Решение дифференциальных уравнений операторным методом


СОДЕРЖАНИЕ:

операторный метод решения дифференциальных уравнений

Вы искали операторный метод решения дифференциальных уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и операционный метод решения дифференциальных уравнений, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «операторный метод решения дифференциальных уравнений».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как операторный метод решения дифференциальных уравнений,операционный метод решения дифференциальных уравнений,операционным методом решить дифференциальное уравнение,операционным методом решить задачу коши,операционным методом решить систему дифференциальных уравнений,решить дифференциальное уравнение операционным методом,решить задачу коши операционным методом,решить операционным методом дифференциальное уравнение,решить операционным методом задачу коши,решить операционным методом систему дифференциальных уравнений,решить систему дифференциальных уравнений операционным методом. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и операторный метод решения дифференциальных уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, операционным методом решить дифференциальное уравнение).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же операторный метод решения дифференциальных уравнений Онлайн?

Решить задачу операторный метод решения дифференциальных уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды.

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Операционный метод. Преобразования Лапласа

Решение дифференциальных уравнений операторным методом. Преобразование Лапласа является исключительно гибким и мощным методом, позволяющим путем стандартных процедур находить решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Именно это свойство обусловило его широкое использование в научных исследованиях и инженерных расчетах.

Пусть дифференциальное уравнение

устанавливает закон соответствия между сигналами на входе и выходе некоторой линейной стационарной системы.

Наложим некоторые ограничения. Сделаем допущение, что входной сигнал при t

Свойства передаточной функции. Сравнивая формулы (8.74) и (8.41), можно убедиться, что функция К(s) есть результат аналитического продолжения частотного коэффициента передачи К(jω) с мнимой оси на всю плоскость комплексных частот .

Функция К(s) аналитична на всей плоскости s, за исключением конечного числа точек p1, p2…pn, являющихся корнями знаменателя в формуле (8.74). Данные точки, т.е. корни уравнения

называют полюсами передаточной функции К(р).

Точки z1, z2. .,zm, представляющие собой корни уравнения

называют нулями данной передаточной функции.

Вынося общий множитель К, возникающий при делении в (8.74) числителя на знаменатель, получаем так называемое нуль-полюсное представление передаточной функции:

Вещественность коэффициентов дифференциального уравнения (8.72) обусловливает следующее свойство нулей и полюсов: все эти числа либо вещественны, либо образуют комплексно-сопряженные пары.

Часто используют наглядный прием отображения передаточной функции с помощью карты нулей и полюсов, на которой некоторыми условными значками нанесены указанные точки. Саму функцию К(р), принимающую комплексные значения, нельзя непосредственно представить графически. Поэтому поступают так: над плоскостью с декартовой системой координат изображают трехмерную поверхность функции |К(s)| (рис. 8.4).

Поверхность имеет характерный вид «горного ландшафта»; бесконечно высокие вершины соответствуют полюсам, а впадины — нулям передаточной функции. Выполнив сечение этой поверхности с помощью плоскости, содержащей как вертикальную ось, так и ось , получим профиль АЧХ системы.

Рис. 8.4. Характер поверхности |К(s)| для передаточной функции, имеющей два комплексно-сопряженных полюса и один нуль z = 0

Полюсы передаточной функции линейной системы являются корнями характеристического уравнения (8.36). Поэтому для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы эти полюсы располагались строго в левой полуплоскости комплексной переменной s. Нули передаточной функции в общем случае могут располагаться как в левой, так и в правой полуплоскостях.

Формула обращения. Заключительным этапом решения задачи о прохождении сигнала через линейную стационарную систему с помощью операторного метода является поиск оригинала, которому отвечает изображение ивъа(р) = = K(p)Um(p).

Рассмотрим частный случай, когда функция t/Bb[X(p) представляет собой отношение двух многочленов по степеням комплексной частоты:

причем будем считать, что степень числителя m не пре­восходит степени знаменателя п и, кроме того, корни знаменателя ph i = 1, 2. ‘. ,и — простые.

Способ нахождения оригинала, отвечающего такому изображению, основывается на представлении функции и*ы*(р) в виде суммы элементарных дробей:

Коэффициенты С,- являются вычетами функции 1/вых(р) в точках полюсов, поэтому [14]

Как известно, изображению 1/(р — pi) соответствует оригинал exp(p;t). Таким образом, приходим к известной Ф’нгл формуле обращения:

Примеры нахождения выходных сигналов операторным методом. При практическом использовании операторного метода большую часть формальных вычислений можно исключить, обращаясь к широко распространенным табли­цам преобразований Лапласа.

Пример . Найти переходную характеристику RC-цепи.

Здесь o(t)«->l/p, К(р) = 1Д1 +рт), поэтому 1/ВЬ1Х(р) = ]/[р(1+рт)]. Разлагая эту функцию на элементарные дроби, имеем

Оригиналы, соответствующие обоим слагаемым в правой части последней формулы, хорошо известны (см. [5, 6, 36]). Искомый

Передаточная функция равна отношению преобразования Лапласа реакции усилителя к изображению воздействия , вызвавшего эту реакцию, при нулевых начальных условиях. Пусть

— изображения Лапласа для входного и выходного сигнала при нулевых начальных условиях. Передаточная функция усилителя

является функцией комплексного аргумента . Вид многочленов и и коэффициенты их зависят только от схемы цепи (усилителя) и параметров ее элементов.

