Проектирование КИХ-фильтра по методу рядов Фурье со взвешиванием


СОДЕРЖАНИЕ:

Документация

КИХ-дизайн фильтра

КИХ по сравнению с БИХ-фильтрами

Цифровые фильтры с импульсным ответом конечной длительности (все-нуль или КИХ-фильтры) имеют и преимущества и недостатки по сравнению с фильтрами импульсного ответа бесконечной длительности (IIR).

КИХ-фильтры имеют следующие первичные преимущества:

У них может быть точно линейная фаза.

Они всегда стабильны.

Методы разработки обычно линейны.

Они могут быть поняты эффективно в аппаратных средствах.

У переходных процессов запуска фильтра есть конечная длительность.

Первичный недостаток КИХ-фильтров — то, что они часто требуют, чтобы намного более высокий порядок фильтра, чем БИХ-фильтры достиг данного уровня производительности. Соответственно, задержка этих фильтров часто намного больше, чем для равного БИХ-фильтра производительности.

КИХ-сводные данные фильтра

Отфильтруйте метод разработки

Работа с окнами

Примените окно к усеченному обратному преобразованию Фурье заданного фильтра «кирпичной стены»

Многополосный с полосами перехода

Equiripple или наименьшие квадраты приближаются по поддиапазонам частотного диапазона

Метод наименьших квадратов с ограничениями

Минимизируйте интегральную ошибку в квадрате по целому частотному диапазону, подвергающемуся ограничениям максимальной погрешности

Произвольные ответы, включая нелинейную фазу и комплексные фильтры

Ответ Lowpass со сглаженным, синусоидальным переходом

Линейные фильтры фазы

За исключением cfirpm , все КИХ-функции дизайна фильтра разрабатывают линейные фильтры фазы только. Коэффициенты фильтра или “касания”, таких фильтров повинуются или даже или нечетное отношение симметрии. В зависимости от этой симметрии, и на том, является ли порядок n фильтра даже или нечетный, линейный фильтр фазы (сохраненный в длине n +1 векторный b ) имеет определенные свойственные ограничения на свою частотную характеристику.

b (k) =b (n+2−k) , k=1 . , n+1

b (k) =b (n+2−k) , k=1 . , n+1

b (k) = −b (n+2−k) , k=1 . , n+1

b (k) = −b (n+2−k) , k=1 . , n+1

Задержка фазы и групповая задержка линейных фильтров фазы FIR являются равными и постоянными по диапазону частот. Для порядка n линейный фильтр фазы FIR групповой задержкой является n/2, и отфильтрованный сигнал просто задержан n/2 временные шаги (и значение его преобразования Фурье масштабируется ответом значения фильтра). Это свойство сохраняет форму волны сигналов в полосе пропускания; то есть, нет никакого искажения фазы.

Функции fir1 , fir2 , firls , firpm , fircls и fircls1 весь тип I и II дизайна линейная фаза FIR фильтруют по умолчанию. rcosdesign разрабатывает только фильтры типа I. И тип III дизайна firls и firpm и IV линейная фаза FIR фильтруют, учитывая флаг ‘hilbert’ или ‘differentiator’ . cfirpm может разработать любой тип линейного фильтра фазы и нелинейных фильтров фазы также.

Примечание

Поскольку частотная характеристика фильтра типа II является нулем на частоте Найквиста (“высокая” частота), fir1 не разрабатывает тип II highpass и заграждающие фильтры. Для n с нечетным знаком в этих случаях fir1 добавляет 1 к порядку и возвращает тип, который я фильтрую.

Метод работы с окнами

Рассмотрите идеал, или “кирпичную стену”, цифровой фильтр lowpass с частотой среза ω0 rad/s. Этот фильтр имеет значение 1 на всех частотах со значением меньше, чем ω0 и значение 0 на частотах со значением между ω0 и π. Его импульсная последовательность ответа h ( n)

h (n) =12π −ππH (ω) ejωndω = 12π ∫−ω0ω0ejωndω = sinω0nπn

Этот фильтр не реализуем, поскольку его импульсный ответ является бесконечным и непричинным. Чтобы создать импульсный ответ конечной длительности, обрежьте его путем применения окна. Путем сохранения центрального раздела импульсного ответа в этом усечении вы получаете линейный фильтр фазы FIR. Например, длина 51 фильтр с lowpass частотой среза ω из 0,4 π rad/s

Окно, примененное здесь, является простым прямоугольным окном. Теоремой Парсевэла это — длина 51 фильтр, который лучше всего аппроксимирует идеал lowpass фильтр в интегрированном смысле наименьших квадратов. Следующая команда отображает частотную характеристику фильтра в FVTool:

Обратите внимание на то, что y — ось, показанная в фигуре ниже, находится в Значении, В квадрате. Можно установить это путем щелчка правой кнопкой по подписи по осям и выбора Magnitude Squared из меню.

Вызов и пульсации происходит в ответе, особенно около края полосы. Этот “эффект Гиббса” не исчезает, когда длина фильтра увеличивается, но непрямоугольное окно уменьшает свое значение. Умножение окном в области времени вызывает свертку или сглаживающий в частотном диапазоне. Примените длину 51 Окно Хэмминга к фильтру и отобразите результат с помощью FVTool:

Обратите внимание на то, что y — ось, показанная в фигуре ниже, находится в Значении, В квадрате. Можно установить это путем щелчка правой кнопкой по подписи по осям и выбора Magnitude Squared из меню.

Используя Окно Хэмминга значительно уменьшает вызов. Это улучшение за счет ширины перехода (оконная версия занимает больше времени, чтобы сползать от полосы пропускания до полосы задерживания), и оптимальность (оконная версия не минимизирует интегрированную ошибку в квадрате).

Функции fir1 и fir2 основаны на этом процессе работы с окнами. Учитывая распоряжение фильтра и описание идеального фильтра, эти функции возвращают оконное обратное преобразование Фурье того идеального фильтра. Оба используют Окно Хэмминга по умолчанию, но они принимают любую функцию окна. Смотрите Windows для обзора окон и их свойств.

Стандартный КИХ-Дизайн Фильтра Полосы: fir1

fir1 реализует классический метод оконного линейного создания цифровых фильтров фазы FIR. Это напоминает БИХ-функции дизайна фильтра, в которых это формулируется, чтобы разработать, просачивается стандартные настройки полосы: lowpass, полоса пропускания, highpass, и bandstop.

создайте вектор — строку b , содержащий коэффициенты порядка n Hamming-оконный фильтр. Это — lowpass, линейный фильтр фазы FIR с частотой среза Wn . Wn является номером между 0 и 1, где 1 соответствует частоте Найквиста, половина частоты дискретизации. (В отличие от других методов, здесь Wn соответствует точке на 6 дБ.) Для фильтра highpass, просто добавьте ‘high’ к списку параметров функции. Для полосового или заграждающего фильтра задайте Wn как двухэлементный вектор, содержащий граничные частоты полосы пропускания. Добавьте ‘stop’ для bandstop настройки.

b = fir1(n,Wn,window) использует окно, заданное в векторе — столбце window для дизайна. Векторный window должен быть элементами n+1 долго. Если вы не задаете окно, fir1 применяет Окно Хэмминга.

Оценка Порядка Окна кайзера. Функция kaiserord оценивает порядок фильтра, частоту среза, и бета параметр окна Kaiser должен был соответствовать данному набору спецификаций. Учитывая вектор краев диапазона частот и соответствующий вектор значений, а также максимальную допустимую пульсацию, kaiserord возвращает соответствующие входные параметры для функции fir1 .

Многополосный КИХ-Дизайн Фильтра: fir2

Функция fir2 также разрабатывает оконные КИХ-фильтры, но с кусочной линейной частотной характеристикой произвольной формы. Это в отличие от fir1 , который только разрабатывает, просачивается стандарт lowpass, highpass, полоса пропускания и bandstop настройки.

возвратите вектор — строку b , содержащий коэффициенты n+1 порядка КИХ-фильтр n , характеристики значения частоты которого совпадают с данными векторами f и m . f является вектором точек частоты в пределах от от 0 до 1, где 1 представляет частоту Найквиста. m является вектором, содержащим заданный ответ значения в точках, заданных в f . (БИХ-дубликатом этой функции является yulewalk , который также разрабатывает фильтры на основе произвольных кусочных линейных ответов значения. Смотрите БИХ-Дизайн Фильтра для деталей.)

Многополосный КИХ-дизайн фильтра с полосами перехода

firls и функции firpm обеспечивают более общие средние значения определения идеала заданный фильтр, чем функции fir2 и fir1 . Эти функции разрабатывают Гильбертовы преобразователи, дифференциаторы и другие фильтры с нечетными симметричными коэффициентами (тип III и вводят IV линейная фаза). Они также позволяют, вы включать переход или “не заботитесь” об областях, в которых не минимизирована ошибка, и выполните зависимое взвешивание полосы минимизации.

Функция firls является расширением fir1 и функций fir2 , в которых это минимизирует интеграл квадрата ошибки между заданной частотной характеристикой и фактической частотной характеристикой.

Функция firpm реализует алгоритм Парков-McClellan, который использует алгоритм обмена Remez и Чебышевскую теорию приближения разработать фильтры с оптимальными подгонками между заданными и фактическими частотными характеристиками. Фильтры оптимальны в том смысле, что они минимизируют максимальную погрешность между заданной частотной характеристикой и фактической частотной характеристикой; они иногда называются минимаксными фильтрами. Фильтры, разработанные таким образом, показывают equiripple поведение в своей частотной характеристике, и следовательно также известны equiripple фильтры. КИХ-алгоритм дизайна фильтра Парков-McClellan является, возможно, самой популярной и широко используемой КИХ-методологией проектирования фильтра.

Синтаксис для firls и firpm является тем же самым; единственной разницей являются их схемы минимизации. Следующий пример показывает, как фильтры, разработанные с firls и firpm , отражают эти различные схемы.

Базовые конфигурации

Режим по умолчанию операции firls и firpm должен разработать тип I или тип II линейные фильтры фазы, в зависимости от того, является ли порядок, который вы хотите, даже или нечетный, соответственно. lowpass пример с аппроксимированной амплитудой 1 от 0 до 0,4 Гц и аппроксимированной амплитудой 0 от 0,5 до 1,0 Гц

От 0,4 до 0,5 Гц, firpm не выполняет ошибочной минимизации; это — полоса перехода, или “не заботятся” об области. Полоса перехода минимизирует ошибку больше в полосах, о которых вы действительно заботитесь о, за счет более медленного уровня перехода. Таким образом эти типы фильтров имеют свойственный компромисс, подобный КИХ-дизайну работы с окнами.

Чтобы сравнить наименьшие квадраты с дизайном фильтра equiripple, используйте firls , чтобы создать подобный фильтр. Ввод

и сравните их частотные характеристики с помощью FVTool:

Обратите внимание на то, что y — ось, показанная в фигуре ниже, находится в Значении, В квадрате. Можно установить это путем щелчка правой кнопкой по подписи по осям и выбора Magnitude Squared из меню.

Фильтр, разработанный с firpm , показывает equiripple поведение. Также обратите внимание, что фильтр firls имеет лучший ответ по большей части полосы пропускания и полосы задерживания, но в краях полосы ( f = 0.4 и f = 0.5 ), ответ еще дальше от идеала, чем фильтр firpm . Это показывает, что максимальная погрешность фильтра firpm по полосе пропускания и полосе задерживания меньше и, на самом деле, это является самым маленьким для этой граничной настройки полосы и длины фильтра.

Думайте о диапазонах частот как о строках на коротких интервалах частоты. firpm и firls используют эту схему представлять любую кусочную линейную функцию частотной характеристики с любыми полосами перехода. firls и firpm разрабатывают lowpass, highpass, полосу пропускания и заграждающие фильтры; полосовой пример

Технически, они f и векторы a задают пять полос:

Две полосы задерживания, от 0,0 до 0,3 и от 0,8 до 1,0

Полоса пропускания от 0,4 до 0,7

Две полосы перехода, от 0,3 до 0,4 и от 0,7 до 0,8

Пример highpass и заграждающие фильтры

Пример многополосный полосовой фильтр

Другая возможность является фильтром, который имеет как область перехода строка, соединяющая полосу пропускания с полосой задерживания; это может помочь управлять “безудержным” ответом значения в широких областях перехода:

Вектор веса

И firls и firpm позволяют вам делать более или менее акцент на минимизацию ошибки в определенных диапазонах частот относительно других. Для этого задайте вектор веса после частоты и амплитудные векторы. Пример lowpass equiripple фильтр с в 10 раз меньшим количеством пульсации в полосе задерживания, чем полоса пропускания

Легальный вектор веса всегда является половиной длины векторов a и f ; должен быть точно один вес на полосу.

Антисимметричные Фильтры / Гильбертовы Преобразователи

Когда названо запаздывающим ‘h’ или опцией ‘Hilbert’ , firpm и firls разрабатывают КИХ-фильтры с нечетной симметрией, то есть, тип III (для даже порядка) или IV типа (для нечетного порядка) линейные фильтры фазы. Идеальный Гильбертов преобразователь имеет это свойство антисимметрии и амплитуду 1 через целый частотный диапазон. Попробуйте следующие аппроксимированные Гильбертовы преобразователи и постройте их использующий FVTool:

Можно найти задержанное Гильбертово преобразование x сигнала путем передачи его через эти фильтры.

Аналитический сигнал, соответствующий x , является комплексным сигналом, который имеет x как его действительную часть и Гильбертово преобразование x как его мнимая часть. Для этого КИХ-метода (альтернатива функции hilbert ), необходимо задержать x наполовину порядок фильтра создать аналитический сигнал:

Этот метод не работает непосредственно на фильтры нечетного порядка, которые требуют задержки нецелого числа. В этом случае функция hilbert , описанная в Гильбертовом Преобразовании, оценивает аналитический сигнал. Также используйте функцию resample , чтобы задержать сигнал количеством нецелого числа выборок.

Дифференциаторы

Дифференцирование сигнала во временном интервале эквивалентно умножению преобразования Фурье сигнала мнимой функцией пандуса. Таким образом, чтобы дифференцировать сигнал, передайте его через фильтр, который имеет ответ H (ω) = j ω. Аппроксимируйте идеальный дифференциатор (с задержкой) использование firpm или firls с опцией ‘differentiator’ или ‘d’ :

Для фильтра типа III полоса дифференцирования должна не дойти до частоты Найквиста, и амплитудный вектор должен отразить что изменение, чтобы гарантировать правильный наклон:

В режиме ‘d’ firpm взвешивает ошибку 1/ω в ненулевых амплитудных полосах, чтобы минимизировать максимальную относительную погрешность . firls взвешивает ошибку (1/ω) 2 в ненулевых амплитудных полосах в режиме ‘d’ .

Следующие графики показывают ответы значения для дифференциаторов выше.

КИХ-дизайн фильтра метода наименьших квадратов с ограничениями

КИХ-функции дизайна фильтра Метода наименьших квадратов с ограничениями (CLS) реализуют метод, который позволяет вам разработать КИХ-фильтры, явным образом не задавая полосы перехода для ответа значения. Способность не использовать спецификацию полос перехода полезна в нескольких ситуациях. Например, не может быть ясно, где твердо заданная полоса перехода должна появиться, если шумовая и информация сигнала появляется вместе в том же диапазоне частот. Точно так же это может быть целесообразно не использовать спецификацию полос перехода, если они, кажется, только управляют результатами Явлений Гиббса, которые появляются в ответе фильтра. См. Selesnick, Ленга и Берруса [2] для обсуждения этого метода.

Вместо того, чтобы задать полосы пропускания, полосы задерживания и области перехода, метод CLS принимает частоту среза (для highpass, lowpass, полосы пропускания или bandstop случаев), или полоса пропускания и края полосы задерживания (для многополосных случаев), для ответа, который вы задаете. Таким образом метод CLS задает области перехода неявно, а не явным образом.

Ключевая возможность метода CLS — то, что он позволяет вам задать верхние и более низкие пороги, которые содержат максимальную допустимую пульсацию в ответе значения. Учитывая это ограничение, метод применяет ошибочный метод минимизации наименьшего квадрата по частотному диапазону ответа фильтра, вместо по определенным полосам. Ошибочная минимизация включает любые области разрыва в идеале, ответе «кирпичной стены». Дополнительная выгода — то, что метод позволяет вам задать произвольно маленький peaks, следующий из Явления Гиббса.

Существует две функции тулбокса, которые реализуют этот метод проектирования.

Ограниченный наименьший квадрат многополосный КИХ-дизайн фильтра

Ограниченный фильтр наименьшего квадрата разрабатывает для lowpass и highpass линейных фильтров фазы

Для получения дополнительной информации на синтаксисе вызова для этих функций, см. их ссылочные описания в Ссылке на функцию.

Основной Lowpass и дизайн фильтра CLS Highpass

Самая основная из функций дизайна CLS, fircls1 , использует этот метод, чтобы разработать lowpass и highpass КИХ-фильтры. Как пример, считайте разработку фильтра с импульсным ответом порядка 61 и частотой среза 0,3 (нормализованной). Далее, задайте верхние и нижние границы, которые ограничивают процесс проектирования как:

Максимальное отклонение полосы пропускания от 1 (пульсация полосы пропускания) 0,02.

Максимальное отклонение полосы задерживания от 0 (пульсация полосы задерживания) 0,008.

Чтобы приблизиться к этой проблеме проектирования с помощью fircls1 , используйте следующие команды:

Обратите внимание на то, что y — ось, показанная ниже, находится в Значении, В квадрате. Можно установить это путем щелчка правой кнопкой по подписи по осям и выбора Magnitude Squared из меню.

Многополосный дизайн фильтра CLS

fircls использует тот же метод, чтобы разработать КИХ-фильтры с заданным кусочным постоянным ответом значения. В этом случае можно задать вектор краев полосы и соответствующий вектор амплитуд полосы. Кроме того, можно задать максимальную сумму пульсации для каждой полосы.

Например, примите, что спецификации для фильтра призывают:

От 0 до 0,3 (нормализованный): амплитуда 0, верхняя граница 0.005, нижняя граница –0.005

От 0,3 до 0,5: амплитуда 0.5, верхняя граница 0.51, нижняя граница 0.49

От 0,5 до 0,7: амплитуда 0, верхняя граница 0.03, нижняя граница –0.03

От 0,7 до 0,9: амплитуда 1, верхняя граница 1.02, нижняя граница 0.98

От 0,9 до 1: амплитуда 0, верхняя граница 0.05, нижняя граница –0.05

Разработайте фильтр CLS с импульсным порядком 129 ответа, который соответствует этим спецификациям:

Обратите внимание на то, что y — ось, показанная ниже, находится в Значении, В квадрате. Можно установить это путем щелчка правой кнопкой по подписи по осям и выбора Magnitude Squared из меню.

Взвешенный дизайн фильтра CLS

Взвешенный дизайн фильтра CLS позволяет вам разработать lowpass или highpass КИХ-фильтры с относительным взвешиванием ошибочной минимизации в каждой полосе. Функция fircls1 позволяет вам задать полосу пропускания и края полосы задерживания для функции взвешивания наименьших квадратов, а также постоянный k , который задает отношение полосы задерживания к взвешиванию полосы пропускания.

Например, рассмотрите спецификации, которые призывают к КИХ-фильтру с импульсным порядком ответа 55 и частотой среза 0,3 (нормализованный). Также примите максимальную допустимую пульсацию полосы пропускания 0,02 и максимальную допустимую пульсацию полосы задерживания 0,004. Кроме того, добавьте требования взвешивания:

Край полосы пропускания для функции веса 0,28 (нормализованный)

Край полосы задерживания для функции веса 0,32

Ошибочная минимизация веса в 10 раз больше в полосе задерживания, чем в полосе пропускания

Чтобы приблизиться к этому использованию fircls1 , ввести

Обратите внимание на то, что y — ось, показанная ниже, находится в Значении, В квадрате. Можно установить это путем щелчка правой кнопкой по подписи по осям и выбора Magnitude Squared из меню.

Дизайн фильтра произвольного ответа

Функция дизайна фильтра cfirpm обеспечивает инструмент для разработки КИХ-фильтров с произвольными комплексными ответами. Это отличается от других функций дизайна фильтра в том, как частотная характеристика фильтра задана: это принимает имя функции, которая возвращает ответ фильтра, вычисленный по сетке частот. Эта возможность делает cfirpm очень универсальным и мощным методом для дизайна фильтра.

Этот метод проектирования может использоваться, чтобы произвести КИХ-фильтры нелинейной фазы, асимметричные фильтры частотной характеристики (с комплексными коэффициентами) или больше симметричных фильтров с пользовательскими частотными характеристиками.

Алгоритм дизайна оптимизирует Чебышева (или минимакс) ошибка расширенный Remez-обменный алгоритм для первоначальной оценки. Если этому обменному методу не удается получить оптимальный фильтр, алгоритм переключается на алгоритм спуска подъема, который вступает во владение, чтобы закончить сходимость к оптимальному решению.

Многополосный дизайн фильтра

Рассмотрите многополосный фильтр со следующими специальными характеристиками частотного диапазона.

Расчет нерекурсивных цифровых фильтров при помощи метода взвешивании

Наиболее простой подход при расчете нерекурсивного ЦФ сводится к получению импульсной характеристики конечной длины путем усечения импульсной характеристики бесконечной длины.

Пусть требования к частотной характеристике нерекурсивного цифрового ФНЧ с линейной ФЧХ заданы в виде функции

Согласно (11.7) желаемые АЧХ и ФЧХ фильтра определены формулами:

Импульсную характеристику /гж(«) можно получить, вычислив коэффициенты ряда Фурье функции (11.7), являющейся, как известно, периодической и имеющей период юд=2я/Г, то есть

После преобразований (11.8) будем иметь

Очевидно, /гж (п) имеет бесконечную длину. Одним из возможных способов получения нерекурсивного цифрового фильтра состоит в усечении бесконечного ряда (11.9) путем отбрасывания отсчетов, соответствующих n>N , го есть в качестве импульсной характеристики фильтра принимается функция

Фильтр, полученный путем простого усечения числа отсчетов импульсной характеристики, на практике не применяется из-за явления Гиббса. Амплитудная частотная характеристика такого фильтра имеет выбросы и пульсации большого уровня до и после точки разрыва аппроксимируемой частотной характеристики. С увеличением числа отсчетов уменьшается ширина выброса, изрсзанность АЧХ увеличивается, но амплитуда колебаний АЧХ не изменяется и составляет примерно 9% от размаха АЧХ в точке разрыва. Уровень боковых лепестков в полосе затухания остается высоким.

Широко распространенный способ устранения вредного влияния явления Гиббса заключается во взвешивании функции ж(п) при помощи оконной функции w(n). Импульсную характеристику нерекурсивного цифрового ФНЧ находят в виде

Оконная функция является симметричной функцией, медленно спадающей к краям. Центральный отсчет оконной функции нормируется к единице. Так как все оконные функции являются симметричными относительно n-(N-1)/2, то ФЧХ фильтра оказывается линейной.

К наиболее часто используемым оконным функциям относятся следующие.

Прямоугольное (равномерное) окно. Прямоугольное окно соответствует простому усечению ряда Фурье. Оно описывается функцией

Треугольное окно. Формула треугольного окна (окна Бартлетта) имеет вид

Окно Хэнна (Hanning). Оконная функция Хэнна описывается формулой

Окно Хемминга (Hamming). Оконная функция Хемминга описывается выражением

Окно Блэкмана (Blackman). Оконная функция Блэкмана содержит две косинусные составляющие:

Характеристики оконных функций приведены в приложении 1. Пример. Требуется рассчитать рекурсивный ФНЧ с частотой С0с = 130 рад/с. Пусть период дискретизации 7″= 0,01с и порядок фильтра N—21.

