Спектральная плотность сигнала, смещённого во времени

СОДЕРЖАНИЕ:

Теорема подобия.

Пусть 5(со) — спектральная плотность сигнала /(/). Сожмем сигнал/(/) во времени в т раз. При этом его спектральная плотность

Изменение спектральной плотности при сжатии импульса проиллюстрировано на рис. 1.16. Если т > 1, то график спектральной плотности расширяется в т раз и во столько же раз уменьшается по высоте. Иначе говоря, если длительность импульса уменьшается, то спектр его во столько же раз расширяется. Отсюда следует, что для формирования более короткого импульса требуются более высокочастотные составляющие.

Рис. 1.16. Импульс, сжатый во времени (я) и его спектральная плотность (б)

Рассуждая аналогично, можно сделать вывод, что уменьшение ширины спектра соответствует увеличению длительности импульса. Это происходит, например, при прохождении импульса через устройство с относительно небольшой полосой пропускания. При этом импульс сглаживается и его длительность увеличивается.

Спектральная плотность производной.

Пусть 5(ю) — спектральная плотность сигнала/(/)• Дифференцирование сигнала по времени соответствует умножению спектральной плотности на у’ю:

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает, сигнал как бы обостряется. Соответственно модуль спектральной плотности производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению со спектральной плотностью исходного сигнала.

Формулу (1.27) можно обобщить для производной п-го порядка:

Спектральная плотность интеграла. Если функция ?(/) равна производной от функции/(/), т.е. g(t) =

Теорема о спектре сигнала при изменении масштаба времени сигнала

Пусть сигнал fit) подвергается сжатию во времени. Новый сжатый сигнал fa(t) связан с исходным сигналом fit) соотношением fa

Длительность сигнала fa(t) в а раз меньше, чем исходного сигнала J ), т. е. а J ? f(t) =0, поэтому

Таким образом, спектр сигнала после его дифференцирования расширяется.

На рис. 3.10 приведена электрическая схема интегрирующей цепочки и временные диаграммы сигналов на входе и выходе.

Рис. 3.10. Интегрирующая цепочка (а) и временные диаграммы сигнача на входе и выходе (б) ): С — конденсатор, R- резистор

В литературе показано, что спектр сигнала /(/) после интегрирования определяется выражением

Из данного выражения следует, что спектр сигнала после его интегрирования суживается.

Литература (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Раздел 3. Сигналы с ограниченным спектром

Для восстановления сигнала по его спектру необходимо учитывать все составляющие с частотами, лежащими в интервале от нуля до бесконечности. Однако с физической точки зрения такая процедура принципиально неосуществима.

К тому же вклад спектральных составляющих при пренебрежимо мал в силу ограниченности энергии сигналов. Кроме того, любое реальное устройство, предназначенное для передачи и обработки сигналов, имеет конечную ширину полосы пропускания.

Поэтому на практике обычно используется математическая модель сигнала с ограниченным спектром. Сигналы, спектральная плотность которых отлична от нуля лишь в пределах некоторой полосы частот конечной протяжённости, называются сигналами с ограниченным спектром.

3.1. Некоторые математические модели сигналов с ограниченным спектром

1) Рассмотрим колебание с постоянной вещественной спектральной плотностью в пределах отрезка оси частот от до верхней граничной частоты , вне этого отрезка спектральная плотность сигнала обращается в нуль:

Мгновенное значение такого сигнала :

Спектральная плотность такого сигнала:

Такое колебание называется идеальным низкочастотным сигналом (ИНС). График ИНС, построенный по формуле (3.2) имеет вид осциллирующей кривой относительно отсчёта времени. С увеличением верхней граничной частоты спектра возрастают как центральный максимум, так и частота осцилляций.

ИНС более общего вида получается, если в формулу (3.1) ввести фазу спектральной плотности, линейно зависящую от частоты.

Спектральной плотности соответствует низкочастотный сигнал, смещённый во времени относительно сигнала (3.2) на секунд.

(3.4) ИНС является идеализированной выходной реакцией фильтра низких частот (ФНЧ), возбуждаемого колебанием с равномерной по частоте спектральной плотностью, т. е. дельта-импульсом.

2) Исследуем математическую модель сигнала, спектр которого ограничен полосами частот шириной каждая с центрами на частотах . Если в пределах этих полос спектральная плотность сигнала постоянна:

По аналогии с предыдущим данный сигнал будем называть идеальным полосовым сигналом (ИПС).

Мгновенные значения ИПС найдём, используя обратное преобразование Фурье:

Спектральная плотность ИПС:

Строя график ИПС, видим что наряду с высокочастотными осцилляциями на частоте наблюдается изменение во времени мгновенного значения их амплитуды. Функция с точностью до масштабного коэффициента играет роль медленной огибающей ИПС.

Теоретически возможный способ получения ИПС очевиден: на вход идеального полосового фильтра, пропускающего лишь колебания с частотами в пределах полосы , должно быть подано широкополосное воздействие вида дельта-импульса.

Свойство ограниченности спектра позволяет находить интересные и важные классы ортогональных сигналов. Простейший пример – два ортогональных полосовых сигнала, области существования спектра которых не пересекаются.

Менее очевидный способ ортогонализации сигналов с ограниченным спектром заключается в их временном сдвиге. Рассмотрим два идеальных низкочастотных сигнала и . Оба этих сигнала имеют одинаковые параметры и (см. формулу 3.2), однако сигнал запаздывает по отношению к на время , так что его спектральная плотность . Скалярное произведение этих сигналов, вычисленное через спектральные плотности.

Скалярное произведение обращается в нуль и два одинаковых по форме ИНС оказываются ортогональными, если временной сдвиг удовлетворяет условию.

Минимально возможный сдвиг приводящий к ортогонализации, получается при :

График двух идеальных низкочастотных сигналов:

В момент времени, когда один из сигналов достигает максимума, другие сигналы из данного семейства проходят через нуль.

3.2 Теорема Котельникова

Эта теорема (доказана академиком в 1933 г.), устанавливает возможность сколь угодно точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром, исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени.

Любые два сигнала с ограниченным спектром, принадлежащие семейству (3.9)

являются ортогональными если установить сдвиг

Путём соответствующего выбора амплитудного множителя А можно добиться того, чтобы норма каждого из этих сигналов стала единичной. В результате будет построен ортонормированный базис, позволяющий разложить произвольный сигнал с ограниченным спектром в обобщённый ряд Фурье. Из семейства функции достаточно рассмотреть лишь функцию при k=0.

так как норма любого сигнала одинакова независимо от сдвига во времени. Определим квадрат нормы и проинтегрируем по t.

Функции будут ортонормированными, если:

Бесконечная совокупность функций.

образует базис Котельникова в линейном пространстве низкочастотных сигналов со спектрами, ограниченными сверху значением . Отдельная функция называется k-той отсчётной функцией. Если произвольный сигнал, спектральная плотность которого отлична от нуля лишь в полосе частот то его можно разложить в обобщенный ряд Фурье по базису Котельникова:

Коэффициентами ряда служат, как известно, скалярные произведения разлагаемого сигнала и k-той отсчётной функции:

Удобный способ вычисления этих коэффициентов заключается в применении теоремы Планшереля. Легко проверить, что каждая отсчётная функция в пределах отрезка имеет спектральную плотность, равную .

Тогда, если — спектр излучаемого сигнала S(t), то по теореме Планшереля ,

Величина в фигурных скобках есть не что иное, как , т. е. мгновенное значение сигнала S(t) в каждой отсчётной точке (по аналогии с )

Откуда следует выражение ряда Котельникова:

Теорему Котельникова принято формулировать так: произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчётные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени с.

Важная особенность теоремы Котельникова состоит в её конструктивном характере: она не только указывает на возможность разложения сигнала в соответствующий ряд, но и определяет способ восстановления непрерывного сигнала, заданного своими отсчётными значениями.

Теорема Котельникова показывает возможность «цифровизации» непрерывных сообщений.

3.3. Узкополосные сигналы

Сигнал называется узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной П, образующих окрестности точек , причём должно выполняться условие .

Как правило, можно считать, что частота , называемая опорной частотой сигнала, совпадает с центральной частотой спектра.

Обе входящие функции и является низкочастотными, их относительное изменение за период высокочастотных колебаний достаточно малы. Функцию принято называть синфазной амплитудой узкополосного сигнала при заданном значении опорной частоты , а функцию — его квадратурной амплитудой.

Синфазную и квадратурную амплитуду можно выделить аппаратурным способом. Пусть имеется перемножающее устройство, на один из входов которого подан узкополосный сигнал , а на другой – вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону . На выходе перемножителя будет получен сигнал :

Пропустим выходной сигнал перемножителя через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с частотами порядка . Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное синфазной амплитуде .

Если на один из входов перемножителя подать вспомогательное колебание , то такая система будет выделять из узкополосного сигнала S(t) его квадратурную амплитуду .

С физической точки зрения узкополосные сигналы представляют собой квазигармонические колебания. Обобщим метод комплексных амплитуд, известный из электротехники на узкополосные сигналы вида (3.18).

Введём комплексную низкочастотную функцию:

называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала.

Формулу (3.19), определяющую комплексную огибающую, можно представить также в показательной форме:

Здесь — вещественная неотрицательная функция времени, называемая физической огибающей (часто для практики просто огибающей), — медленно изменяющаяся во времени начальная фаза узкополосного сигнала.

Величины , связаны с синфазной и квадратурной амплитудами соотношениями:

(3.21) Откуда вытекает ещё одна форма записи математической модели узкополосного сигнала:

Введём полную фазу узкополосного колебания и определим мгновенную частоту сигнала, равную производной по времени от полной фазы:

В соответствии с формулой (3.22) узкополосный сигнал общего вида представляет собой колебание, получающееся при одновременной модуляции несущего гармонического сигнала, как по амплитуде, так и по фазовому углу.

Используя равенства (3.21) физическую огибающую можно определить через синфазную и квадратурную амплитуды:

Комплексная огибающая узкополосного сигнала не определяется однозначно сигналом , а зависит также от выбора частоты .

Если обозначить через спектральную плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала S(t); который, в свою очередь, имеет спектральную плотность то нетрудно видеть что:

Таким образом, спектральная плотность узкополосного сигнала может быть найдена путём переноса спектра комплексной огибающей из окрестности нулевой частоты в окрестности точек . Амплитуды всех спектральных составляющих сокращаются вдвое; для получения спектра в области отрицательных частот используется операция комплексного сопряжения.

Формула (3.25) полезна тем, что по известному спектру узкополосного сигнала позволяет найти спектр его комплексной огибающей, (которая в свою очередь определяет физическую огибающую и мгновенную частоту сигнала).

3.4. Аналитический сигнал и преобразования Гильберта

Анализируя формулу обратного преобразования Фурье, приходим к выводу, что произвольный сигнал S(t) с известной спектральной плотностью можно записать как сумму двух составляющих, каждая из которых содержит или только положительные, или только отрицательные частоты:

аналитическим сигналом, отвечающим колебанию S(t). Первый из интегралов в правой части формулы (3.26) путём замены переменной преобразуется к виду:

Поэтому формула (3.26) устанавливает связь между сигналами S(t) и : (3.29)

или: — вещественная часть аналитического сигнала. Мнимая часть аналитического сигнала:

Называется сопряжённым сигналом по отношению к исходному колебанию S(t). Итак аналитический сигнал:

На комплексной плоскости этот сигнал отображается вектором, модуль и фазовый угол которого изменяются во времени. Проекция аналитического сигнала на вещественную ось в любой момент времени равна исходному сигналу S(t).

Исследуем спектральную плотность аналитического сигнала. Пусть

Если — спектральная плотность сопряжённого сигнала, то в силу линейности преобразования Фурье:

Спектральная плотности исходного и сопряжённого сигналов связаны между собой следующим образом:

Чтобы на практике получить сопряжённый сигнал, необходимо исходное колебание S(t) подать на вход некоторой системы, которая осуществляет поворот фаз всех спектральных составляющих на угол — в области положительных частот и на угол в области отрицательных частот, не изменяя по амплитуде. Формула (3.33) показывает, что спектральная плотность сопряжённого сигнала есть произведение спектра исходного сигнала и функции . В соответствии с обратной теоремой о свёртке сопряжённый сигнал представляет собой свёртку двух функций S(t) и f(t), которая является обратным преобразованием Фурье по отношении к функции .

Для удобства вычислений представим эту функцию в виде предела:

Таким образом сопряжённый сигнал связан с исходным сигналом соотношением:

Можно поступить и по иному, выразив сигнал S(t) через , который полагается известным. Для этого достаточно заметить, что из (3.33) вытекает следующая связь между спектральными плотностями.

Поэтому соответствующая формула будет отличаться от (3.35) лишь знаком:

Формулы (3.35) и (3.36) называются прямым и обратным преобразованием Гильберта.

Символическая запись его такова:

Функция называется ядром этих преобразований.

Свойства преобразований Гильберта.

1) Простейшее свойство – линейность. (3.38)

2) Сигнал, сопряжённый к константе, тождественно равен нулю: (3.39)

3) Важное свойство преобразования Гильберта состоит в следующем: если при каком-либо t исходный сигнал S(t) достигнет экстремума(максимума или минимума), то в окрестности этой точки сопряжённый сигнал проходит через нуль. Если исходный сигнал изменяется во времени «подобно косинусу», то сопряжённый с ним сигнал изменяется «подобно синусу».

4) Преобразования Гильберта имеют нелокальный характер: в общем случае поведение сопряженного сигнала в окрестности какой-либо точки, зависит от свойств исходного сигнала на всей оси времени.

Некоторые применения преобразований Гильберта

1) Преобразования Гильберта для гармонических сигналов (3.40)

2) Преобразования Гильберта для узкополосного сигнала.

Пусть известна функция — спектральная плотность комплексной огибающей узкополосного сигнала S(t) с опорной частотой . Согласно формуле (3.25), спектр данного сигнала.

Первое слагаемое в правой части соответствует области частот , второе . Тогда на основании формулы (3.33) спектр сопряжённого сигнала:

Откуда видно, что спектральная плотность комплексной огибающей сопряжённого сигнала.

Сопряжённый сигнал в данном случае так же является узкополосным. Если комплексная огибающая исходного сигнала: , то в соответствии с равенством (3.42) комплексная огибающая сопряжённого сигнала равна и отличается от комплексной огибающей исходного колебания лишь наличием постоянного фазового сдвига на в сторону запаздывания.