Формально передаточная функция может быть получена из дифференциального уравнения

где , после замены оператора дифференцирования p на оператор Лапласа s и деления полученного уравнения на .

В связи с тем что изображение δ-функции

изображение при нулевых начальных условиях уравнения

Применив формулу обращения, получим

здесь c – абсцисса абсолютной сходимости интеграла.

Таким образом, оригиналом передаточной функции является импульсная характеристика усилителя.

Когда требуется определить частотные характеристики, то переходят от преобразования Лапласа к преобразованию Фурье, положив

где амплитудно-частотная характеристика

Пусть, например, передаточная функция имеет вид

следовательно, найдем АЧХ

Анализ последнего выражения показывает, что даже при всех положительных коэффициентах АЧХ может обратиться в бесконечность, если оба выражения, стоящие в круглых скобках знаменателя, обратятся в нуль. Это означает несходимость интеграла

обусловленную не затухающей с течением времени реакцией устройства на δ-функцию.

В таких случаях говорят, что работа устройства неустойчива и в нем возникли колебания выходного напряжения (тока). Так как колебания существуют без внешнего воздействия, то их называют автоколебаниями.

Если мнимые корни находятся в правой полуплоскости , то неустойчивость сохраняется, а при нахождении в левой полуплоскости – происходит затухание колебаний. Необходимые и достаточные условия отрицательности всех вещественных частей корней уравнения n-й степени с постоянными вещественными коэффициентами были даны Гурвицем (критерий устойчивости Гурвица, а также Михайлова и др.).

Символьное решение линейных дифференциальных уравнений и систем методом преобразований Лапласа c применением SymPy

Реализация алгоритмов на языке Python с использованием символьных вычислений очень удобна при решении задач математического моделирования объектов, заданных дифференциальными уравнениями. Для решения таких уравнений широко используются преобразования Лапласа, которые, говоря упрощенно, позволяют свести задачу к решению простейших алгебраических уравнений.

В данной публикации предлагаю рассмотреть функции прямого и обратного преобразования Лапласа из библиотеки SymPy, которые позволяют использовать метод Лапласа для решения дифференциальных уравнений и систем средствами Python.

Сам метод Лапласа и его преимущества при решении линейных дифференциальных уравнений и систем широко освещены в литературе, например в популярном издании [1]. В книге метод Лапласа приведен для реализации в лицензионных программных пакетах Mathematica, Maple и MATLAB (что подразумевает приобретение учебным заведением этого ПО) на выбранных автором отдельных примерах.

Попробуем сегодня рассмотреть не отдельный пример решения учебной задачи средствами Python, а общий метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем с использованием функций прямого и обратного преобразования Лапласа. При этом сохраним обучающий момент: левая часть линейного дифференциального уравнения с условиями Коши будет формироваться самим студентом, а рутинная часть задачи, состоящая в прямом преобразовании Лапласа правой части уравнения, будет выполняться при помощи функции laplace_transform().

История об авторстве преобразований Лапласа

Преобразования Лапласа (изображения по Лапласу) имеют интересную историю. Впервые интеграл в определении преобразования Лапласа появился в одной из работ Л. Эйлера. Однако в математике общепринято называть методику или теорему именем того математика, который открыл ее после Эйлера. В противном случае существовало бы несколько сотен различных теорем Эйлера.

В данном случае следующим после Эйлера был французский математик Пьер Симон де Лаплас (Pierre Simon de Laplace (1749-1827)). Именно он использовал такие интегралы в своей работе по теории вероятностей. Самим Лапласом не применялись так называемые «операционные методы» для нахождения решений дифференциальных уравнений, основанные на преобразованиях Лапласа (изображениях по Лапласу). Эти методы в действительности были обнаружены и популяризировались инженерами-практиками, особенно английским инженером-электриком Оливером Хевисайдом (1850-1925). Задолго до того, как была строго доказана справедливость этих методов, операционное исчисление успешно и широко применялось, хотя его законность ставилось в значительной мере под сомнение даже в начале XX столетия, и по этой теме велись весьма ожесточенные дебаты.

Каждый электрик должен знать:  Блоки питания для светодиодных лент

Функции прямого и обратного преобразования Лапласа

Эта функция возвращает (F, a, cond), где F(s) есть преобразование Лапласа функции f(t), a

Если интеграл не может быть вычислен в закрытой форме, эта функция возвращает невычисленным InverseLaplaceTransform объекта.

Обратное преобразование Лапласа на примере определения переходной характеристики регуляторов

Напишем программу для получения уравнений для переходных характеристик ПИД- и ПИ-регуляторов для приведенной передаточной функции, и дополнительно выведем время, затраченное на выполнение обратного визуального преобразования Лапласа.

