Вывод формулы интеграла Дюамеля

Вывод формулы интеграла Дюамеля

Лекция №43. Метод интеграла Дюамеля для рассчета переходного процеса.

Цель: Расширить диапазон знаний студентов по теме переходных процессов.

Задача: дать навыки расчета переходных процес сов по методу інтеграла Дюамеля.

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости или (и) переходную функцию по напряжению , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода – метода расчета с помощью интеграла Дюамеля – лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как , а вторую — как t.

Пусть в момент времени к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПДна рис. 1) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения , равна .

В момент времени имеет место скачок напряжения , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока .

Полный ток в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом , т.е.

Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости будет входить переходная функция по напряжению.

Интеграл Дюамеля

(Жан Мари Констан Дюамель 1797 — 1872 гг.)

Эта формула является следствием теоремы умножения и имеет важные приложения при расчёте переходных процессов в электрических цепях.

Если f(t) F(p), ?(t) ?(p), то

Доказательство. Из теоремы Бореля f * ? F(p) ?(p). Из правил дифференцирования следует:

Найдём производную свёртки [f * ?]`t =

Интеграл справа — сложная функция от t как параметр в подынтегральном выражении и зависит от переменного верхнего предела t.

Рассмотрим более общий случай: пусть верхним пределом интегрирования будет функция u = u(t). Тогда . По правилу дифференцирования сложной функции

Полагая u = t, получим

Интеграл в левой части и называется интегралом Дюамеля.

Эта формула может быть использована для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при нулевых начальных условиях, когда левая часть не меняется, а правая меняется неоднократно или, когда для правой части трудно подобрать изображение.

Пусть дано неоднородное дифференциальное уравнение

и требуется найти частное решение, удовлетворяющее нулевым начальным условиям: x(0)=0, x'(0)=0, . x (n-1) (0)=0. Решение соответствующего уравнения в пространстве изображений имеет вид:

Рассмотрим уравнение с такой же левой частью, что и исходное уравнение, но с правой частью, равной оригинальной функции ?(t) и нулевыми начальными условиями

Вспомогательному уравнению соответствует решение в пространстве изображений: , отсюда X = pFY, или, используя формулу Дюамеля, имеем:

где y = Y(p) — решение вспомогательного уравнения. С учётом нулевых начальных условий

Таким образом, по решению уравнения в виде единичной функции можно найти решение, когда правая часть — есть любая непрерывная функция-оригинал.

На пример, найдём частное решение дифференциального уравнения x» = arctgt, x(0) = 0, x ‘(0) = 0.

Решение. Вспомогательное уравнение y» = 1, y(t) — частное решение. Операторное уравнение

Тогда искомое решение:

Если начальные условия исходного уравнения не нулевые, то заменой искомой функции задачу можно свести к задаче с нулевыми начальными условиями, при этом лишь несколько изменится правая часть уравнения, функция f(t).

Интеграл Дюамеля и его применение

Вычисление отклика цепи при воздействии на него сигнала любой формы упрощается, если воспользоваться интегралом Дюамеля, выражение которого можно получить, применяя принцип суперпозиции.

Пусть внешнее воздействие, форма которого доказана на рис. 5.5, задано функцией , являющейся, как и ее производная, непрерывной. При функция имеет значение . Представим эту функцию в виде элементарных перепадов. Для этого ось абсцисс разобьем на равных интервалов величиной и построим элементарных перепадов, появляющихся в моменты . Величина перепада зависит от момента его появления. Подобное представление будет точнее, если становится бесконечно малой, т.е. если , а число элементарных перепадов растет до бесконечности. Тогда величина элементарного перепада становится равной

Отклик цени на такое элементарное воздействие равен . Результирующий отклик цепи на воздействие всех элементарных перепадов, появляющихся в интервале времени от до , равен сумме откликов от воздействия каждого из них. Полагая, что каждый элементарный перепад, за исключенном начального, бесконечно мал, получим для результирующего отклика выражение

С помощью этого соотношения, называемого интегралом Дюамеля, удобно по известной переходной характеристике цепи вычислять отклик на воздействие любой формы. Соотношение (5.7) можно записать в другой форме. Интегрируя по частям второе слагаемое (5.7), имеем:

