Системы счисления чисел


СОДЕРЖАНИЕ:

Системное администрирование и мониторинг Linux/Windows серверов и видео CDN

Статьи по настройке и администрированию Windows/Linux систем

  • Полезное
    • Карта сайта
    • Мой сайт-визитка
  • Рубрики
    • Linux
      • VoIP
      • Безопасность
      • Видеопотоки
      • Системы виртуализации
      • Системы мониторинга
    • Windows
    • Интересное
    • Сеть и Интернет
  • Мета
    • Войти
    • RSS Feed

Перевод чисел в различные системы счислений

Когда занимаешься настройками сетей различного масштаба и каждый день сталкиваешься с вычислениями – то такого рода шпаргалки заводить не обязательно, все и так делается на безусловном рефлексе. Но когда в сетях ковыряешься очень редко, то не всегда вспомнишь какая там маска в десятичной форме для префикса 21 или же какой адрес сети при этом же префиксе. В связи с этим я и решил написать несколько маленьких статей-шпаргалок по переводом чисел в различные системы счислений, сетевым адресам, маскам и т.п. В это части пойдет речь о переводи чисел в различные системы счислений.

1. Системы счислений

Когда вы занимаетесь чем-то связанным с компьютерными сетями и ИТ, вы по любому столкнетесь с этим понятием. И как толковый ИТ-шник вам нужно разбираться в этом хотя бы чу-чуть даже если на практике вы это будете применять очень редко.
Рассмотрим перевод каждой цифры из IP-адреса 98.251.16.138 в следующие системы счислений:

  • Двоичная
  • Восьмеричная
  • Десятичная
  • Шестнадцатеричная

1.1 Десятичная

Так как цифры записаны в десятичной, перевод с десятичной в десятичную пропустим ��

1.1.1 Десятичная → Двоичная

Как мы знаем двоичная система счисления используется практически во всех современных компьютерах и многих других вычислительных устройствах. Система очень проста – у нас есть только 0 и 1.
Для преобразования числа с десятиной в двоичную форму нужно использовать деление по модулю 2 (т.е. целочисленное деление на 2) в результате чего мы всегда будем иметь в остатке либо 1, либо 0. При этом результат записываем справа налево. Пример все поставит на свои места:

Рисунок 1.1 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему

Рисунок 1.2 – Перевод чисел из десятичной в двоичную систему

Опишу деление числа 98. Мы делим 98 на 2, в результате имеем 49 и остаток 0. Далее продолжаем деление и делим 49 на 2, в результате имеем 24 с остатком 1. И таким же образом добираемся до 1-ки или 0-ка в делимом. Затем результат записываем справа налево.

1.1.2 Десятичная → Восьмеричная

Восьмеричная система – это целочисленная система счисления с основанием 8. Т.е. все числа в ней представлены диапазоном 0 – 7 и для перевода с десятичной системы нужно использовать деление по модулю 8.

Рисунок 1.3 – Перевод чисел из десятичной в восьмеричную систему

Деление аналогично 2-чной системе.

1.1.3 Десятичная → Шестнадцатеричная

Шестнадцатеричная система почти полностью вытеснила восьмеричную систему. У нее основание 16, но используются десятичные цифры от 0 до 9 + латинские буквы от A(число 10) до F(число 15). С ней вы сталкиваетесь каждый раз, когда проверяете настройки сетевого адаптера — это МАС-адрес. Так же, когда используется IPv6.

Рисунок 1.4 – Перевод чисел из десятичной в шестнадцатеричную систему

1.2 Двоичная

В предыдущем примере мы перевели все десятичные числа в другие системы счислений, одна из которых двоичная. Теперь переведем каждое число с двоичной формы.

1.2.1 Двоичная → Десятичная

Для перевода чисел с двоичной формы в десятичную нужно знать два нюанса. Первый – у каждого нолика и единички есть множитель 2 в n-й степени, при котором n увеличивается справа налево ровно на единичку. Второй – после перемножения все числа нужно сложить и мы получим число в десятичной форме. В итого у нас будет формула такого вида:

Где,
D – это число в десятичной форме, которое мы ищем;
n – количество символов в двоичном числе;
a – число в двоичной форме на n-й позиции (т.е. первый символ, второй, и т.п.);
p – коэффициент, равный 2,8 или 16 в степени n (в зависимости от системы счисления)

К примеру возьмем число 110102. Смотрим на формулу и записываем:

    Число состоит из 5 символов (n=5)

  • p = 2 (так как переводим из двоичной в десятичную)
  • D = (1 × 2 5-1 ) + (1 × 2 5-2 ) + (0 × 2 5-3 ) + (1 × 2 5-4 ) + (0 × 2 5-5 ) = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 2610

    Кто привык записывать справа на лево, форму будет выглядеть так:

    D = (0 × 2 5-5 ) + (1 × 2 5-4 ) + (0 × 2 5-3 ) + (1 × 2 5-2 ) + (1 × 2 5-1 ) = 0 + 2 + 0 + 8 + 16 = 2610

    Но, как мы знаем, от перестановки слагаемых сумма не меняется. Давайте теперь переведем наши числа в десятичную форму.

    Рисунок 1.5 – Перевод чисел из двоичной в десятичную систему

    1.2.2 Двоичная → Восьмеричная

    При переводе нам нужно двоичное число разбить на группы по три символа справа налево. Если последняя группа не состоит из трех символов, то мы просто возмещаем недостающие биты ноликами. К примеру:

    10101001 = 0 10 101 001

    1011100 = 00 1 011 100

    Каждая группа битов – это одно из восьмеричных чисел. Чтобы узнать какое, нужно использовать написанную выше формулу 1.2.1 для каждой группы битов. В результате мы получим.

    Рисунок 1.6 – Перевод чисел из двоичной в восьмеричную систему

    1.2.3 Двоичная → Шестнадцатеричная

    Здесь нам нужно двоичное число разбивать на группы по четыре символа справа налево с последующим дополнением недостающих битов группы ноликами, как писалось выше. Если последняя группа состоит из ноликов, то их нужно игнорировать.

    110101011 = 000 1 1010 1011

    1011100 = 0 101 1100

    001010000 = 00 0101 0000 = 0101 0000

    Каждая группа битов – это одно из шестнадцатеричных чисел. Используем формулу 1.2.1 для каждой группы битов.

    Рисунок 1.7 – Перевод чисел из двоичной в шестнадцатеричную систему

    1.3 Восьмеричная

    В этой системе у нас могут возникнуть сложности только при переводе в 16-ричную систему, так как остальной перевод проходит гладко.

    1.3.1 Восьмеричная → Двоичная

    Каждое число в восьмеричной системе – это группа из трех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам нужно воспользоваться табличкой-шпаргалкой:

    Рисунок 1.8 – Шпора по переводу чисел из восьмеричной системы

    Используя эту табличку переведем наши числа в двоичную систему.

    Рисунок 1.9 – Перевод чисел из восьмеричной в двоичную систему

    Немного опишу вывод. Первое число у нас 142, значит будет три группы по три бита в каждой. Юзаем шпору и видим, что цифра 1 это 001, цифра 4 это 100 и цифра 2 это 010. В результате имеем число 001100010.