Время на обратное визуальное преобразование Лапласа: 2.68 s

Обратное преобразование Лапласа часто используется при синтезе САУ, где Python может заменить дорогостоящих программных “монстров” типа MathCAD, поэтому приведенное использование обратного преобразования имеет практическое значение.

Преобразование Лапласа от производных высших порядков для решения задачи Коши

Если a и b — константы, то

для всех s, таких, что существуют оба преобразования Лапласа (изображения по Лапласу) функций f(t) и q(t).

Проверим линейность прямого и обратного преобразований Лапласа с помощью ранее рассмотренных функций laplace_transform() и inverse_laplace_transform(). Для этого в качестве примера примем f(t)=sin(3t), q(t)=cos(7t), a=5, b=7 и используем следующую программу.

(7*s**3 + 15*s**2 + 63*s + 735)/((s**2 + 9)*(s**2 + 49))
(7*s**3 + 15*s**2 + 63*s + 735)/((s**2 + 9)*(s**2 + 49))
True
5*sin(3*t) + 7*cos(7*t)
5*sin(3*t) + 7*cos(7*t)

Приведенный код также демонстрирует однозначность обратного преобразования Лапласа.

Если предположить, что удовлетворяет условиям первой теоремы, то из этой теоремы будет следовать, что:

Повторение этого вычисления дает

После конечного числа таких шагов мы получаем следующее обобщение первой теоремы:

Применяя соотношение (3), содержащее преобразованные по Лапласу производные искомой функции с начальными условиями, к уравнению (1), можно получить его решение по методу, специально разработанному на нашей кафедре при активной поддержке Scorobey для библиотеки SymPy.

Метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений, основанный на преобразованиях Лапласа, с использованием библиотеки SymPy

где — приведенное начальное положение массы, — приведенная начальная скорость массы.


Упрощённая физическая модель, заданная уравнением (4) при ненулевых начальных условиях [1]:

Система, состоящая из материальной точки заданной массы, закрепленной на пружине, удовлетворяет задаче Коши (задаче с начальными условиями). Материальная точка заданной массы первоначально находится в покое в положении ее равновесия.

Для решения этого и других линейных дифференциальных уравнений методом преобразований Лапласа удобно пользоваться следующей системой, полученной из соотношений (3):

Последовательность решения средствами SymPy следующая:

    загружаем необходимые модули и явно определяем символьные переменные:

указываем версию библиотеки sympy, чтобы учесть ее особенности. Для этого нужно ввести такие строки:

по физическому смыслу задачи переменная времени определяется для области, включающей ноль и положительные числа. Задаём начальные условия и функцию в правой части уравнения (4) с её последующим преобразование по Лапласу. Для начальных условий необходимо использовать функцию Rational, поскольку использование десятичного округления приводит к ошибке.

пользуясь (5), переписываем преобразованные по Лапласу производные, входящие в левую часть уравнения (4), формируя из них левую часть этого уравнения, и сравниваем результат с правой его частью:

решаем полученное алгебраическое уравнение относительно преобразования X(s) и выполняем обратное преобразование Лапласа:

осуществляем переход из работы в библиотеке SymPyв библиотеку NumPy:

строим график обычным для Python методом:

Получаем:
Версия библиотеки sympy – 1.3

Получен график периодической функции, дающей положение материальной точки заданной массы. Метод преобразования Лапласа с использованием библиотеки SymPy дает решение не только без потребности сначала найти общее решение однородного уравнения и частное решение первоначального неоднородного дифференциального уравнения, но и без потребности использования метода элементарных дробей и таблиц Лапласа.

При этом учебное значение метода решения сохраняется за счёт необходимости использования системы (5) и перехода в NumPy для исследования решения более производительными методами.

Для дальнейшей демонстрации метода решим систему дифференциальных уравнений:

с начальными условиями

Упрощённая физическая модель, заданная системой уравнений (6) при нулевых начальных условиях:

Таким образом, сила f(t) внезапно прилагается ко второй материальной точке заданной массы в момент времени t = 0, когда система находится в покое в ее положении равновесия.

Решение системы уравнений идентично ранее рассмотренному решению дифференциального уравнения (4), поэтому привожу текст программы без пояснений.

Для ненулевых начальных условий текст программы и график функций примет вид:

Рассмотрим решение линейного дифференциального уравнения четвёртого порядка с нулевыми начальными условиями:

Решим линейное дифференциальное уравнение четвёртого порядка:

с начальными условиями , , .