Отсюда следует что узкополосному сигналу:

соответствует сопряжённый по Гильберту сигнал.

3) Преобразование Гильберта огибающей, полной фазы и мгновенной частоты.

В рамках метода преобразования Гильберта огибающая произвольного сигнала S(t) определяется как модуль соответствующего аналитического сигнала:

По определению полная фаза любого сигнала S(t) равна аргументу аналитического сигнала :

Мгновенная частота сигнала есть производная полной фазы по времени:

Зная аналитический сигнал можно определить огибающую и мгновенную частоту узкополосного сигнала, не применяя искусственное понятие опорной частоты. Кроме того, формулы (3.44, 3.45, 3.45) сохраняют смысл и применительно к сигналам произвольного вида.

Согласно методу преобразований Гильберта, огибающая и мгновенная частота сигнала жёстко связаны друг с другом и их нельзя выбрать произвольно.

Теория аналитического сигнала разработана выдающимся венгерским физиком Денешем Габором, лауреатом Нобелевской премии.

Раздел 4. Основы корреляционного анализа сигналов

4.1. Взаимная спектральная плотность сигналов. Энергетический спектр

Пусть имеется два вещественных сигнала U(t) и V(t). Назовём взаимным энергетическим спектром двух вещественных сигналов функцию (4.1)

Взаимный энергетический спектр — функция, принимающая в общем случае, комплексные значения:

где — чётная, а нечётная функция частоты. Вклад в интеграл даёт только вещественная часть, поэтому:

Последняя формула даёт возможность проанализировать взаимосвязь сигналов. Более того формула (4.5) указывает путь, позволяющий уменьшить связи между двумя сигналами, добившись в пределе их ортогональности. Для этого один из сигналов нужно подвергнуть обработке частотным фильтром. К этому фильтру предъявляется требование не пропускать на выход спектральные составляющие, находящиеся в пределах частотного интервала, где вещественная часть взаимного энергетического спектра велика. Частотная зависимость к-та передачи такого сигнала ортогонализирующего фильтра будет обладать резко выраженным минимумом в пределах указанной области частот.

Если в формуле (4.1) сигналы U(t) и V(t) считать одинаковыми то эта формула приобретает вид:

Величина носит название спектральной плотности энергии сигнала U(t) или, короче, его энергетического спектра. Формула равенства Парсеваля при этом запишется так:

Подход, основанный на спектральном представлении энергии сигнала, выгодно отличается относительной простотой. Энергии, отвечающие различным областям частотной оси, складываются так же, как вещественные числа. Однако, изучая сигнал с помощью его энергетического спектра, мы неизбежно теряем информацию, которая заключается в фазовом спектре сигнала, поскольку в соответствии с формулой (4.6) энергетический спектр есть квадрат модуля спектральной плотности и не зависит от её фазы. Однако понятие энергетического спектра широко применяется для инженерных оценок, устанавливающих ширину спектра сигнала и копи:

4.2. Автокорреляционная функция сигналов

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала U(t) и его смещённой во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала U(t), равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

1) При автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

2) АКФ – функция чётна

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

АКФ прямоугольного видеоимпульса

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время T.

АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.8) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символом обозначена смещённая во времени копия сигнала .

Обратившись к теореме Планшереля – можно записать равенство:

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда . Таким образом приходим к результату

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно что имеется и обратное соотношение

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.12), (4.13) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Непериодические сигналы. Спектральная плотность.

Гармонический анализ периодических сигналов можно распространить и на непериодические сигналы, для которых S(tS(t+kT). Пусть непериодический сигнал задан на некотором интервале t1 t2t1. Тогда эту функцию можно разложить в ряд Фурье и найти коэффициенты a/2, an, bn. Устремив T®¥ (ведь исходная функция S(t) непериодическая), получим бесконечное множество гармоник, составляющий сплошной спектр (т. к. интервал между гармониками определяется величиной 1/ T) с бесконечно малыми амплитудами.

Используем комплексную форму записи разложения периодической функции в ряд Фурье

Подставим выражение для из (1.8) в соотношение (1.7),Ю тогда получим, что

Устремим T®¥ для того, чтобы периодическая функция стремилась к непериодической. При этом w®dw, nw®w – текущая координата, . Кроме того, пределы интегрирования расширим до . Если все эти изменения внести в выражение (1.9), то оно примет вид

Обозначим внутренний интеграл в выражении (1.10) через S(w), т. е. (1.11)

Это выражение носит название «спектральная плотность». Подставив в равенство (1.11) в соотношение (1.10), получим (1.12)

Выражения (1.11) и (1.12) называются прямым и обратным преобразованием Фурье. Сравнивая выражения (1.11) и (1.8) можно заключить, что выражение для амплитуд гармоник An периодического сигнала отличается от выражения для спектральной плотности сигнала только коэффициентом 2/Т: .

Таким образом, 2 получается путем деления амплитуды n-ой гармоники на интервал частот между соседними гармониками, поскольку . Отсюда следует, что спектральной плотностиможно придать смысл плотности амплитуд.

Спектральная плотность прямоугольного импульса.

В качестве примера рассмотрим спектральную плотность импульса прямоугольной формы (рис1.7 а).

В соответствии с определением спектральной плотности для импульса длительности t и амплитудой E будем иметь . Используя формулу Эйлера получим . Эта функция имеет вид показанный на рис. 1.7 б.

Спектральная плотность обращается в нуль когда , т. е. , k=1, 2, 3 …, откуда , и точки пересечения графика спектральной плотности с осью w есть ….

Импульсные сигналы. Основные параметры и характеристики.

ИМПУЛЬСНЫЙ СИГНАЛ – кратковрем. изменение физ. величины (поля, параметра материальной среды и т. п.). В зависимости от природы различают акустич., эл.-магн. (в т. ч. радио- и оптич.), электрич. и т. п. И. с. Осн. параметрами, определяющими свойства И. с., являются: длительность (протяжённость в пространстве), амплитуда — величина максимального отклонения от определ. уровня, длительность (протяжённость) фронта и среза (спада), скорость перемещения в среде. Повторяющиеся во времени И. с. характеризуютсяпериодом (пли частотой) повторения, а такжe скважностью, определяемой как отношение периода повторения к длительности импульса.

Дата добавления: 2020-05-12 ; просмотров: 226 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Фурье, преобразование. Быстрое преобразование Фурье. Дискретное преобразование Фурье. Преобразование фурье

Научившись вычислять спектральные плотности достаточно простых, но часто встречающихся импульсных сигналов, перейдем к систематическому изучению свойств преобразования Фурье.

Линейность преобразования Фурье.

Это важнейшее свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов причем то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

Здесь — произвольные числовые коэффициенты.

Для доказательства формулы (2.26) следует подставить сумму сигналов в преобразование Фурье (2.16).

Свойства вещественной и мнимой частей спектральной плотности.

Пусть — сигнал, принимающий вещественные значения. Его спектральная плотность в общем случае является комплексной:

Подставам это выражение в формулу обратного преобразования фурье (2.18):

Для того чтобы сигнал, полученный путем такого двукратного преобразования, оставался вещественным, необходимо потребовать, чтобы

Это возможно лишь в том случае, если вещественная часть спектральной плотности сигнала есть четная, а мнимая часть — нечетная функция частоты:

Спектральная плотность сигнала, смещенного во времени.

Предположим, что для сигнала известно соответствие Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчета времени, обозначим этот смещенный сигнал как Покажем, что

Доказательство очень простое. Действительно,

Модуль комплексного числа при любых равен единйце, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена в частотной зависимости аргумента его спектральной плотности (фазовом спектре).

Зависимость спектральной плотности сигнала от выбора масштаба измерения времени.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени t играет новая независимая переменная (k — некоторое вещественное число). Если то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же то сигнал «растягивается» во времени.

Оказывается, что если то

откуда следует формула (2.29).

Итак, для того чтобы, например, сжать сигнал во времени, сохраняя его форму, необходимо распределить те же спектральные составляющие в более широком интервале частот при соответствующем пропорциональном уменьшении их амплитуд.

К рассматриваемому здесь вопросу близко примыкает Следующая задача.

Дан импульс отличный от нуля на отрезке и характеризуемый спектральной плотностью Требуется иайти спектральную плотность «обращенного во времени» сигнала который представляет собой «зеркальную копию» исходного импульсного колебания. Поскольку очевидно, что то

Выполнив замену переменной находим, что

Спектральная плотность производной и неопределенного интеграла.

Пусть сигнал s(t) и его спектральная плотность заданы. Будем изучать новый сигнал и Поставим цель найти его спектральную плотность — .

Преобразование Фурье — линейная операция, значит, равенство (2.31) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Учитывая (2.28), получаем

Представляя экспоненциальную функцию рядом Тейлора: подставляя этот ряд в (2.32) и ограничиваясь первыми двумя членами, находим

При дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает. Как следствие модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем спектра исходного сигнала.

Формула (2.33) обобщается на случай спектра производной порядка. Легко доказать, что если , то

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель Поэтому принято говорить, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Рассмотренная функция является первообразной (неопределенным интегралом) по отношению к функции Из (2.33) формально следует, что спектр первообразной

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

Спектральная плотность сигнала на выходе интегратора.

Во многих радиотехнических устройствах находят применение так называемые интеграторы — физические системы, выходной сигнал которых пропорционален интегралу от входного воздействия. Рассмотрим конкретно интегратор, осуществляющий преобразование входного сигнала в выходной сигнал по следующему закону:

Здесь — фиксированный параметр.

Определенный интеграл, входящий в (2.36), равен, очевидно, разности двух значений первообразной сигнала одно из которых вычисляется при аргументе t, а другое — при аргументе . Используя соотношения (2.28) и (2.35), получаем формулу связи между спектральными плотностями сигналов на входе и выходе:

Сомножитель в скобках ограничен при любых частотах, в то же время модуль знаменателя линейно растет с увеличением частоты. Это свидетельствует о том, что рассматриваемый интегратор действует подобно фильтру нижних частот, ослабляя высокочастотные спектральные составляющие входного сигнала.

Свойствами преобразований Фурье определяется взаимное соответствие трансформации сигналов и их спектров.

1. Линейность. Преобразование Фурье относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a n s n (t) Û a n S n (w). (4.21)

Пример суммирования сигналов и его отображения в спектральной области на рис. 4.18.

Рис. 4.18. Сигналы и их спектры. s0(k)=s1(k)+s2(k) Û S1(w)+S2(w) = S0(w)

2. Свойства симметрии преобразования определяются косинусными (четными, действительными) и синусными (нечетными, мнимыми) частями разложения и подобием прямого и обратного преобразований.

На рис. 4.19. приведены примеры, поясняющие свойства четности преобразования. Сигнал s1(k) является четным, s1(k) = s1(-k), и имеет только вещественный четный спектр (мнимая часть спектральной функции представлена нулевыми значениями). Сигнал s2(k) = -s2(-k) нечетный и имеет мнимый нечетный спектр, а нулевыми значениями представлена его действительная часть. Сигнал s3(k) образован суммой сигналов s1(k) и s2(k). Соответственно, спектральная функция сигнала представлена и действительной четной частью (принадлежащей s1(k)), и мнимой нечетной частью (принадлежащей s2(k)). При обратном преобразовании Фурье раздельно действительной и мнимой части спектра S3(w), равно как и любых других комплексных спектров, будут раздельно восстановлены четная и нечетная части исходного сигнала.

Произвольный исходный сигнал может быть задан в одностороннем варианте (0-Т), но четная и нечетная части этого сигнала занимают интервал от –Т до Т, при этом на левой половине числовой оси (от –Т до 0) эти два сигнала компенсируют друг друга, давая нулевые значения.

Рис. 4.19. Свойства четности преобразования

3. Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее фурье-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля. Так, если s(t) Û S(w), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), т.е. для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем:

s(at) Ûs(at)exp(-jwt) dt = (1/a)s(x)exp(-jxw/a) dx

s(at) Û (1/a) S(w/a). (4.22″)

Выражение (4.22″) действительно при а>0. При а 1 ослабляет в амплитудном спектре высокие частоты и при w и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (2.29) имеет вид

Введя новую переменную интегрирования т = t — t c , получим

Итак, сдвиг исходного сигнала во времени на некоторый интервал t c приводит к тому, что спектр задержанного сигнала оказывается равен спектральной плотности 5j(co), умноженной на комплексную экспоненту Амплитудный же спектр сигнала не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен единице). При этом фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -со? с, линейно зависящее от частоты. На практике сдвиг исходного сигнала во времени осуществляют при аудио- и видеозаписи. Теорема запаздывания показывает, что сколько бы долго ни хранилась такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений.

3. Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Если S < (со) — спектральная плотность сигнала u < (t), то спектральная плотность S 2 (со + Q), полученная путем сдвига исходного спектра но оси частот на величину Q, соответствует сигналу u 2 (t) = jQt . Действительно, согласно формуле (2.29)

Это преобразование спектра импульсного сигнала применяют в системах связи либо при переносе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции. Формула (2.34) показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину Q, равную частоте сдвига.

4. Изменение масштаба времени. Пусть в исходном сигнале u x (t) изменен масштаб времени так, что аргумент t умножен на постоянный коэффициент b и u 2 (t) = u x (bt). Если b > 1, то происходит «сжатие» исходного сигнала; если же 0 b 1, то исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это.

Спектральная плотность измененного во времени сигнала

Введя новую переменную т = Ы , получим откуда

Увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в b раз сопровождается сжатием ширины его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьшение длительности сигнала приводит к расширению его спектра.

5. Спектр произведения сигналов (теорема о свертке спектров). Прежде чем определить данный спектр, введем важное для теории сигналов понятие свертки двух функций. Рассмотрим скалярное произведение двух функций /(?) и h(t):

Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Интеграл (2.35) в математике и теории цепей называют сверткой (англ, convolution) двух функций или сигналов (где * — знак операции свертки функций).

Пусть сигналы /(f) и h(t) имеют спектральные плотности /(со) и #(со) соответственно. Тогда их произведение u будет характеризовать спектральная плотность

При выводе формулы (2.36) сигнал /(f) выражен через его спектральную плотность F(со) с заменой переменной со на т.

Согласно формуле (2.36) спектральная плотность произведения двух сигналов есть свертка их спектральных плотностей (умноженная на 1/(2л)), т.е. свертка, осуществленная ужй в частотной области. Данное соотношение имеет чрезвычайно важное значение в теории связи. Оно связывает спектральный и временной подходы к анализу импульсных сигналов и служит для целей исследования прохождения подобных сигналов через линейные и линейно-параметрические цепи.

