Понятие комплексной частоты


Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

Главная Цены Оплата Примеры решений Отзывы Ccылки Теория Книги Сотрудничество Форум
Теория / ТAУ / Лекция 6. Частотные характеристики

6.1. Понятие частотных характеристик

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p) гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом .

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(a о p n + a 1 pn — 1 + a 2 p n — 2 + . + a n )y = (b о p m + b 1 p m-1 + . + b m )u.

pnu = pnU m ejwt = U m (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией . Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на в выражении W(p).

W(j ) есть комплексная функция, поэтому:

где P( ) — вещественная ЧХ (ВЧХ) ; Q( ) — мнимая ЧХ (МЧХ) ; А( ) — амплитудная ЧХ (АЧХ) : ( ) — фазовая ЧХ (ФЧХ) . АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ — сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ), или амплитудно — фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48). Ветвь АФЧХ при изменении от — до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L( ) и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ( ). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L( ) = 20lgA( ). Величина L( ) откладывается по оси ординат в децибелах . Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой . Так как lg(0) = — , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина ( ) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы:

ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

6.2. Частотные характеристики типовых звеньев

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее j вместо p, получим АФЧХ W(j ). Затем надо выразить из нее ВЧХ P( ) и МЧХ (Q( ). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A( ) и ФЧХ ( ), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA( ) (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

6.2.1. Безынерционное звено

Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.

6.2.2. Интегрирующее звено

Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть

ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90 о . Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте частоты (звено «заваливает» высокие частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L( ) = 0 при = 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен — 20 дб/дек (децибел на декаду).

6.2.3. Апериодическое звено

При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:

Здесь A1 и A2 — амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1 и 2 — аргументы числителя и знаменателя. ЛФЧХ:

ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при 2 выражении для L( ), то есть При > 1 пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем — под наклоном — 20 дб/дек. Частота w1 называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к — /2 при возрастании до бесконечности. Перегиб в точке = 1 при ( ) = — /4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

6.2.4. Инерционные звенья второго порядка

При k = 1 передаточная функция звена:

В виду сложности вывода выражений для частотных характеристик рассмотрим их без доказательства, они показаны на рис.53.

Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена до сопрягающей частоты совпадает с осью абсцисс, при дальнейшем увеличении частоты идет с наклоном — 40 дб/дек. То есть высокие частоты колебательное звено «заваливает» сильнее, чем апериодическое звено.

Реальная ЛАЧХ при значительно отличается от асимптотической. Это отличие тем существенней, чем меньше коэффициент демпфирования . Точную кривую можно построить, воспользовавшись кривыми отклонений, которые приводятся в справочниках. В предельном случае = 0 получаем консервативное звено, у которого при амплитуда выходных колебаний стремится к бесконечности (рис.54).

ЛФЧХ при малых частотах асимтотически стремится к нулю. При увеличении частоты до бесконечности выходной сигнал поворачивается по фазе относительно входного на угол, стремящийся в пределе к — 180 о . ЛФЧХ можно построить с помощью шаблона, но для этого нужен набор шаблонов для разных коэффициентов демпфирования. При уменьшении коэффициента демпфирования АФЧХ приближается к оси абсцисс и в пределе у консервативного звена она вырождается в два луча по оси абсцисс, при этом фаза выходных колебаний скачком меняется от нуля до — 180 о при переходе через сопрягающую частоту (рис.54).

6.2.5. Правила построения ЧХ элементарных звеньев

При построении ЧХ некоторых звеньев можно использовать “ правило зеркала ”: при k = 1 ЛАЧХ и ЛФЧХ звеньев с обратными передаточными функциями зеркальны относительно горизонтальной оси. Так на рис.55 изображены ЧХ идеального дифференцирующего и идеального форсирующего звеньев.

Если то передаточную функцию звена можно рассматривать как произведение где — передаточная функция с k = 1. При этом амплитуда вектора АФЧХ W(j ) при всех значениях должна быть увеличена в k раз, то есть Поэтому, например, центр полуокружности АФЧХ апериодического звена будет находиться не в точке P = 1/2, а в точке k/2. ЛАЧХ также изменится: Поэтому при ЛАЧХ звена нужно поднять по оси ординат не меняя ее формы на 20lgk. На ЛФЧХ изменение k никак не отразится. Для примера на рис.56 приведены частотные характеристики апериодического звена при k = 10 и T = 1c. При этом ЛАЧХ апериодического звена с k = 1 поднята вверх на 20lg10 = 20.

Понятие комплексной частоты

Издание: Теоретические основы электротехники. Том 2: Учебник для вузов. 4-е изд.

Спектральное представление непериодических функций — интегральное преобразование Фурье. Расчет переходных процессов методом частотных характеристик

11.1. Представление непериодических функций времени с помощью интеграла Фурье

Наряду с рассмотренными ранее классическим и операторным методами анализа переходных процессов может быть применен метод, в котором используются выражения токов и напряжений, являющихся функциями времени, с помощью интеграла Фурье. Сущность этого метода заключается в представлении непериодических функций в виде суммы бесконечного множества синусоидальных функций с бесконечно малыми амплитудами и с частотами, имеющими все возможные значения от – Ґ до + Ґ . Соответственно, этот метод может быть назван методом частотных характеристик или, короче, частотным методом. Как будет видно из дальнейшего, такое разложение непериодических функций имеет много общего с разложением периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье. Смысл такого разложения, по сути дела, тот же, что и при анализе процессов в линейных цепях, находящихся под действием периодического несинусоидального напряжения. Осуществляя такое разложение непериодического напряжения на синусоидальные составляющие, получаем возможность, пользуясь хорошо известными приемами расчета токов в цепи при синусоидальных напряжениях, найти токи в цепи от действия отдельных составляющих напряжения, а затем получить результирующий ток, пользуясь методом наложения.

Представление непериодических функций времени в виде интеграла Фурье можно получить, исходя из уже известного нам разложения периодических функций в ряд Фурье, представленного в комплексной форме (см. § 8.7, т. I):

В отличие от § 8.7 здесь угловая частота первой гармоники обозначена w 1 , т. е. снабжена индексом 1. Это необходимо, чтобы отличить ее от непрерывно изменяющейся частоты w , о которой дальше будет идти речь.

Два последних выражения можно рассматривать как взаимно обратные преобразования, устанавливающие соответствие между f ( t ) и F ( jq w 1 ) . Функция F ( jq w 1 ) представляет собой дискретный спектр функции f ( t ) .

Предположим теперь, что f ( t ) — непериодическая функция. Чтобы получить ее выражение, пригодное для любого значения t , на основании выражений (*) будем рассматривать данную непериодическую функцию f ( t ) как периодическую с бесконечно большим периодом.

При беспредельном возрастании T разность Dw = 2 p / T = w 1 между угловыми частотами любых двух смежных гармоник, равная угловой частоте w 1 первой гармоники, будет стремиться к нулю. Соответственно, дискретное множество значений частот перейдет в непрерывно изменяющуюся частоту w .

Переписав первое выражение (*) в виде

и устремляя Dw к нулю, получим

т. е. ряд Фурье переходит при этом в интеграл Фурье. При этом функция F ( j w ) определится на основании второго выражения (*) в виде

Соотношение (***) называют прямым преобразованием Фурье, позволяющим найти по заданной функции f ( t ) соответствующую ей F ( j w ).

Соотношение (**) называют обратным преобразованием Фурье, дающим возможность по известной функции F ( j w ) найти f ( t ) .

Если рассматривать включение электрической цепи в момент t = 0 под действие ЭДС е ( t ) = f ( t ), то имеем условие f ( t ) = 0 при t

и называется при этом односторонним прямым преобразованием Фурье.

Следует сделать существенную оговорку, что прямое преобразование Фурье имеет смысл, если интеграл в его левой части имеет определенное конечное значение. Для этого недостаточно, чтобы функция f ( t ) удовлетворяла условиям Дирихле. В дополнение к ним является достаточным, чтобы f ( t ) была абсолютно интегрируема в пределах от – Ґ до + Ґ , т. е. чтобы существовал интеграл

Это, как правило, означает, что f ( t ) должна стремиться к нулю при t ® Ґ и при t ® – Ґ .

11.2. Частотные характеристики

Функция F ( j w ) = F ( w ) e j a ( w ) называется спектральной или частотной характеристикой функции f ( t ), так как она представляет собой непрерывный спектр функции f ( t ).

Обозначения F ( w ) и a ( w ) показывают, что модуль F и аргумент a величины F ( j w ) являются функциями угловой частоты w .

Соотношение (**) показывает, что непериодическая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, может быть представлена как сумма бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами F ( w ) d w и с частотами, занимающими весь диапазон от – Ґ до + Ґ .

Величина F ( w ), характеризующая зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудно-частотной характеристикой. Величина a ( w ), характеризующая зависимость начальной фазы y = p /2 + a от частоты, называется фазочастотной характеристикой.

Так как спектральная характеристика

представляет собой деленную на j комплексную амплитуду гармонической составляющей, отнесенную к единице изменения частоты f = w /(2 p ), то ее называют также спектральной плотностью функции f ( t ) .

Представим частотную характеристику в виде

При этом величина F 1 ( w ) называется вещественной частотной характеристикой, а величина F 2 ( w ) — мнимой частотной характеристикой.

Замечая, что F ( j w ) и F ( –j w ) являются сопряженными комплексными величинами, можем написать для их модулей и фаз

Следовательно, F ( w ) является четной функцией w , а a ( w ) — нечетной функцией. Поэтому, представив подынтегральную величину в выражении (**) в виде

и, следовательно, выражение (**) можно переписать в форме

представляющей собой интеграл Фурье (обратное преобразование Фурье) в три гонометрической форме. Последнее выражение со всей ясностью показывает, что непериодическую функцию, удовлетворяющую отмеченным ранее условиям, можно рассматривать как сумму бесконечного множества гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами F ( w ) d w и начальными фазами y ( w ) = p /2 + a ( w ). То, что амплитуды в этом случае оказались в два раза больше, чем при рассмотрении выражения (**), есть результат того, что в последнем выражении w изменяется от 0 до + Ґ , а не от – Ґ до + Ґ и, соответственно, гармоники с частотами w и – w , содержащиеся в выражении (**), просуммированы в последнем выражении.

Нетрудно заметить, что

Последнее равенство выражает собой теорему Релея, а также называется равенством Парсеваля.

В частном случае, когда f ( t ) = e представляет собой ЭДС, воздействующую на цепь только с активными сопротивлениями, равно энергии, выделяемой в цепи, причем g есть эквивалентная проводимость всей цепи. Равенство Парсеваля показывает, что в данном случае эта энергия может быть вычислена по известной амплитудно-частотной характеристике ЭДС.

11.3. Получение частотных характеристик заданной функции времени

Сопоставляя прямое одностороннее преобразование Фурье

с преобразованием по Лапласу

видим, что первое есть частный случай второго при р = j w . Иными словами, одностороннее преобразование Фурье получается из преобразования по Лапласу предельным переходом, когда в последнем вещественная часть комплексной переменной p стремится к нулю.

Благодаря этому можно не производить интегрирования для вычисления F ( j w ), а, воспользовавшись готовыми таблицами для F ( р ) [или для Ф( p ) = pF ( р )], имеющимися в справочниках, заменить в выражениях F ( р ) величину р на j w .