Отсчеты желаемой импульсной характеристики рассчитаем по формуле (11.9). После применения простого усечения найдем отсчеты импульсной характеристики /г, (и):

Импульсная характеристика А,(/?) показана на рис. 11.5, а.

Рис. 11.5. Импульсные характеристики нерекурсивных ЦФ: а — после усечения; б — после взвешивания треугольной оконной функцией

Применив к импульсной характеристике А, (и) взвешивание с помощью треугольной оконной функции, получим отсчеты импульсной характеристики К<п):

Импульсная характеристика h2(n) приведена на рис. 11.5, б.

АЧХ нерекурсивных фильтров с импульсными характеристиками h и /г2(н) изображены на рис. 11.6.

Рис. 11.6. АЧХ нерекурсивных ЦФ:

а — после усечения; б — после взвешивания треугольной оконной функцией

Таким образом, применение метода оконных функций позволяет уменьшить или даже устранить пульсации АЧХ. Однако при этом наклон АЧХ в переходной зоне будут более пологими, чем у исходной АЧХ.

Алгоритм синтеза нерекурсивного ЦФ по методу взвешивания включает следующие этапы.

  • 1. Задаемся желаемой АЧХ фильтра (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ).
  • 2. Производим дискретизацию желаемой АЧХ фильтра на N частей на интервале частоты со от -п/Т до к/Т.
  • 3. К полученным значениям желаемой АЧХ применяем обратное дискретное преобразование Фурье и получаем отсчеты импульсной характеристики /?ж(«).
  • 4. Для выполнения условия физической реализуемости фильтра сдвигаем отсчеты импульсной характеристики вправо на величину (N-1)12.

5. При помощи одной из оконных функций находим импульсную характеристику

  • 6. Значения отсчетов импульсной характеристики /?(«) принимаем за коэффициенты разностного уравнения cv=/j(v), где v=0,1. Я-1.
  • 7. Записываем передаточную функцию

8. Строим АЧХ фильтра Я(ш)=|Я(е 7СоГ )| и выполняем проверку требований.

При синтезе фильтра рекомендуется сначала подобрать окно, обеспечивающее желаемый уровень пульсации, а затем подобрать порядок фильтра N, при котором достигается требуемая переходная полоса. При этом часто желаемая ширина переходной полосы достигается при большом N, что затрудняет реализацию фильтра.

«a РАЗДЕЛ 6 ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ) Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) Многочастотные фильтры Адаптивные . »

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ)

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Цифровая фильтрация является одним из наиболее мощных инструментальных средств

ЦОС. Кроме очевидных преимуществ устранения ошибок в фильтре, связанных с

флуктуациями параметров пассивных компонентов во времени и по температуре, дрейфом ОУ (в активных фильтрах) и т.д., цифровые фильтры способны удовлетворять таким техническим требованиям по своим параметрам, которых, в лучшем случае, было бы чрезвычайно трудноили даже невозможно достичь в аналоговом исполнении. Кроме того, характеристики цифрового фильтра могут быть легко изменены программно. Поэтому они широко используются в телекоммуникациях, в приложениях адаптивной фильтрации, таких как подавление эха в модемах, подавление шума и распознавание речи.

Процесс проектирования цифровых фильтров состоит из тех же этапов, что и процесс проектирования аналоговых фильтров. Сначала формулируются требования к желаемым характеристикам фильтра, по которым затем рассчитываются параметры фильтра.

Амплитудная и фазовая характеристики формируются аналогично аналоговым фильтрам.

Ключевое различие между аналоговым и цифровым фильтрами заключается в том, что, вместо вычисления величин сопротивлений, емкостей и индуктивностей для аналогового фильтра, рассчитываются значения коэффициентов для цифрового фильтра. Иными словами, в цифровом фильтре числа заменяют физические сопротивления и емкости аналогового фильтра. Эти числа являются коэффициентами фильтра, они постоянно находятся в памяти и используются для обработки (фильтрации) дискретных данных, поступающих от АЦП.

Цифровой фильтр, работающий в реальном масштабе времени, оперирует с дискретными по времени данными в противоположность непрерывному сигналу, обрабатываемому аналоговым фильтром. При этом очередной отсчет, соответствующий отклику фильтра, формируется по окончании каждого периода дискретизации. Вследствие дискретной природы обрабатываемого сигнала, на отсчеты данных зачастую ссылаются по их номерам, например, отсчет 1, отсчет 2, отсчет 3 и т.д. На рис.6.1 представлен низкочастотный сигнал, содержащий высокочастотный шум, который должен быть отфильтрован. Вначале сигнал должен быть оцифрован с помощью АЦП для получения выборки x(n). Далее эта выборка поступает на цифровой фильтр, который в данном случае является НЧ-фильтром. Отсчеты выходных данных y(n) используются для восстановления аналогового сигнала с использованием ЦАП с низким уровнем ложного сигнала.

Тем не менее, цифровые фильтры не могут являться решением всех возможных задач фильтрации, возникающих при обработке сигналов. Для работы в реальном масштабе времени, DSP-процессор должен быть рассчитан на выполнение всех шагов в программе фильтрации в пределах промежутка времени, соответствующего одному такту дискретизации, то есть 1/fs. Высокопроизводительный универсальный DSP-процессор с фиксированной точкой типа ADSP-2189M, обладающий быстродействием 75MIPS, способен выполнить операцию умножения с накоплением при реализации одного каскада фильтра за 13,3 нс. DSP-процессор ADSP-2189M затрачивает N+5 инструкций при реализации фильтра с количеством каскадов N. Для 100-каскадного фильтра полное время вычисления составляет приблизительно 1,4 мкс. Это соответствует максимально a возможной частоте дискретизации 714 кГц, ограничивая, таким образом, ширину полосы частот обрабатываемого сигнала несколькими сотнями килогерц.

ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Можно заменить универсальный DSP-процессор специализированным аппаратным цифровым фильтром, способным работать на частотах дискретизации, соответствующих видеосигналу. В других случаях ограничения по быстродействию могут быть преодолены сохранением выборки данных, поступающих с большой скоростью от АЦП, в буферной памяти. Затем буферная память читается со скоростью, совместимой с быстродействием цифрового фильтра, основанного на DSP. Используя данный метод, может осуществляться обработка сигнала в псевдореальном масштабе времени в таких системах как радар, где обычно обрабатываются пакеты данных, накапливаемые после каждого излучаемого импульса.

Другой подход заключается в использовании специализированных микросхем цифровых фильтров, подобных фильтрам PulseDSP ™ компании Systolix. 16-разрядный сигмадельта-АЦП AD7725 имеет на своем кристалле фильтр PulseDSP, который может выполнять за секунду 125 миллионов операций умножения с накоплением.

В дискретных системах, даже с высокой степенью избыточной дискретизации, требуется наличие аналоговых ФНЧ перед АЦП и после ЦАП для устранения эффекта наложения спектра. Более того, с ростом частоты, сигналы выходят за рамки возможностей доступных АЦП, и цифровая фильтрация становится невозможной. Но на крайне высоких частотах и активная аналоговая фильтрация тоже невозможна из-за ограничений, связанных с полосой пропускания и искажениями ОУ, и в этих случаях требования фильтрации удовлетворяются пассивными элементами. Дальнейшее обсуждение будет сфокусировано, в первую очередь, на фильтрах, которые могут работать в реальном масштабе времени и могут быть программно реализованы с использованием DSP.

В качестве примера сравним аналоговый и цифровой фильтры, показанные на рис. 6.3.

Частота среза обоих фильтров равна 1 кГц. Аналоговый фильтр реализован в виде фильтра Чебышева первого рода 6 порядка (характеризуется неравномерностью коэффициента передачи в полосе пропускания и равномерностью коэффициента передачи a вне полосы пропускания). На практике этот фильтр может быть собран на трех фильтрах второго порядка, каждый из которых состоит из операционного усилителя и нескольких резисторов и конденсаторов. Проектирование фильтра 6 порядка является непростой задачей, а удовлетворение техническим требованиям по неравномерности характеристики в 0,5 дБ требует точного подбора компонентов.

С другой стороны, представленный цифровой фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ) имеет неравномерность характеристики всего 0,002 дБ в полосе пропускания, линейную фазовую характеристику и значительно более крутой спад частотной характеристики. Таких показателей невозможно достичь аналоговыми методами! На практике существует много других факторов, учитываемых при сравнительной оценке аналоговых и цифровых фильтров. В большинстве современных систем обработки сигналов используются комбинации аналоговых и цифровых методов для реализации желаемых функций и используются преимущества всех методов, как аналоговых, так и цифровых.

СРАВНЕНИЕ ЦИФРОВЫХ И АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Рис. 6.2 Существует много приложений, в которых цифровые фильтры должны работать в реальном масштабе времени. В них накладываются определенные требования на процессор DSP в зависимости от частоты дискретизации и сложности фильтра. Ключевым моментом является то, что процессор DSP должен проводить все вычисления в течение интервала дискретизации, чтобы быть готовым к обработке следующего отсчета данных.

Пусть ширина полосы частот обрабатываемого сигнала равна fa. Тогда частота дискретизации АЦП fs должна быть, по крайней мере, в два раза больше, то есть 2fa.

Интервал дискретизации равен 1/fs. Все вычисления, связанные с реализацией фильтра (включая все дополнительные операции), должны быть закончены в течение этого интервала. Время вычислений зависит от числа звеньев фильтра и быстродействия и эффективности процессора DSP. Каждое звено при реализации фильтра требует одной a операции умножения и одной операции сложения (умножения с накоплением). Процессор DSP оптимизируется для быстрого выполнения операций умножения с накоплением.

Кроме того, многие процессоры DSP имеют дополнительные особенности, такие как реализация циклической адресации и организация программных циклов с автоматической проверкой условия продолжения цикла, минимизирующие количество дополнительных инструкций, которые в противном случае были бы необходимы.

ФИЛЬТРЫ С КОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (КИХ)

Как следует из терминологии, эта классификация относится к импульсным характеристикам фильтров. Изменяя веса коэффициентов и число звеньев КИХ-фильтра, можно реализовать практически любую частотную характеристику. КИХ-фильтры могут иметь такие свойства, которые невозможно достичь методами аналоговой фильтрации (в частности, совершенную линейную фазовую характеристику). Но высокоэффективные КИХ-фильтры строятся с большим числом операций умножения с накоплением и поэтому требуют использования быстрых и эффективных процессоров DSP. С другой стороны, БИХ-фильтры имеют тенденцию имитировать принцип действия традиционных аналоговых фильтров с обратной связь. Поэтому их импульсная характеристика имеет бесконечную длительность. Благодаря использованию обратной связи, БИХ-фильтры могут быть реализованы с меньшим количеством коэффициентов, чем КИХ-фильтры.

просто Другим способом реализации КИХ или БИХ фильтрации являются решетчатые фильтры, которые часто используются в задачах обработки речи. Цифровые фильтры применяются в приложениях адаптивной фильтрации, благодаря своему быстродействию и простоте изменения характеристик воздействием на его коэффициенты.

Элементарной формой КИХ-фильтра является фильтр скользящего среднего (moving average), показанный на рис.6.6. Фильтры скользящего среднего популярны для сглаживания данных, например, для анализа стоимости акций и т.д. Входные отсчеты x(n) пропускаются через ряд регистров памяти (помеченных z–1 в соответствии с представлением элемента задержки при z-преобразовании). В приведенном примере имеется четыре каскада, соответствующих 4-точечному фильтру скользящего среднего.

Каждый отсчет умножается на 0,25, и результаты умножения суммируются для получения значения скользящего среднего, которое подается на выход y(n). На рисунке также представлено общее уравнение фильтра скользящего среднего на N точек. Вновь обращаем внимание, что N относится к числу точек при вычислении фильтра, а не к разрешающей способности АЦП или ЦАП, как в предыдущих разделах.

4-ТОЧЕЧНЫЙ ФИЛЬТР СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

С учетом равенства коэффициентов, наиболее простой путь исполнения фильтра скользящего среднего представлен на рис.6.7. Обратите внимание, что первым шагом является запоминание первых четырех отсчетов x (0), x (1), x (2), x (3) в регистрах. Эти величины суммируются и затем умножаются на 0,25 для получения первого выхода y(3).

Обратите внимание, что начальные значения выходов y(0), y(1) и y(2) некорректны, потому что, пока отсчет x(3) не получен, не все регистры заполнены.

Когда получен отсчет x(4), он суммируется с результатом, а отсчет x(0) вычитается из результата. Затем новый результат должен быть умножен на 0,25. Поэтому вычисления, требуемые для получения нового значения на выходе, состоят из одного суммирования, одного вычитания и одного умножения, независимо от длины фильтра скользящего среднего.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫХОДНОГО СИГНАЛА 4-ТОЧЕЧНОГО

ФИЛЬТРА СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Рис. 6.7 Реакция 4-точечного фильтра скользящего среднего на ступенчатое воздействие представлена на рис.6.8. Обратите внимание, что фильтр скользящего среднего не имеет выброса по фронту входного сигнала. Это делает его полезным в приложениях обработки сигналов, где требуется фильтрация случайного белого шума при сохранении характера входного импульса. Из всех возможных линейных фильтров фильтр скользящего среднего дает самый низкий уровень шума при заданной крутизне фронта импульса. Это показано на рис.6.9, где уровень шума понижается по мере увеличения числа точек. Существенно, что время реакции фильтра на ступенчатое воздействие от 0 % до 100 % равно произведению общего количества точек фильтра на период дискретизации.

РЕАКЦИЯ 4-ТОЧЕЧНОГО ФИЛЬТРА СКОЛЬЗЯЩЕГО

СРЕДНЕГО НА СТУПЕНЧАТОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ

Рис. 6.9 a Частотная характеристика простого фильтра скользящего среднего выражается функцией sin(x)/x. Она представлена в линейном масштабе на рис.6.10. Увеличение числа точек при реализации фильтра сужает основной лепесток, но существенно не уменьшает амплитуду боковых лепестков частотной характеристики, которая равна приблизительно -14 дБ для фильтра с 11 и с 31 отводами (длиной буфера). Естественно, эти фильтры не подходят в том случае, где требуется большое ослабление в полосе задержания.

ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ФИЛЬТРА

СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Можно существенно улучшить эффективность простого КИХ-фильтра скользящего среднего, выбирая разные веса или значения коэффициентов вместо равных значений.

Крутизна спада может быть увеличена добавлением большего количества звеньев в фильтр, а характеристики полосы затухания улучшаются выбором надлежащих коэффициентов фильтра. Обратите внимание, что, в отличие от фильтра скользящего среднего, для реализации каждой ступени обобщенного КИХ-фильтра требуется цикл умножения с накоплением. Сущность проектирования КИХ-фильтра сводится к выбору соответствующих коэффициентов и необходимого числа звеньев при формировании желаемой частотной характеристики фильтра H(f). Для включения необходимой частотной характеристики H(f) в набор КИХ-коэффициентов имеются различные алгоритмы и программные пакеты. Большинство этого программного обеспечения разработано для персональных компьютеров и доступно на рынке. Ключевой теоремой проектирования КИХ-фильтра является утверждение, что коэффициенты h(n) КИХфильтра являются просто квантованными значениями импульсной характеристики этого фильтра. Соответственно, импульсная характеристика является дискретным преобразованием Фурье от H(f).

Обобщенная форма КИХ-фильтра с числом звеньев N представлена на рис.6.11.

Как было сказано, КИХ-фильтр должен работать в соответствии с уравнением, задающим свертку:

где h(k) – массив коэффициентов фильтра и x(n-k) – входной массив данных фильтра.

Число N в уравнении представляет собой число звеньев и определяет эффективность фильтра, как было сказано выше. КИХ-фильтр с числом звеньев N требует N циклов (операций) умножения с накоплением.

Согласно рис.6.12, диаграммы КИХ-фильтров часто изображаются в упрощенном виде.

Операции суммирования представляются стрелками, указывающими в точки, а операции умножения обозначают, помещая коэффициенты h(k) рядом со стрелками на линиях.

Элемент задержки z-1 показывают, помещая его обозначение выше или рядом с соответствующей линией.

В рядах, задаваемых уравнениями КИХ-фильтров, предполагается последовательное обращение к N коэффициентам от h(0) до h(N-1). Соответствующие точки данных циркулируют в памяти. При этом добавляются новые отсчеты данных, заменяя самые старые, и каждый раз производится вычисление выходного значения фильтра. Для реализации циклического буфера может использоваться фиксированный объем оперативной памяти, как показано на рис.6.13 для КИХ-фильтра с 4 звеньями. Самый старый отсчет данных заменяется новым после каждой операции вычисления свертки.

Выборка из четырех последних отсчетов данных всегда сохраняется в оперативной памяти.

Чтобы упростить адресацию, чтение из памяти старых значений начинается с адреса, который следует непосредственно за адресом только что записанного нового элемента выборки. Например, если значение x(4) только что записано в ячейку памяти 0, то значения данных читаются из ячеек 1, 2, 3 и 0. Этот пример может быть расширен применительно к любому числу звеньев фильтра. Используя адресацию ячеек памяти таким способом, адресный генератор должен лишь вычислять последовательные адреса, независимо от того, является ли данная операция чтением памяти или записью. Такой буфер в памяти данных называется циклическим, потому что, когда достигается его последняя ячейка, указатель автоматически позиционируется на начало буфера.

Выборка коэффициентов из памяти осуществляется одновременно с выборкой данных. В соответствии с описанной схемой адресации, самый старый отсчет данных выбирается первым. Поэтому сначала должна осуществляться выборка из памяти последнего коэффициента. При использовании адресного генератора, поддерживающего инкрементную адресацию, коэффициенты могут быть сохранены в памяти в обратном порядке: h(N-1) помещается в первую ячейку, а h(0) – в последнюю. И наоборот, коэффициенты могут быть сохранены в порядке возрастания их номеров, если использовать адресный генератор, поддерживающий декрементную адресацию. В примере, показанном на рис.6.13, коэффициенты сохранены в обратном порядке.

Простая итоговая блок-схема для этих операций представлена на рис.6.14. Для DSPпроцессоров компании Analog Devices все операции, выполняемые за один цикл фильтра, производятся за один командный цикл процессора, благодаря чему существенно увеличивается эффективность вычислений. Данное преимущество известно как реализация циклов без дополнительных операций. Ассемблерный код КИХ-фильтра для семейства процессоров ЦОС ADSP-21XX с фиксированной точкой представлен на рис.6.15. Стрелками в тексте помечены исполняемые команды, остальная часть кода – просто комментарии, добавленные для пояснения.

Первая команда (помеченная меткой fir:) инициирует вычисления, очищая регистр MR и заполняя регистры MX0 и MY0 первым значением данных и первым значением коэффициентов из памяти программ и памяти данных. Затем, для вычисления суммы первых N-1 слагаемых, N-1 раз в N циклах выполняется операция умножения с накоплением, реализуя свертку выборки следующего набора данных и коэффициентов.

Заключительная команда умножения с накоплением выполняется с включенным режимом округления для округления результата до старших 24 разрядов регистра MR. Затем регистр MR1 условно насыщается до своего наибольшего положительного или a отрицательного значения, в зависимости от состояния флага переполнения в регистре MV.

Благодаря такому подходу, при накоплении результата используются преимущества регистра MR 40-разрядной точности. Насыщение происходит только в том случае, если вычисление заключительного результата привело к переполнению 32 младших значащих разрядов регистра MR.

Ограничение на число звеньев фильтра, реализующего подпрограммы КИХ-фильтрации в реальном масштабе времени, определяется, прежде всего, длительностью процессорного цикла, частотой дискретизации и требуемым объемом других вычислений. Подпрограмма КИХ-фильтра, представленная в примере, требует общего количества циклов N+5 для фильтра с числом звеньев N. Для DSP-процессора ADSP-2189M, обладающего быстродействием 75 MIPS, один цикл команды выполняется за 13,3 нс, так что фильтр с числом звеньев 100 требует 13,3 нс*100 + 5*13,3 нс = 1330 нс + 66,5 нс = 1396,5 нс = 1,4 мкс.

ПСЕВДОКОД ПРОГРАММЫ ФИЛЬТРА, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ

DSP-ПРОЦЕССОР С ЦИКЛИЧЕСКОЙ БУФЕРИЗАЦИЕЙ

1. Получение отсчета от АЦП (обычно по прерыванию)

2. Помещение отсчета в циклический буфер входного сигнала

3. Обновление указателя циклического буфера входного сигнала

4. Обнуление аккумулятора

5. Осуществление фильтрации (цикл по всем коэффициентам)

6. Выборка коэффициента из циклического буфера коэффициентов

7. Обновление указателя циклического буфера коэффициентов

8. Выборка отсчета из циклического буфера входного сигнала

9. Обновление указателя циклического буфера входного сигнала

10. Умножение коэффициента на отсчет

11. Добавление нового слагаемого к промежуточному результату

12. Выдача отфильтрованного отсчета на ЦАП

ADSP-21xx Пример кода:

DO convolution UNTIL CE;

convolution:

MR = MR + MX0 * MY0(SS), MX0 = DM(I0,M1), MY0 = PM(I4,M5);

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРОВ

Благодаря современным средствам САПР, проектирование КИХ-фильтров выполняется относительно просто. На рис.6.16 представлены некоторые характеристики КИХфильтров и наиболее популярные методы их проектирования. Проектирование КИХфильтров базируется, в первую очередь, на том, что частотная характеристика фильтра определяется импульсной характеристикой, а во-вторых, на том, что коэффициенты фильтра определяются его квантованной импульсной характеристикой.

Оба положения иллюстрирует рис.6.17. На вход КИХ-фильтра подается одиночный импульс, и по мере прохождения этого импульса через элементы задержки, на выходе поочередно формируются коэффициенты фильтра. Таким образом, процесс проектирования КИХ-фильтра состоит в определении его импульсной характеристики по желаемой частотной характеристике с последующим квантованием импульсной характеристики в ходе генерации коэффициентов фильтра.

Полезно сделать некоторое отступление и исследовать соотношения между временным и частотным представлениями для лучшего понимания принципов, лежащих в основе цифровых фильтров, в частности – КИХ-фильтров. В дискретной системе операция свертки может быть представлена рядом операций умножения с накоплением. Операция свертки во временной или частотной области эквивалентна умножению «точки на точку» в соответствующей дуальной области. Например, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области. Это изображено графически на рис.6.18.

Очевидно, что фильтрация в частотной области может быть выполнена умножением на 1 всех частотных компонентов в полосе пропускания и умножением на 0 всех частотных компонентов в полосе задержки. И наоборот, свертка в частотной области эквивалентна умножению «точки на точку» во временной области.

ХАРАКТЕРИСТИКИ КИХ-ФИЛЬТРОВ

Импульсная характеристика имеет конечную длительность (N циклов) Линейная фаза, постоянная групповая задержка (N должно быть нечетным) Нет аналогового эквивалента Безусловная устойчивость Может быть адаптивным Вычислительные преимущества при децимации на выходе Легкое понимание принципов и проектирование Оконный метод sin(x)/x (Windowed-Sinc) Разложение в ряд Фурье со взвешиванием (Windowing) Синтез произвольной частотной характеристики и использование обратного БПФ Программа Паркса-Макклиллана (Parks-McClellan) с алгоритмом обмена Ремеза (Remez)

Функция передачи в частотной области (1 или 0) может быть отображена во временную область с использованием дискретного преобразованием Фурье (ДПФ) (на практике используется БПФ). Во временной области это дает импульсную характеристику фильтра.

