Переходные процессы в электрической цепи

СОДЕРЖАНИЕ:

Переходные процессы в электрических цепях

Эту статью следует викифицировать.

Перехо́дные проце́ссы — процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, — при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.

Например, при подключении разряженного конденсатора к источнику напряжения через резистор , напряжение на конденсаторе меняется от 0 до по закону:

Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях — наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.

Стандартные идеализированные воздействия при анализе отклика математической модели цепи — это ступенчатая функция Хевисайда и импульсная функция Дирака.

Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением

  • неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
  • линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.

Содержание

Время установления в новое стационарное состояние [ править ]

Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.

Законы (правила) коммутации [ править ]

Первый закон коммутации [ править ]

Ток через индуктивный элемент L непосредственно до коммутации равен току во время коммутации и току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации , так как ток в катушке мгновенно измениться не может:

Второй закон коммутации [ править ]

Напряжение на конденсаторе С непосредственно до коммутации равно напряжению во время коммутации и напряжению на конденсаторе непосредственно после коммутации , так как невозможен скачок напряжения на конденсаторе:

При этом ток в конденсаторе изменяется скачкообразно.

Примечание [ править ]

  1. — время непосредственно до коммутации
  2. — непосредственно во время коммутации
  3. — время непосредственно после коммутации

Начальные значения величин [ править ]

Начальные значения (условия) — значения токов и напряжений в схеме при t=0.

Напряжения на индуктивных элементах и резисторах, а также токи через конденсаторы и резисторы могут изменяться скачком, то есть их значения после коммутации чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации .

Независимые начальные значения — это значения токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные из докоммутационного режима

Зависимые начальные значения — это значения остальных токов и напряжений при в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа.

8. Переходные процессы в линейных электрических цепях

8.1. Общая характеристика переходных процессов

В электрических цепях возможны включения и отключения отдельных ветвей, короткие замыкания участков цепи, различного рода переключения. Любые изменения в электрических цепях можно представить в виде переключений или коммутаций. Характер коммутации указывается в схеме с помощью рубильника со стрелкой. По направлению стрелки можно судить, замыкается или размыкается рубильник. При коммутации в цепи возникают переходные процессы, т.е. процессы перехода токов и напряжений от одного установившегося значения к другому. Изменения токов и напряжений вызывают одновременное изменение энергии электрического и магнитного полей, связанных с элементами цепи — емкостями и индуктивностями. Однако энергия электрического поля и энергия магнитного поля могут изменяться только непрерывно, так как скачкообразное изменение потребовало бы от источника бесконечно большой мощности. На этом рассуждении основаны законы коммутации.

Первый закон . В любой ветви с индуктивностью ток не может изменяться скачком и в момент коммутации сохраняет то значение, которое он имел непосредственно перед моментом коммутации

где iL (0+) — ток в ветви с индуктивностью в момент коммутации, сразу после коммутации. Знак «+» в формуле обычно не записывается. Время переходного процесса отсчитывается от момента коммутации; iL (0) — ток в индуктивности непосредственно перед коммутацией.

Второй закон . Напряжение на емкости сразу после коммутации сохраняет то значение, которое оно имело непосредственно перед моментом коммутации.

где uC (0+) — напряжение на емкости в момент коммутации; uC (0) — напряжение на емкости непосредственно перед моментом коммутации.

Допущения, применяемые при анализе переходных процессов.

  1. Полагают, что переходный процесс длится бесконечно большое время.
  2. Считают, что замыкание и размыкание рубильника происходит мгновенно, без образования электрической дуги.
  3. Принимают, что к моменту коммутации предыдущие переходные процессы в цепи закончились.

В соответствии с классическим методом расчета, переходный ток в ветви схемы представляют в виде суммы принужденного и свободного токов.

где iпр(t) — принужденный ток, определяется в установившемся режиме после коммутации. Этот ток создается внешним источником питания. Если в цепь включен источник постоянной ЭДС, принужденный ток будет постоянным, если в цепи действует источник синусоидальной ЭДС, принужденный ток изменяется по периодическому, синусоидальному закону; iсв(t) — свободный ток, определяется в схеме после коммутации, из которой исключен внешний источник питания. Свободный ток создается внутренними источниками питания: ЭДС самоиндукции индуктивности или напряжением заряженной емкости.

Свободный ток определяют по формуле:

Количество слагаемых в формуле равно числу реактивных элементов (индуктивностей и емкостей) в схеме. P1, P2 — корни характеристического уравнения. А1, А2 — постоянные интегрирования, определяются с помощью начальных условий. Начальные условия — это переходные токи и напряжения в момент коммутации, в момент времени t, равный нулю. Начальные условия могут быть независимыми или зависимыми. Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации, законам постепенного, непрерывного изменения. Это напряжение на емкости uc(0) и ток в ветви с индуктивностью iL(0) в момент коммутации. Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением uR(0) и iR(0), напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью iC(0) — это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.

8.2. Переходные процессы в цепях с одним реактивным элементом

Короткое замыкание в R-L цепи

На рис. 8.1 изображена электрическая цепь, в которой включен источник постоянной ЭДС. В результате коммутации рубильник замыкается и образуется замкнутый на себя R-L контур.

До коммутации по индуктивности протекал ток Этот ток создавал постоянное магнитное поле в индуктивной катушке. Рис. 8.1

Определим закон изменения тока в индуктивности после коммутации. В соответствии с классическим методом

Принужденный ток после коммутации замыкается через рубильник, имеющий нулевое сопротивление, и через индуктивность не протекает. Индуктивный ток имеет только свободную составляющую

Магнитное поле, исчезая, индуктирует в индуктивной катушке ЭДС самоиндукции. Свободный ток в R-C контуре существует за счет этой электродвижущей силы. Запишем уравнение для свободного тока в R-L контуре, используя второй закон Кирхгофа.

Ищем решение этого уравнения в виде экспоненты

Подставим значения свободного тока и производной тока в уравнение (8.1)

Уравнение (8.2), полученное из уравнения (8.1), называется характеристическим.

— корень характеристического уравнения.

— постоянная времени переходного процесса, измеряется в секундах. Постоянная времени τ — это интервал времени, за который переходный ток уменьшается в e раз.

Постоянную интегрирования А определяем с помощью начального условия.

В соответствии с первым законом коммутации,

Напряжение на индуктивности .

На рис. 8.2 изображены кривые переходного тока в ветви с индуктивностью и переходного напряжения на индуктивности. Переходный ток и напряжение по экспоненте стремятся к нулю. В инженерных расчетах полагают, что через интервал времени, равный (4 ÷ 5)τ, переходный процесс заканчивается. Рис. 8.2

Подключение R-L цепи к источнику постоянной ЭДС

В схеме на рис. 8.3 до коммутации рубильник разомкнут. В результате коммутации рубильник замыкается и подключает R-L цепь к источнику постоянной ЭДС. Определим закон изменения тока i(t).

Принужденный ток в установившемся режиме после коммутации

В свободном режиме из схемы исключен внешний источник питания. Схема на рис. 8.3 без источника ЭДС ничем не отличается от схемы на

Свободный ток определяется по формуле . Запишем значение переходного тока для момента коммутации, (t = 0). , откуда . Рис. 8.3

До коммутации рубильник был разомкнут, и ток в схеме отсутствовал. Сразу после коммутации ток в индуктивности остается равным нулю.

Напряжение на индуктивности

На рис. 8.4 изображены кривые переходного, принужденного, свободного токов и переходного напряжения на индуктивности.

Свободный ток и напряжение на индуктивности плавно уменьшаются до нуля. В момент коммутации свободный и принужденный токи одинаковы по абсолютной величине. Переходный ток начинается при включении с нуля, затем возрастает, приближаясь к установившемуся постоянному значению. Рис. 8.4

Короткое замыкание в R-C цепи

В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур. До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть uc(0-) = E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.

В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора. Запишем для R-C контура уравнение по второму закону Кирхгофа . Рис. 8.5

Ток через конденсатор .

Получим дифференциальное уравнение

Решение этого уравнения .

Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения

Уравнение называется характеристическим.

— корень характеристического уравнения;

— постоянная времени переходного процесса;

Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6). Рис. 8.6

Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС

Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем uc(0-) = 0. В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7). Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания ucпр= E.

В момент коммутации .

Постоянная интегрирования . В соответствии со вторым законом коммутации . . Рис. 8.7

Кривые напряжений и тока изображены на рис. 8.8. Рис. 8.8

8.3. Переходные процессы в цепях с двумя реактивными элементами

При последовательном соединении сопротивления R, катушки индуктивности L и конденсатора С образуется электрический R-L-C контур (рис. 8.9). Дифференциальное уравнение для тока в контуре

После дифференцирования по t и деления на L получим

Решение уравнения (8.4) равно сумме принужденной и свободной составляющих . В нашем случае принужденная составляющая переходного тока равна нулю, так как в схеме имеется емкость, являющаяся разрывом цепи для постоянного тока. Рис. 8.9

Свободная составляющая является общим решением уравнения

После подстановки этих выражений в уравнение (8.5) получим характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение имеет два корня

где — коэффициент затухания;

— угловая резонансная частота контура без потерь.

Вид корней зависит от отношения

где — характеристическое или волновое сопротивление контура;

Наиболее важен часто встречающийся случай, когда корни P1,2 — комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью, свободная составляющая имеет вид затухающих колебаний. В этом случае

где — угловая частота собственных колебаний в контуре;

— период собственных колебаний.

где А и φ — постоянные интегрирования.

До коммутации ток в индуктивности равен нулю, сразу после коммутации остается равным нулю

Чтобы определить две постоянные интегрирования, необходимо иметь два начальных условия и составить два уравнения. Напряжение на индуктивности

где — напряжение на индуктивности в момент коммутации, является зависимым начальным условием. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для момента коммутации, чтобы определить зависимое начальное условие .

До коммутации конденсатор был не заряжен, поэтому

Подставляя в (8.6) и (8.7) t = 0 и используя независимое и зависимое начальные условия, получим систему уравнений

Решив систему (8.8), определим

На рис. 8.10 приведена кривая изменения тока в контуре при подключении к нему источника постоянной ЭДС. Из рисунка видно, что колебания в контуре затухают по показательному закону из-за потерь электрической энергии в сопротивлении R. Затухание происходит тем медленнее, чем меньше коэффициент затухания α . Рис. 8.10

Постоянная времени переходного процесса .

При малом коэффициенте затухания величина ωС незначительно отличается от резонансной частоты ω. Относительное затухание колебаний характеризуется декрементом затухания, представляющим отношение мгновенных значений тока через один период.

Натуральный логарифм этого оператора носит название логарифмического декремента затухания

Для контура с небольшим затуханием, когда

Апериодический режим в R-L-C контуре наблюдается при большом затухании, когда . В этом случае корни P1,2 вещественные, отрицательные, различные.

Свободный ток определяется по формуле

Напряжение на индуктивности

Подставив в уравнение (8.9) и (8.10) t = 0 и используя независимое и зависимое условия, получим систему уравнений

Решив эту систему, определим постоянные интегрирования

Выражение для тока в контуре

состоит из положительной, медленно затухающей экспоненты с коэффициентом затухания P1 и отрицательной, быстро затухающей экспоненты P2 (рис. 8.11).

Ток получается неколебательным, он не принимает отрицательных значений, то есть не меняет своего направления. На границе между колебательным и апериодическим режимом при наблюдается предельный случай апериодического процесса. Рис. 8.11

Решение задачи переходные процессы

Теоретические основы электротехники. Методические указания и контрольные задания для студентов технических специальностей высших учебных заведений. Бессонов Л.А., Демидова И.Г., Заруди М.Е.

Задача 3.1 Переходные процессы в линейных электрических цепях

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рисунки 3.1 – 3.20). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Параметры цепи приведены в таблице 3.1. Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка (смотри рисунки 3.1 – 3.20), когда L2=0, т. е. участок аb схемы закорочен, и когда С2=0, т. е. ветвь mn с конденсатором С2 разомкнута. При вычерчивании схемы в тетради элемента L2 и С2 должны отсутствовать. Определить закон изменения во времени указанной в таблице величины (тока или напряжения).

