Уравнения Пуассона и Лапласа


СОДЕРЖАНИЕ:

Уравнения Пуассона и Лапласа

Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

— то есть кулоновский потенциал — есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

где — обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

  • Здесь мы имеем в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение — см. в статье Функция Грина.
  • Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов .

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда :

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением . Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда , как и можно было ожидать.

См. также

  • Дискретное уравнение Пуассона
  • Экранированное уравнение Пуассона

Ссылки

  • Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Уравнение Пуассона» в других словарях:

уравнение Пуассона — (теплопроводности) [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Poisson equation … Справочник технического переводчика

уравнение Пуассона — Puasono lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Poisson equation vok. Poissonsche Gleichung, f rus. уравнение Пуассона, n pranc. équation de Poisson, f … Fizikos terminų žodynas

Экранированное уравнение Пуассона — В математике экранированное уравнение Пуассона это дифференциальное уравнение в частных производных вида: где оператор Лапласа, константа, произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а искомая функция. Экранированное… … Википедия

Пуассона уравнение — Уравнение Пуассона эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает электростатическое поле, стационарное поле температуры, поле давления, поле потенциала скорости в гидродинамике. Оно названо в… … Википедия

Уравнение колебаний струны — Волновое уравнение в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… … Википедия

Уравнение колебания струны — Волновое уравнение в математике линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика,… … Википедия

ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное уравнение д2u/дx2+д2u/дy2+д2u/дz2= 4pr(x, y, z) одно из осн. ур ний теории потенциала. Так, П. у. определяет потенциал и в точке с координатами х, у, z в электростатич. поле, создаваемом электрич. зарядами с объёмной плотностью… … Физическая энциклопедия

Уравнение Власова — Уравнение Власова система уравнений, описывающих динамику плазмы заряженных частиц с учётом дальнодействующих кулоновских сил посредством самосогласованного поля. Впервые предложена А. А. Власовым в статье[1] и позднее излагается… … Википедия

ПУАССОНА УРАВНЕНИЕ — уравнение с частными производными вида ?u= f, где ? Лапласа оператор. Изучено С. Пуассоном … Большой Энциклопедический словарь

Уравнение Лапласа — Уравнение Лапласа дифференциальное уравнение в частных производных. В трёхмерном пространстве уравнение Лапласа записывается так: и является частным случаем уравнения Гельмгольца. Уравнение рассматривают также в двумерном и одномерном… … Википедия

№48. Уравнение Пуассона и Лапласа, тип этих уравнений.

Уравне?ние Пуассо?на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

стационарное поле температуры,

поле потенциала скорости в гидродинамике.

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: где Δ — оператор Лапласа или лапласиан, а f — действительная или комплексная функция на некотором многообразии. Когда в качестве многообразия выступает Евклидово пространство, оператор Лапласа часто обозначается как и уравнение Пуассона принимает вид:

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Уравнение Пуассона и математическая постановка задач электростатики

Решение уравнения Пуассона

В достаточно большом количестве случаев наиболее удобным методом поиска напряженности поля является решение дифференциального уравнения для потенциала. Получим его, используя в качестве основы теорему Остроградского — Гаусса в дифференциальной форме:

где $\rho $ — плотность распределения заряда, $<\varepsilon >_0$ — электрическая постоянная, $div\overrightarrow=\overrightarrow<\nabla >\overrightarrow=\frac<\partial E_x><\partial x>+\frac<\partial E_y><\partial y>+\frac<\partial E_z><\partial z>$) — дивергенция вектора напряженности и выражение связывающее напряженность поля и потенциал:

Подставим (2) в (1), получим:

Учитываем, что $divgrad\varphi =<\nabla >^2\varphi =\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial x^2>+\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial y^2>+\frac<<\partial >^2\varphi ><\partial z^2>$, где $\triangle =<\nabla >^2$- оператор Лапласа, тогда равенство (3) запишем как:

Уравнение (4) называется уравнением Пуассона (для вакуума) в системе СИ. Если заряды отсутствуют, то уравнение (4) преобразуется в уравнение Лапласа:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

После того, как найден потенциал из уравнения Пуассона, обычно вычисляется напряженность по формуле (2). Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять таким требованиям:

  1. Потенциал должен быть непрерывной функцией.
  2. Потенциал должен быть конечной функцией.
  3. Производные от потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

Если заряды сосредоточены в объеме V, то решением уравнения (4) будет выражение для потенциала вида:

Итак, общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения (уравнения Пуассона), которое удовлетворяет выше перечисленным требованиям. Нахождение решения — задача весьма сложная. Теоретические решения известны для небольшого количества частных случаев. Если удалось подобрать функцию $\varphi $, которая удовлетворяет всем условиям задачи, то она единственная.

Не всегда есть необходимости задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Например, если необходимо найти электрическое поле в полости, которая окружена проводящей оболочкой, то можно найти поле только для тел внутри самой полости.

Каждое решение уравнения Пуассона в ограниченной области однозначно определяется краевыми условиями, которые накладывают на поведение решения. На границе перехода из одной среды в другую выполняются граничные условия:

где $\sigma $- поверхностная плотность свободных зарядов, n- единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2, $\tau -\ $единичный вектор, касательный к границе.

Данные уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной составляющей вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность не зависимо от формы этой поверхности и наличия и отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Пуассона может быть записано не только в декартовых координатах, но также в сферических и цилиндрических, полярных.

В сферических координатах ($r,\theta ,\vartheta)$ уравнение Пуассона имеет следующий вид:

В полярных координатах ($r,\theta )$ система координат уравнение имеет вид:

В цилиндрических координатах ($r,\vartheta,z)$ уравнение имеет вид:

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Уравнение Пуассона и распределение Больцмана (часть 1)

В продолжение предыдущей статьи «Есть ли плазма в космосе?» я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля. Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:

Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:

Величину называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

где – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок читается «набла» и является дифференциальным оператором

Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

С другой стороны, согласно формуле (*)

Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:

Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно

, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём и найдём предел при стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

где S площадь нашей сферы равная . Следовательно

Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, охватываемый поверхностью:

где – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

В пределе, когда N → ∞, →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:

Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса

А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):

Комбинируя два последних уравнения, получим:

Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля

Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом и равен

Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:

Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа . Соответственно в законе Гаусса будет не , а коэффициент . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье

Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В следующей статье мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.