Так как умножение в частотной области (спектр сигнала умножается на функцию передачи фидьтра) эквивалентно свертке во временной области (сигнал свернут с импульсной характеристикой), то сигнал может быть отфильтрован путем вычисления его свертки с импульсной характеристикой фильтра. Задача фильтрации с использованием КИХ-фильтра является в точности таким процессом. Так как мы имеем дело с дискретной системой, сигнал и импульсная характеристика квантуются по времени и амплитуде, давая в результате набор дискретных отсчетов. Дискретные отсчеты, включающие желаемую импульсную характеристику, являются коэффициентами КИХ-фильтра.

Математический аппарат, применяемый при проектировании фильтров (аналоговых или цифровых), в основном базируется на преобразованиях Фурье.

a Проектирование КИХ-фильтра по методу sin(x)/x со взвешиванием Частотная характеристика идеального ФНЧ представлена на рис.6.19, A.

Соответствующая импульсная характеристика во временной области представлена на рис.6.19, B и является функцией sin(x)/x (sinc). Если для реализации этой частотной характеристики использовать КИХ- фильтр, то он должен иметь бесконечное число звеньев. Метод sin(x)/x со взвешиванием заключается в следующем. Сначала импульсная характеристика обрезается до разумного числа точек N, как на рис.6.19, C. Как было обсуждено в разделе 5, частотная характеристика, соответствующая рис.6.19, C, имеет слишком большое влияние боковых лепестков из-за разрывов в области конечных точек в усеченной импульсной характеристике. Следующий шаг в процессе проектирования состоит в применении к усеченному импульсу соответствующей весовой функции, как показано на рис.6.19, D, обнуляющей конечные точки. Выбранная таким образом весовая функция определяет спад и характеристики боковых лепестков фильтра. Весовые оконные функции были подробно обсуждены в разделе 5. Как правило, существует несколько приемлемлемых вариантов в зависимости от желаемой частотной характеристики.

Частотная характеристика фильтра с усеченной импульсной характеристикой sin(x)/x (рис.6.19, E) представлена на рис.6.19, F.

a Проектирование КИХ-фильтра по методу рядов Фурье со взвешиванием.

Метод рядов Фурье со взвешиванием (рис.6.20) заключается в начальном математическом опреденении функции передачи H(f) и последующем разложении ее в ряд Фурье.

Коэффициенты ряда Фурье определяют импульсную характеристику и, следовательно, коэффициенты КИХ-фильтра. Затем импульсная характеристика должна быть усечена и подвергнута взвешиванию с использованием оконной функции, как в предыдущем случае.

После усечения и применения оконной функции используется БПФ для генерации соответствующей частотной характеристики. Частотная характеристика может быть изменена выбором различных оконных функций, хотя точное управление характеристиками частотной характеристики в полосе режекции затруднено при любом методе, использующем взвешивание с функцией окна.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ КИХ-ФИЛЬТРА ПО МЕТОДУ РЯДОВ

ФУРЬЕ СО ВЗВЕШИВАНИЕМ

Точное определение передаточной характеристики H(f) Раложение H(f) в ряд Фурье: коэффициенты ряда Фурье являются коэффициентами КИХ-фильтра h(k) и его импульсной характеристикой Усечение импульсной характеристики до N точек Взвешивание h(k) с соответствующей оконной функцией для сглаживания эффекта усечения Отсутствует точное управление частотой среза; сильная зависимость от оконной функции

Проектирование КИХ-фильтра по методу частотной дискретизации Этот метод чрезвычайно полезен при генерации КИХ-фильтра с произвольной частотной характеристикой. H(f) определяется как набор точек амплитудной и фазовой характеристик в частотной области. Затем точки преобразуются в вещественные и мнимые составляющие комплексного спектра. Следующим шагом является получение импульсной характеристики путем взятия комплексного обратного БПФ от частотной характеристики. Далее импульсная характеристика обрезается до N точек и применяется взвешивание с функцией окна для минимизации эффекта усечения. Затем результат проектирования фильтра должен быть провере путем вычисления БПФ от ипульсной характеристики и оценки получившейся частотной характеристики. Для получения желаемой характеристики может потребоваться несколько итераций.

МЕТОД ЧАСТОТНОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ДЛЯ КИХФИЛЬТРА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ ЧАСТОТНОЙ

ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

Определение H(k) как конечного числа спектральных точек, равномерно распределенных между 0 и 0,5 fs (обычно достаточно 512) Определение фазовых точек (можно делать равными 0) Преобразование в алгебраическую форму (вещ. + мнимая части) Комплексное обратное БПФ массива H(f) для получения импульсной характеристики Усечение импульсной характеристики до N точек Взвешивание h(k) с подходящей функцией окна для сглаживания эффектов усечения Проверка результата и при необходимости коррекция Методы САПР больше подходят для ФНЧ, ФВЧ, полосовых и режекторных фильтров

Проектирование КИХ-фильтров с использованием программы ПарксаМакклиллана (Parks-McClellan) Метод проектирования, основанный на использовании окон для усечения импульсной характеристики и получения желаемой частотной характеристики, исторически был первым методом проектирования КИХ-фильтров. Метод частотной дискретизации был разработан в 70-ых годах и до сих пор популярен в тех случаях, где частотная характеристика является произвольной функцией.

Сегодня доступны современные программы САПР, которые существенно упрощают проектирование НЧ, ВЧ, полосовых и режекторных КИХ-фильтров. Популярная программа была разработана Парксом (Parks) и Макклилланом (McClellan) и использует алгоритм обмена Ремеза (Remez). Проектирование фильтра начинается с определения параметров, представленных на рис.6.22: неравномерности полосы пропускания, неравномерности полосы задержки (то же, что ослабление) и области перехода. Для этого примера проектирования была использована программа QED1000 фирмы Momentum Data Systems (демонстрационная версия свободно доступна по адресу http://www.mds.com).

В этом примере мы будем проектировать звуковой НЧ фильтр, который работает при частоте дискретизации 44,1 кГц. Фильтр определен согласно рис.6.22. Граничная частота полосы пропускания составляет 18 кГц. Полоса задержки начинается при 21 кГц, неравномерность полосы пропускания равна 0,01 дБ, а неравномерность полосы задержки (ослабление) – 96 дБ. Мы также должны определить длину слова (разрядность) коэффициентов, которая в данном случае составляет 16 разрядов, принимая во внимание, что используется 16-разрядный процессор DSP с фиксированной точкой.

Рис. 6.23 a Программа позволяет нам выбирать между проектированием, основанным на взвешивании с использованием оконных функций, и проектированием КИХ-фильтров с фиксированной неравномерностью Паркса-Макклиллана. Если выбрать последний способ, то программа оценивает число звеньев фильтра, требуемое для его реализации с соблюдением сформулированных технических требований. В данном случае число звеньев равно 69. Можно принять это число и продолжить проектирование или уменьшить число звеньев и посмотреть, можно ли с меньшим числом достичь требуемой спецификации.

Примем это значение и дадим возможность программе закончить вычисления. Программа выдает частотную характеристику (рис.6.25), реакцию фильтра на ступенчатое воздействие (рис.6.26), данные анализа в s- и z- плоскостях и импульсную характеристику (рис.6.27). Затем программа QED1000 выдает квантованные коэффициенты фильтра, которые служат исходными данными для программы, генерирующей реальный ассемблерный код для ряда популярных DSP процессоров, включая процессоры Analog Devices. Программа обладает достаточной степенью гибкости и позволяет пользователю выполнять ряд сценариев оптимизации проектируемого фильтра.

КИХ-фильтр с 69 звеньями требует 69+5=74 командных цикла процессора ADSP-2189M быстродействием 75MIPS, дает полное время вычисления на отсчет 74*13,3 нс = 984 нс.

Интервал дискретизации равен 1/44,1 кГц или 22,7 мкс. Это дает 22,7 мкс-0,984 мкс = 21,7 мкс для различных дополнительных операций и реализации других алгоритмов.

Вследствие избыточности вычислительной мощности процессора в данном случае появляется целый ряд возможностей, которые включают использование более медленного процессора для этого приложения (3,3 MIPS), реализацию более сложного фильтра, который требует большего времени вычисления (до N = 1700) или увеличения частоты дискретизации до 1 MSPS.

ПРИМЕР ПРОЕКТИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ

ADSP-2189M: ПРОЦЕССОРНОЕ ВРЕМЯ ДЛЯ КИХ-ФИЛЬТРА 69 ПОРЯДКА Частота дискретизации fs = 44,1 kSPS Интервал дискретизации = 1 / fs = 22,7 мкс Порядок фильтра, N = 69 Количество требуемых команд = N + 5 = 74 Процессорное время на команду = 13,3 нс (75 MIPS) (ADSP-2189M) Общее время обработки = 74 13,3 нс = 984 нс Общее время обработки интервала дискретизации и 22,7 мкс – 0,984 мкс = 21,7 мкс запас для других операций Увеличение частоты дискретизации до 1 МГц Использование более медленного процессора ЦОС (3,3 MIPS) Увеличение порядка фильтра (до N = 1700)

Рис. 6.28 aПроектирование ВЧ, полосовых и режекторных фильтров на основе НЧ фильтров

Преобразование спроектированной импульсной характеристики НЧ фильтра в импульсную характеристику ВЧ фильтра может быть выполнено одним из двух способов.

По методу инверсии спектра знак каждого коэффициента фильтра в импульсной характеристике НЧ фильтра изменяется на противоположный. Затем к центральному коэффициенту прибавляется 1. По методу реверсирования спектра изменяется знак каждого второго коэффициента. Это приводит к изменению характеристик в частотной области. Другими словами, если частота среза НЧ фильтра равна 0,2*fs, то результирующий ВЧ фильтр будет иметь частоту среза 0,5*fs — 0,2*fs = 0,3*fs. Это должно приниматься во внимание при проектировании исходного НЧ фильтра.

Полосовой и режекторный фильтры можно спроектировать, комбинируя надлежащим образом соответствующие НЧ и ВЧ фильтры. Полосовые фильтры проектируются посредством каскадного соединения НЧ и ВЧ фильтров. Вычисляя свертку двух индивидуальнх импульсных характеристик, получают эквивалентную импульсную характеристику каскадных фильтров.

Режекторный фильтр проектируется посредством параллельного подключения НЧ и ВЧ фильтров и суммирования сигналов с их выходов. Суммируя индивидуальные импульсные характеристики, получают эквивалентную импульсную характеристику.

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПОЛОСОВЫХ И РЕЖЕКТОРНЫХ

ФИЛЬТРОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФНЧ И ФВЧ

ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКОЙ

(БИХ) Как было упомянуто ранее, КИХ-фильтры не имеют реальных аналоговых эквивалентов.

Самой близкой аналогией является фильтр скользящего среднего с взвешиванием. Кроме того, частотные характеристики КИХ-фильтров имеют только нули и не имеют полюсов.

С другой стороны, БИХ-фильтры имеют традиционные аналоговые эквиваленты (фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптический и Бесселя) и могут быть проанализированы и синтезированы с использованием традиционных методов проектирования фильтров.

БИХ-фильтры получили такое название, потому что их импульсные характеристики растянуты на бесконечном временном интервале. Это объясняется тем, что данные фильтры являются рекурсивными, то есть используют обратную связь. Хотя БИХфильтры могут быть реализованы с меньшим, чем КИХ-фильтры, количеством вычислений, БИХ-фильтры не могут иметь таких характеристик, которыми обладают КИХ-фильтры. Более того, БИХ-фильтр не имеет линейной фазовой характеристики. Но вычислительные преимущества БИХ-фильтра теряются, когда выходной сигнал фильтра подвергается децимации, поскольку в этом случае всякий раз приходится вычислять заново значение выходной величины.

БИХ-фильтры обычно реализуются с помощью звеньев второго порядка, которые называются биквадратными фильтрами, потому что описываются биквадратными уравнениями в z-области. Фильтры высокого порядка проектируют, используя каскадирование биквадратных звеньев. Например, фильтр шестого порядка требует трех биквадратных звеньев.

ФИЛЬТРЫ С БЕСКОНЕЧНОЙ ИМПУЛЬСНОЙ

ХАРАКТЕРИСТИКОЙ (БИХ) Имеют обратную связь (рекурсия) Импульсная характеристика имеет бесконечную длительность Потенциально нестабильны Нелинейная фазочастотная характеристика Более эффективны, чем КИХ-фильтры Нет вычислительных преимуществ при децимации по выходу Обычно проектируется по характеристике аналогового фильтра Обычно реализуется каскадным соединением звеньев второго порядка (биквадратные фильтры) Рис. 6.31 Структура биквадратного БИХ-фильтра представлена на рис.6.32. Нули формируются коэффициентами прямой связи b0, b1 и b2; а полюса (порядок) определяются коэффициентами обратной связи a1 и a2.

Рис. 6.32 Общее уравнение цифрового фильтра, представленное на рис.6.32, описывает обобщенную передаточную функцию H(z), которая содержит полиномы и в числителе, и в знаменателе. Корни знаменателя определяют расположение полюсов фильтра, а корни числителя характеризуют расположение нулей. Хотя существует возможность создания непосредственно по этому уравнению БИХ-фильтра более высокого порядка (так называемая прямая реализация), накапливающиеся ошибки квантования (из-за a арифметики с фиксированной точкой и конечной длины слова) могут вызывать неустойчивость работы фильтра и большие ошибки. По этой причине правильнее расположить каскадно несколько биквадратных звеньев с соответствующими коэффициентами, чем использовать прямую форму реализации. Данные при вычислении биквадратных фильтров могут масштабироваться раздельно, а затем биквадратные звенья каскадируются для минимизации ошибок квантования коэффициентов и накапливающихся ошибок рекурсивного накопления. Каскадные биквадратные фильтры работают более медленно, чем их эквиваленты прямой формы реализации, но они более устойчивы и в них минимизируются эффекты, связанные с арифметическими ошибками конечной разрядности данных.

Первая прямая форма биквадратного звена, представленная на рис.6.32, требует использования четырех регистров. Эта конфигурация может быть заменена эквивалентной схемой, представленной на рис.6.33, которая называется второй прямой формой реализации и требует использования только двух регистров. Можно показать, что уравнения, описывающие биквадратный БИХ-фильтр второй прямой формы реализации, такие же, как и уравнения первой прямой формы реализации. Как и в случае КИХфильтра, система обозначений при изображении БИХ-фильтра часто упрощается, как показано на рис.6.34.

БИКВАДРАТНЫЙ БИХ-ФИЛЬТР ФОРМА 2

МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БИХ-ФИЛЬТРОВ

Популярный метод проектирования БИХ-фильтра сводится к тому, что сначала проектируется эквивалентный аналоговый фильтр, а затем функция передачи H(s) преобразуется математически в z-область, H(z). Проектирование фильтров более высоких порядков выполняется каскадированием биквадратных звеньев. Наиболее популярными аналоговыми фильтрами являются фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические и Бесселя (см. рис.6.35). Существует множество программ САПР, способных генерировать функцию передачи фильтра, заданную с помощью преобразования Лапласа.

Фильтр Баттерворта, не имеющий нулей частотной характеристики, (также называемый фильтром с максимально плоской характеристикой), не создает пульсаций (неравномерности) в полосе пропускания и в полосе задержки, то есть обладает монотонной характеристикой в обеих полосах. Фильтр Чебышева 1-го рода имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Баттерворта (при равном порядке), и создает пульсации (неравномерность) в полосе пропускания. Реже используются фильтры Чебышева 2-го рода, имеющие пульсации (неравномерность) в полосе задержки, а не в полосе пропускания.

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра) имеет полюса и нули частотной характеристики и создает пульсации (неравномерность) и в полосе пропускания, и в полосе задержки. Этот фильтр имеет более быстрый спад частотной характеристики, чем фильтр Чебышева при том же числе полюсов (порядке). Эллиптический фильтр часто используется там, где допускается несколько худшая фазовая характеристика.

Наконец, фильтр Бесселя (Томпсона), который не имеет нулей частотной характеристики, обладает оптимальной импульсной характеристикой и линейной фазовой характеристикой, но имеет худший спад частотной характеристики из всех типов обсуждавшихся фильтров при том же числе полюсов (порядке).

ОБЗОР ПОПУЛЯРНЫХ АНАЛОГОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Все вышеперечисленные типы аналоговых фильтров описаны в литературе, их преобразования по Лапласу H(s) доступны либо из таблиц, либо могут быть получены с помощью средств САПР. Существует три метода преобразования изображения по Лапласу в z-изображение: метод инвариантности импульсной характеристики, билинейное преобразование и согласованное z-преобразование. Результирующее zизображение может быть преобразовано в коэффициенты биквадратного БИХ-фильтра.

Эти методы достаточно распространены в математике и в дальнейшем не будут обсуждаться.

Подход САПР при проектировании БИХ-фильтра подобен программе ПарксаМакклиллана, используемой для КИХ-фильтров. Эта методика использует алгоритм Флетчера-Пауэла (Fletcher-Powell).

При вычислении производительности специального процессора DSP, предназначенного для реализации БИХ-фильтров, необходимо исследовать эталонные требования эффективности вычислений для биквадратного звена фильтра. Для получения выходного отсчета биквадратного фильтра при его реализации на базе семейства процессоров ADSPXX требуется семь командных циклов. Для DSP-процессора ADSP-2189M, обладающего быстродействием 75 MIPS, это соответствует 7*13,3 нс = 93 нс, что дает максимально возможную частоту дискретизации 10 MSPS (в пренебрежении дополнительными операциями).

a МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ БИХ-ФИЛЬТРОВ

Метод инвариантности импульсной характеристики Начинается с определения H(s) для аналогового фильтра Взятие обратного преобразования Лапласа для получения импульсной характеристики Получение z-преобразования H(z) из дискретной импульсной характеристики z-преобразование выдает коэффициенты фильтра Должен быть учтен эффект наложения спектров Метод билинейного преобразования Другой метод для преобразования H(s) в H(z) Характеристики определяются дифференциальным уравнением, описывающим аналоговую систему Не важен эффект наложения спектра Метод согласованного z-преобразования Отображает H(s) в H(z) для фильтров и с полюсами, и с нулями Методы САПР Алгоритм Флетчера-Пауэла Осуществляются каскадированием биквадратных звеньев

Резюме: сравнение КИХ- и БИХ-фильтров Выбор между КИХ-и БИХ-фильтрами может быть своего рода состязанием в проектировании, но несколько основных руководящих принципов дать можно. Как правило, БИХ-фильтры более эффективны, чем КИХ-фильтры, потому что они требуют меньшего количества памяти и меньшего количества операций умножения с накоплением.

БИХ-фильтры могут быть разработаны, основываясь на предыдущем опыте проектирования аналоговых фильтров. БИХ-фильтры могут приносить проблемы неустойчивости, но это происходит реже, если проектируемые фильтры высокого порядка реализуются как системы, состоящие из каскадов второго порядка.

a С другой стороны, КИХ-фильтры требуют большего количества звеньев и, соответственно, операций умножения с накоплением для реализации частотной характеристики с заданной частотой среза, но при этом имеют линейную фазовую характеристику.

СРАВНЕНИЕ КИХ И БИХ ФИЛЬТРОВ

Рис. 6.38 Если необходимы фильтры с крутым спадом и испытывается дефицит во времени, отведенном для обработки, хорошим выбором являются эллиптические БИХ-фильтры.

Если число операций умножения с накоплением не является чрезмерным и требуется линейная фаза, то должен быть выбран КИХ-фильтр.

ФИЛЬТРЫ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ЧАСТОТОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Существует множество приложений, требующих изменения эффективной частоты дискретизации дискретной системы. Во многих случаях это требование может быть удовлетворено простым изменением частоты дискретизации АЦП или ЦАП. Однако часто желательно выполнить преобразование частоты дискретизации после того, как сигнал был оцифрован. Наиболее общими методами такого преобразования являются децимация (уменьшение частоты дискретизации с коэффициентом M) и интерполяция (увеличение частоты дискретизации с коэффициентом L). Коэффициенты децимации и интерполяции (М и L) обычно являются целыми числами. В более общем случае может потребоваться a дискретизация с дробным коэффициентом. В частности, для преобразования частоты дискретизации 44,1 кГц, используемой в проигрывателях компакт-дисков, в частоту дискретизации 48 кГц, используемую в цифровой звукозаписи в формате DAT, осуществляется интерполяция с коэффициентом L=160, сопровождаемая децимацией с коэффициентом М=147.

Концепция децимации проиллюстрирована на рис.6.39. Верхняя диаграмма показывает исходный сигнал с полосой fa, который дискретизирован с частотой fs. Диаграмма, содержащая соответствующий спектр, показывает, что частота дискретизации значительно превышает частоту, требуемую для сохранения информации, содержащейся в полосе fa, то есть сигнал с полосой fa является избыточно дискретизированным сигналом.

Обратите внимание, что полоса между частотами fa и fs-fa, не содержит никакой полезной информации. Нижняя диаграмма показывает тот же самый сигнал, но частота дискретизации его уменьшена с коэффициентом М. Несмотря на сниженную частоту дискретизации, эффект наложения спектров отсутствует и потерь информации нет.

Децимация с большим коэффициентом, чем показано на рис.6.39, вызовет наложение спектров.

ДЕЦИМАЦИЯ ДИСКРЕТНОГО СИГНАЛА

С КОЭФФИЦИЕНТОМ М

A) ИСХОДНЫЙ ИЗБЫТОЧНО

ДИСКРЕТИЗИРОВАННЫЙ СИГНАЛ

Рис.6.40, а показывает процесс децимации выходного сигнала КИХ-фильтра. Данные y(n) с выхода фильтра сохраняются в регистре данных, который стробируется с частотой fs/M, соответствующей частоте дискретизации после децимации. В данном случае децимация не изменяет объема вычислений, требуемых для реализации цифрового фильтра, то есть фильтр должен вычислять каждый выходной отсчет y(n).

ДЕЦИМАЦИЯ, СОВМЕЩЕННАЯ С КИХ-ФИЛЬТРАЦИЕЙ

На рис.6.40, б представлен метод, который может использоваться для увеличения с коэффициентом М вычислительной эффективности КИХ-фильтра.. Данные из регистров задержки сохраняются в N регистрах данных, которые стробируются частотой, соответствующей частоте дискретизации после децимации fs /M. Операции умножения с накоплением в КИХ-фильтре теперь должны выполняться только в каждом М-ом тактовом цикле. Этот выигрыш в эффективности может быть использован для реализации фильтра с большим количеством звеньев и для проведения дополнительных вычислений.

Данный выигрыш позволяет, также, использовать более медленный и дешевый процессор DSP.

На рис.6.41 представлена концепция интерполяции. Исходный сигнал на рис. 6.41, а дискретизирован с частотой fs. На рис. 6.41, б частота дискретизации увеличена с коэффициентом L и добавлены нули для заполнения дополнительных отсчетов. Сигнал с добавленными нулями пропускают через фильтр интерполяции, который формирует дополнительные данные в точках, ранее заполненных нулями.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ СИГНАЛА С КОЭФФИЦИЕНТОМ L

Иллюстрацию эффекта интерполяции в частотной области представляет рис.6.42.

Исходный сигнал, дискретизированный с частотой fs, показан на рис.6.42, а. На рис.6.42, б интерполированный сигнал имеет частоту дискретизации L fs. Примером использования интерполяции является ЦАП проигрывателя компакт-дисков, где данные генерируются с частотой 44,1 кГц. Если эти данные, спектр которых показан на рис. 6.42, а, поступают непосредственно на ЦАП, то требования, предъявляемые к ФНЧ на выходе ЦАП, чрезвычайно высоки. Обычно используется интерполирующий ЦАП с избыточной дискретизацией, дающий спектр, показанный на рис.6.42, б. Обратите внимание на упрощение требований к аналоговому ФНЧ. Это важно для реализации фильтра с относительно линейной фазовой характеристикой и для сокращения стоимости фильтра.