Задачу следует решать двумя методами: классическим методом и операторным методом. На основании полученного аналитического выражения требуется построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t=0 до t=3/|p|min, где |p|min – меньший по модулю корень характеристического уравнения.

Онлайн журнал электрика

Статьи по электроремонту и электромонтажу

Переходные процессы в электрической цепи

Переходные процессы не являются кое-чем необыкновенным и свойственны не только лишь для электронных цепей. Можно привести ряд примеров из различных областей физики и техники, где случаются такового рода явления.

К примеру, налитая в сосуд жгучая кода равномерно охлаждается и ее температура меняется от исходного значения до установившегося, равного температуре среды. Выведенный из состояния покоя маятник совершает затухающие колебания и, в конце концов, ворачивается в начальное стационарное недвижное состояние. При подключении электроизмерительного прибора его стрелка перед остановкой на соответственном делении шкалы совершает вокруг этой точки шкалы несколько колебаний.

Установившийся и переходный режим электронной цепи

При анализе процессов в электронных цепях приходится встречаться с 2-мя режимами работы: установившемся (стационарным) и переходным .

Установившимся режимом электронной цепи, присоединенной к источнику неизменного напряжения (тока), именуется режим, при котором токи и напряжения в отдельных ветвях цепи неизменны во времени.

В электронной цепи, присоединенной к источнику переменного тока, установившийся режим характеризуется повторяющимся повторением моментальных значений токов и напряжений в ветвях . Во всех случаях работы цепей в установившихся режимах, которые на теоретическом уровне могут длиться неограниченно длительное время, подразумевается, что характеристики воздействующего сигнала (напряжения либо тока), также структура цепи и характеристики ее частей не меняются.

Токи и напряжения установившегося режима зависят от вида наружного воздействия и от характеристик электронной цели.

Переходным режимом (либо переходным процессом ) именуется режим, возникающий в электронной цепи при переходе от 1-го стационарного состояния к другому, чем-либо отличающемуся от предшествующего, а сопутствующие этому режиму напряжения и токи — переходными напряжениями и токами . Изменение стационарного режима цепи может происходить в итоге конфигурации наружных сигналов, в том числе включения либо отключения источника наружного воздействия, либо может быть вызвано переключениями снутри самой цепи.

Хоть какое изменение в электронной цепи, приводящее к появлению переходного процесса именуют коммутацией . Почти всегда на теоретическом уровне допустимо считать, что коммутация осуществляется одномоментно, т.е. разные переключения в цепи происходят без издержки времени. Процесс коммутации на схемах условно показывается стрелкой около выключателя.

Переходные процессы в реальных цепях являются быстропротекающими . Их длительность составляет десятые, сотые, а нередко и миллионные толики секунды. Сравнимо изредка продолжительность этих процессов добивается единицы секунды.

Естественно появляется вопрос, нужно ли вообщем принимать во внимание переходные режимы, имеющие настолько маленькую продолжительность. Ответ может быть дан только для каждого определенного варианта, потому что в разных критериях роль их неодинакова. В особенности велико их значение в устройствах, созданных для усиления, формирования и преобразования импульсных сигналов, когда продолжительность воздействующих на электронную цепь сигналов соизмерима с длительностью переходных режимов.

Переходные процессы являются предпосылкой преломления формы импульсов при прохождении их через линейные цепи. Расчет и анализ устройств автоматики, где происходит непрерывная смена состояния электронных цепей, немыслим без учета переходных режимов.

В ряде устройств появление переходных процессов, в принципе, не нужно и небезопасно. Расчет переходных режимов в этих случаях позволяет найти вероятные перенапряжения и роста токов, которые во много раз могут превосходить напряжения и токи стационарного режима. Это в особенности принципиально для цепей со значимой индуктивностью либо большой емкостью.

Предпосылки появления переходного процесса

Разглядим явления, возникающие в электронных цепях при переходе от 1-го установившегося режима к другому.

Включим лампу накаливания в поочередную цепь, содержащую резистор R1 , выключатель В и источник неизменного напряжения Е. После замыкания выключателя лампа сразу зажгется, потому что разогрев нити и нарастание яркости ее свечения на глаз оказываются неприметными. Можно условно считать, что в таковой цепи ток стационарного режима, равный I о= E/(R1+R л), устанавливается фактически одномоментно, где R л — активное сопротивление накаленной нити лампы.

В линейных цепях, состоящих из источников энергии и резисторов, переходные процессы, связанные с конфигурацией запасенной энергии, вообщем не появляются.

Рис. 1. Схемы цепей для иллюстрации переходных процессов: а — цепь без реактивных элекментов, б — цепь с катушкой индуктивности, в — цепь с конденсатором.

Заменим резистор катушкой L , индуктивность которой довольно велика. После замыкания выключателя можно увидеть, что нарастание яркости свечения лампы происходит равномерно. Это свидетельствует о том, что из-за наличия катушки ток в цепи равномерно добивается собственного установившегося значения I ‘о= E/(r к +R л), где r к— активное сопротивление обмотки катушки.

Последующий опыт проведем с цепью, состоящей из источника неизменного напряжения, резисторов и конденсатора, параллельно которому подключим вольтметр (рис. 1,в). Если емкость конденсатора довольно велика (несколько 10-ов микрофарад), а сопротивление каждого из резисторов R1 и R 2 несколько сотен килоом, то после замыкания выключателя стрелка вольтметра начинает плавненько отклоняться и только через несколько секунд устанавливается на соответственном делении шкалы.

Как следует, напряжение на конденсаторе, также и ток в цепи инсталлируются в течение относительно длительного промежутка времени (инерционностью самого измерительного прибора в этом случае можно пренебречь).

Что все-таки препятствует моментальному установлению стационарного режима в цепях рис. 1,б, в и служит предпосылкой появления переходного процесса?

Предпосылкой этому являются элементы электронных цепей, способные припасать энергию (так именуемые реактивные элементы): катушка индуктивности (рис. 1,б) и конденсатор (рис. 1,в).

Появление переходных процессов связано с особенностями конфигурации припасов энергии в реактивных элементах цепи . Количество энергии, накапливаемой в магнитном поле катушки с индуктивностью L , в какой протекает ток iL , выражается формулой: WL = 1/2 (LiL 2 )

Энергия, накапливаемая в электронном поле конденсатора емкостью С, заряженного до напряжения uC , равна: WC = 1/2 (CuC 2 )

Так как припас магнитной энергии WL определяется током в катушке iL , а электронной энергии WC — напряжением на конденсаторе uC , то во всех электронных цепях три всех коммутациях соблюдаются два главных положения: ток катушки и напряжение на конденсаторе не могут изменяться скачком . Время от времени эти положения формулируются по другому, а конкретно: потокосцепление катушки и заряд конденсатора могут изменяться только плавненько, без скачков .

На физическом уровне переходные режимы представляют собой процессы перехода энергетического состояния цепи от докоммутационного к послекоммутационному режиму. Каждому стационарному состоянию цепи, имеющей реактивные элементы, соответствует определенный припас энергии электронного и магнитного полей. Переход к новенькому стационарному режиму связан с нарастанием либо убыванием энергии этих полей и сопровождается появлением переходного процесса, который завершается, как прекращается изменение припаса энергии. Если при при коммутации энергетическое состояние цепи не меняется, то переходные процессы не появляются.

Переходные процессы наблюдаются при коммутациях, когда меняется стационарный режим электронной цепи, имеющей элементы, способные припасать энергию. Переходные процессы появляются при последующих операциях:

а) включении и выключении цепи,

б) маленьком замыкании отдельных веток либо частей цепи,

в) выключении либо подключении веток либо частей цепи и т. д.

Не считая того, переходные процессы появляются при воздействии на электронные цепи импульсных сигналов.

Переходные процессы в электрических цепях постоянного тока

Разделы: Физика

Время от времени на экзаменах и олимпиадах встречаются задачи, в которых речь идёт о перераспределении (перетекании) электрических зарядов вследствие различных видов коммутаций (переключений) в электрических цепях. Чаще всего имеются в виду электрические цепи, содержащие конденсаторы и катушки индуктивности. Сложность подобных задач заключается в том, что рассматриваемые в них процессы, возникающие при переключениях, вызывают у школьников затруднения как в понимании физических явлений, так и в построении математической модели, позволяющей решить данную проблему. Даже если модель задачи и была построена, решение полученных уравнений выходит за рамки школьной программы. Тем не менее, ещё совсем недавно аналогичные задачи предлагались на вступительных экзаменах по физике в ведущие физические ВУЗы или факультеты. А теперь задания с подобного рода содержанием «перекочевали» в контрольно-измерительные материалы на ЕГЭ.

Примером такой задачи является, например, следующая:

Катушка индуктивности подключена к источнику тока с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением через резистор R = 60 Ом (рисунок 1). В момент t = 0 ключ К замыкают. Значения силы тока в цепи, измеренные в последовательные моменты времени с точностью ±0,01 А, представлены в таблице.

В других вариантах катушку индуктивности может заменить конденсатор.
При этом надо ответить на ряд вопросов. Например, чему равно значение ЭДС источника тока, каково значение напряжения на резисторе или катушке в некоторый момент времени и т.п.

Каждый электрик должен знать:  Заземление ванной и стиральной машины - как сделать

Нестандартность заданий заключается в том, что вопросы касаются не статического состояния (например, конденсатор уже заряжен или разряжен), а относятся к мгновенным значениям ещё неустановившихся значений силы тока (напряжения).

Разумные ученики по первой подсказке (помощи) учителя в дальнейшем обычно легко справляются с подобного рода задачами. Однако, некоторые наиболее любознательные школьники, «смотря в корень» проблемы, начинают интересоваться происхождением магического ряда чисел во второй строчке таблицы изменения силы тока (напряжения). После решения нескольких задач, содержащих подобные таблицы, в конце концов приходится назначать дополнительное занятие по изучению так называемых переходных процессов в цепях постоянного тока, содержащих конденсаторы или катушки индуктивности.

Переходный процесс в цепи, содержащей конденсатор.

Пусть дана схема (рисунок 2), в которой в некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается, в результате чего напряжение источника тока подаётся на остальную часть схемы. Для простоты будем считать, что внутреннее сопротивление источника тока мало. Это допущение не повлияет на искомый результат.

Школьники, понимающие, что конденсатор является цепью фактически разомкнутой для постоянного тока, с некоторым недоумением воспринимают информацию, что сразу после замыкания цепи в ней возникает, правда, очень быстро заканчивающийся, процесс протекания тока. В результате конденсатор переходит от незаряженного состояния в заряженное.

Длительность этого процесса составляет десятые, сотые, а иногда и миллионные доли секунды; сравнительно редко время переходных процессов может составлять секунды и десятки секунд.
Что же происходит в результате замыкания ключа К? Конденсатор C вначале не заряжен, а потому потенциалы его обкладок одинаковы. Примем потенциал нижнего по рисунку вывода источника тока равным нулю, тогда верхний вывод имеет потенциал Е. Замыкание ключа приводит к обнулению потенциала как нижней, так и верхней пластины конденсатора. Таким образом, между верхним полюсом источника тока и верхней обкладкой конденсатора возникает разность потенциалов, что приведёт к перемещению заряженных частиц (электронов), то есть к возникновению электрического тока. Значение силы тока по закону Ома пропорционально разности потенциалов. Следовательно, сразу после замыкания ключа К на резисторе R напряжение будет равно E. При этом сила тока в нем равна Процесс протекания тока приведёт к росту заряда на обкладках конденсатора, а, следовательно, и росту потенциалов на его обкладках. В результате, верхняя обкладка заряжается положительным зарядом, а нижняя — отрицательным. Так как на левом выводе резистора потенциал не изменяется, а на правом растёт, разность потенциалов (напряжение) на резисторе снижается, что приводит к уменьшению силы зарядного тока, а, следовательно, и к уменьшению скорости заряда конденсатора.