Нетрудно убедиться, что операция свертки коммутативна, т.е. допускает изменение порядка следования преобразуемых функций:

Теорема Рэлея и равенство Парсеваля. Приняв в фломуле (2.36) значение частоты со = 0, приходим к выводу известной в математике теоремы <обобщенной формулы ) Рэлея для сигналов

Здесь учтено соотношение (2.32), согласно которому //(-со) = Н*(со). Легко запоминающаяся трактовка формулы (2.37) такова: скалярное произведение двух непрерывных сигналов с точностью до коэффициента 1/(2тг) пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Формула Рэлея относится к классу обобщенных функций и обладает важным положением, касающимся спектральных свойств ряда неинтегрируе- мых сигналов.

При f(t) = h(t) = u(t) из теоремы Рэлея вытекает равенство Парсеваля

6. Умножение сигнала на гармоническую функцию. Умножим исходный непрерывный сигнал u(t)> спектральная плотность S(со) которого известна, на гармоническую функцию единичной амплитуды (для упрощения примем начальную фазу гармонического сигнала равной нулю): f(t) = u(t)cos($ 0 L

Каждый электрик должен знать:  Проверка автоматических выключателей напряжением до 1000 в

Посмотрим, что произошло со спектром при таком преобразовании:

Итак, спектр исходного сигнала при его умножении на гармоническую функцию «раздвоился» — распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня, чем исходный (1/2 перед каждым из слагаемых), смещенных на частоту сигнала ±со 0 соответственно влево (со — со 0) и вправо (со + со 0) по оси частот. Несложно показать, что если в гармоническом сигнале имеется начальная фаза ср 0 , то при нервом слагаемом в формуле (2.39) будет множитель e j% , а при втором — е

  • Джон Рэлей (J. Rayleigh, 1842-1919) — британский физик и механик.
  • Марк-Антуан Парссваль (Marc-Antoine Parseval dcs Chenes, 1755-1836) — французскийматематик.

Последние материалы раздела:

Каждый раз, узнав об организованном на работе осмотре у врачей, многие возмущаются: зачем это нужно? Очевидно, что это в корне неправильный подход.

Детское психоневрологическое отделение Детское ревматологическое отделение Клиника акушерства и гинекологии им. Снегирева Клиника болезней уха.

Одним из самых высокоточных и безопасных методов диагностики, применяемых в гинекологической практике, является ультразвуковое исследование органов.

© Рецепты для диабетиков. Правильное питание. Осложнения. Лекарства и препараты HENTAIXXX.RU , 2020

Все статьи, расположенные на сайте, несут лишь ознакомительный характер.

Спектральная плотность мощности детерминированного сигнала. Спектральная плотность стационарных процессов

Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

I. Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

Здесь — произвольные числовые коэффициенты.

II. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие. Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как. Введём замену переменной: . Тогда,

Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре.

III. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная (- некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0 , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ — нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность — [сигнал/частота].

9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.

10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.

Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте — к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S»(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s»(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S»(f) и s»(t) по их дискретным отсчетам соответствие S»(f) = S(f) и s»(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = NDf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме — не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине — отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(f n) º S n = s k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0 £ n £ N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).

Пример: На интервале Т= , N=100, задан дискретный сигнал s(k) = d(k-i) — прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формуле S(n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) с нумерацией по n от -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно, Dw=2p/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s»(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k= <0,99>этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.

а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);

б) помехи от промышленных установок;

в) атмосферные помехи (грозы, осадки);

г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;

д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.

Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо просто шумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называют мультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления как замирания .

Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .

Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.

11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.

1. Сигналы и спектры. Теоретические основы цифровой связи

1. Сигналы и спектры

1.1. Обработка сигналов в цифровой связи

1.1.1. Почему «цифровая»

Почему в военных и коммерческих системах связи используются «цифры»? Существует множество причин. Основным преимуществом такого подхода является легкость восстановления цифровых сигналов по сравнению с аналоговыми. Рассмотрим рис. 1.1, на котором представлен идеальный двоичный цифровой импульс, распространяющийся по каналу передачи данных. На форму сигнала влияют два основных механизма: (1) поскольку все каналы и линии передачи имеют неидеальную частотную характеристику, идеальный импульс искажается; и (2) нежелательные электрические шумы или другое воздействие со стороны еще больше искажает форму импульса. Чем протяженнее канал, тем существеннее эти механизмы искажают импульс (рис. 1.1). В тот момент, когда переданный импульс все еще может быть достоверно определен (прежде чем он ухудшится до неоднозначного состояния), импульс усиливается цифровым усилителем, восстанавливающим его первоначальную идеальную форму. Импульс «возрождается» или восстанавливается. За восстановление сигнала отвечают регенеративные ретрансляторы, расположенные в канале связи на определенном расстоянии друг от друга.

Цифровые каналы менее подвержены искажению и интерференции, чем аналоговые. Поскольку двоичные цифровые каналы дают значимый сигнал только при работе в одном из двух состояний — включенном или выключенном — возмущение должно быть достаточно большим, чтобы перевести операционную точку канала из одного состояния в другое. Наличие всего двух состояний облегчает восстановление сигнала и, следовательно, предотвращает накопление в процессе передачи шумов или других возмущений. Аналоговые сигналы, наоборот, не являются сигналами с двумя состояниями; они могут принимать бесконечное множество форм. В аналоговых каналах даже небольшое возмущение может неузнаваемо исказить сигнал. После искажения аналогового сигнала возмущение нельзя убрать путем усиления. Поскольку накопление шума неразрывно связано с аналоговыми сигналами, как следствие, они не могут воспроизводиться идеально. При использовании цифровых технологий очень низкая частота возникновения ошибок плюс применение процедур выявления и коррекции ошибок делают возможным высокую точность сигнала. Остается только отметить, что с аналоговыми технологиями подобные процедуры недоступны.

Рис.1.1. Искажение и восстановление импульса

Существуют и другие важные преимущества цифровой связи. Цифровые каналы надежнее и могут производиться по более низким ценам, чем аналоговые. Кроме того, цифровое программное обеспечение позволяет более гибкую реализацию, чем аналоговое (например, микропроцессоры, цифровая коммутация и большие интегральные схемы (large-scale integrated circuit — LSI)). Использование цифровых сигналов и уплотнения с временным разделением (time-division multiplexing — TDM) проще применения аналоговых сигналов и уплотнения с частотным разделением (frequency-division multiplexing — FDM). При передаче и коммутации различные типы цифровых сигналов (данные, телеграф, телефон, телевидение) могут рассматриваться как идентичные: ведь бит — это и есть бит. Кроме того, для удобства коммутации и обработки, цифровые сообщения могут группироваться в автономные единицы, называемые пакетами. В цифровые технологии естественным образом внедряются функции, защищающие от интерференции и подавления сигнала либо обеспечивающие шифрование или секретность. (Подобные технологии рассматриваются в главах 12 и 14.) Кроме того, обмен данными в основном производится между двумя компьютерами или между компьютером и цифровыми устройствами или терминалом. Подобные цифровые оконечные устройства лучше (и естественнее!) обслуживаются цифровыми каналами связи.

Чем же мы платим за преимущества систем цифровой связи? Цифровые системы требуют более интенсивной обработки, чем аналоговые. Кроме того, для цифровых систем необходимо выделение значительной части ресурсов для синхронизации на различных уровнях (см. главу 10). Аналоговые системы, наоборот, легче синхронизировать. Еще одним недостатком систем цифровой связи является то, что ухудшение качества носит пороговый характер. Если отношение сигнал/шум падает ниже некоторого порога, качество обслуживания может внезапно измениться от очень хорошего до очень плохого. В аналоговых же системах ухудшение качества происходит более плавно.

1.1.2. Типичная блочная диаграмма и основные преобразования

Функциональная блочная диаграмма, приведенная на рис. 1.2, иллюстрирует распространение сигнала и этапы его обработки в типичной системе цифровой связи (DCS). Верхние блоки — форматирование, кодирование источника, шифрование, канальное кодирование, уплотнение, импульсная модуляция, полосовая модуляция, расширение спектра и множественный доступ — отражают преобразования сигнала на пути от источника к передатчику. Нижние блоки диаграммы — преобразования сигнала на пути от приемника к получателю информации, и, по сути, они противоположны верхним блокам. Блоки модуляции и демодуляции/обнаружения вместе называются модемом. Термин «модем» часто объединяет несколько этапов обработки сигналов, показанных на рис. 1.2; в этом случае модем можно представлять как «мозг» системы. Передатчик и приемник можно рассматривать как «мускулы» системы. Для беспроводных приложений передатчик состоит из схемы повышения частоты в область радиочастот (radio frequency — RF), усилителя мощности и антенны, а приемник — из антенны и малошумящего усилителя (low-noise amplifier — LNA). Обратное понижение частоты производится на выходе приемника и/или демодулятора.

На рис. 1.2 иллюстрируется соответствие блоков верхней (передающей) и нижней (принимающей) частей системы. Этапы обработки сигнала, имеющие место в передатчике, являются преимущественно обратными к этапам приемника. На рис. 1.2 исходная информация преобразуется в двоичные цифры (биты); после этого биты группируются в цифровые сообщения или символы сообщений. Каждый такой символ ( где ) можно рассматривать как элемент конечного алфавита, содержащего М элементов. Следовательно, для М =2 символ сообщения является бинарным (т.е. состоит из одного бита). Несмотря на то что бинарные символы можно классифицировать как М -арные (с М=2), обычно название «М -арный» используется для случаев М >2; значит, такие символы состоят из последовательности двух или большего числа битов. (Сравните подобный конечный алфавит систем DCS с тем, что мы имеем в аналоговых системах, когда сигнал сообщения является элементом бесконечного множества возможных сигналов.) Для систем, использующих канальное кодирование (коды коррекции ошибок), последовательность символов сообщений преобразуется в последовательность канальных символов (кодовых символов), и каждый канальный символ обозначается . Поскольку символы сообщений или канальные символы могут состоять из одного бита или группы битов, последовательность подобных символов называется потоком битов (рис. 1.2).

Рассмотрим ключевые блоки обработки сигналов, изображенные на рис. 1.2; необходимыми для систем DCS являются только этапы форматирования, модуляции, демодуляции/обнаружения и синхронизации.

Форматирование преобразовывает исходную информацию в биты, обеспечивая, таким образом, совместимость информации и функций обработки сигналов с системой DCS. С этой точки рисунка и вплоть до блока импульсной модуляции информация остается в форме потока битов.

Рис. 1.2. Блочная диаграмма типичной системы цифровой связи

Модуляция — это процесс, посредством которого символы сообщений или канальные символы (если используется канальное кодирование) преобразуются в сигналы, совместимые с требованиями, налагаемыми каналом передачи данных. Импульсная модуляция — это еще один необходимый этап, поскольку каждый символ, который требуется передать, вначале нужно преобразовать из двоичного представления (уровни напряжений представляют двоичные нули и единицы) в форму узкополосного сигнала. Термин «узкополосный» (baseband) определяет сигнал, спектр которого начинается от (или около) постоянной составляющей и заканчивается некоторым конечным значением (обычно, не более нескольких мегагерц). Блок импульсно-кодовой модуляции обычно включает фильтрацию, направленную на минимизацию полосы передачи. При применении импульсной модуляции к двоичным символам результирующий двоичный сигнал называется сигналом в кодировке PCM (pulse-code modulation — импульсно-кодовая модуляция). Существует несколько типов сигналов РСМ (описанных в главе 2); в приложениях телефонной связи эти сигналы часто называются кодами канала. При применении импульсной модуляции к небинарным символам результирующий сигнал именуется М -арным импульсно-модулированным. Существует несколько типов подобных сигналов, которые также описаны в главе 2, где основное внимание уделяется амплитудно-импульсной модуляции (pulse-amplitude modulation — РАМ). После импульсной модуляции каждый символ сообщения или канальный символ принимает форму полосового сигнала , где . В любой электронной реализации поток битов, предшествующий импульсной модуляции, представляется уровнями напряжений. Может возникнуть вопрос, почему существует отдельный блок для импульсной модуляции, когда фактически уровни напряжения для двоичных нулей и единиц уже можно рассматривать как идеальные прямоугольные импульсы, длительность каждого из которых равна времени передачи одного бита? Существует два важных отличия между подобными уровнями напряжения и полосовыми сигналами, используемыми для модуляции. Во-первых, блок импульсной модуляций позволяет использовать бинарные и М -арные сигналы. В разделе 2.8.2 описаны различные полезные параметры этих типов сигналов. Во-вторых, фильтрация, производимая в блоке импульсной модуляции, формирует импульсы, длительность которых больше времени передачи одного бита. Фильтрация позволяет использовать импульсы большей длительности; таким образом, импульсы расширяются на соседние временные интервалы передачи битов. Этот процесс иногда называется формированием импульсов; он используется для поддержания полосы передачи в пределах некоторой желаемой области спектра.

Для приложений, включающих передачу в диапазоне радиочастот, следующим важным этапом является полосовая модуляция (bandpass modulation); она необходима всегда, когда среда передачи не поддерживает распространение сигналов, имеющих форму импульсов. В таких случаях среда требует полосового сигнала , где . Термин «полосовой» (bandpass) используется для отражения того, что узкополосный сигнал сдвинут несущей волной на частоту, гораздо большую спектральных составляющих . По мере распространения сигнала по каналу, на него воздействуют характеристики канала, которые можно выразить через импульсную характеристику (см. раздел 1.6.1). Кроме того, в различных точках вдоль маршрута сигнала дополнительные случайные шумы искажают принятый сигнал , поэтому прием должен выражаться через поврежденную версию сигнала , поступающего от передатчика. Принятый сигнал можно выразить следующим образом:

где знак «*» представляет собой операцию свертки (см. приложение A), а — процесс шума (см. раздел 1.5.5).

