчиков, а не первичных сигналов. Тогда можно положить, что значения первичного сигнала являются константами для выбранного промежутка времени наблюдения , т.е.

Нетрудно видеть, что условие (6.9) будет выполняться, если будут соблюдаться система равенств по отдельным отсчётам группового сигнала:

Система (6.11) получена с учётом (6.10).

Выражение (6.11) может быть переписано в компактной матричной форме. Введем в рассмотрение вспомогательный вектор отсчётов группового сигнала, вектор первичных сигналов и матрицу переносчиков
:

С учётом введенных обозначений система (6.11) будет описываться так

Так как передача группового сигнала происходит без искажения, то выделение первичных сигналов осуществляется по данным отсчётов группового сигнала. При этом признаки канальных сигналов определяются матрицей переносчиков
, которая должна быть «известной» для аппаратуры разделения каналов в приёмной части многоканальной системы. Другими словами, задача разделения каналов сводится к определению вектора отсчётных значений первичных сигналов при условии, что известными являются вектор наблюдения группового сигнала и матрица переносчиков
. Следовательно, чтобы определить вектор надо решить систему линейных уравнений (6.12). Решение (6.12) можно записать в виде

где
матрица обратная
;
единичная матрица размерности
. Как видно из (6.13), решение системы линейных уравнений (6.12) связано с обращением квадратной матрицы переносчиков
.

Из курса линейной алгебры известно, что обращение квадратной матрицы связано с вычислением её определителя. Обозначим определитель матрицы
как
. Также из теории решения линейных уравнений известно, что единственность (однозначность) решения (6.13) возможно, если

Ненулевое значение определителя (6.14) возможно тогда и только тогда, когда столбцы (и строки) матрицы
линейно независимы. Условие линейной независимости столбцов формулируется так: взвешенная сумма столбцов матрицы
равна нулевому вектору, т.е.

только тогда, когда числа . Если найдётся хотя бы одно число
, то определитель (6.14) будет равен нулю и система (6.12) не будет иметь единственного и однозначного решения , что говорит невозможности разделения каналов на приёмной стороне многоканальной системы.

Каждый столбец представлен в (6.15) отсчётами переносчиков -го канала. Следовательно, первое условие построения многоканальных систем связи заключается в обеспечениилинейной независимости переносчиков канальных сигналов.

Переносчики сигналов могут быть представлены непрерывными функциями времени
(
). В общем случае условие линейной независимости переносчиков канальных сигналов записывается в виде

только когда для некоторого временного интервала
, в течение которого осуществляется многоканальная передача сигналов.

Например, гармонические переносчики вида
(
) являются линейно независимыми, если будут иметь разные частоты для каждого канала. В противном случае они будут линейно зависимыми, даже, если будут характеризоваться разными значениями амплитуд .

Как видно из формулы (6.13) для того, чтобы восстановить вектор первичного сигнала необходимо произвести обращение матрицы
, что является достаточно трудоёмкой операцией, которая усложняется при увеличении
количества каналов.

Решение уравнения (6.12) существенно упрощается, если матрица E является ортогональной, т.е. её обратная матрица равняется транспонированной матрице

Выпишем подробнее произведение матриц
и приравняем его единичной матрице:

Из последнего равенства нетрудно установить новое свойство переносчиков: сумма произведения дискретных отсчётов «одноимённых» (с одним и тем же индексом одним и тем же номером канала
) переносчиков не равна нулю, а «разноимённых» (для разных индексов разных каналов
) равна нулю, т.е.

Свойство (6.17) определяет ортогональность переносчиков «разноимённых» канальных сигналов.

По существу левая часть выражения (6.17) в
-мерном пространстве Евклида есть скалярное произведение векторови, т.е.

где
индекс транспонирования. Скалярное произведение отражает проекцию векторов друг на друга. Так, если
векторы и ортогональны, то их взаимная проекция равна нулю. Если
, то сумма (6.17) и (6.18) равна квадрату длины (нормы) вектора .

Следует заметить, что если переносчики сигналов ортогональны, то решение линейной системы уравнений (6.12) резко упрощается

В общем случае, при
пространство Евклида переходит в бесконечномерное пространство Гильберта. В этом случае скалярное произведение отсчётов (6.17) заменяется скалярным произведением непрерывных функций переносчиков. Для вещественных функций переносчиков
и
принцип ортогональности на конечном временном интервале наблюдения
примет вид

Для бесконечного интервала наблюдения
ортогональность непрерывных переносчиков будет иметь вид

где
некоторая весовая функция (смысл её поясняется ниже).

Представленные основы теории линейного разделения каналов были построены без учёта действия помех и искажений в каналах передачи. В этих условиях построение многоканальных систем может осуществляться без особой разницы, как из условия линейной независимости, так и условия ортогональности канальных переносчиков . Однако при наличии в каналах помех предпочтение отдаётся многоканальным системам с ортогональными переносчиками, позволяющими повысить помехоустойчивость передаваемых сигналов.

Спектральное представление сигналов. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством: ,

s (t) = s (t ± пТ), п = 1, 2, . (3.8).

Здесь T-период сигнала.

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис.

Любая функция um из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (3.8). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s (t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты C m =(s,u m), получим спектральное разложение

, (3.9) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида (3.9) называется рядом Фурье.

Двасигнала и и v называются ортогональными , если их ска­лярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u,v)= . (3.1)

Пусть H- гильбертово пространство сигналов с конеч­ным к значением энергии (линейное пространство со скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре­дельные точки любых сходящихся последовательностей век­торов из этого пространства). Эти сигналы определены на отрезке времени , конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ­ций , ортогональных друг другу и обла­дающих единичными нормами:(ui,uj) = 1, если i=j (3.2)

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис .

Разложим произвольный сигнал s(t) H в ряд:

s(t)= (3.3) Представление (3.3) называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию и k произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (3.3) и затем про­интегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равен­ства (3.4) останется только член суммы с номером i = k, поэтому (3.5)

Прежде чем рассматривать общий случай когерентного приема, полезно и поучительно остановиться на частном слуяае ортогональных сигналов. Если при всех , получается существенное упрощение выражения для вероятности ошибки, так как в этом случае корреляционная матрица превращается в единичную (8.8) и переходит в следующее соотношение:

Заметим, что формула (8.9) представляет и общую вероятность ошибки, так как представляет просто переменную интегрирования и, следовательно, не зависит от переданного сигнала.

В § 8.1 были рассмотрены два примера ортогональных сигналов, соответствующих дискретной фазово-импульсной модуляции и дискретной частотной функции. Предположим, что время передачи сигнала равно Т, а мощность сигнала S. Тогда энергия сигнала

Каждый сигнал передает символов сообщения. Так как по предположению все символы независимы и с равной вероятностью могут быть нулями и единицами, то безошибочному приему сигнала соответствует прием k бит информации. Следовательно, скорость передачи информации,

которую обозначим R, равна

С помощью (8.10) и (8.11) можно выразить основной параметр через отношение сигнал/шум , скорость передачи R и число сигналов М:

При сравнении качества двух систем связи с различным числом передаваемых сигналов разумно предполагать одинаковые значения отношения и R и не одинаковые значения отношения . На рис. 8.3 показана зависимость вероятности ошибки от при . Кривые были построены на основании результатов численного интегрирования (8.9) с помощью вычислительной машины IBM 704 .

Вероятность ошибки представляет вероятность неправильного приема последовательности из k бит, т. е. вероятность того, что появится ошибка в одной или нескольких битах из последовательности k бит. Сравним эти соотношения с соотношениями для когерентной двоичной системы связи, рассмотренной в § 7.1. Предположим, что с помощью такой системы были переданы k последовательных бит. Было показано, что вероятность ошибки при приеме любого одного бита равна , где Е — энергия сигнала и — скалярное произведение сигнала . Так как передается только один бит, то . Для того чтобы минимизировать ошибку, необходимо применить противоположные сигналы, так что . Наконец, вероятность правильного приема k последовательных бит равна k-й степени вероятности правильного приема одного бита. Следовательно, вероятность ошибки в одном или нескольких последовательных битах из переданных k бит при применении двоичной когерентной системы связи и использовании противоположных сигналов равна

Рис. 8.3. Вероятность ошибки для ортогональных сигналов (k = 1, 2. 10, 15, 20).

Этот случай назовем некодированной передачей. На рис. 8.4 и 8.5 показаны для сравнения вероятности ошибок при некодированной передаче и при кодированной передаче с ортогональными сигналами для k = 5 и 10, вычисленные согласно (8.13) и (8.9) соответственно. Из рисунков видно, что при фиксированных значениях необходимая мощность сигнала уменьшается почти в два раза при и почти в четыре раза при . Другими словами, при фиксированных значениях и применение кодирования дает возможность приблизительно удвоить скорость передачи данных при и учетверить ее при k = 10.