Иногда удобно воспользоваться иным видом записи интеграла Дюамеля. Получим этот вид, эаменив в соотношении (5.7) переменное, т.е. положив .Тогда , а пределы интегрирования будут теперь от до 0. Однако, если изменить знак перед интегралом, то вновь получаем пределы интегрирования от 0 до т.е. находим

Заменяя в этом выражении через , получим окончательно:

Интегрируя по частям второе слагаемое выражения (5.9), получим четвертый вид записи интеграла Дюамеля:

В качестве примера применения интеграла Дюамеля найдем отклик дифференцирующей цепи (рис.3.1а) на воздействие перепада напряжения , имеющего линейно-нарастающий фронт (рис 5.6а). 3ная коэффициент передачи цепи, заданный выражением (3.10) и спектральную функцию единичного перепада , находим с помощью спектрального метода переходную характеристику дифференцирующей цепи:

Входное напряжение в соответствии с (5.6) можно представить в виде двух функций и . Отклик цепи на воздействие функции найдем с помощью интеграла Дюамеля по формуле (5.8):

Тогда отклик цепи на воздействие функции определяется выражением

Результирующий отклик на напряжение , согласно (5.1) равный , показан на рис.5.6в.

Полученный результат и принцип суперпозиции позволяют построить график напряжения на выходе дифференцирующей цепи при подаче на ее вход импульса трапецеидальной формы (рис.5.7а). Если выполняется неравенство , то за время нарастания входного напряжения конденсатор успевает заметно зарядиться и на нем оказывается часть полного напряжения источника. На сопротивлении при этом напряжение нарастает по закону, отличающемуся от линейного (рис.5.7б), достигая максимальной величины, равной . Если же ,то за время конденсатор заряжается очень мало и напряжение на сопротивлении в течение этого времени изменяется практически по линейному закону, т.е. фронт выходного импульса близок но форме к фронту входного (рис.5.7в).

.Вычисление напряжения на выходе цепи. Интеграл Дюамеля. Дискретизация входного, выходного сигнала и импульсной характеристики цепи

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Федеральное агентство связи

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Курсовая работа по ОТЦ

Тема: Расчет электрических цепей при импульсном воздействии

3.Вычисление напряжения на выходе цепи………………………………3

3.1.Переходная характеристика цепи…………………………………. 4

3.2 Анализ входного сигнала……………………………………………………..4

3.3.Запишем интеграл Дюамеля для каждого интервала цепи……….5

3.4. Напряжение на выходе………………………………………………5

4.Вычисление спектра сигнала на выходе цепи U2(jω)………6

4.1Спектральная плотность входного сигнала………………………..6

4.2 AЧX и ФЧХ передаточной функции цепи………………………. 9

4.3 Импульсная характеристика цепи………………………………….10

4.4 Импульсная характеристика цепи………………………………….12

Каждый электрик должен знать:  В чем различие между абсолютными и инкрементальными энкодерами

5. Дискретизация входного, выходного сигнала и импульсной характеристики цепи………………………………………………………..12

5.1 Дискретизация входного сигнала…………………………………12

5.2 Дискретизация импульсной характеристики…………………….13

5.3 Дискретизация выходного сигнала ……………………………….13

6. Спектральные характеристики дискретизированного сигнала…………………15

7. Z – преобразование импульсной характеристики цепи…………………………16

10. АЧХ корректирующей цепи……………………………………………………. 21

Цель курсовой работы состоит в систематизации и закреплении знаний, полученных студентами при изучении классического, операторного и спектрального методов, расчета процессов в линейны электрических цепях, а также теоретических основ анализа дискретных сигналов и линейных дискретных систем.

Задание на курсовую работу содержит схему анализируемой цепи( Рис. 1) и входной сигнал в виде одиночного импульса(Рис. 2), параметры которого указаны на рисунке. Все резисторы схемы имеют сопротивление R=1 КОм, индуктивность катушек L=1Гн, емкость конденсаторов С = 1мкФ.

Рис 1. Схема цепи.

R=1 кОм = 1000 Ом;

C=1 мкФ = 0.00001 Ф.

Рис.2 График зависимости входного сигнала от времени.

3.Вычисление напряжения на выходе цепи.

