Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников

Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников

Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора ,

то должны выполняться следующие пять условий:

1) все коэффициенты а и b в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вытекает из условия 3);

2) наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя не может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома знаменателя более чем на единицу;

3) если условиться значения , при которых называть нулями функции а значения , при которых — полюсами то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости

4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;

5) если вместо в выражение подставить то при любом значении должно быть

Поясним эти требования. Из § 8.11 известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида и обязательно должны затухать во времени; — корни уравнения Но затухать свободные процессы (слагаемые вида могут только втом случае, когда действительная часть отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения должны обязательно находиться в левой части плоскости .

Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника где k — некоторый коэффициент, имеющий размерность

Каждый электрик должен знать:  Термоэлектрическое охлаждение особенности и эффект

Ом в квадрате (см. § 3.43), то входное сопротивление дуального двухполюсника равно Нули дуального двухполюсника, являющиеся полюсами исходного, также должны быть расположены в левой части плоскости .

Из курса математики известно, что если имеются два кратных корня уравнения то соответствующие им слагаемые в решении берут в виде Если допустить, что на мнимой оси могут быть два кратных корня то соответствующая им свободная составляющая нарастала бы до бесконечности, чего физически быть не может. Коэффициенты а и b в числителе и заменателе Z(p) должны быть положительны. Если бы это условие нарушилось, то на основании леммы, вытекающей из теоремы Гурвица (см. § 17.2), среди корней уравнения появились бы корни с положительной действительной частью.

Поясним, почему степень не может отличаться от степени более чем на единицу. Допустим, что степень больше степени на два. Тогда является нулем второй кратности для Z(p), а то, что происходит при можно считать происходящим на мнимой оси плоскости (мнимая ось простирается в бесконечность). Но тогда на мнимой оси получается кратный корень, чего быть не может.

Каждый электрик должен знать:  Электрические машины. Учебное пособие

Проведя такое же рассуждение для дуального двухполюсника, убедимся, что степень не может быть больше степени более чем на единицу.

Если в Z(p) вместо подставить то будет представлять собой комплексное сопротивление двухполюсника в установившемся синусоидальном режиме при частоте со, — действительную часть входного сопротивления. В том случае, когда двухполюсник содержит резистивные сопротивления, его потребляет активную мощность Если же двухполюсник чисто реактивный, то . В общем случае для пассивного двухполюсника всегда должно быть .

В литературе по синтезу цепей иногда пользуются термином «положительная действительная (вещественная) функция». Под ней понимают функцию: 1) действительная часть которой положительна, если положительна действительная частьр; 2) действительная при действительном (не комплексном) . Поскольку Z(p) этим свойствам удовлетворяет, оно является положительной действительной функцией.

Пример 111. Задано несколько выражений вида N(p)/M(p). Выяснить, могут ли они представлять собой входные сопротивления некоторых двухполюсников:

Решение. Первое выражение не может представлять собой Z(p), так как один из коэффициентов в числителе отрицателен. Второе и третье выражения также не могут представлять собой Z(p): второе потому, что максимальная степень в знаменателе больше максимальной степени числителя на два, третье потому, что

при значениях от 0,707 до 1 отрицательно. Четвертое выражение всем требованиям удовлетворяет и потому может представлять собой Z(p) некоторого двухполюсника.

Каждый электрик должен знать:  Удлинитель из розетки и двухжильного кабеля - как собрать

Кроме названных общих свойств перечислим свойства двухполюсников, состоящих только из R и С, только из R и L и только из L и С. Двухполюсники типа RC и RL имеют чередующиеся простые нули и полюсы на отрицательной вещественной оси плоскости . Для -двухполюсников ближайшей особой точкой к началу координат является полюс, в бесконечности полюс отсутствует. Для двухполюсников типа ближайшей к началу координат особой точкой является нуль, при полюс отсутствует. Двухполюсники типа LC имеют чередующиеся простые нули и полюсы на мнимой оси. Степени полиномов числителя и знаменателя отличаются на единицу.

Нули и полюсы Z(p) можно изобразить условными значками из комплексной плоскости, скажем, нули кружками, полюсы крестиками. Полученную картину называют картой нулей и полюсов. Эта карта наглядно характеризует частотные свойства двухполюсника и реакцию его при воздействии единичного напряжения.

По расположению и количеству нулей на ней можно определить число апериодических и колебательных компонент, которое содержит свободная составляющая, и быстроту затухания той или иной из них во времени. Чем ближе к мнимой оси расположены нули, тем медленнее затухает соответствующая им свободная составляющая.

Добавить комментарий