Для замкнутой цепи (рисунок 2) можно записать уравнение E = UR + UC, так как резистор и конденсатор включены в ней последовательно. Здесь UR = iR — напряжение на резисторе, а — напряжение на конденсаторе, а — сила зарядного тока. Тогда Так как , то

Заряд на конденсаторе изменяется постепенно, хотя и очень быстро. Это прямо вытекает из уравнения (1). В самом деле, мгновенный (скачком) рост заряда на конденсаторе делал бы дробь очень большой, что противоречило бы этому уравнению, так как все остальные члены имеют конечное (не бесконечно большое) значение. Получив из (1) выражение

заметим, что по мере увеличения заряда q на конденсаторе уменьшается скорость процесса заряда этого конденсатора. Для малых интервалов времени то есть при , значение производная заряда как функции от времени. Таким образом, в уравнение неизвестная величина (заряд) входит еще и со своей производной. Решить его — означает найти вид функции q(t) зависимости заряда на конденсаторе от времени. Решение этого, так называемого дифференциального, уравнения выходит за рамки школьной программы.

Тем не менее, попробуем всё-таки определить характер зависимости заряда (напряжения) на конденсаторе другим способом. Для этого представим исходное уравнение в виде

Время заряда конденсатора разобьём на малые одинаковые интервалы времени t и посмотрим, как будет меняться значение заряда и напряжения по истечении первого интервала t1 от начала заряда, затем второго — t2 и т.д. При этом как уже было сказано

Таким образом, есть возможность последовательно, шаг за шагом, рассчитывать напряжения на конденсаторе через одинаковые промежутки времени t, получая последовательность чисел.

Выражения типа (3) называют рекуррентным, так как для вычисления последующего члена последовательности надо знать её предыдущий член. При этом, разумеется, значения величин E, R и C должны быть известными. Обратим внимание, что в выражениях (2) и (3) дробь безразмерна, то есть RC имеет размерность времени (докажите это.)

Выведем формулу общего члена последовательности. В соответствии с выражением (3) проследим, как изменяется напряжение на конденсаторе, учитывая, что вначале U0=0 В (конденсатор не заряжен).

В последнем выражении видно, что в скобках стоит сумма конечного количества членов геометрической прогрессии со знаменателем . Так как конденсатор заряжается только до напряжения источника тока, то сумма её не может быть бесконечно большой, и эта прогрессия является убывающей, а потому . По формуле суммы геометрической прогрессии имеем

Какими взять интервалы времени t и каково их количество? Анализируя выражение (4), приходим к выводу, что из бесконечного увеличения числа интервалов следует асимптотическое приближение В самом деле, сумма членов той же, но уже не ограниченной количеством n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Этот чисто математический вывод означает, что полный заряд конденсатора до напряжения источника тока E происходит за бесконечно большой интервал времени. В реальности же вследствие ограниченной точности (чувствительности) измерительных приборов ждать «бесконечно» долго не приходится. Конденсатор считается заряженным, если напряжение на нём достигло такого значения, при котором визуально оно уже не изменяется. Поэтому будем считать, что конденсатор «практически» заряжен за n = N шагов, если напряжение на нём будет составлять, например, доли от напряжения источника E, то есть . Тогда из (4)

Если T — время, за которое конденсатор будет «практически» заряжен, то понятно, что

Величина RC, имеющая размерность времени, характеризует электрическую цепь. Можно сказать, что от величины RCзависит время заряда конденсатора. Соотношение показывает, во сколько раз отличается время «полного» заряда конденсатора от RC. Посмотрим, как это соотношение зависит от количества N интервалов времени при различных значениях . Лучше всего проанализировать выражение (5) с помощью табличного процессора MS Excel. Расчёты по формуле (5) были проведены для трёх значений . На графике (рисунок 3) показаны результаты этих расчётов.

Из графиков видно, что при N > 100 соотношение «стабилизируется», то есть мало зависит от N. Это означает, что конденсатор можно считать заряженным, например, с точностью = 0,95, если время T будет в 3 раза больше величины RC при условии, что число интервалов N > 100.

Теперь ясно, что для расчётов по формуле (4) значений напряжений Un берётся , где в соответствии с рисунком 3 при значение , при = 0,95 — T = 3 . RC, при = 0,99 — T = 4,6 . RC при = 0,9 — T = 2,3 . RC, а N выбирается во всех случаях большим 100.

Если нас интересует практически полный заряд конденсатора ( = 0,99), то это произойдёт за T = 4,6 . RC. Тогда Опять же воспользуемся табличным процессором MS Excel. График показан на рисунке 4. Расчёты были произведены для E = 5В, RC = 0,001с. И при N = 100 имеем t = 0,000046c.

Переходный процесс в цепи, содержащей катушку индуктивности

Рассмотрим теперь электрическую цепь, содержащую катушку индуктивности (рисунок 5).

Пусть катушка обладает малым электрическим сопротивлением, меньшим, чем сопротивление резистора R. Внутренним сопротивлением источника тока пренебрежём. В момент времени t = 0 ключ К замыкается, и по цепи начинает протекать электрический ток. Если бы в цепи не было катушки индуктивности, то значение тока сразу бы установилось равным . Из-за явления самоиндукции нарастание тока в катушке будет постепенным. При этом в катушке возникает ЭДС самоиндукции . Здесь L — индуктивность катушки, — скорость изменения тока.

Так как резистор R и катушка L соединены последовательно, то E = UR + UL.

При малых изменениях тока за малые промежутки времени ( ) дробь превращается в производную силы тока как функции времени . Тогда уравнение (6) превращается в дифференциальное уравнение

решение которого заключается в нахождении вида функции силы тока i(t) в катушке индуктивности от времени. Поступим так, как и в предыдущем случае. Представим уравнение (6) в виде

Время нарастания тока разобьём на малые одинаковые интервалы времени и посмотрим, как будет меняться его значение по истечении первого интервала от начала процесса, затем второго — и т.д. При этом, как уже было сказано,

Несложное преобразование даёт следующее

Выражение (7) также является рекуррентным и позволит определить изменение значения силы тока в катушке индуктивности через одинаковые промежутки времени . При известных величинах E, R и L. Самостоятельно выведите формулы (8)

Можно также показать что при установившееся значение силы тока в цепи

Обратим внимание, что в выражении (7) дробь безразмерна (докажите это).

Для определения количества интервалов времени n, а также самого интервала можно воспользоваться результатами предыдущего анализа. Время, за которое сила тока практически установится при точности амперметра, соответствующей

Пусть, например, E = 18В, R = 60Ом, L = 80Гн. Тогда T = 6,1с и при N = 100 имеем 0,061с. Эти данные соответствуют условию задания, приведённого в начале этой работы. Построим график, используя табличный процессор MS Excel (рисунке 6).

Красные маркеры поставлены в соответствии с таблицей к заданию, приведенному в начале работы. Как видно, теоретические расчёты хорошо согласуются с результатами измерений.

Придумаем задачу с переходным процессом!

Пусть конденсатор уже заряжен (рисунок 7). В некоторый момент времени t = 0 ключ К замыкается, и конденсатор начинает разряжаться через резистор R. Составьте задание для участников экзамена, где приведён ряд значений силы тока (или напряжения) в последовательные моменты времени. В условии может быть задано, например, начальное значение напряжения на конденсаторе (начальное значение силы разрядного тока), а также сопротивление резистора и ёмкость конденсатора.

Из уравнения (9) видно, что скорость разряда конденсатора уменьшается по мере уменьшения остаточного заряда на конденсаторе. Весь процесс разряда также разобьём на одинаковые интервалы времени t. Проделайте рассуждения самостоятельно и получите рекуррентную формулу

От рекуррентной формулы переходим к формуле для общего члена последовательности Un(выведите самостоятельно).

Здесь U — начальное напряжение на конденсаторе.

Здесь напряжение уменьшается асимптотически до нуля. Будем считать, что конденсатор практически разрядится, если напряжение на нём будет составлять (например, ). Пусть значение Un = достижимо за n = N шагов. Тогда

Если n = N соответствует длительности T процесса «практически полного» разряда конденсатора, то, учитывая , получим

Формулы (11) и (5) идентичны, так как соответствует .

Пусть конденсатор заряжен до напряжения U = 5В, RC = 0,001с. И, если N = 100, то T = 4,6 . RC и t = 0,000046c Используя табличный процессор MS Excel, рассчитаем по формуле (10) значения Un и построим график (рисунке 8).

Из таблицы возьмём только 7-10 последовательных моментов времени из 100, относительно равномерно распределенных по всему графику. Так как на начальном участке графика скорость изменения напряжения больше, чем в конце, то и в таблице более подробно отразим именно начальный участок. Следующая задача вполне могла бы занять место в экзаменационных материалах.

Электрическая цепь (рисунок 9) состоит из конденсатора C, резистора R =50 Ом и ключа К. Конденсатор заряжен до напряжения U0. В момент времени t = 0 ключ К замыкают, и начинается разряд конденсатора. Значения напряжения, измеренные в последовательные моменты времени с точностью ±0,05В, приведены в таблице

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

При всех изменениях в электрической цепи: включении, выключении, коротком замыкании, обрыве, колебаниях значения какого-либо параметра и т.п., в ней возникают переходные процессы.

Переходным называется процесс, возникающий в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима работы к другому. При переходных процессах могут возникать большие перенапряжения, сверхтоки, электромагнитные колебания, которые способны нарушить работу систем автоматики и других устройств, вплоть до выхода их из строя. С другой стороны, переходные процессы находят практическое применение, например, в различного рода электронных генераторах.

Переходные процессы вызываются коммутациями в цепи. Коммутация – процесс замыкания или размыкания выключателей. На схеме коммутация показывается срабатыванием ключа (рис.1.1, а – на замыкание, б – на размыкание).

Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода цепи от одного энергетического состояния в докоммутационном режиме к другому энергетическому состоянию в послекоммутационном режиме, и обусловлены несоответствием запаса энергии в магнитном поле катушки и электрическом поле конденсатора до коммутации, его значению для нового состояния цепи.

Очевидно, что эти процессы не могут протекать мгновенно, так как невозможно мгновенное изменение энергии, запасенной в электромагнитном поле накопительных элементов электрической цепи.

Общий подход к расчету переходных процессов в любой электрической цепи заключается в составлении с помощью законов Кирхгофа дифференциальных уравнений, решение которых может проводиться различными методами.

Основные методы анализа переходных процессов в линейных цепях [1,2]:

1. Классический метод, заключающийся в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих электромагнитное состояние цепи.

2. Операторный метод, заключающийся в решении системы алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных с последующим переходом от найденных изображений к оригиналам.

3. Частотный метод,основанный на преобразовании Фурье и находящий широкое применение при решении задач синтеза.

4. Метод расчета с помощью интеграла Дюамеля, используемый при сложной форме кривой возмущающего воздействия.

5. Метод переменных состояния,представляющий собой упорядоченный способ определения электромагнитного состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме (форме Коши).

1.2. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ

Допустим, что коммутация происходит в момент времени и протекает мгновенно. Под будем понимать момент времени непосредственно до коммутации, а под — момент времени непосредственно после коммутации. На рис.1.2 это проиллюстрировано на примере изменения во времени напряжения на индуктивности и напряжения на емкости:

Здесь – момент коммутации; – численные значения напряжений непосредственно до коммутации; – численные значения напряжений непосредственно после коммутации.

В резистивном элементе r электрическая энергия превращается в тепло и рассеивается в окружающую среду. В индуктивности накапливается энергия магнитного поля , а в емкости – энергия электрического поля .

При коммутации происходит изменение суммарной энергии электромагнитного поля. Процесс изменения этой энергии не может происходить мгновенно, т.к. в этом случае мощность источника энергии должна быть бесконечно большой, а таких источников не существует. Энергию электромагнитного поля можно сравнить с кинетической энергией, запасенной во вращающемся маховике — и та и другая мгновенно изменяться не может.

Поскольку энергия электромагнитного поля мгновенно изменяться не может, следовательно, не могут изменяться мгновенно обуславливающие её ток в индуктивности и напряжение на емкости .

Это обстоятельство определяет законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в ветви с индуктивности непосредственно до коммутации равен току в ней непосредственно после коммутации :

Другими словами, ток в ветви с катушкой индуктивности в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него (рис.1.3,а).