    1.3.2 Восьмеричная → Десятичная

    Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 8 (т.е. p=8). В результате имеем

    Рисунок 1.10 – Перевод чисел из восьмеричной в десятеричную систему

    Возьмем первое число. Исходя из формулы 1.2.1:

      Число состоит из 3 символов (n=3)

  • p = 8 (так как переводим из восьмеричной в десятичную)
  • В результате имеем:

    D = (1 × 8 3-1 ) + (4 × 8 3-2 ) + (2 × 8 3-3 ) = 64 + 32 + 2 = 9810

    1.3.3 Восьмеричная → Шестнадцатеричная

    Как писалось раньше, для перевода нам нужно сначала перевести числа в двоичную систему, потом с двоичной в шестнадцатеричную, поделив на группы по 4-ре бита. Можно использовать следующею шпору.

    Рисунок 1.11 – Шпора по переводу чисел из шестнадцатеричной системы

    Эта табличка поможет перевести из двоичной в шестнадцатеричную систему. Теперь переведем наши числа.

    Рисунок 1.12 – Перевод чисел из восьмеричной в шестнадцатеричную систему

    1.4 Шестнадцатеричная

    В этой системе та же проблема, при переводе в восьмеричную. Но об этом позже.

    1.4.1 Шестнадцатеричная → Двоичная

    Каждое число в шестнадцатеричной системе – это группа из четырех битов в двоичной системе, как писалось выше. Для перевода нам можно воспользоваться табличкой-шпаргалкой, которая находиться выше. В результате:

    Рисунок 1.13 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в двоичную систему

    Возьмем первое число – 62. Используя табличку (рис. 1.11) мы видим, что 6 это 0110, 2 это 0010, в результате имеем число 01100010.

    1.4.2 Шестнадцатеричная → Десятичная

    Здесь мы используем формулу 1.2.1 только с коэффициентом 16 (т.е. p=16). В результате имеем

    Рисунок 1.14 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в десятеричную систему

    Возьмем первое число. Исходя из формулы 1.2.1:

      Число состоит из 2 символов (n=2)

  • p = 16 (так как переводим из шестнадцатеричной в десятичную)
  • В результате имеем.

    D = (6 × 16 2-1 ) + (2 × 16 2-2 ) = 96 + 2 = 9810

    1.4.3 Шестнадцатеричная → Восьмеричная

    Для перевода в восьмеричную систему нужно сначала перевести в двоичную, затем разбить на группы по 3-и бита и воспользоваться табличкой (рис. 1.8). В результате:

    Рисунок 1.15 – Перевод чисел из шестнадцатеричной в восьмеричную систему

    В следующей статье пойдет речь о IP-адресах, масках и сетях.

    Арифметические основы цифровой техники


    В цифровых устройствах приходится иметь дело с различными видами информации. Это в чистом виде двоичная информация, такая как включен прибор или выключен, исправно устройство или нет. Информация может быть представлена в виде текстов, и тогда приходится буквы алфавита кодировать при помощи двоичных уровней сигнала. Достаточно часто информация может представлять собой числа. Числа могут быть представлены в различных системах счисления. Форма записи в них чисел существенно различается между собой, поэтому, прежде чем перейти к особенностям представления чисел в цифровой технике, рассмотрим их запись в различных системах счисления.

    Системы счисления

    Начнем с определения системы счисления. Система счисления — это совокупность правил записи чисел цифровыми знаками. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные. В настоящее время и в технике и в быту широко используются как позиционные, так и непозиционные системы счисления. Рассмотрим сначала примеры непозиционных систем счисления.

    В качестве классического примера непозиционной системы счисления обычно приводят римскую форму записи чисел. Там не менее это не единственная непозиционная система счисления, используемая в настоящее время.

    Сейчас, как и в глубокой древности, для записи числа используются так называемые “палочки”. Эта форма записи чисел наиболее понятна и требует для записи числа всего один символ. Число образуется суммой этих “палочек”. Однако при записи больших чисел возникают неудобства. Число получается громоздким и его трудно читать.

    В следующем варианте непозиционной системы счисления стали использовать несколько символов (цифр). Каждая цифра обозначает различное количеств единиц. Конечное число точно так же как и в предыдущем варианте образуется суммой цифр. Наиболее яркий вариант использования такой системы счисления — это денежные отношения. Мы с ними сталкиваемся каждый день. Здесь никому не приходит в голову, что сумма, которую мы выкладываем за продукты, может зависеть от того, в каком порядке мы расположим монеты на столе! Номинал монеты или банкноты не зависит от того, в каком порядке она была вынута из кошелька. Это классический пример непозиционной системы счисления.

    Однако чем большее число требуется представить в такой системе счисления, тем большее количество цифр требуется для этого. Позиционные системы счисления были придуманы относительно недавно для того, чтобы сэкономить количество цифр, используемое для записи чисел.

    Значение цифры в позиционной системе счисления зависит от её позиции в записываемом числе. В позиционной системе счисления появляются два очень важных понятия — основание системы счисления и вес цифры. Дело в том, что в позиционной системе счисления число представляется в виде формулы разложения:

    где p — основание системы счисления
    pi — вес единицы данного разряда
    ai — цифры, разрешённые в данной системе счисления.

    При этом количество цифр в системе счисления зависит от основания. Количество цифр равно основанию системы счисления. В двоичной системе счисления две цифры, в десятичной – десять, а в шестнадцатеричной – шестнадцать. Число в любой позиционной системе счисления записываются в виде последовательности цифр:

    где ai – цифры данной системы счисления, а цифра, соответствующая единицам определяется по положению десятичной запятой (или десятичной точки в англоязычных странах). Каждая цифра, использованная в записи числа, называется разрядом.

    Какие же системы счисления применяются в настоящее время? Первый ответ, который я ожидаю – это десятичная система счисления. А ещё? Да, да не удивляйтесь! Мы широко используем и другие системы счисления! Достаточно посмотреть себе на левую руку. Там мы увидим часы. Сколько минут помещается в часе? Шестьдесят! Сколько секунд помещается в минуте? Шестьдесят! Налицо признаки шестидесятеричной системы счисления. Это наследование древней вавилонской системы счисления, которую вместе с компасом и часами европейцы заимствовали от арабов.

    А еще примеры? Да сколько угодно! Картушка компаса делится на восемь румбов. Чем не восьмеричная система счисления? А давно ли в России отказались от полушек (четверть копейки) или грошей (половина копейки)? А следующее значение монеты – две копейки! Чем не двоичная система счисления?

    Рассмотрим подробнее системы счисления, наиболее часто используемые в цифровой технике.

    Десятичная система счисления

    Основание этой системы счисления p равно десяти. В этой системе счисления используется десять цифр. В настоящее время для обозначения этих цифр используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятичной системе счисления записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в десять раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как десятые, сотые или тысячные доли единицы.

    Рассмотрим пример записи десятичного числа. Для того чтобы показать, что в примере используется именно десятичная система счисления, используем индекс 10. Если же кроме десятичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то индекс обычно не используется:

    Здесь самый старший разряд числа будет называться сотнями. В приведённом примере сотням соответствует цифра 2. Следующий разряд будет называться десятками. В приведённом примере десяткам соответствует цифра 4. Следующий разряд будет называться единицами. В приведённом примере единицам соответствует цифра 7. Десятым долям соответствует цифра 5, а сотым – 6.

    Двоичная система счисления

    Основание этой системы счисления p равно двум. В этой системе счисления используется две цифры. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в двоичной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0 и 1. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 2. Если же кроме двоичной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.

    Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, двоек, четвёрок, восьмёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в два раза. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как половины, четверти или восьмые доли единицы.

    Рассмотрим пример записи двоичного числа:

    При записи во второй строке примера десятичных эквивалентов двоичных разрядов мы не стали записывать степени двойки, которые умножаются на ноль, так как это привело бы только к загромождению формулы и, как следствие, затруднение понимания материала.