Функции для решения ОДУ

Для имеющих аналитическое решение ОДУ и систем ОДУ применяется функция dsolve():
sympy.solvers.ode.dsolve(eq, func=None, hint=’default’, simplify=True, ics=None, xi=None, eta=None, x0=0, n=6, **kwargs)

Давайте сравним производительность функции dsolve() с методом Лапласа. Для примера возьмём следующее дифференциальное уравнение четвёртой степени с нулевыми начальными условиями:

Время решения уравнения с использованием функции dsolve(): 1.437 s

Время решения уравнения с использованием преобразования Лапласа: 3.274 s

Итак, функция dsolve() (1.437 s) решает уравнение четвёртого порядка быстрее, чем выполняется решение по методу преобразований Лапласа (3.274 s) более чем в два раза. Однако при этом следует отметить, что функция dsolve() не решает системы дифференциальных уравнений второго порядка, например, при решении системы (6) с использованием функция dsolve() возникает ошибка:

Данная ошибка означает, что решение системы дифференциальных уравнений с помощью функции dsolve() не может быть представлено символьно. Тогда как при помощи преобразований Лапласа мы получили символьное представление решения, и это доказывает эффективность предложенного метода.

Для того чтобы найти необходимый метод решения дифференциальных уравнений с помощью функции dsolve(), нужно использовать classify_ode(eq, f(x)), например:

Eq(f(x), C1*sin(x) + C2*cos(x))
(‘nth_linear_constant_coeff_homogeneous’, ‘2nd_power_series_ordinary’)
(‘separable’, ‘1st_exact’, ‘almost_linear’, ‘1st_power_series’, ‘lie_group’, ‘separable_Integral’, ‘1st_exact_Integral’, ‘almost_linear_Integral’)
[Eq(f(x), -acos((C1 + Integral(0, x))*exp(-Integral(-tan(x), x))) + 2*pi), Eq(f(x), acos((C1 + Integral(0,x))*exp(-Integral(-tan(x), x))))]

Таким образом, для уравнения eq=Eq(f(x).diff(x,x)+f(x),0) работает любой метод из первого списка:

Для уравнения eq = sin(x)*cos(f(x)) + cos(x)*sin(f(x))*f(x).diff(x) работает любой метод из второго списка:

separable, 1st_exact, almost_linear,
1st_power_series, lie_group, separable_Integral,
1st_exact_Integral, almost_linear_Integral

Чтобы использовать выбранный метод, запись функции dsolve() примет вид, к примеру:

Вывод:

Данная статья ставила своей целью показать, как использовать средства библиотек SciPy и NumPy на примере решения систем линейных ОДУ операторным методом. Таким образом, были рассмотрены методы символьного решения линейных дифференциальных уравнений и систем уравнений методом Лапласа. Проведен анализ производительности этого метода и методов, реализованных в функции dsolve().

  1. Дифференциальные уравнения и краевые задачи: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB. 3-е издание.: Пер. с англ. — М.: ООО «И.Д. Вильяме», 2008. — 1104 с.: ил. — Парал. тит. англ.
  2. Использование обратного преобразования Лапласа для анализа динамических звеньев систем управления

Решение дифференциальных уравнений операторным методом

Пользуясь таблицей, получим решение:

2. Применение формулы Дюамеля . При решении дифференциальных уравнений иногда удобно применять формулу Дюамеля (см. задание 31, пр. 2).

Пусть требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение п -го порядка с постоянными коэффициентами.

при нулевых начальных условиях

где f ( t ) – оригинал.

(Заметим, что простой заменой искомой функции задачу с ненулевыми начальными условиями можно свести к задаче с нулевыми условиями.)

Рассмотрим вспомогательное линейное дифференциальное уравнение

при тех же нулевых начальных условиях.

Предположим, что известно решение этого дифференциального уравнения – , которое является оригиналом. Допустим, что искомое решение уравнения (1) – также является оригиналом.

Для изображения введенных нами оригиналов используем обозначения:

Применяя к левой и правой частям уравнений и преобразование Лапласа с учетом нулевых начальных условий, придем к операторным уравнениям

Разделив первое из этих уравнений на второе, получим соотношение

Применив интеграл Дюамеля и используя свойства свертки, получим искомое решение y ( t ) в виде

Лекция 12. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом, методом Дюамеля

уравнение операционный числовой четный

от уравнения (1) с начальными условиями переходим к операторному уравнению (2)

Рассмотрим уравнение (4) L[x(t)]=1, а начальные условия те же самые, тогда

получаем операторное уравнение

из (6) найдем и подставляем в (3), получим

Применяя формулу Дюамеля, находим

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ.

x»(t)ёp 2 X(p)-p-1 y»(t)ёp 2 Y(p)

Лекция 13. Числовые ряды

Из членов числовой последовательности < an > составляем выражение:

a1+ a2 +… + an + … = (1)

(1) — числовой ряд.

an = f(n) (2) — общий, n-ый член ряда (1).

Например an = , тогда получаем числовой ряд: , который называется гармоническим рядом.

Из членов числового ряда (1) составим последовательность частичных сумм ряда (1):

Sn — n-я частичная сумма ряда (1),

— последовательность частичных сумм (1)

Если имеет конечный предел, т. е.

то ряд (1) называются сходящимся и S называется суммой ряда (1) и:


Если LimSn = Ґ, либо не существует, то ряд (1) называется расходящимся, и он суммы не имеет.

Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям

13.01.2015, 14:56

найти частное решение дифференциального уравнения .
Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных.

Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям
Можете помочь?Очень нужно.Найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям.