Вероятность ошибочного приема последовательности можно принять за меру качества, например, в случае передачи сообщений, состоящих из k бит и соответствующих символам телетайпа или квантованным выборочным данным. С другой стороны, если передается последовательность независимых бит то нужно определить вероятность ошибочной передачи определенного бита. Если при ортогональных сигналах произошла ошибка, то может быть выбрано с одинаковой вероятностью решение о неправильности любого из сигналов. Это следует из того, что скалярные произведения всех пар сигналов равны (в рассматриваемом случае равны нулю). Таким образом, если произошла ошибка, то вероятность того, что искажены i из k бит, равна Следовательно, среднее число искаженных бит равно

1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов

Продемонстрируем вначале возможность построения простейших множеств ортогональных сигналов за счет дробления доступного частотно-временного ресурса.

1.5.1. Кодирование временным сдвигом

Этот достаточно тривиальный способ кодирования означает, что каждый из сигналов сдвинут по времени относительно предшествующего на интервал, равный индивидуальной длительности сигнала . Очевидно, что не перекрывающиеся во временной области сигналы являются ортогональными (см. рисунок):

Для каждого индивидуального сигнала частотно-временное произведение , так что данные сигналы относятся к разряду простых. Недостатки ее, однако, также довольно очевидны и должны соответствующим образом учитываться. Во-первых, необходима точная синхронизация, поскольку флюктуации временного положения сигналов потенциально способны вызвать перекрытие последних, нарушающее их ортогональность. Другим недостатком этого простейшего ортогонального кодирования является то, что для сохранения требуемой энергии каждого сигнала необходимо обеспечить высокую пиковую мощность. Чем выше единицы значение пик-фактора (отношения пиковой мощности к средней), тем более жесткие требования предъявляются к линейности усилителя и, как итог, хуже его энергетические показатели. Для временного кодирования при .

1.5.2. Кодирование частотным сдвигом

Другим прямым способом реализации ортогональности служит кодирование частотным сдвигом . На основании дуальности времени и частоты или теоремы Парсеваля скалярные произведения сигналов и их спектров совпадают:

что позволяет механически перенести только что обсужденную схему в частотную область (см. рисунок).

При полном перекрытии сигналов во времени каждый из них занимает полосу не менее . Понятно, что каждый индивидуальный сигнал опять не является сигналом с распределенным спектром, поскольку его частотно-временное произведение , и значит, любая система со сколь угодно большим числом ортогональных сигналов подобного сорта, конечно, не является системой с распределенным спектром.

В отличие от кодирования временным сдвигом пик-фактор ортогональных сигналов данного вида и ошибки в синхронизации не играют столь критической роли, так как ортогональность достигается отсутствием перекрытия в частотной области. Вместо этого деструктивным в некоторых случаях может оказаться дрейф спектра (к примеру, вследствие эффекта Доплера). Тем не менее данный способ передачи чрезвычайно популярен и примером его непосредственного воплощения служит традиционная -ичная частотная манипуляция.

1.5.3. Ортогональное кодирование широкополосными сигналами

Двум ранее рассмотренным методам ортогональной передачи присуще дробление общего частотно-временного ресурса. Первый из них предполагает выделение некоторой части общего временного пространства каждому сигналу, тогда как частотная область совместно используется всеми сигналами. При втором же способе роли временного и частотного пространства меняются местами. Распределение выделенного ресурса при временном и частотном кодировании иллюстрирует ниже приведенный рисунок.

Альтернативой этим простейшим способам кодирования может служить метод, в котором любой сигнал занимает все доступное частотно–временное пространство: , , вследствие чего все сигналы являются широкополосными, поскольку

В этих условиях все сигналы совместно используют общий частотно-временной ресурс без распределения или дробления последнего (см. рисунок, на котором третья ось используется для нумерации сигналов).

Рассмотрим простой пример воплощения подобной идеи в форме дискретных БФМ сигналов. Образуем каждый из сигналов как последовательность следующих друг за другом элементарных импульсов или чипов прямоугольной формы и длительности с изменяющейся полярностью. Предположим использование таких законов чередования полярности чипов, что все сигналы оказываются ортогональными, как это имеет место в примере для M =4 на рисунке слева.

При нахождение законов чередования полярностей, обеспечивающих ортогональность сигналов, эквивалентно нахождению матрицы Адамара. Последняя является матрицей порядка M , состоящей только из элементов и обладающей ортогональными строками. Примеры матриц Адамара порядка два и четыре представлены ниже:

Достаточно мощным способом конструирования матриц Адамара служит рекуррентный алгоритм Сильвестра, позволяющий построить матрицу порядка , если уже была найдена матрица порядка :

Не трудно заметить, что, начиная алгоритм Сильвестра с простейшей матрицы , можно построить матрицы порядка , строками которых являются функции Уолша.

Ортогональные сигналы подобного типа лишены недостатков присущих сигналам, ортогональность которых обеспечивается временным или частотным кодированием. Они характеризуются пик-фактором, равным единице, и не требуют параллельных полосовых фильтров в приемнике. Относясь к широкополосным сигналам, они обладают всеми достоинствами широкополосной философии, которые будут рассмотрены позднее. Вследствие этого в настоящее время они находят широкое применение. Так следует упомянуть CDMA систему мобильного телефона 2-го поколения стандарта IS-95 (cdmaOne), в которой используются M =64 функции Уолша как в прямом (для образования каналов), так и в обратном (для рассмотренной выше 64-ичной передачи) каналах. В стандартах мобильной связи 3-го поколения WCDMA и cdma2000 планируется использовать значительно большее число (вплоть до 512) ортогональных сигналов на основе матриц Адамара.

Можно дать следующее резюме к содержанию параграфов 1.3-1.5. Как можно видеть, теоретически классическая задача -ичной передачи не ориентирует на безоговорочное использование технологии расширения спектра и, в принципе, оптимальный -ичный ансамбль можно составить из простых сигналов. С другой стороны, существуют стимулы реализационного порядка, подкрепленные стремлением к утилизации преимуществ расширенного спектра вне классической постановки задачи приема. Поскольку такая возможность потенциально присутствует всякий раз, когда полный частотно-временной ресурс принципиально необходим, предпочтение разработчиком широкополосных сигналов простым в подобных обстоятельствах может оказаться вполне оправданным.

При исследовании некогерентного приема нам понадобятся такие понятия, как огибающая сигнала, его мгновенная фаза и мгновенная частота. Эти понятия довольно широко применяются в инженерной практике, но не всегда понимаются однозначно. В этом параграфе даются определения, которые будут использованы в этой и последующих главах. Хотя такие определения и не являются наиболее общими, они удобны для принятой здесь математической модели сигнала и помехи и достаточны для решения поставленных задач.

Пусть элемент сигнала , заданный на интервале , может быть представлен на этом интервале рядом (3.2):

Предположим, что все гармонические составляющие этого сигнала сдвинулись по фазе на некоторую величину . В результате получится сигнал

называют сопряженным с рядом . Он получается из поворотом фаз его составляющих на .

Выражение (4.4) можно записать в комплексной форме:

назовем финитным аналитическим сигналом . Запишем аналитический сигнал в экспоненциальной форме:

Мгновенная фаза сигнала.

Производную по времени от мгновенной фазы называют мгновенной круговой частотой :

Легко видеть, что

Таким образом, все реализации сигнала , отличающиеся только сдвигом фазы составляющих ряда Фурье, имеют одинаковую огибающую и одинаковые мгновенные частоты, а их мгновенные фазы отличаются на .

Заметим, что приведенные определения огибающей и мгновенной частоты применимы к любому сигналу, выражаемому рядом (3.2), а не только к относительно узкополосным сигналам. Тем не менее представлением (4.12) особенно удобно пользоваться для узкополосных сигналов, так как в этом случае огибающая и мгновенная частота оказываются медленно меняющимися функциями времени, по сравнению с высокочастотным заполнением сигнала . Если — произвольно выбранная круговая частота в пределах той полосы частот, в которой сосредоточена основная часть мощности узкополосного сигнала, то функция также оказывается медленно меняющейся. При этом вместо (4.12) часто применяют такую запись:

Операцию преобразования функции в ее огибающую или в мгновенную частоту называют идеальным амплитудным или соответственно частотным детектированием. Для элемента сигнала, заданного на интервале эти операции физически реализуемы, если допустимо запаздывание на время, большее . Действительно, зная функцию на всем этом интервале, можно определить ее коэффициенты Фурье (см. рис. 3.1) и построить сопряженную функцию а затем воспроизвести (например, на вычислительной машине) и пo формулам (4.9) и (4.11). Реальный «линейный» амплитудный детектор выделяет огибающую поданного на него сигнала (или некоторую монотонную функцию от ) при условии, что его нагрузка является безынерционной для огибающей и полностью инерционной для высокочастотного заполнения сигнала . Очевидно, что эти условия противоречивы и могут быть выполнены лишь приближенно, с тем большей точностью, чем меньше отношение эффективной ширины спектра сигнала к его средней частоте. Аналогичное утверждение справедливо и для обычных частотных детекторов.

В дальнейшем будем рассматривать только сигналы с конечной базой, т. е. верхний предел суммирования в (3.2) и (4.5) будем считать сколь угодно большим, но конечным числом .

Сопряженные сигналы и ортогональны на интервале , т. е.

В этом легко убедиться, подставив в этот интеграл (3.2) и (4.5) и произведя почленное интегрирование:

Если два сигнала и взаимно ортогональны, то и сопряженные с ними сигналы и также ортогональны между собой. Для доказательства этого достаточно, представив сигналы соответствующими тригонометрическими полиномами, перемножить их и произвести интегрирование, в результате которого получим

Система сигналов называется ортогональной в усиленном смысле, если условия (4.18) выполняются для любой пары сигналов.