Упрощенно этот закон формулируют так – ток в индуктивности скачком измениться не может.

Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации равно напряжению на нем непосредственно после коммутации :

Другими словами, напряжение на конденсаторе в момент коммутации сохраняет свое докоммутационное значение и в дальнейшем начинает изменяться с него (рис.1.3,б).

Упрощенно этот закон формулируют так – напряжение на конденсаторе скачком измениться не может.

Необходимо подчеркнуть, что ток и напряжение на резисторе (ir, ur), напряжение на индуктивности (uL) и ток в ёмкости (iC) в момент коммутации могут изменяться как угодно.

Доказать законы коммутации можно «от противного»: если допустить обратное, то получаются бесконечно большие значения и , что приводит к нарушению законов Кирхгофа.

Примечание. В особых случаях (некорректные коммутации), использование законов коммутации возможно лишь в другой, обобщенной формулировке:

первый обобщенный закон коммутации: магнитный поток, сцепленный с катушками индуктивности контура, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения:

второй обобщенный закон коммутации: электрический заряд на конденсаторах, присоединенных к любому узлу, в момент коммутации сохраняет то значение, которое имел до коммутации, и начинает изменяться именно с этого значения:

В качестве иллюстрации могут служить схемы на рис.1.4, переходные процессы в которых относятся к так называемым некорректным коммутациям(название произошло от пренебрежения в подобных схемах малыми параметрами, корректный учет которых может привести к существенному усложнению задачи).

Действительно, в схеме на рис.1.4,а при переключении ключа из положения 1 в положение 2 трактование второго закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе приводит к невыполнению второго закона Кирхгофа .

Аналогично в схеме на рис.1.4,б при размыкании ключа трактование первого закона коммутации как невозможность скачкообразного изменения тока через катушку индуктивности приводит к невыполнению первого закона Кирхгофа . Для данных схем, исходя из сохранения заряда и соответственно потокосцепления, можно записать:

Таким образом, более общей формулировкой законов коммутации является положение о невозможности скачкообразного изменения в момент коммутации для схем с катушкой индуктивности – потокосцеплений, а для схем с конденсаторами – зарядов на них.

1.3. начальные условия

Значения токов и напряжений на элементах цепи в начальный момент времени называются начальными условиями.Начальные условия принято делить на независимые (основные) и зависимые (неосновные).

К независимым начальным условиям относятся ток (потокосцепление) в катушке индуктивности и напряжение (заряд) на конденсаторе в момент коммутации. Независимые начальные условия и определяются на основании законов коммутации из расчета докоммутационного установившегося режима в цепи.

Зависимыми начальными условиями называются значения остальных токов и напряжений в начальный момент времени ( , , и ), а также производных от искомой функции в момент коммутации. Они определяются по независимым начальным условиям с помощью уравнений по законам Кирхгофа, записанных для момента времени .

Если до коммутации ток в индуктивности и напряжение на емкости равны нулю, то имеют место нулевые начальные условия: , .

В случае и имеем ненулевые начальные условия.

Пример.В схеме на рис.1.5 определим значения токов и производных и в момент времени при условии, что до коммутации конденсатор не заряжен.

В соответствии с законами коммутации независимые начальные условия

На основании второго закона Кирхгофа для начального момента времени имеем

Откуда получаем зависимые начальные условия

Для известных значений и из уравнения

Значение производной от напряжения на конденсаторе в момент времени

1.4. Классический метод расчета ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Классический метод расчета переходных процессов заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений, описывающих изменения токов и напряжений на участках цепи в переходном процессе.

В общем случае при использовании классического метода расчета составляются уравнения электромагнитного состояния цепи по законам Ома и Кирхгофа для мгновенных значений напряжений и токов, связанных между собой на отдельных элементах цепи соотношениями:

— резистор (идеальное активное сопротивление): ;

— катушка индуктивности (идеальная индуктивность): ;

— конденсатор (идеальная емкость): , .

Например, для последовательной цепи, содержащей линейные резистор r, катушку индуктивности L и конденсатор С (рис.1.6), при ее подключении к источнику ЭДС e по второму закону Кирхгофа имеем

Подставив в (1.1) значение тока через конденсатор , получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно :

В общем случае для цепи с n независимыминакопителями энергии уравнение, описывающее переходный процесс,имеет вид:

где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); f (t) — известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); — k-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.

Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в послекоммутационной цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой после объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединенных последовательно или параллельно.

Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.

В зависимости от порядка дифференциальных уравнений, описывающих исследуемую цепь, различают цепи первого, второго и более высокого порядка.

Как известно из математики, общее решение неоднородного уравнения (1.2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю.

Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (1.2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение, соответствующее искомой величине х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для t → ∞).

Частное решение уравнения (1.2) определяется видом функции f (t), стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей (обозначается хпр).

Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется из расчета установившегося режима работы цепи после коммутации любым методом расчета линейных электрических цепей. Например, при синусоидальном источнике питания рекомендуется использовать символический метод расчета.

Вторая составляющая общего решения х уравнения (1.2) – решение (1.2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным и описывается линейным однородным дифференциальным уравнением (1.3), общее решение которого называется свободной составляющей (обозначается хсв).

В соответствии с вышесказанным, общее решение уравнения (1.2) имеет вид

Соотношение (1.4) показывает, что в классическом методе расчета послекоммутационный режим рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, длящегося теоретически бесконечно долго, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.

Поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении, справедлив только для линейных цепей.

В соответствии с определением свободной составляющей хсв в ее выражение входят постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий.

Выражение свободной составляющей определяется видом корней характеристического уравнения и зависит от значений параметров схемы (r, L, C) и схемы их соединений [1,2,3].

Зависимость вида свободной составляющей от вида корней характеристического уравнения приведена в табл.1.1.

Вид корней характеристического уравнения Выражение для свободной составляющей
Корни p1, p2, …, pn вещественные и различные
Корни p1, p2, …, pn вещественные и p1= p2= …= pm=p (m Предыдущая 1 234567891011121314Следующая

Дата добавления: 2020-09-01 ; просмотров: 2226 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Переходные процессы в линейных электрических цепях

Описание: Предполагается что коммутация совершается мгновенно время коммутации равно нулю. Момент времени непосредственно до коммутации называется: 0 “минус ноль†момент непосредственно после: 0 “плюс нольâ€. Для схемы до коммутации и после коммутации характерны некоторые установившиеся режимы. В результате коммутации в схеме возникает некий режим перехода от установившегося процесса до коммутации к установившемуся процессу после коммутации.

Дата добавления: 2015-01-27

Размер файла: 81.89 KB

Работу скачали: 1 чел.

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

> Переходные процессы в линейных электрических цепях.

Определения

1. Коммутация –это какое-либо включение, выключение, переключение пассивных и активных ветвей и элементов схемы, приводящее к изменению конфигурации схемы или ее параметров. Предполагается, что коммутация совершается мгновенно (время коммутации равно нулю). Момент времени непосредственно до коммутации называется: 0 — (“минус ноль”, момент непосредственно после: 0 + (“плюс ноль”).

Для схемы до коммутации и после коммутации характерны некоторые установившиеся режимы. В результате коммутации в схеме возникает некий режим перехода от установившегося процесса до коммутации к установившемуся процессу после коммутации. Это и есть переходный процесс. Теоретически длительность переходного процесса равна бесконечности, т.е. режим в цепи асимптотически приближается к установившемуся. Практически малым отличием режима от установившегося пренебрегают, и считают, что длительность переходного процесса конечна.

Законы коммутации

  1. В индуктивном элементе ток и магнитный поток в момент коммутации не изменяются, т.е.

Ток индуктивности сразу после коммутации равен току индуктивности непосредственно перед коммутацией (то же для магнитных потоков). В переходном процессе ток индуктивности и ее магнитный поток изменяются, начиная с этого значения.

  1. Напряжение емкостного элемента и его заряд в момент коммутации не изменяются.

Напряжение на емкости и ее электрический заряд сразу после коммутации равны напряжению на емкости и электрическому заряду непосредственно перед коммутацией. В переходном процессе напряжение на емкости и ее электрический заряд изменяются, начиная с этого значения.

Обоснование законов коммутации

Если в момент коммутации меняется скачком, то и, следовательно, из-за чего нарушается второй закон Кирхгофа, чего не может быть.

Если в момент коммутации меняется скачком, то и, следовательно, из-за чего нарушается первый закон Кирхгофа, чего не может быть.

Обоснование законов коммутации из закона сохранения энергии.

Энергия магнитного поля индуктивности:

Энергия электрического поля емкости:

, , если или меняются скачком, то соответствующая мощность и стремятся к , следовательно, для скачкообразного изменения или схему надо подключить к источнику питания бесконечной мощности, чего быть не может.

Сформулированные законы коммутации не являются универсальными: существуют схемы, для которых они не выполняются. Эти схемы называются некорректными, для их расчета существуют специальные методы.

Значения в начальный момент времени токов индуктивностей и напряжений на ёмкостях называются независимыми начальными условиями. Значения других величин в начальный момент времени , , , называются зависимыми начальными условиями, они могут изменяться скачком в момент коммутации и определяются по независимым начальным условиям с помощью первого и второго закона Кирхгофа.

Зависимость токов и напряжений в схеме от времени представляем в виде суммы двух составляющих: принужденной и свободной:

Принужденная составляющая описывает установившийся режим цепи после коммутации, она определяется свойствами цепи и источника питания. Если источник постоянный, то установившийся режим постоянный и принужденная составляющая постоянная. Если источник периодический, то установившийся режим и принужденная составляющая — периодические.

Свободная составляющая отражает зависимость переходного процесса от свойств цепи –конфигурации и параметров.

Математически переходный процесс в линейной схеме описывается линейным обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами n -ого порядка, где n число индуктивностей и емкостей в схеме, т.е. элементов, накапливающих энергию, источники напряжения и тока входят в правую часть этого ОДУ. Принужденная составляющая является частным решением неоднородного ОДУ, свободная составляющая –общим решением однородного ОДУ. Для ОДУ n -ого порядка требуется n начальных условий. Они могут быть получены из n независимых условий: токов индуктивностей и напряжений емкостей в момент коммутации.

Метод расчета переходных процессов в линейных цепях состоящий в поиске решения ОДУ n -ого порядка называется классическим методом расчета переходных процессов. При этом само ОДУ в явном виде не записывается.

Включение RC -цепи на постоянное напряжение.

Найти , ключ замыкается

В замкнутом состоянии цепь является контуром, запишем для него второй закон Кирхгофа:

Это ОДУ — линейное с постоянными коэффициентами.

Принужденное напряжение –частное решение неоднородного ДУ — ищем в виде константы:

Общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Постоянная B ищется из нескольких условий: по закону коммутации , до коммутации ключ был разомкнут и все напряжения в схеме были равны нулю (она была отключена от источника)

Это и есть начальное условие для нашей задачи.

Решение ищем в виде:

По законам Кирхгофа составим систему ОДУ:

подставим в систему уравнений и продифференцируем по t :

Независимые начальные условия

определим из схемы до коммутации

ввиду того, что , , , постоянный ток через ёмкость не течет.

Запишем искомую величину в виде суммы свободной и принужденной составляющей:

Принужденная составляющая есть установившаяся составляющая после коммутации, когда переходный процесс закончился.

Постоянный ток через емкость не течет.

Чтобы найти свободную составляющую переходного процесса, которая является общим решением однородного уравнения, необходимо записать характеристическое уравнение системы ОДУ (или ОДУ ей эквивалентного) и найти его корни. Из системы (6) можно исключить и , и для полученного ОДУ записать характеристическое уравнение. Но можно составить главный определитель системы (5) и приравнять его нулю:

Корни характеристического уравнения:

— соответствует установившемуся режиму. Два других найдем из уравнения

Дискриминант этого квадратного уравнения имеет вид:

1) — корни действительные, разные

) — корни действительные, одинаковые

) — корни комплексные сопряженные

В первом случае свободная составляющая имеет вид

Во втором случае:

В третьем случае:

— есть действительная часть корней, св –модуль мнимых частей корней.

