Теорема разложения


СОДЕРЖАНИЕ:

Теорема разложения

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца находит широкие применения в различных разделах математики.

Теорема устанавливает, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления определителей более низкого порядка.

По сути дела речь идет о перегруппировке слагаемых в выражении для определителя матрицы.
В первую группу объединяются слагаемые, содержащие элемент a i 1 в качестве общего множителя, во вторую группу — слагаемые с общим элементом a i 2 и так далее.
Коэффициентами элементов a i j являются алгебраичечкие дополнения этих элементов.

Рассмотрим квадратную матрицу A n-го порядка.
Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате мы получаем матрицу (n – 1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента и обозначается символом Mi j:

Теорема о разложении определителя по элементам строки . Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

Теорема о разложении определителя по элементам столбца . Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливают, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Теорема — разложение

Теорема разложения дает возможность перейти от изображения к оригиналу для тех случаев, когда в таблице формул отсутствуют соответствующие выражения, и тем самым дополнить имеющиеся таблицы формул. [1]

Теорема разложения им выведена как для простых, так и для кратных корней. [2]

Теорема разложения может быть обобщена на случай, когда изображение (3.6.13) является отношением двух целых трансцендентных функций А ( р) и В ( р), имеющих в качестве особых точек только полюсы ( корни трансцендентного уравнения В ( р) — 0); при этом т — сю. [3]

Теорема разложения для случаев простых и кратных корней ( см. § 15 — 6) в сочегании с другими свойствами преобразования Лапласа ( см. § 15 — 4) дает возможность составить таблицы оригиналов и изображений, весьма облегчающие и ускоряющие расчеты переходных процессов. Такие таблицы широко применяются на практике. [4]

Теорема разложения оказывается чрезвычайно полезной. [5]

Теорема разложения для случаев простых и кратных корней ( § 15 — 6) в сочетании с другими свойствами преобразования Лапласа ( § 15 — 4) дает возможность составить таблицы оригиналов и изображений, сильно облегчающие и ускоряющие расчеты переходных процессов. Такие таблицы широко применяются на практике. [6]

Теоремы разложения могут быть получены с помощью ф-лы обращения ( 15) и подсчета вычетов в полюсах ( стр. [7]

Теоремы разложения были впервые выведены Ващенко-Захарченкс, причем в том виде, в котором они получаются при помощи преобразования Лапласа. Хевисайд значительно позже Ващенко-Захарченко получил теоремы разложения; последние имеют иной вид, поскольку преобразование в методе Хевисайда производится по Лапласу — Карсону. Метод преобразования по Лапласу — Карсону нам кажется менее удобным по сравнению с методом Лапласа. [8]

Теорема разложения позволяет отыскать оригинал у ( t), являющейся реакцией системы на изменяющийся входной сигнал. [9]

Теорема разложения в ряд Фурье но собственным функциям была нами получена в § § 5, 6 при весьма ограничительных условиях. [10]

Теорему разложения в виде уравнения ( 1 — 24) нельзя применять в тех случаях, когда знаменатель дробной операторной функции имеет несколько одинаковых корней. [11]

Вторая теорема разложения в форме (1.63) справедлива лишь в том случае, когда уравнение Fz ( р) не имеет нулевого корня. [12]

Из теоремы разложения следует, что любая функция ( в частности. [13]

Вторая теорема разложения в форме (3.36) справедлива лишь в том случае, когда уравнение Fz ( p) 0 не имеет нулевого корня. При наличии нулевого корня оригинал функции ищется методом вычетов. [14]

Применение теоремы разложения позволяет избежать трудоемкой процедуры определения постоянных интегрирования, необходимой при использовании классических методов решения дифференциальных уравнений, но не избавляет от нахождения корней уравнения F2 ( p) О, являющегося характеристическим уравнением исследуемой системы управления. [15]

Теорема о разложении многочлена на линейные множители

Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида х – а и множитель, равный коэффициенту при старшей степени xn.

Доказательство. Пусть f (x) = A0xn + A1xn — 1 + … + An — многочлен n – ой степени. Этот многочлен в силу основной теоремы алгебры имеет один корень а1. Тогда из следствия теоремы Безу будем иметь f (x) = (х – а1)·f1 (x), где f1 (x) — многочлен степени n — 1. Многочлен f1 (x) тоже имеет корень а2.

