Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде


СОДЕРЖАНИЕ:

построение картины плоскопараллельного поля. 3 глава

Если поле создается не только диэлектриком с остаточной поляризацией,

но и другими заряженными телами, то следует использовать принцип на­ложения. Поле определяется вне поляризованного диэлектрика.

Вопросы для самопроверки

1. Охарактеризуйте понятие «электростатическое поле». 2. Какой физический смысл придается E и φ? Какая интегральная и дифференциальная связь существует между ними? 3. Какие поля называют потенциальными? 4. Что понимают под кар­тиной пап я? Какие характеристики поля называют точечными, какие интеграль­ными? 5. В чем отличие свободных зарядов отсвязанных? 6. Каков смысл вектора Р? Что послужило основанием для введения вектора D? 7. Дайте физическое толкова­ние понятиям градиента идивергенции. 8. Могут ли при переходе через границу раз­дела двух сред сразличными е полные значения E иD изменяться скачками? 9. Оха­рактеризуйте поле точечного и линейного зарядов и поле диполя. 10. Дайте обосно­вание методу зеркальных изображений. 11. Что определяют потенциальные ием­костные коэффициенты ичастичные емкости? 12. Дайте примеры плоскопараллельного, плоскомеридианного иравномерного полей. 13. Охарактеризуйте идёюи этапы решения уравнений в частных производных методом разделения переменных. 14. Ка­кое допущение принято в методе средних потенциалов? 15. Тонкое кольцо радиуса а заряжено с плотностью т инаходится в воздухе; определите создаваемую им напря-

ГДАВА ДВАДЦАТАЯ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ

§ 20.1. Плотность тока и ток. Если под воздействием внешних источников в проводящей среде (металлических проводниках земле жидкостях) создано электрическое поле, то в ней будет протекать электрический ток.

Упорядоченное движение свободных электронов в металле и ионов в.жидкости под действием электрического поля принято называть током проводимости.

При своем упорядоченном движении носители зарядов испытывают многочисленные столкновения с другими частицами вещества, которые находятся в тепловом движении. Эти столкновения затрудняют упоря­доченное движение носителей зарядов и являются причиной сопро­тивления, оказываемого проводящей средой прохождению тока. Свойство среды, характеризующее ее способность проводить ток называют удельной проводимостью у. Удельная проводимость y зави-. сит от физических свойств проводящего материала и температуры имеет размерность Ом -1 м -1 = См/м.

Электрическое поле в проводящей среде подчиняется законам, рассмотренным в данной главе.

Основной величиной в электрическом поле проводящей среды является плотность тока . Это векторная величина, направленная по напряженности электрического поля. Она численно равна отношению тока , протекающего; через элемент поверхности S (перпен­дикулярный к направлению-напряженности поля в данной точке) к величине S этой поверхности.

Если поверхность имеет конечные размеры, то направление век-
тора плотности тока во всех элементах, на которые может быть раз-
убита эта поверхность, и направление элементов поверхности могут
быть различны, и ток определится так:I= .

Таким образом, ток есть поток вектора плотности тока. Ток в отличие от плотности тока является скаляром алгебраиче­ского характера.

При протекании постоянных токов как внутри проводящих тел так и вне их существуют постоянные (неизменные во времени) магнитные поля. Так как эти поля неизменны во времени, то в поле не воз­никает явления электромагнитной индукции, т. е. магнитное поле созданное постоянным током, не оказывает влияния на электрическое поле постоянного тока. Поэтому электрическое и магнитное поля постоянного тока можно рассматривать раздельно.

Магнитное поле постоянного тока рассматривается в гл. 21.

§ 20.2. Закон Ома и второй закон Кирхгофа в дифференциальной форме. Выделим в проводящей среде небольшой параллелепипед объе-. мом V. Длина ребpa параллелепипеда , площадь поперечного сечения S. Расположим этот параллелепипед так, чтобы напряжен-

ность поля в нем была направлена параллельно ребру (рис. 20.1, а). В силу малости объема можно считать, что напряженность электри­ческого поля Е одна и та же во всем элементарном объеме; == n °; S = Sn°, гдe — единичный вектор по направлению , Sи Ё. Ток I = dS = S. Напряжение на элементе объема U = Е ==

= R . Сопротивление элемента объема R= /y S

Соотношение (20.1) называют законом Ома в дифференциальной форме. Оно устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке.

Уравнение (20.1) справедливо для областей вне .источников э. д. с.
В областях, занятых источниками э. д. с, кроме кулонова (электро­-
статического) поля существует еще так называемое стороннее элек­
трическое поле, обеспечивающее непрерывное движение зарядов в элек­-
трической цепи.

Под сторонним электрическим полем понимают электрическое
поле, обусловленное химическими, электрохимическими, тепловыми,
термоэлектрическими процессами.

Напряженность стороннего поля обозначают Eстор.. В областях,

занятых источниками э. д. с, полное значение напряженности поля

равно геометрической сумме напряженности кулонова и стороннего

На рис. 20.1, б схематически изображена электрическая цепь постоянного тока,
состоящая из источника питания и нагрузки. .

Источник сторонней э. д. с. создает внутри источника питания стороннюю напряженность поля Eстор..

Линейный интеграл от сторонней напряженности поля внутри источника на­зывается э. д. с. источника (Еt)

Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделе- ние электрических зарядов. Положительные заряды перемещаются к плюсу источника, а отрицательные — к минусу.

Эти заряды в области внутри и вне источника создают электрическое поле, на- пряженность которого, как и напряженность электростатического (кулонова) поля, направлена от положительных зарядов к отрицательным.

При протекании постоянного тока по цепи одни электрические заряды непре­рывно сменяются другими, такими же, как и в предыдущие моменты времени. Таким образом, картина поля в макроскопическом смысле повторяется в смежные моменты времени. Поле носит как бы статический характер. Это и послужило основанием для того, чтобы поле, созданное в проводящей среде разделившимися зарядами, называть кулоновым полем, а его напряженность Енапряженностью кулонова поля.

Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему полю. Пол-

ное значение напряженности поля внутри источника равно E+Eстор..Вне источника кулоново поле направлено от положительного электрода, к отрицательномуПод действием этого поля и происходит упорядоченное движение зарядов в области вне источника. При протекании тока по цепи | Eстор | | E| .При разомкнутой цепи

Закон Ома в дифференциальной форме для областей, занятых источниками э. д. с, записывают следующим образом:

Уравнение (20.3) называют обобщенным законом Ома в дифферен­циальной форме.

Если, от обеих частей уравнения (20.3) взять интеграл по замкну­тому контуру, включающему в себя источник э. д. с, то из уравнения (20.3) будет получен второй закон Кирхгофа. Поэтому уравнение (20.3) называют также вторым законом Кирхгофа в дифференциальной форме.

На рис. 20.1, в изображен замкнутый контур, по которому течет ток I. На участке 123 имеется источник сторонней э. д. с. Е1 На участке 341 нет источников сторонней э. д. с. Обозначим через R1 сопротивление участка 123 и через R — сопротивление участка 341. Примем, что площадь поперечного сечения всех участков замкнутого контура достаточно мала для того, чтобы можно было считать направление плот­ности тока и напряженности поля в некоторой точке совпадающими с направле­нием элемента пути dl в той же точке.

Умножим обе части (20.3) на dl/y и составим циркуляцию вдоль замкнутого кон­
тура 12341 (рис. 20.1, в):

=0 в силу потенциального характера кулонова поля.

но равен сторонней Э. д. с. E1,а Eстор dl=0, так как на участке 341

123 341

нет сторонней э. д. с.

Для подсчета величины умножим и разделим подынтегральное выраже­ние на площадь поперечного сечения S, от плотности тока перейдем к току I и

заменим на сопротивление участка пути dR. Получим;

Таким образом,.из уравнения (20.3) образовано .уравнение I (R1+R) = E1 составленное по второму закону Кирхгофа. ‘

§ 20.3. Первый закон Кирхгофа в дифференциальной форме.