Представление периодических сигналов рядом Фурье

DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

Распространяется под лицензией LGPL v3

Страница проекта на GitHub.

Содержание

Вводные замечания

Мы рассмотрим выражения ряда Фурье в тригонометрической и комплексной форме, а также уделим внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье. Кроме того, мы подробно остановимся на пояснении такого понятия как отрицательная частота спектра сигнала, которое часто вызывает сложность при знакомстве с теорией спектрального анализа.

Периодический сигнал. Тригонометрический ряд Фурье

Пусть имеется периодический сигнал непрерывного времени , который повторяется с периодом с, т.е. , где — произвольное целое число.

В качестве примера на рисунке 1 показана последовательность прямоугольных импульсов длительности c, повторяющиеся с периодом с.

Из курса математического анализа известно [1, стр. 158], что система тригонометрических функций

Например, периодическая функция не удовлетворяет условиям Дирихле, потому что функция имеет разрывы второго рода и принимает бесконечные значения при , где — произвольное целое. Таким образом, функция не может быть представлена рядом Фурье. Также можно привести пример функции , которая является ограниченной, но также не удовлетворяет условиям Дирихле, поскольку имеет бесконечное число точек экстремума при приближении к нулю. График функции показан на рисунке 2.

На рисунке 2а показано два периода повторения функции , а на рисунке 2б — область в окрестности . Можно видеть, что при приближении к нулю, частота колебаний бесконечно возрастает, и такая функция не может быть представлена рядом Фурье, потому что она не является кусочно-монотонной.

Необходимо заметить, что на практике не бывает сигналов с бесконечными значениями тока или напряжения. Функции с бесконечным числом экстремумов типа также в прикладных задачах не встречаются. Все реальные периодические сигналы удовлетворяют условиям Дирихле и могут быть представлены бесконечным тригонометрическим рядом Фурье вида:

В выражении (2) коэффициент задает постоянную составляющую периодического сигнала .

Во всех точках, где сигнал непрерывен, ряд Фурье (2) сходится к значениям данного сигнала, а в точках разрыва первого рода — к среднему значению , где и — пределы слева и справа от точки разрыва соответственно.

Также из курса математического анализа известно [2, стр. 500], что использование усеченного ряда Фурье, содержащего только первых членов вместо бесконечной суммы, приводит к приближенному представлению сигнала :

Ряд Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы рассмотрели тригонометрический ряд Фурье для разложения произвольного периодического сигнала , удовлетворяющего условиям Дирихле. Применив формулу Эйлера, можно показать:

Таким образом, периодический сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и комплексных экспонент, вращающихся с частотами с коэффициентами для положительных частот , и для комплексных экспонент, вращающихся с отрицательными частотами .

Рассмотрим коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с положительными частотами :

Аналогично, коэффициенты для комплексных экспонент, вращающихся с отрицательными частотами :

Выражения (6) и (7) совпадают, кроме того постоянную составляющую также можно записать через комплексную экспоненту на нулевой частоте:

Таким образом, (5) с учетом (6)–(8) можно представить как единую сумму при индексации от минус бесконечности до бесконечности:

Из выражения (2) следует, что для вещественного сигнала коэффициенты и ряда (2) также являются вещественными. Однако (9) ставит в соответствие вещественному сигналу , набор комплексно-сопряженных коэффициентов , относящихся как положительным, так и к отрицательным частотам .

Некоторые пояснения к ряду Фурье в комплексной форме

В предыдущем параграфе мы осуществили переход от тригонометрического ряда Фурье (2) к ряду Фурье в комплексной форме (9). В результате, вместо разложения периодических сигналов в базисе вещественных тригонометрических функций, мы получили разложение в базисе комплексных экспонент, с комплексными коэффициентами , да еще и появились отрицательные частоты в разложении! Поскольку данный вопрос часто встречает непонимание, то необходимо дать некоторые пояснения.

Во-первых, работать с комплексными экспонентами в большинстве случаев проще, чем с тригонометрическими функциями. Например, при умножении и делении комплексных экспонент достаточно лишь сложить (вычесть) показатели, в то время как формулы умножения и деления тригонометрических функций более громоздкие.

Дифференцировать и интегрировать экспоненты, пусть даже комплексные, также проще, чем тригонометрические функции, которые постоянно меняются при дифференцировании и интегрировании (синус превращается в косинус и наоборот).

Если сигнал периодический и вещественный, то тригонометрический ряд Фурье (2) кажется более наглядным, потому что все коэффициенты разложения , и остаются вещественными. Однако, часто приходится иметь дело с комплексными периодическими сигналами (например, при модуляции и демодуляции используют квадратурное представление комплексной огибающей). В этом случае при использовании тригонометрического ряда Фурье все коэффициенты , и разложения (2) станут комплексными, в то время как при использовании ряда Фурье в комплексной форме (9) будет использованы одни и те же коэффициенты разложения как для вещественных, так и для комплексных входных сигналов.

Ну и наконец, необходимо остановится на пояснении отрицательных частот, которые появились в (9). Этот вопрос часто вызывает непонимание. В повседневной жизни мы не сталкиваемся с отрицательными частотами. Например, мы никогда не настраиваем свой радиоприемник на отрицательную частоту. Давайте рассмотрим следующую аналогию из механики. Пусть имеется механический пружинный маятник, который совершает свободные колебания с некоторой частотой . Может ли маятник колебаться с отрицательной частотой ? Конечно нет. Как не бывает радиостанций, выходящих в эфир на отрицательных частотах, так и частота колебаний маятника не может быть отрицательной. Но пружинный маятник — одномерный объект (маятник совершает колебания вдоль одной прямой).

Мы можем также привести еще одну аналогию из механики: колесо, вращающееся с частотой . Колесо, в отличие от маятника вращается, т.е. точка на поверхности колеса перемещается в плоскости, а не просто совершает колебания вдоль одной прямой. Поэтому для однозначного задания вращения колеса, задать частоту вращения недостаточно, потому что необходимо задать также направление вращения. Вот именно для этого мы и можем использовать знак частоты.

Так, если колесо вращается с угловой частотой рад/с против часовой стрелки, то считаем, что колесо вращается с положительной частотой, а если по направлению часовой стрелки, то частота вращения будет отрицательной. Таким образом, для задания вращения отрицательная частота перестает быть бессмыслицей и указывает направление вращения.

А теперь самое главное, что мы должны понять. Колебание одномерного объекта (например, пружинного маятника) может быть представлено как сумма вращений двух векторов, показанных на рисунке 4.

Маятник совершает колебания вдоль вещественной оси комплексной плоскости с частотой по гармоническому закону . Движение маятника показано горизонтальным вектором. Верхний вектор совершает вращения на комплексной плоскости с положительной частотой (против часовой стрелки), а нижний вектор вращается с отрицательной частотой (по направлению часовой стрелки). Рисунок 4 наглядно иллюстрирует хорошо известное из курса тригонометрии соотношение:

Таким образом, ряд Фурье в комплексной форме (9) представляет периодические одномерные сигналы как сумму векторов на комплексной плоскости, вращающихся с положительными и отрицательными частотами. При этом обратим внимание, что в случае вещественного сигнала согласно (9) коэффициенты разложения для отрицательных частот являются комплексно-сопряженными соответствующим коэффициентам для положительных частот . В случае комплексного сигнала это свойство коэффициентов не выполняется ввиду того, что и также являются комплексными.

Спектр периодических сигналов

Ряд Фурье в комплексной форме представляет собой разложение периодического сигнала в сумму комплексных экспонент, вращающихся с положительными и отрицательными частотами кратными рад/c с соответствующими комплексными коэффициентами , которые определяют спектр сигнала . Комплексные коэффициенты могут быть представлены по формуле Эйлера как , где — амплитудный спектр, a — фазовый спектр.

Поскольку периодические сигналы раскладываются в ряд только на фиксированной сетке частот , то спектр периодических сигналов является линейчатым (дискретным).

На рисунке 5 приведен пример амплитудного и фазового спектра периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рисунок 1) при с, длительности импульса c и амплитуде импульсов В.

Амплитудный спектр исходного вещественного сигнала является симметричным относительно нулевой частоты, а фазовый спектр — антисимметричным. При этом заметим, что значения фазового спектра и соответствуют одной и той же точке комплексной плоскости .

Можно сделать вывод, что все коэффициенты разложения приведенного сигнала являются чисто вещественными, и фазовый спектр соответствует отрицательным коэффициентам .

Обратим внимание, что размерность амплитудного спектра совпадает с размерностью сигнала . Если описывает изменение напряжения во времени, измеряемое в вольт, то амплитуды гармоник спектра также будут иметь размерность вольт.

Выводы

В данном разделе рассмотрено представление периодических сигналов при помощи ряда Фурье. Приведены выражения для ряда Фурье в тригонометрической и комплексной формах. Мы уделили особое внимание условиям Дирихле сходимости ряда Фурье и были приведены примеры функций, для которых ряд Фурье расходится.