Рассмотрим сначала примеры для функций f ( t ), для которых возможно прямое преобразование Фурье.

Пусть напряжение изменяется во времени по закону u ( t ) = U 0 e – d t . Согласно таблице из § 10.2,

и, следовательно, частотная характеристика функции U 0 e – d t имеет вид

Обозначение U ( w ) и индекс u у a означают, что эти величины относятся к напряжению. Величины, относящиеся к току, будем обозначать, соответственно, I ( w ) и a i ( w ).

На рис. 11.1, а и б соответственно, показаны амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики функции u ( t ) = U 0 e – d t , на рис. 11.2 — соответственно, вещественная частотная и мнимая частотная характеристики, которые определяются формулами

В качестве другого примера возьмем функцию

Следовательно, частотная характеристика для этой функции имеет вид

На рис. 11.3, а , б показаны частотные характеристики этой функции при d = 0,5 w 0 .

Получим в виде третьего примера частотную характеристику прямоугольного импульса напряжения (рис. 11.4) прямым интегрированием согласно выражению (***) из § 11.1. Имеем f ( t ) = u ( t ) = U 0 при –a Ј t Ј a и f ( t ) = u ( t ) = 0 при | t | > a . Получаем

На рис. 11.5 приведена амплитудно-частотная характеристика этой функции. Величина a u ( w ) изменяется скачком на p при каждом изменении знака величины (sin a w )/ w .

Рассмотрим еще получение частотных характеристик для имеющих важное значение в теории электрических цепей функций f ( t ) = U 0 = const и f ( t ) = U 0 sin w 0 t , для которых непосредственное применение прямого преобразования Фурье невозможно, так как интеграл в этом преобразовании для них не имеет определенного конечного значения. В этом случае может быть использован следующий прием: умножение этих функций на e – d t , где d > 0. Частотные характеристики функции U 0 e – d t и U 0 e – d t sin w 0 t найдены в приведенных выше примерах. Переходя к пределу, когда d ® 0, получим искомые частотные характеристики:

Разложение непериодических ЭДС в непрерывный спектр синусоидальных составляющих находит широкое применение в импульсной технике, в радиотехнике, в технике автоматического регулирования, так как, располагая таким спектром и зная зависимость параметров цепи от частоты, можно определить характер воздействия такой ЭДС на рассматриваемую цепь.

11.4. Расчет переходных процессов при помощи частотных характеристик

Метод частотных характеристик для расчета переходных процессов в линейных электрических цепях заключается в следующем.

Пусть цепь включается в момент t = 0 под действие напряжения и ( t ) при нулевых начальных условиях, причем функция и ( t ) удовлетворяет условиям, при которых интеграл Фурье существует. Используя прямое одностороннее преобразование Фурье

находим частотную характеристику U ( j w ).

Зная комплексное сопротивление цепи Z ( j w ) как функцию частоты, можем получить частотную характеристику тока в цепи:

Искомый переходный ток находится с помощью обратного преобразования Фурье:

или с помощью того же преобразования в тригонометрической форме:

Сам по себе этот путь расчета не дает каких-либо существенных преимуществ по сравнению с изложенным в предыдущих параграфах операторным методом. Существенное преимущество метода интеграла Фурье обнаруживается при нахождении тока i ( t ) по заданному напряжению и ( t ), когда имеем практически осуществленную сложную линейную электрическую цепь или вообще какое-либо сложное устройство с линейными электрическими элементами и располагаем возможностью снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления цепи от частоты, т. е. получить экспериментально зависимости z ( w ) и j ( w ) или, соответственно, r ( w ) и х ( w ).

Вычислив с помощью прямого преобразования Фурье спектральную характеристику U ( j w ) = U ( w ) заданной функции и ( t ) и пользуясь опытными данными для z ( w ) и j ( w ), можно определить спектральную характеристику тока:

Искомый ток i ( t ) можно тогда определить из последнего интегрального выражения, выполняя интегрирование хотя бы тем или иным приближенным методом.

Из этого же выражения можно установить связь между вещественной частотной I 1 ( w ) и мнимой частотной I 2 ( w ) характеристиками. Так как

Принимая во внимание, что при t i ( t ) = 0, подставим в только что написанное выражение i ( t ) значение t = – t :

что и выражает связь между вещественной I 1 ( w ) и мнимой I 2 ( w ) частотными характеристиками.

Заметим, что эта связь существует для частотных характеристик тех функций i ( t ), для которых справедливо прямое преобразование Фурье.

Используя полученное соотношение для тока i ( t ), имеем

т. е. можем определить функцию i ( t ) либо по вещественной частотной, либо по мнимой частотной характеристике.

Так как между вещественной и мнимой составляющими частотной характеристики I ( j w ) существует связь, то, соответственно, в тех же случаях есть связь и между амплитудно-частотными и фазочастотными характеристиками.

Если в соответствии со сказанным имеется связь между U ( w ) и a u ( w ), а также между I ( w ) и a i ( w ), то должна быть связь и между Z ( w ) и j ( w ) или соответственно между r ( w ) и x ( w ). Для ряда систем оказывается возможной и разработана методика определения j ( w ) по z ( w ). В таком случае достаточно снять экспериментально только характеристику z ( w ), что значительно проще экспериментального получения характеристики j ( w ).

Так как экспериментальная зависимость z ( w ) может быть получена только при изменении частоты от нуля до определенного значения wў , то необходимо быть уверенным, что мы не допускаем заметной ошибки, вычисляя i ( t ) по формуле обратного преобразования Фурье в этом ограниченном диапазоне вместо всего диапазона 0 w Ґ . Некоторой оценкой достаточности верхнего предела частоты wў в случае экспериментального получения частотных характеристик может служить условие, чтобы модули y ( w ) = 1/ z ( w) при этой частоте wў приближались к нулю, при дополнительном условии, что на основе каких-либо соображений можно быть уверенным, что с дальнейшим увеличением w они не будут вновь возрастать.

Наконец, заметим, что указанные приемы расчета переходных процессов пригодны для нулевых начальных условий. Это видно хотя бы из того, что соотношение I ( j w ) = U ( j w )/ Z ( j w ) соответствует соотношению I ( p ) = U ( p )/ Z ( p ), справедливому только при нулевых начальных условиях (см. § 10.3). При ненулевых начальных условиях можно воспользоваться, так же, как и в операторном методе, методом наложения, рассчитав процесс при нулевых начальных условиях и наложив на него процессы, которые получаются только от действия одних начальных напряжений на конденсаторах и токов в катушках.

11.5. Связь преобразования Фурье с преобразованием Лапласа. Понятие о комплексной частоте

В § 11.3 были сопоставлены преобразование Лапласа с прямым односторонним преобразованием Фурье , откуда видно, что второе есть частный случай первого при p = j w . В конце § 11.1 было отмечено, что преобразование Фурье возможно для ограниченного класса функций f ( t ). Было указано, что достаточным условием для этого является абсолютная интегрируемость функции f ( t ).

Преобразование Лапласа является более общим, так как p рассматривается как комплексная величина, имеющая положительную вещественную часть, достаточно большую, чтобы интеграл Лапласа имел конечное значение для весьма широкого класса функций f ( t ), практически охватывающих все функции, с которыми встречаемся в теории электрических цепей. Соответствующие условия, накладываемые на вещественную часть величины p , были сформулированы в начале § 10.1.

Можно обобщить преобразование Фурье так, что оно станет эквивалентно преобразованию Лапласа по широте охвата класса функций f ( t ), если ввести понятие комплексной частоты = c + j w , содержащей положительную вещественную часть c , на которую налагаются те же самые требования, что и на вещественную часть s оператора p. Такое обобщенное преобразование Фурье имеет вид

Соответственно, обратное преобразование Фурье в обобщенной форме, если заменить в формуле (**) из § 11.1 всюду в выражении под знаком интеграла величину j w на величину принимает вид

Путь интегрирования в комплексной плоскости должен быть избран так, чтобы вещественная часть комплексной частоты была не меньше той, которая обеспечивает сходимость прямого обобщенного преобразования Фурье. В частности, можно интегрировать по прямой, отстоящей справа от оси мнимых на необходимую величину с > 0. С этим и связан выбор пределов интегрирования от с – j Ґ до с + j Ґ .

Прямое преобразование Лапласа совпадает с обобщенным прямым преобразованием Фурье при замене p на Поэтому, пользуясь обратным преобразованием Фурье в обобщенной форме, можем записать обратное преобразование Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал f ( t ) по его операторному изображению F ( р ) в виде

Понятие комплексной частоты

Частотные характеристики динамического звена

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции

Получим связь частотной характеристики с известными понятиями. Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и сигналами , . Пусть , – абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при . Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом –

Получим отношение спектров

Таким образом, частотную характеристику динамического звена можно определить как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала.

Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному

Рассмотрим динамическое звено –

Получим спектр выходного сигнала – импульсной характеристики

то есть преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена.

Частотная функция характеристика как функция комплексного аргумента может быть представлена в следующем виде –

где – действительная (вещественная) часть ,

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика используется и графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

В теории автоматического управления рассматривают и используют следующие частотные характеристики динамических звеньев:

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) –

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) –

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) –


Мнимая частотная характеристика (МЧХ) –

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

На рис. 2 покажем частотные характеристики некоторого динамического звена.

Для выяснения физического смысла частотной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и импульсной характеристикой , на вход которого подаем гармонический сигнал .

Вспомним, что решение линейного дифференциального уравнения динамического звена, в рамках классического метода, состоит из двух составляющих – свободной и установившейся.

Установившаяся составляющая в случае гармонической функции времени, стоящей в правой части уравнения, так же является гармонической функцией времени. Поэтом установившийся сигнал на выходе динамического звена можно описать следующим выражением

Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении изображений

В результате получаем

Для перехода к установившемуся режиму полагаем , тогда получаем

Но, с другой стороны, имеем по определению прямого преобразования Фурье

Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотной характеристики линейного динамического звена, объекта или системы управления для конкретной частоты :

Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты и постоянной амплитуды.

Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.

Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.

Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте .

Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте .

Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить частотную характеристику конкретного устройства. Функциональная схема экспериментальной установки для снятия частотных характеристик имеет вид

При частоте на экране осциллографа получаем после затухания свободной составляющей следующую картину –

На основании рис. 5 можно построить на комплексной плоскости точку, принадлежащую частотной характеристике устройства, а совокупность точек при изменении частоты от нуля до величины, когда амплитуда выходного установившегося сигнала станет пренебрежимо мала, будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Как видно из рисунка, по этим данным может быть построена любая необходимая частотная характеристика устройства.

Для экспериментального получения частотных характеристик различных объектов в инженерной практике используют специализированные приборы, а в последнее время широко используют для таких целей персональные компьютеры, оснащенные специализированными платами ввода-вывода и пакетами прикладных программ.

Учитывая все вышеизложенное, становится ясным и физический смысл частотной характеристики.

Она показывает, во сколько раз изменяет динамическое звено (устройство), работающее в установившемся режиме, амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.

Контрольные вопросы и задачи

Как определить частотную характеристику динамического звена, если известна его передаточная функция?

Какие виды частотных характеристик вы знаете?

Как определить амплитуду и аргумент частотной характеристики?