Частное решение дифференциального уравнения
Помогите найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями.

14.01.2015, 10:30 2

1) Переход от оригиналов к изображениям (прямое преобразование Лапласа L). Пользуемся стандартными таблицами:
x(t) -> X(p),
x'(t)-> pX(p)-x(0)=pX(p),
sint -> 1/(p 2 +1).

2) Подставляем все это в наше уравнение
pX(p)-X(p)=2/(p 2 +1) => X(p)=2/(p-1)(p 2 +1).

3) Переход от изображений к оригиналам (обратное преобразование Лапласа L -1 ). Опять пользуемся стандартными таблицами:

4) Собственно все закончилось, а вот и ответ e t — cos t — sin t.
Такой вот фокус-покус получается.

Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом

2.2. Решение дифференциальных уравнений N-го порядка операторным методом.

2.2.1 При y(t) = 0 и заданных начальных условиях (см. Табл.№1 )

К дифференциальному уравнению 4-го порядка применим преобразование Лапласа при заданных начальных условиях и у(t) = 0 и запишем его относительно изображения искомой переменной:

К линейные дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами применим преобразование Лапласа, чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента S, дифференцирование заменим умножением на S, повторное дифференцирование- умножением на S^2 и т.д.

Каждый электрик должен знать:  Как выбрать стабилизатор для компьютера самому

Используя обратное преобразование Лапласа, найдем оригинал искомой переменной:

На рис. 9. показаны графики изменения переменной, полученных в результате решения заданного дифференциального уравнения путем интегрирования (кривая Х) и операторным методом (Н(t)).

Рисунок 9. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 0 и заданных начальных условиях.

2.2.2 При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях

-Изображение по Лапласу y(t) = 1(t)

Рисунок10. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и нулевых начальных условиях.

2.2.3 При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = 1(t) и заданных начальных условиях.

2.2.4 При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях

Рисунок11. Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами. При y(t) = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях;

3. Выводы по работе №3

В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное уравнение 4-го порядка описывает динамические процессы электротехнической системы. Оно было преобразовано в систему дифференциальных уравнений первого порядка (в нормальную форму Коши). Мы воспользовались функцией rkfixed(y0, t0, t1, M, D) -получили матрицу решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений численным методом Рунге-Кута на интервале от t0 до t1 при M фиксированных шагах решения и правыми частями уравнений, записанными в D. Получено численное и графическое представление результатов.

Решение уравнения операторным методом предполагает применение преобразования Лапласа. В данной работе мы использовали преобразование Лапласа к искомой переменной системы, в частности, теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности преобразования Лапласа. Мы применили преобразование Лапласа (функция laplace), чтобы переменные вещественного аргумента t заменить на переменные комплексного аргумента s, дифференцирование заменить умножением на s, повторное на s в квадрате и т.д. Из полученных в комплексной области алгебраических уравнений нашли отношение выходной характеристики к входной. Это изображение обычно представляет собой передаточную функцию системы автоматического управления. Используя обратное преобразование Лапласа( функция invlaplace), найден оригинал искомой переменной.

Графики изменения искомой переменной, полученные в результате решения дифференциального уравнения двумя методами совпадают.

Вторая теорема разложения. Приложения операционного исчисления , страница 2

Запишем решение задачи Коши:

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Решение. В операционной форме имеем , откуда . Для перехода от изображения к оригиналу применим вторую теорему разложения. Корни знаменателя : , — (простые); , — двукратные. На основании формул (2.3) и (2.6) можно записать: , где обозначено . По формуле (2.4) , где ; ; . Таким образом, . Имеем далее,

.Если считать величины произвольными постоянными, то найденное решение будет общим решением уравнения (3.1).

Пример 3. Найти общее решение уравнения , а также частное решение его, удовлетворяющее начальным условиям: ; .

Решение. Запишем исходное дифференциальное уравнение в операционной форме, полагая, что — произвольные величины. Так как , то операционное уравнение примет вид: . Отсюда найдем . Представив X(p) в виде ; по таблице изображений находим решение: . Подставляя в него заданные начальные условия, определяя произвольные постоянные , получим частное решение: .

Пример 4. Проинтегрировать уравнение при нулевых начальных условиях, если

Решение. Запишем с помощью единичной функции Хевисайда:

По теореме запаздывания (1.11) отсюда находим

При нулевых начальных условиях приходим к определенному уравнению:

, из которого после несложных преобразований находим: . Так как , то, снова применяя теорему запаздывания, найдем

или в обычной форме

В некоторых случаях – опустим подробности – операционным методом удается решить линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, являющимися некоторыми многочленами от t. Приведем пример.

Пример 5. Найти общее решение уравнения .

Решение. Пусть . Тогда , , . Исходное уравнение принимает вид: или . Интегрируя это уравнение как линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно , найдем , откуда есть решение исходного уравнения.

Приведем еще пример решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.

Пример 6. Решить уравнение , .

Решение. Переходя к изображениям, получим ,

откуда . Для получаем: .

