Проектирование КИХ-фильтра по методу частотной дискретизации


СОДЕРЖАНИЕ:

Синтез цифровых фильтров. Синтез БИХ-фильтров. Синтез КИХ-фильтров , страница 3

Параметр a определяется, исходя из значений частот среза

Преобразование ФНЧ в ФВЧ

Преобразование ФНЧ в ППФ

Преобразование ФНЧ в РФ

1. Метод взвешивания (метод оконных функций).

ПФ нерекурсивного фильтра представляет собой полином. Для

В качестве критерия близости ЧХ ЦФ к желаемой ЧХ возьмем среднеквадратическую ошибку аппроксимации

Коэффициенты (3), стоящие в (1) являются отсчетами ИХ фильтра. Из-за усечения ряда (1) на ЧХ фильтра появляются гиббсовские осцилляции. Поэтому кроме усечения ряда Фурье, применяют умножение отсчетов ИХ на весовую последовательность (оконную функцию).

Эффект Гиббса. (Вас.44)

Его ИХ (коэффициенты РФ)

Нет абсолютной сходимости ИХ, поэтому фильтр неустойчив и, следовательно, физически нереализуем.

После усечения ИХ

Для уменьшения осцилляций усеченную ИХ умножают на дополнительную весовую последовательность («окно») конечной длины. Подбором окна можно существенно уменьшить осцилляции ИХ, но только за счет уменьшения крутизны вблизи частоты среза.

1. Прямоугольное окно.

2. Окно Бартлетта (треугольное)

3. Окно Хэнна (Ганна)

4. Окно Хэмминга

5. Окно Блэкмана

Другой способ борьбы с осцилляциями АЧХ – введение переходной полосы, где задается закон непрерывного изменения АЧХ, например, линейный, или отрезок синуса. Тогда величина осцилляций уменьшается с увеличением порядка фильтра.

Синтез КИХ-фильтров на основе численной оптимизации. Подбором коэффициентов КИХ-фильтра минимизируется взвешенная среднеквадратичная ошибка

или максимальная взвешенная погрешность

Весовая функция позволяет управлять значимостью ошибки в различных частотных диапазонах.

2. Метод частотной выборки.

Метод основан на построении ПФ, которая совпадает с желаемой ПФ в заданных точках на ед. окружности z-плоскости. Это означает, что в этих точках (узлах интерполяции) совпадут частотные характеристики указанных функций.

Интерполяционный полином Лагранжа (Вас. 270).

Пусть на z-плоскости заданы N несовпадающих точек , в которых известны значения ПФ . Можно построить полином, который принимает в этих точках заданные значения. Рассмотрим полином

Он полностью определяется значениями функции и положением узлов интерполяции . Перепишем это выражение следующим образом:

Вычислим , учтем, что в сумме (16) можно оставить только одно слагаемое

Разместим узлы интерполяции равномерно на единичной окружности

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1967
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 300
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 409
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 370
  • КрасГМУ 630
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 139
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 641
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 777
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 118
  • РГПУ им. Герцена 124
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 318
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 147
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 582
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1655
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1513
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Синтез с использованием окон(Метод взвешивания)

Данный метод предназначен для синтеза нерекурсивных фильтров. Идея его очень проста. Прежде всего находят желаемый комплексный коэффициент передачи в виде непрерывной функции, определенной в диапазоне частот от нуля до частоты Найквиста (если синтезируется вещественный фильтр) или до частоты дискретизации (если проектируется комплексный фильтр). Обратное преобразование Фурье этой характеристики, вычисленное с учетом ее периодического характера, даст бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики. Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается — из нее выбирается центральный фрагмент нужной длины, т.е импульсную характеристику этого БИХ-фильтра gбих (t) умножают на усредняющее окно g(t) и находят импульсную характеристику проектируемого КИХ-фильтра gких(t):

Из-за усечения первоначально заданная частотная характеристика искажается.

Умножению импульсных характеристик соответствует свертка частотных характеристик (ЧХ). Если мы хотим, чтобы характеристика, получаемая в результате свертки характеристик БИХ-фильтра и окна, как можно меньше отличалась от ЧХ БИХ-фильтра, то необходимо, чтобы ЧХ окна была по форме близка к δ-импульсу δ(f). Именно такие требования и предъявлялись к ЧХ усредняющих окон: мы считали, что окно тем лучше, чем уже основной лепесток ЧХ в районе нулевой частоты и чем меньше амплитуда боковых лепестков.

Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна. В результате появляются переходные полосы между областями пропускания и задерживания, наблюдаются колебания коэффициента передачи в полосах пропускания, а в полосах задерживания АЧХ приобретает лепестковый характер.

Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьшения уровня лепестков в полосах задерживания усеченная импульсная характеристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям.

В качестве исходных БИХ-фильтров, обладающих требуемыми частотными характеристиками, можно использовать идеальные фильтры. Амплитудно-частотные характеристики идеальных дискретных фильтров показаны на рис. 56. Вид приведенных на этом рисунке кривых определяется следующими обстоятельствами. Во-первых, у идеального фильтра равна нулю ширина переходной зоны между полосой пропускания и полосой заграждения, поэтому все АЧХ на рис. 56 имеют вид прямоугольных импульсов в частотной области. Во-вторых, у фильтров, имеющих вещественную импульсную характеристику, АЧХ обладает четной симметрией. И наконец, в-третьих, АЧХ дискретного фильтра периодически повторяется с периодом, равным частоте дискретизации. Два последних свойства обусловливают четную симметрию АЧХ в частотном промежутке 0— Fs относительно средней частоты Fs/2 .

Рис. 56. Амплитудно-частотные характеристики идеальных дискретных фильтров: нижних частот (а), верхних частот (б), полосно-пропускающего (в)

Импульсные характеристики, соответствующие идеальным БИХ-фильтрам, можно найти с помощью обратного преобразования Фурье. Периодическим частотным характеристикам, показанным на рис. 56, соответствуют дискретные импульсные характеристики. Для ФНЧ с частотой среза fс (рис. 56, а) импульсная характеристика имеет вид

Импульсная характеристика ФВЧ, полоса пропускания которого шириной fш располагается от Fs/2 — fш/2 до Fs/2 + fш/2 (рис. 56,6), имеет вид

т.е. центр полосы пропускания расположен на 0,5 Fs.

Наконец, для полосно-пропускающего фильтра (ППФ), у которого центральная частота полосы пропускания равна fц, а ширина этой полосы равна fш (рис. 56, в), импульсная характеристика описывается формулой

Рассмотрим два примера проектирования дискретных КИХ-фильтров: фильтра нижних частот и фильтра верхних частот.

Пусть проектируемый ФНЧ имеет частоту среза fc = 1 кГц. Выберем частоту дискретизации Fs равной 4 кГц. Импульсная характеристика идеального БИХ-фильтра для данного случая показана на рис. 57, а, а его ЧХ—на рис. 57,б. Для взвешивания импульсной характеристики используем окно с числом импульсов N, равным 16 (рис. 57,в), например окно Хана

Частотная характеристика, соответствующая этому окну, показана на рис. 57, г.

Рис. 57. Весовые функции идеального БИХ-фильтра нижних частот (а), усредняющего окна (в), синтезированного КИХ-фильтра (д) и соответствующие им АЧХ (б, г, е)

Далее нам нужно перемножить импульсные характеристики рис. 57, с и б; это будет соответствовать свертке ЧХ рис. 57, б и г. При операции свертки одна из частотных характеристик сдвигается по частоте относительно другой, затем они перемножаются и определяется интеграл этого произведения. Если принять во внимание эти действия, то тогда станет понятно, что ширина основного лепестка ЧХ окна определяет ширину переходной зоны между полосами пропускания и заграждения проектируемого фильтра, а уровень боковых лепестков ЧХ окна определяет пульсации ЧХ этого фильтра в полосе пропускания и в полосе заграждения.

В нашем случае импульсная характеристика исходного идеального БИХ-фильтра определяется по формуле (313) при подстановке в нее

где n — номер импульса (n изменяется от 0 до N —1).

Произведя операцию взвешивания с помощью окна, получим gких(n)=g бих(n)*g0(n). Полученная ВФ показана на рис. 57, д. АЧХ спроектированного фильтра может быть найдена с помощью ДПФ.

Эта АЧХ в данном случае имеет вид такой, как показано на рис. 57, е. В промежутке от f = 0 до f = 0,7 кГц отклонение АЧХ от единичного значения не превышает 0,24 дБ, а в промежутке f = 1,4 2,6 кГц АЧХ не превосходит значения — 50 дБ. Если требуется, чтобы АЧХ фильтра была более близка к оптимальной, этого можно достигнуть, увеличивая число импульсов ВФ N (в рассмотренном примере N = 16).

Спроектируем теперь ФВЧ с полосой пропускания выше частоты f = 1,5 кГц. Выберем, как и раньше, частоту дискретизации f2, равную 4 кГц. АЧХ идеального БИХ-фильтра для данного примера показана штриховой линией на рис. 58, с. Будем теперь использовать для взвешивания окно Хэмминга

Рис. 58. Частотная характеристика (а) и весовая функция (б) КИХ-фильтра верхних частот

При конструировании дискретного КИХ-фильтра верхних частот необходимо выбирать нечетное число импульсов ВФ N. Это объясняется тем обстоятельством, что при четном N значение АЧХ при f = f2/2 всегда равно нулю.

А в случае фильтра верхних частот при f = f2/2 мы должны получить значение приведенной АЧХ, равное единице (рис. 58,а). Используя формулы окна Хэмминга, (312), (314) и (316), для проектируемого фильтра получаем

Выберем N = 15. Эта весовая функция КИХ-фильтра показана на рис. 58, б, а соответствующая ей АЧХ представлена сплошной кривой на рис. 58, а. Эта АЧХ найдена с помощью ДПФ.

Однако величина боковых лепестков собственного спектра окна не совпадает с величиной лепестков АЧХ фильтра, синтезированного с применением данного окна.

Однако следует помнить о том, что уменьшение уровня боковых лепестков неизбежно приводит к расширению переходной зоны между полосами пропускания и задерживания. Поэтому выбирать весовую функцию следует исходя из требований, предъявляемых к параметрам фильтра.

Метод частотных выборок

Метод частотных выборок предполагает использование обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) для определения весовых коэффициентов КИХ-фильтра. ДПФ, как известно, позволяет найти равноотстоящие отсчеты спектра ограниченного по времени дискретизированного сигнала. Обратное ДПФ в свою очередь позволяет найти отсчеты сигнала, которые соответствуют заданным отсчетам спектра. Таким образом, мы можем взять желаемую частотную характеристику проектируемого КИХ-фильтра, найти равноотстоящие выборки этой характеристики и затем по ним найти отсчеты импульсной характеристики (весовые коэффициенты) фильтра. Так можно спроектировать фильтр, ЧХ которого гарантированно пройдет через заданные равноотстоящие точки. Однако между этими точками совпадение желаемой и реальной частотных характеристик не гарантируется.

Покажем на примерах, как производится проектирование дискретных КИХ-фильтров методом частотных выборок.

Спроектируем фильтр нижних частот, такой же, как был в примере при рассмотрении метода взвешивания (см. рис. 57, т.е. Fs=4кГц). Желаемая идеальная АЧХ проектируемого фильтра показана штриховой линией на рис. 59, а. Пусть проектируемый КИХ-фильтр будет иметь импульсную характеристику, состоящую из 16, импульсов (N=16).

На идеальной ЧХ, показанной на рис. 59, а, берем выборки, соответствующие частотам , где fs — частота дискретизации. В нашем случае fs = 4 кГц и выборки ЧХ будут иметь значения GД(0)-…- GД(7)= 1; 1; 1; 1; 0,5; 0; 0; 0. Так как ЧХ обладает симметрией относительно , то достаточно взять только N/2=8 выборок.

Следует обратить внимание на то, что выборка, соответствующая частоте f=l кГц (k = 4), попадает на вертикальный спад АЧХ и поэтому мы берем значение GД(4) равным 0,5, т. е. полусумме значений ЧХ при подходе слева в справа к данной частоте.

Далее нужно воспользоваться формулой обратного ДПФ для того, чтобы во частотным выборкам G(k) найти отсчеты импульсной характеристики g(n). Здесь подходит любая из двух формул (105) или (109). Этя формулы были выведены в § 14 применительно к ДПФ симметричных сигналов. Импульсные же характеристики проектируемых КИХ-фильтров как раз и представляют собой четно-симметричные функции времени. Отметим, что если бы мы решили проектировать КИХ-фильтр нижних частот с нечетным числом импульсов N, то тогда нужно было бы применять одну из формул (107) или (111).

Рис. 59. Графики, поясняющие метод синтеза КИХ-фильтров, основанный на применении частотных выборок

Применим в нашем случае формулу (105). Тогда

и мы получим g(0)…g(7) = -0,070; -0,215; 0,378; 0,580; -0,862; -1,323; 2,331; 7,179 (рис. 59,6).

Частотная характеристика, соответствующая этой весовой функции; найденная по формуле (251), показана сплошной линией на рис. 59, а. Эта линия проходит через точки на идеальной частотной характеристике, которые мы использовали в качестве частотных выборок. В промежутках между этими точками ход реальной ЧХ описывается формулой (322).

Спроектируем теперь методом частотных выборок КИХ-фильтр верхних частот с полосой пропускания от 1,5 кГц до fs/2 = 2 кГц. В качестве исходной берем идеальную частотную характеристику, показанную штриховой линией на рис. 59, в. Выберем f1=fs/16. Тогда отсчеты идеальной ЧХ равны следующим значениям: G(0) = . = G(5)==0; G(6) =… = G(10)=0,5; G(7)=G(8)=G(9)=1. Для нахождения весовых коэффициентов КИХ-фильтра можно воспользоваться формулами обратного дискретного преобразования Фурье (107) или (111). Именно для этих вариантов ДПФ обеспечивается четная симметрия отсчетов ЧХ относительно частоты f2/2, что и требуется в случае фильтра верхних частот.

Выберем Т2= Т1/(N-1) и соответственно этому применим формулу (111). Тогда при N=17 и учитывая значения частотных выборок, получим соотношение

По этому соотношению находим g(0)…g(8) = 0; 0,141; -0,414; 0,473; 0; -1,058; 2,414; -3,555; 4 (рис. 59,г). Найденная по формуле (252) ЧХ для этого фильтра имеет вид, показанный на рис. 59, в сплошной линией. Как и в предыдущем примере, эта ЧХ проходит через точки, соответствующие использованным в расчете выборкам идеальной ЧХ, а в промежутках между этими точками ход ЧХ описывается формулой (322).

Проектирование фильтра

Итак, как было сказано выше, проектирование нашего фильтра будет осуществляться методом взвешивания импульсной характеристики при помощи соответствующей взвешивающей функции. Данный этап проектирования можно разбить на три подэтапа:

  • 1. Задание характеристик идеального фильтра нижних частот (ФНЧ) с теми характеристиками, которые были определены в исходных требованиях.
  • 2. Выбор и задача взвешивающей функции (окна) определённой ширины.
  • 3. Получение взвешенной импульсной характеристики требуемого фильтра, определение его частотной характеристики и передаточной функции.

Далее подробно рассматриваются вышеуказанные подэтапы.

Проектирование требуемого цифрового фильтра осуществляется в среде MathCAD 2000.

Получение цифрового КИХ-фильтра нижних частот с заданными характеристиками.

Теперь получим взвешенную импульсную характеристику требуемого фильтра, для чего перемножим импульсную характеристику идеального ФНЧ с окном Кайзера:

Так как наш фильтр, естественно, должен быть каузальным, то полученную импульсную характеристику нужно сдвинуть так, чтобы она была равна нулю при значениях аргумента меньших нуля, то есть фильтр не должен выдавать реакцию на входной сигнал, если он ещё не поступил на вход фильтра.

График импульсной характеристики для физически реализуемого фильтра

Теперь определим частотную характеристику фильтра, и посмотрим, обеспечивается ли нужная амплитудно-частотная характеристика, и удовлетворяет ли она исходным требованиям.

График АЧХ спроектированного КИХ-фильтра нижних частот

Из графика видно, что нужная амплитудно-частотная характеристика у спроектированного фильтра обеспечивается, и что частота F = 500 Герц является частотой среза, как и задано в исходных требованиях.

Окончанием проектирования фильтра можно считать получение его уравнения. Получим же уравнение нашего спроектированного фильтра:

Уравнение спроектированного КИХ-фильтра нижних частот имеет вид:

где коэффициенты фильтра — это есть значения взвешенной импульсной характеристики .

Порядок нашего фильтра равен 256, а это значит, что в вышеуказанном уравнении будет 256 слагаемых с таким же количеством коэффициентов-значений импульсной характеристики полученного фильтра. Определение данного уравнения сводится к определению коэффициентов. Поэтому выведем список данных коэффициентов, начиная с нулевого:

Список всех коэффициентов фильтра

Последующие значения взвешенной импульсной характеристики будут равны нулю, и, значит на самом деле, уравнение полученного фильтра будет ограничиваться первыми восьмидесятью значениями (хотя порядок фильтра равен 256), среди которых также встречаются нулевые. Такое ограничение уравнения обуславливается выбором ширины окна Кайзера M=80.

Фильтр спроектирован. Но нужно реализовать его, проверить его работу. Рассмотрим реализацию фильтра путём подачи на его вход тестового сигнала. Порядок нашего фильтра равен 256, а это значит, как уже отмечалось выше в анализе исходных требований, что данный фильтр должен реализовываться не путём дискретной свёртки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра, а путём использования вычисления свёртки в частотной области с помощью алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), что увеличит быстродействие нашего цифрового КИХ-фильтра нижних частот примерно в 4 раза. Итак, рассмотрим реализацию фильтра, которая будет представлять собой свёртку в частотной области:

График входного тестового сигнала s1 (n)

Другие два тестовых сигнала имеют аналогичный вид.

Мы дополнили входной сигнал и импульсную характеристику фильтра нулями до L, так как длина их свёртки во временной области будет равна L.

График сигнала sv1 (n) на выходе фильтра при входном сигнале s1 (n), частота которого соответствует полосе пропускания фильтра

График сигнала sv2 (n) на выходе фильтра при входном сигнале s2 (n), частота которого соответствует переходной полосе фильтра

График сигнала sv3 (n) на выходе фильтра при входном сигнале s3 (n), частота которого соответствует полосе задерживания фильтра

Как видно из графиков выходных сигналов (Рис. 13,14,15), наш фильтр без изменений пропустил сигнал s1 (n), частота которого 200 герц входит в полосу пропускания фильтра, с довольно большим послаблением пропустил сигнал s2 (n), частота которого 525 герц входит в переходную полосу фильтра, и практически не пропустил сигнал s3 (n), частота которого 800 герц входит в полосу задерживания фильтра. В данном примере мы использовали для наглядности три гармонических сигнала, частоты которых входят в полосу пропускания, переходную полосу и полосу задерживания соответственно. На самом же деле, в практике, фильтр будет оперировать с сигналами, у которых много гармоник с различными частотами. В этом случае фильтр будет работать с входным сигналом точно также как в рассмотренном выше примере — будет пропускать без искажения низкочастотные гармоники сигнала, с ослабление будет пропускать те гармоники сигнала, частота которых входит в переходную полосу фильтра, и практически не будет пропускать высокочастотные гармоники сигнала. Задержка выходного сигнала по времени относительно входного сигнала обуславливается линейной фазовой характеристикой нашего фильтра, данная задержка пропорциональна частоте.

Моделирование цифровой обработки сигналов в MATLAB. Часть 1. Синтез оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров программными средствами MATLAB

Солонина Алла

Современные тенденции в различных областях науки и техники в значительной мере связаны с разработкой цифровой аппаратуры и программного продукта, и это радикально меняет характер работы инженеров и научных работников: она все больше сводится к компьютерному моделированию. Особенностью устройств цифровой обработки сигналов (ЦОС) является то, что программные части данных устройств создаются непосредственно в процессе компьютерного моделирования, поэтому овладение его современными технологиями выдвигается на первый план. К таким технологиям, безусловно, относится получившая широкое распространение в мире система (программная среда) MATLAB, созданная компанией The Math Works, Inc.

Предлагаемый читателю цикл статей охватывает базовые методы и алгоритмы ЦОС, инвариантные относительно физической природы сигналов и составляющие ядро фундаментальной теории ЦОС. Термин «базовые» означает, что данные методы и алгоритмы используются в приложениях ЦОС непосредственно или являются основой (базой) для разработки более сложных методов и алгоритмов.