Необходимо получить аналитические выражения, описывающие u2(t) на различных интервалах времени с помощью интеграла Дюамеля. Составив программу для ЭВМ, или воспользовавшись программой «Определение реакции цепи на импульс заданной формы с помощью интеграла Дюамеля (DML) вычислить значения напряжения на выходе: для 10-15 моментов времени и построить графики U2(t)

3.1. Переходная характеристика цепи.

Вычислим переходную характеристику цепи, как реакцию на входное воздействие в виде единичной функции 1(t).

Общая формула для нахождения переходной характеристики цепи

Для нахождения τ запишем:

Получим переходную характеристику

3.2 Анализ входного сигнала

Рассмотрим входной сигнал ( Рис. 2):

Весь отрезок времени O≤ t -1492,5 t )+0=

=3.35-0.85*e -1492,5 t ;

Интервал t1 ≤ t -1492,5t +5*(0.67-0.17* e -1492,5(t-2*10 )+

+ e -1492,5(t-τ) ) dτ= 10.05-17.92* e -1492,5t -1675*t+0.285-5.724* e -1492,5t =10.335-1675*t-23.644*e -1492,5t ;

*(0.67-0.17 e -1492,5(t-2*10 ) )+ *e -1492,5(t-τ) ) dτ-

3.4. Напряжение на выходе.

Подставляя полученные данные в программу DML, получаем следующие значения U2(t)- Таблица 1.

Таблица 1 –Значения U2(t), вычисленные с помощью интеграла Дюамеля.

Решение линейных дифференциальных уравнений методом свертки (формула Грина, формула Дюамеля)

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в операторной форме при нулевых начальных условиях:

Пусть входное воздействие является импульсной функцией Поскольку , изображение выходного сигнала совпадает с передаточной функцией:

Функцией Грина (или функцией веса в теории управления) линейного дифференциального уравнения называют отклик системы на импульсное входное воздействие или оригинал передаточной функции:

Поскольку изображение выходного сигнала является произведением изображений, то и оригинал можно представить как свертку оригиналов и :

Таким образом, при известной функции Грина можно найти отклик системы на любое внешнее воздействие.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

Взяв в качестве правой части импульсную функцию и переходя к изображениям, получим передаточную функцию:

Возвращаясь к оригиналам, получаем функцию Грина:

Теперь, задавая любым образом правую часть x(t), можно найти решение дифференциального уравнения.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

Правая часть уравнения задана функцией

Для применения формулы свертки следует записать , используя ступенчатые функции Хевисайда:

С учетом того, что функция Грина для этого уравнения имеет вид получаем решение :

Другой способ записи решений дифференциальных линейных уравнений с использованием свертки основан на формуле Дюамеля. Характеристикой системы в этом случае служитпереходная функция , которая определяется как реакция (отклик) системы на постоянное воздействие

Из последнего выражения и свойства интегрирования оригинала следует, что функция и связаны соотношениями:

С учетом того, что

можно записать по формуле Дюамеля следующим образом:

Заметим, что при условии две первых формы записи решения совпадают с записью

Также напомним, что в силу условий вывода формулы Дюамеля приведенные формулы можно непосредственно использовать для непрерывных функций . В том случае, если функция имеют точки разрыва первого рода, следует точно записывать эту функцию, учитывая скачкообразное изменение функции в точках разрыва или другим способом учесть эти изменения. Например, если правая часть имеет вид:

то и формула Дюамеля принимает вид:

Переходя к оригиналам, получаем

Применим формулу Дюамеля для решения примера 9.

Пример 9 (продолжение)

Производная функции, стоящей в правой части уравнения равна:

Переходная функция системы имеет вид:

Тогда вычисляя по формуле

с учетом того, что , получаем:

ЗАДАЧИ

1. Решите линейные дифференциальные уравнения с использованием свертки (формула Грина, формулы Дюамеля)

а) Решите дифференциальное уравнение для правых частей различного вида

Ответы:

Контрольные вопросы:

1. Модуль и аргумент комплексного числа

2. Запись комплексного числа в показательной и тригонометрической формах

3. Степенная функция комплексного аргумента. Свойства

4. Показательная функция комплексного аргумента. Свойства

5. Логарифмическая функция комплексного аргумента. Свойства

6. Тригонометрические функции комплексного аргумента. Свойства.