Уравнения Пуассона и Лапласа

Рассмотрим две типичных электростатических задачи [1]:

1) Найти потенциал электрического поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. (Например, задача о распределении потенциала электрического поля, создаваемого системой неподвижных проводников, помещенных в вакуум и подключенных к батареям. Здесь можно измерить потенциал каждого проводника, но задать распределение электрических зарядов на проводниках, зависящее от их формы, весьма сложно.)

2) Найти потенциал электрического поля, создаваемого заданным распределением в пространстве электрических зарядов .

Хорошо известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Лапласа (задача 1)

и уравнения Пуассона (задача 2)

Уравнения (1), (2) относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа.

Далее мы будем рассматривать только частный случай эллиптических уравнений для поля j , зависящего от двух пространственных переменных. Совершенно очевидно, что для полного решения задачи уравнения (1), (2) необходимо дополнить граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1) граничные условия Дирихле (значения j задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (х,у) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых, расположенных внутри области (рис. 1));

2) граничные условия Неймана (на границе задается нормальная производная потенциала j );

3) смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала j и его нормальной производной).

Литература

  1. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992.
  2. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.:Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994.
  3. Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений// Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. Раздел 3. С. 16.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su
  4. Поршнев С.В. Методика использования пакета Mathcad для изучения итерационных методов решения краевых задач для двумерных эллиптических уравнений// Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. Раздел 3. С. 714.// Интернет журнал: http://num-meth.srcc.msu.su

Вернуться на страницу

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Уравнения лапласа и пуассона. Уравнение пуассона и уравнение лапласа

Описывает адиабатный процесс, протекающий в . Адиабатным называют такой процесс, при котором отсутствует теплообмен между рассматриваемой системой и окружающей средой: .

Уравнение Пуассона имеет вид:

Здесь – объем, занимаемый газом, – его , а величина называется показателем адиабаты.

Показатель адиабаты в уравнении Пуассона

В практических расчётах удобно помнить, что для идеального газа показатель адиабаты равен , для двухатомного – , а для трёхатомного – .

Как же быть с реальными газами, когда важную роль начинают играть силы взаимодействия между молекулами? В этом случае показатель адиабаты для каждого исследуемого газа можно получить экспериментально. Один из таких методов был предложен в 1819 году Клеманом и Дезормом. Мы наполняем баллон холодным газом, пока давление в нём не достигнет . Затем открываем кран, газ начинает адиабатически расширяться, а давление в баллоне падает до атмосферного . После того, как газ изохорно прогреется до температуры окружающей среды, давление в баллоне повысится до . Тогда показатель адиабаты можно рассчитать за формулой:

Показатель адиабаты всегда больше 1, поэтому при адиабатическом сжатии газа – как идеального, так и реального – до меньшего объема температура газа всегда возрастает, а при расширении газ охлаждается. Это свойство адиабатического процесса, называемое пневматическим огнивом, применяется в дизельных двигателях, где горючая смесь сжимается в цилиндре и воспламеняется от высокой температуры. Вспомним первый закон термодинамики: , где — , а А – выполняемая над ней работа. Поскольку то работа, осуществляемая газом, идёт только на изменение его внутренней энергии – а значит, температуры. Из уравнения Пуассона можно получить формулу для расчёта работы газа в адиабатном процессе:

Здесь n – количество газа в молях, R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура газа.

Уравнение Пуассона для адиабатического процесса применяется не только при расчётах двигателей внутреннего сгорания, но и в проектировании холодильных машин.

Стоит помнить, что уравнение Пуассона точно описывает только равновесный адиабатный процесс, состоящий из непрерывно сменяющих друг друга состояний равновесия. Если же мы в реальности откроем кран в баллоне, чтобы газ адиабатически расширился, возникнет нестационарный переходной процесс с завихрениями газа, которые затухнут из-за макроскопического трения.

Примеры решения задач

Задание Одноатомный идеальный газ адиабатически сжали так, что его объем увеличился в 2 раза. Как изменится давление газа?
Решение Показатель адиабаты для одноатомного газа равен . Однако его можно рассчитать и по формуле:

где R – универсальная газовая постоянная, а і – степень свободы молекулы газа. Для одноатомного газа степень свободы равен 3: это значит, что центр молекулы может совершать поступательные движения по трём координатным осям.

Поэтому показатель адиабаты:

Представим состояния газа в начале и конце адиабатного процесса через уравнение Пуассона:

Ответ Давление уменьшится в 3,175 раза.
Задание 100 молей двухатомного идеального газа адиабатически сжали при температуре 300 К. При этом давление газа увеличилось в 3 раза. Как изменилась работа газа?
Решение Степень свободы двухатомной молекулы , так как молекула может двигаться поступательно по трём координатным осям, и вращаться вокруг двух осей.

Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона – Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.

Вынесем знак «-» за знак дивергенции:

Заменим div иgrad на :

В декартовой системе координат:

Если зависит только от 1-й координаты, то задача решается 2-х кратным интегрированием по этой координате, при 2-х и более координат для решения уравнения существуют специальные методы: метод сеток, числовой метод расчёта.

Теорема единственности решения

Уравнение Пуассона – Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.

Существует теорема единственности решения:

Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона – Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.

К ней формулируют два следствия:

Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились

Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.

Метод зеркальных изображений

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.

Расчет на границе раздела двух сред

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x . Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.

Докажем это. Напряженность поля от двух зарядов
и
в любой точке поля имеет только нормальную к границе составляющую (выполнено граничное условие
). Потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа
(вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула для потенциала заряженной оси подставляется в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат)). На основании теоремы единственности решения полученное решение является истинным.

Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.

Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.

а) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в одной среде, то поле рассчитывают от двух зарядов: действительного , все пространство заполнено диэлектриком, в котором находится исследуемая точка.

б) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в разных средах, то поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда . Все пространство заполнено диэлектриком той среды, где находится исследуемая точка.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

Решая совместно, получаем:

Знак будет совпадать с если
.

Знак будет всегда как .

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности другого диэлектрика. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть
.

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда . Применим метод зеркальных изображений. Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд .

Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.

Точечный заряд вблизи границы

Диэлектрик – Проводник и Диэлектрик – Диэлектрик

Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.

Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик – проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку (2) в (1) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство (3) принимает вид:

Выражение (4) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя (2) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

  • значение потенциала как непрерывная функция;
  • потенциал должен быть конечной функцией;
  • производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения (4) будет выражаться для потенциала вида:

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = — A ln (r) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ (r 2) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно

φ (r 1) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:


A = ∆ U ln r 2 r 1 .