В обратном направлении входной каскад приемника и/или демодулятор обеспечивают понижение частоты каждого полосового сигнала . В качестве подготовки к обнаружению демодулятор восстанавливает в виде оптимального огибающего узкополосного сигнала . Обычно с приемником и демодулятором связано несколько фильтров — фильтрование производится для удаления нежелательных высокочастотных составляющих (в процессе преобразования полосового сигнала в узкополосный) и формирования импульса. Выравнивание можно описать как разновидность фильтрации, используемой в демодуляторе (или после демодулятора) для удаления всех эффектов ухудшения качества сигнала, причиной которых мог быть канал. Выравнивание (equalization) необходимо в том случае, если импульсная характеристика канала настолько плоха, что принимаемый сигнал сильно искажен. Эквалайзер (устройство выравнивания) реализуется для компенсации (т.е. для удаления или ослабления) всех искажений сигнала, вызванных неидеальной характеристикой . И последнее, этап дискретизации преобразовывает сформированный импульс в выборку для восстановления (приблизительно) символа канала или символа сообщения (если не используется канальное кодирование). Некоторые авторы используют термины «демодуляция» и «обнаружение» как синонимы. В данной книге под демодуляцией (demodulation) подразумевается восстановление сигнала (полосового импульса), а под обнаружением (detection) — принятие решения относительно цифрового значения этого сигнала.

Остальные этапы обработки сигнала в модеме являются необязательными и направлены на удовлетворение специфических системных нужд. Кодирование источника (source coding) — это преобразование аналогового сигнала в цифровой (для аналоговых источников) и удаление избыточной (ненужной) информации. Отметим, что типичная система DCS может использовать либо кодирование источника (для оцифровывания и сжатия исходной информации), либо более простое преобразование форматирование (только для оцифровывания). Система не может одновременно применять и кодирование источника, и форматирование, поскольку первое уже включает необходимый этап оцифровывания информации. Шифрование, которое используется для обеспечения секретности связи, предотвращает понимание сообщения несанкционированным пользователем и введение в систему ложных сообщений. Канальное кодирование (channel coding) при данной скорости передачи данных может снизить вероятность ошибки РЕ или уменьшить отношение сигнал/шум, необходимое для получения желаемой вероятности РЕ за счет увеличения полосы передачи или усложнения декодера. Процедуры уплотнения (multiplexing) и множественного доступа (multiple access) объединяют сигналы, которые могут иметь различные характеристики или могут поступать от разных источников, с тем, чтобы они могли совместно использовать часть ресурсов связи (например, спектр, время). Расширение частоты (frequency spreading) может давать сигнал, относительно неуязвимый для интерференции (как естественной, так и умышленной), и может использоваться для повышения конфиденциальности сообщающихся сторон. Также оно является ценной технологией, используемой для множественно доступа.

Блоки обработки сигналов, показанные на рис. 1.2, представляют типичную схему системы цифровой связи; впрочем, эти блоки иногда реализуются в несколько ином порядке. Например, уплотнение может происходить до канального кодирования или модуляции либо — при двухэтапном процессе модуляции (поднесущая и несущая) — оно может выполняться между двумя этапами модуляции. Подобным образом блок расширения частоты может находиться в различных местах верхнего ряда рис. 1.2; точное его местонахождение зависит от конкретной используемой технологии. Синхронизация и ее ключевой элемент, синхронизирующий сигнал, задействованы во всех этапах обработки сигнала в системе DCS. Для простоты блок синхронизации на рис. 1.2 показан безотносительно к чему-либо, хотя фактически он участвует в регулировании операций практически в каждом блоке, приведенном на рисунке.

На рис. 1.3 показаны основные функции обработки сигналов (которые можно рассматривать как преобразования сигнала), разбитые на следующие девять групп.

Рис.1.3. Основные преобразования цифровой связи

1. Форматирование и кодирование источника

2. Узкополосная передача сигналов

3. Полосовая передача сигналов

5. Канальное кодирование

6. Уплотнение и множественный доступ

7. Расширение спектра

На рис. 1.3 блок Узкополосная передача сигналов содержит перечень бинарных альтернатив при использовании модуляции РСМ или линейных кодов. В этом блоке также указана небинарная категория сигналов, называемая М -арной импульсной модуляцией. Еще одно преобразование на рис. 1.3, помеченное как Полосовая передача сигналов, разделено на два основных блока, когерентный и некогерентный. Демодуляция обычно выполняется с помощью опорных сигналов. При использовании известных сигналов в качестве меры всех параметров сигнала (особенно фазы) процесс демодуляции называется когерентным; когда информация о фазе не используется, процесс именуется некогерентным.

Канальное кодирование связано с методами, используемыми для улучшения цифровых сигналов, которые в результате становятся менее уязвимыми к таким факторам ухудшения качества, как шум, замирание и подавление сигнала. На рис. 1.3 канальное кодирование разделено на два блока, блок кодирования формой сигнала и блок структурированных последовательностей. Кодирование формой сигнала включает использование новых сигналов, привносящих улучшенное качество обнаружения по сравнению с исходным сигналом. Структурированные последовательности включают применение дополнительных битов для определения наличия ошибки, вызванной шумом в канале. Одна из таких технологий, автоматический запрос повторной передачи (automatic repeat request — ARQ), просто распознает появление ошибки и запрашивает отправителя повторно передать сообщение; другая технология, известная как прямая коррекция ошибок (forward error correction — FEC), позволяет автоматически исправлять ошибки (с определенными ограничениями). При рассмотрении структурированных последовательностей мы обсудим три распространенных метода — блочное, сверточное и турбокодирование.

В цифровой связи синхронизация включает вычисление как времени, так и частоты. Как показано на рис. 1.3, синхронизация выполняется на пяти уровнях. Эталонные частоты когерентных систем требуется синхронизировать с несущей (и возможно, поднесущей) по частоте и фазе. Для некогерентных систем синхронизация фазы не обязательна. Основной процесс синхронизации по времени — это символьная синхронизация (или битовая синхронизация для бинарных символов). Демодулятор и детектор должны знать, когда начинать и заканчивать процесс обнаружения символа и бита; ошибка синхронизации приводит к снижению эффективности обнаружения. Следующий уровень синхронизации по времени, кадровая синхронизация, позволяет перестраивать сообщения. И последний уровень, сетевая синхронизация, позволяет скоординировать действия с другими пользователями с целью эффективного использования ресурсов.

1.1.3. Основная терминология области цифровой связи

Ниже приведены некоторые основные термины, часто используемые в области цифровой связи.

Источник информации (information source). Устройство, передающее информацию посредством системы DCS. Источник информации может быть аналоговым или дискретным. Выход аналогового источника может принимать любое значение из непрерывного диапазона амплитуд, тогда как выход дискретного источника информации — значения из конечного множества амплитуд. Аналоговые источники информации преобразуются в цифровые посредством дискретизации или квантования. Методы дискретизации и квантования, называемые форматированием и кодированием источника (рис. 1.3).

Текстовое сообщение (textual message). Последовательность символов (рис. 1.4, а ). При цифровой передаче данных сообщение представляет собой последовательность цифр или символов, принадлежащих конечному набору символов или алфавиту.

Знак (Character). Элемент алфавита или набора символов (рис. 1.4, б ). Знаки могут отображаться в последовательность двоичных цифр. Существует несколько стандартизованных кодов, используемых для знакового кодирования, в том числе код ASCII (American Standard Code for Information Interchange — Американский стандартный код для обмена информацией), код EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code — расширенный двоичный код обмена информацией), код Холлерита (Hollerith code), код Бодо (Baudot code), код Муррея (Murray code) и код (азбука) Морзе (Morse code).

Рис.1.4. Иллюстрация терминов: а) текстовые сообщения; б) символы;

в) поток битов(7-битовый код ASCII); г) символы , ;

д) полосовой цифровой сигнал

Двоичная цифра (binary digit) (бит) (bit). Фундаментальная единица информации для всех цифровых систем. Термин «бит» также используется как единица объема информации, что описывается в главе 9.

Поток битов (bit stream). Последовательность двоичных цифр (нулей и единиц). Поток битов часто называют узкополосным (baseband) сигналом; это подразумевает, что его спектральные составляющие размещены от (или около) постоянной составляющей до некоторого конечного значения, обычно не превышающего несколько мегагерц. На рис. 1.4, в сообщение «HOW» представлено с использованием семибитового кода ASCII, а поток битов показан в форме двухуровневых импульсов. Последовательность импульсов изображена посредством крайне стилизованных (идеально прямоугольных) сигналов с промежутками между соседними импульсами. В реальной системе импульсы никогда не будут выглядеть так, поскольку подобные промежутки абсолютно бесполезны. При данной скорости передачи данных промежутки увеличат ширину полосы, необходимую для передачи; или, при данной ширине полосы, они увеличат временную задержку, необходимую для получения сообщения.

Символ (symbol) (цифровое сообщение) (digital message). Символ — это группа из k бит, рассматриваемых как единое целое. Далее мы будем называть этот блок символом сообщения (message symbol) () из конечного набора символов или алфавита (рис. 1.4, г.) Размер алфавита М равен , где k — число битов в символе. При узкополосной передаче каждый из символов будет представлен одним из набора узкополосных импульсных сигналов . Иногда при передаче последовательности таких импульсов для выражения скорости передачи импульсов (скорости передачи символов) используется единица бод (baud). Для типичной полосовой (bandpass) передачи каждый импульс будет представляться одним из набора полосовых импульсных сигналов . Таким образом, для беспроводных систем символ посылается путем передачи цифрового сигнала в течение Т секунд. Следующий символ посылается в течение следующего временного интервала, Т . То, что набор символов, передаваемых системой DCS, является конечным, и есть главное отличие этих систем от систем аналоговой связи. Приемник DCS должен всего лишь определить, какой из М возможных сигналов был передан; тогда как аналоговый приемник должен точно определять значение, принадлежащее непрерывному диапазону сигналов.

Цифровой сигнал (digital waveform). Описываемый уровнем напряжения или тока, сигнал (импульс — для узкополосной передачи или синусоида — для полосовой передачи), представляющий цифровой символ. Характеристики сигнала (для импульсов — амплитуда, длительность и расположение или для синусоиды — амплитуда, частота и фаза) позволяют его идентифицировать как один из символов конечного алфавита. На рис. 1.4, д приведен пример полосового цифрового сигнала. Хотя сигнал является синусоидальным и, следовательно, имеет аналоговый вид, все же он именуется цифровым, поскольку кодирует цифровую информацию. На данном рисунке цифровое значение указывается посредством передачи в течение каждого интервала времени Т сигнала определенной частоты.

Скорость передачи данных (data rate). Эта величина в битах в секунду (бит/с) дается формулой (бит/с), где k бит определяют символ из — символьного алфавита, а Т — это длительность к -битового символа.

1.1.4. Цифровые и аналоговые критерии производительности

Принципиальное отличие систем аналоговой и цифровой связи связано со способом оценки их производительности. Сигналы аналоговых систем составляют континуум, так что приемник должен работать с бесконечным числом возможных сигналов. Критерием производительности аналоговых систем связи является точность, например отношение сигнал/шум, процент искажения или ожидаемая среднеквадратическая ошибка между переданным и принятым сигналами.

В отличие от аналоговых, цифровые системы связи передают сигналы, представляющие цифры. Эти цифры формируют конечный набор или алфавит, и этот набор известен приемнику априорно. Критерием качества цифровых систем связи является вероятность неверного обнаружения цифры или вероятность ошибки ().

1.2. Классификация сигналов

1.2.1. Детерминированные и случайные сигналы

Сигнал можно классифицировать как детерминированный (при отсутствии неопределенности относительно его значения в любой момент времени) или случайный, в противном случае. Детерминированные сигналы моделируются математическим выражением . Для случайного сигнала такое выражение написать невозможно. Впрочем, при наблюдении случайного сигнала (также называемого случайным процессом) в течение достаточно длительного периода времени, могут отмечаться некоторые закономерности, которые можно описать через вероятности и среднее статистическое. Такая модель, в форме вероятностного описания случайного процесса, особенно полезна для описания характеристик сигналов и шумов в системах связи.

1.2.2. Периодические и непериодические сигналы

Сигнал называется периодическим во времени, если существует постоянное , такое, что

где через t обозначено время. Наименьшее значение , удовлетворяющее это условие, называется периодом сигнала . Период определяет длительность одного полного цикла функции . Сигнал, для которого не существует значения , удовлетворяющего уравнение (1.2), именуется непериодическим.

1.2.3. Аналоговые и дискретные сигналы

Аналоговый сигнал является непрерывной функцией времени, т.е. однозначно определяется для всех t . Электрический аналоговый сигнал возникает тогда, когда физический сигнал (например, речь) некоторым устройством преобразовывается в электрический. Для сравнения, дискретный сигнал является сигналом, существующим в дискретные промежутки времени; он характеризуется последовательностью чисел, определенных для каждого момента времени, кТ , где k — целое число, а Т — фиксированный промежуток времени.

1.2.4. Сигналы, выраженные через энергию или мощность

Электрический сигнал можно представить как изменение напряжения или тока с мгновенной мощностью , подаваемой на сопротивление R :

В системах связи мощность часто нормируется (предполагается, что сопротивление R равно 1 Ом, хотя в реальном канале оно может быть любым). Если требуется определить действительное значение мощности, оно получается путем «денормирования» нормированного значения. В нормированном случае уравнения (1.3,а) и (1.3,6) имеют одинаковый вид. Следовательно, вне зависимости от того, представлен сигнал через напряжение или ток, нормированная форма позволяет нам выразить мгновенную мощность как

где — это либо напряжение, либо ток. Рассеивание энергии в течение промежутка времени () реального сигнала с мгновенной мощностью, полученной с помощью уравнения (1.4), может быть записано следующим образом.

Средняя мощность, рассеиваемая сигналом в течение этого интервала, равна следующему.

Производительность системы связи зависит от энергии принятого сигнала; сигналы с более высокой энергией обнаруживаются более достоверно (с меньшим числом ошибок) — работу по обнаружению выполняет принятая энергия. С другой стороны, мощность — это скорость поступления энергии. Этот момент важен по нескольким причинам. Мощность определяет напряжение, которое необходимо подать на передатчик, и напряженность электромагнитных полей, которые следует учитывать в радиосистемах (т.е. поля в волноводах, соединяющих передатчик с антенной, и поля вокруг излучающих элементов антенны).

При анализе сигналов связи зачастую желательно работать с энергией сигнала. Будем называть энергетическим сигналом тогда и только тогда, когда он в любой момент времени имеет ненулевую конечную энергию (), где

В реальной ситуации мы всегда передаем сигналы с конечной энергией (). Впрочем, для описания периодических сигналов, которые по определению (уравнение (1.2)) существуют всегда и, следовательно, имеют бесконечную энергию, и для работы со случайными сигналами, также имеющими неограниченную энергию, удобно определить класс сигналов, выражаемых через мощность. Итак, сигнал удобно представить с использованием мощности, если он является периодическим и в любой момент времени имеет ненулевую конечную мощность (), где

Каждый электрик должен знать:  Как подключить бра с выключателем шнурком Светильник со шнурком.