Мы подробно остановились на выражении ряда Фурье в комплексной форме и показали, что периодические сигналы как вещественные, так и комплексные представляются рядом комплексных экспонент с положительными и отрицательными частотами. При этом коэффициенты разложения являются также комплексными и характеризуют амплитудный и фазовый спектр периодического сигнала.

В следующем разделе мы более детально рассмотрим свойства спектров периодических сигналов.

Программная реализация в библиотеке DSPL

Данные для построения рисунков данного раздела были просчитаны при использовании библиотеки DSPL-2.0

Математические модели сообщений и сигналов. Спектральные представления сигналов. Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье. Примеры ортонормированных базисов

Спектральное представление сигналов.Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством: ,

s (t) = s (t ± пТ), п = 1, 2, . (3.8).

Здесь T-период сигнала.

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис.

Любая функция um из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (3.8). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s (t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты Cm=(s,um), получим спектральное разложение

, (3.9) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида (3.9) называется рядом Фурье .

Двасигнала и и v называются ортогональными, если их ска­лярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u,v)= . (3.1)

Пусть H— гильбертово пространство сигналов с конеч­ным к значением энергии (линейное пространство со скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре­дельные точки любых сходящихся последовательностей век­торов из этого пространства). Эти сигналы определены на отрезке времени [t1, t2], конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ­ций ,u1,….,un,…>, ортогональных друг другу и обла­дающих единичными нормами:(ui,uj) = 1, если i=j (3.2)

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал s(t) H в ряд:

s(t)= (3.3) Представление (3.3) называется обобщенным рядом Фурьесигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию иk произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (3.3) и затем про­интегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равен­ства (3.4) останется только член суммы с номером i = k, поэтому (3.5)

Ортонормированная система гармонических функций. На отрезке [0,Т] система тригонометрических функций с крат­ными частотами, дополненная постоянным сигналом образует ортонормированный базис (3.6)

Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье

Норма и метрика

Аксиомы нормированного пространства

1. Норма неотрицательна, т.е. . Норма =0 тогда и только тогда, если В основе функционального анализа сигналов лежит представление сигнала как вектора, в специальным образом сконструированном бесконечномерном пространстве.

Пусть — множество сигналов. Причина объединения этих объектов – наличие некоторых свойств, общих для всех элементов множества .

Множество сигналов образует вещественное линейное пространство, если справедливы следующие аксиомы:

1. Любой сигнал при любых принимает лишь вещественные значения.

2. Для любых и существует их сумма , причём также содержится в . Операция суммирования коммутативна: и ассоциативна .

3. Для любого сигнала и любого вещественного числа определён сигнал .

4. Множество содержит особый нулевой элемент , такой, что

Линейное пространство, элементами которого являются функции, называется функциональным.

Если математические модели сигналов принимают комплексные значения, то, допуская в аксиоме 3 умножение на комплексное число, можем ввести понятие комплексного линейного пространства.

Совокупность векторов , принадлежащих , является линейно независимой, если равенство:

возможно лишь в случае одновременного обращения в нуль всех числовых коэффициентов .

Система линейно независимых векторов образует координатный базис в линейном пространстве.

2. Для любого числа справедливо равенство .

3. Если и — два вектора из L, то выполняется неравенство:

Существуют разные способы определения нормы сигналов. Чаще всего полагают, что вещественные аналоговые сигналы имеют норму:

(из двух возможных значений корня выбирается положительное).

Для комплексных сигналов норма:

где *-символ комплексно-сопряжённой величины.

Квадрат нормы называется энергией сигнала

Такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1Ом, если на его зажимах существует напряжение .

Говорят, что линейное пространство L становится метрическим пространством, если каждой паре элементов сопоставлено неотрицательное число , называемое метрикой, или расстоянием между этими эле

ментами. Метрика, независимо от способа её определения, должна подчиняться аксиомам метрического пространства:

1. Метрика рефлексивна =

3. Каков бы ни был элемент , всегда .

Обычно метрику определяют как норму разности двух сигналов:

Норму в свою очередь, можно понимать как расстояние между выбранным элементом пространства и нулевым элементом: .

Ортогональные сигналы.

Скалярное произведение вещественных сигналов и :

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

3. , где — вещественное число

5. — справедливо неравенство Коши-Буняковского.

Линейное пространство с таким скалярным произведением, содержащее

в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства называется вещественным Гильбертовым пространством H.

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное Гильбертово пространство.

Если сигналы комплексные, то скалярное произведение:

Два сигнала и называют ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Ортонормированный базис. Обобщенный ряд Фурье.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

Такое представление называется обобщённым рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмём базисную функцию с произвольным номером , умножим на неё обе части равенства (1.1) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса по определению в правой части равенства (1.2) останется только член суммы с номером , поэтому:

Рассмотрим некоторый сигнал, , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе и вычислим его энергию, непосредственно подставив этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормирована, в сумме окажутся отличными от нуля только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат, который называется равенством Парсеваля:

Ортогональные сигналы. Элементы теории ортогональных сигналов. Кодирование частотным сдвигом

Спектральное представление сигналов. Если какой-либо сигнал представлен в виде суммы гармонических колебаний с различными частотами, то говорят, что осуществлено спектральное разложение этого сигнала. Отдельные гармонические компоненты сигнала образуют его спектр. Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы.

Математической моделью процесса, повторяющегося во времени, является периодический сигнал s(t) со следующим свойством: ,

s (t) = s (t ± пТ), п = 1, 2, . (3.8).

Здесь T-период сигнала.

Зададим на отрезке времени [-T/2, T/2] ортонормированный базис.

Любая функция um из этого базиса удовлетворяет условию периодичности (3.8). Поэтому, выполнив ортогональное разложение сигнала s (t) в этом базисе, т. е. вычислив коэффициенты C m =(s,u m), получим спектральное разложение

, (3.9) справедливое на всей бесконечности оси времени. Ряд вида (3.9) называется рядом Фурье.

Двасигнала и и v называются ортогональными , если их ска­лярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю: (u,v)= . (3.1)

Пусть H- гильбертово пространство сигналов с конеч­ным к значением энергии (линейное пространство со скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все пре­дельные точки любых сходящихся последовательностей век­торов из этого пространства). Эти сигналы определены на отрезке времени , конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функ­ций , ортогональных друг другу и обла­дающих единичными нормами:(ui,uj) = 1, если i=j (3.2)

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис .

Разложим произвольный сигнал s(t) H в ряд:

s(t)= (3.3) Представление (3.3) называется обобщенным рядом Фурье сигнала s(t) в выбранном базисе. Коэффициенты данного ряда находят следующим образом. Возьмем базисную функцию и k произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (3.3) и затем про­интегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равен­ства (3.4) останется только член суммы с номером i = k, поэтому (3.5)

1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов

Продемонстрируем вначале возможность построения простейших множеств ортогональных сигналов за счет дробления доступного частотно-временного ресурса.

1.5.1. Кодирование временным сдвигом

Этот достаточно тривиальный способ кодирования означает, что каждый из сигналов сдвинут по времени относительно предшествующего на интервал, равный индивидуальной длительности сигнала . Очевидно, что не перекрывающиеся во временной области сигналы являются ортогональными (см. рисунок):

Для каждого индивидуального сигнала частотно-временное произведение , так что данные сигналы относятся к разряду простых. Недостатки ее, однако, также довольно очевидны и должны соответствующим образом учитываться. Во-первых, необходима точная синхронизация, поскольку флюктуации временного положения сигналов потенциально способны вызвать перекрытие последних, нарушающее их ортогональность. Другим недостатком этого простейшего ортогонального кодирования является то, что для сохранения требуемой энергии каждого сигнала необходимо обеспечить высокую пиковую мощность. Чем выше единицы значение пик-фактора (отношения пиковой мощности к средней), тем более жесткие требования предъявляются к линейности усилителя и, как итог, хуже его энергетические показатели. Для временного кодирования при .

1.5.2. Кодирование частотным сдвигом

Другим прямым способом реализации ортогональности служит кодирование частотным сдвигом . На основании дуальности времени и частоты или теоремы Парсеваля скалярные произведения сигналов и их спектров совпадают:

что позволяет механически перенести только что обсужденную схему в частотную область (см. рисунок).

При полном перекрытии сигналов во времени каждый из них занимает полосу не менее . Понятно, что каждый индивидуальный сигнал опять не является сигналом с распределенным спектром, поскольку его частотно-временное произведение , и значит, любая система со сколь угодно большим числом ортогональных сигналов подобного сорта, конечно, не является системой с распределенным спектром.

В отличие от кодирования временным сдвигом пик-фактор ортогональных сигналов данного вида и ошибки в синхронизации не играют столь критической роли, так как ортогональность достигается отсутствием перекрытия в частотной области. Вместо этого деструктивным в некоторых случаях может оказаться дрейф спектра (к примеру, вследствие эффекта Доплера). Тем не менее данный способ передачи чрезвычайно популярен и примером его непосредственного воплощения служит традиционная -ичная частотная манипуляция.