При изложении материала предполагается, что читатель знаком с основами теории ЦОС и основами работы вMATLAB. Для начинающих рекомендуемая литература прилагается.

Проектирование цифровых фильтров

Цифровой фильтр (ЦФ) представляет собой линейную дискретную систему, выполняющую преобразование входной последовательности в выходную по алгоритму, описываемому разностным уравнением. Этот алгоритм отображает заданная структура (структура ЦФ), реализованная аппаратно или программно.

В зависимости от того, являются ли параметры ЦФ неизменными или меняющимися во времени, он будет стационарным или адаптивным. По умолчанию речь пойдет о стационарных ЦФ.

Проектирование ЦФ производят в четыре этапа:

  1. Синтез ЦФ на базе ЛДС, включающий следующие основные шаги:
    1. Выбор типа ЦФ. Двум типам ЛДС — нерекурсивной (КИХ) и рекурсивной (БИХ) — соответствуют два типа ЦФ:
      – КИХ-фильтры (FIR filters);
      – БИХ-фильтры (IIR filters).
    2. Задание требований к характеристикам ЦФ. Требования к характеристикам ЦФ зависят от его типа (КИХ или БИХ) и назначения (частотно-избирательный, преобразователь Гильберта и т. д.). По умолчанию подразумевают частотно-избирательные ЦФ.
    3. Выбор метода синтеза.
    4. Расчет коэффициентов передаточной функции ЦФ.
  2. Выбор структуры ЦФ.
  3. Моделирование структуры ЦФ с учетом эффектов квантования.
  4. Реализация структуры ЦФ.

Структура ЦФ (алгоритм вычисления реакции) преимущественно реализуется программно на базе цифровых процессоров обработки сигналов (ЦПОС) или ПЛИС, поэтому данный этап включает также отладку программной части ЦФ соответствующими аппаратными средствами.

В MATLAB имеются десятки функций, предназначенных для проектирования ЦФ, основная часть которых сосредоточена в пакетах расширения Signal Processing Toolbox, Filter Design Toolbox и Fixed Point Toolbox. На базе этих функций разработаны стандартные программы GUI FDATool и SPTool.

Следует, однако, понимать, что круг задач, решаемых с помощью GUI, ограничен, и для моделирования сложных систем ЦОС необходимо овладеть программными средствами проектирования ЦФ. Кроме того, знакомство с функциями MATLAB обеспечит более глубокое понимание организации GUI.

В этой статье рассмотрен первый этап проектирования для оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров.

Свойства КИХ-фильтров

КИХ-фильтр (фильтр с конечной импульсной характеристикой) описывает следующая передаточная функция:

Следовательно, для КИХ-фильтров расчет коэффициентов передаточной функции сводится к расчету импульсной характеристики.

Длиной и порядком КИХ-фильтра называют соответственно число коэффициентов N и порядок R передаточной функции (1), где:

Сложность КИХ-фильтра определяется его длиной N (порядком R). КИХ-фильтры характеризуются следующими особенностями:

  • возможностью обеспечить строго линейную ФЧХ (с точностью до скачков на π);
  • устойчивостью по определению.

Линейная (с точностью до скачков на π 1 ) ФЧХ (ЛФЧХ) КИХ-фильтра обеспечивается в том и только том случае, если для его ИХ h(n) выполняется одно из двух условий:
симметрии:

По признакам симметрии/антисимметрии ИХ h(n) и нечетности/четности длины N различают четыре типа КИХ-фильтров с линейной ФЧХ (ЛФЧХ), представленные в таблице 1. При синтезе КИХ-фильтров следует быть внимательным к его избирательности (последний столбец таблицы 1).

Таблица 1. Четыре типа КИХ-фильтров с ЛФЧХ

Тип КИХ-фильтра ЛФЧХ (с точностью до скачков на π) ЦФ
Тип 1 (Type-1):
длина N — нечетная;
порядок R — четный;
h(n) — симметричная
φ( ) = –( R)/2 ФНЧ,
ФВЧ,
ПФ, РФ
Тип 2 (Type-2):
длина N — четная;
порядок R — нечетный;
h(n) — симметричная
φ( ) = –( R)/2 ФНЧ,
ПФ
Тип 3 (Type-3):
длина N — нечетная;
порядок R — четный;
h(n) — антисимметричная,
h(R/2)=0
φ( ) = (π/2)–(( R)/2 ПФ
ЦПГ
ЦД
Тип 4 (Type-4):
длина N — четная;
порядок R — нечетный;
h(n) — антисимметричная
φ( ) = (π/2)–(( R)/2) ФВЧ, ПФ
ЦПГ
ЦД

Помимо частотно-избирательных, в таблицу 1 включены два специальных КИХ-фильтра — цифровой преобразователь Гильберта (ЦПГ) и цифровой дифференциатор (ЦД), с проектированием которых можно познакомиться в [5].

Задание требований к частотным характеристикам КИХ-фильтров

Методы синтеза частотно-избирательных КИХ-фильтров изначально предполагают ЛФЧХ (с точностью до скачков на π), поэтому требования задаются только к АЧХ в основной полосе частот [0; fД/2] и включают в себя 2 :

  • частоту дискретизации fД;
  • граничные частоты полос пропускания (ПП) и полос задерживания (ПЗ), для которых введены условные обозначения:
  • fχ — граничная частота ПП для ФНЧ и ФВЧ;
  • fk — граничная частота ПЗ для ФНЧ и ФВЧ;
  • f–χ, fχ — левая и правая граничные частоты ПП для ПФ и РФ;
  • f–k, fk — левая и правая граничные частоты ПЗ для ПФ и РФ;
  • максимально допустимые отклонения АЧХ Â(f ), для которых введены условные обозначения:
  • δ1 — от единицы в ПП;
  • δ2 — от нуля в ПЗ.

При синтезе КИХ-фильтров вMATLAB дополнительно задается вектор значений идеальной АЧХ: единица — в ПП и ноль— в ПЗ.

На рис. 1 приведен пример идеальной АЧХ и требований к АЧХ для ФНЧ.

Рис. 1. а) Идеальная АЧХ; б) требования к АЧХ для ФНЧ

Требования могут задаваться к АЧХ в децибелах — к характеристике ослабления:

или к характеристике затухания:

В MATLAB требования задаются к характеристике затухания (6).

В требованиях к характеристике затухания (6) вместо значений δ1 и δ2 задаются:

  • amax [дБ] — максимально допустимое затухание в ПП;
  • amin [дБ] — минимально допустимое затухание в ПЗ.

Взаимосвязь между значениями δ1, δ2 и amax, amin соответственно устанавливается формулами:

Пример 1

Для ФНЧ заданы значения δ1 = 0,05 и δ2 = 0,01 (d1 и d2). Необходимо рассчитать значения amax и amin (amax и amin) по формулам (7, 8):

>> d1=0.05; amax=-20.*log10(1-d1)
amax =
0.4455
>> d2=0.01; amin=-20.*log10(d2)
amin =
40

Синтез КИХ-фильтров методом наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации

Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации поясним после знакомства с терминологией и обозначениями (табл. 2).

Таблица 2. Термины чебышевской аппроксимации

Обозначение Наименование Смысл
Ω Интервал аппроксимации Совокупность ПП и ПЗ в основной полосе частот
ξ( ) Идеальная АЧХ Аппроксимируемая функция — непрерывная функция на интервале Ω:
единица — в ПП,
ноль — в ПЗ с линейной интерполяцией в переходных полосах
B( , ) Тригонометрический полином Аппроксимирующая функция — тригонометрический полином порядка M
с вектором неизвестных коэффициентов — амплитудная функция
КИХ-фильтра с ЛФЧХ
α Веса Веса (весовые коэффициенты) в ПП и ПЗ на интервале Ω — вектор
|δ( )| Модуль взвешенной ошибки
аппроксимации
Модуль взвешенной ошибки аппроксимации на интервале Ω:
|δ( )| = α|B( , )–ξ( )|
δmax Максимум модуля взвешенной ошибки
аппроксимации
Максимальное значение |δ( )| на интервале Ω:
δmax = max|δ( )| = αmax|B( , )–ξ( )|
δmin max Минимум максимума модуля взвешенной
ошибки аппроксимации
Минимальное значение δmax на интервале Ω для тригонометрического полинома
наилучшего приближения B( , ) по критерию Чебышева 3 :
αmax|B( , )–ξ( )| = min ,
вектор коэффициентов которого находится в результате решения
оптимизационной задачи

Используя приведенную в таблице 2 терминологию, поясним суть метода чебышевской аппроксимации в приложении к синтезу оптимальных (по Чебышеву) КИХ-фильтров:

    АЧХ КИХ-фильтра A( ) связана с его амплитудной функцией (тригонометрическим полиномом B( , )) соотношением:

При этом вектор коэффициентов связан линейно с импульсной характеристикой h(n), а порядок полинома M — линейно с порядком R передаточной функции. Следовательно, расчет ИХ h(n) КИХ-фильтра методом чебышевской аппроксимации сводится к расчету вектора коэффициентов .

  • Согласно теореме Чебышева, существует единственный полином B( , ) наилучшего равномерного приближения (единственный вектор ) функции ξ( ) на интервале Ω заданного порядка M, обеспечивающий δmin max.
  • Наоборот, существует единственный полином B( , ) наилучшего равномерного приближения (единственный вектор ) функции ξ( ) на интервале Ω при заданном значении δmin max обеспечивающий минимальный порядок полинома Mmin. Следовательно, при заданных требованиях к АЧХ, полагая:

    можно синтезировать КИХ-фильтр минимального порядка — оптимальный (по Чебышеву) КИХ-фильтр. Во избежание путаницы с порядком полинома Rmin, при котором требования к АЧХ также выполняются (но с другими векторами ), введем обозначение Ropt, где: Ropt 4 .

  • Для того чтобы обеспечить одинаковое значение δmin max на интервале Ω при различных заданных максимально допустимых отклонениях АЧХ δ1 и δ2, соответственно в ПП и ПЗ, вводят веса (весовые коэффициенты), рассчитываемые следующим образом:
    – вес, равный единице, присваивается полосе с наибольшим максимально допустимым отклонением;
    – веса в остальных полосах рассчитываются как отношение наибольшего максимально допустимого отклонения к максимально допустимому отклонению в данной полосе.
  • Поэтому веса — всегда числа, большие единицы.

    Процедура синтеза КИХ-фильтра

    Процедура синтеза КИХ-фильтров методом чебышевской аппроксимации включает в себя:

    1. Задание требований к АЧХ.
    2. Оценку порядка фильтра R. Оценку порядка фильтра R производят по эмпирическим формулам на основании требований к АЧХ.
    3. Расчет импульсной характеристики фильтра h(n) в (1).

    Импульсную характеристику рассчитывают по алгоритму Паркса-Мак-Клиллена, разработанному на основе метода аппроксимации Чебышева и обменного алгоритма Ремеза.

    ИХ может быть как симметричной, так и антисимметричной, поэтому необходимо следить за тем, на основе какого из четырех типов КИХ-фильтров может синтезироваться фильтр требуемой избирательности (табл. 1).

  • Проверку выполнения требований к АЧХ.
  • В методе чебышевской аппроксимации проверка выполнения требований заключается в сравнении максимального по модулю отклонения АЧХ от идеальной с δmin max (9). Требования выполняются, если максимальное по модулю отклонение АЧХ не превосходит δmin max.

    Возможны две ситуации.

    • Требования не выполняются. В этом случае следует увеличить порядок R и вернуться к пп. 3–4. Процедуру повторять до тех пор, пока не будет найден минимальный порядок Ropt = Rmin, при котором выполняются требования к АЧХ.
    • Требования выполняются.

    В этом случае следует уменьшить порядок R и вернуться к пп. 3–4.

    Процедуру повторять до тех пор, пока не будет найден минимальный порядок Ropt = Rmin, при котором выполняются требования к АЧХ.

    В обоих случаях порядок Ropt принципиально может выбираться среди всех четырех типов КИХ-фильтров, возможных для заданного типа избирательности.

    Таким образом, процедура синтеза КИХ-фильтра методом чебышевской аппроксимации является итерационной.

    Синтез КИХ-фильтров методом чебышевской аппроксимации можно выполнить с помощью функции:

    [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight,ftype,)

    где

    • R — порядок фильтра R (2);
    • f0 — вектор-столбец нормированных частот f = f/(fд/2), в основной полосе частот [0;1], включающий: левую границу основной полосы частот f0 = 0; граничные частоты ПП и ПЗ в порядке их следования слева направо; правую границу основной полосы f0 = 1;
    • m0 — вектор-столбец значений идеальной АЧХ на частотах вектора f0; длины векторов m0 и f0 совпадают;
    • weight — вектор-столбец весов в ПП и ПЗ в порядке следования слева направо;
    • ftype — параметр, указывающий тип КИХ-фильтра и принимающий значения (табл. 1):
      ‘hilbert’ — для 3-го и 4-го типов и цифровых преобразователей Гильберта;
      ‘differentiator’ — для 3-го и 4-го типов и цифровых дифференциаторов;
    • по умолчанию (если значение параметра не задано явно) — для 1-го и 2-го типов;
    • lgr > – opt.fgrid — сетка нормированных частот (вектор) на интервале аппроксимации Ω (совокупности ПП и ПЗ) в шкале нормированных частот f; правая граница основной полосы частот, равная единице, не выводится;
      opt.H — вектор значений комплексной частотной характеристики на сетке частот opt.fgrid;
      opt.error — вектор отклонений АЧХ от идеальной на сетке частот opt.fgrid;
      opt.des — вектор значений идеальной АЧХ на сетке частот opt.fgrid;
      opt.wt — вектор весов на сетке частот opt.fgrid;
      opt.iextr — вектор номеров элементов вектора opt.fgrid, соответствующих частотам альтернанса;
      opt.fextr — вектор нормированных частот альтернанса;
      error — максимальное отклонение АЧХ от идеальной на интервале Ω; error=max(abs(opt.error)).

    Оценку порядка R КИХ-фильтра для функции firpm, а также вычисление параметров f0, m0, weight производят по требованиям к АЧХ с помощью функции:

    [R,f0,m0,weight]=firpmord(f,m,ripple,Fs)

    Здесь f — вектор граничных абсолютных частот (Гц) в порядке их следования слева направо; m— вектор значений идеальной АЧХ в порядке их следования слева направо; соблюдается условие length(f)=2*length(m)-2; ripple — вектор максимально допустимых отклонений АЧХ в порядке их следования слева направо; Fs — частота дискретизации fд (Гц).

    Остальные параметры были определены ранее для функции firpm.

    Приведем примеры синтеза оптимальных КИХ-фильтров ФНЧ и ПФ с помощью функции firpm.

    Пример 2

    Заданы требования к АЧХ ФНЧ (рис. 1, табл. 3).

    Таблица 3. Требования к АЧХ ФНЧ

    Частоты (Гц)
    и их обозначения в MATLAB
    Максимально допустимые
    отклонения АЧХ
    и их обозначения в MATLAB
    Частота
    дискретизации
    fд
    Fs
    8000
    Граничная
    частота ПП
    fχ
    ft
    1000 В полосе
    пропускания (ПП)
    δ1
    d1
    0,05
    Граничная
    частота ПЗ
    fk
    fk
    1500 В полосе
    задерживания (ПЗ)
    δ2
    d2
    0,01

    Синтезировать КИХ-фильтр методом чебышевской аппроксимации можно с помощью функции firpm:

    >> Fs=8000;
    >> ft=1000;
    >> m=[1 0];
    >> d1=0.05;
    fk=1500;

    d2=0.01;

    f=[ft fk];

    ripple=[d1 d2];

    >> [R,f0,m0,weight]=firpmord(f,m,ripple,Fs);
    >> [R weight’]
    ans =
    23 1 5
    >> [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight);

    В MATLAB при синтезе КИХ-фильтров с помощью функции firpm порядок фильтра R определяется с точностью до ±2, и для его уточнения необходима проверка выполнения требований к АЧХ.

    Проверим выполнение требований к АЧХ. Выведем значение error:

    >> error
    error =
    0.0675

    Сравнивая error с δmin max (9), в данном случае с δ1 = d1 = 0,05, видим, что требования не выполняются. Следует увеличить порядок R. ФНЧ можно синтезировать на базе КИХ- фильтров 1-го и 2-го типов (табл. 1), поэтому порядок R может быть как четным, так и нечетным:

    >> R=R+1;
    >> [R error]
    ans =
    [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight);
    24.0000 0.0553

    Требования не выполняются. Выполним еще одну итерацию:

    >> R=R+1;
    >> [R error]
    ans =
    [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight);
    25.0000 0.0435

    Требования к АЧХ выполняются. Синтезирован оптимальный ФНЧ с ЛФЧХ порядка Ropt = 25 на базе КИХ-фильтра 2-го типа.

    Для построения графиков ИХ, АЧХ и ФЧХ КИХ-фильтра можно создать внешнюю функцию plot_fir 5 :

    function plot_fir(R,b,Fs)
    % Построение графиков характеристик КИХ-фильтра
    % R— порядок КИХ-фильтра
    % b— вектор коэффициентов передаточной функции
    % a=[1] — коэффициент знаменателя передаточной функции
    % Fs — частота дискретизации (Гц)
    a=[1]; n=0:R;
    subplot(3,1,1), stem(n,b,’fill’,’MarkerSize’,3), xlabel(‘n’).
    title(‘Impulse Response’), grid
    f=0:((Fs/2)/1000):Fs/2;
    H=freqz(b,a,f,Fs); MAG=abs(H); PHASE=angle(H);
    subplot(3,1,2),plot(f,MAG),xlabel(‘f(Hz)’),title(‘MAGNITUDE’),grid
    subplot(3,1,3),plot(f,PHASE),xlabel(‘f(Hz)’),title(‘PHASE’),grid

    Построим графики ИХ, АЧХ и ФЧХ оптимального ФНЧ с помощью внешней функции plot_fir (рис. 2):

    Рис. 2. Характеристики оптимального КИХ-фильтра ФНЧ: а) импульсная характеристика; б) АЧХ; в) ФЧХ

    >> plot_fir(R,b,Fs)

    Поля массива записей opt выводятся по его имени:

    >> opt

    Пример 3

    Заданы требования к АЧХ ПФ (табл. 4).

    Таблица 4. Требования к АЧХ ПФ

    Частоты (Гц)
    и их обозначения в MATLAB
    Максимально допустимые
    отклонения АЧХ
    и их обозначения в MATLAB
    Частота
    дискретизации
    fд
    Fs
    8000
    Граничная
    частота ПЗ1
    f–k
    fk1
    1000 В полосе
    задерживания (ПЗ1)
    δ2
    d2
    0,01
    Левая граничная
    частота ПП
    f–χ
    ft1
    1400 В полосе
    пропускания (ПП)
    δ1
    d1
    0,05
    Правая граничная
    частота ПП
    fχ
    ft2
    2000
    Граничная частота
    ПЗ2
    fk
    fk2
    2400 В полосе
    задерживания (ПЗ2)
    δ2
    d2
    0,01

    Синтезировать КИХ-фильтр методом чебышевской аппроксимации можно с помощью функции firpm:

    >> Fs=8000;
    >> fk1=1000; ft1=1400; ft2=2000; fk2=2400; f=[fk1 ft1 ft2 fk2];
    >> m=[0 1 0];
    >> d2=0.01; d1=0.05; ripple=[d2 d1 d2];
    >> [R,f0,m0,weight]=firpmord(f,m,ripple,Fs);
    >> [R weight’]
    ans =
    29 5 1 5
    >> [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight);

    Проверим выполнение требований к АЧХ. Выведем значение error:

    >> error
    error =
    0.0663

    Сравнивая error с δmin max (9), в данном случае с δ1 = d1 = 0,05, видим, что требования не выполняются. Следует увеличить порядок R. ПФ можно синтезировать на базе КИХ-фильтров любого из 4 типов (табл. 1), поэтому порядок R может быть как четным, так и нечетным:

    >> R=R+1; [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight);
    >> [R error]
    ans =
    30.0000 0.0666

    Требования не выполняются. Выполним следующую итерацию, изменив тип КИХ-фильтра на 3-й. Выбирая КИХ-фильтр 3-го или 4-го типа, параметру ftype в функции firpm следует присваивать значение ‘hilbert’:

    >> [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight,’hilbert’);
    >> [R error]
    ans =
    30.0000 0.0582

    Требования не выполняются, но значение максимальной ошибки уменьшилось. Увеличим порядок R и синтезируем ПФ, например, на базе КИХ-фильтра 4-го типа:

    >> R=R+1; [b,error,opt]=firpm(R,f0,m0,weight,’hilbert’);
    >> [R error]
    ans =
    31.0000 0.0412

    Требования к АЧХ выполняются. Синтезирован оптимальный ПФ с ЛФЧХ порядка Ropt = 31 на базе КИХ-фильтра 4-го типа.