Определенный сигнал можно отнести либо к энергетическому, либо периодическому. Энергетический сигнал имеет конечную энергию, но нулевую среднюю мощность, тогда как периодический сигнал имеет нулевую среднюю мощность, но бесконечную энергию. Сигнал в системе может выражаться либо через его энергетические, либо периодические значения. Общее правило: периодические и случайные сигналы выражаются через мощность, а сигналы, являющиеся детерминированными и непериодическими, — через энергию .

Энергия и мощность сигнала — это два важных параметра в описании системы связи. Классификация сигнала либо как энергетического, либо как периодического является удобной моделью, облегчающей математическую трактовку различных сигналов и шумов. В разделе 3.1.5 эти идеи развиваются в контексте цифровых систем связи.

1.2.5. Единичная импульсная функция

Полезной функцией в теории связи является единичный импульс, или дельта-функция Дирака . Импульсная функция — это абстракция, импульс с бесконечно большой амплитудой, нулевой шириной и единичным весом (площадью под импульсом), сконцентрированный в точке, в которой значение его аргумента равно нулю. Единичный импульс задается следующими соотношениями.

Не ограничена в точке (1.11)

Единичный импульс — это не функция в привычном смысле этого слова. Если входит в какую-либо операцию, его удобно считать импульсом конечной амплитуды, единичной площади и ненулевой длительности, после чего нужно рассмотреть предел при стремлении длительности импульса к нулю. Графически можно изобразить как пик, расположенный в точке , высота которого равна интегралу от него или его площади. Таким образом, с постоянной А представляет импульсную функцию, площадь которой (или вес) равна А , а значение везде нулевое, за исключением точки .

Уравнение (1.12) известно как просеивающее (или квантующее) свойство единичной импульсной функции; интеграл от единичного импульса и произвольной функции дает выборку функции в точке .

1.3. Спектральная плотность

Спектральная плотность (spectral density) характеристик сигнала — это распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Особую важность это понятие приобретает при рассмотрении фильтрации в системах связи. Мы должны иметь возможность оценить сигнал и шум на выходе фильтра. При проведении подобной оценки используется спектральная плотность энергии (energy spectral density — ESD) или спектральная плотность мощности (power spectral density — PSD).

1.3.1. Спектральная плотность энергии

Общая энергия действительного энергетического сигнала , определенного в интервале описывается уравнением (1.7). Используя теорему Парсеваля , мы можем связать энергию такого сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:

где — Фурье-образ непериодического сигнала . (Краткие сведения об анализе Фурье можно найти в приложении А.) Обозначим через прямоугольный амплитудный спектр, определенный как

Величина является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала . Следовательно, из уравнения (1.13) можно выразить общую энергию путем интегрирования спектральной плотности по частоте.

Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под на графике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала , величина представляет собой четную функцию частоты. Следовательно, спектральная плотность энергии симметрична по частоте относительно начала координат, а общую энергию сигнала можно выразить следующим образом.

1.3.2. Спектральная плотность мощности

Средняя мощность действительного сигнала в периодическом представлении определяется уравнением (1.8). Если — это периодический сигнал с периодом , он классифицируется как сигнал в периодическом представлении. Выражение для средней мощности периодического сигнала дается формулой (1.6), где среднее по времени берется за один период .

Теорема Парсеваля для действительного периодического сигнала имеет вид

где члены являются комплексными коэффициентами ряда Фурье для периодического сигнала (см. приложение А).

Чтобы использовать уравнение (1.17,6), необходимо знать только значение коэффициентов . Спектральная плотность мощности (PSD) периодического сигнала , которая является действительной, четной и неотрицательной функцией частоты и дает распределение мощности сигнала по диапазону частот, определяется следующим образом.

Уравнение (1.18) определяет спектральную плотность мощности периодического сигнала как последовательность взвешенных дельта-функций. Следовательно, PSD периодического сигнала является дискретной функцией частоты. Используя PSD, определенную в уравнении (1.18), можно записать среднюю нормированную мощность действительного сигнала.

Уравнение (1.18) описывает PSD только периодических сигналов. Если — непериодический сигнал, он не может быть выражен через ряд Фурье; если он является непериодическим сигналом в периодическом представлении (имеющим бесконечную энергию), он может не иметь Фурье-образа. Впрочем, мы по-прежнему можем выразить спектральную плотность мощности таких сигналов в пределе. Если сформировать усеченную версию непериодического сигнала в периодическом представлении , взяв для этого только его значения из интервала (), то будет иметь конечную энергию и соответствующий Фурье-образ . Можно показать , что спектральная плотность мощности непериодического сигнала определяется как предел.

Пример 1.1. Средняя нормированная мощность

а) Найдите среднюю нормированную мощность сигнала , используя усреднение по времени.

б) Выполните п. а путем суммирования спектральных коэффициентов.

а) Используя уравнение (1.17,а), имеем следующее.

б) Используя уравнения (1.18) и (1.19), получаем следующее.

(см. приложение А)

1.4. Автокорреляция

1.4.1. Автокорреляция энергетического сигнала

Корреляция — это процесс согласования; автокорреляцией называется согласование сигнала с собственной запаздывающей версией. Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала определяется следующим образом.

Автокорреляционная функция дает меру похожести сигнала с собственной копией, смещенной на единиц времени. Переменная играет роль параметра сканирования или поиска. — это не функция времени; это всего лишь функция разности времен между сигналом и его смещенной копией.

Автокорреляционная функция действительного энергетического сигнала имеет следующие свойства.

3. автокорреляция и ESD являются Фурье-образами друг друга, что обозначается двусторонней стрелкой

4. значение в нуле равно энергии сигнала

При удовлетворении пп. 1-3 является автокорреляционной функцией. Условие 4 — следствие условия 3, поэтому его не обязательно включать в основной набор для проверки на автокорреляционную функцию.

1.4.2. Автокорреляция периодического сигнала

Автокорреляция действительного периодического сигнала определяется следующим образом.

Если сигнал является периодическим с периодом , среднее по времени в уравнении (1.22) можно брать по одному периоду , а автокорреляцию выражать следующим образом.

Автокорреляция периодического сигнала, принимающего действительные значения, имеет свойства, сходные со свойствами энергетического сигнала.

1. симметрия по относительно нуля

2. для всех максимальное значение в нуле

3. автокорреляция и ESD являются Фурье-образами друг друга

1.5. Случайные сигналы

Основной задачей системы связи является передача информации по каналу связи. Все полезные сигналы сообщений появляются случайным образом, т.е. приемник не знает заранее, какой из возможных символов сообщений будет передан. Кроме того, вследствие различных электрических процессов возникают шумы, которые сопровождают информационные сигналы. Следовательно, нам нужен эффективный способ описания случайных сигналов.

1.5.1. Случайные переменные

Пусть случайная переменная Х(А) представляет функциональное отношение между случайным событием А и действительным числом. Для удобства записи обозначим случайную переменную через X , а ее функциональную зависимость от А будем считать явной. Случайная переменная может быть дискретной или непрерывной. Распределение случайной переменной X находится выражением:

где — вероятность того, что значение принимаемой; случайной переменной X меньше действительного числа х или равно ему. Функция распределения имеет следующие свойства.

Еще одной полезной функцией, связанной со случайной переменной X , является плотность вероятности, которая записывается следующим образом.

Как и в случае функции распределения, плотность вероятности — это функция действительного числа х . Название «функция плотности» появилось вследствие того, что вероятность события равна следующему.

Используя уравнение (1.25,6), можно приближенно записать вероятность того, что случайная переменная X имеет значение, принадлежащее очень малому промежутку между и .

Таким образом, в пределе при , стремящемся к нулю, мы можем записать следующее.

Плотность вероятности имеет следующие свойства.

Таким образом, плотность вероятности всегда неотрицательна и имеет единичную площадь. В тексте книги мы будем использовать запись для обозначения плотности вероятности для непрерывной случайной переменной. Для удобства записи мы часто будем опускать индекс X и писать просто . Если случайная переменная X может принимать только дискретные значения, для обозначения плотности вероятности мы будем использовать запись .

1.5.1.1. Среднее по ансамблю

Среднее значение (mean value) , или математическое ожидание (expected value), случайной переменной X определяется выражением

где именуется оператором математического ожидания (expected value operator). Моментом n -го порядка распределения вероятностей случайной переменной X называется следующая величина.

Для анализа систем связи важны первые два момента переменной X . Так, при n =1 уравнение (1.27) дает момент , рассмотренный выше, а при n = 1 — среднеквадратическое значение X .

Можно также определить центральные моменты, представляющие собой моменты разности X и . Центральный момент второго порядка (называемый также дисперсией) равен следующему.

Дисперсия X также записывается как , а квадратный корень из этой величины, , называется среднеквадратическим отклонением X . Дисперсия — это мера «разброса» случайной переменной X . Задание дисперсии случайной переменной ограничивает ширину функции плотности вероятности. Дисперсия и среднеквадратическое значение связаны следующим соотношением.

Таким образом, дисперсия равна разности среднеквадратического значения и квадрата среднего значения.

1.5.2. Случайные процессы

Случайный процесс можно рассматривать как функцию двух переменных: события А и времени. На рис. 1.5 представлен пример случайного процесса. Показаны N выборочных функций времени . Каждую из выборочных функций можно рассматривать как выход отдельного генератора шума. Для каждого события имеем единственную функцию времени (т.е. выборочную функцию). Совокупность всех выборочных функций называется ансамблем. В любой определенный момент времени , — это случайная переменная , значение которой зависит от события. И последнее, для конкретного события и для конкретного момента времени , — это обычное число. Для удобства записи будем обозначать случайный процесс через X(t) , а функциональную зависимость от А будем считать явной.

Рис.1.5. Случайный процесс шума

1.5.2.1. Статистическое среднее случайного процесса

Поскольку значение случайного процесса в каждый последующий момент времени неизвестно, случайный процесс, функции распределения которого непрерывны, можно описать статистически через плотность вероятности. Вообще, в различные моменты времени эта функция для случайного процесса будет иметь разный вид. В большинстве случаев эмпирически определить распределение вероятностей случайного процесса нереально. В то же время для нужд систем связи часто достаточно частичного описания, включающего среднее и функцию автокорреляции. Итак, определим среднее случайного процесса X(t) как

где — случайная переменная, полученная при рассмотрении случайного процесса в момент времени , a — плотность вероятности (плотность по ансамблю событий в момент времени ).

Определим автокорреляционную функцию случайного процесса X(t) как функцию двух переменных и

где и — случайные переменные, получаемые при рассмотрении X(t) в моменты времени и соответственно. Автокорреляционная функция — это мера связи двух временных выборок одного случайного процесса.

1.5.2.2. Стационарность

Случайный процесс X(t) называется стационарным в строгом смысле, если ни на одну из его статистик не влияет перенос начала отсчета времени. Случайный процесс именуется стационарным в широком смысле, если две его статистики, среднее и автокорреляционная функция, не меняются при переносе начала отсчета времени. Таким образом, процесс является стационарным в широком смысле, если

Стационарность в строгом смысле подразумевает стационарность в широком смысле, но не наоборот. Большинство полезных результатов теории связи основывается на предположении, что случайные информационные сигналы и шум являются стационарными в широком смысле. С практической точки зрения случайный процесс не обязательно всегда должен быть стационарным, достаточно стационарности в некотором наблюдаемом интервале времени, представляющем практический интерес.

Для стационарных процессов автокорреляционная функция в уравнении (1.33) зависит не от времени, а только от разности . Иными словами, все пары значений X(t) в моменты времени, разделенные промежутком , имеют одинаковое корреляционное значение. Следовательно, для стационарных систем функцию можно записывать просто как .

1.5.2.3. Автокорреляция случайных процессов, стационарных в широком смысле

Как дисперсия предлагает меру случайности для случайных переменных, так и автокорреляционная функция предлагает подобную меру для случайных процессов. Для процессов, стационарных в широком смысле, автокорреляционная функция зависит только от разности времен .

Для стационарного в широком смысле процесса с нулевым средним, функция показывает, насколько статистически коррелируют случайные величины процесса, разделенные секундами. Другими словами, дает информацию о частотной характеристике, связанной со случайным процессом. Если меняется медленно по мере увеличения от нуля до некоторого значения, это показывает, что в среднем выборочные значения X(t) , взятые в моменты времени и , практически равны. Следовательно, мы вправе ожидать, что в частотном представлении X(t) будут преобладать низкие частоты. С другой стороны, если быстро уменьшается по мере увеличения , стоит ожидать, что X(t) будет быстро меняться по времени и, следовательно, будет включать преимущественно высокие частоты.

Автокорреляционная функция стационарного в широком смысле процесса, принимающего действительные значения, имеет следующие свойства.

1. симметрия по относительно нуля

2. для всех максимальное значение в нуле

3. автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга

4. значение в нуле равно средней мощности сигнала

1.5.3. Усреднение по времени и эргодичность

Для вычисления и путем усреднения по ансамблю нам нужно усреднить их по всем выборочным функциям процесса, и, значит, нам потребуется полная информация о взаимном распределении функций плотности вероятности в первом и втором приближениях. В общем случае, как правило, такая информация недоступна.

Если случайный процесс принадлежит к особому классу, называемому классом эргодических процессов, его среднее по времени равно среднему по ансамблю и статистические свойства процесса можно определить путем усреднения по времени одной выборочной функции процесса. Чтобы случайный процесс был эргодическим, он должен быть стационарным в строгом смысле (обратное не обязательно). Впрочем, для систем связи, где нам достаточно стационарности в широком смысле, нас интересуют только среднее и автокорреляционная функция.

Говорят, что случайный процесс является эргодическим по отношению к среднему значению, если

и эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, если

Проверка случайного процесса на эргодичность обычно весьма непроста. На практике, как правило, используется интуитивное предположение о целесообразности замены средних по ансамблю средними по времени. При анализе большинства сигналов в каналах связи (при отсутствии импульсных эффектов) разумным будет предположение, что случайные сигналы являются эргодическими по отношению к автокорреляционной функции. Поскольку для эргодических процессов средние по времени равны средним по ансамблю, фундаментальные электротехнические параметры, такие как амплитуда постоянной составляющей, среднеквадратическое значение и средняя мощность, могут быть связаны с моментами эргодического случайного процесса.

1. Величина равна постоянной составляющей сигнала.

