Примеры решения производных

Примеры решения задач с производными

Производная функции является основным понятием дифференциального исчисления. Она характеризует скорость изменения функции в указанной точке. Производная широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и другим наукам, в особенности при изучении скорости различного рода процессов. Именно поэтому мы собрали на сайте более 200 примеров решения производных и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления производных советуем изучить теоретический материал по теме: прочитать определения, правила дифференцирования, таблицу производных и другой материал по производным.

Каждый электрик должен знать:  Проектирование электрических сетей 0,38 и 10 кВ в сельской местности

Таблица производных и правила дифференцирования

Задание. Найти производную функции

Решение. Так как производная суммы равна сумме производных, то

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

Ответ.

Производные сложных функций

Задание.Найти производную функции

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции:

В свою очередь производная также берется по правилу дифференцирования сложной функции:

Ответ.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Задание. Вычислить приближенно , заменяя приращение функции ее дифференциалом.

Решение. Рассмотрим функцию . Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы:

Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что , то есть , .

Каждый электрик должен знать:  Категории надежности электроснабжения электроприемников

Вычислим значение функции в точке :

Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение :

Ответ.

Геометрический смысл производной

Задание. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке .

Решение. Из геометрического смысла производной получаем, что производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой , то есть

Найдем производную от заданной функции:

Тогда окончательно получим, что

Ответ.

Механический смысл производной

Задание. Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени ?

Решение. Найдем скорость точки как первую производную от перемещения:

В момент времени скорость равна

Ответ.

Уравнение касательной, нормали и угол между прямыми

Задание. Записать уравнение касательной к графику функции в точке

Каждый электрик должен знать:  Группы допуска по электробезопасности какие бывают и как получить

Решение. Найдем значение функции в заданной точке:

Найдем производную заданной функции по правилу дифференцирования произведения:

Вычислим её значение в заданной точке

запишем уравнение касательной:

Ответ. Уравнение касательной:

Производные высших порядков

Задание. Найти производную второго порядка от функции

Решение. Находим первую производную как производную сложной функции:

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель — — есть сложной функцией:

Ответ.

Механическое смысл второй производной

Задание. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид (м). Найти ускорение точки в момент времени c.

Решение. Ускорение заданной точки найдем, взяв вторую производную от перемещения по времени:

Добавить комментарий