7. Гиперболические функции комплексного аргумента. Свойства

8. Обратные тригонометрические функции комплексного аргумента. Свойства.

9. Обратные гиперболические функции комплексного аргумента. Свойства.

10. Понятие аналитической функции. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей

11. Ряд Тейлора. Область сходимости. Ряд Лорана. Область сходимости

12. Классификация изолированных особых точек.

13. Вычет аналитической функции в изолированной конечной особой точке. Вычет аналитической функции в бесконечно удаленной особой точке

14. Применение вычетов к вычислению контурных интегралов

15. Применение вычетов к вычислению несобственных интегралов

16. Определите характер особой точки для функций

20. Особенности ряда Фурье для четной и нечетной функции

21. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал.

22.Обратное преобразование Лапласа. Теоремы разложения.

23. Решение линейных дифференциальных уравнений операторным методом

24. Формулы Грина и Дюамеля. Применение к решению линейных дифференциальных уравнений

25. Установите соответствие между комплексным числом и его модулем
1.
2.
3.
4.

Варианты ответов:

26. Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

27.Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

28.Установите соответствие между комплексным числом и его аргументом
1.
2.
3.

Варианты ответов:

29.Установите соответствие между комплексными числами и их аргументами

Варианты ответов:

30.Произведение комплексного числа на сопряженное число равно…

31.Частное от деления двух комплексно сопряженных чисел, где , равно…

32.Дано: , тогда равно …

33.Произведение комплексного числа и сопряженного числа равно …

34.Произведение комплексного числа и сопряженного числа равно …

35.Значение функции в точке равно…

36.Значение функции в точке равно…

37.Значение функции в точке равно…

38.Значение функции в точке равно…

39.Значение функции в точке равно…

40.Дана функция , . Тогда коэффициент b4 разложения в ряд Фурье равен…

41.Дана функция , . Тогда коэффициент b3 разложения в ряд Фурье равен…

42.Дана функция , . Тогда коэффициент а2 разложения в ряд Фурье равен…

43.Дана функция , . Тогда коэффициент b4 разложения в ряд Фурье равен…

44. Комплексное число можно представить в виде …

Варианты ответов:

Должен быть указан не менее двух вариантов ответа

РГР № 15 (0,556 ЗЕ)

Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание работы

1.Алгебра случайных событий.

2.Случайные величины. Законы распределений. Числовые характеристики.

3.Математическая статистика. Оценки числовых характеристик. Определения закона распределения по выборке. Критерии согласия.

4.Математическая статистика: оценка коэффициента корреляции по выборочным данным, уравнение линейной регрессии.

Список литературы [2,5,12, 15, 18 ]

Номера задач указаны согласно сборнику задач по математике для втузов

, часть 3 « Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. Ефимова А.В.М., « Наука», 1990 (№ 15 в списке литературы, имеется в библиотеке в достаточных количествах)

1. Основные понятия. Алгебра событий. № 14.1, 14.68, 14.69, 14.70,14.5, 14.7 (14.148), 14.80,4.87, 14.139, 14.191, 14.198, 14.207, 14.208-14.211, 14.214, 14.226, 14.227, 14.231, 14.233, 14.243.

2.Случайные величины. Законы распределений. Основные характеристики.

№ 14.312, 14.313, 14.323, 14.352, 14.353, 14.354, 14.278, 14.279, 14.294, 14.297, 14.300, 14.365-14.367,14.536-14.539, 14.558, 14.559, 14.560, 14,570

3.Данные для статистической обработки (задания № 3, 4) каждый студент получает от преподавателя или получает самостоятельно (утверждает у преподавателя). Подробное рассмотрение в электронном пособии (№ 18 в списке литературы)

Лабораторная работа № 1

« Статистическое описание результатов наблюдений. Числовые оценки выборочного распределения. Интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения»

Каждый электрик должен знать:  Деревообрабатывающий станок ИЭ-6009А2.1 схема подключения

1. Получите выборку из чисел

2. Постройте вариационный ряд (упорядочите элементы выборки по величине). При этом можно использовать соответствующую команду на панели инструментов Excel.