Цифровая реализация интерполяции представлена на рис.6.43. Исходный сигнал x(n) сначала пропускают через экспандер частоты, который увеличивает частоту дискретизации с коэффициентом L и вставляет дополнительные нули. Затем данные проходят через интерполяционный фильтр, который сглаживает данные и интерполирует промежуточные значения между исходными точками данных. Эффективность этого фильтра можно улучшить, используя алгоритм фильтрации, в котором входные отсчеты с нулевым значением не требуют операций умножения с накоплением. Использование DSPпроцессора, поддерживающего циклические буферы и циклы, реализуемые без дополнительных операций проверки условия завершения цикла, также улучшает эффективность реализации фильтров.

ЭФФЕКТ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

ИСХОДНЫЙ СИГНАЛ

Интерполяторы и дециматоры могут совместно использоваться для выполнения преобразования частоты дискретизации с дробным коэффициентом, как показано на рис.6.44. Сначала входной сигнал x(n) интерполируется с коэффициентом L, а затем a подвергается децимации с коэффициентом М. Результирующая выходная частота дискретизации равна Lfs/M. Чтобы сохранить максимально возможную полосу частот в сигнале, являющемся промежуточным результатом, интерполяция должна быть осуществлена перед децимацией. В противном случае часть полосы исходного сигнала была бы отфильтрована дециматором.

Характерным примером является преобразование частоты дискретизации проигрывателя компакт-дисков, которая равна 44,1 кГц, в частоту дискретизации, используемую при цифровой звукозаписи в формате DAT, которая равна 48,0 кГц. Коэффициент интерполяции при этом равен 160, а коэффициент децимации – 147. На практике, интерполяционный фильтр h'(k) и прореживающий фильтр h»(k) объединяются в один фильтр h(k).

КОНВЕРТОРЫ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

ИНТЕРПОЛЯТОР ДЕЦИМАТОР

Рис. 6.44 Полная функция преобразования частоты дискретизации интегрирована в микросхемах семейства AD1890, AD1891, AD1892, и AD1893, которые работают на частотах от 8 кГц до 56 кГц (48 кГц для AD1892). Новая модель AD1896 работает на частотах до 196 кГц.

АДАПТИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ

В отличие от аналоговых фильтров, характеристики цифровых фильтров могут быть легко изменены путем изменения коэффициентов.

Сигнал ошибки управляет алгоритмом адаптации, который генерирует коэффициенты фильтра, минимизирующие сигнал ошибки. Наиболее популярными алгоритмами a являются метод наименьших квадратов (least-mean-square) и рекурсивный метод наименьших квадратов (recursive-least-squares).

АДАПТИВНЫЙ ФИЛЬТР

На рис.6.46 показано применение адаптивного фильтра для компенсации эффектов амплитудных и фазовых искажений в канале передачи. Коэффициенты фильтра определяются в процессе передачи обучающей последовательности, представляющей известный образец данных. Алгоритм адаптации корректирует коэффициенты фильтра для получения соответствия между принимаемыми данными и данными обучающей последовательности. При связи через модем обучающая последовательность передается после установления первоначального соединения. После передачи обучающей последовательности коммутаторы переключаются в другую позицию, и начинается передача реальных данных. В течение этого времени генерируется сигнал ошибки, равный разности входных и выходных данных адаптивного фильтра.

Сжатие и синтез речи также подразумевают активное использование адаптивной фильтрации для уменьшения требуемых объемов передачи данных. Модель системы линейного кодирования с предсказанием (linear predictive coding, LPC), представленная на рис.6.47 моделирует голосовой тракт, как импульсный генератор переменной частоты для гласных звуков и генератор случайного шума для согласных звуков. Сигнал от этих генераторов подается на цифровой фильтр, который, в свою очередь, генерирует реальный звуковой сигнал.

МОДЕЛЬ ЛИНЕЙНОГО КОДИРОВАНИЯ

С ПРЕДСКАЗАНИЕМ (LINEAR PREDICTIVE CODING, LPC)

НОС РОТ ГЛОТКА (ЯЗЫК И ГУБЫ) НЁБНАЯ ЗАНАВЕСКА ГОРТАНЬ (ГОЛОСОВЫЕ СВЯЗКИ) ЛЁГКИЕ

Рис. 6.47 a На рис.6.48 дан пример применения линейного кодирования с предсказанием (LPC) в системе мобильной связи GSM. Входной голосовой сигнал оцифровывается 16-разрядным АЦП с частотой дискретизации 8 kSPS. Этим создается поток данных со скоростью 128 kBPS, слишком высокой для непосредственной передачи. DSP-процессор на передающем конце использует LPC-алгоритм для того, чтобы разбить передаваемый сигнал на набор коэффициентов фильтра и сигнал возбуждения. Такое кодирование проводится в интервал сигнала 20 мс, который считается оптимальной для большинства голосовых приложений.

Реальная скорость передачи данных составляет всего 2,4 kBPS, что соответствует коэффициенту сжатия 53,3. Принимающий DSP-процессор использует LPC-модель для восстановления речи из принятых коэффициентов фильтра и сигнала возбуждения. В результате выходные данные поступают со скоростью 128 kBPS на 16-разрядный ЦАП для окончательного восстановления голосового сигнала.

Цифровые фильтры, используемые в приложениях линейного кодирования речи с предсказанием, могут быть либо КИХ-, либо БИХ-фильтрами, хотя БИХ-фильтры без нулей частотной характеристики используются наиболее широко. И КИХ- и БИХфильтры могут быть реализованы в виде лестничной структур, как показано на рис.6.49 для рекурсивного фильтра без нулей частотной характеристики. Данная структура может быть выведена из традиционной структуры БИХ-фильтра, но преимущество лестничного фильтра состоит в том, что его коэффициенты более связаны с результатами работы алгоритмов, которые используют модель голосового тракта, показанную на рис.6.47, чем коэффициенты эквивалентного БИХ-фильтра.

Параметры модели лестничного фильтра без нулей частотной характеристики определяются линейной экстраполяцией голосовых отсчетов, как показано на рис.6.50.

Вследствие нестационарного характера голосовых сигналов, эта модель применяется только к коротким сегментам (обычно 20 мс). Новый набор параметров обычно a определяется для каждого временного сегмента, если между сегментами нет разрывов, которые принудительно сглаживают данные.

Проектирование КИХ-фильтра по методу рядов Фурье со взвешиванием

Книга посвящена как теоретическим, так и прикладным аспектам создания аналого-цифровых систем обработки сигналов. Рассматриваются вопросы аналого-цифрового и цифро-аналогового преобразования, даются основы цифровой обработки сигналов, цифровой фильтрации, спектрального анализа. Отдельная глава посвящена вопросам конструирования, таким как компоновка устройства, разводка печатных плат, передача сигналов по высокоскоростным интерфейсам, сопряжение цифровых и аналоговых блоков устройства.
Для инженеров и студентов радиотехнических и других смежных специальностей.

