Сравнение трансверсальных и рекурсивных ЦФ


СОДЕРЖАНИЕ:

Анализ современных цифровых радиоприемных устройств (стр. 3 из 6)

Отметим, что в последние годы широкое распространение получили линии с псевдошумовыми (ПШ) сигналами. Зачастую в РПУ осуществляют аналоговую свертку ПШ сигнала, т. е. перемножение входной смеси ПШ радиосигнала с помехой на опорный ПШ видеосигнал и узкополосную (по сравнению с шириной спектра ПШ сигнала) фильтрацию результата перемножения. При свертке помехи с любым распределением нормализуются, что позволяет использовать бинарное квантование свернутого сигнала при любых распределениях исходной помехи.

2. Элементы цифровых РПУ

Основными элементами цифровых радиоприемных устройств можно считать, учитывая изложенное выше, такие элементы как цифровые фильтры, цифровые детекторы, устройства цифровой индикации и устройства контроля и управления ЦРПУ. Рассмотрим их более подробно.

2.1 Цифровые фильтры

В общем случае в линейном стационарном цифровом фильтре k-й выходной отсчет y(k) (в момент времени t=kΔ) линейно зависит от k-го входного отсчета x(k) и некоторого количества предшествующих отсчетов x(

Взяв Z-преобразование от левой и правой частей (2) получаем:

Тогда системная функция трансверсального фильтра будет иметь вид:

Равенство (3) определяет дробно-рациональную функцию от Z. Она имеет L-кратный полюс при Z=0 и L нулей, определяемых корнями полинома числителя формулы (3). Последние зависят от отсчетов импульсной характеристики ЦФ g(ℓ)=a . Частотная характеристика трансверсального цифрового фильтр согласно (3) и (1) имеет вид:

Рассмотрим теперь работу ЦФ, работающего по общему алгоритму (1).

Цепи с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепи)

Предположим, что импульсная характеристика некоторой цепи h[n] имеет конечную длину N, т.е. h[n] ≠ 0, 0 ≤ nN — 1. Тогда свертка (12.10) принимает вид конечной суммы

и может быть записана в виде разностного уравнения

Вычисление каждого значения выходного сигнала требует учета текущего и N — 1 предшествующих отсчетов входного сигнала и может быть выполнено цепью, структурная схема которой показана на рис. 12.3. Такие цепи называются трансверсальными, или цепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ-цепями).

Комплексная частотная характеристика КИХ-цепи имеет вид полинома порядка N — 1 относительно e — jω :

Таким образом, КИХ-цепь умножает спектральную плотность входной последовательности на полином.

Рис. 12.3. Структура цепи с конечной импульсной характеристикой

Рекурсивные цепи

Другой важный для практики класс дискретных ЛИС-цепей составляют цепи, которые не умножают, а делят спектральную плотность входной последовательности на полином некоторого порядка M — 1 относительно e — jω . Обозначим этот полином A(e jω ) = α + α1e — jω + α2e — j ∙2 ω + … + αM1e — j ∙( M -1) ω , тогда спектральные плотности входной и выходной последовательностей связаны выражением Y(e jω ) = X(e jω ) / A(e jω ), следовательно, X(e jω ) = Y(e jω ) A(e jω ), откуда по аналогии с (12.3) можно записать

Решая это уравнение относительно выходного сигнала, получаем

откуда, вводя обозначения b = 1/α, αi = —αi/α, находим окончательно разностное уравнение рекурсивной цепи

структура которой показана на рис. 12.4.

Рис. 12.4. Структура рекурсивной цепи

Устойчивость ЛИС-цепей

Обычно к ЛИС-цепям предъявляется требование устойчивости. Напомним, что линейная цепь называется устойчивой, если отклик на воздействие, ограниченное по модулю, также ограничен.

Для устойчивости ЛИС-цепи необходимо и достаточно, чтобы ее импульсная характеристика была абсолютно суммируемой, т.е. выполнялось условие [7]

Очевидно, для импульсных характеристик конечной длины это условие выполняется всегда, поэтому КИХ-цепи всегда устойчивы.

Рекурсивные цепи могут быть неустойчивыми из-за наличия обратных связей. Анализ устойчивости ЛИС-цепей основан на использовании z-преобразования, которое формально может быть получено из преобразования Фурье заменой величины e jω на комплексное переменное z:

z-преобразование может сходиться для одних значений комплексного переменного z и расходиться для других. Множество точек комплексной z-плоскости, в которых z-преобразование сходится, называется областью сходимости. Для абсолютно суммируемой импульсной характеристики область сходимости ее z-преобразования содержит единичную окружность. Если цепь является физически реализуемой (каузальной), то она устойчива в том и только в том случае, если все полюсы ее передаточной функции

по модулю меньше единицы, т.е. находятся внутри единичной окружности.

Самый широкий класс ЛИС-цепей конечного порядка образуют цепи, структура которых может быть сведена к каскадному соединению трансверсальной и рекурсивной частей, что соответствует разностному уравнению вида

откуда следует выражение для КЧХ дробно-рационального вида

В общем случае ЛИС-цепь конечного порядка с КЧХ вида (12.16) имеет бесконечно длинную импульсную характеристику (БИХ), но если полином-числитель делится на знаменатель без остатка, то результатом деления оказывается полином и импульсная характеристика имеет конечную длину (таковы, например, КИХ-фильтры на основе частотной выборки, см. далее).

ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Дискретное преобразование Фурье представляет собой не только инструмент анализа, но и алгоритм ЦОС. На его основе фильтрация сигналов в частотной области может быть реализована следующим образом: для входного сигнала вычисляется ДПФ, полученные спектральные отсчеты умножаются на КЧХ фильтра, а результат умножения подвергается обратному ДПФ. Этот метод фильтрации более экономичный, чем вычисление свертки входного сигнала с импульсной характеристикой фильтра, благодаря существованию очень эффективных (быстрых) алгоритмов, которые получили название быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Основное назначение дискретных ЛИС-цепей заключается в фильтрации дискретных сигналов, т.е. в избирательном воздействии на амплитуды и начальные фазы гармонических составляющих различных частот. Это фактически означает, что любая ЛИС-цепь представляет собой фильтр. Однако интерес представляет построение фильтров с заданными частотно-избирательными и фазовыми свойствами. Построить (синтезировать) фильтр – значит найти его разностное уравнение (т.е. алгоритм вычисления выходного сигнала по известному входному) и/или структурную схему.

Таким образом, под синтезом цифрового фильтра (ЦФ) обычно понимается построение дискретной ЛИС-цепи с КЧХ заданной формы. При решении задачи синтеза обычно не делают различия между дискретными и цифровым цепями, хотя, строго говоря, дискретная ЛИС-цепь становится цифровой в результате квантования коэффициентов ее разностного уравнения.

Ранее было показано, что ЛИС-цепь конечного порядка имеет в общем случае КЧХ дробно-рационального вида (12.7), поэтому, очевидно, задача синтеза ЦФ сводится к аппроксимации желаемой КЧХ функцией дробно-рационального вида, так как, зная эту функцию, легко составить структурную схему цепи или записать разностное уравнение вида (12.6). Указанная аппроксимация сравнительно легко выполняется для КИХ-цепей, когда дробнорациональная функция вырождается в полином, и представляет собой непростую задачу для общего случая. Поэтому методы синтеза ЦФ с конечными и бесконечными импульсными характеристиками различаются.

Методы синтеза КИХ-фильтров

Фильтры с конечной импульсной характеристикой имеют перед БИХ-фильтрами ряд преимуществ. Во-первых, КИХ-фильтры всегда устойчивы. Во-вторых, только КИХ-фильтр может иметь строго линейную фазочастотную характеристику [7] (фильтр с линейной ФЧХ не искажает форму сигнала, если его спектр лежит в полосе частот, где амплитудно-частотная характеристика постоянна; при этом сигнал лишь задерживается на время, пропорциональное крутизне ФЧХ). Наконец, для КИХ-фильтров наиболее просто решается задача аппроксимации КЧХ желаемого вида реализуемой функцией (тригонометрическим полиномом). Однако КИХ-фильтры имеют существенный недостаток по сравнению с БИХ-фильтрами: для обеспечения сравнимых частотно-избирательных свойств, в частности крутизны АЧХ в переходной полосе частот, требуется КИХ-фильтр в десятки раз более высокого порядка, чем БИХ-фильтр. На практике в зависимости от конкретных обстоятельств применяются фильтры обоих типов. Ниже вкратце рассматриваются методы синтеза КИХ-фильтров.

Метод взвешивания (метод функций окна)

КЧХ трансверсального дискретного фильтра представляет собой тригонометрический полином, т.е. функцию вида

Здесь не предполагается каузальность фильтра; если каузальность необходима, ее легко можно обеспечить умножением (13.1) на фазовый множитель ejMω . Если желаемая КЧХ имеет вид Hж(e jω ), то синтез КИХ-фильтра состоит в нахождении тригонометрического полинома, близкого в каком-то смысле к Hж(e jω ). Обычно в качестве критерия близости выбирается среднеквадратическая ошибка аппроксимации

тогда наилучшая аппроксимация обеспечивается, если коэффициентами полинома (13.1) являются коэффициенты разложения желаемой КЧХ в ряд Фурье

Эти коэффициенты представляют собой отсчеты импульсной характеристики КИХ-фильтра, в общем случае некаузального. После соответствующей задержки получается импульсная характеристика каузального фильтра h[n] = bnM, 0 ≤ nN – 1, где N = 2M + 1. Поскольку всякая ЛИС-цепь однозначно определяется своей импульсной характеристикой, на этом синтез КИХ-фильтра можно было бы считать законченным. Однако если желаемая КЧХ разрывна (например, как часто бывает на практике, требуется АЧХ прямоугольной формы), получаемая КЧХ, как сумма усеченного ряда Фурье (13.1), содержит гиббсовские осцилляции. Поэтому применяют дополнительное умножение импульсной характеристики на весовую последовательность («окно») подходящей формы.

Причина явления Гиббса заключается в слишком медленном убывании коэффициентов Фурье-разложения разрывной функции, поэтому все применяемые окна убывают от середины к краям [7]. Для достижения приемлемых избирательных свойств длина импульсной характеристики, определяющая объем вычислений, на практике составляет обычно несколько сотен.

Кроме метода взвешивания, иногда применяют другой способ борьбы с гиббсовскими осцилляциями. На этапе формулирования требований к фильтру вводят переходную полосу, в которой задают закон непрерывного изменения АЧХ (например, линейный закон) [7]. Тогда ряд Фурье сходится равномерно и явление Гиббса отсутствует. Это не означает, что исчезает неравномерность АЧХ, просто осцилляции теперь убывают по амплитуде с увеличением порядка фильтра.

Следует также упомянуть машинные методы синтеза КИХ-фильтров на основе численной оптимизации. При этом подбором коэффициентов КИХ-фильтра минимизируется взвешенная среднеквадратическая ошибка

где q(ω) – весовая функция, позволяющая управлять относительной значимостью ошибок на разных участках частотной оси, или максимальная взвешенная погрешность

Эти методы позволяют получить меньшие погрешности аппроксимации по сравнению с описанным выше методом оконного взвешивания, но их анализ значительно сложнее [7].