Пусть в нашем случае корни действительные, различные, тогда, с учетом:

решение примет вид:

Для определения постоянных интегрирования и , запишем значение и его производную в начальный момент времени:

значения и определим из системы (5), записанной для начального момента времени :

Из законов коммутации:

Для определения начального значения производной продифференцируем систему (5) и подставим

из второго уравнения исходной системы при

Алгебраические уравнения для постоянных интегрирования:

Введение.

Производя расчеты и изу­чая свойства электрических цепей постоянного, синусоидального и периодического несинусоидального токов, мы не интересовались как происходит уста­новление режима в цепи при включении и отключении источников э.д.с., по каким законам происходит переход от одного режима к другому при изменении параметров цепи, при отключении и под­ключении ветвей, при коротких замыканиях и подобных им процессах.

В данной курсовой работе будут рассматриваться переходные процессы. Переходные процессы — процессы перехода от одного режима работы электрической цепи (обычно периодического) к дру­гому (обычно также периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например: величиной фазы, амплитуды, формой или частотой действующей в схеме э.д.с., значениями параметров схе­мы, конфигурацией цепи и др..

Режим синусои­дального тока, режим постоянного тока, а также такой режим, как режим отсутствия тока в ветвях цепи обычно являются периодическими режимами.

Переходные процессы — быстропротекающие процессы; длительность их составляет часто десятые, сотые, а иногда даже миллионные доли секунды; сравнительно редко про­исходят переходные процессы, длительность которых составляет секунды и десятки секунд. Тем не менее, изучение переходных про­цессов весьма важно, так как оно позволяет выявить возможные превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, позволяет выяснить возможные увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося перио­дического процесса.

Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Комму­тацией называют процесс замыкания или размыкания рубильни­ков или выключателей.

Процесс замыкания или размыкания рубильни­ков или выключателей, на рисунках поясняют стрелкой. Так, операция замыкания рубильника на схе­мах показывается, как правило, в соответствии с рис. 1.а, а опе­рация размыкания рубильника — в соответствии с рис. 1.б.

Изучение переходных процессов позволяет решать и такие во­просы, как вопрос о том, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители, фильтры и другие радиотехнические устройства.

Задача о переходном процессе в любой линейной электри­ческой цепи с сосредоточенными параметрами сводится к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи­циентами.

Из курса математики известно, что решение дифференциального уравнения есть не что иное, как отыскание функции, удовлетворяю­щей дифференциальному уравнению. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное уравнение в тож­дество.

Решение линейных дифференциальных уравнений будет прово­диться тремя методами: классическим, оператор­ным и методом, использующим интеграл Дюамеля.

Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть общие свойства линейных цепей при переходных процессах, а также общие законы, которым подчиняются переходные процессы в линейных электрических цепях.

1.Общие свойства линейных цепей при переходных процессах.

1.1.Принужденные и свободные составляющие токов и напря­жений.

Из курса математики известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс полное решение однород­ного уравнения.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы на рис.2 при замкнутом рубильнике.

Частное решение уравнения (1) равно (так как катушка только пропускает ток, но не накапливает).

Однородное уравнение получается из исходного, если в нем взять правую часть равной нулю. В нашем случае

Решением однородного уравнения является показательная функ­ция вида Ае pt .

Для всех переходных процессов условились, что момент t=0 соответствует моменту коммутации. A и р есть некоторые постоянные числа, не зависящие от време­ни. Их значения для рассматриваемого примера:

Следовательно, решение уравнения (1) запишется так:

В нем слагаемое есть частное решение неоднородного урав­нения (1), а слагаемое общее решение однородно­го уравнения (2).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей тока (или, соответ­ственно, напряжения), а полное решение однородного уравнения — свободной составляющей.

Для того чтобы различать, о каком токе (полном, принужденном или свободном) идет речь, условились принужден­ную составляющую снабжать индексом пр, свободную — индек­сом св; полная величина без индекса. Так,

Кроме индексов пр и св, токи и напряжения могут иметь и допол­нительные индексы, соответствующие номеру ветвей на схеме.

Принужденная составляющая тока или напряжения физиче­ски представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая э.д.с.

Во всех линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону е р t .

Что касается принужденных и свободных составляющих токов и напряжений во время переходного процесса, то эти составляющие играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви цепи при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, пол­ное напряжение — это то напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при пере­ходном процессе. Его также можно измерить и записать на осцилло­грамме.

1.2. Законы коммутации.

Первый закон коммутации. Ток через любую индуктивность непосредственно до коммутации — назовем его iL (0_) — равен току через ту же индуктивность непосредственно после коммутации — назовем его iL (0+) iL (0_) = iL (0+)

Второй закон коммутации. Обозначим напряжение на ем­кости непосредственно до коммутации через uc (0_) и через иc(0+) — напряжение на ней непосредственно после коммутации.

1.3. Ток через индуктивность и напряжение на емкости.

Ток через индуктивность не мо­жет изменяться скачком. Доказательство проведем на примере схемы рис.2. По второму закону Кирхгофа

Ток i и э.д.с. Е могут принимать только конечные (не бесконеч­но большие) значения.

Допустим, что ток i может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени Dt стремящийся к нулю, ток изменится на конечную величину Di. При этом . Если вместо в уравнение (1) подставить ¥, то левая часть уравнения не будет равна правой части и не будет вы­полнен второй закон Кирхгофа.

Следовательно, допущение о возможности скачка тока через индуктивность противоречит второму закону Кирхгофа.

Ток через L не может измениться скачком, но напряжение на индуктивности, равное скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа и энергетическим соотно­шениям.

Доказательство того положения, что напряжение на емкости не может изменяться скачком, проводится аналогично доказатель­ству первого положения.

Однако ток через емкость, равный может изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа и энерге­тическим соотношениям.

Из перечисленных выше двух основных положений следуют два закона коммутации.

1.4. Начальные значения величин.

Значения токов и напряжений в схеме при t = 0 понимают под начальными значениями (в литературе их называют еще начальны­ми условиями).

Токи через индуктивности и напряжения на емкостях непосредственно после коммутации всегда равны их значениям непосредственно до коммутации. Что касается осталь­ных величин: напряжений на индуктивностях, напряжений на активных сопротивлениях, токов через емкости, токов через актив­ные сопротивления, то все эти величины могут изменяться скач­ком, и потому их значения непосредственно после коммутации ча­ще всего оказываются не равными их значениям до коммутации.

Значения токов через индуктивности и напряжения на емкостях, известные из докоммутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями.

Значения остальных токов и напря­жений при в послекоммутационной схеме, определяемые по независи­мым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями.

При нулевых начальных условиях токи в индуктивностях и на­пряжения на емкостях начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с тех значений, которые они имели не­посредственно до коммутации.

1.5. Составление характеристического уравнения системы.

Составить характеристическое уравнение можно путем исполь­зования выражения для входного сопротивления цепи на перемен­ном токе. С этой целью составляют выраже­ние входного сопротивления для любой ветви цепи на переменном токе [обозначим его Z(jw)], заменяют в нем jw на p [получают Z(р)] и приравнивают Z(р) к нулю.

Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Так, если характеристическое уравнение представляет собой урав­нение первой степени, то оно имеет один корень, если второй сте­пени — два корня, если третьей степени — три корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда действительный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь:

а) два действительных неравных отрицательных корня;

б) два действительных равных отрицательных корня;

в) два комплексно сопряженных корня с отрицательной дейст­вительной частью.

Все действительные корни характеристических уравнений всегда отрицательны, а комплексные корни всегда имеют отрицатель­ные действительные части. Если число корней характеристического уравнения будет боль­ше двух, то свободный процесс может быть представлен как про­цесс, составленный из нескольких простейших процессов.

Где d — коэффициент затухания.

Зависимость выражения тока от корней характеристического уравнения показана в таблице.

Корни характеристического уравнения

Изображение свободного тока

На этом закончим рассмотрение общих свойств линейных цепей при переходных процессах, а также общих законов, которым подчиняются переходные процессы в линейных электрических цепях и перейдем к изучению методов анализа и расчета переходных процессов.

2. Методы анализа и расчета переходных процессов

2.1.Общая характеристика методов анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.

Расчет переходных процес­сов в любой линейной электрической цепи состоит из следующих основных операций:

1. Выбор положительных, направлений токов в ветвях цепи.

2. Определение значений токов и напряжений непосредственно до коммутации

3. Составление характеристического уравнения и определение его корней

4. Получение выражений для искомых токов и напряжений как функции времени.

Широко распространенными методами расчета переходных про­цессов являются:

1) метод, получивший в литературе название классического;

2) операторный метод;

3) метод расчета путем применения интеграла Дюамеля.

Для всех этих методов перечисленные выше четыре операции или этапа расчета являются обязательными.

Для всех методов первые три операции совершаются одинаково, и их нужно рассматри­вать как общую для всех методов часть расчета. Различие между методами имеет место на четвертом, наиболее трудоемком, этапе расчета.

Из перечисленных выше трех методов наиболее широко при­меняются классический и операторный, менее широко использует­ся метод расчета путем применения интеграла Дюамеля. В даль­нейшем, после того как мы достаточно ознакомимся с этими метода­ми, будут даны сравнительная оценка и рекомендуемая область применения каждого из них.

В радиотехнике, кроме трех перечисленных выше методов, применяют еще метод анализа переходных процессов, основывающийся на интеграле Фурье.

2.2. Классический метод расчета переходных про­цессов.

Название метода «классический» отражает использование в нем ре­шений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами ме­тодами классической математики.

Расчет переходного процесса в цепи классическим методом содержит следующие этапы.

1. Прежде всего, необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т. д., описываю­щих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднород­ное относительно искомого тока i или напряжения и. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

2. Далее следует составить общее решение полученного неоднород­ного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного ре­шения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установив­шийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. по­стоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники посто­янных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при дей­ствии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима обозначают iпр и называют принужденными или установив­шимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса обозначают i св и исв и называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

Свободный процесс вызывается несоответствием между энергией, сосредоточенной в электрическом и магнитном полях емкостных и индуктивных элементов в момент времени, непосредственно пред­шествовавший коммутации, и энергией этих элементов при новом установившемся режиме в момент времени, непосредственно следую­щий за коммутацией. Энергия элементов не может измениться скач­ком, и ее постепенное изменение обусловливает переходный процесс.

Постоянные интегрирования определяют из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации. Будем считать коммутационные ключи идеальными, т. е. что коммутация в заданный момент времени t происходит мгновенно. При таких комму­тациях ток в индуктивном элементе и напряжение на емкостном эле­менте в начальный момент времени после коммутации t+ такие же, как в момент времени, непосредственно предшествовавший коммута­ции t_ . Эти условия получаются из законов коммутации.

2.3. Операторный метод расчета пе­реходных процессов в линейных электрических цепях.

Перейдем теперь к изучению основ второго метода расчета пе­реходных процессов в линейных электрических цепях — оператор­ного метода. Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной заданной функции f(t) действительной переменной (например, времени t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t pt =e at . e — jbt сходится только в том случае, когда модуль функции f(t) если и увеличивается с ростом t, то все же медленнее, чем модуль функции e pt . Практически все функции f(t), с которыми имеют дело электри­ки, этому условию удовлетворяют.

2.3.3. Закон Ома в операторной форме.

На рис. 3 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи.

Закон Ома в операторной форме для данной цепи будет иметь вид:

Z(p) представляет собой операторное сопротивление. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если jw заменить на р.

Слагаемое Li(0) представляет собой внутреннюю э.д.с., обу­словленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i(0) непосредственно до ком­мутации.

Слагаемое ис(0) представляет собой внутреннюю э.д.с., обу­словленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем ис(0) непосредственно до коммутации.

Математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи в общем, виде примет вид

2.3.4. Законы Кирхгофа в операторной форме.

По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных зна­чений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. В общем случае

Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений величин. Как известно, с этой целью предварительно необходимо вы­брать положительные направления для токов в ветвях и положи­тельное направление обхода контура.