Тогда f1 (x) = (х – а2 )·f2 (x), где f 2 (x) — многочлен степени n – 2. Аналогично f2 (x) = (х – а3)·f3 (x). Продолжая процесс выделения линейных множителей, дойдём до соотношения fn(x) = (х – а n )·fn, где fn — число (многочлен нулевой степени), и это число равно коэффициенту при хn, то есть fn = А0. На основании всех этих равенств можно записать

f (x) = А0·( х – а 1)·( х – а2)· … ·( х – аn)

Разложение дроби на простейшие.

Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации.

Простейшие дроби часто называют элементарыми дробями.

Различают следующие виды простейших дробей:

где A, M, N, a, p, q – числа, а дискриминант знаменателя в дробях 3) и 4) меньше нуля.

Называют их соответственно дробями первого, второго, третьего и четвертого типов.

Для чего вообще дробь раскладывать на простейшие?


Приведем математическую аналогию. Часто приходится заниматься упрощением вида выражения, чтобы можно было проводить какие-то действия с ним. Так вот, представление дробно рациональной функции в виде суммы простейших дробей примерно то же самое. Применяется для разложения функций в степенные ряды, ряды Лорана и, конечно же, для нахождения интегралов.

Каждый электрик должен знать:  Обрыв провода от столба к дому - что делать

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции . После разложения подынтегральной функции на простейшие дроби, все сводится к достаточно простым интегралам

Но об интегралах в другом разделе.

Пример.

Разложить дробь на простейшие.

Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Выполним деление столбиком (уголком):

Следовательно, исходная дробь примет вид:

Таким образом, на простейшие дроби будем раскладывать

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде

Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

Остроградского метод

Остроградского метод, метод выделения рациональной части неопределённого интеграла

где Q (x) — многочлен степени п, имеющий кратные корни, а Р (х)— многочлен степени m £ n — 1.

О. м. позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство

где Q1, Q2, P1, P2— многочлены степеней соответственно n1, n2, m1, m2, причём n1 + n2= n, m1 £ n1 — 1, m2 £ n2 — 1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q1(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q (x) и , и, следовательно, явное выражение Q1(x) можно найти, например, с помощью Евклида алгоритма. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество

Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и P2(x) неопределённых коэффициентов методом.

О. м. был впервые предложен в 1844 М. В. Остроградским.

Дата добавления: 2020-05-12 ; просмотров: 228 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Свойства преобразования Лапласа. Теоремы разложения Лектор Пахомова Е.Г. 2010 г. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемЛариса Шпонкина

Похожие презентации

Презентация на тему: » Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Свойства преобразования Лапласа. Теоремы разложения Лектор Пахомова Е.Г. 2010 г.» — Транскрипт:

1 Математический анализ Раздел: операционное исчисление Тема: Свойства преобразования Лапласа. Теоремы разложения Лектор Пахомова Е.Г г.

2 § 10. Свойства преобразования Лапласа Будем обозначать: f(t), g(t), x(t),… – оригиналы, F(p), G(p), X(p),… – их изображения. 1)Линейность изображения. Если f(t), g(t) – оригиналы. то f(t) + g(t) – оригинал и f(t) + g(t) F(p) + G(p) 2)Теорема подобия. Справедливо утверждение: f( t) 3)Теорема запаздывания (оригинала) Справедливо утверждение: f(t – ) e – p F(p)

3 Замечание. Напомним, что 4)Теорема смещения (запаздывания изображения). Справедливо утверждение: F(p – ) e t f(t).

4 5) Дифференцирование оригинала ТЕОРЕМА 1. Если f(t), f (t), …, f (n) (t) – оригиналы, то f (t) p F(p) – f(0), f (t) p 2 F(p) – p f(0) – f (0), f (t) p 3 F(p) – p 2 f(0) – p f (0) – f (0), …………………………….. f (n) (t) p (n) F(p) – p (n–1) f(0) – p (n–2) f (0) – … – p f (n-2) (0) – f (n-1) (0), где

5 6)Дифференцирование изображения Справедливо утверждение: F (p) –t f(t), F (p) t 2 f(t), F (p) –t 3 f(t), ………………… F (n) (p) (–t) (n) f(t). 7) Интегрирование оригинала Если f(t) – оригинал, то тоже является оригиналом и справедливо утверждение:

