Примеры действий над комплексными числами

Действия над комплексными числами

Над комплексными числами можно выполнять следующие действия:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление;
  • возведение комплексного числа в степень;
  • извлечение корня $n$—й степени из комплексного числа.

Операции сложения и вычитания выполняются для чисел, представленных в алгебраической форме.

Умножение, деление и возведение в степень выполняются для чисел, представленных в любой форме записи.

Извлечение корня выполняется для чисел, представленных в тригонометрической форме.

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

  • $a$ — вещественная (действительная) часть;
  • $b$ — мнимая часть.

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ называется тригонометрической формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt +b^ <2>> $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac $.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=r\cdot e^ $ называется показательной формой записи, где число $r$ — модуль комплексного числа $z$, определяемый по формуле $r=|z|=|a+bi|=\sqrt +b^ <2>> $, $\varphi $ — аргумент комплексного числа $z$, определяемый по формуле $\varphi =arctg\frac $.

При необходимости извлечения корня из комплексного числа, записанного в показательной форме, необходимо предварительно привести его к тригонометрической форме представления.

Сумма комплексных чисел

Суммой двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_ <1>+z_ <2>=(a_ <1>+b_ <1>i)+(a_ <2>+b_ <2>i)=(a_ <1>+a_ <2>)+(b_ <1>+b_ <2>)\cdot i.\]

Каждый электрик должен знать:  Светодиодные лампы стали тускло гореть и моргать - причина

Разность комплексных чисел

Разностью двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое определяется равенством \[z_ <1>-z_ <2>=(a_ <1>+b_ <1>i)-(a_ <2>+b_ <2>i)=(a_ <1>-a_ <2>)+(b_ <1>-b_ <2>)\cdot i.\]

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Выполнить действия: 1) $z_ <1>+z_ <2>$2) $z_ <1>-z_ <2>$ для заданных комплексных чисел $z_ <1>=2+4i$ и $z_ <2>=1-3i$.

1) По определению имеем: $z_ <1>+z_ <2>=(a_ <1>+a_ <2>)+(b_ <1>+b_ <2>)\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

2) По определению имеем: $z_ <1>-z_ <2>=(a_ <1>-a_ <2>)+(b_ <1>-b_ <2>)\cdot i$

Для исходных чисел получаем:

Произведение комплексных чисел

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=a_ <1>+b_ <1>i$ и $z_ <2>=a_ <2>+b_ <2>i$ является комплексное число, которое получается перемножением данных чисел по правилам алгебры с учетом того, что $i^ <2>=-1$.

Произведением двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=r_ <1>\cdot (\cos \varphi _ <1>+i\sin \varphi _ <1>)$ и $z_ <2>=r_ <2>\cdot (\cos \varphi _ <2>+i\sin \varphi _ <2>)$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_ <1>\cdot z_ <2>=r_ <1>\cdot r_ <2>\cdot [\cos (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)].\]

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в алгебраической форме:

Для исходных чисел, учитывая определение, получаем:

\[1\cdot 2+3\cdot 2i+1\cdot (-2i)+3i\cdot (-2i)=2+6i-2i-6i^ <2>=2+4i+6=8+4i\]

Выполнить умножение комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_ <1>=3\sqrt <3>\cdot (\cos \frac<\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<\pi > <2>)$ и $z_ <2>=2\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Каждый электрик должен знать:  ГОСТ 12.1.051-90 статус на 2020 год, скачать документ в PDF

1) По определению имеем: $z_ <1>\cdot z_ <2>=r_ <1>\cdot r_ <2>\cdot [\cos (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>+\varphi _ <2>)]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin \cdot z_ <2>=\left(3\sqrt <3>\cdot (\cos \frac<\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<\pi > <2>)\right)\cdot \left(2\cdot (\cos \pi +i \cdot \sin \pi )\right)=6\cdot \sqrt <3>\cdot \left[\cos \left(\frac<\pi > <2>+\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac<\pi > <2>+\pi \right)\right]=> \\ <=6\sqrt<3>\cdot \left(\cos \frac<3\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<3\pi > <2>\right)> \end\]

Частное комплексных чисел

Частным двух заданных комплексных чисел $z_ <1>=r_ <1>\cdot (\cos \varphi _ <1>+i\sin \varphi _ <1>)$ и $z_ <2>=r_ <2>\cdot (\cos \varphi _ <2>+i \sin \varphi _ <2>)$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z_ <1>\div z_ <2>=\frac > > \cdot [\cos (\varphi _ <1>-\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>-\varphi _ <2>)].\]

Чтобы выполнить операцию деления комплексных чисел, представленных в алгебраической форме, необходимо:

  • представить запись операции деления в виде дроби;
  • числитель и знаменатель дроби умножить на число сопряженное знаменателю;
  • привести полученное выражение к алгебраической записи.