Метод частотной выборки

Метод синтеза фильтров с конечной импульсной характеристикой, получивший название метода частотной выборки, основан на задании значений желаемой КЧХ в точках, расположенных равномерно на единичной-окружности и соответствующих точкам частотной оси (отсюда название метода) и аппроксимации КЧХ интерполяционным полиномом Лагранжа [7]. Этот метод приводит к построению структуры, содержащей трансверсальную и рекурсивную части, которой, тем не менее, соответствует конечная импульсная характеристика. Благодаря наличию рекурсии такие фильтры при реализации требуют меньшего числа операций по сравнению с рассмотренными выше КИХ-фильтрами и оказываются предпочтительными.

Метод быстрой свертки

Фильтрация сигналов может быть выполнена в частотной области путем вычисления спектральной плотности входного сигнала, умножения ее на КЧХ фильтра и выполнения обратного преобразования Фурье (на практике для входного сигнала, который представляет собой реализацию случайного процесса, можно вычислить только дискретное преобразование Фурье). Этот на первый взгляд сложный способ нахождения выходного сигнала оказывается на практике более эффективным в вычислительном отношении, чем прямое вычисление свертки, благодаря существованию алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Метод КИХ-фильтрации на основе БПФ получил название метода быстрой свертки.

При его реализации необходимо учитывать следующие два обстоятельства. Первое состоит в том, что дискретное преобразование Фурье обладает двойственностью – оно соответствует как последовательностям конечной длины, так и периодическим последовательностям. По этой причине перемножение коэффициентов ДПФ двух последовательностей (входного сигнала и импульсной характеристики) соответствует не обычной (апериодической), а так называемой циклической (круговой) свертке.

Убедимся, что это действительно так.

Пусть и – периодические последовательности с периодом N. Их циклическая свертка определяется выражением

ДПФ результирующей последовательности

где находятся как ДПФ N-периодических последовательностей и , а H[k] и X[k] – как ДПФ их конечных фрагментов длины.

При выводе (13.3) учтен тот факт, что сумма в круглых скобках во второй строке равна независимо от m в силу периодичности суммируемых членов: при различных m суммируются одни и те же N слагаемых в разном порядке. Таким образом, видно, что циклическая свертка (или свертка периодических последовательностей) соответствует поточечному произведению ДПФ-спектров последовательностей. При фильтрации же должна выполняться обычная апериодическая свертка, определяемая выражением (13.2).

Преодолеть эту трудность можно следующим образом. Преобразование Фурье последовательности длины N дает полином (относительно e ) степени N — 1. Полагая, что x[n] и h[n] – последовательности длины N, видим, что произведение их фурье-образов есть полином степени 2(N – 1). Но при поточечном перемножении ДПФ-спектров, имеющих по N отсчетов, получается всего N результирующих отсчетов, что соответствует полиному всего лишь (N – 1)-й степени. Единственный способ получения правильного результата умножения двух полиномов состоит в том, чтобы точек вычисления ДПФ «хватило» для представления результата. Иначе говоря, если используется N-точечное ДПФ, то степень результирующего полинома должна быть не выше (N – 1). Это, в свою очередь, означает, что сумма длин последовательностей x[n] и h[n] (обозначим их M и L) должна удовлетворять очевидному соотношению M — 1 + L — 1 ≤ N — 1 (или M + L — 1 ≤ N). Для того чтобы можно было для последовательности x[n] длины M 22 23242526Следующая ⇒

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000), страница 90

Описание файла

DJVU-файл из архива «Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы (3-е издание, 2000)», который расположен в категории «книги и методические указания». Всё это находится в предмете «радиотехнические цепи и сигналы (ртц)» из пятого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе «книги и методические указания», в предмете «радиотехнические цепи и сигналы (ртц)» в общих файлах.

Просмотр DJVU-файла онлайн

Распознанный текст из DJVU-файла, 90 — страница

Дискретные сигналы. Принципы циоровой фцпьтраццц 414 15.6. Синтез линейных цифровых фильтров Важное практическое значение имеют методы синтеза ЦФ, обеспечивающие заранее заданные свойства, например, требуемый вид импульсной или частотной характеристики [40). Ниже будет идти речь о тех приемах синтеза, которые существенным образом опираются на свойства аналоговых цепей, служащих модельными аналогами (прототипами) цифровых устройств Метод инвариаитных импульсных характеристик.

В основе этого простейшего метода синтеза ЦФ лежит предположение о том, что синтезируемый ЦФ должен обладать импульсной характеристикой, которая является результатом дискретизации импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа. Имея в виду синтез физически реализуемых систем, для которых импульсная характеристика обращается в нуль при с 0 (15.80) Следует обратить внимание на то, что число отдельных членов в выражении импульсной характеристики ЦФ может быть как конечным, так и бесконечным.

Это определяет структуру синтезируемого фильтра: импульсной характеристике с конечным числом отсчетов отвечает трансверсальный фильтр, в то время как для реализации неограниченно протяженной импульсной характеристики требуется рекурсивный ЦФ. Связь между коэффициентами импульсной характеристики и структурой ЦФ особенно проста лля трансверсального фильтра. В общем случае синтез структуры фильтра осуществляется путем применения г-преобразования к последовательности вида (15.79). Найдя системную функцию Н(г) фильтра, следует сравнить ее с общим выражением (15.б4) и определить коэффициенты трансверсальной и рекурсивной частей. Степень приближения амплитудно-частотной характеристики синтезированного ЦФ к характеристике аналогового прототипа зависит от выбранного шага дискретизации сь. При необходимости следует вычислить частотный коэффициент передачи ЦФ, осуществив в системной функции Н(г) замену переменной по формуле г =ехр((цьсь), и затем сравнить результат с частотным коэффициентом передачи аналоговой цепи.

415 15.6. Синтез линейных цифровых фильтров (несузцественный для задачи синтеза амплитудный множитель в импульсной характеристике положен равным единице). Пусть импульсная характеристика аппроксимнруется последовательностью иэ трех равноотстоящих отсчетов: (й ) [1 е™ е-зы.) (15.8!) Трансверсальный ЦФ с такой импульсной характеристикой описывается разносзным уравнением у, = х„+ е ьнхь, + е зьнхь з. (15.82) Применив з-преобразование к последовательности (15.8Ц, находим системную функцию ЦФ Н(г) =1+в ы*з ‘+е ‘»‘з ‘, (15.83) откуда частотный коэффициент передачи К()ю) = 1 + е ьне з»‘ + е ‘ьне зьы (15.84) Пример 15.8.

Рассмотреть случай, когда импульснав характеристика (15.80) аналоговой цепи аппроксимируется бесконечной дискретной последовательностью (йь) (1 е-ы е-зы ) (15.85) Выполнив з-преобразование импульсной характеристики (15.85), получим системную функцию О(з) — 1 .1. е ы’з з .1. е зьдз з .1. = 1 ! — е ы’з ‘ (15.86) Данной системной функции отвечает рекурсивный ЦФ 1-со порядка, содержащий, помимо сумматора, один масштабный блок н один элемент задержки.

Частотный коэффициент передачи фильтра 1 К Ою) (15.87) Положим для конкретности, что отношение т/Ь = 5. На основании формул (15.88), (15.84) и (15.87), сделав несложные преобразования, запишем выражения нормированных АЧХ аналогового и двух цифровых фильтров, рекурсивного и Сравнение трансверсальиых и рекурсивных ЦФ. Желательно, чтобы АЧХ синтезируемого ЦФ достаточно точно аппроксимировала АЧХ аналогового прототипа. Выбор того или иного варианта структуры ЦФ в рамках метода инвариантной импульсной характеристики существенно сказывается на точности приближения.

Сравним частотные характеристики двух ЦФ, рассмот- т ренных в примерах 15.7 и 15.8. Оба эти фильтра соот- решите задачу 12 ветсгвуют аналоговому прототипу с частотным коэффициентом передачи: К(/се) = 1/(1+/сот). Глава 15. Дисаретиые сигналы. Принципы цифровой фильтрации 416 трансверсального ! Х(!а)

! ° (/1.6703 — 1.6375 соз аЬ (15.89) (15.90) К(!а) (15.91) К(/О) та 2,4890 Результаты расчета величин ) К()а)/К (!О) ) по данным формулам сведены в табл. 153. Таблица !5.! 0.0 !.0000 !.0000 0.5 0.37! 4 0.3754 1.0 О.!96! 0.2046 1.5 ОЛ322 0.1454 2.0 0.0995 О.! 1 82 2.5 0.0797 О.! 050 3.0 0.0665 0.1000 ! .0000 0.920! 0.7005 0.3990 0.1305 0.2234 0.3360 Предположим, что щаг дискретизации равен !5 и рассмотрим совокупности дискретных отсчетов (у,) и (ха).

Если в (15.92) заменить производные их конечно-разностными выражениями, то дифференциальное уравнение превратится в разностное уравнение (15.93) Из приведенных данных видно, что как рекурсивный, так и трансверсальный ЦФ действительно обладают характеристиками фильтров нижних частот. Однако рекурсивный фильтр по своим частотным свойствам оказывается гораздо ближе к аналоговому прототипу. Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнении аналоговой цепи. К структуре ЦФ, приближенно соответствующего известной аналоговой цепи, можно прийти, осуществив дискретизацию дифференциального уравнения, описывающего аналоговый прототип. Как пример использования этого метода рассмотрим синтез ЦФ, отвечающего колебательной динамической системе 2-го порядка, для которой связь между выходным колебанием у(г) и входным колебанием х(!) устанавливается дифференциальным уравнением — + 2а — + аезу = х (1).

бзу ду бг’ дг (15.92) 15,6. Синтез линейных цифровых фильтров 417 Перегруппировав слагаемые, отсюда получаем Ь’х„+ 2 (1 + аЬ) у„- г — У, — з Уа 1 2пД+ заз (15.94) Разностное уравнение (15.94) задает алгоритм рекурсивного фильтра 2-го порядка, который моделирует аналоговую коле- ° бательную систему. Такой ЦФ принято называть пифро- цифровой вым резонатором. При соответствующем выборе коэффн- тоР циентов цифровой резонатор может выполнять роль частотно- избирательного фильтра, подобного колебательному контуру.

Метод ннвариантных часготиых характеристик. Принципиально невозможно создать ЦФ„частотная характеристика которого в точности повторяла бы частотную характеристику некоторой аналоговой цепи. Причина состоит в том, что, как известно, частотный коэффициент передачи ЦФ является периодической функцией частоты с периодом, определяемым шагом дискретизации (рис. 1512).

резона- О а 1 — 2и)Ь -и)а О и)а 2и Уа Р с 15. 2. б ис. 15.12. Амплитудно-частотиые характеристики фильтров: о — аналогового; 6 — цифрового Г оворя о подобии (инвариантности) частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров, можно требовать лишь то, чтобы весь бесконечный интервал частот оз„относящихся к аналоговой системе, был преобразован в отрезок частот оз„цифрового фильтра, удовлетворяющих неравенству — л/Л с оза с к/Ь принцип подобии частотных характеристик аналогового и цифрового фильтров (15.95) при сохранении общего вида АЧХ. Пусть Ка(р) — передаточная функция аналогового фильтра, задаваемая’ дробно-рациональным выражением по степеням комплексной частоты р.