Перечислите основные этапы экспериментального снятия частотной характеристики устройства.

Поясните физический смысл частотной характеристики линейного динамического звена.

Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции

Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции

Определите выражения амплитудной и фазовой частотных характеристик для динамического звена с передаточной функцией –

На вход динамического звена с передаточной функцией

поступает гармонический сигнал постоянной амплитуды с частотой

На какой угол будет смещен выходной сигнал в установившемся режиме?

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ

Нуль и единица — от Бога, все остальное — дело рук человеческих.

Леопольд Кронекер. Немецкий математик, XIX в.

Содержание: 10.1. Понятие аналитического сигнала. Комплексное представление вещественных сигналов. Аналитический сигнал. Спектральная плотность аналитического сигнала. 10.2. Примеры применения аналитических сигналов. Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Мгновенная частота. Огибающие модулированных сигналов. Анализ каузальных систем. Литература.

Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе сигналов и систем их обработки. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.

10.1. Понятие аналитического сигнала [1,25].

Комплексное представление вещественных сигналов. При математическом анализе очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразований данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов. Так, например, в теории электрических цепей вещественная запись синусоидального напряжения

u(t) = U o cos ( w o t+ j )

заменяется комплексной формой записи:

В общем случае, произвольный динамический сигнал s(t), заданный на определенном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном) имеет комплексную двустороннюю спектральную плотность S( w ). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S( w ) сигнал s(t) разделяется на четную и нечетную составляющие, которые являются двусторонними относительно t = 0, и суммирование которых полностью восстанавливает исходный сигнал. На рис. 10.1.1 приведен пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и получения четной и нечетной части сигнала из реальной и мнимой части спектра (С).

Рис. 10.1.1. Сигнал, спектральная плотность сигнала, четная и нечетная составляющие.

Аналитический сигнал. Можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме — раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) = S( w )·exp(j w t) d w + S( w )·exp(j w t) d w. (10.1.1)

Информация в комплексном спектре сигнала является избыточной. В силу комплексной сопряженности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая (отрицательные частоты), так и правая (положительные частоты) часть спектра S( w ). Аналитическим сигналом , отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (10.1.1), нормированный на p, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z s (t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z s (t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (10.1.1) дает сигнал z s *(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z s *(t) = Re z(t) — j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 10.1.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 10.1.1-В.

Рис. 10.1.2. Сигналы z(t) и z*(t).

При сложении функций z s (t) и z s *(t) с учетом нормировки в (10.1.2) только на 1/π, а не на 1/2π, как в (10.1.1), мы обязаны получить полный исходный сигнал s(t):

s(t) = [z s (t)+z s *(t)]/2 = Re z(t).

Отсюда следует, что реальная часть аналитического сигнала z s (t) равна самому сигналу s(t).

Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта. Оно позволяет производить определение любой части частотной характеристики каузальной функции, действительной или мнимой, путем свертки другой ее части с оператором Гильберта 1/ p f. Аналогично, мнимая часть аналитического сигнала z s (t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта, и называется квадратурным дополнением сигнала s(t):

Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) * hb(t), (10.1.3)

z s (t) = s(t) + j Ч . (10.1.4)

где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.

Таким образом, квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(πt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами:

Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

Почему именно оператор Гильберта применяется для получения квадратурного дополнения сигнала? Какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

Спектральная плотность аналитического сигнала , если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z s ( w ) = z s (t) exp(-j w t) dt.

Эта функция, с учетом определения аналитического сигнала по выражению (10.1.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на p , а не на 2 p ) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

С другой стороны, при непосредственном преобразовании Фурье левой и правой части формулы (10.1.4) аналитического сигнала z s (t), получаем:

Z s ( w ) = S( w ) + j . (10.1.6)

Данное выражение действительно для всей частотной оси (от — Ґ до + Ґ ) и должно быть равно выражению (10.1.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты w ) сигнала (10.1.6) должна быть обращена в ноль, аналогично формированию каузальной функции из ее четной и нечетной части. Это может быть выполнено следующим образом.

Если левые части спектра сигнала S( w ) умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте w =0 и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис. 10.1.3), которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S( w ) и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S( w ) на сигнатурную функцию sgn( w ):

Однако при этом реальная часть новой функции sgn( w )·S( w ), как это можно видеть на рис. 10.1.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на –j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно w l и w r , можно записать подробные выражения для спектров:

S( w ) = Re S( w l ) + j·Im( w l ) + Re S( w r ) + j·Im( w r ),

= j · Re S( w l ) — Im( w l ) — j·Re S( w r ) + Im( w r ).

При умножении квадратурной функции на j (для выражения в (10.1.6)):

j· = -Re S( w l ) — j·Im( w l ) + Re S( w r ) + j·Im( w r ).

Отсюда нетрудно видеть результат:

Z s ( w ) = S( w ) + j = = 2·Re S( w r ) + j·2·Im( w r ) = 2·S( w r ),

что полностью соответствует выражению (10.1.5). В краткой форме:

= = -j Ч sgn( w ) Ч S( w ), (10.1.8)

Hb( w ) = -j Ч sgn( w ) = (10.1.9)

Таким образом, спектральная плотность аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S( w ) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j Ч sgn( w ). Это обеспечивает при суммировании S( w ) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

Из выражения (10.1.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:

s(t) = — * hb(t). (10.1.11)

где hb(t) = TF[-j Ч sgn( w )] = 1/( p t) – обратное преобразование Фурье функции -j Ч sgn( w ).

Пример преобразования сигнала x(t) оператором Гильберта для формирования аналитического сигнала z x (t) = x(t) + j· приведен на рис. 10.1.4.

Частотную характеристику оператора Гильберта (10.1.9) можно записать и в следующем виде:

Hb( w ) = |Hb( w )| Ч exp(j j h ( w )), где |Hb( w )| = 1.

Hb( w ) = -j Ч sgn( w ) = , (10.1.12)

Если спектр функции x(t) также представить в форме

S( w ) = |S( w )| Ч exp(j j s ( w )),

то выражение (10.1.8) преобразуется к следующей форме:

= |S( w )| Ч exp(j j s ( w )) Ч exp(j j h ( w )) = |S( w )| Ч exp[j( j s ( w )+ j h ( w ))], (10.1.8′)

т.е. модуль |S( w )| — амплитудный спектр сигнала как результат преобразования Гильберта сигнала s(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала s(t). Фазовый спектр сигнала (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90 о при w > 0 и на 90 о при w p f o t), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

(t) = TH[x(t)] Ы TF[TH[x(t)]] = -j sgn(f) Ч [ d (f+f o )+ d (f-f o )]/2.

(f) = -j Ч [- d (f+f o )+ d (f-f o )]/2 = j·[ d (f+f o )- d (f-f o )]/2.

Но последнее уравнение — спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

(t) = TF -1 [ (f)] = sin(2 p f o t).

При x(t) = sin(2 p f o t) аналогичная операция дает (t) = -cos(2 p f o t). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 10.1.5 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно.

Таким образом, аналитический сигнал, по существу, представляет собой двух ортогональных сигналов, все гармонические составляющие которых сдвинуты по фазе на 90 0 друг относительно друга.

10.2. Примеры применения аналитических сигналов [1,2].

Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Допустим, что имеем зарегистрированный радиоимпульсный сигнал x(t) с несущей частотой w o , который содержит определенную информацию, заключенную в огибающей сигнала u(t) и его фазе j (t):

x(t) = u(t) cos ( w o t+ j (t)). (10.2.1)

Требуется выделить информационные составляющие сигнала

Запишем выражение (10.2.1) в другой форме:

x(t) = a(t) Ч cos( w o t) + b(t) Ч sin( w o t), (10.2.2)

где функции a(t) и b(t) называются низкочастотными квадратурными составляющими сигнала x(t):

a(t) = u(t) cos j t, b(t) = u(t) sin j t.

u(t) = , tg j (t) = b(t)/a(t).

С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) можно сформировать аналитически сопряженный сигнал (t). Математическую форму сигнала (t) получим из выражения (10.2.2) с учетом свойства модуляции преобразования Гильберта:

(t) = a(t) Ч sin( w о t) – b(t) Ч cos( w o t).

Квадрат модуля сигнала z(t):

|z(t)| 2 = x 2 (t)+ 2 (t) = a 2 (t)[cos 2 ( w o t)+sin 2 ( w o t)] + b 2 (t)[cos 2 ( w o t)+sin 2 ( w o t)] = u 2 (t).

Отсюда, огибающая u(t) и мгновенная фаза f (t) сигнала x(t):

f( t ) = w o t+ j (t) = arctg[ (t)/x(t)]. (10.2.4)

j( t ) = f( t ) — m o t.

Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:

Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис. 10.2.1). Но выражения (10.2.3-10.2.5), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.

На рис. 10.2.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:

x(t) = a(t) Ч cos( w 1 t) + b(t) Ч cos( w 2 t).

Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:

(t) = a(t) Ч sin( w 1 t) + b(t) Ч sin( w 1 t).

Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 10.2.2, должна вычисляться по формуле (10.2.3). При этом для данного сигнала получаем:

что может существенно отличаться от функции .

Мгновенная фаза сигнала, график которой приведен на рис. 10.2.3, зависит от времени нелинейно :

Рис. 10.2.3. Рис. 10.2.4.

Мгновенная частота сигнала (рис. 10.2.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:

Аналогичная методика определения огибающих, мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов.

Огибающие модулированных сигналов . В качестве примера применения огибающих рассмотрим связь форм относительно узкополосных радиосигналов с формой модулирующих сообщений.

Амплитудная модуляция. Уравнение модулированного сигнала:

x(t) = U o Ч [1+m Ч s(t)] Ч cos w o t, s(t) Ј 1, m Ј 1

Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:

(t) = U o Ч [1+m Ч s(t)] Ч sin w o t, z x (t) = x(t) + j (t).

Огибающая сигнала x(t):

u(t) = |z x (t)| = U o Ч [1+m Ч s(t)],

т.е. точно повторяет форму модулирующего сообщения (см. рис. 10.2.5)


Рис. 10.2.5. Амплитудная модуляция.

Балансная модуляция. Уравнение модулированного сигнала, приведенного на рис. 10.2.6:

x(t) = U o Ч s(t) Ч cos w o t,

Квадратурное дополнение, аналитический сигнал, огибающая сигнала x(t):

(t) = U o Ч s(t) Ч sin w o t, z x (t) = x(t) + j (t), u(t) = |z x (t)| = U o Ч |s(t)|.

Огибающая сигнала x(t) существенно отличается от модулирующего сообщения, но связана с ним простым соотношением.

Рис. 10.2.6. Балансная модуляция.

Анализ каузальных систем . Каузальная (физически осуществимая) линейная система задается односторонним импульсным откликом h(t), t і 0, и имеет частотную характеристику H(f):

Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:

x(t) = X(f) cos(2 p ft) df,

y(t) = Y(f) sin(2 p ft) df,

где x(t) и y(t) — четная и нечетная части функции h(t). Нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):

y(t) = sgn(t) Ч x(t). (10.2.6)

Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (10.2.6) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn( t) Ы -j/( p f)), получаем:

TF[y(t)] = (-j/ p f) * X(f) = (-j/ p ) [ X(u)/(f-u) ] du.