φ (r) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ (r) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ (r) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C » 2 .

C 1 , C » 1 , C 2 , C » 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 (0) = 0 . Получим C » 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C » 2:

C 2 ln R + C » 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = — grad j . В то же время согласно теореме Гаусса

Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим

Вынесем минус за знак дивергенции

Вместо того чтобы писать gradj, запишем его эквивалент Ñj. Вместо div напишем Ñ. Тогда

Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ свб =0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

Оператор называют оператором Лапласа или лапла­сианом и иногда обозначают еще символом D. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей Ñ и запишем в развернутом виде

Произведем почленное умножение и получим

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат

Приведем без вывода выражения Ñ 2 j в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат (11.32)

Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от j в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал j в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (r), поверхностные (s) и линейные (t) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов rdV, sds, tdl; dV — элемент объема, ds -элемент заряженной поверхности, dl — элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dj в некоторой точке пространства, удаленной от rdV на расстояние R , в соответствии с формулой (11.20) равна

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:

Полное значение j определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

В формуле (11.33) r,s и t есть функции радиуса R . Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение s по поверхности, t по длине и r по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как r, s и t зависят от радиуса R .

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами. При изучении раздела «переходные процессы» исключительно большое значение имел вопрос о начальных условиях и о законах коммутации. Начальные условия и законы коммутации позволяли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном методе — в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (и в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение войдут постоянные интегрирования. Их и определяют, исходя из граничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

Я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

Где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля . Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:
Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:
Величину называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

где – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок читается «набла» и является дифференциальным оператором
Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

С другой стороны, согласно формуле (*)
Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:
Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно
, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём и найдём предел при стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

где S площадь нашей сферы равная . Следовательно
Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, охватываемый поверхностью:
где – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

В пределе, когда N → ∞, →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:
Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса
А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):
Комбинируя два последних уравнения, получим:
Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля
Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом и равен
Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:
Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа . Соответственно в законе Гаусса будет не , а коэффициент . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье
Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.

  • физика
  • электростатики

Добавить метки

Сказать «Спасибо»

4. Потенциал электростатического поля. Уравнение Пуассона и уравнение Лапласа. Граничные условия и метод зеркальных изображений.

Электростатический потенциал — энергия поля, которой обладает единичный заряд , помещённый в данную точку поля . Определён с точностью до константы.

уравнение Пуассона (1-ое ур-е Максвелла)

уравнение Лапласа ( без свободных зарядов)

Нормальные составляющие индукции поля непрерывны (ибо )

Тангенциальные составляющие электрического поля непрерывны (в зяли прямоугольник h написали т. о циркуляции, при h стремящимся к 0 то )

Метод зеркальных изображений:

Если в электрическом поле заменить какую- либо эквипотенциальную поверхность проводником той же формы и создать на нем потенциал, равный потенциалу рассматриваемой эквипотенциальной поверхности, то электрическое поле не изменится.

Комментарии

Стандартная версия | Мобильная версия
© 2010-2020 mipt1.ru Операция «Раздолбай»

Обнаружен AdBlock
Пожалуйста, отключите блокировку рекламы, хотя бы для сайта mipt1.ru. Вся реклама на сайте ненавязчива и не закрывает контент. Сайт располагается на платном хостинге и не окупается. Если же Вы не хотите видеть рекламу, то воспользуйтесь мобильной версией или получите аккаунт с отсутствием рекламы, пожертвовав сайту сумму от 50 рублей.

Вывести формулу уравнения пуассона и лапласа. Уравнение пуассона и уравнение лапласа

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = — grad j . В то же время согласно теореме Гаусса

Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим

Вынесем минус за знак дивергенции

Вместо того чтобы писать gradj, запишем его эквивалент Ñj. Вместо div напишем Ñ. Тогда

Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ свб =0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

Оператор называют оператором Лапласа или лапла­сианом и иногда обозначают еще символом D. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей Ñ и запишем в развернутом виде

Произведем почленное умножение и получим

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат

Приведем без вывода выражения Ñ 2 j в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат (11.32)

Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от j в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал j в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (r), поверхностные (s) и линейные (t) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов rdV, sds, tdl; dV — элемент объема, ds -элемент заряженной поверхности, dl — элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dj в некоторой точке пространства, удаленной от rdV на расстояние R , в соответствии с формулой (11.20) равна

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:

Полное значение j определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

В формуле (11.33) r,s и t есть функции радиуса R . Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение s по поверхности, t по длине и r по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как r, s и t зависят от радиуса R .

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами. При изучении раздела «переходные процессы» исключительно большое значение имел вопрос о начальных условиях и о законах коммутации. Начальные условия и законы коммутации позволяли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном методе — в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (и в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение войдут постоянные интегрирования. Их и определяют, исходя из граничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

Уравнение (10.2) устанавливает связь между потенциалом электростатического поля и напряженностью этого поля. Из этого уравнения можно получить соотношение между потенциалом и плотностью заряда. Для этого нужно образовать дивергенцию обеих частей этого уравнения и воспользоваться затем формулой (6.5):

Согласно правилам векторного анализа [см. уравнение (40]

так что уравнение (11.1) может быть записано так:

Это дифференциальное уравнение носит название уравнения Пуассона. В тех участках поля, где нет электрических зарядов

Уравнение это обращается в следующее:

Этот частный вид уравнения Пуассона носит название уравнения Лапласа.

Уравнение Пуассона дает возможность определить потенциал поля объемных зарядов, если известно расположение этих зарядов. Решение (интеграл) этого дифференциального уравнения (при определенных граничных условиях) должно, очевидно, совпадать с выведенной нами ранее формулой (8.8):

В дальнейшем мы докажем это непосредственным вычислением. Пока же отметим, что для решения некоторых задач удобнее исходить не из интеграла (8.8), а непосредственно из дифференциального уравнения (11.3).

Пример. Определить плотность термоионного тока между двумя бесконечными плоскими электродами в вакууме. Пример этот на применение уравнения Пуассона взят не из электростатики, а из учения о токе и имеет большое значение для теории катодных (усилительных) ламп.

Известно, что накаленные металлы испускают со своей поверхности в окружающее пространство поток свободных электронов. Если к двум металлическим электродам приложить определенную разность потенциалов и раскалить отрицательный электрод (катод), то непрерывно испускаемые накаленным катодом электроны будут притягиваться к поверхности положительного электрода (анода). Поток электронов, движущихся от катода к аноду, эквивалентен электрическому току. Ток этот называется термоионным.