    Недостатком двоичной системы счисления можно считать большое количество разрядов, требующихся для записи чисел. В качестве преимущества этой системы счисления можно назвать простоту выполнения арифметических действий, которые будут рассмотрены позднее.

    Восьмеричная система счисления

    Основание этой системы счисления p равно восьми. Восьмеричную систему счисления можно рассматривать как более короткий вариант записи двоичных чисел, так как число восемь является степенью числа два. В этой системе счисления используется восемь цифр. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в восьмеричной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 8. Если же кроме восьмеричной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить.

    Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, восьмёрок, шестьдесят четвёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в восемь раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как восьмые, шестьдесят четвёртые и так далее доли единицы.

    Рассмотрим пример записи восьмеричного числа:

    Во второй строке приведённого примера фактически осуществлён перевод числа, записанного в восьмеричной форме в десятичное представление того же самого числа. То есть мы фактически рассмотрели один из способов преобразования чисел из одной формы представления в другую.

    Так как в формуле используются простые дроби, то возможен вариант, что точный перевод из одной формы представления в другую становится невозможным. В этом случае ограничиваются заданным количеством дробных разрядов.

    Шестнадцатеричная система счисления

    Основание этой системы счисления p равно шестнадцати. Эту систему счисления можно считать ещё одним вариантом записи двоичного числа. В этой системе счисления используется шестнадцать цифр. Здесь уже не хватает десяти цифр, поэтому приходится придумать недостающие шесть цифр.

    Для обозначения этих цифр можно воспользоваться первыми буквами латинского алфавита. При записи шестнадцатеричного числа неважно буквы верхнего или нижнего регистра будут использоваться в качестве цифр. В качестве цифр в шестнадцатеричной системе используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

    Каждый электрик должен знать:  Освещение бассейна фото, видео, правила выбора светильников

    Так как здесь появляются новые цифры, то приведём таблицу соответствия этих цифр десятичным значениям.

    Таблица 6. Таблица соответствия шестнадцатеричных цифр десятичным значениям

    Шестнадцатеричная цифра Десятичный эквивалент
    1 1
    2 2
    3 3
    4 4
    5 5
    6 6
    7 7
    8 8
    9 9
    A 10
    B 11
    C 12
    D 13
    E 14
    F 15

    Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, чисел шестнадцать, двести пятьдесят шесть и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в шестнадцать раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как шестнадцатые, двести пятьдесят шестые и так далее доли единицы.

    Рассмотрим пример записи шестнадцатеричного числа:

    Из приведённых примеров записи чисел в различных системах счисления вполне очевидно, что для записи одного и того же числа с одинаковой точностью в разных системах счисления требуется различное количество разрядов. Чем больше основание системы счисления, тем меньшее количество разрядов требуется для записи одного и того же числа.

    Вместе со статьей «Системы счисления» читают:

    Программирование на C, C# и Java

    Уроки программирования, алгоритмы, статьи, исходники, примеры программ и полезные советы

    ОСТОРОЖНО МОШЕННИКИ! В последнее время в социальных сетях участились случаи предложения помощи в написании программ от лиц, прикрывающихся сайтом vscode.ru. Мы никогда не пишем первыми и не размещаем никакие материалы в посторонних группах ВК. Для связи с нами используйте исключительно эти контакты: vscoderu@yandex.ru, https://vk.com/vscode

    Восьмеричная система счисления

    Восьмеричная система – одна из основных систем счислений наряду с двоичной, десятичной и шестнадцатеричной, применяемая в информационных технологиях.

    Как мы знаем, компьютеры «воспринимают» лишь двоичную систему счисления, состоящую только из нулей и единиц. Однако человеку довольно непривычно и неудобно работать с такими числами. Например, привычное нам десятичное число 2 143 в двоичной системе будет выглядеть как 100001011111. Переводить числа из двоичной системы в десятеричную также не очень удобно и бывает довольно муторно.

    В итоге было решено использовать альтернативные и более простые системы счисления: восьмеричную и шестнадцатеричную. Числа 8 и 16 являются степенями двойки (2 в третьей и 2 в четвёртой степени соответственно), поэтому выполнять преобразования из двоичной системы и наоборот гораздо легче, чем при десятичной системе счисления, которая не может похвастаться своей причастностью к степеням числа 2.

    Кроме того, числа в восьмеричной системе как минимум более приятны глазу и гораздо короче, чем их аналоги в двоичной системе. Так, например, в восьмеричной системе то же число 2 143 будет записываться как 4137.

    В восьмеричной системе счисления, как уже можно было догадаться, основанием является цифра 8 и, соответственно, она вмещает в себя только восемь цифр: от 0 до 7. Поэтому числа в восьмеричной системе счисления очень похожи на десятичные, в отличие от шестнадцатеричных, где присутствуют буквы латинского алфавита или двоичных, состоящих только из двух цифр. Отличают эти две системы тем, что в восьмеричной отсутствуют цифры 8 и 9, а также, очевидно, нижними индексами: у числа в десятичной системе прибавляют нижний индекс с цифрой 10, а к числам в восьмеричной системе приписывают цифру 8, например:

    Теперь давайте научимся переводу чисел в восьмеричную систему счисления и наоборот.

    Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную

    Давайте попробуем изучить перевод десятичного числа в восьмеричное на примере. После этого примера вы без проблем сможете переводить любые числа в эту систему.

    Возьмём десятичное число 15 450 и попробуем перевести его в восьмеричную систему счисления.

    Для начала нам необходимо разделить исходное число на основание системы, в которую мы хотим это число перевести. Для восьмеричной системы это число 8. То есть мы делим 15 450 на 8.

    Происходит деление в столбик, но, в отличие от стандартного деления, мы не находим неполные частные, а делим сразу всё делимое на 8. Наибольшим числом, при котором 15 450 делится без остатка на 8 будет число 1 931. 1931 * 8 = 15 448. Теперь мы вычитаем из 15 450 полученное число 15 448, у нас получился остаток 2. Выделяем эту двойку, так как это уже кусочек нашего числа в восьмеричной системе.
    Продолжаем: теперь делим полученное на предыдущем шаге частное на 8:

    Всё точно так же: наибольшим числом, при котором 1 931 делится без остатка на 8 будет число 241. При умножении 241 на 8 получается число 1 928. Ищем разность между 1 931 и 1928 – получается 3. Выделяем её. Далее делим 241 на 8.

    Получается число 30, умножив его на 8, получаем 240. Вычитаем из 241 это число, получается 1. Выделяем единицу.
    Продолжаем деление до тех пор, пока частное не станет меньше 8!

    Итак, делим 30 на 8, получается 3,75, отбрасываем дробную часть, получается 3. Умножаем 3 на 8, получается 24. 30 – 24 = 6. Выделяем шестёрку. Мы закончили деление так как 3 меньше 8 . Обязательно выделяем последнее частное тоже (у нас это цифра 3).

    Выделенные красным цифры – это и есть наше число в восьмеричной системе, НО они написаны наоборот. То есть, чтобы правильно прочитать число в восьмеричной системе, необходимо сделать это справа налево.

    Таким образом, десятичное число 15 45010 в восьмеричной системе будет выглядеть как 36 1328.