Y(f) = (1/ p ) [ X(u)/(f-u) ] du = ТН[X(f)],

т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:

X(f) = -ТН[Y(f)] = -(1/ p ) [ Y(u)/(f-u) ] dv.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы : Учебник для вузов. — М. : Высшая школа, 1988.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.

Copyright ©2005 Davydov А.V.

Когда тот или иной физик использует понятие «физический вакуум», он либо не понимает абсурдности этого термина, либо лукавит, являясь скрытым или явным приверженцем релятивистской идеологии.

Понять абсурдность этого понятия легче всего обратившись к истокам его возникновения. Рождено оно было Полем Дираком в 1930-х, когда стало ясно, что отрицание эфира в чистом виде, как это делал великий математик, но посредственный физик Анри Пуанкаре, уже нельзя. Слишком много фактов противоречит этому.

Для защиты релятивизма Поль Дирак ввел афизическое и алогичное понятие отрицательной энергии, а затем и существование «моря» двух компенсирующих друг друга энергий в вакууме — положительной и отрицательной, а также «моря» компенсирующих друг друга частиц — виртуальных (то есть кажущихся) электронов и позитронов в вакууме.

Однако такая постановка является внутренне противоречивой (виртуальные частицы ненаблюдаемы и их по произволу можно считать в одном случае отсутствующими, а в другом — присутствующими) и противоречащей релятивизму (то есть отрицанию эфира, так как при наличии таких частиц в вакууме релятивизм уже просто невозможен). Подробнее читайте в FAQ по эфирной физике.

НОВОСТИ ФОРУМА
Рыцари теории эфира
01.10.2020 — 05:20: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]69vJGqDENq4[/Youtube][/center]
[center]14:36[/center]
Osievskii Global News
29 сент. Отправлено 05:20, 01.10.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Вячеслава Осиевского — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 12:51: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Ok]376309070[/Ok][/center]
[center]11:03[/center] Отправлено 12:51, 30.09.2020 г.’ target=_top>Просвещение от Дэйвида Дюка — Карим_Хайдаров.
30.09.2020 — 11:53: ВОСПИТАНИЕ, ПРОСВЕЩЕНИЕ, ОБРАЗОВАНИЕ — Upbringing, Inlightening, Education ->
[center][Youtube]VVQv1EzDTtY[/Youtube][/center]
[center]10:43[/center]

интервью Раввина Борода https://cursorinfo.co.il/all-news/rav.
мой телеграмм https://t.me/peshekhonovandrei
мой твиттер https://twitter.com/Andrey54708595
мой инстаграм https://www.instagram.com/andreipeshekhonow/

[b]Мой комментарий:
Андрей спрашивает: Краснодарская синагога — это что, военный объект?
— Да, военный, потому что имеет разрешение от Росатома на манипуляции с радиоактивными веществами, а также иными веществами, опасными в отношении массового поражения. Именно это было выявлено группой краснодарцев во главе с Мариной Мелиховой.

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

[center][Youtube]CLegyQkMkyw[/Youtube][/center]
[center]10:22 [/center]

Доминико Риккарди: Россию ждёт страшное будущее (хотелки ЦРУ):
https://tainy.net/22686-predskazaniya-dominika-rikardi-o-budushhem-rossii-sdelannye-v-2000-godu.html

Завещание Алена Даллеса / Разработка ЦРУ (запрещено к ознакомлению Роскомнадзором = Жид-над-рус-надзором)
http://av-inf.blogspot.com/2013/12/dalles.html

[center][b]Сон разума народа России [/center]

Преобразование Фурье в действии: точное определение частоты сигнала и выделение нот

Начнём с пианино. Очень упрощёно этот музыкальный инструмент представляет собой набор белых и чёрных клавиш, при нажатии на каждую из которых извлекается определённый звук заранее заданной частоты от низкого до высокого. Конечно, каждый клавишный инструмент имеет свою уникальную тембральную окраску звучания, благодаря которой мы можем отличить, например, аккордеон от фортепиано, но если грубо обобщить, то каждая клавиша представляет собой просто генератор синусоидальных акустических волн определённой частоты.

Когда музыкант играет композицию, то он поочерёдно или одновременно зажимает и отпускает клавиши, в результате чего несколько синусоидальных сигналов накладываются друг на друга образуя рисунок. Именно этот рисунок воспринимается нами как мелодия, благодаря чему мы без труда узнаём одно произведение, исполняемое на различных инструментах в разных жанрах или даже непрофессионально напеваемое человеком.

Наглядная иллюстрация нотного рисунка

Определение частоты (режим гитарного тюнера)

Обратная задача состоит в том, чтобы разобрать звучащую музыкальную композицию на ноты. То есть разложить суммарный акустический сигнал, улавливаемый ухом, на исходные синусоиды. По сути, этот процесс и представляет собой прямое преобразование Фурье. А нажатие на клавиши и извлечение звука есть процесс обратного преобразования Фурье.

Математически в первом случае происходит разложение сложной периодической (на некотором временном интервале) функции в ряд более элементарных ортогональных функций (синусоид и косинусоид). А во втором их обратное суммирование, то есть синтез сложного сигнала.

Ортогональность, в некотором роде, обозначает несмешиваемость функций. Например, если мы возьмём несколько кусочков цветного пластилина и склеим их, то потом всё же сможем разобрать, какие цвета были изначально, но если хорошенько перемешаем несколько баночек гуашевых красок, то точно восстановить исходные цвета без дополнительной информации уже будет невозможно.

(!) Важно понимать, когда мы берёмся анализировать реальный сигнал с помощью преобразования Фурье, мы идеализируем ситуацию и исходим из предположения, что он периодический на текущем временном интервале и состоит из элементарных синусоид. Зачастую это именно так, поскольку акустические сигналы, как правило, имеют гармоническую природу, но вообще возможны и более сложные случаи. Любые наши допущения о природе сигнала обычно ведут к частичным искажениям и погрешностям, но без этого выделить полезную информацию из него крайне сложно.

Теперь опишем весь процесс анализа более подробно:

1. Всё начинается с того, что звуковые волны колеблют мембрану микрофона, который преобразует их в аналоговые колебания электрического тока.

2. Затем происходит дискретизация аналогового электрического сигнала в цифровую форму. На этом моменте стоит остановиться подробно.

Поскольку аналоговый сигнал математически состоит из бесконечного непрерывного во времени множества точек-значений амплитуды, в процессе измерения мы можем выделить из него лишь конечный ряд значений в дискретные моменты времени, то есть, по сути, выполнить квантование по времени…

Как правило, значения-отсчёты берутся через небольшие равные временные промежутки, то есть с определённой частотой, например, 16000 или 22000 Гц. Однако в общем случае дискретные отсчёты могут идти и неравномерно, но это усложняет математический аппарат анализа, поэтому на практике обычно не применяется.

Существует важная теорема Котельникова-Найквиста-Шеннона, которая гласит, что аналоговый периодический сигнал, имеющий конечный (ограниченный по ширине) спектр, может быть однозначно восстановлен без искажений и потерь по своим отсчётам, взятым с частотой, большей или равной удвоенной верхней частоте спектра (называемой частотой дискретизации или Найквиста).

Для этого восстановления необходимо применить специальные интерполирующие функции, но проблема в том, что при использовании данных функций вычисления нужно выполнять на бесконечном временном интервале, что на практике невозможно. Поэтому в реальной жизни нельзя сколь угодно повысить частоту дискретизации искусственным образом без искажений даже если изначально она удовлетворяет теореме Котельникова-Найквиста-Шеннона. Для этой операции применяются фильтры Фарроу.

Также дискретизация происходит не только по времени, но и по уровню значений амплитуды, поскольку компьютер способен манипулировать лишь ограниченным множеством чисел. Это также вносит небольшие погрешности.

3. На следующем этапе происходит само дискретное прямое преобразование Фурье.

Мы выделяем короткий кадр (интервал) композиции, состоящий из дискретных отсчётов, который условно считаем периодическим и применяем к нему преобразование Фурье. В результате преобразования получаем массив комплексных чисел, содержащий информацию об амплитудном и фазовом спектрах анализируемого кадра. Причём спектры также являются дискретными с шагом равным (частота дискретизации)/(количество отсчётов). То есть чем больше мы берём отсчётов, тем более точное разрешение получаем по частоте. Однако при постоянной частоте дискретизации увеличивая число отсчётов, мы увеличиваем анализируемый временной интервал, а поскольку в реальных музыкальных произведениях ноты имеют различную длительность звучания и могут быстро сменять друг друга, происходит их наложение, поэтому амплитуда длительных нот «затмевает» собой амплитуду коротких. С другой стороны для гитарных тюнеров такой способ увеличения разрешения по частоте подходит хорошо, поскольку нота, как правило, звучит долго и одна.

Существует также довольно простой трюк для увеличения разрешения по частоте — нужно исходный дискретный сигнал заполнить нулями между отсчётами. Однако в результате такого заполнения сильно искажается фазовый спектр, но зато увеличивается разрешение амплитудного. Также возможно применение фильтров Фарроу и искусственное увеличение частоты дискретизации, однако и оно вносит искажения в спектры.

Длительность кадра обычно составляет приблизительно от 30 мс до 1 с. Чем он короче, тем лучшее разрешение мы получаем по времени, но худшее по частоте, чем сэмпл длиннее, тем лучшее по частоте, но худшее по времени. Это очень напоминает принцип неопределённости Гейзенберга из квантовой механики..и не с проста, как гласит Википедия, соотношение неопределенностей в квантовой механике в математическом смысле есть прямое следствие свойств преобразования Фурье

Интересно и то, что в результате анализа сэмпла одиночного синусоидального сигнала амплитудный спектр очень напоминает дифракционную картинку…

Синусоидальный сигнал, ограниченный прямоугольным окном, и его «дифракция»

Дифракция световых волн

На практике это нежелательный эффект, затрудняющий анализ сигналов, поэтому его стараются понизить путём применения оконных функций. Таких функций придумано немало, ниже представлены реализации некоторых из них, а также сравнительное влияние на спектр одиночного синусоидального сигнала.

Применяется оконная функция ко входному кадру очень просто:

Что касается компьютеров, в своё время был разработан алгоритм быстрого преобразования Фурье, который минимизирует число математических операций, необходимых для его вычисления. Единственное требование алгоритма состоит в том, чтобы число отсчётов было кратно степени двойки (256, 512, 1024 и так далее).

Ниже его классическая рекурсивная реализация на языке C#.

Существует две разновидности алгоритма БПФ — с прореживанием по времени и по частоте, но оба дают идентичный результат. Функции принимают массив комплексных чисел, заполненный реальными значениями амплитуд сигнала во временной области, а после своего выполнения возвращают массив комплексных чисел, содержащий информацию об амплитудном и фазовом спектрах. Стоит помнить, что реальная и мнимая части комплексного числа — это далеко не то же самое, что его амплитуда и фаза!

magnitude = Math.Sqrt(x.Real*x.Real + x.Imaginary*x.Imaginary)
phase = Math.Atan2(x.Imaginary, x.Real)

Результирующий массив комплексных чисел заполнен полезной информацией ровно на половину, другая половина является лишь зеркальным отражением первой и спокойно может быть исключена из рассмотрения. Если вдуматься, то этот момент хорошо иллюстрирует теорему Котельникова-Найквиста-Шеннона, о том, что частота дискретизации должна быть не меньше максимальной удвоенной частоты сигнала…

Также существует разновидность алгоритма БПФ без рекурсии по Кули-Тьюки, которая часто применяется на практике, но она чуть более сложна для восприятия.