Выберем оси декартовых координат так, чтобы начало их находилось на катоде, а ось х была перпендикулярна плоскости электродов и направлена к аноду. Примем потенциал катода равным нулю, а потенциал анода равным Из соображений симметрии явствует, что эквипотенциальные поверхности параллельны электродам, поэтому и уравнение Пуассона в пространстве между электродами принимает вид

Если обозначить через число электронов, приходящихся на единицу объема в пространстве между электродами на расстоянии х от катода, а через абсолютную величину заряда электрона, то плотность заряда на

этом расстоянии будет:

Предположим для простоты, что испускаемые катодом электроны при выходе из его поверхности не обладают никакой начальной скоростью. На пути от катода к аноду силы электрического поля будут совершать над электронами заряда работу — которая будет, очевидно, переходить в кинетическую энергию движения электронов. Обозначая через скорость электрона на расстоянии х от катода, а через потенциал на том же расстоянии, получим

где 771 — масса электрона. Наконец, плотность электрического тока, т. е. заряд, протекающий за единицу времени через перпендикулярную току (т. е. перпендикулярную оси площадку в равна, очевидно:

ибо есть число электронов, проходящих за единицу времени через эту площадку. В отличие от плотность тока есть величина постоянная, не зависящая от х, ибо по достижении стационарного состояния через любую параллельную электродам плоскость проходит, очевидно, одинаковое число электронов.

Исключим из уравнения (11.5) все неизвестные функции х, кроме Прежде всего

Но из (11.6) следует, что

Вводя обозначение А — получим

Как легко убедиться подстановкой, из решений этого дифференциального уравнения, которое, согласно условию задачи, обращается на катоде в нуль и, кроме того, удовлетворяет условию

Если обозначить расстояние от анода до катода через I, то при потенциал должен обращаться в Стало быть,

Таким образом, плотность термоионного тока не подчиняется закону Ома, а растет пропорционально степени 3/2 приложенного к электродам напряжения и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Это отличие законов термоионного тока от законов тока в металлах обусловливается двоякого рода причинами. Во-первых, электроны в металлах соударяются с положительными ионами, образующими твердый скелет металла, и испытывают благодаря этому сопротивление своему движению, отсутствующее при движении в вакууме 1). Во-вторых, при термоионном токе в пространстве между электродами находятся лишь свободные электроны, заряд которых не компенсируется зарядом положительных ионов, как это имеет место в металлах, вследствие чего поле этого так называемого «пространственного заряда» искажает поле электродов.

Отметим, что формула (11.9) перестает быть справедливой при больших плотностях тока 2). При повышении потенциала анода наступает момент, когда все выделяемые катодом электроны немедленно же увлекаются к аноду. Дальнейшее повышение потенциала анода не может, очевидно, повести к увеличению плотности тока, которая, таким образом, достигает постоянного значения (ток насыщения).

Задача 10. Пусть означает расстояние данной точки пространства от некоторой произвольно выбранной начальной точки Показать, что скаляр

удовлетворяет уравнению Лапласа

Точка не рассматривается.

Задача 11. Бесконечная плоская пластина толщиной 2а равномерно заряжена электричеством с объемной плотностью Ось х перпендикулярна пластине, начало координат расположено в срединной плоскости, равноотстоящей от обеих поверхностей пластины. Показать, что потенциал поля внутри и вне пластины равен соответственно:

а вектор направлен вдоль оси х от срединной плоскости и численно равен:

Сравнить этот случай с предельным случаем бесконечной заряженной плоскости (§ 4).

Задача 12. Найти потенциал поля шара, равномерно заряженного по своему объему [формула (8.12)], исходя из уравнения Пуассона в сферических координатах.

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия — это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия — это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид — заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий — порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией, характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени.

Функция удовлетворяет уравнению

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

Будем говорить о трех типах граничных условий:

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II — в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III — в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) — однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу — з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при, удовлетворяющее начальным условиям

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I — III при.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму () и скорость каждой ее точки задается функцией. Рассмотреть случаи:

  • а) концы струны закреплены;
  • б) концы струны свободны;

в) к концам струны и, начиная с момента, приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

Здесь, натяжение, линейная плотность, т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом, т.е.

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию, определенную при и, являющуюся решением уравнения

и удовлетворяющую граничным условиям

и начальным условиям

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку (2) в (1) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство (3) принимает вид:

Выражение (4) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя (2) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

  • значение потенциала как непрерывная функция;
  • потенциал должен быть конечной функцией;
  • производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения (4) будет выражаться для потенциала вида:

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = — A ln (r) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ (r 2) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно

φ (r 1) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:

A = ∆ U ln r 2 r 1 .

φ (r) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ (r) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ (r) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C » 2 .

C 1 , C » 1 , C 2 , C » 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 (0) = 0 . Получим C » 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C » 2:

C 2 ln R + C » 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона – Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.

Вынесем знак «-» за знак дивергенции:

Заменим div иgrad на :

В декартовой системе координат:

Если зависит только от 1-й координаты, то задача решается 2-х кратным интегрированием по этой координате, при 2-х и более координат для решения уравнения существуют специальные методы: метод сеток, числовой метод расчёта.

Теорема единственности решения

Уравнение Пуассона – Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.

Существует теорема единственности решения:

Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона – Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.

К ней формулируют два следствия:

Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились

Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.

Метод зеркальных изображений

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.

Расчет на границе раздела двух сред

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости


Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x . Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.

Докажем это. Напряженность поля от двух зарядов
и
в любой точке поля имеет только нормальную к границе составляющую (выполнено граничное условие
). Потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа
(вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула для потенциала заряженной оси подставляется в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат)). На основании теоремы единственности решения полученное решение является истинным.

Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.

Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.

а) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в одной среде, то поле рассчитывают от двух зарядов: действительного , все пространство заполнено диэлектриком, в котором находится исследуемая точка.

б) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в разных средах, то поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда . Все пространство заполнено диэлектриком той среды, где находится исследуемая точка.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

Решая совместно, получаем:

Знак будет совпадать с если
.

Знак будет всегда как .

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности другого диэлектрика. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть
.

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда . Применим метод зеркальных изображений. Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд .

Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.

Точечный заряд вблизи границы

Диэлектрик – Проводник и Диэлектрик – Диэлектрик

Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.

Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик – проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.

Последние материалы раздела:

Комплекс Гольджи представляет собой стопку дискообразных мембранных мешочков (цистерн), несколько расширенных ближе к краям, и связанную с ними.