6 8)Интегрирование изображения ТЕОРЕМА 2 (об интегрировании изображения). Пусть f(t) F(p), – сходится абсолютно (путь интегрирования предполагается целиком лежащим в области аналитичности F(p) ) Тогда функция является оригиналом и

7 9)Умножение изображений ТЕОРЕМА 3 (Бореля, об умножении изображений). Пусть f(t), g(t) – оригиналы, f(t) F(p), g(t) G(p). Тогда функция тоже является оригиналом и (t) F(p) G(p). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Интеграл называется сверткой функций f(t) и g(t). ОБОЗНАЧАЮТ: f(t) g(t). Очевидно, что f(t) g(t) = g(t) f(t).


8 СЛЕДСТВИЕ 4 (формула Дюамеля). Справедлива формула: f (t) g(t) + f(0) g(t) p F(p) G(p). Т.е. p F(p) G(p).

9 §11. Теоремы разложения По теореме обращения (теорема 3 в §9) Кроме того, справедливы следующие теоремы.

s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep 10 ТЕОРЕМА 1 (вторая теорема разложения). Пусть функция F(p) удовлетворяет условиям: 1)F(p) аналитична в полуплоскости Rep > s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep s 0. Тогда оригиналом для функции F(p) является функция f(t) (t), где s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep s 0. Тогда оригиналом для функции F(p) является функция f(t) (t), где»> s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep s 0 (где s 0 – некоторое неотрицательное число); 2)в полуплоскости Rep

11 Замечание. Условиям теоремы 1 удовлетворяют в частности функции вида и где Q m (p), Q n (p) – многочлены степени m и n соответственно, причем m

12 ТЕОРЕМА 2 (первая теорема разложения) Если функция F(p) аналитична в окрестности и ее ряд Лорана в окрестности имеет вид то оригиналом для функции F(p) является функция

Вторая теорема разложения

Вторая теорема разложения в операционном исчислении сводит нахождение оригинала по изображению к нахождению вычетов в особых точках.

Теорема

В частности, если все корни знаменателя простые (не кратные) и F 2 ( p ) = ( p − p 1 ) . . . ( p − p n ) <\displaystyle F_<2>(p)=(p-p_<1>). (p-p_)\quad > , то

Примеры

Приведём несколько примеров применения теоремы о разложении.

Случай простых полюсов

Случай кратных полюсов

См. также

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : .

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a1, a2, …, a n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

Каждый электрик должен знать:  Какое сечение кабеля выбрать для комплекса

Интересно знать

Урогенитальный микоплазмоз
Этиологическая структура урогенитальных инфекций постоянно меняется. В последнее время резко возросла частота хламидийной, вирусной, микоплазменной и смешанной инфекции, борьба с которыми представляет значительные трудности в связи с развивающейся устойчивостью к антибиотикам и особенностями ответных р .

Клонирование человеческого эмбриона
В октябре 2001 года мы пришли в лабораторию компании Advanced Cell Technology для того, чтобы увидеть через микроскоп маленькие шарики делящихся клеток, невидимые невооруженным взглядом. Не смотря на свою внешнюю незначительность, эти крупинки были драгоценны, потому что представляли собой первый человеческ .

Основная теорема арифметики: формулировка, доказательство

Данный материал мы посвятим теоретическим основам разложения чисел на некоторые простые множители. Это называется основной теоремой арифметики. В начале мы приведем ее формулировку, а потом обоснуем и докажем.

Две вспомогательные теоремы для доказательства основной теоремы арифметики

Согласно основной теореме арифметики, любое целое число, большее 1 , может быть разложено на простые множители. Перед тем, как переходить к формулировке и доказательствам, запишем две теоремы, которые нам в этом помогут.

Любое положительное число a , не равное 1 , можно разделить на число p , если оно не является по отношению к a взаимно обратным числом.

Докажем это утверждение. Наибольшим общим делителем двух чисел a и p будет p . Поскольку p является простым числом, то у него всего два положительных делителя — единица и оно само. Значит, наибольший общий делитель (НОД) a и p будет равен либо единице, либо p . Если мы возьмем случай с единицей, то получим, что a и p будут взаимно простыми числами. Во втором случае, если a можно разделить на НОД ( a , p ) , то a делится на p .