Сразу после вычисления преобразования Фурье удобно нормализовать амплитудный спектр:

Это приведёт к тому, что величина значений амплитуды получится одного порядка не зависимо от размеров сэмпла.

Вычислив амплитудный и частотный спектры, легко производить обработку сигнала, например, применять частотную фильтрацию или производить сжатие. По сути, таким образом можно сделать эквалайзер: выполнив прямое преобразование Фурье, легко увеличить или уменьшить амплитуду определённой области частот, после чего выполнить обратное преобразование Фурье (хотя работа настоящих эквалайзеров обычно основана на другом принципе — фазовом сдвиге сигнала). Да и сжать сигнал очень просто — нужно всего лишь сделать словарь, где ключом является частота, а значением соответствующее комплексное число. В словарь нужно занести лишь те частоты, амплитуда сигнала на которых превышает какой-то минимальный порог. Информация о «тихих» частотах, не слышимых ухом, будет потеряна, но получится ощутимое сжатие при сохранении приемлемого качества звучания. Отчасти этот принцип лежит в основе многих кодеков.

4. Точное определение частоты

Дискретное преобразование Фурье даёт нам дискретный спектр, где каждое значение амплитуды отстоит от соседних на равные промежутки по частоте. И если частота в сигнале кратна шагу равному (частота дискретизации)/(количество отсчётов), то мы получим выраженный остроконечный пик, но если частота сигнала лежит где-то между границами шага ближе к середине у нас выйдет пик со «срезанной» вершиной и нам будет затруднительно сказать, что же там за частота. Очень может быть что в сигнале присутствуют две частоты лежащие рядом друг с другом. В этом и заключается ограничение разрешения по частоте. Так же как на фотоснимке с низким разрешением мелкие предметы склеиваются и становятся неразличимы, так же и тонкие детали спектра могут теряться.

Но частоты музыкальных нот лежат далеко не на сетке шагов преобразования Фурье, а для повседневных задач настройки музыкальных инструментов и распознавания нот необходимо знать именно точную частоту. Более того, на низких октавах при разрешении от 1024 отсчётов и ниже сетка частот Фурье становится настолько редкой, что попросту на одном шаге начинают умещаться несколько нот и определить какая же на самом деле из них играет становится фактически невозможно.

Чтобы как-то обойти это ограничение иногда применяют аппроксимирующие функции, например, параболические.
www.ingelec.uns.edu.ar/pds2803/Materiales/Articulos/AnalisisFrecuencial/04205098.pdf
mgasior.web.cern.ch/mgasior/pap/biw2004_poster.pdf
Но всё это искусственные меры, которые улучшая одни показатели могут давать искажения в других.

Существует ли более естественный путь для точного определения частоты?
Да, и скрыт он как раз-таки в использовании фазового спектра сигнала, которым часто пренебрегают.
Данный метод уточнения частоты сигнала, основан на вычислении задержки фаз у спектров двух кадров, наложенных друг на друга, но немного сдвинутых во времени.

На C# реализация метода выглядит довольно просто:

Применение также несложное:

Обычно исходные кадры сдвинуты на 1/16 или 1/32 своей длины, то есть ShiftsPerFrame равно 16 или 32.

В результате мы получим словарь частота-амплитуда, где значения частот будут довольно близки к реальным. Однако «срезанные пики» всё ещё будут наблюдаться, хоть и менее выражено. Чтобы устранить этот недостаток, можно просто «дорисовать» их.

Нотный анализ музыкальных произведений открывает ряд интересных возможностей. Ведь имея в наличии готовый нотный рисунок, можно осуществлять поиск других музыкальных композиций со схожим рисунком.

Например, одно и то же произведение может быть исполнено на другом инструменте, в различной манере, с другим тембром, либо транспонировано по октавам, однако нотный рисунок останется похожим, что позволит найти различные варианты исполнения одного и того же произведения. Это очень напоминает игру «угадай мелодию».

В некоторых случаях подобный анализ поможет выявить плагиат в музыкальных произведениях. Также по нотному рисунку, теоретически, можно искать произведения определённого настроения или жанра, что поднимает поиск на новый уровень.

В этой статье изложены основные принципы точного определения частот акустических сигналов и выделения нот. А также показана некоторая тонкая интуитивная связь дискретного преобразования Фурье с квантовой физикой, что подталкивает на размышления о единой картине мира.

Примеры расчета частотных характеристик

Пример 1. Для обобщенной одноконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 4.8), рассчитать ее частотные характеристики:

Решение. По определению Zвх(jw) = . Используя законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Используя определение Ku(jw) и законы Ома и Кирхгофа, найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Пример 2.Для интегрирующей RC-цепи, изображенной на рис. 4.9, рассчитать:

От исходной цепи переходим к ее комплексной схеме замещения. Она соответствует схеме на рис. 4.8.

Используя определение zвх(jw) и законы Ома и Кирхгофа, получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ для zвх(jw) и построим их графики (рис. 4.10), подсчитав значения при w = 0, w = ¥:

Используя определение Ku(jw), получим его выражение

Определим АЧХ и ФЧХ для Ku(jw) и построим их графики (рис. 4.11), подсчитав значения при w = 0, w = ¥.

Такая цепь пропускает сигналы низких частот (Ku(0) = 1) и подавляет сигналы высоких частот (Ku(¥) = 0), т.е. является фильтром низких частот (ФНЧ).

Граничная частота определяется из выражения . Рассчитаем ее для нашего примера:

Построим годограф передаточной функции (график АФЧХ Кu).

Учитывая, что реальная часть всегда положительна и уменьшается от 1 до 0, а мнимая часть всегда отрицательна, можно построить график годографа (рис. 4.12).

Пример 3.Для обобщенной двухконтурной цепи, представленной комплексной схемой замещения (рис. 4.19), рассчитать ее частотные характеристики:

Решение. Найдем КЧХ, а также АЧХ и ФЧХ входного сопротивления.

По определению, Zвх(jw) = . Входное сопротивление находим методом последовательных эквивалентных преобразований (рис. 4.20).

Z1234
Z234
Z1
U1
U2
U2
U2
U1
U1
Z34
Z2
Z1

а б в
Рис. 4.20

Отсюда видно, что для расчета КЧХ необходимо найти İ2. Находим İ2 методом контурных токов. Для этого определим число независимых контуров: Nk = b – у + 1 = 3 – 2 + 1 = 2, каждому из них присвоим свой контурный ток İ1, İ2 и составим уравнения по методу контурных токов.

Ė22 – алгебраическая сумма источников ЭДС второго контура, во втором контуре источников ЭДС нет, Ė22 = 0.

Найдем İ2 – ток второго контура (по методу Крамера), а затем и КЧХ коэффициента передачи по напряжению:

Найдем КЧХ другим способом, используя для расчета U2m метод узловых потенциалов. Для этого:

· преобразуем исходную схему к виду, показанному на рис. 4.21, заменив источник ЭДС на источник тока;

· потенциал узла 0 примем равным нулю, j = 0.

Составив уравнения по методу узловых потенциалов, получим систему второго порядка и решим ее относительно j2 по методу Крамера:

j1, j2 – потенциалы первого и второго узлов;

İ11, İ22 – токи источников токов, сходящихся в первом и втором узлах.

Отсюда следует, что

Для построения ФЧХ необходимо пользоваться следующими формулами:

, где a – реальная часть, а b – мнимая (рис. 5.16). ΦZ =

I a > 0, b > 0; φ = arctg ;

II a 0; φ = – arctg ;

III a 0, b 0, сопротивление последовательного контура носит индуктивный характер (рис. 5.20, б).

3) На некоторой частоте , , Х = 0, сопротивление контура имеет резистивный характер, а его схема замещения состоит из резистора R.

Частота, на которой выполняется это условие, называется резонансной, она определятся как ω = (LC) –1/2 .

Отметим свойства последовательного контура на резонансной частоте:

1) сопротивление имеет резистивный характер и минимально по сравнению с сопротивлением на других частотах.

2) Начальные фазы напряжения и тока на контуре одинаковы φu = φi, сдвиг по фазе равен φ = φu – φi = 0.

3) Амплитуда тока в контуре максимальна и равна .

4) Сопротивления реактивных элементов L и C одинаковы и равны
– характеристическому сопротивлению контура, т.е.

5) Амплитуды напряжений на реактивных элементах контура одинаковы и в Q (добротность) раз больше (амплитуды напряжения на входе).

, Q добротность контура, .

Поэтому резонанс в последовательном контуре называется резонансом напряжений.

6) Амплитуды напряжений на реактивных элементах находятся в противофазах, а поэтому суммарное напряжение на реактивных элементах равно нулю: .

Резонансная характеристика последовательного колебательного контура

Это есть зависимость от частоты отношения комплексной амплитуде тока к комплексной амплилитуде тока при резонансной частоте, т.е.

Отсюда АЧХ: (рис. 4.21); ФЧХ: .

На остальных частотах резонансная характеристика убывает:

Важным параметром колебательного контура является его полоса пропускания (S) диапазон частот, в котором резонансная характеристика превышает уровень , т.е. , S = ωв – ωн, где ωв, ωн – верхняя и нижняя граничные частоты полосы пропускания (рис. 4.22).

S
0,707
1
Q1
Q2
Q2
Q1
j(w)
w
w
w
w
w
n(w)
n(w)

Рис. 4.21 Рис. 4.22


Параметры контура S, Q и ω связаны соотношением . Отсюда следует, что чем больше добротность, тем меньше полоса пропускания, тем лучше избирательные свойства колебательного контура.

Зависимость добротности контура Q от сопротивления источника
сигнала (Ri) и сопротивления нагрузки (Rн)

Схема замещения последовательного колебательного контура с учетом добавочных элементов Ri, Rн представлена на рис. 4.23. Нагрузка подключена параллельно емкости. Параллельную RC цепь (с постоянными R и C) можно пересчитать на последовательную RC-цепь, ее параметры Rs Cs, однако, будут зависеть от частоты. Нетрудно показать, что если выполняется условие wRC>>1, тогда Cs@ C, и . Вблизи резонансной частоты (w»w) . На рис. 4.24 показано эквивалентное преобразование параллельной RC цепи в последовательную, где .

Добротность контура с учетом добавочных элементов Ri, Rн называется эквивалентной и определяется из следующего выражения:

Она меньше собственной добротности контура Q. Для того чтобы , необходимо:

1) . Это означает, что последовательный колебательный контур необходимо питать от источника ЭДС, т.е. источника с нулевым сопротивлением.

2) . В этом случае нагрузка не будет влиять на добротность контура.

Последовательный колебательный контур как четырехполюсник

На практике используются две схемы включения рис. 4.25. Для четырехполюсника основной частотной характеристикой является передаточная по напряжению.

Построим графики амплитудно-частотные характеристик этих зависимостей (рис. 4.26). Подробный анализ показывает, что при высоких добротностях резонансные частоты обеих схем совпадают и равны ω.

4.3.2. Параллельный колебательный контур

Он состоит из параллельно соединенных двух реактивных элементов L и C. Его принципиальная схема приведена на рис. 4.27, а.