Если в проводящей среде выделить,некоторый объём, по которому, про-, текает постоянный, не изменяющийся во времени ток, тс можно ска­зать, что ток, который войдет в объем, должен равняться току, вышед­шему из него. иначе в этом объеме происходило бы накопление элек­трических зарядов, что опыт не подтверждает. Сумму входящего в объем и выходящего из объема токов записывают так:

Если разделить и левую и правую части (20.4) на одно и то же числа (на объем, о котором шла речь), то равенство останется спра­ведливым:

V

Очевидно, что последнее соотношение будет справедливо и в том случае, если объему находящийся внутри замкнутой поверхности, устремим к нулю:,

Таким образом, для постоянного, неизменного во времени поля впроводящей среде:

Это соотношение называют первым законом Кирхгофа в дифферен­циальной форме. Оно означает, что в установившемся режиме (при постоянном токе) в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости

72
§ 20.4. Дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца. В гл. 1

отмечалось, что если по какому либо проводнику сопротивлением R протекает постоянный ток I, то в единицу времени (в секунду) в нем

выделяется энергия, равная I 2 R. Определим энергию, выделяющуюся в единицу времени в единице объема, проводящей среды (с этой целью

воспользуемся рис. 20.1, a):

Следовательно, в единице объема проводящей среды в единицу времени выделяется энергия, численно равная уЕ г .

§ 20.5. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде. Так же как и в электростатическом поле, напряженность электрического поля в проводящей среде Е = —grad φ. В неизменном во времени поле

Если �� среды не изменяется от точки к точке, т. ё. если, среда однородна и изотропна, то у как постоянную..величину можно вынести за знак дивергенции и, следовательно, вместо div��E= 0 можно на­писать �� div E ==0 или

Таким образом, поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа. Поле постоянного тока в проводящей среде явля­ется полем потенциальным. В нем, в областях, незанятых источниками,

dl= 0. ‘ ■ ‘ —

§ 20.6. Переход тока из среды с проводимостью у1 в среду с про­водимостью γ2.Граничные условия. Выясним, какие граничные условия выполняются при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с, другой проводимостью.

контура равно нулю,

На рис. 20.2 линия 00 есть граница раздела сред. Возьмем на границе плоский замкнутый контур 1234. Составим циркуля­цию: вдоль этого контура. Стороны 12 и 34 его весьма малы по сравнению со сторонами 23 и 41 (длину последних обозначим dl).

Так как Edl вдоль любого замкнутого равно нулю и для контура 1234.

В силу малости отрезков 12 и 34 пренебрежем составляющими интеграла вдоль этих путей и тогда:»

Это соотношение совпадает с соотношением (19.34).

На границе раздела равны нормальные составляющие плотностей
токов. Докажем это.

На границе раздела выделим сплющенный параллелепипед (рис. 20.3, а). Поток вектора б, втекающий в объем через нижнюю грань.

равен — 1n ; поток вектора , вытекающий из объема через верхнюю грань, 2n . Так как = 0, то:

Следовательно, при переходе тока из среды с одной проводимостью в среду с другой проводимостью непрерывна тангенциальная соста­вляющая вектора Е, т. e E1t= E2t

Отсюда следует, что полные значения вектора E и вектора в об­щем случае меняются скачком на границе раздела.

Найдем связь между углом падения β1 и углом преломления β2. В соответствии с рис. 20.3, б:

Если ток переходит из среды с большой проводимостью (напри­мер, из металла) в среду с малой проводимостью (например, в землю),то тангенс угла преломления tg β2 = tgβ1 Υ 2 1 меньше тангенса угла падения и, следовательно, угол β2 будет меньше угла β1.Если у2 весьма мало, то угол β2 0. ,

§ 20.7, Аналогия между полем в проводящей среде и электро­статическим полем. По своей природе поле электростатическое и поле постоянного тока в проводящей среде различны. Электростати­ческое поле создается электрическими зарядами, неизменными во времени и неподвижными в пространстве, тогда как электрическое поле

в проводящей среде — это поле, в котором электрические заряды имеют упорядоченное движение под действием внешнего источника.

Тем не менее между двумя полями может быть проведена определенная формальная аналогия.

Действительно, электростатическое поле в областях, не, занятых зарядами, удовлетворяет уравнению Лапласа. Электрическое Поле постоянного тока в проводящей среде вне сторонних источников также ему удовлетворяет. В обоих полях имеют дело с вектором напря­женности поля Е. С вектором электрического смещения D= εаE можно сопоставить вектор плотности, тока = уЕ. С потоком век­тора D (обозначим его буквой ) ψ = ds можно сопоставить поток вектора плотности электрического тока I =∫ dS.

Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различной проводимостью E1t = E2t и 1n = 2n

Но если два поля удовлетворяют одному и тому же уравнению 2 φ = 0 и в них выполняются тождественные граничные условия для сходных величин, то при однаковой форме граничных поверхностей на основании теоремы единственности можно сказать, что совокупность силовых и эквипотенциальных линий в этих двух полях (т. е. картина поля) будет одинаковой.

Эта формальная аналогия широко используется на практике. Так, например, если какое-либо электростатическое поле уже изучено, то все сведения о нем могут быть перенесены и на геометрически подобное поле в проводящей среде. Справедливо и обратное заключение.

§ 20.8. Экспериментальное исследование полей. Если форма гра-
ничных поверхностей (электродов) сложна, то аналитический расчет

поля осуществить довольно трудно. Непосредственно же определить

потенциалы точек электростатического поля, помещая в них зонды, обычно также не удается, потому что зонды даже при малой мощности,

потребляемой индикаторами, своим присутствием искажают поле. В этом случае поле исследуют экспериментально на модели, т. е. прибегают к моделированию, либо в электролитической ванне, либо на твердой модели. Рассмотрим, как производится моделирование

двухмерного поля в электролитической ванне *.

В ванну с электролитом (например, с подкисленной водой),поме-

щают электроды (рис. 20.4). Форма и их взаимное расположение должны

быть точно такими же, как и в изучаемом электростатическом поле.

Для того чтобы стенки ванны меньше искажали исследуемое поле,

лийейные размеры ванны должны в несколько раз превышать соот-

ветствующие линейные размеры исследуемого участка поля.

Электроды соединяют с источником э. д. с. низкой частоты (обычно 50 Гц). Использовать в качестве источника питания э. д. с. постоян-

* В приложении Е’ на стр. 204 рассматриваются основы другого метода модели­рования полей — с помощью электрических сеток.

тока нельзя, так как при постоянном токе будет происходить электролиз подкисленной воды, и пузырьки газа», осаждаясь на электродах, будут искажать, исследуемое поле. По электролиту проходит переменный ток.

С помощью вспомогательного реостата Р, зонда (щупа) и индикатора нуля И можно снять семейство эквипотенциальных линий в поле. С этой целью устанавливают движок реостата в каком-либо фиксиро­ванном положении и перемещая зонд (щуп) так, чтобы индикатор показывал нуль, находят совокупность точек, потенциал которых равен

потенциалу движка реостата. Далее переме­щают движок реостата в новое положение и определяют координаты точек второй эквипотенциали и т. д. Затем по семейству эквипотенциалей строят сетку силовых линий. При по­строении последней руководствуются тем, что силовые линии в любой точке поля должны быть перпендикулярны эквипотенциалям, в том числе и поверхностям электродов.

В электростатическом поле силовые линии перпендикулярны поверхностям» электродов. В поле проводящей среды силовые линий, строго говоря, не совсем перпендикулярны по­верхностям электродов^ Но если проводимость электродов будет во много раз больше прово-

димости электролита, то [см. формулу ‘(20.12)]-с; большой степенью точности можно считать, что силовые линии будут подходить к по­верхностям электродов практически под прямым углом,

Моделирование двухмерных полей на твердой модели осуществляют обычно на специально выпускаемой электропроводной бумаге (в обыч­ную бумагу добавляют сажу или графит). Металлические электроды ставят на бумагу и подводят к ним напряжение переменного или постоянного тока. Ток проходит по бумаге. Семейство эквипотенциалей снимают так же, как и в электролитической ванне.

§ 20.9. Соотношение между проводимостью и емкостью. Если какие-либо электроды поместить в проводящую среду и присоединить к источнику э. д. с, то в проводящей среде пойдет ток. Если напря­жение между электродами 1и 2 равно U12 и по среде проходит ток I,то проводимость между электродами 1и 2 G= I/U12
положены одинаковые по величине и противоположные по знаку заряды Q создающие поток ψ вектора электрической индукции D

Если разделить (20.14) на (20.13), то после сокращения получим

т .е. емкость С между двумя телами, разделенными диэлектриком

с абсолютной диэлектрической проницаемостью εa ,так относится

к проводимости G между теми же телами, если поместить их в среду

с электрической проводимостью γ, как εa относится к γ.

Соотношение (20.15) позволяет по известному выражению емкости

между какими-либо телами получить выражение для проводимости

или совершить обратную операцию.Так, например, емкость двух-

проводной ЛИНИИ ■

где l —длина проводов; d — расстояние между осями проводов;
r — радиус провода. ;

Для того чтобы получить выражение для проводимости, между двумя параллельными проводами (цилиндрами), погруженными в среду

Тогда получим: Или другой пример. Ем­кость коаксиального кабеля рис, 20.5, а):

с проводимостью у, надо в соответствии с (20.15) заменить в (20.16) εа на у.