Вторая теорема выглядит так:

Если у нас есть произведение нескольких целых положительных множителей, не равных единице, которое можно разделить на число p , то на это же число можно разделить хотя бы один из множителей.

Перейдем к доказательству. Согласно первой теореме, каждый множитель по отношению к p либо является взаимно простым, либо может быть разделен на p . Если бы все множители были взаимно простыми с p , то данное произведение целиком было бы таким же, что следует из свойств взаимно простых чисел. Следовательно, на p можно разделить хотя бы один из множителей.

Формула и доказательство основной теоремы арифметики

После того, как мы сформулировали две вспомогательные теоремы, мы можем перейти к основной теореме арифметики.

Любое целое число, большее единицы, может быть разделено на простые множители, причем это разложение будет единственным (изменение порядка следования множителей не в счет).

Докажем данную теорему. Возьмем целое число a , которое будет больше 1 , и докажем, что его вообще можно разложить на множители. Возьмем наименьший положительный делитель данного числа, не равный единице, и обозначим его p 1 . Исходя из теоремы, доказательство которой мы приводили в статье о таблице простых чисел, данное число будет простым. Тогда, согласно определению делимости, должно существовать такое целое число, для которого a = p 1 · a 1 . Если a 1 будет больше 1 , то должно существовать число, являющееся его наименьшим простым делителем, значит, a 1 = p 2 · a 2 и a = p 1 · p 2 · a 2 .

Проводим такие подсчеты до тех пор, пока у нас не получится a = 1 . Такой итог неизбежен, поскольку a , a 1 , a 2 , … является последовательностью целых чисел в убывающем порядке. Таким образом, число a всегда может быть разложено на простые множители вида a = p 1 · p 2 · … · p n . Если показатель n будет равен единице, то у нас получится, что a = p 1 . Это разложение подходит для простого числа.


Теперь нам надо доказать, что подобное разложение будет единственным. Допустим, что помимо a = p 1 · p 2 · … · p n есть и другое разложение. Обозначим его a = q 1 · q 2 · … · q m . Следовательно, в таком случае было бы справедливым равенство p 1 · p 2 · … · p n = q 1 · q 2 · … · q m . Докажем, что если n не равен m , то данное равенство будет невозможным, а при равенстве показателей эти произведения p 1 · p 2 · … · p n и q 1 · q 2 · … · q m будут тождественно равными.

Мы можем разделить правую часть равенства на q . Тогда, согласно предыдущей теореме, у нас должен быть хотя бы один множитель из последовательности p 1 , p 2 , … , p n , который можно разделить на q 1 . Например, предположим, что p 1 делится на q 1 , но поскольку оба этих числа являются простыми, то p 1 делится на q 1 только тогда, когда q 1 = p 1 . Тогда мы можем сократить правую и левую часть равенства: p 1 · p 2 · … · p n = q 1 · q 2 · … · q m на q 1 = p 1 . Получаем, что p 2 · … · p n = q 2 · … · q m .

Повторяем те же действия с p 2 и q 2 и приходим к равенству p 3 · … · p n = q 3 · … · q m . Действуем так до тех пор, пока не сократим все множители. Если n не равен m , то у нас будет равенство 1 = q n + 1 · … · q m , и p m + 1 · … · p n = 1 . Для простых чисел они невозможны. Если же показатели равны друг другу, то мы придем к тождеству 1 = 1 , что говорит нам о тождественном равенстве разложений a = p 1 · p 2 · … · p n и a = q 1 · q 2 · … · q m . На этом единственность разложения на простые множители можно считать доказанной.

Подводя итоги, заметим, что основная теорема арифметики может также называться теоремой о разложении чисел на простые множители.

Теорема об LU-разложении матрицы

Рассматривается неоднородная система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ):

где — матрица системы, — вектор неизвестных и правой части соответственно, .

Теорема. Пусть все ведущие подматрицы , , матрицы являются невырожденными. Тогда единственным образом представима в виде:

где — нижняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали, — верхняя треугольная матрица, диагональные элементы которой определяются по формуле:

Представление (10) называется LU-разложением матрицы .