Глава I. Описание живущего в семье дворян-Иртеньевых пожилого-учителя, немца Карла Ивановича Мауера. Николенька Иртеньев (мальчик, от лица.

Аппарат Гольджи — важная органелла, которая присутствует практически в каждой Пожалуй, единственными клетками, в которых отсутствует этот комплекс.

РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

Уравнение Пуассона для функции тока

Уравнения с частными производными Лапласа и Пуассона (1.8) относятся к эллиптическому типу, и в их решении проявляются все особенности эллиптических задач. В задачах вычислительной гидрогазодинамики уравнение Пуассона или Лапласа встречается при различных трансформациях исходной системы уравнений. Форму уравнения Лапласа имеет уравнение для потенциала скорости в случае безвихревого движения идеальной жидкости. К такому же уравнению приводят и различные упрощения на основе введения возмущений при дозвуковом обтекании тонких тел. Уравнением Лапласа или Пуассона описывается стационарное распределение температур в твердом геле.

Для расчета движения вязкой несжимаемой жидкости удобно пользоваться системой уравнений (1.22)-(1.23) в переменных «функция тока-вихрь». Если считать, что на какой-то момент времени определено распределение вихря и в области, то первое уравнение системы представляет собой уравнение Пуассона с известной правой частью. Уравнения подобного типа появляются в задачах построения криволинейных сеток, согласованных с границами областей сложной формы. В задачах более общего типа часто появляется группа операторов, которая имеет форму оператора Лапласа, и для ее аппроксимации применяются сходные подходы. Таким образом, решение уравнения Пуассона — типичная задача вычислительной гидрогазодинамики. Методы разностного решения этого уравнения, имеющего эллиптический тип, мы и рассмотрим в настоящем разделе.

Корректная постановка задачи для уравнения Пуассона:

требует задания на всей границе Г области D краевых условий. Обычно это условие Дирихле (а) или Неймана (б):

Для построения разностной схемы введем сетку Xi = ihx, у3 = = jhy и в дальнейшем для простоты выкладок примем hx = hy = h. Разностная аппроксимация порядка 0(h 2 ) дчя (8.1) имеет вид

или, с использованием символической записи разностных операторов,

Эта система уравнений, записанных для внутренних узлов сетки, совместно с разностной аппроксимацией краевых условий представляет разностную схему для уравнения Пуассона. Если узлов сетки много, то решение системы линейных уравнений для сеточной функции ipij традиционными способами может повлечь значительные затраты машинного времени и памяти.

Разработаны эффективные методы решения, которые учитывают особенности структуры системы (8.2). Дадим краткую классификацию методов решения сеточных уравнений, соответствующих уравнению Пуассона.

Прямые методы (безытерационные) методы, дающие точное решение задачи за конечное число арифметических операций (в предположении, что сами вычисления выполняются без погрешностей). Прямые методы основаны на использовании разработанных в линейной алгебре способов решения линейных уравнений. Эти методы, как правило, требуют числа арифметических операций, пропорционального кубу числа узлов сетки.

Итерационные методы позволяют получить последовательные уточнения решения. Итерирование, вообще говоря, является бесконечным процессом, но при удачной реализации решение получается с требуемой точностью за меньшее число операций, чем в прямых методах.

Методы установления основаны на введении в (8.1) производной по времени и решении полученного параболического уравнения на достаточно большом промежутке времени, когда принцип установления обеспечит соответствие решений стационарной и нестационарной задач.

Уравнение пуассона для электрического поля. Уравнения лапласа и пуассона

Если ввести оператор , называемый оператором Лапласа , то уравнения (1.110) и (1.111) запишутся соответственно

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, фильтрации, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются динамическими или нестационарными задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

О постановке задачи математической физики

И ее корректности

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящее от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Тут можно провести аналогию с обыкновенными дифференциальными уравнениями, когда для выделения из общего решения частного, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям, отыскивались по этим условиям произвольные постоянные. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия – это условия, заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия – условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия,

так же как и само дифференциальное уравнение, должны вводиться на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение из всего множества решений единственного решения. Число граничных и начальных условий определяется типом уравнения, а их вид – заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий – порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляет собой математическую формулировку физической задачи и называется задачей математической физики.

Физическая задача решается по схеме:

1) реальный физический процесс (явление, объект) заменяется некоторым идеальным процессом (явлением, объектом) так, что последний значительно проще первого и вместе с тем сохраняет его основные черты (идеализация процесса);

2) выбирается величина (функция), характеризующая процесс, и используются законы, по которым он происходит;

3) на основании выбранных законов выводится дифференциальное уравнение для величины, характеризующей процесс;

4) выводятся дополнительные условия – начальные и граничные – также в соответствии с выбранными законами.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво; последнее означает, что малые изменения любого из данных задачи вызывают малое изменение решения. Требование устойчивости необходимо по следующей причине. В данных любой конкретной задачи, особенно если они получены из опыта, всегда содержится некоторая погрешность, и нужно, чтобы малая погрешность в исходных данных приводила к малой неточности в решении. Это требование выражает физическую определенность поставленной задачи.

ПРИМЕР 2.36. Выяснить, являются ли приведенные ниже равенства дифференциальными уравнениями в частных производных:

Решение. Преобразуем уравнение а)

Данное уравнение является уравнением в частных производных, так как в него входят частные производные второго порядка

Уравнение б) не является уравнением в частных производных, так как в него входит только функция . Действительно, раскрывая , получим

ПРИМЕР 2.37. Выяснить, какие из следующих уравнений являются линейными (однородными или неоднородными) и какие нелинейными:

Решение. Сравнивая данные уравнения с формой (1.4), заключаем, что

Уравнение а) есть неоднородное линейное уравнение второго порядка, для которого ;

Уравнение б) нелинейное, так как оно не является линейным относительно старших частных производных;

Уравнение в) является однородным линейным уравнением третьего порядка.

ПРИМЕР 2.38. Решить уравнение .

Решение. Ясно, что искомая функция не зависит от переменной , но может быть любой функцией от : , поскольку, дифференцируя по , получим ноль, а это значит, что данное равенство выполняется. Таким образом, решение уравнения содержит одну произвольную функцию .

ПРИМЕР 2.39. Решить уравнение , где заданная функция.

Решение. Интегрируя по , восстановим искомую функцию

Где произвольная функция.