Схема замещения контура с учетом резистивных потерь реактивных элементов приведена на рис. 4.27, б.

Определим комплексное входное сопротивление параллельного колебательного контура

Обозначим – общие резистивные потери параллельного контура. При условии, что вблизи от резонанса ; , получим окончательное выражение для сопротивления параллельного колебательного контура.

Характер сопротивления параллельного колебательного контура зависит от частоты.

1) На НЧ – характер индуктивный. Схема замещения состоит из элементов R, L и приведена на рис. 4.28а,. Сопротивление контура Zк.к (ω = 0) = RL.

2) На ВЧ сопротивление носит емкостной характер, (рис. 5.28б). Сопротивление контура Zк.к (ω ®¥) = RC.

3) На , когда , сопротивление контура имеет резистивный характер Zк.к) = ρQ (рис. 4.28в), где ω = (LC) 1/2 – резонансная частота.

Отметим свойства параллельного контура на резонансной частоте.

1) Сопротивление контура имеет резистивный характер, и его модуль имеет максимальное значение по сравнению с сопротивлением на других частотах.

2) Ток и напряжение совпадают по фазе.

3) – сопротивление реактивных элементов одинаково и равно .

4) Амплитуда тока через реактивные элементы в Q раз превышает ток во внешней цепи: , поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов. Это вытекает из следующего:

5) Токи через реактивные элементы сдвинуты по фазе на 180°.

Построим графики АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного контура, которые определяются выражениями:

Построенные графики приведены на рис. 4.29.

Резонансная характеристика параллельного колебательного контура

Она представляет собой зависимость от частоты отношения комплексной амплитуды напряжения на контуре к амплитуде напряжения на резонансной частоте : .

Вид резонансной характеристики для последовательного и параллельного контуров одинаков, это их и объединяет. По характеру зависимости сопротивления от частоты они обладают противоположными свойствами (см. рис. 4.29).

Влияние сопротивлений источника сигнала и нагрузки на добротность параллельного колебательного контура

Схема замещения контура с учетом этих добавочных элементов приведена на рис. 4.30.

Добротность контура с учетом паразитных элементов называется эквивалентной и определяется выражением

Для того чтобы , необходимо:

1) , т.е. контур питать от источника тока.

2) , т.е. контур по выходу должен работать в режиме холостого хода.

4.3.3. Связанные колебательные контуры

Совокупность двух или более колебательных контуров, между которыми существует электрическая и магнитная связь, а энергия из одного контура может передаваться в другой, называется связанными колебательными контурами. Рассмотрим в качестве примера двухконтурную схему с трансформаторной связью (рис. 4.31).

Количественно степень связи между контурами оценивается с помощью коэффициента связи , .

Составим и преобразуем уравнения для рассматриваемой схемы:

где Z11, Z22 – собственные комплексные сопротивления первого и второго контуров, Z12=Z21=Zсв– общее комплексное сопротивление первого и второго контуров, сопротивление связи.

Исследуем подробнее входное сопротивление

где Z1вн – комплексное сопротивление, вносимое из второго контура в первый,

Таким образом, активные и реактивные сопротивления определяются выражениями:

Из системы уравнений найдем ток второго контура с учетом того, что ,

Это выражение можно записать в виде

где ЭДС, вносимая во второй контур, Z2вн вносимое сопротивление:

Схемы замещения первого и второго контура приведены на рис. 4.32.

Из приведенных выражений видно, что активные составляющие вносимых сопротивлений всегда положительны, а знаки реактивных составляющих вносимых сопротивлений противоположны знакам реактивных составляющих собственных сопротивлений вторичного и первичного контуров X11 и X22. Если, например, на какой-то частоте внешнего воздействия Z11 имеет резистивно-емкостной характер, вносимое во вторичный контур Z2вн будет иметь резистивно-индуктивный характер.

Резонанс в связанных колебательных контурах

При настройке связанных колебательных контуров добиваются наибольшего значения тока I2 во вторичном контуре.

Настройку контуров можно вести как за счет изменения параметров реактивных элементов входящих в один или в разные контуры, так и за счет совместного изменения параметров реактивных элементов контуров и параметров элементов связи.

Есть несколько способов настройки связанных контуров.

1. Настройка на первый частный резонансосуществляется путем изменения параметров реактивных элементов, входящих только в первый контур (Z22, Z12 не изменяются), добиваясь равенства нулю суммы реактивной составляющей собственного сопротивления первичного контура и реактивной составляющей сопротивления, вносимого в первый контур:

Этот способ соответствует настройке на резонансную частоту контура, эквивалентного первичному. Входное сопротивление такого контура относительно зажимов, к которому подключен источник энергии, имеет чисто резистивный характер и ток первичного контура максимален I1max. Ток второго контура при этом также максимален, поскольку он прямо пропорционален I1max:

2. Настройку на второй частный резонансосуществляют путем изменения параметров реактивных элементов, входящих только во второй контур (Z11, Z12 не изменяются), добиваясь равенства нулю суммы реактивной составляющей собственного сопротивления второго контура и реактивной составляющей сопротивления, вносимого во второй контур:

Ток второго контура при этом также достигает другого максимального значения .

3. Настройка на индивидуальный резонансосуществляется путем изменения параметров реактивных элементов, входящих в оба контура так, чтобы обеспечить равенство нулю мнимой составляющей каждого из контуров при разомкнутом другом контуре:

При этом обеспечивается равенство нулю мнимых составляющих сопротивлений, вносимых в каждый из контуров: X1вн = X2вн = 0. Таким образом, при настройке на индивидуальный резонанс одновременно выполняются условия настройки на первый и второй частные резонансы.

Когда оба контура настроены , то , Z22=r22 и тогда модуль тока во втором контуре

Рассмотренные способы позволяют получить максимальное значение тока вторичного контура при некотором заданном значении сопротивления связи, однако не позволяют достигнуть наибольшего возможного (максимум максиморум) значения тока I2.

4. Наибольший практический интерес представляет настройка на полный резонанс, которая проводится в два этапа: на первом этапе связанные контуры настраиваются на индивидуальный резонанс, а затем выбирают оптимальное сопротивление связи между ними.

Наибольшее возможное значение будет иметь место при некотором значении сопротивления связи, которое называется оптимальным.

Приравняв нулю производную

найдем оптимальное сопротивление связи , тогда .

Когда оба контура настроены по отдельности, а затем достигнута оптимальная связь, говорят, что связанные контуры настроены в полный резонанс.

Если после настройки системы в полный резонанс усилить связь, то возрастут вносимые сопротивления. Теперь уже сопротивление , и во втором контуре не выделится наибольшая мощность. Однако можно вновь достичь выделения наибольшей мощности, если несколько расстроить вторичный контур. В этом случае возрастает реактивное сопротивление , что уменьшает вносимое активное сопротивление , и вновь можно добиться равенства , но уже при некоторых частотах, больших или меньших резонансной. Эти частоты называют частотами связи ( и ) (рис. 4.33).

При полном резонансе оптимальный коэффициент связи

где d1 и d2 – затухания контуров. Если связанные контуры имеют одинаковые параметры, то d1 = d2 и .

При одинаковых контурах оптимальный (критический) коэффициент связи численно равен затуханию любого из связанных контуров.

4.5. ОПЕРАТОРНЫЕ ФУНКЦИИ ЦЕПИ

Частотными функциями (характеристиками) цепи удобно пользоваться, когда входные сигналы являются гармоническими или представляются их суммой. В тех случаях, когда это не выполняется, удобнее пользоваться операторным представлением сигналов, а характеристики цепей представлять их операторными функциями.

Операторная функция цепи Н(р) есть отношение операторного представления отклика цепи к операторному представлению воздействия при нулевых начальных условиях

Операторную функцию цепи можно получить из комплексной частотной функции (характеристики), заменив мнимую частоту jw комплексной частотой p: Н(р) = Н(jω)|jω = p. При этом частотную функцию нельзя подвергать каким либо преобразованиям, при которых мнимые единицы j перемножаются или сокращаются.

Названия операторных функций аналогичны названиям частотных характеристик, например

– операторное сопротивление двухполюсника.

Для расчета операторной функций цепи необходимо от исходной схемы электрической цепи перейти к операторной схеме замещения, при этом сопротивление, емкость и индуктивность замещаются на операторные сопротивления, как показано на рис. 5.37.

R
С
ZR = R
Z(p)С =
Z(p)L = pL
L
Z(p)
I(p)
U(p)

Рис. 4.35 Рис. 4.36

В общем случае операторная функция, как и частотная, цепей с сосредоточенными параметрами представляется отношением двух полиномов

Корни числителя называются нулями операторной функции .

Корни знаменателя называются полюсами операторной функции. .

Нули и полюсы изображают точками на комплексной плоскости (рис. 5.21). Такой график называют картой нулей и полюсов. Свойства операторной функции оценивают по расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости.

1. В чем заключается различие между откликом и воздействием?

2. Дать определение входным, выходным и передаточным параметрам четырехполюсника.

3. Как определяется частотный коэффициент передачи линейной цепи?

4. Дать понятия о годографе.

5. В чем заключается сущность амплитудного и фазового резонанса?

6. Каков фазовый сдвиг между входными напряжением и током на резонансной частоте на входе последовательного колебательного контура?

7. Как изменится добротность последовательного колебательного контура при подключении резистора параллельно с конденсатором контура?

8. Как изменится добротность последовательного колебательного контура при подключении резистора последовательно с элементами контура?

9. В каком колебательном контуре (узкополосной или широкополосной цепи) медленнее затухают собственные колебания?

10. Как называются резонансы в последовательном и параллельном колебательных контурах?

Дата добавления: 2020-05-12 ; просмотров: 1112 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ

Нуль и единица — от Бога, все остальное — дело рук человеческих.

Леопольд Кронекер. Немецкий математик, XIX в.

Содержание: 10.1. Понятие аналитического сигнала. Комплексное представление вещественных сигналов. Аналитический сигнал. Спектральная плотность аналитического сигнала. 10.2. Примеры применения аналитических сигналов. Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Мгновенная частота. Огибающие модулированных сигналов. Анализ каузальных систем. Литература.

Аналитический сигнал – это один из способов комплексного представления сигнала, который применяется при анализе сигналов и систем их обработки. Он позволяет ввести в анализ понятия огибающей и мгновенной частоты сигнала.

10.1. Понятие аналитического сигнала [1,25].

Комплексное представление вещественных сигналов. При математическом анализе очень часто вместо вещественных сигналов с целью упрощения математического аппарата преобразований данных удобно использовать эквивалентное комплексное представление сигналов. Так, например, в теории электрических цепей вещественная запись синусоидального напряжения

u(t) = U o cos ( w o t+ j )

заменяется комплексной формой записи:

В общем случае, произвольный динамический сигнал s(t), заданный на определенном участке временной оси (как конечном, так и бесконечном) имеет комплексную двустороннюю спектральную плотность S( w ). При раздельном обратном преобразовании Фурье реальной и мнимой части спектра S( w ) сигнал s(t) разделяется на четную и нечетную составляющие, которые являются двусторонними относительно t = 0, и суммирование которых полностью восстанавливает исходный сигнал. На рис. 10.1.1 приведен пример сигнала (А), его комплексного спектра (В) и получения четной и нечетной части сигнала из реальной и мнимой части спектра (С).