Если воспользоваться связью между переменными в и р: з = ехр(РЬ), то можно записать р = (1/Ь)1пг. (15.96) Однако с помощью этого закона связи нельзя пол- у чить физически реализуемую системную функцию ЦФ, по- 418 Глава 15. даскрезцые слптлы. Прцлцццы цлфровой флльтрвцлл скольку подстановка (15.96) в выражение К,(р) приведет к системной функции, не выражающейся в виде частного двух многочленов. Требуется найти такую дробно-рациональную функцию от г, которая обладала бы основным свойством преобразования (15.96), а именно переводила бы точки единичной окружности, лежащей в плоскости г, в точки мнимой оси на плоскости р.

Среди прочих способов для синтеза фильтров нижних частот получила распространение связь вида [40) Функцию вида (15.97) называют билинейным преоб- разованием о 2 г — 1 Л г+1* (15.97) устанавливающая однозначное соответствие между точками единичной окружности в г-плоскости со всей мнимой осью в р-плоскости. Характерная особенность этого закона преобразования состоит в следующем. Пусть в (15.97) выполНЕНа ЗаМЕНа ПЕрЕМЕННОй г = ЕХр(/сгиба). ТОГда /Оз, = (2/дз) [ехр (/Ози Л) — 1зз/[ехр (/Озим) + 1дз, откуда вытекает соотношение между частотными перемен- НЫМИ Ф, И Фи апаЛОГОВОй И ЦИфРОВОй СИСТЕМ: 2 Оз„б Оз = — 18 —» Л 2 Если частота дискретизации достаточно велика (Оз„Ь

1), то, как легко видеть из формулы (15.98), Ф, ее Фп Таким образом, на низких частотах характеристики аналогового и цифрового фильтров практически совпадают.

В общем случае нужно принимать во внимание трансформацию масштаба по оси частот цифрового фильтра, описываемого формулой (15.98). Практически процедура синтеза ЦФ состоит в том„что в функции К,(р) аналоговой цепи выполняется замена переменной по формуле (15.97). Полученная при этом системная функция ЦФ оказывается дробно-рациональной и поэтому позволяет непосредственно записать алгоритм цифровой фильтрации. связь между частотными переменными аналогового и цифрового филь- тров Пример 15.9. Синтезировать циягровой фильтр с частотной карактериспшкой, подобной характеристике аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттерворта.

Частота среза для ЦФ ы „= 1%О с Частота дискретизации ыд — — 10000 с Прежде всего определяем шаг ллскретлзацлл зх = 2я/ыв —— = 6.2832.!О л с. По формуле (15.98) находим частоту среза аналогового фильтра, лодоблого слитезлруемому ЦФ: 2 ОЗ,ил ы = — 18 св = 1621.9 с ‘. Ь 2 Как известно, передаточная функция аналогового ФНЧ 2-го порядка типа Баттервортв, рассматриваемая относительно цормл- 419 15.б. Синтез линейных цифровых фильтров ровапной комплексной частоты р„, имеет внд (см, гя, 13) 1 к,(р„) =— рг -ь (/2р„.ь 1 вли при переходе к истинной комплексной частоте вг ка(р) = -)/2в (15.99) (15.100) Выполняв в (15.100) замену переменной вада (15.97), находим системную фупкпию ЦФ; Н (г) = вг, (г + 1)г Я(2/б) + )/2 (2/Л) в„-

— вг,| гг + +2(вг — (2/о)гзг+(2/о)г $/2(2/Ь)вгв+вг ) 1 (15101) А решите задачу 13 Подставив в эту формулу числовые значения, получим следующий результат: гг -Ь 2г + 1 (15.102) 7.6272гг — 5.7033г + 2.07б1 Влияние квантования сигнала иа рабату цифрового фильтра.

Произвести синтез ЦФ с помощью метода инвариантности

импульсной характеристики по найденной в пункте 6.3.1. g(t).

Построить схему алгоритма ЦФ.

Продискретизируем импульсную характеристику аналогового фильтра-прототипа.Для дискретизации импульсной характеристики необходимо непрерывный аргумент t заменить на дискретный — :

На рисунке представлена дискретизированная импульсная характеристика:

Рисунок 3.4.1 Дискретизированная импульсная характеристика

Системная функция трансверсального ЦФ представляет собой сумму вида:

Коэффициенты приведены в таблице 3.4.1:

Начиная с n = 4 значения коэффициентов не превышают уровня 0.1 от максимального. Поэтому порядок M трансверсального фильтра равен 4.

Структурная схема трансверсального фильтра приведена на рисунке

Рисунок 3.4.2 Структурная схема трансверсального фильтра

Работа трансверсального ЦФ 8-го порядка описывается алгоритмом:

Сделав замену ,получим АЧХ трансверсального ЦФ восьмого порядка с параметрами:

Рисунок 3.4.3 АЧХ трансверсального ЦФ

Пульсации АЧХ трансверсального фильтра объясняются ограничением импульсной характеристики во времени.

Цифровой фильтр с бесконечной импульсной характеристикой реализуется при учете в дискретной импульсной характеристике бесконечного числа слагаемых. При этом мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, сворачивая которую, получим системную функцию ЦФ канонического вида:

Коэффициенты и рекурсивного ЦФ приведены в таблице 3.4.2:


Таблица 3.4.2 — Коэффициенты и рекурсивного ЦФ

Структурная схема рекурсивного ЦФ приведена на рисунке 3.4.4:

Рисунок 3.4.4 Структурная схема рекурсивного цифрового фильтра

Работа рекурсивного БИХ — фильтра описывается алгоритмом:

Сделав замену ,получим АЧХ рекурсивного ЦФ

Рисунок 3.4.5 АЧХ рекурсивного ЦФ

Периодичность АЧХ ЦФ является результатом дискретизации импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа.

АЧХ рекурсивного фильтра, полученного методом инвариантности импульсной характеристики, более точно повторяет частотную характеристику аналогового фильтра-прототипа, но при этом его необходимо проверять на устойчивость данный фильтр устойчив, т.к все коэффициенты попадают в круг единичного радиуса.

Найти отклики рекурсивных ЦФ на входную дискретную последовательность, полученную в первой части курсовой работы

Дискретная свертка задается следующим выражением:

где это значения отсчетов входного сигнала, которые были найдены в пункте 2.1.

На рисунке 3.5.1 приведены отсчеты сигнала на выходе ЦФ полученного методом билинейной замены:

Рисунок 3.5.1 Результат прохождения сигнала через ЦФ, полученный методом билинейной замены

Так как БИХ — фильтр имеет как трансверсальную, так и рекурсивную части, то отклик этого фильтра асимптотически стремится к нулю, имея бесконечную длительность.

НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Нерекурсивные цифровые фильтры первого и второго порядка. — Особенности нерекурсивных цифровых фильтров. — Нерекурсивные цифровые фильтры с линейной ФЧХ. — Расчет нерекурсивных цифровых фильтров при помощи методов взвешивания и разложения АЧХ в ряд Фурье. — Реализация рекурсивных цифровых фильтров

Нерекурсивные цифровые фильтры первого порядка

Разностное уравнение нерекурсивного цифрового фильтра первого порядка имеет вид

где Ь0 и 6, — постоянные коэффициенты. Структурная схема фильтра, построенная по разностному уравнению, показана на рис. 11.1, а.

Применив к разностному уравнению прямое Z-преобразование, получим передаточную функцию

Запишем передаточную функцию в следующем виде:

Отсюда следует, что нерекурсивный цифровой фильтр первого порядка имеет один нуль v, = -bjb0 и один полюс X, = 0.

Импульсная характеристика содержит два отсчета: h(0)=b0 и h()=b]. На рис. 11.1,6 представлена импульсная характеристика фильтра при Ьи =1 и 6, =1.

Рис. 11.1. Характеристики нерекурсивного ЦФ первого порядка: а — структурная схема; б — импульсная характеристика; в — АЧХ и ФЧХ

После замены в передаточной функции z-e JW получим частотную передаточную функцию

где нормированная частота со=о имеет период повторения ы =2л. Отсюда для АЧХ и ФЧХ получим:

На рис. 11.2, в изображены АЧХ и ФЧХ фильтра при 6=1 и 6, =1.

РЕКУРСИВНЫЕ И НЕРЕКУРСИВНЫЕ ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ

Особенности формирования выходных сигналов

Для формирования выходного сигнала в -ый момент времени ЦФ могут использовать следующие данные:

— текущий отсчет входного сигнала ;

— некоторое число предшествующих отсчетов входного сигнала ;

— некоторое число предшествующих отсчетов выходного сигнала .

и — целые числа, определяющие порядок фильтра. Число называют памятью ЦФ по входу, — по выходу.

ЦФ с памятью по выходу называют рекурсивным (от англ. recur – возвращаться (к чему-либо), повторяться). Его реакция в каждый момент времени определяется текущим отсчетом воздействия, предысторией воздействия, предысторией реакции.

ЦФ без памяти по выходу называют нерекурсивным или трансверсальным (от англ. transverse – поперечный). Его реакция в каждый момент времени определяется текущим отсчетом воздействия, предысторией воздействия.

Нерекурсивный ЦФ

Такой фильтр работает по алгоритму:

где — постоянные коэффициенты;

— число, определяющее порядок фильтра.

Графическим представлением алгоритмов цифровой фильтрации являются структурные схемы.

Рисунок 26.1 – структурная схема не рекурсивного ЦФ.

Схема содержит элементов задержки на шаг дискретизации, умножителей на постоянные коэффициенты и многовходовый сумматор.

Таблица 26.1 – Принцип действия нерекурсивного ЦФ.

Поделитесь ссылкой пожалуйста:
Момент времени Входной отсчет Выходной отсчет

Отсчеты импульсной характеристики трансверсального ЦФ совпадают с коэффициентами постоянными коэффициентами:

Она содержит конечное число отсчетов. В связи с этим трансверсальные ЦФ называют фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтрами).

Рекурсивный ЦФ

Такой фильтр работает по алгоритму:

где — постоянные коэффициенты.

Построенная по этому алгоритму структурная схема отвечает прямой форме реализации.

Рисунок 26.2 – Структурная схема рекурсивного ЦФ при прямой форме реализации.

Схема состоит из двух частей: верхняя отображает первую сумму алгоритма фильтрации и соответствует структуре нерекурсивного ЦФ, а нижняя – вторую сумму алгоритма и представляет собой цепь обратной связи. Схема содержит элементов задержки на шаг дискретизации, умножителей на постоянные коэффициенты, многовходовый сумматор.

Таблица 26.2 – Принцип действия рекурсивного ЦФ при прямой форме реализации.

Момент времени Входной отсчет Выходной отсчет

Недостаток такой реализации – потребность в большом числе ( ) элементов задержки отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей.

Минимально возможное количество элементов задержки ( ) требуется в рекурсивных ЦФ при канонической форме реализации.

Рисунок 26.3 – Структурная схема рекурсивного ЦФ при канонической форме реализации.

Таблица 26.3 – Принцип действия рекурсивного ЦФ при канонической форме реализации.

Момент времени Входной отсчет Отсчет вспомогательной последовательности Выходной отсчет

Из-за наличия обратной связи импульсная характеристика рекурсивного ЦФ имеет вид неограниченно-протяженной последоватеьности. В связи с этим рекурсивные ЦФ называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами).