3 .Представьте выборку в виде группированного статистического ряда (с.178- 181)

· определите размах выборки

· определите число интервалов группировки одним из способов:

· а) Способ 1: выбираете число интервалов , а затем находите шаг (ширину интервала группировки) , б) Способ 2: выбираете шаг (ширину интервала группировки) по формуле .

· Определите границы интервалов группировки , и так далее до тех пор, пока наибольший элемент выборки не попадет в последний интервал ( наилучшая ситуация, если он точно совпадает с верхней границей последнего интервала)

· Найдите середину каждого интервала

· Определите частоты — число элементов выборки, содержащихся в каждом -м интервале. При этом элемент, совпадающий с верхней границей интервала, условимся относить к следующему интервалу.

· Найдите накопленные частоты . При этом сумма частот по всем интервалам должна совпадать с объемом выборки . Если сумма частот по всем интервалам не совпадает с объем выборки, то следует проверить, правильно ли найдены частоты.

· Найдите относительные частоты , которые служат оценкой вероятности попадания элемента выборки в данный интервал

· Найдите относительные накопленные частоты . Значения накопленных частот служат оценкой функции распределения и определяют эмпирическую ( выборочную) функцию распределения

· Все полученные характеристики заносим в таблицу, которую называют статистическим рядом ( табл. 1.1 на стр. 181)

Номер интервала Границы интервала Середина Интервала Частота Накопленная Частота Относитель- ная частота Накопленная Относитель- ная частота
· · · · · · ·
· · · · · · ·

· Представить выборку графически (стр. 182-183)

· строим полигон частот— ломаную с вершинами в точках ( )

· строим полигон относительных частот— ломаную с вершинами в точках ( )

· строим гистограмму —кусочно-постоянную функцию, которая на каждом интервале группировки принимает значение . Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки .

Полигон относительных частот является статистическим аналогом функции плотности вероятности. Гистограмма и полигон частот отличаются от указанной характеристики растяжением в раз. Поэтому все данные функции также являются характеристиками закона распределения генеральной совокупности .

Примечание. Все перечисленные выше операции можно провести вручную или с использованием компьютерных программ. Самое доступное математическое обеспечение – Microsoft Excel при помощи команд: . При этом карманы (интервалы группировки) надо задать отдельно.

3.2. Импульсная характеристика цепи

Импульсная (весовая) характеристика или импульсная функция цепи – это ее обобщенная характеристика, являющаяся временной функцией, численно равная реакции цепи на единичное импульсное воздействие на ее входе при нулевых начальных условиях (рис. 13.14); другими словами, это отклик цепи, свободной от начального запаса энергии на дельта-функцию Дирана на ее входе.

Функцию можно определить, рассчитав переходную или передаточную функцию цепи.

Расчет функции с использованием переходной функции цепи. Пусть при входном воздействии реакцией линейной электрической цепи является . Тогда в силу линейности цепи при входном воздействии, равном производной , реакция цепи будет равна производной .

Как отмечалось, при , реакция цепи , а если , то реакция цепи будет , т.е. импульсная функция

Согласно свойству выборки произведение . Таким образом, импульсная функция цепи

Если , то импульсная функция имеет вид

Следовательно, размерность импульсной характеристики равна размерности переходной характеристики, поделенной на время.

Расчет функции с использованием передаточной функции цепи. Согласно выражению (13.6), при воздействии на вход функции , откликом функции будет переходная функция вида:

С другой стороны, известно, что изображение производной функции по времени , при , равно произведению .

т.е. импульсная характеристика цепи равна обратному преобразованию Лапласа ее передаточной функции.

Пример. Найдем импульсную функцию цепи, схемы замещения которой представлены на рис. 13.12, а; 13.13.

Решение

Переходная и передаточная функции этой цепи били получены ранее:

Тогда, согласно выражению (13.8)

График импульсной характеристики цепи представлен на рис. 13.15.

Импульсная характеристика введена по тем же двум причинам, что и переходная характеристика .

1. Единичное импульсное воздействие – скачкообразное и потому довольно тяжелое для любой системы или цепи внешнее воздействие. Следовательно, важно знать реакцию системы или цепи именно при таком воздействии, т.е. импульсную характеристику .

2. При помощи некоторого видоизменения интеграла Дюамеля можно, зная вычислить реакцию системы или цепи на любое внешнее возмущение (см. далее пп. 13.4, 13.5).