Доказательство. Доказательство проведем конструктивно, т.е. построим непосредственно разложение (10). Напомним, что главные подматрицы — это

Предположим, что разложение (10) уже построено, т.е. матрица представлена в виде:

Элементы матрицы известны, а элементы матриц необходимо найти. Построим систему уравнений относительно неизвестных элементов матриц , записывая уравнения для соответствующих элементов матрицы :

или, учитывая, что

систему (20) можно записать в виде:

Записывая последовательно уравнения системы (20), получим:

для , учитывая, что этот элемент получается при умножении первой строки матрицы на первый столбец матрицы :

откуда сразу получаем значение для .

Элемент получается как результат умножения первой строки матрицы на второй столбец матрицы :

Идя последовательно по элементам первой строки матрицы , получим, что

Переходим на вторую строку матрицы :

и т.д. Проводя вычисления, составляя уравнения для элементов матрицы в порядке

получим следующие формулы для вычисления неизвестных элементов матриц :

Ясно, что вычисления по формулам (25) можно вести только тогда, когда . Проверим выполнение этого условия. Из (22) следует, что

Поскольку нижняя и верхняя треугольные матрицы соответственно, то их определители равны произведению элементов, стоящих на главной диагонали, поэтому

Каждый электрик должен знать:  Расчет усилительного каскада с общим истоком

и, как следует из (30)

По условию теоремы все , невырожденные, т.е.

теорема разложения

1 теорема разложения

разложение в ряд — expansion into a series; expansion

2 теорема разложения

разложение в ряд по … — expansion in terms of …

3 теорема разложения

разложение в ряд по … — expansion in terms of …

4 теорема разложения

5 теорема разложения


6 теорема разложения

7 теорема разложения

8 теорема разложения

9 теорема разложения

10 теорема о единственности разложения

См. также в других словарях:

Теорема разложения Гельмгольца — Теорема разложения Гельмгольца утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты: Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду … Википедия

Первая теорема разложения — Теорема Если функция разлагается в окрестности бесконечно удалённой точки в сходящийся ряд Лорана, имеющий вид , то является изображением оригинала Внимание! В формуле для из … Википедия

Вторая теорема разложения — Содержание 1 Теорема 2 Примеры 2.1 Случай простых полюсов … Википедия

Теорема Лебега о разложении меры — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лебега. Вводные определения Пусть монотонно неубывающая функция, непрерывная справа на отрезке . На вводится борелевская алгебра … Википедия

Теорема Кархунена-Лоэва — Эта статья или секция грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть генерирован программой переводчиком или человеком со слабыми познаниями в языке статьи оригинала. Пожалуйста, не поленитесь улучшить перевод.… … Википедия

Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции — Теорема Миттаг Леффлера о разложении мероморфной функции одна из основных теорем теории аналитических функций, дающая для мероморфных функций, аналог разложения рациональной функции на простейшие дроби. Теорема Для произвольной… … Википедия

Теорема Карунена — Эта статья или раздел грубый перевод статьи на другом языке (см. Проверка переводов). Он мог быть сгенерирован программой переводчиком или сделан человеком со слабыми познаниями в языке оригинала. Вы можете помочь … Википедия

Теорема о равнораспределении — Тепловое движение α пептида. Сложное дрожащее движение атомов, составляющих пептид, случайно, и энергия отдельного атома флуктуирует в широких пределах, но с помощью закона равнораспределения вычисляют как среднюю кинетическую энергию каждого… … Википедия

Теорема Тейлора — Экспоненциальная функция y = ex (сплошная красная линия) и соответствующий многочлен Тейлора четвёртого порядка (штрих пунктирная зелёная линия) вблизи начала координат … Википедия

Теорема Сохоцкого — График фунции комплексного переменного e1/z. Центрирован относительно существенно особой точки z = 0. Цвет отражает аргумент, а яркость модуль значения функции … Википедия

Теорема Вейерштрасса о целых функциях — У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Вейерштрасса. Теорема Любая целая функция , имеющая не более чем счётное количество нулей , где точка 0 нуль порядка , может быть представлена в виде бесконечного произведения вида … Википедия

Вторая теорема разложения

Содержание

Теорема К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан) [источник не указан 2419 дней]

Если F(p) = \frac — правильная рациональная функция и F_2(p) = (p — p_1)^(p — p_2)^. (p — p_l)^ , то оригинал можно найти по формуле

В частности, если все корни знаменателя простые (не кратные) и F_2(p) = (p — p_1). (p — p_n) \quad , то

Примеры

Приведём несколько примеров применения теоремы о разложении.