2. Величина равна нормированной мощности постоянной составляющей.

3. Момент второго порядка X(t) , , равен общей средней нормированной мощности.

4. Величина равна среднеквадратическому значению сигнала, выраженного через ток или напряжение.

5. Дисперсия равна средней нормированной мощности переменного сигнала.

6. Если среднее процесса равно нулю (т.е. ), то , а дисперсия равна среднеквадратическому значению или (другая формулировка) дисперсия представляет общую мощность в нормированной нагрузке.

7. Среднеквадратическое отклонение является среднеквадратическим значением переменного сигнала.

8. Если , то — это среднеквадратическое значение сигнала.

1.5.4. Спектральная плотность мощности и автокорреляция случайного процесса

Случайный процесс X(t) можно отнести к периодическому сигналу, имеющему такую спектральную плотность мощности , как указано в уравнении (1.20). Функция особенно полезна в системах связи, поскольку она описывает распределение мощности сигнала по диапазону частот. Спектральная плотность мощности позволяет оценить мощность сигнала, который будет передаваться через сеть с известными частотными характеристиками. Основные свойства функций спектральной плотности мощности можно сформулировать следующим образом.

1. всегда принимает действительные значения

2. для X(t) , принимающих действительные значения

3. автокорреляция и спектральная плотность мощности являются Фурье-образами друг друга

4. связь между средней нормированной мощностью и спектральной плотностью мощности

На рис. 1.6 приведено визуальное представление автокорреляционной функции и функции спектральной плотности мощности. Что означает термин «корреляция»? Когда мы интересуемся корреляцией двух явлений, спрашиваем, насколько близко они соотносятся по поведению или виду и насколько они совпадают. В математике автокорреляционная функция сигнала (во временной области) описывает соответствие сигнала самому себе, смещенному на некоторый промежуток времени. Точная копия считается созданной и локализированной на минус бесконечности. Затем мы последовательно перемещаем копию в положительном направлении временной оси и задаем вопрос, насколько они (исходная версия и копия) соответствуют друг другу. Затем мы перемещаем копию еще на один шаг в положительном направлении и задаем вопрос, насколько они совпадают теперь, и т.д. Корреляция между двумя сигналами изображается как функция времени, обозначаемого ; при этом время можно рассматривать как параметр сканирования.

На рис. 1.6, а-г изображена описанная выше ситуация в некоторые моменты времени. Рис. 1.6, а иллюстрирует отдельный сигнал стационарного в широком смысле случайного процесса X(t) . Сигнал представляет собой случайную двоичную последовательность с положительными и отрицательными (биполярными) импульсами единичной амплитуды. Положительные и отрицательные импульсы появляются с равной вероятностью. Длительность каждого импульса (двоичной цифры) равна Т секунд, а среднее, или величина постоянной составляющей случайной последовательности, равно нулю. На рис. 1.6, б показана та же последовательность, смещенная во времени на секунд. Согласно принятым обозначениям, эта последовательность обозначается . Предположим, что процесс X(t) является эргодическим по отношению к автокорреляционной функции, поэтому для нахождения мы можем использовать усреднение по времени вместо усреднения по ансамблю. Значение получается при перемножении двух последовательностей X(t) и с последующим нахождением среднего с помощью уравнения (1.36), которое справедливо для эргодических процессов только в пределе. Впрочем, интегрирование по целому числу периодов может дать нам некоторую оценку . Отметим, что может быть получено при смещении X(t) как в положительном, так и отрицательном направлении. Подобный случай иллюстрирует рис. 1.6, в , на котором использована исходная выборочная последовательность (рис. 1.6, а ) и ее смещенная копия (рис. 1.6, б ). Заштрихованные области под кривой произведения вносят положительный вклад в произведение, а серые области — отрицательный. Интегрирование по времени передачи импульсов дает точку на кривой . Последовательность может далее смещаться на и каждое такое смещение будет давать точку на общей автокорреляционной функции , показанной на рис. 1.6, г . Иными словами, каждой случайной последовательности биполярных импульсов соответствует автокорреляционная точка на общей кривой, приведенной на рис. 1.6, г . Максимум функции находится в точке (наилучшее соответствие имеет место при , равном нулю, поскольку для всех ), и функция спадает по мере роста . На рис. 1.6, г показаны точки, соответствующие и .

Аналитическое выражение для автокорреляционной функции , приведенной на рис. 1.6, г , имеет следующий вид .

Отметим, что автокорреляционная функция дает нам информацию о частоте; она сообщает нам кое-что о полосе сигнала. В то же время автокорреляция — это временная функция; в формуле (1.37) отсутствуют члены, зависящие от частоты. Так как же она дает нам информацию о полосе сигнала?

Рис.1.6. Автокорреляция и спектральная плотность мощности

Рис.1.6. Автокорреляция и спектральная плотность мощности (окончание)

Предположим, что сигнал перемещается очень медленно (сигнал имеет малую ширину полосы). Если мы будем смещать копию сигнала вдоль оси , задавая на каждом этапе смещения вопрос, насколько соответствуют друг другу копия и оригинал, соответствие достаточно долго будет довольно сильным. Другими словами, треугольная автокорреляционная функция (рис. 1.6, г и формула 1.37) будет медленно спадать с ростом . Предположим теперь, что сигнал меняется достаточно быстро (т.е. имеем большую полосу). В этом случае даже небольшое изменение приведет к тому, что корреляция будет нулевой и автокорреляционная функция будет иметь очень узкую форму. Следовательно, сравнение автокорреляционных функций по форме дает нам некоторую информацию о ширине полосы сигнала. Функция спадает постепенно? В этом случае имеем сигнал с узкой полосой. Форма функции напоминает узкий пик? Тогда сигнал имеет широкую полосу.

Автокорреляционная функция позволяет явно выражать спектральную плотность мощности случайного сигнала. Поскольку спектральная плотность мощности и автокорреляционная функция являются Фурье-образами друг друга, спектральную плотность мощности, , случайной последовательности биполярных импульсов можно найти как Фурье-преобразование функции , аналитическое выражение которой дано в уравнении (1.37). Для этого можно использовать табл. А.1. Заметим, что

Общий вид функции показан на рис. 1.6, д .

Отметим, что площадь под кривой спектральной плотности мощности представляет собой среднюю мощность сигнала. Одной из удобных мер ширины полосы является ширина основного спектрального лепестка (см. раздел 1.7.2). На рис. 1.6, д показано, что ширина полосы сигнала связана с обратной длительностью символа или шириной импульса. Рис. 1.6, е-к формально повторяют рис. 1.6, а-д , за исключением того, что на последующих рисунках длительность импульса меньше. Отметим, что для более коротких импульсов функция .уже (рис. 1.6, и ), чем для более длительных (рис. 1.6, г ). На рис. 1.6, и ; другими словами, в случае меньшей длительности импульса смещения на , достаточно для создания нулевого соответствия или для полной потери корреляции между смещенными последовательностями. Поскольку на рис. 1.6, е длительность импульса Т меньше (выше скорость передачи импульса), чем на рис. 1.6, а , занятость полосы на рис. 1.6, к больше занятости полосы для более низкой частоты импульсов, показанной на рис. 1.6, д .

1.5.5. Шум в системах связи

Термин «шум» обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, «затеняет», или маскирует, сигнал; это ограничивает способность приемника принимать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации. Природа шумов различна и включает как естественные, так и искусственные источники. Искусственные шумы — это шумы искрового зажигания, коммутационные импульсные помехи и шумы от других родственных источников электромагнитного излучения. Естественные шумы исходят от атмосферы, солнца и других галактических источников.

Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или их нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования, выбора модуляции и оптимального местоположения приемника. Например, чувствительные радиоастрономические измерения проводятся, как правило, в отдаленных пустынных местах, вдали от естественных источников шума. Впрочем, существует один естественный шум, называемый тепловым, который устранить нельзя. Тепловой шум вызывается тепловым движением электронов во всех диссипативных компонентах — резисторах, проводниках и т.п. Те же электроны, которые отвечают за электропроводимость, являются причиной теплового шума.

Тепловой шум можно описать как гауссов случайный процесс с нулевым средним. Гауссов процесс n(t) — это случайная функция, значение которой и в произвольный момент времени t статистически характеризуется гауссовой функцией плотности вероятностей:

где — дисперсия n . Нормированная гауссова функция плотности процесса с нулевым средним получается в предположении, что . Схематически нормированная функция плотности вероятностей показана на рис. 1.7.

Здесь — случайный сигнал, а — сигнал в канале связи, а n — случайная переменная, выражающая гауссов шум. Тогда функция плотности вероятности выражается как

где, как и выше, — дисперсия n .

Рис.1.7. Нормированная () гауссова функция плотности вероятности

Гауссово распределение часто используется как модель шума в системе, поскольку существует центральная граничная теорема , утверждающая, что при весьма общих условиях распределение вероятностей суммы j статистически независимых случайных переменных подчиняется гауссовому распределению , причем вид отдельных функций распределения не имеет значения. Таким образом, даже если отдельные механизмы шума будут иметь негауссово распределение, совокупность многих таких механизмов будет стремиться к гауссовому распределению.

1.5.5.1. Белый шум

Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот, представляющих интерес для большинства систем связи; другими словами, источник теплового шума на всех частотах излучает с равной мощностью на единицу ширины полосы — от постоянной составляющей до частоты порядка Гц. Следовательно, простая модель теплового шума предполагает, что его спектральная плотность мощности равномерна для всех частот, как показано на рис. 1.8, а , и записывается в следующем виде.

Здесь коэффициент 2 включен для того, чтобы показать, что — двусторонняя спектральная плотность мощности. Когда мощность шума имеет такую единообразную спектральную плотность, мы называем этот шум белым. Прилагательное «белый» используется в том же смысле, что и для белого света, содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения.

Рис.1.8. Белый шум: а) спектральная плотность мощности;

б) автокорреляционная функция

Автокорреляционная функция белого шума дается обратным преобразованием Фурье спектральной плотности мощности шума (см. табл. А.1) и записывается следующим образом.

Таким образом, автокорреляция белого шума — это дельта-функция, взвешенная множителем и находящаяся в точке , как показано на рис. 1.8, б . Отметим, что равна нулю для , т.е. две различные выборки белого шума не коррелируют, вне зависимости от того, насколько близко они находятся.

Средняя мощность белого шума бесконечна, поскольку бесконечна ширина полосы белого шума. Это можно увидеть, получив из уравнений (1.19) и (1.42) следующее выражение.

Хотя белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию, ни один процесс шума в действительности не может быть белым; впрочем, шум, появляющийся во многих реальных системах, можно предположительно считать белым. Наблюдать такой шум мы можем только после того, как он пройдет через реальную систему, имеющую конечную ширину полосы. Следовательно, пока ширина полосы шума существенно больше ширины полосы, используемой системой, можно считать, что шум имеет бесконечную ширину полосы.

Дельта-функция в уравнении (1.43) означает, что сигнал шума n(t) абсолютно не коррелирует с собственной смещенной версией для любого . Уравнение (1.43) показывает, что любые две выборки процесса белого шума не коррелируют. Поскольку тепловой шум — это гауссов процесс и его выборки не коррелируют, выборки шума также являются независимыми . Таким образом, воздействие канала с аддитивным белым гауссовым шумом на процесс обнаружения состоит в том, что шум независимо воздействует на каждый переданный символ. Такой канал называется каналом без памяти. Термин «аддитивный» означает, что шум просто накладывается на сигнал или добавляется к нему — никаких мультипликативных механизмов не существует.

Поскольку тепловой шум присутствует во всех системах связи и для большинства систем является заметным источником шума, характеристики теплового шума (аддитивный, белый и гауссов) часто применяются для моделирования шума в системах связи. Поскольку гауссов шум с нулевым средним полностью характеризуется его дисперсией, эту модель особенно просто использовать при обнаружении сигналов и проектировании оптимальных приемников. В данной книге мы будем считать (если не оговорено противное), что система подвергается искажению со стороны аддитивного белого гауссового шума с нулевым средним, хотя иногда такое упрощение будет чересчур сильным.

1.6. Передача сигнала через линейные системы

После того как мы разработали набор моделей для сигнала и шума, рассмотрим характеристики систем и их воздействие на сигналы и шумы. Поскольку систему с равным успехом можно охарактеризовать как в частотной, так и во временной области, в обоих случаях были разработаны методы, позволяющие анализировать отклик линейной системы на произвольный входной сигнал. Сигнал, поданный на вход системы (рис. 1.9), можно описать либо как временной сигнал, , либо через его Фурье-образ, . Использование временного анализа дает временной выход , и в процессе будет определена функция , импульсная характеристика, или импульсный отклик, сети. При рассмотрении ввода в частотной области мы должны определить для системы частотную характеристику, или передаточную функцию , которая определит частотный выход . Предполагается, что система линейна и инвариантна относительно времени. Также предполагается, что система не имеет скрытой энергии на момент подачи сигнала на вход.

Рис.1.9. Линейная система и её ключевые параметры

1.6.1. Импульсная характеристика

Линейная, инвариантная относительно времени система или сеть, показанная на рис. 1.9, описывается (во временной области) импульсной характеристикой , представляющей собой реакцию системы при подаче на ее вход единичного импульса .

Рассмотрим термин «импульсный отклик», крайне подходящий для данного события. Описание характеристик системы через ее импульсный отклик имеет прямую физическую интерпретацию. На вход системы мы подаем единичный импульс (нереальный сигнал, имеющий бесконечную амплитуду, нулевую ширину и единичную площадь), как показано на рис. 1.10, а . Подачу такого импульса в систему можно рассматривать как «мгновенный удар». Как отреагирует («откликнется») система на такое применение силы (импульс)? Выходящий сигнал — это и есть импульсный отклик системы. (Возможный вид этого отклика показан на рис. 1.10, б .)

Отклик сети на произвольный сигнал является сверткой с , что записывается следующим образом.

Рис.1.10. Иллюстрация понятия «импульсный отклик»: а) входной сигнал является единичной импульсной функцией; б) выходной сигнал — импульсным откликом системы

Здесь знак «*» обозначает операцию свертки (см. раздел А.5). Система предполагается причинной, что означает отсутствие сигнала на выходе до момента времени , когда сигнал подается на вход. Следовательно, нижняя граница интегрирования может быть взята равной нулю, и выход можно выразить несколько иначе.

Выражения в уравнениях (1.46) и (1.47) называются интегралами свертки. Свертка (convolution) — это фундаментальный математический аппарат, играющий важную роль в понимании всех систем связи. Если читатель не знаком с этой операцией, ему стоит обратиться к разделу А.5, где приводится вывод уравнений (1.46) и (1.47).