Great Wall Hover Белый Ворон › Бортжурнал › Сравнение Comforser CF3000 и Roadcruza RA3200. Отзыв о CF3000 спустя 30000 км. пробега!

Привет друзья и гости моего БЖ!

Как я уже говорил, стал обладателем новых колес, Roadcruza RA3200 в размере 32/11,5/15, мои старые Comforser CF3000 с остатком 12 мм (новые 14,5) и 30 000 км пробега ухали дальше покорять просторы бездорожья под боевым УАЗом sochinsk !

Что могу сказать о времени, которое откатал на Comforser CF3000… единственный недостаток, который в итоге перевесил чашу весов в пользу Roadcruza RA3200 — это направленный рисунок! Минус, по сути, только в неудобстве перекидывания колес во избежание не равномерного износа! Все остальные впечатления с времен моего первого отчета не изменились!
На момент продажи резина не имела ни одного дефекта, остается эластичной в морозы и отлично травится!

Пока изучал новый выбор наткнулся на пару негативных отзывов о CF3000, в том числе от «великого» знатока Ховеров igaista , текст собственно тут
Специально поясню! Паша, ты ездил не на Комфорсерах, а на их копии, которая за счет того, что Comforser CF3000 является самой продаваемой внедорожной шиной в России впаривается также, однако сделана с изменением состава резины для удешевления (и все эти типа «комфорсеры» значительно хуже), поэтому и показатели износа и ходовые характеристики у нее отличаются (информация от закупщиков).

Вернемся к сравнению!
Протектор
Comforser CF3000 направленный (в моей ситуации минус)
Roadcruza RA3200 не направленный +

Comforser CF3000 у новой глубина протектора 14,5
Roadcruza RA3200 у новой глубина протектора 14,5

Боковые грунтозацепы
Тут то самое интересное!
Comforser CF3000

На первый взгляд кажется, что они примерно одинаковы, однако, если присмотреться становится понятно, что у Comforser CF3000 нет борозды на стыке плоскостей и шашечки в разнобой переходят в боковые шашки! У соперника они не сказать, что не выделяются, но явно слабже!

Шумность
Comforser CF3000 — шумят на всех скоростях но как-то монотонно, слегка дробят при езде накатом 5-10 км/ч.
Roadcruza RA3200 — шумят значительно сильнее и в другой тональности, видимо не направленный рисунок сказывается серьезно! Также дробят

Аквапланирование
У меня перед гаражами есть вечная лужа, называем Азовским морем (улица Азовская)! Я, по своему обыкновению, после грязевых процедур, в ней мою днище влетая в нее на скорости около 60 км/ч. так вот тут то меня Roadcruza RA3200 сильно огорчили! Comforser CF3000 при входе в воду как бы вгрызаются в асфальт практически тут же останавливая машину, я не помню такого, чтобы я переставал чувствовать сцепление резины с асфальтом, а новая резина показала мне что такой ватный руль… при влете в глубокую лужу между Roadcruza RA3200 и асфальтом образовывается водная подушка, руль реально плывет…

Цена
Comforser cf3000 — 25500
Roadcruza RA3200 — 27300

Так что не сказать, что я в восторге от покупки, единственный реальный плюс это возможность спокойно перекидывать колеса без посещения шиномонтажа!
Как покажет себя резина при травлении и что с износом буду писать по ходу эксплуатации!
Надеюсь кому-нибудь будет полезно!

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине « Радиотехнические цепи и сигналы »

Доцент кафедры тор

Курсовая работа 40 страниц.

В данной курсовой работе мы провели расчет прохождения непериодического сигнала через линейную цепь, исследовали методы цифрового представления сигналов и синтез цифровых фильтров.

В ходе выполнения задания продемонстрировано дискретизация и восстановление аналогового сигнала различными методами

Синтез ЦФ производится по известной импульсной характеристике аналогового фильтра-прототипа и по известной АЧХ (фильтр Чебышева). Для синтеза используются методы инвариантности им­пульсной характеристики и билинейной замены.

В результате были получены трансверсальный ЦФ (КИХ-фильтр) и рекурсивный (БИХ-фильтр). У всех ЦФ были найдены и про­анализированы отклики на дискретную последовательность

Задание

на курсовую работу по дисциплине «Радиотехнические цепи и сигналы» студенту

1 Тема работы: Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация.

2 Срок сдачи работы на кафедру:.

3 Цель: практическое освоение методов анализа дискретных сигналов, а также, анализа и синтеза цифровых фильтров на примере решения конкретной задачи.

4 Рекомендуемая литература:

4.1 Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. — 4-е изд., перераб. и доп. -, М.: Радио и связь, 1986. — 512 с.

4.2 Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. — 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1988. — 448 с.

4.3 Каратаева Н.А. Радиотехнические цепи и сигналы. Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация: Методические указания по выполнению курсовой работы. -Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2002. — 93 с.

5 Дополнительную литературу студент ищет самостоятельно в зависимости от темы и сложности задания.

6.1 Дискретная обработка аналогового сигнала.

6.1.1 Дискретизировать заданный сигнал, и восстановить аналоговый сигнал, используя ряд Котельникова.

6.1.2 Рассчитать спектр дискретной последовательности, определенной в пункте 6.1.1.Построить график.

6.1.3 Найти Z-преобразование найденной в пункте 6.1.1 дискретной последовательно­сти.

6.1.4 Определить дискретное преобразование Фурье той же дискретной последова­тельности. Построить график комплексных коэффициентов Ck. Восстановить аналоговый сигнал, используя тригонометрический ряд

6.1.5 По результатам пункта 6.1.4 найти исходную дискретную последовательность, применяя обратное дискретное преобразование Фурье к Ck. Построить график.

6.1.6 Произвести сравнение результатов вычислений.

6.2 Цифровая фильтрация. Синтез цифрового фильтра по известному аналоговому фильтру-прототипу.

6.2.1 Для заданной аналоговой электрической цепи найти операторное выражение пе­редаточной функции К (р) и импульсную характеристику .

6.2.2 Осуществить синтез цифровой цепи методом билинейного Z-преобразования по найденной в пункте 6.2.1 К (р). Построить схему алгоритма цифрового фильтра.

6.2.3 Рассчитать и построить амплитудно-частотную, фазо-частотную и импульсную характеристики ЦФ.

6.2.4Произвести синтез ЦФ с помощью метода инвариантности импульсной характе­ристики по найденной в пункте 6.2.1 . Построить схему алгоритма ЦФ.

6.2.5 Найти отклики рекурсивных ЦФ на входную дискретную последовательность, полученную в первой части курсовой работы.

6.2.6 Сделать выводы.

6.3 Цифровая фильтрация. Синтез ЦФ Чебышева по заданной АЧХ ЦФ.


6.3.1 Методом билинейного Z-преобразования синтезировать цифровой фильтр ниж­них частот с максимально плоской АЧХ (фильтр Чебышева), обеспечивающий на удвоенной частоте среза ЦФ затухание не меньше а дБ. Частоту среза ЦФ выбрать равной ширине основного лепестка спектра входного сигнала.

6.3.2 Рассчитать АЧХ, ФЧХ и импульсную характеристику синтезированного ЦФ.

6.3.3 Определить вид дискретного сигнала на выходе фильтра при воздействии на его вход последовательности отсчётов, рассчитанных в первой части курсовой работы.

7. Исходные данные:

7.1 Аналоговый сигнал:

, , где постоянная времени цепи.

Параметры АЧХ фильтра Чебышева:

Затухание АЧХ в полосе задерживания на частоте :26 дБ.

Неравномерность АЧХ в пределах полосы пропускания на частоте :1 дБ.

8 Состав пояснительной записки:

8.1 Титульный лист.

8.3 Лист задания с подписью руководителя.

8.5 Введение. Постановка задачи.

8.7 Выводы по проделанной работе.

8.8 Список использованных источников.

9 Отчетность по работе:

9.1 Пояснительная записка, в обязательном порядке со всеми разделами по п.8. без ис­ключения.

После оформления пояснительной записки — защита на кафедре.

Дата выдачи задания ________________

Подпись руководителя_______________ Подпись студента___________________

Сравнение трансверсальных и рекурсивных ЦФ

Таблица 2.5.1 Модули коэффициентов прямого дискретного преобразования Фурье

Рисунок 2.5.1 Отсчеты спектральной плотности, полученные по ДПФ

2.6 Восстановление исходного сигнала по ДПФ

Если на основании совокупности отсчётов S 0 , S 1, S 2 ,…, S N -1 некоторого сигнала найдены коэффициенты ДПФ C 0 , C 1 , C 2 ,…, C N -1 , то по ним всегда можно восстановить исходный сигнал S ( t ) с ограниченным спектром, который был подвергнут дискретизации. Ряд Фурье такого сигнала (для чётного числа N ) принимает вид конечной суммы

где — фазовый угол коэффициента ДПФ. Таким образом исходный вид восстановленного сигнала запишем в виде суммы:

Представим графически результат восстановления сигнала по отсчётам его спектральной плотности:

Рисунок 2.6.1Аналоговый периодический сигнал — Sfur ( t ), восстановленный по коэффициентам ряда Фурье, исходный сигнал — S ( t ), отсчёты исходного аналогового сигнала — S ( tt )

Восстановленный сигнал Sfur ( t ), является периодической функцией времени, почти точно проходит по отсчётам выборки на первом периоде.

2.7 Z -преобразование дискретной последовательности.

Прямое Z — преобразование последовательности определяется формулой:

Рисунок 2.7.1 Спектральная плотность последовательности

Таким образом на первом периоде Z -преобразованная спектральная плотность Sz ( w ) совпадает с исходной спектральной плотностью S ( w ).

Таким образом, пара Z -преобразований позволяет связать частотный и временной образы дискретного сигнала. Причём выборке отсчётов сигнала во временной области соответствует периодическая спектральная плотность в частотной области с периодом повторения Wdis .

2.8 Восстановление аналогового сигнала с использованием ряда Котельникова.

Восстановление аналогового сигнала по заданным отсчётам произведём, используя ряд Котельникова:

В данном случае ряд Котельникова для восстановления сигнала S ( t ) выглядит следующим образом:

Рисунок 2.8.1 Аналоговый сигнал — S ( t ), восстановленный с помощью ряда Котельникова — Skot ( t ), отсчёты исходного аналогового сигнала — S ( tt )

Значения исходного сигнала и восстановленного практически совпадают в точках отсчета, так как в ходе работы есть погрешности вычисления.

2.9 Выводы по дискретной обработке аналогового сигнала

В отличие от аналоговых сигналов дискретные сигналы описываются последовательностями отсчетных значений в дискретном множестве точек. Спектр дискретного сигнала состоит из бесконечного числа «копий» спектра исходного аналогового сигнала. Восстановление исходного сигнала из дискретной последовательности отсчетов неизбежно связано с искажениями. Величина погрешности или энергия ошибки тем меньше, чем большее число отсчетов применяется для дискретизации сигнала. При этом число отсчетов должно быть не меньше рекомендуемого теоремой Котельникова. С другой стороны слишком много отсчетов тоже брать не стоит, так как это приводит к передаче излишней информации, что нежелательно в каналах связи с низкой пропускной способностью и при применении самокорректирующих кодов.

Использование Z -преобразования позволяет изучать дискретные последовательности методами математического анализа непрерывных функций.