    Итого, алгоритм перевода чисел из десятичной системы в восьмеричную следующий:

    1. Разделить исходное число на 8. Найти максимальное частное и убрать дробную часть от него. Например, исходное число 20 : 8 = 2,5. Значит в частное мы записываем число 2.
    2. Умножить полученное частное на 8. Записать его под исходным числом.
    3. Найти остаток между этими числами и выделить его – это кусочек переведённого в восьмеричную систему числа.
    4. Затем разделить в столбик полученное частное на 8, записать ответ и проделать шаги 2 и 3.
    5. Производить деление до тех пор, пока делимое не станет меньше 8. Выделить это делимое тоже.
    6. Выписать все выделенные числа справа налево (т.е. последнее делимое будет на первом месте, затем идёт остаток, найденный на последнем шаге, затем остаток, найденный на предпоследнем шаге и т.д.). Полученное при такой записи число и будет нашим искомым восьмеричным.

    Теперь перейдём к переводу восьмеричного числа в десятичную систему счисления.

    Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную

    Перевести восьмеричное число в десятичное даже проще, чем наоборот. Давайте рассмотрим пример: переведём восьмеричное число 36078 в десятичное.

    Для начала мы делаем такую запись: с конца берём каждую цифру нашего исходного числа, каждое из них умножаем на 8, и все в целом складываем. Должно получиться примерно так:

    Однако, это ещё не всё ! После того, как мы сделали подобную запись, ко всем числам 8, на которые умножаются цифры исходного числа, необходимо добавить степени в порядке возрастания: 0, 1, 2 и т.д. Обязательно необходимо начинать с нулевой степени !

    Всё, что остаётся после этого – просто посчитать. В итоге у нас получилось число 1927 в десятичной системе.

    Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную

    Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную – довольно необычное дело для тех, кто никогда с этим не сталкивался. Однако на деле всё не так пугающе, как может показаться с первого раза.

    Давайте попробуем. Допустим, у нас есть двоичное число 1010010001011101100.

    Для начала нам необходимо разбить это число на триады – группы из трёх цифр. Почему именно три цифры? Как мы знаем, у систем счислений имеются основания. И у двоичной системы основание – 2. Нам необходимо перевести двоичное число в восьмеричную систему с основанием 8. Математически это можно записать так:

    Найти i, пожалуй, не составит труда: i = 3, то есть, для записи одного восьмеричного числа в двоичной системе необходимо 3 бита или, говоря иначе – 3 двоичные цифры. Поэтому мы и будем разбивать двоичное число на триады. Однако надо запомнить, что делать это надо с младшего бита . Бит – это одна цифра в двоичном числе. Чем дальше бит от начала числа, тем он младше. Самый младший бит – это последняя цифра двоичного числа. Иными словами, мы разбиваем число на триады, начиная с конца.

    Внимание: если старшая триада не заполнена, до конца, перед ней необходимо дописать столько нулей, чтобы получилась полноценная триада.

    Теперь всё, что нам остаётся – это перевести каждую из этих триад из двоичной системы счисления в восьмеричную. Это можно сделать самостоятельно:

    Для этого в каждой отдельной триаде (начиная с первой) нужно каждую цифру (начиная с последней) умножить на 2, возведённую в степени от 0 до 2, и сложить полученные три числа.

    Затем, полученные результаты по каждой отдельной триаде надо выписать, начиная с самой первой. Записанное число и будет нашим конечным результатом в восьмеричной системой счисления.

    Однако можно сильно облегчить себе задачу, не высчитывая все триады числа, а просто сверяя каждую из них по таблице соответствия двоичных чисел восьмеричным, например, по такой:

    Теперь можно просто смотреть на триаду, сверять её с таблицей и записывать число, соответствующее ей в восьмеричной системе.

    Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную

    Самым удобным способом перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную является использование таблицы соответствий. Итак, допустим, мы хотим перевести восьмеричное число 36702 в двоичную систему. Что же нам делать? Мы берём первую цифру нашего исходного числа – 3. Ищем её по таблице соответствия – в двоичной системе это 011. Берём следующую цифру – 6 и ищем её в таблице, находим 110, и так далее. Продолжаем, пока не переведём все восьмеричные цифры в триады. В итоге у нас получится необходимое двоичное число.

    Внимание: Если в старших битах (то есть в самом начале двоичного числа) имеются нули, необходимо убрать их до первой единицы. Например, как на изображении ниже. В старшем бите у нас получился ноль при переводе восьмеричной тройки, и мы убрали его. Это делается для удобства, потому что зачем хранить и писать незначащие цифры.

    Перевод из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и из шестнадцатеричной системы в восьмеричную

    К сожалению, несмотря на то, что эти системы счисления близки друг к другу, напрямую перевести друг в друга нельзя. Легче всего при переводе этих двух систем друг в друга воспользоваться посредничеством двоичной системы. То есть, перевести восьмеричную систему счисления в двоичную, разделив число на триады и воспользовавшись таблицей соответствий, а затем перевести это число из двоичной системы в шестнадцатеричную с помощью тетрад. И наоборот: перевести число из шестнадцатеричной системы в двоичную, а затем уже из двоичной системы в восьмеричную описанными выше способами.

    Применение восьмеричной системы счисления

    В прошлом веке выпускались компьютеры, в которых использовались 12-ти, 24-х и 36-битные слова. Это, например, модель ICT 1900 (1964 год), а также PDP-8, выпущенная в 1965 году – это коммерчески довольно успешная модель миникомпьютера в своё время. Кроме того, некоторые мейнфреймы от компании IBM использовали восьмеричную систему. В компьютерах, размер машинного которых кратен тройке, очень удобно использовать систему с основанием восемь, поскольку всегда все биты из слова можно представить в виде целого количества цифр в восьмеричной системе. Например, слово из 24-х бит, можно записать в виде 8-ми восьмеричных чисел.

    Если говорить про использование восьмеричной системы в жизни людей, то известно, что в индейских языках Юки (Калифорния) и Паме (Мексика) использовалась данная система. Индейцы считали предметы не по количеству пальцев на руках, а по количеству промежутков между ними.

    Системы счисления

    Система счисления – способ представления чисел, опирающийся на некоторое число п знаков, называемых цифрами. Число, равное количеству знаков п, употребляемых для обозначения количества единиц каждого разряда, называется основанием системы счисления.

    Происхождение наиболее распространенной десятичной системы связано с пальцевым счетом. Существовавшая в Древнем Вавилоне шестидесятиричная система осталась в делении часа и градуса угла на 60 минут и минут – на 60 секунд. В России до XVIII в. существовала десятичная система счисления, основанная на буквах алфавита а, в, г. с чертой над буквой (от греческих букв: альфа, бета, гамма).

    Современная десятичная система основана на десяти цифрах, начертание которых 0, 1, 2, . 9 сформировалось в Индии к V в. н.э. и пришло в Европу с арабскими рукописями («арабские цифры»). Двоичная система использует две цифры: 0 и 1. Шестнадцатиричная система использует 16 символов: 0, 1, 2, . 29, А, В, С, D, E, F. Эти системы счисления называются позиционными, так как значение каждой цифры числа определяется по ее месту (позиции, разряду) в ряду чисел, составляющих данное число. Позиция отсчитывается справа налево; так, в десятичной системе: нулевой разряд – разряд единиц, первый разряд – разряд десятков, второй разряд – разряд сотен, потом тысячи и т.д.

    В непозиционных системах счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.

    Например, 1 – I, 2 – II, 5 – IIIII.

    Римская система счисления (I, II, III, IV, V) является смешанной, так как значение каждой цифры частично зависит от ее места (позиции) в числе. Например, IV – это 4 = 5-1, а VI – это 6 = 5 + 1.