В общем виде второй закон Кирхгофа можно записать так:

В состав Ек (р) в общем случае входят и внутренние э.д.с.

2.3.5. Последовательность расчета в операторном методе.

Расчет состоит из следующих основных этапов:

1) Из расчета цепи до коммутации найти токи в индуктивностях il(o_) и напряжения на емкостях Uс(0 _).

2) По виду исследуемой электрической цепи после комму­тации составить эквивалентную операторную схему (если целе­сообразно, то для свободных составляющих). По эквивалент­ной операторной схеме известными методами расчета цепей найти изображение искомой величины.

Изображение искомой величины можно получить и другим способом. Для цепи после коммутации записать систему уравнений Кирхгофа для мгновенных значений, затем все величины представить их изображениями и полученную сис­тему уравнений разрешить относительно изображения искомой величины.

3) По изображению искомой величины найти оригинал, т. е. искомую функцию времени.

Если задана функция действительного переменного f(t) (оригинал), то соответствующая функция комплексного пере­менного F(p) (изображение) — прямое преобразование Лапласа:

Эквивалентные операторные схемы элементов цепи пред­ставлены ниже. Операторная схема для индуктивности L содержит операторное сопротивление pL и источник с ЭДС Li(0), направленной по току I, а операторная схема для емкости С содержит операторное сопротивление 1/рС и источ­ник с ЭДС Uс(0)/р, направленной против напряжения на емкости Uс.

Переход от изображения к функции времени может осуществляться различны­ми путями. Первый путь состоит в применении формул соответствия между функциями оператора р и функциями времени.

В научной литературе есть специальные исследования, содержащие обширные таблицы формул соответствия (1518 формул), охватывающих все возможные практические задачи. Формулами соответствия рекомендуется пользоваться в том случае, если среди корней уравнения есть несколько одинако­вых корней (кратные корни) или (и) корень, равный нулю (р = 0).

Второй путь состоит в применении так называемой формулы разложения. Формула разложения выведена, исходя из предположения, что уравнение не имеет кратных корней и корня р = 0.

Формулой разложения широко пользуются на практике, и ее принято рассматривать как основную формулу для перехода от изображения к функции времени.

Часто изображение имеет вид рациональной дроби

При m * комплексные и сопряженные, то достаточно вычислить слагаемое сумм (13) или (14) только для корня pi а для корня pi * взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.

Формула разложения применима при любых начальных ус­ловиях и при любых практически встречающихся формах напряже­ния, воздействующего на схему.

Эквивалентные операторные схемы элементов цепи

2.4. Сравнение различных методов расчета переходных процес­сов.

И классический и операторный методы расчета могут приме­няться для решения задач практически любой сложности. Каким из них пользоваться, зависит от навыка и привычки.

Однако бесспорно, что классический метод более физически прозрачен, чем операторный, в котором решение дифференциаль­ных уравнений весьма сильно «механизировано». Интеграл Дюаме­ля рекомендуется применять в тех случаях, когда напряжение изменяется по сложному закону во времени, например при нали­чии скачков напряжения, или когда переходная прово­димость g(t) и (или) воздействующее на схему напряжение заданы графически (в последнем случае интеграл Дюамеля берется путем численного интегрирования).

Расчетная часть

Е=120В

L=10мГн=10 -2 Гн

С=10мкФ=10 -5 Ф

R1=30Ом

R2=70Ом

R3=1000Ом

R4=1000Ом

I. Классический метод

1. Рассмотрим установившийся режим цепи до коммутации.

Так как конденсатор при постоянном токе служит разрывом цепи (представляет собой бесконечное сопротивление), в ветви с конденсатором ток отсутствует.

Ток — это ток на катушке, а значит является независимым начальным условием (по первому закону коммутации)

— напряжение на конденсаторе, которое является независимым условием.

2. Рассмотрим переходный процесс.

Преобразуем схему полученную после коммутации (контур охваченный штриховой линией).

Составим уравнения по законам Кирхгофа.

Искомую величину запишем в виде:

Так как в ветви с конденсатором установившееся (принужденное) значение тока равно 0, то есть ), то

— это свободная составляющая тока (общее решение однородного дифференциального характеристического уравнения). Для нахождения составим уравнение, обозначаемое как входное сопротивление цепи, и приравняем его к нулю (). Сопротивление конденсатора обозначим , сопротивлением катушки .

Корнями характеристического уравнения являются два действительных; отрицательных корня.

и — постоянные интегрирования. Так как их количество равно двум, то необходимо два уравнения для их нахождения. Первое , вторым будет уравнение . Продифференцируем уравнение .

Постоянные интегрирования определяются из начальных условий (при t=0). Запишем систему (1) для момента времени t=0.

и — являются независимыми начальными условиями, поэтому:

Из уравнения (4) следует:

продифференцируем последнее уравнение

Запишем уравнения (*) и (**) для t=0

Искомая величина запишется в виде:

II. Операторный метод

Произведем замену элементов цепи на их операторные эквиваленты.

Запишем систему уравнений по законам Кирхгофа:

Ток определим методом Крамера

— главный определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных ().

— определитель, где вместо коэффициентов при неизвестной записываются свободные коэффициенты, что стоят в правых частях уравнений.

Выражение называют изображением. Для того, чтобы перейти к оригиналу () воспользуемся формулой:

, где — знак соответствия изображения () оригиналу ().

График

Построим график изменения искомой величины функции времени на интервале от t=0 до t=.

Анализ переходных процессов в электрических цепях — файл 1.doc

Доступные файлы (1):

1.doc 3401kb. 13.12.2011 00:14 скачать

содержание

    Смотрите также:
  • Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях второго порядка[ документ ]
  • Анализ переходных процессов в электрических цепях. Вариант 69[ документ ]
  • Агунов М.В. Энергетические процессы в электрических цепях с несинусоидальными режимами и их эффективность[ документ ]
  • Спецкурс электрических машин[ документ ]
  • Анализ радиотехнической цепи второго порядка[ документ ]
  • Черепанов В.П., Посысаев Е.И. Защита радиоэлектронной аппаратуры от электрических перегрузок[ документ ]
  • Теория переходных процессов[ документ ]
  • №2[ лабораторная работа ]
  • Теоретические основы электротехники[ документ ]
  • по метрологии, вариант 64[ документ ]
  • Анализ показателей качества функционирования АСР[ документ ]
  • Аксютин В.А. Лекции по ТОЭ[ документ ]

1. Анализ существующих методов расчёта переходных процессов в электрических цепях

2. Расчёт параметров переходных процессов в электрической цепи с двумя реактивными элементами

2.1.Определение начальных и конечных условий для всех токов и напряжений в цепи

2.2.Определение характеристик переходных процессов классическим методом

2.3.Построение графиков переходного процесса

2.4.Обобщенные характеристики цепи

Заключение.

Список использованных источников

Приложение 1

ВВЕДЕНИЕ

Под переходным (динамическим, нестационарным) процессом или режимом в электрических цепях понимается процесс перехода цепи из одного установившегося состояния (режима) в другое. При установившихся, или стационарных, режимах в цепях постоянного тока напряжения и токи неизменны во времени, а в цепях переменного тока они представляют собой периодические функции времени. Установившиеся режимы при заданных и неизменных параметрах цепи полностью определяются только источником энергии. Следовательно, источники постоянного напряжения (или тока) создают в цепи постоянный ток, а источники переменного напряжения (или тока) – переменный ток той же частоты, что и частота источника энергии.

К.М. Поливанов писал: «Переходные процессы возникают при любых изменениях режима электрической цепи: при подключении и отключении цепи, при изменении нагрузки, при возникновении аварийных режимов (короткое замыкание, обрыв провода и т.д.)». Изменения в электрической цепи можно представить в виде тех или иных переключений, называемых в общем случае коммутацией. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, до коммутационного режима, к энергетическому состоянию, соответствующему после коммутационному режиму.

Лосев А.К. опытным путем доказал, что переходные процессы обычно протекают очень быстро: длительность их составляет десятые, сотые, а иногда и миллиардные доли секунды. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Но, изучение переходных процессов весьма важно, так как позволяет установить деформацию сигнала, выявить превышение напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки,

увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса, а также определять продолжительность переходного процесса. С другой стороны, работа многих электротехнических устройств, основана на переходных процессах.

Например, в электрических нагревательных печах качество выпускаемого материала зависит от характера протекания переходного процесса. Чрезмерно быстрое нагревание может стать причиной брака, а чрезмерно медленное отрицательно оказывается на качестве материала и приводит к снижению производительности.

Для курсовой работы по теме «Анализ переходных процессов в электрических цепях» была поставлена следующая цель: Провести анализ переходных процессов в электрических цепях, закрепить и расширить теоретические знания и применить их при расчете переходных процессов.

1. АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

1.1. Возникновение переходных процессов

В общем случае в электрической цепи переходные процессы могут возникать, если в цепи имеются индуктивные и емкостные элементы, обладающие способностью накапливать или отдавать энергию магнитного или электрического поля. В момент коммутации, когда начинается переходный процесс, происходит перераспределение энергии между индуктивными, емкостными элементами цепи и внешними источниками энергии, подключенными к цепи. При этом часть энергии безвозвратно преобразуется в другие виды энергий (например, в тепловую на активном сопротивлении).

После окончания переходного процесса устанавливается новый установившийся режим, который определяется только внешними источниками энергии. При отключении внешних источников энергии переходный процесс может возникать за счет энергии электромагнитного поля, накопленной до начала переходного режима в индуктивных и емкостных элементах цепи.

Изменения энергии магнитного и электрического полей не могут происходить мгновенно, и, следовательно, не могут мгновенно протекать процессы в момент коммутации. В самом деле, скачкообразное (мгновенное) изменение энергии в индуктивном и емкостном элементе приводит к необходимости иметь бесконечно большие мощности , что практически невозможно, ибо в реальных электрических цепях бесконечно большой мощности не существует.

Таким образом, переходные процессы не могут протекать мгновенно,

так как невозможно в принципе мгновенно изменять энергию, накопленную в электромагнитном поле цепи. Теоретически переходные процессы заканчиваются за время t→∞. Практически же переходные процессы являются быстропротекающими, и их длительность обычно составляет доли секунды. Так как энергия магнитного и электрического полей описывается выражениями , ,то ток в индуктивности и напряжение на емкости не могут изменяться мгновенно. На этом основаны законы коммутации.
^

1.2. Законы коммутации

Первый закон коммутации состоит в том, что ток в ветви с индуктивным элементом в начальный момент времени после коммутации имеет то же значение, какое он имел непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения он начинает плавно изменяться. Сказанное обычно записывают в виде , считая, что коммутация происходит мгновенно в момент t = 0.

Второй закон коммутации состоит в том, что напряжение на емкостном элементе в начальный момент после коммутации имеет то же значение, какое оно имело непосредственно перед коммутацией, а затем с этого значения оно начинает плавно изменяться: .

Следовательно, наличие ветви, содержащей индуктивность, в цепи, включаемой под напряжение, равносильно разрыву цепи в этом месте в момент коммутации, так как . Наличие в цепи, включаемой под напряжение, ветви, содержащей разряженный конденсатор, равносильно короткому замыканию в этом месте в момент коммутации, так как .

Однако в электрической цепи возможны скачки напряжений на индуктивностях и токов на емкостях.

В электрических цепях с резистивными элементами энергия электромагнитного поля не запасается, вследствие чего в них переходные процессы не возникают, т.е. в таких цепях стационарные режимы устанавливаются мгновенно, скачком.

В действительности любой элемент цепи обладает каким-то сопротивлением r, индуктивностью L и емкостью С, т.е. в реальных электротехнических устройствах существуют тепловые потери, обусловленные прохождением тока и наличием сопротивления r, а также магнитные и электрические поля.
^

1.3. Начальные и конечные условия в цепях с нулевыми и ненулевыми начальными условиями

Начальные условия переходного процесса (при ).

Когда начальные условия нулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после нее равно нулю, а ток в индуктивности до и после коммутации также равен нулю:

То есть в цепи будут протекать переходные процессы с нулевыми начальными условиями.