© 2001-2020
РИЦ Техносфера
Все права защищены
Тел. +7 (495) 234-0110

1,44), форма которой и оптическая сила управляются глазными
мышцами. Также роговица и глазная линза ведут себя подобно одиноч
ной стеклянной линзе с переменным фокусным расстоянием, формируя
на искривленной сетчатке в задней части глазного яблока действительное
изображение. Сетчатка содержит фоточувствительные рецепторные клет
ки, которые посылают электрохимические сигналы в мозг, причем сила
каждого сигнала представляет локальную интенсивность на изображении.
Однако фотохимические процессы в рецепторных клетках работают в ог
раниченном диапазоне интенсивностей изображения, поэтому глаз кон
тролирует количество света, достигающего сетчатки, путем изменения
диаметра d (в интервале от 2 до 8 мм) отверстия в радужной оболочке гла
за, также известного как зрачок. Зрачок является круглым отверстием в
диафрагме (или радужной оболочке), непрозрачном диске, расположенном
между линзой и роговицей, как показано на рис. 1.1.
Пространственное разрешение изображения на сетчатке, которое оп
ределяет, насколько малым может быть объект, который все еще можно
отличить, как отдельно стоящий, от окружающего его фона и от анало
гичных объектов, определяется тремя факторами: размером рецепторных
клеток, несовершенствами фокусировки (известными, как аберрации) и
дифракцией света на краю глазного зрачка. Дифракцию нельзя объяснить
посредством корпускулярной природы света (с точки зрения геометри
ческой или лучевой оптики); она требует применения волновой интер
претации (физической оптики), в соответствии с которой любое изобра
жение, на самом деле, является инерференцией картины дифракции,
формируемой лучами света, имеющими разную длину хода луча, при до
стижении одной и той же точки изображения. В простой ситуации, кото
рая изображена на рис. 1.2, параллельный луч света падает на непрозрач
ную диафрагму, в которой имеется круглое отверстиие, радиус которой
образует угол α в центре белого наблюдательного экрана. Свет, проходя
щий через апертуру, падает на экран в виде кружка с размытыми краями
(или кружка рассеяния), диаметр которого Δx в действительности боль
ше, чем диаметр апертурного отверстия. Фактически, для апертуры малого
диаметра эффект дифракции на самом деле заставляет Δx увеличиваться
по мере уменьшения диаметра апертурной диафрагмы в соответствии с
критерием Рэлея:
Δx = 0,6λ/sin α, (1.1)
где λ – длина волны дифрагировавшего света.
Уравнение (1.1) можно применить к глазу с помощью рис. 1.1б, на
котором показано эквивалентное изображение, формируемое в воздухе
на расстоянии f от одиночной фокусирующей линзы. Для длин волн в
10 Глава 1. Введение в микроскопию
середине видимого диапазона спектра λ ≈ 500 нм, и если взять d ≈ 4 мм,
а f ≈ 2 см, то из геометрии рис. 1.1б получим tan α ≈ (d/2)/f, который
подразумевает то, что угол имеет малую величину и позволяет исполь
зовать малоугловое приближение, в этом случае sin α ≈ tan α. Уравне
ние (1.1) затем позволяет получить диаметр кружка рассеяния, равный
Δx ≈ (0,6)(500 нм)/(0,1) = 3 мкм.
Несовершенство фокусировки (аберрация) человеческого глаза вносит
вклад, примерно равный по величине размытию изображения, которое мы
поэтому принимаем равным 3 мкм. Кроме того, светочувствительные клет
ки фоторецепторы сетчатки глаза имеют диаметр примерно от 2 до 6 мкм
(средний размер около 4 мкм). Очевидно, в ходе эволюции человеческий
глаз был усовершенствован до такого уровня, когда дальнейшее улучше
ние его конструкции могло бы привести к относительно незначительному
повышению полного разрешения по сравнению с дифракционным преде
лом Δx, обусловленным волновой природой света.
В допустимом приближении эти три различных вклада в размытие
изображения на сетчатке могут быть объединены в квадратуру (путем воз
ведения в квадрат), связывающую их данным образом в статистические
величины, используемые в анализе погрешностей. С помощью этой про
цедуры полное размытие изображения определяется как
(Δ)2 = (3 мкм) 2 + (3 мкм)2 + (4 мкм)2, (1.2)
откуда получаем величину размытия изображения на сетчатке, примерно
равную Δ ≈ 6 мкм. Это значение соответствует угловому размытию уда
ленных объектов (см. рис. 1.1б), в виде
Рис. 1.2. Дифракция света на щели или на круглой апертуре диафрагмы.
Волны распространяются от диафрагмы и падают на белый эк
ран, создавая кружок рассеяния (диск Эри), интенсивность I(x) в
котором показана на графике справа
Интенсивность
Непрозрачный
экран
Белый экран,
на котором
появляется изображение
1.2. Световой оптический микроскоп 11
Δθ ≈ (Δ/f) ≈ (6 мкм)/(2 мкм) ≈ 3 × 10–4 рад ≈ (1/60) градуса =
= 1 угловая дуги. (1.3)
Удаленные объекты (или детали внутри объектов) могут различаться
как отдельные, если они видны под большим углом, чем этот. Соответ
ственно, ранние астрономы были способны определить положения яр
ких звезд в пределах нескольких угловых минут только с помощью нево
оруженного глаза, привыкшего к темноте, и используя простые устрой
ства для целеуказания. Для того чтобы можно было увидеть больше под
робностей на ночном небе, таких, как слабые звезды внутри галактик, тре
буется телескоп, который имеет угловое увеличение.
Изменение формы линзы в глазу взрослого человека изменяет ее пол
ное фокусное расстояние только на 10%, поэтому для того чтобы полу
чить на сетчатке глаза сфокусированное изображение, самое близкое рас
стояние от объекта до глаза составляет около u ≈ 25 см. На этом расстоянии
угловое разрешение 3 × 10–4 рад соответствует (см. рис. 1.1в) латеральному
размеру:
ΔR ≈ (Δθ ) u ≈ 0,075 мм = 75 мкм. (1.4)
Поскольку u ≈ 25 см является минимальным расстоянием для четкого
зрения, значение ΔR = 75 мкм можно принять, как минимальный диа
метр самого мелкого объекта, который может разрешаться (т.е. наблю
даться отдельно от соседних объектов) невооруженным глазом, которое
известно, как пространственное разрешение в плоскости объекта.
Поскольку существует много интересных объектов с меньшими раз
мерами, включая примеры, приведенные в табл. 1.1, для их наблюдения
нужен оптический прибор с коэффициентом увеличения M (> 1); другими
словами, нужен микроскоп.
Для разрешения мелких объектов диаметром D, необходимо иметь уве
личение M* такое, чтобы увеличенный диаметр (М*D) в плоскости глаза
человека был не менее значения предметного разрешения ΔR (≈ 75 мкм)
глаза. Другими словами,
M* = ΔR/D. (1.5)
Значения этого минимального увеличения приведены в правом столб
це табл. 1.1 для объектов различного диаметра D.
1.2. Световой оптический микроскоп
Световые микроскопы были разработаны в начале XVII века и некоторые
из самых удачных наблюдений были сделаны Антони Ван Левенгуком, ко
торый использовал тонкую стеклянную линзу, расположенную на очень
близком расстоянии от объекта и от глаза (рис. 1.3). В конце XVII века
этот датский ученый наблюдал клетки крови, бактерии и структуры внут
ри клеток тканей животных, что являлось для того времени открытием.
12 Глава 1. Введение в микроскопию
Но этот простой однолинзовый прибор необходимо было весьма тщатель
но устанавливать, что делало наблюдения весьма утомительными на прак
тике.
Для рутинного применения более удобным является сложный микро
скоп, содержащий по крайней мере две линзы: объектив (расположенный
близко к объекту, который необходимо увеличить) и окуляр (расположен
ный весьма близко к глазу). При возрастании размеров данного микро
скопа или при использовании большего количества линз увеличение M
такого сложного микроскопа может возрастать неограниченно. Однако
большое значение M не гарантирует, что можно будет наблюдать объект
пренебрежительно малого диаметра D; дополнительно к тому, чтобы удов
летворялось уравнение (1.5), мы должны обеспечить наличие достаточно
низких аберраций и дифракции в самом микроскопе.
В наши дни аберрации светового оптического прибора могут быть сде
ланы пренебрежимо малыми либо путем шлифовки поверхности линзы
для придания ей надлежащей формы, либо путем установки промежуточ
ных линз с целью полной компенсации суммарной аберрации такого блока
линз. Но даже с такими безаберрационными линзами пространственное
разрешение сложного микроскопа ограничено дифракцией объектив
ной линзы. Так же, как и в случае дифракции на зрачке человеческого
глаза или на центральном отверстии непрозрачного экрана, этот эффект
зависит от диаметра (апертуры) данной линзы. С высокоапертурной лин
зой (sin α ≈ 1) уравнение (1.1) предсказывает предел разрешения немно
го более половины длины волны света, что впервые было выведено Аbbе
в 1873 г. Для света в середине видимого спектра (λ ≈ 0,5 мкм) это означа
ет, что наилучшее достижимое разрешение объекта составляет пример
но 0,3 мкм.
Рис. 1.3. Один из однолинзовых микроскопов, которыми пользовался Ван
Левенгук. Для центрирования глаза по оптической оси линзы и,
следовательно, для минимизации аберраций изображения исполь
зовался регулируемый визир. С разрешения FEI Company
1.2. Световой оптический микроскоп 13
Это является существенным улучшением разрешения по сравнению со
значением наилучшего разрешения (≈ 75 мкм) невооруженного глаза. Од
нако для того чтобы достичь такого разрешения микроскоп должен увели
чить объект до диаметра, равного, по крайней мере, ΔR, так что полное раз
решение определяется дифракцией микроскопа, а не ограничениями
человеческого глаза, требующими, чтобы увеличение микроскопа было
равно M ≈ (75 мкм)/(0,3 мкм) = 250. Гораздо более высокие значения увели
чения («пустое увеличение») не существенно улучшают резкость увеличен
ного изображения и фактически уменьшают поле зрения, т.е. ту область
объекта, которую можно одновременно наблюдать на изображении.
Световые микроскопы широко применяются в исследованиях и по
ставляются в виде двух основных типов. Для биологического микроскопа
(рис. 1.4а) требуются оптически прозрачные образцы, такие, как тонкие
Рис. 1.4. Упрощенная схема биологического микроскопа (а), который стро
ит изображение в проходящем через образец свете, и металлурги
ческого микроскопа (б), в котором используется свет (часто от
встроенного осветителя), отраженный от поверхности образца
Отражающий
образец
Окуляр
Полупрозрачное
зеркало
Объектив
Прозрачный
образец
а) б)
14 Глава 1. Введение в микроскопию
сечения (срезы) тканей животных или растений. Дневной свет или свет
от лампы направляется через линзу или зеркало на образец и далее по
падает в микроскоп, который создает действительное изображение на
сетчатке глаза либо внутри установленной на микроскопе фотокамеры.
Изменения в интенсивности света (контраст) на изображении возникают
благодаря тому, что различные части образца в различной степени погло»
щают свет. Используя окрашивающие вещества (светопоглощающие ве
щества, которые сами по себе распределяются в определенных участках
образца), можно добиться усиления контраста; затем на изображении среза
ткани можно находить отдельные компоненты (органеллы) внутри каждой
биологической клетки. Поскольку свет проходит через образец, этот при
бор также называется оптическим микроскопом проходящего света. Он так
же используется геологами, которые могут приготовлять образцы минера
лов, которые являются достаточно тонкими (толщиной менее 0,1 мкм) для
того, чтобы они стали оптически прозрачными.
Металлургический микроскоп (рис. 1.4б) используется для изучения ме
таллов и других материалов, которые нельзя сделать достаточно тонки
ми, чтобы они стали прозрачными. В этом типе микроскопа изображение
формируется лучами, отраженными от поверхности образца. Поскольку
идеально гладкие поверхности дают малый контраст или не дают его со
всем, образец обычно погружается на несколько секунд в химический
травитель – раствор, который воздействует преимущественно на опре
деленные участки образца для создания на нем неровной поверхности,
отражательная способность которой изменяется от одного участка до
другого.
В этом режиме работы микроскоп позволяет обнаруживать микро
структуру таких кристаллических материалов, как различные фазы, при
сутствующие в металлургическом сплаве. Большинство травителей селек
тивно растравливают участки между отдельными кристаллитами (зернами)
образца, где атомы упакованы менее плотно, оставляя на образце види
мые межзеренные канавки, которые наблюдаются в виде темных линий,
как показано на рис. 1.5. Поэтому металлургический микроскоп может
использоваться для определения формы зерен и размеров межзеренных
границ в металлах и сплавах.
Как мы видели, разрешение светового оптического микроскопа огра
ничено дифракцией. Как видно из уравнения (1.1), существует единствен
ная возможность улучшения разрешения (которая означает уменьшение
величины Δx, а поэтому как Δ, так и ΔRx), заключающаяся в уменьшении
длины волны λ излучения. Простым решением является использование
масляно%иммерсионной объективной линзы: капля прозрачной жидкости
(с показателем преломления n) помещается между образцом и объективом
таким образом, чтобы свет, который фокусируется (и дифрагирует), имел
меньшую длину волны: λ/n. Применение кедрового масла (n = 1,52) дает
возможность улучшить разрешение на 34%.
1.3. Рентгеновский микроскоп 15
Существенное улучшение разрешения дает применение ультрафиоле%
тового (УФ) излучения, средняя длина волны которого находится в диа
пазоне 100–300 нм. В качестве источника света может применяться газо
разрядная лампа, а окончательное изображение можно наблюдать на
флуоресцентном экране, который преобразует ультрафиолетовое излуче
ние в видимый свет. Поскольку обычное стекло сильно поглощает УФ
излучение, фокусирующие линзы должны быть изготовлены из таких ма
териалов, как кварц (прозрачен вплоть до 190 нм) или фтористый литий
(прозрачен вплоть до 100 нм).
1.3. Рентгеновский микроскоп
Поскольку рентгеновские лучи являются электромагнитными волнами с
длиной волны короче, чем у УФ излучения, они дают возможность полу
чить гораздо большее пространственное разрешение. Это излучение не
может быть сфокусировано собирающими или рассеивающими линзами,
поскольку показатель преломления твердых материалов близок к показа
телю преломления воздуха (1,0) для длины волны рентгеновского излуче
Рис. 1.5. Изображение полированного и протравленного образца трубопро
водной стали с увеличением ×70 в световом микроскопе, пока
зывающее темные линии, представляющие собой межзеренные
границы между кристаллитами феррита (ОЦК решетки железа).
С разрешения д ра Д. Ивея, Университет шт. Альберта, Канада
10 μm
16 Глава 1. Введение в микроскопию
ния. Вмеcто этого фокусировка рентгеновских лучей связана с примене
нием устройств, которые используют не явление преломления, а явление
дифракции.
Жесткие рентгеновские лучи имеют длину волны ниже 1 нм и дифра
гируют на атомных плоскостях в твердом теле, расстояние между кото
рыми имеет такой же порядок величины. Фактически, подобную диф
ракцию обычно используют для определения атомной структуры твердых
тел. В рентгеновских микроскопах чаще используется мягкое рентгено
вское излучение, длина волны которого составляет от 1 до 10 нм. Мягкие
рентгеновские лучи дифрагируют на структурах, периодичность которых
составляет несколько нанометров, таких, как тонкопленочные многослой
ные структуры, которые действуют подобно фокусирующим зеркалам, или
зонным пластинкам, которые по существу являются дифракционными ре
шетками с круговой симметрией (см. рис. 5.23), фокусирующими мо
нохроматические рентгеновские лучи (те из них, которые имеют одну дли
ну волны), как показано на рис. 1.6.
К сожалению, такие фокусирующие устройства менее эффективны, чем
линзы, применяемые в световой оптике. Также лабораторные рентгеновские
источники являются относительно слабыми (картина дифракции рентгено
вского излучения часто записывается в течение многих минут или даже часов).
Рис. 1.6. Схема конструкции сканирующего просвечивающего рентгено
вского микроскопа (СРПМ), подключенного к источнику син
хротронного излучения. Монохроматор пропускает рентгеновские
лучи в узком диапазоне длин волн, и эти монохроматичные лучи
фокусируются на образец посредством френелевской зонной
пластинки. Диафрагма для выбора порядка дифракционного реф
лекса обеспечивает фокусировку только одиночного пучка, кото
рый сканирует поперек образца. Из работы Neuhausler et al. (1999),
с разрешения издательства Springer Verlag
Накопительное кольцо
ускорителя
Рентгеновский
детектор
Образец
ДВПР –
селективная
диафрагма
выбора
порядка
рефлекса
Френелевская
зонная
пластинка
Рентгеновский монохроматор
(схематичное изображение)
Ондулятор
1.3. Рентгеновский микроскоп 17
Данная ситуация препятствовала практической реализации рентгеновского
микроскопа до тех пор, пока не был разработан интенсивный источник из
лучения – синхротрон, в котором электроны циркулируют с высокой скоро
стью в вакууме внутри кольцевого накопителя. Эти электроны, движущиеся
по кольцевой траектории благодаря полю сильных электромагнитов, испы
тывают центростремительное ускорение, которое приводит к эмиссии тор%
мозного рентгеновского излучения. Также в это кольцо могут встраиваться ус
тройства, называемые ондуляторами и вобблерами, имеющие ряды магнитов,
вызывающих дополнительную девиацию электронов от прямолинейного
пути и создающих эффект сильного тормозного излучения, как показано на
рис. 1.6. Синхротронный источник рентгеновского излучения является боль
шим и дорогим (больше 100 млн долл.) устройством, однако излучение этого
источника применяется для различных целей, и за последние 20 лет в мире
было сконструировано несколько десятков таких установок.
Важной особенностью рентгеновского микроскопа является то, что он
может быть использован для изучения сильно гидратированных (влажных
или замороженных) образцов, таких, как биологические ткани или масля
но водяные эмульсии, во время проведения микроскопических исследова
ний, находящихся в среде воздуха или водяного пара. В этом случае, приме
няется рентгеновское излучение с длиной волны от 2,3 до 4,4 нм (с энергией
фотонов от 285 до 543 эВ) в так называемом «водяном окне», в котором гидра
тированные образцы оказываются относительно прозрачными. Контраст в
рентгеновских изображениях возникает благодаря тому, что различные уча
стки образца поглощают рентгеновское излучение в различной степени, как
показано на рис. 1.7. Разрешение на этих изображениях, определяемое главным
образом фокусировкой с помощью зонной пластинки, обычно равно 30 нм.
Рис. 1.7. Изображения, полученные в сканирующем просвечивающем рент
геновском микроскопе (СПРМ) глинистой стабилизированной
масляно водяной эмульсии. Путем изменение энергии фотона раз
личные компоненты эмульсии становятся светлыми или темными
и могут быть идентифицированы благодаря их хорошо известным
свойствам поглощения рентгеновского излучения. Из работы
Neuhausler et al. (1999), с разрешения издательства Springer Verlag
4 μm
346 эВ: слабо 352,3 эВ: сильно 290 эВ: сильно 284 эВ: слабо
поглощающий кальций. поглощающий кальций. поглощающий углерод. поглощающий углерод
Глина и жидкие Жидкие углеводороды Масло демонстрирует (капля масла).
углеводороды LDH имеют LDH, обогащенные сильное поглощение На общем фоне
равную степень кальцием, выделяются выделяются частицы
поглощения на общем фоне кварца
18 Глава 1. Введение в микроскопию
В отличие от рентгеновского микроскопа, образец в электронном мик
роскопе обычно находится в сухом состоянии в среде высокого вакуума.
До тех пор, пока образец не будет сильно охлажден ниже комнатной темпе
ратуры или помещен в специальную «капсулу с условиями естественной
среды», любая влага из образца испаряется в окружающий его вакуум.
1.4. Просвечивающий электронный микроскоп
В начале ХХ века физики обнаружили, что материальные частицы, такие,
как электроны, обладают волновыми свойствами. На основе эйнштейнов
ского фотонного описания электромагнитного излучения Луи Де Бройль
предположил, что длина волны электронов определяется уравнением:
λ = h/p = h/(mv), (1.5)
где h – 6,626 × 10–34 – постоянная Планка, а p, m и v представляют собой
момент, массу и скорость электрона.
Для электронов, эмитированных в вакуум с горячей нити и ускоренных
благодаря разности потенциалов 50 В, v ≈ 4,2 × 106 м/с, а λ ≈ 0,17 нм. По
скольку эта длина волны сравнима с размерами атома, такие «медленные»
электроны сильно дифрагируют на правильных рядах атомов на поверхно
сти кристалла, что впервые наблюдалось Davisson and Germer (1927).
Повышая ускоряющий потенциал до 50 кВ, длина волны уменьшает
ся до 5 пм (0,005 нм) и электроны с такой высокой энергией могут прони
кать на расстояние в несколько микрон (мкм) в твердое тело. Если твер
дое тело является кристаллическим, то электроны будут дифрагировать
на атомных плоскостях внутри материала, как в случае рентгеновских лу
чей. Таким образом можно получить картину дифракции прошедших элек%
тронов, которые прошли через тонкий образец, что впервые было проде
монстрировано Дж.П. Томсоном (1927). Позже при условии фокусировки
прошедших электронов благодаря тому, что они обладают очень корот
кой длиной волны на практике была реализована возможность получе
ния изображения образца с пространственным разрешением, гораздо луч
шим, чем у оптического микроскопа.
Фокусировка электронов основана на факте того, что, в дополнение к
волновым свойствам электронов, они ведут себя как отрицательно заря
женные частицы и поэтому могут отклоняться при движении в электри
ческих или магнитных полях. Этот принцип был применен в электронно
лучевых трубках, телевизионных кинескопах и экранах компьютерных
мониторов. Фактически, в первых электронных микроскопах была приме
нена технология, уже разработанная для радарных применений электрон
но лучевых трубок. В просвечивающем электронном микроскопе (ПЭМ) элек
троны проходят через тонкий образец, и затем они формируют изображение
с помощью соответствующих линз по аналогии с формированием изобра
жения в биологическом световом микроскопе (см. рис. 1.4а).
1.4. Просвечивающий электронный микроскоп 19
Некоторые из первых работ по разработке электронных линз были сде
ланы Эрнстом Руска в Берлине. В 1931 г. он наблюдал первое изображение
металлической сетки в проходящих электронах (с увеличением ×17) с по
мощью двухлинзового микроскопа, показанного на рис. 1.8. Его электрон
ные линзы были короткими катушками, через которые проходил постоян
ный ток, создающими магнитное поле, центрированное относительно
оптической оси. В 1933 г. Э. Руска добавил третью линзу и получил изобра
жения хлопковых волокон и алюминиевой фольги с разрешением, превос
ходящим разрешение оптического микроскопа.
Аналогичные микроскопы были построены Maртоном и его сотруд
никами в Брюсселе, который в 1934 г. получил первые изображение ядер
внутри биологических клеток. В этих ранних моделях ПЭМ использова
лись горизонтальные последовательности линз, как показано на рис. 1.8,
но от такой схемы построения электронного микроскопа впоследствии
отказались после того, как было обнаружено, что точная юстировка линз
относительно оптической оси является весьма критичной для получения
наилучшего разрешения.
В 1936 г. компания Metropolitan Vickers приступила к серийному про
изводству ПЭМ в Великобритании. Однако первый нормальный микро
скоп был выпущен фирмой Siemens в Германии; на прототипе микроско
па фирмы Siemens в 1938 г. было достигнуто пространственное разрешение
10 нм при ускоряющем напряжении 80 кВ (рис. 1.9).
В некоторых ранних моделях в качестве источника электронов исполь
зовались газоразрядные приборы, но затем эти источники были замене
ны на V образные катоды, изготовленные из вольфрамовой проволоки,
которые испускали электроны при нагреве их в вакууме. Вакуум созда
вался механическим насосом в комплекте с диффузионным насосом, ча
сто изготавливаемым из стекла и содержащим кипящую ртуть. Электро
Рис. 1.8. Одна из первых фотографий горизонтального двухкаскадного элек
тронного микроскопа (Knoll and Ruska, 1932). С разрешения фир
мы Wiley VCH, Берлин
20 Глава 1. Введение в микроскопию
ны ускорялись при приложении высокого напряжения, генерируемого
электронным ламповым генератором переменного напряжения и высо
ковольтным повышающим трансформатором. Фактически, вакуумные
лампы использовались в высоковольтных схемах (включая телевизион
ные приемники) до 1980 х годов, поскольку они в наименьшей степени
подвержены выходу из строя в результате пиковых скачков напряжения,
которые происходят, когда возникает высоковольтный разряд (довольно
распространенное явление в свое время). Вакуумные лампы также исполь
зовались для управления и стабилизации постоянного тока, подаваемого
на электронные линзы.
Рис. 1.9. Первый коммерческий ПЭМ компании Siemens, в котором ис
пользовались три электронные линзы с водяным охлаждением
обмоток с батарейным электропитанием. В микроскопе исполь
зовалась объективная линза с фокусным расстоянием 2,8 мм при
80 кВ, позволяющая получать разрешение порядка 10 нм
1 м
1.4. Просвечивающий электронный микроскоп 21
Хотя компании в США, Голландии, Великобритании, Германии, Япо
нии, Китае, СССР и Чехословакии в одно и то же время осуществляли се
рийное производство электронных микроскопов, благодаря конкуренции
их количество уменьшилось до четырех: Japanese Electron Optics Laboratory
(JEOL) и Hitachi в Японии, Philips/FEI в Голландии/США и Zeiss в Гер
мании.
Дальнейшие разработки ПЭМ показаны на примере двух приборов
фирмы JEOL на рис. 1.10. В модели JEM 100B фирмы JEOL (производ
ство ее было начато в 1970 г.) используются как вакуумные электронные
лампы, так и транзисторы для управления током линз и высоким напря
жением (вплоть до 100 кВ), который дает пространственное разрешение
0,3 нм. В модели JEM 2010 (производство начато в 1990 г.) использованы
интегральные микросхемы и цифровое управление, при ускоряющем на
пряжении 200 кВ эта модель дает разрешение 0,2 нм.
Очевидно, что ПЭМ является бесценным прибором для исследова
ния ультратонкой структуры металлов. Например, кристаллические де
фекты, известные как дислокации, впервые были предсказаны теоре
тиками для объяснения того факта, что металлы деформируются при
гораздо более низких нагрузках, чем это было рассчитано для материа
лов с идеальными кристаллическими атомными решетками. Впервые
дислокации наблюдались непосредственно на ПЭМ изображениях алю
миния, причем одна из этих оригинальных микрофотографий, сделан
ных М.Дж. Веланом, показана на рис. 1.11. Отметим, что разрешение на
этом снимке гораздо выше по сравнению с изображением, полученным
в оптическом световом микроскопе, показанном на рис. 1.5. Теперь внут
ри каждого кристаллита (зерна) металла стали видны мелкие детали.
Рис. 1.10. Просвечивающие электронные микроскопы JEOL: модель
JEM 100B (а) и модель JEM 2010 (б)
22 Глава 1. Введение в микроскопию
На современных ПЭМ (с разрешением 0,2 нм) даже возможно получение
изображения отдельных атомных плоскостей или колонок атомов, что
будет обсуждаться в гл. 4.
ПЭМ в равной степени полезен и для биомедицинских исследований,
например, для исследований растений или тканей животных, бактерий и
вирусов. На рис. 1.12 показаны изображения тканей печени мыши, полу
ченные в оптическом микроскопе проходящего света и в просвечиваю
щем электронном микроскопе. Клеточные мембраны и несколько внут
риклеточных органелл наблюдаются на изображении, полученном в
световом микроскопе, однако на ПЭМ изображении в органеллах обна
руживается гораздо больше структурных деталей благодаря более высо
кому пространственному разрешению.
Хотя в большинстве современных ПЭМ используются ускоряющие на
пряжения от 100 до 300 кВ, было создано несколько сверхвысоковольт
ных приборов (HVEM или СВЭМ) с ускоряющими напряжениями, дос
тигающими 3 МВ ( рис. 1.13). В качестве основной мотивации при создании
подобных приборов использовался тот факт, что при повышении энер
гии электрона (а, следовательно, и момента) уменьшается длина волны
Де Бройля электрона и таким образцом снижается дифракционный пре
дел для пространственного разрешения. Однако технические проблемы
Рис. 1.11. Дифракционный контраст на изображении в ПЭМ поликрис
таллического алюминия (с увеличением M ≈ ×10 000). Отдель
ные кристаллиты (зерна) наблюдаются с различными уровнями
яркости; внутри каждого кристаллита видны малоугловые грани
цы и дислокации в виде темных линий. Круглые контуры экстин
кции (в правом верхнем углу) представляют локальные измене
ния толщины образца. С разрешения M.Дж. Велана, Оксфордский
университет
1.4. Просвечивающий электронный микроскоп 23
Рис. 1.12. Изображение окрашенного образца тканей печени мыши, по
лученное в ПЭМ, примерно соответствующее небольшой пря
моугольной области на оптическом изображения слева, полу
ченном в световом микроскопе. С разрешения Р. Бхатнагара,
Лаборатория микроскопии для биологии, Университет шт. Аль
берта
100 нм
Цитолазма,
содержащая
органеллы
Ядро
клетки
стабилизации напряжений не дают возможности ВВЭМ достигать теоре
тического разрешения.
Несколько таких приборов еще находятся в эксплуатации, и они име
ют преимущество для наблюдения толстых образцов, поскольку электро
ны очень высокой энергии могут глубоко проникать в твердые образцы
(более 1 мкм) без существенного рассеяния.
Одна из первоначальных надежд, возлагаемых на СВЭМ, заключалась
в том, что их можно было бы использовать для наблюдения живых клеток.
Помещая образец внутрь кюветы с естественной средой внутри, можно было
бы подавать водяной пар для сохранения клеток в необезвоженном состоя
нии. Однако высокоэнергетичные электроны создают ионизирующее из
лучение, подобное рентгеновскому излучению или гамма излучению с его
способностью ионизировать атомы и приводить к необратимым химичес
ким изменениям. И в самом деле, сфокусированный пучок электронов
представляет собой радиационный поток, сравнимый с тем, который со
здается при взрыве ядерной бомбы. Поэтому не удивительно, что было
обнаружено, что наблюдения в ПЭМ убивают живые ткани за более ко
роткое время, чем то, которое требуется для записи изображения с высо
ким разрешением.
24 Глава 1. Введение в микроскопию
Рис. 1.13. Высоковольтный ПЭМ с ускоряющим напряжением 3 МВ, скон
струированный в лаборатории Центра Ядерных Исследований
в Тулузе и введенный в строй в 1970 г. Для фокусировки высоко
энергетичных электронов требуются линзы большого диаметра
и поэтому колонна ПЭМ является настолько высокой, что для
управления оператором подвижных частей микроскопа (напри
мер, для перемещения образца) требуются длинные приводные
тяги. С разрешения Дж. Дюпои, из личной переписки
1.5. Растровый электронный микроскоп 25
1.5. Растровый электронный микроскоп
Одно из ограничений ПЭМ заключается в том, что если образец не сде
лать очень тонким, то электроны будут достаточно сильно рассеиваться в
нем либо даже в большей степени поглощаться самим образцом, чем про
ходить через него. Это ограничение дало стимул к разработке электрон
ных микроскопов, позволяющих исследовать относительно толстые (так
называемые массивные) образцы. Другими словами, появилась потреб
ность в электронно лучевом приборе, подобном металлургическому све
товому микроскопу, но обладающему преимуществом в виде лучшего про
странственного разрешения.
В оригинальных экспериментах Davisson and Germer (1927) было по
казано, что в действительности электроны могут «отражаться» (рассеи
ваться в обратном направлении) от объемного образца. Но для падающих
(первичных) электронов существует другая возможность, которая заключа
ется в том, что они передают свою энергию электронам оболочек атомов
твердого тела, которые затем могут покинуть образец в качестве вторичных
электронов. Испускаемые вторичные электроны обладают диапазоном
энергий, в котором они достаточно трудно поддаются фокусировке в виде
изображения с помощью электронных линз. Тем не менее, есть альтерна
тивный способ формирования изображения, в котором применяется
принцип сканирования: первичные электроны фокусируются в небольшой
электронный зонд, который сканирует по образцу, благодаря использова
нию эффекта отклонения электронного луча в электростатических или
магнитных полях, приложенных к нему под прямым углом, при этом мож
но изменять направление движения электронов в луче. При одновремен
ном сканировании в двух взаимно перпендикулярных направлениях мож
но покрыть квадратную или прямоугольную область образца (известную
как «растр»), а изображение этой области может быть сформировано пу
тем сбора вторичных электронов из каждой точки образца.
Такие же сигналы растровой развертки могут быть использованы для
отклонения луча, формирующегося в электронно лучевой трубке (ЭЛТ) и
сканирующего в ЭЛТ синхронно с движением электронного луча по об
разцу. Если сигнал вторичных электронов усилить и подать на ЭЛТ (чтобы
изменить количество электронов, достигающих экрана ЭЛТ), то результи
рующее изменение яркости свечения люминофора экрана будет представ
лять изображение образца во вторичных электронах. В случае растровой
развертки изображение формируется последовательно (точка за точкой), а
не одновременно, как в ПЭМ или в светлом микроскопе. Аналогичный прин
цип используется при формировании и приеме телевизионных сигналов.
Растровый электронный микроскоп (РЭМ), в основе которого лежал
принцип регистрации вторично электронной эмиссии, был разработан в
Лабораториях компании RCA в Нью Джерси в условиях военного време
ни. В некоторых ранних прототипах применялись автоэмиссионные ис
26 Глава 1. Введение в микроскопию
точники электронов (которые будут обсуждаться в гл. 3), в то время, как в
последующих моделях использовались термоэмиссионные электронные
источники с раскаленными катодами, а электроны фокусировались на
образец с помощью электростатических линз. Для записи изображений
применялись ранние версии факсимильных аппаратов (факсов) ( рис. 1.14).
Пространственное разрешение оценивалось равным 50 нм, что почти на
порядок лучше, чем разрешение оптического микроскопа.
Дальнейшие разработки РЭМ проводились после Второй мировой
войны, когда Чарльз Оутли с коллегами начали программу исследований
и разработок на инженерном факультете Кембриджского университета.
Их первые РЭМ изображения были получены в 1951 г., а серийная мо
дель (созданная компанией AEI) была поставлена в Канадский исследо
вательский институт пульпы и бумаги в 1958 г.
Долгосрочное коммерческое производство было начато компанией
Cambridge Instrument Company в 1965 г., и в настоящее время по всему
миру существует около 12 фирм производителей РЭМ. На рис. 1.15 пока
зан пример современного прибора. Информация с изображением сохра
няется в компьютере, который управляет РЭМ, и изображения появля
ются на экране компьютерного монитора.
Рис. 1.14. Растровый электронный микроскоп в Лаборатории RCA (Zwyorkin
et al., 1942), использующий электростатические линзы и лампо
вую электронику (как в усилителе слева на фотографии). Изоб
ражение создавалось факсимильным аппаратом, который ви
ден справа на фотографии. С разрешения фирмы John Wiley &
Sons, Inc.
1.6. Просвечивающий растровый электронный микроскоп 27
Современный РЭМ дает возможность получать изображения с типич
ным разрешением от 1 до 10 нм, не настолько хорошим, как у ПЭМ, но
намного более высоким по сравнению с оптическим микроскопом. Кро
ме того, РЭМ изображения обладают относительно большой глубиной
фокуса: фрагменты образца, которые не попадают в фокальную плоскость,
отображаются практически хорошо сфокусированными. Как мы увидим,
эта характеристика подтверждается, что электроны в РЭМ (или в ПЭМ)
проходят очень близко к оптической оси – основное требование для по
лучения хорошего разрешения изображения.
1.6. Просвечивающий растровый электронный
микроскоп
Можно использовать метод растрового сканирования тонким зондом на
тонком образце и записывать не сигнал вторичных электронов, а элект
ронов, которые появились на противоположной стороне образца. Так
появился метод Просвечивающей растровой электронной микроскопии
(ПРЭМ). Первый ПРЭМ был сконструирован Фон Арденном в 1938 г.
путем добавления катушек развертки к ПЭМ, и сегодня многие ПЭМ обо
рудованы растровыми приставками, что делает их двухрежимными (ПЭМ/
ПРЭМ) приборами.
Рис. 1.15. Автоэмиссионный растровый электронный микроскоп Hitachi
S5200. Этот прибор может работать в РЭМ или ПРЭМ режи
мах и дает разрешение изображения до 1 нм
28 Глава 1. Введение в микроскопию
Для того чтобы конкурировать с обычным ПЭМ с точки зрения про
странственного разрешения, электроны должны быть сфокусированы в
зонд субнанометровых размеров. Для этой цели источник электронов с
горячим нитевидным катодом, который часто используется в РЭМ (и в
ПЭМ), должен быть заменен автоэмиссионным источником, в котором
электроны испускаются из очень острого вольфрамового острия при при
ложении к нему сильного электрического поля. Такая схема использова
лась Креве и др. в Чикаго, который в 1965 г. создал специализированный
ПРЭМ, работающий только в ПРЭМ режиме. Автоэмиссионная пушка
требует сверхвысокого вакуума (СВВ), означающего, что давление в пушке
должно быть около 10–8 Па. После пяти лет разработок с помощью при
боров этого типа были получены первые изображения одиночных ато
мов, наблюдаемых в виде ярких точек на темном фоне (рис. 1.16).
Разрешение в атомном масштабе также можно получить с помощью
обычных ПЭМ (с фиксированным пучком). Кристаллический образец
ориентируется таким образцом, чтобы колонки атомов были параллель
ны направлению первичного пучка, и в реальности получают изображе
ния атомных колонок (рис. 1.17). Изначально думали, что такие изобра
жения должны выявлять структуру внутри каждого атома, однако такая
интерпретация еще стоит под вопросом. Фактически, внутренняя струк
тура атома может быть выведена из углового распределения рассеянных
Рис. 1.16. Чикагский ПРЭМ и (на вставке слева внизу) изображение ато
мов ртути на подложке из тонкой углеродной пленки. С разре
шения д ра Альберта Креве (из личной переписки)
1.7. Аналитическая электронная микроскопия 29
заряженных частиц (как впервые было осуществлено в эксперименте Эрн
ста Резерфорда) без необходимости формирования прямого изображения.
1.7. Аналитическая электронная микроскопия
Все изображения, которые наблюдались до настоящего времени, давали
информацию о структуре образца, причем в некоторых случаях вплоть до
атомных масштабов. Но зачастую имеется потребность в получении хи
мической информации, как например, информации о локальном хими
ческом составе. Для этого нам требуется получение из образца некоторо
го отклика (сигнала), который будет чувствителен к точному атомному
номеру Z атомов образца. По мере увеличения Z заряд ядра атома увели
чивается, отклоняя электроны ближе к ядру и изменяя их энергию. Элек
тронами, которые наиболее полезны для нашего случая, являются не вне
шние электроны (валентные электроны), а электроны внутренних оболочек
атома. Поскольку последние не принимают участия на химической связи,
их энергии не зависят от атомного окружения, и они характеризуют заряд
атомного ядра и, следовательно, атомного номера элемента.
Когда электроны внутренних оболочек совершают переход с верхних
энергетических уровней на нижние уровни, то происходит эмиссия рент
геновского фотона, энергия которого (hf = hc/λ) равна разнице энергий
двух квантовых уровней. Это свойство применяется в рентгеновской труб
ке, где первичные электроны бомбардируют твердую мишень (анод) и
возбуждают электроны внутренней оболочки для их перехода на более
высокие энергетические уровни. В процессе релаксации генерируется
характеристическое рентгеновское излучение. Аналогично первичные
электроны, бомбардирующие образец в ПЭМ, РЭМ или ПРЭМ, также
вызывают эмиссию рентгеновского излучения, и можно провести хими
Рис. 1.17. Одно из первых ПЭМ изображений кристалла золота, получен
ное с атомным разрешением (Hashimoto et al., 1977), записан
ное с дефокусировкой при 65 нм, при этом падающие электроны
параллельны оси 001. С разрешения председателя издательского
комитета Японского физического общества и авторов данной
работы
2,0 Å
30 Глава 1. Введение в микроскопию
ческий анализ (точнее: элементный анализ) путем определения длин волн
или энергий рентгеновских фотонов. В настоящее время рентгеновский
эмиссионный спектрометр является обычной приставкой к ПЭМ, РЭМ
или ПРЭМ, которая делает эти приборы аналитическими электронными
микроскопами (АЭМ).
В других типах АЭМ используются оже электроны с характеристичес
кими энергиями, испускаемые образцом, либо сами первичные электро
ны, которые прошли через тонкий образец и потеряли характеристическое
количество энергии. Все эти варианты спектроскопии будут рассмотре
ны в гл. 6.
1.8. Сканирующие зондовые микроскопы
Растровый метод формирования изображения также применяется в ска
нирующем зондовом микроскопе, где остроконечный кантилевер (зонд)
механически сканирует в непосредственной близости от поверхности об
разца для того, чтобы воспринимать некоторые локальные свойства этой
поверхности. Первым таким прибором для достижения реально высоко
го пространственного разрешения стал сканирующий туннельный микро%
скоп (СТМ), в котором острый проводящий кантилевер перемещается на
расстоянии примерно 1 нм от образца, при этом к кантилеверу приклады
валась некоторая разность потенциалов (≈ 1 В). При условии, что кантиле
вер и образец являются электрически проводящими, электроны движутся
между острием кантилевера и образцом благодаря процессу квантово%ме%
ханического туннелирования. Это явление является прямым следствием
волновых характеристик электронов и аналогично эффекту утечки фото
нов видимого света между двумя стеклянными пластинами, приближен
ными на расстояние 1 мкм одна к другой (иногда этот эффект называют
нарушенным полным внутренним отражением).
Удерживание острия кантилевера на расстоянии 1 нм от поверхности
(без ее касания) требует величайшей механической точности, отсутствия
вибраций и присутствия механизма обратной связи. Поскольку туннель
ный ток резко возрастает при уменьшении расстояния кантилевер обра
зец, то система электропривода перемещения острия кантилевера по оси Z
должна быть настроена таким образом, чтобы кантилевер подводился к
образцу до тех пор, пока не будет достигнуто заранее установленное значе
ние туннельного тока (напр., 1 нА) (рис. 1.18а). Зазор между кантилевером
и образцом составляет около 1 нм, при этом его тонкая подстройка по оси Z
осуществляется с помощью пьезоэлектрического привода (керамичес
кого кристалла, длина которого изменяется при приложении к нему элект
рического напряжения). Если зазор уменьшился вследствие термического
расширения или сжатия образца, туннельный ток будет возрастать, приво
дя к повышению напряжения на нагрузочном резисторе (см. рис. 1.18а).
Это изменение напряжения усиливается и прикладывается к пьезоприводу
по оси Z, увеличивая зазор и возвращая ток на его исходное значение.
1.8. Сканирующие зондовые микроскопы 31
Такая схема называется отрицательной обратной связью, поскольку инфор
мация о длине зазора подается обратно на электромеханическую систему,
которая работает для того, чтобы поддерживать величину зазора посто
янной.
Для работы сканирующего микроскопа острие совершает сканирова
ния по растру по поверхности образца в X и Y направлениях, опять же с
использованием пьезоэлектрических приводов. Если механизм отрица
тельной обратной связи остается активизированным, то зазор между ост
рием и образцом всегда остается постоянным, и острие перемещается в
Z направлении в точном синхронизме с волнообразными неровностями
поверхности (топографией поверхности). Такое движение вдоль оси Z пред
ставляется вариациями напряжения на пьезоприводе по оси Z, которые,
следовательно, могут использоваться для модуляции яркости луча на эк
ране электронно лучевой трубки (как в РЭМ) либо сохраняться в памяти
компьютера как топографическое изображение.
Замечательной особенностью СТМ является высокое достижимое про
странственное разрешение: лучше 0,01 нм в Z направлении, это является
прямым следствием того факта, что туннельный ток является сильной (эк
споненциальной) функцией туннельного зазора. В направлениях X и Y так
же можно достичь высокого разрешения ( Oldest input data value in delay line I4 Beginning of filter coefficient table L0 = Filter length (N) L4 = Filter length (N) M1,M5 = 1 CNTR = Filter length — 1 (N-1) Return Values MR1 = Sum of products (rounded and saturated) I0 Oldest input data value in delay line I4 Beginning of filter coefficient table Altered Registers MX0,MY0,MR Computation Time (N — 1) + 6 cycles = N + 5 cycles All coefficients are assumed to be in 1.15 format. > .ENTRY fir; fir: MR=0, MX0=DM(I0,M1), MY0=PM(I4,M5) CNTR = N-1; DO convolution UNTIL CE; convolution: MR=MR+MX0*MY0(SS), MX0=DM(I0,M1), MY0=PM(I4,M5); MR=MR+MX0*MY0(RND); IF MV SAT MR; RTS; .ENDMOD; Рис. 1.6
ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ Рис. 1.7 �� Цифровая обработка сигналов; �� Ширина спектра обрабатываемого сигнала ограничена частотой дискретизации АЦП/ЦАП • Помните о критерии Найквиста и теореме Котельникова �� Динамический диапазон сигнала ограничен разрядностью АЦП/ЦАП �� Производительность процессора DSP ограничивает объем обработки сигнала, так как: • Для работы в реальном масштабе времени все вычисления, производимые процессором DSP, должны быть закончены в течение интервала дискретизации, равного 1/fs �� Не забывайте об аналоговой обработке сигнала �� При высокочастотной/радиочастотной фильтрации, модуляции, демодуляции �� Аналоговые антиалайзинговые и восстанавливающие фильтры (обычно ФНЧ) для ФЦП и ЦАП �� Там, где диктуют здравый смысл и экономические выкладки 9
a
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Practical Design Techniques for Sensor Signal Conditioning,
Analog Devices, 1998.
2. Daniel H. Sheingold, Editor, Transducer Interfacing Handbook,
Analog Devices, Inc., 1972.
3. Richard J. Higgins, Digital Signal Processing in VLSI, Prentice-Hall,
1990.