17.3.2. Интеграл Дюамеля. Решение систем линейных

дифференциальных уравнений операционным методом

1°. Интеграл Дюамеля. Пусть требуется решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка (3.1) при нулевых начальных условиях. Допустим, что известно решение уравнения (3.1) с правой частью, равной единице и нулевых начальных условиях. Тогда решение уравнения (3.1) при нулевых начальных условиях и произвольной правой частью определяется формулой Дюамеля (1.15):

Пример 1. Решить уравнение при нулевых начальных условиях.

Решение. Решим вспомогательную задачу: , . Применяя операционный метод, находим , откуда . По формуле (3.3) .

2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом производится по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения. Ввиду отсутствия принципиальных моментов, ограничимся лишь примером.

Пример 2. Операционным методом решить систему дифференциальных уравнений при начальных условиях , .

Решение. Операционная система имеет вид

Ее решение получим с помощью определителей (по правилу Крамера):

По второй теореме разложения находим оригиналы

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 266
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 602
  • БГУ 153
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 962
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 119
  • ВГУЭС 426

  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1967
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 300
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 409
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 497
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 130
  • ИжГТУ 143
  • КемГППК 171
  • КемГУ 507
  • КГМТУ 269
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2909
  • КрасГАУ 370
  • КрасГМУ 630
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 139
  • КубГУ 107
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 367
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 330
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 636
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 454
  • НИУ МЭИ 641
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 212
  • НУК им. Макарова 542
  • НВ 777
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1992
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 301
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 119
  • РАНХиГС 186
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 243
  • РГГМУ 118
  • РГПУ им. Герцена 124
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 122
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 130
  • СПбГАСУ 318
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 147
  • СПбГПУ 1598
  • СПбГТИ (ТУ) 292
  • СПбГТУРП 235
  • СПбГУ 582
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 193
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 380
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1655
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1513
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2423
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 324
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 306

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Примеры для самостоятельного решения. Операторным методом решить систему дифференциальных уравнений.

Операторным методом решить систему дифференциальных уравнений.

Таблица оригиналов и изображений.

N N
, -целое, пол.
N N
N N

Таблица сверток оригиналов.

Образец решения контрольной работы.

Задача1.По данному графику оригинала найти изображение:

Преобразуем оригинал к виду, удобному для получения изображения:

Воспользуемся теоремами линейности и теоремой запаздывания, тогда .

Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:

Решение.

Найдем сначала оригинал для дроби .

Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов

Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

оригинал этого изображения имеет вид:

. Так как изображение имеет вид рациональной дроби, умноженной на , применим теорему запаздывания при . Оригинал исходного изображения f(t) равен

Задача3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .

Изображение правой части: . Составляем операторное уравнение: , отсюда .

Используя таблицу основных изображений, получаем, что

Задача 4.Найти решение системы ,если .

изображение системы имеет вид

По формулам Крамера : ,

Задания контрольной работы

Задача1.По данному графику оригинала найти изображение:

Задача 2. Найти оригинал по заданному изображению:

Задача 3. Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Задача 4. Методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям.

Список учебной литературы

1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов: В 2т. Т.2/ Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1985.

2. Бубер, В.Б. Операционное исчисление. Опорный конспект лекций по высшей математике/ В.Б. Бубер, З.Д. Ломакина. – Мурманск, 1990.

3. Конторович, М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях/ М.И. Конторович. — М.: Сов.Радио, 1975.

4. Шелковников, Ф.А. Сборник упражнений по операционному исчислению/ Ф.А. Шелковников, К.Г. Такайшвили. – М.: Высшая школа, 1976.

5. Данко, П.Б. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.2/ П.Б. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1999.

Дата добавления: 2020-12-05 ; просмотров: 407 | Нарушение авторских прав

Решение дифференциальных уравнений операторным методом

3.5 Расчёт переходных процессов операторным методом

Операторный метод расчета переходных процессов основывается на использовании линейного интегрального преобразования Лапласа

где в качестве параметра участвует комплексная переменная p=s+ jω. Применение этого преобразования сводит функцию времени к зависимости от этого параметра. Большинство исследуемых в электротехнике функций времени имеют в качестве изображения по Лапласу дробно-рациональную функцию, которую называют операторным изображением (см.Таблицу 4), а саму функцию времени — оригиналом. Из приведенных в таблице примеров следует вышеприведенное утверждение, что использование преобразования Лапласа неизбежно сводит любую временную функцию к дробно-рациональной функции вида полином, деленный на полином от переменной p.

Каждый электрик должен знать:  Могут ли светодиодные лампы перегорать из-за перепада температуры

Таблица операторных изображений.

Изображение F ( t )

Однотипность получаемых изображений говорит о том, что это преобразование настолько «сильное», что при его использовании любые интегральные и дифференциальные временные соотношения сводятся также к алгебраическим выражениям. Следовательно, применив это преобразование к системе интегро-дифференциальных уравнений, получим систему алгебраических уравнений, зависимых от комплексной переменной p. Этот прием уже был использован ранее при анализе цепей синусоидального тока, где была показана возможность перехода посредством мнимой комплексной переменной jω к комплексным амплитудам токов и напряжений с последующим формальным анализом как бы цепи постоянного тока [1]. Операторный метод является развитием метода комплексных амплитуд, в обоих методах исходные, т.е. временные выражения, заменяют более простыми алгебраическими, которые в данном случае называют операторными.