1.5.3. Ортогональное кодирование широкополосными сигналами

Двум ранее рассмотренным методам ортогональной передачи присуще дробление общего частотно-временного ресурса. Первый из них предполагает выделение некоторой части общего временного пространства каждому сигналу, тогда как частотная область совместно используется всеми сигналами. При втором же способе роли временного и частотного пространства меняются местами. Распределение выделенного ресурса при временном и частотном кодировании иллюстрирует ниже приведенный рисунок.

Альтернативой этим простейшим способам кодирования может служить метод, в котором любой сигнал занимает все доступное частотно–временное пространство: , , вследствие чего все сигналы являются широкополосными, поскольку

В этих условиях все сигналы совместно используют общий частотно-временной ресурс без распределения или дробления последнего (см. рисунок, на котором третья ось используется для нумерации сигналов).

Рассмотрим простой пример воплощения подобной идеи в форме дискретных БФМ сигналов. Образуем каждый из сигналов как последовательность следующих друг за другом элементарных импульсов или чипов прямоугольной формы и длительности с изменяющейся полярностью. Предположим использование таких законов чередования полярности чипов, что все сигналы оказываются ортогональными, как это имеет место в примере для M =4 на рисунке слева.

При нахождение законов чередования полярностей, обеспечивающих ортогональность сигналов, эквивалентно нахождению матрицы Адамара. Последняя является матрицей порядка M , состоящей только из элементов и обладающей ортогональными строками. Примеры матриц Адамара порядка два и четыре представлены ниже:

Достаточно мощным способом конструирования матриц Адамара служит рекуррентный алгоритм Сильвестра, позволяющий построить матрицу порядка , если уже была найдена матрица порядка :

Не трудно заметить, что, начиная алгоритм Сильвестра с простейшей матрицы , можно построить матрицы порядка , строками которых являются функции Уолша.

Ортогональные сигналы подобного типа лишены недостатков присущих сигналам, ортогональность которых обеспечивается временным или частотным кодированием. Они характеризуются пик-фактором, равным единице, и не требуют параллельных полосовых фильтров в приемнике. Относясь к широкополосным сигналам, они обладают всеми достоинствами широкополосной философии, которые будут рассмотрены позднее. Вследствие этого в настоящее время они находят широкое применение. Так следует упомянуть CDMA систему мобильного телефона 2-го поколения стандарта IS-95 (cdmaOne), в которой используются M =64 функции Уолша как в прямом (для образования каналов), так и в обратном (для рассмотренной выше 64-ичной передачи) каналах. В стандартах мобильной связи 3-го поколения WCDMA и cdma2000 планируется использовать значительно большее число (вплоть до 512) ортогональных сигналов на основе матриц Адамара.

Можно дать следующее резюме к содержанию параграфов 1.3-1.5. Как можно видеть, теоретически классическая задача -ичной передачи не ориентирует на безоговорочное использование технологии расширения спектра и, в принципе, оптимальный -ичный ансамбль можно составить из простых сигналов. С другой стороны, существуют стимулы реализационного порядка, подкрепленные стремлением к утилизации преимуществ расширенного спектра вне классической постановки задачи приема. Поскольку такая возможность потенциально присутствует всякий раз, когда полный частотно-временной ресурс принципиально необходим, предпочтение разработчиком широкополосных сигналов простым в подобных обстоятельствах может оказаться вполне оправданным.

Введя в множестве сигналов структуру линейного пространства, определив норму и метрику, мы, тем не менее, лишены возможности вычислить такую характеристику, как угол между двумя векторами.

Это, удается сделать, сформулировав важное понятие скалярного произведения элементов линейного пространства.

Скалярное произведение сигналов.

Напомним, что если в обычном трехмерном пространстве известны два вектора А и то квадрат модуля их суммы

где — скалярное произведение этих векторов, зависящее от угла между ними.

Действуя по аналогии, вычислим энергию суммы двух сигналов

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны — энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

Сравнивая между собой формулы (1.18) и (1.19), определим скалярное произведение вещественных сигналов :

а также косинус угла между ними:

Скалярное произведение обладает свойствами:

3. , где — вещественное число;

Линейное пространство с таким скалярным произведением, полное в том смысле, что оно содержит в себе все предельные точки любых сходящихся последовательностей векторов из этого пространства, называется вещественным гильбертовым пространством Н.

Справедливо фундаментальное неравенство Кошн — Буняковского

Если сигналы принимают комплексные значения, то можно определить комплексное гильбертово пространство, введя в нем скалярное произведение по формуле

Пример 1.11. Имеются два смещенных во времени экспоненциальных импульса (В):

Найти скалярное произведение данных сигналов, а также угол между ними.

Энергии этих сигналов одинаковы:

Ортогональные сигналы и обобщенные ряды Фурье.

Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю:

Пусть Н — гильбертово пространство сигналов с конечным значением энергии. Эти сигналы определены на отрезке времени конечном или бесконечном. Предположим, что на этом же отрезке задана бесконечная система функций ортогональных друг другу и обладающих единичными нормами:

Говорят, что при этом в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Разложим произвольный сигнал в ряд:

Представление (1.27) называется обобщенным рядом Фурье сигнала в выбранном базисе.

Коэффициенты данного ряда находят следующим образом: Возьмем базисную функцию с произвольным номером k, умножим на нее обе части равенства (1.27) и затем проинтегрируем результаты по времени:

Ввиду ортонормированности базиса в правой части равенства (1.28) останется только член суммы с номером поэтому

Возможность представления сигналов посредством обобщенных рядов Фурье является фактом большого принципиального значения. Вместо того чтобы изучать функциональную зависимость в несчетном множестве точек, мы получаем возможность характеризовать эти сигналы счетной (но, вообще говоря, бесконечной) системой коэффициентов обобщенного ряда Фурье с.

Примеры ортонормированных базисов.

Способы построения систем взаимно ортогональных функций подробно изучены в математике (см., например, ). Здесь в качестве примеров будут описаны две наиболее важные и распространенные системы.

Ортонормированная система гармонических функций. Читатель может самостоятельно убедиться в том, что на отрезке система тригонометрических функций с кратными частотами, дополненная постоянным сигналом.

образует ортонормированный базис.

Разложение периодических функций в ряды Фурье по этой системе будет подробно рассмотрено в гл. 2.

Ортонормированная система функций Уолшр. В последнее время под влиянием методов обработки дискретных сигналов большое внимание уделяют ортонормированной системе функций Уолша, которые на отрезке своего существования принимают лишь значения ±1.

Введем безразмерное время и будем обозначать функцию Уолша, как это принято, символом Аналитическое описание данных функций довольно сложно (см. Приложения). Однако идею построения этой системы легко усмотреть из рис. 1.4, на котором изображены графики нескольких первых функций Уолша.

Очевидна нормированность функций Уолша при любом значении k:

Рис. 1.4. Графики нескольких первых функций Уолша

Ортогональность этих функций следует из принципа их построения и может быть проверена непосредственно. Например:

Разложение сигнала с. конечной энергией, заданного на отрезке времени в обобщенный ряд Фурье функциям Уолша имеет вид

Пример 1.12. Найти перше два коэффициента в разложении гимпульса треугольной формы по системе функций Уолша.

На отрезке времени разлагаемый сигнал описывается функцией

Вычисляем коэффициенты обобщенного ряда Фурье:

Итак, при аппроксимации колебания треугольной формы двумя первыми членами ряда по системе функций Уолша получается приближенное представление ступенчатой формы. Отметим, что с точки зрения введенной выше энергетической нормы уже такая грубая аппроксимация является удовлетворительной. Действительно, энергия исходного сигнала

в то время как энергия разности

составляет лишь или 6,25% от энергии апроксимируемого сигнала.

Энергия сигнала, представленного в форме обобщенного ряда Фурье.

Рассмотрим некоторый сигнал , разложенный в ряд по ортонормированной базисной системе:

и вычислим его энергию, непосредственно подставив, этот ряд в соответствующий интеграл:

Поскольку базисная система функций ортонормнрована, в сумме (1.32) отличными от нуля окажутся только члены с номерами . Отсюда получается замечательный результат:

Смысл этой формулы таков: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщенный ряд Фурье.

Оптимальность разложения сигнала по ортогональному базису. Для сигналах введем конечномерную аппроксимацию:

что полностью совпадает с выражением (1.29) для коэффициентов обобщенного ряда Фурье,

Более тщательный анализ (на нем здесь не останавливаемся), когда рассматривается также вторая производная энергии ошибки, показывает, что при разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье обеспечивается не просто экстремум, а именно минимум энергии ошибки аппроксимации.

Напомним в заключение, что гильбертово пространство сигналов, по определению, обладает важным свойством полноты: если предельное значение суммы

существует, то этот предел сам является некоторым элементом гильбертова пространства.

В полном функциональном пространстве норма ошибки аппроксимации монотонно убывает с ростом N — числом учитываемых членов ряда. Выбирая N достаточно большим, всегда можно снизить норму ошибки до любой приемлемо малой величины.

Аппаратурная реализация ортогонального разложения сигнала.

Рассмотрим структурную схему устройства для экспериментального определения коэффициентов разложения аналогового сигнала в обобщенный ряд Фурье по заданной системе ортонормированных базисных функций (рис. 1.5).