    В десятичной системе каждый разряд может показать одно из 10 значений (цифру 0, 1, 2, . 9). Чтобы в десятичной системе записать следующее за девяткой число, добавляют слева новый разряд и ставят в его позицию цифру 1, после нее ноль и получается 10, т.е. десять. Два разряда в десятичной системе позволяют записать сто чисел: от 0 до 99, потом придется дописывать новый разряд для числа 100.

    Цифры десятичного числа определяют число по основанию системы счисления и по нумерации разрядов с помощью, например, такой формулы: 256 = 2 • 102 + 5 • 101 + 6 • 100, где значение цифры умножается на 10 в степени «разряд цифры». В числе 256 цифра 2 стоит во втором разряде и означает две сотни, поэтому умножается на 102; цифра 5 стоит в первом разряде, означает 5 десятков и умножается на 101; цифра 6 стоит в нулевом разряде и умножается на 1, т.е. на 100.

    Двоичная система счисления

    В двоичной системе числом в один разряд можно записать только два значения: 0 или 1, и все – возможности разряда кончились. Два разряда в двоичном числе позволяют записать четыре разных числа, а три разряда – восемь чисел. Увеличивая разрядность цифр в числе до N разрядов, можно в двоичной системе описать 2х разных чисел, сосчитать 2х объектов.

    Пусть в системе счисления с основанием р записано четырехзначное число х, цифры в котором обозначим знаками с индексом внизу α3α2α1α0. Здесь а0 – знак (цифра) для нулевого разряда, a1 – для первого разряда и т.д.

    Число можно представить выражением

    Сравним запись десятичного числа 1946 = 1 • 103 + 9 • 102 + 4 • 101 + 6 • 100 и двоичного 1010 = 1 • 23 + 0 • 22 + 1 • 21 + 0 • 20. Показатель степени, в которую необходимо возвести основание р исходной системы счисления, совпадает с номером соответствующей позиции.

    Так как компьютер использует двоичную систему счисления, в нем важную роль играют и часто упоминаются числа, служащие степенью числа 2, например: 8 (23), 64 (26), 128 (27), 256 (28). Самое большое 8-разрядное число с восемью двоичными единицами 11111111 = 1 • 27 + 1 • 26 + 1 • 25 + 1 • 24 + 1 • 23 + 1 • 22 + 1•21 + 1•20 равно десятичному числу 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255. Вместе с нулем получается как раз 256 целых чисел, что равно 28.

    Шестнадцатиричная система – система чисел по основанию 16, использующая цифры от 0 до 9 и прописные или строчные буквы латинского алфавита от А (эквивалент десятичного числа 10) до F (эквивалент десятичного числа 15). То есть в шестнадцатиричной системе счисления знаки-цифры – 0, 1, 2, 9, А, В, С, D, E, F. Число в двоичной системе разбивается на группы по четыре двоичных знака. Одна группа дает 24 = 16 комбинаций. Десятичное число 396 в двоичной системе обозначается как 110001100, а в шестнадцатиричной системе как 18С. Соответствие десятичных, двоичных и шестнадцатиричных чисел показано в табл. 1.1.

    Шестнадцатиричная система счисления применяется для обозначений адресов ячеек оперативной памяти компьютера, оттенков цвета и дает не такие длинные ряды цифр,

    Соответствие чисел: десятичные, двоичные, шестнадцатиричные

    Системы счисления используемые в компьютере

    Системы счисления

    Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

    Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

    В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

    В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.


    Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

    700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 —1 = 757,7.

    Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

    Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

    За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

    an-1 q n-1 + an-2 q n-2 + . + a1 q 1 + a q 0 + a-1 q -1 + . + a-m q -m ,

    где ai — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

    4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

    В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

    Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

    Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

    Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

    Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

    Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

    Каждый электрик должен знать:  Как определить сечение провода по его диаметру таблица, видео, формулы

    · в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

    · в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

    · в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

    · в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

    Системы счисления используемые в компьютере

    Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

    · двоичная (используются цифры 0, 1);

    · восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);

    · шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

    Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

    10-я 2-я 8-я 16-я
    10-я 2-я 8-я 16-я
    A
    B
    C
    D
    E
    F

    Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

    Немного о десятичной и двоичной системах счисления

    Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

    А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

    · для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;

    · представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

    · возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;

    · двоичная арифметика намного проще десятичной.

    Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

    Сложение

    Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

    Сложение в двоичной системе Сложение в восьмеричной системе

    Вычитание

    Пример 4.Вычтем единицу из чисел 102, 108 и 1016

    Пример 5.Вычтем единицу из чисел 1002, 1008 и 10016.

    Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

    Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

    10001101,12 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

    215,48 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

    8D,816 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

    Умножение

    Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных чисел необходимо заимствовать из соответствующих рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

    Умножение в двоичной системе Умножение в восьмеричной системе

    Ввиду чрезвычайной простоты таблицы умножения в двоичной системе, умножение сводится лишь к сдвигам множимого и сложениям.

    Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

    Ответ: 5 . 6 = 3010 = 111102 = 368.

    Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

    111102 = 2 4 + 2 3 + 2 2 + 2 1 = 30;

    368 = 3 . 8 1 + 6 . 8 0 = 30.

    Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

    Ответ: 115 . 51 = 586510 = 10110111010012 = 133518.

    Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду:

    10110111010012 = 2 12 + 2 10 + 2 9 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 0 = 5865;

    133518 = 1 . 8 4 + 3 . 8 3 + 3 . 8 2 + 5 . 8 1 + 1 . 8 0 = 5865.

    Деление

    Деление в любой позиционной системе счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

    Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

    Ответ: 30 : 6 = 510 = 1012 = 58.

    Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

    Восьмеричная: 133518 :1638

    Ответ: 5865 : 115 = 5110 = 1100112 = 638.

    Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

    1100112 = 2 5 + 2 4 + 2 1 + 2 0 = 51; 638 = 6 . 8 1 + 3 . 8 0 = 51.

    Пример 11.Разделим число 35 на число 14.

    Восьмеричная: 438 : 168

    Ответ: 35 : 14 = 2,510 = 10,12 = 2,48.

    Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду:

    10,12 = 2 1 + 2 -1 = 2,5;

    2,48 = 2 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 2,5.

    Целые числа без знака

    Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 000000002 до 111111112. В двубайтовом формате — от 00000000 000000002 до 11111111 111111112.

    Примеры:

    а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате:

    б) это же число в двубайтовом формате:

    в) число 65535 в двубайтовом формате:

    Целые числа со знаком

    Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа.

    Сложение и вычитание

    В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

    Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

    1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю. Например:

    Получен правильный результат.

    2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

    Получен правильный результат в обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111 = -710.

    3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

    Компьютер исправляет полученный первоначально неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

    4. А и В отрицательные. Например:

    Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -1110 вместо обратного кода числа -1010) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010 = -1010.

    При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

    5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2 n-1 , где n – количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2 n-1 = 27 = 128). Например:

    Семи разрядов цифровой части числового формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (16210 = 101000102), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

    6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2 n-1 . Например:

    Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки.

    Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

    1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

    2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например:

    Получен правильный результат в дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = -710.

    3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А. Например:

    Получен правильный результат. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

    4. А и В отрицательные. Например:

    Получен правильный результат в дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

    Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

    Сравнение рассмотренных форм кодирования целых чисел со знаком показывает:

    · на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;

    · время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

    Умножение и деление


    Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат.

    Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

    Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.

    Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя.

    Сложение и вычитание

    При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

    В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается на единицу.