В момент включения постоянного напряжения источника Е (при ) напряжение и ток измениться не могут и равны нулю. Остальные величины ( , , , ) могут измениться скачком. Следовательно, емкость в эквивалентной схеме для можно заменить коротким замыканием (перемычкой), а индуктивность – разрывом.

Когда начальные условия ненулевые, напряжение на емкости до начала коммутации и после не равно нулю, а ток в индуктивности до и после

коммутации также не равен нулю: ; .

Поэтому до начала коммутации (при ) токи и напряжения в ветвях не будут равны нулю.

Так как напряжение на емкости и ток в индуктивности изменяться скачком не могут, то емкость в эквивалентной схеме для можно заменить источником напряжения , а индуктивность источником тока

Эквивалентные схемы замещения реактивных элементов при воздействии постоянного напряжения для нулевых и ненулевых начальных условий (ГНУ) и конечных условий (КУ) приведены в ПРИЛОЖЕНИИ 1.

Анализ эквивалентной схемы необходимо проводить, используя законы Ома и Кирхгофа.

  1. Конечные условия переходного процесса (при ).

При составлении эквивалентной схемы для стационарного режима, когда переходной процесс уже закончился (для ) исходят из того, что в цепи установился режим постоянного тока. При этом ток через емкость и напряжение на индуктивности . Следовательно, при емкость можно заменить разрывом, а индуктивность коротким замыканием.
1.4. Классический метод анализа переходных процессов
Классический метод основан на составлении системы дифференциальных уравнений, которым должны удовлетворять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неизвестные функции времени, с последующим нахождением ее общего решения и на последнем этапе определением таких значений постоянных общего решения, которые удовлетворяют начальным условиям каждой конкретной задачи.

Для расчета переходных процессов классическим методом необходимо

составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения.

Далее составляется общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения, которое записывается в виде суммы принужденной и свободной составляющих, которая описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока:

Здесь Хпр описывает установившиеся (принужденные процессы), определяемые внешним воздействием. По существу, это значение конечных условий при , найденных в задании 1: .

и – постоянные интегрирования ( из начальных условий, при ).

и – корни характеристического уравнения, полученного из однородного дифференциального уравнения для : .

Но характеристическое уравнение можно получить, не составляя дифференциального уравнения цепи. Комбинированный метод в том и заключается, что характеристическое уравнение, из которого находятся корни и , получается из уравнения , где – входное операторное сопротивление цепи.
^

1.5. Операторный метод анализа переходных процессов

Если для классического метода анализа колебаний в линейных электрических цепях с сосредоточенными элементами при произвольных воздействиях сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях, то для аналитического решения этих уравнений в теории электрических цепей нашли широкое применение операторные методы. Операторный метод

анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнением, что в ряде случаев упрощает расчеты. Его идея заключается в том, что расчет переходного процесса переносится из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексной переменной р. Такое преобразование называется прямым.

В настоящее время операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа:

где f(t) – однозначная функция времени, называемая оригиналом; F(p) – функция комплексной переменной р, называемая лапласовым изображением.

При расчете переходного процесса операторным методом следует представить исходные данные о параметрах всех элементов схемы цепи в операторной форме. Это означает, что ЭДС источников напряжения и токи источников тока, заданные мгновенными значениями u(t) и i(t), следует представить соответствующими изображениями E(p), U(p) и I(p), а пассивные элементы представить схемами замещения. Для полученной схемы замещения в операторной форме составить и решить полную систему независимых уравнений по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме, т. е. найти изображение F(p) искомой величины.

Наиболее часто изображение имеет вид рациональной дроби:

где N(p) и M(p) – многочлены в числителе и знаменателе изображения F(p). Для изображения обратным преобразованием нужно найти оригинал f(t). Переход от изображения к оригиналу проводят, используя таблицы преобразований временных функций по Лапласу, либо метод неопределенных коэффициентов, либо теорему разложения.
^

1.6. Законы Ома и Кирхгофа

В основе методов анализа электрических цепей лежат законы Кирхгофа. Законы Кирхгофа являются, в сущности, основными постулатами теории электрического тока.

Первый закон – закон токов Кирхгофа (ЗТК) формулируется по отношению к узлам электрической цепи и отражает тот факт, что в узлах не могут накапливаться заряды.

Он гласит: «Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в одном узле электрической цепи, равна нулю». Формально это записывается так:

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

Второй закон – закон напряжений Кирхгофа (ЗНК) формулируется по отношению к контурам и гласит: Алгебраическая сумма падений напряжений в контуре равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:

где n – количество пассивных элементов в контуре; m – количество источников ЭДС в контуре.

Заметим, что второй закон Кирхгофа может быть сформулирован так: , (1.6)

где b – число ветвей, входящих в контур, т.е., алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре равна нулю.

Закон Ома является основным законом постоянного тока, был получен обобщением данных опыта. Он формулируется следующим образом: Сила тока прямо пропорциональна разности потенциалов на концах проводника и обратно пропорциональна сопротивлению этого проводника.

где I — ток (сила тока) в проводнике (А); R – сопротивление участка этого проводника (Ом); 1 , 2 — значения потенциала (В) у начала и конца этого участка (считая по направлению тока). Условно считается, что ток течет от большего потенциала к меньшему (1 > 2). Знак «+» означает, что точка со знаком «+» имеет больший потенциал, чем точка со знаком «-».

Рисунок 1.1
Если направление тока заранее неизвестно, то оно выбирается произвольно и называется положительным направлением тока.

Обобщенный закон Ома: для участка ветви (рисунок 1.2) постоянный ток I будет равен:

где — потенциал узла 1; — потенциал узла 2; — арифметическая сумма всех сопротивлений ветви; -алгебраическая сумма всех ЭДС ветви.

ЭДС записывают со знаком «плюс», если направление ЭДС совпадает с выбранным направлением тока, и «минус», если направление ЭДС не совпадает с выбранным направлением тока.

^ 2. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ РЕАКТИВНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

2.1. Определение начальных и конечных условий для всех токов и напряжений в цепи

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определим начальные и конечные условия для всех токов и напряжений в цепи с ненулевыми начальными условиями. Результаты вычислений сведем в таблицу 2.1.

E=6 B, R1=2 Ом, R2=1 Ом, L=1/8 Гн, C=1/4 Ф.

Рисунок 2.1Схема индивидуального варианта

  1. Начальные условия.

До начала коммутации (при ) в цепи через индуктивность протекает ток . Определим этот ток из эквивалентной схемы для . Так как процесс в цепи был установившемся, то для постоянного тока индуктивность заменим перемычкой (рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 Эквивалентная схема цепи для времени .
Ток равен (по закону Ома):

Напряжение на индуктивности , а напряжение на сопротивлении R1 и R2 (так как ) равно:

– второй закон Кирхгофа выполняется.

Ток , напряжения, равны нулю, так как цепь C до начала коммутации отключена.

После коммутации ( ) ток в индуктивности скачком измениться не может, поэтому:

Индуктивность в эквивалентной схеме для момента времени заменим источником тока .

На емкости напряжение до начала коммутации равно нулю, поэтому:

Тогда в эквивалентной схеме емкость можно заменить перемычкой (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 Эквивалентная схема цепи для времени .
Для рассматриваемой схемы ГНУ:

Определим остальные токи и напряжения.

Напряжения uR1 и uR2 определяется как

Напряжение на индуктивности

1-й и 2-й законы Кирхгофа выполняются.

  1. Конечные условия (при ).

После окончания переходного процесса все токи и напряжения в схеме на рисунке 2.1 будут постоянными. Так как , , то емкость в эквивалентной схеме заменяется разрывом, а индуктивность – перемычкой.

Рисунок 2.4. Эквивалентная схема цепи для времени .
Так как имеется разрыв в цепи, то токи и напряжения вычисляются по формулам:

– 1-й закон Кирхгофа выполняется.

  1. Данные расчетов сведем в таблицу 2.1.

Таблица 2.1. Результаты вычислений

t 0 – 0+
i1 , A 2 2 2
i2 , A 2 0 2
i3 , A 0 2 0
uL , B 0 2 0
uR1 , B 4 4 4
uR2 , B 2 0 2
uC , B 0 0 2

С учетом НУ и КУ можно построить качественные графики (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 Качественные графики переходного процесса.
2.2. Определение характеристик переходных процессов классическим методом

В приведенной схеме (рисунок 2.1) определим классическим методом напряжения и токи переходного процесса. Построим графики переходных процессов для ненулевых начальных условий.

  1. Решение дифференциального уравнения для напряжения на емкости :

Принужденная составляющая напряжения на емкости ,
тогда:

  1. Определение корней и .

Для определения корней характеристического уравнения и составим эквивалентную операторную схему цепи для момента времени после коммутации (t=0+) при отключенном источнике напряжения (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6 Эквивалентная операторная схема цепи для момента времени после коммутации (t=0+) при отключенном источнике напряжения.
Операторные сопротивления емкости и индуктивности равны

Тогда входное операторное сопротивление

После приведения к общему знаменателю и преобразования получаем:

Условие выполняется, если числитель равен нулю:

Решение этого уравнения дает значения корней:

; .
Подставим значения и в уравнение для :

  1. Определение произвольных постоянных и .

Используем значение самой функции и ее производной при , т.е. учтем начальные условия. Учитывая, что :

откуда получаем первое уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Для получения второго уравнения найдем (при ) значение тока, причем известно, что , тогда

откуда получаем второе уравнение для нахождения произвольных постоянных:

Совместное решение двух уравнений

дает значения произвольных постоянных:

После подстановки произвольных постоянных в выражение для

Это соответствует данным таблицы 2.1.

  1. Расчет остальных токов и напряжений.

а) Ток :

2.3. Построение графиков переходного процесса

По начальным и конечным величинам исследуемого тока (или напряжения) с учетом экстремальных значений можно качественно построить график переходного процесса.

Время окончания переходного процесса определяется из соотношения для экспоненты с меньшей скоростью убывания (при этом значение экспоненты уменьшается примерно до 0,050,02 от максимального значения).

Полученное решение определяется суммой двух убывающих экспонент, причем с разной скоростью убывания, так как по абсолютной величине корни отличаются друг от друга. Для построения кривых необходимо определить экстремум и точку перегиба исследуемых кривых и значения функций для этих значений времени. Определяются эти точки из приравнивания нуля первой и второй производных исследуемой функции.

Рассмотрим расчет и построение графиков переходного процесса для цепи (рисунок 2.1)

Вычисленные формулы для определения токов и напряжений содержат по две затухающих экспоненты с разными показателями. Экспонента с большим коэффициентом убывает быстрее.

  1. Построение графика для тока :

Экспонента убывает быстрее, чем экспонента , поэтому на рисунке 2.7 двумя пунктирными вертикальными линиями отмечаются моменты равенства нулю этих экспонент.

Строится пунктиром постоянная величина и прибавляется к ней положительная экспонента . Далее строится экспонента и выполняется сложение кривых. Результат сложения показан на рисунке 2.7 сплошной кривой.

Аналогично строятся кривые для других токов и напряжений (рисунки 2.7 и 2.8).

Рисунок 2.7 Графики токов и напряжения .

Рисунок 2.8 Графики тока и напряжений .

  1. Определение экстремумов и точки перегиба.

Точки перегиба и экстремумы рассчитываются для графиков сложных форм в целях их уточнения.

Наиболее сложную форму имеют график . Для него рассчитаем экстремум и точку перегиба.

Построим график тока .

Найдем значение производной при :

Производная для положительна, это означает, что кривая должна идти вверх под некоторым углом.

Приравняем производную к нулю:

Это уравнение имеет решение, так как при положительном х всегда должно быть меньше 1. Для решения этого уравнения его можно воспользоваться таблицей (Приложение 2). По таблице представим 0,9047 в виде . Выбираем ближайшее число . Тогда из уравнения определим момент времени , которому соответствует максимальное значение .