48 Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой. Расчет ких-фильтров.

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) или FIR-фильтр (FIR сокр. от finite impulse response — конечная импульсная характеристика) — один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи. Знаменатель передаточной функции такого фильтра — некая константа.

Разностное уравнение, описывающее связь между входным и выходным сигналами фильтра: гдеP— порядок фильтра,x(n) — входной сигнал,y(n) — выходной сигнал, аbi— коэффициенты фильтра. Иными словами, значение любого отсчета выходного сигнала определяется суммой масштабированных значенийPпредыдущих отсчетов. Можно сказать иначе: значение выхода фильтра в любой момент времени есть значение отклика на мгновенное значение входа и сумма всех постепенно затухающих откликовPпредыдущих отсчетов сигнала, которые всё ещё оказывают влияние на выход (послеP-отсчетов импульсная переходная функция становится равной нулю, как уже было сказано, поэтому все члены послеP-го тоже станут равными нулю). Запишем предыдущее уравнение в более ёмком виде:

Для того, чтобы найти ядро фильтра положим

где δ(n) — дельта-функция. Тогда импульсная характеристика КИХ-фильтра может быть записана как:

Z-преобразование импульсной характеристики даёт нам передаточную функцию КИХ-фильтра:

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, из-за которых он иногда более предпочтителен в использовании, чем БИХ-фильтр. Вот некоторые из них:

КИХ-фильтры при реализации не требуют наличия обратной связи.

Фаза КИХ-фильтров может быть сделана линейной

Прямая форма КИХ фильтра

КИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов: умножитель, сумматор и блок задержки. Вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация КИХ-фильтров типа 1.

Реализация прямой формы КИХ фильтра

Ниже приведен пример программы КИХ-фильтра, написанный на C :

/* КИХ Фильтр на 128 отводов */

float fir_filter(float input)

static float sample[128];

/* Умножение с накоплением */

sample[i] = sample[i — 1];

49 Сглаживание данных. Скользящее усреднение.

50 Сглаживание данных. Сглаживание параболами.

51 Сглаживание данных. Сглаживание Спенсера.

52 Сглаживание данных. Медианная фильтрация.

Скользящее усреднение, сглаживание пораболами, сглаживание Спенсера, медианная фильтрация

При разработке способов определения параметров физических процессов, медленно изменяющихся во времени, важной задачей является устранения влияния шумовых эффектов или случайных помех, которые накладываются на обрабатываемый сигнал, получаемый на выходе первичного преобразователя.

Для устранения такого эффекта можно применить сглаживание данных. Одним из наиболее простых способов такого сглаживание является арифметическое усреднение. При его применении каждое -ое значение дискретной функции (обрабатываемого массива данных) вычисляется в соответствии с выражением:

где — количество точек для арифметического усреднения (нечетное целое число);

— -ое значение функции до обработки;

Известны и другие, достаточно эффективные способы сглаживания, например, параболами второй степени по пяти, семи, девяти и одиннадцати точкам в соответствии с выражениями:

или параболами четвертой степени по семи, девяти, одиннадцати и тринадцати точкам:

В практических применениях дают хорошие результаты другие эффективные способы, например, 15-точечное сглаживание Спенсера:

Подставив в эти выражения комплексную экспоненту , где , можно определить передаточную функцию соответствующего преобразования.

Для арифметического усреднения

. Выражение в скобках представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем , следовательно это выражение можно представить в виде:

Эта формула представляет собой передаточную характеристику фильтра низких частот и из нее видно, что, чем больше слагаемых задействованы при усреднении, тем больше подавление шумовых высокочастотных составляющих в сигнале (см. рисунок 6.1).

Однако смысловое понятие частоты при обработке временных трендов отличается от аналогичного понятия при обработке сигналов. Это объясняется тем, что при исследовании временных трендов интерес представляет не их частотный состав, а вид изменения (увеличение, уменьшение, постоянство, цикличность и т.д.).

Также достаточно эффективно для сглаживания данных применение, так называемых, эвристических алгоритмов.

Одним из них является медианная фильтрация. В ходе ее реализации в скользящем временном окне размерностью , где целое нечетное число, центральный элемент заменяется средним элементом последовательности, представляющих собой упорядоченные, в порядке возрастания значений, элементы массива данных сглаживаемого сигнала, попавших во временное окно. Достоинством медианной фильтрации является способность удалять импульсные помехи, длительность которых не превышает , практически без искажения плавно изменяющихся сигналов. Данный способ подавления шумов не имеет строгого математического обоснования, однако простота вычислений и эффективность получаемых результатов обусловили широкое его распространение.

Рисунок 6.1 — Графики передаточной характеристики

операции арифметического усреднения для m=5, 7, 9, 11

Неоптимизационные методы расчета частотных фильтров

Наиболее распространенными неоптимизационными методами расчета частотных НЦФ являются методы взвешивания, частотной выборки и разложения аппроксимируемой функции в тригонометрический ряд Фурье. Все три метода используют взаимосвязь ИХ h(i) НЦФ с частотной характеристикой в виде пары преобразований Фурье (16).

Из соотношений (16) следует, что коэффициенты Фурье – разложения частотной характеристики совпадают со значениями импульсной характеристики цифрового фильтра. Однако использование этих соотношений для проектирования КИХ – фильтров связано с двумя трудностями. Во-первых, ИХ ЦФ имеет бесконечную длину, поскольку суммирование в (8.16) проводится в бесконечных пределах. Во-вторых, получаемый фильтр является физическим нереализуемым, т.к. его ИХ начинается в — и никакой её сдвиг не сделает ЦФ физически реализуемым.

Естественным способом преодоления этих трудностей является усечение бесконечного ряда Фурье в (16) до N членов ( при четном N и при N нечетном). Однако простое усечение ряда приводит к известному явлению Гиббса, связанному с особенностью сходимости рядов Фурье по тригонометрическим и комплексно-экспоненциальным функциям и проявляющемуся в виде выбросов и пульсаций определенного уровня до и после точки разрыва аппроксимируемой частотной характеристики. При аппроксимации ЦФ типа идеальных ФНЧ или ПФ максимальная амплитуда пульсаций частотной характеристики может достигать 9% и не уменьшается с увеличением длины импульсной характеристики, т.е. учет все большего числа членов ряда Фурье не приводит к уменьшению максимальной амплитуды пульсаций, а только сужает частотный диапазон, на котором они проявляются.


Усечение ряда Фурье можно рассматривать еще как умножение бесконечной ИХ на весовую дискретную функцию с конечным числом отсчетов, имеющую следующий вид:

(здесь и далее при рассмотрении весовых функций предполагается, что N – нечетное; очевидно, что несложно получить аналогичные результаты и для четного N). Весовая функция играет роль своеобразного окна, поэтому её называют еще оконной функцией или просто окном. Окно (56) имеет вид прямоугольника и является прямоугольным окном.

Его частотная характеристика

имеет лепестковую форму и содержит один главный лепесток шириной и ряд боковых лепестков с затухающей амплитудой и шириной, зависящей от N. Когда N возрастает, ширина лепестков уменьшается, однако площадь под каждым лепестком остается неизменной. Частотная характеристика окна позволяет интерпретировать операцию усечения ряда Фурье в частотной области. Передаточную функцию усеченного фильтра можно получить путем свертки передаточной функции неусеченного фильтра и частотной характеристики окна. Когда частотная точка удалена от места разрыва, вклад обеих частей частотной характеристики окна в интеграл свертки приблизительно одинаков, что приводит к малой погрешности аппроксимации. Вблизи точек разрыва свертка приводит к появлению двух эффектов: во-первых, к появлению погрешности в частотной характеристике ЦФ из-за неравного вклада обеих частей частотной характеристики окна и, во-вторых, к «размыванию» разрыва в пределах некоторой полосы частот конечной ширины.

Ширина этой полосы частот зависит от ширины главного лепестка, а пульсация зависит от амплитуды боковых лепестков. Учитывая форму частотной характеристики (57) прямоугольного окна, можно понять, почему погрешность в полученной частотной характеристике фильтра не зависит от числа N, поскольку она является функцией площади под боковыми лепестками.

Таким образом, проведенный качественный анализ показывает, что простое усечение ряда Фурье может не привести к приемлемой аппроксимации частотных характеристик и поэтому может казаться непригодным для проектирования нерекурсивных частотных ЦФ. С другой стороны, оно подсказывает идею управления сходимостью ряда Фурье с помощью других окон, форма которых должна иметь малую ширину главного лепестка частотной характеристики и малую площадь под боковыми лепестками. В идеале в таких окнах большая часть энергии должна содержаться в главном лепестке частотной характеристики, а энергия в боковых лепестках должна быстро уменьшаться при приближении ω к .

К сожалению, эти два требования несовместимы и возможно только их компромиссное выполнение. Тем не менее в ЦОС известны оконные весовые функции, состоящие из главного лепестка, содержащего почти всю энергию окна, и боковых лепестков, которые быстро затухают. К ним относятся окна Ганна, Хэмминга, Кайзера, Блэкмана, Фейера, Долфи-Чебышева, Ланцоша, Каппелини и другие. В качестве примера рассмотрим только окна Ганна и Хэмминга.

Окна Ганна и Хэмминга являются частными случаями более общего окна, называемого еще обобщенным окном Хэмминга. Обобщенное окно имеет следующий вид

причем параметр лежит в диапазоне . При =0,5 из окна (58) следует окно Ганна, а при =0,54 – окно Хэмминга. Частотную характеристику обобщенного окна Хэмминга можно легко получить, если учесть, что оно может быть представлено в виде произведения прямоугольного окна и окна, определяемого формулой (58), но для всех значений i, т.е.

где — прямоугольное окно (56). Тогда частотная характеристика обобщенного окна будет равна круговой свертке частотной характеристики прямоугольного окна с последовательностью единичных импульсов

и принимает следующий вид:

Анализ показывает, что ширина главного лепестка частной характеристики окна Хэмминга в два раза больше, чем для прямоугольного окна, а уровень боковых лепестков значительно ниже, чем у характеристики прямоугольного окна. При =0,54, т.е. для обычного окна Хэмминга, 99,96% общей энергии спектра сдержится в главном лепестке, а максимумы боковых лепестков на 40 дБ ниже главного максимума (для прямоугольного окна максимум боковых лепестков ниже главного максимума всего на 14 дБ). Достигается это тем, что боковые лепестки функции находятся в противофазе с боковыми лепестками , поэтому общий уровень боковых лепестков значительно уменьшается. В то же время пропорционально увеличивается ширина главного лепестка частотной характеристики. Для ФНЧ расширение главного лепесток соответствует расширению полосы безразличия между полосами пропускания и задерживания, тогда как уменьшение уровня боковых лепестков соответствует меньшим пульсациям в полосе пропускания и лучшему подавлению в полосе задерживания фильтра.

Методика синтеза НЦФ по методу взвешивания включает в себя следующие три этапа. На первом этапе по заданной частотной характеристике фильтра с помощью прямого преобразования Фурье определяется невзвешенная последовательность значений ИХ ЦФ :

Когда характеристика имеет сложный вид или не может быть просто преобразована в замкнутое математическое выражение, формула (60) оказывается громоздкой или неудобной для интегрирования. В этом случае можно использовать численное интегрирование либо аппроксимировать интеграл (60) суммой и вычислять приближенную последовательность по формуле

По этой формуле значения рассчитываются в М точках .

Поскольку формула (61) является дискретизированным аналогом формулы (60), то

Отсюда следует, что с ростом М различие между и уменьшается, особенно вблизи . Поскольку окно выделяет только N точек , должно выполняться условие .

На втором этапе синтеза формируется взвешенная последовательность путем умножения невзвешенной ИХ на весовую последовательность окна, т.е . За пределами интервала — эта последовательность в точности равна нулю.

На третьем этапе с помощью временного сдвига физически нереализуемая последовательность преобразуется в физически реализуемую

которая и используется в качестве искомой ИХ фильтра.

Пример 22. Рассчитать идеальные ФНЧ с параметрами и методом взвешивания с прямоугольным окном и окном Хэмминга. Вычислить также АЧХ каждого варианта ФНЧ для девяти равноотстоящих значений частоты , начиная с =0 при шаге =0,0625.

Решение. Преобразуя уравнение (9.45) к нормированной частоте

и выбирая для синтеза ФНЧ ЦФ вида 1, после интегрирования, взвешивания и временного сдвига импульсной характеристики получаем

— для прямоугольного окна:

— для окна Хэмминга:

Линейный тип фильтра фазы Отфильтруйте порядок Симметрия коэффициентов Ответ H (f), f = 0 Ответ H (f), f = 1 (Найквист)
N=11 N=15
0 1 2 3 4 5 6 7 -0,0450158 -0,0000000 0,0750264 0,1591549 0,2250791 0,2500000 — — -0,0321542 -0,0530516 -0,0450158 0,0000000 0,0750264 0,1591549 0,2250791 0,2500000

Результаты расчетов импульсных характеристик по этим формулам приведены в табл. 1 и 2 соответственно, причем приведена только первая половина симметричных значений ИХ. Реальную АЧХ вычисляем по общей зависимости (13) с учетом соотношения (17). Её значения, соответствующие ФНЧ с ИХ (9.47) и (9.48), приведены в табл. 3 и 4. Из их сравнения следует более высокая точность синтеза ФНЧ с окном Хэмминга по сравнению с ФНЧ с прямоугольным окном, особенно в полосе задерживания фильтра.

N=11 N=15 0 1 2 3 4 5 6 7 -0,0044401 0,0000000 0,0356026 0,1163567 0,2086430 0,2500000 — — -0,0028955 -0,0089048 -0,0139549 0,0000000 0,0511791 0,1349316 0,2161279 0,2500000 N=11 N=15 0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 1,0784891 0,9828473 0,5258686 0,0246200 0,0683099 0,0744619 0,0258686 0,0326891 0,0581306 0,9080775 1,1172868 0,4803957 0,0750367 0,0377934 0,0251742 0,0196043 0,0170759 0,0163357 N=11 N=15 0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 0,9623247 0,8307227 0,5009953 0,1711459 0,0172865 0,0002525 0,0009953 0,0016162 0,0031022 1,0029665 0,9079693 0,4989131 0,0938660 0,0020535 0,0006968 0,0010869 0,0011385 0,0011405

Метод частотной выборки

Если в (16) использовать не все значения непрерывной частоты w, а только N некоторых выборочных значений , где — постоянный шаг дискретизации по частоте, то пара интегрально-дискретных преобразований Фурье (16) превращается в пару конечных дискретных преобразований Фурье:

где — выборочные значения частотной характеристики в точках, кратных . Формулы (56), (65) и определяют метод частотной выборки расчета НЦФ.

При их использовании получаемый НЦФ с некоторой точностью аппроксимирует заданную частотную характеристику. Погрешность аппроксимации возникает из-за ограниченности бесконечного ряда в (16) первыми членами, она точно равна нулю в точках частот взятия выборки и имеет конечную величину в промежуточных точках. Чем более гладкой является задаваемая частотная характеристика, тем меньше погрешность аппроксимации между частотными отсчетами. С увеличением N погрешность аппроксимации так же уменьшается.

Для частотных НЦФ с точно линейной фазовой характеристикой можно получить удобные аналитические выражения для , вид которых зависит от способа выбора N равноотстоящих отсчетов частотной характеристики. Существует два способа выбора отсчетных точек, пригодных для расчета НЦФ методом частотной выборки. При первом способе используют отсчеты в точках

при втором — в точках

Наличие двух способов дискретизации частоты дает дополнительные возможности при расчете фильтров с заданной частотной характеристикой. Например, если граничная частота полосы фильтра оказывается намного ближе к точке выборки, используемой при втором способе дискретизации частоты, чем при первом, то целесообразно использовать для решения задачи аппроксимации второй способ дискретизации частоты. В противном случае применяют первый способ дискретизации частоты.

Для практического вычисления h(i) НЦФ с точно линейной ФЧХ необходимо, чтобы дискретная АЧХ была четной функцией, а дискретная ФЧХ — нечетной. Этого можно добиться только с помощью фильтров вида 1 и 2. В них целесообразно представить H(k) в показательной форме записи. Для первого способа дискретизации частоты

а при нечетном N

При втором способе дискретизации частоты

а при нечетном N

В формулах (68), (69), (73) ‒ (75) есть дискретная АЧХ фильтра или .

Зависимости (66) – (75) позволяют получить более удобные аналитические выражения для расчета импульсных характеристик фильтров методом частотной выборки. Действительно, например, при первом методе дискретизации частоты и четном N, используя в формуле (65) соотношения (68) и (70) для частотной характеристики, получаем

Подстановка во вторую сумму дает

Учитывая свойство (69) АЧХ и то, что

после объединения членов в выражении для находим

Потребовав выполнения равенства , окончательно получаем

Для нечетных значений N использование зависимостей (68), (71) и (65) приводит к похожему соотношению для ИХ:

Аналогичных результатов можно добиться и для второго способа дискретизации частоты, если в ряде (73) использовать частотные характеристики (74) и (75). В этом случае после математических преобразований получаем:

Найденные выражения для ИХ фильтра определяют алгоритм его расчета методом частотной выборки. В нем дискретные значения аппроксимируемой функции равны:

— для первого способа дискретизации частоты

— для второго способа дискретизации частоты

Пример 23 9.11. Рассчитать равнополосные ФНЧ с параметрами =0,125, =0,375 при =0,1с и N=11; 15 методом частотной выборки с первым способом дискретизации частоты. Вычислить также АЧХ каждого фильтра с шагом =0,0625.

Решение. Используя в алгоритме (9.61) (9.22), найдем значения ИХ , а

по формуле (8.13) рассчитаем реальную АЧХ фильтров для N=11 и N=15. Результаты расчетов приведены в табл. 9.5 и 9.6, причем в табл. 9.5 представлена только первая половина симметричных значений ИХ.