Рис. 10.1.1. Сигнал, спектральная плотность сигнала, четная и нечетная составляющие.

Аналитический сигнал. Можно выполнить обратное преобразование Фурье и в другой форме — раздельно для положительных и отрицательных частот спектра:

s(t) = S( w )·exp(j w t) d w + S( w )·exp(j w t) d w. (10.1.1)

Информация в комплексном спектре сигнала является избыточной. В силу комплексной сопряженности полную информацию о сигнале s(t) содержит как левая (отрицательные частоты), так и правая (положительные частоты) часть спектра S( w ). Аналитическим сигналом , отображающим вещественный сигнал s(t), называют второй интеграл выражения (10.1.1), нормированный на p, т.е. обратное преобразование Фурье спектра сигнала s(t) по положительным частотам:

Дуальность свойств преобразования Фурье определяет, что аналитический сигнал z s (t), полученный из односторонней спектральной функции, всегда является комплексным и может быть представлен в виде:

z s (t) = Re z(t) + j·Im z(t).

Аналогичное преобразование первого интеграла выражения (10.1.1) дает сигнал z s *(t), комплексно сопряженный с сигналом z(t):

z s *(t) = Re z(t) — j·Im z(t),

что наглядно видно на рис. 10.1.2 при восстановлении сигналов по односторонним частям спектра, приведенного на рис. 10.1.1-В.

Рис. 10.1.2. Сигналы z(t) и z*(t).

При сложении функций z s (t) и z s *(t) с учетом нормировки в (10.1.2) только на 1/π, а не на 1/2π, как в (10.1.1), мы обязаны получить полный исходный сигнал s(t):

s(t) = [z s (t)+z s *(t)]/2 = Re z(t).

Отсюда следует, что реальная часть аналитического сигнала z s (t) равна самому сигналу s(t).

Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта. Оно позволяет производить определение любой части частотной характеристики каузальной функции, действительной или мнимой, путем свертки другой ее части с оператором Гильберта 1/ p f. Аналогично, мнимая часть аналитического сигнала z s (t) является аналитически сопряженной с его действительной частью Re z(t) = s(t) через преобразование Гильберта, и называется квадратурным дополнением сигнала s(t):

Im(z(t)) = = TH[s(t)] = s(t) * hb(t), (10.1.3)

z s (t) = s(t) + j Ч . (10.1.4)

где индексом обозначен сигнал, аналитически сопряженный с сигналом s(t), hb(t) – оператор Гильберта.

Таким образом, квадратурное дополнение сигнала s(t) представляет собой свертку сигнала s(t) с оператором 1/(πt) и может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами:

Аналитический сигнал зависит от действительного аргумента, является однозначным и дифференцируемым. На комплексной плоскости он отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются от аргумента, а проекция сигнала на вещественную ось для любого значения аргумента равна значению исходного сигнала s(t). Какой-либо новой информации аналитический сигнал не несет, так как получен линейным преобразованием из исходного сигнала и представляет собой его новую математическую модель.

Почему именно оператор Гильберта применяется для получения квадратурного дополнения сигнала? Какую физическую операцию он выполняет? Ответ на этот вопрос может быть получен при рассмотрении спектра аналитического сигнала.

Спектральная плотность аналитического сигнала , если он сформирован непосредственно во временной области, определяется обычным преобразованием Фурье:

Z s ( w ) = z s (t) exp(-j w t) dt.

Эта функция, с учетом определения аналитического сигнала по выражению (10.1.2), должна быть отлична от нуля только в области положительных частот, где ее значения (в силу нормировки на p , а не на 2 p ) должны быть равны удвоенным значениям спектральной плотности сигнала s(t):

С другой стороны, при непосредственном преобразовании Фурье левой и правой части формулы (10.1.4) аналитического сигнала z s (t), получаем:

Z s ( w ) = S( w ) + j . (10.1.6)

Данное выражение действительно для всей частотной оси (от — Ґ до + Ґ ) и должно быть равно выражению (10.1.5). А это означает, что левая часть спектра (отрицательные частоты w ) сигнала (10.1.6) должна быть обращена в ноль, аналогично формированию каузальной функции из ее четной и нечетной части. Это может быть выполнено следующим образом.

Если левые части спектра сигнала S( w ) умножить на -1, обнулить реальную часть на частоте w =0 и оставить без изменения правые части спектра, то будут получены функции, показанные пунктиром на рис. 10.1.3), которые дают нули в левой части спектра при сложении с исходной функцией S( w ) и увеличивают в 2 раза правые части спектра. Такая операция может быть выполнена умножением спектра S( w ) на сигнатурную функцию sgn( w ):

Однако при этом реальная часть новой функции sgn( w )·S( w ), как это можно видеть на рис. 10.1.3, становится нечетной, а мнимая часть четной, что не соответствует статусу спектральных функций. Для восстановления статуса полученный результат нужно дополнительно умножить на –j. Применяя для левой и правой части частотных аргументов индексирование соответственно w l и w r , можно записать подробные выражения для спектров:

S( w ) = Re S( w l ) + j·Im( w l ) + Re S( w r ) + j·Im( w r ),

= j · Re S( w l ) — Im( w l ) — j·Re S( w r ) + Im( w r ).

При умножении квадратурной функции на j (для выражения в (10.1.6)):

j· = -Re S( w l ) — j·Im( w l ) + Re S( w r ) + j·Im( w r ).


Отсюда нетрудно видеть результат:

Z s ( w ) = S( w ) + j = = 2·Re S( w r ) + j·2·Im( w r ) = 2·S( w r ),

что полностью соответствует выражению (10.1.5). В краткой форме:

= = -j Ч sgn( w ) Ч S( w ), (10.1.8)

Hb( w ) = -j Ч sgn( w ) = (10.1.9)

Таким образом, спектральная плотность аналитически сопряженного сигнала образуется из спектра S( w ) исходного сигнала s(t) умножением на функцию -j Ч sgn( w ). Это обеспечивает при суммировании S( w ) + j удвоение амплитуд частотных составляющих в области положительных частот и их взаимную компенсацию в области отрицательных частот.

Из выражения (10.1.8) в спектральной области непосредственно следует соответствующая связь функций s(t) и во временной области:

s(t) = — * hb(t). (10.1.11)

где hb(t) = TF[-j Ч sgn( w )] = 1/( p t) – обратное преобразование Фурье функции -j Ч sgn( w ).

Пример преобразования сигнала x(t) оператором Гильберта для формирования аналитического сигнала z x (t) = x(t) + j· приведен на рис. 10.1.4.

Частотную характеристику оператора Гильберта (10.1.9) можно записать и в следующем виде:

Hb( w ) = |Hb( w )| Ч exp(j j h ( w )), где |Hb( w )| = 1.

Hb( w ) = -j Ч sgn( w ) = , (10.1.12)

Если спектр функции x(t) также представить в форме

S( w ) = |S( w )| Ч exp(j j s ( w )),

то выражение (10.1.8) преобразуется к следующей форме:

= |S( w )| Ч exp(j j s ( w )) Ч exp(j j h ( w )) = |S( w )| Ч exp[j( j s ( w )+ j h ( w ))], (10.1.8′)

т.е. модуль |S( w )| — амплитудный спектр сигнала как результат преобразования Гильберта сигнала s(t), не изменяется и остается равным амплитудному спектру сигнала s(t). Фазовый спектр сигнала (начальные фазовые углы всех гармонических составляющих сигнала) сдвигается на -90 о при w > 0 и на 90 о при w p f o t), то имеем следующее преобразование Гильберта через частотную область:

(t) = TH[x(t)] Ы TF[TH[x(t)]] = -j sgn(f) Ч [ d (f+f o )+ d (f-f o )]/2.

(f) = -j Ч [- d (f+f o )+ d (f-f o )]/2 = j·[ d (f+f o )- d (f-f o )]/2.

Но последнее уравнение — спектр синусоиды. При обратном преобразовании Фурье:

(t) = TF -1 [ (f)] = sin(2 p f o t).

При x(t) = sin(2 p f o t) аналогичная операция дает (t) = -cos(2 p f o t). Знак минус демонстрирует отставание (запаздывание) выходного сигнала преобразования, как операции свертки, от входного сигнала. Для гармонических сигналов любой частоты с любой начальной фазой это запаздывание составляет четверть периода колебаний. На рис. 10.1.5 этот сдвиг на четверть периода для единичной гармонической составляющей (несущей частоты радиоимпульса) виден достаточно наглядно.

Таким образом, аналитический сигнал, по существу, представляет собой двух ортогональных сигналов, все гармонические составляющие которых сдвинуты по фазе на 90 0 друг относительно друга.

10.2. Примеры применения аналитических сигналов [1,2].

Огибающая и мгновенная фаза сигналов. Допустим, что имеем зарегистрированный радиоимпульсный сигнал x(t) с несущей частотой w o , который содержит определенную информацию, заключенную в огибающей сигнала u(t) и его фазе j (t):

x(t) = u(t) cos ( w o t+ j (t)). (10.2.1)

Требуется выделить информационные составляющие сигнала

Запишем выражение (10.2.1) в другой форме:

x(t) = a(t) Ч cos( w o t) + b(t) Ч sin( w o t), (10.2.2)

где функции a(t) и b(t) называются низкочастотными квадратурными составляющими сигнала x(t):

a(t) = u(t) cos j t, b(t) = u(t) sin j t.

u(t) = , tg j (t) = b(t)/a(t).

С использованием преобразования Гильберта из сигнала x(t) можно сформировать аналитически сопряженный сигнал (t). Математическую форму сигнала (t) получим из выражения (10.2.2) с учетом свойства модуляции преобразования Гильберта:

(t) = a(t) Ч sin( w о t) – b(t) Ч cos( w o t).

Квадрат модуля сигнала z(t):

|z(t)| 2 = x 2 (t)+ 2 (t) = a 2 (t)[cos 2 ( w o t)+sin 2 ( w o t)] + b 2 (t)[cos 2 ( w o t)+sin 2 ( w o t)] = u 2 (t).

Отсюда, огибающая u(t) и мгновенная фаза f (t) сигнала x(t):

f( t ) = w o t+ j (t) = arctg[ (t)/x(t)]. (10.2.4)

j( t ) = f( t ) — m o t.

Мгновенная частота сигнала определяется по скорости изменения мгновенной фазы:

Для амплитудно-модулированных сигналов с одной несущей частотой эти результаты достаточно очевидны (см. рис. 10.2.1). Но выражения (10.2.3-10.2.5), полученные из общих соображений, остаются действительными и для любых произвольных сигналов.

На рис. 10.2.2. представлен сигнал, сложенный двумя гармониками:

x(t) = a(t) Ч cos( w 1 t) + b(t) Ч cos( w 2 t).

Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:

(t) = a(t) Ч sin( w 1 t) + b(t) Ч sin( w 1 t).

Огибающая такого сигнала, как это можно видеть на рисунке 10.2.2, должна вычисляться по формуле (10.2.3). При этом для данного сигнала получаем:

что может существенно отличаться от функции .

Мгновенная фаза сигнала, график которой приведен на рис. 10.2.3, зависит от времени нелинейно :

Рис. 10.2.3. Рис. 10.2.4.