Итак, решение уравнений в примерах 2.38 и 2.39 содержат одну произвольную функцию . Такое решение называется общим. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит одну произвольную постоянную, решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию.

ПРИМЕР 2.40. Решить уравнение .

Решение. Перепишем уравнение так: . Положим , после чего данное уравнение принимает вид . Как было установлено в примере 2.38, общее решение последнего уравнения имеет вид: , где произвольная функция. Исходное уравнение примет вид: . Проинтегрировав полученный результат по , получим

где и произвольные дважды дифференцируемые функции.

Легко проверить, что найденная функция удовлетворяет данному уравнению.

Итак, решение уравнения в частных производных второго порядка содержит уже две произвольные функции. Такое решение называют общим.

Приведенные в качестве примеров уравнения дают основание сделать заключение: общее решение уравнения в частных производных первого порядка содержит одну произвольную функцию, а общее решение уравнения второго порядка – две произвольные функции. В этом заключается коренное отличие общего решения уравнения в частных производных от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, которое содержит одну и две произвольные постоянные.

В дальнейшем будет выяснено, какие дополнительные условия надо задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как уравнению, так и дополнительным условиям.

Уравнения Пуассона и Лапласа являются основными уравнениями электростатики. Они вытекают из теоремы Гаусса в дифференциальной форме. Действительно, известно, что Е = — grad j . В то же время согласно теореме Гаусса

Подставим в (11.22) E из (11.7). Получим

Вынесем минус за знак дивергенции

Вместо того чтобы писать gradj, запишем его эквивалент Ñj. Вместо div напишем Ñ. Тогда

Уравнение (11.27) называется уравнением Пуассона. Частный вид уравнения Пуассона, когда ρ свб =0, называется уравнением Лапласа. Уравнение Лапласа запишется так:

Оператор называют оператором Лапласа или лапла­сианом и иногда обозначают еще символом D. Поэтому можно встретить иногда и такую форму записи уравнения Пуассона:

Раскроем в декартовой системе координат. С этой целью произведение двух множителей Ñ и запишем в развернутом виде

Произведем почленное умножение и получим

Таким образом, уравнение Пуассона в декартовой системе координат запишется следующим образом:

Уравнение Лапласа в декартовой системе координат

Приведем без вывода выражения Ñ 2 j в цилиндрической системе координат

в сферической системе координат (11.32)

Уравнение Пуассона дает связь между частными производными второго порядка от j в любой точке поля и объемной плотностью свободных зарядов в этой точке поля. В то же время потенциал j в какой-либо точке поля зависит, разумеется, от всех зарядов, создающих поле, а не только от величины свободного заряда, находящегося в данной точке.

Уравнение Лапласа (1780 г.) первоначально было применено для описания потенциальных полей небесной механики и впоследствии было использовано для описания электрических полей. Уравнение Пуассона применяется к исследованию потенциальных полей (электрических и магнитных) с 1820 г.

Рассмотрим вопрос о том, как в общем виде может быть записано решение уравнения Пуассона. Пусть в объеме V есть объемные (r), поверхностные (s) и линейные (t) заряды. Эти заряды представим в виде совокупностей точечных зарядов rdV, sds, tdl; dV — элемент объема, ds -элемент заряженной поверхности, dl — элемент длины заряженной оси. Составляющая потенциала dj в некоторой точке пространства, удаленной от rdV на расстояние R , в соответствии с формулой (11.20) равна

Составляющие потенциала от поверхностного и линейного зарядов, рассматривая их как точечные, определим аналогичным образом:

Полное значение j определится как сумма (интеграл) составляющих потенциала от всех зарядов в поле:

В формуле (11.33) r,s и t есть функции радиуса R . Практически формулой (11.33) пользуются редко, так как распределение s по поверхности, t по длине и r по объему сложным образом зависит от конфигурации электродов и, как правило, перед проведением расчета неизвестно. Другими словами, неизвестно, как r, s и t зависят от радиуса R .

Под граничными условиями понимают условия, которым подчиняется поле на границах раздела сред с различными электрическими свойствами. При изучении раздела «переходные процессы» исключительно большое значение имел вопрос о начальных условиях и о законах коммутации. Начальные условия и законы коммутации позволяли определить постоянные интегрирования при решении задач классическим методом. В классическом методе они использовались в явном виде, в операторном методе — в скрытом. Без использования их нельзя решить ни одной задачи на переходные процессы.

Можно провести параллель между ролью граничных условий в электрическом (и в любом другом) поле и ролью начальных условий и законов коммутации при переходных процессах. При интегрировании уравнения Лапласа (или Пуассона) в решение войдут постоянные интегрирования. Их и определяют, исходя из граничных условий. Прежде чем перейти к подробному обсуждению граничных условий, рассмотрим вопрос о поле внутри проводящего тела в условиях электростатики.

Теорема Гаусса применима только для тел простой конфигурации. Уравнение Пуассона – Лапласа позволяет решать гораздо более сложные задачи, эти уравнения используются во всех стационарных полях как электрических так и магнитных.

Вынесем знак «-» за знак дивергенции:

Заменим div иgrad на :

В декартовой системе координат:

Если зависит только от 1-й координаты, то задача решается 2-х кратным интегрированием по этой координате, при 2-х и более координат для решения уравнения существуют специальные методы: метод сеток, числовой метод расчёта.

Теорема единственности решения

Уравнение Пуассона – Лапласа, описывающее электрическое поле, является уравнением частных производных. Следовательно, существует множество решений независимых друг от друга.

Существует теорема единственности решения:

Из всего множества функций, удовлетворяющих уравнению Пуассона – Лапласа существует только одна удовлетворяющая граничным условиям.

К ней формулируют два следствия:

Поле в некоторой части пространства не изменится, если по другую сторону границы раздела двух сред производится перераспределение зарядов так, чтобы граничные условия не изменились

Эквипотенциальную поверхность можно заменить металлической, сообщив последней некоторый потенциал.

Метод зеркальных изображений

Если электрические заряды расположены вблизи границы двух разнородных сред, то вектор поля можно определить, применив искусственный метод расчета, который носит название метода зеркальных изображений.

Идея метода заключается в том, что вместо неоднородной среды рассматривается однородная среда, влияние же неоднородности учитывается введением фиктивных зарядов, записывают граничные условия основной задачи и, пользуясь ими, находят искомые векторы поля. Наиболее удобен этот метод для расчёта границы раздела двух сред правильной формы.