    Рис. 3. Импульсная характеристика (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) оптимального КИХ-фильтра ПФ

    Построим графики ИХ (антисимметричной), АЧХ и ФЧХ синтезированного ПФ с помощью функции plot_fir, созданной в примере 2 (рис. 3):

    >> plot_fir(R,b,Fs)

    В пакете Filter Design Toolbox имеется функция firgr с форматом:

    [b,error,opt]=firgr(R,f0,m0,weight,ftype,,’check’)

    которая по существу дублирует функцию firpm, с той разницей, что массив записей opt содержит дополнительные поля [5].

    Представляет интерес формат функции firgr, позволяющий автоматически синтезировать оптимальный КИХ-фильтр:

    [b,err,opt]=firgr(,f0,m0,ripple,ftype,,’check’)

    где

    • <m,R> — двухэлементный массив ячеек, в котором R — оценка порядка (может отсутствовать), а m — параметр, контролирующий выбор минимального порядка и принимающий значения:
      ‘minorder’ — выбирается минимальный порядок среди четных и нечетных значений;
      ‘mineven’ — выбирается минимальный четный порядок;
      ‘minodd’ — выбирается минимальный нечетный порядок;
    • err — параметр, который не следует путать с параметром error вфункции firpm; при синтезе частотно-избирательных КИХ-фильтров он практического интереса не представляет. Модуль максимального отклонения АЧХ определяется как max(abs(opt.error)).

    Все остальные параметры были определены ранее.

    Параметры f0, m0, ripple, R по-прежнему вычисляются с помощью функции firpmord по требованиям к АЧХ.

    Приведем примеры синтеза оптимальных КИХ-фильтров ФНЧ и ПФ с помощью функции firgr.

    Пример 4

    Заданы требования к АЧХ ФНЧ (рис. 1, табл. 3). Необходимо синтезировать оптимальный ФНЧ методом чебышевской аппроксимации с помощью функции firgr. Сохранить коэффициенты b на диске для использования в дальнейшем:

    >> [b,err,opt]=firgr(<'minorder',R>,f0,m0,ripple);
    >> save b
    >> opt.order
    ans =
    25

    Убедимся в выполнении требований к АЧХ:

    >> error=max(abs(opt.error))
    error=
    0.0436

    Требования к АЧХ выполняются. Синтезирован оптимальный ФНЧ с ЛФЧХ порядка Ropt = 25 на базе КИХ-фильтра 2-го типа, такой же, как в примере 2.

    Пример 5

    Заданы требования к АЧХ ПФ (табл. 4). Необходимо синтезировать оптимальный ПФ методом чебышевской аппроксимации с помощью функции firgr.

    ПФ может быть синтезирован на базе КИХ-фильтров всех 4 типов. В данном случае выбор параметра m, равного ‘minorder’, также не приведет к успеху (проверьте самостоятельно), поэтому выполним следующую последовательность действий:

    1. Синтезируем фильтр на базе КИХ-фильтра 1-го типа с параметром m, равным ‘mineven’. Порядок КИХ-фильтра (параметр opt.order) обозначим как R1.
    2. Синтезируем фильтр на базе КИХ-фильтра 2-го типа с параметром m, равным ‘minodd’. Порядок КИХ-фильтра (параметр opt.order) обозначим как R2.
    3. Синтезируем фильтр на базе КИХ-фильтра 3-го типа (‘hilbert’) с параметром m, равным ‘mineven’. Порядок КИХ-фильтра обозначим как R3.
    4. Синтезируем фильтр на базе КИХ-фильтра 4-го типа (‘hilbert’) с параметром m, равным ‘minodd’. Порядок КИХ-фильтра обозначим как R4.
    5. Выберем из них фильтр минимального порядка — min(R1, R2, R3, R4).
    >>Fs=8000;
    >> fk1=1000; ft1=1400; ft2=2000; fk2=2400; f=[fk1 ft1 ft2 fk2];
    >>m=[0 1 0];
    >> d2=0.01; d1=0.05; ripple=[d2 d1 d2];
    >> [R,f0,m0,weight]=firpmord(f,m,ripple,Fs);
    >> [b,err,opt]=firgr(<'mineven',R>,f0,m0,ripple); R1=opt.order;
    >>[b,err,opt]=firgr(<'minodd',R>,f0,m0,ripple); R2=opt.order;
    >> [b,err,opt]=firgr(<'mineven',R>,f0,m0,ripple,’hilbert’);
    >>R3=opt.order;
    >> [b,err,opt]=firgr(<'minodd',R>,f0,m0,ripple,’hilbert’);
    >>R4=opt.order;
    >> [R1 R2 R3 R4]
    ans =
    32 33 32 31

    Синтезирован оптимальный ПФ с ЛФЧХ порядка Ropt = 31 на базе КИХ-фильтра 4-го типа, такой же, как в примере 3. Убедимся в выполнении требований к АЧХ:

    >> error=max(abs(opt.error))
    error =
    0.0413

    Анализ КИХ-фильтра

    В состав MATLAB входит программа GUI FVTool (Filter Visualization Tool — средства визуализации фильтра), предназначенная для анализа характеристик синтезированных ЦФ в окне Figure. Filter Visualization Tool, обращение к которому производится с помощью функции fvtool:

    fvtool(b,a)

    Здесь b, a — векторы коэффициентов передаточной функции КИХ-фильтра, где a = [1].

    Часть 2. Синтез оптимальных цифровых БИХ-фильтров программными средствами MATLAB

    Литература

    1. Ingle V., Proakis J. Digital Signal Processing Using MATLAB. Second Edition — Thomson-Engineering. 2006.
    2. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. М.: Техносфера, 2006.
    3. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов, 2-е изд. СПб.: Питер, 2006.
    4. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б. Основы цифровой обработки сигналов. 2-е изд. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
    5. Солонина А. И., Арбузов С. М. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в MATLAB. СПб.: БХВ-Петербург, 2008.

    1 Скачок ФЧХ на π имеет место в тех точках, где АЧХ равна нулю. К тексту
    2 Если на ФЧХ не налагается требование строгой линейности, то при тех же требованиях к АЧХ БИХ-фильтр может оказаться более простым. К тексту
    3 Этот критерий называют также наилучшим равномерным или минимаксным критерием. К тексту
    4 Альтернанс — чередование противоположных. К тексту
    5 Для полного анализа характеристик синтезированного ЦФ следует обратиться к GUI FVTool (см. последний раздел статьи). К тексту

    Другие статьи по данной теме:

    Если Вы заметили какие-либо неточности в статье (отсутствующие рисунки, таблицы, недостоверную информацию и т.п.), просьба сообщить нам об этом. Пожалуйста укажите ссылку на страницу и описание проблемы.

    Порядок расчета цифрового фильтра

    1. Решение задачи аппроксимации с целью определения коэффициентов фильтра, при которых фильтр удовлетворяет заданным требованиям:

    2. Выбор конкретной схемы построения фильтра и квантование значений его коэффициентов в соответствии с фиксированной длиной слова:

    3. Квантование переменных величин фильтра, т.е. выбор длины слова входных, выходных и промежуточных переменных (т.е. разрядная сетка входного АЦП, сумматоров и умножителей)

    4. Проверка работы фильтра моделированием на ЭВМ, удовлетворяет ли полученный фильтр заданным требованиям.

    После этапа 4, если требования не удовлетворяются, приходится возвращаться к этапам 2 и 3.

    Конечно, желательно бы выполнять три первых этапа одновременно, т.е. решать задачу аппроксимации для произвольной схемы фильтра и для слов произвольной длины, однако маловероятно, что в ближайшем будущем такой подход будет разработан. В настоящее время эта задача не решена.

    Свойства КИХ-фильтров.

    Основные достоинства этих фильтров:

    1) Легко создавать КИХ-фильтры со строго линейной фазовой характеристикой. (Линейная фазовая характеристика особенно важна при обработке речевых сигналов, изображений, а также передаче данных).

    2) КИХ-фильтры можно эффективно строить как по рекурсивной, так и по нерекурсивной схемам.

    3) КИХ-фильтры, реализуемые нерекурсивно, всегда устойчивые.

    4) Нерекурсивные КИХ-фильтрыпозволяют минимизировать шумы округления, возникающие за счет выполнения арифметических операций с конечной точностью (разрядностью).

    1) Для аппроксимации фильтров, частотные характеристики которых имеют острые срезы, требуется импульсная характеристика с большим числом отсчетов N. Поэтому при реализации необходимо выполнять большой объем вычислений.

    2) Задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазовой характеристикой не всегда равна целому числу интервалов дискретизации.

    Характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.

    Пусть — физически реализуемая последовательность конечной длины, заданная на интервале . Это конечная импульсная характеристика (КИХ).

    Преобразование Фурье от – частотная характеристика фильтра:

    является периодической по частоте с периодом , т.е.:

    Рассмотрим действительные последовательности. Тогда (ранее рассматривали), можно получить, что:

    т.е. модуль АЧХ – симметричная функция, а ФЧХ – симметричная.

    На практике часто требуется строго линейная ФЧХ, т.е.:

    — постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации.

    Можно показать, что для этого необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:

    Уравнение (**) — означает условие симметрии, чтобы ФЧХ была строго линейна.

    Уравнение (*) – постоянная фазовая задержка.

    Рассмотрим типичные импульсные характеристики, удовлетворяющие условию симметрии (**) при четно и нечетном N.

    Уравнение при означает, что фильтр имеет постоянные как групповую (производная от ФЧХ по частоте), так и фазовую (отношение фазы к частоте) задержки.

    Если постоянной будет только групповая задержка, можно определить еще один тип фильтра с ЛФХ, т.е.:

    тогда условие ЛФХ:

    Рассмотрим типичные импульсные характеристики, удовлетворяющие этим условиям:

    Т.о. существуют 4 различных вида КИХ-фильтров с ЛФХ.

    Частотные характеристики КИХ-фильтров с ЛФХ.

    Фильтр вида 1: (симметричная импульсная характеристика, нечетное N)

    Можно сказать, что ЧХ:

    Фильтр вида 2: (симметричная импульсная характеристика, четное N)

    Можно показать, что ЧХ:

    Т.о. отметим, что у таких фильтров:

    при независимо от значений b(n) bkb h(n), т.е. нельзя построить ФВЧ.

    Фильтр вида 3: (антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N)

    В том случае ЧХ – ряд синусов:

    Фильтр вида 4. (антисимметричная импульсная характеристика, четное N)

    Методы расчета КИХ-фильтров c ЛФХ

    3 класса методов расчета:

    1) Метод взвешивания с помощью окна

    2) Методы постоянной выборки

    3) Методы расчета оптимальных (по Чебышеву) фильтров

    Прямоугольное окно

    N-точечное прямоугольное окно

    Предполагается, что N – четное для простоты.

    Частотная характеристика – преобразование Фурье:

    Метод взве шивания

    Т.к. частотная характеристика ЦФ – периодическая функция частоты, ее можно представить рядом Фурье:

    Коэффициенты ряда Фурье, т.е. h(n) – совпадает с коэффициентами импульсной характеристики ЦФ.

    Трудности использования соотношения (*):

    1) Импульсная характеристика h(n) – получается имеет бесконечную длину, т.к. суммирование в пределах .

    2) Фильтр – физически нереализуем,. Т.к. h(n) начинается в , т.е. никакая конечная задержка не сделает фильтр физически реализуемым.

    Один из методов получения КИХ-фильтра, аппроксимирующего заданную функцию — усечение (ограничение) бесконечного ряда Фурье (*) за .

    Однако простое усечение ряда приводит к хорошо известному явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов и пульсаций до и после разрывов в аппроксимируемой частотной характеристике и в увеличении переходной полосы.

    Простое увеличение числа отсчетов h(n), т.е. увеличение M, не всегда приводит к желаемому результату, хотя иногда это приводит к улучшению аппроксимации частотной характеристики.

    Лучшие результат дает метод, основанный на использовании весовой последовательности конечной длины a(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурье h(n) в формуле (*) с тем, чтобы управлять сходимостью ряда Фурье.

    Вывод: с увеличением N – уменьшается полоса пропускания ФНЧ.

    Нельзя получить боковой лепесток с подавлением больше чем –13 дБ.

    Обобщенное окно Хэмминга

    Если — окно Ханна.

    1) Ширина главного лепестка частотной характеристики окна Хэмминга в 2 раза больше, чем для прямоугольного окна.

    2) Уровень боковых лепестков в случае окна Хэмминга значительные ниже, чем у характеристики прямоугольного окна.

    Так при , 99,96% общей энергии спектра (площадь) содержится в главном лепестке, а максимум боковых лепестков на –40 дБ ниже главного лепестка (у прямоугольного –13,… дБ).

    Окно Кайзера

    Задача расчета хороших окон практически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций преобразования Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т.е. имеют минимальную энергию за пределами заданного интервала частот.

    Для решения этих задач в непрерывном времени был введен класс так называемых вытянутых сфероидальных волновых функций.

    Эти функции имеют сложный вид.

    Кайзер – для их аппроксимации ввел окно, которое называется окном Кайзер:

    Здесь — константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка.

    — функция Бесселя нулевого порядка.

    Частотная характеристика дискретного окна Кайзера в замкнутом виде не получена.

    Окно Кайзера является по существу оптимальным в том смысле, что оно представляет последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.

    ФНЧ с различными окнами

    Рассмотрим идеальный фильтр нижних частот. Будем использовать 3 окна:

    Проектирование КИХ-фильтра по методу частотной дискретизации

    «Понятие цифровых фильтров»

    Передаточная функция звена фильтра низкой частоты первого порядка, схема которого представлена на рис.8.1

    Этой передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение, описывающее процессы в данном звене, которое имеет вид

    Преобразуем данную непрерывную систему в дискретную установкой на входе и на выходе синхронных идеальных импульсных элементов, работающих с частотой f (рис.8.2).

    Дифференциальное уравнение непрерывной системы преобразуется в разностное уравнение дискретной системы заменой производной конечной разностью.

    преобразуем уравнение (8.3) к виду

    придем к окончательному виду

    Уравнение (8.7) представляет из себя разностное уравнение простейшего дискретного фильтра низких частот первого порядка.

    В общем случае линейным дискретным фильтром называется дискретная система, удовлетворяющая линейному разностному уравнению

    где x ( n ) и y ( n ) – соответственно входная и выходная последовательности устройства. Если хотя бы один коэффициент зависит от переменной n , то такой фильтр такой фильтр называется параметрическим или фильтром с переменными параметрами. Если все коэффициенты являются константами, то такой фильтр называется фильтром с постоянными коэффициентами.

    Передаточная функция линейного дискретного фильтра имеет вид

    который получается в результате применения z -преобразования к левой и правой частям уравнения (8.8).

    Значения выходной последовательности y ( n ) определяются N значениями входного дискретного сигнала x ( n ) в моменты nT , ( n -1) T , ( n -2) T , и т.д. и M -1 значениями самого выходного дискретного сигнала в прошлые моменты ( n -1) T , ( n -2) T и т.д.

    Фильтры, описываемые уравнением (8.8) называются рекурсивными.

    В частном случае, при из (8.8) получаем

    В этом случае значение выходного дискретного сигнала y ( n ) в любой момент nT определяется лишь значениями входного дискретного сигнала в этот же момент и N -1 его прошлыми значениями. Фильтры, описываемые уравнением (8.10) называются нерекурсивными. Передаточная функция нерекурсивного фильтра имет вид

    Как видно из уравнения (8.8), в общем случае линейный дискретный фильтр может быть реализован путем комбинации операций умножения сигнала на константу, алгебраического сложения и задержки сигнала на один интервал дискретизации T . Для условного изображения алгоритмов дискретных фильтров используются структурные схемы, на которых вышеперечисленные операции изображаются так, как показано на рис.8.3.

    Для реализации дискретных фильтров наиболее часто используются следующие формы структурных схем.

    Прямая форма структурной схемы рекурсивного фильтра, представленная на рис.8.4, реализуется непосредственно по разностному уравнению (8.8) или по передаточной функции (8.9).

    Эта схема содержим один сумматор, умножители и N + M -2 элементов задержки.

    В качестве примера рассмотрим реализацию в прямой форме т.н. «биквадратного блока» – фильтра второго порядка, описываемого уравнением

    или соответствующей передаточной функцией

    Прямая форма структурной схемы биквадратного блока представлена на рис.8.5.

    Прямая каноническая форма содержит минимальное число элементов задержки. Она получается если передаточную функцию рекурсивного фильтра (8.9) представить в виде

    Передаточным функциям H 1 ( z ) и H 2 ( z ) соответствуют разностные уравнения

    Так как в фильтрах, реализующих H 1 ( z ) и H 2 ( z ), имеет место только задержка сигнала v ( n ), то можно использовать только один набор элементов задержки. Прямая каноническая форма структурной схемы фильтра, описываемого уравнением (8.8) или соответствующей передаточной функцией (8.9) представлена на рис.8.6.

    Она содержит минимальное число элементов задержки и два сумматора. В качестве примера на рис.8.7 представлена прямая каноническая форма структурной схемы биквадратного блока с передаточной функцией (8.13).

    Каскадная (последовательная) форма структурной схемы дискретного фильтра соответствует представлению передаточной фугкции (8.9) в виде произведения

    где Hl ( z ) – передаточная функция биквадратного блока

    При этом отдельные биквадратные блоки, реализующие Hl ( z ) соединяются между собой последовательно. Такое представление всегда можно получить разложением числителя и знаменателя (8.9) на сомножители первого и второго порядка. Так что возможно, что в некоторых сомножителях Hl ( z ) некоторые коэффициенты равны нулю. При этом данные сомножители реализуются более простой структурой, чем показано на рис.8.5 и рис.8.7. Кроме того, при последовательном соединении биквадратных блоков, реализованных в прямой форме (рис.8.5), может оказаться, что элементы задержки в цепи обратной связи предшествующего блока дублируют элементы задержки в прямой ветви последующего блока. Поэтому при каскадной реализации L -звенного фильтра на биквадратных блоках в прямой форме из схемы могут быть исключены 2( L -1) элементов задержки.

    Параллельная форма структурной схемы рекурсивного дискретного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.9) в виде

    где слагаемые Hl ( z ) получаются при разложении H ( z ) на простые дроби типа

    и могут быть реализованы в виде упрощенных структур биквадратных блоков.

    Прямая форма структурной схемы нерекурсивного фильтра является непосредственной реализацией передаточной функции нерекурсивного фильтра (8.11) или его разностного уравнения (8.10). Прячмая форма, представленная на рис.8.8 содержит N -1 элементов задержки, N умножителей и сумматор на N входов.

    Эту форму называют также трансверсальным фильтром или фильтром с многоотводной линией задержки.

    Каскадная (последовательная) форма структурной схемы нерекурсивного фильтра соответствует представлению передаточной функции (8.11) в виде произведения

    Такое разложение всегда можно получить разложением H ( z ) на сомножители первого и второго порядка, каждый из которых реализуется с помощью упрощенной структуры биквадратного блока, а все составляющие блоки соединяются между собой последовательно.

    Важнейшей временной характеристикой линейной дискретной системы является импульсная характеристика, под которой понимают реакцию системы h ( n ) на единичный импульс d ( n ) при нулевых начальных условиях. Импульсную характеристику можно расчитать путем решения соответствующего разностного уравнения дискретной системы.

    В качестве примера вычислим импульсную характеристику дискретного линейного фильтра, описываемого разностным уравнением . Пусть y (-1)=0, x ( n )= d ( n ). При этом y ( n ) есть h ( n ). Тогда получим

    Входной дискретный сигнал фильтра x ( n ) можно представить в виде

    Так как реакция дискретного фильтра на единичный импульс есть импульсная характеристика h ( n ), то вследствие стационарности фильтра реакцией фильтра на d ( n — m ) будет h ( n — m ). Тогда, вследтсвие линейности фильтра реакцией на вхожную последовательность x ( n ) будет

    Заменой переменных это выражение может быть приведено к виду

    При этом предполагается, что h ( n )=0 при n x ( n )=0 при n

    Последняя формула определяет реакцию линейного дискретного фильтра на произвольное входное воздействие как свертку этого входного воздействия и импульсной характеристики.