4. Интеграл наложения (дюамеля).

Пусть произвольный пассивный двухполюсник (рис. 13.16, а) подключается к источнику непрерывно изменяющегося с момента напряжения (рис. 13.16,б).

Требуется найти ток (или напряжение) в любой ветви двухполюсника после замыкания ключа.

Задачу решим в два этапа. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения, который задается единичной ступенчатой функцией .

Известно, что реакцией цепи на единичный скачок является переходная характеристика (функция) .

Например, для – цепи переходная функция по току (см. п.2.1), для – цепи переходная функция по напряжению .

На втором этапе непрерывно изменяющееся напряжение заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками (см. рис. 13.16б). Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при постоянного напряжения , а затем как включение элементарных постоянных напряжений , смещенных относительно друг друга на интервалы времени и имеющих знак плюс для возрастающей и минус для падающей ветви заданной кривой напряжения.

Составляющая искомого тока в момент от постоянного напряжения равна:

Составляющая искомого тока от элементарного скачка напряжения , включаемого в момент времени равна:

Здесь аргументом переходной функции является время , поскольку элементарный скачок напряжения начинает действовать на время позднее замыкания ключа или, иначе говоря, поскольку промежуток времени между моментом начала действия этого скачка и моментом времени равен .

Элементарный скачок напряжения

где – масштабный коэффициент.

Поэтому искомая составляющая тока

Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от до момента , для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при , и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения , получаем:

Последняя формула для определения тока при непрерывном изменении приложенного напряжения

называется интегралом наложения (суперпозиции) или интегралом Дюамеля (первой формой записи этого интеграла).

Аналогично решается задача при подключении цепи и источнику тока. Согласно этому интегралу реакция цепи, в общем виде, в некоторый момент после начала воздействия определяется всей той частью воздействия, которая имела место до момента времени .

Заменой переменных и интегрированием по частям можно получить другие формы записи интеграла Дюамеля, эквивалентные выражению (13.11):

Выбор формы записи интеграла Дюамеля определяется удобством расчета. Например, в случае, если выражается экспоненциальной функцией, удобной оказывается формула (13.13) или (13.14), что обуславливается простотой дифференцирования экспоненциальной функции.

При или удобно применять форму записи, в которой слагаемое перед интегралом обращается в нуль.

Произвольное воздействие может быть представлено также в виде суммы последовательно включаемых импульсов, как это изображено на рис. 13.17.

При бесконечно малой длительности импульсов получим формулы интеграла Дюамеля, аналогичные (13.13) и (13.14).

Эти же формулы можно получить из соотношений (13.13) и (13.14), заменив а них производную функцию импульсной функцией .

Таким образом, на основе формул интеграла Дюамеля (13.11) – (13.16) и временных характеристик цепи и могут быть определены временные функции откликов цепи на произвольные воздействия .

Применение интегралов свертки (Наложения, Дюамеля) к анализу линейных цепей

Название Применение интегралов свертки (Наложения, Дюамеля) к анализу линейных цепей
Дата 25.08.2020
Размер 52.02 Kb.
Тип Документы
скачать
1. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл1.Введение.doc
2. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл10. Нелинейные Цепи.doc
3. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл11.Применение нел_цепи.doc
4. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл12.Обратные связи.doc
5. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл13.Устойчивость.doc
6. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл14.Автогенераторы.doc
7. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл15.начало теор. вер.doc
8. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл16.оптималсист.doc
9. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл2.Теория сигналов.doc
10. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл3.Теория цепей.doc
11. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл4.Примеры применения классич. метода.doc
12. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл5.Метод компл. ампл.doc
13. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл6.Преобразование Лапласа.doc
14. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл7.Применение интегралов свертки.doc
15. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл8.Имп.хар-ка.DOC
16. /радиотехнические цепи и сигналы/Гл9.Част-изб-цеп.doc
17. /радиотехнические цепи и сигналы/Конспет лекций ЦУиМ.doc
18. /радиотехнические цепи и сигналы/титулРЦИС.doc
Факультет гражданской авиации
Нелинейные цепи
Воздействие гармонического колебания на безинерционный нелинейный элемент
Лекция 10 Обратные связи в радиотехнических цепях
Устойчивость систем с ос
Колебательный процесс, существующий в цепи без внешнего воздействия, называется автоколебательным
Лекция основные понятия теории вероятностей
Оптимальные линейные системы
Специальные сигналы и их спектральные плотности
Радиотехнические элементы, цепи, устройства, системы
Пример №1 Включение источника постоянного напряжения в rl цепь
Метод комплексных амплитуд (символический метод)
Применения преобразований Лапласа к анализу линейных цепей
Применение интегралов свертки (Наложения, Дюамеля) к анализу линейных цепей
Импульсная функция цепи (системы) и её применения
Частотно –избирательные цепи
Факультет гражданской авиации
Факультет гражданской авиации