Мгновенная частота сигнала (рис. 10.2.4) также имеет нелинейную зависимость от времени, причем ее значения могут существенно превышать даже суммарное значение частот, составляющих сигнал:

Аналогичная методика определения огибающих, мгновенных значений фазы и частоты применяется и для анализа случайных процессов.

Огибающие модулированных сигналов . В качестве примера применения огибающих рассмотрим связь форм относительно узкополосных радиосигналов с формой модулирующих сообщений.

Амплитудная модуляция. Уравнение модулированного сигнала:

x(t) = U o Ч [1+m Ч s(t)] Ч cos w o t, s(t) Ј 1, m Ј 1

Квадратурное дополнение и аналитический сигнал:

(t) = U o Ч [1+m Ч s(t)] Ч sin w o t, z x (t) = x(t) + j (t).

Огибающая сигнала x(t):

u(t) = |z x (t)| = U o Ч [1+m Ч s(t)],

т.е. точно повторяет форму модулирующего сообщения (см. рис. 10.2.5)

Рис. 10.2.5. Амплитудная модуляция.

Балансная модуляция. Уравнение модулированного сигнала, приведенного на рис. 10.2.6:

x(t) = U o Ч s(t) Ч cos w o t,

Квадратурное дополнение, аналитический сигнал, огибающая сигнала x(t):

(t) = U o Ч s(t) Ч sin w o t, z x (t) = x(t) + j (t), u(t) = |z x (t)| = U o Ч |s(t)|.

Огибающая сигнала x(t) существенно отличается от модулирующего сообщения, но связана с ним простым соотношением.

Рис. 10.2.6. Балансная модуляция.

Анализ каузальных систем . Каузальная (физически осуществимая) линейная система задается односторонним импульсным откликом h(t), t і 0, и имеет частотную характеристику H(f):

Осуществим обратное преобразование Фурье для всех частей выражения раздельно:

x(t) = X(f) cos(2 p ft) df,

y(t) = Y(f) sin(2 p ft) df,

где x(t) и y(t) — четная и нечетная части функции h(t). Нечетная функция y(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией x(t):

y(t) = sgn(t) Ч x(t). (10.2.6)

Осуществляя обратное преобразование Фурье обеих частей равенства (10.2.6) при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn( t) Ы -j/( p f)), получаем:

TF[y(t)] = (-j/ p f) * X(f) = (-j/ p ) [ X(u)/(f-u) ] du.

Y(f) = (1/ p ) [ X(u)/(f-u) ] du = ТН[X(f)],

т.е. мнимая часть спектра импульсного отклика каузальной системы (и любой каузальной функции) является преобразованием Гильберта действительной части спектра. Соответственно, уравнение для определения действительной компоненты спектра по мнимой части:

X(f) = -ТН[Y(f)] = -(1/ p ) [ Y(u)/(f-u) ] dv.

1. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы : Учебник для вузов. — М. : Высшая школа, 1988.

2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.

25. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2003. – 608 с.

Понятие комплексной частоты

1.1 Частотные характеристики двухполюсников

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники включают набор резистивных и реактивных (индуктивных и емкостных) элементов, в которых протекают электрические токи под действием какого-либо одного внешнего источника энергии. Для описания физических явлений в таких цепях при воздействии на входных зажимах источника гармонических колебаний с фиксированной частотой =const используют метод комплексных амплитуд, который в свою очередь основывается на введении понятий комплексных сопротивлений или проводимостей отдельных элементов цепи — r , , , а также комплексных амплитуд токов и напряжений – , [1].

В общем случае у источника гармонических колебаний может изменяться не только амплитуда и начальная фаза, но и угловая частота — . Тогда комплексная характеристика источника (входного воздействия) записывается в виде функции мнимой комплексной переменной — ( ). Эту характеристику обычно записывают в показательной (полярной) форме и называют комплексной спектральной плотностью. Модуль этой характеристики называют спектральной плотностью, а аргумент — фазовой плотностью или фазочастотной характеристикой. Так для напряжения имеем:

где — спектральная плотность напряжения, — фазовая плотность напряжения.

Аналогично гармонический ток с переменной угловой частотой ω характеризуется своей комплексной спектральной плотностью:

В зависимости от вида входного воздействия (электрического сигнала) спектральные плотности могут иметь непрерывный или дискретный характер. В дальнейшем для краткости будем опускать написание зависимости от угловой частоты, полагая , , , .

В реальном двухполюснике или четырехполюснике комплексные плотности токов и напряжений связаны между собой соотношениями, зависящими как от внутренних свойств элементов цепи, так и от способа соединения ветвей. Подобного рода соотношения называются частотными характеристиками.

На рис.1.1а изображен двухполюсник, имеющий два входных зажима, к которым подсоединяется источник входного сигнала. Если к цепи присоединяется источник тока J( t), то входной ток i( t) = J( t), т.е. будет независимой функцией времени, а напряжение u( t) на входе определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение комплексов напряжения и тока.

Такое отношение называют комплексным входным сопротивлением

Из определения (1.1) следует, что Z( jω) в свою очередь включает две характеристики: — амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) и — фазочастотную характеристику (ФЧХ) функции входного сопротивления.

Рис. 1.1. Обобщенная комплексная схема замещения цепи:

а) двухполюсника; б) четырехполюсника

Если к цепи присоединяется источник напряжения e( t), то напряжение на двухполюснике u( t) = e( t), т.е. будет независимой функцией времени, a ток i( t) определится через свойства цепи как зависимая функция. При гармоническом характере входного сигнала определяют отношение тока к напряжению, которое называют комплексной входной проводимостью двухполюсника:

где Y(ω) и φ(ω) называют соответственно АЧХ и ФЧХ функции входной проводимости.

Функции Z( jω) и Y( jω) являются взаимно обратными функциями. В определении этих функций входят токи и напряжения, что дает возможность находить эти характеристики опытным путем, используя вольтметр, амперметр и прибор, измеряющий фазу гармонического колебания. Однако сами функции в силу линейности рассматриваемых цепей не зависят от величин токов и напряжений и могут быть определены непосредственно по структуре (топологии) цепи с учетом характера элементной базы ветвей. Для нахождения этих характеристик могут быть использованы все известные методы расчета цепей постоянного тока: законы Кирхгофа, простейшие преобразования, упрощающие схему и т.п. [1]. Исследование этих характеристик позволяет предсказать поведение цепи при различного рода воздействиях, о чем будет сказано далее.

Пример 1.1. Найти АЧХ и ФЧХ для функции входного сопротивления двухполюсника, образованного параллельным соединением резистивного и индуктивного элемента (рис.1.2а). Питание цепи осуществляется от источника синусоидального тока с любой частотой.

Рис. 1.2. Схема для исследования входного сопротивления двухполюсника:

а) исходная схема; б) комплексная схема замещения

Решение задачи начинаем с построения комплексной схемы замещения исходной цепи (рис. 1.2б), на входе которой действует комплексный спектр источника тока I( jω) = J( jω), в результате чего на двухполюснике будет иметь место комплексный спектр напряжения U( jω). Отношение их, определяемое выражением (1.1), может быть найдено непосредственно по структуре цепи путем объединения комплексных сопротивлений параллельно соединенных ветвей:

Сравнивая модули и аргументы, запишем АЧХ и ФЧХ

— АЧХ функции входного сопротивленияисследуемого выражения

φ(ω) = — ФЧХ функции входного сопротивления.

При построении графиков целесообразно перейти к относительной переменной Ω = ω L/ r, которая указывает во сколько раз сопротивление индуктивности на данной частоте больше резистивного сопротивления. Для

этой переменной полученные выше выражения перепишутся в виде

Графики найденных функций представлены на рис.1.3а и рис.1.3б в относительных масштабных единицах.

Рис. 1.3. Частотные характеристики функции входного сопротивления: а)АЧХ; б)ФЧХ

Портал ТОЭ

1.4 Комплексное представление гармонических сигналов

Во многих задачах анализа электрических цепей источники электрической энергии имеют переменное во времени напряжение (ток), изменяющееся, например, по гармоническому закону:

где A m – амплитуда колебаний;
ω – угловая частота, рад/с; ( ω = 2 πf = )
ψ – начальная фаза;
f – циклическая частота, Гц;
T – период колебаний, с;
– фаза в момент времени t .

Гармонические колебания характеризуются также интегральными параметрами:

  1. среднее значение за полупериод (среднее значение за период равно нулю) A ср = ∫ T∕ 2 a ( t ) dt = ≈ 0 , 638 A m ;
  2. действующее значение A = = ≈ 0 , 707 A m .

Физический смысл действующего значения тока: он равен такому постоянному току, который, проходя по активному сопротивлению, выделяет за время T то же количество теплоты, что и гармонический ток.

Расчёт цепи облегчается, если изобразить грамонические величины векторами на комплексной плоскости.

Известно, что каждая точка на комплексной плоскости определяется радиус-вектором этой точки, т.е. вектором, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке, соответствующей заданному комплексному числу.

Данное число можно записать в показательной форме (в полярной системе координат):

где A – модуль, ψ – аргумент (фаза);
( j = , в электротехнике i = не используется, т.к. этой буквой обозначается ток).

Применив формулу Эйлера, можно получить тригонометрическую форму записи:

Либо алгебраическую форму (в прямоугольных координатах):

Вектор, вращающийся в положительном направлении (против хода часовой стрелки) с угловой скоростью ω может быть выражен следующим образом:

где Ȧ m = A m e jψ – комплексная амплитуда, равная вектору в момент времени t = 0 .

Множитель e jωt – оператор вращения. Умножение комплексной амплитуды Ȧ m на e jωt означает поворот вектора Ȧ m на угол ( ωt ) в положительном направлении (против часовой стрелки).

Записывая комплексную функцию в тригонометрической форме заключаем, что функция A m sin ( ωt + ψ ) может быть рассмотрена как мнимая часть комплексной функции, взятая без множителя j , или , что тоже самое, как проекция вращающегося вектора на мнимую ось.

Комплексное действующее значение отличается от комплексной амплитуды в раз:

Если гармонические функции имеют одну и ту же частоту, то соответствующие этим функциям векторы вращаются с одинаковой скоростью, т.е. углы между ними сохраняются неизменными. На рисунке показаны две синусоидальные функции, фазовый сдвиг равен φ = ψ 1 − ( − ψ 2 ) = ψ 1 + ψ 2 .

При равенстве начальных фаз векторы направлены в одну и ту же сторону (совпадают по фазе).

Диаграмма, изображающая совокупность векторов на косплексной плоскости, которые представляют собой гармонически изменяющиеся функции, называется векторной диаграммой .

Векторное представление гармонических функций, частоты которых одинаковы, облегчает операции сложения и вычитания этих функций.

Сумме двух функций Ȧ 1 m и Ȧ 2 m соответствует вектор ( Ȧ 1 m + Ȧ 2 m ) .

Значительно упрощаются операции дифференцирования и интегрирования функций, представленных комплексными числами.

Операция дифференцирования гармонической функции заменяется умножением на jω её комплексного изображения.

Для производной n -го порядка

Операция интегрирования гармонической функции заменяется делением на jω её комплексного изображения.

Каждый электрик должен знать:  Как выбрать полотенцесушитель для ванной
Добавить комментарий