Так же как и в методе комплексных амплитуд, постоянные параметры цепи — r, L, C переходят из оригинала в изображение и обратно без каких-либо изменений в качестве коэффициентов. В комплексном методе производная d/ dt заменяется произведением jω, а в операторном — множителем p; соответственно интеграл во временной области заменяется в комплексном методе на 1/ jω, а в операторном — на 1/p. Вместо комплексных амплитуд напряжения или тока записывают операторные выражения U(p), I(p). Имеет место только разница в записи постоянных источников напряжения и тока: E=const, J=const ;их операторные изображения принимают вид: E(p) = E/p; J(p) = J/p (см. табл.4, п.2).

Применяя преобразование Лапласа к компонентным соотношениям (3.5), связывающим токи и напряжения в каждом элементе цепи, можно установить правило перехода от реальной цепи к операторной. Это правило приведено в таблице 5.

Исходная электрическая цепь

Операторная расчетная цепь

Из таблицы следует, что резистивный элемент r преобразуется в операторный образ без изменения, и закон Ома в операторной форме имеет тот же вид, что и для переменной t: U(p) = rI(p). Индуктивность L заменяется операторным сопротивлением Z L = p L и источником напряжения Li L (0), направление действия которого совпадает с направлением тока в индуктивности к моменту коммутации. Емкость С заменяется операторным сопротивлением Z C = 1/p C и источником напряжения u C (0)/p; направление действия источника противоположно напряжению на емкости к моменту коммутации, т.е. направлено в сторону разряда емкости на внешнюю цепь. Независимые источники энергии заменяются на операторные образы, для чего могут быть использованы изображения функций, указанные в таблице 4. Можно эти изображения найти непосредственно путем использования прямого преобразования Лапласа (3.32). Пользуясь этой таблицей соответствия, легко построить операторную расчетную цепь, которая в дальнейшем рассчитывается как цепь постоянного тока. Из рассмотренного следует, что расчет переходного процесса операторным методом целесообразно начинать сразу с операторной схемы замещения, минуя этап составления системы интегро-дифференциальных уравнений.

Операторная расчетная схема замещения позволяет найти изображения токов и напряжений всех ветвей. Для расчета могут быть применены все известные методы расчета цепей постоянного тока: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод наложения, простейшие преобразования и т.д. Компонентные уравнения цепи, связывающие ток и напряжение в каждом элементе или ветви, записываются в операторных образах аналогично цепям постоянного тока [1].Все найденные операторные изображения токов и напряжений имеют однотипный характер в виде дробно-рациональной функции, где полином числителя по степеням p делится на полином знаменателя.

В большинстве случаев выполняется условие n>m, т.е. степень числителя меньше степени знаменателя и дробь правильная. Если же степени равны, то нужно путем деления полиномов выделить целую часть, и от этой части обратное преобразование Лапласа приводит к появлению в решении дельта-функции (см. табл.4,п.3). Та часть решения, которая определяется правильной дробью, позволяет найти оригинал путем применения Теоремы разложения, основанной на возможности представления дробно-рациональной функции в виде суммы простейших дробей. Формула обратного преобразования имеет вид

где p k — корни знаменателя, которые находятся из уравнения F2(p) = 0. Будем рассматривать случай разных вещественных отрицательных корней;

производная от знаменателя по переменной p; F1(p k ) — полином числителя, где вместо p подставлен корень p k .

Часто бывает так, что в полиноме F2(p) слагаемое b = 0. Тогда множитель p можно вынести за скобку, и знаменатель принимает вид F2 = p F3. В этом случае при наличии n корней первый корень уравнения p F3(p) = 0 будет нулевым: p1 = 0. Для этого частного случая Теорема разложения принимает вид

т.е. в решении появляется слагаемое, которое не зависит от времени. Это слагаемое соответствует принужденной составляющей искомого тока или напряжения.

Пример 3.8. Для цепи второго порядка (рис.3.16а), рассмотренной в примере 3.4, найти операторным методом ток и напряжение на емкости после размыкания ключа S. Параметры цепи: E =40 B; r =40 Ом; L = 1 Гн; C = 1/300 Ф.

Решение задачи начинаем с изображения операторной цепи, которая соответствует послекоммутационному состоянию цепи (рис.3.27). Начальные условия для внутренних источников энергии находятся для момента времени t = 0- так же, как это было сделано при решении задачи классическим методом: i L (0-) = E/ r = 1 A; u C (0-) = E = 40 B. В операторной одноконтурной цепи протекает операторный ток I(p) под действием операторных источников напряжения.