Применение интегралов свертки (Наложения, Дюамеля)

к анализу линейных цепей.

Выше были положены методы анализа линейных цепей с помощью дифференциальных уравнений и преобразований Фурье и Лапласа. Каждый из них имеет свои особенности, свои преимущества и недостатки.

Метод дифференциальных уравнений основан на физических законах, которым подчиняются элементы цепи и их соединения. Однако этот метод не позволяет получить характеристики цепи (дифференциальное уравнение – неудобная характеристика) и вызывает затруднения при применении разрывных функций.

Метод преобразования Фурье позволяет характеризовать цепь коэффициентом передачи , и этого часто оказывается достаточно. Однако само преобразование существует для ограниченного класса входных сигналов, а получение выходных сигналов в виде функций времени очень сложно.

Метод преобразования Лапласа существенно расширяет круг входных сигналов и позволяет автоматически учесть начальные условия. Однако если требуется найти выходной сигнал как функцию времени, то необходимо выполнить два преобразования – прямое и обратное.

Если требуется получить временное предоставление выходного сигнала, то в ряде случаев более эффективно применение интегралов свертки.

Прежде чем перейти к рассмотрению интегралов свертки, сделаем дополнительное замечание о свойствах линейных цепей (систем).

Если на линейную систему действует сигнал x(t), то выход системы y(t) в момент времени t1 определяется в общем случае всеми значениями x(t) от -∞ до +∞.

Если система не имеет памяти, то т.е. выход в момент t1 определяется выходом x(t) в момент t1. Пример – усилитель.

Для физически осуществимой системы с памятью y(t1) определяется значениями выхода x(t), начиная от -∞ и до . Память системы определяется энергетическими элементами.

Используя общую методологию анализа линейных систем, выберем в качестве тест сигнала функцию .

Пусть реакция цепи на этот сигнал будет , которую назовем переходной характеристикой.

Эта характеристика может быть найдена:

  • Экспериментально
  • Расчетом, например с помощью преобразования Лапласа.

Найдем реакцию физически осуществимой цепи y(t) на внешнее воздействие x(t).

Сначала заметим, что если:

Как было показано выше, произвольный сигнал x(t), действующий с момента t = 0 можно представить в виде набора ступенчатых функций вида:

Реакция на эту элементарную ступеньку будет:

Суммируя по всем ступенькам, получим:

Если входной сигнал имеет разрыв в точке и его значение в этой точке равно x(0), то:

Интеграл вида называется интегралом свертки. Иногда этот интеграл записывается в виде .

Некоторые свойства свертки рассматриваются далее.

В формуле Дюамеля производная берется по t, а затем t заменяется на τ. Интегрируя по частотам исходную формулу, получим:

Вводя переменную в исходную форму , получим:

Интегрируя по частям эту форму, получим:

Таким образом, из 4 х форм интеграла Дюамеля можно выбрать наиболее удобную форму.

Применение интеграла Дюамеля в форме с разрывным входным сигналом может оказаться неудобным, т.к. появляются трудно интегрируемые дельта функции. В этом случае может оказаться более удобным использовать сигма функции для описания разрыва.