Выполнить деление комплексных чисел, представленных в алгебраической форме:

Для исходных чисел получаем:

Выполнить деление комплексных чисел представленных в тригонометрической форме:

$z_ <1>=3\cdot \left(\cos \frac<2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2\pi > <3>\right)$ и $z_ <2>=2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )$.

По определению имеем: $z_ <1>\div z_ <2>=\frac > > \cdot [\cos (\varphi _ <1>-\varphi _ <2>)+i\sin (\varphi _ <1>-\varphi _ <2>)]$

Для исходных чисел получаем:

\[\begin <\frac> > =3\cdot \left(\cos \frac<2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<2\pi > <3>\right)\div \left(2\cdot (\cos 2\pi +i\cdot \sin 2\pi )\right)=\frac<3> <2>\cdot \left[\cos \left(\frac<2\pi > <3>-2\pi \right)+i\cdot \sin \left(\frac<2\pi > <3>-2\pi \right)\right]=> \\ <= \frac<3> <2>\cdot \left(\cos \left(-\frac<4\pi > <3>\right)+i\cdot \sin \left(-\frac<4\pi > <3>\right)\right)> \end\]

Каждый электрик должен знать:  При выключении света (бра) выбивает автомат - в чем причина

Степерь комплексного числа

Степенью порядка $n$ некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

\[z^ =r^ \cdot (\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).\]

Данная формула называется формулой Муавра.

Выполнить действие $z^ <3>$, где $z=3\cdot \left(\cos \frac<\pi > <4>+i\cdot \sin \frac<\pi > <4>\right)$.

По формуле Муавра получим:

\[z^ <3>=3^ <3>\cdot \left(\cos \left(3\cdot \frac<\pi > <4>\right)+i\cdot \sin \left(3\cdot \frac<\pi > <4>\right)\right)=27\cdot \left(\cos \frac <3\pi > <4>+i\cdot \sin \frac<3\pi > <4>\right).\]

Выполнить действие $z^ <100>$, где $z=1\cdot \left(\cos \frac<\pi > <2>+i\cdot \sin \frac<\pi > <2>\right)$.

По формуле Муавра получим:

\[z^ <100>=1^ <100>\cdot \left(\cos \left(100\cdot \frac<\pi > <2>\right)+i\cdot \sin \left(100\cdot \frac<\pi > <2>\right)\right)=1\cdot \left(\cos 50\pi +i\cdot \sin 50\pi \right)=1\cdot \left(\cos 0+i\cdot \sin 0\right).\]

Корень комплексного числа

Корнем $n$-й степени некоторого комплексного числа $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$ является комплексное число, которое определяется равенством

Выполнить действие $\sqrt[<3>] $, где $z=4\cdot (\cos \pi +i\cdot \sin \pi )$.

Для $k=0$ получаем: $w_ <1>=\sqrt[<3>] =\sqrt[<3>] <4>\cdot \left(\cos \frac<\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<\pi > <3>\right)$.

Для $k=1$ получаем: $w_ <2>=\sqrt[<3>] =\sqrt[<3>] <4>\cdot \left(\cos \frac<\pi +2\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<\pi +2\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <4>\cdot \left(\cos \pi +i\cdot \sin \pi \right)$.

Для $k=2$ получаем: $w_ <3>=\sqrt[<3>] =\sqrt[<3>] <4>\cdot \left(\cos \frac<\pi +4\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<\pi +4\pi > <3>\right)=\sqrt[<3>] <4>\cdot \left(\cos \frac<5\pi > <3>+i\cdot \sin \frac<5\pi > <3>\right)$.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Добавить комментарий