3 Цифровая фильтрация. Синтез ЦФ по известному аналоговому фильтру-прототипу

В качестве аналогового фильтра-прототипа задана RC -цепь:

Рисунок 3.1 Аналоговый фильтр-прототип.

3.1 Расчет передаточной функции цепи

Коэффициент передачи аналогового фильтра-прототипа есть отношение выходного напряжения цепи к его входному напряжению. Запишем коэффициент передачи в операторной форме и произведем вычисления частотных характеристик цепи:

Полагая, что , получим:

3.2 Расчёт и построение частотных характеристик.

В выражение К(р) заменим р на и примим

получим частотный коэффициент передачи K ( w ):

Проверка на крайних частотах:

Возьмём модуль от полученного выражения, в результате чего получим амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) фильтра прототипа:

На рисунке 3.2.1 представлен график АЧХ фильтра-прототипа, где частота среза по уровню 0,707 составляет W ср=4.96, а верхняя частота, определенная по уровню 0.1 W в=44.78.

Рисунок 3.2.1 АЧХ аналогового фильтра-прототипа

ФЧХ(в градусах) цепи выглядит следующим образом:

Рисунок 3.3 ФЧХ аналогового фильтра-прототипа

3.3 Расчет и построение временных характеристик

Применим обратное преобразование Лапласа для нахождения переходной характеристики аналогового фильтра-прототипа:

В результате вычислений, пронумеровав по  получим следующее выражение:

Рисунок 3.3.1. Переходная характеристика фильтра-прототипа

Импульсную характеристику найдём как производную переходной характеристики:

, следовательно пронумеровав по  выражение G ( t ) получим следующее выражение:

Рисунок 3.3.2 Импульсная характеристика фильтра-прототипа

Для проверки правильности расчетов можно воспользоваться предельными соотношениями, которые связывают передаточную функцию и переходную характеристику цепи.

4 Синтез цифровой цепи методом инвариантности импульсных характеристик

Метод инвариантности импульсных характеристик базируется на предположении о подобии импульсных характеристик фильтра-прототипа и цифрового фильтра, т.е. импульсная характеристика ЦФ представляет собой выборку из импульсной характеристики соответствующего аналогового фильтра-прототипа.

В данном разделе будут реализованы случаи, когда число дискретизированной импульсной характеристики конечно и бесконечно (фильтры типа КИХ и БИХ). Также будет реализован метод билинейного Z -преобразования.

4.1 Дискретизация импульсной характеристики аналогового фильтра-прототипа

Для дискретизации импульсной характеристики g ( t ) необходимо непрерывный аргумент t заменить на дискретный- nTdis . Затем пронормировать полученное выражение относительно Tdis , и в итоге получим:

Параметр определим по формуле:

Wv — частота, определяемая с помощью троссировки по уровню 0.1 от максимального значения коэффициента передачи аналогового фильтра-прототипа.

Вычислив Wv из уравнения для коэффициента передачи фильтра, полчим следующее значение:

Найдём число степеней свободы:

Изобразим графически дискретизированную импульсную характеристику:

Рисунок 4.1.1 Дискретизированная импульсная характеристика

4.2 Расчет системных функций трансверсального и рекурсивного цифровых фильтров

Для определения системной функции трансверсального ЦФ необходимо сумму следующего вида:

a n =g(nT dis )T dis .

Трансверсальный ЦФ имеет конечную импульсную характеристику (КИХ-фильтр).

Чтобы описать КИХ-фильтр необходимо взять конечное число М нормированных отсчетов импульсной характеристики. Коэффициенты а n соответствуют значениям отсчетов импульсной характеристики, т.е. а n = g n . Приведем значения этих коэффициентов в таблице 4.2

Таблица 4.2.1 Коэффициенты трансверсального ЦФ пятого порядка .

Максимальное значение An =0.0702. С ростом n значения коэффициентов уменьшаются. Порядок трансверсального фильтра М=5, т.к. значения коэффициентов начиная с шестого не превышают уровня 0,1 от максимального значения( An =0.0702).

Структура КИХ фильтра

Рисунок 4.2.1 Структурная схема трансверсального ЦФ.

Работа трансверсального фильтра:

y n =0.0702 x n +0.0509 x n -1 +0.0363 x n -2 +0.0253 x n -3 +0.0171 x n -4 +0.0109 x n -5

Реализуем ЦФ с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтр), при этом учтем дискретную импульсную характеристику Gn бесконечного числа слагаемых. Бесконечное число слагаемых образует убывающую геометрическую прогрессию, оперирую которыми можно прийти к системной функции ЦФ канонического вида:

Полученные коэффициенты двух фильтров а n , b n занесены в таблицу.4.2.2. Трансверсальная часть ЦФ описывается числителем, а рекурсивная – знаменателем .

Таблица 4.2.2 Коэффициенты A n и B n рекурсивного ЦФ

Структура БИХ фильтра

Рисунок 4.2.2 Структурная схема рекурсивного ЦФ.

Работа рекурсивного фильтра:

y n =0.105x n -0.105x n-1 +1,72y n-1 -0.729y n-2

4.3 Расчет АЧХ трансверсального и рекурсивного ЦФ

Итак для того Чтобы от системной функции трансверсального ЦФ перейти к его амплитудно-частотной характеристике необходимо в выражении 4.2.1 сделать замену следующего вида:

Изобразим АЧХ трансверсального цифрового фильтра пятого порядка и АЧХ аналогового фильтра (для сравнения).

Рисунок 4.3.1 АЧХ трансверсального фильтра пятого порядка, и АЧХ аналогового фильтра

Аналогично выполняется расчёт АЧХ для рекурсивного фильтра

Рисунок 4.3.2 АЧХ рекурсивного фильтра пятого порядка и АЧХ аналогового фильтра

4.4 Расчет системной функции ЦФ методом билинейного Z -преобразования.

Данный метод позволяет с помощью билинейной замены установить однозначное непрерывное отображение из p -плоскости в z -плоскость.

При подстановке комплексной переменной p в выражение (3.1.1) получим дробно-рациональную системную функцию K ( z ). Однако вследствие принятых приближений происходит трансформация частотной оси при переходе от аналогового фильтра-прототипа к цифровому варианту.

Используя билинейную замену и учитывая  =1.5, преобразуем передаточную функцию аналогового фильтра-прототипа:

Трансверсальная часть цифрового фильтра описывается числителем системной функции, а рекурсивная – знаменателем.


Полученные коэффициенты двух фильтров а n , b n занесены в таблицу.4.4.1.

Таблица 4.4.1 – Коэффициенты и рекурсивного ЦФ канонического вида

Структура цифрового фильтра приведена на рисунке 4.4.1

Рисунок 4.4.1 Структурная схема ЦФ

Работа ЦФ канонического вида:

y n =0.045x n -0.045x n-2 +1,72y n-1 -0.729y n-2

4.5 Расчёт АЧХ ЦФ канонического вида

АЧХ ЦФ канонического вида можно получить если в выражении 4.4.1 полученная методом билинейного Z -преобразования сделать замену

Рисунок 4.5.1 АЧХ ЦФ канонического вида

4.6 Расчет импульсной характеристики ЦФ.

Для того чтобы получить импульсную характеристику ЦФ необходимо произвести обратное Z -преобразование системной функции ЦФ.

Изобразим полученное выражение, при этом сравним его с импульсной характеристикой аналогового фильтра-прототипа [рисунок 4.5.1]

Рисунок 4.6.1 Отсчеты импульсной характеристики ЦФ, и импульсная характеристика аналогового фильтра-прототипа (для сравнения).

4.7 Прохождение дискретного сигнала через ЦФ

Отклик на выходе ЦФ можно получить двумя способами: перемножив Z -образ сигнала на входе фильтра с системной функцией цепи, получить Z -образ выходного сигнала. Затем с помощью обратного Z -преобразования перейти к выходной дискретной последовательности.

Либо воспользоваться аналогом временной свертки, то есть дискретной сверткой, получив при этом значения отсчетов выходного сигнала.

Воспользуемся вторым способом для расчета отклика на выходе РЦФ

Где Xk -значения отсчётов входного сигнала уже были вычислены [см. (2.3.1)], так же были вычислены отсчёты импульсной характеристики для каждого из фильтров. Рассмотрим прохождение импульса через ЦФ полученный методом билинейной замены. Отсчёты импульсной характеристики для ЦФ полученные методом билинейной замены см. 4.6.1.

Рисунок 4.7.1 Результат прохождения импульса через ЦФ, полученный методом билинейной замены

5 Заключение

В отличие от аналоговых сигналов, представляющих собой непрерывный сигнал, дискретный сигнал описывается последовательностью своих отсчетов. Частота дискретизации сигнала, для получения наименьших искажений, выбирается равной удвоенной максимальной частоте, содержащейся в сигнале.

Для восстановления аналогового сигнала без искажений по его отсчетам необходим идеальный фильтр, генерирующий функцию Котельникова, которая полностью восстанавливает исходный сигнал по его отсчетам, чем больше отсчётов тем точнее востановленный сигнал. Недостатком ряда Котельникова является то, что для наиболее точного восстановления периодического сигнала приходится составлять сумму, содержащую бесконечное число слагаемых.

Выходная последовательность цифрового фильтра есть результат дискретной свертки входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Свертку двух дискретных сигналов можно вычислить методом Z -преобразования. Согласно свойству Z -преобразования свертка двух дискретных сигналов отвечает произведению Z -преобразований. Тем самым можно найти спектральную плотность сигнала на выходе ЦФ.

С точки зрения реализации алгоритма различают трансверсальные и рекурсивные ЦФ и фильтр канонического вида.

АЧХ канонического фильтра на начальном участке частот совпадает с АЧХ аналогового фильтра-прототипа (АФП), импульсная характеристика (ИХ) стремится к ИХ АФП в области t  .

АЧХ КИХ — фильтра, значительно отличается от АЧХ, аналогового фильтра-прототипа. АЧХ БИХ-фильтра повторяет АЧХ АФП по форме, но с некоторой погрешностью.

Z -преобразования, даёт АЧХ наиболее близкую к АЧХ АФП. Вообще в процессе синтеза этого фильтра заложено искажение частотной оси по закону тангенса. В итоге вся ЧХ помещается в интервал [0;  в].

Если сравнивать методы синтеза, то самым легким оказался метод инвариантной конечной импульсной характеристики. Больше расчетов потребовал метод бесконечной импульсной характеристики. Наиболее точное восстановление входной последовательности отсчетов обеспечивает фильтр, полученный методом билинейного Z -преобразования.

6 Список использованной литературы

  1. С.И. Баскаков. ”Радиотехнические цепи и сигналы” М: Высшая школа, 1988 г.

2. Н.А. Каратаева ”Радиотехнические цепи и сигналы” Методические указания по выполнению курсовой работы. Томск 2002

Анализ и обработка сигналов

Основные элементы функционального анализа сигналов. Спектральная плотность и ее свойства, теоремы о спектрах. Аналитический сигнал: основные понятия, спектр аналитического сигнала. Связь автокорреляционной функции и энергетического спектра сигнала.

Рубрика Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника
Вид шпаргалка
Язык русский
Дата добавления 08.06.2015
Размер файла 1,8 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Если при приёме сигналов учитывается статистический характер сигналов, помех и решений приёмника, то мы говорим, что приём сигналов трактуется как статистическая задача. Впервые такую постановку задачи рассмотрел В.А. Котельников.