Расчет на границе раздела двух сред

Поле заряженной оси, расположенной вблизи проводящей плоскости

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить характер поля в верхней полуплоскости (диэлектрике).

В результате электростатической индукции на поверхности проводящего тела выступают заряды. Плотность их меняется с изменением координаты x . Эти заряды влияют на поле и их влияние надо учитывать. Учесть влияние зарядов, выступивших на поверхности проводящего тела вследствие электростатической индукции, очень сложно, так как надо знать закон распределения их по поверхности проводящего тела. Данную задачу легко можно решить, используя метод зеркальных изображений. Согласно методу влияние зарядов, расположенных на поверхности проводящего тела, учитывается введением фиктивного сосредоточенного заряда, расположенного в зеркальном отражении относительно границы, при этом считается, что все пространство заполнено диэлектриком. Фиктивный заряд равен по модулю действительному и имеет противоположный знак.

Докажем это. Напряженность поля от двух зарядов
и
в любой точке поля имеет только нормальную к границе составляющую (выполнено граничное условие
). Потенциал от каждой из осей удовлетворяет уравнению Лапласа
(вывод уч. Бессонов ТОЭ стр. 42 (формула для потенциала заряженной оси подставляется в уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат)). На основании теоремы единственности решения полученное решение является истинным.

Заряженная ось, расположена в диэлектрике параллельно поверхности проводящей среды. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А.

Применим метод зеркальных изображений. А напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения

Определим силу притяжения провода к проводящей поверхности:

Поле заряженной оси, расположенной вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с различными диэлектрическими проницаемостями

В этом случае индуцированные на границе раздела не скомпенсированные связанные заряды влияют на поле в обеих сферах, для учета их вводят два фиктивных заряда. В данной задаче надо удовлетворить двум граничным условием.

а) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в одной среде, то поле рассчитывают от двух зарядов: действительного , все пространство заполнено диэлектриком, в котором находится исследуемая точка.

б) Если реальный провод и исследуемая точка находятся в разных средах, то поле в любой точке нижнего полупространства определяют как поле от некоторого дополнительного заряда . Все пространство заполнено диэлектриком той среды, где находится исследуемая точка.

Из условия равенства тангенциальных составляющих напряженности поля:

Из условия равенства нормальных составляющих вектора электрического смещения:

Решая совместно, получаем:

Знак будет совпадать с если
.

Знак будет всегда как .

Заряженная ось расположена в диэлектрике параллельно поверхности другого диэлектрика. Требуется определить напряженность электростатического поля и потенциал в точке А и В. Пусть
.

Рассмотрим точку А. Она лежит в одной среде с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от двух зарядов: действительного и зеркально отраженного фиктивного заряда . Применим метод зеркальных изображений. Напряженность поля и потенциал в точке А найдем, используя метод наложения:

Примем точку с нулевым потенциалом на границе раздела под одним из проводов

Рассмотрим точку В. Она лежит в разных средах с заряженной осью. Применяем метод зеркальных отражений. Все заполняем средой с диэлектрической проницаемостью . Поле рассчитываем от фиктивного заряда , расположенного в той же точке, где находился реальный заряд .

Замечание: если исследуемая точка лежит на поверхности провода, то расстояние от провода до исследуемой точки равно радиусу провода.

Точечный заряд вблизи границы

Диэлектрик – Проводник и Диэлектрик – Диэлектрик

Если поле создается не заряженной осью, а точечным зарядом, то вся методика расчетов сохраняется.

Точечный заряд лежит вблизи границы диэлектрик – проводник. Найти напряженность и потенциал поля в точке А.

Существует большое количество случаев, когда самым удобным методом нахождения напряженности поля считается решение дифференциального уравнения для потенциала. После его получения применим в качестве основы теорему Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:

где ρ является плотностью распределения заряда, ε 0 — электрической постоянной, d i v E → = ∇ → E → = ∂ E x ∂ x + ∂ E y ∂ y + ∂ E z ∂ z — дивергенцией вектора напряженности и выражением, связывающим напряженность поля и потенциал.

Произведем подстановку (2) в (1) :

Учитывая, что d i v g r a d φ = ∇ 2 φ = ∂ 2 φ ∂ x 2 + ∂ 2 φ ∂ y 2 + ∂ 2 φ ∂ z 2 , где ∆ = ∇ 2 — это оператор Лапласа, равенство (3) принимает вид:

Выражение (4) получило название уравнения Пуассона для вакуума. При отсутствующих зарядах запишется как уравнение Лапласа:

После нахождения потенциала переходим к вычислению напряженности, используя (2) . Решения уравнения Пуассона должны удовлетворять требованиям:

  • значение потенциала как непрерывная функция;
  • потенциал должен быть конечной функцией;
  • производные потенциала как функции по координатам должны быть конечными.

При наличии сосредоточенных зарядов в объеме V , решение уравнения (4) будет выражаться для потенциала вида:

Общая задача электростатики сводится к нахождению решения дифференциального уравнения, то есть уравнения Пуассона, удовлетворяющего вышеперечисленным требованиям. Теоретические вычисления известны для небольшого количества частных случаев. Если возможно подобрать функцию φ , удовлетворяющую условиям, то она является единственным решением.

В таких задачах не всегда необходимо задавать заряды или потенциалы во всем пространстве. Для нахождения электрического поля в полости, окруженной проводящей оболочкой, достаточно вычислить поле тел, находящихся внутри нее.

Любое решение уравнения Пуассона ограниченной области может быть определено краевыми условиями, накладывающимися на поведение решения. Границы перехода из одной среды в другую имеют условия, которые должны быть выполнены:

E 2 n — E 1 n = 4 π σ , или ∂ φ 1 ∂ n — ∂ φ 2 ∂ n = 0 .

где σ — это поверхностная полость свободных зарядов, n – единичный вектор нормали к границе раздела, проведенный из среды 1 в 2 , τ — единичный вектор, касательный к границе.

Эти уравнения выражают скачок нормальных составляющих вектора напряженности и непрерывность касательной вектора напряженностей электрического поля при переходе через любую заряженную поверхность независимо от ее формы и наличия или отсутствия зарядов вне ее.

Уравнение Пуассона в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Запись уравнения может быть как при помощи декартовых координат, также и сферических, цилиндрических, полярных.

При наличии сферических r , θ , υ уравнение Пуассона запишется как:

1 r 2 · ∂ ∂ r r 2 ∂ φ ∂ r + 1 r 2 sin θ ∂ θ sin θ · ∂ φ ∂ θ + ∂ 2 φ r 2 sin 2 θ ∂ φ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В полярных r , θ:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ r 2 ∂ θ 2 = — 1 ε 0 ρ .