Рис. 3.27. Операторная расчетная цепь

Формально рассматривая эту цепь как цепь постоянного тока, найдем

После подстановки численных значений параметров получим

Приравнивая нулю знаменатель, найдем корни

Следует заметить, что знаменатель совпадает с характеристическим полиномом для исследуемой цепи. Именно такое уравнение исследовалось в классическом методе при решении Примера 3.4. Далее найдем производную знаменателя

Применим Теорему разложения и найдем оригинал тока как функцию времени

Полученный ответ полностью совпадает с выражением, полученным ранее.

Операторное напряжение на емкости следует определять как сумму

напряжений непосредственно на сопротивлении Z = 1/p C и на внутреннем

источнике напряжения u C (0-)/p. Для этого можно воспользоваться обобщенной формой закона Ома:

После подстановки числовых данных и приведения подобных получим

Используя те же корни знаменателя, найдем оригинал

Результат с точностью до знака совпадает с ранее полученным выражением. Различие в знаках объясняется другим выбором условного положительного направления напряжения на емкости по сравнению с примером 3.4

Теорема разложения может быть использована и в случае комплексно-сопряженных корней p1 = — β + jω C и p2 = — β — jω C . Рассмотрим этот случай на примере только что решенной задачи с измененным емкостным параметром С = 0.0005 Ф. Аналогично рассмотренному ранее найдем операторный ток

Приравнивая знаменатель к нулю F2(p) = p 2 + 40p + 2000 = 0, найдем корни p1 = -20 + j40 и p2 = -20 — j40, после чего выполним формальную подстановку корней в выражение (3.34):

Полученное выражение для тока совпадает с выражением (3.28) не только по форме, но и численно. Особенность математических преобразований заключается в том, что при суммировании двух комплексно-сопряженных выражений вещественные части суммируются, а мнимые взаимно сокращаются. Поэтому для пары комплексно-сопряженных корней результирующее выражение может быть найдено по формуле

т.е. путем умножения на два вещественной части выражения, которое получается после подстановки в формулу (3.34) любого из комплексно-сопряженных корней. Для рассматриваемого примера и выражения (3.36) применение формулы (3.37) после подстановки первого корня p1 = -20 + j40 даст тот же результат:

Ответ будет тем же, если вместо первого корня подставим второй корень p2 = -20 — j40.

Пример 3.9. В цепи рис.3.28 исследовать переходный процесс после размыкания ключа S. Найти зависимости i1( t) и u C ( t). Параметры цепи: E=100 B; J = 1 A; r1 = r2 = 10 Ом; L = 0,1 Гн; C = 1000 мкФ.

Рис. 3.28. Схема RLC — цепи с двумя независимыми источниками питания.

Решение задачи начинаем с определения основных начальных условий. До коммутации в индуктивности протекал ток i L (0-) = E/ r1 = 10 A, который замыкался через ключ S и короткозамкнутую перемычку. Напряжение на емкости равнялось нулю u C (0-) = 0, так как емкость была подсоединена параллельно короткозамкнутой перемычке. После размыкания ключа к цепи подсоединяется источник тока J, и в цепи развивается переходный процесс с участием индуктивности и емкости.

Рис. 3.29. Операторная схема замещения цепи.

а)Исходная цепь. б)Преобразованная цепь.

Операторная схема цепи представлена на рис.3.29а. Следует обратить

внимание на то, что в данном примере не требуется показывать внутренний источник энергии для емкости, т.к. начальные условия на емкости нулевые. Остальные операторные сопротивления равны

Операторная схема цепи формально соответствует разветвленной цепи

постоянного тока, где сопротивления Z2 и Z C соединены параллельно, и их

В преобразованной цепи рис.3.29б неизвестны токи I1 и IЭ = I2 + IС . Определим их, составив два уравнения по законам Кирхгофа

Найдем из системы ток I1:

После подстановки в выражение для тока численных значений параметров найдем

Знаменатель F = p F(p) имеет один нулевой корень p1 = 0 и два комплексно-сопряженных корня p2 = -100 + j100 и p3 = -100 — j100. При наличии нулевого корня целесообразно воспользоваться Теоремой разложения в форме (3.35), а с учетом характера корней окончательно записать форму обратного преобразования в виде (3.37):

где = dF3/ dp = 0,002p + 0,2. После формальной подстановки численных значений найдем оригинал тока

Характер переходного процесса определяется суммой установившегося значения 4,5 A и затухающей синусоиды. Ток начинает свое изменение со значения 10 A и, постепенно колеблясь и затухая, достигает уровня 4,5 A.

Напряжение на емкости в операторной форме найдем по закону Ома

Выполнив все алгебраические преобразования, после подстановки численных значений и применения Теоремы разложения получим

Переходный процесс для емкости начинается с нулевого значения, а затем принимает колебательно-затухающий характер и стремится к уровню 55 B. Тот же результат можно найти путем решения обратной задачи с использованием найденной временной функции i1( t). Для этого следует составить уравнение равновесия для контура, включающего ветви с емкостью и известным током i1:

Изучение материала третьего раздела пособия рекомендуется завершить решением задач Приложения 3. Вариант выбирается самостоятельно или указывается преподавателем.

Добавить комментарий