Способность канала обеспечить заданную верность передачи в условиях действия помех называется помехоустойчивостью.

Максимум вероятности правильного приёма символа для гауссовского канала при заданном виде модуляции В.А. Котельников назвал потенциальной помехоустойчивостью, а демодулятор, обеспечивающий этот максимум — идеальным приёмником.

Из этого определения следует, что ни в одном реальном демодуляторе вероятность правильного приёма символа не может быть больше, чем в идеальном приёмнике.

Элементы теории решений

Пусть при передаче дискретных сообщений, закодированных кодом с основанием m используются реализации сигнала , 0 2 в схеме растёт соответственно число ветвей обработки сигнала, попадающих на РУ.

Наличие в схеме квадраторов, призванных обеспечить квадратичное преобразование мгновенных значений входных сигналов во всём их динамическом диапазоне, часто затрудняет её реализацию. Поэтому на основе (11.18) получим эквивалентный алгоритм приёма, не требующий устройств возведения в квадрат.

Раскрыв скобки под знаком интеграла и сократив в обеих частях неравенств (11.18) слагаемое , приходим к алгоритму приёма:

где — энергии ожидаемого сигнала

Для двоичной системы алгоритм (12.2) сводится к проверке одного неравенства:

Устройство, непосредственно вычисляющее скалярное произведение

называют активным фильтром или коррелятором; поэтому приёмник, реализующий алгоритм (12.4), называют корреляционным.

На рисунке показана структурная схема приёмного устройства, работающего в соответствии с (12.3). Здесь блоки x — перемножители; — генераторы опорных сигналов — интеграторы; «-» — вычитающие устройства; РУ — решающее устройство, определяющее в моменты времени, кратные Т (при замыкании ключа), i=0, 1 — номер ветви с максимальным сигналом.

Если сигналы выбраны таким образом, что все их реализации (а следовательно, и все реализации ) имеют одинаковые энергии (), алгоритм приёма (12.3) (и соответственно его реализация) упрощается (отпадает необходимость в вычитающих устройствах) и принимает вид:

Из (12.5) видно, что правило решения не изменится, если сигнал z(t), поступающий на вход демодулятора, умножить на любое число. Поэтому система, в которой все реализации сигнала имеют равную энергию, отличается тем, что оптимальный алгоритм приёма в ней не требует знания «масштаба» приходящего сигнала или, другими словами, знания коэффициента передачи k канала. Эта важная особенность обусловила широкое распространение систем сигналов с равной энергией, которые обычно называют системами с активной паузой. Это особенно важно для каналов с замираниями, в которых коэффициент передачи флуктуирует.

Для двоичной системы неравенство (12.3) можно представить в более простом виде:

где — разностный сигнал; — пороговый уровень. Для системы с активной паузой , что значительно облегчает реализацию оптимальной схемы.

Существуют также системы с пассивной паузой. Реализуем алгоритм (12.6) для двоичной системы передачи однополярными импульсами (с пассивной паузой):

При этих сигналах и (12.6) примет следующий вид:

Рассмотренную систему двоичных сигналов используют в простейших устройствах проводной связи. В радиоустройствах, а также в современных кабельных каналах связи применяют высокочастотные сигналы. Наиболее простыми двоичными системами с гармоническими сигналами являются системы с амплитудой (АМ), фазовой (ФМ) и частотной (ЧМ) манипуляцией.

В двоичной АМ . Все входящие сюда постоянные () полагаем известными. Поскольку здесь , правило (12.7) запишется так:

Оно реализуется схемой с блоком перемножения приходящего сигнала с опорным сигналом .

При двоичной ФМ системе

Это — система с активной паузой, и поэтому в (12.6) . Легко убедиться, что правило решения сводится при этом к следующему: — и реализуется той же схемой что двоичная АМ при . В этом случае решающее устройство играет роль дискриминатора полярностей.

32. Реализация алгоритма оптимального приёма на основе согласованных фильтров. Свойства согласованного фильтра

Скалярное произведение (12.4) можно вычислить не только с помощью активного фильтра (коррелятора), но и с помощью пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Если на вход фильтра подать принимаемый сигнал z(t), то напряжение на выходе фильтра можно выразить: , где — импульсная реакция фильтра. Выберем её такой, чтобы в момент получить , совпадающее со скалярным произведением (12.4). Легко видеть, что это будет выполнено, если

Такой фильтр называется согласованным с сигналом . То есть фильтром, согласованным с сигналом , называется линейный фильтр с постоянными параметрами и импульсной реакцией:

Свойства согласованного фильтра:

1.Функция h(t) является зеркальным отображением s(t) относительно оси, проведённой через точку

2.Если финитный сигнал S(t) поступает на вход согласованного фильтра в момент t=0 и заканчивается в момент Т, условие физической реализуемости согласованного фильтра заведомо выполняется, если момент отсчёта — постоянная удовлетворяет условию:

3.Передаточная функция согласованного фильтра с импульсной реакцией (12.9)

где — функция комплексно-сопряжённая со спектральной плотностью сигнала s(t). Следовательно, АЧХ согласованного фильтра определяется амплитудным спектром сигнала s(t), а его ФЧХ (без учёта слагаемого — , определяемого задержкой) обратна по знаку фазовой характеристике сигнала s(t).

4.Если на вход фильтра подан сигнал, с которым он согласован, то сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра

где — временная функция корреляции сигнала.

Согласно (12.8) в момент времени Т напряжение на выходе согласованного фильтра пропорционально сигналу на выходе интегратора активного фильтра. Поэтому оптимальный приёмник, реализующий алгоритм (12.4), может быть выполнен и на базе согласованных фильтров. Структурная схема такого приёмника для двоичной системы показана на рисунке

Рассмотрим ещё одно важное свойство согласованного фильтра. Будем подавать сумму детерминированного сигнала и белого шума z(t)=s(t)+N(t) на вход различных линейных цепей с постоянными параметрами и измерять в момент отношение мгновенной мощности сигнальной составляющей к средней мощности шума на выходе цепи. Можно показать, что это отношение максимально, если цепь является согласованным фильтром.

Сравним реализации на активных фильтрах и СФ.

1. Схема с согласованными фильтрами на первый взгляд кажется проще схемы с активными фильтрами, поскольку в ней нет опорных генераторов и не возникает проблемы обеспечения их когерентности (согласование по фазе с приходящим сигналом). Однако и в схеме с согласованными фильтрами имеются свои практические трудности. В этом можно убедится, сравнив эпюры напряжений (без учёта помех в канале) на выходе фильтра (рис. Б), согласованного с прямоугольным радиоимпульсом (рис.А) и на выходе интегратора активного фильтра (рис.В).

Отметим, что всюду, за исключением точки t=T, напряжения на выходах обоих фильтров отличаются друг от друга.

Из рисунков видно, что допустимая неточность во времени снятия отсчёта максимума сигнала на выходе активного фильтра значительно больше, чем при снятии отсчёта максимума сигнала на выходе согласованного фильтра. При активном фильтре достаточно потребовать, чтобы неточность взятия отсчёта была мала по сравнению с тактовым интервалом Т, а при согласованном фильтре — по сравнению с периодом высокочастотного заполнения радиоимпульса. Трудность обеспечения когерентного отсчёта в согласованном фильтре вполне соизмерима с трудностью реализации когерентных опорных генераторов в активном фильтре.

2. В приёмниках на корреляторах легче осуществить переход на другую частоту. (В случае с СФ — нужно строить новый СФ).

33. Потенциальная помехоустойчивость систем с различными видами манипуляции

Определим потенциальную помехоустойчивость для двоичной системы с аддитивным белым шумом, когда при приёме точно известны оба ожидаемых сигнала: и , полагая, что априорные вероятности этих сигналов одинаковы. Приходящий сигнал Z(t) является случайным, так как, во-первых, заранее неизвестна реализация передаваемого сигнала, во-вторых, он содержит случайную помеху N(t) .

При выполнении неравенства (12.13) оптимальный приёмник регистрирует символ 1, соответствующий сигналу , в противном случае — символ — 0, соответствующий сигналу . Если действительно передается символ 1, то . При этом вероятность ошибки определится вероятностью того, что неравенство (12.13) не выполнено. Заменим z(t) и E их значениями:

которое приводится к следующему виду:

Аналогичное соотношение получится, если предположить, что передаётся символ 0.

Следовательно, в обоих случаях вероятности ошибки равны: и сформированный модемом двоичный дискретный канал симметричен.

Если N(t) — нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то — нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом.

Учитывая выражение для функции корреляции белого шума и фильтрующее свойство — функции, можем получить дисперсию величины :

Тогда вероятность выполнения неравенства (12.17), то есть вероятность ошибки будет равна

где произведена замена переменнойи введено обозначение

Функция Ф — табулирована и называется функцией Крампа. Учитывая, что можно (12.19) записать в виде

Таким образом, при заданной интенсивности помехи , потенциальная помехоустойчивость двоичной системы зависит только от так называемой эквивалентной энергии сигналов.

Помехоустойчивость выше, (вероятность ошибки меньше), у той системы, у которой больше эквивалентная энергия используемых сигналов.

Эти важнейшие результаты получил академик В. А. Котельников.

Сравним различные виды манипуляции для двоичной системы.

1) АМн — амплитудная манипуляция

где, — отношение энергии сигнала на входе демодулятора к спектральной плотности флуктуационной помехи.

2) ЧМн — частотная манипуляция.

Максимально возможные значения и получатся, если

3) ФМн — фазовая манипуляция

Из сравнения различных видов манипуляции видно, что при переходе от системы АМн к системе с ЧМн (с ортогональными сигналами) можно обеспечить неизменное качество связи (вероятность ошибки) при понижении средней мощности передатчика в 2 раза, то есть получить энергетический выигрыш в 2 раза (или на 3 дБ). При переходе же к системе с ФМн (с противоположными сигналами) получается энергетический выигрыш ещё в 2 раза — по сравнению с ЧМн и в 4 раза — по сравнению с АМн.

Если же сравнение вести не по пиковой, а по средней мощности, то переход от АМн к ЧМн не даёт энергетического выигрыша, поскольку при ЧМн средняя мощность равна максимальной, а при АМн — вдвое меньше максимальной (если и передаются с одинаковой вероятностью).

Однако помехоустойчивость систем с ЧМн значительно выше по сравнению с АМн. Это объясняется не увеличением потенциальной помехоустойчивости, которая для обеих систем одинакова, а главным образом тем, что оптимальная решающая схема для ЧМн реализуется с довольно большой точностью, а при АМ этому препятствует невозможность обеспечить точное оптимальное значение ненулевого порогового уровня . Поэтому реальная помехоустойчивость при ЧМн близка к потенциальной, АМн значительно ниже её.

Система ФМн, как и другие системы с противоположенными сигналами, обеспечивает максимальную для двоичной системы потенциальную помехоустойчивость. Однако реализация демодулятора для когерентного приёма ФМн встречает определённые трудности. При построении демодулятора с активным фильтром возникает проблема поддержания равенства фаз опорного генератора приходящего сигнала. Если пытаться строить его на основе согласованного фильтра, то возникает ещё более трудная задача когерентного отсчёта.