Основными элементами здесь являются генераторы тех базисных функций, по которым проводится разложение. Анализируемый сигнал одновременно подается на совокупность множительных звеньев, осуществляющих перемножение этого сигнала и соответствующей базисной функции. С. выходов перемножителей сигналы поступают на интеграторы. При таком методе обработки сигнала в конце промежутка времени интегрирования на выходе каждого интегратора возникает неизменный во времени уровень, величина которого в соответствии с формулой (1.29) в точности равна тому или иному коэффициенту обобщенного ряда Фурье.

Рис. 1.5. Структурная схема устройства для аппаратурного анализа сигналов

Ясно, что работоспособность системы в целом будет зависеть от того, насколько точно удается воссоздать базисные функции, а также от совершенства функционирования перемножителей и интеграторов.

Система, изображенная на рис. 1.5, важна и в прикладном, и в теоретическом смысле. Анализируя ее, еще раз убеждаемся, что вся информация, заключенная в сигнале, может быть представлена в виде хотя и бесконечной, но все же счетной совокупности чисел.

В общем случае ортогональные сигналы можно сформулировать так. Пусть, – некоторая полная ортонормированная система функций. Тогда любой сигнал, с полосой частот F с можно представить в виде:

где – число отсчетов на интервале T с по теореме Котельникова,

Геометрически сигнал можно представить вектором в N- мерном пространстве с координатами. Сигналы, будут ортогональны, если для любого i – го сигнала выполняется соотношение:

Рассмотрим в качестве примера базисные функции:

где частоты, выбираются из условия ортогональности функций

образуют ортогональную систему.

Существует бесконечно большое число ортогональных систем функций, на основе которых могут быть сформированы ортогональные коды. При этом сами сигналы получают фазовой манипуляцией несущего колебания по закону кодовых комбинаций.

В общем случае построение ортогональных кодов связано с матрицами Адамара, являющимися квадратными ортогональными матрицами с элементами ±1. Поэтому строки (или столбцы) матрицы Адамара можно использовать для формирования комбинаций ортогонального кода (символ – 1 заменяется символом 0).

Укажем два положения, касающихся существования и построения матриц Адамара.

1. Матрицы Адамара имеют порядок либо N =2, либо, k = 1,2.

2. Матрица, порядка, полученная из матрицы Адамара, подстановкой матрицы Адамара, вместо элементов +1 и матрицы вместо элементов –1, есть также матрица Адамара.

Таким образом, можно легко строить матрицы Адамара более высоких порядков.

Рассмотрим в качестве примера матрицы Адамара

Используя указанный способ, нетрудно получить матрицу Адамара порядка N = 8:

Если первая строка и первый столбец матрицы Адамара состоят из единиц, то говорят, что матрица записана в нормальной форме.

Ортогональные коды можно построить на основе системы функций Уолша, которые достаточно просто генерируются.

Рис. 1.9. Функции Радемахера

Система функций Уолша впервые была описана математиком Уолшем в 1923 г. В настоящее время существует ряд определений, позволяющих строить различные модификации этой системы, отличающиеся интервалом определения и порядком следования функций. Приведем сначала определение системы, практически совпадающей с системой, введенной Уолшем, в которой упорядочение функций производится по числу пересечений ими нулевого уровня. Система обычно обозначается как, где – период функций. Далее будем рассматривать конечные системы, состоящие из функций. Введем предварительно функции Радемахера (рис. 1.10). Из выражения (1.12) следует, что эти функции являются дискретными и принимают только два значения: на подинтервалах, и – 1 на остальных подинтервалах. На рис. 1.9 представлены первые четыре функции.

Система функций Радемахера является ортогональной на интервале , но неполной, так как на том же интервале существуют другие функции, ортогональные им.

Система функций Уолша, является расширением системы функций Радемахера до полной системы и определяется как

где – значение –го разряда в записи числа i в коде Грея

Получение первых восьми функций Уолша в соответствии с выражением (1.12) наглядно показано в табл. 1.1, а на рис. 1.10 приведены их графики.

Функции Уолша являются дискретными (принимают значения ±1), периодическими с периодом, равным 1. Они удовлетворяют условиям ортогональности, нормировки и мультипликативности:

где – условная запись числа, двоичное представление которого получается поразрядным сложением по модулю два двоичных представлений чисел i и j . Следующий пример поясняет нахождение. Пусть i = 7, j = 10. Запишем i и j в двоичной системе исчислений и сложим их поразрядно по модулю два:

На рис. 1.11 в соответствии с соотношениями (10.12) представлена структурная схема простого устройства для генерирования первых 16 функций Уолша.

Функции Уолша не обладают хорошими корреляционными свойствами. Многие из них имеют большие боковые лепестки как АКФ, так и ВКФ. По этой причине они применяются, в основном, в синхронных многоканальных системах.

Эта тема принадлежит разделу:

Радиолокационные системы

Академия военно морских сил имени П С Нахимова.. А В Гончар Радиолокационные системы Учебное пособие Севастополь Г УДК Учебное пособие составлено в соответствии с..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Без внутриимпульсной модуляции
6.2.1. Одиночные радиоимпульсы Способы обзора пространства

Обработка частотно-модулированных радиоимпульсов
Особенности обработки частотно модулированных (ЧМ) сигналов рассмотрим на примере обработки линейно-частотно-модулированных радиоимпульсов (ЛЧМ), широко используемых в современных Р

Обработка фазоманипулированных радиоимпульсов
Рис. 6.11. Многоканальное устройство фильтровой обработки ФМ — радиоимпульса с неизвестной доплеровской частотой Рассмотрим согл

Дальность действия РЛС
Одна и основных задач при разработке и проектировании РЛС, а также при выборе из существующих РЛС наиболее пригодную для решения конкретных задач потребителя является определение ее максимальной да

Потери отношения сигнал-шум в реальных РЛС
Потери в антенне определяются распределением поля по поверхности (апертуре) антенны:. , где – коэффициент, учитывающий неравномерность распред

Зона видимости. Способы
Рис. 7.2. Зона видимости РЛС сканирования пространства и влияние их на дальность действия РЛС

Коэффициент направленного действия антенны
Обратимся еще раз к формуле (7.5). Здесь и – коэффициенты направленного действия антенны – указывается в формуляре на антенну или РЛС, является основной характеристикой антенны. Он

Учет формы диаграммы направленности антенны и способа обзора пространства
В выражении (7.5) множитель описывает форму диаграммы направленности антенны. В общем случае получить выражение для диаграммы направленности любой произвольной антенны – задача дост

Способы обзора пространства
В процессе проектирования РЛС одним из наиболее сложных и важных вопросов является обоснование и выбор способа сканирования пространства. Задача сводится к обеспечению просмотра зоны видимости (рис

Расчет числа импульсов в пачке
Для каждого конкретного выбранного способа сканирования пространства представляется важным знать количество лучей в пачке, так как в большинстве современных РЛС реализуется как коге

Поглощение радиоволн атмосферными газами
Рис 7.7. Зависимость коэффициента затухания радиоволн в воздухе от длины волны при t = 200 C Осно

Влияние гидрометеоров на распространение радиоволн
7.4.1. Характеристики тумана и дождя Таблица 7.2 Характеристики тумана и дождя Ви

Поверхностно распределенные цели
Морские условия весьма многообразно влияют на радиолокационное обнаружение. Из всего многообразия можно выделить три основных явления: – сигналы, отраженные целями, подвержены изменениям;

Свойства отражений от взволнованной поверхности моря
Зондирующий сигнал, отраженный от поверхности моря, создает значительные помехи РЛС и затрудняет обнаружение целей. На рис. 7.11 приведены фотографии индикатора кругового обзора РЛС «Океан» с центр

Свойства морской поверхности
Ветровые морские волны – основная причина возникновения флюктуационных мешающих отражений радиолокационного сигнала. Волны возникают под влиянием атмосферных воздействий. Реакция мо

Приемника РЛС
Отраженные сигналы могут поступать по главному, боковым и заднему лепесткам диаграммы направленности антенны. На рис 7.12 приведен порядок определения освещенной площадки главным лепестком антенны.

Учет влияния поверхности Земли
В качестве некоторой нормы атмосферы принята нормальная атмосфера с параметрами: давление Р=1013 мбар; температура t = 130 C; относительная влажность s

Основные виды помех активной радиолокации
Как и в любой радиотехнической системе, в радиолокации может существенно сказываться влияние различного рода помех. Роль помех в активной радиолокации может оказаться еще большей, ч

Защиты от них
Существуют два основных вида источников естественных маскирующих активных помех: дискретные и распределенные. К дискретным источникам помех относятся Солнце, Луна и радиозвезды. К р

И способы создания
Рис. 8.1. Влияние слабой (1) и сильной (2, 3) помехи на прохождение сигнала В качестве искусственных маскирующих

При воздействии маскирующих стационарных активных помех
При достаточном динамическом диапазоне приемника условие обнаружения цели в маскирующих стационарных активных помехах типа белого шума имеет вид, где Епр

Пассивные маскирующие помехи и способы их создания
Как уже указывалось выше, к естественным пассивным помехам относятся радиопомехи, создаваемые природными отражателями (местными предметами, водной поверхностью, гидрометеорами, севе

Основные направления защиты РЛС от маскирующих активных помех
Анализ уравнения противорадиолокации показывает, что основные направления защиты РЛС от маскирующих активных помех связаны с использованием амплитудных, поляризационных, частотных и

Методы некогерентной и когерентной компенсации помех
Для улучшения пространственной селекции сигнала на фоне помех, приходящих с отдельных направлений, кроме мер, перечисленных выше, могут быть также исп

Практические схемы автокомпенсаторов
Квадратурный автокомпенсатор В таком автокомпенсаторе формирование весового (управляемого) напряжения осуществляется на видеочастоте. В этой связи представим компле

Основные различия сигналов целей и пассивных маскирующих помех
Сигналы, отраженные от целей, и пассивные маскирующие помехи в общем случае имеют различные статистические характеристики. Для сигналов и помех, распределенных по нормальному закону

Оптимальное обнаружение сигнала на фоне пассивной помехи
в виде стационарного небелого шума Небелый шум, как известно, характеризуется неравномерным распределением спектральной плотности мощности по оси часто

Фильтров подавления
Рис. 8.22. Схема однократного череспериодного вычитания Принципы построения входящих в состав оптимального фильтра оп

Модели движения целей
Наблюдаемые радиолокационные цели: наземный транспорт, корабли, самолеты, космические аппараты и другие объекты – могут двигаться по самым разнообразным траекториям, имеющим, как правило, случайный

Экстраполяция траекторных параметров
Оценка траекторных параметров движения цели в соответствии с общей структурной схемой ВО проводится в блоке О (рис. 9.2) по отсчетам, отобранным в ходе операции селекции и относящим

Алгоритм селекции отсчетов по минимальному отклонению от центра строба
Алгоритм селекции отсчетов по минимальному отклонению от центра строба обычно применяется в двухэтапной процедуре стробирования. Этот предназначен для работы в случаях, когда в стробе появляется

Алгоритмы сопоставления и привязки отсчетов к траекториям
в многоцелевой ситуации Рис. 9.8. Вариант многоцелевой ситуации Это одна из самых трудных

Общие положения
В современных радиолокационных системах требуемые вероятностные и точнстные характеристики обеспечиваются лишь после проведения этапа ВО. При этом в отличие от первичной обработки п

Вероятность ложного обнаружения траектории
Структура простейшего алгоритма завязка – обнаружение – сброс «2 из m» + «l из n» – «s» в виде направленного графа приведена на рис. 9.9. Направленный гр

Вероятность правильного обнаружения траектории
При поступлении на вход обнаружителя отсчетов, полученных от некоторой цели, логика работы алгоритма остается той же, что и в случае ложных отсчетов. Траектория цели обнаруживается при выполнении у

Систем
В первом разделе данного учебного пособия были рассмотрены основные вопросы теории построения радиолокационных систем. Изложенный в нем материал представляется достаточным для поним

Современных активных РЛС
Существенный прогресс в развитии элементной базы, расширение ранее существовавших и появление новых областей применения РЛС привели к коренному пересмотру как принципов построения,

И возможности создания современных корабельных РЛС
При выборе путей создания радиолокационных систем следует учитывать результаты анализа тенденций развития радиолокационных систем и следующие особенности, обусловленные применением

Тактические характеристики РЛС
К тактическим характеристикам РЛС относятся назначение, сектор или зона работы, время обзора этого сектора, качественные показатели обнаружения объекта, число измеряемых координат и

Число измеряемых координат и параметров движения объекта и точность этих измерений
В РЛС противовоздушной и особенно противоракетной обороны требуется измерение как всех трех координат летательного аппарата, так и их первых, а иногда и вторых производных. В РЛС наблюдени

Когерентные доплеровские РЛС с непрерывным излучением
Возвращаясь к главе 2, в частности, к рис 2.8, можно еще раз констатировать, что в общем, отраженном от объекта сложной формы, сигнале существенной может быть когерентная составляющ

Когерентно-импульсные РЛС
Рассмотренные выше РЛС с непрерывным излучением представляют собой в каком-то смысле чисто доплеровские, или когерентные РЛС. Несколько по-иному решается задача когерентного накопле

РЛС с внешней когерентностью
Как уже отмечалось, к РЛС с внутренней когерентностью предъявляются жесткие требования к стабильности напряжения источника питания и частоты генераторов. Поэтому часто используют режим работы с вне

Временной когерентной обработки сигналов
Комплексная амплитуда напряжения сигнала на выходе линейной части приемника (при условии отсутствия пространственных помех) записывается в виде, (11.2) где

Исходные предпосылки
В соответствии с общей теорией приема, оптимальная временная обработка принимаемого на фоне стационарного белого шума сигнала u(t) сводится к вычислению корреляционног

Во временной области
Так как принимаемые радиолокационные сигналы перед дискретизацией преобразуются в две квадратурные составляющие, то реализация ЦСФ должна производиться в двух квадратурных каналах.

В частотной области
Рассмотрим теперь особенности дискретной свертки типа согласованной фильтрации в частотной области. В соответствии с теорией дискретного представления непрерывных функций, ограничен

Общие положения
Под СДЦ понимают выделение сигналов движущихся целей из них смеси с помехами и шумами, принимаемой приемником РЛС. Типичными задачами СДЦ являются: обнаружение самолетов на фоне отр

Коррелированной помехи
Как известно, оптимальный обнаружитель когерентной пачки радиоимпульсов на фоне белого шума представляет собой последовательно соединенные согласованный с пачкой фильтр, детектор и

И влияющие на нее факторы
Для оценки качества работы систем СДЦ обычно используются следующие характеристики. 1. АЧХ режекторного фильтра и канала доплеровской частотной селекции.

Одноканальные методы автосопровождения по угловым координатам
Системы автоматического сопровождения по угловым координатам в ряде радиолокационных систем являются основными. Это в космической локации, в системах наведения оружия и т.д. Автоматическое

Угловых координат
Получившие широкое распространение одноканальные методы пеленгации, отличаясь сравнительной простотой, не всегда обеспечивают достаточную точность измерения. Основной причиной являются искажения ог

В моноимпульсных системах
Широкое применение в моноимпульсных системах находит суммарно-разностная обработка колебаний, принимаемых различными каналами. При такой обработке образуются сумма и разность двух колебаний. Чтобы

Двухканальных систем
Произвольное угломерное устройство (амплитудное или фазовое) может быть использовано для получения сигнала рассогласования (сигнала ошибки) следящей системы при автосопровождении по

И методы определения координат
Пассивная локация осуществляет обнаружение и измерение координат воздушно-космических, наземных и надводных объектов, создающих излучения. Источниками излучения могут быть работающи

Корреляционные методы обработки сигналов
Практическая реализация методов пассивной локации связана с необходимостью отождествления, т. е. установления соответствия между сигналами, принятыми в различных пунктах от одного и

Определения координат излучающего объекта
Пусть пункты приема и источники радиоизлучения расположены в плоскости хОу (рис. 14.6). Положение i-го пункта характеризуется вектором, истинное положение пеленгуемого объек

Сигнала при корреляционной обработке
На вход коррелятора при наличии сигнала поступают случайные колебания: каждое в виде аддитивной смеси полезного сигнала и помехи. Все эти колебания считаем

Естественных и близких к ним электромагнитных излучений
Под естественным излучением будем понимать тепловое хаотическое излучение объектов, а также участков местности и пространства. Эффект неравномерного теплового излучения радиоволн участками

Принцип действия радиолокационной системы с активным ответом
Подобные системы еще называют системами вторичной радиолокации. Основное отличие ее от радиолокации с пассивным ответом следует из самого наименования: вместо пассивного ответа, обр

Устранение влияния боковых лепестков антенны
Мощность излучения по боковым лепесткам антенны запросчика в горизонтальной плоскости оказывается вполне достаточной для запроса ответчиков, удаленных на большое расстояние от запро

В рлс с активным ответом
Измерение азимута в РЛС с активным ответом основано на использовании обнаружителя с движущимся окном. Для серии последовательных запросов фиксируется несколько ответных сигналов одн

Система активного ответа с адресным запросом
В рассмотренной системе с активным ответом запрашиваются все цели, находящиеся в пределах ДН антенны запросчика. В результате возникает перегрузка системы лишними запросами и ответа

Принцип построения РЛС с синтезированной апертурой антенны
Подобный тип РЛС моно реализовать, разместив антенну на носителе, обладающем большой скоростью, позволяющей получить синтезированную апертуру протяженностью десятки и даже сотни кил

Цифровая обработка сигналов РСА
При аналоговой обработке в РСА с использованием фотопленки информация извлекается с большим запаздыванием относительно момента записи (до нескольких часов). Цифровая обработка сигна

Космические РЛС с синтезированной апертурой
Космическим средствам разведки придают все большее значение и военные, и гражданские специалисты. Применение на борту космического аппарата РЛС с синтезированной апертурой расширяет возможности раз

Проект lightSAR
Цель проекта lightSAR – создание недорогой аппаратуры, имеющей малые массу и объем, для высокоточных наблюдений за поверхностью земли. Аппаратура будет установлена на спутнике, выс

Краткое описание некоторых РЛС
Ранее в данном учебном пособии были рассмотрены основные вопросы теории построения и структурные решения при создании радиолокационных систем. Изложенный материалы представляются достаточными для п