    В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

    Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 . 2 -1 и 0.11011 . 2 10 . Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

    Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101 . 2 10 и 0.11101 . 2 1 . Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

    Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы:
    0.1101 . 2 0 .

    Умножение

    При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

    Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

    (0.11101 . 2 101 ) . (0.1001 . 2 11 ) = (0.11101 . 0.1001) . 2 (101+11) = 0.100000101 . 2 1000 .

    Деление

    При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

    Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

    0.1111 . 2 100 : 0.101 . 2 11 = (0.1111 : 0.101) . 2 (100-11) = 1.1 . 2 1 = 0.11 . 2 10 .

    Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

    Системы счисления

    Система счисления — это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.

    Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.

    В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти.

    В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы.

    Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

    700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 . 10 2 + 5 . 10 1 + 7 . 10 0 + 7 . 10 —1 = 757,7.

    Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

    Основание позиционной системы счисления — количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

    За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основанием q означает сокращенную запись выражения

    an-1 q n-1 + an-2 q n-2 + . + a1 q 1 + a q 0 + a-1 q -1 + . + a-m q -m ,

    где ai — цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.

    4.2. Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

    В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

    Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

    Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

    Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:

    Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

    Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

    · в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

    · в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

    · в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

    · в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

    Системы счисления используемые в компьютере

    Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:

    · двоичная (используются цифры 0, 1);

    · восьмеричная (используются цифры 0, 1, . 7);

    · шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, . 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

    Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел:

    10-я 2-я 8-я 16-я
    10-я 2-я 8-я 16-я
    A
    B
    C
    D
    E
    F

    Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

    Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

    Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

    Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

    Системы счисления чисел

    В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

    Под позиционной системой счисления обычно понимается -ричная система счисления, которая определяется целым числом 1″ border=»0″ />, называемым основанием системы счисления. Целое число без знака в -ричной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа :

    , где — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству .

    Каждая степень в такой записи называется весовым коэффициентом разряда. Старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя (номером разряда). Обычно, в ненулевых числах , левые нули опускаются.

    Если не возникает разночтений (например, когда все цифры представляются в виде уникальных письменных знаков), число записывают в виде последовательности его -ричных цифр, перечисляемых по убыванию старшинства разрядов слева направо:

    Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

    Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

    В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

    Смешанные системы счисления

    Смешанная система счисления является обобщением -ричной системы счисления и также зачастую относится к позиционным системам счисления. Основанием смешанной системы счисления является возрастающая последовательность чисел , и каждое число в ней представляется как линейная комбинация:

    , где на коэффициенты , называемые как и прежде цифрами, накладываются некоторые ограничения.

    Записью числа в смешанной системе счисления называется перечисление его цифр в порядке уменьшения индекса , начиная с первого ненулевого.

    В зависимости от вида как функции от смешанные системы счисления могут быть степенными, показательными и т. п. Когда для некоторого , смешанная система счисления совпадает с показательной -ричной системой счисления.

    Наиболее известным примером смешанной системы счисления является представление времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. При этом величина « дней, часов, минут, секунд» соответствует значению секунд.

    Факториальная система счисления

    В факториальной системе счисления основаниями являются последовательность факториалов , и каждое натуральное число представляется в виде:

    Факториальная система счисления используется при декодировании перестановок списками инверсий: имея номер перестановки, можно воспроизвести её саму следующим образом: число, на единицу меньшее номера (нумерация начинается с нуля) записывается в факториальной системе счисления, при этом коэффициент при числе i! будет обозначать число инверсий для элемента i+1 в том множестве, в котором производятся перестановки (число элементов меньших i+1, но стоящих правее его в искомой перестановке)

    Пример: рассмотрим множество перестановок из 5 элементов, всего их 5! = 120 (от перестановки с номером 0 — (1,2,3,4,5) до перестановки с номером 119 — (5,4,3,2,1)), найдём 101-ую перестановку: 100 = 4!*4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; положим ti — коэффициент при числе i!, тогда t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 , тогда: число элементов меньших 5, но стоящих правее равно 4; число элементов меньших 4, но стоящих правее равно 0; число элементов меньших 3, но стоящих правее равно 2; число элементов меньших 2, но стоящих правее равно 0 (последний элемент в перестановке «ставится» на единственное оставшееся место) — таким образом, 101-я перестановка будет иметь вид: (5,3,1,2,4) Проверка данного метода может быть осуществлена путём непосредственного подсчёта инверсий для каждого элемента перестановки.

    Фибоначчиева система счисления

    Фибоначчиева система счисления основывается на числах Фибоначчи. Каждое натуральное число в ней представляется в виде:

    , где — числа Фибоначчи, , при этом в коэффициентах есть конечное количество единиц и не встречаются две единицы подряд.

    Непозиционные системы счисления

    В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

    Биномиальная система счисления

    Система остаточных классов (СОК)

    Представление числа в системе остаточных классов основано на понятии вычета и китайской теореме об остатках. СОК определяется набором взаимно простых модулей с произведением так, что каждому целому числу из отрезка ставится в соответствие набор вычетов , где

    При этом китайская теорема об остатках гарантирует однозначность представления для чисел из отрезка .

    В СОК арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) выполняются покомпонентно, если про результат известно, что он является целочисленным и также лежит в .

    Недостатками СОК является возможность представления только ограниченного количества чисел, а также отсутствие эффективных алгоритмов для сравнения чисел, представленых в СОК. Сравнение обычно осуществляется через перевод аргументов из СОК в смешанную систему счисления по основаниям .

    Система счисления Штерна–Броко

    Система счисления Штерна–Броко — способ записи положительных рациональных чисел, основанный на дереве Штерна–Броко.

    Системы счисления разных народов

    Единичная система счисления

    По-видимому, хронологически первая система счисления каждого народа, овладевшего счётом. Натуральное число изображается путём повторения одного и того же знака (чёрточки или точки). Например, чтобы изобразить число 26, нужно провести 26 чёрточек (или сделать 26 засечек на кости, камне и т.д.). Впоследствии, ради удобства восприятия больших чисел, эти знаки группируются по три или по пять. Затем равнообъёмные группы знаков начинают заменяться каким-либо новым знаком — так возникают прообразы будущих цифр.

    Древнеегипетская система счисления

    Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. Для обозначения чисел 0, 1, 10, 10², 10³, 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 использовались специальные цифры. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из цифр повторялась не более девяти раз. Значение числа равно простой сумме значений цифр, участвующих в его записи. [2]

    Вавилонская система счисления

    Алфавитные системы счисления

    Алфавитными системами счисления пользовались древние армяне, грузины, греки (ионическая система счисления), арабы (абджадия), евреи (см. гематрия) и другие народы Ближнего Востока. В славянских богослужебных книгах греческая алфавитная система была переведена на буквы кириллицы. [2]

    Еврейская система счисления

    Еврейская система счисления в качестве цифр использует 22 буквы еврейского алфавита. Каждая буква имеет своё числовое значение от 1 до 400 (см. т. ж. Гематрия). Ноль отсутствует. Цифры, записанные таким образом, наиболее часто можно встретить в нумерации лет по иудейскому календарю.

    Греческая система счисления

    Этот раздел не завершён.

    Римская система счисления

    Каноническим примером почти непозиционной системы счисления является римская, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
    I обозначает 1,
    V — 5,
    X — 10,
    L — 50,
    C — 100,
    D — 500,
    M — 1000

    Например, II = 1 + 1 = 2
    здесь символ I обозначает 1 независимо от места в числе.