Задача выделения опорного сигнала особенно затрудняется при ФМн, так как, если элементы передаются равновероятно, то спектр сигнала ФМн вообще не содержит составляющей на частоте .

Главным же недостатком ФМн является возможность перескока фазы опорного сигнала, вследствие чего даже при отсутствии аддитивной помехи в канале символы инвертируются (нули в 1,а 1 ). Возникает явление «обратной работы». Поэтому внедрение систем с ФМн долгое время реально было невозможным.

Эффективный метод устранения этого явления был найден путём перехода к относительным методам модуляции предложенным Н.Т. Петровичем в 1957 году. Они сводятся к модуляции информационного параметра передаваемой посылки элемента сигнала относительно того же параметра предшествующей посылки. При относительной фазовой манипуляции (ОФМн) сообщение содержится не в абсолютном значении фазы элемента сигнала, а в разности фаз двух соседних элементов, при этом символ 1 передаётся повторением этой реализации сигнала, которая имела место в качестве предыдущего элемента, а символ 0 — передачей реализации с обратной фазой, либо наоборот.

Сигналы ОФМн могут приниматься различными методами. Рассмотрим квазикогерентный приём сигналов ОФМн, называемый методом сравнения полярностей. Систему ОФМн можно рассматривать как обычную систему с ФМн, но со специальным перекодированием символов. Это означает, что оптимальный приём сигналов ОФМн, можно осуществить следующей схемой. Перекодирование выполняется сравнением полярностей напряжения на выходе интегратора для двух соседних элементов, для чего требуется задержка выходных символов в ячейке памяти (ЯП) на время Т.


Так как ОФМн — система с активной паузой, то пороговый уровень в демодуляторе — нулевой и решающее устройство превращается в дискриминатор полярности (ДП). Полярности соседних элементов сравниваются в схеме сравнения полярностей (ССП), которая представляет собой обычный перемножитель. Символ 1 регистрируется на выходе приёмника, например, при совпадении полярности двух соседних посылок; символ 0 — если эти полярности различны. При таком методе приёма перескок фазы опорного сигнала (при отсутствии помехи в канале) вызывает ошибку только в одном символе. Последующие же символы регистрируются правильно.

Определим вероятность ошибки в системе ОФМн при учёте флуктуационной помехи в канале при когерентном приёме. Вероятность Рофмнн ошибочной регистрации символов в системе ОФМн не совпадает с вероятностью появления ошибок на выходе фазового детектора или, что то же самое, с вероятностью ошибок в системе «классической» фазовой манипуляции, определяемой (12.25). Очевидно, что ошибочная регистрация символа ( при приёме методом сравнения полярностей) возможна в результате одного из двух несовместимых событий: а) знак данного элемента принят ошибочно, а предыдущего — верно; б) знак данного элемента принят верно, предыдущего — ошибочно. Каждое из этих событий имеет вероятность Рфмн (1 — Рфмн).

В нормальных условиях эксплуатации, когда требуется

Таким образом, «платой» за устранение обратной работы является удвоение вероятности ошибки, обусловленной шумом в канале.

Для недвоичных систем () нахождение вероятности ошибочного приёма в общем случае затрудняется, так как приходится анализировать совокупность из (m-1) неравенств. Однако для систем с активной паузой () при равновероятных ортогональных сигналах канал симметричен и можно оценить вероятность простым неравенством

где — вероятность ошибки для двоичной системы в том же канале, если используется некоторая пара из m сигналов.

35. Оптимальный прием дискретных сообщений с неопределенной фазой (Некогерентный прием)

В тех случаях, когда не удаётся точно оценить фазу или эта оценка требует применения сложных устройств, используют алгоритм, построенный в предположении, что начальная фаза приходящего сигнала неизвестна и может принимать любое значение на интервале . Такой метод приёма называется некогерентным. Для вывода правила оптимального некогерентного приёма воспользуемся критерием максимального правдоподобия. Математическая модель такого канала:

где — преобразование Гильберта от u(t), — случайная начальная фаза, k- коэффициент передачи канала.

Тогда можно записать:

где — модифицированная функция Бесселя. (13.8)

Вместо того, чтобы сравнить отношения правдоподобия можно сравнить их логарифмы, что приводит к следующему алгоритму, который для двоичной системы будет выглядеть:

При выполнении этого неравенства регистрируется 1, в противном случае — 0. Величины и можно получить в момент отсчёта Т на выходе активного фильтра с опорными сигналами, равными соответственно и С учётом сказанного можно осуществить построение на основе активных фильтров схемы, называемой квадратурной и реализующей алгоритм (13.9).

Здесь -соответственно генераторы опорных сигналов ; 90 градусов — фазовращатель всех сигнальных компонентов на 90 градусов (преобразователь Гильберта); БОМ — блок определения модуля вектора ; НУ — нелинейные безынерционные устройства с характеристикой.

Величины не зависят от начальной фазы сигналов и пропорциональны огибающей (в моменты отсчёта, кратные Т) на выходе фильтра, согласованного с сигналом . Таким образом, алгоритм (13.9) можно реализовать и на базе согласованных фильтров.

Идеальный детектор Д выделяет огибающую напряжения на выходе согласованного фильтра.

Алгоритм (13.9) и соответственно его реализация существенно упрощаются для систем с равными энергиями (). Для них с учётом монотонного характера функции алгоритм оптимального некогерентного приёма можно записать так:

Для двоичной системы правило (13.11) упрощается и сводится к проверке одного неравенства

При его выполнении регистрируется символ 1, в противном случае — 0. При реализации алгоритма (13.12) не нужны блоки НУ и блоки вычитания. Схемы упрощаются.

36. Помехоустойчивость систем с различными видами дискретной модуляции при некогерентном приеме

Исследования вероятности ошибок в канале с неопределённой фазой и аддитивным гауссовским шумом при поэлементном приёме показало, что минимальную вероятность ошибки обеспечивает система с равными энергиями, у которой сигналы удовлетворяют условиям ортогональности в усиленном смысле. Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными в усиленном смысле, если соответствующие им аналитические сигналы и также ортогональны. Определим вероятность ошибки при приёме по алгоритму (13.12) двоичных сигналов, удовлетворяющих условиям ортогональности в усиленном смысле. Если передаётся символ 1, то с учётом (11.11) и (13.12) имеем:

Если N(t) — нормальный стационарный белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью мощности , то — нормально распределённая величина, так как она определяется линейной операцией над нормальным же случайным процессом. Коэффициенты корреляции и при системе сигналов, ортогональной в усиленном смысле, равны нулю. Некоррелированность гауссовских величин означает их независимость. Следовательно, случайные величины и независимы, причём имеет распределение Рэлея:

имеет распределение Райса:

Вероятность приёма символа 0 при передаче символа 1 определяется формулой:

Используя методы теории вероятностей данное выражение можно преобразовать. В итоге получаем:

— для системы ортогональных сигналов в усиленном смысле (ЧМн) (13.19)

Такова же будет вероятность приёма символа 1 при передаче 0.

Для ОФМн (по методу сравнения фаз):

37. Прием дискретных сообщений в каналах с замираниями

Рассмотрим теперь, как осуществляется оптимальный приём в канале, где флуктуирует не только начальная фаза, но и амплитуда сигнала.

Задача синтеза оптимального демодулятора дискретных сигналов, с неопределённой фазой и амплитудой решается аналогично задаче синтеза сигналов с неопределённой фазой. Однако условия приёма несколько отличаются. Математическая модель такого сигнала называется гауссовским каналом с общими замираниями.

Сигнал на выходе канала флуктуирует как по начальной фазе, так и по амплитуде. Это приводит к некоторому изменению выражений для функции правдоподобия и для правила принятия решений. Однако структура оптимального приёмника совпадает со структурой оптимального приёмника дискретных сигналов с неопределённой начальной фазой. Изменяются только значения пороговых уровней на входах устройств сравнения.

Помехоустойчивость приёма дискретных сообщений при замираниях сигнала получена для случая приёма двоичных ортогональных сигналов с равными энергиями.

Замирания считаются медленными, когда на протяжении единичного интервала амплитуда остаётся постоянной, но меняется случайным образом от интервала к интервалу.

Если считать что плотность распределения амплитуды подчиняется закону Рэлея, то вероятность ошибки

где — отношение мощностей постоянной и флуктуирующей составляющих.

На рисунке показана зависимость согласно (13.19) в двоичной системе, ортогональной в усиленном смысле, с равными энергиями, например ЧМн при оптимальном некогерентном приёме (кривая 2), а также зависимость для канала с общими замираниями (кривая 3).

Здесь же для сравнения приведена кривая, характеризующая потенциальную помехоустойчивость той же системы при когерентном приёме (кривая 1). Сравнение кривых показывает, что для рассматриваемой системы связи (с равными энергиями, ортогональной в усиленном смысле) априорное знание фазы и когерентный приём дают лишь очень небольшой энергетический выигрыш по сравнению со случаем некогерентного приёма. Этот выигрыш тем меньше, чем ниже допустимая вероятность ошибки. Для каналов с замиранием вероятность ошибки увеличивается и может быть снижена за счёт увеличения мощности сигнала. Систему ФМн так же как и другие системы с противоположными сигналами, отличающимися сдвигом фаз на , при некогерентном приёме применять нельзя, так как при неизвестной начальной фазе такие сигналы неразличимы. Однако, если сдвиг фазы в канале изменяется достаточно медленно, то разности фаз между соседними элементами практически сохраняются и могут быть измерены в приёмнике. Поэтому вполне возможен некогерентный приём при ОФМн.

38-39. Основные принципы цифровой фильтрации. Характеристики и свойства цифровых фильтров

В данном разделе рассматривается простейший, наиболее изученный и внедренный класс системдискретной обработки сигналов — так называемые линейные стационарные цифровые фильтры.

Выполняя, подобно аналоговым цепям, операцию частотной фильтрации, цифровые фильтры (ЦФ) обладают рядом существенных преимуществ. Сюда относятся, например, высокая стабильность параметров, возможность получать самые разнообразные формы АЧХ и ФЧХ. Цифровые фильтры не требуют настройки и легко реализуются на ЭВМ программными методами.

Принцип цифровой фильтрации. На рис.14.1 приведена основная структурная схема цифровой обработки сигналов.

Рис.14.1. Структурная схема цифровой обработки непрерывных сигналов.

Непрерывный входной сигнал x(t) поступает в аналого-цифровой преобразователь (АЦП), управляемый синхронизирующими импульсами от генератора, задающего частоту дискретизации. В момент подачи синхронизирующего импульса на выходе АЦП возникает сигнал, отображающий результат измерения мгновенного значения входного колебания в виде двоичного числа с фиксированным количеством разрядов. В зависимости от особенности построения устройства этому числу соответствует либо последовательность коротких импульсов (передача в последовательном коде), либо совокупность уровней напряжений на сигнальных шинах отдельных разрядов (передача в параллельном коде). Преобразованный таким образом сигнал поступает в основной блок устройства, так называемый цифровой процессор, состоящий из арифметического устройства и устройства памяти. Арифметическое устройство выполняет над цифрами ряд операций, таких, как умножение, сложение и сдвиг во времени на заданное число интервалов дискретизации. В устройстве памяти может храниться некоторое предшествующих отсчетов входного и выходного сигналов, которые необходимы для выполнения операций обработки.