Общие данные
Судовая навигационная РЛС «Океан» является двухдиапазонной и работает на волнах 3,2 и 10 см. Кроме того, в зависимости от типа комплектации (варианта) станция может быть однодиапазо

Антенно-волноводное устройство
Двухдиапазонная антенна типа А представляет собой конструкцию зеркального типа, показанную на рис. 17.1 Антенна имеет общий отражатель (зеркало) с поверхностью раскрыва 750

Канал свч на волне 3,2 и 10 см
АПЧ АПЧ УПЧ

Передающее устройство
Передатчик РЛС «Океан» 3,2 и 10 см состоит из модулятора и магнетронного генератора (рис. 17.6). В состав модулятора входят: ЛЗ

Приемное устройство
8 УПЧ Д ВУ

Общие данные
Навигационная радиолокационная станция МР-244 «Экран» устанавливается на морских и речных судах, береговых постах контроля судоходства и обеспечивает: – радиолокационное от

Передающий тракт
Передающий тракт обеспечивает генерирование СВЧ зондирующих импульсов и формирование ряда служебных импульсов, синхронизирующих работу других трактов и устройств с моментами излучен

Приемный тракт
Приемный тракт обеспечивает преобразование отраженных СВЧ-сигналов в сигналы промежуточной частоты, их усиление на промежуточной частоте и детектирование. В приемном тракте осуществ

Режим обзора пространства и зоны обнаружения РЛС
Далее нами будут рассмотрены в качестве примера две РЛС воздушного наблюдения. Предварительно следует напомнить некоторые особенности подобных РЛС. Как правило, РЛС воздушного наблю

Генераторы СВЧ многокаскадных передающих устройств
Генератор СВЧ многокаскадных передающих устройств предназначен для усиления входного маломощного высокочастотного сигнала до уровня, необходимого для излучения. В качестве таких ген

Импульсные модуляторы
Импульсные модуляторы предназначены для управления колебаниями генераторов СВЧ. В РЛС используется анодная модуляция, при которой управление работой генераторов производится путем м

Высокочастотный тракт
Высокочастотный тракт обеспечивает передачу с минимальными потерями электромагнитной энергии от передающего устройства к антенному. Он представляет собой сложный комплекс высокочаст

Схемы помехозащиты РЛС
Устройства защиты от помех не являются универсальными. Каждое из них эффективно может использоваться против определенного вида помех. В РЛС обнаружения применяются различные схемы и

Параметры и структура излучаемого сигнала
РЛС работает в S-диапазоне рабочих частот 2900 – 3130 мГц. Количество фиксированных рабочих частот в пределах указанного диапазона определяется исходя из ширины полосы частот радиоизлучения,

Энергетические характеристики
Энергетические характеристики РЛС определяются энергетическими характеристиками передающего устройства, антенно-фидерной системы, приемного устройства и цифровой обработки сигналов.

Характеристики помехозащищенности
Защита РЛС от пассивных помех строится с учетом опыта разработки и испытаний РЛС подобного класса, а также на основе данных, полученных путем полунатурного моделирования с использов

Точностные характеристики определения координат целей
Выбранные для реализации в РЛС параметры и структура излучаемого сигнала, современные методы обработки радиолокационной информации, а также большой динамический диапазон, достигаемы

Выбор и обоснование структурной схемы
С учетом изложенного выше, реализация приведенных ТТХ возможна в рамках структурной схемы, приведенной на рис. 19.2 и 20.2. 20.2.1. Передающее устро

Приемное устройство
Структурно, рис. 20.2, 20.4 приемное устройство состоит из многоканального (по количеству сформированных антенной горизонтальных каналов) аналогового приемного устройства, многоканальной аналого-ци

Цифровая диаграммообразующая система
Цифровая диаграммообразующая система (далее – ЦДОС) – функциональное устройство антенны первичного радиолокатора РЛС, предназначенное для формирования диаграммы направленности (ДН)

РЛС воздушного наблюдения корабельного базирования
№ п/п Тип РЛС и ее краткая характеристика Размеры антенны, м Пиковая мощность, мВт Длительность импульса, мкс

РЛС воздушного наблюдения наземного базирования
№ п/п Тип РЛС и ее краткая характеристика Длинна волны, м Зона обзора: По азимуту, гр По углу места, гр

Биографические сведения о некоторых выдающихся ученых и инженерах-создателях радиолокационных систем
Ге́нрих Ру́дольф Герц (22 февраля 1857 – 1 января 1894, Бонн) Г

Александр степанович попов
(16 марта 1859 – 13 января 1906 А.С. Попов родился 16 марта 1859 г. в поселке Турьинские Рудник

Юрий Борисович Кобзарев
(8 декабря 1905 – 25 апреля 1992) Юрий Борисович Кобзарев – доктор технических наук, академик Российской академии наук, выдающийся ученый в области радиоте

Кристиан Хюльсмайер
(1881 – 1835) Изобретатель радара Кристиан Хюльсмайер (Christian Huelsmeyer) родился 25 декабря 1881 г

Михаил Михайлович Лобанов
(19 марта 1901 – 2 марта 1984) Михаи́л Миха́йлович Лоба́нов – советский военный инженер, одна из ключевых фигур в становлении и развитии ра

Павел Кондратьевич Ощепков
(25 марта 1928 – 1 декабря 1992) Родился в 1908 году в деревне Зуевы Ключи Сарап

Библиографический список
1 Труды Института радиоинженеров – ТИРИ (Proceedings of the IRE) [М.: ИЛ, 1962/Две части (1517 c.)]. 2. Электроника: прошлое, настоящее, будущее /Пер. с анг. под р

Прежде чем рассматривать общий случай когерентного приема, полезно и поучительно остановиться на частном слуяае ортогональных сигналов. Если при всех , получается существенное упрощение выражения для вероятности ошибки, так как в этом случае корреляционная матрица превращается в единичную (8.8) и переходит в следующее соотношение:

Заметим, что формула (8.9) представляет и общую вероятность ошибки, так как представляет просто переменную интегрирования и, следовательно, не зависит от переданного сигнала.

В § 8.1 были рассмотрены два примера ортогональных сигналов, соответствующих дискретной фазово-импульсной модуляции и дискретной частотной функции. Предположим, что время передачи сигнала равно Т, а мощность сигнала S. Тогда энергия сигнала

Каждый сигнал передает символов сообщения. Так как по предположению все символы независимы и с равной вероятностью могут быть нулями и единицами, то безошибочному приему сигнала соответствует прием k бит информации. Следовательно, скорость передачи информации,

которую обозначим R, равна

С помощью (8.10) и (8.11) можно выразить основной параметр через отношение сигнал/шум , скорость передачи R и число сигналов М:

При сравнении качества двух систем связи с различным числом передаваемых сигналов разумно предполагать одинаковые значения отношения и R и не одинаковые значения отношения . На рис. 8.3 показана зависимость вероятности ошибки от при . Кривые были построены на основании результатов численного интегрирования (8.9) с помощью вычислительной машины IBM 704 .

Вероятность ошибки представляет вероятность неправильного приема последовательности из k бит, т. е. вероятность того, что появится ошибка в одной или нескольких битах из последовательности k бит. Сравним эти соотношения с соотношениями для когерентной двоичной системы связи, рассмотренной в § 7.1. Предположим, что с помощью такой системы были переданы k последовательных бит. Было показано, что вероятность ошибки при приеме любого одного бита равна , где Е — энергия сигнала и — скалярное произведение сигнала . Так как передается только один бит, то . Для того чтобы минимизировать ошибку, необходимо применить противоположные сигналы, так что . Наконец, вероятность правильного приема k последовательных бит равна k-й степени вероятности правильного приема одного бита. Следовательно, вероятность ошибки в одном или нескольких последовательных битах из переданных k бит при применении двоичной когерентной системы связи и использовании противоположных сигналов равна

Рис. 8.3. Вероятность ошибки для ортогональных сигналов (k = 1, 2. 10, 15, 20).

Этот случай назовем некодированной передачей. На рис. 8.4 и 8.5 показаны для сравнения вероятности ошибок при некодированной передаче и при кодированной передаче с ортогональными сигналами для k = 5 и 10, вычисленные согласно (8.13) и (8.9) соответственно. Из рисунков видно, что при фиксированных значениях необходимая мощность сигнала уменьшается почти в два раза при и почти в четыре раза при . Другими словами, при фиксированных значениях и применение кодирования дает возможность приблизительно удвоить скорость передачи данных при и учетверить ее при k = 10.

Вероятность ошибочного приема последовательности можно принять за меру качества, например, в случае передачи сообщений, состоящих из k бит и соответствующих символам телетайпа или квантованным выборочным данным. С другой стороны, если передается последовательность независимых бит то нужно определить вероятность ошибочной передачи определенного бита. Если при ортогональных сигналах произошла ошибка, то может быть выбрано с одинаковой вероятностью решение о неправильности любого из сигналов. Это следует из того, что скалярные произведения всех пар сигналов равны (в рассматриваемом случае равны нулю). Таким образом, если произошла ошибка, то вероятность того, что искажены i из k бит, равна Следовательно, среднее число искаженных бит равно

Каждый электрик должен знать:  Как понизить напряжение постоянного и переменного тока
Добавить комментарий