    На самом деле, римская система не является полностью непозиционной, так как меньшая цифра, идущая перед большей, вычитается из неё, например:

    IV = 4, в то время как:
    VI = 6

    Система счисления майя

    Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчётов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году.

    Для записи основными знаками были точки (единицы) и отрезки (пятёрки).

    Кипу инков

    Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы [3] , так и не числовых записей в двоичной системе кодирования [4] . В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных [5] . Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта как двойная запись [6] .

    См. также

    Примечания


    1. Унарная система условно может рассматриваться как позиционная, хотя по сути таковой не является.
    2. 12Системы счисления. Как считали в Древней Руси. Алфавитные системы счисления.
    3. Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — ISBN 0-88029-595-3
    4. Experts ‘decipher’ Inca strings. Архивировано из первоисточника 18 августа 2011.
    5. Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. — стр.49.
    6. Dale Buckmaster (1974). «The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis». Journal of Accounting Research12 (1): 178-181. Проверено 2009-12-24.

    Ссылки

    • Гашков С. Б.Системы счисления и их применение. — М .: МЦНМО, 2004. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
    • Фомин С. В.Системы счисления. — М .: Наука, 1987. — 48 с. — (Популярные лекции по математике).
    • Яглом И.Системы счисления // Квант. — 1970. — № 6. — С. 2-10.
    • Цифры и системы счисления. Онлайн Энциклопедия Кругосвет.
    • Стахов А.Роль систем счисления в истории компьютеров.
    • Микушин А. В. Системы счисления. Курс лекций «Цифровые устройства и микропроцессоры»
    • Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems В статье рассмотрены системы счисления, использующие цифры больше единицы и допускающие избыточность в представлении чисел

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое «Система счисления» в других словарях:

    Система счисления — способ отображения чисел и правила действий над ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. См. также: Системы счисления Данные Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

    СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ — (1) пути система непрерывного автоматического (или вручную штурманом) учёта фактического перемещения летательного аппарата, корабля млн. управляемых средств поражения под воздействием собственных движителей и внешних факторов (ветра, воздушных и… … Большая политехническая энциклопедия

    система счисления — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?gloss >Справочник технического переводчика

    система счисления — ▲ код ↑ множество, целое число система счисления система обозначения для представления чисел; способ записи чисел; кодировка чисел. цифра знак, обозначающий целое число. цифирь (устар). римские цифры. арабские цифры: ноль. один. два. три. четыре … Идеографический словарь русского языка

    Система счисления — совокупность символов и правил написания чисел (см., например, Римские цифры). В практике людей наибольшее распространение получила десятичная система счисления. В вычислительной (компьютерной) технике применяются также двоичная, восьмиричная и… … Начала современного естествознания

    система счисления — skaičių sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. number representation system; number system; numbering system; numeral system; numeration system; numerical system; scale vok. Zahlendarstellungssystem, n; Zahlensystem, n rus.… … Automatikos terminų žodynas

    система счисления остаточных классов — система счисления в остатках — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом Синонимы система счисления в остатках EN res >Справочник технического переводчика

    система счисления с отрицательным основанием — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN negative base number representation system … Справочник технического переводчика

    система счисления с постоянным основанием — — [http://www.iks media.ru/glossary/index.html?gloss >Справочник технического переводчика

    система счисления с простыми основаниями — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN non consistently based number system … Справочник технического переводчика

    Информатика

    Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе счисления числа записываются с помощью двух символов: 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера.

    Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел.

    Пример: 1001 + 10 = 1011

    Пример: 1111101 — 10001 = 1101100

    Пример: 1111 · 1001 = 10000111

    Перевод чисел.

    Для перевода десятичного числа в двоичное надо разделить его на 2 и собрать остатки, начиная с последнего частного.

    Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо это число представить в виде суммы произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие цифры в разрядах двоичного числа.

    Пример: требуется перевести двоичное число 10110110 в десятичное. В этом числе 8 цифр и 8 разрядов ( разряды считаются, начиная с нулевого, которому соответствует младший бит). Представим его в виде суммы степеней с основанием 2: 101101102 = (1·2 7 )+(0·2 6 )+(1·2 5 )+(1·2 4 )+(0·2 3 )+(1·2 2 )+(1·2 1 )+(0·2 0 ) = 128+32+16+4+2 = 18210

    Тема 3.5.1 Запись чисел в десятичной системе счисления

    1. Человеку часто приходится иметь дело с числами, поэтому надо уметь правильно записывать числа и производить над ними действия. В настоящее время используется повсеместно способ записи числа в десятичной системе счисления. Изучение этой темы начинается в начальной школе.

    Определение. Система счисления – это язык для наименования, записи чисел и выполнения над ними действий.

    Способ «записи» чисел с помощью пальцев, узлов не слишком удобен, т.к. существуют слишком большие числа. Поэтому счет стали вести группами, состоящими из одинакового числа элементов (считали по2, по 3, по 5, по 10, по 20 – люди племени «майя»). В Древнем Вавилоне считали по 60 единиц (185 – это 3 раза по 60 и еще 5).

    Наибольшее распространение получила десятичная система записи чисел. Она берет свое начало от счета на пальцах. Возникла в Индии в VI веке. Старинные индийские цифры не всегда были такими. В России распространению десятичной системы способствовала книга педагога – математика Л.Ф. Магницкого, вышедшая в 1703 г на славянском языке. В ней выделено, что нумерация или счисление есть называние словами всех чисел, которые изображаются знаками 0,1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 9. 0 – не значащая цифра, если стоит одна.

    Существует 2 вида систем счисления: позиционная и непозиционная.

    Позиционная система счисления – если один и тот же знак может обозначать различные числа в зависимости от места (позиции) в записи числа.

    Примеры: шестидесятеричная вавилонская и десятичная системы счисления.

    Непозиционная система счисления – каждый знак обозначает одно и тоже число, независимо от места в записи числа.

    Пример: Римская система счисления: I – 1, V – 5, Х – 10 , L — 50 , C – 100, D – 500, M – 1000.

    а правила записи чисел заключаются в следующем:

    1) если знак, изображающий меньшее число, стоит после зна­ка, изображающего большее число, то производится сложение этих чисел:

    XXV = 10 + 10 + 5 = 25;

    MDCL = 1000 + 500 + 100 + 50 = 1650;

    2) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед зна­ком, изображающим большее число, то производится вычита­ние:

    CDIV = 500 — 100 + 5 — 1 = 404;

    CMXL = 1 000 — 100 + 50 — 10 = 940.

    IV – 4. XC – 90, 193 –( сто + сто без десяти + три) — CXCIII

    564 – (500 + 50 + 10 + 4) – DLXIV

    2708 – (1000 + 1000 + 500 +100 + 100 + 5 +3) – MMDCCVIII

    Для более больших чисел используют букву m слева записи тысяч, справа сотни, десятки, единицы.

    133842 – CXXXIII m DCCCXLII

    В России до XVII века в основном употреблялась славянская нумерация, тоже непозиционная. Выполнять действия сложно, хотя числа записывать легче, чем с помощью узелков. Поэтому на смену пришла десятичная система счисления.

    2. Запись чисел в десятичной системе счисления

    Определение. Десятичной записью натурального числа х называется его представление в виде:

    Коротко:

    Пример: 3745 = 3*10 3 + 7*10 2 + 4*10 1 + 5

    Если , то числа 1, 10, 10 2 …., 10 n называются разрядными единицами (первого, второго , … разряда), причем 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего (высшего) разряда.