Случай простых полюсов

Пусть функция F(p)=\frac<1> . Очевидно, что функция имеет полюса первого порядка в точках p_1=0 , p_2=a и p_3=b Тогда её оригинал представим в виде f(t)=A_1\cdot e^ <0 t>+ A_2\cdot e^ + A_3\cdot e^ .

Найдём соответствующие A_1 , A_2 и A_3 . Для этого вычислим производную знаменателя функции F_2^\prime(p)=3p^2-2bp-2ap+ab . В соответствии с вышесказанным A_1=\frac=\frac=\frac<1> . Аналогично A_2=\frac<1> и A_3=\frac<1> .

Случай кратных полюсов

Пусть функция F(p)=\frac . Функция имеет полюс первого порядка при p_1=0 и полюс второго порядка в точке p_2=-b . Следовательно оригинал должен иметь вид f(t)=A_1\cdot e^ <0 t>+ A_<21>\cdot t e^<-bt>+A_<22>\cdot e^ <-bt>.

Следует отметить коэффициенты A_=A_ для полюсов первого порядка можно по-прежнему искать вычисляя производную: F_2^\prime(p)=3p^2+4bp+b^2 . Таким образом A_1=\frac .

Пусть теперь A_2(p)=(p+b)^2\cdot F(p) = \frac

(это соответствует выражению под знаком предела в общей формуле). Тогда A_<21>=\frac<1><0!>\lim_

A^<(0)>(p)=-\frac и A_<22>=\frac<1><1!>\lim_

A^<(1)>(p)=-\frac , где A^<(1)>(p)=\frac=-\frac .

См. также

Напишите отзыв о статье «Вторая теорема разложения»

Отрывок, характеризующий Вторая теорема разложения

– Ничего… так мне грустно стало… грустно об Андрее, – сказала она, отирая слезы о колени невестки. Несколько раз, в продолжение утра, княжна Марья начинала приготавливать невестку, и всякий раз начинала плакать. Слезы эти, которых причину не понимала маленькая княгиня, встревожили ее, как ни мало она была наблюдательна. Она ничего не говорила, но беспокойно оглядывалась, отыскивая чего то. Перед обедом в ее комнату вошел старый князь, которого она всегда боялась, теперь с особенно неспокойным, злым лицом и, ни слова не сказав, вышел. Она посмотрела на княжну Марью, потом задумалась с тем выражением глаз устремленного внутрь себя внимания, которое бывает у беременных женщин, и вдруг заплакала.
– Получили от Андрея что нибудь? – сказала она.
– Нет, ты знаешь, что еще не могло притти известие, но mon реrе беспокоится, и мне страшно.
– Так ничего?
– Ничего, – сказала княжна Марья, лучистыми глазами твердо глядя на невестку. Она решилась не говорить ей и уговорила отца скрыть получение страшного известия от невестки до ее разрешения, которое должно было быть на днях. Княжна Марья и старый князь, каждый по своему, носили и скрывали свое горе. Старый князь не хотел надеяться: он решил, что князь Андрей убит, и не смотря на то, что он послал чиновника в Австрию розыскивать след сына, он заказал ему в Москве памятник, который намерен был поставить в своем саду, и всем говорил, что сын его убит. Он старался не изменяя вести прежний образ жизни, но силы изменяли ему: он меньше ходил, меньше ел, меньше спал, и с каждым днем делался слабее. Княжна Марья надеялась. Она молилась за брата, как за живого и каждую минуту ждала известия о его возвращении.

– Ma bonne amie, [Мой добрый друг,] – сказала маленькая княгиня утром 19 го марта после завтрака, и губка ее с усиками поднялась по старой привычке; но как и во всех не только улыбках, но звуках речей, даже походках в этом доме со дня получения страшного известия была печаль, то и теперь улыбка маленькой княгини, поддавшейся общему настроению, хотя и не знавшей его причины, – была такая, что она еще более напоминала об общей печали.

Добавить комментарий