N=11 N=15 0 1 2 3 4 5 6 7 -0,0106270 0,0064917 -0,0319200 0,0018905 0,2862309 0,4958678 — — 0,0060344 0,0029472 -0,0111111 -0,0028297 -0,0318361 -0,0007230 0,2864073 0,5022222 N=11 N=15 0,0000 0,0625 0,1250 0,1875 0,2500 0,3125 0,3750 0,4375 0,5000 1,0000000 1,0111301 0,9478464 0,7516102 0,5050703 0,2347783 0,0179221 0,0140475 0,0252644 1,0000000 0,9992311 0,9821931 0,7602956 0,4921145 0,2545298 0,0335702 0,0051677 0,0020222

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Метод взвешивания

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 1320 ; Нарушение авторских прав

Метод взвешивания заключается в следующем. Желаемую передаточную функцию, задаваемую в качестве исходных данных на конечном отрезке оси частот ( ), периодически продолжают на всю частотную ось (-¥ — +¥) и представляют рядом Фурье:

— коэффициенты ряда, — гармонические составляющие ряда. Коэффициенты ряда Фурье равны:

Сравнивая выражение усеченного ряда Фурье желаемой передаточной функции, включающего только N гармоник, и полученное ранее выражение передаточной функции произвольного КИХ-фильтра (3):

можно заметить между ними явное сходство. Следовательно, необходимо выбрать коэффициенты КИХ-фильтра Sn таким образом, чтобы передаточная функция КИХ-фильтра совпадает с усеченным рядом Фурье.

Предположим, что длина импульсной переходной функции L нечетное число:

Тогда передаточную функцию КИХ-фильтра можно записать в следующем виде:

Теперь очевидно, что для получения требуемого равенства с точностью до фазового множителя (запаздывания) , необходимо выполнить следующее условие:

Принимая во внимание формулу коэффициентов Фурье (5) и формулу для длины импульсной реакции КИХ-фильтра (8), получим окончательное выражение для расчета коэффициентов:

КИХ-фильтр с рассчитанными таким образом параметрами будет иметь передаточную функцию, равную усеченному ряду Фурье желаемой передаточной функции, и, кроме того, иметь запаздывание:

Чем больше членов ряда Фурье мы сохраним, тем точнее передаточная функция синтезированного КИХ-фильтра будет соответствовать желаемой. Однако увеличение длины импульсной реакции L приводит к увеличению запаздывания, а также к усложнению алгоритма фильтрации – увеличению объема вычислений при реализации фильтра.

Усечение ряда Фурье приводит также к появлению значительных колебаний функции в точках разрыва (явление Гиббса), которое в данном случае приводит к появлению значительных боковых лепестков вне полосы пропускания и неравномерности АЧХ в рабочем диапазоне частот. Эти эффекты отчетливо проявляются на примере синтеза фильтра нижних частот (рис.2). На рис.2a показана амплитудно-частотная характеристика синтезированного методом взвешивания КИХ-фильтра нижних частот с частотой среза fc=100Гц при частоте дискретизации fd=1кГц и длине импульсной реакции L=31. На рис.2б приведена импульсная переходная функция этого фильтра. На рис.2в и 2г показаны аналогичные характеристики КИХ-фильтра при длине импульсной реализации L=127. На графиках ясно видно, что с увеличением L от 31 до 127 значительно сужается переходная зона от полосы пропускания до полосы заграждения, но уровень боковых лепестков и неравномерность в полосе пропускания существенно не меняются. Для уменьшения этого эффекта используется усечение ряда с использованием различных «окон». В этом случае импульсная переходная функция определяется как произведение ранее рассчитанных весовых коэффициентов Sn на функцию «окна». Практически используются различные функции «окона», обладающих разными свойствами, но действие каждого из них сводится к сглаживанию амплитудно-частотной характеристики фильтра, в результате которого снижается уровень боковых лепестков и неравномерность, но расширяется переходная зона. Поэтому выбор «окна» определяется компромиссом между приемлемым уровнем боковых лепестков и допустимой шириной переходной зоны.

Подробные сведения о «окнах» можно найти в рекомендованной литературе. Действие функции «окна» иллюстрируются на примере «окна» Кайзера. «Окно» Кайзера определяется следующей формулой:

где — функция Бесселя нулевого порядка, — параметр, определяющий остаточный уровень боковых лепестков. Вид функции «окна» Кайзера показан при разных значениях параметра на рис.3.

Применение «окна» Кайзера приводит к результатам, показанным на рис.4. На рис.4 приведены амплитудно-частотные характеристики КИХ-фильтров нижних частот с частотой среза fc=100Гц при частоте дискретизации fd=1кГц,длина импульсной реализации L=63 и при значениях параметра (рис.4а — =2; рис.4б- =8). Из графиков видно, как с ростом снижается уровень боковых лепестков и расширяется переходная зона.

Таким образом, используя рассмотренные методы, мы можем найти весовые коэффициенты и реализовать алгоритм цифровой фильтрации. Остается открытым вопрос о выборе частоты дискретизации fd и длины импульсной реакции КИХ-фильтра L.

Частота дискретизации fd выбирается из условия теоремы

где , — ширина спектра входного сигнала. Реально частоту дискретизации выбирают в несколько выше:

где — коэффициент дискретизации, значение которого принимают 5-10. От выбора длины импульсной переходной функции L зависит крутизна частотной характеристики фильтра, т.е. его способность дифференцированно реагировать на гармонические сигналы с близкими частотами. Поэтому этот параметр можно варьировать для получения необходимых характеристик. Если ввести параметр , характеризующий разрешающую способность по частоте, то длину импульсной реакции можно определить как отношение частоты дискретизации и разрешающей способности:

Теперь рассмотрим пример синтеза цифрового полосового КИХ-фильтра. Разрешающую способность выберем в десять раз меньше полосы пропускания 10Гц. Эта величина определяет ширину переходной зоны от полосы пропускания до полосы заграждения. Частоту дискретизации примем равной 2кГц. Следовательно, длина импульсной реакции равна:

Разложение в ряд Фурье желаемой передаточной функции имеет следующий вид:

Коэффициенты ряда Фурье в данном случае равны:

Импульсная переходная функция синтезированного КИХ-фильтра и его амплитудно-частотная характеристика показаны на рис.6а и 6б.

Расчет КИХ-фильтров методом взвешивания

Дискретная импульсная характеристика КИХ-фильтра всегда ограничена конечным числом отсчетов N. Поскольку число отсчетов ДИХ определяет число членов ряда Фурье, которым представляется заданная ЧХ, ограничение ДИХ по количеству отсчетов означает отбрасывание высших гармонических составляющих в этом ряде, что неизбежно приводит к искажению формы реализуемой ЧХ. А

На рис. 7.13 приведен график реальной ЧХ Я(Ф) КИХ-фильтра нижних частот (Фс = к/2, N = 30). Там же пунктиром показана заданная форма ЧХ Я(Ф), которая имеет вид идеального прямоугольника (ДИХ такого фильтра представлена на рис. 7.10). Расчет Я(Ф) проводился по формуле (7.15), в которую введено выражение (7.41) для ДИХ:

В форме реальной ЧХ #(Ф) можно отметить две особенности.

  • 1. Возникновение конечной (ненулевой) протяженности переходной зоны, которая «размывает» границу заданной идеально прямоугольной ЧХ Н(Ф).
  • 2. Наличие пульсаций, которые приводят к неравномерности ЧХ в полосе пропускания и возникновению конечного (ненулевого) значения ЧХ в области затухания.

Отмеченные искажения формы ЧХ, являющиеся следствием ограничения ДИХ, устранить полностью принципиально невозможно. Речь может идти только об уменьшении этих искажений.

Задача восстановления исходной формы периодической функции с помощью ограниченного ряда Фурье рассматривалась (как чисто математическая) еще в XIX в. Первые же исследования в этой области показали, что простое увеличение числа членов усеченного ряда Фурье приводит лишь к сокращению переходных зон и практически не влияет на уровень пульсаций в форме восстановленной функции. При этом частота пульсаций оказывается соответствующей последнему удержанному или первому отброшенному члену ряда Фурье.

Перспективным направлением в попытках уменьшения уровня пульсаций оказалась разработка методов, основанных на том, что усечение членов ряда Фурье дополнялось умножением коэффициентов ряда на так называемые весовые функции. При этом вид весовых функций подбирался так, чтобы в области последних удер-

Рис. 7.13. Частотная характеристика КИХ-фильтра нижних частот жанных членов ряда Фурье их коэффициенты более или менее плавно стремились к нулевому уровню.

Коэффициенты ряда Фурье, формирующего ЧХ КИХ-фильт- ра, однозначно связаны с его ДИХ. Поэтому для уменьшения уровня пульсаций в ЧХ необходимо рассчитываемую по формулам (7.39) или (7.40) ДИХ заменить взвешенной:

где и»(л) — некоторая весовая функция.

Часто процедура получения й(л) в соответствии с выражением (7.44) рассматривается как «пропускание исходной ДИХ Л (л) через окно w(«)». Функция w(n) называется оконной, функцией окна или просто окном.

При выборе конкретного вида оконной функции w(n) необходимо учитывать два противоречивых обстоятельства:

  • 1) «сглаживание» отсчетов ДИХ h(n) в области усечения с помощью окна w(n) обеспечивает уменьшение уровня пульсаций в форме ЧХ;
  • 2) такое «сглаживание» уменьшает интенсивность высших гармонических составляющих, что приводит к расширению переходных зон.

Расчет ЧХ КИХ-фильтров со взвешенной ДИХ проводится по формулам (7.15), (7.20), (7.26) или (7.28), в которых А(л) заменяется на h(n) = И (л) w (л). Однако для качественной оценки влияния процедуры взвешивания ДИХ на уменьшение уровня пульсаций и расширение переходных зон в форме ЧХ представим такой расчет в другом аспекте.

Воспользуемся теоремой из теории линейных цепей о спектре произведения, которая формулируется так: если даны две функции х(/) и y(t) и для них известны их частотные спектры Sx(j и Syijoa), то спектр произведения функций z(t) = x(t)y(t) определяется сверткой спектров этих функций:

В цифровой области применительно к КИХ-фильтрам эту теорему можно изложить так: частотная характеристика И(у’Ф) рассчитываемого КИХ-фильтра, ДИХ которого Л (л) образована пропусканием исходной ДИХ Л (л) через окно и>(л), равна свертке заданной частотной характеристики H(jФ) с частотной характеристикой окна ^(у’Ф):

Перепишем выражение (7.45) в развернутом виде:

Для определенности будем считать, что h(n) является симметричной последовательностью, тогда

Оконная функция w(n) также должна быть симметричной и содержать такое же число отсчетов N, как и ДИХ И(п) КИХ-фильтра:

Подставив формулы (7.47) и (7.48) в выражение (7.46), получим

После преобразований (7.49) выражение для Н(Ф) принимает следующий вид:

откуда следует, что ЧХ #(Ф) рассчитываемого КИХ-фильтра определяется сверткой заданной ЧХ #(Ф) с ЧХ окна У(Ф)

Если ДИХ h(n) не подвергается операции взвешивания, то это равноценно пропусканию ДИХ через прямоугольное окно:

Рассмотрим свойства такого прямоугольного окна. Его частотная характеристика находится как ^-преобразование последовательности w(n) при z = ехр (уФ):

Рис. 7.14. Частотная характеристика прямоугольного окна

Из выражения (7.51) следует, что ЧХ прямоугольного окна определяется функцией

график которой приведен на рис. 7.14.

Пусть заданная ЧХ //(Ф) КИХ-фильтра представлена идеальным прямоугольником. Проведем качественную оценку формы ЧХ

Я(Ф) рассчитываемого КИХ-фильтра при использовании прямоугольного окна. Дадим операции свертки (7.50), определяющей

Я(Ф), геометрическую интерпретацию. На рис. 7.15, а изображены график функции Я(0), повторяющей Я(Ф), и график функ-

Рис. 7.15. Геометрическая интерпретация операции свертки:

а — графики заданной прямоугольной ЧХ и ЧХ окна; б — результат свертки

двух ЧХ ции 1К(Ф-0). В соответствии с формулой (7.50) результат свертки для выбранного значения Ф] можно рассматривать как вычисление площади заштрихованной области на рис. 7.15, а (с учетом знаков выбросов). Эта площадь численно определяет значение ЧХ

Я(Ф) (рис. 7.15, б) при Ф = Ф,.

При изменении частоты Ф (например, в сторону уменьшения) за счет последовательного вхождения в область существования функции Я(0) отрицательных и положительных выбросов функ-

ции И^Ф — 0) реальная форма ЧХ Я(Ф) примет осциллирующий характер. Кроме того, за счет конечной ширины главного лепестка функции 1Г(Ф-0) переходная зона в форме реальной ЧХ Я(Ф) неизбежно расширится.

Анализ возможных искажений формы реальной ЧХ Я(Ф) со спектральных позиций показывает, что расширение переходной зоны при взвешивании ДИХ обусловлено уменьшением интенсивности высших гармонических составляющих, формирующих

резкие переходы в форме реальной ЧХ Я(Ф). Это означает, что среди всех возможных видов оконных функций наименьшую ширину переходной зоны можно обеспечить только с помощью прямоугольного окна. Следовательно, любая оконная функция, предназначенная для снижения уровня пульсаций в реальной ЧХ Я(Ф) должна в возможно меньшей степени расширять ее переходные зоны. Оказывается, что это очевидное требование не так просто выполнить и однозначного решения в выборе оконных функций не существует.

Ниже приводятся данные для наиболее употребительных окон, используемых в расчете КИХ-фильтров.

2. Окно Бартлета (треугольное окно), N — нечетное:

3. Окно Ганна («хэннинг»):

4. Окно Хэмминга:

5. Окно Блэкмана:

Как следует из предыдущего рассмотрения, уровень пульсаций реальной ЧХ за счет интегрирования в сверточной операции оказывается меньше уровня пульсаций в ЧХ окна. Так, например, пульсации реальной ЧХ КИХ-фильтра при использовании прямоугольного окна имеют уровень 8Н, не превышающий 10 % (см. рис. 7.13). В то же время пульсации ЧХ прямоугольного окна достигают значения 6^= 22% (см. рис. 7.14). Такое же заключение можно сделать при сопоставлении переходной зоны Ан в реальной ЧХ КИХ-фильтра с шириной Дж главного лепестка ЧХ окна. Функциональную связь между рассматриваемыми величинами установить весьма сложно, поэтому при оценке «качества» того или иного окна рассматриваются лишь два их собственных показателя:

  • 1) уровень пика 5^ первого бокового лепестка ЧХ окна;
  • 2) ширина Aw главного лепестка ЧХ окна.

Эти показатели приведены в табл. 7.1.

Обращает на себя внимание то, что окна Ганна и Хэмминга, обеспечивая существенно большее подавление пульсаций по срав-

нению с окнами Ланцоша и Бартлета, имеют такую же ширину главного лепестка ЧХ (8n/N). Казалось бы, что при всех обстоятельствах окно Хэмминга лучше, чем, например, окно Бартлета, Однако это не так. Дело заключается в том, что окна с малым уровнем первого бокового лепестка своей ЧХ, как правило, не обеспечивают достаточно быстрого ослабления остальных боковых лепестков. Поэтому результирующее затухание в областях не-

пропускания ЧХ Н(Ф) (используемое, например, в оценке эквивалентной шумовой полосы фильтра) может оказаться меньше по сравнению со случаем, когда применяются окна с менее высоким уровнем первого всплеска ЧХ.

Применение рассмотренных видов окон исключает возможность минимизации ширины главного лепестка ЧХ при произвольном задании амплитуды пика первого бокового лепестка. Такая задача может быть решена с помощью окна Кайзера:

где / — символ функции Бесселя первого рода нулевого порядка; а = (N- 1)/2. Требуемый компромисс между величинами 5^ и Aw достигается соответствующим выбором параметра А.

Рассмотрим влияние частоты дискретизации на ширину переходной зоны реальной ЧХ.

Если число отсчетов N в ДИХ фиксировано, то увеличение частоты дискретизации / приведет к сокращению длительности КИХ в реальном времени. Как известно, длительность импульсной характеристики фильтра определяет его инерционность: чем меньше длительность импульсной характеристики, тем меньше инерционность фильтра. Уменьшение инерционности эквивалентно расширению полосы пропускания и переходных зон. Следовательно, при расчете КИХ-фильтров методом оконных функций частоту дискретизации необходимо выбирать как можно ниже.

Приведенное объяснение может быть подкреплено и другим доказательством. В табл. 7.1 приведены величины, определяющие ширину главного лепестка ЧХ окна Д^. Ширина переходной зоны ЧХ приближенно равна ширине главного лепестка, в связи с чем можно записать следующее выражение для ширины ДФ переходной зоны: ДФ = ак/N, где значение а определяется выбранным типом окна. Переход от цифровых частот Ф к циклическим/дает: 2л4/7/ = ак/N, откуда для ширины переходной зоны получим следующее выражение:

Таким образом, при выбранном значении N ширина переходной зоны Д/[Гц] прямо пропорциональна частоте дискретизации. Для иллюстрации данного положения рассмотрим расчет методом взвешивания низкочастотного КИХ-фильтра, у которого заданная ЧХ имеет прямоугольную форму, а частота среза f. = 1 кГц. Для простоты рассмотрения в качестве окна выберем прямоугольное. При использовании прямоугольного окна ЧХ фильтра определяется выражением (7.43). Положим, что число отсчетов ДИХ jV= 30. Расчет проведем для двух значений частоты дискретизации: а) Уд = 4 кГц, б) /л = 8 кГц.

По результатам расчета построены графики реальных ЧХ на рис. 7.16, а и б. На обоих рисунках отмечены пунктиром границы переходной зоны. Левая граница отсчитывается от начала спада ЧХ — от уровня 1, правая граница отмечает конец спада на уровне 0.

Измерения ширины переходной зоны по графикам реальных ЧХ дают следующие значения:

Таким образом, качественно подтверждена зависимость ширины переходной зоны от значения частоты дискретизации.

Количественно измеренные значения А/ не совпадают с вычисленными по выражению (7.58). Поскольку при построении ЧХ использовалось прямоугольное окно, то параметр а = 4 (см. табл. 7.1). Расчет ширины переходной зоны по выражению (7.58) дает следующие значения:

Различие реальных и расчетных значений А/ можно объяснить тем, что при теоретических расчетах ширина переходной зоны предполагалась равной ширине главного лепестка АЧХ окна. В действительности на ширину переходной зоны влияет не только главный лепесток, но и побочные, значения которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

В заключение рассмотрим возможности модификации структурной схемы КИХ-фильтра с линейной ФЧХ. Эта модификация основана на специфике ДИХ (симметрия или антисимметрия ДИХ). Дальнейшее рассмотрение проведем, полагая, что ДИХ — симметричная и N — четное.

В разностном уравнении

Рис. 7.16. Реальные ЧХ ФНЧ при вариации частоты дискретизации: а — при /д = 4 кГц; б — при /а = 8 кГц

коэффициенты численно равны отсчетам симметричной ДИХ:

Тогда разностное уравнение может быть представлено в таком виде:

Структурная схема, соответствующая уравнению (7.59), приведена на рис. 7.17, из которого следует, что в этом варианте структурная схема содержит в два раза меньше умножителей по сравнению с прямой формой.

Рис. 7.17. Модификация структурной схемы КИХ-фильтра с линейной ФЧХ

В случае когда ДИХ антисимметрична, перед одним из входов каждого двухвходового сумматора надо включить инвертор знака.

Расчёт КИХ-фильтра

Структурная схема КИХ фильтра. Вычисление комплексного коэффициента передачи. Дискретизация АЧХ и ФЧХ. Расчёт коэффициентов фильтра. Результаты применения оконных функций Ланцоша и Хэмминга. Расчет дискретно-импульсной характеристики фильтра типа ФНЧ.

Рубрика Физика и энергетика
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 12.03.2020
Размер файла 699,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I

(ФГБОУ ВПО ПГУПС)

Кафедра «Электрическая связь»

к курсовой работе

по дисциплине «Теория линейных электрических цепей»

на тему: «Расчёт КИХ-фильтра»

Выполнил студент гр. АТ-501 Пушкин И.А.

Проверил доцент Ракк М.А.

  • Задание для проектирования
  • Введение
  • Аннотация
  • 1.Структурная схема КИХ фильтра
  • 2.Дискретизация АЧХ и ФЧХ
  • 3.Вычисление комплексного коэффициента передачи
  • 4.Расчёт коэффициентов фильтра
  • 5.Оконные функции
    • 5.1Применение оконной функции Ланцоша
    • 5.2 Применение оконной функции Хэмминга
    • 5.3 Результаты применения оконных функций
  • Заключение
  • Библиографический список
  • Приложения

Задание для проектирования

В задании требуется рассчитать ДИХ (дискретно-импульсную характеристику) фильтра типа ФНЧ (фильтр нижних частот) по заданным параметрам:

Частота среза — р/2

Количество отсчётов ДИХ — 16

Тип оконной функции — Ланцоша и Хэмминга

Введение

Фильтр с конечной импульсной характеристикой (Нерекурсивный фильтр, КИХ-фильтр) — один из видов линейных цифровых фильтров, характерной особенностью которого является ограниченность по времени его импульсной характеристики (с какого-то момента времени она становится точно равной нулю). Такой фильтр называют ещё нерекурсивным из-за отсутствия обратной связи.

Фильтр нижних частот (ФНЧ) — электронный фильтр, эффективно пропускающий частотный спектр сигнала ниже некоторой частоты (частоты среза) и подавляющий частоты сигнала выше этой частоты. Степень подавления каждой частоты зависит от вида фильтра.

Идеальный фильтр нижних частот полностью подавляет все частоты входного сигнала выше частоты среза и пропускает без изменений все частоты ниже частоты среза. Переходной зоны между частотами полосы подавления и полосы пропускания не существует. Идеальный фильтр нижних частот может быть реализован лишь теоретически с помощью умножения спектра (преобразования Фурье) входного сигнала на прямоугольную функцию в частотной области.

Аннотация

В работе рассмотрен расчёт КИХ-фильтра по имеющейся амплитудно-частотной характеристике и фазо-частотной характеристике, заданных аналитически.

Процесс дискретизации АЧХ и ФЧХ, а также нахождение на основе дискретных АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи фильтра и импульсной характеристики фильтра.

После чего, для улучшения качеств фильтра и приближения этих значений к идеальным, показан расчёт новой импульсной характеристики с использование окон Ланцоша и Хэмминга.

В заключении приведён анализ полученной АЧХ, а также двух АЧХ после применения оконных функций.

1. Структурная схема КИХ фильтра

Структурная схема КИХ фильтра, отражающая общий принцип построения представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Структурная схема КИХ фильтра

В данном случае количество коэффициентов импульсной характеристики (N) равно 16, значит порядок фильтра (P) равно 15. Поэтому в фильтре будет 15 линий задержки.

Вид импульсной характеристики нечётного порядка с чётным количеством коэффициентов представлена на рисунке 2. Выбрана симметричная характеристика относительно оси симметрии т.е.

При этом фильтр вносит задержку при фильтрации, совпадающую с осью симметрии, а значит равную 7,5.

2. Дискретизация АЧХ и ФЧХ

В данном курсовом проекте N = 16, а частота среза р/2

Аналитически заданная АЧХ ФНЧ, и ее дискретные отсчеты показаны на рисунке 3.

Рисунок 3. Дискретизация периодической АЧХ ФНЧ

На рисунке 4 показаны отсчеты линейной ФЧХ, взятые при четном

При этом вычисляется по формуле:

Рисунок 4. Дискретизация линейной ФЧХ ФНЧ

3. Вычисление комплексного коэффициента передачи

Отсчёты комплексного коэффициента передачи вычисляются по формуле:

Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи приведены в таблице 1.

Таблица 1. Комплексный коэффициент передачи

4. Расчёт коэффициентов фильтра

Для расчета коэффициентов фильтра необходимо взять ОДПФ от комплексного коэффициента передачи:

В данном случае N=16 кратно степени двух, и можно воспользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Результат расчёта импульсной характеристики h(n) КИХ фильтра с линейной ФЧХ приведён в таблице 2.