Проводимость между двумя соосными Цилиндрами длиной l, которые разделены средой с проводимостью у (рис. 20.5, 6)

В свою очередь в электрическом поле с электродами такой же кон­фигурации емкость между двумя частями электродов, на которых рас-

Аналогию можно распространить и на более сложные поля. На­пример, если в равномерное поле, созданное в среде с проводимостью γв, поместить шар с проводимостью yi то в соответствии с (19.67) потенциал внутри шара определим следующим образом:

§ 20.10. Общая характеристика задач расчета электрического поля в проводящей среде и методов их решения. Так же как и задачи электростатики, задачи расчета электрического поля в проводящей среде можно классифицировать по характеру величины, которая опре­деляется в результате расчета, на задачи, в которых определяют точечные характеристики (плотность тока, потенциал), и задачи, в ко­торых находят интегральные характеристики поля, например сопро­тивление между электродами или напряжение между некоторыми точками.

В зависимости от того, что задано и что определяется, все задачи расчета электрического поля в проводящей среде можно разделить на два основных типа.

В первом типе задач заданы форма и расположение электродов (геометрия поля), свойства среды и интенсивность источников, соз­дающих поле. Требуется найти либо точечные либо интегральные характеристики поля.

Электрическое поле в проводящих средах Ток и плотность тока проводимости Упорядоченное движение свободных зарядов называют током проводимости. В металлах. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемГерасим Шушпанников

Похожие презентации

Презентация на тему: » Электрическое поле в проводящих средах Ток и плотность тока проводимости Упорядоченное движение свободных зарядов называют током проводимости. В металлах.» — Транскрипт:

2 Электрическое поле в проводящих средах

3 Ток и плотность тока проводимости Упорядоченное движение свободных зарядов называют током проводимости. В металлах – электроны В жидкостях – ионы Для количественной характеристики электрического тока используют 2 величины: Сила тока – I [A] Плотность тока – j [A/м 2 ]

4 Сила электрического тока Сила тока равна величине заряда, проходящего в единицу времени через полное сечение проводника. Ток – величина скалярная Плотность электрического тока Плотность тока равна величине тока, проходящего через единицу площади поперечного сечения проводника, перпендикулярного направлению тока. Плотность тока – величина векторная, направление совпадает с направлением движения положительных зарядов.

5 Сила электрического тока Сила тока – за время dt через поперечное сечение проводника dS проходит заряд, заключенный в объеме параллелепипеда со стороной V и площадью поперечного сечения dS. Плотность электрического тока dS V V-скорость движения носителей заряда; n – концентрация носителей тока

6 Закон Ома в дифференциальной форме. L I j E n S Это соотношение называют законом Ома в дифференциальной форме. Если в проводнике одновременно действуют электростатические и сторонние силы, т.е. имеются источники э.д.с., то Обобщенный закон Ома в дифференциальной форме.

7 Стороннее электрическое поле Поле не электростатичес- кой природы Под действием стороннего поля в источнике непрерывно происходит разделение положительных и отрицательных зарядов. Эти заряды внутри и вне источника создают электрическое поле, напряженность которого направлена от «+» к « — ».

8 Стороннее электрическое поле Поле не электростатичес- кой природы При протекании постоянного тока в источнике генерируются новые заряды и в результате напряженность поля остается неизменной. Поле носит как бы статический характер. Поэтому поле, созданное в проводящей среде разделившимися зарядами, называют «кулоновым», а его напряженность — напряженностью кулонова поля

9 Стороннее электрическое поле Поле не электростатичес- кой природы Внутри источника кулоново поле направлено навстречу стороннему полю. Полное значение напряженности поля внутри источника:

Каждый электрик должен знать:  Схемы включения полевых транзисторов

10 2-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме 2-ой закон Кирхгофа вытекает из обобщенного закона Ома в дифференциальной форме: Будем считать, что: 1.площадь поперечного сечения S всех участков замкнутого контура мала, 2.направление напряженности Е и плотности тока j совпадают с направлением элемента пути dl (1)

11 2-ой закон Кирхгофа вытекает из обобщенного закона Ома в дифференциальной форме: (1) =0 2-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме

12 2-ой закон Кирхгофа вытекает из обобщенного закона Ома в дифференциальной форме: (1) 2-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме

13 2-ой закон Кирхгофа вытекает из обобщенного закона Ома в дифференциальной форме: (1) 2-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме

14 Замкнутая поверхность S охватывает узел цепи. Можно утверждать, что ток, который входит в замкнутую поверхность равен току, вытекающему из нее. В противном случае происходило бы накопление зарядов. 1-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме j1j1 j2j2 j3j3 j4j4 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S Поток вектора плотности тока сквозь замкнутую поверхность равен нулю. Постоянный ток непрерывен.

15 1-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме j1j1 j2j2 j3j3 j4j4 S1S1 S2S2 S3S3 S4S4 S Это 1-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме. Он означает, что в установившемся режиме в любой точке поля нет ни истока, ни стока линий тока проводимости j

16 Дифференциальная форма закона Джоуля-Ленца Мощность тепловых потерь в проводнике: Определим энергию, выделяющуюся в единицу времени в единице объема проводящей среды – плотность энергии p: Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме

17 Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде Как в электростатическом поле, так и в поле постоянного тока ( в области где нет сторонних э.д.с.), напряженность E: Так как постоянный ток непрерывен, поле не имеет источников (1-й закон Кирхгофа в дифференциальной форме): Поле в однородной проводящей среде подчиняется уравнению Лапласа, оно потенциально.

18 Аналогия между электрическим полем постоянного тока и электростатическим полем Электростатическое поле и поле постоянного тока в проводящей среде различны по своей природе. Но между ними может быть проведена формальная аналогия: Обо поля удовлетворяют уравнению Лапласа: В обоих полях используется вектор напряженности поля E. Вектору электрического смещения можно сопоставить вектор плотности тока Поток вектора D соответствует потоку вектора плотности электрического тока. Это позволяет пользоваться формулами, полученными при расчете электростатических полей, в случае постоянного тока.

19 Граничные условия (две среды с разным удельным сопротивлением) Рассмотрим границу раздела двух проводящих сред с проводимостями: Выделим вспомогательную цилиндри- ческую поверхность. Ток сквозь эту поверхность равен нулю, так как она замкнутая:

20 Граничные условия (две среды с разным удельным сопротивлением) Если высота цилиндра 0, то при малых можно считать плотность тока через основания цилиндра j = const. Ток сквозь боковую поверхность равен 0.

21 Граничные условия (две среды с разным удельным сопротивлением) Если высота цилиндра 0, то при малых можно считать плотность тока через основания цилиндра j = const. Ток сквозь боковую поверхность равен 0. Тогда уравнение преобразуется к виду:

22 Граничные условия (две среды с разным удельным сопротивлением) Нормальная составляющая вектора плотности тока на границе раздела двух сред непрерывна. Следовательно, полное значение плотности тока на границе раздела двух сред меняется скачком

23 Если на границе раздела двух сред нет сторонних сил, то касательные составляющие вектора напряженности поля на границе раздела непрерывны.

bogemasamara.ru

Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона – Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.

Вынесем знак «-» за знак дивергенции:

Заменим div иgrad на :

В декартовой системе координат:

Если зависит только от 1-й координаты, то задача решается 2-х кратным интегрированием по этой координате, при 2-х и более координат для решения уравнения существуют специальные методы: метод сеток, числовой метод расчёта.

Теорема единственности решения

Уравнение Пуассона – Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.

Существует теорема единственности решения:

Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона – Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.

К ней формулируют два следствия:

Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились

Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.

Метод зеркальных изображений

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.

Расчет на границе раздела двух сред

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x . Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.

Докажем это. Напряженность поля от двух зарядов
и
в любой точке поля имеет только нормальную к границе составляющую (выполнено граничное условие
). Потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа
(вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула для потенциала заряженной оси подставляется в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат)). На основании теоремы единственности решения полученное решение является истинным.

Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.

Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.

а) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в одной среде, то поле рассчитывают от двух зарядов: действительного , все пространство заполнено диэлектриком, в котором находится исследуемая точка.

б) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в разных средах, то поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда . Все пространство заполнено диэлектриком той среды, где находится исследуемая точка.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

Решая совместно, получаем:

Знак будет совпадать с если
.

Знак будет всегда как .

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности другого диэлектрика. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть
.

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда . Применим метод зеркальных изображений. Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд .

Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.

Точечный заряд вблизи границы

Диэлектрик – Проводник и Диэлектрик – Диэлектрик

Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.


Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик – проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия — это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия — это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид — заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий — порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией, характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени.

Функция удовлетворяет уравнению

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

Будем говорить о трех типах граничных условий:

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II — в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III — в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) — однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу — з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при, удовлетворяющее начальным условиям

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I — III при.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму () и скорость каждой ее точки задается функцией. Рассмотреть случаи:

  • а) концы струны закреплены;
  • б) концы струны свободны;

в) к концам струны и, начиная с момента, приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

Здесь, натяжение, линейная плотность, т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом, т.е.

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию, определенную при и, являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

и начальным условиям

Я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

Где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля . Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:
Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:
Величину называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

где – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок читается «набла» и является дифференциальным оператором
Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

С другой стороны, согласно формуле (*)
Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:
Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно
, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём и найдём предел при стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

где S площадь нашей сферы равная . Следовательно
Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, охватываемый поверхностью:
где – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

В пределе, когда N → ∞, →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:
Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса
А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):
Комбинируя два последних уравнения, получим:
Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля
Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом и равен
Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:
Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа . Соответственно в законе Гаусса будет не , а коэффициент . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье
Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.

  • физика
  • электростатики

Добавить метки

Уравнение (10.2) устанавливает связь между потенциалом электростатического поля и напряженностью этого поля. Из этого уравнения можно получить соотношение между потенциалом и плотностью заряда. Для этого нужно образовать дивергенцию обеих частей этого уравнения и воспользоваться затем формулой (6.5):

Согласно правилам векторного анализа [см. уравнение (40]

так что уравнение (11.1) может быть записано так:

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона. В тех участках поля, где нет электрических зарядов

Уравнение это обращается в следующее:

Этот частный вид уравнения Пуассона носит название уравнения Лапласа.

Уравнение Пуассона дает возможность определить потенциал поля объемных зарядов, если известно расположение этих зарядов. Решение (интеграл) этого дифференциального уравнения (при определенных граничных условиях) должно, очевидно, совпадать с выведенной нами ранее формулой (8.8):

В дальнейшем мы докажем это непосредственным вычислением. Пока же отметим, что для решения некоторых задач удобнее исходить не из интеграла (8.8), а непосредственно из дифференциального уравнения (11.3).

Пример. Определить плотность термоионного тока между двумя бесконечными плоскими электродами в вакууме. Пример этот на применение уравнения Пуассона взят не из электростатики, а из учения о токе и имеет большое значение для теории катодных (усилительных) ламп.

Известно, что накаленные металлы испускают со своей поверхности в окружающее пространство поток свободных электронов. Если к двум металлическим электродам приложить определенную разность потенциалов и раскалить отрицательный электрод (катод), то непрерывно испускаемые накаленным катодом электроны будут притягиваться к поверхности положительного электрода (анода). Поток электронов, движущихся от катода к аноду, эквивалентен электрическому току. Ток этот называется термоионным.

Выберем оси декартовых координат так, чтобы начало их находилось на катоде, а ось х была перпендикулярна плоскости электродов и направлена к аноду. Примем потенциал катода равным нулю, а потенциал анода равным Из соображений симметрии явствует, что эквипотенциальные поверхности параллельны электродам, поэтому и уравнение Пуассона в пространстве между электродами принимает вид

Каждый электрик должен знать:  Синтез ЦФ на основе дискретизации дифференциального уравнения аналоговой цепи

Если обозначить через число электронов, приходящихся на единицу объема в пространстве между электродами на расстоянии х от катода, а через абсолютную величину заряда электрона, то плотность заряда на

этом расстоянии будет:

Предположим для простоты, что испускаемые катодом электроны при выходе из его поверхности не обладают никакой начальной скоростью. На пути от катода к аноду силы электрического поля будут совершать над электронами заряда работу — которая будет, очевидно, переходить в кинетическую энергию движения электронов. Обозначая через скорость электрона на расстоянии х от катода, а через потенциал на том же расстоянии, получим

где 771 — масса электрона. Наконец, плотность электрического тока, т. е. заряд, протекающий за единицу времени через перпендикулярную току (т. е. перпендикулярную оси площадку в равна, очевидно:

ибо есть число электронов, проходящих за единицу времени через эту площадку. В отличие от плотность тока есть величина постоянная, не зависящая от х, ибо по достижении стационарного состояния через любую параллельную электродам плоскость проходит, очевидно, одинаковое число электронов.

Исключим из уравнения (11.5) все неизвестные функции х, кроме Прежде всего

Но из (11.6) следует, что

Вводя обозначение А — получим

Как легко убедиться подстановкой, из решений этого дифференциального уравнения, которое, согласно условию задачи, обращается на катоде в нуль и, кроме того, удовлетворяет условию

Если обозначить расстояние от анода до катода через I, то при потенциал должен обращаться в Стало быть,

Таким образом, плотность термоионного тока не подчиняется закону Ома, а растет пропорционально степени 3/2 приложенного к электродам напряжения и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Это отличие законов термоионного тока от законов тока в металлах обусловливается двоякого рода причинами. Во-первых, электроны в металлах соударяются с положительными ионами, образующими твердый скелет металла, и испытывают благодаря этому сопротивление своему движению, отсутствующее при движении в вакууме 1). Во-вторых, при термоионном токе в пространстве между электродами находятся лишь свободные электроны, заряд которых не компенсируется зарядом положительных ионов, как это имеет место в металлах, вследствие чего поле этого так называемого «пространственного заряда» искажает поле электродов.

Отметим, что формула (11.9) перестает быть справедливой при больших плотностях тока 2). При повышении потенциала анода наступает момент, когда все выделяемые катодом электроны немедленно же увлекаются к аноду. Дальнейшее повышение потенциала анода не может, очевидно, повести к увеличению плотности тока, которая, таким образом, достигает постоянного значения (ток насыщения).

Задача 10. Пусть означает расстояние данной точки пространства от некоторой произвольно выбранной начальной точки Показать, что скаляр

удовлетворяет уравнению Лапласа

Точка не рассматривается.

Задача 11. Бесконечная плоская пластина толщиной 2а равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью Ось х перпендикулярна пластине, начало координат расположено в срединной плоскости, равноотстоящей от обеих поверхностей пластины. Показать, что потенциал поля внутри и вне пластины равен соответственно:

а вектор направлен вдоль оси х от срединной плоскости и численно равен:

Сравнить этот случай с предельным случаем бесконечной заряженной плоскости (§ 4).

Задача 12. Найти потенциал поля шара, равномерно заряженного по своему объему [формула (8.12)], исходя из уравнения Пуассона в сферических координатах.

Уравнения Лапласа и Пуассона

Если ввести оператор , называемый оператором Лапласа , то уравнения (1.110) и (1.111) запишутся соответственно

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, фильтрации, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются динамическими или нестационарными задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

О постановке задачи математической физики

И ее корректности

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящее от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Тут можно провести аналогию с обыкновенными дифференциальными уравнениями, когда для выделения из общего решения частного, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, отыскивались по этим условиям произвольные постоянные. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия, заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия,

так же как и само дифференциальное уравнение, должны вводиться на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение из всего множества решений единственного решения. Число граничных и начальных условий определяется типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.

Физическая задача решается по схеме:

1) реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом) так, что последний значительно проще первого и вместе с тем сохраняет его основные черты (идеализация процесса);

2) выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и используются законы, по которым он происходит;

3) на основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс;

4) выводятся дополнительные условия – начальные и граничные – также в соответствии с выбранными законами.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво; последнее означает, что малые изменения любого из данных задачи вызывают малое изменение решения. Требование устойчивости необходимо по следующей причине. В данных любой конкретной задачи, особенно если они получены из опыта, всегда содержится некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погрешность в исходных данных приводила к малой неточности в решении. Это требование выражает физическую определенность поставленной задачи.

ПРИМЕР 2.36. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных:

Решение. Преобразуем уравнение а)

Данное уравнение является уравнением в частных производных, так как в него входят частные производные второго порядка

Уравнение б) не является уравнением в частных производных, так как в него входит только функция . Действительно, раскрывая , получим

ПРИМЕР 2.37. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными:

Решение. Сравнивая данные уравнения с формой (1.4), заключаем, что

Уравнение а) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка, для которого ;

Уравнение б) нелинейное, так как оно не является линейным относительно старших частных производных;

Уравнение в) является однородным линейным уравнением третьего порядка.

ПРИМЕР 2.38. Решить уравнение .

Решение. Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от : , поскольку, дифференцируя по , получим ноль, а это значит, что данное равенство выполняется. Таким образом, решение уравнения содержит одну произвольную функцию .

ПРИМЕР 2.39. Решить уравнение , где заданная функция.

Решение. Интегрируя по , восстановим искомую функцию

Где произвольная функция.

Итак, решение уравнений в примерах 2.38 и 2.39 содержат одну произвольную функцию . Такое решение называется общим. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит одну произвольную постоянную, решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию.

ПРИМЕР 2.40. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: . Положим , после чего данное уравнение принимает вид . Как было установлено в примере 2.38, общее решение последнего уравнения имеет вид: , где произвольная функция. Исходное уравнение примет вид: . Проинтегрировав полученный результат по , получим

где и произвольные дважды дифференцируемые функции.

Легко проверить, что найденная функция удовлетворяет данному уравнению.

Итак, решение уравнения в частных производных второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называют общим.

Приведенные в качестве примеров уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое содержит одну и две произвольные постоянные.

В дальнейшем будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.

Электростатическое поле. Уравнения Пуассона и Лапласа

РАЗДЕЛ №1. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

ТЕМА №1. ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Математический аппарат для описания электромагнитного поля (ЭМП).

Градиент

Дивергенция

Ротор

Физические величины характеризующие ЭМП

Источники ЭМП

Векторы ЭМП

1.3 Законы электродинамики

Законы электродинамики в интегральной форме.

Закон.

Закон.

Законы электродинамики в дифференциальной форме.

Законы электродинамики в комплексной форме.

Электромагнитные свойства и классификация сред.

Диэлектрические свойства вещества.

Магнитные свойства вещества.

Проводящие среды.

Общие следствия, вытекающие из уравнений Максвелла.

Непрерывность полного тока.

Закон сохранения заряда.

Волновые свойства ЭМП.

Граничные условия для векторов ЭМП.

Постановка задачи.

Граничные условия для векторов электрического поля.

а) граничные условия для нормальной составляющей вектора .

б) граничные условия для тангенциальной составляющей вектора

Граничные условия для векторов магнитного поля.

а) граничные условия для нормальной составляющей вектора .

б) граничные условия для тангенциальной составляющей вектора

Полная система граничных условий.

Методы получения волновых уравнений ЭМП.

1.7.1 Метод непосредственного определения векторов .

и применим операцию к левой и правой части уравнения применим п. 14 списка формул и учтем что

(1.116…1.118) – уравнения Даламбера.

В случае гармонических полей:

6 скалярных уравнений второго порядка.

Метод электродинамических потенциалов.

3 — скалярных уравнения соответствующие потенциалу и 1 — скалярное уравнение — .

Понятие о методе вектора Герца.

Метод основан на том, что векторный и скалярный потенциалы, связанные нормировочным соотношением Лоренца могут быть выражены через вектор Герца . Потенциалы приобретают вид

(1.130)→ (1.128) Получим уравнения для вектора Герца.

или, изменив порядок дифференцирования по времени и координатам

Интегрирование (1.132) по времени приводит к трехмерному волновому уравнению

решив которое можно найти вектор .

Определив вектор Герца, вектора поля найдем воспользовавшись соотношениями (1.126) и (1.127) в которые подставим значения потенциалов (1.130), (1.131) получим

Энергетические соотношения в ЭМП.

1. 8. 1 Общая формулировка законов сохранения

Теорема Умова-Пойтинга

Классификация электромагнитных явлений

Статическое поле Стационарное поле

Квазистационарное поле Быстропеременное поле

Электростатическое поле. Уравнения Пуассона и Лапласа.

Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде

Название: Теоретические основы электротехники. Основы теории электромагнитного поля — (Зима Т.Е., Зима Е.А.)

6.3. аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем

Проведем сравнение основных уравнений, соотношений и граничных условий для электростатического поля в области, где нет свободных зарядов ( ), и для поля в проводящей среде в области, где нет сторонних сил ( ). Результаты сравнения представлены в табл. 6.1.

Т а б л и ц а 6.1

в проводящей среде ( )

По своей природе электростатическое поле и электрическое поле постоянного тока в проводящей среде различны. Первое из них является полем неподвижных зарядов, второе – полем зарядов, движущихся с постоянной скоростью. Из табл. 6.1 следует, что между величинами, характеризующими эти поля, существует математическая аналогия, т.е. они входят в уравнения одинаковым образом. Другими словами, уравнения полей и соотношения, записанные относительно математически аналогичных величин, выглядят одинаково. Если два поля удовлетворяют одним и тем же уравнениям (уравнения Пуассона–Лапласа) и в них выполняются тождественные граничные условия для сходных (математически аналогичных) величин, то при одинаковой форме граничных поверхностей на основе теоремы единственности решения можно сделать вывод о том, что совокупности силовых и эквипотенциальных линий в этих полях (картины полей) будут одинаковыми.

Согласно табл. 6.1 оба поля являются потенциальными.

С вектором электрической индукции можно сопоставить вектор плотности тока . Электростатическое поле в области, где нет свободных зарядов, описывается уравнением Лапласа так же, как и электрическое поле постоянного тока в области, где нет сторонних сил. Граничные условия для двух полей подобны. Величины и являются математически аналогичными. На основании соотношений (3.10) и (4.7) можно сделать вывод об аналогии между зарядом и током . Существует аналогия и между емкостью и проводимостью . Действительно, согласно (4.58) с учетом (4.7) и (4.16) емкость между двумя телами, находящимися в среде с относительной диэлектрической проницаемостью , равна


Проводимость между этими телами, помещенными в проводящую среду с удельной проводимостью , в соответствии с [4], используя соотношения (3.10) и (4.16), можно записать как:

Поделив (6.15) на (6.16), получим:

Как следует из (6.17), емкость между двумя телами, разделенными диэлектриком с абсолютной диэлектрической проницаемостью , так относится к проводимости между теми же телами, помещенными в среду с удельной проводимостью , как относится к .

Математически аналогичные величины, характеризующие электростатическое поле и электрическое поле постоянного тока, сведены в табл. 6.2.

Введение в теорию электромагнитного поля (стр. 3 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

где – доля емкости, приходящейся на одну ячейку картины поля с размерами Da – расстояние между соседними линиями напряженности поля, Dn – расстояние между соседними линиями равного потенциала (рис. 13.10). Очевидно, , поэтому

где . Удобно, например, строить ячейки в виде криволинейных квадратов, тогда это отношение равно единице и .

13.2.11. Три группы формул Максвелла

В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого из них определяется не только зарядом данного тела, но и зарядами всех остальных тел. При этом, если диэлектрическая проницаемость среды не зависит от напряженности электрического поля, то потенциал оказывается линейной функцией зарядов.

В матричной форме система уравнений с потенциальными коэффициентами для n заряженных тел имеет вид: j = aq. (13.37а)

Здесь j и q – матрицы-столбцы, a – квадратная матрица. Каждая матрица имеет n строк.

Эта система и представляет собой первую группу формул Максвелла для электростатики. Она позволяет вычислить потенциалы тел по заданным зарядам.

В частности, для тела с номером k можно записать

и сами коэффициенты определить с помощью эксперимента (или рассчитать) при следующих условиях.

Если все заряды, кроме , положить равными нулю, то собственный потенциальный коэффициент, как следует из (13.37б), будет равен . В свою очередь, взаимный потенциальный коэффициент можно найти через потенциал того же тела, но при равенстве нулю всех зарядов, кроме : .

Вторую группу формул Максвелла – уравнения с емкостными коэффициентами (коэффициентами электростатической индукции)– нетрудно получить, разрешив систему уравнений (13.37а) относительно зарядов тел. В матричной форме:

Эта группа позволяет вычислить заряды тел по заданным потенциалам.

Из уравнения для k-го тела

следует способ определения коэффициентов. Если принять равными нулю потенциалы всех тел, кроме , то собственный емкостный коэффициент равен . Взаимный емкостный коэффициент выражается через заряд того же тела и не равный нулю потенциал тела с номером m, причем потенциалы остальных тел равны нулю: . Очевидно, квадратные матрицы коэффициентов в уравнениях (13.37а) и (13.38а) взаимно обратны:

Третья группа формул Максвелла – уравнения с частичными емкостями – связывает заряды тел с разностями потенциалов между телами (в том числе и с землей, чей потенциал считается равным нулю). Эти уравнения можно получить из второй группы формул перегруппировкой слагаемых. Матричная запись системы уравнений имеет вид:

В уравнении для k-го тела

Для определения собственной частичной емкости следует принять потенциалы всех тел одинаковыми и определить заряд тела с номером k. Тогда . Если этот результат сравнить с записью в тех же условиях уравнения с емкостными коэффициентами, то легко убедиться, что

Чтобы найти взаимную частичную емкость, нужно принять потенциалы всех тел, кроме m — го, равными нулю, иными словами, заземлить и определить заряд k-го тела. Тогда . Очевидно, . При этом, поскольку на заземленном теле наводится заряд противоположного знака по сравнению с , который определяется потенциалом , то все частичные емкости и собственный емкостный коэффициент положительны, а взаимные емкостные коэффициенты отрицательны. Разумеется, положительны и все потенциальные коэффициенты. Кроме того, в соответствии с принципом взаимности

Пример 13.11. Двухпроводная линия над землей (рис. 13.11,а).

Известны расстояние между проводами d, высота подвеса над землей h, радиус и длина l каждого из них.

Определить потенциальные коэффициенты и емкость единицы длины линии с учетом влияния земли.

Длину проводов будем полагать достаточно большой, чтобы поле можно было считать плоскопараллельным. А радиус провода по сравнению с высотой подвеса и расстоянием между проводами достаточно малым, чтобы не учитывать смещения электрических осей проводов относительно геометрических.

Для определения потенциальных коэффициентов воспользуемся методом зеркальных изображений (рис. 13.11,б). Пусть известен заряд первого провода q, а заряд второго провода равен нулю. Тогда зеркальное изображение первого провода имеет заряд – q. Найдем потенциалы проводов, используя формулу (13.26), в которой заменим .

Отсюда легко находятся потенциальные коэффициенты:

Уравнения для двух заряженных проводов имеют вид:

Чтобы определить емкость линии с учетом влияния земли, следует принять (при этом, очевидно, и ). Тогда

Подставляя значения коэффициентов, найдем и емкость единицы длины линии .

Если высота подвеса гораздо больше расстояния между провода ми, то полученное выражение приводится к формуле (13.36).

13.3. Электрическое поле постоянных токов

в проводящей среде

13.3.1. Уравнение Лапласа

Постоянный ток в окружающей среде создает как электрическое, так и магнитное поле. Если рассматривать электрическую составляющую, то из полной системы уравнений электромагнитного поля в расчет следует взять только три. Тождество позволяет из уравнения (13.1б) получить принцип непрерывности электрического тока:

Вне источников электрической энергии уравнение (13.2б) упрощается:

Свойства проводящей среды в каждой точке учитываются законом Ома в дифференциальной форме:

Уравнение (13.41) говорит о том, что, как и в электростатике, электрическое поле постоянного тока в проводящей среде – безвихревое, а значит, потенциальное. Поэтому и в данном случае справедлива формула (13.12):

Подстановка этого выражения в (13.42), а последнего в (13.40) приводит к уравнению Лапласа (13.15): Для того, чтобы решить это уравнение, нужно знать граничные условия, в первую очередь однородные – на поверхности раздела двух сред.

13.3.2. Граничные условия на поверхности раздела двух сред

с различными удельными проводимостями

Выделим точку на поверхности раздела двух проводников, через которую протекает ток, и рассмотрим электрическое поле вблизи нее. Как и в разделе 13.2.3, окружим эту точку некоторой замкнутой цилиндрической поверхностью. Причем будем считать, что высота цилиндра гораздо меньше диаметра оснований. На рис. 13.12,а контур abcda – это след цилиндрической поверхности в плоскости чертежа, которая проходит через ось цилиндра. Вычислим ток сквозь эту поверхность и воспользуемся принципом непрерывности (13.40). Учитывая соотношение размеров цилиндра, током сквозь боковую поверхность можно пренебречь, подсчитав лишь ток сквозь поверхности оснований и приравняв его нулю:

Поверхности оснований столь малы, что в их пределах векторы и не меняются. В результате интегрирования скалярных произведений векторов с учетом их расположения по отношению к нормали , получим: . Тогда

Итак, в точке, лежащей на поверхности раздела двух проводящих сред, нормальные составляющие вектора плотности электрического тока равны.

Теперь окружим ту же точку прямоугольным контуром abcda в плоскости чертежа (рис. 13.12,б) и подсчитаем циркуляцию вектора Е, сохранив соотношение ab = cd > bc = da. Напомним, что источники энергии не попадают в контур интегрирования, поэтому в соответствии с формулой (13.11а) получим . Если считать и отрезки ab и cd столь малыми, что в их пределах векторы и не меняются, то интегралы от скалярных произведений с учетом расположения векторов по отношению к нормали n1n2 перейдут в равенство: . Отсюда

В точке, лежащей на поверхности раздела двух проводящих сред, касательные составляющие вектора напряженности электрического поля равны. Это условие также означает, что при переходе через поверхность раздела двух диэлектриков потенциал изменяется плавно, без скачков.

Кроме того, из формул (13.42)–( 13.44) следует еще одно условие:

13.3.3. Граничные условия на поверхности раздела

проводника и диэлектрика

Повторив рассуждения предыдущего раздела применительно к точке, лежащей на поверхности раздела проводника и диэлектрика (рис. 13.1,в), убедимся в том, что и здесь справедливо равенство касательных составляющих напряженности электрического поля (13.44).

При этом и вектор плотности тока на поверхности проводника имеет только касательную составляющую (постоянный ток в диэлектрике не течет), так что

Разумеется, в диэлектрике существует и нормальная составляющая напряженности электрического поля, причем, как правило, гораздо большей величины, чем нормальная. Но она не связана с протеканием тока внутри проводника.

13.3.4. Аналогия между электрическим полем тока

в проводящей среде и электростатическим полем в диэлектрике

Если сравнить выражения, описывающие эти два поля (табл. 13.4), то нетрудно заметить, что они отличаются лишь обозначениями. Это так называемая математическая аналогия.

Электрическое поле тока

Аналогами являются потенциал j, напряжение U и вектор напряженности электрического поля Е в обеих средах (здесь и обозначения одинаковы). Вектор плотности электрического тока d, ток I и удельная проводимость g соответствуют вектору D, потоку вектора электрического смещения и абсолютной диэлектрической проницаемости . Если же подсчитать ток и поток сквозь замкнутую поверхность, то аналогами окажутся источник тока J и заряд q, а также коэффициенты пропорциональности – проводимость и емкость:

Каждый электрик должен знать:  Мигают светильники

Отсюда (при одинаковой геометрии системы) следует соотношение

Существенно отличаются лишь граничные условия на поверхности раздела проводника и диэлектрика. Если в электростатике и то для поля тока и Это важно при использовании метода зеркальных изображений. Если в электростатике зеркальным изображениям тел придавались заряды те же по величине, что и у реальных тел, но противоположного знака, то зеркальные изображения проводящих тел должны иметь ток того же направления. Только в этом случае поле в однородной среде будет обладать такой симметрией, которая нужна для выполнения граничных условий реальной задачи.

На формальном соответствии уравнений, часть из которых приведена в табл. 13.4 основан так называемый метод электростатической аналогии. С одной стороны, этот метод позволяет использовать при расчете поля в проводящей среде готовые решения аналогичных задач электростатики. С другой, – можно заменить экспериментальное исследование электростатического поля (весьма сложное из-за искажений, вносимых зондом) экспериментами в проводящей среде, где подобные искажения несущественны. Рассмотрим обе возможности подробнее.

Пример 13.12. Поле металлического заземлителя в форме полушария, расположенного у поверхности земли (рис. 13.13,а).

Известны радиус м, ток J = 10 А, удельная проводимость грунта См/м.

Определить сопротивление заземления и шаговое напряжение.

Ток стекает через металлический электрод (заземлитель) в грунт, равномерно растекается в толще земли, чтобы собраться у другого заземлителя, включенного в цепь общего источника. Чтобы свести задачу к расчету поля в однородной среде воспользуемся методом зеркальных изображений. Очевидно, заданные условия полностью сохраняются в нижней полуплоскости системы, изображенной на рис. 13.13,б. Но в соответствии с методом электростатической аналогии решение этой новой задачи должно быть подобно расчету поля уединенного заряженного шара (рис. 13.2,б).

В частности, используя формулу емкости из примера 13.7 и соотношение (13.47), можно подсчитать проводимость шарового заземлителя:

Проводимость одного полушария, естественно, вдвое меньше. Поэтому сопротивление заземления равно

Под шаговым напряжением понимается разность потенциалов между точками на поверхности земли, находящимися на расстоянии шага человека друг от друга. Обычно принимают это расстояние равным м. Очевидно, наибольшее значение напряжения получается между точками a и b на рис. 13.13,а. И здесь на помощь приходит формула (13.23), в которой следует заменить q на 2J и на g. Результат:

Электростатическое поле удобно изучать на модели, выполненной в проводящей среде. Электромоделирование основано на очевидном факте. Если систему металлических электродов, имеющих разные потенциалы, залить раствором солей, проводимость которого на несколько порядков меньше проводимости самих электродов, то положение эквипотенциальных поверхностей не изменится.

Поэтому для моделирования электростатического поля обычно используются так называемые электролитические ванны. В такую ванну, выполненную из изолирующего материала и заполненную раствором (электролитом), помещаются металлические электроды, форма которых подобна форме заряженных тел в электростатическом поле

(рис. 13.14). Размеры модели выбираются такими, чтобы можно было пренебречь влиянием стенок ванны.

Потенциалы определяются с помощью зонда (З), который вместе с нуль-индикатором (НИ) включается в диагональ моста, плечами которого служат части реостата (Р) и участки электролита между электродами (А и Б). Во избежание электролиза измерения проводятся при синусоидальном напряжении источника низкой (50–400 Гц) частоты, а в качестве комбинации электрод – электролит используются медь – раствор медного купороса или нержавеющая сталь дистиллированная (или

очищенная водопроводная) вода. Возможно использование и твердых моделей. Это может быть либо специальная проводящая бумага, либо так называемая сеточная модель, в которой проводящая среда заменена набором сопротивлений.

13.4. магнитное поле постоянных токов

13.4.1. Скалярный и векторный магнитные потенциалы

Магнитное поле выявляется по силовому воздействию на неподвижные проводники с токами. Сила, действующая в магнитном поле с индукцией B на элемент dl проводника с током I, определяется законом Ампера: , причем направление вектора dl совпадает с направлением тока (рис. 13.15). Все три вектора в этом выражении взаимно перпендикулярны друг другу.

Уравнения магнитного поля постоянных токов в дифференциальной форме выведены в разделе 1б, 13.4б, 13.7):

Первое из этих уравнений говорит о том, что в областях, занятых током, магнитное поле имеет вихревой характер. А вне этих областей, где , магнитное поле безвихревое и, значит, потенциальное. Иными словами, вектор напряженности магнитного поля можно представить в виде

Тогда откуда следует уравнение Лапласа для скалярного магнитного потенциала jм:

Для областей, занятых током, это уравнение не годится. Там можно ввести новую функцию – векторный магнитный потенциал А, который связан с вектором магнитной индукции соотношением

В этом случае тождественно удовлетворяется принцип непрерывности магнитного потока: . Тогда

Если, не нарушая соотношения (13.50), в последнем выражении принять div A = 0, то из него следует уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала А:

Естественно, в областях, незанятых током (d = 0), оно переходит в уравнение Лапласа

Уравнения (13.51а) и (13.51б) – векторные. Каждое из них распадается на три скалярных, связывающих между собой проекции векторов А и d на оси декартовой системы координат:

Отметим, что с использованием векторного магнитного потенциала существенно упрощается вычисление магнитного потока. Действительно, . Теорема Стокса позволяет преобразовать поверхностный интеграл в контурный, который вычислять гораздо проще:

Здесь напрашивается чисто формальное сопоставление с законом полного тока (13.1а): линии вектора А охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора Н охватывают ток.

Общей задачей расчета магнитного поля постоянных токов является определение вектора напряженности магнитного поля или вектора магнитной индукции в каждой точке пространства по заданному распределению тока. Эта задача решается определением векторного потенциала как функции координат. Если сравнить уравнения Лапласа–Пуассона (13.13) и (13.15) для электростатики с уравнениями (13.51а, б), то легко заметить их очевидное сходство. Продолжая аналогию, можно частному решению для распределенных по объему зарядов из (13.31) сопоставить соответствующее выражение для проекции векторного потенциала:

где R – расстояние от элемента объема dV с током до точки, в которой определяется . Если ток I протекает по проводнику, размеры поперечного сечения которого S значительно меньше, чем расстояние R, то после замены ddV = dSdl = Idl можно найти векторный потенциал, создаваемый током такого провода длиной l:

Кстати, из этого соотношения с учетом формулы (13.47) следует известный из курса физики закон Био–Савара:

Здесь 1R – единичный вектор, направленный вдоль R от элемента тока в рассматриваемую точку.

В областях, не занятых током, более простым может оказаться решение уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала (13.49) с последующим использованием формулы (13.48). Разумеется, для этого подходят все методы, рассмотренные при исследовании электростатического поля.

Для выбора нужного решения уравнений в частных производных нужно знать граничные условия, в первую очередь на поверхности раздела сред с различными магнитными свойствами.

Примеры решения задач по электротехнике, физике

Перед изучением электродинамики ещё раз обратим внимание на некоторые процедуры научного описания, знание которых весьма полезно при освоении предметного материала.

Электрический заряд Истоки учения об электромагнетизме начинаются в городе Милете, где в VI в. до Р.Х. местный натурфилософ Фалес наблюдал как янтарь, потёртый о шерсть, притягивал лёгкие предметы, а «магнесийский камень» (магнит) притягивал кусочки железа.

Электрическое поле в вакууме. Напряжённость электрического поля Основной закон электростатики, закон Кулона, даёт количественное описание силового взаимодействия двух точечных зарядов. Согласно принципу причинности, это взаимодействие есть следствие каких-то скрытых причин. Надо придумать такую причину и количественно её описать с использованием измерительных процедур — в этом случае причина становится физической.

Графическое изображение электростатического поля Из изученного материала следует, что для решения задач электростатики достаточно знать физические модели объектов, их математические образы, основные уравнения и математические операции

Практическое занятие по физике

Тема: Специальная теория относительности. Цель занятия: Вывести преобразования Лоренца, рассмотреть законы релятивистской динамики и их следствия.

Тема: Законы фотоэффекта. Эффект Комптона. Цель занятия: Изучить законы квантовой теории излучения.

Тема: Теория атома водорода по Бору. Цель занятия: Рассчитать характеристики траектории электрона в водородном атоме.

Тема: Волновые свойства микрочастиц. Гипотеза де Бройля. Цель занятия: Ознакомиться с волновыми свойствами микрочастиц и правилами расчёта длины волны де Брой.

Тема: Уравнение Шредингера. Решение уравнения Шредингера для стационарных состояний. Цель занятия: Ознакомить студентов с основами квантовой механики.

Тема: Квантовая модель атома водорода. Квантовые числа. Цель занятия: Ознакомить студентов с особенностями движения микрочастиц.

Тема: Многоэлектронные атомы. Принцип Паули. Теория теплоемкости по Эйнштейну. Цель занятия: Рассмотреть основы квантовой теории системы частиц.

Тема: Квантовая теория свободных электронов в металле. Цель занятия: Изучить особенности квантовой теории теплоёмкости.

Семинарское занятие Тема: “Нерелятивистская квантовая механика” (коллоквиум) Цель занятия: Проверить степень усвоения квантовой теории.

Тема: Атомное ядро. Закон радиоактивного распада. Правило смещения. Цель занятия: Изучить законы радиоактивного распада.

Лекции и конспекты по физике

Векторы электромагнитного поля. Далеко не всегда при анализе электромагнитных явлений могут быть использованы понятия об электрической и магнитной цепях, хотя бы даже для получения приближенного решения. В качестве параметра, с помощью которого производится классификация задач на задачи теории поля и теории электрических цепей выступает длина волны

Закон электромагнитной индукции – второе уравнение Максвелла. Закон электромагнитной индукции открыт Фарадеем в 1831 г. Он гласит: в цепи, охватывающей изменяющийся во времени магнитный поток, возникает Э.Д.С., пропорциональная

скорости изменения потока

Векторные операции в различных системах координат. Ценность записи уравнений поля в векторной форме заключается в том, что такая запись не зависит от выбора системы координат. Однако выражения для составляющих rot и div некоторого вектора получаются различными в разных системах координат.

Плоскопараллельное поле. Задача расчета весьма упрощается, если все величины, характеризующие поле, зависят только от двух координат. Такому условию удовлетворяет поле системы из нескольких бесконечно длинных параллельных друг другу цилиндрических проводов с зарядами, равномерно распределенными по их длине

Ёмкость. Если два каких – либо проводящих тела разделены диэлектриком и несут на себе равные по величине и противоположные по знаку заряды q1=q2=q,то в пространстве между ними создаётся электрическое поле

Поле и ёмкость параллельных несоосных цилиндров. Решенная в предыдущем разделе задача для двух линейных проводов даёт возможность найти поле между двумя параллельными несоосными цилиндрами, имеющими круглые сечения различных радиусов R1 и R2 .

Формулы Максвелла для определения потенциалов, зарядов и емкостей в системе проводников. Метод зеркальных изображений. Расчет поля заряженных проводников, расположенных вблизи плоских поверхностей, ограничивающих проводящую среду, сводится при помощи метода зеркальных изображений к расчету поля нескольких проводников при отсутствии проводящей среды.

Ротор (вихрь). Дифференциальная форма условия потенциальности электростатического поля. Электрическое поле постоянного тока. Законы Ома, Кирхгофа и Джоуля- Ленца в дифференциальной форме. Уравнение Лапласа для электрического поля в проводящей среде. Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих тел.

Электрическое поле в проводящей среде Внутри проводников, по которым проходит электрический ток, также соответствует электрическое поле

Расчет магнитных экранов. Много различных задач на расчет МП возникает при магнитной записи звука, а также при магнитной дефектоскопии. Магнитная дефектоскопия позволяет по картине МП судить о наличии раковин, трещин и других дефектов в изделиях из ферромагнитных материалов. Широко она распространена в железнодорожном транспорте при контроле целостности рельсов железнодорожного пути.

Плоская волна в проводящей среде Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в проводящей среде, которая простирается теоретически в бесконечность.

Теорема Умова-Пойнтинга В 1847 г. Русский ученый Николай Алексеевич Умов (1846 – 1915) защитил в Московском университете докторскую диссертацию на тему: “О движении энергии в упругих средах” Идеи Н.А. Умова оказали серьезнейшее влияние на дальнейшее развитии представлений об энергии. Десять лет спустя эти идеи развил английский физик Пойнтинг в применении к электромагнитному полю. Они и составляют содержание теоремы Умова-Пойнтинга (Теорема описывает энергетические соотношения в поле).

Поверхностный эффект Поверхностным эффектом называют явление, связанное с неравномерным распределением по сечению проводника плотности тока проводимости, векторов E, H, B, а также магнитного потока. Поверхностный эффект наблюдают при прохождении переменного тока или изменении во времени внешнего магнитного потока.

ХАРАКТЕРИСТИКИ АТОМНЫХ ЯДЕР Атомные ядра состоят из протонов и нейтронов, которые имеют одинаковый спин и почти равные массы. Общее название этих частиц — нуклоны. Физические свойства ядра определяются зарядовым числом (порядковым номером) Z, равным числу протонов в атомном ядре, и числом нейтронов N. Число А всех нуклонов в ядре называется массовым числом.

РАДИОАКТИВНОСТЬ. ПРОХОЖДЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ ВЕЩЕСТВО Радиоактивностью называется свойство атомных ядер самопроизвольно (спонтанно) изменять свой состав (заряд, массовое число). При этом испускаются элементарные частицы или ядерные фрагменты. К числу радиоактивных процессов относят: испускание ядром электрона ( b — распад), испускание позитрона ( b + — распад), захват ядром электрона из оболочки атома (К – захват), спонтанное деление ядра, вылет ядра гелия ( a — распад) и другие виды распадов.

Пример 7 Точечный радиоактивный источник находится в центре свинцового контейнера с толщиной стенок х = 1см и наружным радиусом R = 20 см. Определить максимальную активность источника, который можно хранить в контейнере, если допустимая плотность потока γ квантов при выходе из контейнера равна 8.106 с-1м-2. Учесть, что при каждом акте распада ядра испускается два γ кванта, средняя энергия которых = 1,25 МэВ.

ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ Ядерной реакцией называется процесс, идущий при столкновении ядра или элементарной частицы с другим ядром, в результате которого меняется нуклонный состав исходного ядра, а также появляются новые частицы среди продуктов реакции. При записи ядерной реакции слева пишется сумма исходных частиц, затем ставится стрелка, а за ней сумма конечных продуктов.

ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ В современной физике элементарными называются частицы, не являющиеся атомами или их ядрами (исключение составляет протон). Кроме протонов к ним относятся фотоны, электроны, нейтроны, мезоны, гипероны – всего более 350 названий частиц. Благодаря новым открытиям их число продолжает расти.

Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку ( 2 ) в ( 1 ) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство ( 3 ) принимает вид:

Выражение ( 4 ) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя ( 2 ) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

  • значение потенциала как непрерывная функция;
  • потенциал должен быть конечной функцией;
  • производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения ( 4 ) будет выражаться для потенциала вида:

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ :

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z :

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .

Примеры решения задач

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .

Решение

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = — A ln ( r ) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ ( r 2 ) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно

φ ( r 1 ) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:

A = ∆ U ln r 2 r 1 .

φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ ( r ) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln ( r ) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Решение

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ ( r ) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C ‘ 2 .

C 1 , C ‘ 1 , C 2 , C ‘ 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 ( 0 ) = 0 . Получим C ‘ 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C ‘ 2 :

C 2 ln R + C ‘ 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем

По своей природе электростатическое поле и электрическое поле постоянных токов в проводящей среде различны. Однако, между соотношениями, характеризующими эти поля, можно провести формальную аналогию. Для удобства сопоставления выражений, относящихся к стационарному полю в проводящей среде и электростатическому полю в диэлектрике, представим их в виде табл. 2.1.

Стационарное поле Электростатическое поле

В пятой строке таблицы величина Di есть ток сквозь сечение s трубки тока, а величина Dq есть заряд на поверхности заряженного тела в начале трубки электрического смещения сечением также s.

Сравнивая соотношения, относящиеся к стационарному полю и электростатическому полю, можно отметить, что они формально совпадут, если в последних заменить вектор электрического смещения вектором плотности тока , электрический заряд Dq – током Di и абсолютную диэлектрическую проницаемость e — удельной проводимостью g.

Оба поля также удовлетворяют уравнению Лапласа. Но если два поля удовлетворяют одному и тому же уравнению и в них выполняются граничные условия для сходных величин, то при одинаковой форме граничных поверхностей совокупность эквипотенциальных и силовых линий в этих двух полях будет одинаковой (то есть, картины поля будут совпадать).

На этом и основан так называемый метод электростатической аналогии, позволяющий в ряде случаев при расчете поля в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики (и наоборот).

В частности, формулы для электрической проводимости сред, в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости тел, так как в аналогичных задачах ток заменяется зарядом. Электрическая емкость тела или емкость между телами определяется геометрическими параметрами тел и абсолютными диэлектрическими проницаемостями сред, окружающих тела. Поэтому, чтобы получить формулу для проводимости G, достаточно заменить в соответствующей формуле для С абсолютные диэлектрические проницаемости e диэлектриков — удельными проводимостями g проводящих сред. Например, в однородных средах для аналогичных задач будет соблюдаться соотношение

Уравнение Лапласа против уравнения Пуассона для электрического поля в полом проводнике

Я читал в «Электричестве и магнетизм» Перселла о том, почему электрическое поле в пустоте проводника равно нулю, независимо от внешних приложенных полей. Объяснение, по-видимому, следует следующим идеям:

электростатический потенциал на границе полой полости постоянный, например $ V_i $, потому что проводники перераспределяют заряды для устранения внутренних электрических полей (я это понимаю)

У уравнения Лапласа $ \ nabla ^ 2 (\ phi) = 0 $ имеет только одно решение $ \ phi (x, y, z) $ для потенциала внутри резонатора, поэтому тривиальное решение $ \ phi (x, y, z) = V_i $, удовлетворяет граничному условию, а также пространству внутри резонатора.

Мой вопрос заключается в том, почему эта логика ломается/не может быть применена к НЕ-ПУСТОЙ полости внутри проводника, который включает точечный заряд, применяя логику к пустому кольцу или оболочке пространства (без плотности заряда), внешняя граница которой является внутренней стену проводника. Внутренний край оболочки будет находиться на некотором расстоянии от точечного заряда, но не касаться его. Закон Гаусса диктует, что в этой оболочке должен быть поток, так что значение $ \ phi $ изменяется с радиусом. Тем не менее, поскольку плотность заряда равна 0 в пространстве оболочки, $ \ phi (x, y, z) = V_i $, удовлетворяет граничному условию, а также пространству внутри оболочки.

Добавить комментарий