1.6.2. Частотная передаточная функция

Частотный выходной сигнал получаем при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения (1.46). Поскольку свертка во временной области превращается в умножение в частотной (и наоборот), из уравнения (1.46) получаем следующее.

(Подразумевается, конечно, что для всех .) Здесь , Фурье-образ импульсного отклика, называемый частотной передаточной функцией, частотной характеристикой, или частотным откликом сети. Вообще, функция является комплексной и может быть записана как

где — модуль отклика. Фаза отклика определяется следующим образом.

(и обозначают действительную и мнимую части аргумента.)

Частотная передаточная функция линейной, инвариантной относительно времени сети может легко измеряться в лабораторных условиях — в сети с генератором гармонических колебаний на входе и осциллографом на выходе. Если входной сигнал выразить как

то выход можно записать следующим образом.

Входная частота смещается на интересующее нас значение; таким образом, измерения на входе и выходе позволяют определить вид .

1.6.2.1. Случайные процессы и линейные системы

Если случайный процесс формирует вход линейной, инвариантной относительно времени системы, то на выходе этой системы получим также случайный процесс. Иными словами, каждая выборочная функция входного процесса дает выборочную функцию выходного процесса. Входная спектральная плотность мощности и выходная спектральная плотность мощности связаны следующим соотношением.

Уравнение (1.53) предоставляет простой способ нахождения спектральной плотности мощности на выходе линейной, инвариантной относительно времени системы при подаче на вход случайного процесса.

В главах 3 и 4 мы рассмотрим обнаружение сигналов в гауссовом шуме. Основное свойство гауссовых процессов будет применено к линейной системе. Будет показано, что если гауссов процесс подается на инвариантный относительно времени линейный фильтр, то случайный процесс , поступающий на выход, также является гауссовым .

1.6.3. Передача без искажений

Что необходимо для того, чтобы сеть вела себя как идеальный канал передачи? Сигнал на выходе идеального канала связи может запаздывать по отношению к сигналу на входе; кроме того, эти сигналы могут иметь различные амплитуды (простое изменение масштаба), но что касается всего остального — сигнал не должен быть искажен, т.е. он должен иметь ту же форму, что и сигнал на входе. Следовательно, для идеальной неискаженной передачи выходной сигнал мы можем описать как

где и — константы. Применив к обеим частям преобразование Фурье (см. раздел А.3.1), имеем следующее.

Подставляя выражение (1.55) в уравнение (1.49), видим, что необходимая передаточная функция системы для передачи без искажений имеет следующий вид.

Следовательно, для получения идеальной передачи без искажений общий отклик системы должен иметь постоянный модуль, а сдвиг фаз должен быть линейным по частоте. Недостаточно, чтобы система равно усиливала или ослабляла все частотные компоненты. Все гармоники сигнала должны поступать на выход с одинаковым запаздыванием, чтобы их можно было просуммировать. Поскольку запаздывание связано со сдвигом фаз и циклической частотой соотношением

очевидно, что, для того чтобы запаздывание всех компонентов было одинаковым, сдвиг фаз должен быть пропорционален частоте. Для измерения искажения сигнала, вызванного запаздыванием, часто используется характеристика, называемая групповой задержкой; она определяется следующим образом.

Таким образом, для передачи без искажений имеем два эквивалентных требования: фаза должна быть линейной по частоте или групповая задержка должна быть равна константе. На практике сигнал будет искажаться при проходе через некоторые части системы. Для устранения этого искажения в систему могут вводиться схемы коррекции фазы или амплитуды (выравнивания). Вообще, искажение — это общая характеристика ввода-вывода системы, определяющая ее производительность.

1.6.3.1. Идеальный фильтр

Построить идеальную сеть, описываемую уравнением (1.56), нереально. Проблема заключается в том, что в уравнении (1.56) предполагается бесконечная ширина полосы, причем ширина полосы системы определяется интервалом положительных частот, в которых модуль имеет заданную величину. (Вообще, существует несколько мер ширины полосы; самые распространенные перечислены в разделе 1.7.) В качестве приближения к идеальной сети с бесконечной шириной полосы выберем усеченную сеть, без искажения пропускающую все гармоники с частотами между и где — нижняя частота среза, а — верхняя, как показано на рис. 1.11. Все подобные сети называются идеальными фильтрами. Предполагается, что вне диапазона , который называется полосой пропускания (passband), амплитуда отклика идеального фильтра равна нулю. Эффективная ширина полосы пропускания определяется шириной полосы фильтра и составляет Гц.

Каждый электрик должен знать:  Про электриков из Абсурдопедии

Если и , фильтр называется пропускающим (рис. 1.11, а ). Если и имеет конечное значение, он именуется фильтром нижних частот (рис. 1.11, б ). Если имеет ненулевое значение и , он называется фильтром верхних частот (рис. 1.11, в ).

Рис.1.11. Передаточная функция идеальных фильтров: а) идеальный пропускающий фильтр; б) идеальный фильтр нижних частот; в) идеальный фильтр нижних частот

Используя уравнение (1.59) и полагая для идеального фильтра нижних частот с шириной полосы Гц, показанной на рис. 1.11, б , можно записать передаточную функцию следующим образом.

Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12, выражается следующей формулой.

Рис.1.12. Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот

где функция определена в уравнении (1.39). Импульсный отклик, показанный на рис. 1.12, является непричинным; это означает, что в момент подачи сигнала на вход (), на выходе фильтра имеется ненулевой отклик. Таким образом, должно быть очевидно, что идеальный фильтр, описываемый уравнением (1.58), не реализуется в действительности.

Пример 1.2. Прохождение белого шума через идеальный фильтр

Белый шум со спектральной плотностью мощности , показанный на рис 1.8, а , подается на вход идеального фильтра нижних частот, показанного на рис. 1.11, б . Определите спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию выходного сигнала.

Автокорреляционная функция — это результат применения обратного преобразования Фурье к спектральной плотности мощности. Определяется автокорреляционная функция следующим выражением (см. табл. А.1).

Сравнивая полученный результат с формулой (1.62), видим, что имеет тот же вид, что и импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12. В этом примере идеальный фильтр нижних частот преобразовывает автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в функцию . После фильтрации в системе уже не будет белого шума. Выходной шумовой сигнал будет иметь нулевую корреляцию с собственными смещенными копиями только при смещении на , где — любое целое число, отличное от нуля.

1.6.3.2. Реализуемые фильтры

Простейший реализуемый фильтр нижних частот состоит из сопротивления (R) и емкости (С), как показано на рис. 1.13, а ; этот фильтр называется RC-фильтром, и его передаточная функция может быть выражена следующим образом .

где . Амплитудная характеристика и фазовая характеристика изображены на рис. 1.13, б , в . Ширина полосы фильтра нижних частот определяется в точке половинной мощности; эта точка представляет собой частоту, на которой мощность выходного сигнала равна половине максимального значения, или частоту, на которой амплитуда выходного напряжения равна максимального значения.

В общем случае точка половинной мощности выражается в децибелах (дБ) как точка -3 дБ, или точка, находящаяся на 3 дБ ниже максимального значения. По определению величина в децибелах определяется отношением мощностей, и .

Здесь и — напряжения, a и — сопротивления. В системах связи для анализа обычно используется нормированная мощность; в этом случае сопротивления и считаются равными 1 Ом, тогда

Рис.1.13. RC-фильтр и его передаточная функция: а) RC-фильтр; б) амплитудная характеристика RC-фильтра; в) фазовая характеристика RC-фильтра

Амплитудный отклик можно выразить в децибелах как

где и — напряжения на входе и выходе, а сопротивления на входе и выходе предполагаются равными.

Из уравнения (1.63) легко проверить, что точка половинной мощности RC-фильтра нижних частот соответствует рад/с, или Гц. Таким образом, ширина полосы в герцах равна . Форм-фактор фильтра — это мера того, насколько хорошо реальный фильтр аппроксимирует идеальный. Обычно он определяется как отношение ширины полос фильтров по уровню -60 дБ и -6 дБ. Достаточно малый форм-фактор (около 2) можно получить в пропускающем фильтре с очень резким срезом. Для сравнения, форм-фактор простого RC-фильтра нижних частот составляет около 600.

Существует несколько полезных аппроксимаций характеристики идеального фильтра нижних частот. Одну из них дает фильтр Баттерворта, аппроксимирующий идеальный фильтр нижних частот функцией

где — верхняя частота среза (-3 дБ), а — порядок фильтра. Чем выше порядок, тем выше сложность и стоимость реализации фильтра. На рис. 1.14 показаны графики амплитуды для нескольких значений . Отметим, что по мере роста и амплитудные характеристики приближаются к характеристикам идеального фильтра. Фильтры Баттерворта популярны из-за того, что они являются лучшей аппроксимацией идеального случая в смысле максимальной пологости полосы пропускания фильтра.

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье .

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

(1)

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

(2)

Функция S x (f) = | X (f) | 2 <\displaystyle S_(f)=|X(f)|^<2>> характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) <\displaystyle x(t)>, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) <\displaystyle k_(\tau)> :

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 <\displaystyle f=0>и τ = 0 <\displaystyle \tau =0>, имеем

(5)
(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f <\displaystyle S_(f)df> можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 <\displaystyle f-df/2>до f + d f / 2 <\displaystyle f+df/2>. Если понимать под x (t) <\displaystyle x(t)>случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) <\displaystyle S_(f)> будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) <\displaystyle S_(f)> иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 <\displaystyle \sigma _^<2>> – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) <\displaystyle S_(f)> называют спектром мощности случайного процесса.

График спектральной плотности. Спектральная плотность сигнала. Функция автокорреляции детерминированного сигнала

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример — одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде s T (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении s T (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становится сплошным .

При предельном переходе в случае Т => , имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ — нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность — [сигнал/частота].

9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.

10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.

Дискретное преобразование Фурье может быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (t k = kDt, f n = nDf):

S(f) = s(t) exp(-j2pft) dt, S(f n) = Dt s(t k) exp(-j2pf n kDt), (6.1.1)

s(t) = S(f) exp(j2pft) df, s(t k) = Df S(f n) exp(j2pnDft k). (6.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте — к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(f n) являются дискретизаций непрерывной функции S»(f) спектра дискретной функции s(t k), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(t k) являются дискретизацией непрерывной функции s»(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S»(f) и s»(t) по их дискретным отсчетам соответствие S»(f) = S(f) и s»(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2f N = NDf (от -f N до f N), где N – количество отсчетов, при этом:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2f N = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2Tf N . (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме — не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине — отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до f N , т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -f N является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент t k обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(f n) º S n = s k exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(t k) º s k = (1/N) S n exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±f N) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2f N (0 £ n £ N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам S n * интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2f N соответствуют отсчеты S N+1- n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2f N являются отсчеты S n и S N+1- n).

Пример: На интервале Т= , N=100, задан дискретный сигнал s(k) = d(k-i) — прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формуле S(n) = s(k)×exp(-j2pkn/100) с нумерацией по n от -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно, Dw=2p/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s»(k) =(1/100) S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k= <0,99>этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N 2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.

а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);

б) помехи от промышленных установок;

в) атмосферные помехи (грозы, осадки);

г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;

д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.

Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной , либо просто шумом , либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называют мультипликативной . Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления как замирания .

Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости .

Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.

11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.

Величина, характеризующая распределение энергии по спектру сигнала и называемая энергетической спектральной плотностью, существует лишь для сигналов, У которых энергия за бесконечный интервал времени конечна и, следовательно, к ним применимо преобразование Фурье.

Для незатухающих во времени сигналов энергия бесконечно велика и интеграл (1.54) расходится. Задание спектра амплитуд невозможно. Однако средняя мощность Рср, определяемая соотношением

оказывается конечной. Поэтому применяется более широкое понятие «спектральная плотность мощности». Определим ее как производную средней мощности сигнала по частоте и обозначим Сk(щ):

Индексом k подчеркивается, что здесь мы рассматриваем спектральную плотность мощности как характеристику детерминированной функции u(t), описывающей реализацию сигнала.

Эта характеристика сигнала менее содержательна, чем спектральная плотность амплитуд, так как лишена фазовой информации [см. (1.38)]. Поэтому однозначно восстановить по ней исходную реализацию сигнала невозможно. Однако отсутствие фазовой информации позволяет применить это понятие к сигналам, у которых фаза не определена.

Для установления связи между спектральной плотностью Сk(щ) и спектром амплитуд воспользуемся сигналом u(t), существующим на ограниченном интервале времени (-T X (f) = ∫ − ∞ ∞ x (t) e − i 2 π f t d t . <\displaystyle X(f)=\int \limits _<-\infty >^<\infty >x(t)e^<-i2\pi ft>dt.>

(2)

Функция S x (f) = | X (f) | 2 <\displaystyle S_(f)=|X(f)|^<2>> характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу x (t) <\displaystyle x(t)>, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

(3)

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье , которое по известной определяет k x (τ) <\displaystyle k_(\tau)> :

(4)

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f = 0 <\displaystyle f=0>и τ = 0 <\displaystyle \tau =0>, имеем

(5)
(6)

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S x (f) d f <\displaystyle S_(f)df> можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f − d f / 2 <\displaystyle f-df/2>до f + d f / 2 <\displaystyle f+df/2>. Если понимать под x (t) <\displaystyle x(t)>случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S x (f) <\displaystyle S_(f)> будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S x (f) <\displaystyle S_(f)> иногда называют энергетическим спектром . В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: σ x 2 <\displaystyle \sigma _^<2>> – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S x (f) <\displaystyle S_(f)> называют спектром мощности случайного процесса.

Энциклопедичный YouTube

Спектр и спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса

Спектральная плотность треугольного импульса

Спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

I. Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

Здесь — произвольные числовые коэффициенты.

II. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие. Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как. Введём замену переменной: . Тогда,

Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре.

III. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная (- некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0

Спектральная плотность входного сигнала

РАССЧИТЫВАЕМЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1. Корреляционная функция для входного сигнала.

2. Спектральная плотность входного сигнала, амплитудный и фазовый спектр, ширина спектра.

3. Частотный коэффициент передачи цепи, АЧХ, ФЧХ.

4. Импульсная и переходная характеристики цепи.

5. Спектральная плотность выходного сигнала, амплитудный и фазовый спектр, ширина спектра.