Для вычисления этого значения подставим в уравнение для :

Определим вторую производную и приравняв ее к нулю найдем точку перегиба кривой :

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
0 0.8 1.6 2.4 3.2 4 4.8 5.6 6.4 7.2 8
1 0.4493 0.2020 0.0907 0.0408 0.0183 0.0082 0.0037 0.0017 0.0007 0.0003
4 1.7973 0.8076 0.3629 0.1630 0.0733 0.0329 0.0148 0.0066 0.0030 0.0013
6 3.7973 2.8076 2.3629 2.1630 2.0733 2.0329 2.0148 2.0066 2.0030 2.0013
0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 12
1 0.3012 0.0907 0.0273 0.0082 0.0025 0.0007 0.0002 0.0001 0 0
4 1.2048 0.3629 0.1093 0.0329 0.0099 0.0030 0.0009 0.0003 0.0001 0
2 2.5925 2.4447 2.2536 2.1301 2.0633 2.0299 2.0139 2.0064 2.0029 2.0013

Для вычисления значений в таблице 2.2 использовалась программа MATLAB 7.3.0 (Приложение 3).

Кроме данных, приведенных в таблице, учтем точки максимума и

Выберем масштаб по оси тока: 0,5A в 10мм, а по оси времени — 0,1с в 10мм.

Полученный график переходного процесса для тока приведен на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 График переходного процесса для тока

2.4.Обобщенные характеристики цепи
^

Обобщенные характеристики цепи рассчитываются с учетом
взаимосвязи их между собой.

а) Зная вычисленное значение изображения сигнала на выходе Uвых(р) (напряжение на правом элементе схемы) и изображение входного сигнала Е (р) можно определить коэффициент передачи операторной форме:

б) Комплексный коэффициент передачи определяется из формулы

Отсюда можно найти К(), то есть АЧХ , и (), то есть ФЧХ.

в) Изображение и оригинал переходной характеристики h(t) рассчитывают так: (2.3)

Для проверки этого результата можно его сравнить с .

г) Изображение и оригинал импульсной характеристики определяются в виде:

или из выражения:

Найдем значения , , а так же , и сопоставим между собой.

Обобщенные характеристики К(р), К(), h(t), g(t) определяются для схем только с нулевыми начальными условиями. Поэтому нужно изобразить схему для момента после коммутации (t=0+) при отключенном источнике ЭДС (рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 Эквивалентная схема цепи для момента после коммутации (t=0+) при отключенном источнике ЭДС.

  1. Из этой схемы найдем коэффициент передачи в операторной форме: .

Входным напряжением будем считать напряжение между входными клеммами 1-1, а выходным — напряжение на емкости между клеммами 2-2.

Для схемы такой структуры (рисунок 2.10) коэффициент передачи можно найти по типовой формуле . Он будет равен:

Для заданной схемы:

.

  1. Найдем изображение переходной характеристики Н(р):

Используя метод неопределенных коэффициентов, найдем:

Решение этой системы уравнений дает:

Найдем предельные значения переходной характеристики:

.

  1. Определим комплексный коэффициент передачи :

Найдем предельные значения коэффициента передачи:

Расчет выполнен правильно, так как К(0)=h() и К()=h(0).

Примерные графики для h(t) и К() приведены на рисунке 2.11.

Рисунок 2.11 Примерные графики для h(t) и К().

В процессе выполнения данной работы был освоен классический метод анализа переходных процессов в электрических цепях.

На практике была применена теорема разложения, для получения оригинала по известному изображению. Так же в работе были построены качественные графики функций, выведены обобщенные характеристики цепи.

Так же были расширены теоретические знания и применены при расчете переходных процессов, приобретены начальные навыки самостоятельного планирования и выполнения научной исследовательской работы.

^ СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Атабеков Р.И. Основы теории цепей. М.: Энергия, 1997., 226с.

2.Баканов В.П., Игнатов А.Н., Крук Б.И. Основы теории электрических цепей и электроники. М.: Радио и связь. 1993., 338с.

3.Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Срахов С.В. Основы теории цепей. — М.: Энергоатомиздат, 1989г., 528с.

4.Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. Л.: Энергия, 1982., 488с.

5.Лосев А.К. Линейные радиотехнические цепи. — М.: Высш. шк., 1991., 530с.

6.Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1997., 438с.

7.Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи. — М.: Высш. шк., 1992., 197с.

8.Поливанов К.М. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными.–М.:Энергия-1992.–240с.

Таблица П.1. Схемы замещения реактивных элементов для начальных и конечных условий.

^ Начальные условия нулевые L
ненулевые L
Конечные

условия

L

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Таблица П.2 Значения функции е .

х 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,0 1,0000 0,9900 0,9802 0,9704 0,9608 0,9512 0,9418 0,9324 0,9231 0,9139
0,1 0,9048 0,8958 0,8869 0,8781 0,8694 0,8607 0,8521 0,8437 0,8353 0,8270
0,2 0,8187 0,8106 0,8025 0,7945 0,7866 0,7788 0,7711 0,7634 0,7558 0,7483
0,3 0,7408 0,7334 0,7261 0,7189 0,7118 0,7047 0,6977 0,6907 0,6839 0,6771
0,4 0,6703 0,6637 0,6570 0,6505 0,6440 0,6376 0,6313 0,6250 0,6188 0,6126
0,5 0,6065 0,6005 0,5945 0,5886 0,5827 0,5769 0,5712 0,5655 0,5599 0,5543
0,6 0,5488 0,5434 0,5379 0,5326 0,5273 0,5220 0,5169 0,5117 0,5066 0,5016
0,7 0,4966 0,4916 0,4868 0,4819 0,4771 0,4724 0,4677 0,4630 0,4584 0,4538
0,8 0,4493 0,4449 0,4404 0,4360 0,4317 0,4274 0,4232 0,4190 0,4148 0,4107
0,9 0,4066 0,4025 0,3985 0,3946 0,3906 0,3867 0,3829 0,3791 0,3753 0,3716
1,0 0,3679 0,3642 0,3606 0,3570 0,3535 0,3499 0,3465 0,3430 0,3396 0,3362
1,1 0,3329 0,3296 0,3263 0,3230 0,3198 0,3166 0,3135 0,3104 0,3073 0,3042
1,2 0,3012 0,2982 0,2952 0,2923 0,2894 0,2865 0,2837 0,2808 0,2780 0,2753
1,3 0,2725 0,2698 0,2671 0,2645 0,2618 0,2592 0,2567 0,2541 0,2516 0,2491
1,4 0,2466 0,2441 0,2417 0,2393 0,2369 0,2346 0,2322 0,2299 0,2276 0,2254
1,5 0,2231 0,2209 0,2187 0,2165 0,2144 0,2122 0,2101 0,2080 0,2060 0,2039
1,6 0,2020 0,1999 0,1979 0,1959 0,1940 0,1920 0,1901 0,1882 0,1864 0,1845
1,7 0,1827 0,1809 0,1791 0,1773 0,1755 0,1738 0,1720 0,1703 0,1686 0,1670
1,8 0,1653 0,1637 0,1620 0,1604 0,1588 0,1572 0,1557 0,1541 0,1526 0,1511
1,9 0,1496 0,1481 0,1466 0,1451 0,1437 0,1423 0,1409 0,1395 0,1381 0,1367
2,0 0,1353 0,1340 0,1327 0,1313 0,1300 0,1287 0,1275 0,1262 0,1249 0,1237
2,1 0,1225 0,1212 0,1200 0,1188 0,1177 0,1165 0,1153 0,1142 0,1130 0,1119
2,2 0,1108 0,1097 0,1086 0,1075 0,1065 0,1054 0,1044 0,1033 0,1023 0,1013
2,3 0,1003 0,0993 0,0983 0,0973 0,0963 0,0954 0,0944 0,0935 0,0926 0,0916
2,4 0,0907 0,0898 0,0889 0,0880 0,0872 0,0863 0,0854 0,0846 0,0837 0,0829
2,5 0,0821 0,0813 0,0805 0,0797 0,0789 0,0781 0,0773 0,0765 0,0758 0,0750
2,6 0,0743 0,0735 0,0728 0,0721 0,0714 0,0707 0,0699 0,0693 0,0686 0,0679
2,7 0,0672 0,0665 0,0659 0,0652 0,0646 0,0639 0,0633 0,0627 0,0620 0,0614
2,8 0,0608 0,0602 0,0596 0,0590 0,0584 0,0578 0,0573 0,0567 0,0561 0,0556
2,9 0,0550 0,0545 0,0539 0,0534 0,0529 0,0523 0,0518 0,0513 0,0508 0,0503
3,0 0,0498 0,0493 0,0488 0,0483 0,0478 0,0474 0,0469 0,0464 0,0460 0,0455

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Рисунок П.3 Расчет значений функций y= , y= , i1=2+ — с помощью MATLAB 7.3.0.

Лабораторная № 13 «Исследование переходных процессов в электрических цепях» по Общей электротехнике и электронике (Авдеев Ю. В.)

Министерство образования Российской Федерации ГОУ ВПО ВГАСУ Кафедра автоматизации технологических процессов ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 13 Исследование переходных процессов в электрических цепях Выполнила ст.621 гр.

Савицкая Юлия Проверил преподаватель Авдеев Ю.В. Воронеж 2008г. Пусть в RC-цепи (рис. 13.1, б) имеется внешний независимый источник напряжения e=e(t). Используя уравнения элементов uR(t)=RiR(t), iC(t)=CduC/dt с учетом второго закона Кирхгофа uС(t)=e(t)-RiR(t), получаем дифференциальное уравнение цепи .

Функция uC(t) при e(t)=1(t) зависит только от свойств цепи и называется переходной характеристикой. Её обозначают h(t). Для рассматриваемой цепи h(t)=1-e-t/τ. Понятие переходной характеристики тесно связано с представлением цепи как четырёхполюсника, т. е.некоторого «черного ящика» с двумя входными и двумя выходными полюсами.

Для RC-цепи возможны два случая: 1) выходное напряжение снимается с емкости, 2) выходное напряжение снимается с сопротивления. В первом случае имеем RC-цепь интегрирующего типа, во втором – дифференцирующего.

Переходной характеристикой цепи называют отклик цепи при нулевых начальных условиях на воздействие в виде единичной функции. Размерность переходной характеристики определяется размерностью отношения выходной величины и входной.

Понятие переходной характеристики удобно использовать для описания цепи без указания её конкретной схемы. Это связано с возможностью представления многих функций e(t) суммой ступенчатых функций и свойством линейности.

В общем случае, если то . (13.1) Рассмотрим случай, когда e(t)=A[1(t)-1(t-tu)]. Такую функцию называют прямоугольным импульсом. Здесь A – амплитуда, а tи – длительность импульса.

В соответствии с (13.1) для этого случая получаем, что напряжение на ёмкости будет изменяться по закону Электрический процесс состоит из двух этапов после появления напряжения e(t): сначала начинается зарядка ёмкости, которая продолжается в течение времени tи; затем наступает разрядка ёмкости по экспоненциальному закону – от величины, до которой она успела зарядиться, до нуля.

Цель работы: Исследовать переходные процессы в электрических цепях первого порядка. Освоить работу с осциллографом. 13.6. Вопросы для самопроверки 13.6.1.Что такое переходной процесс? Переходным называется процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому.

13.6.2.Какие методы анализа переходных процессов используют на практике? Классический метод расчёта переходных процессов Математически, получение установившихся значений токов и напряжений сводится к определению частных решений дифференциальных уравнений цепи. В общем случае i(t) и в переходном процессе описываются полными решениями дифференциальных уравнений, которые можно представить как сумму частного решения неоднородного уравнения цепи, и решение однородного уравнения той же цепи, в котором заданные ЭДС или напряжения равны 0, т.е.

13.6.3.Какие цепи можно отнести к цепям первого порядка и какие математические модели их описывают? 13.6.4.Как найти u2(t) рис. 13.1, а, если на входе e(t)=E×l(t)? 13.6.5.Как найти u2(t) цепи рис. 13.1,б, если на входе e(t)=E×l(t)?

13.6.6.Как рассчитать величину постоянной составляющей периодической функции времени? 13.6.7.Как с помощью осциллографа установить наличие и измерить величину постоянной составляющей периодического напряжения?

Добавить комментарий