В цилиндрических r , υ , z:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r + ∂ 2 φ ∂ z 2 + ∂ 2 φ r 2 ∂ υ 2 = — 1 ε 0 ρ .

Найти поле между коаксиальными цилиндрами с радиусами r 1 и r 2 и с имеющейся разностью потенциалов ∆ U = φ 1 — φ 2 .

Необходимо зафиксировать уравнение Лапласа с цилиндрическими координатами, учитывая аксиальную симметрию:

1 r · ∂ ∂ r r ∂ φ ∂ r = 0 .

Решение имеет вид φ = — A ln (r) + B . Для этого следует выбрать нулевой потенциал на нужном цилиндре, тогда:

φ (r 2) = 0 = — A ln r 2 + B , следовательно

φ (r 1) = ∆ U = — A ln r 1 + B , получим:

A = ∆ U ln r 2 r 1 .

φ (r) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Ответ: поле с двумя коаксиальными цилиндрами может быть задано при помощи функции φ (r) = — ∆ U ln r 2 r 1 ln (r) + ∆ U ln r 2 r 1 ln r 2 .

Найти потенциал поля, которое создает бесконечно круглый цилиндр с радиусом R и объемной плотностью заряда ρ . Использовать уравнение Пуассона.

Необходимо направить ось Z по оси цилиндра. Видно, что цилиндрическое распределение заряда аксиально симметрично, потенциал имеет такую же симметрию, иначе говоря, считается функцией φ (r) с r , являющимся расстоянием от оси цилиндра. Для решения используется цилиндрическая система координат. Уравнение Пуассона в ней запишется как:

φ 2 = C 2 ln r + C » 2 .

C 1 , C » 1 , C 2 , C » 2 — это постоянные интегрирования. Имеем, что потенциал во всех точках должен быть конечным, а l i m r → 0 ln r = ∞ . Отсюда следует, что C 1 = 0 . Далее необходимо пронормировать потенциал, задействовав условие φ 1 (0) = 0 . Получим C » 1 = 0 .

Поверхностные заряды отсутствуют, поэтому напряженность электрического поля на поверхности шара является непрерывной. Следовательно, что и производная от потенциала также непрерывна при r = R , как и сам потенциал. Исходя из условий, можно найти C 2 , C » 2:

C 2 ln R + C » 2 = — 1 4 ρ ε 0 R 2 .

C 2 R = — 1 2 ρ ε 0 R .

Значит, полученные выражения записываются как:

Ответ: потенциал поля равняется:

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

К исследованию уравнений Лапласа и Пуассона приводит рассмотрение задач о стационарном процессе: это задачи гидродинамики, диффузии, распределения температуры, электростатики и др.

Эти уравнения относятся к уравнениям эллиптического типа.

Те задачи, которые приводят к уравнениям, содержащим время, называются нестационарными или динамическими задачами математической физики; задачи, приводящие к уравнениям, не содержащим время, называются стационарными или статическими.

Как было показано, уравнения математической физики имеют бесчисленное множество решений, зависящие от двух произвольных функций (речь идет об уравнениях второго порядка для функции двух переменных). Для того, чтобы из множества решений выделить определенное, характеризующее процесс, необходимо на искомую функцию наложить дополнительные условия, которые диктуются физическими соображениями. Таковыми условиями для уравнений в частных производных являются, чаще всего, начальные и граничные условия. Граничные условия — это условия заданные на границе рассматриваемой среды; начальные условия — это условия, относящиеся к какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического явления. Дополнительные условия, так же как и само дифференциальное уравнение, выводятся на основе физических соображений, связанных с самим процессом. Вместе с тем дополнительные условия должны быть такими, чтобы обеспечить выделение единственного решения из всего множества решений. Число граничных и начальных условий определяются типом уравнения, а их вид — заданным исходным состоянием на границе объекта и внешней среды. Для рассматриваемых нами уравнений число начальных условий равно порядку старшей производной по времени, входящей в уравнение, а число граничных условий — порядку старшей производной по координате.

Совокупность дифференциального уравнения и дополнительных условий представляют собой математическую формулировку физической задачи, и называется задачей математической физики.

Итак, задача математической физики состоит в отыскании решений уравнений в частных производных, удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям, скажем, граничным и начальным.

Задача математической физики считается поставленной корректно, если решение задачи, удовлетворяющее всем ее условиям, существует, единственно и устойчиво.

Колебания струны. Граничные и начальные условия. Постановка краевых задач

Пусть струна находится под действием сильного начального натяжения. Если вывести струну из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться. Процесс колебания можно описать одной функцией, характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия (рис. 2.2)). При каждом фиксированном значении график функции на плоскости дает форму струны в момент времени.

Функция удовлетворяет уравнению

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних усилий.

Уравнение (2.69) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений матфизики.

Одного уравнения движения (2.69) или (2.70) при математическом описании физического процесса недостаточно. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

Будем говорить о трех типах граничных условий:

где известные функции,

и известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, когда концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II — в случае, когда к концам приложены заданные силы; условия III — в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (2.72) — однородные. Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда режим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной. В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу — з а д а ч у К о ш и: найти решение уравнения (2.69) для при, удовлетворяющее начальным условиям

Если изучается процесс вблизи одной границы и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой. В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I — III при.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.42. Однородная струна длины совершает малые поперечные колебания. Поставить задача об определении отклонений точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент струна имела форму () и скорость каждой ее точки задается функцией. Рассмотреть случаи:

  • а) концы струны закреплены;
  • б) концы струны свободны;

в) к концам струны и, начиная с момента, приложены поперечные силы и соответственно;

г) концы струны закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает сопротивление, пропорциональное отклонению конца.

Решение. Как известно, отклонения точек струны от положения равновесия удовлетворяют в отсутствии действующей внешней силы уравнению свободных колебаний (2.70)

Здесь, натяжение, линейная плотность, т.к. струна однородная.

Начальные условия имеют вид:

Займемся выводом граничных условий.

Случай а). Так как концы струны закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равными нулю при любом, т.е.

Итак, физическая задача о колебаниях закрепленной на концах струны свелась к следующей математической задаче: найти функцию, определенную при и, являющуюся решением уравнения

Каждый электрик должен знать:  Тепловое реле устройство, принцип действия, назначение
Добавить комментарий