    Согласно формуле (8.25) переходная характеристика линейного дискретного фильтра т.е. его реакция на единичную последовательность при нулевых начальных условиях, может быть вычислена как

    В свою очередь, очевидно, что

    Если на вход линейного дискретного фильтра подается сигнал x ( n )= d ( n ), то реакцией системы будет y ( n )= h ( n ). При этом z -преобразования обоих сигналов будут иметь вид X ( z )=1, Y ( z )= H ( z ). Тогда передаточная функция фильтра

    Это означает, что передаточная функция линейного дискретного фильтра есть ни что иное как z -преобразование импульсной характеристики. Если записать передаточную функцию в виде

    то видно, что коэффициенты bk совпадают с k -ми выборками импульсной характеристики и следовательно

    Таким образом, импульсную характеристику можно вычислить как обратное z -преобразование передаточной функции.

    Фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтром) называется фильтр, у которого импульсная характеристика представляет собой конечный дискретный сигнал, т.е. может принимать отличные от нуля значения лишь при n =0, 1, …, N -1.

    Фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильром) называется фильтр, у которого импульсная характеристика может принимать отличные от нуля значения на бесконечном множестве значений n =0, 1, …

    Нерекурсивный фильтр всегда является КИХ-фильтром, в то время как рекурсивный фильтр может быть как КИХ так и БИХ фильтром.

    Линейный дискретный фильтр физически реализуем, если его выходной сигнал не опережает входного, т.е. в любой момент n выходной сигнал y ( n ) зависит лишь от значений входного сигнала в моменты, предшествующие n и не зависит от его значений в последующие моменты. Критерием физической реализуемости линейного дискретного фильтра является равенство нулю отсчетов импульсной характеристики при отрицательных значениях моментов отсчетов, т.е. h ( n )=0 при n

    Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие x ( n ) также ограничена, т.е. если для всех n , то тоже для всех n , причем A и B – постоянные, не зависящие от n . Из выражения (8.24) следует, что если x ( n ) – ограничено, т.е. для всех n , то абсолютное значение выходного сигнала

    Значит, критерием устойчивости дискретного фильтра является абсолютная сходимость ряда отсчетов импульсной характеристики.

    Можно показать, что условие (8.32) является не только достаточным но и необходимым условием устойчивости фильтра. Однако неопсредственное использование этого условия для проверки устойчивости практически затруднено. Поэтому рассмотрим другую формулировку критерия устойчивости. Если представить передаточную функцию фильтра в общем виде (8.30), то можно сделать вывод о том, что

    Это значит, что в устойчивом фильтре H ( z ) конечна во всех точках z -плоскости, где , и, следовательно, передаточная функция H ( z ) не должна иметь особых точек полюсов при , т.е. на и вне единичного круга z -плоскости. Таким образом, фильтр будет устойчивым только тогда, когда все полюсы H ( z ) расположены внутри единичного круга z -плоскости.

    Найдем преобразования Фурье входного и выходного сигнала линейного дискретного фильтра

    Здесь суммирование производится от n =0 так как предполагается, что x ( n )=0 и y ( n )=0 при n

    Частотной характеристикой дискретного фильтра называется отношение

    частотная характеристика совпадает с передаточной функцией на единичной окружности z -плоскости, т.е. при . Поэтому для рекурсивного фильтра получим

    а для нерекурсивного фильтра

    В общем случае H ( e j w T ) – комплексная функция, которая может быть записана в виде

    где A ( w ) – модуль частотной характеристики – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), j ( w ) – аргумент частотной характеристики – фазочастотная характеристика (ФЧХ), R ( w )= A ( w ) cos j ( w ), J ( w )= A ( w ) sin j ( w ) – вещественная и мнимая части частотной характеристики. Производная от ФЧХ

    называется групповым временем замедления (ГВЗ).

    Из теории дискретных систем вытекают ряд важных свойств частотных характеристик линейных дискретных фильтров.

    1. Все частотные характеристики дискретных фильтров являются непрерывными периодическими функциями частоты с периодом w d =2 p / T .

    2. Для вещественных фильтров, т.е. фильтров, передаточные функции которых имеют только вещественные коэффициенты, АЧХ A ( w ) и ГВЗ t ( w ) представляют собой четные функции частоты, а ФЧХ j ( w ) – нечетную функцию частоты.

    Из этого следует, что требования к частотным характеристикам достаточно задавать лишь на интервале полупериода .

    Под цифровым фильтром понимают дискретный фильтр, описываемый уравнением (8.8) и реализованный программным путем с помощью микропроцессора или аппаратным путем в виде специализированного цифрового вычислительного устройства, состоящего из элементов памяти (регистров), сумматоров, умножителей и устройств управления.

    Сигналы на входе и на выходе цифрового фильтра являются цифровыми, т.е. последовательностями чисел. Каждое из этих чисел представляется в виде двоичного кода определенной конечной разрядности. В цифровом фильтре в соответствии с алгоритмом (8.8) выполняются операции пересылки, сложения и умножения кодов. При этом алгоритм функционирования (8.8) реализуется неточно. Ошибки цифровой фильтрации обусловлены, во-первых, квантованием входных и выходных сигналов, во-вторых, квантованиемкоэффициентов фильтра и, в-третьих, конечной разрядностью операционных устройств, вследствие чего имеет место округление результатов арифметических операций. Таким образом, выбранная структура цифрового фильтра, разрядность входных и выходных сигналов, разрядность арифметических устройств влияют на точность работы устройства идолжны выбираться таким образом, чтобы результирующая ошибка цифрового фильтра не превышала допустимой величины.

    Другим важным критерием качества цифрового фильтра является его быстродействие, определяемое минимальным временем, необходимым для вычисления одного отсчета выходного сигнала. Очевидно, что это время должно быть не больше периода дискретизации сигналов.

    Цифровые фильтры могут иметь свойства как КИХ так и БИХ фильтров. В обоих случаях фильтры имеют свои преимущества и недостатки.

    Преимущества КИХ фильтров:

    1. КИХ фильтры могут иметь линейную ФЧХ.

    2. КИХ фильтры, реализованные по нерекурсивному алгоритму всегда устойчивы.

    3. Для КИХ фильтров, реализованных по нерекурсивному алгоритму шумы квантования можно сделать приемлемо малыми.

    4. КИХ фильтры могут быть реализованы по рекурсивному алгоритму, если это необходимо.

    Недостатки КИХ фильтров:

    1. Длительность импульсной характеристики КИХ фильтра, несмотря на то, что она конечна, может оказаться достаточно большой для достижения резкого спада частотной характеристики на границе зоны пропускания.

    2. Разработка КИХ фильтров более сложна чем разработка БИХ фильтров с аналогичными характеристиками.

    Преимущества БИХ фильтров:

    1. БИХ фильтры могут быть использованы для реализации цифровых аналогов классических видов аналоговых фильров, таких как фильтры Баттерворта, Чебышева и т.д.

    2. При аналогичных характеристиках, БИХ фильтры имеют более простую реализацию по сравнению с КИХ фильтрами.

    Недостатки БИХ фильтров:

    1. БИХ фильтры более чувствительны к конечной разрядности вычислений, которая приводит у них к появлению колебаний т.н. «предельных циклов».

    2. За исключением специального случая, когда все полюса передаточной функции лежат на единичной окружности z -плоскости, невозможно построить реализуемый стабильный БИХ фильтр, имеющий точно линейную ФЧХ.

    3.2. Проектирование ких-фильтра нижних частот

    — Fd= 3000 (частота дискретизации)

    — F1= 200 (частота среза)

    — F1 з = 400 (частота полосы задержки)

    — Qп= 3 (пульсация в полосе пропускания)

    — Qз= 20 (пульсация в полосе задержки)

    1) Запускаем FDAToolbox

    2) Выбираем тип фильтра – Lowpass

    3) Выбираем метод синтеза – FIR,в качестве фильтра прототипаEquiripple

    4) Задаем спецификацию в соотвествии с заданием

    5) Нажимаем кнопку DesignFilter

    6) Используя средства анализа fdatoolполучаем следующие характеристики

    3.3. Проектирование бих-фильтра верхних частот

    — Fd= 3000 (частота дискретизации)

    — F1= 400 (частота среза)

    — F1 з = 200 (частота полосы задержки)

    — Qп= 3 (пульсация в полосе пропускания)

    — Qз= 20 (пульсация в полосе задержки)

    1) Запускаем FDAToolbox

    2) Выбираем тип фильтра – Highpass

    3) Выбираем метод синтеза – IIR,в качестве фильтра прототипаButterworth

    4) Задаем спецификацию в соотвествии с заданием

    5) Нажимаем кнопку DesignFilter

    6) Используя средства анализа fdatoolполучаем следующие характеристики

    3.4. Проектирование ких-фильтра верхних частот

    — Fd= 3000 (частота дискретизации)

    — F1= 400 (частота среза)

    — F1 з = 200 (частота полосы задержки)

    — Qп= 3 (пульсация в полосе пропускания)

    — Qз= 20 (пульсация в полосе задержки)

    1) Запускаем FDAToolbox

    2) Выбираем тип фильтра – Highpass

    3) Выбираем метод синтеза – FIR,в качестве фильтра прототипаEquiripple

    4) Задаем спецификацию в соотвествии с заданием

    5) Нажимаем кнопку DesignFilter

    6) Используя средства анализа fdatoolполучаем следующие характеристики

    3.5. Проектирование полосового бих-фильтра

    — Fd= 3000 (частота дискретизации)

    — F1= 400 (частота среза 1)

    — F2= 600 (частота среза 2)

    — F1 з =200(частота полосы задержки 1)

    — F2 з = 800 (частота полосы задержки 2)

    — Qп= 3 (пульсация в полосе пропускания)

    — Q= 20 (пульсация в полосе задержки 1)

    — Q= 20 (пульсация в полосе задержки 2)

    1) Запускаем FDAToolbox

    2) Выбираем тип фильтра – Bandpass

    3) Выбираем метод синтеза – IIR,в качестве фильтра прототипаButterworth

    4) Задаем спецификацию в соотвествии с заданием

    Проектирование цифровых фильтров. цифровой фильтр — дискретная линейная система с постоянными параметрами, которая реализуется на основе использования. — презентация

    Презентация была опубликована 5 лет назад пользователемЗинаида Чечина

    Похожие презентации

    Презентация на тему: » Проектирование цифровых фильтров. цифровой фильтр — дискретная линейная система с постоянными параметрами, которая реализуется на основе использования.» — Транскрипт:

    1 Проектирование цифровых фильтров

    2 цифровой фильтр — дискретная линейная система с постоянными параметрами, которая реализуется на основе использования арифметических устройств с ограниченной точностью.

    3 проектирование цифрового фильтра: выбор структурной схемы фильтра, определение коэффициентов фильтра, определение разрядности коэффициентов и разрядностей умножителей и сумматоров, которые обеспечивают выполнение требований, задаваемых на характеристики фильтра (передаточные, импульсные, частотные).

    4 Требования для цифровых фильтров часто задаются в частотной области достаточно задать требования только для 0, поскольку остальная часть может быть выведена на основе свойств симметрии.

    5 методы проектирования можно разбить на два класса: 1. Прямые методы проектирования (проектирование БИХ и КИХ-фильтров): а) оптимальные методы: метод минимизации среднеквадратической ошибки; метод минимизации модуля ошибки; метод равновеликих пульсаций и др. методы.

    6 б) субоптимальные методы: метод взвешивания; метод частотной выборки.

    7 2. Методы проектирования по аналоговому прототипу (проектирование БИХ — фильтров): а) метод инвариантности импульсной характеристики; б) метод численного интегрирования (метод Эйлера); в) метод билинейного Z – преобразования; г) метод обобщённого Z – преобразования;

    8 основные достоинства КИХ-фильтров: Методы расчета цифровых КИХ- фильтров с линейной фазой 1) легко создать фильтр с линейной ФЧХ; 2) можно построить как по нерекурсивной, так и рекурсивной схеме ; 3) КИХ-фильтры, реализуемые по нерекурсивной форме, всегда устойчивы; 4) при нерекурсивной реализации КИХ- фильтров легко минимизировать шумы округления.

    9 Основные недостатки КИХ-фильтров: 1) для аппроксимации частотных характеристик с острыми срезами (мала переходная область) требуется импульсная характеристика с большим числом отчётов N; 2) задержка в КИХ-фильтрах с линейной фазой не всегда равно целому числу интервалов дискретизации.

    10 Передаточная функция физически реализуемого КИХ-фильтра имеет вид Частотная характеристика Для действительной последовательности h(n)

    11 Если импульсная характеристика удовлетворяет условию симметрии или антисимметрии, т.е. Где — постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизации то КИХ-фильтр имеет линейную ФЧХ

    12 Фильтр вида 1. Симметричная импульсная характеристика, нечетное N.

    13 реализация режекторных и высокочастотных фильтров или

    14 Фильтр вида 2. Симметричная импульсная характеристика, четное N

    15 или реализация низкочастотных и полосовых фильтров

    16 Фильтр вида 3. Антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N.

    17 реализация полосовых фильтров и преобразователей Гильберта

    18 Фильтр вида 4. Антисимметричная импульсная характеристика, четное N.

    19 реализация высокочастотных фильтров и преобразователей Гильберта

    20 Расчет КИХ-фильтров по методу частотной выборки КИХ-фильтр может быть однозначно задан как коэффициентами импульсной характеристики h(n), так и коэффициентами ДПФ импульсной характеристики

    21 для аппроксимации произвольной непрерывной частотной характеристики следует произвести ее дискретизацию по частоте в N равноотстоящих точках на единичной окружности (взять частотную выборку) и найти непрерывную частотную характеристику, интерполируя отсчеты частотной характеристики.

    22 При расчете фильтров методом частотной выборки используют два способа выбора частотных отсчетов.

    23 Первый способ состоит в выборе N равноотстоящих отсчетов заданной частотной характеристики на единичной окружности в точках соответствующих N частотам, для которых вычисляется N-точечное ДПФ. Возможен другой набор равноотстоящих частот

    25 Выбор вида фильтра с частотной выборкой, четного или нечетного N производится разработчиком и зависит от назначения рассчитываемого фильтра. По отсчетам частотной характеристики по формуле ОДПФ определяем отсчеты импульсной характеристики — характеристика нерекурсивного фильтра

    26 Зная импульсную характеристику, определяем передаточную функцию фильтра, используя z- преобразование По передаточной функции представляем схему фильтра

    27 Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания Идея метода: Задаются желаемым комплексным коэффициентом передачи фильтра в виде непрерывной функции, определенной в заданном диапазоне частот Обратное преобразование Фурье этой характеристики даст бесконечную в обе стороны последовательность импульсной характеристики

    28 Для получения проектируемого КИХ- фильтра эта последовательность усекается. Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характеристики соответствует использованию прямоугольного окна вида Из-за усечения заданная частотная характеристика искажается

    29 Это приводит к появлению переходных частотных полос между полосами пропускания и не пропускания, а так же к появлению колебаний коэффициента передачи в полосах пропускания; в полосах не пропускания АЧХ приобретает лепестковый характер

    30 Чтобы достичь хорошей аппроксимации, надо изменить значения коэффициентов усеченной импульсной характеристики с помощью конечной весовой последовательностью W(nT), которая называется окном, так, чтобы полученная импульсная характеристика обеспечила бы заданные требования на АХЧ. – последовательность конечной длины

    32 Окна, применяемые при синтезе фильтров Окно Бартлетта или треугольное N-четное Окно Ханна

    33 Окно Хемминга Окно Блэкмана

    34 Окно Кайзера – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода, — параметр формы окна

    35 Расчет БИХ-фильтров по аналоговому прототипу При преобразовании аналоговой системы в цифровую мы должны получить либо H(z), либо h(n) из расчета аналогового фильтра. Необходимо, чтобы существенные свойства аналоговой частотной характеристики сохранялись в частотной характеристике цифрового фильтра.

    36 Метод инвариантности импульсной характеристики Основа метода — выбор импульсной характеристики цифрового фильтра, которая будет подобной импульсной характеристике аналогового фильтра. Рассмотрим передаточную функцию аналогового фильтра, представленную в виде разложения на простые дроби

    37 Передаточная функция цифрового фильтра Н(z) определяется выражением передаточная функция цифрового фильтра Н(z) соответствует структуре параллельной формы при высоких частотах дискретизации (малом Т) цифровой фильтр может иметь очень большое усиление.

    38 Поэтому При расчете происходит искажение частотной характеристики из-за эффекта наложения. Метод непригоден для проектирования ФВЧ и РФ

    39 Метод билинейного преобразования Связь между Z-плоскостью и Р-плоскостью выражается билинейным преобразованием:

    40 Аналоговые и цифровые частоты связаны между собой нелинейно: При расчете требования к частотам аналогового фильтра необходимо предварительно скорректировать :

    41 деформация шкалы частот будет проявляться в искажениях фазо-частотной характеристики фильтра. При этом и импульсные характеристики аналогового и цифрового фильтров будут различаться Метод применим для расчетов фильтров нижних частот (ФНЧ), фильтров верхних частот (ФВЧ), полосовых фильтров (ПФ), заграждающих фильтров (ЗФ).

    42 Расчет БИХ-фильтров методом обобщенного билинейного преобразования Порядок расчета: 1. Требования на цифровой фильтр переводится в требования аналогового фильтра нижних частот 2. Производится расчет аналогового фильтра нижних частот и находится его передаточная функция

    43 3. По найденной передаточной функция аналогового фильтра нижних частот с помощью соответствующих билинейных преобразований определяется передаточная функция цифрового фильтра.

    44 Нормирование частот полос пропускания и непропускания цифровых фильтров а) цифровой фильтр нижних частот б) цифровой фильтр верхних частот

    45 в) цифровой полосовой фильтр г) цифровой заграждающий фильтр

    46 Определение нормированных частот полос пропускания и непропускания аналогового фильтра-прототипа а) б)

    49 формулы перехода от комплексной переменной р к комплексной переменной z а) цифровой фильтр нижних частот б) цифровой фильтр верхних частот

    50 в) цифровой полосовой фильтр г) цифровой режекторный фильтр

    51 Адаптивная обработка сигналов Понятие адаптивных фильтров

    52 Требования к АЧХ адаптивных фильтров не задаются, поскольку их характеристики изменяются во времени Основная задача адаптивного фильтра (АФ) – повысить качество приема или обработки сигнала Адаптивными называют фильтры, частотные характеристики которых зависят от спектров обрабатываемых сигналов.

    53 Основные области применения АФ: коррекция искажений при передаче сигнала по каналам связи; подавление шумов компрессия (сжатие) речевых сигналов в системах с линейным предсказанием (вокодерах);

    54 адаптивные антенные системы цифровые приемники связи, в которых адаптивные фильтры используются, чтобы обеспечить балансировку межсимвольной помехи и для идентификации канала; моделирование системы, в которой адаптивный фильтр используется как модель, чтобы оценить характеристики неизвестной системы

    55 Принципы адаптации в системах обработки информации Под термином «адаптивный цифровой фильтр» будем понимать такую систему передачи и обработки информации, которая само приспосабливается к изменяющимся входным воздействиям с целью оптимального выделения полезного сигнала при выбранном критерии качества фильтрации

    56 Классы динамических системы по принципу адаптации Системы, адаптирующиеся по входному сигналу Системы, адаптирующиеся по выходному сигналу Системы, адаптирующиеся за счет прямой подстройки параметров фильтра

    57 Системы, адаптирующиеся по тестовым сигналам Системы, адаптирующиеся по экспериментальным значениям некоторых параметров или характеристик

    58 Состав АФ цифровой фильтр с переменными коэффициентами; устройство определения ошибки; устройство, реализующее алгоритм адаптации

    60 Принцип прямой адаптации Выходной сигнал фильтра, отличающийся от эталонного, вычитается из. Получаемая ошибка подается на устройство адаптации, которое так изменяет коэффициенты цифрового фильтра (ЦФ), чтобы свести к минимуму

    61 Принцип обратной адаптации По сигналу восстанавливается сигнал, который будет отличаться от входного сигнала на величину ошибки, которая и управляет адаптацией. Введение линии задержки необходимо для временного согласования сигналов и.

    62 Процесс адаптации может быть как одноцикловым (одношаговым), так и итеративным, когда адаптация осуществляется шаг за шагом. Основными характеристиками алгоритма адаптации являются скорость сходимости при заданной ошибке и сложность (объем вычислений).

    63 На практике наиболее часто применяются алгоритмы, основанные на одном из двух критериев: минимума среднеквадратической ошибки (СКО) и метода наименьших квадратов (МНК).

    64 В зависимости от характера усреднения ошибки фильтрации по заданному критерию выделяют глобально- адаптивные и локально-адаптивные фильтры. Если ошибка усредняется по всему обрабатываемому сигналу, фильтр называется глобально- адаптивным (обычно КИХ-фильтры); если адаптация осуществляется в пределах отдельных фрагментов (кадров) сигнала, фильтр называется локально-адаптивным (обычно БИХ- фильтры).

    65 Оптимальный фильтр Винера Пусть входной дискретный случайный сигнал x[k] обрабатывается нерекурсивным дискретным фильтром порядка N, коэффициенты которого могут быть представлены вектором- столбцом. Выходной сигнал фильтра

    66 где – вектор-столбец содержимого линии задержки фильтра на k-м шаге. d[k] — образцовый сигнал Ошибка воспроизведения образцового сигнала

    67 Поскольку e[k] является случайным процессом, в качестве меры ее величины принимают средний квадрат — автокорреляционная функция (АКФ) случайного процесса .

    68 – транспонированный вектор-столбец взаимных корреляций между k-м отсчетом образцового сигнала и содержимым линии задержки фильтра. R – корреляционная матрица сигнала, имеющая размер.

    69 Для стационарного случайного процесса корреляционная матрица имеет вид матрицы Теплица, то есть на ее диагоналях стоят одинаковые величины:

    70 искомое решение для оптимальных коэффициентов фильтра: Такой фильтр называется фильтром Винера минимально достижимая дисперсия сигнала ошибки

    71 Блок-схема адаптивного КИХ-фильтра

    72 Алгоритмы адаптивной фильтрации 1. метод наискорейшего спуска вектор коэффициентов фильтра μ – положительный коэффициент, называемый размером шага алгоритм сходится, если

    73 – максимальное собственное число корреляционной матрицы R Скорость сходимости зависит от разброса собственных чисел корреляционной матрицы R – чем меньше отношение, тем быстрее сходится итерационный процесс

    74 2. Метод наименьших квадратов обеспечивает расчет коэффициентов оптимального фильтра без явного вычисления последовательностей корреляции и .

    75 μ – параметр размера шага x[n-k] – выборка входного сигнала, расположенного на k-м выводе фильтра в момент времени n Для обеспечения устойчивости параметр μ должен быть выбран в диапазоне

    76 N – длина адаптивного КИХ-фильтра P x – мощность входного сигнала

    МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

      Валентин Извеков 2 лет назад Просмотров:

    1 Министерство образования и науки Российской Федерации Волгоградский государственный университет МВБелодедов МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ учебное пособие Волгоград

    2 УДК 6375 ББК 38 Б3 Рецензент: САПрохоров, дтн, проф, каф Информационных систем и технологий Самарского государственного аэрокосмического университета Печатается по решению УМК факультета информационных технологий и телекоммуникаций ВолГУ Б3 Белодедов МВ Методы проектирования цифровых фильтров: Учебное пособие Волгоград: Издательство Волгоградского государственного университета, 6 с ISB В пособии дается систематическое изложение основных методов проектирования цифровых фильтров Для обоснования применения излагаемых методов рассматриваются свойства и методы анализа дискретных сигналов и дискретных систем Теоретический материал подкреплен большим количеством практических примеров Пособие предназначено для студентов старших курсов технических специальностей, изучающих дисциплину «Цифровая обработка сигналов» Может оказаться также полезным при изучении дисциплин «Теория цепей и сигналов», «Теоретические основы радиотехники», «Теория электрической связи» Издательство Волгоградского государствнного университета, МВБелодедов,

    3 Содержание Дискретные сигналы и их основные свойства Цифровые фильтры 3 Цифровые фильтры с сосредоточенными параметрами 8 Структуры построения цифровых фильтров 5 5 Проектирование цифровых фильтров методом взвешивания 3 6 Проектирование цифровых фильтров методом частотной выборки 36 7 Методы отображения дифференциалов 8 Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики 5 9 Подбор нулей и полюсов передаточной характеристики 55 Литература 6 3

    4 Дискретные сигналы и их основные свойства Подавляющее большинство сигналов, обрабатываемых современными техническими системами, так или иначе имеет цифровое представление, которое можно рассматривать с двух точек зрения Во-первых, значение сигнала в данный конкретный момент времени, являясь по сути непрерывным, может быть воспринято любой обрабатывающей системой как одно из конечного набора значений Наиболее часто встречающимся случаем подобного цифрового представления является преобразование непрерывного сигнала каким-либо АЦП Такое цифровое представление непрерывного по сути значения сигнала принято называть дискретизацией по уровню Во-вторых, информация о сигнале, зависящем, например, от времени (даже в том случае, если значения этого сигнала дискретизированы по уровню) не может быть предоставлена обрабатывающей системе в виде значений сигнала в каждый момент непрерывно изменяющегося времени Обрабатывающая система может оперировать лишь конечным набором значений сигнала и такое представление непрерывно изменяющегося сигнала принято называть дискретизацией по времени В большинстве практических применений уровни дискретизации значений сигнала выбираются равно отстоящими друг от друга и расстояние между ними называется интервалом дискретизации по уровню Аналогично моменты дискретизации сигнала по времени выбираются обычно равно отстоящими друг от друга и расстояние между ними называется интервалом дискретизации по времени Как правило, замена непрерывных значений сигнала дискретными уровнями может быть аналитически учтена добавлением в обрабатываемый сигнал равномерно распределенного в некотором интервале шума и не приводит к каким-либо неожиданным следствиям Замена же непрерывно изменяющегося сигнала дискретным набором значений, напротив, приводит к ряду интересных эффектов, которые, собственно, и составляют предмет изучения теории цифровой обработки сигналов (digial sigal rocssig) Итак, далее мы будем рассматривать системы, обрабатывающие дискретный набор дискретных значений сигнала Если обратиться к упомянутому АЦП, интервал дискретизации по уровню определяется разрядностью АЦП и уменьшается с увеличением разрядности, интервал же дискретизации по времени определяется частотой дискретизации АЦП и уменьшается с ее ростом В приведенном примере изменение сигнала происходит с изменением времени и дискретный набор значений сигнала соответствует разным моментам времени Большинство дискретных сигналов имеет именно такую природу Следует учитывать, однако, что практический интерес могут иметь также сигналы, зависящие не от времени, а от какой-либо другой непрерывной величины, например, от пространственной координаты Будем, тем не менее, в основном рассматривать сигналы, зависящие именно от времени и обозначать интервал дискретизации по времени символом Эффекты, связанные с дискретизацией по уровню, обычно учитывать не будем, предпола-

    5 гая, что интервал дискретизации по уровню достаточно мал, чтобы считать эти эффекты пренебрежимо малыми Итак, определим дискретный сигнал как не более чем счетный (на практике, разумеется, конечный, но для удобства аналитического рассмотрения имеет смысл учесть вариант бесконечного числа отсчетов) набор величин, заданных в моменты времени и принимающих непрерывный (на практике, разумеется, дискретный) ряд значений Для значения дискретного сигнала в -ный момент времени введем обозначение (эти значения будем далее называть отсчетами сигнала), а сам сигнал обозначим как Назовем также конечным сигналом дискретный сигнал, имеющий конечное число отличных от нуля значений и ограниченным сигналом дискретный сигнал, сумма абсолютных значений отсчетов которого конечна, или, иными словами, тот сигнал, для которого сходящимся является ряд Примером дискретного сигнала может служить сигнал, значения отсчетов которого определяются выражением Asi Такой сигнал имеет смысл называть гармоническим сигналом с амплитудой A и частотой Частота иногда называется циклической частотой и имеет физический смысл «количество радиан в единицу времени» в отличие от обыкновенной частоты f ( ), имеющей смысл «количество периодов в единицу времени» При рассмотрении непрерывных сигналов (теория цепей и сигналов, см, например, [СИБаскаков Радиотехнические цепи и сигналы М: Высшая школа, 983, с5]), основополагающее значение имеет понятие спектра сигнала, определяемого выражением: X ( ) Понятие спектра дискретного сигнала легко ввести, если поставить ему в соответствие непрерывный сигнал, представляющий собой набор δ- функций, сосредоточенных в моменты времени, и имеющих амплитуды : непр 5 d ( ) δ( ) () Спектром дискретного сигнала можно теперь назвать спектр соответствующего ему непрерывного сигнала: X ( ) d δ( ) непр δ ( ) d d Множитель в выражении () был введен единственно с той целью, непр не зависе- чтобы определенные интегралы от непрерывного сигнала

    6 6 ли от интервала дискретизации по времени При неизменном интервале дискретизации этот множитель можно опустить Будем, таким образом, называть спектром дискретного сигнала величину: X () Если отсчеты сигнала являются чисто действительными (а в большинстве случаев это действительно так), спектр является симметричной функцией: X X, где символом обозначена операция комплексного сопряжения Введенный таким образом спектр дискретного сигнала обладает таким неожиданным свойством, как периодичность Действительно, вычислим значение спектра на частоте : X X Как известно, спектры непрерывных сигналов не обладают периодичностью Выявленная периодичность спектра присуща именно дискретным сигналам и обусловлена, вообще говоря, тем фактом, что само понятие частота определена для дискретного сигнала неоднозначно Так, например, гармонический сигнал с частотой совпадает с гармоническим сигналом с частотой : A A A A si si si si Если непрерывный сигнал имеет верхнюю граничную частоту В, то есть сосредоточен в полосе частот [ ] В В, то при его дискретизации с интервалом дискретизации периодические повторы его спектра не будут накладываться друг на друга при выполнении условия В f В Сформулированное условие называется условием Котельникова (хотя за рубежом его чаще связывают с именем Найквиста) и обычно определяет частоту дискретизации непрерывных сигналов Вычислим спектр часто встречающегося прямоугольного сигнала > при при X

    7 cos( ( ) ) cos cos( ) cos ( ) ( ) si si si ( ( ) ) cos( ) cos cos si si Итак, спектр прямоугольного сигнала имеет вид: si ( ( ) ) X (3) si( ) Форма модуля спектра (3) при показана на рис Значение спектра на частоте легко получить, вычисляя соответствующий предел функции (3) Нетрудно заметить, что вычисленный спектр обладает как симметрией, так и периодичностью Выражение () можно обратить, то есть выразить Рис Форма модуля спектра (3) при отсчеты через спектр X и проинтегрируем по периоду [ ] X Для этого домножим обе части равенства () на : ( ) d d 7 d При выводе последнего выражения использован тот общеизвестный факт, что интеграл ( ) d равен, если, и нулю в противном случае Окончательно отсчеты дискретного сигнала выражаются через его спектр следующим образом: X d () Приблизительно столь же важное значение, как спектр (или преобразование Фурье) для непрерывных сигналов, для дискретных сигналов имеет так называемое -преобразование Оно определяется следующим образом: [ ] X Z, (5) то есть дискретному сигналу ставится в соответствие комплексная функция X комплексного аргумента, представляющая собой степенной ряд [ГЕШилов Математический анализ (функции одного переменного) М: Наука, 969, с38], коэффициентами которого являются отсчеты сигнала Z-

    8 преобразование сигнала может быть определено не на всей комплексной — плоскости, та область плоскости, где оно определено, то есть ряд (5) сходится, называется областью сходимости Рассмотрим несколько примеров Пример Единичный сигнал : [ ] E при ; при Z Z-преобразование единичного сигнала тождественно равно единице, область сходимости вся -плоскость Пример Экспоненциально убывающий (или нарастающий) сигнал: при a Таким образом, областью сходимости -преобразования сигнала является часть комплексной -плоскости, являющаяся внешней по отношению к окружности с центром в точке и радиусом a Пример 3 Гармонический сигнал при 8

    9 9 Пример Рассмотрим абстрактный гармонический сигнал :, который назван абстрактным, во-первых, потому, что, в отличие от предыдущих примеров, он не начинается в момент времени, а длится «всегда», от до, и, вовторых, принимает комплексные значения, что на практике реализовано быть не может Такие сигналы, тем не менее, играют большую роль в математическом анализе дискретных систем, поскольку все реальные сигналы можно представить в виде линейной комбинации рассматриваемых сигналов Так, например, si, cos, и тд Итак, найдем -преобразование абстрактного гармонического сигнала: [ ] Z Анализируя последнее выражение, нетрудно убедиться, что оно равно нулю практически везде:, за исключением точки, где оно обращается в бесконечность Этот факт дает основание объявить искомое -преобразование δ-функцией: [ ] δ : Z (6) Вообще говоря, это не совсем правильно, поскольку полученную δ-функцию можно без каких-либо последствий умножить на любую константу Поиск точного значения этой константы представляет собой достаточно сложную математическую задачу, поэтому в дальнейшем будем использовать выражение (6) либо в представленном виде, либо с неопределенной константой: [ ] δ : C Z Рассмотрим основные свойства -преобразования ) Как это следует непосредственно из определения и уже было использовано в примере 3, -преобразование линейно, то есть [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y y y Z Z Z Z Z a a a ) Z-преобразование задержанного сигнала Пусть сигнал y представляет собой задержанный на один отсчет сигнал, то есть y Тогда [ ] [ ] y Z Z y X Y, (7) то есть -преобразование задержанного на один отсчет сигнала получается из -преобразования исходного сигнала путем умножения его на Легко по-

    10 казать, что задержка на отсчетов приводит к умножению -преобразования на 3) Z-преобразование свертки сигналов Рассмотрим свертку дискретных сигналов: y y :, которая является дистрибутивной операцией, то есть не изменяется при перестановке операндов: Z y [ y] y y y Вычислим -преобразование свертки: Y y Y Y X Z[ ] Z[ y] y y y : y Таким образом, -преобразование свертки двух сигналов представляет собой произведение -преобразований сигналов, входящих в свертку ) Связь -преобразования со спектром сигнала Спектр дискретного сигнала () легко может быть получен из его — преобразования: X X, (9) то есть спектр сигнала представляет собой значения его -преобразования, взятые в точках, которые лежат на окружности единичного радиуса, причем параметр является полярным углом точки на окружности Сделанный вывод в очередной раз свидетельствует, что спектр дискретного сигнала обязан быть периодичным с периодом На этом этапе рассуждений полезно вновь обратиться к примеру и рассмотреть его с новой точки зрения При a , то единичная окружность лежит вне области сходимости и спектр сигнала не определен, что легко понять, поскольку в этом случае сам дискретный сигнал не является ограниченным (8)

    11 Контрольные вопросы и задачи Какова максимальная погрешность при дискретизации непрерывного сигнала, принимающего значения в диапазоне ( ) ( ) В, -разрядным АЦП? Непрерывной или дискретной функцией частоты является спектр дискретного сигнала ()? 3 Вычислите максимально возможный интервал дискретизации при дискретизации сигнала с полосой частот ( Гц кгц) Вычислите спектр дискретного сигнала: при ; при 5 Исследуйте, как различаются дискретные спектры одного и того же сигнала, отсчеты которого взяты с разными интервалами дискретизации: X X ( ) ; () 6 Вычислите -преобразование сигнала с отличными от нуля отсчетами. 5, 3, 5 Какова область сходимости этого — преобразования? 7 Вычислите -преобразование сигнала: при 12 Цифровые фильтры Начнем теперь рассмотрение систем, выполняющих обработку дискретных сигналов По аналогии с непрерывными системами их логично называть фильтрами В настоящее время такие системы принято называть цифровыми фильтрами (digial filrs) Обработка сигнала в самом общем случае может быть выражена как некоторый алгоритм, или закон, позволяющий по заданному входному сигналу получить выходной сигнал y Этот алгоритм удобно выразить соотношением: y Lˆ, [ ] где через Lˆ обозначен оператор, отображающий пространство дискретных сигналов само на себя и присущий данному конкретному цифровому фильтру Будем рассматривать далее линейные фильтры, то есть фильтры, реакция которых (выходной сигнал) на сумму двух входных может быть представлена как сумма его реакций на отдельные составляющие входного сигнала: L ˆ[ a ] Lˆ [ a] Lˆ [ ] alˆ [ ] Lˆ [ ] Кроме того, выделим в отдельную группу фильтры, реакция которых на сдвинутый по времени сигнал представляет собой сдвинутую по времени на такую же величину реакцию фильтра на несдвинутый сигнал: Если

    : y Такие фильтры будем называть инвариантными Для дискретных сигналов, отсчеты которых относятся к разным моментам времени, требование инвариантности является естественным и не требующим специального постулирования Это связано с тем фактом, что время, как правило, не имеет выделенной точки отсчета Существуют, однако, такие дискретные системы, в которых требование инвариантности далеко не так естественно Такие системы встречаются, например, в случае, если отсчеты дискретного сигнала относятся не к различным моментам времени, а к различным точкам пространства Далее мы будем рассматривать линейные инвариантные фильтры Именно для таких фильтров удается получить ряд достаточно интересных выводов, оказывающихся весьма полезными при анализе и синтезе дискретных систем Рассмотрим воздействие на линейный инвариантный фильтр единичного сигнала Обозначим выходной сигнал фильтра при таком воздействии как h и будем называть его импульсной характеристикой: [ ] h Lˆ Для линейных инвариантных фильтров импульсная характеристика полностью характеризует фильтр Чтобы показать это, представим произвольный входной сигнал как его свертку с самим собой:

    13 : В последнем выражении величины являются просто числами (не сигналами), поэтому воздействие линейного инвариантного цифрового фильтра на входной сигнал может быть записано следующим образом: [ ] y y L ˆ : h, то есть выходной сигнал линейного инвариантного фильтра может быть выражен как свертка входного сигнала и импульсной характеристики: y Lˆ [ ] h () Реальные цифровые фильтры, обрабатывающие временные дискретные сигналы, должны отвечать принципу причинности, запрещающему выходному сигналу принимать отличные от нуля значения до прихода первого ненулевого отсчета входного сигнала Такие фильтры будем называть каузальными фильтрами, их импульсная характеристика должна подчиняться требованию: h при 14 и он также является гармоническим сигналом, причем отношение амплитуд выходного и входного сигнала определяется значением передаточной характеристики фильтра в точке единичной окружности, соответствующей частоте входного сигнала Итак, частотная характеристика линейного инвариантного цифрового фильтра равна значению передаточной характеристики фильтра в соответствующей точке: H H Определенная таким образом частотная характеристика совпадает со спектром импульсной характеристики, как это и имеет место в случае непрерывных систем: H h H h Рассмотрим в качестве примера цифровой фильтр, осуществляющий численное дифференцирование входного сигнала и работающий по следующему алгоритму: y ( ) Для вычисления передаточной характеристики фильтра выполним -преобразование последнего равенства: Y ( X X ) X, откуда: Y H X Зная передаточную характеристику, найдем частотную характеристику: H H, используя которую, можно по формуле () вычислить отсчеты импульсной характеристики: h h h H H H d d d d ; d ; d ; h3 ; h ; Таким образом, только два отсчета импульсной характеристики рассматриваемого фильтра отличны от нуля Этот же результат можно было получить, проанализировав реакцию фильтра на единичный сигнал: ( ) h ;

    15 ( ) ( ) ( ) h ; h ; h ; h3 ; h ; Рассмотрим теперь каузальный линейный инвариантный цифровой фильтр Для него передаточная характеристика запишется несколько более простым образом: H Z [ h] h h (3) Поскольку выражение (3) является степенным рядом [ГЕШилов Математический анализ (функции одного переменного) М: Наука, 969, с39], существует некий радиус его сходимости R, при этом ряд (3) сходится во всех точках -плоскости, для которых > R, и расходится во всех точках с Y не ходного сигнала a, то будет определено и на единичной окружности, следовательно, выходной сигнал не будет иметь спектра и не будет ограниченным Будем называть устойчивыми цифровыми фильтрами такие фильтры, выходной сигнал которых при ограниченном входном сигнале также является ограниченным Поскольку при перемножении двух -преобразований область сходимости может только уменьшаться, нетрудно показать, что необходимым и достаточным условием устойчивости является требование R 16 6 где контур интегрирования лежит в области сходимости и охватывает точку На практике применение формулы () приводит к громоздким выкладкам Как правило, вычислить обратное -преобразование обычно удается более простыми способами Пример 6 Вычислим реакцию цифрового фильтра с каузальной импульсной характеристикой a h si на гармонический сигнал, начинающийся в момент времени Поскольку импульсную характеристику можно представить в виде: a a a h, легко найти передаточную характеристику фильтра: a a H Зная передаточную характеристику и -преобразование входного сигнала: X, найдем -преобразование выходного сигнала фильтра: a a a a X H Y Пользуясь стандартной методикой, представим произведение дробей в виде их суммы: a a a a a a a a Y Каждое слагаемое в полученном выражении представляет собой -преобразование показательной последовательности из примера 5, поэтому выполнить обратное — преобразование очень легко: a a a a a a a a y cos si si a a a a a a a a a a Полученное выражение справедливо только при При 17 Контрольные вопросы и задачи Чему равна импульсная характеристика цифрового фильтра, задерживающего входной сигнал на отсчетов: y? Обладает ли она свойствами инвариантности и каузальности? Может ли цифровой фильтр обладать симметричной импульсной характеристикой: h h? 3 Найдите импульсную характеристику цифрового фильтра y Найдите импульсную характеристику цифрового фильтра y 5 Найдите импульсную характеристику цифрового фильтра y 6 Возможен ли цифровой фильтр с передаточной характеристикой H? 7 Найдите импульсную характеристику цифрового фильтра с переда- H точной характеристикой 8 Является ли устойчивым цифровой фильтр с передаточной характе- H? ристикой 9 Два цифровых фильтра с каузальными импульсными характеристиками h a и h соединяются последовательно выход первого под- ключается ко входу второго Найдите импульсную характеристику получившегося цифрового фильтра Возможен ли цифровой фильтр с областью сходимости R 18 3 Цифровые фильтры с сосредоточенными параметрами Рассмотрим отдельные элементы, являющиеся «строительным набором» для построения цифровых фильтров Сумматор устройство с двумя (или более) входами и одним выходом Выходной сигнал представляет собой сумму двух входных: y Сумматор является линейным устройством, поскольку если ( 3) ( ) y и y то ( 3) ( ) ( ) ay y y a Так же без каких-либо затруднений можно показать, что сумматор является инвариантной системой Умножитель на коэффициент Выходной сигнал представляет собой входной, умноженный на некоторый, как правило, действительный, коэффициент: y a Умножитель также является линейным инвариантным устройством Его передаточная характеристика определена на всей -плоскости и равна ко- H эффициенту a: a 3 Элемент задержки Выходной сигнал представляет собой входной, задержанный на один отсчет: y Такой элемент, конечно, линеен и инвариантен Как уже было показано, его передаточная характеристика равна выражению: H и опреде- лена везде, за исключением точки Рассмотренные элементы являются линейными, инвариантными и каузальными Поэтому этими же качествами будет обладать любая их комбинация, то есть такое соединение, при котором выходы одних элементов подключаются ко входам других Будем называть устройство, представляющее собой комбинацию конечного числа элементов рассмотренных трех типов, цифровым фильтром с сосредоточенными параметрами Рассмотрим вопрос о передаточной характеристике фильтра с сосредоточенными параметрами с одним входом и одним выходом y Обозначим выходные сигналы элементов задержки, входящих в состав фильтра, символами q ( ) Так как на вход этих элементов задержки может поступать только линейная комбинация других сигналов и, возможно, входного сигнала, можно записать: ( ) q ( ) q a, q. (3) 8

    19 Выходной сигнал фильтра, конечно, также будет определяться линейной комбинацией этих же сигналов: y a, q 9 (3а) В -ный момент времени состояние фильтра полностью определяется ( ) набором параметров q,, q, то есть вектором в -мерном пространстве По этой причине разбираемый метод анализа цифровых фильтров с сосредоточенными параметрами обычно называется методом пространства состояний Выполним -преобразование выражений (3) и (3а): Q Y ( ) ( ) a Q X ( a Q ) X. ; (3) (3а) Полученное выражение (3) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно неизвестных Q ) ( : ( 3) ( ) ( a, ) Q a, Q a,3 Q a, Q X ( 3) ( ) a, Q ( a, ) Q a,3 Q a, Q X ( 3) ( ) a3, Q a3, Q ( a3,3 ) Q a3, Q 3 X (33) ( 3) ( ) a, Q a, Q a,3 Q ( a, ) Q X Определитель системы (33) является полиномом степени не меньше аргумента P, а ее общее решение имеет вид: где ( ) : ( ) ( ) P Q X. (3) P P также полином аргумента степени не меньше Полученное решение (3) позволяет выписать парциальные передаточные характеристики фильтра: ( ) P ( ) Q H. (35) X P ( ) и найти -преобразование выходного сигнала фильтра (используя соотношение (3а)): ( ) P ( ) Y a, Q X a, X X P X P ( ) a, P ( ) P ( ) X P Y P ( ),

    20 где степень полинома P Y, опять-таки, не превосходит Полученный результат позволяет сформулировать важное заключение: Передаточная характеристика цифрового фильтра с сосредоточенными параметрами представляет собой отношение двух полиномов (вообще говоря, разных степеней) аргумента : P P Y X Y H, (36) то есть является дробно-рациональной функцией аргумента Каждый из полиномов, входящих в выражение (36), имеет собственный набор корней и соответствующий ему набор коэффициентов:, M M M M C β β β β α α α α α H (37) причем следует отметить, что, если коэффициенты умножителей, входящих в состав фильтра с сосредоточенными параметрами, являются чисто действительными, то также чисто действительными являются коэффициенты обоих полиномов, и, следовательно, их корни либо чисто действительны, либо образуют комплексно сопряженные пары Легко заметить, что при равенстве аргумента одному из корней числителя передаточной характеристики (37) сама характеристика принимает нулевое значение По этой причине величины принято называть нулями передаточной характеристики Аналогично, при равенстве аргумента одному из корней знаменателя характеристики нулевое значение принимает знаменатель, а сама передаточная характеристика обращается в бесконечность Величины поэтому называются полюсами передаточной характеристики фильтра Коэффициенты передаточной характеристики (37) легко выразить через ее нули и полюсы, используя симметрические полиномы [ГКорн, ТКорн Справочник по математике М: Наука, 968, с38] Так, например, для 5 эти коэффициенты выражаются следующим образом: ; ; ; ; α α α α α

    21 Обратная задача вычисление корней полинома по его коэффициентам несравненно сложнее и общего решения не имеет Как будет показано в дальнейшем, этот факт сильно усложняет исследование цифровых фильтров на устойчивость Пример 7 Схема цифрового фильтра, работа которого определяется уравнением y 5 приведена на риса Его передаточная характеристика имеет вид: 5 Y X 5 H, X X ее нули легко найти из уравнения 5 : ; 5 ; ; 5 Все нули передаточной характеристики лежат на единичной окружности, их взаимное расположение показано на рисб ; а) б) Рис Схема (а) и расположение нулей передаточной характеристики (б) цифрового фильтра y 5 Как уже отмечалось ранее, если передаточная характеристика каузального цифрового фильтра не определена в какой-либо точке -плоскости, то она не определена также и во всех точках, удовлетворяющих условию 22 Большое число приложений фильтрации сигналов использует так называемые фильтры с линейной фазово-частотной характеристикой (ЛФЧХ) Такие фильтры обладают частотной характеристикой вида: α H A, (38) где действительная функция A является амплитудно-частотной характеристикой, постоянная α также действительна Исследуем вопрос о возможности построения ЛФЧХ-фильтров с сосредоточенными параметрами Для этого запишем частотную характеристику фильтра с сосредоточенными параметрами: ( ) α α α α α H M M β β β β ( ) ( ) ( ) ( α α α α α ) M ( M ) ( M ) ( M ) M M M M Из сравнения последнего выражения с (38) легко получается условие линейности фазово-частотной характеристики: α α ; α α ; α α ; ; β β β β β β βm ; β βm ; β βm ;, то есть наборы коэффициентов полиномов как числителя, так и знаменателя передаточной характеристики (37) симметричны Полином же с симметричными коэффициентами обладает одной характерной особенностью: P α α α α α α ( α α α α α α ) P Эта особенность распространяется и на всю передаточную характеристику (37): H ( ) H Следовательно, если передаточная характе- M ристика фильтра имеет нуль в точке, она должна иметь его и в точке Аналогично, если передаточная характеристика фильтра имеет полюс в точке, она должна иметь его и в точке, то есть она обязательно будет иметь полюс, лежащий вне единичной окружности, а поэтому цифровой фильтр с рассматриваемой передаточной характеристикой не будет устойчивым Таким образом, устойчивый цифровой фильтр с сосредоточенными параметрами может обладать линейной фазово-частотной характеристикой в том и только в том случае, если его передаточная характеристика не содержит полюсов На основании вышеизложенного может создаться впечатление, что все линейные цифровые фильтры имеют передаточную характеристику вида (37) Существуют, однако, системы обработки сигналов, которые не могут быть сведены к фильтрам с сосредоточенными параметрами Так, например, в задачах на дифракцию электромагнитного излучения [Дж Гудмен Введение в фурье-оптику М: Мир, 97, с88] связь между исходным изображением f (, y) M

    23 g, задается дву- и дифрагированным (на расстояние d) изображением ( y) мерной импульсной характеристикой h (, y) : g ( y ) d, (, y) f (, y) h(, y) f (, y) где волновое число, и y пространственные координаты В одномерном случае дискретизация пространственной координаты с интервалом дискретизации приведет к соотношению: (, y) d g f h f, что дает основание записать передаточную характеристику системы: d H Полученная передаточная характеристика никаким образом не может быть записана в виде (37) Более того, сама импульсная характеристика цифрового фильтра в рассматриваемом примере неограничена в обе стороны, то есть фильтр к тому же не является каузальным Приведенный пример в очередной раз демонстрирует, что полученные результаты (3-37) и сформулированный критерий устойчивости цифровых фильтров применим только к каузальным фильтрам с сосредоточенными параметрами 3

    24 Контрольные вопросы и задачи Постройте цифровой фильтр, вычисляющий вторую производную входного сигнала: y ( ) ( ) При этом воспользуйтесь разностной аппроксимацией производной Постройте цифровой фильтр, вычисляющий интегрирование входного сигнала: y( ) ( )d интегрирования Воспользуйтесь при этом формулами численного T 3 Найдите частотную характеристику элемента задержки y Обладает ли он линейной ФЧХ? Можно ли построить цифровой фильтр с передаточной характеристикой, имеющей два полюса:, 5 и, 5? 5 Сколько нулей и сколько полюсов имеет передаточная характери- H? стика цифрового фильтра 6 Постройте цифровой фильтр с сосредоточенными параметрами, об- H ладающий передаточной характеристикой 7 Обладает ли линейной фазово-частотной характеристикой цифровой фильтр примера 7? 8 Найдите парциальные передаточные характеристики цифрового фильтра примера 7 9 Могут ли не совпадать наборы полюсов передаточной характеристики цифрового фильтра с сосредоточенными параметрами и его парциальных передаточных характеристик? Можно ли построить цифровой фильтр с сосредоточенными пара- H l? метрами с передаточной характеристикой

    25 Структуры построения цифровых фильтров Рассмотрим цифровой фильтр с сосредоточенными параметрами, передаточная характеристика которого (37) не содержит полюсов Передаточная характеристика в этом случае будет иметь вид: H A ( ) a a a a a, из чего следует связь между -преобразованиями входного и выходного сигналов: ( ) Y ( a a a a a ) X После обратного -преобразования получим уравнение работы цифрового фильтра: y a a a a a Структурная схема фильтра, реализующего полученное уравнение, приведена на рис3 Фильтры с рассматриваемой структурой носят название трансверсальные цифровые фильтры Рис3 Структурная схема трансверсального цифрового фильтра Импульсная характеристика трансверсального цифрового фильтра представляет собой коэффициенты передаточной характеристики a : y h; h a;,, Поскольку количество элементов задержки в реальном трансверсальном фильтре конечно, конечным является и количество ненулевых отсчетов импульсной характеристики фильтра, то есть импульсная характеристика трансверсального цифрового фильтра является конечной Фильтры, обладающие таким свойством, принято выделять в отдельный класс и называть КИХ-фильтрами Итак, трансверсальные фильтры обладают конечной импульсной характеристикой, то есть относятся к КИХ-фильтрам Обратное утверждение неверно, и КИХ-фильтры можно строить, не используя трансверсальные структуры Рассмотрим теперь, как альтернативу КИХ-фильтра, цифровой фильтр, передаточная характеристика которого содержит только полюсы: 5

    26 H ( )( )( ) A β β β β Связь -преобразования входного и выходных сигналов в этом случае примет вид: X Y ( ), β β β β откуда после обратного -преобразования вытекает уравнение работы фильтра: y ( β y β y β y( ) β y ), по которому легко построить его структурную схему, которая приведена на рис M Рис Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра без нулей передаточной характеристики Рассмотренный цифровой фильтр относится к так называемым рекурсивным фильтрам Своим названием они обязаны наличием «обратной связи» выходной сигнал снова подается на вход системы Как правило (но не всегда), рекурсивные цифровые фильтры обладают бесконечной импульсной характеристикой, то есть являются БИХ-фильтрами Простейший пример рекурсивного цифрового фильтра с импульсной характеристикой h a рассмотрен в примере 5, где показывается, что передаточная характеристика фильтра имеет один полюс: H a Реализация цифровых фильтров может быть самой разной, причем совершенно различные на первый взгляд фильтры могут обладать идентичными передаточными характеристиками На рис5 приведены три различных цифровых фильтра с одной и той же передаточной характеристикой Несмотря на одинаковость полной передаточной характеристики, если эти фильтры представить в виде (3), то они окажутся различными, и различными также будут их парциальные передаточные характеристики 6

    27 Рис5а Фильтр с передаточной характеристикой, содержащей два полюса Рис5б Последовательное (каскадное) соединение двух фильтров первого порядка На рис5а приведена структурная схема фильтра, передаточная характеристика которого содержит два действительных полюса a и : H a a ( a ) a a ( a ) Работа фильтра определяется уравнением: y a ( a ) y ay Рассмотренную передаточную характеристику можно представить в виде произведения двух дробей: a H, a a поэтому ее можно реализовать путем последовательного соединения двух фильтров, передаточная характеристика каждого из которых содержит только один полюс (фильтры первого порядка) Эти фильтры будут описываться уравнениями: () () () ( y ) y a( y ) () y a ;, а их соединение приведено на рис5б Произведение двух дробей можно записать в виде их суммы: H a a a, a a поэтому сам фильтр можно реализовать путем суммирования выходных сигналов фильтров с передаточными характеристиками: a H ; H, a Рис5в Параллельное с умножением полученного сигнала на коэффициент соединение фильтров a ( a ) Цифровой фильтр описанной структуры первого порядка изображен на рис5в Как демонстрирует рис5, цифровой фильтр с заданной передаточной характеристикой можно реализовать различными способами Это дает разработчику лишнюю «степень свободы», позволяя помимо заданной передаточной характеристики добиться выполнения каких-либо других требований типа минимизации шумов дискретизации по уровню, минимизации числа элементов схемы фильтра и тд 7

    28 Поскольку цифровые фильтры рис3 и рис обладают передаточными характеристиками, являющиеся соответственно числителем и знаменателем выражения (37), их последовательное соединение является фильтром с передаточной характеристикой (37) Такой фильтр изображен на рис6 Первая его часть не имеет полюсов передаточной характеристики, ее выход подключается ко входу второй части, передаточная характеристика которой обладает только полюсами и не имеет нулей Передаточная характеристика всего фильтра воспроизводит выражение(37), то есть обладает как нулями, так и полюсами Рис6 Первая прямая форма построения цифровых фильтров Структурная схема, приведенная на рис6, называется первой прямой формой построения цифрового фильтра Альтернативой первой прямой формы является вторая прямая форма, которая получается из структурной схемы рис6 перестановкой частей первая часть фильтра имеет передаточную характеристику без нулей, а вторая без полюсов Рис7 Вторая прямая форма (каноническая форма) построения цифровых фильтров 8

    29 Получающаяся при этом структурная схема фильтра приведена на рис7 Главным ее достоинством, как это видно из рисунка, является уменьшенное по сравнению с первой прямой формой количество элементов задержки Действительно, первая прямая форма использует M элементов i, M задержки, а вторая Контрольные вопросы и задачи Для какой передаточной характеристики первая и вторая прямые формы построения цифрового фильтра совпадают? Всегда ли вторая прямая форма использует меньшее количество элементов задержки, нежели первая? 3 Можно ли построить цифровой фильтр со структурой, не являющейся ни одной прямой формой? Проанализируйте схемы рис5(а-в) Есть ли среди них прямые формы? 5 Возможны ли передаточные характеристики, которые невозможно реализовать цифровыми фильтрами с прямыми формами построения? 6 Постройте первую и прямую форму цифрового фильтра, передаточная характеристика которого имеет один ноль, 6 и два полюса, 8 и, 8 Однозначно ли построение такого фильтра? H H 7 Постройте цифровой фильтр с передаточной характеристикой 3 Является ли устойчивым построенный фильтр? Является ли устойчивым фильтр с передаточной характеристикой,5? Конечна ли его импульсная характеристика?,5 9 Используя прямые формы, постройте фильтр с передаточной харак- H теристикой Является ли фильтр с передаточной характеристикой H рекурсивным фильтром? 9

    30 5 Проектирование цифровых фильтров методом взвешивания Наиболее привлекательными с точки зрения проектирования являются трансверсальные фильтры, обладающие конечной импульсной характеристикой Как уже было отмечено, коэффициенты трансверсального фильтра совпадают с отсчетами его импульсной характеристики Если исходными данными для проектирования является именно импульсная характеристика фильтра, то проектирование не требует вообще никаких усилий Обычно, однако, исходными данными является требуемая амплитудно-частотная характеристика фильтра (АЧХ) H В этом случае отсчеты импульсной характеристики должны выражаться через АЧХ формулой (): h H d H d H d (5) cos H d H d H d Пример 8 Зададим АЧХ фильтра: 5 f ( кгц) при f кгц; H ( f ) при f > кгц, где вместо циклической частоты используется обыкновенная частота f ( ) Внешний вид такой характеристики показан на рис8а Интервал дискретизации должен удовлетворять условию Котельникова В ( f В ) 5 мс Выберем мс Отсчеты импульсной характеристики могут быть вычислены по формуле (5), вид импульсной характеристики приведен на рис8б а) б) Рис8 Амплитудно-частотная и импульсная характеристики цифрового фильтра из примера 8 После вычисления импульсной характеристики фильтра неизбежно возникает ряд вопросов Во-первых, полученная импульсная характеристика неограниченна и ее, казалось бы, невозможно использовать для построения трансверсального фильтра Во-вторых, она вообще не удовлетворяет требованию каузальности и ее нельзя использовать для построения каких бы то ни 3

    31 было временных фильтров Обе эти проблемы помогает разрешить простой прием Импульсная характеристика рис8б, как и любая другая, вычисленная по формуле (5), должна убывать при ± Поэтому можно объявить ее отсчеты, большие некоторого номера, равными нулю: h при > После этого сдвинем уже конечную импульсную характеристику вправо на Этот сдвиг приведет к домножению частотной характеристики на множитель, то есть сдвиг не приведет к изменению амплитудно-частотной характеристики Конечно, отбрасывание «хвостиков» импульсной характеристики должно повлиять на частотную характеристику проектируемого фильтра Пример 9 Вычислим АЧХ цифрового фильтра с импульсной характеристикой, получающийся из импульсной характеристики рис8б отбрасыванием отсчетов с > 3 и сдвигом полученной характеристики вправо на 3 отсчетов (рис9а) Получающаяся при этом импульсная характеристика содержит 6 отсчет Частотная характеристика без учета фазового множителя может быть вычислена по формуле (): и приведена на рис9б 3 H h, 3 а) б) Рис9 Импульсная и частотная характеристики цифрового фильтра примера 8, полученные после применения прямоугольного окна шириной 6 На рис9 хорошо видно, что получившаяся частотная характеристика фильтра действительно является периодической с периодом (по обыкновенной частоте f ( ) ) F кгц Отличие формы амплитудно-частотной характеристики созданного таким образом цифрового фильтра связано в первую очередь с переходом от бесконечной импульсной характеристики к ее конечной выборке Из этого следует, что увеличение длительности этой конечной выборки должно позволить приблизиться к заданной АЧХ Пример Синтезируем тот же фильтр, который был рассмотрен в примере 9, но отбросим отсчеты импульсной характеристики с номерами > 5 Новая импульсная характеристика содержит отсчет и приведена на риса Частотная характеристика синтезированного фильтра, рассчитанная по той же формуле (), показана на рисб Налицо гораздо большее приближение к заданной амплитудно-частотной характеристике 3

    32 а) б) Рис Импульсная и частотная характеристики цифрового фильтра примера 8, полученные после применения прямоугольного окна шириной Общей отличительной чертой цифровых фильтров из примеров 9 и является наличие осцилляций частотной характеристики, амплитуда которых, как это видно из рис9 и рис, не уменьшается при увеличении числа отсчетов импульсной характеристики Нетрудно выяснить причину появления этих осцилляций При оставлении конечной выборки отсчетов импульсной характеристики фактически происходит умножение бесконечной импульсной характеристики, спектр которой, естественно, совпадает с заданным спектром, на прямоугольный сигнал (часто используют термин окно): при ; w при > При умножении же сигналов их спектры, как известно, подвергаются свертке Действительно, X W, w w d ( ) ( ) ( ) ( ) w d,, w, Спектр прямоугольного сигнала (рис) обладает характерными осцилляциями, которые и проявляются при применении прямоугольного окна (рис9, рис) Выяснив причину появления осцилляций, можно предложить рецепт их устранения Для этого достаточно использовать не прямоугольное окно, а какое-либо другое окно, в спектре которого отсутствуют (или почти отсутст- w w d d 3

    33 вуют) нежелательные осцилляции На практике часто используется так называемое окно Хэмминга: α ( α) cos при ; w при > Минимум осцилляций в спектре окна Хэмминга достигается при значении параметра α 5 Часто, однако, для простоты вычислений выбирают α 5, такое окно носит название окно Ханна На рис приведено окно Хэмминга при α 5, 5 и фрагмент его спектра при мс Там же для сравнения (тонкая линия) показан фрагмент спектра прямоугольного окна шириной отсчет и с той же частотой дискретизации Рис Окно Хэмминга при α 5, 5 и фрагмент его спектра при мс Нетрудно удостовериться, что устранение осцилляций частотной характеристики достигается за счет увеличения ширины ее главного лепестка Пример Применим окно Хэмминга для проектирования цифрового фильтра примера 8 Выберем при этом α 5 и 5 Импульсная и частотная характеристики получившегося при этом фильтра приведены на рис Рис Импульсная и частотная характеристики цифрового фильтра примера 8, полученные после применения окна Хэмминга ( α 5 ) шириной Сравнение рис и рис подтверждает вывод, что устранение осцилляций частотной характеристики происходит за счет ее «размытия», то есть 33

    34 увеличения ширины ее мелких деталей, таких как резкие перепады, выбросы и тд Наряду с прямоугольным окном и окном Хэмминга используется также окно Бартлета (треугольное окно): при ; w при >, и окно Кайзера: I( β ( ) ) w при ; I( β) при >, где I функция Бесселя нулевого порядка Окно Кайзера обеспечивает минимальную энергию боковых лепестков спектра окна Чем больше параметр β, тем шире главный лепесток и меньше доля энергии в боковых лепестках Рассмотренный метод проектирования цифровых фильтров с конечной импульсной характеристикой, имеющих заданную частотную характеристику носит название метод взвешивания по той причине, что отсчеты импульсной характеристики, вычисленные по формуле (5), умножаются на весовые коэффициенты, определяемые тем или иным окном, в простейшем случае прямоугольным Напомним основные этапы проектирования КИХ-фильтров методом взвешивания: По заданной частотной характеристике, используя (5), рассчитать отсчеты импульсной характеристики Выбрать тип используемого окна (прямоугольное, Ханна, Хэмминга, Бартлета или Кайзера) и его ширину 3 Домножить полученную импульсную характеристику на выбранное окно Сдвинуть конечный набор отсчетов импульсной характеристики на половину ширины окна, так, чтобы первый отличный от нуля отсчет имел номер 5 Полученный конечный набор отсчетов импульсной характеристики использовать для построения трансверсального цифрового фильтра (рис3) Поскольку исходная частотная характеристика является, как правило, чисто действительной, вычисленные отсчеты импульсной характеристики симетричны: h h Эта симметрия сохраняется, конечно, и после умножения на симметричное окно, и после сдвига импульсной характеристики Поэтому рассчитанный описанным методом цифровой фильтр (конечно, при действительной исходной частотной характеристике) будет неизбежно обладать линейной фазово-частотной характеристикой 3

    35 Контрольные вопросы и задачи Обладают ли фильтры, построенные методом взвешивания, линейной фазово-частотной характеристикой? Можно ли использовать метод взвешивания для построения цифровых фильтров с заданной фазово-частотной характеристикой? 3 Импульсные характеристики примеров 9- обладают симметрией Является ли это свойство неизбежным при использовании метода взвешивания? Может ли оконная функция w не обладать симметрией w w? 5 Можно ли использовать метод взвешивания для проектирования H H? фильтров с нечетной импульсной характеристикой 6 Постройте методом взвешивания цифровой фильтр с частотной характеристикой: H ( f ) при при f f кгц Используйте при этом частоту дискретизации кгц и прямоугольное окно шириной отсчет 7 Повторите п6 с частотой дискретизации кгц Сравните частотные характеристики получившихся фильтров 8 Повторите п6 с шириной окна отсчет Сравните частотные характеристики получившихся фильтров 9 Постройте методом взвешивания цифровой фильтр с частотной характеристикой: H ( f ) при при f f кгц Повторите п9 с другими значениями частоты дискретизации и ширины окна Сравните частотные характеристики получившихся фильтров 35

    36 6 Проектирование цифровых фильтров методом частотной выборки Попытаемся создать цифровой фильтр, частотная характеристика которого в конечном числе точек совпадает с заданной характеристикой H Пусть количество этих точек равно Тогда справедлива система: H ( ) H. (6) Назвать эту систему системой уравнений, конечно, уместно только в том случае, если она содержит неизвестных в левой части Передаточная (а следовательно, и частотная) характеристика любого цифрового фильтра с сосредоточенными параметрами имеет вид (37) и полностью определяется заданием конечного набора нулей и полюсов: ( ) H α α α α α ( M ) M (6) β β β βm Если принять в выражении (6) M, то система (6) действительно превращается в систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов цифрового фильтра и проектирование цифрового фильтра сведется к решению этой системы Для проектировщика, конечно, остается проблема выбора сколько нулей и сколько полюсов должна содержать передаточная характеристика создаваемого фильтра Более того, даже если определиться с количеством нулей и полюсов, все равно останется опасность, что рассчитанный фильтр будет иметь полюсы передаточной характеристики, лежащие вне единичной окружности, и, следовательно, не будет устойчивым Этих осложнений можно избежать, если совсем отказаться от полюсов передаточной характеристики В этом случае частотная характеристика фильтра определяется коэффициентами α, которые к тому же являются отсчетами импульсной характеристики фильтра h α, и которые можно найти, решая систему уравнений: ( ) h. H H (63) Решение системы (63) дает непосредственно коэффициенты трансверсального фильтра, при этом на выбранные частоты не накладывается никаких ограничений Описанный метод проектирования цифровых фильтров позволяет проектировать фильтры с конечной импульсной характеристикой и называется методом частотной выборки равномерно от- В практическом смысле удобно выбрать частоты стоящими друг от друга на интервале . При таком выборе система (63) примет более удобный вид: H h. 36

    Построение КИХ-фильтров в заданном параметрическом классе частотных характеристик для коррекции фокусировки Текст научной статьи по специальности « Компьютерные и информационные науки»

    Аннотация научной статьи по компьютерным и информационным наукам, автор научной работы — Фурсов Владимир Алексеевич

    Рассматривается технология восстановления из­бражений, подвергшихся искажениям типа дефок­сировки с использованием КИХ-фильтров , получаемых путем идентификации параметров модели импульсного отклика по прецедентам. Модель импульсного отклика задается в классе одномерных функций, являющихся аппроксимацией заданного частотного отклика фильтра в радиальном направлении. Отсчеты двумерного импульсного отклика определяются с учетом свойства радиальной симметрии искажений путем дискретизации этой функции и нормализации отсчетов. Класс аппроксимирующих функций задается так, чтобы обеспечивались желаемые свойства частотного отклика для устранения дефокусировки: усиление низких и подавление высоких частот. Важным достоинством метода являются высокое качество восстановления и быстрота настройки фильтра, т.к. аппроксимирующая функция соответствует заданному частотному отклику и определяется малым числом настраиваемых параметров. Приводятся примеры реализации, иллюстрирующие возможность достижения более высокого качества, по сравнению с фильтром Винера, размещенным в открытой библиотеке обработки изображений OpenCV.

    Похожие темы научных работ по компьютерным и информационным наукам , автор научной работы — Фурсов Владимир Алексеевич

    Constructing FIR-filters for a given parametrical >A problem of the restoration of defocused images is considered. For this purpose, we construct an FIR-filter by identifying the model from a special class of parameters with use of test images. The model of impulse response is defined in a class of univariate functions, which approximate the required frequency response in the radial direction. Samples of the twodimensional impulse response are defined by discretization and the subsequent sample normalization. The approximation function class is defined so as to amplify low and suppress high spectrum frequencies. Important advantages of the method are high-quality image restoration and fast identification of filter’s model due to the fact that the approximating function is determined by a small number of unknown parameters. In this article realization examples are given. These examples show the possibility of achieving the higher-quality restoration in comparison with the Wiener filter from the open-source image processing library OpenCV.

    Текст научной работы на тему «Построение КИХ-фильтров в заданном параметрическом классе частотных характеристик для коррекции фокусировки»

    ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ, РАСПОЗНАВАНИЕ ОБРАЗОВ

    ПОСТРОЕНИЕ КИХ-ФИЛЬТРОВ В ЗАДАННОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ КЛАССЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ КОРРЕКЦИИ ДЕФОКУСИРОВКИ

    1 Институт систем обработки изображений РАН — филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, Самара, Россия, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, Самара, Россия

    Рассматривается технология восстановления изображений, подвергшихся искажениям типа дефокусировки с использованием КИХ-фильтров, получаемых путем идентификации параметров модели импульсного отклика по прецедентам. Модель импульсного отклика задается в классе одномерных функций, являющихся аппроксимацией заданного частотного отклика фильтра в радиальном направлении. Отсчеты двумерного импульсного отклика определяются с учетом свойства радиальной симметрии искажений путем дискретизации этой функции и нормализации отсчетов. Класс аппроксимирующих функций задается так, чтобы обеспечивались желаемые свойства частотного отклика для устранения дефокусировки: усиление низких и подавление высоких частот. Важным достоинством метода являются высокое качество восстановления и быстрота настройки фильтра, т.к. аппроксимирующая функция соответствует заданному частотному отклику и определяется малым числом настраиваемых параметров. Приводятся примеры реализации, иллюстрирующие возможность достижения более высокого качества, по сравнению с фильтром Винера, размещенным в открытой библиотеке обработки изображений OpenCV.

    Ключевые слова: КИХ-фильтр, импульсный отклик, частотный отклик, обработка изображений.

    Цитирование: Фурсов, В.А. Построение КИХ-фильтров в заданном параметрическом классе частотных характеристик для коррекции дефокусировки / В.А. Фурсов // Компьютерная оптика. — 2020. — Т. 40, № 6. — С. 878-886. — Б01: 10.18287/2412-6179-2020-40-6-878-886.

    Проблема восстановления изображений с использованием линейных фильтров изучается более тридцати лет [1] и тем не менее остается актуальной [2, 3]. Простейшим способом восстановления искаженных изображений является обработка наблюдаемого изображения инверсным фильтром [1, 4]. Задача построения инверсного фильтра для восстановления изображений сводится к нахождению некоторого приближения к обратному оператору. При этом основная проблема состоит в том, что соответствующая передаточная функция может иметь полюса, близкие к нулю.

    В связи с этой проблемой общепринятым является мнение, что инверсная фильтрация обладает низкой помехоустойчивостью, поскольку этот метод не учитывает зашумленность наблюдаемого изображения. Однако этот недостаток преодолевается, если при этом используется принцип идентификации по прецедентам [5]. Этот подход заключается в том, что само преобразование и его параметры определяются на основании анализа входных и выходных сигналов или изображений [6]. При этом, поскольку предъявляемый для идентификации образец искаженного изображения содержит реальные шумы, в результате идентификации подбираются наилучшие, в смысле заданного критерия, параметры фильтра с учетом реальных помех [7].

    В рамках указанного идентификационного подхода ключевым является вопрос задания подходящей модели фильтра и определения параметров этой модели [8].

    Наиболее широко при решении задач коррекции искаженных изображений используются КИХ-фильтры. Это связано с их известными преимуществами: устойчивостью и простотой реализации. В частности, в работе [9] обсуждаются преимущества КИХ-фильтров перед БИХ-фильтрами, а также рассматриваются наиболее популярные схемы их построения с использованием оконных функций, фильтра Винера [10] и др.

    Методы построения фильтра Винера, а также фильтров, синтезируемых с использованием оконных функций, имеют прочную теоретическую основу, однако практическая реализация этих фильтров часто оказывается недостаточно эффективной. Дело в том, что они не всегда достаточно полно учитывают специфические особенности моделей искажений. В частности, оконные функции обычно ориентированы на широкий спектр приложений и в конкретных ситуациях не всегда обеспечивают требуемое качество восстановления изображений.

    Альтернативный подход состоит в использовании параметрического оценивания конкретной математической модели искажающей системы с малым числом неизвестных параметров [11, 12]. Методы и алгоритмы параметрической идентификации моделей искажений изображений по малому числу наблюдений исследовались автором в предшествующих работах [13, 14]. В частности, предложена технология параметрической идентификации по прецедентам, задаваемым в виде фрагментов тестовых (неискаженного и реального искаженного) изображений [15].

    В рамках этого подхода при решении задачи идентификации импульсного отклика КИХ-фильтра размерность задачи, равная числу отсчетов импульсного отклика, при интенсивных искажениях велика. Это приводит к ухудшению обусловленности задачи и снижению надежности идентификации [16]. Попытка улучшения обусловленности применением более грубой сетки отсчетов приводит к потере качества. Применение моделей БИХ-фильтров снимает проблему размерности, однако при этом возникает серьезная проблема обеспечения устойчивости [13].

    В настоящей статье предлагается технология синтеза КИХ-фильтра, в которой вместо определения самих отсчетов импульсного отклика осуществляется идентификация параметров непрерывной функции, аппроксимирующей импульсный отклик. При этом зависящее от небольшого числа параметров параметрическое семейство аппроксимирующих функций задается с учетом желаемых частотных характеристик КИХ-фильтров, предназначенных для коррекции искажений (в настоящей работе дефокусировки).

    Указанный подход позволяет, насколько возможно, точно учитывать особенности модели искажений. В частности, известно, что искажения типа дефокусировки проявляются в ослаблении высоких частот, поэтому обратный оператор, вообще говоря, должен усиливать вклад высоких частот. Однако это возможно лишь до определенного предела, поскольку при этом усиливается также влияние помех. Поэтому параметрическая модель инверсного тракта должна обеспечивать компромисс между качеством компенсации дефокусировки и усилением помех. Исследованию одной такой модели и посвящена настоящая работа.

    Работа организована следующим образом. В первом параграфе вводится необходимый формализм. Второй параграф посвящен построению модели, описывающей непрерывную функцию, аппроксимирующую импульсный отклик для заданной функции частотного отклика. В следующем, третьем, параграфе с использованием полученной непрерывной аппроксимации строится технология реализации дискретного КИХ-фильтра. В заключительном, четвертом, параграфе приводятся результаты экспериментов, подтверждающие возможность достижения высокого качества восстановления изображений при крайне малых затратах времени на определение параметров фильтра.

    1. Постановка задачи

    Будем строить КИХ-фильтр с чисто вещественным частотным откликом (с нулевой фазой) [1, 4]. Следовательно, начало координат должно быть центром симметрии опорной области. Указанное допущение мотивируется тем, что это достаточно распространенный на практике случай, вместе с тем это позволит нам достаточно наглядно продемонстрировать основные идеи предлагаемой технологии.

    В общем случае, если фильтр обладает опорной областью Б:

    Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    Предложенная функция состоит из отрезков параболы в диапазоне частот |ю| ю*. Мы требуем также, чтобы ординаты этих отрезков функций совпадали при некоторой частоте ю = ю*. Участок параболы обеспечивает «подъем» низких частот, а участок экспоненты — подавление высоких частот, содержащих помехи. График указанной составной функции для положительных частот приведен на рис. 2.

    Рис. 2. Типичный вид графика спектра фильтра Предположение о радиальной симметрии искажений позволяет нам рассматривать двумерную частотную характеристику как результат «вращения» одномерной частотной характеристики, заданной в радиальном направлении на интервале [0, ¥). Таким образом, мы полагаем спектр (4) одномерным, притом только для положительных частот ю . Соответствующий этой спектральной характеристике импульсный отклик зависит от пространственного параметра г, являющегося расстоянием от центра опорной области. При этих предположениях соотношение для импульсного отклика одномерного КИХ-фильтра описывается следующим обратным преобразованием Фурье:

    | аю2е]югй ю+ | е-сюе1югй ю

    Неопределенные интегралы, соответствующие первому и второму слагаемому в квадратных скобках правой части в (6), имеют вид:

    Г 2 >юг , е]юг I 2 2ю 2

    I аю2е] йю = а- Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    После выделения действительной части получаем:

    ю Б1П юг 2ю 008 юг

    Полученное семейство функций, аппроксимирующих импульсный отклик И(г), является функцией г и зависит от трех параметров: а, с, ю*. Мы можем исключить один параметр, например а, выполнив с учетом условия (5) замену:

    После подстановки (11) в (10) и соответствующих преобразований получаем

    (с С0Б(ю*г) — г б1п(ю*г) )

    Из (12) видно, что аппроксимация импульсного отклика И(г) сводится к настройке двух параметров: ш* и с. Параметр ш* является абсциссой максимального значения частотной характеристики КИХ-фильтра и «отвечает» за качество коррекции дефокусировки. Параметр с характеризует степень присутствия высоких частот в восстановленном изображении. Если в качестве критерия настройки параметра с используется качество восстановления, то увеличение интенсивности помех на искаженном изображении будет сопровождаться увеличением этого параметра, обеспечивающего снижение влияния помех в высокочастотной области. Соответствующие эксперименты будут приведены в параграфе 3.

    Все отсчеты импульсного отклика получаются путем дискретизации непрерывной функции (12). При этом для каждого отсчета из заданной опорной обла-

    сти аргумент г принимается равным радиусу окружности, на которой находится этот отсчет.

    Отдельного обсуждения заслуживает вопрос определения центрального отсчета опорной области при г= 0. Нетрудно заметить, что правая часть в (12) содержит слагаемые, в которых аргумент г находится в знаменателе, либо имеет место неопределенность типа ноль на ноль. Поэтому центральный отсчет определяется как предел И(г) при г ® 0:

    юс + 3 — Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

    Начальная оценка Ю* на первом шаге в блоке 3 задается равной минимальному граничному значению пространственной частоты из диапазона коррекции.

    Если такая информация отсутствует, Ю* можно задать равной нулю. Это будет соответствовать отсутствию интервала «подъема» низких частот. Формирование импульсных откликов (блок 4) состоит в задании дискретных значений функции (12) во всех точках опорной области Б (п1, п2). После задания дис-

    кретных значений отсчетов импульсного отклика, осуществляется их нормировка:

    £ £ И (г, п — ¿1 (г,),П2 — к2 (г )) = 1, (14)

    обеспечивающая сохранение среднего уровня яркости обработанного изображения.

    1. Формирование параметрического класса функций А (ю*,г)

    2. Задание (или формирование

    3. Определение начальной оценки параметра со* на первом шаге

    4. Дискретизация /г(и*,г) (определение отсчётов для х(г)&П)

    5. Восстановление искаженного тестового изображения в соответствии с (3)

    6. Вычисление критерия близости О восстановленного и заданного «неискаженного» тестовых изображений

    8. Формирование очередной оценки

    9. Обработка искаженных изображений

    Рис. 3. Схема этапов технологии С использованием полученного импульсного отклика обрабатывается искаженное тестовое изображение (блок 5). По полученному восстановленному и исходному неискаженному тестовому изображениям в блоке 6 вычисляется значение заданного критерия близости Q. Далее с использованием значений критерия на текущем и предшествующем (или нескольких

    предшествующих) шагах формируются новые оценки

    параметров со и с.

    В схеме специально не указывается применяемый критерий и способ корректировки параметров Ю* и с. Дело в том, что по указанной схеме могут быть реализованы различные алгоритмы как случайного, так и регулярного поиска.

    Подчеркнем, что, хотя аппроксимирующая импульсный отклик функция непрерывна, при обработке изображений и вычислении критерия мы имеем дело только с отсчетами в узлах решетки, образованной пикселами ПЗС-матрицы в опорной области. Поэтому

    даже если расстояние между окружностями в радиальном направлении меньше одного межпиксельного расстояния, между самими отсчетами, расположенными на этих окружностях, расстояния не могут быть менее одного межпиксельного. Например, отсчеты х (0, 2), х (1, 2), находящиеся на очень близких (третьей и четвертой, считая от центра) окружностях, оказываются на одном межпиксельном расстоянии.

    Таким образом, группируя отсчеты, принадлежащие отдельным, в т.ч. близким, окружностям, мы формируем импульсный отклик КИХ-фильтра для всех отсчетов из опорной области без пропусков. Ниже приводятся результаты экспериментов, реализующих описанную технологию.

    4. Результаты экспериментов

    Настройка параметров со*, c фильтра осуществлялась с использованием тестового изображения «Мира» и изображения «Лена», приведенных на рис. 4а, б. Искажения вносились путем моделирования фильтра Гаусса нижних частот для двух вариантов о, соответствующих разной степени размытия: о = 3 и о = 5. На рис. 5а, б приведены те же изображения после внесения искажений с указанными параметрами размытия. Оценка качества восстановления этих изображений осуществлялась с использованием показателя РБЫ^

    Рис. 4. Исходные неискаженные изображения: а) «Мира»; б) «Лена»

    По исходному и искаженному тестовым изобра-

    жениям решалась задача оценки параметров о, c фильтра в соответствии с описанной выше технологией. Первый эксперимент состоял в исследовании поведения оценок и связи размеров опорной области с параметрами фильтра и качеством восстановления при отсутствии на искаженном изображении шума. Результаты приведены в табл. 1, 2.

    Из таблиц видно, что все характеристики зависят от размеров выбранной опорной области. При этом оценки со* параметра о* обнаруживают высокую стабильность, независимо от типа изображения, в то же время наблюдается некоторый разброс оценок C параметра с.

    Дополнительные исследования показали, что вариации оценок параметра С при том же значении оценки параметра со* даже в более широком диапазоне слабо влияют на характеристику качества РБК^ Однако сам критерий качества, как и следовало ожидать, зависит от типа изображения. В частности, на изображении «Мира» (о=5) наибольшее значение РБЫК достигается при N = 3, а для изображения «Лена» — при N = 5. Объясняет-

    ся это существенным отличием изображений: «Мира» представляется лишь в виде двух градаций яркости.

    Рис. 5. Изображения «Лена»: искаженные с размытием а) о=3; б) о=5; в) обработанные при N=3; г) N=5

    Табл. 1. Результаты на изображении «Мира» при отсутствии шумов

    N PSNR /V * со С PSNR /V * со С

    3 28,45 1,75 7,80 25,58 1,75 7,40

    5 28,22 0,95 7,10 25,53 1,00 9,55

    7 27,88 0,65 8,80 25,43 0,65 7,55

    9 27,47 0,45 7,15 25,31 0,50 9,80

    11 27,02 0,35 7,75 25,18 0,35 6,65

    13 25,70 0,35 7,25 25,03 0,30 8,60

    Табл. 2. Результаты на изображении «Лена»

    при отсутствии шумов

    * со с PSNR /V * со с

    3 30,41 1,75 7,95 27,04 1,75 7,55

    5 30,14 0,95 7,35 27,18 1,00 9,80

    7 29,76 0,65 9,35 26,90 0,65 8,00

    9 29,31 0,45 7,65 26,27 0,50 9,95

    11 28,82 0,35 8,40 26,05 0,35 7,10

    13 28,29 0,30 11,3 26,03 0,30 9,10

    Кроме прочего, полученные результаты показывают, что для настройки параметров восстанавливающего фильтра целесообразно использовать изображения, пространственный спектр которых близок к спектрам изображений, которые реально предполагается обрабатывать. На рис. 6в, г приведены изображения, обработанные фильтрами, параметры которых соответствуют максимальном значениям РБКЯ: 30,41 (для а = 3) и 27,18 (для а = 5) в табл. 2.

    Следующий эксперимент состоял в исследовании связи параметров фильтров с интенсивностью помех. Для экспериментов использовались те же изображения — «Мира» и «Лена».

    Эти изображения подвергались искажениям с параметром размытия о=3. Затем на эти изображения «накладывался» шум в диапазоне от 20 до 50 дБ с шагом

    5 дБ. Эксперименты ставились для различных значений опорной области фильтра. Полученные в этих экспериментах значения Р8МЯ для изображения «Мира» сведены в табл. 3, а для изображения «Лена» — в табл. 4.

    Рис. 6. Изображения «Лена»: а) искаженное (а= 3) и зашумленное (SNR=35); б) обработанное при N =9; в) обработанное фильтром Винера; г) то же с 10 удаленными с каждой стороны строками и столбцами

    Табл. 4. PSNR с шумами на изображении «Лена»

    Из таблиц видно, что в отличие от результатов, приведенных в табл. 1 и 2, наибольшие значения Р8МК смещаются в сторону увеличения размерности опорных областей. Притом наиболее сильно при увеличении интенсивности помех. Вместе с тем, как нетрудно заметить, размеры опорных областей, соответствующие максимальным значениям для разных изображе-

    ний, достигаются при одинаковых значениях 8МК. Таким образом, параметры фильтров можно настраивать на различных типах изображений. Для обоснованного выбора параметров фильтра существенным фактором является лишь совпадение моделей искажений и шума.

    В табл. 5 приведены также оценки параметров Ю* и С, полученные при различных значениях и

    различных размерах опорных областей, соответствующих максимальным значениям Р8МК (в табл. 3 и 4 эти значения выделены жирным шрифтом). Отметим, что оценки Ю* параметра Ю* при одинаковых N совпадают с теми, которые получены для незашумлен-ных изображений (см. табл. 1 и 2).

    Табл. 5. Результаты с шумами на изображении

    (дб) Изображение «Мира» Изображение «Лена»

    N * со с N * со с

    20.0 13 0,35 9,50 13 0,35 9,50

    25.0 11 0,35 8,25 11 0,35 9,00

    30.0 9 0,45 7,45 9 0,45 8,95

    35.0 9 0,45 7,20 9 0,45 7,75

    40.0 7 0,65 8,90 7 0,65 9,60

    45.0 7 0,65 8,80 7 0,65 9,45

    50.0 5 0,95 7,15 5 0,95 7,45

    Оценки С параметра с так же, как и приведенные в табл. 1 и 2, подвержены небольшому разбросу, что уже обсуждалось выше. Как и следовало ожидать, оценки Ю* изменяются таким образом, что низкочастотная область спектра фильтра сужается по мере увеличения интенсивности помех. Это означает, что указанный параметр фильтра в процессе идентификации автоматически настраивается таким образом, чтобы уменьшить составляющую искажений, связанную с помехами.

    На рис. 6а в качестве примера приведено изображение «Лена», которое было искажено с параметром а = 3 и подвергнуто зашумлению с = 35 дБ. На рис. 6б приведено это же изображение после обработки фильтром с параметрами N = 9, Ю* = 0,45 и с = 7,75, соответствующими максимальному значению Р8Ш_ = 29,06 (см. табл. 4).

    Здесь же (ниже), на рис. 6в, для сравнения приведено изображение, которое получено путем обработки того же (искаженного и зашумленного) изображения фильтром Винера из библиотеки ОрепСУ. При этом было достигнуто значение Р8МК = 27,55, что существенно ниже достигнутого выше — 29,06.

    Низкое значение Р8МК в некоторой степени объясняется значительными краевыми эффектами, возникающими при использовании фильтра Винера. Значение Р8МК можно повысить, если «обрезать» изображение. В частности, на рис. 6г приведено то же изображение, обработанное фильтром Винера, после удаления с каждой стороны по 10 строк (столбцов). Для этого изображения Р8МК составляет уже 28,96. Это, конечно, значительно выше, но все-таки немного (на 0,1) меньше, чем у результата, достигнутого нами. Поскольку разница в значениях Р8МК невелика (0, 10), изображения, обработанные построенным фильтром (рис. 6б) и фильтром Винера (рис. 6в, г), визуально также слабо различимы.

    Таким образом, установлено, что с использованием построенного фильтра возможно достижение качества (по показателю Р8МК), превосходящего результат, по-

    Табл. 3. PSNR с шумами на изображении «Мира»

    (дб) Размер опорной области N

    20.0 24,83 24,99 25,00 25,12 25,28 25,36

    25.0 25,33 25,34 25,66 26,15 26,28 26,21

    30.0 25,50 25,74 26,55 26,92 26,75 26,35

    35.0 25,60 26,38 27,29 27.26 26,93 25,51

    40.0 25,72 27,16 27,65 27,40 26,99 26,49

    45.0 26,04 27,77 27,80 27,45 27,01 26,50

    50.0 26,70 28,06 27,86 27,47 27,01 26,50

    SNR (дб) Размер опорной области N

    20.0 25,82 26,17 26,11 26,34 26,60 26,66

    25.0 26,60 26,63 25,99 27,62 27,85 27,66

    30.0 26,89 27,11 28,07 28,58 28,47 28,06

    35.0 27,04 27,91 29,01 29,06 28,70 26,87

    40.0 27,19 28,80 29,44 29,02 28,77 27,10

    45.0 27,53 29,55 29,65 29,27 28,81 27,18

    50.0 28,27 29,92 29,71 29,29 28,81 27,21

    лучаемый с помощью фильтра Винера. Заметим также, что краевые эффекты в отличие от фильтра Винера в данном случае весьма незначительны.

    Достоинство предложенной технологии построения КИХ-фильтров состоит в возможности достижения высокого качества восстановления путем настройки небольшого числа параметров непрерывной функции, аппроксимирующей импульсный отклик, соответствующий заданному частотному отклику. Известно, что подбор параметров фильтра Винера в случае неизвестных моделей искажений и помех является трудной задачей. В данном случае модели искажающей системы и шумов могут быть не известны, но доступны тестовые образцы изображений.

    Если тестовые неискаженные изображения также недоступны, для идентификации можно использовать малые «отретушированные» фрагменты изображений, «вырезанные» на исходном искаженном изображении. Поскольку в данном случае оцениванию подлежат всего два параметра, даже при очень малых размерах фрагментов не возникнет проблема плохой обусловленности, характерная для задач идентификации.

    Автор ограничился здесь задачей построения КИХ-фильтра для коррекции дефокусировки с радиальной симметрией искажений в интересах наглядности иллюстрации предлагаемой технологии. Рассмотренная здесь схема синтеза может быть применена для построения КИХ-фильтров для любых заданных частотных откликов.

    Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ.

    1. Прэтт, У. Цифровая обработка изображений. Кн. 2. / У. Прэтт; пер. с англ. — М.: Мир, 1982. — 480 с.

    2. Moreno, C. Constructing FIR digital filters with valarry [Electronical Resource] / C. Moreno. — URL: https://www.mochima.com/articles/FIR/FIR.html (request date 03.10.2020).

    3. Ye, W. Greedy algorithm for the design of linear-phase fir filters with sparse coefficients / W. Ye, Y.J. Yu / Circuits, Systems, and Signal Processing. — 2020. — Vol. 35. -P. 1427. — DOI: 10.1007/s00034-015-0122-5.

    4. Computer Image Processing, Part II: Methods and algorithms / ed. by V.A. Soifer. — VDM Verlag, 2010. — 584 p.

    5. Копенков, В.Н. Алгоритм автоматического построения процедуры локальной нелинейной обработки изображений на основе иерархической регрессии /

    B.Н. Копенков, В.В. Мясников // Компьютерная оптика.

    — 2012. — Т. 36, № 2. — С. 257-265.

    6. Fursov, V.A. Identification of distorting systems with monitoring of data capacity / V.A. Fursov // 5-th International Workshop on Digital Image Processing and Computer Graphics «Image Processing and Computer Optics», Samara, Russia, Aug, 22-26, 1994, Proceedings of. — 1994. -Part 2.

    7. Fursov, V.A. Correction of distortions in color images based on parametric identification / V.A. Fursov, A.V. Niko-norov, S.A. Bibikov, P.Yu. Yakimov, E.Yu. Minaev // Pattern Recognition and Image Analysis. — 2011. — Vol. 21(2).

    — P. 125-128. — DOI: 10.1134/S1054661811020349.

    8. Щербаков, М.А. Нелинейная фильтрация с адаптацией к локальным свойствам изображения / М.А. Щербаков,

    A.П. Панов // Компьютерная оптика. — 2014. — T. 38, № 4. — С. 818-824.

    9. Arar, S. FIR filter design by windowing: concepts and the rectangular window [Electronical Resource] / S. Arar. -URL: http://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/fi-nite-impulse-response-filter-design-by-windowing-part-i-con-cepts-and-rect/ (request date 03.10.2020).

    10. Petrou, M. Image Processing: Fundamentals / M. Petrou,

    C. Petrou. — 2nd ed. — John Wiley& Sons Ltd., 2010. -818 p. — ISBN 978-0-470-74586-1.

    11. Баврина, А.Ю. Метод параметрического оценивания оптико-электронного тракта системы дистанционного формирования оптического изображения / А.Ю. Бав-рина, В.В. Мясников, А.В. Сергеев // Компьютерная оптика. — 2011. — T. 35, № 4. — C. 500-507.

    12. Кольцов, П.П. Оценка размытия изображения / Компьютерная оптика. — 2011. — T. 35, № 1. — C. 95-102.

    13. Никоноров, А. В. Параллельная реализация двумерных БИХ-фильтров в распределенной системе обработки изображений / А.В. Никоноров, М.Г. Милюткин,

    B.А. Фурсов // Вычислительные методы и программирование. Новые вычислительные технологии. Электронный научный журнал. — 2010. — Т. 11, № 1. — C. 88-94.

    14. Fursov, V.A. Construction of adaptive identification algorithms, using the estimates conformity principle / V.A. Fursov // 11th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-11-2013), Conference Proceedings, Samara, September 23-28, 2013. Conference Proceedings (Vol. I-II).

    — 2013. — Vol. 1. — P. 22-25.

    15. Fursov, V.A. Constructing unified identification algorithms using a small number of observations for adaptive control and navigation systems / V.A. Fursov // Proceedings of SPIE.

    — 1997. — Vol. 3087. — P. 34-44. — DOI: 10.1117/12.277217.

    16. Льюнг, Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Л. Льюнг, под ред. ЯЗ. Цыпкина; пер. с англ. — М.: Наука, 1991. — 432 c. — ISBN 5-02014511-4.

    17. Даджион, Д.Э. Цифровая обработка многомерных сигналов / Д.Э. Даджион, Р.М. Мерсеро; пер. с англ. — М.: Мир, 1988. — 488 c. — ISBN: 5-03-000402-5.

    Сведения об авторе

    Фурсов Владимир Алексеевич, д.т.н., профессор, заведующий кафедрой суперкомпьютеров и общей информатики в Самарском университете. Область научных интересов: теория и методы оценивания по малому числу измерений, методы обработки и распознавания изображений, построение параллельных алгоритмов обработки и распознавания изображений, реализуемых с использованием многопроцессорных вычислительных систем. E-mail: _ fursov@ssau.ru .

    Поступила в редакцию 6 октября 2020 г. Окончательный вариант — 18 ноября 2020 г.

    CONSTRUCTING FIR-FILTRES IN A GIVEN PARAMETRICAL CLASS OF FREQUENCY RESPONSE FOR DEFOCUS CORRECTION

    1 Image Processing Systems Institute о/RAS — Branch of the FSRC «Crystallography and Photonics » RAS, Samara, Russia,

    2 Samara National Research University, Samara, Russia

    A problem of the restoration of defocused images is considered. For this purpose, we construct an FIR-filter by identifying the model from a special class of parameters with use of test images. The model of impulse response is defined in a class of univariate functions, which approximate the required frequency response in the radial direction. Samples of the two-dimensional impulse response are defined by discretization and the subsequent sample normalization. The approximation function class is defined so as to amplify low and suppress high spectrum frequencies. Important advantages of the method are high-quality image restoration and fast identification of filter’s model due to the fact that the approximating function is determined by a small number of unknown parameters. In this article realization examples are given. These examples show the possibility of achieving the higher-quality restoration in comparison with the Wiener filter from the open-source image processing library OpenCV.

    Keywords: FIR-filter, impulse response, frequency response, image processing.

    Citation: Fursov VA. Constructing FIR-filters for a given parametrical class of frequency response for defocus correction. Computer Optics 2020; 40(6): 878-886. DOI: 10.18287/2412-61792020-40-6-878-886.

    Acknowledgements: The work was funded by the Russian Federation Ministry of Education and Science.

    [1] Pratt WK. Digital Image Processing. New York, Chichester, Brisbane, Toronto: John Wiley and Sons; 1978.

    [2] Moreno C. Constructing FIR Digital Filters with valarry. Source: (https://www.mochima.com/articles/FIR/FIR.html).

    [3] Ye W, Yu YJ. Greedy algorithm for the design of linearphase fir filters with sparse coefficients / Circuits, Systems, and Signal Processing 2020; 35: 1427. DOI: 10.1007/s00034-015-0122-5.

    [4] Soifer VA, ed. Computer Image Processing, Part II: Methods and algorithms. VDM Verlag; 2009.

    [5] Kopenkov VN, Myasnikov VV. An algorithm for automatic construction of computational procedure of non-linear local image processing on the base of hierarchical regression [In Russian]. Computer Optics 2012; 36(2): 257-265.

    [6] Fursov VA. Identification of distorting systems with monitoring of data capacity. 5-th International Workshop on Digital Image Processing and Computer Graphics. «Image Processing and Computer Optics», Samara, Russia, Aug, 22-26, 1994. Pt 2.

    [7] Fursov VA, Nikonorov AV, Bibikov SA, Yakimov PYu, Minaev EYu. Correction of distortions in color images based on parametric identification. Pattern Recognition and Image Analysis 2011; 21(2): 125-128. DOI: 10.1134/S1054661811020349.

    [8] Shcherbakov MA, Panov AP. Nonlinear filtering with adaptation to local properties of the image. Computer Optics 2014; 38(4): 818-824.

    [9] Arar S. FIR Filter Design by Windowing: Concepts and the Rectangular Window. Source: (http://www.allabout-

    [10] Petrou M, Petrou C. Image Processing: Fundamentals. 2nd ed. John Wiley& Sons Ltd; 2010. ISBN 978-0-470-74586-1.

    [11] Bavrina AYu, Myasnikov VV, Sergeev AV. Method of parametric estimation of optoelectronic tract of remote sensed optical image formation [In Russian]. Computer Optics 2011, 35(4): 500-507.

    [12] Koltsov PP. Image blur estimation [In Russian]. Computer Optics 2011, 35(1): 95-102.

    [13] Nikonorov AV, Milyutkin MG, Fursov VA. Parallel implementation of 2D IIR-filters using image processing distributed systems [In Russian]. Numerical Methods and Programming. Scientific on-line open access journal 2010, 11(1): 88-94.

    [14] Fursov VA. Construction of adaptive identification algorithms, using the estimates conformity principle. 11th International Conference on Pattern Recognition and Image Analysis: New Information Technologies (PRIA-11-2013). Samara, September 23-28, 2013. Conference Proceedings (Vol. I-II) 2013; 1: 22-25.

    [15] Fursov VA. Constructing unified identification algorithms using a small number of observations for adaptive control and navigation systems. Proc SPIE 1997; 3087: 34-44. DOI: 10.1117/12.277217.

    [16] Ljung L. System Identification. Theory for the User. Eng-lewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.; 1987. ISBN: 9780138816407.

    [17] Dudgeon DE, Mersereau RM. Multidimensional digital signal processing. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.; 1984.

    Vladimir Alekseevich Fursov, is Doctor of Engineering Science, Professor, head of Computer Science subdepartment of Samara University, leading researcher. Research interests are development of the theory of estimation on small number of observations, development of methods of image processing and training to pattern recognition, development of high-performance parallel methods both algorithms of image processing and pattern recognition oriented on application of multiprocessor computing systems.

    Received October 6, 2020. The final version — November 18, 2020.

    Каждый электрик должен знать:  Электрические схемы станков с ЧПУ
    Добавить комментарий