Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе

Поверхностный эффект в цилиндрическом проводе.

По цилиндрическому проводу радиусом а протекает синусоидальный ток / частотой о. Требуется вывести формулы для определения плотности тока б и напряженности Я в любой точке сечения провода. Полагаем обратный провод настолько далеко удаленным от прямого, что влияние обратного провода на поле в прямом проводе можно не учитывать. Решение проведем в цилиндрической системе координат (рис. 23.8). Плотность тока 5 направлена по оси г, поэтому 5 = i 8. Воспользуемся уравнениями (23.1) и (23.2), предварительно умножив последнее на у. Получим

Учтем, что div8 = 0. Поэтому V 2 6 = _/о)ура5.

Раскроем V 2 б в цилиндрической системе координат [см. формулу (19.30)] и учтем, что 6 от а и от г не зависит. Получим

Уравнение (23.33) является частным случаем уравнения Бесселя (15.4) при р = 0. Роль х выполняет qr, а роль у—б.

Каждый электрик должен знать:  Аналогово – цифровые преобразователи. Принцип действия

Как известно из курса математики, решение уравнения (23.33) можно записать следующим образом:

где А и В— постоянные интегрирования; J^iqr)—функция Бесселя нулевого порядка первого рода; N)— функция Бесселя нулевого порядка второго рода.

Функция N(qr) обладает той особенностью, что при qr = 0 (т. е. на оси провода при г = 0) она обращается в бесконечность. Но из физических соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и на оси провода. Поэтому слагаемое В N(qr) в решении отбрасываем (принимаем В = 0). Следовательно,

В соответствии с уравнением (23.31) и формулами (23.32) и (21.7)

где J(qr)— функция Бесселя первого рода первого порядка.

Определим постоянную интегрирования А. С этой целью по закону полного тока найдем Н на поверхности провода (при г = а) и приравняем его значению Я, которое получается из формулы (23.36):

Каждый электрик должен знать:  Самодельные солнечные батареи и их промышленные аналоги

Подставив найденное значение А в формулы (23.35) и (23.36), получим

С помощью этих формул можно определить комплекс плотности тока 5 и комплекс напряженности поля Н в любой точке сечения провода.

Радиус г может принимать значения от 0 до а. Для точки на оси провода г = 0; для точек на поверхности г = а. Так как У(0) = 1 (см. табл. 23.1), то на оси провода плотность тока

Сопоставление (23.40) с (23.38) дает

Из формулы (23.41) следует, что на поверхности провода плотность тока

Из предыдущего известно, что произведение qr есть комплексное число:

Бесселевы функции J(qr) и J, (qr) от комплексного аргумента qr тоже являются комплексами и могут быть представлены в показательной форме:

Каждый электрик должен знать:  Как выбрать аккумулятор для электронной сигареты советы, видео

где Л — модуль, а Р — аргумент функции J(qr) А, — модуль, ар, — аргумент функции Jx, А,, Р, Р, (Р и р, выражены в градусах) определяют по значению г -J® у ц, с помощью табл. 23.1. При ее составлении наличие множителя в составе аргумента qr уже учтено.

Таблица модулей и аргументов функций J0 (qr) и /j( 7 (Ом м)’ 1 ; ц, = 10 3 ) диаметром 6,04 мм течет синусоидальный ток /=100 А частотой 50 Гц. Определить плотность тока на поверхности и оси провода.

По формуле (23.40) определим плотность тока на оси провода: По формуле (23.42) на поверхности провода плотность тока

Добавить комментарий