Таблица 2. Импульсная характеристика фильтра

Графики импульсной характеристики и АЧХ представлены на рисунке 5 и 6 соответственно.

Рисунок 5. Импульсная характеристика

Рисунок 6. Амплитудно-частотная характеристика фильтра

5. Оконные функции

Оконные функции применяются к импульсной характеристике по формуле:

5.1 Применение оконной функции Ланцоша


Формула для вычисления оконной функции Ланцоша:


Полученные значения по этой формуле представлены в таблице 3.

Таблица 3. Импульсная характеристика после применения функции Ланцоша

дискретизация фильтр ланцош хэмминг

Теперь, применив дискретное преобразование Фурье можно получить АЧХ. Полученные значения занесены в таблицу 4.

Таблица 4. Передаточная характеристика после применения функции Ланцоша

5.2 Применение оконной функции Хэмминга


Формула для вычисления оконной функции Хэмминга:

Полученные значения по этой формуле представлены в таблице 5.

Таблица 5. Импульсная характеристика после применения функции Хэмминга

Теперь, применив дискретное преобразование Фурье можно получить АЧХ. Полученные значения занесены в таблицу 6.

Таблица 6. Передаточная характеристика после применения функции Хэмминга

5.3 Результаты применения оконных функций


Обе импульсные характеристики, после применения оконных функций представлены на рисунке 7. А полученные АЧХ на рисунке 8.

Рисунок 7. Импульсная характеристика

Рисунок 9. Часть АЧХ

Применение оконной функции Хэминга позволяет избавится от всплесков вблизи частоты среза лучше, чем функция Ланцоша. При применении оконной функции амплитудно-частотная характеристика фильтра приобрела вид, приближенный к идеальной АЧХ, но совпасть идеальная и реальная никогда не смогут, потому что частота среза для АЧХ является разрывом первого рода.

По рисунку 9 можно посчитать, что всплески в полосе пропускания уменьшились на 25%, а всплески в полосе запирания на 20%.

Но при этом ширина полосы переходы тоже возросла на 50%.

Несмотря на это, применение оконных функций позволяет уменьшить всплески, что ведёт к улучшению качеств фильтрации.

Заключение

В работе был рассчитан КИХ-фильтр и показаны, на графиках, его АЧХ и ФЧХ. После чего была найдена передаточная и импульсная характеристика этого фильтра и построены графики.

В заключении, для улучшения АЧХ фильтра и уменьшения выбросов характеристики, рассчитано применение двух оконных функций и построены полученные передаточные характеристики. После чего был проведён анализ полученных результатов.

Работа показывает как рассчитать КИХ фильтр и улучшить его АЧХ при помощи применения оконных функций.

Библиографический список

1. Журнал «Электроника» том 59, No.03 (736), 1986г — пер. с англ. М.: Мир, 1986

2. Рудаков П.И., Сафонов В.И. Обработка сигналов и изображений. МЛТЬЛБ 5.x. -М: ДИАЛОГ-МИФИ, 2000. — 416 с.

3. Гребенко Ю. А., Ко Ко Хтве Комбинированные цифровые БИХ-КИХ-фильтры с линейными ФЧХ// Радиотехнические тетради. № 40. С. 40 — 42.

4. Залманзон Л. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях. — М.: Наука, 1989. — 496 с.

Приложения

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Постановка задачи синтеза электрического фильтра. Реализация схемы фильтра низких частот. Аппроксимация частотной характеристики рабочего ослабления фильтра. Расчет спектра последовательности прямоугольных импульсов на входе и на выходе фильтра.

курсовая работа [597,8 K], добавлен 02.06.2015

Проектирование схем LC-фильтра, ARC-фильтра, амплитудного корректора, расчет номинальных значений их параметров. Расчет характеристики ослабления проектируемых фильтров. Проверка заданной точности коррекции и других функций амплитудного корректора.

курсовая работа [2,8 M], добавлен 27.02.2013

Проектирование схемы фильтра. Частотное преобразование фильтром прототипа нижних частот. Определение передаточной функции фильтра. Характеристики ослабления проектируемого фильтра. Расчет параметров элементов звеньев методом уравнивания коэффициентов.

курсовая работа [1,1 M], добавлен 31.05.2012

Расчёт амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, их последовательность и параметры. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа и требований к полосовому фильтру. Реализация LC-прототипа. Вычисление полюсов ARC-фильтра и элементов его схемы.

курсовая работа [1,4 M], добавлен 08.01.2012

Сведения о простейших электрических фильтрах. Комплексный коэффициент передачи, частотные характеристики фильтра нижних частот. АЧХ и ФЧХ фильтра верхних частот и полосового фильтра. Расчет величин конденсаторов и сопротивлений при заданной частоте среза.

лабораторная работа [176,2 K], добавлен 22.10.2012

Понятие электрического фильтра. Выбор варианта фильтров в соответствии с требованиями. Моделирования фильтра в среде Еlektronics Workbench. Разработка и расчет фильтра высоких частот Чебышева. Разработка и расчет полосового фильтра Баттерворта.

курсовая работа [573,1 K], добавлен 15.07.2008

Нормирование фильтра низких частот — прототипа для полосового фильтра. Аппроксимация по Баттерворту и по Чебышеву. Реализация схемы ФНЧ методом Дарлингтона. Денормирование и расчет элементов схемы заданного фильтра. Расчет частотных характеристик ПФ.

курсовая работа [1,6 M], добавлен 04.09.2012

Состав управляемого выпрямителя. Выбор схемы и работа преобразователя. Схема выходного фильтра. Расчёт вентилей по току и по напряжению. Выбор и расчёт согласующего трансформатора. Расчёт параметров выходного фильтра. Выбор автоматических выключателей.

курсовая работа [281,0 K], добавлен 01.02.2015

Понятие и функциональные особенности активного фильтра, его внутренняя структура и элементы, предъявляемые требования, частотные характеристики. Определение параметров и порядка фильтра-прототипа, его передаточной функции. Настройка частоты полюса.

курсовая работа [209,7 K], добавлен 29.12.2013

Построение электрической схемы фильтра, графиков частотной зависимости входного сопротивления и карты полюсов и нулей. Нахождение комплексной функции передачи. Определение основных параметров импульсной и переходной характеристик электрической цепи.

контрольная работа [568,0 K], добавлен 28.09.2015

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

Учебное пособие: Методические указания по выполнению лабораторной работы цифровая фильтрация медико-биологических сигналов

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Н.Э. БАУМАНА

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Издательство МГТУ им. Баумана

2.1 Общие понятия и определения .

Фильтр — это система или сеть, избирательно меняющая форму сигна­ла (амплитудно-частотную или фазово-частотную характеристику). Основными целями фильтрации являются улучшение качества сигнала (например, устранение или сни­жение помех), извлечение из сигналов информации или разделение нескольких сиг­налов, объединенных ранее для, например, эффективного использования доступного канала связи.

Цифровой фильтр — любой фильтр, обрабатывающий цифровой сигнал с целью выделения и/или подавления определённых частот этого сигнала.

В отличие от цифрового, аналоговый фильтр имеет дело с аналоговым сигналом, его свойства недискретны, соответственно передаточная функция зависит от внутренних свойств составляющих его элементов.

Упрощенная блок-схема цифрового фильтра реального времени с аналоговым входом и выходом приведена на Рис. 1. Узкополосный аналоговый сигнал периодически выбирается и конвертируется в набор цифровых выборок, x(n), n = 0,1, Цифровой процессор производит фильтрацию, отображая входную последовательность х(n) в выходную у(n) согласно вычислительному алгоритму фильтра. ЦАП конвертирует отфильтрованный цифровым образом выход в аналоговые значения, которые затем проходят аналоговую фильтрацию для сглаживания и устранения нежелательных высокочастотных компонентов.

Рис.1 Упрощенная блок схема цифрового фильтра

2.2 Преимущества и недостатки применения цифровых фильтров

По сравнению с аналоговыми фильтрами они предпочтительны во множестве областей (напри­мер, сжатие данных, биомедицинская обработка сигналов, обработка речи, обработка изображений, передача данных, цифровое аудио, телефонное эхо подавление), так как обладают рядом преимуществ и недостатков, часть из которых описана ниже.

Преимущества использования цифровых фильтров

· Цифровые фильтры могут иметь характеристики, получить которые на аналоговых фильтрах невозможно, например, действительно линейную фазовую характеристику.

· В отличие от аналоговых, производительность цифровых фильтров не зависит от изменений среды, например, от колебаний температуры. Таким образом, цифровые фильтры не требуют периодической калибровки.

· Если фильтр построен с использованием программируемого процессора, его частотная характеристика может настраиваться автоматически (поэтому такие процессоры широко применяются в адаптивных фильтрах).

· Один цифровой фильтр может обрабатывать несколько входных сигналов или кана­лов без дублирования аппаратных блоков.

· Как фильтрованные, так и нефильтрованные данные можно сохранить для последующего использования.

· Можно легко использовать достижения из области технологий СБИС и получать небольшие цифровые фильтры с пониженной потребляемой мощностью и более низкой ценой.

· На практике точность, которой можно добиться при использовании аналоговых фильтров, ограничена; например, затухание в полосе подавления нельзя поднять выше 60-70 дБ (если использовать стандартные аналоговые компоненты). Точность цифровых фильтров ограничена только используемой длиной слова. Производительность цифровых фильтров одинакова для всех устройств серии.

· Цифровые фильтры могут использоваться при очень низких частотах, характер­ных, например, для многих биомедицинских приложений, где применять аналоговые фильтры непрактично. Кроме того, цифровые фильтры могут использоваться в боль­шом диапазоне частот, для чего достаточно просто менять частоту дискретизации. Впрочем, по сравнению с аналоговыми цифровые фильтры имеют и ряд недостатков.

Недостатки цифровых фильтров

· Ограничение скорости . Максимальная ширина полосы сигналов, которые в реальном времени способны обработать цифровые фильтры, значительно уже, чем у аналоговых фильтров. В приложениях реального времени процесс преобразования «аналоговый-цифровой-аналоговый» вводит ограничение по скорости на производительность цифрового фильтра. Наивысшую частоту дискретизации, с которой может работать фильтр, ограничивает время конвертации АЦП и время установления сигнала ЦАП. Кроме того, скорость работы цифрового фильтра зависит от скорости работы используемого цифрового процессора и числа арифметических операций, которые надлежит выполнить в алгоритме фильтрации, и повышается, когда характеристика фильтра становится более сжатой.

· Влияние конечной разрядности. Цифровые фильтры подвержены шуму АЦП, происходящему от квантования непрерывного сигнала, и шуму округления, который вводится при вычислениях. При использовании рекурсивных фильтров высоких порядков накопление шума округления может привести к неустойчивости фильтра.

· Значительное время разработки и внедрения. Разработка и внедрение цифровых фильтров, особенно внедрение аппаратного обеспечения, могут выполняться гораздо дольше, чем подобные процедуры для аналоговых фильтров. В то же время, однажды разработанное аппаратное и/или программное обеспечение может использоваться в других задачах цифровой обработки сигналов с незначительной модификацией или вообще без изменений (соответствующие примеры приведены в последующих главах). Если при проектировании цифровых фильтров доступна хорошая компью­терная поддержка, эту задачу будет весьма интересно решать, хотя для того, чтобы эффективно и полно использовать такую поддержку, нужно определенное умение.

2.3 Этапы разработки цифрового фильтра

Разработка цифрового фильтра проходит в пять этапов.

1. Спецификация требований к фильтру.

2. Вычисление подходящих коэффициентов фильтра.

3. Представление фильтра подходящей структурой.

4. Анализ влияния конечной разрядности на производительность фильтра.

5. Реализация фильтра на программном и/или аппаратном уровне.

Названные пять этапов не всегда независимы; кроме того, они не всегда распо­лагаются в указанном порядке. Фактически существуют методы, которые позволяют объединить второй этап и некоторые аспекты третьего и четвертого. Подход, изложен­ный в данной главе, — это простое пошаговое руководство, гарантирующее успешную структуру. Чтобы получить эффективный фильтр, иногда приходится проводить данный процесс в несколько итераций, особенно, если спецификации не являются совершенно определенными (как обычно и бывает), или же разработчик желает исследовать альтер­нативные структуры. Подробное описание названных пяти этапов приводится ниже.

1. Спецификация требований включает спецификации

1) Характеристик сигналов

2) Характеристик фильтра (АЧХ, ФЧХ, скорость работы и режимы фильтрации);

3) Принципа реализации (на базе ПК или в МК

4) Других требований к структуре (например, стоимость фильтра).

Разработчик может не иметь достаточно информации, чтобы полностью определить фильтр на начальных этапах, но для упрощения процесса разработки следует сформулировать максимальное количество требований.

Хотя перечисленные выше требования уточняются в зависимости от конкретной за­дачи, некоторым аспектам п. 2 стоит уделить особое внимание. Характеристики цифровых фильтров часто задаются в частотной области. Для частотно-избирательных фильтров, таких как фильтры нижних частот и полосовые фильтры, спецификации часто формулируются в виде схем допусков.

Пример подобной схемы для фильтра нижних частот приведен на рис. 2. Заштрихованные горизонтальные линии обозначают преде­лы допустимых отклонений. В полосе пропускания амплитудная характеристика имеет пиковое отклонение δР , а в полосе подавления — максимальное отклонение δS .

Ширина полосы перехода определяет, насколько резким является характеристика фильтра. В этой области амплитудная характеристика монотонно уменьшается от полосы пропускания до полосы подавления.

Рис. 2 Схема допусков для фильтра нижних частот (ФНЧ)

Интерес представляют следующие ключевые параметры:

δP — отклонение в полосе пропускания;

δS — отклонение в полосе подавления;

fр — граничная частота полосы пропускания;

fS — граничная частота полосы подавления.

Отклонения в полосе пропускания и полосе подавления могут выражаться как обычные числа или в децибелах, когда они выражают неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления соответственно. Следовательно, минимальное затуха­ние в полосе подавления АS и максимальная неравномерность в полосе пропускания АP в децибелах записываются следующим образом (для КИХ-фильтров):

АS (затухание в полосе подавления) = -20lgδS ,

Ар (неравномерность в полосе пропускания) = 20lg(l + δP ).

При спецификации фазовой характеристики цифровых фильтров во многих случаях достаточно указать, что фазовое искажение существенно или что желательна линейная фазовая характеристика. В то же время, в некоторых приложениях, где фильтры используются для выравнивания или компенсации фазовой характеристики системы или как фазовращатели, фазовую характеристику задавать следует.

2. Расчет коэффициентов.

На этом этапе выбирается один из методов аппроксимации и вычисляются значения коэффициентов для КИХ-фильтра или БИХ-фильтра, при которых удовлетворяются условия, принципы определения которых представлены требованиях к фильтру.

Метод вычисления коэффициентов фильтра зависит от того, к какому классу относится фильтр — КИХ или БИХ.

Вычисление коэффициентов БИХ-фильтра традиционно основывается на преобразовании характеристик известных аналоговых фильтров в характеристики эквивалентных цифровых. Существует три основных подхода:

· Метод инвариантного пре­образования импульсной характеристики и

· Метод билинейного преобразования.

· Размещение нулей и полюсов (БИХ).

При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового фильтра сохраняется импульсная характеристика исходного аналогового фильтра, но не сохраняется амплитудно-частотная характеристика. Вследствие внутреннего наложения данный метод не подходит для фильтров верхних частот или режекторных фильтров.

Билинейный метод, с другой стороны, обеспечива­ет весьма эффективные фильтры и хорошо подходит для вычисления коэффициентов частотно-избирательных фильтров. В результате можно создавать цифровые фильтры с известными классическими характеристиками, такими как в фильтрах Баттерворта, Чебышева или эллиптических.

Цифровые фильтры, полученные методом билинейного преобразования, будут, в общем случае, иметь ту же амплитудную характеристику, что и аналоговые, но иные свойства во временной области. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош при моделировании аналоговых систем, но для частотно-избирательных БИХ-фильтров лучше использовать билинейный метод.

В качестве альтернативной схемы вычисления коэффициентов БИХ-фильтров применяется еще метод размещения нулей и полюсов — простой путь вычисления коэффициентов очень простых фильтров. В то же время, для фильтров с хорошей амплитудной характеристикой данный метод использовать не рекомендуется, поскольку в нем фигурирует перебор положений нулей и полюсов.

Коэффициенты КИХ-фильтров также можно вычислить несколькими различными способами:

· Оптимальный (алгоритм Паркса-Мак-Клиллана (Parks-McClellan)).

Метод взвешивания предоставляет очень простой и гибкий способ вычис­ления коэффициентов КИХ-фильтра, но не позволяет разработчику адекватно управ­лять параметрами фильтра. Самой привлекательной чертой метода частотной выборки является то, что он допускает рекурсивную реализацию КИХ-фильтров, что может быть весьма вычислительно выгодно. В то же время, этому методу недостает гибкости в плане управления или задания параметров фильтров.

В настоящее время в промыш­ленности широко используется оптимальный метод (в совокупности с дополняющей его эффективной и простой в использовании программе), который в большинстве слу­чаев дает требуемый КИХ-фильтр. Следовательно, при проектировании таких фильтров вначале стоит испробовать оптимальный метод, если только конкретное приложение не предусматривает использования другого метода.

На выбор метода, наиболее подходящего для конкретной задачи, влияют несколько факторов, в частности, критичные требования в спецификациях. Вообще, основным является выбор между КИХ и БИХ. Если наличие конечной импульсной характеристики существенно, то стоит использовать оптимальный метод, если же желательна бесконечная импульсная характеристика, то в большинстве случаев будет достаточно билинейного метода.

3. Представление фильтра подходящей структурой.

Данный этап включает преобразование данной передаточной функции H(z) в подходящую фильтрующую структуру. Для отражения структуры фильтра часто используются блок-схемы или функциональные схемы, на которых для облегчения реализации цифрового фильтра показывается ход вычислений. Используемая структура зависит от выбора КИХ- или БИХ-фильтра.

Для БИХ-фильтров широко используются три формы реализации:

Прямая форма — это непосредственное представление передаточной функции БИХ-фильтра.

В каскадной форме передаточная функция БИХ-фильтра факторизуется и выражается как произведение звеньев второго порядка.

В параллельной форме H(z) раскладывается (с использованием элементарных дробей) на сумму звеньев второго порядка.

При разработке БИХ-фильтров наиболее широко используются параллельная и кас­кадная структуры, поскольку они предоставляют более простые алгоритмы фильтрации и менее чувствительны к эффектам реализации с использованием конечного числа би­тов, чем фильтры с прямой структурой. Последние в подобных случаях весьма уязвимы, поэтому их следует избегать любой ценой.

Для КИХ-фильтров широко используется три формы:

Наиболее используемой является прямая структура, поскольку ее проще всего реализовать. В такой форме КИХ-фильтр ино­гда называется линией задержки с отводами (tapped delay line) или трансверсальным фильтром. По сравнению с трансверсальной структурой, реализация по схеме частотной выборки может быть вычислительно более эффективной, поскольку она требует расчета меньшего числа коэффициентов. Одна­ко ее бывает не так просто реализовать, и она может требовать больше памяти. При быстрой свертке используются вычислительные преимущества быстрого преобразова­ния Фурье (БПФ), и она особенно привлекательна в ситуациях, когда дополнительно нужно вычислить спектр сигнала.

Существует множество других практических структур цифровых фильтров, но большинство из них популярны только в определенных сферах. Пример — решетчатая структура, которая используется в сферах обработки речи и линейного предсказания.

Для данного фильтра выбор между структурами зависит от следующих факторов:

1) какая требуется характеристика (конечная или бесконечная);

2) простота реализации;

3) насколько структура чувствительна к эффектам конечной разрядности.

4. Анализ влияния конечной размерности

Этапы аппроксимации и реализации предполагают работу с бесконечной или очень высокой точностью. В то же время, в настоящих реализациях часто требуется представить коэффициенты фильтра конечным числом битов (обычно от 8 до 16 бит), кроме того, арифметические операции, указанные в разностных уравнениях, выполняются с использованием арифметики конечной точности.

Влияние конечного числа битов проявляется в снижении производительности фильтра, и в некоторых случаях фильтр может стать неустойчивым. Разработчик должен проанализировать данные эффекты и выбрать подходящую длину слова (т.е. число битов) для представления коэффициентов фильтра, переменных фильтра (т.е. входных и выходных выборок) и выполнения арифметических операций в фильтре.

Перечислим основные источники ухудшения производительности фильтра.

· Квантование сигнала на входе-выходе . В частности, шум АЦП вследствие квантования входных выборок сигнала — это существенная величина

· Квантование коэффициентов . Данный фактор приводит к искажению частотных характеристик КИХ- и БИХ-фильтров и возможной неустойчивости БИХ-фильтров.

· Ошибки округления . Использование для фильтрации арифметики конечной точности дает результаты, представление которых требует дополнительных битов. Если результаты квантуются до допустимой длины слова (часто для этого используется округление), возникает шум округления. В результате возможны такие нежелательные следствия, как неустойчивость БИХ-фильтров.

· Переполнение . Этот эффект проявляется, когда результат сложения превышает разрешенную длину слова. Это приводит к неверным выходным выборкам и возможной неустойчивости БИХ-фильтров.

Степень ухудшения фильтра зависит от

1) Длины слова и типа арифметики, исполь­зуемой для фильтрации,

2) Метода квантования коэффициентов фильтра и переменных до выбранных размеров,

3) Структуры фильтра.

Зная эти факторы, разработчик может оценить влияние конечной разрядности на производительность фильтра и при необходимости принять меры.

5. Реализация фильтра

Вычислив коэффициенты фильтра, выбрав подходящую структуру реализации и убедившись, что ухудшение фильтра, вызванное оцифровкой коэффициентов и перемен­ных фильтра в слова выбранной длины, приемлемо, разностное уравнение требуется воплотить на аппаратном или программном уровне. Вне зависимости от выбранного метода, выход фильтра для каждой выборки должен вычисляться согласно разностному уравнению (предполагается реализация во временной области).

Существует несколько способов классификации цифровых фильтров. Среди них выделим следующие:

· По типу импульсной характеристики

3.1 Классификация цифровых фильтров по типу импульсной характеристики

Классификация по типу импульсной характеристики является наиболее простой и понятной. В соответствии с данной классификацией цифровые фильтры подразделяются на два больших подкласса:

· Цифровые фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ — фильтры)

· Цифровые фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ — фильтры)

Напомним понятие об импульсной характеристике цифрового фильтра:

Импульсная характеристика — выходной сигнал динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта функции Дирака. (Рис. __)

В реальных физических системах входной сигнал представляет собой простой импульс минимальной ширины (равной периоду квантования для дискретных систем) и максимальной амплитуды.

Главное отличие БИХ и КИХ фильтров заключается следующем:

У КИХ фильтров импульсная характеристика конечна, и становится тождественно равна нулю через некоторое время, у БИХ фильтров импульсная характеристика бесконечна .

3.2 Общая классификация цифровых фильтров

Общая классификация цифровых фильтров приведена на Рис. 4.

· С прорежива -нием по времени

· С прорежива- нием по частоте

· С компандиро- ванием

· С коррекцией импульсной или частотной характеристики

Каждый электрик должен знать:  Мерительный инструмент - штангенциркуль, микрометр, циркуль по металлу и металлическая линейка
Добавить комментарий
Название: Методические указания по выполнению лабораторной работы цифровая фильтрация медико-биологических сигналов
Раздел: Остальные рефераты
Тип: учебное пособие Добавлен 23:54:49 13 сентября 2011 Похожие работы
Просмотров: 1028 Комментариев: 11 Оценило: 1 человек Средний балл: 4 Оценка: неизвестно Скачать