6. Выходной сигнал.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

Схема электрическая принципиальная:

uвх(t)
U

Параметры элементов цепи и сигнала:

Вариант Параметры
C C1,нФ
C C2,нФ
L L1 мГн
L L2,мГн
R1,кОм
R2,кОм
U,В
Е T,мкс

1. Нахождение корреляционной функции для входного сигнала, сдвинутого на на интервале

При обработке сигналов часто приходится сравнивать сигнал со смещёнными во времени копиями этого сигнала, а также другими сигналами. О степени связи сигнала со смещёнными копиями можно судить по корреляционным функциям. Для вещественного сигнала S(t), имеющего конечную энергию на бесконечном интервале времени автокорреляционная функция определяется следующим образом:

где -интервал сдвига функции.

При таком определении автокорреляционная функция (АКФ) имеет размерность энергии.

В нашем случае мы имеем сигнал треугольной формы, представленный на рис 1.1.

Рис.1.1 Исходный сигнал.

Математически исходный сигнал можно записать:

Рис.1.2 Смещенный во времени сигнал

Корреляционная функция для входного сигнала, сдвинутого на на интервале [τ, T], согласно (1.1) определяется следующим образом:

где s ( ) — единичная функция

График корреляционной функции (1.2) представлен на рис.1.3

Рис.1.3 Корреляционная функция входного сигнала

Нахождение интервала корреляции:

Подставляя (1.4) и (1.5) в (1.3), найдем значение интервала корреляции:

Спектральный анализ входного сигнала

Спектральная плотность входного сигнала

Данная функция является спектральной плотностью сигнала s(t). Формула (2.1.1) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала. Спектральная плотность — комплекснозначная функция частоты, одновременно несущая информацию как об амплитуде, так и о фазе элементарных синусоид. Модуль спектральной плотности есть амплитудный спектр сигнала, а ее аргумент — фазовый спектр.

Запишем математическое выражение для входного сигнала, используя единичную функцию :

График входного сигнала представлен на рис. 2.1

Рис.2.1 Входной сигнал

Представим сигнал в операторной форме. При нахождении изображения сигнала по Лапласу необходимо учитывать свойство временного сдвига:

При этом изображения простых сигналов определяются как:

Применяя свойство линейности и временного сдвига (2.1.3), а также, учитывая (2.1.4) найдем изображение нашего сигнала:

Так как площадь фигуры, ограниченной графиком функции s(t) и осью абсцисс, является конечной величиной, сигнал s(t) – абсолютно интегрируемый, следовательно, для перехода от изображения к спектральной плотности достаточно заменить p на jω.

Заменив p на jω, получим:

Для преобразования используем формулу Эйлера (2.1.6):

Курсовая работа: Преобразование сигналов и помех радиотехническими цепями

«Преобразование сигналов и помех радиотехническими цепями»

Таганрог 2011 год

1. Отклик на выходе резонансного усилителя и детектора радиотехнического звена при воздействии радиоимпульса

При нахождении отклика на радиоимпульс

на выходе резонансного усилителя воспользуемся методом комплексной огибающей.

Коэффициент передачи резонансного усилителя можно записать в следующем виде

где Kmax = 10 – коэффициент усиления при резонансе,

— обобщенная расстройка контура.

Обозначим , тогда

— постоянная времени контура.

Спектральная плотность комплексной огибающей на входе резонансного усилителя определяется как: [1.c]

Заменяя на р определим комплексную огибающую сигнала на выходе резонансного усилителя с помощью обратного преобразования Лапласа

Изображение комплексной огибающей представлено двумя слагаемыми. Второе из них отличается знаком и множителем , следовательно комплексная огибающая тоже может быть представлена двумя слагаемыми.

Второе слагаемое будет отличаться от первого знаком и сдвигом во времени на . Первое слагаемое при t tu

Найдем модуль и аргумент комплексной огибающей напряжения . Для этого сначала определим модуль и аргумент выражения .

Таким образом, можно записать выражения для огибающей радиоимпульса на выходе резонансного усилителя

Выражение для начальной фазы напряжения на выходе резонансного усилителя выглядит так:

Радиоимпульс на выходе резонансного усилителя можно описать следующим образом:

На выходе амплитудного детектора в соответствии с заданной характеристикой детектирования имеем

Далее учитывая соотношения , , можно построить согласованные во времени временные диаграммы воздействующего радиоимпульса, радиоимпульса на выходе резонансного усилителя, отклик на радиоимпульс на выходе детектора, которые приведены на рисунках 2, 3 и 4 соответственно.

Рис. 2. Воздействующий радиоимпульс

Рис. 3. Радиоимпульс на выходе резонансного усилителя

Рис. 4. Отклик на радиоимпульс на выходе детектора

2. Спектральная плотность радиоимпульса на входе и выходе резонансного усилителя

Как известно, спектральная плотность прямоугольного импульса определяется выражением [1, с. 37]:

Пользуясь свойствами преобразования Фурье, определим спектральную плотность входного радиоимпульса

Рассматривая область только положительных частот, получим выражения для модуля и аргумента спектральной плотности радиоимпульса на входе усилителя:

Спектральная плотность импульса на выходе резонансного усилителя определяется следующим образом

где – комплексный коэффициент передачи линейной цепи, равный

Тогда спектральная плотность сигнала на выходе резонансного усилителя имеет вид:

Модули спектральной плотности радиоимпульсов на входе и выходе резонансного усилителя изображены на рисунках 5 и 6 соответственно, причем спектральная плотность рассчитана только для положительных частот. Она будет симметрична относительно нулевой частоты.

Рис. 5. Модуль спектральной плотности радиоимпульса на входе резонансного усилителя

Рис. 6. Модуль спектральной плотности радиоимпульса на выходе резонансного усилителя

3. Спектральная плотность мощности и корреляционная функция шума на выходе резонансного усилителя

Спектральную плотность мощности шума на выходе резонансного усилителя рассчитаем по следующей формуле:

спектральный мощность усилитель резонансный

График зависимости приведен на рис. 7.

Для нахождения корреляционной функции необходимо применить обратное преобразование Фурье к спектральной плотности мощности

Вычислив интеграл, получим следующее выражение [1.]

Подставив численные значения, получим следующее выражение

Корреляционная функция шума на выходе изображена на рисунке 8.

Рис. 7. Спектральная плотность мощности шума на выходе резонансного усилителя

Рис. 8. Корреляционная функция шума на выходе резонансного усилителя

4. Одномерная плотность вероятности шума на входе и выходе детектора при отсутствии сигнала

На выходе резонансного усилителя одномерная плотность вероятности шума подчиняется нормальному закону

Соответствующий график приведен на рис. 9.

Для нахождения одномерной плотности вероятности на выходе воспользуемся формулой (11.17) и 11.26 из [1, с. 335,337]:

Формула для линейного детектора.

Формула для квадратичного детектора.

Подставляя соответствующее значение для дисперсии, получаем

Где К – коэффициент учитывающий параметр вольтамперной характеристики диода, и сопротивление нагрузки на выходе детектора. Я предположил К=10. Соответствующий график зависимости приведен на рисунке 10.

Рис. 9. Одномерная плотность вероятности шума на входе детектора

Рис. 10. Одномерная плотность вероятности шума на выходе детектора

Реализации случайных процессов на входе и выходе детектора рассчитаны по методике, предложенной в указаниях к данной работе и приведены на рис. 11 и 12 соответственно.

Рис. 11. Реализация шума на входе детектора

Рис. 12. Реализация шума на выходе детектора

5. Вероятность превышения напряжением на выходе детектора значения сигнала, соответствующего концу импульса

Сигнал на выходе детектора в конце импульса (при ) имеет следующее значение: .

Вероятность превышения напряжением на выходе детектора этого значения можно определить, вычислив площадь под кривой в пределах от этого значения до бесконечности.

Итак, вероятность превышения напряжением на выходе детектора значения сигнала,соответствующего концу импульса составляет не более 50.1%.

6. Отношение мощности сигнала к мощности шума на входе и выходе детектора при амплитуде сигнала на выходе резонансного усилителя, соответствующей концу импульса

Отношение сигнал/шум на входе детектора определяется следующим образом [1, с. 341]:

Отношение сигнал/шум на выходе детектора можно определить по формуле [1, с. 341]:

Таким образом .
Заключение

При нахождении отклика на радиоимпульс на выходе резонансного усилителя мы воспользовались методом комплексной огибающей.

Вычисление комплексной огибающей значительно проще, чем непосредственное вычисление сигнала, т. к. изображение комплексной огибающей имеет вдвое меньше полюсов, чем изображение сигнала. Это облегчает вычисление оригинала и обосновывает целесообразность выбора данного метода. Отклик на радиоимпульс на выходе резонансного усилителя отличается от входного радиоимпульса. Искажения происходят очевидно из-за переходных процессов в резонансном усилителе. Длительность переходных процессов 3фк 23 мкс (фк = 1/Дщ 0.707 ), поэтому они не успевают закончиться к концу импульса.

Из анализа графиков для модуля спектральной плотности радиоимпульса на входе и выходе резонансного усилителя видно, что главный максимум сместился влево. Это объясняется расстройкой контура относительно несущей частоты.

При рассмотрении графиков спектральной плотности мощности шума и корреляционной функции шума на выходе резонансного усилителя видно, что удвоенная площадь под первой кривой равна значению дисперсии шума на выходе резонансного усилителя. Это подтверждает правильность произведенных расчетов и построенных графиков.

Из рассмотрения кривых одномерных плотностей вероятности шума, видно что площадь под кривыми близка к единице, т.е. выполняется условие нормировки, а вероятность превышения уровня 3у u не превосходит 1%.

Отношение сигнал шум на входе детектора получилось около 0.5, а на выходе ухудшилось стало 0.153.

Список литературы

1. Гоноровский И.С., Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. М.: Радио и связь, 1986.

2. Корн Г., Корн Т., Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. 1968.

Размещено на реф.рф
В случае если ряд Фурье дает возможность представить периодическую функцию в виде суммы бесконечного числа синусоид с частотами, имеющими дискретные значения, то интеграл Фурье (1.204) представляет непериодическую функцию в виде суммы синусоид с непрерывной последовательностью частот. Спектр периодической функции можно изобразить графически (рис. 1.23). Каждому дискретному значению частоты (частоты wk гармоник ряда Фурье) соответствует определœенное значение коэффициента ряда ck. Спектр, показанный на рис. 1.23, называют дискретным или линœейчатым. Рассмотрим теперь спектр непериодической функции. В результате предельного перехода от ряда к интегралу Фурье интервалы между отдельными спектральными линиями неограниченно сокращаются, вертикальные линии (см. рис. 1.23) всœе больше сближаются, и в пределœе получаем непрерывную кривую S

Из (1.206) следует, что S(w) есть амплитуда для интервала частот (w, w+Dw). Значит, S(w) можно рассматривать как “плотность” амплитуд, приходящихся на интервал частот (w,w+Dw). По этой причине функцию S(w) называют спектральной плотностью S(w) > 0 при любом w.

Спектральная плотность и автокорреляционная функция связаны следующим образом:

Для обработки статистических данных применяют современное программное обеспечение, содержащееся в пакетах MS Excel, MATLAB/Toolboxes Statistika, SignalProcessing, STATISTIKA, STATGRAPHICKS, MATHСAD, NUMERI. По этим пакетам имеется литература на русском языке.

Спектральная плотность. — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Спектральная плотность.» 2020, 2020.

Читайте также

Рассмотрим разложение светового поля в ряд Фурье в выражении для интенсивности света = = = Последняя сумма состоит из слагаемых, осциллирующих на частотах . Если эта частота не равна нулю, то при усреднении по времени слагаемое обращается в нуль. Следовательно, отличны от. [читать подробнее].

Спектральная плотность энергетической светимости — функция частоты и температуры характеризующая распределение энергии излучения по всему спектру частот (или длин волн). Аналогичную функцию можно написать и через длину волны Можно доказать что спектральная. [читать подробнее].

Импульсный сигнал – однополярный, непрерывный во времени. Характеризуется тем, что ток в цепи «генератор- нагрузка» течет в течение (длительность импульса). Отсюда импульсные сигналы стремятся формировать прямоугольными. Импульсные сигналы характеризуются: ·. [читать подробнее].

Спектральная плотность суммы сигналов. Исходя из того, что преобразование Фурье является линейным, при сложении сигналов S1(t) і S2(t), которые имеют спектры S1(w) і S2(w), суммарный сигнал S(t)=S1(t)+S2(t) будет иметь спектр S(w) = S1(w) + S2(w). Пусть для сигнала S(t) справедливо. [читать подробнее].

Видеоимпульс и соответствующий ему радиоимпуль существует существуют в пределах конечного интервала времени, но радиоимпульс имеет высокочастотное заполнение. uв(t) – видеоимпульс uр(t) – радиоимпульс , где – огибающая радиоимпульса, а – его заполнение Если. [читать подробнее].

Спектральная плотность гармонического сигнала. Пусть . Учитывая, что , получаем Пусть задан периодический сигнал рядом Фурье в комплексной форме Спектральная плотность такого сигнала: График представляет собой последовательность -импульсов в. [читать подробнее].

Пусть для сигнала S(t) справедливо преобразование Фурье , т.е. можно сказать, что сигнал S(t) имеет спектральную плотность S(w). Спектральная плотность сигнала F(t), представляющего собой производную сигнала S(t), то есть , определяется следующим образом: исходный сигнал. [читать подробнее].

Пусть для сигналов і известны соответствия , а сигнал S(t) является произведением и . Тогда спектральная плотность: Выразим черезинтеграл Фурье Тогда, Выражение в квадратных скобках является спектром сигнала F(t), сдвинутым на величину x. Интеграл в правой. [читать подробнее].

Спектральная плотность постоянного во времени сигнала. Если сигнал можно описать как некоторую постоянную величину: , то его спектральная плотность определяется как Пусть . Спектральная плотность комплексной экспоненты Спектральная. [читать подробнее].

Рис. 5.5. Если реализация представляет собой совокупность дискретных значений стационарного случайного процесса, зафиксированных через равные промежутки времени , то корреляционная функция определяется по формуле: (5.12) для получения достаточно достоверной. [читать подробнее].

Добавить комментарий
Название: Преобразование сигналов и помех радиотехническими цепями
Раздел: Рефераты по коммуникации и связи
Тип: курсовая работа Добавлен 07:02:03 30 апреля 2011 Похожие работы
Просмотров: 829 Комментариев: 15 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать