Ряды Фурье и их использование в анализе электрических цепей

Ряды Фурье и их использование в анализе электрических цепей

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Гевелюк Игорь Витальевич

студент 1 курса, кафедра электротехники и электроэнергетики ДВФУ, РФ, г. Владивосток

Дмух Галина Юрьевна

научный руководитель, канд. пед. наук, доцент кафедры алгебры, геометрии и анализа ШЕН ДВФУ, РФ, г. Владивосток

В данной статье поднимается тема прикладного применения ряда Фурье в электротехнике. Рассматриваются основные аспекты, касающиеся теории. Для большей наглядности приведены примеры, которые демонстрируют использование ряда Фурье в инженерной практике электроэнергетика.

Основные понятия: ряд Фурье, функция, ортогональная система, тригонометрический ряд, функциональный ряд, период.

Математика является одной из немногих наук, которые широко используются на практике. Любой производственно-технологический процесс не обходится без фундаментальных математических закономерностей. Эффективное применение различных инструментов математического аппарата позволяет конструировать устройства и автоматизированные агрегаты, способные выполнять операции с высоким уровнем точности, выполнять сложные расчеты и вычисления при проектировании зданий и сооружений, производить необходимые вычисления при геодезических исследованиях. Подобная тесная связь, приводит к взаимному обогащению, как самой математики, так и прикладных дисциплин. Зачастую, идеи и методы, созданные для решения частных задач, принимают общий характер и требуют строгого обоснования. Те методы, которые выдержали всесторонние проверки и весьма длительные испытания, в последствие становятся математическими теориями. В дальнейшем эти теории используются при решении более широкого круга задач, нежели те, на основе которых они были созданы. Инженерная практика в значительной мере ориентирует и стимулирует развитие математического аппарата.

Каждый электрик должен знать:  Пульты управления станками с ЧПУ

Именно от того, что элементы математики встречаются на производстве практически на каждом шагу, специалистам важно знать и блестяще ориентироваться в области применения тех или иных инструментов анализа и расчета. Например, инженеру-электротехнику для расчетов периодических несинусоидальных процессов следует иметь четкое представление о таком важном понятии, как ряд Фурье.

Теперь обратимся к теории. Рассмотрим два наиболее встречающихся типа рядов Фурье.

Ряд Фурье по ортогональной системе функций . Пусть функция непрерывна на отрезке или имеет на этом отрезке конечное число точек разрыва первого рода. Рядом Фурье такой функции на отрезке по ортогональной системе называется ряд

Каждый электрик должен знать:  ПУЭ

коэффициенты которого определяются равенствами

Если ряд Фурье функции по системе сходится к в каждой ее точке непрерывности, то говорится, что функция разлагается в ряд по ортогональной системе . Очевидно, что если функция разлагается в ряд по некоторой ортогональной системе функций, то это разложение единственно.

Тригонометрические ряды Фурье. Наиболее широко в электротехнике применяются ряды Фурье по основной тригонометрической системе функций, т. е. по системе функций

Ряд Фурье по основной тригонометрической системе функций (1.0) называется тригонометрическим рядом Фурье. Он записывается в виде

Коэффициенты и рассчитываются по формулам

Кроме всего этого, стоит сказать о сумме тригонометрического ряда Фурье. Все функции системы (1.0) являются периодическими с общим периодом . Поэтому если ряд сходится на отрезке , то он сходится и на всей числовой оси, а его сумма периодически повторяет те значения, которые она принимала на отрезке . Таким образом, можно говорить не только о разложении в тригонометрический ряд Фурье функции на отрезке , но и о разложении в ряд периодической функции, которая будет являться периодическим продолжением ( имея период ) на всю числовую ось.

Каждый электрик должен знать:  Пропала фаза в трехфазной сети - что делать

Формулировка задачи: Вычислить суммарный ток в схеме на рис. 1.

Рисунок 1. Электрическая цепь

Сопротивление постоянному току Постоянная слагающая тока:

Комплексное сопротивление цепи для основной частоты:

Комплексная амплитуда тока основной частоты:

Комплексное сопротивление цепи для утроенной частоты:

Комплексная амплитуда тока третьей гармоники:

Таким образом, искомое значение суммарного тока будет иметь вид:

Формулировка задачи: Вычислить активную мощность, поступающую в цепь при

По формуле рассчитаем искомую величину мощности:

1.Атабеков Г.И. А92 Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи: Учебное пособие. 7-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2009. — 592 с.: ил. — (Учебники для вузов. Специальная литература).

2.Жежеленко И.В. Высшие гармоники в системах электроснабжения промпредприятий 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергоатомиздат, 1984. — 160 с.

3.Сигорский В.П. Математический аппарат инженера. Изд. 2-е стереотипное. “Технiка”, 1997. — 768 с.

Добавить комментарий