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля

f 2 ( t ) = f 1 ( 0 + ) ⋅ h 1 ( t ) + ∫ 0 t f ′ 1 ( τ ) ⋅ h 1 ( t − τ ) d τ

позволяет при t > 0 найти реакцию f2(t) при произвольном воздействии f1(t) (причем f1 = 0 при t * (tδ1(t), где h1 * (t) – описание переходной характеристики при t > 0; δ1(t) – единичная ступенчатая функция; τ – переменная интегрирования; t – текущее время (момент наблюдения). Поскольку t > 0, то все единичные ступенчатые функции под интегралом можно опустить. Трудности взятия интеграла Дюамеля появляются, если при t = t воздействие изменяется скачком на Δf1(t ). В этом случае в формуле интеграла Дюамеля появляется дополнительное слагаемое, аналогичное первому

f 2 ( t ) = f 1 ( 0 + ) ⋅ h 1 ( t ) + ∫ 0 t f ′ 1 ( τ ) ⋅ h 1 ( t − τ ) d τ + Δ f 1 ( t 0 ) ⋅ h 1 ( t − t 0 ) ,

а под интегралом следует учитывать только непрерывную часть f1(t). Интеграл Дюамеля часто называют интегралом наложения, выраженным через переходную характеристику цепи.

ДЮАМЕЛЯ ИНТЕГРАЛ

ДЮАМЕЛЯ ИНТЕГРАЛ — представление решения Коши задачи или смешанной задачи с однородными граничными условиями для неоднородного линейного уравнения с частными производными через решение соответствующей задачи для однородного уравнения. Пусть для уравнения

∂ 2 u(t, x)/∂t 2 + L[u(t, x)] = f(t, x); t > 0, x ∈ Rn, (1)

где L — линейный дифференциальный оператор с независящими от t коэффициентами, содержащий производные по t не выше 1-го порядка, поставлена задача Коши с начальными условиями:

И пусть достаточно гладкая функция v(t, х; τ), t ≥ τ, τ ≥ 0, х ∈ Rn является при t > τ решением однородного уравнения

∂ 2 v(t, x, τ)/∂ 2 + L[v(t, x; τ)] = 0,

удовлетворяющим при t = τ начальным условиям:

Тогда решение задачи Коши (1), (2) выражается Д. и.:

Сформулированное утверждение носит название принципа Дюамеля и является аналогом метода вариации постоянных.

Аналогичное построение можно провести и в случае задачи Коши с однородным начальным условием для уравнения

где М — линейный дифференциальный оператор с независящими от t коэффициентами, содержащий производные только по переменным х.

Решение задачи Коши с однородными начальными условиями для неоднородного уравнения теплопроводности выражается Д. и.

а для волнового уравнения в случае n = 1

Д. и. наз. по имени Ж. Дюамеля (J. Duhamel).

Лит.: [1] Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; [2] Йон Ф., Плоские волны И сферические средние в применении к дифференциальным уравнениям с частными производными, пер. с англ., М., 1958.

  1. Математическая энциклопедия: Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2 Д — Коо.-М.: «Советская Энциклопедия», 1979.-1104 стб., ил.

Интеграл Дюамеля

Интегра́л Дюаме́ля — интеграл специального вида, применяется для расчёта отклика линейных систем на произвольно меняющееся во времени входное воздействие. Применимость этого интеграла основана на принципе суперпозиции для линейных систем, в которых отклик её на сумму нескольких воздействий как одновременных, так и сдвинутых во времени равен сумме откликов от каждого из слагаемых сигналов.

Используется для расчёта откликов линейных механических систем, линейных электрических цепей и др.

Назван в честь Жана Мари Констана Дюамеля, французского математика, предложившего его для расчёта отклика механических систем.

Идея применения метода состоит в следующем. Входной сигнал представляется в виде суммы (в общем случае бесконечной) некоторых стандартных сигналов, для которых отклик системы h ( t ) , называемый переходной функцией, известен.

Таким образом, зная отклик системы на воздействие в виде функции Хевисайда, описанный в аналитическом виде или полученный экспериментально, можно предсказать (рассчитать) отклик системы на произвольное входное воздействие.

Содержание

Формулы [ | код ]

Переходная функция, если она неизвестна, находится любым доступным методом (решение системы дифференциальных уравнений, операторный метод измерением и т. д.). Для линейной системы переходной функцией может быть апериодический, колебательный, затухающий колебательный процессы или комбинация нескольких перечисленных процессов. Например, для системы рис. 1, переходная функция является апериодическим процессом, изображённым на рис. 2 [1] .

Отклик на остальных интервалах вычисляется по формулам, вытекающих из принципа суперпозиции:

Добавить комментарий