    Три первых разряда – I класс – единиц (единицы, десятки, сотни);

    Три следующих разряда – II класс – тысяч (единицы, десятки, сотни);

    III класс – миллионов (единицы, десятки, сотни);

    В 10 – чной системе всем числам можно дать имя. За основу названия первых 10 чисел, путем прибавления других немногих слов получаются другие: 11 – 1 на 10, 20 – 2 десятка и т. д.

    Миллион — 10 6 , миллиард — 10 9 , биллион (миллион миллионов) – 10 12 , триллион – 10 15 , квадриллион – 10 18 и т.д. Чтобы получить название всех натуральных чисел в пределах миллиарда потребуется только 16 различных слов: 1, 2, 3, …,9, 10, 40, 90, 100, 1000, миллион, миллиард, остальные составляются на основе их.

    Десятичной записью натурального числа считают сумму разрядных слагаемых

    3745 = 3*10 3 + 7*10 2 + 4*10 1 + 5.

    3. Алгоритм арифметических действий.

    А) Сложение. + 341

    341 + 7238 = (3*10 2 + 4*10 1 + 1) + (7*10 3 + 2*10 2 + 3*10 1 + 8)= на основе коммутативного свойства сложения и ассоциативного свойства = 7*10 3 + (3*10 2 +2*10 2 )+ (4*10 1 +3*10 1 ) +(1 + 8)= дистрибутивного свойства относительно сложения = 7*10 3 + (3+2)10 2 + (4 +3)10 1 +(1 + 8) = … = 7579

    Типовые примеры

    Пример 7.1. Определим, сколько единиц и какого разряда содержится в числе х, а также, сколько в этом числе всего це­лых: единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен ты­сяч, если: а) х = 50 208; б) х = 123 745.

    Решение, а) В числе 50 208 содержится 8 единиц, 2 единицы
    сотен (2 сотни), 5 единиц десятков тысяч (5 десятков тысяч).
    В этом числе всего целых: единиц — 50 208;

    десятков — 5 020;
    сотен — 502;
    тысяч — 50;
    десятков тысяч — 5.

    б) В числе 123 745 содержатся 5 единиц, 4 единицы десятков (4 десятка) , 7 единиц сотен (7 сотен), 3 единицы тысяч (3 ты­сячи), 2 единицы десятков тысяч (2 десятка тысяч) и 1 единица сотен тысяч (1 сотня тысяч).

    В этом числе всего целых: единиц — 123 745;

    десятков — 12 374; сотен — 1 237;

    десятков тысяч — 12;

    Пример 7.2. Прочитаем записанные ниже числа и укажем, какие разрядные единицы и каких классов в них отсутствуют: а) 5 126 070 309; б) 10 698 500 770 032.

    Решение, а) Число 5 126 070 309 читается как «пять милли­ардов сто двадцать шесть миллионов семьдесят тысяч триста девять». В нем отсутствуют единицы десятков (класс единиц); единицы тысяч и сотен тысяч (класс тысяч).

    б) Число 10 698 500 770 032 читается как «десять триллио­нов шестьсот девяносто восемь миллиардов пятьсот миллионов семьсот семьдесят тысяч тридцать два». В нем отсутствуют еди­ницы сотен (класс единиц); единицы тысяч (класс тысяч); еди­ницы миллионов и десятков миллионов (класс миллионов); еди­ницы триллионов(класс триллионов).

    Системы счисления чисел

    Способы перевода чисел из одной системы счисления в другую.

    Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод целых чисел.

    Чтобы перевести целое число из одной системы счисления с основанием d1 в другую с основанием d2 необходимо последовательно делить это число и получаемые частные на основание d2 новой системы до тех пор, пока не получится частное меньше основания d2. Последнее частное – старшая цифра числа в новой системе счисления с основанием d2, а следующие за ней цифры — это остатки от деления, записываемые в последовательности, обратной их получению. Арифметические действия выполнять в той системе счисления, в которой записано переводимое число.

    Пример 1. Перевести число 11(10) в двоичную систему счисления.

    Пример 2. Перевести число 122(10) в восьмеричную систему счисления.

    Пример 3. Перевести число 500(10) в шестнадцатеричную систему счисления.

    Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую: перевод правильных дробей.

    Чтобы перевести правильную дробь из системы счисления с основанием d1 в систему с основанием d2, необходимо последовательно умножать исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание новой системы счисления d2. Правильная дробь числа в новой системе счисления с основанием d2 формируется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.
    Если при переводе получается дробь в виде бесконечного или расходящегося ряда, процесс можно закончить при достижении необходимой точности.

    При переводе смешанных чисел, необходимо в новую систему перевести отдельно целую и дробную части по правилам перевода целых чисел и правильных дробей, а затем оба результата объединить в одно смешанное число в новой системе счисления.

    Пример 1. Перевести число 0,625(10) в двоичную систему счисления.

    Пример 2. Перевести число 0,6(10) в восьмеричную систему счисления.

    Пример 2. Перевести число 0,7(10) в шестнадцатеричную систему счисления.

    Перевод двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в десятичную систему счисления.

    Для перевода числа P-ичной системы в десятичную необходимо использовать следующую формулу разложения:
    аnan-1…а1а0=аnPn+ аn-1Pn-1+…+ а1P+a0 .

    Пример 1. Перевести число 101,11(2) в десятичную систему счисления.

    Пример 2. Перевести число 57,24(8) в десятичную систему счисления.

    Ответ: 57,24(8) = 47,3125(10) .

    Пример 3. Перевести число 7A,84(16) в десятичную систему счисления.

    Ответ: 7A,84(16)= 122,515625(10) .

    Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему счисления и обратно.

    Для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой).

    Пример: записать число 16,24(8) в двоичной системе счисления.

    Ответ: 16,24(8)= 1110,0101(2) .

    Примечание: незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записываются.

    Для обратного перевода двоичного числа в восьмеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на триады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.

    Пример: записать число 1110,0101(2) в восьмеричной системе счисления.

    Ответ: 1110,0101(2)= 16,24(8) .

    Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать четырехразрядным двоичным числом (тетрадой).

    Пример: записать число 7A,7E(16) в двоичной системе счисления.

    Ответ: 7A,7E(16)= 1111010,0111111(2) .

    Примечание: незначащие нули слева для целых чисел и справа для дробей не записываются.

    Для обратного перевода двоичного числа в шестнадцатеричную систему счисления, необходимо исходное число разбить на тетрады влево и вправо от запятой и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняют нулями.

    Пример: записать число 1111010,0111111(2) в шестнадцатеричной системе счисления.

    Ответ: 1111010,0111111(2)= 7A,7E(16) .

    Какие системы счисления существуют?

    В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен. Такая система счисления основывается на том, что некоторое число n единиц (основание системы счисления) объединяется в одну единицу второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу третьего разряда и т. д. Основанием системы счисления может быть любое число, большее единицы.

    Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.
    К числу таких систем относится современная десятичная система счисления (с основанием n = 10), возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших ее у мусульман.
    Пример: Фибоначчиева система счисления, Факториальная система счисления, Биномиальная система счисления, Система счисления майя (Майя использовали 20-ричную систему счисления за одним исключением: во втором разряде было не 20, а 18 ступеней, то есть за числом (17)(19) сразу следовало число (1)(0)(0). Это было сделано для облегчения расчетов календарного цикла, поскольку (1)(0)(0) = 360 примерно равно числу дней в солнечном году. )

    Непозиционные системы счисления

    В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе. При этом система может накладывать ограничения на положение цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания.

    Добавить комментарий