Цифровой процессор преобразует поступающие в него числа в соответствии с заданным алгоритмом фильтрации и создает на выходе последовательность двоичных чисел, представляющих выходной сигнал. Если в дальнейшем необходимо иметь информацию в аналоговой форме, то используется цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП). Однако это устройство может отсутствовать, если сигналы подвергаются только цифровым преобразованиям.

Основной технический показатель ЦФ — быстродействие — зависит как от скорости протекания переходных процессов в микроэлектронных компонентах, так и от сложности алгоритма фильтрации.

Если в начале 70-х годов предельные частоты сигналов, обрабатываемых с помощью ЦФ, составляли несколько килогерц, то достижения современной микроэлектроники непрерывно расширяют этот диапазон. Цифровая фильтрация сигналов получила новый стимул развития с появлением относительно недорогих и надежных микропроцессоров, а также устройств памяти, выполненных по технологии сверхбольших интегральных схем (СБИС).

Квантование сигналов в ЦФ. Специфика любого цифрового устройства — представление сигналов в виде последовательности чисел с ограниченной разрядностью. Поэтому мгновенное значение сигнала дискретизируется по уровню таким образом, что интервалом дискретизации (минимальной разностью между двумя соседними уровнями) служит единица младшего двоичного разряда.

Точное значение отсчета сигнала в двоичной форме имеет вид

Где =0 или 1. При ограничении длины числа x некоторым количеством разрядов N вместо точного значения получается его округленное (машинное) значение:

Причем коэффициент равен либо , либо +1 в зависимости от того, нуль или единица содержится в (N +1)-м разряде.

В радиотехнике дискретные сигналы, уровни которых могут принимать лишь счетное множество значений, называют квантованными сигналами. Квантование сигналов приводит к специфической погрешности при обработке, которая получила название шума квантования. Прямой путь снижения этой погрешности — использование двоичных чисел с большим количеством разрядов. Однако при этом неизбежно снижается быстродействие ЦФ из-за увеличения времени выполнения операций над многоразрядными числами. Поэтому на практике в микропроцессорных системах для цифровой обработки сигналов и дискретного управления обычно применяют двоичные числа с количеством разрядов от 4 до 16.

Алгоритм линейной цифровой фильтрации.

Математическая теория цифровых фильтров переносит на случай дискретных сигналов все основные положения теории линейных систем, преобразующих непрерывные сигналы.

Как известно, линейная стационарная система преобразует непрерывный входной сигнал x(t) таким образом, что на ее выходе возникает колебание y(t),равное свертке функции x(t) и импульсной характеристики h(t):

Линейный цифровой фильтр, по определению, есть дискретная система (физическое устройство или программа для компьютера), которая преобразует последовательность числовых отсчетов входного сигнала в последовательность отсчетов выходного сигнала:

Линейный цифровой фильтр обладает тем свойством, что сумма любого числа входных сигналов, умноженных на произвольные коэффициенты, преобразуется в сумму его откликов на отдельные слагаемые, т.е. из соответствий

При любых коэффициентах

Для того, чтобы обобщить формулу (14.3) на случай дискретных сигналов, вводят понятие импульсной характеристики ЦФ. По определению, она представляет собой дискретный сигнал , который является реакцией ЦФ на «единичный импульс» (1,0,0,0,…):

Линейный ЦФ стационарен, если при смещении входного единичного импульса на любое число интервалов дискретизации импульсная характеристика смещается таким же образом, не изменяясь по форме. Например:

Рассмотрим, каким образом из свойств линейности и стационарности вытекает наиболее общий алгоритм линейной цифровой фильтрации. Пусть

— некоторый сигнал на входе ЦФ с известной импульсной характеристикой. Используя соотношения (14.5) и (14.7), можно записать m -й отсчет выходного сигнала :

Формула (14.8), играющая ведущую роль в теории линейной цифровой фильтрации, показывает, что выходная последовательность есть дискретная свертка входного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Смысл этой формулы прост и нагляден: в момент каждого отсчета ЦФ проводит операцию взвешенного суммирования всех предыдущих значений входного сигнала, причем роль последовательности весовых коэффициентов играют отсчеты импульсной характеристики. Иными словами, ЦФ обладает некоторой «памятью» по отношению к прошлым входным воздействиям.

Практический интерес представляют лишь физически реализуемые ЦФ, импульсные характеристики которых не могут стать отличными от нуля в отсчетных точках, предшествующих моменту подачи входного импульса. Поэтому для физически реализуемых фильтров коэффициенты обращаются в нуль и суммирование в (14.8) можно распространить на все положительные значения индекса k:

Расчет важнейшей характеристики ЦФ — частотного коэффициента передачи — удобно проводить, используя методы z-преобразований. Сопоставим дискретным сигналам , , их z-преобразованиями X(z), Y(z), H(z) соответственно. Выходной сигнал фильтра есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики, поэтому [см. формулы (5.15)] выходному сигналу отвечает функция

Системной функцией стационарного линейного ЦФ называется отношение z-преобразования выходного сигнала к z-преобразованию сигнала на входе. Соотношение (14.10) устанавливает, что системная функция фильтра

есть z-преобразование импульсной характеристики.

40. Трансверсальные цифровые фильтры.

Так принято называть фильтры, которые работают в соответствии с алгоритмом

где — последовательность коэффициентов.

Число m является порядком трансверсального цифрового фильтра. Как видно из формулы (15.1), трансверсальный фильтр проводит взвешенное суммирование предшествующих отсчетов входного сигнала и не используют прошлые отсчеты выходного сигнала. Применив z-преобразование к обеим частям выражения (15.1), убеждаемся, что

Отсюда следует, что системная функция

является дробно-рациональной функцией z, имеющей m-кратный полюс при z = 0 и m нулей, координаты которых определяются коэффициентами фильтра.

Алгоритм функционирования трансверсального ЦФ поясняется структурной схемой приведенной на рис. 15.1.

Рис.15.1. Схема построения трансверсального ЦФ

Основными элементами фильтра служат блоки задержки отсчетных значений на один интервал дискретизации (прямоугольники с символами ), а также масштабные блоки, выполняющие в цифровой форме операции умножения на соответствующие коэффициенты. С выходов масштабных блоков поступают в сумматор, где, складываясь, образуют отсчет выходного сигнала.

Вид представленной здесь схемы объясняет смысл термина «трансверсальный фильтр» (от англ. transverse — поперечный).

Импульсную характеристику трансверсального ЦФ вычислим, осуществив обратное z-преобразование выражения (15.2). Легко видеть, что каждое слагаемое H(z) дает вклад, равный коэффициенту , смещенному на n позиций в сторону запаздывания. Таким образом, здесь

К такому выводу можно прийти и непосредственно, рассматривая структурную схему фильтра (см. рис.15.1) и полагая, что на его вход подан «единичный импульс» (1,0,0,0,…).

Важно отметить, что импульсная характеристика трансверсального фильтра содержит конечное число членов.

Частотную характеристику можно получить путем замены переменной в (15.2)

При заданном шаге дискретизации ?? можно реализовать самые разнообразные формы АЧХ, подбирая должным образом весовые коэффициенты фильтра.

41. Рекурсивные ЦФ. Устойчивость цифровых фильтров

Этот вид цифровых фильтров характерен тем, что для формирования i-го выходного отсчета используются предыдущие значения не только входного, но и выходного сигнала:

причем коэффициенты определяющие рекурсивную часть алгоритма фильтрации, не равны нулю одновременно. Чтобы подчеркнуть различие структур двух видов ЦФ, трансверсальные фильтры называют также нерекурсивными фильтрами.

Системная функция рекурсивного ЦФ. Выполнив z-преобразование обеих частей рекуррентного соотношения (15.5), находим, что системная функция

Описывающая частотные свойства рекурсивного ЦФ имеет на z-плоскости n полюсов. Если коэффициенты рекурсивной части алгоритма вещественны, то эти полюсы либо лежат на вещественной оси, либо образуют комплексно-сопряженные пи ары.

Рис.15.2. Структурная схема рекурсивного ЦФ

Структурная схема рекурсивного ЦФ. На рис.15.2 изображена схема алгоритма вычислений, проводимых в соответствии с формулой (15.6). Верхняя часть структурной схемы отвечает трансверсальной (нерекурсивной) части алгоритма фильтрации. Для ее реализации требуется в общем случае m+1 масштабных блоков (операций умножения) и m ячеек памяти, в которых хранятся входные отсчеты.

Рекурсивной части алгоритма соответствует нижняя часть структурной схемы. Здесь используются n последовательных значений выходного сигнала, которые в процессе работы фильтра перемещаются из ячейки в я ячейку путем сдвига.

Недостатком данного принципа реализации является потребность в большом числе ячеек памяти, отдельно для рекурсивной и нерекурсивной частей. Более совершенны канонические схемы рекурсивных ЦФ, в которых используется минимально возможное количество ячеек памяти, равное наибольшему из чисел m и n. В качестве примера на рис 15.3 изображена структурная схема канонического рекурсивного фильтра 2-го порядка, которой отвечает системная функция

Рис.15.3. Структурная схема канонического рекурсивного ЦФ 2-го порядка

Для того чтобы убедиться в том, что эта система реализует заданную функцию, рассмотрим вспомогательный дискретный сигнал на выходе сумматора 1 и запишем два очевидных уравнения:

Выполнив z-преобразование уравнения (15.8), находим, что

С другой стороны, в соответствии с выражением (15.9)

Объединив соотношения (15.10) и (15.11), приходим к заданной системной функции (15.7).

42. Устойчивость рекурсивных ЦФ

Рекурсивный ЦФ является дискретным аналогом динамической системы с обратной связью, поскольку в ячейках памяти хранятся значения его предшествующих состояний. Если заданы некоторые начальные условия, т.е. совокупность значений то в отсутствие входного сигнала фильтр будет образовывать элементы бесконечной последовательности играющей роль свободных колебаний.

Цифровой фильтр называется устойчивым, если возникающий в нем свободный процесс есть невозрастающая последовательность, т.е. значения при не превышают некоторого положительного числа M независимо от выбора начальных условий.

Свободные колебания в рекурсивном ЦФ на основании алгоритма (15.5) являются решением линейного разностного уравнения

По аналогии с принципом решения линейных дифференциальных уравнений будем искать решение (15.12) в виде показательной функции

с неизвестным пока значением Подставив (15.13) в (15.12) и сократив на общий множитель, убеждаемся, что является корнем характеристического уравнения

На основании (15.6) это уравнение в точности совпадает с уравнением, которому удовлетворяют полюсы системной функции рекурсивного ЦФ.

Пусть система корней уравнения (15.14) найдена.Тогда общее решение разностного уравнения (15.12) будет иметь вид

Коэффициенты должны быть подобраны так, чтобы удовлетворялись начальные условия.

Если все полюсы системной функции , т.е. числа по модулю не превосходят единицы, располагаясь внутри единичного круга с центром в точке то на основании (15.15) любой свободный процесс в ЦФ будет описываться членами убывающих геометрических прогрессий и фильтр будет устойчив. Ясно, что практически применяться могут только устойчивые цифровые фильтры.

Каждый электрик должен знать:  Электрические схемы станков с ЧПУ
Добавить комментарий