Виды матриц и операции над матрицами

Операции над матрицами

Некоторые операции над матрицами, такие как сложение и вычитание, допускаются только для матриц одинакового размера.

Равные матрицы

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны:

Решение. Так как матрицы $A$ и $B$ равны, то равны и их соответствующие элементы, т.е. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Ответ. $a=-1, b=0, c=3, d=0$

Произведение матрицы на число

Произведением матрицы на число называется матрица, полученная из исходной умножением каждого ее элемента на заданное число.

Задание. Пусть $A=\left( \begin <3>\\ <-1>\end\right)$. Найти матрицу $2A$.

Каждый электрик должен знать:  Как сделать простой датчик уровня воды, жидкости в баке из шприца и куска проволоки своими руками.

Ответ. $2 A=\left( \begin <6>\\ <-2>\end\right)$

Подробная теория про умножение марицы на число по ссылке.

Сумма матриц

Суммой матриц $A$ и $B$ одного размера называется матрица $C = A+B$ такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов.

Операции умножение матрицы на число и сумма матриц называются линейными.

Свойства линейных операций:

Везде далее матрицы $A$, $B$ и $C$ — матрицы одного размера.

  1. Ассоциативность $(A+B)+C=A+(B+C)$
  2. $A+\Theta=\Theta+A$, где $\Theta$ — нулевая матрица соответствующего размера.
  3. $A-A=\Theta$
  4. Коммутативность $A+B=B+A$
  5. Дистрибутивность $\lambda(A+B)=\lambda A+\lambda B$
  6. $(\lambda+\mu) A=\lambda A+\mu A$
  7. $(\lambda \mu) A=\lambda(\mu A)$

Произведение двух матриц

Произведением матрицы $A_$ на матрицу $B_$ называется матрица $C_$ такая, что элемент матрицы $C$, стоящий в $i$-ой строке и $j$-ом столбце, т.е. элемент $C_$, равен сумме произведений элементов $i$-ой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы $j$-ого столбца матрицы $B$.

Каждый электрик должен знать:  Переходная функция

Решение. Так как $A=A_<2 \times 3>$, а $B=B_<3 \times 1>$, то в результате получим матрицу размера $C=C_<2 \times 1>$, т.е. матрицу вида $C=\left( \begin> \\ >\end\right)$ . Найдем элементы данной матрицы:

$c_<11>=a_ <11>\cdot b_<11>+a_ <12>\cdot b_<21>+a_ <13>\cdot b_<31>=1 \cdot 1+2 \cdot 2+0 \cdot 3=5 $ $c_<21>=a_ <21>\cdot b_<11>+a_ <22>\cdot b_<21>+a_ <23>\cdot b_<31>=3 \cdot 1+1 \cdot 2+(-1) \cdot 3=2 $

Таким образом, получаем, что:

Все вычисления можно было сделать в более компактном виде:

Каждый электрик должен знать:  Помогите по схеме подключения щитка управления

Ответ. $C=A B=\left( \begin <5>\\ <2>\end\right)$

Свойства произведения матриц:

  1. Ассоциативность $(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)$
  2. Ассоциативность по умножению $(\mu \cdot A) \cdot B=\mu \cdot(A \cdot B)$
  3. Дистрибутивность $A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C$ , $(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C$
  4. Умножение на единичную матрицу $E_ \cdot A_=A_ \cdot E_=A_$
  5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е. $A B \neq B A$
  6. $E A=A$

Транспонирование матриц

Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с теми же номерами.

Задание. Найти транспонированную матрицу $A^$, если $A=\left( \begin <1>& <3>& <7>\\ <2>& <4>& <-1>\end\right)$

Добавить комментарий